Click here to load reader

04 Ecuatiile dinamicii

  • View
    66

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of 04 Ecuatiile dinamicii

4. ECUAI I LEGENERALEALEDI NAMI CI I FLUI DELOR4.1. STAREA DE EFORTURI N INTERIORUL UNUIFLUID. TENSORUL TENSIUNILORAsupra unui fluid n micare se exercit fore care pot fi mprite n doucategorii i anumeforedemasi foredesuprafa. nceeace priveteprimadintreacestecategorii, forelerespectiveseexprimprin vectorulf ,fiinddensitateaifforaraportatlaunitateademas, avnddeci dimensiunile unei acceleraii. Principala for de mas este greutatea, n care caz, iar alte astfel de fore mai sunt cea centrifug, fora lui Coriolis i forele de natur electromagnetic.Forele de suprafa sunt reprezentate prin tensiunile care se exercit pe suprafaa fluidului. Aceast definiie este valabil i pentru orice subdomeniu al domeniului ocupat de fluid.Prin urmare, dac utilizm un raionament asemntor cu cel referitor la presiune, aciunea maseim1asupra maseim2se traduce printr-unsistemdefore And T ,nT fiind o for raportat la unitatea de suprafa (tensiune), dAelementul de arie al suprafeei deseparaieSinversorul normalei exterioarepedA(figura 4.1).Aciunea fiind reciproc, masa m2 exercit asupra masei m1 un sistem de fore And T. n cazul unui fluid real (vscos), vectorul tensiunilornT nu are acelai suport cu versorul n al normalei pe dA. Prin urmare, nT are o component normal pe dA i o alta tangent la acest element de arie, ceea ce nseamn c ntr-un fluid real n micare exist att tensiuni normale ct i tensiuni tangeniale.Figura 4.159 Mecanica fluidelor ntr-unfluidaflat n repaus,pnn T ,pfiind presiunea i prin urmare nu existtensiuni tangeniale. Aceast proprietate se menine i n cazul fluidelor ideale aflate n micare.nmicareaunui fluidreal, vectorul tensiunilor depindedepunct, respectiv de vectorul de poziie r, de orientarea elementului dA, definit prin versorul normalei n, precum i de timpul t dac micarea este nestaionar.S considerm, n interiorul unui fluid n micare, ntr-un punct O, un volumelementardV, deformaunuitetraedruOABCavnd muchiileOA, OB i OC, paralele cu axele triedrului cartezian ortogonal Oxyz, de lungime dx, dy i dz(figura 4.2). Mai departe, notm cu dAx aria feei OBC, cu dAy ariafeeiOCA, cudAzariafeeiOABi cudAnariafeeiABC, indicii referindu-se la direcia normalei pe faa respectiv. De asemenea, notm cu z y xT T T , , vectorii tensiunilor pe feele OBC, OCA, OAB i cunTvectorul tensiunilor pe faa ABC.Conform celor spuse mai nainte, aceti vectori nu mai sunt normali pefeelepecareacioneaz. Versorii normalelor pefeeleOBC,OCAi OABsunt chiar versorii z y xe e e , ,ai axelor decoordonatei sensul lor pozitiv este deci ctre interiorul volumului considerat. Ca urmare, vom orienta versorul normalei n pe faa ABC tot ctre interiorul volumului.S scriemecuaia de micare pentru masa elementarV d cuprins n acest volum, viteza v fiind aceea a centrului de mas. Obinem astfelFigura 4.2Ecuaiile generale ale dinamicii fluidelor 60 z z y y x x n nA A A A V Vtd d d d d dDDT T T T f + + + + v(4.1)sau, dacnotmcuhlungimeanormalei cobortdinpunctulOpefaa ABC,z z y y x x n n n nA A A A AhAhtd d d d d3d3 DDT T T T f + + + + v(4.2)deoarece volumul tetraedrului are expresianAhV d3d .Pe de alt parte, dac nx,ny,nzsunt cosinuii directori ai normalein, avemn x xA n A d d , n y yA n A d d ,n z zA n A d d ,semnul negativ datorndu-se faptului c, la rndul lor,nx,ny,nzsunt negativi, unghiuriledintreniversorii z y x, , e e eaiaxelorde coordonate fiind obtuze.Dup nlocuirea n (4.2) i simplificarea cu dAn rezultz z y y x x nn n nhtT T T T f

,`

.|3 DDv(4.3)i dac trecem la limit, fcnd pe h s tind spre zero, obinemz z y y x x nn n n T T T T + + , (4.4)rezultat cunoscut sub numele de formula lui Cauchy.Prinurmare, vectorul tensiunilor depeosuprafaelementarde orientare ndat, ntr-un punct oarecare M al fluidului este o funcie liniar de vectorii tensiunilor de pe suprafeele din planele paralele cu planele de coordonate ale triedrului cartezian ortogonal.Fiecare dintre vectorii z y x, , T T Tare o component normal pe planul corespunztor i dou componente tangeniale situate n acest plan. Prin urmare, putem scriez xz y xy x xx xe e e T + + z yz y yy x yx ye e e T + + (4.5)61 Mecanica fluidelor z zz y zy x zx ze e e T + + componentele cu indici de acelai fel fiind tensiunile normale, iar componentele cu indici diferii tensiunile tangeniale. Dac proiectm relaia (4.4) pe axele de coordonate, gsimzx z yx y xx x nxn n n T + + zy z yy y xy x nyn n n T + + (4.6)zz z yz y xz x nzn n n T + + sau, sub forma matricialz z z y z xy z y y y xx z x y x xz y xn n n zz z yz y xz x zy z yy y xy x zx z yx y xx xn n n n n n n n n + + + + + + (4.7)n felul acesta, se pune n eviden faptul c starea de tensiune de pe o suprafa elementar de orientare n este determinat de tensorul reprezentat prin matricea ptrat din relaia precedent, respectiv de trei tensiuni normale i ase tensiuni tangeniale. Ca urmare, tensorul de ordinul al doilea din (4.7)senumete tensorul tensiune al lui Cauchy. Acesta este, de fapt, primamrimetensorialcare a aprutn tiin, iardenumireadetensor, generalizatulterior, sedatoreazsemnificaiei salefizice, componentele sale fiind tensiunile normale i cele tangeniale,z z z y z xy z y y y xx z x y x x T. (4.8)Ecuaiile generale ale dinamicii fluidelor 62 4.2. ECUAIA DE MICARE4.2.1. Expresia general SconsidermundomeniufluidtDcufrontieratD , cmpul vectorial al forelor de masfi cmpul tensorialTfiind definite pe nchiderea t D. Impulsul masei de fluid din tD are expresia tDV d v i n conformitate cu principiul variaiei impulsului putem scrieA V Vtt t tDnD Dd d dDD + T f v(4.9)derivata n raport cu timpul a impulsului fiind egal cu rezultanta forelor care acioneaz asupra fluidului. Cu ajutorul formulei (2.22), gsim ns( )VtVtt tD DdDDdDD ]]]

+ v vvv (4.10)iar din ecuaia de continuitate (2.61) rezultv t DD(4.11)astfel c, n cele din urm, obinemVtVtt tD DdDDdDD vv (4.12)i ecuaia (4.9) devineVttDdDDvA Vt tDnDd d + T f. (4.13)Formula luiCauchy(4.4) ne permite s aplicm formula luiGauss i anumeVz y xAt tDzyxDnd d

,`

.|+ + TTTT(4.14)iar ecuaia (4.13) devine0 dDD

,`

.| Vz y x ttDzyx TTTfvi prin urmarez y x tzyx TTTf + + +DDv. (4.15)63 Mecanica fluidelor Aceasta este ecuaia de micare a lui Cauchy i dac inem seama de (2.7) mai putem scriez y x tzyxTTTf + + ]]]

+ + ) ( v vv. (4.16)n proiecie pe axele triedrului cartezian ortogonal Oxyz, avemz y xfz y x tzxyxxxxxzxyxxx + +

,`

.|+ + + +vvvvvvvz y xfz y x tzy yy xyyyzyyyxy + +

,`

.|+ + + +vvvvvvvz y xfz y x tzzyzxzzzzzyzxz + +

,`

.|+ + + +vvvvvvv.(4.17)4.2.2. Simetria tensorului tensiunilorn condiiile precizate mai nainte, scriem momentul cinetic al masei de fluid din tD care are expresiaVtDd v r i dac aplicm principiul variaiei momentului cinetic putem scrie VttDdDDv r A Vt tDnDd d + T r f r(4.18)derivata n raport cu timpul a momentului cinetic fiind egal cu momentul rezultant al forelor care acioneaz asupra fluidului dintD.Tot din (2.22) obinem nsVtVtt tD DdD) D(dDD ]]]

+ v vvv rrr (4.19)Ecuaiile generale ale dinamicii fluidelor 64 sauVtdVtt tdD) D(DD vvrr (4.20)dup ce utilizm dinnou ecuaia de continuitate (2.61),respectiv formula (4.11).Ca urmare, ecuaia (4.18) devineA V Vtt t tnd d dD) D( + T r f rr v.(4.21)Produsul vectorial fiind distributiv, din (4.4) rezultz z y y x x nn n n T r T r T r T r + + (4.22)ceea ce permite s aplicm formula lui GaussVz y xAt tDzyxDnd) () () (d ]]]

++ T rT rT rT r(4.23)astfel c ecuaia (4.21) ia forma0 d) () () (D) ( D]]]

Vz y x ttDzyx T rT rT rf rr vi prin urmarez y x tzyx ) () () (D) ( D T rT rT rf rr +++ v. (4.24)Dup cteva calcule, gsim65 Mecanica fluidelor z z y y x xzyxz y x tT e T e T eTTTf r + +

,`

.| DDv(4.25)unde am inut seama de faptul c0DD v v vtri de acela cxxer,yyer,zzer.Din (4.15) rezult ns c membrul stng al ecuaiei (4.25) este identic nul i prin urmare0 + + z z y y x xT e T e T e(4.26)Pe de alt parte,y x ,T T i zTau expresiile (4.5) i deoarece y xz z xy x xe e T e =,z yx x yz y ye e T e =, x zy y zx z ze e T e gsim, n loc de (4.26)0 + + z yx xy y xz zx x zy yz) ( ) ( ) ( e e e sauyx xy , zy yz ,xz zx . (4.27)Tensorul tensiunilor estedeci simetric, existndnumai trei tensiuni tangeniale diferite ntre ele.n ncheiere, menionm c formula (4.4), ecuaia (4.15) ca i relaiile (4.27) sunt valabile nu numai pentru fluide ci i pentru orice mediu continuu deformabil deoarece nu s-a utilizat la deducerea lor nici o ipotez restrictiv n acest sens.Exist ns medii continui, inclusivfluide, la care apar momente interne, ceea ce nseamn c n acestea sunt cupluri masice i de suprafa repartizate. Formula (4.4) i ecuaia (4.15) rmn valabile dar ecuaia variaiei momentului cinetic are alt form i n consecin tensorul tensiunilor nu mai este simetric.4.2.3. Legea constitutivEcuaiile generale ale dinamicii fluidelor 66 Ecuaiademicare(4.15) nupoatefi utilizat nstudiul micrii fluidelor dect dac se stabilete n prealabil o relaie ntre tensorul tensiunilor i tensorul vitezelor de deformaie. O astfel de relaie se numete legea constitutiv. Denumirea de lege i nu de ecuaie arat c relaia la care ne referim respect principiul obiectivitii sau al indiferenei materiale ceea censeamnc nudepindede sistemul de referin. ntr-adevr, ecuaiile, inclusiv acelea pe care le-am stabilit pn n prezent, au forme care depind de sistemul de referin adoptat.n stabilirea acestei legi pentru fluidele reale, se consider c acestea sunt omogene i izotrope, aa cum am precizat de altfel n primul capitol. De asemenea, forma general a acestei legi este) (D Tf (4.28)i conform celor spuse mai sus, tensorul tensiunilor T nu depinde de poziia r, iar funcia f este independent de orientarea axelor; de asemenea T este o funcie continu deD.n sfrit, atunci cnd fluidul este n repaus ( D=0) avem I T p , I fiind tensorul unitate1 0 00 1 00 0 1 I. (4.29)n aceste condiii,fluidul real se mai numete i stokesian, deoarece definiiadatmai suscorespundecuideileenunatedeStokes. Sepoate arta c o lege general ce corespunde celor precizate mai nainte este22 1 0) ( D D I T + + + p (4.30)unde) (3 2 1I , I , I , T ,n n , 2 , 1 , 0 n(4.31)cu0 ) 0 0 0 (0 , , , T , (4.32)67 Mecanica fluidelor n care3 2 1I , I , Isunt invarianii scalari ai tensorului vitezelor de deformaie i anumeDtr1 I ,2 22tr ) (tr 2 D D I , Ddet3 I (4.33)expresii ncaresimbolul tr semnificsumatermenilor depediagonala principalamatricei tensorului respectiv, iar simbolul det determinantul acestei matrice; astfel, observm c avemv Dtr . (4.34)n expresiile funciilor 2 1 0, , au fost incluse densitatea i temperatura fluidului deoarece tensorul T depinde i de starea termodinamic a fluidului. n ceea ce privete presiunea, am artat n primul capitolcexist orelaie ntre aceasta, densitate i temperatur (ecuaia de stare).Fluidele a cror lege constitutiv este (4.30) se numesc fluide Reiner Rivlin.Legea (4.30) fiind complicat se utilizeaz diferite aproximaii care se bazeaz pe introducerea unor expresii polinomiale pentru funciile fenomenologice 2 1 0, , . Astfel, aproximaia de ordinul zero este02 1 0 (4.35)i prin urmareI T p (4.36)ceea ce reprezint cazul fluidelor ideale, fr vscozitate. Presiunea termodinamic, introdus n ecuaia de stare, se confund n acest caz cu presiunea mecanic i poate fi deci funcie de densitate i de temperatur. n cazul n care presiunea depinde numai de densitate, fluidul se numete barotrop.n aproximaia de ordinul nti, avem1 0I , 21 ,02 (4.37)i fiind funcii de variabilele ri T. Dac inem seama de (4.34) legea constitutiv (4.30) devineD 2 ) ( + + I T v p (4.38)fluidele pentru care este valabil aceast lege numindu-se newtoniene. n cazul particular al unui fluid incompresibil, legea (4.38) ia formaD 2 + I T p . (4.39)Ecuaiile generale ale dinamicii fluidelor 68 Precizm c legea constitutiv (4.38) poate fi dedus direct, utiliznd proprietatea de izotropie a fluidului, datorit creia direciile principale ale tensorilor simetrici T iD coincid, precum i formula (4.36).Din (4.38) rezult, n coordonate carteziene ortogonalexpxxx v2 + + vypyyy v2 + + v(4.40)zpzzz v2 + + vprecum i

,`

.|+ x yyxyx xy vv

,`

.|+ y zzyzy yz vv(4.41)

,`

.|+ z xx zxz zx v viseobservimediat cestevscozitateadinamicintrodusnprimul capitol. ntr-adevr, expresiile(4.41)conincauncazparticular legealui Newton prezentat acolo.Din consideraiile precedente rezult c n fluidele n repaus ca i n cazul fluidelor ideale n micare nu exist tensiuni tangeniale, iar din (4.36) rezultpzz yy xx i prin urmare presiunea este media aritmetic, cu semn schimbat, a tensiunilor normale.La fluidele reale n micare, putem defini o presiune medieptot ca medie aritmetic, cu semn schimbat, a tensiunilor normale3zz yy xxp + + (4.42)sau, dup utilizarea relaiilor (4.40)v ,`

.|+ + 32p p(4.43)Presiunea mecanic astfel definit nu mai este deci aceeai cu presiunea termodinamicdectdac fluidul este incompresibil0 ) ( = v sau dac69 Mecanica fluidelor 0 2 3 + (4.44)ipotez introdus de Stokes. n cazul n care nu se accept aceast ipotez, se pune' + 32(4.45)unde' esteadouavscozitatesauvscozitateadilataional,fiind vscozitatea de forfecare. Ca urmare, relaiile (4.40) devinxpxxx v232' + ,`

.| + vypyyy v232' + ,`

.| + v(4.46)zpzzz v232' + ,`

.| + vn timp ce relaiile (4.41) rmn neschimbate.Menionmnsc unii autori dau denumirea de a doua vscozitate chiar coeficientului .Ipotezalui Stokesestensutilizatpescarlarg, chiardaceste contrazis de unele fapte experimentale. Acceptarea acestei ipoteze, care nu este necesar la fluidele incompresibile, se bazeaz pe faptul c sunt afectate numai tensiunile normale, erorile introduse fiind mici.4.2.4. Ecuaia Navier Stokesn ecuaia de micare a lui Cauchy (4.15), introducem pentru vectorii tensiunilor z y x, , T T T, expresiile (4.5). Utiliznd dup aceea legea constitutiv (4.38), respectiv expresiile (4.40) i (4.41) ale tensiunilor normale i tangeniale, cu ipoteza c i sunt constante, gsimv vv2) ( ) (DD + + + ptf(4.47)undev2 este laplacianul vectorului vitez) (2v v .Aceasta este ecuaiaNavier- Stokes, iar dac inemseama de formula cunoscutv v v2) ( ) ( (4.48)mai putem scrieEcuaiile generale ale dinamicii fluidelor 70 ) ( - ) ( ) 2 (DDv vv + + ptf.(4.49)Dac nuacceptmipoteza luiStokes(4.44), cuajutorul relaiei (4.45) ecuaia (4.47) devinev vv2) (31'DD + ,`

.|+ + ptf(4.50)iar (4.49) ia forma) ( ) (34'DDv vv ,`

.|+ + ptf.(4.51)n sfrit, atuncicndseadopt ipotezalui Stokes care, aa cum se observdin(4.44) i (4.45) esteechivalentcu0 ' , ecuaia (4.49) capt forma cea mai obinuit i anumev vv2) (31DD + + ptf(4.52)sau) ( ) (34DDv vv + ptf.(4.53)Dac ne referim la forma (4.52) a ecuaieiNavier Stokesavem, n proiecie pe axele triedrului cartezian ortogonal Oxyz,+

,`

.|+ + + z y x x xpftzyxxx vvv v31DD;222222

,`

.|+ + +z y xx x xv v v+

,`

.|+ + + z y x y ypftzyxyy vvvv31DD.222222

,`

.|+ + +z y xy y yv v v(4.54)71 Mecanica fluidelor +

,`

.|+ + + z y x z zpftzyxzz vvv v31DD.222222

,`

.|+ + +z y xz z zv v vncazul ncarefluidul esteincompresibil0 ) ( v, ipotezalui Stokes nu mai este necesar iar ecuaiile (4.47) i (4.49) devinvv2DD + ptf, (4.55)respectiv) (DDvv ptf. (4.56)Proieciile ecuaiei (4.55) pe axele triedrului cartezian ortogonal Oxyz sunt

,`

.|+ + +z y x txzxyxxxvvvvvvv

,`

.|+ + + 222222z y xxpfx x xxv v v,

,`

.|+ + +z y x tyzyyyxyvvvvvvv

,`

.|+ + + 222222z y xypfy y yyv v v, (4.57)

,`

.|+ + +z y x tzzzyzxzvvvvvvv

,`

.|+ + + 222222z y xzpfz z zzv v v,cu meniunea c, de data aceasta, am scris dezvoltat expresiile componentelor acceleraiei conform formulelor (2.10).n cazul raportrii micrii fluidului la un triedru mobil, viteza absolut av a fluidului, fa de un sistem fix, are expresiar av v v + + r 0(4.58)Ecuaiile generale ale dinamicii fluidelor 72 0v fiind viteza originii triedrului mobil fa de cel fix, viteza unghiular a triedrului mobil fa de cel fix, iarrv viteza relativ a fluidului n raport cu triedrul fix.Dup efectuarea unor calcule, asupra crora nu insistm deoarece sunt cunoscute din cinematica solidelor, se obine expresia acceleraiei absolute sub forma( ) r r r a + + + + 2DD0travv (4.59)n care punctul nseamn derivarea n raport cu timpul iar derivata material avitezeirelativeestecalculatnsistemulmobil. Prinurmare, necuaia Navier Stokesexpresia precedent (4.59) a acceleraiei nlocuiete pe aceea considerat mai nainte.4.3. ECUAIA IMPULSULUI4.3.1. Expresia generalConsiderm ecuaia (4.9) i observm c, n conformitate cu formula (2.26) n care punem v f, putem scrie + 1 1d d dDDD D DA VtVtt n v v v v(4.99)1D fiind o mulime mrginit fix n E3care coincide cu tDla t=t1. n felul acesta, ecuaia (4.9) devine + +DnD D DA V A Vt d d d d T f n v v v(4.100)unde D, la caream omis indicele,este deci un domeniu din E3ocupat de fluid, a crui frontierD este o suprafa regulat cu normala exterioar n.Observmc(4.99) reprezintdefapt formalagrangianaecuaiei impulsului ntimpce(4.100)este forma eulerian a acestei ecuaii.Dac introducem notaiile73 Mecanica fluidelor Vmd f F , An sdT F(4.101)ecuaia (4.100) se scries mD DA VtF F n + + d d v v v(4.102)form sub care este utilizat de obicei n aplicaii.4.3.2.Ecuaia impulsului pentru un tub de curentS considerm o poriune dintr-un tub de curent delimitat de seciunile normale S1i S2(figura 4.3) i s presupunem c micarea este staionar. Dac inem seama i de expresia debitului volumic elementar dQ, ecuaia (4.102) devines mS SQ Q F F + + 2 1d d v v (4.103)deoarece, conform definiiei tubului de curent, debitul prin suprafaa lateral Sl a acestuia este nul. Dac S1iS2sunt suficient de mici, putem admite c vitezele de pe acestea, v1 respectiv v2 sunt constante astfel c putem scriemSQ Q11d v v ,mSQ Q22d v v dacinemseamadeorientareaversorilorn1in2ai normalelor peS1, respectivS2i introducemdebitul masicQm. Micareafiindstaionar, acest debit este constant, conform formulei (2.69) i prin urmare, n cele din urm avemQ QS11d v v ,Q QS22d v v (4.104)i ecuaia (4.103) se scries mQ F F + ) (1 2v v (4.105)avnd, sub aceast form, diferite aplicaii practice, dup ce se expliciteaz forele de mas i de suprafa. Precizm de asemenea c (4.105), aa cum Figura 4.3Ecuaiile generale ale dinamicii fluidelor 74 se poate constata imediat, este valabil att pentru fluidele compresibile ct i pentru cele incompresibile.4.4. ECUAIA MOMENTULUI CINETIC4.4.1. Expresia generalReferindu-sela ecuaia(4.9),observm, la fel ca n cazul precedent (figura 4.4), dac punem n (3.25) v r f obinem + 1 1d d dDD A VtVttn r r r v v v v(4.106)1Di 1D avnd semnificaiile cunoscute.Mai departe, procednd la fel ca i n cazul ecuaiei impulsului, gsim

A V A VtDnD D Dd d d d + + T r f r n r r v v v. (4.107)Dac introducem notaiile Amd f r M ,An sd T r M(4.108)ecuaia (4.107) se scries mA VtM M n r r + + d d v v v(4.109)aceast form fiind utilizat n mod curent n aplicaii.Figura 4.475 Mecanica fluidelor 4.4.2. Ecuaia momentului cinetic pentru un tub de curentPresupunnd, ca i n cazul ecuaiei impulsului c micarea este staionar i introducnd expresia debitului volumic elementar dQ, ecuaia (4.109) devines mS SQ Q M M r r + + 2 1d d v v . (4.110)Dac S1iS2sunt i de data aceasta suficient de mici, putem utiliza aceeai ipotez relativ la vitezele 1vi 2v , gsind astfelmSQ Q1 11d v v r r , mSQ Q2 22d v v r r cu aceeai observaie referitoare la orientarea versorilor n1 i n2. Ca urmare la ipoteza referitoare la S1i la S2, am introdus razele vectoare r1ir2ale centrelor acestor seciuni.Dac inem seama de (2.69) putem scrieQ QS1 11d v v r r , Q QS2 22d v v r r (4.111)ajungnd astfel la ecuaias mQ M M r r + ) (1 1 2 2v v (4.112)utilizabilnaplicaiidupexplicitareamomentelorforelordemasMm, respectival forelor desuprafaMs. Cai (4.105), ecuaia(4.112) este valabil att pentru fluidele compresibile ct i pentru cele incompresibile.