在 Rt△ABC 中，∠ C ＝ 90° ，根据下列条件解直角三角形；

（ 1 ） a = 30 , b = 20 ;

(2) ∠B ＝ 72° ， c = 14.A

B

Cb=20

a=30c

（ 2 ）两锐角之间的关系 ∠A ＋∠ B ＝ 90°

（ 3 ）边角之间的关系

c

aAA

斜边的对边

sinc

bBB

斜边的对边

sin

c

bAA

斜边的邻边

cosc

aBB

斜边的邻边

cos

b

a

A

AA

的邻边的对边

tana

b

B

BB

的邻边的对边

tan

（ 1 ）三边之间的关系 222 cba A

Ba

bc

C

在解直角三角形的过程中，一般要用到的一些关系：

例 3 ： 2003 年 10 月 15 日“神舟” 5 号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变轨后，就在离地球表面 350km 的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地球表面上 P 点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？这样的最远点与 P 点的距离是多少？（地球半径约为 6 400km ，结果精确到 0.1km ）

分析：从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点．

·O

Q

F

P

α 如图，⊙ O表示地球，点 F是飞船的位置， FQ是⊙ O的切线，切点Q是从飞船观测地球时的最远点． 的长就是地面上 P、 Q两点间的距离，为计算 的长需先求出∠ POQ （即 a）

PQPQ

PQ

解：在图中， FQ 是⊙ O 的切线，△ FOQ 是直角三角形．

95.03506400

6400cos

OF

OQa

18a

∴ PQ 的长为

6.200964014.36400180

18

当飞船在 P 点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离 P 点约 2009.6km

·O

Q

F

P

α

例 4: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30° ，看这栋高楼底部的俯 角为 60° ，热气球与高楼的水平距离为 120m ，这栋高楼有多高（结果精确到 0.1m ）

分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中， a=30°,β=60°

Rt△ABC 中， a =30° ， AD ＝ 120 ，

所以利用解直角三角形的知识求出

BD；类似地可以求出 CD，进而求出 BC．

A

B

C

Dα

β

仰角 水平线

俯角

解：如图， a = 30°,β= 60° ， AD ＝ 120 ．

AD

CD

AD

BDa tan,tan

30tan120tan aADBD

3403

3120

60tan120tan ADCD

31203120

3120340 CDBDBC

1.2773160

答：这栋楼高约为 277.1m

A

B

C

Dα

β

1. 建筑物 BC 上有一旗杆 AB ，由距 BC40m的 D 处观察旗杆顶部 A 的仰角 54° ，观察底部 B 的仰角为 45° ，求旗杆的高度（精确到 0.1m ）

A

B

CD 40m54° 45°

A

B

CD 40m54° 45°

解：在等腰三角形 BCD 中∠ ACD=90°

BC=DC=40m

在 Rt△ACD 中

tanAC

ADCDC

tanAC ADC DC

tan 54 40 1.38 40 55.2

所以 AB=AC － BC=55.2 － 40=15.2

答：棋杆的高度为 15.2m.

练习 练习

2. 如图，沿 AC 方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从 AC 上的一点 B 取∠ ABD = 140° ， BD = 520m ，∠ D=50° ，那么开挖点 E 离 D 多远正好能使 A ， C ， E 成一直线（精确到 0.1m ）

50°

140°

520m

A B C E

D

∴∠BED= ABD∠ －∠ D=90°

cosDE

BDEBD

cosDE BDE BD

cos50 520 0.64 520 332.8

答：开挖点 E 离点 D 332.8m 正好能使 A ， C ， E 成一直线 .

解：要使 A 、 C 、 E 在同一直线上，则 ∠ ABD 是 △ BDE 的一个外角

名言：聪明在于学习，天才在于积累。……所谓天才，实际上是依靠学习。

_____ 华罗庚