МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО «ЯРОСЛАВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙУНИВЕРСИТЕТ

ИМ. К.Д.УШИНСКОГО»

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М.В.ЛОМОНОСОВА

ТРУДЫ

XI МЕЖДУНАРОДНЫХ

КОЛМОГОРОВСКИХ ЧТЕНИЙ

Ярославль2013

УДК 51; 51:372.8; 51(091)ББК 22.1 я434

Т 782

Печатается по решению редакционно-издательского совета ЯГПУ им. К. Д. Ушин-ского

Труды XI международных Колмогоровских чтений : сборник статей. –Т 782 Ярославль : Изд-во ЯГПУ, 2013. – 346 с.

ISBN 978-5-87555-963-1

Начиная с юбилея (100-летия со дня рождения академика А.Н. Колмогорова, 2003 г.),на родине выдающегося математика XX столетия в Ярославле проводятся традиционныеКолмогоровские чтения.

Настоящий сборник статей XI Международных Колмогоровских чтений (2013 г.) такили иначе отражает интересы А.Н. Колмогорова во многих областях математики, теории иметодики обучения математике, истории математики и математического образования. Вос-поминания учеников и коллег А.Н. Колмогорова содержат новые факты его биографии иаспекты научно-методических интересов ученого.

Сборник будет полезен преподавателям школ и вузов, студентам и всем, кто интересуетсяматематикой, методикой ее преподавания и историей российского образования.

УДК 51; 51:372.8; 51(091)ББК 22.1 я434

Редакционная коллегия: В.В. Афанасьев (гл. редактор), В.М. Тихомиров,Н.Х. Розов, Е.И. Смирнов, А.В. Ястребов

ISBN 978-5-87555-963-1 c© ФГОУ ВПО «Московский государ-ственный университет им. М.В. Ло-моносова», 2013

c© ФГБОУ ВПО «Ярославский госу-дарственный педагогический универ-ситет им. К.Д. Ушинского», 2013

c© Авторы статей, 2013

Оглавление

Глава 1 Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX столетия 8Демидов С.С., Ласковая Т.А., Рыбников А.К., Рыбников К.К. К 100-летию со днярождения Константина Алексеевича Рыбникова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Тестов В.А. Об изменении статуса доказательства в математике в условиях ком-пьютеризации общества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Смирнов Е.И. Квалиметрические и содержательные характеристики требований кнаписанию учебной литературы нового поколения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Трофимец Е.Н., Трофимец В.Я. Формирование фонда оценочных средств в про-цессе обучения математике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Зверкина Г.А. О реформировании математики в начале XX века в контексте логикиразвития математического знания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Глава 2 Математика в ее многообразии 46Балабаев В.Е. Об одной системе кватернионных уравнений . . . . . . . . . . . . . . 46Барабанов О.О. Импликация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Баранович А.Е. Однообъектная парадигма в обобщениях графов . . . . . . . . . . 53Бардасов С.А. Выбор штрафа на логарифмическую функцию правдоподобия приядерной оценке плотности вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Большаков Ю.И. Об одной комбинаторной задаче классификации подпространствядра H-самосопряженной матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Борматова Е.П. Проблемы моделирования деформационного поведения железа присовместном действии неоднородного поля напряжений и диффузионного потока во-дорода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Бурлакова Д.А., Круглов Е.В. Двухсекторная модель перекрывающихся поколенийс альтруизмом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Дюсуше О.М. Математическая модель цикла “новации-инновации” в параметриче-ском пространстве вкусов покупателей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Корольков А.В. Математические модели физических процессов при кипении в неве-сомости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Куликов А.Н., Куликов Д.А. Об одной краевой задаче для уравнения Курамото-Сивашинского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Куликов Д.А. О бифуркациях волнового рельефа в рамках нелокальной моделиэрозии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Максимов В.М. Случайные величины с абстрактными и многомерными вероятно-стями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Малышкин Ю.А. Невозвратность некоторых типов возбужденных случайных блуж-даний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Ройтенберг В.Ш. О грубости и бифуркациях уравнений Риккати с периодическимикоэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Шавгулидзе Е.Т., Шавгулидзе Н.Е. Задачи на суммирование по p-адическим нор-мам, p-адические числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Степанова Д.И., Трубников Н.А. Вычисление и познание . . . . . . . . . . . . . . 114Трубников Н.А., Степанова Д.И. Генетика экономической нелинейности . . . . . . 117Зверкина Г.А. Об одном обобщении признака Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Глава 3 Теория и методика обучения математике в школе и вузе 131Аржаник М.Б., Черникова Е.В. Модель формирования математической компетент-ности будущих психологов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Бычков С.Н. Статистика и социологические опросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Секованов В.С., Ивков В.А. Проблемная лекция по теме “Хаотичные отображения” 137

6 Оглавление

Жохов А.Л. Из истории создания обобщённой модели познания (ОМП) и её ис-пользования в обучении студентов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Богун В.В. Формирование практического мышления студентов вузов в обученииматематике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143Бурханова Ю.Н. Некоторые методические особенности использования информационно-коммуникационных технологий в преподавании эконометрики для студентов эконо-мических специальностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Дубровский В.Н. “Математический конструктор” как инструмент учителя . . . . . 152Фалилеева М.В. Теоретические и методические аспекты обучения решению урав-нений и неравенств с параметрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Имайкин В.М. О расширенной интерпретации содержания математического обра-зования в общеобразовательной средней школе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162Поваренков Ю.П., Тихомиров А.С., Трошина Т.Л. Использование координатногометода при обучению учащихся решению задач С2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166Кучугурова Н.Д. Некоторые ориентиры развития умения мыслить и понимать тео-рию и методику обучения математике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172Гурбатова Е.Р. Развитие семиотической функции – необходимое условие формиро-вания готовности к обучению математике в школе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175Мельников Ю.Б., Мельникова Н.В., Богданов А.О. Мультиплатформенная системаподготовки обучающих ресурсов, основанная на реализации алгебраического подхода 179Миндюк М.Б. Пособия издательства “Интеллект-Центр” как современное средствообучения и контроля знаний школьников по математике . . . . . . . . . . . . . . . . 182Нараленкова И.И., Семенова Т.Г., Шивринская Е.В. О кватернионах на уроках ма-тематики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186Неговеева Ю.В. Особенности применения информационных технологий в форми-ровании элементов исследовательских умений учащихся коррекционных классов . . 192Оленикова Ю.К., Ройтенберг В.Ш. Дифференциальные уравнения: особенноститестирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194Пырков В.Е. Коучинговый подход в обучении старшеклассников как технологияреализации современного математического образования . . . . . . . . . . . . . . . . 197Пырков В.Е. Об интернет-поддержке для учителя математики в овладении знани-ями профессионально-исторической направленности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203Скорнякова А.Ю. О дистанционных формах заданий в математической подготовкебудущих бакалавров педагогического образования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205Шестакова И.А., Михалева М.М. Об организации самостоятельной работы сту-дентов при изучении дисциплины “Математический анализ” в условиях модульно-рейтинговой системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208Шмонова М.А. Метод проектов при профессионально-ориентированном обученииматематике студентов медицинских вузов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213Юдин В.В. Информационная подготовка преподавателей высшей школы для реа-лизации e-learning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

Глава 4 История и философия математики и математического образования 225Антонюк П.Н. Как Рамануджан пришел к своим первым формулам . . . . . . . . 225Дубовицкая М.А. Б.Л. ван дер Варден и его “Современная алгебра” . . . . . . . . 226Ермолаева Н.С. Академик А.Н. Крылов (к 150-летию со дня рождения). Путь внауку. Математические труды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229Харламова В.И., Малонек Г.Р. Португальские математики в библиографических иреферативных журналах в конце XIX – начале XX веков . . . . . . . . . . . . . . . . 236Игнатушина И.В. Петербургский период научной и педагогической деятельностиД.А. Граве по дифференциальной геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243Каноныхина Е.А. Курс алгебры Леонарда Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

Оглавление 7

Коновалова Л.В., Воронина М.М. О научной деятельности академиков Петербург-ской Академии наук П.Н. Фусса и Э.Д. Коллинса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249Ласковая Т.А., Рыбников К.К., Чернобровина О.К. Исторические аспекты разви-тия методов анализа структуры полиэдральных множеств и их значение в оценкеэффективности методов линейного программирования . . . . . . . . . . . . . . . . . 251Малых А.Е., Янкович Е.И. Формирование и развитие теории конструкций блочно-схемного типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255Матвиевская Г.П., Зубова И.К. Елена Петровна Ожигова. К 90-летию со дня рож-дения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263Налбандян Ю.С., Ворович Е.И. Академик И.И. Ворович и его исследования по ис-тории понятий “Пространство”, “Время”, “Материя” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267Одинец В.П. К истории двух знаменитых оптимизационных алгоритмов в теорииграфов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273Острая О.В., Зубова И.К. История формирования подземной гидромеханики вучебной программе магистров по направлению подготовки “Прикладная математикаи информатика” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277Павлидис В.Д. Некоторые вопросы теории тригонометрических рядов в исследова-ниях Л. Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282Павлидис В.Д. Проект реформы средней школы министра П.Н. Игнатьева и по-пытки реализации его основных положений на практике . . . . . . . . . . . . . . . . 283Пронин Д.И. Знак и число Арифметики XVII века . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290Рикун И.Э. Вениамин Федорович Каган: “Дойти до самой сути. . . ” . . . . . . . . . 295Симонов Р.А. Измерительный прибор, изображенный на фреске 1125 г. в Новгороде307Синкевич Г.И. Понятие непрерывности у Дедекинда и Кантора . . . . . . . . . . . 312Шпилевой А.Я., Щукин Е.И. Физико-математический семинар в Кенигсбергскомуниверситете (1834-1937) и его значение для университетского образования в Европе 322Тюлина И.А., Чиненова В.Н. Об основах преподавания механики (к 150-летию содня рождения академика А.Н. Крылова) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324Царицанская Ю.Ю. А.В. Васильев. Творческая биография . . . . . . . . . . . . . . 330Жаров С.В. Вопросы преподавания арифметики в трудах А.Ф. Малинина . . . . . 335Зверкина Г.А., Орлова Е.В., Симонов Р.А. Слово Бога “О мере и числах” в церков-ном искусстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

Сведения об авторах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

Глава 1

Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX столетия

К 100-летию со дня рождения Константина Алексеевича Рыбникова

С.С. Демидов, Т.А. Ласковая, А.К. Рыбников, К.К. Рыбников

1. Константин Алексеевич Рыбников родился 18 августа 1913 г. в станице Луганской тогдашнейОбласти войска Донского (ныне является частью г. Луганска на Украине). Его родители былиучителями начальной школы.

Отец, Алексей Фёдорович (1984-1960) – сын небогатого казака хутора Дубровского станицыМигулинской, несмотря на сильную тягу к знаниям, не имел возможности (в силу более чемскромного материального положения семьи) обучаться в гимназии или в реальном училище.После окончания так называемого высшего начального училища (нечто вроде неполной среднейшколы) он поступил в учительскую семинарию (не следует путать с духовными семинариями,готовившими священников) - светское учебное заведение, готовившее учителей начальной школы.В 16 лет Алексей Фёдорович стал учителем.

Не довелось Алексею Фёдоровичу продолжить своё образование, был он всегда самоучкой. Нобыл он человеком образованным, разносторонне эрудированным. Сам добывал знания, независи-мо судил о них. Не восходил он и по служебной лестнице выше должности директора начальнойшколы; но это была всегда образцовая школа. Имел он почётное звание Заслуженного учителяшколы РСФСР. Был он всегда авторитетен для всех без исключения, кто его знал.

Мама, Вера Константиновна (1891-1958) тоже была учительницей. По свидетельству Кон-стантина Алексеевича характер его мамы был “небойцовский”, но она была “неизменно добра,деликатна и при этом обладала стойкостью и самоотверженностью”. Её уважали и любиливсе – дети, ученики, их родители.

Родители Константина Алексеевича всегда были вместе, всегда работали в одной школе. Ихуважали люди. Честный и самоотверженный труд каждого из них был отмечен высокими награ-дами – орденами Ленина (у отца их было два) и Трудового Красного Знамени.

В 1914 г. началась война. Дальнейшее развитие событий (военные действия в ходе разгораю-щейся гражданской войны) вынудило семью в 1918 г. переехать из станицы Луганской на хуторВерхне-Таловский, в 12 км. к югу от железно-дорожной станции Миллерово. Родители стали ра-ботать в хуторской школе. Учительская квартира, в которой поселилась семья, располагалась впомещении школы.

В семье Алексея Фёдоровича и Веры Константиновны было 5 детей: 4 сына и дочь. Начальноеобучение Константин Алексеевич, его братья и сестра получили в начальной школе под руковод-ством родителей-учителей. Но задачу получения среднего образования на хуторе решить былоневозможно. Средняя школа была в городе Миллерово (статус города он получил в 1926 г.) –даже две школы. Пришлось Алексею Фёдоровичу снимать для подрастающих детей комнатку вгороде.

Возможность переезда в город возникла в начале 1927 г. в связи с тем, что население быстроросло, а двух школ уже не хватало. Алексея Фёдоровича назначили директором вновь созданнойначальной школы № 4 в г. Миллерово. Семья стала жить во флигеле во дворе школы.

Влечение к математике возникло у Константина Алексеевича в значительной степени подвлиянием школьного учителя математики Богомолова, который приехал в Миллерово из Луган-ска, где окончил педагогический институт. В гражданскую войну он был бойцом в 1-ой Коннойармии Будённого. Ученики его очень уважали и за прошлую службу в красной коннице, и за ма-неру вести уроки ясно, чётко, просто. Богомолов старался увлечь своих учеников математикой изанимался дополнительно с теми,кого ему удавалось заинтересовать.

Демидов С.С., Ласковая Т.А., Рыбников А.К., Рыбников К.К. К 100-летию со дня рожденияКонстантина Алексеевича Рыбникова 9

2. В 1929 г. после окончания средней школы Константин Алексеевич попытался поступить вРостовский университет, но в приёмной комиссии ему сразу же разъяснили, что никаких шансовбыть принятым у него нет, что: “В первую очередь им предписано принимать детей рабочихи крестьян. Их уже достаточно, а он – сын интеллигентов”. Пришлось вернуться домой иустраиваться на работу. Притом срочно, так как материальное положение семьи к этому временистало очень тяжёлым. На следующий день он пошёл на кирпичный завод. Был зачислен в бригадупо формовке сырого кирпича и отправке его на обжиг. Стал работать.

Однако, уже через несколько дней его вызвали в горком комсомола и объявили, что приняторешение, учитывая его отличную учёбу, рекомендовать его на работу учителем начальной шко-лы. Тут же выдали выписку из приказа окружного отдела народного образования о назначенииучителем начальной школы в слободе Позднеевка.

В тот период в административном округе с центром в г. Миллерово была острая нехват-ка учительских кадров. В такой обстановке состоялось назначение Константина Алексеевича всельскую школу в 40 км. к востоку от г. Миллерово.

В те годы в малых городах и в сельской местности учитель был очень уважаемым челове-ком (несмотря на небольшую зарплату). Назначение молодого человека, только что окончившегошколу, на должность учителя было знаком большого доверия, которое предстояло оправдать (да-же если это было назначение в отдалённый населённый пункт, с которым не было регулярногосообщения).

Через год Константина Алексеевича перевели на работу в г. Миллерово. Первое полугодие1930-1931 учебного года он работал в начальной школе, а с января 1931 г. до лета 1933 г. – всредней школе.

3. Желание учиться, изучать математику в университете Константина Алексеевича не остав-ляло, и в сентябре 1932 г. он написал письмо ректору Московского университета, в которомспрашивал о возможности учиться в МГУ заочно. Вскоре пришёл ответ. Помощник ректора позаочному обучению Борис Владимирович Ульпи сообщил Константину Алексеевичу, что он за-числен студентом-заочником отделения математики.

В этот период в МГУ шла реорганизация. Завершилась она весной 1933 г. приказом Нарком-проса от 5 апреля 1933 г. Взамен прежнего физико-математического факультета был организованряд новых факультетов и, в частности, механико-математический факультет. Ещё до завершенияреорганизации был сформирован заочный сектор. Константин Алексеевич стал одним из первыхстудентов-заочников (возможно, самым первым).

Весной 1933 г. Константин Алексеевич получил вызов на зачётно- экзаменационную сессию.После успешной сдачи экзаменов за 1-ый курс он был переведён на очное отделение. Весной1934 г. он закончил 2-ой курс, а в 1934-1935 учебном году успешно прошёл за один год про-грамму сразу двух курсов: 3-го и 4-го. В 1935-1936 учебном году ему предстояла учёба на 5-омкурсе. Встал вопрос о теме будущей дипломной работы. Но прежде, чем выбрать конкретнуютему, необходимо было определиться с направлением будущих исследований. Константин Алек-сеевич остановил свой выбор на истории математики. Перед историком математики (как и лю-бой науки) встаёт вопрос о том, как возникли новые научные направления, новые понятия икак они развивались (а также, как они, возможно, будут развиваться в будущем). Он долженбыть специалистом в изучаемой области математики и одновременно хорошо знать культурнуюи общественно-политическую обстановку той эпохи, в которой эти идеи возникали.

Дипломная работа Константина Алексеевича “Алгебра в трудах Омара Хайяма” (научный ру-ководитель профессор Яновская Софья Александровна) была посвящена исследованию алгебра-ического трактата этого средневекового учёного. В трактате рассматривается проблема решенияалгебраических уравнений до 3-ей степени включительно. Трактат Омара Хайяма представляетсобой первое систематическое изложение этого вопроса.

Дипломная работа получила высокую оценку. Была получена рекомендация в аспирантуру.Однако, поступлению в аспирантуру сразу после окончания университета помешали обстоя-

тельства. В связи с уходом Б.В. Ульпи на пенсию Константину Алексеевичу было предложено

10 Глава 1. Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX столетия

возглавить заочное отделение. Обучение в аспирантуре пришлось на время отложить. Помощни-ком ректора по заочному обучению Константин Алексеевич работал с 1936 г. по 1938 г.

В аспирантуру механико-математического факультета Константин Алексеевич поступил в1938 г. Кандидатскую диссертацию “К истории вариационного исчисления” (научный руководи-тель профессор С.А. Яновская) он защитил 25 июня 1941 г. (на третий день после начала ВеликойОтечественной войны).

4. Через несколько дней после защиты диссертации в комсомольском эшелоне КонстантинАлексеевич убыл на строительство оборонительных сооружений на восточном берегу Днепра врайоне Смоленска. Осенью, когда враг вплотную подошёл к Москве, военно-строительное управ-ление, в котором Константин Алексеевич работал, было расформировано, и почти весь личныйсостав был призван в Красную Армию. Константин Алексеевич и ещё несколько человек с выс-шим образованием были отправлены в Ленинградское Высшее военно-инженерное училище, ко-торое в тот момент находилось в Костроме. На исходе зимы 1941-1942 гг. его и некоторых другихкурсантов перевели на Центральные курсы минных заграждений, которые размещались близстанции Болшево под Москвой. Из них сформировали роту особой техники (официальное назва-ние ТОС – техника особой секретности), т.е. техники радиоуправляемых взрывов. К маю 1942 г.Константину Алексеевичу было присвоено офицерское звание – лейтенант, и он был назначенкомандиром взвода курсантов.

В зиму 1942-1943 гг. Константин Алексеевич участвовал в боях на Калининском фронте.Командовал диверсионной группой курсантов. На различных участках линии Ржев – ВеликиеЛуки их группа скрытно минировала железно-дорожные пути и при проходе вражеских эшелоновосуществляла радиоуправляемый взрыв.

Осенью 1943 г. началось присоединение Курсов минных заграждений к Высшему военно-инженерному училищу и возвращение училища в Ленинград из Костромы. Константин Алексе-евич отправился в Ленинград к новому месту службы в должности преподавателя ТОС. Весной1944 г. он подал рапорт о направлении на фронт, мотивируя свою просьбу желанием применятьособую технику в боевых условиях. Просьба была удовлетворена.

В штабе инженерных войск его направили на 1-ый Белорусский фронт в специальную инже-нерную бригаду командиром группы особой техники. Константин Алексеевич прибыл в бригадув тот момент, когда войска 1-го Белорусского фронта перешли в наступление (это было нача-ло операции “Багратион”). Первый бой – форсирование Березины и освобождение Бобруйска.Далее боевой путь бригады прошёл от Бобруйска через Старые Дороги, Слуцк, Барановичи, Лу-нинец, Пинск, Кобрин, Брест. Затем их путь проходил по территории Польши. За лето дошличерез Люблин и Пулавы до расположенного на восточном берегу Вислы предместья Варшавыпод названием Прага.

В условиях непрерывного наступления техника взрывов на расстоянии не пригодилась (темне менее, её держали в постоянной боевой готовности). Всем подразделениям бригады пришлосьбеспрерывно работать на минных полях - ставить свои минные поля или разминировать враже-ские.

Незадолго до начала боёв за освобождение Варшавы пришёл приказ – следовать обратнов Ленинград к месту службы. По возвращении в училище в ноябре 1944 года на партийномсобрании его приняли в члены ВКП(б).

В мае 1945 г. пришла Победа. Константин Алексеевич подал рапорт об увольнении с военнойслужбы.

5. В 1945 г. Константин Алексеевич демобилизовался. Начал работать на кафедре математикифизического факультета МГУ, которой заведовал выдающийся учёный член-корреспондент АНСССР (с 1966 г. – академик) Андрей Николаевич Тихонов.

Для начала А.Н. Тихонов поручил Константину Алексеевичу вести упражнения в двух груп-пах 1-го курса, читать лекции Андрей Николаевич взялся сам. С этим студенческим контин-гентом Константин Алексеевич работал последовательно на последующих курсах по программевсего курса высшей математики для физиков (2,5 года). Из них 10 человек Константин Алексе-

Демидов С.С., Ласковая Т.А., Рыбников А.К., Рыбников К.К. К 100-летию со дня рожденияКонстантина Алексеевича Рыбникова 11

евич рекомендовал в аспирантуру по кафедре математики и посодействовал их принятию сверхустановленных цифр приёма. Все они успешно прошли аспирантуру и защитили кандидатскиедиссертации. Некоторые из них в дальнейшем стали докторами наук.

Той же осенью 1945 г. коммунисты физического факультета избрали Константина Алексееви-ча секретарём партийной организации и в дальнейшем переизбирали снова и снова. Все три годас 1945 г. по 1948 г., в течение которых Константин Алексеевич работал на физическом факульте-те, он наряду с преподавательской работой на кафедре математики вёл большую общественнуюработу секретаря одной из самых многочисленных первичных (факультетских) партийных ор-ганизаций и члена бюро партийного комитета МГУ. Было очень трудно, но отказываться былонельзя. Партийная дисциплина в те годы была очень строгой. Таково было время. Люди старше-го поколения хорошо это знают. Но более молодым людям зачастую бывает трудно представитьсебе обстановку тех лет и мироощущение людей, живших и работавших в ту эпоху.

В 1948 году по решению секретариата ЦК КПСС Константин Алексеевич был направленна работу в ЦК. Для него это было неожиданно. Очень не хотелось ему уходить из МГУ, нопришлось подчиниться. Сначала он был инструктором в отделе науки и высших учебных за-ведений. В дальнейшем его направили в специальную криптографическую службу, которая вте годы подчинялась непосредственно ЦК КПСС. Работая там, он заинтересовался проблемамикомбинаторного анализа, роль которого в XX столетии чрезвычайно возросла. Комбинаторныезадачи встречаются в самых различных областях математики и её приложений (не только в крип-тографии). При этом, несмотря на заманчивую простоту постановки, комбинаторные задачи вбольшинстве очень трудны; многие из них не поддаются решению до сих пор. В дальнейшемКонстантин Алексеевич, наряду с научной работой в области истории математики, начал работупо построению общей теории комбинаторного анализа (которой к середине XX века всё ещё несуществовало).

В период с 1948 г. по 1953 г. Константин Алексеевич и С.А. Яновская продолжили нача-тое ранее Софьей Александровной изучение математических рукописей Карла Маркса. Срединих можно встретить серьёзные и оригинальные исследования в области философии матема-тики (хотя сам К. Маркс не стремился издавать их). Некоторые из рукописей С.А. Яновскаяопубликовала с пояснительной статьёй. Однако, основная масса рукописей в то время оставаласьнеизученной (полностью математические рукописи К. Маркса были опубликованы в 1968 г. изда-тельством “Наука” в книге “К. Маркс. Математические рукописи” ). Исследования, посвящённыематематическим рукописям К. Маркса, вызвали большой интерес в широких кругах математи-ков, историков и философов.

В 1953 г. после кончины И.В. Сталина в руководстве партии и государства произошли зна-чительные преобразования, которые повлекли многочисленные кадровые перестановки. В этойситуации Константину Алексеевичу удалось получить разрешение возвратиться в МГУ.

6. В мае 1953 г. Константин Алексеевич возвратился в МГУ и стал работать на механико-математическом факультете в должности доцента кафедры математического анализа. В знамена-тельный день 25 июня 1954 г., ровно через 13 лет после защиты кандидатской диссертации, деньв день, он защитил докторскую диссертацию “Исследование математических рукописей Маркса”(А.Н. Колмогоров оценил её весьма положительно). В 1956 г. стал профессором, в 1957 г. сталзаведующим кабинетом истории и методологии математики и механики.

По-прежнему параллельно с научной и педагогической работой Константину Алексеевичуприходилось заниматься общественной и административной деятельностью: его не раз избира-ли членом парткома механико-математического факультета; членом парткома МГУ; некотороевремя он был заместителем декана механико-математического факультета. С августа 1959 г. поавгуст 1960 г. был членом коллегии Минвуза РСФСР, начальником Главного управления уни-верситетов, экономических и юридических вузов. С июня 1966 г. по август 1969 г. он находилсяв длительной заграничной командировке, во время которой работал в ЮНЕСКО директоромвысшего образования (именно так именовалась его должность), имея дипломатический ранг по-сланника. За работу в ЮНЕСКО он был награждён орденом “Знак Почёта”. При этом Константин

12 Глава 1. Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX столетия

Алексеевич никогда не терял связь с Московским университетом. Для него работа в университетевсегда имела приоритет по сравнению с другими видами деятельности.

Наука и преподавание всегда были главным делом для Константина Алексеевича. Однако,ему постоянно приходилось параллельно с основной работой выполнять то партийные, то адми-нистративные, то даже дипломатические поручения. Он никогда не стремился к деятельноститакого рода, но избегать её ему не удавалось. Причина в том, что его уважали, ему доверяли, аон считал своим долгом оправдывать доверие.

Двумя основными направлениями научной работы Константина Алексеевича стали: 1) исто-рия и методология математики, 2) комбинаторный анализ.

Главной задачей исследований в области истории математики Константин Алексеевич счи-тал создание научно обоснованной, цельной системы знаний о путях развития математическойнауки вплоть до времён, как можно более близких к современности. Реализуя этот замысел, онсоздал учебник “История математики” для студентов математических специальностей универси-тетов и педагогических институтов, а также для широких кругов математиков-специалистов. Этопервый фундаментальный университетский учебник, посвящённый данной дисциплине (и покаединственный). Первое его издание вышло в двух томах: т. 1 (1960 г.) ; т. 2 (1963 г.). В последу-ющих изданиях оба тома были сведены в один. При переизданиях текст в ряде мест подвергалсяпереработке и в книгу добавлялись новые главы. Последнее издание вышло в 1994 г. [1].

Решению аналогичных задач в области методологии математики была посвящена вышедшаяв 1979 г. книга Константина Алексеевича “Введение в методологию математики” [2]. Позднее онабыла существенным образом переработана и издана (к сожалению очень малым тиражом – всего200 экземпляров) под названием “Введение в методологию математики (тезисы лекций)” [3]. Вней, в частности, появились разделы “История и современность в математике и в жизни” и “Оформировании достойной научной и гражданской позиции”. Вместе с учебником “История мате-матики” эти тезисы образуют единое учебное пособие к курсу лекций по истории и методологииматематики на механико-математическом факультете МГУ.

В период с 1996 г. по 2004 г. Константин Алексеевич издал в качестве дополнений к основно-му курсу 9 учебных пособий. Была начата работа над 10-ым пособием “Войны за просвещение.Математическое образование в СССР и России и Болонский процесс” [4], работу над которымКонстантин Алексеевич закончить не успел. Завершил её младший сын Константин Констан-тинович. Книга получилась страстной, отчасти даже резкой в своих оценках. Иначе и быть немогло. К началу XXI века деградация отечественного образования, в том числе математического,стала очевидным фактом.

Регулярную научную работу в области комбинаторного анализа Константин Алексеевич на-чал в 1960-е годы. Поразительно много областей математики и её приложений содержит задачиили группы задач комбинаторного характера Для этой совокупности разнообразных задач к се-редине XX столетия всё ещё не существовало единой теории или единого метода. Вместе с темсуществование целой сети взаимных интерпретаций приводило к мысли о наличии их общейосновы.

В 1972 г. Константин Алексеевич издал книгу “Введение в комбинаторный анализ”, в кото-рой изложил основы общей теории комбинаторного анализа. В 1985 г. вышло второе, расширен-ное издание этой книги [5]. На механико-математическом факультете он организовал научно-исследовательский семинар по комбинаторному анализу, который вскоре стал признанным цен-тром научных исследований в этом направлении. В 1979 г. в издательстве МГУ вышел сбор-ник “Комбинаторный анализ: задачи и упражнения”, составленный участниками семинара подобщей редакцией Константина Алексеевича. В 1982 г. в издательстве “Наука” вышло расширен-ное и дополненное издание этого сборника [6]. С 1971 г. по 1989 г. издательством Московскогоуниверситета регулярно публиковался сборник научных работ “Комбинаторный анализ” (вышло8 выпусков). После 1989 г. в МГУ стали регулярно проводиться международные семинары подискретной математике и её приложениям и публиковаться труды семинаров. Работу одной изсекций – секции комбинаторного анализа – неизменно (пока был жив) возглавлял КонстантинАлексеевич.

Тестов В.А. Об изменении статуса доказательства в математике в условиях компьютеризацииобщества 13

Много внимания Константин Алексеевич уделял вопросам преподавания математики в сред-ней школе. Им написан ряд статей для журнала “Математика в школе”, книга для учителей“Возникновение и развитие математической науки” (1987 г.) [7] и книга для школьников “Про-фессия – математик” (1989 г.) [8].

Константин Алексеевич внёс значительный вклад в дело подготовки научных кадров высшейквалификации: 23 его ученика подготовили и защитили кандидатские диссертации, 2 из них сталивпоследствии докторами наук. Он был членом нескольких учёных советов в МГУ и РАН.

Константин Алексеевич вёл также большую редакционно-издательскую работу. Он был од-ним из основателей, а затем бессменным членом редколлегии систематически выходившего вМГУ сборника “История и методология естественных наук” (из 36 вышедших при его жизни вы-пусков сборника 11 посвящено математике и механике), членом редколлегий журналов “ВестникМосковского университета. Сер. 1. Математика. Механика” и “Дискретная математика”, а такжечленом редсовета сборника “Историко-математические исследования”.

Заслуги Константина Алексеевича были отмечены тремя орденами СССР (орден Отечествен-ной войны II степени и два ордена “Знак Почёта”) и одиннадцатью медалями (“За оборону Моск-вы”, “За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945 гг.”, “За трудовую доб-лесть” и др.). В 1974 г. ему было присвоено звание заслуженного деятеля науки РСФСР, в 1994 г.– звание заслуженного профессора МГУ.

Все, кто знал Константина Алексеевича, помнят его не только как выдающегося учёного ипедагога, но и как человека высокой культуры, твёрдых нравственных принципов, исключительнопорядочного и доброжелательного.

Библиографический список

1. Рыбников, К.А. История математики [Текст]/ К.А. Рыбников. – М.: Изд-во МГУ, 1994.

2. Рыбников, К.А. Введение в методологию математики [Текст]/ К.А. Рыбников. – М.: Изд-воМГУ, 1979.

3. Рыбников, К.А. Введение в методологию математики (тезисы лекций) [Текст]/ К.А. Рыбни-ков. – М.: Изд-во мех.-мат. ф-та МГУ, 1994-1995.

4. Рыбников, К.А. Войны за просвещение. Математическое образование в СССР и России иБолонский процесс [Текст]/ К.А. Рыбников, К.К. Рыбников. – М.: Гелиос АРВ, 2012.

5. Рыбников, К.А. Введение в комбинаторный анализ [Текст]/ К.А. Рыбников. – М.: Изд-во МГУ,1985.

6. Сборник “Комбинаторный анализ: Задачи и упражнения” [Текст]/ под ред. К.А. Рыбникова.– М.: Наука, 1982.

7. Рыбников, К.А. Возникновение и развитие математической науки [Текст]: книга для учителя/К.А. Рыбников. – М.: Просвещение, 1987.

8. Рыбников, К.А. Профессия – математик [Текст]: книга для учащихся старших классов сред-ней школы/ К.А. Рыбников. – М.: Просвещение, 1989.

Об изменении статуса доказательства в математике в условиях компьютеризацииобщества

В.А. Тестов

В последнее время в математической картине мира произошли большие изменения, во многомсвязанные с компьютеризацией всех сторон общества. Безусловно, эти изменения не могут несказаться и на содержании школьной математики. Одно из таких изменений – переоценка статусадоказательства в математике.

Н. Бурбаки свой трактат открывает фразой: “Со времён греков говорить „математика“ – зна-чит говорить „доказательство“”. Таким образом, “математика” и “доказательство” – эти два словаобъявлялись почти синонимами.

14 Глава 1. Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX столетия

Однако само понимание того, что является, а что не является доказательством, меняетсясо временем. Если вдуматься, ничего удивительного в этом нет. Ведь понятие доказательстваосновано на представлении об убедительности, а это представление исторически обусловлено.Для математических текстов средневековой Индии, например, были характерны такие (возмож-но, восходящие к более древним временам) способы доказывания геометрических утверждений:предлагался чертёж, под которым было всего одно слово: “Cмотри!”.

Вопрос об изменении статуса доказательства последнее время стал все чаще обсуждаться, чтосвязано с сомнениями в надежности доказательств, выполненных с помощью компьютера, а так-же в надежности исключительно длинных и сложных доказательств. Так полное доказательствоклассификации простых конечных групп занимает 15 тысяч страниц текста.

Однако, как отмечает известный петербургский математик Н.А. Вавилов, статус трудных со-временных результатов и их доказательств мало отличается от статуса трудных математическихрезультатов предшествующих веков. Классические работы, как и публикуемые сегодня, полнызаблуждений, ошибок и пробелов разной степени серьезности. Многочисленные историческиепримеры показывают, что фактические математические доказательства никогда – со времен гре-ков – не удовлетворяли декларируемым стандартам. Что гораздо хуже, часто эти заблуждения иошибки из поколения в поколение воспроизводятся в монографиях и учебниках, и их обнаружениев некоторых случаях потребовало многих десятилетий. Нужно честно признать, что математикаявляется человеческой деятельностью, целью и результатом которой является понимание, и малоотличается в смысле своей надежности от других видов человеческой деятельности. Достовер-ность математического доказательства и его убедительность относится к области психологии исоциологии, а не логики [1].

По мнению М. Клайна понятие доказательства, сколь ни преувеличивали его значение обще-ственное мнение и публикации математиков, не играло той роли, которая ему обычно отводилась.Возникновение противоборствующих философий математики, каждая из которых отстаиваласвои мерки строгости доказательства, вызывало скептическую переоценку важности доказатель-ства. Критические нападки на понятие доказательства начались еще до того, как успели сформи-роваться различные течения в основаниях математики и их взаимно исключающие точки зренияполучили сколько-нибудь широкое распространение. Еще в 1928 г. Г. Харди утверждал с прису-щей ему прямотой: “строго говоря, того, что принято называть математическим доказательством,не существует”. Г. Харди считал доказательства скорее фасадом, чем несущими опорами зданияматематики. Выдающийся американский математик Р. Уайлер в 1944 г. утверждал, что доказа-тельство есть не что иное, как проверка продуктов нашей интуиции, самое разумное, пожалуйпризнать, что, как правило, в математике не существует абсолютно истинного доказательства.

По мнению Н.А. Вавилова, в отличие от любых доказательств, математическое знание кактаковое обладает чрезвычайно высокой степенью надежности. Эта надежность, как и надежностьестественно-научного и технического знания, гарантируется отнюдь не доказательствами индиви-дуальных результатов, а общей когерентностью математической и естественно-научной картинымира, индивидуальным и коллективным пониманием и прямым контактом с миром идей, котороеформируется в процессе работы у каждого квалифицированного и понимающего специалиста [1].

По строгим меркам весь “анализ бесконечно малых” из семнадцатого столетия – не что иное,как сомнительные мечтания. Позднее его стали называть дифференциальным и интегральнымисчислением; в серьезную науку он превратился два столетия спустя, когда Коши дотронулсядо него волшебной палочкой. Но тот же самый Коши преградил дорогу другой мечте – мечтеЭвариста Галуа, что говорит об обратной стороне строгости доказательств. Изгнать мечту изматематики – значит перекрыть источник новых идей. “Когда дорога выводит тебя на высокоеместо, так что перед глазами разворачивается новое видение, и взгляд уже охватывает обширныематематические пейзажи, тогда тебе легко наметить дальнейший путь. И это восхождение, этапроясняющаяся перспектива, это понимание, приходящее шаг за шагом, всегда предшествуетдоказательству. Подсказывая методы доказательства, оно в то же время придает ему смысл” [2].

В наше время представления о доказательствах изменились вновь под влиянием вычислитель-ной техники. Сегодня компьютерная техника является незаменимым средством проведения мате-

Тестов В.А. Об изменении статуса доказательства в математике в условиях компьютеризацииобщества 15

матических доказательств. Она позволяет производить на свет доказательства, которые требуютперебора столь большого числа вариантов, что этот перебор становится недоступным человеку, акомпьютеру доступен; либо же требуемые вычисления чересчур сложны, чтобы делать их вруч-ную. Первым, но не единственным примером такого доказательства стало решение знаменитойпроблемы четырех красок. К использованию компьютерных средств для проведения математиче-ских доказательств все чаще стали прибегать математики-исследователи. Иногда компьютерныйэксперимент оказывается единственно доступным способом подтверждения истинности матема-тических утверждений.

Появляющаяся ныне компьютерная составляющая стала довольно часто рассматриваться какнеобходимый первый этап исследований особо сложных научных задач. Как показывает анализнаучных публикаций, в последнее время существенно вырос процент “компьютерно угаданных”,а потом строго математически доказанных теорем.

Термин “компьютерное доказательство” стал использоваться в двух смыслах. В первом слу-чае, о котором говорилось выше, компьютерная программа помогает в формулировании гипотезыи планировании доказательства, что не вызывает ни у кого возражений.

Во втором случае программа подтверждает на многочисленных частных примерах общееутверждение, что некоторыми учеными и рассматривается в качестве доказательства. Экспе-риментальные действия при изучении математики поощрялись издавна, ибо несомненна их рольв формировании учебной, исследовательской и критической деятельности. Например, рекомен-довалось организовать проверку (на листе бумаги с помощью транспортира) теоремы о суммеуглов треугольника. Правда реально у детей в таком “бумажном” эксперименте точно 180 граду-сов почти никогда не получается.

Компьютерный эксперимент в геометрии, основанный на динамической иллюстрации, пси-хологически убедителен. Например, компьютер показывает, что “как ни гоняй” треугольник поэкрану, меняя его вид, три его медианы всегда имеют общую точку. Но можно ли этот результат,проверенный таким образом с помощью компьютера, считать доказанным? Ответ на этот вопросупирается, прежде всего, в толкование термина “доказательство”.

Доказательство – это рассуждение, которое убеждает того, кто его воспринял, настолько, чтоон делается готовым убеждать других с помощью этого же рассуждения. Понятие математи-ческого доказательства отличается от понятия доказательства, принятого в других науках и вповседневной жизни. Это отличие, отмечает В.А. Успенский, состоит в том, что в математике по-рог убедительности значительно выше. Можно сказать, что математические и нематематическиедоказательства имеют разные амбиции. Нематематические доказательства претендуют на то,чтобы убедить в следующем: доказываемое утверждение имеет место с подавляющей вероятно-стью, а предположение, что это не так, невероятно. Математические доказательства претендуютна то, чтобы убедить в следующем: доказываемое утверждение имеет место с необходимостью, апредположение, что это не так, невозможно [4].

Сторонники выше рассмотренного “компьютерного доказательства” утверждают, что раз про-грамма в принципе позволяет проверить полученный результат в любом частном случае, то нетсомнений в истинности результата и его можно считать доказанным. Но это именно “компьютер-ное доказательство”, а не “математическое” или “логическое”.

Предлагаются и специальные договорённости, в каком случае результат манипуляций с ком-пьютером считать доказанным. Именно, если:

– результат получен сначала в частном случае;– обобщение сформулировано на основе полученного результата;– последовательность шагов при доказательстве общего утверждения такая же, как при до-

казательстве частного утверждения;– ситуация, смоделированная в программе, адекватно отражает условия, которые содержатся

в общем утверждении;– использование программы на континуальном (психологически) уровне [3].По нашему мнению, ученые имеют право на разные точки зрения относительно статуса до-

казательства и понимания этого термина. Однако наличие в школьном курсе математики двух

16 Глава 1. Пленарные доклады: А.Н. Колмогоров и математика XX столетия

различных трактовок понятия “доказательство” может только запутать учащихся. Поэтому вовтором рассмотренном случае результат, полученный с помощью компьютерной программы, непроизводящей полного перебора всех возможных случаев, вряд ли стоит называть доказанным.

Библиографический список

1. Вавилов, Н.А. Математическое доказательство: вчера, сегодня, завтра [Элек-тронный ресурс]/ Н.А. Вавилов. – http://www.univertv.ru/video/matematika/matematicheskie_metody_i_modeli

2. Гротендик, А. Урожаи и посевы. Размышления о прошлом математика [Текст]/ А. Гротендик.– М.-Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2002.

3. Рыжик, В.И. Компьютер. Смена парадигмы? [Электронный ресурс]/ В.И. Рыжик. –http://ifets.ieee.org/ Russian /depository /v13_i3/html/4r.htm

4. Успенский, В.А. Простейшие примеры математических доказательств [Текст]/ В.А. Успен-ский. – М.: Изд-во МЦНМО, 2009.

Квалиметрические и содержательные характеристики требований к написаниюучебной литературы нового поколения

Е.И. Смирнов

В настоящее время система высшего образования переживает период активного развития и ре-формирования. Новые задачи, связанные с развитием высшего образования, порождают и потреб-ность в новых средствах обучения, ведущее место среди которых отводится учебной литературе, втом числе учебникам и учебным пособиям. Какие требования предъявляются к учебникам новогопоколения, которые базируются на инновационной технологии фундирования базовых учебныхэлементов школьной математики в реализации содержания математического образования буду-щих учителей математики в педвузах?

В [1] авторы теоретически обосновали и технологически проработали концепцию фундиро-вания применительно к системе высшего педагогического образования по специальности “Мате-матика”. При этом структура глобального фундирования разворачивается по 7 базовым учеб-ным предметам сквозного характера (в течение всех лет обучения): математический анализ, ал-гебра и теория чисел, геометрия, алгоритмика, стохастика, элементарная математика, техноло-гии профессионально-математической деятельности, которые продолжают и углубляют 7 содер-жательных линий школьной математики: числовую, функциональную, геометрическую, тожде-ственных преобразований, уравнений и неравенств, стохастическую и информационно-алгорит-мическую. Каждая содержательная линия определяет базовые знания, умения, навыки и методывузовской математики, распределенные по оптимальному набору учебных предметов и дисци-плин. Другой срез структуры образуют 3 слоя фундирования:

– профессиональный (I-III семестры), предназначенный для формирования ближайшеговидового обобщения методом наглядного моделирования базовых учебных элементов школьнойматематики;

– фундирования (IV-VI семестры), предназначенный для освоения глубокого теоретическо-го обобщения и развития БУЭШМ;

– технологический (VII-X семестры), предназначенный для освоения технологических при-емов профессиональной деятельности и методического обоснования изучения БУЭШМ.

В основе инновационного подхода к оценке учебной литературы нового поколения, базиру-ющегося на концепции фундирования, лежат методические приемы, разработанные в рамкахконцепций системогенеза, фундирования, наглядного моделирования и творческой активностидля усиления профессионализации и личностно-ориентированного подхода в процессе предмет-ной подготовки будущих учителей математики. Это, прежде всего: таксономии учебных целей

Смирнов Е.И. Квалиметрические и содержательные характеристики требований к написаниюучебной литературы нового поколения 17

и уровней усвоения, диагностируемое целеполагание, комплексы модельных эвристических за-дач, приемы антиципации, аннотированные учебные программы, интегративные экзаменацион-ные программы, опорные таблицы кодировки базовых учебных элементов, спирали фундирова-ния базовых учебных элементов школьной математики и т.п.

В основе определения характеристик для требований к содержанию ВПО по специальности“Математика” лежат:

а) диагностируемое целеполагание учебной деятельности будущего специалиста на основе кон-цепции системогенеза фундирования, наглядного моделирования, профессионализации и творче-ской активности,

б) концепция, компоненты, структура и функции учебно-педагогических комплексов по внед-рению дидактических инноваций.

Опираясь на общие и специальные критерии оценки учебной литературы, соответствие тре-бованиям Федерального Государственного образовательного стандарта третьего поколения, кон-цепцию фундирования опыта личности [2], учета закономерностей профессионального развитияи положений профессионального стандарта педагогической деятельности В.Д.Шадрикова [3] бы-ли разработаны следующие ниже требования и критерии оценки учебной литературы новогопоколения.

Требования и критерии оценки учебной литературы на основе концепции фундирования

Требования Критерии проявления

(T1–T9) Целостное Пцij Частичное Пчij Слабое П

сij

1. Преем-ственностьсодержатель-ных линийшкольной ивузовской ма-тематики(знания, уме-ния, навыки,математиче-ские методы,идеи и про-цедуры –ЗУНМА) (Т 1)

• (11) Развертывание 5-6 ос-новных структур математики:топологических, алгебраи-ческих, порядковых, веро-ятностных, геометрических,функциональных;• (12) Банки задач и историко-методическое оснащение 5-6 ос-новных структур матема�