18.predavanje

8/19/2019 18.predavanje

1/21

1

ba

b

a

xF aF bF dx x f |)()()()( ≡−=∫

Primjer 1. Izračunati I x dx= +∫ ( )2 31

11

Jedna od primitivnih funkcija funkcijef(x) = 2x + 3 je F(x) = x2 + 3x, pa je

I F x F F= = − = − =( )| ( ) ( )111 11 1 154 4 150

Njutn-Lajbnicova formula


2/21

2

13.3-3 Neka svojstva određenih

integrala

b a

a bf (x)dx f (x)dx b a= − >∫ ∫

a

a

f (x)dx F(a) F(a) 0= − =

∫

( )f x dx f x dx f x dx f x dx a b c d

a

d

a

b

b

c

c

d

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫= + + < < <

]cdx cx c b aa

b

a

b

∫ = = −( )


3/21

3

13.3-3 Neka svojstva određenih

integralab b

a af (x)dx f (x)dx− = −∫ ∫

kf x dx k f x dxa

b

a

b

∫ ∫=( ) ( )

[ ]f x g x dx f x dx g x dxa

b

a

b

a

b

( ) ( ) ( ) ( )± = ±∫ ∫ ∫

vdu uv udva

b

a

b

a

b

∫ ∫= −


4/21

4

13.3-4 Još jedan osvrt na određeni

integral

( ) ( ) ( ) c xF t F dt t f x

a

x

a

+==∫

( ) ( ) ( ) ( )aF bF xF dx x f b

a

b

a

−==∫

)(aF c −=


5/21

5

Računanje površine

dx x f P

b

a∫= )(

y

0 xa b

f(x)


6/21

6

dx x f P

b

a∫−= )(

y

0 x

a b

f(x)


7/21

7

0

y

xa b

f(x)

g(x)

( )dx xg x f P

b

a∫ −= )()(


8/21

8( ) ( ) ( )dx x f x f dx x f x f dx x f x f

PPPP

a

a

a

a

a

a ∫∫∫ −+−+−

=++=

4

3

3

2

2

1

)()()()()()( 323141

321

0

y

x

f 4(x)

a4

a3

a2a1

P3P2

P1

f 3(x)

f 2(x)

f 1(x)


9/21

9

Primjer

P P xdx e xdxOAMN

e e

= − = − ∫ ∫ln ln1

2

1

2 2

2

Izračunati površinu ograničenu koordinatnim osama,paravom y = 2 i grafikom funkcije y = lnx integracijom:

a) duž Ox-ose, b) duž Oy-ose.

.

ln xdx

e

1

2

∫

ln lnxdx x x xx

dx e e e

e

e

e

1

1

1

2 2 2

2

2

2

2 1 1∫ ∫= − = − + = +

radimo parcijalnom

integracijom: u = lnx; dv = dx,

pa je du = dx/x i v = x. Otuda je:

pa se dobija P = 2e2

- e2

- 1 = e2

- 1.


10/21

10

.

P f y dy= ∫ ( )0

2

P e dy e ey y= = = −∫0

2

0

2 2 1

b) Duž y-ose je za integraciju jednostavniji slučaj jer je

gdje je f(y) = ey (iz y = lnx ⇒ x = ey). Dakle,


11/21

11

13.4 Nesvojstveni integral13.4-1 Beskonačne granice integracije

13.4-2 Neograničena podintegralna funkcija


12/21

12

13.4-1 Beskonačne granice

integracije• F(∞) and F(-∞) ne postoje, jer ∞,-∞ ∉R .

• U tom slučaju primjenjuje se konceptgranične vrijednosti.

f x dxa

∞

∫ ( )

b

a a

c c

d

lim

f (x )dx f (x )dxb

limf (x )dx f (x )dx

d

∞

−∞

=∫ ∫→ ∞

=∫ ∫

→ −∞


13/21

13

13.4-2 Neograničena podintegralna

funkcija

• I pored toga što su granice integracije

konačne, integral može biti nesvojstveniako je podintegralna funkcijaneograničena na [a, b]. Ponovo

primjenjujemo koncept limesa.

1

0

1 dx.x

∫ 626lim0 =−→ aa


14/21

14

13.5 Neke ekonomske primjene

integrala

13.5-1 Od granične do ukupne funkcije

13.5-2 Investicije i akumulacija kapitala


15/21

15

13.5-1 Od granične do ukupne

funkcije

• Diferenciranjem ukupne funkcije (npr.

troškova) dobija se granična funkcija• Integracijom granične funkcije dobija se

ukupna


16/21

16

13.5-2 Investicije i akumulacija

kapitala

• Akumuliranje kapitala je proces

uvećavanja datog kapitala• Kapital = K(t).

( )t I dt

dK =

( ) ( )∫= dt t I t K


17/21

17

13.6 Domarov model rasta13.6-1 Okvir modela

13.6-2 Traženje rešenja


18/21

18

13.6-1 Okvir modela• Bilo koja promjena godišnje stope investicija I(t)

daje dualni učinak: utiče na agregatnu tražnju i naproizvodni kapacitet ekonomije

• Promjene I(t) utiču na tražnju preko multiplikatoraza koji se pretpostavlja da djeluje trenutno (k =

1/s, gdje je s marginalna sklonost štednji; s=1-b,b-marginalna sklonost potrošnji- uveli smo je kodKejns-ovog modela nacionalnog dohotka)

• Uticaj investicija na kapacitet može se mjeriti

promjenom stope potencijalne proizvodnje koju jeekonomija sposobna proizvesti. ρ ≡ κ /K je odnoskapaciteta i kapitala


19/21

19

13.6-1 Okvir modela• Uticaj promjene

investicija na dohodak• Uticaj promjene

kapitala na kapacitet

• Uslov ravnoteže,Promjena tražnjesvodi se na

uravnoteženjepromjene u kapacitetui agregatnoj tražnji

sdt

dI

dt

dY 1

=

I dt

dK

dt

d

ρ ρ ==

dt

d

dt

dY =


20/21

20

13.6-2 Traženje rešenja• Pronalaženje

ravnotežne putanjeinvesticija

I sdt

dI ρ =

1

sdt I

dI

ρ =

sdt

I

dI ∫∫ = ρ

21ln cst c I +=+ ρ

cst ee I

ρ =

st e I t I ρ )0()( =


21/21

21

• Da bi se održala ravnoteža između kapaciteta i

tražnje u vremenu, stopa kretanja investicija

mora rasti po eksponencijalnoj stopi ρs• Problem ako se stvarna stopa rasta r razlikuje od

zahtijevane stope ρs!

Documents

18.predavanje