Upload
juwanna88
View
74
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
4 . ECUAŢIILE GENERALEALE DINAMICII FLUIDELOR
4.1. STAREA DE EFORTURI ÎN INTERIORUL UNUI
FLUID. TENSORUL TENSIUNILOR
Asupra unui fluid în mişcare se exercită forţe care pot fi împărţite în
două categorii şi anume forţe de masă şi forţe de suprafaţă. În ceea ce
priveşte prima dintre aceste categorii, forţele respective se exprimă prin
vectorul , fiind densitatea şi f forţa raportată la unitatea de masă, având
deci dimensiunile unei acceleraţii. Principala forţă de masă este greutatea, în
care caz, iar alte astfel de forţe mai sunt cea centrifugă, forţa lui Coriolis şi
forţele de natură electromagnetică.
Forţele de suprafaţă sunt reprezentate prin tensiunile care se exercită
pe suprafaţa fluidului. Această definiţie este valabilă şi pentru orice
subdomeniu al domeniului ocupat de fluid.
Prin urmare, dacă utilizăm un raţionament asemănător cu cel referitor
la presiune, acţiunea masei m1 asupra masei m2 se traduce printr-un sistem
de forţe , fiind o forţă raportată la unitatea de suprafaţă (tensiune),
dA elementul de arie al suprafeţei de separaţie S şi n versorul normalei
exterioare pe dA (figura 4.1).
Acţiunea fiind reciprocă, masa m2 exercită asupra masei m1 un sistem
de forţe . În cazul unui fluid real (vâscos), vectorul tensiunilor nu
are acelaşi suport cu versorul n al normalei pe dA. Prin urmare, are o
componentă normală pe dA şi o alta tangentă la acest element de arie, ceea
ce înseamnă că într-un fluid real în mişcare există atât tensiuni normale cât
şi tensiuni tangenţiale.
Figura 4.1
59 Mecanica fluidelor
Într-un fluid aflat în repaus, , p fiind presiunea şi prin
urmare nu există tensiuni tangenţiale. Această proprietate se menţine şi în
cazul fluidelor ideale aflate în mişcare.
În mişcarea unui fluid real, vectorul tensiunilor depinde de punct,
respectiv de vectorul de poziţie r, de orientarea elementului dA, definită prin
versorul normalei n, precum şi de timpul t dacă mişcarea este nestaţionară.
Să considerăm, în interiorul unui fluid în mişcare, într-un punct O, un
volum elementar dV, de forma unui tetraedru OABC având muchiile OA,
OB şi OC, paralele cu axele triedrului cartezian ortogonal Oxyz, de lungime
dx, dy şi dz (figura 4.2). Mai departe, notăm cu dAx aria feţei OBC, cu dAy
aria feţei OCA, cu dAz aria feţei OAB şi cu dAn aria feţei ABC, indicii
referindu-se la direcţia normalei pe faţa respectivă. De asemenea, notăm cu
vectorii tensiunilor pe feţele OBC, OCA, OAB şi cu
vectorul tensiunilor pe faţa ABC.
Conform celor spuse mai înainte, aceşti vectori nu mai sunt normali
pe feţele pe care acţionează. Versorii normalelor pe feţele OBC, OCA şi
OAB sunt chiar versorii ai axelor de coordonate şi sensul lor
pozitiv este deci către interiorul volumului considerat. Ca urmare, vom
orienta versorul normalei n pe faţa ABC tot către interiorul volumului.
Să scriem ecuaţia de mişcare pentru masa elementară cuprinsă
în acest volum, viteza v fiind aceea a centrului de masă. Obţinem astfel
(4.1)
Figura 4.2
Ecuaţiile generale ale dinamicii fluidelor 60
sau, dacă notăm cu h lungimea normalei coborâtă din punctul O pe faţa
ABC,
(4.2)
deoarece volumul tetraedrului are expresia
.
Pe de altă parte, dacă nx, ny, nz sunt cosinuşii directori ai normalei n,
avem
, , ,
semnul negativ datorându-se faptului că, la rândul lor, nx, ny, nz sunt
negativi, unghiurile dintre n şi versorii ai axelor de
coordonate fiind obtuze.
După înlocuirea în (4.2) şi simplificarea cu dAn rezultă
(4.3)
şi dacă trecem la limită, făcând pe h să tindă spre zero, obţinem
, (4.4)
rezultat cunoscut sub numele de formula lui Cauchy.
Prin urmare, vectorul tensiunilor de pe o suprafaţă elementară de
orientare n dată, într-un punct oarecare M al fluidului este o funcţie liniară
de vectorii tensiunilor de pe suprafeţele din planele paralele cu planele de
coordonate ale triedrului cartezian ortogonal.
Fiecare dintre vectorii are o componentă normală pe
planul corespunzător şi două componente tangenţiale situate în acest plan.
Prin urmare, putem scrie
(4.5)
componentele cu indici de acelaşi fel fiind tensiunile normale, iar
componentele cu indici diferiţi tensiunile tangenţiale. Dacă proiectăm relaţia
(4.4) pe axele de coordonate, găsim
(4.6)
61 Mecanica fluidelor
sau, sub forma matricială
(4.7)
În felul acesta, se pune în evidenţă faptul că starea de tensiune de pe o
suprafaţă elementară de orientare n este determinată de tensorul reprezentat
prin matricea pătrată din relaţia precedentă, respectiv de trei tensiuni
normale şi şase tensiuni tangenţiale. Ca urmare, tensorul de ordinul al doilea
din (4.7) se numeşte tensorul tensiune al lui Cauchy. Acesta este, de fapt,
prima mărime tensorială care a apărut în ştiinţă, iar denumirea de tensor,
generalizată ulterior, se datorează semnificaţiei sale fizice, componentele
sale fiind tensiunile normale şi cele tangenţiale,
. (4.8)
4.2. ECUAŢIA DE MIŞCARE
4.2.1. Expresia generală
Să considerăm un domeniu fluid cu frontiera , câmpul
vectorial al forţelor de masă f şi câmpul tensorial T fiind definite pe
închiderea . Impulsul masei de fluid din are expresia
şi în conformitate cu principiul variaţiei impulsului putem scrie
(4.9)
derivata în raport cu timpul a impulsului fiind egală cu rezultanta forţelor
care acţionează asupra fluidului. Cu ajutorul formulei (2.22), găsim însă
(4.10)
iar din ecuaţia de continuitate (2.61) rezultă
(4.11)
Ecuaţiile generale ale dinamicii fluidelor 62
astfel că, în cele din urmă, obţinem
(4.12)
şi ecuaţia (4.9) devine
. (4.13)
Formula lui Cauchy (4.4) ne permite să aplicăm formula lui Gauss
şi anume
(4.14)
iar ecuaţia (4.13) devine
şi prin urmare
. (4.15)
Aceasta este ecuaţia de mişcare a lui Cauchy şi dacă ţinem seama de
(2.7) mai putem scrie
. (4.16)
În proiecţie pe axele triedrului cartezian ortogonal Oxyz, avem
.
(4.17)
4.2.2. Simetria tensorului tensiunilor
În condiţiile precizate mai înainte, scriem momentul cinetic al masei
de fluid din care are expresia
63 Mecanica fluidelor
şi dacă aplicăm principiul variaţiei momentului cinetic putem scrie
(4.18)
derivata în raport cu timpul a momentului cinetic fiind egală cu momentul
rezultant al forţelor care acţionează asupra fluidului din .Tot din (2.22)
obţinem însă
(4.19)
sau
(4.20)
după ce utilizăm din nou ecuaţia de continuitate (2.61), respectiv formula
(4.11).Ca urmare, ecuaţia (4.18) devine
. (4.21)
Produsul vectorial fiind distributiv, din (4.4) rezultă
(4.22)
ceea ce permite să aplicăm formula lui Gauss
(4.23)
astfel că ecuaţia (4.21) ia forma
şi prin urmare
. (4.24)
După câteva calcule, găsim
Ecuaţiile generale ale dinamicii fluidelor 64
(4.25)
unde am ţinut seama de faptul că
şi de acela că
, , .
Din (4.15) rezultă însă că membrul stâng al ecuaţiei (4.25) este identic
nul şi prin urmare
(4.26)
Pe de altă parte, şi au expresiile (4.5) şi deoarece
,
,
găsim, în loc de (4.26)
sau
, , . (4.27)
Tensorul tensiunilor este deci simetric, existând numai trei tensiuni
tangenţiale diferite între ele.
În încheiere, menţionăm că formula (4.4), ecuaţia (4.15) ca şi relaţiile
(4.27) sunt valabile nu numai pentru fluide ci şi pentru orice mediu
continuu deformabil deoarece nu s-a utilizat la deducerea lor nici o ipoteză
restrictivă în acest sens.
Există însă medii continui, inclusiv fluide, la care apar momente
interne, ceea ce înseamnă că în acestea sunt cupluri masice şi de suprafaţă
repartizate. Formula (4.4) şi ecuaţia (4.15) rămân valabile dar ecuaţia
variaţiei momentului cinetic are altă formă şi în consecinţă tensorul
tensiunilor nu mai este simetric.
4.2.3. Legea constitutivă
65 Mecanica fluidelor
Ecuaţia de mişcare (4.15) nu poate fi utilizată în studiul mişcării
fluidelor decât dacă se stabileşte în prealabil o relaţie între tensorul
tensiunilor şi tensorul vitezelor de deformaţie. O astfel de relaţie se numeşte
legea constitutivă. Denumirea de lege şi nu de ecuaţie arată că relaţia la care
ne referim respectă principiul obiectivităţii sau al indiferenţei materiale ceea
ce înseamnă că nu depinde de sistemul de referinţă. Într-adevăr, ecuaţiile,
inclusiv acelea pe care le-am stabilit până în prezent, au forme care depind
de sistemul de referinţă adoptat.
În stabilirea acestei legi pentru fluidele reale, se consideră că acestea
sunt omogene şi izotrope, aşa cum am precizat de altfel în primul capitol.
De asemenea, forma generală a acestei legi este
(4.28)
şi conform celor spuse mai sus, tensorul tensiunilor T nu depinde de poziţia
r, iar funcţia f este independentă de orientarea axelor; de asemenea T este o
funcţie continuă de .
În sfârşit, atunci când fluidul este în repaus ( =0) avem , I
fiind tensorul unitate
. (4.29)
În aceste condiţii, fluidul real se mai numeşte şi stokesian, deoarece
definiţia dată mai sus corespunde cu ideile enunţate de Stokes. Se poate
arăta că o lege generală ce corespunde celor precizate mai înainte este
(4.30)
unde
, (4.31)
cu
(4.32)
în care sunt invarianţii scalari ai tensorului vitezelor de
deformaţie şi anume
, , (4.33)
expresii în care simbolul tr semnifică suma termenilor de pe diagonala
principală a matricei tensorului respectiv, iar simbolul det determinantul
acestei matrice; astfel, observăm că avem
. (4.34)
Ecuaţiile generale ale dinamicii fluidelor 66
În expresiile funcţiilor au fost incluse densitatea şi
temperatura fluidului deoarece tensorul depinde şi de starea termodinamică
a fluidului. În ceea ce priveşte presiunea, am arătat în primul capitol că există
o relaţie între aceasta, densitate şi temperatură (ecuaţia de stare).
Fluidele a căror lege constitutivă este (4.30) se numesc fluide Reiner
– Rivlin.
Legea (4.30) fiind complicată se utilizează diferite aproximaţii care se
bazează pe introducerea unor expresii polinomiale pentru funcţiile
fenomenologice . Astfel, aproximaţia de ordinul zero este
(4.35)
şi prin urmare
(4.36)
ceea ce reprezintă cazul fluidelor ideale, fără vâscozitate. Presiunea
termodinamică, introdusă în ecuaţia de stare, se confundă în acest caz cu
presiunea mecanică şi poate fi deci funcţie de densitate şi de temperatură.
În cazul în care presiunea depinde numai de densitate, fluidul se numeşte
barotrop.
În aproximaţia de ordinul întâi, avem
, , (4.37)
şi fiind funcţii de variabilele r şi T. Dacă ţinem seama de (4.34) legea
constitutivă (4.30) devine
(4.38)
fluidele pentru care este valabilă această lege numindu-se newtoniene.
În cazul particular al unui fluid incompresibil, legea (4.38) ia forma
. (4.39)
Precizăm că legea constitutivă (4.38) poate fi dedusă direct, utilizând
proprietatea de izotropie a fluidului, datorită căreia direcţiile principale ale
tensorilor simetrici T şi coincid, precum şi formula (4.36).
Din (4.38) rezultă, în coordonate carteziene ortogonale
(4.40)
67 Mecanica fluidelor
precum şi
(4.41)
şi se observă imediat că este vâscozitatea dinamică introdusă în primul
capitol. Într-adevăr, expresiile (4.41) conţin ca un caz particular legea lui
Newton prezentată acolo.
Din consideraţiile precedente rezultă că în fluidele în repaus ca şi în
cazul fluidelor ideale în mişcare nu există tensiuni tangenţiale, iar din (4.36)
rezultă
şi prin urmare presiunea este media aritmetică, cu semn schimbat, a
tensiunilor normale.
La fluidele reale în mişcare, putem defini o presiune medie tot ca
medie aritmetică, cu semn schimbat, a tensiunilor normale
(4.42)
sau, după utilizarea relaţiilor (4.40)
(4.43)
Presiunea mecanică astfel definită nu mai este deci aceeaşi cu
presiunea termodinamică decât dacă fluidul este incompresibil
sau dacă
(4.44)
ipoteză introdusă de Stokes. În cazul în care nu se acceptă această ipoteză,
se pune
(4.45)
unde este a doua vâscozitate sau vâscozitatea dilataţională, fiind
vâscozitatea de forfecare. Ca urmare, relaţiile (4.40) devin
Ecuaţiile generale ale dinamicii fluidelor 68
(4.46)
în timp ce relaţiile (4.41) rămân neschimbate.
Menţionăm însă că unii autori dau denumirea de a doua vâscozitate
chiar coeficientului .
Ipoteza lui Stokes este însă utilizată pe scară largă, chiar dacă este
contrazisă de unele fapte experimentale. Acceptarea acestei ipoteze, care nu
este necesară la fluidele incompresibile, se bazează pe faptul că sunt afectate
numai tensiunile normale, erorile introduse fiind mici.
4.2.4. Ecuaţia Navier – Stokes
În ecuaţia de mişcare a lui Cauchy (4.15), introducem pentru vectorii
tensiunilor , expresiile (4.5). Utilizând după aceea legea
constitutivă (4.38), respectiv expresiile (4.40) şi (4.41) ale tensiunilor
normale şi tangenţiale, cu ipoteza că şi sunt constante, găsim
(4.47)
unde este laplacianul vectorului viteză .
Aceasta este ecuaţia Navier-Stokes, iar dacă ţinem seama de
formula cunoscută
(4.48)
mai putem scrie
.(4.49)
Dacă nu acceptăm ipoteza lui Stokes (4.44), cu ajutorul relaţiei
(4.45) ecuaţia (4.47) devine
(4.50)
iar (4.49) ia forma
69 Mecanica fluidelor
.
(4.51)
În sfârşit, atunci când se adoptă ipoteza lui Stokes care, aşa cum se
observă din (4.44) şi (4.45) este echivalentă cu , ecuaţia (4.49) capătă
forma cea mai obişnuită şi anume
(4.52)
sau
. (4.53)
Dacă ne referim la forma (4.52) a ecuaţiei Navier – Stokes avem,
în proiecţie pe axele triedrului cartezian ortogonal Oxyz,
(4.54)
În cazul în care fluidul este incompresibil , ipoteza lui
Stokes nu mai este necesară iar ecuaţiile (4.47) şi (4.49) devin
, (4.55)
respectiv
. (4.56)
Proiecţiile ecuaţiei (4.55) pe axele triedrului cartezian ortogonal
Oxyz sunt
Ecuaţiile generale ale dinamicii fluidelor 70
,
, (4.57)
,
cu menţiunea că, de data aceasta, am scris dezvoltat expresiile
componentelor acceleraţiei conform formulelor (2.10).
În cazul raportării mişcării fluidului la un triedru mobil, viteza
absolută a fluidului, faţă de un sistem fix, are expresia
(4.58)
fiind viteza originii triedrului mobil faţă de cel fix, viteza unghiulară a
triedrului mobil faţă de cel fix, iar viteza relativă a fluidului în raport cu
triedrul fix.
După efectuarea unor calcule, asupra cărora nu insistăm deoarece sunt
cunoscute din cinematica solidelor, se obţine expresia acceleraţiei absolute
sub forma
(4.59)
în care punctul înseamnă derivarea în raport cu timpul iar derivata materială
a vitezei relative este calculată în sistemul mobil. Prin urmare, în ecuaţia
Navier – Stokes expresia precedentă (4.59) a acceleraţiei înlocuieşte pe
aceea considerată mai înainte.
4.3. ECUAŢIA IMPULSULUI
4.3.1. Expresia generală
71 Mecanica fluidelor
Considerăm ecuaţia (4.9) şi observăm că, în conformitate cu formula
(2.26) în care punem , putem scrie
(4.99)
fiind o mulţime mărginită fixă în E3 care coincide cu la t=t1. În felul
acesta, ecuaţia (4.9) devine
(4.100)
unde D, la care am omis indicele, este deci un domeniu din E3 ocupat de
fluid, a cărui frontieră este o suprafaţă regulată cu normala exterioară
n.
Observăm că (4.99) reprezintă de fapt forma lagrangiană a ecuaţiei
impulsului în timp ce (4.100) este forma euleriană a acestei ecuaţii. Dacă
introducem notaţiile
, (4.101)
ecuaţia (4.100) se scrie
(4.102)
formă sub care este utilizată de obicei în aplicaţii.
4.3.2. Ecuaţia impulsului pentru un tub de curent
Să considerăm o porţiune dintr-un tub de curent delimitată de
secţiunile normale S1 şi S2 (figura 4.3) şi să presupunem că mişcarea este
staţionară. Dacă ţinem seama şi de expresia debitului volumic elementar
dQ, ecuaţia (4.102) devine
(4.103)
Figura 4.3
Ecuaţiile generale ale dinamicii fluidelor 72
deoarece, conform definiţiei tubului de curent, debitul prin suprafaţa laterală
Sl a acestuia este nul. Dacă S1 şi S2 sunt suficient de mici, putem admite că
vitezele de pe acestea, v1 respectiv v2 sunt constante astfel că putem scrie
,
dacă ţinem seama de orientarea versorilor n1 şi n2 ai normalelor pe S1,
respectiv S2 şi introducem debitul masic Qm. Mişcarea fiind staţionară,
acest debit este constant, conform formulei (2.69) şi prin urmare, în cele
din urmă avem
, (4.104)
şi ecuaţia (4.103) se scrie
(4.105)
având, sub această formă, diferite aplicaţii practice, după ce se explicitează
forţele de masă şi de suprafaţă. Precizăm de asemenea că (4.105), aşa cum
se poate constata imediat, este valabilă atât pentru fluidele compresibile cât
şi pentru cele incompresibile.
4.4. ECUAŢIA MOMENTULUI CINETIC
4.4.1. Expresia generală
Referindu-se la ecuaţia (4.9), observăm, la fel ca în cazul precedent
(figura 4.4), dacă punem în (3.25) obţinem
Figura 4.4
73 Mecanica fluidelor
(4.106)
şi având semnificaţiile cunoscute.
Mai departe, procedând la fel ca şi în cazul ecuaţiei impulsului, găsim
. (4.107)
Dacă introducem notaţiile
, (4.108)
ecuaţia (4.107) se scrie
(4.109)
această formă fiind utilizată în mod curent în aplicaţii.
4.4.2. Ecuaţia momentului cinetic pentru un tub de curent
Presupunând, ca şi în cazul ecuaţiei impulsului că mişcarea este
staţionară şi introducând expresia debitului volumic elementar dQ, ecuaţia
(4.109) devine
. (4.110)
Dacă S1 şi S2 sunt şi de data aceasta suficient de mici, putem utiliza
aceeaşi ipoteză relativă la vitezele şi , găsind astfel
,
cu aceeaşi observaţie referitoare la orientarea versorilor n1 şi n2. Ca urmare
la ipoteza referitoare la S1 şi la S2, am introdus razele vectoare r1 şi r2 ale
centrelor acestor secţiuni.
Dacă ţinem seama de (2.69) putem scrie
,
(4.111)
ajungând astfel la ecuaţia
Ecuaţiile generale ale dinamicii fluidelor 74
(4.112)
utilizabilă în aplicaţii după explicitarea momentelor forţelor de masă Mm,
respectiv al forţelor de suprafaţă Ms. Ca şi (4.105), ecuaţia (4.112) este
valabilă atât pentru fluidele compresibile cât şi pentru cele incompresibile.