实验四 MATLAB 求 Laplace 变换及逆变换（一） 实验类型：综合

性（二） 实验类别：基础

实验（三） 实验学时数： 2

学时.

基本命令：1 、拉普拉斯（ laplace ）变换 命令： L= laplace(f,t,s) 

% 求函数 f （ t ）的 laplace 变换 L

L 是 s 的函数，参数 s 省略，返回结果 L 默认为 ’s’ 的函数； f 为 t 的函数，当参数 t 省略，默认自由变量为’ t’.

2 、拉普拉斯（ laplace ）逆变换 命令： L=ilaplace(f,t,s)  % 求 L 的 laplace 你逆变换 f

解：【 Matlab 源程序】 syms t s Ut=sym('Heaviside(t)'); L=laplace(Ut)

% 结果为： L = 1/s

例 1 求阶跃函数 Ut 的 laplace 变换

当 t 经位移变化时的 laplace 变换 syms t s; syms b positive ; Ut=sym('Heaviside(t-b)'); L=laplace(Ut)

% 结果为： L =exp(-s*b)/s

例 2 求 δ 函数 Dt 的 laplace 变换解【 Matlab 源程序】 syms t s Dt=sym('Dirac(t)'); L=laplace(Dt)

% 结果为： L = 1 当 t 经位移变化时的 laplace 变换 syms t s; syms b positive ; Ut=sym('Heaviside(t-b)'); L=laplace(Ut) % 结果为： L =exp(-s*b)

解【 Matlab 源程序】 syms t s;syms a b positive

f=[exp(-a*t)*sin(b*t)]; L=laplace(f)

例 3 求函数 的 laplace 变换 btsinetf at

% 结果为： L =1/b/((s+a)^2/b^2+1)

解 【 Matlab 源程序】syms t s;syms omega

f=sin(omega*t);

L=laplace(f)

例 4 求函数 f=sinωt 的 laplace 变换

% 结果为： L =omega/(s^2+omega^2)

syms t s;

syms beta positive

g=sym('Dirac(t)');

h=sym('Heaviside(t)');

f=exp(-beta*t)*g-beta*exp(-beta*t)*h;

L=simple(laplace(f))

% 结果为： L =s/(s+beta)

例 5 求下列【 Matlab 源程序】是哪个函数 的 laplace 变换？

解 【 Matlab 源程序】 syms t s a

f=t*sin(a*t);

g=t*cos(a*t);

L1=simple(simple(laplace(f)))

L2=simple(expand(laplace(g)))

求多个函数的 laplace 变换的【 Matlab 源程序】例 6 求函数 f=t*sin(a*t);g=t*cos(a*t); 的 laplace 变换？

% 结果为： L1 =2/(s^2+a^2)^2*s*a L2 =1/(s^2+a^2)^2*(s^2-a^2)

或解：【 Matlab 源程序】syms t s a

f=t*sin(a*t);

g=t*cos(a*t);

L1=simple(laplace(f))

L2=simple(laplace(g))

% 结果为： L1 =2/(s^2+a^2)^2*s*a L2 =1/(s^2+a^2)^2*(s^2-a^2)

解 【 Matlab 源程序】 syms t s a f=t*exp(a*t)*sin(a*t); g=t*exp(a*t)*cos(a*t); L1=laplace(f) L2=simple(laplace(g))

例 7 求函数 f=t*exp(a*t)*sin(a*t); g=t*exp(a*t)*cos(a*t); 的 laplace 变换

% 结果为： L1 =2/a^3/((s-a)^2/a^2+1)^2*(s-a) L2 =s*(s-2*a)/(s^2-2*s*a+2*a^2)^2

解【 Matlab 源程序】 syms t s x a

f=int(x*exp(a*x)*sin(a*x),0,t);

L=simple(laplace(f))

% 结果为： L =2*a*(s-a)/(s^2-2*s*a+2*a^2)^2/s

例 8 求函数 f=int(x*exp(a*x)*sin(a*x),0,t);

的 laplace 变换

解【 Matlab 源程序】 syms t s

f=sin(t)/t;

L=laplace(f)

M=int(sin(t)/t,0,+inf)

例 9 求函数 f=sin(t)/t 的 laplace 变换及 dtt

tsin0

% 结果为： L =atan(1/s) M=1/2*pi

解 【 Matlab 源程序】 syms t s

h=sym('Heaviside(5*t)');

g=sym('Heaviside(5*t-2)');

L1=laplace(h)

L2=simple(laplace(g)) % 简化% 结果为： L1 =1/s L2 =exp(-2/5*s)/s

例 10 求函数 h=sym('Heaviside(5*t)'); g=sym('Heaviside(5*t-2)'); 的 laplace 变换

解 【 Matlab 源程序】 syms t s F=1/(s^2+4*s+13)^2; f=simple(ilaplace(F)) % 简化

% 结果为： f = -1/54*exp(-2*t)*(-sin(3*t)+3*t*cos(3*t))

例 11 求函数 F=1/(s^2+4*s+13)^2;

的 laplace 逆变换

解 【 Matlab 源程序】 syms t s

F=1/(s*(s-1)^2);

f=ilaplace(F)

例 12 求函数 F=1/(s*(s-1)^

2);

的 laplace 逆变换

% 结果为： f =1+(t-1)*exp(t)

解【 Matlab 源程序】 syms t s

F=s/((s+1)^3*(s-1)^2);

f=simple(ilaplace(F))

例 13 求函数 F=s/((s+1)^3*(s-1)^2)

的 laplace 逆变换

% 结果为：f = (1/16-1/8*t^2)*exp(-t)+(-1/16+1/8*t)*exp(t)

作业：

1 、求函数 f=cosωt 的 laplace 变换

2 、求函数 f=sin(t)cos(t) 的 laplace 变换

3 、求函数 F=1/(s*(s-1)^2) 的 laplace 逆变换

4 、求函数 F=1/(s^2+4) 的 laplace 逆变换