4. LJULJANJE BRODA NA REGULARNIM TALASIMA 86 broda na talasima/ponasanje... · nζ– prigušenje broda pri poniranju Hidrodinamičku komponentu Fizičko objašnjenje uvedenih parametara

PONAŠANJE BRODA NA TALASIMA ____________________________

PREDAVANJA 2009. 1

SADRŽAJ

UVOD 4

1. KOMPONENTE LJULJANJA BRODA I POLAZNE JEDNAČINE 7

2. LULJANJE BRODA NA MIRNOJ VODI 10

2.1. Poniranje broda 10j2.2. Valjanje broda 142.3. Posrtanje broda 172.4. Spregnuto poniranje i posrtanje broda 192.5. Hidrodinamički koeficijent u jednačinama ljuljanja 28

3. TALASI NA PLOVNOM PUTU 343 1 Hid di ičk ij l 353.1. Hidrodinamička teorija talasa 353.2. Statistička teorija talasa 55


PREDAVANJA 2009. 2

4. LJULJANJE BRODA NA REGULARNIM TALASIMA 86

4.1. Prinudne sile i momenti 87

4.2. Prenosne funkcije ljuljanja broda 94

4.3. Plovidba na bočnim talasima 98

4.4. Plovidba ka talasima 112

4.5. Plovidba na kosim talasima 132

4.6. Spregnute jednačine ljuljanja broda 133

4.7. Dopunski problemi valjanja broda 135

4.7.1. Prigušenje pri valjanju 1354.7.2. Nelinearno valjanje 1374.7.3. Parametarsko valjanje 140


PREDAVANJA 2009. 3

5. LJULJANJE BRODA NA NEREGULARNIM TALASIMA 147

5.1. Spektri i statističke vrednosti ljuljanja broda 152

5.2. Posledice ljuljanja broda 158j j j

5.2.1. Zalivanje palube, izletanje propelera, sleming 1585.2.2. Dodatni otpor i smanjenje brzine 1685.2.3. Dinamička opterećenja broda na talasima 1775.2.4. Uticaj ljuljanja na putnike i posadu 188

5.3. Kriterijumi pomorstvenosti 200

5 4 M ć ti b ljš j t ti b d 2045.4. Mogućnosti poboljšanja pomorstvenosti broda 204

5.4.1. Plovidba ka talasima 2045.4.2. Plovidbe na bočnim talasima 2165.4.3 Stabilizatori valjanja 219

5.4.3.1. Pasivni stabiliztori 2195.4.3.2. Aktivni stabiliztori 232

5.5. Operativnost broda 248


PREDAVANJA 2009. 4

UVOD

Ponašanje broda na talasima, Pomorstvenost broda,

Do sada (u svim predmetima) proučavali brod na mirnoj vodi

Predmet IX (III) semestra, fond 3+2

Nema projekata i grafičkih radova (za sada)

Seakeeping U stvarnosti

Ispit: pismeni + usmeni

Literatura

“Hendsauti” sa predavanja

Knjiga: Milan Hofman, Ponašanje broda na talasima u pripremina talasima, u pripremi...

A.R.J. Lloyd, Seakeeping: Ship Behavior in Rough Weather, Lloyd 1998.

itd.

Površina mora je često uzburkana...

Vetar stvara talase, koji dovode do ljuljanja broda...


PREDAVANJA 2009. 5

Statistički gledano, mirno more (visina talasa 0-1 m,svetski prosek ) 30% vremena

Na severnom Atlantiku 20%...

U preostalih 70 80% slučajeva more je uzburkano

Sve posledice ljuljanja su negativne...

Jače oluje, dovode do jačeg ljuljanja...U preostalih 70-80% slučajeva, more je uzburkano...

Većinu vremena brod se ljulja na talasima...

Nekoliko posledica ljuljanja

• Neprijatno za putnike i posadu

“otežan rad” postaje “onemogućen”...javlja se opasnost od brodoloma –prevrtanja broda, pucanja konstrukcije itd.

Većina brodskih nesreća desila Neprijatno za putnike i posadu,

• Otežan rad posade,• Otežan rad brodskih uređaja,• Otežano izvršenje zadatka (tegljenje, spasavanje, gađanje, sletanje helikoptera, utovar/istovar...),• Smanjenje brzine plovidbe (namerno i spontano),

se na uzburkanom moru...

Predmet: kako smanjiti ljuljanje i njegove posledice....

Treba proučiti ljuljanje, predvideti l di i (k lik j t ć )S a je je b e p ov dbe ( a e o spo ta o),

• Dodatne dinamičke sile (dovode do opterećenja konstrukcije, pomeranja tereta...),• Sleming, zalivanje palube, izletanje propelera...itd...

posledice i (koliko je to moguće) poboljšati pomorstvenost broda...


PREDAVANJA 2009. 6

Proboj je načinjen 1950-70, prelaskom na realne (neregularne) talase, i razvojem tzv. “strip teorije”...

Proračun pomorstvenosti je prvo

Predmet je težak...

o aču po o stve ost je p voprimenjivan u ratnoj brodogradnji, ali se danas proširio i na komercijalne brodovei postao jedan od osnovnih brodskih proračuna...

Ljuljanje deluje zastrašujuće ne samo za ljude na brodu, već i za nas koji treba da ga proučavamo...

Ali, takav je put po kome od pamtiveka plove brodovi

Proračun je obiman, i sprovodi se (komercijalnim) programima iz pomorstvenosti...

Treba znati koristiti programe...plove brodovi...

Istorijski, sa proučavanjem ljuljanja broda je započeto krajem 19. veka (Frud, Krilov), stiglo se do tzv. regularnih (sinusnih) talasa, i zapalo u ćorsokak...

Ali, krenimo redom...


PREDAVANJA 2009. 7

Šest generalisanih koordinata,šest “ljuljanja”, su

1. KOMPONENTE LJULJANJA BRODA I POLAZNE JEDNAČINE

ξG - zaletanje (surge),ηG - zanošenje (sway),ζG – poniranje (heave),φ - valjanje (roll),ψ - posrtanje (pitch),θ - zakretanje (yaw)θ zakretanje (yaw),

B G Rm a F⋅ =šest stepeni slobode...

Uvodimo dva koordinatna sistemasopstveni sistem x, y, z (sistem vezan za

Koristimo Njutnov zakon

i Zakon o promeni momenta

Brod na talasima je kruto telo koje vrši opšte kretanje...

GG

dLM

dt=

brod) sa poćetkom u G,i inercijalni sistem ξ, η, ζ, sa početkom u O .Kada brod pliva u ravnoteži, bez trima i nagiba, sistemi se poklapaju...

količine kretanja (za težište G)

zamisli...


PREDAVANJA 2009. 8

GD Fξξ⋅ =

Projektovanjem Njutnovog zakona na tri inercijalne ose sledi

( ) ( )x z y xz xJ J J J Mϕ ψθ θ ϕψ+ − − + =

( ) ( )2 2y x z xz yJ J J J Mψ ϕθ ϕ θ+ − + − =

( ) ( )z y x xz zJ J J J Mθ ψϕ ϕ ψθ+ − − − =GD Fηη⋅ =

GD F D gζζ⋅ = − ⋅

F W F vetar= + +

Pri čemu je

Osa y – glavna osa inercije... ,xy yx yz zyJ J 0 J J 0= = = =

Jxz = Jzx postoji... ali je mali u odnosu na aksijalne momente inercije, Jxz « Jx , Jy , Jz

R VF W F vetar= + +

BW m g= ⋅

( ), ,V VF F F F Fξ η ζ=

Bm D=

Pretpostavljamo, takođe, da su kretanja mala...φ(t), ψ(t), θ(t) « 1

Pretpostavka dobra za posrtanje i zakretanje, ali sumljiva za valjanje...

J Mϕ =Projektovanjem Zakona o promeni momenta količine kretanja na tri sopstvene ose, sledi

x xJ Mϕ =

y yJ Mψ =

z zJ Mθ =

Jednačine ne deluju “opasno”... ali


PREDAVANJA 2009. 9

Desnu stranu jednačina čine hidrodinamičke sile i momenti...

Sprega Dinamike i Mehanike fluida...

Na svaki element podvodnog dela

2 2 2

2 2 2 0φ φ φξ η ζ∂ ∂ ∂+ + =∂ ∂ ∂

Važi Laplasova jednačina

i Koši-Lagranžov integral Ojlerove jednačine...φ∂Na sva e e e t podvod og de a

broda deluju p i τ ... ( , , , ) at

2 2 212

p t p gtφξ η ζ ρ ζ ρ

φ φ φρξ η ζ

∂= − − −∂

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎢ ⎥− + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫

Zanemarujemo viskoznost... τ = 0

Strujanje je potencijalno

V

S

F pndS= −∫Postupak, u principu: rešiti Laplasovu jednačinu sa odgovarajućim graničnim uslovima....

(pokušaćemo da izbegnemo...)Strujanje je potencijalno...

( , , , )tφ φ ξ η ζ=Potencijal brzine Postoje šest ljuljanja, šest pomeranja u odnosu na ravnotežni položaj...

Samo za tri kretanja, to je položaj stabilne ravnoteže... rezonancija...

Pretpostavka opravdana...sem za valjanja...

koja?


PREDAVANJA 2009. 10

2. LJULJANJE BRODA NA MIRNOJ VODI

Problemi ljuljanja broda na mirnoj vodi, sami po sebi, nemaju veći tehnički značaj za brodogradnju

Kada je brod u ravnoteži, O = G

ζKada ponire, važi

tehnički značaj za brodogradnju...

Međutim, dovoljno su jednostavnida preko njih uvedemo...

2.1. Poniranje broda


S

F pndSζ ν= − ⋅∫formalno je

op p p′= +

Ali d ( d ) i b L l...

( )oF F Fζ ζ ζ′= +

( )oF gVζ ρ=

Ali, da (za sada) izbegnemo Laplasovu jednačinu... pretpostavljamo direktno

Hidrostatička komponenta (prema Arhimedovom zakonu)

Pretpostavljamo

Tražimo ζG (t) = ?

gζ ρ

( )oo G VLF gV g Aζ ρ ρ ζ= −

, , o0 0 v 0ϕ ψ= = =

oV V V ′= −( ) ( )G VLV V t t Aζ′ ′= ≈ za ζG « 1


PREDAVANJA 2009. 11

G GF n mζ ζ ζζ ζ′ = − −

jeste dinamička

mζ – dodatna masa broda pri poniranju.

nζ – prigušenje broda pri poniranju

Fizičko objašnjenje uvedenih parametaraHidrodinamičku komponentu pretpostavljamo u obliku

,G G0 0ζ ζ= =

jeste d a č a

F 0ζ′ =→

jeste linearna...ali fizički smisao??

Odakle prigušenje, kada smo zanemarili viskoznost vode?

S đi j l di

talasi...


( )

G o G VL G G

o

D gV g A n m D g

F Fζ ζ

ζ ζ

ζ ρ ρ ζ ζ ζ⋅ = − − − − ⋅

′

ζ ζ ζ

2G G G2 0ζ ζζ μ ζ ω ζ+ + =

( )n

2D 1ζ

ζζ

μκ

=+

Sređivanjem, sledi

( ) G G VL GD m n gA 0ζ ζζ ζ ρ ζ+ + + =

( )VL

o

gAV 1ζ

ζ

ωκ

=+

mDζ

ζκ =Prepoznajemo diferencijalnu jednačinu slobodnih prigušenih oscilacija...


PREDAVANJA 2009. 12

( ) sin( )tG ot e tζμ

ζ ζζ ζ ω γ−= −

2ζμ

( )g

T 1ζζ

αωδ κ

=+

2π

Rešenje jednačine...

221 1 Ψζ

ζ ζ ζ ζζ

μω ω ω

ω= − = −

ζζ

ζ

μΨ

ω=

Ψ 1< l č j l b i š j

2Tζζ

πω

=

( )T 1T 2

gζ

ζ

δ κπ

α+

=

ζΨ 1<

ζΨ 1 ζ ζω ω≈→

slučaj slabog prigušenja

slučaj veoma slabog prigušenja

Prema tome, brod vrši poniranje t f k ij

U izrazima se javlja koeficijent dodatne mase, koji (još uvek) ne umemo da odredimo...Preskočili smo Laplasovu jednačinu...

?

sopstvenom frekvencijom

( ) ( )VL

o

gA g LBV 1 LBT 1ζ

ζ ζ

αωκ δ κ

= =+ +

( )1ζκ = O

Ali, i bez detaljnog proračuna, važi

i ne sme se zanemariti


PREDAVANJA 2009. 13

( )T 1T 2 2 K T

gζ

ζ ζ

δ κπ π

α+

= =

Ključni parametar je vertikalni prizmatični koeficijent

vδϕα

=

ć j i š j

Sopstveni period poniranja može se izraziti kao

( )( ) /

1K 0,37 0,47 m s

gζ

ζ

δ κα+

= = ÷

( )T 2,3 3 Tζ = ÷ T 3 13 sζ = −

I i š j ž t č d diti

Veće φv , manje prigušenje...

ζΨ 0,15 0,25= −Kod uobičajenih brodskih formi

Dinamičke reakcije ζΨ 1 ?

I prigušenje ne možemo tačno odrediti bez detaljnijeg proračuna...

Ali, prigušenje je posledica talasa...

veći talasi koje stvara brod svojim poniranjem, veće prigušenje...

( ) ( ) sin( )tA G ot t e tζμ

ζ ζζ ζ ζ ω γ−= = −

A Nma F mg= −

( )N AF mg m tζ= +

Da li veće prigušenje pri poniranju imaju brodovi sa uspravnim ili trouglastim rebrima...?

n nζ ζ>⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦V UVaži statička + dinamička reakcija

...


PREDAVANJA 2009. 14

2.2 Valjanje broda0MMmJ strx =+++ )()()( ϕϕϕϕ

( ) ( )1 2M n n nϕ ϕ ϕ ϕ= + + ≈

,stM gD MG za 1ϕ ϕ≈ ⋅ ⋅( ) ( ) ...rM n n nϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ= + + ≈

( ) 0xJ m n gD MGϕ ϕϕ ϕ ϕ+ + + ⋅ ⋅ =

22 0ϕ ϕϕ μ ϕ ω ϕ+ + =

x xJ Mϕ =Važi

ϕ ϕ

x

gDMGJ mϕ

ϕ

ω =+ 2( )x

nJ m

ϕϕ

ϕ

μ =+

( ) sin( )tt tϕμϕ ϕ ω γ− +

PretpostavljamoTražimo φ(t) = ?

,G 0 0ζ ψ= =

( )ox x xM M M ′= +( ) ( )ox stM M ϕ= −

)(ϕϕϕ rx MmM −−=′

( ) sin( )ot e tϕμϕ ϕϕ ϕ ω γ= +

( )Ψ 0,1 1ϕϕ

ϕ

μω

= =Ο( )ϕ ϕω ω≈

malo, ali na njega utiče i trenje...


PREDAVANJA 2009. 15

2x xJ D j= ⋅

x

1 gMGj 1ϕ

ϕ

ωκ

=+

12 κπ + T Tϕ ζ>

Period se (zbog MG) menja u širokim granicama...

T 6 40 sϕ = −

Možemo pisati

za uobičajene 12 2 xT jgMG

ϕϕ

ϕ

κπ πω

+= =

( )x

m0,1 1

Jϕ

ϕκ = = O

2 xjTπ

≈

ϕ ζ

poznata formula iz predmeta

Dobili veoma slične rezultate za

Diferencijalne jednačine istog tipa...javljaju se dodatne mese, prigušenja,

a uob čaje ebrodske forme

( ), ( )G t tζ ϕ

TgMG

ϕ ≈

Bcjx ⋅= c = 0,3 – 0,4

iz predmeta Plovnost i stabilitet broda...

Prema IMO Kriterijumu vremenskih

javljaju se dodatne mese, prigušenja, sopstvene frekvencije...

Treba uočiti razlike ovih kretanja

( ) ?1ζκ = =O 1ϕκ

Ψ 1Ψ ??Ψ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

100L0,043

TB0,0230,372

πg

c

e a O te ju u v e e suslova... ,ζΨ 1ϕΨ < ??Ψϕ =

( )G t 1ζ

( )t 1ϕ ?


PREDAVANJA 2009. 16

Uticaj utovara teretaDinamičke reakcije

( )o o o P S

o

D M G m z zMG

D m− −

=+

2 2

ox x o oJ J G G D PG m= + +

2, ,A AN ATv r a r a rϕ ϕ ϕ= ⋅ = ⋅ = ⋅2

z A AF mg my mzϕ ϕ= + −2

y A AF mg mz myϕ ϕ ϕ= − −

Opet postoje statičke i dinamičke reakcijex

xo

Jj

D m=

+

Slično i pomeranje tereta...y zF Fμ>

Dodatno, ukoliko je teret slobodno oslonjen (nefiksiran), javlja se problem proklizavanja...

Opet postoje statičke i dinamičke reakcije...


PREDAVANJA 2009. 17

2.3. Posrtanje broda 22 0ψ ψψ μ ψ ω ψ+ + =

( )2y

n2D j 1

ψψ

ψ

μκ

=+y ψ

( )L

y

g M G1j 1ψ

ψ

ωκ

=+

( ) sin( )tt e tψμψ ψ ω γ−= +Pretpostavljamo ,G o0 v 0ζ = =

y yJ Mψ =( )o

y y yM M M ′= +( ) ( )o LM M gD M G ψ= − ≈ − ⋅ ⋅

( ) sin( )ot e tψψ ψψ ψ ω γ= +

Rezultat veoma sličan valjanju..??

( )m

1Jψ

ψκ = = O

p jTražimo ψ(t) = ?

G oζ

Ali

y st LM M gD M G ψ= ≈

yM n mψ ψψ ψ′ = − −

( )y LJ m n gD M G 0ψ ψψ ψ ψ+ + + ⋅ ⋅ =

yJ

2y VL y

L Lo o

I A iM G M F

V V′ ′≈ = =


PREDAVANJA 2009. 18

,y y y yI I i i′ ′= = (?)

,o VLV LBT A LBδ α= =ψ ζκ κ≈ y yi j≈

Za uobičajene brodske forme važi

Sledi

( ) ( )yL

y y

ig M G1 gj 1 j T 1ψ

ψ ψ

αωκ δ κ

= = ⋅⋅ ⋅ =+ +

( )yj T 12T 2 ψδ κπ π+

= =

, T Tψ ζ ψ ζω ω≈ ≈

T T Tζ ψ ϕ≈ <Prema tome

Što ima dalekosežne posledicey

T 2i gψ

ψ

πω α

= =

Izrazi veoma slični izrazima za sopstvenu frekvenciju i sopstveni period poniranja, i ta sličnost nije

f l

ψψ ζ

ψ

μΨ Ψ

ω= ≈

Što ima dalekosežne posledice...(rezonancija)...

Takođe je

samo formalna...tako da su, za uobičajene brodske forme, poniranje i posrtanje veoma slična kretanja...


PREDAVANJA 2009. 19

2.4. Spregnuto poniranje i posrtanje broda

Kretanje pojedinih tačaka broda je različito...

Delimo brod na elemente (trake)

Pretpostavljamo da brod istovremeno ponire i posrće

Kretanje sa 2 stepena slobode ( ) ( )t tζ ψ

( )dužine dx

na svaku traku deluje elementarna sila df

Ukupnu silu dobijamo integracijom...Kretanje sa 2 stepena slobode ( ), ( )G t tζ ψ

( )G t 0ξ =

G se kreće vertikalno, po osi ζ ...

Pretpostavljamo da nema zaletanja

b d ši k k t j

Treba uočiti (dokazati) • da se sve trake, kreću približno vertikano...• da je strujanje oko traka ravansko, u ravni ogovarajućeg

b

Pretpostavljamo (za sada) i da nema napredovanja broda, vo = 0


y yJ Mψ =

a brod vrši ravansko kretanja...

Diferencijalne jednačine kretanja slede iz

rebra• da su sile df približno vertikalne

To je posledica malog ugla ψ, i vitkosti forme uobičajenih brodova...


PREDAVANJA 2009. 20

Posmatrajmo brzinu proizvoljne tačke broda A

Tačke broda se kreču približno vertikalno....

Važi ( )A Av f xζ =

GA G Av v v= +

( )A Afζ

Sve tačke jedne trake imaju (približno) istu brzinu

Trake se kreću vertikalno, brzinom

A G Axζ ζ ψ≈ −A G Av v v+

, GG G A Av v rζ ψ= = ⋅

cosA A G A A G Av r xζ ζ ζ ψ α ζ ψ= ≈ − = −

sinA A A A Av r zξ ξ ψ α ψ= ≈ =

A G Axζ ζ ψ

Pomeranje trake je

A A G Av dt xζζ ζ ψ= ≈ − ⋅∫Ubrzanje trake je

A Av vζ ξ

Važi

Ubrzanje trake je

AA A G A

dva x

dtζ

ζ ζ ζ ψ= = ≈ − ⋅


PREDAVANJA 2009. 21

Pri vertikalnom kretanju trake...

strujanje vode oko trake je (približno) ravansko – u ravni rebra

T j l di i itk f d

( ) ( )AdV t b x dxζ′ ≈ ⋅

( ) ( )odf g dV b dxρ ζ=

( ) ( )odV t dV dV t′= −

To je posledica i vitke forme, odnosno male promene forme broda u uzdužnom pravcu...

Elementarna sila df koja deluje na traku, posledica je pritiska p, i (približno) je vertikalna...

( ) ( )o Adf g dV b dxρ ζ= − ⋅

( )oo Gdf gdV g b dx gx b dxρ ρ ζ ρ ψ= − ⋅ + ⋅

(p ) j

Pa je ukupna vertikalna sila (koja ulazi u jednačinu poniranja)

L

F dfζ ≈ ∫L

( )odf df df ′= +( )odf g dVρ= ⋅


PREDAVANJA 2009. 22

( ) ( )o oo G

L L L L

F df g dV g bdx g xbdxζ ρ ρ ζ ρ ψ= = − +∫ ∫ ∫ ∫L

m dx mζ ζ′ =∫

Sledi

Treba prepoznati pojedine integrale

Integrali u izrazu za hidrodinamičku silu su

o o

L

dV V=∫ VL

L

bdx A=∫ VL C VL

L

xbdx S x A= =∫( )o

VL G VL CF gD gA gA xζ ρ ζ ρ ψ= − ⋅ + ⋅

L

L

n dx nζ ζ′ =∫

m xdx mζ ζ′ =∫

Treba prepoznati pojedine integrale

i “mešoviti” članovi

A Adf dn dmζ ζζ ζ′ = − −

,dm m dx dn n dxζ ζ ζ ζ′ ′= ⋅ = ⋅

( )m m xζ ζ′ ′= ( )n n xζ ζ′ ′=

L

m xdx mζ ζψ∫

L

n xdx nζ ζψ′ =∫Dodatna masa i

i š j j d či i

(kao i u prethodnim izvođenjima)

( ) ( )G Gdf m x dx n x dxζ ζζ ψ ζ ψ′ ′ ′= − − − −

G G

L L L L L

F df m dx n dx m xdx n xdxζ ζ ζ ζζ ζ ψ ψ′ ′ ′ ′ ′ ′= = − − + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

prigušenje u jednačini poniranja, usled posrtanja broda...


PREDAVANJA 2009. 23

( )oG

VL G C VL G G

D F F gD

gD gA gx A m n m n gDζ ζ

ζ ζ ζψ ζψ

ζ

ρ ζ ρ ψ ζ ζ ψ ψ

′= + − =

= − + − − + + −

G GF m n m nζ ζ ζ ζψ ζψζ ζ ψ ψ′ = − − + +Važi

Odnosno

VL G C VL G Gg g g gζ ζ ζψ ζψρ ζ ρ ψ ζ ζ ψ ψ

( ) G G VL G VL CD m n gA m n gA x 0ζ ζ ζψ ζψζ ζ ρ ζ ψ ψ ρ ψ+ + + − − − =

Pa je diferencijalna jednačina poniranja

Na sličan način dobijamo i

Posrtanje se javlja u jednačini poniranja...

y

L

M x df= − ⋅∫( )oM x df x df ′= ∫ ∫

ov 0≠

Pre nego što ispišemo jednačinu posrtanja, malo ćemo iskomplikovati problem...

Pretpostavljamo da brod napreduje, odnosno da je

Strujanje oko broda tada definitivno nije

jdiferencijalnu jednačinu posrtanja

( )y

L L

M x df x df= − ⋅ − ⋅∫ ∫ j j j(ni približno) ravansko...

Ovakvo 3D strujanje možemo, međutim razložiti...


PREDAVANJA 2009. 24

Ako je brod dovoljno vitak, i ako je brzina napredovanja

( , , , ) ( , , ) ( , , , )ouniformna posledica posledicastruja napredovanja poniranja i

posrtanja

t v tφ ξ η ζ ξ φ ξ η ζ φ ξ η ζ′ ′′= − + +

dovoljno mala, može se pokazati da važi

0φξ′′∂ ≈

∂Tako da je strujanje koje stvara poniranje i posrtanje broda opet ravansko (u ravnima rebara η,ζ)

v 0ξ′′ ≈

a jednačine poniranja i posrtanja, nakon komplikovanog izvođenja, glase

( ) ( )

( ) ,G G VL G o

VL C o

D m n gA m n v m

gA x v n 0ζ ζ ζψ ζψ ζ

ζ

ζ ζ ρ ζ ψ ψρ ψ

+ + + − − − −

− − =

( ) ( )

( ) .

2y y o o

G o G VL C G

J m n gI v m v n

m n v m gA x 0ψ ψ ζ ψζ

ψζ ψζ ζ

ψ ψ ρ ψ

ζ ζ ρ ζ

+ + + − − −

− − + − =


PREDAVANJA 2009. 25

Koeficijenti u jednačinama su

, ,2

L L L

m m dx m m x dx m m m xdxζ ζ ψ ζ ζψ ψζ ζ′ ′ ′= = = =∫ ∫ ∫, ,2n n dx n n x dx n n n xdxζ ζ ψ ζ ζψ ψζ ζ′ ′ ′= = = =∫ ∫ ∫

Söding...Tasai...Ruski autori...Salvesen, Tuck &

Kasnije, različite verzije...

L L L

ζ ζ ψ ζ ζψ ψζ ζ∫ ∫ ∫( )m m xζ ζ′ ′= ( )n n xζ ζ′ ′=

predstavljaju dodatnu masu i prigušenje rebra koje vrši vertikalno oscilatorno kretanje – poniranje.

Pri čemu

D bi d dili k fi ij t t b šiti 2D bl

Salvesen, Tuck & Faltinsen, 1970)

Jednačine su veoma slične, i razlikuju se (uglavnom) samo u članovima uz vo u jednačini posrtanja...

Da bi odredili ove koeficijente, treba rešiti 2D problem strujanja oko rebra...

Svođenje realnog 3D problema strujanja na ravansko strujanje oko rebra (trake) naziva se “strip teorija” ...

Uvedena 1957-70, i predstavlja jedan od nekoliko klj č ih k k j š j b d t l i

Strip teorija važi ukoliko je brod dovoljno vitak, a brzina dovoljno mala ... ?

Teško je povući granicu...

Grubo L /B > 5 (3)ključnih koraka u razvoju ponašanja broda na talasima

Prikazane jednačine (sa dodatnom, desnom stranom –talasima) izveli su Korvin-Krukovski i Džejkobs (Korvin-Kroukovsky & Jacobs) 1957. godine...

Prve, i ne sasvim tačne...

Grubo L /B > 5 (3) FR < 0,3 (0,6)

Ako je brod zdepastiji, ili brži, druge 3D metode...


PREDAVANJA 2009. 26

Jednačine su spregnute...

U jednačini posrtanja, javlja se poniranje, u jednačini posrtanja javlja se poniranje...

Jednačine sadrže “mešovite članove”

,L L

m m xdx m n n xdx nψζ ζ ζψ ψζ ζ ζψ′ ′= = = =∫ ∫

Spreže i asimetrija pramac – krma

se poniranje...

Fizički, nema poniranja bez posrtanja, i obrnuto...

Šta spreže jednačine?

Napredovanje broda ,p p0 x 0 x

m xdx m xdx n xdx n xdxζ ζ ζ ζ′ ′ ′ ′− = − =∫ ∫ ∫ ∫

Ukoliko bi postojala simetrija pramac – krma, odnosno ukoliko bi glavno rebro bilo ravan simetrije i u pogledu forme i u pogledu mase...

važilo bi

ov 0=Ukoliko jedeo članova koji sprežu jednačine, otpada...

( ) ( )D Aζ ζ ζ

,k kx 0 x 0m xdx m xdx n xdx n xdxζ ζ ζ ζ

−∫ ∫ ∫ ∫

Spregnute jednačine bi postale nezavisne, odnosno svele se na

( )D m n gA 0ζ ζ ρ ζ+ + + =

,m m 0ζψ ψζ= =odnosno n n 0ζψ ψζ= =

( ) ( )

( ) ,G G VL G o

VL C o

D m n gA m n v m

gA x v n 0ζ ζ ζψ ζψ ζ

ζ

ζ ζ ρ ζ ψ ψρ ψ

+ + + − − − −

− − =( ) ( )

( ) .

2y y o o

G o G VL C G

J m n gI v m v n

m n v m gA x 0ψ ψ ζ ψζ

ψζ ψζ ζ

ψ ψ ρ ψ

ζ ζ ρ ζ

+ + + − − −

− − + − =

( ) G G VL GD m n gA 0ζ ζζ ζ ρ ζ+ + + =

( )y yJ m n gI 0ψ ψψ ψ ρ ψ+ + + =

Nezavisno poniranje i nezavisno posrtanje koje smo ranije razmatrali, moguće je samo pod specijalnim uslovima...


PREDAVANJA 2009. 27

,y y y yI I i i′ ′= =Podsetiti se, u vezi s tim, relacija

Realni brodovi nisu simetrični u odnosu na

Rešenja spregnutih jednačina

... ( )G tζ = ⋅⋅ ⋅

( )tψ = ⋅⋅⋅glavno rebro, tako da važe “pune” jednačine ljuljanja...

Ipak, gruba simetrija pramac – krma postoji...zbog toga su mešoviti članovi manji od

vidi Teoriju oscilacija...

Bitno nam je da znamo da su kretanja spregnuta...

ostalih koeficijenata...Ukoliko je (uz to) brzina plovidbe dovoljno mala, nezavisne jednačine predstavljaju (grubu) aproksimaciju problema...

Koristićemo ih, zbog njihove jednostavnosti za opis i razumevanje

da znamo koliko su “dobre” nezavisne jednačine koje koristimo u većini izvodjenja...ali, pre svega, da sada imamo postupak za određivanje hidrodinamičkih koeficijenata...jednostavnosti, za opis i razumevanje

pojava...

a konkretne proračune treba raditi sa spregnutim jednačinama...

j


PREDAVANJA 2009. 28

2.5. Hidrodinamički koeficijenti u jednačinama ljuljanja broda

Prema strip teoriji, hidrodinamičke koeficijente u jednačinama poniranja i posrtanja moguće je

Prvo, rešava se problem strujanja oko kružnog rebra, koje je donjom polovonom uronjeno u tečnost, i koje prinudno oscilujeje po zakonu

( ) sinG ot tζ ζ ω=

( )m m xζ ζ′ ′= ( )n n xζ ζ′ ′=

poniranja i posrtanja moguće je odrediti na osnovu

koje slede iz rešenja strujanja oko rebra koje vrši poniranje... Problem je prvi rešio Ursel 1949. godine

P i ij ši j L l j d čii i t ij ih liči

Iako je svođenje realnog 3D problema na 2D strujanje, veoma značajno uprošćenje...

Preciznije, rešio je Laplasovu jednačinu postavljenog problema, i odredio ( , , , )tφ φ ξ η ζ=

Dalje je iz Koši-Lagranževog integrala odredio pritisak, odnosno (integracijom pritiska) hidrodinamičku silu...

i integracijom ovih veličina po dužini broda

i rešavanje ovakvog ravanskog problema nije jednostavno...

Postupak se sastoji iz dva dela

Ovu silu je podelio na tri komponente, koje su srazmerne pomeranju, brzini i ubrzanju...

Komponenta sile srazmerna ubrzanju, daje dodatnu masuKomponenta sile srazmerna brzini, daje prigušenje...


PREDAVANJA 2009. 29

Urselovim rešenjem određuju se hidrodinamički koeficijenti kružnih rebara...

Za brodogradnju je daleko značajnija tzv. Lujsova (Lewis) transformacija

31o 3

aaZ a z

z z⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠Ali to je tek prvi korak

Drugi korak je konformno preslikavanje

⎛ ⎞

Poznato je, iz Mehanike fluida, da se transformacijom Žukovskog

z z⎝ ⎠sa kojom se strujanje oko kružnice preslikava u strujanje oko tzv. Lujsovog rebra...

Ali, to je tek prvi korak...

1o

aZ a z

z⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

strujanje oko kružnice preslikava u strujanje oko aeroprofila...

Koeficijenti a a određuju oblikKoeficijenti ao , a1 određuju oblik aeroprofila – tzv. profila Žukovskog, i ugao nastrujavanja... Koeficijenata a1 , a3 određuju oblik rebra...


PREDAVANJA 2009. 30

Ustvari, oblik rebra zavisi od dva bezdimenziona – brodska parametra

( )( )

1 3

1 3

2 1 a aBT 1 a a

+ +=

− +

Lujsova rebra se ne poklapaju sa stvarnim brodskim rebrima...

Realna brodska rebra istog β , i istog B/T mogu imati različit oblik...

( )( )

2 21 3R

2 23 1

1 a 3aABT 4 1 a a

πβ

− −= =

+ −

Lujsova rebra izgledaju

g

Ipak, Lujsova rebra odgovaraju tipičnim oblim rebrima, blagog uzvoja...

Nisu dobra aproksimacija za glisere i brodove oštrog uzvoja...

Z l i lik β L j b i tiZa malo i veliko β , Lujsova rebra mogu imati neprihvatljiv oblik


PREDAVANJA 2009. 31

Oblast dobrih i loših Lujsovih rebara (bez dokaza)

Rešenja pokazuju da dodatna masa i prigušenje, osim od oblika rebra, zavise i od frekvencije poniranja.

Pri niskim frekvencijama nema prigušenja, a dodatna masa poniranja beskonačno raste

Ustvari, Lujs je “svoju” kompleksnu transformaciju uveo rešavajući problem vibracija broda, još 1929. godinedavno pre primene transformacije na ljuljanje broda...

( )22 2o 1 3

1m a 1 a 3a2ζ ω ρπ→∞

⎡ ⎤′ ⎯⎯⎯→ + +⎣ ⎦

dodatna masa poniranja beskonačno raste...

Pri visokim frekvencijama (vibracijama rebra) prigušenje nestaje, a dodatna masa teži konstantnoj vrednosti

Na problem poniranja i posrtanja su je prvi primenili Porter 1960, Tasai 1961...


PREDAVANJA 2009. 32

Zavisnost dodatne mase i prigušenja od frekvencije oscilovanja stvara dodatni problem u proračunu poniranja i posrtanja broda na mirnoj vodi...

S t f k ij i d d d t ?

koja se takođe mogu dobiti istim postupkom...

odnosno Lujsovom transformacijom rešenja strujanja oko kružnog rebraSopstvene frekvencija zavise od dodatne mase...?

Neophodan je interativni postupak...U daleko važnijem problemu ljuljanja broda na talasima, ovakva teškoća (principijelno) ne postoji...

rešenja strujanja oko kružnog rebra koje vrši prinudno valjanje, odnosno prinudno zanošenje...

Rešenja koja se dobijaju prikazanim postupkom su izuzetno

Za ostala kretanja (valjanje, zanošenje, zakretanje) važi

,L L

m m dx n n dxϕ ϕ ϕ ϕ′ ′= =∫ ∫m m dx n n dx′ ′= =∫ ∫

postupkom su izuzetno komplikovana, i određuju se posebnim programima...

(eventualno, dijagramima dobijenim na osnovu programa...)

Ustvari, najsloženiji deo kompjuterskih ,L L

m m dx n n dxη η η η= =∫ ∫,2 2

L L

m x m dx n x n dxθ η θ η′ ′= =∫ ∫

, j j pjprograma iz Pomorstvenosti broda je baš određivanje hidrodinamičkih koeficijenata...

Diplomski: Kuzmanović 2000


PREDAVANJA 2009. 33

,

,

Određivanje hidrodinamičkih koeficijenata predstavlja 2. ključni korak u razvoju proračuna pomorstvenosti broda...

Danas postoje i tačnija rešenja od onih koje daje Lujsova transformacija

I najjednostavnija – Lujsova transformacija daje tehnički prihvatljive rezultate za uobičajene deplasmanske brodove...

Posebno za veoma puna rebra, rebra sa sečnicom, rebra sa bulbom itd...

Koriste se metode

Konformno preslikavanje višeg reda (tzv. close-fit metod)

Kada se odrede dodatne mase i prigušenja rebra...Dodatne mase i prigušenja broda

n3 5 7 2i 11

o o3 5 7 2i 1i 1

a a a aaZ a z a z

z z z z z−−

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= + + + + ⋅⋅⋅ = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑

Program SEAWAY (Johan Journeé)danas program OCTOPUS firme AMARCON

L

m dx mζ ζ′ =∫itd...

dobijaju se numeričkom i t ij

Aproksimacija rebra nizom izvora i ponora (tzv. Frenkov metod)

Drugim numeričkim (CFD) metodama, npr. MKE

integracijomnpr. Simpsonovim pravilom...


PREDAVANJA 2009. 34

Postoji, u različitim oblastima Fizike, više mogućih definicija talasa

Ako je sredina vazduh, poremećaj može biti mala promena pritiska izazvana govorom, talas koji nastaje je zvuk koji čujemo, a brzina njegovog prostiranja je

3. TALASI NA PLOVNOM PUTU

mogućih definicija talasa...... talas predstavljaja poremećaj koji se, konačnom brzinom, prostire kroz neprekidnu sredinu.

Za formiranje talasa je potrebno da postoji neprekidna sredina kontinuum koji se

j , j g g p j jbrzina zvuka...Ako je sredina elektromagnetno polje, reč je o elektromagnetnim (npr. svetlostnim) talasima, koji se prostiru brzinom svetlosti...

Bit b i ti jneprekidna sredina – kontinuum, koji se nalazi u stanju stabilne ravnoteže.To može biti vazduh u atmosferi, elektromagnetno polje, elastično telo, ili u našem slučaju, slobodna površina tečnosti.Ukoliko se ovakvo stanje na nekom mestu

Bitna brzina prostiranja...

Nas interesuju talasi na graničnoj površi vode i vazduha, tzv. slobodnoj površini vode. Ova površina nalazi se u stanju stabilne

poremeti, sredina će zaoscilovati oko svog ravnotežnog položaja, a poremećaj – talas, širiće se od izvora poremećaja u okolnu sredinu...

ravnoteže pod uticajem sile gravitacije. Voda tada miruje, iznad nje je vazduh na atmosferskom pritisku, a sama slobodna površina je horizontalna i nepoktretna.


PREDAVANJA 2009. 35

Uzroci poremećaja ovakvog ravnotežnog stanja mogu biti različiti...Od kamena koji pada u vodu, broda, vetra... pa do zemljotresa. U ovom predmetu se bavimo talasima koji

Međutim, zbog nepoznatih početnih uslova kretanja, taj put zapada u ćorsokak... Neophodno je iskoristiti i obimna

t j i j l j ih t l iU ovom predmetu se bavimo talasima koji nastaju pod dejstvom vetra, u olujama...

osmatranja i merenja olujnih talasa, i statističkom analizom tih podataka doći do stohastičke teorije koja dopunjuje klasičnu hidrodinamiku.

Tek kombinacijom ova dva pristupa uspećemo da opišemo slobodnu površinu

Problem je složen, i prinuđeni smo da mu pristupiti na dva načina.

olujnog mora, i razjasnimo svu njenu neponovljivost i (prividnu) haotičnost.

3.1. Hidrodinamička teorija

Da bismo uprostili problem, uvedemo p pS jedne strane, klasična hidrodinamička teorija omogućava da odredimo osnovna svojstva talasa na površini vode i dobijemo moguća rešenja uzburkane površine mora.

nekoliko bitnih uprošćenja...

Prvo, zanemarujemo viskoznost vode, odnosno pretpostaviti da je voda idealna tečnost.


PREDAVANJA 2009. 36

Viskoznost vode dovodi do smanjenja amplitude talasa (do prigušenja talasa) tokom njihovog prostiranja. Ovo prigušenje je malo... P t t k j d i šti ki

Iako se na uzburkanom moru javljaju talasirazličitih pravaca, osnovni, dominantni talasi se prostiru u pravcu vetra...Najčešće, u odnosu na dimenzije broda, talasi imaju približno ravanski karakterPretpostavka je opravdana, i suštinski

pojednostavljuje matematičko tretiranje problema...jer omogućava uvođenje potencijala brzine strujanja.

imaju približno ravanski karakter...

Sledeće, pretpostavljamo da voda nije

Ova pretpostavka je u skladu sa th d i j ti j i k ti t j

p p j jograničena obalama, ili dnom.Razmatramo, znači, talase na dubokom, otvorenom moru (okeanu), što i jeste najvažniji slučaj s aspekta ljuljanja broda.

prethodnim, jer uticaj viskoznosti postaje bitan samo u okolini čvrstih granica.

Koliko je ovo uprošćenje opravdano ..?

Na kraju, pretpostavljamo da je kretanje tečnosti – ravansko.


PREDAVANJA 2009. 37

Teorijska analiza ravanskih talasa na slobodnoj površini idealne neograničene tečnosti...

Na slobodnoj površini veže dva uslova: dinamički i kinematički...

Dinamički uslov: pritisak vode na slobodnoj površini jednak atmosferskom pritisku...

( )tζ

ζ,x z

, ( , )atp p za z x tζ= =

Uprošćenje: zanemaren površinski napon...

proučavamo tzv. gravitacione talase

Zanemarene i fluktuacije atmosferskog pritiska usled vetra

Koordinatni sistem

Slobodna površina

Potencijal brzine ( , , )x z tφ φ=( , )z x tζ=

2 2

2 2 0x zφ φ∂ ∂+ =

∂ ∂

Važi Laplasova jednačina

Granični uslovi

Kinematički uslov: brzine vode i slobodne površine, u pravcu normale na slobodnu površine, su jednake

, ( , )N Nv V za z x tζ= =

pritiska usled vetra...

,0 za zφ = → −∞Granični uslovi

Uslov duboke vode

Poremećaj nestaje duboko pod slobodnom površinom...

, ( , )N N ζ

Zamisli slučaj vN > VN ... ili vN < VN

Kinematički uslov definiče slobodnu površinu...


PREDAVANJA 2009. 38

( , , )2 2

1at 2p x z t p gz

t x zφ φ φρ ρ ρ

⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Koristimo Koši-Lagranžev integral...

2 2

at at1p g p

t 2 x zφ φ φρ ζ ρ

⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

i u njega smenjujemo dinamički uslov na slobodnoj površini

Sladi

Odnosno, nakon sređivanja

, ( , )2 21 1 1 za z x t

g t 2 x 2 zφ φ φζ ζ

⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

j

Izvođenje kinematičkog uslova preskačemo...vođe je e at č og us ova p es ače o...

Dobija se, nakon obimnog izvođena i sređivanja

, ( , )za z x tz t x xφ ζ φ ζ ζ∂ ∂ ∂ ∂= + =∂ ∂ ∂ ∂


PREDAVANJA 2009. 39

2 2

2 2 0φ φ∂ ∂+ =∂ ∂

Problem je, prema tome, matematički opisan sledećom jednačinom i graničnim uslovima Pretpostavićemo da su poremećaji

slobodne površine mali...

i izvršiti linearizaciju graničnih uslova na slobodnoj površini2 2x z∂ ∂

( , ) :z x tζ=2 21 1 1

g t 2 x 2 zφ φ φζ

⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

j p

Važi

1g t

φζ ∂= −∂

( , ) :z x tζ=

φ ζ∂ ∂

z t x xφ ζ φ ζ∂ ∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂ ∂

:z 0φ→ −∞ =

z tφ ζ∂ ∂=∂ ∂

Daleko jednostavnije, ali ključna prepreka još nije savladana...

G ič i l i i d lj žProblem je, i pored niza uprošćenja, veoma složen

Granični uslovi su nelinearni...i važe na nepoznatoj granici..!

Granični uslovi i dalje važe na nepoznatoj granici....


PREDAVANJA 2009. 40

Da bismo i to prevazišli, razvićemo dobijene granične uslove u stepeni red u okolini ravnotežnog stanja, z = 0 .

Treba se setiti Maklorenovog reda...

Pa umesto graničnih uslova

1g t

φζ ∂= −∂

( , ) :z x tζ=

φ ζ∂ ∂( ) ( )( ) ( ) ...

! !

2 2

2

z df 0 z d f 0f z f 01 dz 2 dz

= + + +

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ...2 2 3

2 3

x t x 0 t x 0 t x 0 tφ ζ φ φ ζ φζ∂ ∂ ∂ ∂= + + +

( , , )1 x 0 tg t

φζ ∂= −∂

Važi

( )x 0 tφ ζ∂ ∂

z tφ ζ∂ ∂=∂ ∂

dobijamo

...2 3z z 2z zζ+ + +

∂ ∂ ∂ ∂( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ...

2 2 3

3

x t x 0 t x 0 t x 0 tt t t z 2 t z

φ ζ φ φ ζ φζ∂ ∂ ∂ ∂= + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Odnosno

( , , )x 0 tz t

φ ζ∂ ∂=∂ ∂

Deluju veoma slično...

ali postoji suštinska razlika...

i i ij l( , , ) ( , , )x t x 0 t

z zφ ζ φ∂ ∂≈∂ ∂

( , , ) ( , , )x t x 0 tt t

φ ζ φ∂ ∂≈∂ ∂

Linearizacija uslova na slobodnoj površini ne obuhvata samo zanemarenje malih članova...Već i razvoj u stepeni red...


PREDAVANJA 2009. 41

Dinamički uslov diferenciramo i smenimo u kinematički...

dobijamo jedinstven granični uslov21φ φ∂ ∂

Ali, kada odredimo potencijal brzine...

( , , )( , ) 1 x 0 tx tg t

φζ ∂= −∂

važi

,2

1 0 za z 0z g tφ φ∂ ∂+ = =∂ ∂

Tako da kompletan problem po potencijalu brzine glasi

Interesantno, talase na vodi ne opisuje tzv. talasna jednačina 2 2

2f fc∂ ∂=

Iz potencijala brzine, sledi slobodna površina...

2 2

2 2 0x zφ φ∂ ∂+ =

∂ ∂2

2

1 0z g tφ φ∂ ∂+ =∂ ∂

:z 0=

već Laplasova jednačina...

2 2ct x

=∂ ∂

Pre nego što rešimo problem, treba se podsetiti...z g t∂ ∂

:z 0φ→ −∞ =

Nepoznata slobodna površina je eliminisana iz problema...

funkcija oblika( )f x ct±

predstavlja talas nepromenjenog oblika, koji se prostire u pravcu x ose konstantnom brzinom c


PREDAVANJA 2009. 42

( ) ( )x z t x z tφ φ∞

=∑

Rešenje za potencijal brzine (rešenje Laplasove parcijalne diferencijalne jednačine) pretpostavljamo u obliku

( , , ) cos( )nk zn n n n nx z t B e k x tφ ω ε= − ± +

...dobija se

, , ,n n n nB k ω εveličine

su integracione konstante čiji fizički( , , ) ( , , )nn 1

x z t x z tφ φ=

=∑Opšte rešenje tražimo kao zbir (superpozicije) elementarnih rešenja...Ovakav princip superpozicije, prema kome je zbir elementarnih rešenja takođe rešenje,

su integracione konstante, čiji fizički smisao (za sada) ne znamo...

Smenjujemo dobijeni izraz u granični uslov

,2

n n2

1 0 za z 0z g tφ φ∂ ∂

+ = =∂ ∂

a zbir svih (beskonačno mnogo) elementarnih rešenja - opšte rešenje, važi samo za linearne sisteme...

Dalje, svako elementarno rešenje pretpostavljamo u obliku proizvoda

g

cos( )

cos( )

nk znn n n n n

n n n n n

B k e k x tz

B k k x t

φ ω ε

ω ε

∂= − ± + =

∂= − ± +

cos( )n

2k z2n

n n n n n2 B e k x tφ ω ω ε∂

= ± + =∂( , , ) ( ) ( , )n n nx z t F z f x tφ = ⋅

Smenom u Laplasovu jednačinu, i korišćenjem graničnog uslova duboke vode...

( )

cos( )

n n n n n2

2n n n n n

tB k x tω ω ε

∂= ± +

2n n

1k 0gω− + =


PREDAVANJA 2009. 43

2n ngkω =

Sledi jednostavna, ali veoma važna relacija

čiji se fizički smisao još ne vidi...Sledi konačno

Na osnovu

sin( )nk znn n n n nB e k x t

tφ ω ω ε∂

= ± ± +∂

To je tzv. disperziona relacija talasa na slobodnoj površini tečnosti

Privremeno, to je uslov pod kojim je emementarno rešenje problema...

( , , )n x z tφ

Sledi konačno

( , ) sin ( )n n n n nx t A k x c tζ ε= ± +⎡ ⎤⎣ ⎦

( , ) sin( )n n n n nx t A k x tζ ω ε= ± +

ili

Poremećaj slobodne površine takođe se sastoji iz beskonačnog zbira elementarnih poremećaja

( , ) ( , )nn 1

x t x tζ ζ∞

=

=∑pri čemu za svaki od elementarnig poremećaja

n nn

BA

gω

=∓gde je n

nn

ckω

=

To je elementarni, sinusni, pravilni ili regularni talas.

p če u a sva od e e e ta g po e ećajaslobodne površine važi

( , , )( , ) n

nx 0 t1x t

g tφζ ∂

= −∂

cn – brzina prostiranja talasa

Talas je harmonijska (sinusna) funkcija u prostoru i vremenu.

An – amplituda talasa


PREDAVANJA 2009. 44

U određenom trenutku opisan je funkcijom

( ) sin( )n n n nx A k x constζ ε= + +

a na određenom mestu, funkcijom

Talasna dužina i period povezani su s talasnim brojem i frekvencijom

,n nn n

2 2Tkπ πλ

ω= =

( ) sin( )n n n nt A t constζ ω ε= + + Pošto su talasni broj i frekvencija povezani disperzionom relacijom 2

n ngkω =

važi...n n

n

2 2Tg

π π λω

= = =

a takođe i

nn n

n n

g gck k 2ω λ

π= = =

brzina prostiranja talasa zavisi od talasne dužine !

ωn – kružna frekvencija talasakn – talasni brojεn – fazni pomeraj.

dužine..!

Talasi na površini vode su disperzioni...

Duži talasi se prostiru brže...


PREDAVANJA 2009. 45

Zavisnost brzine i perioda talasa od talasne dužine

Nagib talasa

( , ) cos( )nn n n n n nx t A k k x t

xζα ω ε∂

= = − +∂

Anon n n

n

AA k 2α π

λ= =

U okviru linearne teorije, nagib talasa je mali...

odnosno n nA λ

λn [m] cn [m/s] Tn [s]

1 1,25 0,8

100 12 5 8

sin( )nk znxn n n n n nv A e k x t

xφ ω ω ε∂

= = − +∂

Brzina strujanja

cos( )nk znzn n n n n nv A e k x t

φ ω ω ε∂= = − − +

∂100 12,5 8

1000 40 25

...filmski trikovi

zn n n n n nz∂

nk z2 2n nx nz n nv v v A eω= + =

Pa je brzina strujanja


PREDAVANJA 2009. 46

Odnos brzine strujanja i brzine talasa je

n

n n

k zk z k zn n n

n n onnn

v A ek A e e 1

cω αω= = =

Poremećajni pritisak

( , , ) atp x z t p gztφρ ρ ∂= − −∂

Linearizovani Koši-Lagranžev integral...

nn

nkbrzina strujanja je daleko manja od brzine prostiranja talasa...

Bez dokaza: sin( )nk zn

n n n n np gA e k x tφρ ρ ω ε∂

= − = ± ± + =∂

p′

nn 1

p p∞

=

′ =∑

Putanje delića tečnosti na dubini h su kružnice radijusa

Delići rotiraju oko svojih ravnotežnih položaja po kružnim putanjama čiji se radijus eksponencijalno smanjuje s dubinom vode

nk hnA e−

( )

( , )n

n n n n n

k zn

p gt

ge x t

ρ ρ

ρ ζ∂

= ±

Poremećaj pritiska je harmonijska funkcija koja ima frekvenciju talasa....

lji b d il k j idubinom vode...I dok delići tečnosti ostaju u neposrednoj blizini svojih ravnotežnih položaja, poremećaj – talas tokom vremena prevaljuje velika rastojanja...

...stvara promenljivu pobudnu silu, koja istom frekvencijom deluje na brod i izaziva njegovo prinudno oscilovanje na talasima.


PREDAVANJA 2009. 47

Energija talasa

Element tečnosti pod talasom osciluje u odnosu na svoj ravnotežni položaj, i poseduje kinetičku i potencijalnu energiju

O uslovu duboke vode

⎛ ⎞

Pri prostiranju regularnog talasa, poremećaj strujanje zahvata vodu pod slobodnom površinom, i eksponencijalno opada sa dubinom vode, po zakonu

Eksponencijalna funkcija brzo opada...i postaje zanemarljiva mnogo pre nego što eksponent postane beskonačno veliki.

k pdE dE dE= +

2 21 1k n n2 2dE v dm v dVρ= ⋅ = ⋅

n2k z2 21k n n2dE A e dVρω=

exp( ) expnn

zk z 2πλ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

, p

nz λ= − exp( ) ,2 0 0018π− ≈exp( ) ,0 043π− ≈/ 2nz λ= −

Izvedena teorija važi i za vodu ograničene dubine, ukoliko je 1

n2h λ>l d b k d j l i

pdE gz dm gz dVρ= ⋅ = ⋅

n

n

2k z2 21k k n n2

V V

2k 2k2 2 2

E dE A e dV

ζζ

ρω= = =∫ ∫

∫Uslov duboke vode je relativan...Za talas dužine 1 m , bazen dubine pola metra je dubok... a za talas dužine 1 km mnoga svetska mora su plitka.

n n n2k z 2k2 2 21 1n n n2 4A S e dz gA S e ζρω ρ

−∞= = ⋅∫


PREDAVANJA 2009. 48

... ...n n2k nn n

n

e 1 2k 1 4 1ζ ζζ πλ

= + + = + + ≈

2k 1k n4

Ee gA

Sρ= =

Kinetička energija je srazmerna kvadratuKinetička energija je srazmerna kvadratu amplitude talasa, i ne zavisi od vremena...

n n

o

021

p p p n20

V V

E dE dE gS zdz zdz gS zdz gSζ ζ

ρ ρ ρ ζ−∞ −∞

⎡ ⎤= − = − = =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ ∫

sin ( )p 2 21p n n n n2

Ee gA k x t

Sρ ω ε= = − +

sin ( )n n

2T T2n

p p n n n0 0n n

gA1e e dt k x t dtT 2T

ρ ω ε= = − +∫ ∫nT

∫

21n k p n2e e e gAρ= + =

Pokazaće se kao veoma važna formula...

A posebno formula za gustinu sin ( )

n 2 1n n n n2

0k x t dt Tω ε− + =∫

21p n4e gAρ=

energije uzburkanog mora

2n n

n 1 n 1

1e e g A2ρ

∞ ∞

= =

= =∑ ∑


PREDAVANJA 2009. 49

Grupna brzina talasa

Bez dokaza... grupa disperzionih talasa bliske talasne dužine kreće po površini vode tzv. grupnom brzinom

Termin “disperzioni talasi”

( ), ( )k c cω ω λ= =disperzija – rasipanje ??

Zamislimo lokalnu oluju u kojoj podtalasa dudkω=

Za talase na površini duboke vode, grupna brzina je

( ) 12

d 1 g 1 gu gk cd 2 k 2 2

λ= = = =

Zamislimo, lokalnu oluju u kojoj, pod dejstvom vetra, nastaju talasi različitih talasnih dužina... Talasi se, od mesta nastanka, prostiru na sve strane, pri čemu grupa talasa dužine λ , za vreme t , prevali put ( ) 2g

d 2 k 2 2ω π

Tom brzinom prenosi se i energija talasa

Znači, disperzioni talasi imaju neobično svojstvo da se grupa talasa kreće brzinom različitom od brzine pojedinačnih talasa koji je či j j

t gut2 2

λπ

=

Duži talasi prestižu kraće... Najduži talasi dolaze na čelo, a najkraći ostaju na začelju kolone, pri čemu se

k i đ č l i č lj ksačinjavaju...

Svaki talas u grupi se rađa na začelju, probija ka njenom čelu i, baš kada postane lider, nestaje... A grupa napreduje dalje, noseći sa sobom energiju poremećaja.

razmak između čela i začelja tokom vremena povećava... Talasi različitih dužina, nastali istovremeno na istom mestu, rasipaju se po velikom prostoru...


PREDAVANJA 2009. 50

Ovo rasipanje – disperzija, isključivo je posledica zavisnosti brzine prostiranja od talasne dužine. Iako površina uzburkanog mora u oluji nije ni približno sinusnog j j p goblika... do posmatrača na udaljenoj obali pristižu – kao mrtvo more, prvo najduži, pa sve kraći i kraći (približno) sinusni talasi.

Prividna frekvencija talasa

Interesuje nas frekvencija talasa u odnosu na pokretnog posmatrača...

Važicos cos sinox v t μ ξ μ η μ= + −

( ) sin( )x t A kx tζ ω= −

Talas je, u x, y sistemu, definisan kao

Posmatramo brod koji plovi pod uglom (kursom) μ u odnosu na pravac prostiranja talasa

( , ) sin( )x t A kx tζ ω= −sledi

( , , ) sin ( cos cos sin )ot A k v t tζ ξ η μ ξ μ η μ ω= + − −⎡ ⎤⎣ ⎦


PREDAVANJA 2009. 51

( , , ) sin cos sin ( cos )ot A k k v k tζ ξ η μ ξ μ η ω μ= ⋅ − ⋅ − −⎡ ⎤⎣ ⎦

cos , sink k k kξ ημ μ= =talasni brojevi u pravcu osa ξ η

Prividna (relativna) brzina talasa u odnosu na brod je

( )cosp ov kω ω μ= ± −

talasni brojevi u pravcu osa ξ, η

frekvencija talasa u odnosu na koordinatni sistem ξ, η

cospp oc c v

kω

μ= = −

odnosu na brod je

Talasne dužine u pravcu pokretnih osa ξ i η(efektivne talasne dužine) iznose

To je prividna (relativna) frekvencija talasa, frekvencija u odnosu na brod

cosv kω μ<znak minus se odnosi na sličaj

Frekvencija je (fizički) pozitivna...cos

2kξξ

π λλμ

= =sin

2kηη

π λλμ

= =

Αmplitude nagiba talasa u pravcu osa ξ i η(efektivne amplitude nagiba)

cosov kω μ<cosok Aξ ξα α μ= =

sinok Aη ηα α μ= =


PREDAVANJA 2009. 52

2πμ = ±

Plovidba bočno u odnosu na talase

, pp pc c

kω

ω ω= = =

Specijalni slučajevi Primer

Plovidba ka talasimaμ π= p ov kω ω= +

p oc c v= +

Stacionarna plovidba, pri kojoj je p 0ω =p p j j j

ogv c2λπ

≥ =

p

Može se javiti pri plovidbi niz talase, ukoliko je

Kurs pri kome se javlja sledi iz

arccossto

1 gv 2

λμπ

⎛ ⎞= ⋅⋅ ⋅ = ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

coso stv k 0ω μ− =

i iznosi


PREDAVANJA 2009. 53

Neregularni talasi

Regularni, sinusni talas je elementarno rešenje problema...

Opšte rešenje je ∞

Potrebno je poznavati oblik poremećene slobodne površine u nekom trenutku, npr. to = 0tzv. početni uslov

( , ) sin( )n n nx 0 A k xζ ε∞

= + =∑Opšte rešenje je( , ) ( , )n

n 1

x t x tζ ζ=

=∑( , ) sin( )n n n n

n 1

x t A k x tζ ω ε∞

=

= ± +∑( ) sin ( )x t A k x c tζ ε

∞

= ± +⎡ ⎤⎣ ⎦∑

cos sin

n 1

n n n nn 1

a k x b k x

=

∞

=

= +

∑

∑ili zakon promene slobodne površine na nekom mestu, npr. xo = 0( , ) sin ( ) .n n n n

n 1

x t A k x c tζ ε=

± +⎡ ⎤⎣ ⎦∑To je neregularni talas...

U izrazu se javlja beskonačno mnogo integracionih konstanti An , εn , koje predstavljaju amplitude i fazne pomeraje

tzv. granični uslov

( , ) sin( )

cos sin

n n nn 1

0 t A t

a t b t

ζ ω ε

ω ω

∞

=

∞

= + =

= +

∑

∑

nekom mestu, npr. xo 0

pojedinih komponenti... Ove konstante je (u principu) mogućeodrediti iz graničnih ili iz početnih uslova problema...

Kako?

cos sinn n n nn 1

a t b tω ω=

+∑Uvedene su nove integracione konstante

sin , cosn n n n n na A b Aε ε= =


PREDAVANJA 2009. 54

U izrazima za početni i granični uslov prepoznajemo razvoj funkcija u Furijevov red...

Koeficijenti Furijeovog reda su

( , ) sin( )

cos sin

n n nn 1

n n n n

x 0 A k x

a k x b k x

ζ ε∞

=

∞

= + =

= +

∑

∑

Na osnovu koeficijenata Furijeovog reda an , bn slede sve integracione konstante An , εn u izrazu za neregularni talas...

tako da važi, arctg2 2 n

n n n nn

aA a b

bε= + =

( , ) cos ,

( , ) sin , ,

1

1

n n01

n n n01 1

2a x 0 k xdx

2 2b x 0 k xdx k n

λ

λ

ζλ

πζλ λ

=

= = ⋅

∫∫

Koeficijenti Furijeovog reda su n n n nn 1=∑

( , ) sin( )

cos sin

n n nn 1

0 t A t

a t b t

ζ ω ε

ω ω

∞

=

∞

= + =

= +

∑

∑

U praktičnim problemima brodogradnje granični i početni uslovi uzburkanog mora nisu poznati...pa izloženi put za teorijsko određivanje amplituda An i faznih pomeraja εn nije

i ljiodnosno

( , ) cos ,

( , ) sin , .

1

1

T

n n01T

n n n01 1

2a 0 t t dtT2 2b 0 t t dt nT T

ζ ω

πζ ω ω

=

= = ⋅

∫∫

cos sinn n n nn 1

a t b tω ω=

= +∑primenljiv...Projektant broda najčešće nije upoznat ni sa morima po kojima će brod ploviti...Ćorsokak?Neophodno je izloženu hidrodinamičku

Prema tome, ukoliko znamo funkciju

Neop od o je o e u d od a č uteoriju gravitacionih talasa dopuniti statističkim podacima o olujama...

( , )x 0ζili funkciju ( , )t 0ζ

neophodno je taj granični ili početni uslov razviti u Furijeov red...


PREDAVANJA 2009. 55

3.2. Statistička teorija

Primenom klasične hidrodinamičke teorije gravitacionih talasa, slobodna površina olujnog mora može odrediti samo do nivoa i i ih k i i

A baš te slučajne i nepredvidive fluktuacije pritiska na slobodnoj površini pretstavljaju osnovni mehanizam nastanka talasa...

integracionih konstanti u izrazu za neregularne talase...Ove intagracione konstante treba odrediti iz početnih ili graničnih uslova problema koji su, u slučaju realnih oluja, nepoznati...

P bl j j š l ž iji

Uz to, na stvaranje talasa utiče i trenje (viskozni granični sloj) između vode i vazduha...I sami talasi dodatno remete struju vetra i polje pritiska vazduha nad slobodnom površinom...

Problem je još složeniji...Dosadašnja teorija opisuje talase koji mogupostojati na slobodnij površini, ali ne opisuje mehanizam njihovog nastanka... Ovaj mehanizam složen...Vetar nad slobodnom površinom

p

Pod dejstvom turbulentne struje vazduha i spomenutih sekundarnih efekata, na slobodnoj površini se (prvo) formiraju mali talasi u smeru vetra, koji vremenom postaju sve viši i duži...Veta ad s obod o pov š o

predstavlja turbulentnu struju vazduha stalno promenljive brzine... Brzina i pritisak vazduha menjaju se i u prostoru i u vremenu nepredvidivo, kao slučajne veličine...

Talasi se razvijaju, a na već formiranim talasima se stalno stvaraju novi talasčići...Proces se kontinualno nastavlja, prenoseći energija vetra u energiju talasa...


PREDAVANJA 2009. 56

Istovremeno počinje i suprotni proces disipacije energije, pre svega kroz mehanizam loma talasa. Naime, talasi pod dejstvom vetra postaju sve strmiji (oštriji) i u jednom trenutku postaju nestabilni – lome se i gube energiju.

S obzirom na korišćeni granični uslov pat = const, i na zanemarenje viskoznosti...klasična hidrodinamička teorija ne može

Ukoliko vetar duva dovoljno dugo na dovoljno velikom prostoru, uspostavlja se dinamička ravnoteža između primljene i izgubljene energije...talasi prestaju da rastu, odnosno na slobodnoj površini se formiraju tzv. potpuno razvijeni

Kada vetar prestane da duva, talasi nastvljaju prostiranje kao mrtvo more...razdvajaju se po talasnim dužinama (rasipaju se) i posle dužeg vremena

jopisati ove pojave...

površini se formiraju tzv. potpuno razvijeni talasi...

Proces razvoja talasa je relativno spor...Potrebno vreme i prostor meri se satima,

Primer, vetar od obale...

(rasipaju se) i posle dužeg vremena, prerastaju u približno regularne talase.

i samo ove pojave, formalno, pokriva klasična teorija...

Proširićemo je, primenom statističke teorije i na realne oluje

e const=

odnosno desetinama kilometara, i prvenstveno zavisi od brzine vetra. Kod jakih oluja, za potpuni razvoj talasa potrebno je vreme od preko 24 sata, i prostor od preko 100 kilometara.

teorije, i na realne oluje...

Neophodno je, prethodno, definisati neke osnovne statistučke veličine vezane za talase na površini mora...


PREDAVANJA 2009. 57

Srednje visine i amplitude talasa Srednja amplituda talasa je 12A h=

Često se koristi i srednja vrednost grupe najvećih talasanajvećih talasa...

Ukoliko se od N merenja izdvoji deo (grupa) nnajvećih talasa...odgovarajuća srednja visina obeležava se sa /n Nh

Meri se, na zadatom mestu, veliki broj uzastopnih visina talasa hi ...Talasi su neregularani, i uzastopne visine se međusobno razlikuju. Srednja vrednost svih izmerenih visina,

d j i i l j d

/ ,1 3hTako imamo / ,1 5h /1 10h

/ /1

1 n 1 n2A h=odnosno

Od ovih srednjih visina i amplituda, načešće se koriste tzv značajna visina odnosno značajnasrednja visina talasa je tada

N

ii 1

1h hN =

= ∑gde je N » 1

koriste tzv. značajna visina, odnosno značajna amplituda talasa

/ ,1 3h / ,1 3A

Zašto su baš one“značajne”..?


PREDAVANJA 2009. 58

Srednja odstupanja slobodne površine od ravnotežnog položaja

U prethodnoj analizi merene su visine i amplitude talasa

( )N

i ii 1

1 t 0N

ζ ζ=

= =∑Fizički, slobodna površina osciluje oko svog ravnotežnog položajaamplitude talasa...

Pretpostavimo sada da se meri odstupanje slobodne površine od ravnotežnog položaja, i to u nizu uzastopnih trenutaka ti , s korakom Δt...

svog ravnotežnog položaja.

Daleko je važnije srednje kvadratno odstupanje slobodne površine od ravnotežnog nivoa

( )N

2i i

1 tσ ζ= ∑ ( )o i ii 1

tN

σ ζ=∑

odnosno koren srednjeg kvadratnog odstupanja (Root Mean Sqare)

oRMS σ=

Ukoliko je broj merenja dovoljno velik (N » 1), dobijaja se niz podataka ζi (ti) čija srednja vrednost (srednje odstupanje od ravnotežnog nivoa) iznosi

standardno odstupanja, stanardna devijacuja itd...


PREDAVANJA 2009. 59

to je tzv. Persevalova teorema

Ima širi značaj od statističke teorije neregularnih talasa...važi uvek kada se podintegralna funkcija može izraziti u obliku beskonačnog trigonometrijskog

σο je moguće prikazati i u drugaćijem obliku...Proširimo izraz sa Δt...

( )N

2o i i

1 t tT

σ ζ Δ= ⋅∑,t dtΔ →Ako

( ) ( ) ,i it tζ ζ→ →∑ ∫( )

MT2

o1 t dtσ ζ= ∫pa sledi

g g j greda

Na osnovu Persevalove teoreme, važi

2o n

n 1

1 A2

σ∞

=

= ∑Dobijena relacija je izuzetno važna

M i 1T =∑

( )oM 0T

ζ∫Pri čemu je, na osnovu hidrodinamičke teorije

( ) ( ) sin( )n n n nn 1 n 1

t t A tζ ζ ω ε∞ ∞

= =

= = +∑ ∑

Dobijena relacija je izuzetno važna... Ona uspostavlja vezu između jedne statističke veličine (σo) sa amplitudama regularnih talasa (odnosno integracionim konstantama) An koje su u prethodnom poglavlju ostale neodređene...

21e g Aρ∞

= ∑S obzirom na

Sledi, nakon složenog izvođenja...

( )MT

2 2Mn

0 n 1

Tt dt A

2ζ

∞

=

= ∑∫imamo (ključnu) vezu klasične (determinističke) teorije, i statističke teorije talasa

nn 1

e g A2ρ

=

= ∑S obzirom na

oe gρ σ=


PREDAVANJA 2009. 60

Funkcije raspodele amplitude i visine talasa

Ukoliko se izmerene amplitude talasa Ai razvrstaju po veličini... pa se broj amplituda ni koji pripada pojedinim intervalima ΔA podeli s ukupnim brojem

2A2A σ

−

Analizom višedecenijskih merenja morskih oluja ustanovljeno je da, za potpuno razvijene talasa, približno važi tzv. Rejlijev zakon raspodele amplitude talasa

p p jmerenja N i nanese nad odgovarajući interval... dobija se stepenasta linija – tzv. histogram Poznata je veza funkcije raspodele i

verovatnoće... Površina ispod krive raspodele, između zadatih granica...

( ) o2

o

Af A e σ

σ≈

jednaka je verovatnoći da će se amplituda talasa nalaziti unutar ovih granica...

Verovatnoća da će amplituda talasa biti veća od neke zadate vrednosti Ao iznosi

( ) ( )V A A f A dA∞

> = ∫Ukoliko se interval smanjuje stepenasta linija histograma prelazu u kontinualnu funkciju f(A)... poznatu kao funkcija raspodele amplitude talasa.

( )A dAΔ →( ) ( )

o

oA

V A A f A dA> = ∫

( )22o

o o

0

AA2 2

oAo

1V A A A e dA eσ σ

σ

∞ − −> = ⋅ =∫

Pa je


PREDAVANJA 2009. 61

Moguće je, za slučaj Rejlijeve raspodele, naći vezu između

/n NADobija se...

( )oV A A 1> =Ako je

jedan talas će sigurno imati amplitudu veću ili jednaku A

oσ,

, oA 1 25 σ≈

/ ,1 3 oA 2 0 σ≈

/ ,1 10 oA 2 55 σ≈

, oh 2 5 σ≈

/ ,1 3 oh 4 0 σ≈

/ .1 10 oh 5 1 σ≈

jednaku Ao ...

Rešimo 2o

o

A2Ne 1σ

−= po Ao

lno max oA A 2 Nσ= =

Moguće je odrediti i maksimalnu amplitudu N uzastopnih talasa...

Verovatnoća da će amplituda jednog od Ntalasa biti veća od Ao je

je najverovatnija maksimalna amplitudu Nuzastopnih talasa.

( )o iV A A p> =Ako je

Ndobija se

( )2 2o o

o o

A AN2 2

on 1

V A A e Neσ σ− −

=

> = =∑( ) lnip

o max oi

NA A 2p

σ= =

To je maksimalna amplituda čija je verovatnoće pi ...

dobija se


PREDAVANJA 2009. 62

Spektar talasa

Podsetimo se: neregularni talasi se sastoje iz beskonačnog niza regularnih komponenti, od kojih svaka ima svoju f k ij i li d Afrekvenciju ωn , i amplitudu An ... Definisaćemo sada, za svaku od komponenti neregularnog talasa, veličinu

( )( )

2n n

n nA

S2

ωωΔω

=⋅ Ukupna površina ispod stepenaste linije je

gde je Δω razmak (korak) između susednih frekvencija

Ukoliko svako ovako definisano Snnanesemo nad odgovarajuće ωn , dobija se stepenasta linija...

p p p p j j

( ) ( )2n n n n

n 1 n 1

1S A2

ω Δω ω∞ ∞

= =

⋅ =∑ ∑o

ePovršinag

σρ

= =

( ) ( )2n n n n

1S A2

ω Δω ω⋅ =

Površina ispod svakog od stepenika je dΔω ω→Ukoliko

( ) ( )n nS Sω ω→

To je spektar energije talasa, ili spektar talasa


PREDAVANJA 2009. 63

Spektar talasa pretstavlja raspodelu energije talasa po frekvencijama... Talasi frekvencije koja odgovaraja maksimumu spektra (frekvenciji ωm) nose najveću energiju... To su tzv modalni talasi

Površina ispod spektra je i dalje

To su tzv. modalni talasi. Energija talasa sa “repova” spektra (frekvencija manjih od ωmin i većih od ωmax) je zanemarljiva...

Merenjem neregularnih talasa (preciznije, merenjem niza uzastopnih nivoa slobodne površine ζi u

( ) o0

eS dg

ω ω σρ

∞

= =∫

( ) 1S d d

Elementarna površina je

intervalu TM) može se odrediti spektar talasa...Naime, na osnovu izmerenih vrednosti ζi , moguće je Furijeovom analizom odrediti amplitude komponenti talasa...Na osnovu dobijenih vrednosti, određuju se odgovarajuće vrednosti S (ω ), odnosno, ukoliko je( ) 1S d de

gω ω

ρ=

( ) 1 deSg d

ωρ ω

= ⋅pa sledi

odgovarajuće vrednosti Sn(ωn), odnosno, ukoliko je broj komponenti dovoljno velik, spektar talasa S(ω). Ovakav postupak određivanja spektra na osnovu poznatog oblika slobodne površine, zvaćemo spektralna analiza talasa...


PREDAVANJA 2009. 64

Moguće je definisati moment spektra n-tog reda (n-ti moment spektra) kao

( )nn

0S dσ ω ω ω

∞

= ⋅∫Razjašnjava indeks u oznaci σo ...a jaš java de s u o ac σo ...važi (na primer) i

( ) , ( )2 42 4

0 0S d S dσ ω ω ω σ ω ω ω

∞ ∞

= =∫ ∫Prividni spektar talasa

Energija koja je odgovara talasu apsolutne frekvencije ω, odgovaraće i talasu prividne frekvencije ωp ...

( ) ( ) pdS S

ωSledi

Frekvencija ω koja se javlja u prethodnim izrazima je apsolutna frekvencija talasa u odnosu na nepokretnog posmatrača. Spektar se može preračunati i na prividnu frekvenciju talasa ωp ...Osnovna formula za preračunavanje je

( ) ( ) ppS S

dω ω

ω= ⋅

Κoristimo relacijucos

2o

pv

gωω ω μ= −

coscosp o od 2v g 2v

1ω ω ω μμ −

Važi

( ) ( )p pS d S dω ω ω ω=

Osnovna formula za preračunavanje je

...elementarna energija talasa ne zavisi od koordinatnog sistema, odnosno od brzine posmatrača...

cosp o o1d g g

μω

= − =

cos( ) ( ) o

pg 2v

S Sgω μω ω −

= ⋅


PREDAVANJA 2009. 65

( ) ( )cosp

o

gS Sg 2v

ω ωω μ

= ⋅−

odnosno

To je prividni spektar talasa

( ) ( )N

o oi

i 1

1T TN

=

= ∑( ) ( )

Np b

i1T T= ∑odnosno spektar u odnosu na

posmatrača (brod) koji se kreće brzinom vo pod uglom μ u odnosu na pravac prostiranja talasa

Srednji periodi talasa

ii 1N =∑

Kao srednji period neregularnih talasa uzima se i period koji odgovara frekvenciji tešižta spektra

Srednji periodi talasa

Periodi neregularnih talasa mogu se različito definisati...npr. kao period koji odgovara nulama...ili period koji odgovara

( )

( )

0 1

o

0

S d

S d

ω ω ω σωσω ω

∞

∞

⋅= =∫∫

o

1

2T 2σπ π

ω σ= =

Važi (bez dokaza) ( )o oT 2σπ= ( )b 2T 2

σπ=ili period koji odgovara bregovima (grebenima) talasa...

Srednje vrednosti ovako definisanih perioda su

Važi (bez dokaza)2

T 2πσ

=4

T 2πσ

=

Koristi i tzv. modalni period

mm

2T πω

= koji odgovara maksimumu spektra


PREDAVANJA 2009. 66

Širina spektra talasa

Spektar talasa obuhvata samo jednu oblast (pojas) frekvencija, između minimalne ωmin , i maksimalne ωmax

Širina pojasa može biti različita... k d lik j k ši k i k ktako da razlikujemo spektre širokog i spektre uskog

pojasa frekvencija... U ekstremnom slučaju, uski spektar se svodi na jedni frekvenciju (predstavlja jedan regularni talas), dok široki spektar obuhvata sve frekvencije, i svodi se na tzv. beli šum... Tipično, kod izrazito uskog spektra broj bregova i nula je približno isti, tako da važi... ( ) ( )o bT T≈Kod širokog spektra broj bregova je veći od broja nula, i u ekstremnom slučaju važi ( ) ( )o bT TZato se kao mera širine spektra uzima bezdimenzioniZato se, kao mera širine spektra, uzima bezdimenzioni parametar

( )

( )

2b

o

T1T

ε⎛ ⎞

= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

0 1ε≤ ≤

0ε →1ε →

uski spektar

široki spektarRejlijeva raspodela (pa i cela teorija...) važi samo za relativno uske spektre...


PREDAVANJA 2009. 67

Osmatranja i merenja talasa

Postoji ogroman broj podataka o talasima na svetskim morima i okeanima...Ovi podaci su sakupljeni na dva načina –

j i j

Reč je o grešci metode:dobijeni su dugogodišnjim osmatranjem sa brodova koji, neminovno, teže da izbegnu jake oluje...Zato jesu i pogodni za brodove saosmatranjem i merenjem...

Osmatranja talasa, pre svega visine talasa, najčešće su vršili (i vrše) pomorci s brodova tokom svojih redovnih putovanja...Iako iskusni osmatrači registruju visinu talasa blisku značajnoj visini talasa, ovi podaci su,

Zato jesu i pogodni za brodove sa delimičnom slobodom izbora rute i vremeno polaska (teretnih, putničkih brodova),a potcenjuju stanja mora za ratne brodove i (posebno) za fiksne konstrukcije kakve su naftne platforme...

j j , p ,pojedinačno gledano, veoma nepouzdani i podložni subjektivnoj proceni...Ovu manu (bar delimično) ublažava njihov ogroman broj...(preko 55 miliona osmatranja sakupljenih u periodu dužem od jednog veka )

Podaci dobijeni merenjem talasa specijalnim uređajima (npr. okeanografskim bovama) daleko su pouzdaniji i precizniji.Ovi uređaji, uz visinu, najčešće mere i period i pravac prostiranja talasa, kao i odgovarajuću brzinu vetra. periodu dužem od jednog veka...)

Podaci dobijeni osmatranjem imaju i dodatni nedostatak: po pravilu, predskazuju uslove plovnog puta blaže od od realnih...

odgova ajuću b u vet a.Na žalost, broj raspoloživih podataka je daleko manji. U novije vreme talasi se mere i satelitskim osmatranjem...


PREDAVANJA 2009. 68

Prema Svetskoj metereološkoj organizaciji (World Meteorological Organisation, WMO) postoji 10 stanja mora...

Stanje Značajna visina Opis mora

Opis mora

Brzina vetra i visina talasa su povezani... u slučaju potpuno razvijenih talasa, prema ITTC-u, važi...

Stanje mora

mora talasa [m]Opis mora

(engleski)

0 0 Mirno Calm (glassy)

1 0-0,1 Naborano Calm (rippled)

2 0,1-0,5 Malo valovito Smooth (wavelets)

3 0,5-1,25 Umjereno valovito Slight

4 1,25-2,5 Valovito Moderate

5 2,5-4,0 Jače valovito Rough

6 4,0-6,0 Jako valovito Very Rough

7 6,0-9,0 Teško more High

8 9 0 14 0 V l šk V Hi h

Brzina vetra [kn] Značajna visina talasa [m]

20 3,130 5,140 8,150 11,060 14,6

8 9,0-14,0 Vrlo teško more Very High

9 preko 14,0 Izuzetno teško more Phenomenal

Boforova skala “jačine vetra”Stepeni Bofora

[°Bf]Brzina vetra [kn] Opis vetra Opis vetra

(engleski)0 0-1 Tišina Calm

1 2-3 Lahor Light air

2 4-7 Povetarac Light breeze

3 8-11 Slab vetar Gentle breeze

20,002262 0,10761/3 v vh v v≈ ⋅ + ⋅

Podaci osmatranja i merenja sakupljeni su u više okeanografskih atlasa, od kojih je najsveobuhvatniji Hogben, Dacunha & Olliver, 1986...3 8-11 Slab vetar Gentle breeze

4 12-16 Umeren vetar Moderate breeze

5 17-21 Umereno jak vetar Fresh breeze

6 22-27 Jakivetar Strong breeze

7 28-33 Žestok vetar Moderate gale

8 34-40 Olujni vetar Fresh gale

9 41-48 Jakiolujni vetar Strong gale

10 49-56 Orkanski Whole gale

11 57-65 Jakiorkanski Storm

12 preko 66 Orkan Hurricane

,

Neke od tabela...


PREDAVANJA 2009. 69

Podela svetskih mora prema Hogben, Dacunha & Olliver, 1986...

Stanje mora

Svetski prosek (%)

Severni Atlantik (%)

Severni Pacifik (%)

Jadransko more (%)

0

11,250 0

10

124,6

2 7,2 4,1

3 31 68 22 4 16 9 43 0

Značajna visina talasa [m]

Svetski prosek (%)

Severni Atlantik (%)

Severni deo Severnog

Atlantika (%)0 -1 30,8762 25,4262 19,0291

1 -2 41,3902 41,2120 36,2941

2 -3 17,3499 19,4275 22,9629

3 -4 6,3129 7,9164 11,5724

4 -5 2,4564 3,4665 5,6400 3 31,68 22.4 16,9 43,0

4 40,19 28,7 27,8 17,2

5 12,8 15,5 23,5 4,2

6 3,02 18,7 16,3 1,0

7 0,93 6,1 9,1 0,01

8 0,12 1,2 2,2

9 0,01 0,02 0,1

4 5 2,4564 3,4665 5,6400

5 - 6 0,5685 0,8266 1,3702

6 - 7 0,5375 0,8380 1,4605

7 - 8 0,2512 0,4187 0,7772

8 - 9 0,1382 0,2409 0,4555

9 - 10 0,1156 0,2203 0,4220

10 - 11 0,0022 0,0039 0,0088

11 + 0,0014 0.0034 0,0073


PREDAVANJA 2009. 70

[s]

[m] 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 10,5 11,5 12,5 13,5 14,5 15,5 16,5 17,5 Suma1/ 3h

Svetski prosek (verovatnoća pojavljivanja u %)T

[ ] , , , , , , , , , , , , , , ,

1,0 0,311 2,734 6,402 7,132 5,071 2,711 1,202 0,470 0,169 0,057 0,019 0,006 0,002 0,001 0 26,287

2,0 0,020 0,764 4,453 8,841 9,045 6,020 3,000 1,225 0,435 0,140 0,042 0,012 0,003 0,001 0 34,001

3,0 0 0,057 0,902 3,474 5,549 4,973 3,004 1,377 0,518 0,169 0,050 0,014 0,004 0,001 0 20,092

4,0 0 0,004 0,150 1,007 2,401 2,881 2,156 1,154 0,485 0,171 0,053 0,015 0,004 0,001 0 10,482

5,0 0 0 0,025 0,258 0,859 1,338 1,230 0,776 0,372 0,146 0,049 0,015 0,004 0,001 0 5,073

6,0 0 0 0,004 0,063 0,277 0,540 0,597 0,440 0,240 0,105 0,039 0,013 0,004 0,001 0 2,323

7,0 0 0 0,001 0,015 0,084 0,198 0,258 0,219 0,136 0,066 0,027 0,010 0,003 0,001 0 1,018

8,0 0 0 0 0,004 0,025 0,069 0,103 0,099 0,069 0,037 0,017 0,006 0,002 0,001 0 0,432

9,0 0 0 0 0,001 0,007 0,023 0,039 0,042 0,032 0,019 0,009 0,004 0,001 0,001 0 0,178

10,0 0 0 0 0 0,002 0,007 0,014 0,016 0,014 0,009 0,005 0,002 0,001 0 0 0,070

11,0 0 0 0 0 0,001 0,002 0,005 0,006 0,006 0,004 0,002 0,001 0,001 0 0 0,028

12,0 0 0 0 0 0 0,001 0,002 0,002 0,002 0,002 0,001 0,001 0 0 0 0,011

13,0 0 0 0 0 0 0 0,001 0,001 0,001 0,001 0 0 0 0 0 0,004

14,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,001 0 0 0 0 0 0 0,001

Suma 0,331 3,559 11,937 20,795 23,321 18,763 11,611 5,827 2,480 0,926 0,313 0,099 0,029 0,009 0


PREDAVANJA 2009. 71

[s]

[ ]

Th

Severni Atlantik (verovatnoća pojavljivanja u %)

100 p47

[m] 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 10,5 11,5 12,5 13,5 14,5 15,5 16,5 17,5 Suma

1,0 0 0,072 1,416 4,594 4,937 2,590 0,839 0,195 0,036 0,05 0,001 0 0 0 0 14,685

2,0 0 0,005 0,336 3,299 8,001 8,022 4,393 1,571 0,414 0,087 0,016 0,003 0 0 0 26,167

3,0 0 0 0,062 1,084 4,428 6,920 5,567 2,791 0,993 0,274 0,063 0,012 0,002 0 0 22,196

4,0 0 0 0,012 0,318 1,898 4,126 4,440 2,889 1,301 0,445 0,124 0,030 0,006 0,001 0 15,590

5,0 0 0 0,002 0,089 0,721 2,039 2,772 2,225 1,212 0,494 0,162 0,045 0,011 0,002 0,001 9,775

6,0 0 0 0,001 0,025 0,254 0,896 1,482 1,418 0,907 0,428 0,160 0,050 0,014 0,003 0,001 5,639

1/ 3h

7,0 0 0 0 0,007 0,085 0,363 0,709 0,791 0,580 0,311 0,131 0,046 0,014 0,004 0,001 3,042

8,0 0 0 0 0,002 0,027 0,138 0,312 0,398 0,330 0,197 0,092 0,035 0,012 0,003 0,001 1,547

9,0 0 0 0 0,001 0,008 0,050 0,128 0,184 0,171 0,113 0,058 0,024 0,009 0,003 0,001 0,750

10,0 0 0 0 0 0,003 0,017 0,050 0,080 0,082 0,059 0,033 0,015 0,006 0,002 0,001 0,348

11,0 0 0 0 0 0,001 0,006 0,018 0,033 0,037 0,029 0,017 0,008 0,003 0,001 0 0,153

12,0 0 0 0 0 0 0,002 0,007 0,013 0,015 0,013 0,008 0,004 0,002 0,001 0 0,065

13,0 0 0 0 0 0 0,001 0,002 0,005 0,006 0,006 0,004 0,002 0,001 0 0 0,027

14,0 0 0 0 0 0 0 0,001 0,002 0,002 0,002 0,002 0,001 0,001 0 0 0,011

15,0 0 0 0 0 0 0 0 0,001 0,001 0,001 0,001 0 0 0 0 0,004

16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 001 0 0 0 0 0 0 00116,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,001 0 0 0 0 0 0,001

Suma 0 0,077 1,849 9,419 20,363 25,170 20,720 12,956 6,087 2,465 0,872 0,275 0,081 0,020 0,006

pji – verovatnoća pojave određene visine i određenog perioda talasa Nazad


PREDAVANJA 2009. 72

Posmaču, dok gleda uzburkano more, površina vode izgleda potpuno haotično...To je (delimično) posledica disperzije

Standardni spektri talasa Obimna ispitivanja su, međutim, pokazala da spektri izmereni u različitim olujama, na potpuno različitim morima, i pored toga što nisu identični, pokazuju značajnu pravilnost...

i ičTo je (delimično) posledica disperzije, odnosno činjenice da se svaka od komponenti talasa kreće različitom brzinom i time stalno (i samo na izgled nepredvidivo) menja oblik slobodne površine. Utisak haosa unosi i stvarna

Tipično

Utisak haosa unosi i stvarna nepravilnost i neponovljivost, koja je posledica slučajnih, nepredvidivih turbulencija u struji vetra koji stvara talase. Zato svaka oluja i jeste nepredvidiva i neponovljiva i time podložna samo

Merenja pokazuju da spektri talasa prvenstveno zavise od:

neponovljiva, i time podložna samo približnoj, statističkoj analizi.

Kao posledica ovakvih procesa, i spektri olujnih talasa su jedinstveni i neponovljivi...

• jačine vetra,• trajanja oluje,• prostiranja oluje,• prisustva, položaja i oblika obala,• ostataka prethodnih oluja (mrtvog mora).


PREDAVANJA 2009. 73

Npr. uticaj brzine vetra i razvoja talasa (kvalitativno) sličan

Danas, za proračune u brodogradnji, kao standardni spektar talasa na otvorenom moru (spektar okeanskih talasa), ITTC preporučuje funkciju oblika

ba −( ) 4

5

aS e ωωω

= ⋅

Ustvari formula u sebi sadrži dva različita spektra, u zavisnosti od izbora parametara a i b... To su jednoparametarski ITTC spektar, odnosno Pirson Moskovicev spektar (Pierson

Dugo se, tokom razvoja okeanografije i brodogradnje, tragalo za pravom funkcijom spektra olujnih talasa...Funkcijom koja se dovoljno dobro uklapa u obimnu i raznovrsnu k i l d d k l ih

Pirson – Moskovicev spektar (Pierson –Moskowitz) i dvoparametarski ITTC spektar, odnosno Bretšnajderov (Bretschneider) spektar

3 11Za jednoparametarski spektar važi

eksperimentalnu dadoteku realnih talasa, a koja je dovoljno opšta i jednostavna da se može primeniti na standardne brodske proračune...

/

,. ,22

1 3

3 11a 0 0081 g bh

= ⋅ =

Parametar je visina talasa, ili brzina vetra...

Spektar (približno) važi samo za razvijene talase...


PREDAVANJA 2009. 74

Kod dvoparametarskog spektra važi

/ ,2

1 34 4

h 691a 173 bT T

= ⋅ =

Osim značajne visine, kao drugi parametar

Primer standardnih spektara

Os ačaj e v s e, ao d ug pa a etaspektra javlja se srednji period talasa

Dvoparametarski spektar se svodi na jednoparametarski (razvijeni) spektar kada je

Važi i u fazi razvoja talasa...

/ ,1 3 oh σ

/. 1 3T 3 861 h= ⋅Frekvencija koja odgovara maksimumu spektra (modalna frekvencija talasa ωm) određuje se tako što se prvi izvod funkcijespektra izjednači sa nulom...

T tDobija se14

m4b5

ω ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

14

mm

2 5T 24b

π πω

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

, oT constσ =


PREDAVANJA 2009. 75

( )o0

aS d4b

σ ω ω∞

= =∫

Za standardni ITTC spektar važi Dobija se zbog

( )44

0S dσ ω ω ω

∞

= →∞∫Međutim, vrednosti spektra olujnih talasa

/2

1 3o

h16

σ =odnosno (za oba spektra)

Proračunom se dalje dobija

( ) ( ), , , ,o bmT 0 920T T 0 T 1 296T≈ = ≈

eđut , v ed ost spe t a o uj ta asapri visokim frekvencijama, koje odgovaraju malim talasnim dužinama, potpuno su nezanimljive za brodogradnju... Zato se standardni spektar talasa koristi samo do frekvencija kod kojih amplituda talasa postaje zanemarljivo mala, npr. do

Važi, neočekivano

( )

( )

2b

o

T1 1T

ε⎛ ⎞

= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

??

talasa postaje zanemarljivo mala, npr. do

Tada je parametar širine spektra Standardni ITTC spektar, u domenu frekvencija koje su interesantne za ljuljanja broda, jeste relativno uzak, i za takve talase

max m3ω ω≈,2 0 35ε ≈

Rejlijeva raspodela važi samo za (relativno) uske spektre...

(približno) važi Rejlijev zakon raspodele amplituda...

Mali, ali značajni problem...


PREDAVANJA 2009. 76

Standardni ITTC spektri odnose se na otvoreno more (okeane) gde nema uticaja obala...Za mala mora i priobalne vode, uticaj blizine i oblika obale može biti veoma bitan...Z t t k di ij i l k l i kt i Postoji i spektar za Jadransko more –

U nedostatku pouzdanijuh podataka...JONSWAP spektar se može koristiti i za druge priobalne vode...

Zato su, tokom godina, razvijani lokalni spektri za mnoga svetska mora i priobalne plovne rute... Najpoznatiji od ovih spektara je spektar Severnog mora...tzv. JONSWAP spektar (Joint North Sea Wave Project)

ostoj spe ta a Jad a s o o eTabainov spektar...

Primer

( )( ) , , ( )fBS 0 658 3 3 Sωω ω= ⋅

( )

2

2m

1 12f e

ωωγω

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠=

, ,0 07 zaγ ω ω= <, ,,

m

m

0 07 a0 09 za

γ ω ωγ ω ω= >

SB(ω) – Bretšnajderov spektar


PREDAVANJA 2009. 77

Određivanje slobodne površine iz poznatog spektra

Statistička teorija realnih morskih talasa uvedena je radi prevazilaženja ćorsokaka u koji nas je dovela klasična, hidrodinamička teorija...

Postupak je inverzan postupku za određivanje spektra na osnovu poznate (merene) slobodne površine uzburkanog mora...

Poznati spektar S(ω) deli se naUstanovili smo: i pored nepredvidivosti i jedinstvenosti svake pojedinačne oluje, spektri energije talasa različitih oluja pokazuju značajnu pravilnost...Uveli smo standardne funkcije koji omogućuju da se na osnovu osnovnih statističkih parametara oluje

Poznati spektar S(ω) deli se na veliki broj traka širine Δω iodređuje površina svake trake

( )2A ω

( )nS ω Δω⋅Na osnovu definicije spektra

se, na osnovu osnovnih statističkih parametara oluje (značajne visine i srednjeg perioda talasa), predvide odgovarajući spektri neregularnih talasa...To je ključ rešenja. Iz poznatog spektra moguće je rekonstruisati slobodnu površinu uzburkanog mora... ( ) ( )n n n nA 2Sω ω Δω= ⋅

( )( ) n n

n nA

S2

ωωΔω

=⋅

sledi amplituda talasa koja odgovara frekvencije ωn

odnosno odrediti odgovarajuće neregularne talase čime se prevazilazi problem određivanja integracionih konstanti An , εn koji se javio primenom klasične teorije.

( ) ( )n n n n

To je jedna od dve integracione konstante n-te komponente talasa...


PREDAVANJA 2009. 78

Izraz za neregularne talase tada glasi

( , ) ( , ) sin( )n n n n nn 1 n 1

N

x t x t A k x tζ ζ ω ε∞ ∞

= =

= = ± + ≈∑ ∑

∑

Zato će se, u nizu uzastopnih proračuna slobodne površine na bazi poznatog spektra, uvek dobiti različit rezultat...

Iako je to posledica ograničenja koja( ) sin( ) .n n n n n

n 1

2S k x tω Δω ω ε=

≈ ⋅ ± +∑Manjem koraku odgovara veći broj komponenti N, tako da rezultat ne zavisi od proizvoljnog izboraΔω... T l i b j k l di i di i l ij

2nk

ω

Iako je to posledica ograničenja koja nosi statistička teorija...ovakav slučajni izbor faznih pomeraja εn unosi u račun potrebnu dozu nepredvidivosti i jedinstvenosti koju imaju i stvarne oluje...

Talasni broj kn sledi iz disperzione relacije nnk

g=

tako da za potpuno određivanje neregularnih talasa koji odgovaraju zadatom spektru, preostaje još samo da se odrede fazni pomeraji εn ...

Fazni pomeraji se međutim ne mogu odrediti izFazni pomeraji se, međutim, ne mogu odrediti iz spektra talasa.

Pri rekonstrukciji slobodbe površine uzimaju se, po pravilu, kao slučajne veličine u intervalu 0 – 2π


PREDAVANJA 2009. 79

Trodimenzionalni efekati – direkcioni spektar

Оd početka је pretpostavljeno da su talasi ravanski...

( )2

0f d 1

πμ μ =∫

Funkcija f(μ) mora biti parna u odnosu na μ , i mora važiti

Talasi su posledica vetra, a vetar se neprekidno i nepredvidivo menja oko svoje srednje vrednosti, kako po intenzitetu, tako i po pravcu... Prateći vetar, na slobodnoj površini se formiraju talasi čiji se pravac prostiranja rasipa

* ( , ) cos ( )22S Sω μ μ ωπ

= ⋅

2 2π πμ− ≤ ≤

Najčešće se koristi

j j p p j poko srednjeg, osnovnog pravca vetra...I strujanje vode u takvim uslovima je “blago” trodimenzionalno.

Ovaj zanemareni 3D efekat uračunava se preko tzv. direkcionog spektar talasa koji, osim od frekvencije

2 2

osim od frekvencijezavisi i od pravca u odnosu na osnovni pravac prostiranja talasa...

* ( , ) ( ) ( )S f Sω μ μ ω= ⋅


PREDAVANJA 2009. 80

Džinovski talasi

, , ...1/3 1/5A A ADefinisali smo srednje amplitude talasa, npr.

ali i očekivane maksimalne amplitude , npr.( ), ip

max maxA Aa oče va e a s a e a p tude , p .

Potražimo odnos maksimalne i srednje amplitude, npr.

lnln lnomax M2 NA T1 1N

σ ⎛ ⎞= = = ⎜ ⎟tako da najverovatnija maksimalna

Dobijene vrednost zavisi samo od broja talasa N, odnosno vremenom sporo, ali kontinualno rastu...

ln ln1/3 o

NA 2 2 T2 σ

= = = ⎜ ⎟⎝ ⎠

Teorijski amplituda bi postala beskonačno

Prikazana statistička teorija predviđa (povremeno i retko) izuzetno velike –džinovske talase (freak waves, rogue waves)... čij j lit d k d t ć d

amplituda dostiže (približno) /1 32A

Teorijski, amplituda bi postala beskonačno velika, ukoliko bi oluja trajala beskonačno dugo...

Realno, oluje traju nekoliko časova, sasvim retko nekoliko dana...

čija je amplituda preko dva puta veća od značajne... Ovakvi džinovski talasi opažaju se u olijama, i (kako se smatra) predstavljaju uzrok mnogih brodoloma...


PREDAVANJA 2009. 81

Npr. Draupnerski novogodišnji talas: Kratkoročna i dugoročna statistika

Dosadašnja statistička analiza odnosala se na jednu oluju, za koju važi jedan (nepromenjen) spektar talasa...

Interesantno je da osmatranja i merenja

Tokom takve oluje ne menja se ni srednja visina, niti srednji period talasa...Ovakvo nepromenjeno stanje obično traje nekoliko časova, sasvim retko nekoliko dana...Analiza se zato naziva kratkoročnaInteresantno je da osmatranja i merenja

talasa ukazuju da je pojava džinovskih talasa češća od one koju predviđa izložena statistička teorija...

Džinovski talasi koje predviđa izložena teorija, posledica su veoma nepovoljne (i veoma retke) superpozicije linearnih komponenti

Analiza se zato naziva kratkoročna statistika talasa.

Ako se kratkoročna statistika poveže s tabelama koje daju verovatnoću pojavetalasa na određenim morima i plovnim rutama...

superpozicije linearnih komponenti...

Kod velikih i strmih talasa, linearne teorija nije adekvatna...i dolazi do složene, nelinearne inerakcije pojedinih komponenata...

moguće je odrediti maksimalne amplitude i u dužem vremenskom periodu, koji obuhvata niz različitih oluja...To je tzv. dugoročna statistika talasa.


PREDAVANJA 2009. 82

Koja daje verovatnoću da će amplituda talasa biti veća od Ao

Pođimo od formule( ) exp

2M o

oo

T AV A AT 2σ

⎛ ⎞≥ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠Izvedena je iz kratkoročne statistike: Važi za jedno stanje mora odnosno jednu značajnu visinu (od koje zavisi σo) i jedan srednji j j j j ( j o) j jperiod talasa...Povezaćemo formulu s tabelama koje daju verovatnoću pji pojave talasa određene značajne visine i određenog srednjeg perioda...Da bismo dobili verovatnoću da će amplituda talasa biti veća od Ao u nekom dužem vremenskom periodu TD , dovoljno dugom da za njega važi odgovarajuća tabela, potrebno je sabrati verovatnoće za sve oluje (oluje svih visina talasa i svih perioda talasa) koje sesabrati verovatnoće za sve oluje (oluje svih visina talasa, i svih perioda talasa) koje se očekuju...

( ) ( ) ( ) ( )exp exp exp ...2 2 2

D o D o D oo 11 12 131 1 1

1 2 3o o o

2 2 2D o D o D o

T A T A T AV A A p p pT T T2 2 2

T A T A T A

σ σ σ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

≥ = − + − + − + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟( ) ( ) ( )exp exp exp ... ...D o D o D o

21 22 232 2 21 2 3o o o

D

p p pT T T2 2 2

T

σ σ σ+ − + − + − + + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

= ( )exp .n m 2

ji oj

i oj 1 i 1

p AT 2σ= =

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

∑∑ Tabela


PREDAVANJA 2009. 83

Na osnovu izvedene formule sledi jednačina za određivanje najverovatnije maksimalne amplitude talasa u periodu TD

Naime, ako smenimo( )oV A A 1≥ =

Ako se izabere radni vek broda od 20 godina = O(108 s), dobija se amplituda najvećeg talasa koji će doživeti brod, itd...

( )oV A A 1≥

amplituda Ao postaje najverovatnija maksimalna amplituda Amax , a izraz se svodi na jednačinu

n m 2ji maxp A⎛ ⎞

⎜ ⎟∑∑

Severni Atlantik:

( )expji maxD j

i oj 1 i 1

p AT 1T 2σ= =

⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑∑Ovaj izraz je moguće rešiti po nepoznatoj Amax

Ako se izabere period TD od 100 godina o se abe e pe od D od 00 god a= O(1010 s), rešavanjem po Amax dobija se amplituda tzv. stogodišnjeg talasa, odnosno maksimalna amplituda talasa koji se javlja jednom u veku.


PREDAVANJA 2009. 84

Rezime

Slobodna površina uzburkanog mora (u okviru linearne teorije talasa) sastoji se iz beskonačnog zbira harmonijskih (regularnih) komponenti

( , ) sin( )n n n nx t A k x tζ ω ε∞

= ± +∑n 1=∑

Da bi se iz ovog izraza odredila slobodna površina, potrebno je poznavati pojedine amplitude i fazne pomeraje An , εn

Amplitude An određujemo iz spektra talasa S(ω ) ( ) ( )n n n nA 2Sω ω Δω= ⋅Fazne pomeraje εn biramo kao slučajne veličine...

Ako je poznat spektar talasa, može se (sem slobodne površine) odrediti niz drugih statističkih veličina

/, , , , , , ...o 1 3 max mRMS h h h T Tσ

U proračunima ponašanja broda na talasima koriste se (najčešće) standardni spektri

Ključ je spektar talasa...

U proračunima ponašanja broda na talasima koriste se (najčešće) standardni spektri...

Da bi se odredio standardni spektar, potrebno je poznavati dve (ili samo jednu) statističku veličinu oluje, najčešće / ,1 3h T

Polazi se od oluje za koju je poznato ...


PREDAVANJA 2009. 85

Za kraj, tri tipična numerička primera

Brzina vetra(kn)

Značajna visina talasa

(m)

Stanje mora

(WMO)

Jačina vetra(°Bf)

Maks. period

(s)

Modalni priod

(s)

Maks. dužina talasa

(m)

Modalna dužina talasa

(m)

Verovatnoća pojavljivanja, svetski prosek

(%)

20 3,1 5 5 13,4 8,79 318 120 20

30 5,1 6 7 18,5 11,6 533 200 5

60 14,6 9 11 30,6 19,5 1467 567 0,001


PREDAVANJA 2009. 86

4. LJULJANJE BRODA NA REGULARNIM TALASIMA

Ljuljanja broda na mirnoj vodi predstavljaju (jezikom Mehanike) slobodne prigušene oscilacije tela oko svog ravnotežnog položaja...

Poremećaj pritiska koji izaziva regularni talas je harmonijska funkcija koja ima frekvenciju talasa... a brod ove oscilacije pritiska oseća prividnom frekvencijom talasa ωp ...

Τreba očekivati da ljuljanja broda na regularnim talasima predstavljaju prinudne prigušene il ij k d k jih j ć j il ( i d ) h ij k f k ij f k ijoscilacije, kod kojih je poremećajna sila (prinuda) harmonijska funkcija frekvencije ωp ...

Diferencijalna jednačina ovakvog kretanja glase

( )... sin2 ZZ Z p Z

Z

AZ 2 Z Z tD m

μ ω ω δ+ + + = ++

AZ , δZ – nepoznata amplituda i fazni pomeraj pobudne sile (momenta)...

Javljaju se dve frekvencije, ωZ ,ωp ...


PREDAVANJA 2009. 87

4.1. Prinudne sile i momenti

Postupak za određivanje AZ , δZ prikazujemo na primeru poniranja i posrtanja broda koji plovi pramcem ka regularnim talasima, konstantnom brzinom vo ...

p T o Tv kω ω= +

Pri tom je

Pri proučavanju poniranje broda na mirnoj vodi, pošli smo od jednačine

GD F g Dζζ⋅ = − ⋅

Treba usaglasiti koordinatne sisteme i oznake...

Osa ξ prolazi kroz ravnotežni položaj težišta G...Ravnotežna površina vode nalazi se na ordinati ζ od

Ova jednačina i dalje važi, s tim što sila Fζ sada sadrži i poremećaj koji unose regularni talasi...

Primenom postupka koji

( , ) ( , ) sin( )T VL T VL T T pt t A k tζ ξ ζ ζ ξ ζ ξ ω′= + = + +

Ravnotežna površina vode nalazi se na ordinati ζVL od horizontalne ravni ξη...Poremećena slobodna površina u inercijalnom sistemu ξηζ glasi

p p jsmo koristili na mirnoj vodi (primenom tzv. strip teorije), dobija se


PREDAVANJA 2009. 88

( )

( )

... sin( ) .dVL G G G p

p

F gD gA n m A t F

Fζ ζ ζ ζ ζ ζ

ζ

ρ ζ ζ ζ ω δ= − − − − + + +

( )pFζ poremećajna sila poznate frekvencije, ali nepoznate amplitude Aζ i nepoznatog Fζ

( )dFζ

p j p j , p p ζ p gfaznog pomeraja δζ , koja je posledica regularnih talasa

javlja se usled tzv. difrakcije talasa...

Pritisak u proizvoljnoj tački vode ispod regularnog talasa je

Tada važi expTk h

T

2 he 1πλ

− ⎛ ⎞−= ≈⎜ ⎟⎝ ⎠

sin( )Tk hT T T pp gA e k tρ ξ ω−= +

dubina vode ispod ravnotežne slobodne površineVLh ζ ζ= −

P iti k d l j t b d

Razlika zavisnosti poremećajnog pritiska od dubine vode u odnosu na klasičnu linearnu zavisnost hidrostatičkog pritiska, poznata je u literaturi kao Smitov efekat...Korišćenom aproksimacijom nije zanemaren samo Smitov efekat, već i

Pritisak deluje na trup broda...dubina h je manja ili jednaka gazu broda... Pretpostavićemo, radi jednostavnosti, da su talasi daleko duži od gaza broda, λT » T

kompletan uticaj dubine vode... Ovaj uticaj se ne zanemaruje u većini savremenih kompjuterskih programima ...Lj. Radosavljebić...


PREDAVANJA 2009. 89

Vertikalna sila kojom pritisak pT deluje na proizvoljni element dužine broda (elementarnu traku broda), tada iznosi

( ) ( )pTdf p b x dxζ = ≈

S obzirom na ψ « 1 xξ ≈važi

( ) ( ) sin( )pT T pF gA b x k x t dxζ ρ ω= ⋅ + ⋅ =∫

Tada je

( ) sin( )T T pgA b x k t dxρ ξ ω≈ ⋅ + ⋅sin( ) cos( )

L

T C p S pgA Q t Q tζ ζ

ρ ω ω⎡ ⎤= +⎣ ⎦

∫

( )cos , ( )sinC T S TQ b x k xdx Q b x k xdxζ ζ= =∫ ∫

Ukupna vertikalna sila izazvana poremećajnim pritiskom pT je tada

L L∫ ∫

( ) sin( )ppF A tζ ζ ζω δ= +

To je ranije pretpostavljeni oblik poremećajne sile

pri čemu je

( ) ( )

( ) sin( )

p p

L

T T p

L

F df

gA b x k t dx

ζ ζ

ρ ξ ω

= =

= ⋅ + ⋅

∫

∫

TA gA Qζ ζρ= ⋅

arctg S

C

Q

Qζ

ζ

ζδ =

2 2C SQ Q Qζ ζζ = +


PREDAVANJA 2009. 90

U prethodnom izvođenju korišćen je poremećajni pritisak pT koji je posledica (samo i isključivo) regularnih talasa...Izrazi za ove talase su izvedeni na “praznoj” slobodnoj

Vratimo se na izrazTreba razjasniti član ( )dFζ

( ) sin( )ppF A tζ ζ ζω δ= +

U specijalnom slučaju kada vodna li ij b d d j i t ijIzrazi za ove talase su izvedeni na praznoj slobodnoj

površini, bez prisustva broda...Realno, brod svojim prisustvom remeti regularne talase...Brod je prepreka o koju talasi udaraju, i na kojoj dolazi do njihovog odbijanja i prelamanja – odnosno tzv.

linija broda poseduje simetriju pramac – krma, važilo bi

( )sinS T

L

Q b x k xdx 0ζ= = ⋅⋅⋅ =∫

Za uobičajene brodove zato važidifrakcije talasa... Uticaj ovog dopunskog efekta obuhvata (difrakcioni) član

Zanemarićemo uticaj difrakcije...Ovo zanemarenje poznato je u literaturi kao

S CQ Qζ ζ

j

2 2C S CQ Q Q Qζ ζ ζζ = + ≈

( ) cosA gA b x k xdxρ≈ ⋅ ∫

( )dFζ

Uticaj difrakcije se ne zanemaruje u većini savremenih kompjuterskih programima...M. Simonović...

hipoteza Fruda i Krilova... ( ) cosT T

L

A gA b x k xdxζ ρ≈ ⋅ ∫

arctg S

C

Q0

Qζ

ζ

ζδ = ≈ 0ζδ ≈


PREDAVANJA 2009. 91

( ) cos ( )cosTTL L

xQ b x k xdx b x 2 dxζ πλ

⎛ ⎞≈ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫

Ostaje još da proučimo funkciju

Integral se rešava numerički, za svaki brod...

Rešenje, međutim, zavisi prvenstveno od odnosa dve karakteristične dužine: L i λT ,ima neka zajednička svijstva...

U slučaju kada su talasi daleko duži od broda, Tipično, funkcija ima oblikj ,λT » L , važi

T

x2 1πλ

( ) VL

L

Q b x dx Aζ ≈ =∫T VLA gA Aζ ρ=

U slučaju kada je brod daleko duži od talasa, L » λT , važi

Q 0ζ ≈

jer podintegralna funkcija više puta menja znak u domenu integracije... tako da je ( ) % VLQ 1 10 Aζ ∼


PREDAVANJA 2009. 92

Slično se dobuja i za pobudni moment posrtanja...

( ) ( ) ( )p pdM x df x p b x dx= = =

Polazi se od( ) ( ) ( ) ...p py TdM x df x p b x dxζ= ⋅ = ⋅ =

i dobija( ) sin( )py pM A tψ ψω δ= −

oA g Qψ ψρ α= ⋅ 2 2C SQ Q Qψ = + ( ) % yQ 1 30 Iψ ∼og Qψ ψρ C SQ Q Qψ ψψ

arctg S

C

Q

Qψ

ψ

ψδ =

Zbog (grube) simetrije pramac – krma, važi

( ) yQψ

Uobičajeno je da se koriste bezdimenzione amplitude poremećajne sile i momenta aζ , aψ

T VLA gA A aζ ςρ= ⋅

C SQ Qψ ψ

( )sin ( )sinS TTL L

xQ Q xb x k xdx xb x 2 dxψψ π

λ⎛ ⎞

≈ = = ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

o yA g I aψ ψρ α= ⋅


PREDAVANJA 2009. 93

( ) cos TVL L

1a b x k xdxAζ ≈ ∫

( )sin T1a xb x k xdxψ ≈ ∫

Gde je

( ) sin( )px TM A tϕ ϕω δ= +

U slučaju valjanja

Dobija se( ) T

T y Lk Iψ ∫

T TA gD MG k A aϕ ϕ≈ ⋅ ⋅ ⋅2ϕπδ ≈

,T

Ba 1 za 0

Ba 0 za

ϕ λ= =

→ →∞

λ ⎛ ⎞

Za pravougaonu vodnu liniju mogu se odrediti analitički...

,T

a 0 zaϕ λ→ →∞

sinT

T

LaLζ

λ ππ λ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

sin cos3T T T T

3y

Ba

L L L4 Iψλ πλ πλ πλ

π⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦/ ,TB 1 a 1ϕλ ≈Važi


PREDAVANJA 2009. 94

4.2 Rešenja jednačina, prenosne funkcije

Nezavisne (približne) diferencijalne jednačine koje opisuju ljuljanje broda na talasima imaju oblik

( ) sin( )o p ZZ t Z tω γ= +

Amplituda i fazni pomeraj ovog kretanja su

2ZA

Zω

( )sin2 2Z Z Z Z p ZZ 2 Z Z A a tμ ω ω ω δ+ + = +

TA A=

o T TA k Aα= =

gde jekod poniranja,

kod posrtanja i valjanja

R š j dif ij l j d či j

( )

( )

Zo 22 2 2 2

Z p Z p

22 2 2Z Z Z

Z4

A

1 4

ω ω μ ω

Λ Ψ Λ

= =− +

=− +

( ) sin( )

sin( )

Z tho Z Z

opšte rešenjehomogenog dela jednacine

o p Z

Z t Z e t

Z t

μ ω ε

ω γ

−= + +

+ +

Rešenje diferencijalne jednačine je

arctg arctg2

Z Z Z ZZ 2 2 2

Z p Z

2 21

μ ω Ψ Λγω ω Λ

= =− −

Tωgde su

partikularno rešenjenehomogene jednacine

Rešenje homogenog dela jednačine odumire, tako da posle izvesnog prelaznog perioda važi

p ZZ

Z p

TT

ωΛ

ω= =Z

ZZ

Ψ μω

=


PREDAVANJA 2009. 95

Već su se više puta sreli s prikazanim postupkom i rešenjima diferencijalne jednačine prinudnih oscilacija...

Da li razumeju ..?B d č k lj lj j il j d i f k ij iBrod, na početku ljuljanja, osciluje sa dve nezavisne frekvencije, sopstvenom ωZ i prinudnom ωp ...Pri tome, amplituda i fazni pomeraj sopstvenog ljuljanja Zho i εZ zavise od početnih uslova kretanja... Amplituda i fazni pomeraj prinudnog ljuljanja ne zavise od početnih uslova...Posle izvesnog vremena sopstvene oscilacije odumuru, i brod nastavlja da g p j joscilacije prividnom frekvencijom talasa ωp ...a kretanje više ne zavisi od početnih uslova...Brod, prema tome, na početku kretanja pokušava da se ljulja svojom sopstvenom frekvencijom, ali se vremenom povinuje diktatu prinude...Ne treba, međutim, pomisliti da sopstvena frekvencija broda ne utiče na njegovo d lj k t jdalje kretanje...Brod se ljulja prinudnom frekvencijom talasa ωp , ali odnos frekvencija ωp / ωZpresudno utiče na amplitudu i na fazni pomeraj njegovog kretanja.


PREDAVANJA 2009. 96

Bezdimenzioni odnos Zo /A u Mehanici se najčešće naziva faktor pojačanja oscilacija...Kod ljuljanja broda se odomaćio termin prenosna funkcija ljuljanja

S obzirom da prenosne funkcije ljuljanja broda imaju izuzetan značaj...uvešćemo ih ovde i na drugačiji način, koji će im dati i novi smisao, i objasniti njihov naziv

o oZ

T

Z ZP

A A= = kod poniranja

o o oZ

Z Z ZP = = =

Prenosne funkcije su, prema tome naziv.

( )( ) cosT T p Tt A tζ ω ε′ = +

Videli smo da regularni talas, koji je u okolini koordinatnog početka opisan funkcijom

Zo T T

PA k Aα

kod posrtanja i valjanja

oZ

ZP

A=

Pogodno je i za rotaciona kretanja definisati prenosnu funkciju oblika

( )( ) cosT T p Tt tζ ω ε

( ) cos( )o p T ZZ t Z tω ε γ= + +

M ž ći d čiji č ik d

dovodi do ljuljanja broda

TA

Takο definisana funkcija nije bezdimenziona...

oZ T Z

T

ZP k P

A= =

Dobija seMože se reći, drugačijim rečnikom od onog koji je do sada korišćen, da se ulaz

transformiše se u izlaz

( )T tζ ′

( )Z t


PREDAVANJA 2009. 97

( )p Ti tT TA e ω εζ +′ =

( )p T Zi toZ Z e ω ε γ+ +=

d l i d l i f k ij i j j

Izraze možemo napisati u kompleksnom obliku

Njen modul – realna funkcija PZ , transformiše amplitudu ulaza AT u

Z TZ P ζ ′= ⋅

Kompleksna prenosna funkcija, prema tome, transformiše ulaz u izlaz

gde samo realni delovi funkcija imaju svoje fizičko značenje

( )p TZ i tioZ Z e e ω εγ += ⋅

Izlaz svodimo na fazu ulaza...

transformiše amplitudu ulaza AT u amplitudu izlaza Zo

o Z TZ P A= ⋅

Za funkcije koje na ovaj način transformišu (pretvaraju, preslikavaju, prenose) ulaz u izlaz, odnosno uvodimo tzv. kompleksnu amplitudu izlaza

Zio oZ Z e γ=

( )

( )

p T

Z Z

p T

i ti io o o

Z Zi tT T TT

Z e Z ZZP e P eA AA e

ω εγ γ

ω εζ

+

+= = = = = ⋅′

Odnos izlaza i ulaza je

u tehnici (elektrotehnici, automatskom upravljanju...) odomaćio se termin prenosna funkcija, koji je prihvaćen i u brodogradnji. U literaturi na engleskom jeziku često se umesto odgovarajućeg terminaT T TT eζ

kompleksna prenosna funkcija

Njen modul je ranije uvedena (realna) prenosna funkcija PZ , a njena faza je γZ

se, umesto odgovarajućeg termina transfer function, za realni deo prenosne funkcije koristi i termin Response Amplitude Operator, i odgovarajuća oznaka RAO

ZP


PREDAVANJA 2009. 98

4.3. Plovidba na bočnim talasima

Pretpostavićemo da brod plovi bočno u odnosu na regularne talase...

Važiμ = -π/2 , ωp = ωT , a izraz za slobodnu površinu glasi

( , ) sin( )T VL T T Tt A k tζ η ζ η ω= + +

Brod istovremeno vrši valjanje φ(t),poniranje ζG(t) i zanošenje ηG(t)...a nezavisne diferencijalne jednačine j jkretanja glase

( )( ) sinx TJ m n gD MG A tϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ω δ+ + + ⋅ ⋅ = +

( ) sin( )G G VL G TD m n gA A tζ ζ ζ ζζ ζ ρ ζ ω δ+ + + = +

Talasi se prostiru od pozitivne ka negativnoj osi η

( ) cos( )G G TD m n A tη η η ηη η ω δ+ + = +

Analiziraćemo, detaljno, samo valjanje broda...


PREDAVANJA 2009. 99

Pretpostavićemo da je dužina talasa daleko veća od širine broda

T Bλ

a 1ϕ ≈

a fazni pomeraj valjanja γφ iznosi

arctg arctgT2 2 2

T

2 21

ϕ ϕ ϕϕ

ϕ ϕ

μ ω Ψ Λγ

ω ω Λ= =

− −

Tada važi

A diferencijalna jednačina valjanja glasi

cos2 2o T2 tϕ ϕ ϕϕ μ ϕ ω ϕ α ω ω+ + =

( ) cos( )o Tt t ϕϕ ϕ ω γ= −Rešenje je

ϕ ϕ

T

T

TTϕ

ϕϕ

ωΛω

= =

Na osnovu disperzione relacije, važi

gde je

( )

2o

22 2 2 2oT T

P4

ϕϕ

ϕ ϕ

ωϕα ω ω μ ω

= = =− +

Izraz za prenosnu funkciju valjanja glasi

tako da se prenosna funkcija može izraziti i u obliku

2T T

T

2 ggk πωλ

= =

( )22 2 2

1

1 4ϕ ϕ ϕΛ Ψ Λ=

− + ( )

2To

22oT T

P2 g 8 g

ϕϕ

ϕ ϕ

ω λϕα ω λ π π μ λ

= =− +

odakle sledi amplituda valjanja φo


PREDAVANJA 2009. 100

Dijagrami prenosne funkcije i faznog pomeraja su...

Dijagrami se odnose na jedan brod na t l i ih f k ij d ihtalasima svih frekvencija, odnosno svih talasnih dužina. Brod na jednom regularnom talasu predstavlja tačku u dijagramima...Iako se prenosne funkcije, zbog različitih prigušenja i različitih sopstvenih frekvencija, razlikuju od broda do broda...sve imaju neke bitne zajedničke karakteristike...



Posmatrajmo funkciju oblika

( )22 2 2

1P1 4

ϕ

ϕ ϕ ϕΛ Ψ Λ=

− +( )ϕ ϕ ϕ

Važi

( )P 0 1ϕ →

( )P 0∞ →( )P 0ϕ ∞ →

( ) o

o rez

1P 12ϕ

ϕ

ϕα Ψ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎝ ⎠

Oblast dijagrama u okolini rezonancije (obično 0,75 < Λφ < 1,25) naziva se kritična oblast. Levo od kritične je potkritična, a desno natkritična oblast.



Krajnji levi deo dijagrama, koji odgovara vrednostima faktora poremećaja Λφ « 1, je tzv. daleka potkritična oblast valjanja. U toj oblasti, sopstveni period valjanja broda daleko je kraći od perioda talasa, Tφ « TT

P 1ϕ ≈ o oϕ α≈0ϕγ ≈ ( ) coso Tt tϕ ϕ ω=

Važi

Nagib talasa je

( , ) cos( )TT o T Tt k t

ζα η α η ωη

∂= = +

∂pa vrednost nagiba u okolini broda (za malo kT η) iznosi

( ) cosT o Tt tα α ω≈

g j

Sl di

( ) ( )Tt tϕ α≈

to je oblast krutog valjanja

Sledi



Okolinu rezonancije Λφ ≈ 1 karakteriše izraženi rezonantni pik

l d k j ib b d d l k ći d

( ) o

o rez

1P 12ϕ

ϕ

ϕα Ψ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎝ ⎠

usled koga je nagib broda daleko veći od nagiba talasa.Za brodove bez specijalnih uređaja za smanjenje valjanja (npr. ljuljnih kobilica), bezdimenzioni koeficijent prigušenja je tipično Ψφ = 0,05 - 0,1 , tako da visina rezonantnog

ik i i ( / ) 5 10

Fazni pomeraj valjanja je γφ (1) = π/2 , tako da zakon rezonantnog valjanja

pika iznosi (φo /αo)rez = 5 – 10 . Zbog toga i talasi sasvim malog nagiba (npr. 1 – 2°) dovode do velikih amplituda valjanja broda...Ovako velike amplitude valjanja su opasne...a dovode u pitanje i opravdanost korišćenja

(formalno) glasi( ) sino Tt tϕ ϕ ω= −

Najveći nagibi (amplitude) valjanja javljaju se na bregu i u dolji talasa...

a dovode u pitanje i opravdanost korišćenja linearne teorije... Linearna teorija samo grubo i neprecizno daje visinu rezonantnog pika, ali precizno određuje oblast valjanja koju treba izbegavati...

Primer rezonancije...



Na desnom kraju dijagrama (za Λφ » 1) nalazi se tzv. daleka natkritična oblastvaljanja... U ovoj oblasti sopstveni period valjanja broda daleko duži od perioda talasa, Tφ » TT

Brod se ponaša tromo, i ne stiže da prati dejstvo talasa, tako da je amplituda njegovog valjanja zanemarljivo mala...

Z š j i i j b d t j li

( )t 0ϕ ≈

Zanošenje i poniranje broda postoje, ali se brod pri tom ne naginje...Ovakvo valjanje, naziva se meko valjanje broda.

Između daleke potkritične oblasti (oblasti krutog valjanja), rezonancije i daleke natkritične oblasti (oblasti mekog valjanja), dijagram prenosne funkcije se kontinualno menja...Obl dij k j j ć b d l i iOblast dijagrama u kojoj će se brod nalaziti zavisi od njegovog sopstvenog perioda valjanja, i od perioda talasa...Zato se teorijski svaki brod, u zavisnosti od talasa, može naći u svakoj od oblasti valjanja...



S druge strane, različiti brodovi na talasima iste talasne dužine nalaze se u različitim oblastima dijagrama...pri čemu su brodovi kraćeg sopstvenog perioda uvek pomereni ulevo u odnosu na

Numerički primer... Posmatrajmo valjanje tri različita broda na istimregularnim talasima... Neka talasi imaju dužinu λT = 200 m. Τo je tipična dužina najvećih (modalnih) talasap p

brodove dužeg sopstvenog perioda...

Sopstveni period valjanja broda je

x2 jT

gMGϕ

π≈

Τo je tipična dužina najvećih (modalnih) talasa u umereno jakoj okeanskoj oluji...

λT = 200 m, TT = 11,6 s, ωT = 0,555 rad/s

Tφ(s) ωφ (rad/s) Λφoblast

valjanja

Dobija se

i zavisi od dimenzija broda preko radijusa inercije jx , i od početnog stabiliteta broda preko metacentarske visine MG . Veliki brodovi, čija je metacentarska visina na granici minimalno dozvoljene, imaće najveće, dok će mali i (ili) izuzetno stabilni

Brod A 5 1,257 0,43 potkritična

Brod B 12 0,524 1,03 kritična

Brod C 30 0,209 2,58 natkritična

ajveće, do će a ( ) u et o stabbrodovi, imati najmanje sopstvene periode valjanja...Na osnovu toga, moguće je predvideti i (donekle) uticati na ponašanje broda na bočnim talasima...



Prethodna analiza je nepotpuna jer, u realnim uslovima, na slobodnoj površini istovremeno postoje talasi različitih dužina...Za potpuniju sliku treba zato sačekati poglavlje o valjanju broda na neregularnim

l i

Najmanje prigušenje (samo usled trenja) imaju brodske forme sa kružnim rebrima... Što su forme oštrije, prigušenje raste, kako usled vaćih talasa koji se indukuju, tako i

l d d d t i k tl ž jtalasima... Ipak, treba uočiti da i najduži talasi realnih oluja nemaju periode duže od pola minute,tako da brodovi s ovako dugim sopstvenim periodima praktično nikada ne zapadaju u rezonanciju valjanja...

usled dodatnog viskoznog vrtloženja... Da bi se značajnije povećao otpor pri valjanju, brodu se dodaju izdanci, tzv. ljuljne kobilice...

j j j

Ukratko, i o prigušenju pri valjanju... Od prigušenja presudno zavisi visina rezonantnog pika... Prigušenje je posledica sistema talasa koji se indukuju samim valjanjem broda, ali i d d ih i k ih f k j lj k bili i lič i d d i ć d jdodatnih viskoznih efekata... Problematika je izuzetno složena, i još uvek nije do kraja rešena...Ipak, neki od kvalitativnih zaključaka u vezi prigušenja su očigledni...

Ljuljne kobilice i slični dodaci već spadaju u posebane uređaje – tzv. stabilizatore ljuljanja, o kojima ćemo posebno govoriti...



Da rezimiramo... Najnepovoljnija oblast valjanja broda na regularnim talasima je kritična oblast (oblast rezonancije) koju, kad god je to moguće, treba izbeći... Brod treba da bude što dalje od rezonancije, bilo u potkritičnoj, bilo u natkritičnoj oblasti

Švaljanja... Šta je bolje?..Ovakvo “podešavanje” oblasti valjanja je (delimično) pod kontrolom projektanta i (ili) zapovednika broda... Oni mogu uticati na sopstveni period valjanja preko metacentarske visine broda... Videće se da zapovednik broda ima i dodatni efikasan način da izbegne rezonanciju –prmenom pravca kretanja brodaprmenom pravca kretanja broda... I projektant broda ima dodatnu mogučnost da smanji negativan uticaj rezonancije povećanjem prigušenja, odnosno pogodnim izborom forme i (mnogo efikasnije) ugradnjom tzv. stabilizatora valjanja... Ni projektant, niti zapovednik broda, međutim, ne mogu uticati na same talasa, pogotovo što u realnim uslovima na slobodnoj površini postoji veliki broj talasa različitih perioda... Zato ova analiza ostaje nepotpuna... i biće dopunjena i zaokružena tek u poglavlju o valjanju broda na neregularnim talasima...

Analogija, lenjivac, štreber, entuzijasta...



Do sada smo analizirali samo ugao valjanja (nagiba broda) φ(t)... Sada ćemo odrediti i ugaonu brzinu i ugaono ubrzanje broda

i lj jpri valjanju

( ) sin( )o T Tt t ϕϕ ϕ ω ω γ= − −

( ) cos( )2o T Tt t ϕϕ ϕ ω ω γ= − −

Mogu se definisati i prenosne g pfunkcije ugaone brzine i ugaonog ubrzanja

( ) ( )

2To T o

T T 2 22 2 2 2 2 2 2o oT T

P P4 1 4

ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ω ω Λϕ ω ϕω ωα α ω ω μ ω Λ Ψ Λ

= = = = =− + − +

ωT = ωφ

( ) ( )ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

( ) ( ).

2 2 22T2 2o T o

T T 2 22 2 2 2 2 2 2o oT T

P P4 1 4

ϕ ϕϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

ω ω Λϕ ω ϕω ωα α ω ω μ ω Λ Ψ Λ

= = = = =− + − +



Dijagrami prenosne funkcije valjanja veoma su slični odgovarajućim dijagramima iz Dinamike i Teorije oscilacija...Postoji, međutim, i jedna bitna razlika...razliku.

Za poniranje i zanošenje na bočnim talasima dobija se

( ) sin( )oG G Tt t ζζ ζ ω γ= −

Prigušenje i sopstvena frekvencija valjanja broda, za razliku od klasičnih problema oscilacija, zavise od frekvencije kretanja, odnosno menjaju se duž apcisa ovih dijagrama...To je posledica činjenice da dodatna masa

oG

T

PAζ

ζ= oG

T

PAη

η=

( ) cos( )oG G Tt t ηη η ω γ= −

To je posledica činjenice da dodatna masa mφ i prigušenje nφ zavise od frekvencije kretanja...što je opet (fizički) posledica sistema talasa koji se indukuje samim valjanjem broda...

Ovakva zavisnost hidrodinamičkih koeficijenata od frekvencija ne utiče bitno na valjanje, jer su koeficijenti mali

Daleko značajniji će biti uticaj na poniranje i posrtanje broda...



Pomernja, brzine i ubrzanja tačaka broda

cos CC

C

yr

β = sin CC

C

zr

β = 1ϕKoristimo

C G Cv zη

η ϕ≈ −

C G Cv yζ

ζ ϕ≈ +

Dobija se

Odnosno integraljenjem i diferenciranjem

GC Cv r ϕ=

2 2C C Cr y z= +

C G Czη η ϕ= −

C G Cyζ ζ ϕ= +

C G Ca zη

η ϕ≈ −

ζ

GC G Cv v v= +

C C C

( )sin cos sinC G C C G C C C Cv r r rη

η ϕ β ϕ η ϕϕ β ϕ β= − + ≈ − −

( )cos sin cosC G C C G C C C Cv r r rζ

ζ ϕ β ϕ ζ ϕϕ β ϕ β= + + ≈ − +

C G Ca yζ

ζ ϕ≈ +

Zbir (razlika) harmonijskih funkcija...



Pomeranje (poniranje i posrtanje) proizvoljne tačke broda jednako je zbiru (razlici) harmonijskih funkcija iste frekvencije...

Takav zbir (razlika) je opet

Za amplitude i fezne pomeraje dobija se nakon trigonometrijskog računa...

Takav zbir (razlika) je opet harmonijska funkcija...

sin( )oC C T Ct

ηη η ω γ= −

cos( )o o o

2 2 2C G C o G C oz 2 z ϕ ηη η ϕ η ϕ γ γ= + − −

sin( )o o o

2 2 2C G C o G C ox 2 x ϕ ζζ ζ ϕ ζ ϕ γ γ= + + −

sin sinzη γ ϕ γ⎛ ⎞

sin( )oC C T Ct

ζζ ζ ω γ= −

sin sinarctg

cos coso

o

G C oC

G C o

zzη

η ϕ

η ϕ

η γ ϕ γγ

η γ ϕ γ⎛ ⎞−

= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

sin cosarctg

cos sino

o

G C oC

G C o

xxζ

ζ ϕ

ζ ϕ

ζ γ ϕ γγ

ζ γ ϕ γ⎛ ⎞−

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

Pa je

cos( )oC C C T T Cv t

η ηη η ω ω γ= = −

cos( )oC C C T T Cv t

ζ ζζ ζ ω ω γ= = −

sin( )2 tη η ω ω γsin( )o

2C C C T T Ca tη η

η η ω ω γ= = − −

sin( )o

2C C C T T Ca tζ ζ

ζ ζ ω ω γ= = − −



4.4. Plovidba broda ka talasima

Spregnute jednačine poniranja i posrtanja na regularnim talasima glase

( ) ( )2

2 ovJ Iψ ψ ρ ψ ζ ζ

⎛ ⎞+ + + + +⎜ ⎟

( )( ) ( ) ( )

sin ,G G VL G o VL C o

p

D m n gA m n v m gA x v n

A tζ ζ ζψ ζψ ζ ζ

ζ ζ

ζ ζ ρ ζ ψ ψ ρ ψ

ω δ

+ + + − − − − − =

= +

posrtanja na regularnim talasima glase

( )

( ) ( )

sin .

2 oy y o G o G

p

VL C G p

J m n gI v m m n v m

gA x A t

ψ ψ ζ ψζ ψζ ζ

ψ ψ

ψ ψ ρ ψ ζ ζω

ρ ζ ω δ

′+ + + − + − − + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

− = +

jednačine Salvensena, Taka i Faltensena, STF (Salvesen, Tuck & Faltinsen, 1970)

Približne nezavisne( ) sinG G VL G T pD m n gA gA Q tζ ζ ζζ ζ ρ ζ ρ ω+ + + = ⋅

( ) cosy y o pJ m n gI g Q tψ ψ ψψ ψ ρ ψ ρ α ω′+ + + = ⋅

Približne, nezavisne jednačine su

Odnosno



sin2 2G G G T p2 A a tζ ζ ζ ζζ μ ζ ω ζ ω ω+ + =

cos2 2o p2 a tψ ψ ψ ψψ μ ψ ω ψ α ω ω+ + =

( ) sin( )t tζ ζ ω γ= −

arctg arctg2

2 2 2p

2 21

ζ ζ ζ ζζ

ζ ζ

μ ω Ψ Λγ

ω ω Λ= =

− −

arctg arctg2

2 2 2p

2 21

ψ ψ ψ ψψ

ψ ψ

μ ω Ψ Λγ

ω ω Λ= =

− −Rešenja jednačina glase

( ) sin( )oG G pt t ζζ ζ ω γ= −

( ) cos( )o pt t ψψ ψ ω γ= −

pψ ψ

( )o

2G

22 2 2 2Tp p

aP

A 4

ζ ζζ

ζ ζ

ζ ω

ω ω μ ω

⋅= = =

− + Faktori poremećaja definisani su preko prividne frekvencije, odnosno prividnog perioda talasa...

Rezultati deluju veoma slično rezultatima valjanja...

Postoje, međutim, dve (naizgled) male razlike...

( )22 2 2

a

1 4

ζ

ζ ζ ζΛ Ψ Λ=

− +

( )

2o

22 2 2 2

aP ψ ψψ

ωψα

⋅= = =

,,

, ,

,( ),

p T o T

p

oo TTo

T

T v kT

Tv kv

ζ ψζ ψ

ζ ψ ζ ψ

ζ ψζ ψ

ζ ζ

ω ωΛω ω

ω Λω ω λ

+= = = =

= + = +

frekvencije, odnosno prividnog perioda talasa...

( )

( )

22 2 2 2op p

22 2 2

4

a

1 4

ψ ψ

ψ

ψ ψ ψ

α ω ω μ ω

Λ Ψ Λ

− +

=− +

, , Tζ ψ ζ ψω ω λTako da rezultati direktno zavise od brzine napredovanja broda vo ...

Bezdimenzione amplitude sile (momenta) aζ , aψzavise od parametra L/λT ...



Ove “male” razlike bitno komplikuju problem...

Analiziraćemo prvo funkcije

,P P

f fa aζ ψ

ζ ψζ ψ

= =

koje nemaju veći fizički ili tehnički značaj, alioje e aju već č te č ačaj, a(formalno) imaju isti oblik kao prenosne funkcije koje smo proučili u prethodnom odeljku... Jedina razlika je u prividnoj frekvenciji, odnosno faktoru poremećaja...

Sopstvene frekvencije poniranja i posrtanja imaju bliske vrednosti...Podsetimo se, sopstveni periodi su

( )T 1T 2

gζ

ζ

δ κπ

α+

=

( )yj T 12T 2 ψδ κπ +

,ζ ψ ζ ψω ω Λ Λ≈ ≈

Brod je u istoj oblasti ljuljanja (potkritičnoj, kritičnoj, natkritičnoj) i za poniranje, i za posrtanje...i ne razlikuju za više od 10%, tako da (grubo) važe

relacije

( )y

y

j2T 2i g

ψψ

ψ

π πω α

= =

Ukoliko je u rezonanciji...



Pri tome, sopstveni periodi ne sadrže neki pogodan parametar, kakav je npr. MG kod valjanja, preko koga bi projektant mogao efikasno da utiče na ovu karakteristiku broda...

Na sopstvene periode poniranja i posrtanja,

Po pravilu, i prigušenja poniranja i posrtanja se bitnije ne razlikuju...Ali oba su znatno veća od prigušenja broda pri valjanju

može se uticati samo u početnim fazama projektovanja...

valjanju...Zbog toga su rezonantni pikovi funkcija fζ , fηznatno niži od rezonantnog pika u slučaju valjanja broda...

Analizirajmo sada uticaj brzine plovidbe

Promenom brzine, tačka (brod) menja svoje mesto na odgovarajućoj krivoj...

Kao što se vidi iz izraza

( ) TζApscisa dijagrama je prividna frekvencija talasa...Tačka na dijagramima predstavljaju brod na jednom talasu, ali samo pri jednoj brzini plovidbe...

povećanjem brzine, brod pomera udesno...

( )oo

T

v ζζ ζΛ Λ

λ= +



Uticaj brzine je potpuno nov u odnosu na plovidbu na bočnim talasima, i daje značajnu mogućnost smanjenja ljuljanja broda... Kao što se kod valjanja rezonancija mogla

I veoma brzi brod ne dostiže netkritičnu oblast plovidbe...

Daleka natkritična oblast, na talasima koji su duži od broda, je nedostižna...j j j g

izbeći promenom metacentarske visine (odnosno sopstvenog perioda valjanja), kod plovidbe ka talasima rezonancija se može izbeći (ili izazvati) promenom brzine plovidbe.

P i b lj j

Spori brodovi se uglavnom nalaze u potkritičnoj oblasti plovidbe, brzi u kritičnoj, a tek veoma brzi brodovi mogu (i to samo izuzetno) doseći i natkritičnu oblast...Zato se sporiji brodovi obično blaže ljuljaju pri plovidbi ka talasima...

λT = 200 m, TT = 11,6 s

Tζ (s) Λζ(ο) vo (kn) Λζ

Oblast poniranja

Primer, za bolje razumevanje...

Smenjenje brzine plovidbe deluje povoljno na poniranje i posrtanje broda...

Tri broda različite brzine, na istim regularnim talasima...

Brod A 6 0,52 0 0,52 potkritična

Brod B 6 0,52 15 0,75 potkritična –kritična

Brod C 6 0,52 30 0.98 kritična

Videćemo da smanjenje brzine plovidbe, uz udaljavanje odrezonancije, ima i dodatne blagotvorne efekate...



Brodovi s dužim sopstvenim periodima poniranja i posrtanja upadaće u rezonanciju pri manjim brzinama plovidbe...Odnosno, da bi se brod zadržao u

k i ič j bl i i i ći b i

Zamislimo da brod juri ogromnom brzinom ka talasima, i tako uspe da dostigne daleku natkritičnu oblast poniranja i posrtanja...Poniranje i posrtanje broda u tom slučaju bi bilo zanemarljivo malopotkritičnoj oblasti i pri većim brzinama,

potrebno je da mu sopstveni periodi poniranja i posrtanja budu što kraći...

Zaključak je suprotan valjanju broda

bilo zanemarljivo malo...ali koliko bi to bilo povoljno? Brod ne bi ponirao ni posrtao i, umesto da se ljulja, “ronio” bi kroz talase...uz neprekidno i neprihvatljivo zalivanje palube i stalne udare talasa po nadgrađu...

( )oo

T

Tv ζ

ζ ζΛ Λλ

= +

Zaključak je suprotan valjanju broda...

Znači, iako su rešenja za valjanje broda formalno slična rešenjima za poniranje i posrtanje, važe (makar što se sopstvenih perioda tiče) potpuno suprotni zaključci...Za valjanje su povoljniji duži, a za

Prethodna analiza odnosila se na “uobičajene” brodove...Postoje i specijalni brodovi, projektovani da plove baš u dalekoj natkritičnoj oblasti poniranja i posrtanja...j j p j j

poniranje i posrtanje broda kraći sopstveni periodi ljuljanja...Uz ovu bitnu razliku, dodaćemo još jednuvezanu za daleku natkritičnu oblast ljuljanja...

To su tzv. SWATH (Small Waterplane Area Twin Hull) brodovi...

( )o

VL

V 12T 2gA

ζζ

ζ

κπ πω

+= =





Analizirali smo funkcije ( ), ( )p pf fζ ψω ω

i proučili važan uticaj brzine plovidbe vo ...

Sada se vraćamo na prenosne funkcije poniranja i posrtanjaponiranja i posrtanja

( ) ,

( )

pT

pT

LP f a

LP f a

ζ

ψ

ζ ζ

ψ ψ

ωλ

ωλ

⎛ ⎞= ⋅ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

= ⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠ S k k i d j d b d⎝ ⎠

i analiziramo (neobičan) uticaj parametra L/λT

Množenjem funkcija ( ), ( )p pf fζ ψω ω

funkcijama ( ) ( )/ , /T Ta L a Lζ ψλ λp T o T T o Tv k gk v kω ω= + = +

Naime, izraz

Svaka kriva odgovara jednom brodu na talasima svih prividnih frekvencija, pri jednoj, konstantnoj brzini plovidbe...

funkcija fζ (odnosno fψ ) raspada se na familiju prenosnih funkcija, od kojih svaka odgovara jednoj brzini plovidbe...

p T o T T o Tg

moguće je rešiti po kT

i iskoristiti

TT

2kπλ =



Dobija se, nakon sređivanja

( )

2o

Tp o p o

4 vg 2 v g g 4 v

πλω ω

=+ − +

ov 0≠za

T 2T

2 gπλω

= za ov 0=

odnosno

Sledi da različitim brzinama vo , pri istoj prividnoj frekvenciji ωp , odgovaraju različiti odnosi L/λT ,odnosno različite vrednosti poremećajne sile aζ i poremećajnog momenta aψ .

Pri veoma malim prividnim frekvencijama, za sve prenosne funkcije važi

,P P 1ζ ψ → p 0ω →za

To je posledica činjenice da male vrednosti i id f k ij d j

Svakoj brzini vo odgovaraće, prema tome, po jedna prenosna funkcija P

ζ

Pψ

(odnosno )

prividne frekvencije odgovaraju veoma dugim talasima...

Tako da, uz , ( )f 0 1ζ ψ =

Važi i / TL 1λ



Odnosno, s obzirom na

/0 Lω λ λ→ → →,a 1ζ ψ ≈

Pri veoma visokim prividnim frekvencijama talasa, za sve prenosne funkcije važi

,P P 0ζ ψ → za pω →∞

, , /p T T0 Lω λ λ→ ∞ → →∞

, ( )f 0ζ ψ ∞ → ,a 0ζ ψ →pa je

Između ovih krajnjih vrednosti, prenosne funkcije se bitno razlikuju...,ζ ψ p

Ovo je posledica činjenice da visoka prividna frekvencija odgovara veoma kratkim talasima...

( )

2o

Tp o p o

4 vg 2 v g g 4 v

πλω ω

=+ − +

Pri tome, na karakter funkcija presudno utiče odnos dužine broda i dužine onog talasa na kome dolazi do rezonancije...



Dužinu talasa na kome dolazi do rezonancije određuje se iz izraza λT = f ( ωp )

p ζω ω=kada se u njemu smeni(odnosno )p ψω ω=Važi

važi ( / ), ( / )rez reza L a L 0ζ ψλ λ ≈a vrednost prenosne funkcije u rezonanciji je zanemarljivo mala ( ) , ( )rez rezP P 0ζ ψ ≈

Između ovih (nerealnih) krajnosti nalazi seVaži

( )

2o

rezo o

4 vg 2 v g g 4 vζ ζ

πλω ω

=+ − +

/ rezL 1λodnosno ukoliko do rezonancije dolazi na

Ukoliko je

Između ovih (nerealnih) krajnosti, nalazi se familija prenosnih funkcija koje odgovaraju različitim brzinama plovidbe, odnosni različitom odnosu L/λrez ...

jdugim talasima

( / ), ( / )rez reza L a L 1ζ ψλ λ ≈važi

a rezonantni pik će ima klasičnu vrednost

,( ) , ( ) ( )rez rez rez1P P f

2ζ ψ ζ ψ Ψ≈ =

,2 ζ ψΨ

/ rezL 1λUkoliko je

odnosno ukoliko do rezonancije dolazi na kratkim talasima

Pri tome, većoj vo uvek odgovara duži rezonantni talas, odnosno izraženiji rezonantni pik...



Uočava se da neke od prenosnih funkcija, prvenstveno one koje odgovaraju manjim brzinama, uopšte nemaju rezonantni pik. Na osnovu ove činjenice, rezonanciju možemo podeliti na opasnu i bezopasnu...Pri bezopasnoj rezonanciji sopstvena i prinudna frekvencija jesu jednake, ali ovu pojavu ne prati karakterističan rezonantni pik, odnosno izrazito povećanje amplitude ljuljanja...Oštru granicu između opasne i bezopasne Već je rečeno da se rezonancija može izbeći Oštru granicu između opasne i bezopasne rezonancije je teško povući, jer je (donekle) stvar dogovora šta smatramo za „izraženi rezonantni pik”... Uobičajeno je da se kao granica usvaja

/ rezL 1λ ≈

j jsmanjenjem brzine plovidbe, odnosno da je (s tog aspekta) povoljnija sporija plovidba broda ka talasima...Sada zaključujemo da smanjenje brzine ima i dodatni povoljan efekat: ukoliko brod upadne u rezonanciji, manjim brzinama odgovaraju

Ako su talasi na kojima dolazi do rezonancije duži od broda, rezonancija je opasna. Ako su talasi kraći od broda , rezonancija je bezopasna.

j , j g jkraći rezonantni talasi, odnosno bezopasnija rezonancija...Smanjenjem brzine brod se, na dijagramima prenosnih funkcija pomera ulevo, ali i “preskaće” na nižu krivu...



Dužina rezonantnog talasa

( )

2o

rezo o

4 vg 2 v g g 4 vζ ζ

πλω ω

=+ − +

Da li brod, ploveći ka talasima, upada u opasnu ili u bezopasnu rezonanciju poniranja i posrtanja, predstavlja jedno od njegovih ključnih svojstava...Zato ćemo prethodnu analizu dopuniti jednim

l d i dij žosim od brzine plovidbe, zavisi i od sopstvene frekvencije poniranja, odnosno posrtanja broda... Višim sopstvenim frekvencijama, odnosno kraćim sopstvenom periodima, odgovaraju k ći t i t l i

preglednim dijagramom za proveru ove važne osobine broda ...tzv. dijagramom tipa rezonancije.

( )o TζΛ Λ

Polazimo od izraza

( )( )λkraći rezonantni talasi...Već smo videli da su kraći sopstveni periodi povoljni za izbegavanje rezonancije...Sada zaključujemo da kraći periodi, slično kao i manja brzina plovidbe, imaju i

( )oo

T

v ζζ ζΛ Λ

λ= + ( )( )oT

ovT ζ ζζ

λ Λ Λ= −

R1F ζΛ= −

⎛ ⎞

Dobija se, nakon sređivanja

dodatni povoljan efekat –pri kraćim sopstvenim periodima rezonancija će biti bezopasnija...

R

TT

LL 2Tζ πλλ

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

oR

vF

gL= gT T

Lζ ζ=



, ,RT

LF f Tζ ζΛλ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Dobijena je zavisnost Frudovog broja od tri bezdimenziona parametra

d i d

R

TT

1FLL 2T

ζ

ζ

Λ

πλλ

= −⎛ ⎞

⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

Dva, od ova tri parametra, odnose se na rezonanciju: parametar Λζ određuje da li postoji ili ne postoji rezonancija, a parametar L/λT određuje da li je rezonancija opasna ili bezopasna... Za sve krive ispod ove granične linije, j p p

Pretpostavljamo da je brod u rezonanciji 1ζΛ = T rezλ λ=

i za taj slučaj funkciju prikazujemo u koordinatnom sistemu

RT Fζ −

parametar L/λrez je veći od jedan,– rezonancija je bezopasna... Za sva krive iznad ove granice, parametarL/λrez je manji od jedan – rezonancija je opasna.

U šumi linija uočavamo krivu za odnosL/λrez = 1koja (po ranijem dogovoru) deli oblast opasne od bezopasne rezonancije...

R1 1F

T 2ζ π= −

deli oblast opasne od bezopasne rezonancije...

Granična linija



To je “dijagram tipa rezonancije” Dijagram ne daje kvantitativne podatake o tome kolika su ljuljanja broda...ali zato veoma pregledno kvalitativno prikazuje kompleksan uticaj brzine plovidbe i sopstvenog perioda na

Dijagram tipa rezonancije je univerzalan, u

p p g prezonanciju broda... Što je brod dalje od granične linije, bliže koordinatnom početku, rezonancija je bezopasnija...

Granična linija seće apcisu u tačkij g p j j

smislu da se (za razliku od dijagrama prenosnih funkcija) odnosi na sve brodove...Brod, pri jednoj brzini plovidbe predstavlja tačku u ovom dijagramu...Da li je u opasnom ili u bezopasnom području zavisi isključivo od njegovog sopstvenog

,T 2 2 5ζ π= ≈

tako da se brodovi sa većim sopstvenimperiodom nalaze u području opasne rezonancije, i kada ne napreduji...

a brodovi sa sopstvenim periodomzavisi isključivo od njegovog sopstvenog bezdimenzionog perioda poniranja (odnosno posrtanja) i od Frudovog broja...Pri tome, jedini proračun za određivanje pozicije broda u dijagramu predstavlja proračun sopstvenog perioda...

a brodovi sa sopstvenim periodom manjim od 2,5 mogu, povećanjem brzine, dospeti do oblasti opasne rezonancije...



Pri tome je brod sa manjim sopstvenim periodom poniranja uvek u povoljnijem položaju...i graničnu liniju dostiže pri većimi graničnu liniju dostiže pri većim brzinama...

L 100

Primer, tri broda različitih brzina:

L = 100 m

Tζ (s) vo (kn) FRλrez L/λrez Rezonancija

Brod A 6 0 0 56,2 1,779 Bezopasna

Brod B 6 15 0,246 132,6 0,754 Opasna

Brod C 6 30 0,492 198,1 0,504 Opasna



Pomeranja, brzine i ubrzanja tačaka broda

C C G Ca xζ

ζ ζ ψ= ≈ −

C C Ca zξ

ξ ψ= ≈

Diferenciranjem brzina slede komponente ubrzanja

C C Cξξ ψ

C C G C

C

z xζ ζ ψζ

= + −′

a integracijom brzina, komponente pomeranja

GC G Cv v v= +

GC Cv r ψ= ⋅

cos CC

C

xr

α = sin CC

C

zr

α =

C C C

C

x zξ ψξ

= +′

Projektovanjem na ose, slediC Cξ ζ′ ′Pri tome važi

cosC G C C G Cv r xζ

ζ ψ α ζ ψ≈ − = −

sinC C C Cv r zξ

ψ α ψ≈ =

oje tova je a ose, s ed

( ) sin( ) ,

( ) cos( ) ,oG G p

o p

t t

t tζ

ψ

ζ ζ ω γψ ψ ω γ

= −

= −

Zakoni poniranja i posrtanja broda su



sin( )oC C C p Cz tζ ζ ω γ= + −

Pa je i vertikalno kretanja (poniranje) proizvoljne tačke C harmonijska funkcija...

a odgovarajuće prenosne funkcije

o

C

C 2 2 2 2C T

T

P P x k PAζ ζ ψ

ζ= = ⋅⋅ ⋅ ≈ +

o p

o o

2 2 2C G C oxζ ζ ψ≈ +

gde se za amplitudu i fazni pomeraj dobija

Na osnovun poznatih prenosnih funkcija

T

,o o

C CC C

C C 2p p

T T

P P P PA Aζ ζζ ζ

ζ ζω ω= = = =

sin cosarctg

cos sino

o

G C oC

G C o

xx

ζ ζ

ζ ζ

ζ γ ψ γγ

ζ γ ψ γ+

≈−

Vertikalna brzina i ubrzanje su

Na osnovun poznatih prenosnih funkcija poniranja i posrtanja broda, moguće je...

Primer...cos( )

oC p C p Ctζ ω ζ ω γ= −

sin( )o

2C p C p Ctζ ω ζ ω γ= − −



Za analizu uslova pod kojim talasi zalivaju palubu, ili uslova pod kojim pojedine tačke broda izranjaju (izleću) iz vode...neophodno je odrediti vertikalnu koordinatu proizvoljne tačke broda u p jodnosu na slobodnu površinu vode, ζrel ...

( ) ( )relC C Tt tζ ζ ζ= −Važi

( ) sin( )T VL T p T Ct A t k xζ ζ ω≈ + +

pri čemu je



( )

sin( ) sin( )

relC C VL

C

C p C T p T C

z

ht A t k x

ζ ζ

ζ ω γ ω

= − +

+ − − +

Dobija se

( ) ( )o

rel

C p C T p T C

C

ζ γ

ζ ′( ) sin( )

rel rel

oC C C p Ch tζ ζ ω δ= + − Primer prenosne funkcije relativnog

pomeranja proizvoljne tačke broda u odnosu na slobodnu površinu...

( )( ) cos( )rel rel

orel C C p p Cv t tζ ζ ω ω δ= = −

( ) cos( )rel o o

o 2 2C C T C T T C CA 2 A k xζ ζ ζ γ= + − +

( )

cos( )rel

rel

oC 2

C C C T C CP 1 P 2P k xAζ

γ= = + − +TA

( )

cos( )rel

rel

oC p 2

v p C C T C CT

P 1 P 2P k xA

ζ ωω γ= = + − +



4.5. Plovidba na kosim talasima

Sasvim ukratko... ( )cosp ov kω ω μ= ± −

Prividna frekvencija talasa zavisi od μ

tako da sve prenosne funkcije zavise i od kursa broda...

0 ≤ ≤ 30°Plovidba niz talase, talasi s

Primer, 3D prenosne funkcije...u zavisnosti od frekvencije ωT

Fregata, L = 110 m,

25 k0 ≤ μ ≤ 30°,

krme (following sea)

30°≤ μ ≤ 60°Talasi s krme – bočno (quartering sea)

60°≤ μ ≤ 120°Plovidba na bočnim talasima, talasi s boka (beam sea)

vo = 25 kn

(beam sea)

120°≤ μ ≤ 150°Talasi s pramca – bočno (bow sea)

150°≤ μ ≤ 180°Plovidba ka talasima, talasi s pramca (head sea) T Tconst constω λ= → =



4.6. Spregnute jednačine ljuljanja broda

Opet, sasvim ukratko...

Brod ima 6 stepeni slobode, tako da postoje 6 jednačina ljuljanja...

I u najopštijem slučaju kretanja, nisu sve jednačine spregnute...

Sistem od 6 jednačina se raspada na dva sistema od po 3 spregnute jednačinesistema od po 3 spregnute jednačine...

to su diferencijalne jednačine simetričnihkretanja (zaletanja, poniranja i posrtanja)

i diferencijalne jednačine nesimetričnihkretanja (zanošenja, valjanja i zakretanja)...

Jednačine, sem mešovitih članova, sadrže i uticaj difrakcije talasa...



( )

cos sinG G G G

c sp p

D A B A B A B

F t F tξξ ξξ ξζ ξζ ξψ ξψ

ξ ξ

ξ ξ ζ ζ ψ ψ

ω ω

+ + + + + + =

= +

( )G G G G GA B D A B C A B Cζξ ζξ ζζ ζζ ζζ ζψ ζψ ζψξ ξ ζ ζ ζ ψ ψ ψ+ + + + + + + + =

cos sinc sp pF t F tζ ζω ω= +

( )

cos sinG G G G G y

c sp p

A B A B C J A B C

M t M tψξ ψξ ψζ ψζ ψζ ψψ ψψ ψψ

ψ ψ

ξ ξ ζ ζ ζ ψ ψ ψ

ω ω

+ + + + + + + + =

= +

( ) cos sinc sG G p pD A B A B A B F t F tηη ηη ηϕ ηϕ ηθ ηθ η ηη η ϕ ϕ θ θ ω ω+ + + + + + = +

( ) ( )

cos sinG G x xz

c sp p

A B J A B C J A B

M t M tϕη ϕη ϕϕ ϕϕ ϕϕ ϕθ ϕθ

ϕ ϕ

η η ϕ ϕ ϕ θ θ

ω ω

+ + + + + + − + + =

= +

( ) ( )

cos sinG G zx z

c sp p

A B J A B J A B

M t M tθη θη θϕ θϕ θθ θθ

θ θ

η η ϕ ϕ θ θ

ω ω

+ + − + + + + + =

= +

......



4.7. Dodatni problemi valjanja broda

4.7.1. Prigušenje pri valjanju

Nezavisna jednačina valjanja broda na Ne av s a jed ač a va ja ja b oda abočnim regularnim talasima glasi

( ) ( ) cosx r o TJ m M gD MG gD MG tϕ ϕ ϕ ϕ α ω+ + + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

( ) pot visr r rM M Mϕ = +

pot potrM nϕ ϕ= ( ) ...vis lam n

rM n nϕ ϕϕ ϕ ϕ= + ⋅ +

( )( ) ( ) cospot lam nx o TJ m n n n gD MG gD MG tϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ ϕ α ω+ + + + ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

Svodimo na

prigušenje nije linearno...

( )( ) cosex o TJ m n gD MG gD MG tϕ ϕϕ ϕ ϕ α ω+ + + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

I određujemo ekvivalentno linearno prigušenje ( ) ??enϕ =



Čisto teorijskim putem za sada

Određivanje nelinearnog prigušenja pri valjanju je veoma komplikovano, i još uvek nije rešeno s dovoljnom tačnošću...

Tipično...

Čisto teorijskim putem – za sada nemoguće...Semi – empirijske formule, uglavnom nedovoljno tačne i nepouzdane...Problem je čak i eksperimentalno određivanje (razmera)...

To je, najverovatnije, najslabija karika u proračunima ponašanja na talasima...

tako da nije neophodno određivati prigušenje f k ij

Rečeno je već da prigušenje zavisi i od frekvencije valjanja...

Najvažnije je, međutim, prigušenje pri rezonanciji...

za sve frekvencije...

Eksperimenti: slobodno, prigušeno valjanje...ili prinudno rezonantno valjanje...



4.7.2. Nelinearno valjanje

Diferencijalna jednačina nezavisnog nelinearnog valjanja broda na bočnim talasima glasitalasima glasi

( ) ( ) ( ) ( )x r st T TJ m M M M tϕ ϕ ϕ ϕ ω+ + + =

pri čemu sva tri momenta , ,r st TM M Mmogu biti nelinearna...

Diferencijalna jednačina valjanja se tada svodi na

Pod nelinearnim valjanjem, međutim, proučavamo samo uticaj momenta stabiliteta...

M gD MG ϕ≈ ⋅ ⋅

Do sada smo koristili aproksimaciju

( ) cos( )2 2st o T T2 h tϕ ϕ ϕϕ μ ϕ ω ϕ ω α ω ε+ + = +

( )( ) st

sth

hMGϕϕ =

gde je

Potrebno je bezdimenzioni krak stabiliteta ik ti ( ) f i listM gD MG ϕ≈

Sada, stvarnu vrednost

( )stM gD h ϕ= ⋅

...3 5 7st 3 5 7h c c cϕ ϕ ϕ ϕ= + + + +

prikazati (npr) u formi polinoma

i numerički rešiti diferencijalnu jednačinu...



Dobija seRešenja nelinearne jednačine, za razliku od linearne, ne predstavljaju harmonijske funkcije...ali i ona su periodične funkcije vremena čija amplituda, nakon početnog prelaznog perioda,

t j ( k i id ) k t tpostaje (makar prividno) konstantna...

Iako se i oblik, i period razlikuje se od odgovarajućeg linearnog rešenja, najvažnija razlika javlja se u amplitudama valjanja...

Prema linearnoj teoriji, brod se ne može prevrnuti na bočnim talasima...

Prenosne funkcije nelinearnog valjanja imaju “krivu kičmu”,odnosno tipično izgledaju...



Problem je komplikovan...

Mogu postojati npr. višeznača rešenja u rezonantnoj oblasti..

To je oblast histerezisa, dolazi do o je ob ast ste e sa, do a dobifrukacije...



4.7.3. Parametarsko valjanje

Brod koji plovi ka talasima (ili niz talase) vršiće, od svih šest komponenti ljuljanja, samo poniranje i posrtanje... T k k d iđ ij k j d

To je tzv. parametarsko valjanje...U slučaju da je prividna frekvencija talasa dvostruko veća od sopstvene frekvencije valjanja broda...i da je dužina talasa približno jednaka dužiniTako makar predviđa teorija koju smo do

sada izložili...Jednačina valjanja broda u takvim uslovima glasi

( )xJ m n gD MG 0ϕ ϕϕ ϕ ϕ+ + + ⋅ ⋅ =

i da je dužina talasa približno jednaka dužini broda...ovo valjanje može porasti do veoma opasnih amplituda...To je slučaj tzv. parametarske rezonancije.

Iako se parametarsko valjanje broda proučavloi identična jednačini valjanja broda na mirnoj vodi...

Svaki eventualni poremećaj koji bi doveo do naginjanja broda oscilatorno bi opadao i,posle izvesnog vremena, nestao...

Iako se parametarsko valjanje broda proučavlo decenijama...u širim brodograđevnim krugovima smatralo se da je reč o interesantnom teorijskom fenomenu, koji se može reprodokovati u strogo kontrolisanim eksperimentima, ali koji ne predstavlja opasnost za realne brodove u

Praksa, međutim, pokazuje i drugačije ponašanje broda: pri određenim brzinama plovidbe ka, i niz talase, može se javiti i valjanje broda...

ne predstavlja opasnost za realne brodove u realnim olujama...

Pojavom velikih kontejnerskih brodova krajem dvadesetog veka, stvari su se neočekivano i bitno promenile...



Projektanti kontejnerskih brodova su, težeći da povećaju palubu za smeštaj kontejnera, brodskim rebrima davali sve veći poprečni nagib (fler), i to posebno u krmenom delu broda... Dobijene forme su delovale povoljno s aspekta

š j l iponašanja na talasima: izrazita V – rebra i puna vodna linija su, u principu, pogodni za poniranja i posrtanja broda...Dugi sopstveni periodi valjanja, koji su posledica male MG, pogodni su za valjanje broda...

P t k lj j j dP j kt ti đ ti id li kl t k ih

Ogromni kontejnerski brodovi su se “divlje” valjaju pri plovibi ka olujnim talasima...i to posebno u situacijama kada bi zapovednik, u

Parametarsko valjanje je, od sporednog fenomena, postalo jedna od najaktuelnijih oblasti dinamike broda na početku 21. veka...A epizoda sa velikim kontejnerskim brodovima na prelazu vekova ostaće k d č ž d ti

Projektanti su, međutim, prevideli sklonost ovakvih formi ka parametarskom valjanju...Rezultati su bili zastrašujući...

i to posebno u situacijama kada bi zapovednik, u želji da smanji poniranje i posrtanje, smanjivao brzinu broda...U takvim uslovima su se veze kontejnera kidale, a brodovi su stizali u luke sa razbacanim, oštećenim i pogubljenim teretom...

kao opomena do čega može dovesti uvođenje novih formi... bez sveobuhvatnog sagledavanja svih, pa i sasvim neočekivanih aspekata i opasnosti.



Objašnjenje... Pri izvođenju jednačine valjanja pretpostavljeno je da je metacentarska visina broda konstantna... Međutim ukoliko brod plovi upravno naMeđutim, ukoliko brod plovi upravno na talase, oblik uronjenog dela trupa, a time i oblik vodne linije, se kontinualno menja... Ova promena je prvenstveno posledica talasa, čiji bregovi i dolje mimoilaze brod, ali (donekle) i poniranja i posrtanja samog broda izazvanog talasimaizazvanog talasima...

Najveće razlike u obliku vodne linije javljaju se pri talasnoj dužini jednakoj dužini broda...i to između slučajeva kada je brod na bregu i kada je brod na dolji talasa...Posebno su ugroženi brodovi s izraženom

MG FK MF GK= + −

( )o MG pMG M G f tω= +

x

o

IMF

V=

Važi

odnosno

Posebno su ugroženi brodovi s izraženom promenom oblika vodne linije s gazom...odnosno brodovi s velikim poprečnim nagibom rebara na svom pramčanom i krmenom delu...

const

cosMG p1f MG t2Δ ω≈ ⋅

Pretpostavljamo, približno



( ) cosx o p1J m n gD M G MG t 02ϕ ϕϕ ϕ Δ ω ϕ⎛ ⎞+ + + ⋅ + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Sledi

odnosno

( )22 1 t 0

Jednačinu možemo prikazati u oblikucos2 22 tϕ μ ϕ ω ϕ ε ω ϕ ω+ + = − ⋅ ⋅( )cos2

p2 1 t 0ϕ ϕϕ μ ϕ ω ε ω ϕ+ + + ⋅ =

gde je

o

MG2M GΔε =

I pored toga što se od diferencijalne jednačine

cos p2 tϕ ϕ ϕϕ μ ϕ ω ϕ ε ω ϕ ω+ + =

koji liči na jednačinu prinudnog valjanja...pri čemu je sada pobudni član na desnoj strani jednačine posledica promenljivog parametra u samoj jednačini ... Odatle se ovakvo valjanje i naziva I pored toga što se od diferencijalne jednačine

valjanja broda na mirnoj vodi razlikuje samo za jedan harmonijski član...dobijena diferencijalna jednačina je neuporedivo komplikovanija...Svodi se, pogodnom transformacijom, na tzv. dif ij l j d či M tj (M thi )

j j“parametarsko”.

U jednačini se javljaju dve frekvencije, pa treba očekivati rezonanciju... Problem je, međutim, znatno složeniji...Rešenje jednačine valjanja na mirnoj vodi,

diferencijalnu jednačinu Matjea (Mathieu)...a njena rešenja se mogu prikazati samo u formi specijalnih funkcija, poznatih kao funkcije Matjea...

eksponencijalno opada s vremenom...

Jednačina parametarskog valjanja ima i drugačije rešenje...

Rešenje jednačine valjanja na talasima teži harmonijskoj funkciji...



Rešenje može biti stabilno, i nestabilno... što zavisi od parametara

ϕϕ

ϕ

μΨ

ω=

Postoji beskonačno mnogo “parametarskih” rezonancija

, , , , ...2 n 1 2 3 4ϕΛ = =

u okolini kojih je rešenje nestabilno...

pϕ

ϕ

ωΛ

ω=

o

MG2M GΔε =

nϕ

Slede iz tzv. Ins-Stratovog (Ince-Strutt) dijagrama (važi za Ψφ = 0)

Glavna parametarska rezonancija je 2ϕΛ =



Da bi se rezonancija javila, potrebno je daΨφ bude dovoljno maloi da ε bude dovoljno veliko...

Dijagram sa prigušenjem( ) ( ) ( ).

22 2

min 2 a 1 0 5ϕ ϕ ϕ ϕε Λ Λ Ψ Λ⎡ ⎤≈ − +⎢ ⎥⎣ ⎦

Važi, približno

Parametar ε je najveći... ukoliko je λT = L

jag a sa p guše je

, ,a 1 25 za 2 a 1 za 2ϕ ϕΛ Λ= < = ≥

bi i ći d

Uslovi glavne parametarske rezonancije su, prema tome

, ,T min2 LϕΛ λ ε ε≈ ≈ >Parametar ε mora biti veći od praga parametarske rezonancije ... Prva dva uslova mogu se prikazati u formi

dijagrama parametarske rezonancije

mino

MG2M GΔε ε= >



p T o Tv kω ω= +

Za plovidbu ka talasima, polazi se od

v = ⋅⋅⋅

R1 2F

T2 ϕπ= −

R1 2F

T2 ϕπ= +

za slučaj

za slučaj

o Tv c<

o Tv c>

i, za uslove glavne parametarske rezonancije

k đi j d bij

ov = ⋅⋅⋅

, / T2 L 1ϕΛ λ= =

nakon sređivanja dobija...

R2 1F

T 2ϕ π= −

Na isti način, za plovidbu niz t l l ditalase, sledi

Prema linearnoj teoriji, brod se u slučaju parametarske rezonancije prevrće...

Realno, ljuljanje postaje nelinearno,a amplituda ne raste do beskonačnosti...



5. LJULJANJE NA NEREGULARNIM TALASIMA

Valjanje, poniranje i posrtanje broda na regularnimtalasima opisuju diferencijalne jednačine oblika

A

Rešenje jednačine se sastoji iz zbira opšteg rešenja homogenog dela...i jednog od njenih partikularnih

( )... sinZ2Z Z p Z

Z

AZ 2 Z Z tD m

μ ω ω δ+ + + = −+

Član na desnoj strani jednačine predstavlja poremećajnu silu (ili moment) kojom talasi deluju na brod...Neregularni talasi predstavljaju zbir beskonačno mnogo

integrala...

Partikularni integral jednačine ima oblik

( ) sin( )on n ZnZ t Z tω γ∞

= −∑Neregularni talasi predstavljaju zbir beskonačno mnogo regularnih talasa različitih frekvencija, od kojih svaki stvara odgovarajuću silu i moment...Diferencijalna jednačina ljuljanja broda na neregularnim talasima, prema tome, glasi

( )i2 1Z 2 Z Z A t δ∞

∑

( ) ( )on n Znn 1

γ=∑

S obzirom da homogeni deo rešenja diferencijalne jednačine eksponencijalno opada i isčezava... ( )... sin2

Z Z Zn n ZnZ n 1

Z 2 Z Z A tD m

μ ω ω δ=

+ + + = −+ ∑

gde ωn predstavlja n-tu komponentu prividnefrekvencije talasa

ovo rešenje, posle izvesnog vremena, predstavlja ukupno ljuljanje broda na neregularnim talasima...



Zaključujemo: Kao posledica činjenice da neregularni talasi predstavljaju zbir beskonačno mnogo regularnih, sinusnih talasa

Sledi da je, za određivanja zakona ljuljanja broda na neregularnim talasima, potrebno je rešiti ljuljanje na valikom broju regularnih komponenti... i zatim sabrati tako dobijena rešenja.

različitih frekvencija... i ljuljanje broda na neregularnim talasima predstavlja beskonačan zbir ljuljanja na ovakvim regularnim komponentama. To je princip superpozicije...koji omogućava da se relativno

j jZa ovakav postupak je neophodno poznavati oblik neregularnih talasa, odnosno znati amplitude regularnih komponenti An , koje odgovaraju svakoj (n-toj) prividnoj frekvenciji talasa ωn . Ιako brodograditelj ne zna ove amplitude ukoji omogućava da se relativno

jednostavno dođe do kretanja broda u realnim uslovima, ukoliko su poznata rešenja na regularnim talasima... Ključni uslov principa superpozicije je linearnost jednačina koje opisuju kretanje

Ιako brodograditelj ne zna ove amplitude u uslovima realnih oluja...on poseduje tzv. standardne spektre neregularnih talasa iz kojih može rekonstruisati površinu uzburkanog mora...

Pokazaćemo, međutim, da se ljuljanje broda na kretanje.Ukoliko ove jednačine nisu linearne, ovakav princip ne važi... a određivanje ljuljanja na neregularnim talasima postaje daleko složenije.

neregularnim talasima može rešiti i jednostavnije, bez određivanja pojedinačnih amplituda talasa...direktno iz poznatog spektara talasa, primenom tzv. spektara ljuljanja broda.



( )( )

( )o n

Z nn n

ZP

Aωωω

=Iz izraza za prenosnu funkciju ljuljanja

p pdω ω→ΔUkoliko

( ), ( ), ( )T n Z n B nS P Sω ω ωdiskretne vrednosti

postaju kontinualne funkcije prividne

5.1. Spektri i statističke vrednosti ljuljanjabroda

moguće je dobiti

( ) ( )( ) ( ) ( )

2 22 2o n n n

Z n Z n T np p

Z AP P S

2 2ω ωω ω ωΔω Δω

= = ⋅⋅ ⋅

( )( )

2n nA1Sωpri čemu je iskorišćeno

postaju kontinualne funkcije prividne frekvencije ωp

( ), ( ), ( )T p Z p B pS P Sω ω ω

tako da važi

( ) ( ) ( )2S P S( )

( ) n nT n

p

S2

ωΔω

=pri čemu je iskorišćeno

Definisaćemo, analogno spektru talasa, spektar ljuljanja broda (spektar valjanja, poniranja, posrtanja...)

( )( )

2o nZ1Sωω =

( ) ( ) ( )2B p Z p T pS P Sω ω ω= ⋅

To je ključna relacija proračuna ljuljanja broda na neregularnim talasima... Omogućava da se, iz zadatog spektra ( )B n

p

S2

ωΔω

Sledi formula

( ) ( ) ( )2B n Z n T nS P Sω ω ω= ⋅

neregularnih talasa i poznate prenosne funkcije ljuljanja broda, odredi spektar ljuljanja broda na neregularnim talasima.



Ukoliko, kod rotacionih kretanja, koristimo prenosnu funkciju

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )o n o n Z n

Z nZ Z P

Pk A k

ω ω ωωα ω ω ω ω

= = =( ) ( ) ( ) ( )n n n n n n n nk A kα ω ω ω ω

sledi alternativna formula

gde je ( )pSα ω tzv. spektar nagiba talasa...

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22

B p Z p T p Z p pS P k S P Sαω ω ω ω ω= ⋅ = ⋅ a ukupna površina ispod stepenaste linije je

g j ( )pα p g

Ukoliko se vrednosti spektra ljuljanja nanesu nad ogdovarajuće frekvencije ωn sa korakom Δωp ...dobiće se stepenasta linija...P ši d ki d k d bij ih

( ) ( )2B n p o n

n 1 n 1

1S Z2

ω Δω ω∞ ∞

= =

⋅ =∑ ∑Dokazano je ranije da za neregularne talase važi relacija

∞Površina pod svakim od ovako dobijenih stepenika iznosi

( ) ( )2B n p o n

1S Z2

ω Δω ω⋅ =

( ) ( )T 2o n n

n 1

1 A2

σ ω=

= ∑To je tzv. Persevalova teorema... koja važi i za ljuljanja broda



Važi, prema tome

( )( )2 Bo n o

n 1

1 Z2

ω σ∞

=

=∑l di

( )( ) BB n o

n 1

S ω Δω σ∞

=

⋅ =∑sledi

p pdω ω→ΔAko, dalje

d bij

Zaključimo, ukoliko se odredi spektar ljuljanja broda...

dobija se

( )( ) BB p p o

0

S dω ω σ∞

=∫njegovom integracijom po prividnim frekvencijama, sledi srednje kvadratno odstupanje ljuljanja... Odatle slede i ostale statističke veličine ljuljanja broda

Površina ispod funkcije spektra ljuljanja broda jednaka je srednjem kvadratnom odstupanju ljuljanja broda od njegovog ravnotežnog položaja

( )BB oRMS σ=

, BZ 1 25 RMS= ⋅ /1 3 BZ 2 RMS≈ ⋅ ...



Šematski ( ) ( ) ( )2v p v p T pS P Sω ω ω= ⋅

( ) ( ) ( )2a p a p T pS P Sω ω ω= ⋅

,v aP Pgde su

prenosne funkcije brzine, odnosno ubrzanja pri ljuljanju broda...

Površina ispod spektara brzine i ubrzanja su

( )v∞

∫Analogno spektru ljuljanja, mogu se definisati spektri brzine i ubrzanja ljuljanja

( )( )

2Z n

v nv1S

2ωω

Δω=

( )( )

2Z n

a na1S

2ωω

Δω=

P Pω=2P Pω

S duge strane, na osnovu relacija

( )( ) vv p p o

0

S dω ω σ=∫ ( )( ) aa p p o

0

S dω ω σ∞

=∫

p2 Δω

Postupkom prikazanim za spektar ljuljanja, moguće je dokazati da važe formule

p2 Δωv p ZP Pω=2

a p ZP Pω=sledi

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2v p p Z p T p p B pS P S Sω ω ω ω ω ω= ⋅ =

( ) ( ) ( ) ( )4 2 4a p p Z p T p p B pS P S Sω ω ω ω ω ω= ⋅ =



( )( ) ( )2 Bv p p p B p p 2

0 0

S d S dω ω ω ω ω σ∞ ∞

= =∫ ∫( )( ) ( )4 BS d S d

∞ ∞

∫ ∫

tako da važe relacije Koji je to tehnički problem?

Pri eksperimentima u bezenima za modelska ispitivanja ljuljanja broda... pomoću specijalnih uređaja (tzv. generatora talasa) stvore neregularni talasi poznatog( )( ) ( )4 B

a p p p B p p 40 0

S d S dω ω ω ω ω σ= =∫ ∫( ) ( )v Bo 2σ σ= ( ) ( )a B

o 4σ σ=Sledi

talasa) stvore neregularni talasi poznatog spektra, postavi model broda i meri njegovo ljuljanje... Spektralnom analizom izmerenih vrednosti ljuljanja... određuje se spektar ljuljanja b dKljučna formula proračuna ljuljanja broda na

neregularnim talasima( ) ( ) ( )2

B p Z p T pS P Sω ω ω= ⋅

može se se koristiti u još dva važna tehnička problema...

broda.Formula tada daje prenosnu funkciju ljuljanja broda... Do prenosne funkcije se tako dolazi samo jednim eksperimentom na neregularnim talasima...

Važi ( )( )

( )B p

Z pT p

SP

Sω

ωω

=

odnosno daje prenosnu funkciju u slučaju poznatog spektara ljuljanja i spektra talasa...

Alternativno, prenosna funkcija ljuljanja bi se mogla odrediti merenjem na regularnim talasima... ali bi tada bio neophodan veliki broj eksperimenata.



( )( )

( )B p

T p 2Z p

SS

Pω

ωω

=Važi, takođe

odnosno iz formule se može odrediti spektar talasa u l č j t kt lj lj j i t

Na osnovu proračunatih statističkih vrednosti ljuljanja, moguće je odrediti i verovatnoću da će amplituda ljuljanja biti veća

slučaju poznatog spektra ljuljanja i poznate prenosne funkcije. Gde se javlja takav problem?

Već je spomenuto da se talasi na svetskim morima i okeanima decenijama sistematski mere...

od neke unapred zadate vrednosti... Na osnovu činjenice da za amplitude ljuljanja približno važi Rejlijeva raspodela

2Z Z⎛ ⎞Kako se može meriti talas sa plovnog objekta (okeanografskog broda, bove) ukoliko se sam objekat ljulja? Ne mere se talasi, već ljuljanje plovnog objekta... Spektralnom analizom ljuljanja sledi spektar ljuljanja... Tada iz poznate prenosne funkcije plovnog objekta

( ) ( )( ) expo oo B B

o o

Z Zf Z

2σ σ⎛ ⎞

≈ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

verovatnoća da će amplituda ljuljanja Zo biti veća od vrednosti Zd iznosiTada, iz poznate prenosne funkcije plovnog objekta...

sledi i spektar neregularnih talasa. Formula, prema tome, predstavlja ključ za okeanografska merenja spektara neregularnih talasa...

Zd iznosi



( ) ( ) ( )( ) ( ) exp expd d

2 2o d

o d o o o oB B BZ Zo o o

Z Z1V Z Z f Z dZ Z dZ2 2σ σ σ

∞ ∞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞> = = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫Na isti način, verovatnoće da će amplitude brzine i ubrzanja pri ljuljanju biti veće od neke unapred zadate vrednosti, iznose

( ) ( ) ( )( ) ( ) exp expd d

22d

d B B Bv v2 2 2

vv1V v v f v dv v dv2 2σ σ σ

∞ ∞ ⎛ ⎞⎛ ⎞> = = ⋅ − = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫( ) ( ) ( )( ) ( ) exp exp

d d

22d

d B B Ba a4 4 4

aa1V a a f a da a da2 2σ σ σ

∞ ∞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞> = = ⋅ − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫Umesto verovatnoće, mogu se odrediti i srednje frekvencije pojavljivanja amplituda većih od Zd , vd , odnosno ad ... p d , d , d

Veza verovatnoće V i odgovarajuće srednje frekvencije (u hercima) glasi

( )

( )( )B

oB

p 2

V Vf HzT 2

σπ σ

= =( / ) ( )f 1 h 3600 f Hz= ⋅

Odnosno, srednji broj događaja na čas, iznosi



Primer ljuljanja na kosim neregularnim talasima...

( ) ( ) ( )2B p Z p T pS P Sω ω ω= ⋅∞

∫

Kada se primeni postupak...

Test brod je fregata dužine 110 m, pri brzini od 25 kn

( )( ) BB p p o

0

S dω ω σ=∫...





5.2. Posledice ljuljanja broda

Više puta je naglašeno da ljuljanje broda dovodi do niza pojava koje su nepovoljne za sam brod, za teret, za posadu i putnike...Sada, kada smo proučili osnovne principe proračuna ljuljanja broda... možemo se pozabaviti najvažnijim od ovih negativnih posledica ljuljanja...

5 2 1 Zalivanje palube izletanje5.2.1. Zalivanje palube, izletanje propelera, sleming

Pojave razmatramo zajedno zbog sličnosti metoda koje se koriste pri njihovoj analizi... Takođe, zato što su sve tri najopasnije pri plovidbi broda pramcem ka talasimaplovidbi broda pramcem ka talasima...

I dok su prve dve jasne već po svom nazivu... sleming je neophodno dodatno objasniti...



rel

oC Chζ >( )

Ovaj uslov, na osnovu činjenice da sinusna funkcija osciluje između vrednosti ±1, daje jednostavnu relaciju

Pri analizi zalivanja palube, izletanja propelera i pramčanog dela brodskog dna, iskoristićemo izraz

( ) sin( )rel rel

oC C C p Ch tζ ζ ω δ= + −

gde je, na osnovu ranijeg izvođenja

( ) cos( )rel o o

o 2 2C C T C T T C CA 2 A k xζ ζ ζ γ= + − +

Ako ovaj rezultat primenimo na karakteristične tačke

koji (za slučaj regularnih talasa) daje zavisnost relativnog rastojanja proizvoljne tačke broda od slobodne površine vode...

Interesuju nas uslovi pod kojim će tačke...

bij l li j l b i l j

proizviljna tačka C, koja se u ravnoteži nalazila na visinu hC nad neporemećenom slobodnom površinom, biti zalivena vodom... odnosno uslovi pod kojim će tačka C koja je bila na dubini hC , izroniti iz vode.

rel

oK Khζ >( )

rel

oP Phζ >( )

rel

oD Tζ >( )

Dobijamo uslove zalivanje palube, izletanje propelera, izletanje pramčanog dela dna... Do uranjanja, odnosno izletanja tačke C

doći će ukoliko njena relativna koordinata u nekom trenutku promeni znak...



Uslov izranjanja pramčanog dela dna jeste potreban, ali ne i dovoljan uslov sleminga...Da bi došlo do karakterističnih udara dna o površinu vode, neophodno je (dodatno)

( )( ) cos( )rel rel

orel C C p p Cv t tζ ζ ω ω δ= = −

Vertikalna relativna brzina dna broda u odnosu na slobodnu površinu regularnog talasa je

p p j ( )da brzina dna u odnosu na površinu vode bude dovoljno velika... Minimalna vertikalna brzina dna u odnosu na površinu vode pri kojoj dolazi do sleminga, tzv. granična brzina, ili prag sleminga (vps) obično se izražava

rel psv v>Uslov

prema tome daje

rel

op D 0 091 gLω ζ >( ) ,

p g g ( ps)preko odgovarajućeg Frudovog broja

( ) pspsR

vF

gL=

Ovaj broj određen je eksperimentalno (O hi 1964) i ibliž i i

Slede uslovi sleminga na regularnim talasima

rel

oD Tζ >( )

( ) ,psRF 0 091≈

(Ochi 1964) i približno iznosi rel

op D 0 091 gLω ζ >( ) ,

Pređimo sada na neregularne talase...,psv 0 091 gL≈

Sledi



Princip proračuna ljuljanja na neregularnim talasima prema kome se, iz poznatih prenosnih funkcija ljuljanja i poznatog spektra talasa,određuju se spektri ljuljanja...važi i za relativna kretanja – ( )( ) exp

2d

o d Bo

ZV Z Z

2σ⎛ ⎞

> = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Na osnovu ranije izvedenih formula za verovatnoću...

jrelativno vertikalno pomeranje i relativnu vertikalnu brzinu proizvoljne tačke broda u odnosu na slobodnu površinu vode...

Važe formule

o⎝ ⎠

( )( ) exp2d

d B2

vV v v

2σ⎛ ⎞

> = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Sledi i

2h⎛ ⎞

( ) ( ) ( )rel

2rel p C p T pS P Sω ω ω= ⋅

∞

∫

( )( ) exprel

2

C relo

hV h2

ζσ

⎛ ⎞> = −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )( ) exprel

2

C rel2

vV v v2σ

⎛ ⎞> = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( ) ( )rel

v 2 2 2rel p p C p T p p rel pS P S Sω ω ω ω ω ω= ⋅ ⋅ = ⋅

gde je( )

rel

rel

oC

CT

PAζ

=Sledi

( )( ) relrel p p o

0

S dω ω σ=∫( ) ( )( ) ( )v 2 relrel p p p rel p p 2

0 0

S d S dω ω ω ω ω σ∞ ∞

= =∫ ∫što je moguće direktno primeniti na karakteristične tačke zalivanja palube, izletanja propelera i sleminga...



( )( )( ) exp

rel

2o K

K K relo

hV h

2ζ

σ⎛ ⎞

> = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2h⎛ ⎞( )( )( ) exp

rel

2o P

P P relo

hV h

2ζ

σ⎛ ⎞

> = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )( )( ) exp

rel

2o

D relo

TV T2

ζσ

⎛ ⎞> = −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠( )

( )( ) exprel

2pso

D ps rel2

vV v v

2σ⎛ ⎞

> = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( )( ) exp exp exp2 22 2ps ps

rel rel rel relo 2 o 2

v vT TV slem2 2 2 2σ σ σ σ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ ⎥= − ⋅ − = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

( )

( )( / )rel

orel

p 2

V Vf pojava čas 3600 3600T 2

σπ σ

= =



Primer, mali kontejnerski brod, L = 110 m, vo = 12 kn

Plovidba ka talasima

Nije moguće napraviti brod koji se neće ljuljati na talasima, kao ni brod kod koga se neće javljati niz nepovoljnih posledica ljuljanja... Međutim, projektant broda jeste u p j jmogućnosti da (donekle) podesi parametre broda tako da svi nepovoljni efekti dostižu maksimalno dozvoljene vrednosti (norme) pri približno istoj jačini oluje... Samo takav brod će, s aspekta pomorstvenosti, biti dobar brod...

Na kosim talasima...

p ,

Pun brod, dobro uravnotežen...



Ukoliko dođe do sleminga, veoma je bitnajačina udara brodskog dna o površinu vode...Pritisak na dnu broda zavisi od brzine udara, ali i od forme pramčanih rebara...

ctg2

s p1c 12π θ⎛ ⎞= + ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

Pritisak pri slemingu može se izraziti preko amplitude relativne vertikalne brzine dna u odnosu na površinu vode

( )rel

22 2 os s rel s p D

1 1p c v c2 2ρ ρ ω ζ= =

K fi ij t i i t dKoeficijent cs zavisi, prvenstveno, od porečnog nagiba rebara (tzv. flera) u okolini pramca broda...U slučaju ravnog dna, koeficijent pritiska je najveći, i smanjuje se kako rebra postaju oštrija...

Važi za uglove veće od 20°...

( )rel2σ

Ukoliko se odrediTako su tipična U-rebra, s aspekta pritiska pri slemingu, nepovoljnija od V-rebara...Koeficijent se određuje eksperimentalno, ili (aproksimativno) teorijskom formulom

2σ

može se odrediti srednja, značajna...ali i (najverovatnija) maksimalna relativna brzina...



( ) lnrelmax 2v 2 Nσ=

oN 3600 f t= ⋅ ⋅h1/3 = 5,5 m

Primer malog kontejnerskog broda

( )

( )

relo

rel2

V VfT 2

σπ σ

= =

to vreme trajanja oluje (npr. 2 časa)

Najverovatniji maksimalni dinamički pritisak na dno broda pri slemingu, tokom to časova trajanja oluje, je

2max s max

1p c v2ρ=



5.2.2. Dodatni otpor i spontano smanjenje brzine na talasima

Pri plovidbi po mirnoj vodi, na brod deluju dve sile u pravcu kretanja: potisak propelera

Da bi brzina plovodbe na talasima ostala nepromenjena – jednaka brzini na mirnoj vodi, neophodno je da energiju koja se gubi tokom ljuljanja nadoknadi brodski

u smeru brzine, i otpor broda nasuprot brzini plovidbe...Ukoliko je brzina plovidbe konstantna, ove dve sile su jednakog intenziteta i nalaze se u dinamičkoj ravnoteži...Posmatraćemo sada odgovarajuće sile pri

pogonski motor. On mora, preko propelera, stvarati veću silu potiska, i njome savladati dodatni otpor broda na talasima...

Preciznije, ako pretpostavimo da brod g j pplovidbi broda konstantnom brzinom vopramcem ka talasima...

Poniranje i posrtanje broda na talasima su prigušena oscilatorna kretanja, odnosno kretanja tokom kojih se gubi energija... Fi ički ij ši i l

j p pplovi konstantnom brzinom vo pramcem ka talasima (pretpostavimo da nema zaletanja) ukupni otpor broda će biti promenljiv, R = R(t) . Ukoliko su talasi regularni, ova promena otpora je oscilatorna, prividnom

Fizički, energija se troši na sistem talasa koje brod stvara svojim ljuljanjem...Posledica je manja brzina plovidbe, ili veći otpor broda pri nepromenjenoj brzini...

p j , pfrekvencijom talasa ωp ... a srednja vrednost otpora tokom jednog ciklusa ljuljanja (tokom perioda Tp) iznosi



( )pT

p 0

1R R t dtT

= ∫i veća je od otpora broda na mirnoj vodi Ro

Odredićemo, kao prvi i nejteži korak, energiju koja se gubi pri poniranju i posrtanju broda... Izvođenje ćemo, zbog jednostavnosti, sprovesti na uprošćenom modelu poniranjasprovesti na uprošćenom modelu poniranja i posrtanja broda na mirnoj vodi, bez napredovanja...

Može se pisatioR R RΔ= +

Vertikalna hidrodinamička sila koja deluje na proizvoljni element (traku) dužine dxtokom njenog poniranja i posrtanja na

i j di i io

gde je ΔR srednji dodatni otpor broda na regularnim talasima.

Izvešćemo sada izraz za ovaj dodatni otpor.

mirnoj vodi iznosi

pr

df n dx m dxdfζ ζ′ ′ ′= − −

′



predstavlja elementarnu silu prigušenja...

prdf ′

S obzirom da traka, pri poniranju i posrtanju broda vrši približno vertikalno kretanje

p

2

L T

E n dxdtΔ ζ′= ∫∫Dobijeni dvostruki integral predstavlja, prema tome, energija koja se gubi pri

broda, vrši približno vertikalno kretanje (poniranje)...rad sile prigušenja na elementarnom pomeranju trake je

prdA df d n dx dζ ζ ζζ

′ ′= ⋅ = − ⋅ =

poniranju i posrtanju broda na mirnoj vodi, tokom perioda Tp ...

Ukoliko brod, tokom poniranja i posrtanja, vrši i napredovanje konstantnom brzinom vo , izraz postaje nešto komplikovaniji.

2d dtn dx d n dxdtdt dζζ ζ ζ

ζ′ ′= − ⋅ ⋅ = −

Ovaj elementarni rad jednak je energiji koja se izgubi pri kretanju trake tokom vremena dt.

odmn n vdx′′ ′→ −

2dmE n v dxdtΔ ζ′⎛ ⎞′= −⎜ ⎟∫∫

pa je odgovarajući izraz za gubitak energije

Ukupna izgubljena energija broda tokom jednog ciklusa ljuljanja Tp ... dobija se integracijom izraza za dA po dužini broda i po vremenu

p

o

L T

E n v dxdtdx

Δ ζ⎜ ⎟⎝ ⎠∫∫

Ukoliko slobodna površina nije mirna, već brod plovi ka regularnim talasima dužine λT ...



u izrazu za energiju će se, umesto apsolutne brzine poniranja proizvoljne tačke broda, javiti relativna brzina te tačke u odnosu na slobodnu površinu vode...

relvζ →

bi k ij j d

Preostaje da se ovaj gubitak energije poveže s dodatnim otporom ΔR To je relativno jednostavno... Gubitak energije ΔE tokom jednog ciklusa ljuljanja jednak je radu sile dodatnog otpora

p

2o rel

L T

dmE n v v dxdtdx

Δ′⎛ ⎞′= − ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠∫∫Izraz za gubitak energije je tada

Vreme se javlja samo u izrazu za vrel ...

j j j j j g pna pomeranju koje odgovara tom ciklusu... Sila otpora je horizontalna, a horizontalno pomeranje broda koje odgovara periodu ljuljanja Tp jednako je talasnoj dužini λT ...

Važi, prema tomeTE RΔ Δ λ= ⋅

( )

( ) ( )

cos ( )T Tp p22 o 2 2

rel rel p p0 0

2 2o 2 o1rel p p rel p2

v dt t dt

T

ζ ω ω δ

ζ ω πζ ω

= − =

= ⋅ =

∫ ∫Integracijom po vremenu dobijamo

pTE RΔ Δ λ

( )2p oo rel

TL

dmR n v dxdx

πωΔ ζ

λ′⎛ ⎞′= −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫Odnosno

( )2op o rel

L

dmE n v dxdx

Δ πω ζ′⎛ ⎞′= −⎜ ⎟⎝ ⎠∫

Sledi To je tražena formula za dodatni otpor broda pri plovidbi konstantnom brzinom ka regularnim talasima... Formula Heridzme i Bukelmana (Geridsma & Bukelman 1972)



Iako je formula /2 2

T

RRA B LΔΔ

ρ=

Primer bezdimenzionog dodatnog otpora ( )2p o

o relT

L

dmR n v dxdx

πωΔ ζ

λ′⎛ ⎞′= −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫kontejnerski broda L = 175 m...

relativno komplikovana, neke bitne osobine rezultata koje ona daje mogu se odmah uočiti... Prvo, dodatni otpor postoji i ukoliko nema napredovanja broda... Pogonski sistem, prema tome, mora stvarati potisak da bi obezbedio nepromenjenu poziciju p p j p jbroda na talasima... Drugo, otpor može postojati, pri visokim frekvencijama, i ukoliko nema ljuljanja broda... Treće, iako se ljuljanje smanjuje s porastom prigušenja n' , dodatni otpor raste s porastom ovog koeficijentaovog koeficijenta... Zato brodovi čija je forma dobra sa stanovišta poniranja i posrtanja, mogu imati veliki dodatni otpor, veći od dodatnog otpora „loših“ formi.



Formula Heridzme i Bukelmana izvedena je pod pretpostavkom da brod plovi pramcem ka regularnim talasima... Dodatni otpor na neregularnim talasima, može se, na osnovu principa superpozicije, izračunati k

Dodatni otpor na neregularnim talasima je tada

( ) ( )N

2n n n n p

n 1

R 2 r SΔ Δ ω ω Δω=

= ⋅∑kao

( )N

n nn 1

R RΔ Δ ω=

=∑Za dodatni otpor na neregularnim talasima, međutim, najčešće se koristi nešto drugačija, integralna formula

p pdΔω ω→Ako

formula postaje

2∞

∫integralna formula.

( )( ) ( )

( )

( ) ( )

2n nn n n n2

n n2

n n n n p

RR A

A

2 r S

Δ ωΔ ω ωω

Δ ω ω Δω

= ⋅ =

=

Izraz se transformiše( ) ( )2

p T p p0

R 2 r S dΔ Δ ω ω ω= ⋅∫To je formula Herizme i Bukelmana za dodatni otpor broda na neregularnim talasima...

( ) ( )n n n n pA 2Sω ω Δω= ⋅

( ) nn n

n

Rr

AΔ

Δ ω =gde je iskorišćeno

Treba naći Δr u funkciji prividne frekvencije... (igra, na neki način, ulogu prenosne funkcije...)



Primer ukupnog otpora na neregularnim talasima

kontejnerski broda L = 175 m, Potisak propelera u slobodnoj vožnji Tprodređuje se iz bezdimenzione karakteristike...

T

Sprega ponašanja broda na talasima i propulzije broda...

prT 2 4

pr

TK

n Dρ=

( ) oA

pr pr

1 w vvJD n D n

−= =

Pretpostavimo (npr) da motor radi na max. režimu, i da je pri tome n = nMCR

Kojom brzinom vo napreduje brod?

Potrebno je odrediti potisak propelera Tpr ...i naneti ga u dijagram...

Za (pretpostavljenu) brzinu vo ...

( )pr

pr

T 1 t R

T

− =

′

Važi

Presek krivih R i daje brzinu plovidbe...prT ′

a (p etpostav je u) b u vo ...

o T pr prv J K T T ′→ → → →

sledi tačka u dijagramu...

Da li motor može da razvije nMCR ??



Odgovor daje dijagram snage...

Potrebno je odrediti tzv. propelersku krivu snage motora PB(n), odnosno konstruisati dijagram

( ) ( ) ( ) ( )pr A prD T

B

T v TP PP

J J 1 t Jη η η η η η η η η η′

= = = =

( ) ( )oE

BH R S o H R S o

R vPPJ Jη η η η η η η η

⋅= =

( ) ( ) ( ) ( )S S R o S R o S R oJ J 1 t Jη η η η η η η η η η−

H1 tη −=

PD – snaga predata propeleru,PT – snaga potiska propelera,PE – snaga otpora,

k fi ij fik i

H 1 wη

−

ηH – koeficijent efikasnosti trupa,ηR – koeficijent prelaza,ηS – koeficijent efikasnosti vratilnog voda,ηo – koeficijent efikasnosti propelera u slobodnoj vožnji.



Ponovo koristimo karakteristiku propeleraKT( J )

Ako postupak ponovimo za krive otpora na talasima...Dobijamo niz krivih PB ...

Za odabranu tačku na krivoj otpora R, vo ...

* ( ) ...( )

pr pr 2T 2 4 2 2 2

pr pr o

T TK J J

n D D 1 w vρ ρ= = =

−Pri tome, svakoj tački na krivoj PBodgovara druga brzina plovidbe vo ...

konstruišemo pomoćnu krivu

pr pr o

sledi J, odnosno n, i odgovarajuće PB ...U konkretnom slučaju, motor (pri max. režimu) razvija nMCR samo do talasa visine 5 m...

Kriva potiska, za h1/3 > 5 m , nije dobro određena...



Sledi, konačno, ispravna kriva potiska...

Treba odrediti n iz dijagrama snage, i ponovo odrediti potisak...

odnosno dijagram spontanog smanjenja

Na osnovu ovog razultata, slede i nešto drugačiji rezultati ljuljanja...

Npr. ubzanje i sleming broda rastu s brzinom plovidbe...odnosno dijagram spontanog smanjenja

brzine broda na talasima, pri nepromenjenom (maksimalnom) režimu rada motora

pi dostići će maksimalne vrednosti, pri maksimalnim brzinama...



Da bi se odredile maksimalne vrednosti, neophodno je program iz ponašanja na talasima spregnuti sa programom iz otpora i propulzijespregnuti sa programom iz otpora i propulzije...



5.2.3. Dinamička opterećenja broda na talasima

Već je kod udarnog pritiska pri slemingu pokazano da se na talasima

Sile koje deluju na teret – klizanje i prevrtanje tereta

Pretpostavimo da se, u proizvoljnoj tački na palubi broda koji se ljulja na talasima, nalazi teret mase m, čije težište C ima komponenteslemingu pokazano da se na talasima

javljaju opterećenja kojih, pri plovidbi broda na mirnoj vodi, nema...Ustvari, sve sile koje deluju na brod, na brodske uređeje i teret, menjaju se pri ljuljanju broda...

teret mase m, čije težište C ima komponente ubrzanja aξ , aη i aζ ...

U klasičnim, statičkim proračunima opterećenja broda, dinamičke sile se uračunavaju preko određenih (iskustvenih) koeficijenata sigurnosti...Pokazaćemo da se, nakon što se odrede

C N Tma mg F F= + +Važi

ljuljanja broda, dinamička opterećenja broda mogu i egzaknije proračunati...

odnosnoy zma F Fη ϕ≈ −

z yma F mg Fζ ϕ≈ − +

cos 1ϕ ≈ sinϕ ϕ≈gde je iskorišćeno



Dobija se

( )zF m a gζ= +

( )yF m a gη ϕ= +

Primer sila koje deluju na kontejner visoko nad palubom, na bočnim talasima...

( )sino pa a tη η ηω γ= −

( )sino pa a tζ ζ ζω γ= −

Poznato je

( )coso pt ϕϕ ϕ ω γ= −

( )sinoz pF mg ma tζ ζω γ= + −

( ) ( ) ( )

Sledi

( ) ( ) ( )sin sin sino oy p o p y p yF ma t mg t F tη η ϕω γ ϕ ω γ ω γ= − + − = −

( )sino o o

2 2 2y o oF m a g 2a gη η ϕ ηϕ ϕ γ γ= ⋅ + + −o ozF maζ′ =



o

z

z 2F a p

T

FP mP m P

A ζ ζω′

= = =

F

Za proračun reakcija na neregularnim talasima, potrebne su nam prenosne funkcije...

U slučaju slobodno postavljenog tereta mora biti zadovoljen uslov

zF 0>

( )sino

y

y 4 2 2 2 2F p p

T

FP m P g P 2g P P

A η ϕ η ϕ ϕ ηω ω γ γ= = ⋅ + + −

( ) ( )z z

2F F p T pS P Sω ω= ⋅ ( ) ( )

y y

2F F p T pS P Sω ω= ⋅

Integracijom spektara slede odgovarajuće srednje

jer bi se, u protivnom, teret odvojiti od palube. Takođe, mora biti zadovoljen uslov

y t zF Fμ<kvadratne vrednosti ovih veličina σο(Fz) , σο(Fy) ...

lnmax oF 2 Nσ=

Na primer, najverovatnija maksimalna reakcija u Ncikluisa je

otNT

= o

2

T 2σπσ

=

Ukoliko ovaj uslov nijeispunjen, dolazi do klizanja tereta.

Uslov odsustva klizanja je, b č i t l i št iji

Razmotrićemo sada važan slučaj slobodno postavljenog tereta na palubu broda, odnosno uslovi pod kojima će doći do pomeranja – klizanja ili prevrtanja ovako postavljenog tereta...

na bočnim talasima, oštriji– teret će pre proklizati, nego što će se odvojiti od palube...



t ta a g gη ζμ ϕ μ− + <

( )zF m a gζ= +

( )yF m a gη ϕ= +S obzirom na

uslov da nema klizanja možemo napisati kao

Da bi proučili uslove pod kojima dolazi do preturanja tereta...primenićemo zakon o promeni momenta količine kretanja.

t tg gη ζμ ϕ μIzraz je napisan tako da se na levoj strani javlja zbir tri funkcije koje se menjaju tokom kretanja, a na desnoj strani konstantna (granična) vrednost koja zavisi isključivo od koeficijenta trenja između palube i tereta. Ak iči ( i ) l č jAko se ograničimo (privremeno) na slučaj regularnih talasa...Funkcije na levoj strani izraza su harmonijske ...I zbir je tada harmonijska funkcija iste frekvencije...

Teret rotira oko uzdužne ose x zajedno sa brodom po zakonu φ(t), tako da projekcija zakona o promeni momenta količine kretanja na osu x glasi

čija se amplituda Akl određuje poznatim postupkom...

kl tA gμ<Uslov odsustva klizanja je tada

C y zJ F h F bϕ = −

kretanja na osu x, glasi

Pri tome je tačka u kojoj deluje reakcija Fznepoznata, i menja se tokom kretanja...



( ) 2Ca g h j

ba g

η

ζ

ϕ ϕ+ −=

+

Ustvari, krak b predstavlja jedinu nepoznatu u jednačini...Sledi

Pošli smo od pretpostavke da se teret, iako je slobodno oslonjen na palubu, kreće zajedno s brodom...Ovakva kruta veza tereta i broda će postojati ukoliko je istovremeno

Da bi se teret valjao zajedno s brodom, krak bmora biti unitar gabarita tereta

b l≤

U protivnom, doći će do preturanja tereta

U l d d l i d t j t t ž

p j jzadovoljena oba uslova

prA gl≤kl tA gμ<

U protivnom, doći će do pomeranja tereta u odnosu na brodUslov da ne dolazi do preturanja tereta može se

napisati u obliku2Ch a gh l a j glη ζϕ ϕ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ≤

Zbir četiri harmonijske funkcije...

To je opet harmonijska funkcije iste frekvencije...

tereta u odnosu na brod...Pojava pomeranja tereta može imati veoma opasne posledice, i predstavlja jedan od čestih uzroka havarija, pa i prevrtanja brodova koji plove na olujnim talasima...

o je opet a o js a u c je ste e ve c je...amplitude Apr

Uslov da ne dolazi do preturanja tereta, izražen preko ove amplitude glasi

prA gl≤



Na osnovu prethodne analize pomeranja tereta na regularnim talasima, moguće je odrediti verovatnoću proklizavanja i preturanja na realnim, neregularnim talasima...

( )( ) exp

( )

2t

kl to

gV A g

2 klμμσ

⎡ ⎤> = −⎢ ⎥

⎣ ⎦

( )( ) exp2

pr

glV A gl⎡ ⎤

> = −⎢ ⎥Potrebno je odrediti prenosne funkcije uvedenih amplituda Akl i Apr ...

, prklkl pr

T T

AAP P

A A= =

Tada je

( ) p( )pr

o

g2 prσ⎢ ⎥

⎣ ⎦

Primer, verovatnoća preturanja slobodno oslonjenog kontejnera u najvišem redu broda dužine 110 m

Tada je( ) ( )2

kl kl p T pS P Sω ω= ⋅

( ) ( )2pr pr p T pS P Sω ω= ⋅

( ) ( )o kl p pkl S dσ ω ω∞

= ∫o kl p p0∫

( ) ( )o pr p p0

pr S dσ ω ω∞

= ∫



Dinamička opterećenja brodske konstrukcije

Osnovno opterećenje brodske konstrukcije javlja se usled lokalne neravnoteže dve vertikalne sile:neravnoteže dve vertikalne sile: brodskih težina (težine konstrukcije, tereta, uređaja) s jedne, i sile uzgona broda, s druge strane...Iako je ukupni uzgon broda u stanju ravnoteže jednak ukupnoj težini broda, raspodela ovih sila po dužni broda je

Proračun transverzalnih sila i momenata savijanja u poprečnom preseku broda, poznat kao proračun uzdužne čvrstoće broda predstavlja jedan odraspodela ovih sila po dužni broda je

neravnomerna i različita... Na svaki segment dužine broda dxdeluju elementarna sila uzgona dU(x) i elementarna težine dW(x)... Usled njihove razlike javlja se

uzdužne čvrstoće broda, predstavlja jedan od osnovnih brodograđevnih proračuna... U klasčnoj verziji ovog proračuna, transverzalne sile i momenti određuju se za brod u ravnotežnom položaju plivanja, na mirnoj vodi...Dinamički efekti, koje ovakav statički proračun

jvertikalno opterećenje qz(x) ... odnosno transverzalna sila Tz(x) i moment savijanja Msav(x) u poprečnom preseku broda, koji dalje dovode do smičućih i normalni napona...

zanemaruje...uračunavaju se grubo i približno, kroz tzv. dodatnu transverzalnu silu i dodatni moment savijanja, čije vrednosti propisuju klasifikaciona društva...



Pokazaćemo da je, nakon što se proračuna ljuljanje broda na talasima, moguće proračunati ove dinamičke efekte... odnosno dobiti naprezanja (normalne i p j (smičuće napone u poprečnom preseku broda) koji obuhvataju kako statičke, tako i dinamičke komponente...

Posmatraćemo brod koji ponire i posrće ploveći pramcem ka regularnim talasima

Za izdvojeni, krmeni deo broda važi Njutnov zakon

( ) ( ) ( )xG z zm x F x T xζ = +

( ) ( ) ( )T FζSledi

talasima... Izdvojićemo deo broda, na primer deo od krme do proizvoljne pozicije x ...Uticaj pramčanog dela broda (ostatka broda) reprezentuju sile i momenti koji deluju u poprečnom preseku – to su (po d fi i iji) l il i

Vertikalna sila koja deluje na element (traku) dužine dx broda koji vrši poniranje i posrtanje na regularnim talasima je

( )dF q x dx=

( ) ( ) ( )xz G zT x m x F xζ= −

definiciji) transverzalna sila, i moment savijanja u poprečnom preseku broda... Ove veličine, međutim, obuhvataju i dinamičke efekte ljuljanja broda...

( )z z q qdF q x dx=

pri čemu je uvedena pomoćna koordinata xqkoja definiše poziciju trake, različita od pozicije x posmatranog poprečnog preseka...



( ) ( ) ( )xz G z q q

L

T x m x q x dxζ= − ∫pri čemu je (kada se zanemare mešoviti članovi i difrakcija talasa)...

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z q q R q q q q q q qq x gm x g A x b x n x m xζ ζρ ζ ζ ζ⎡ ⎤′ ′ ′= − + − − − +⎣ ⎦

Sledi

( ) sin( )T q T q pgA b x k x tρ ω+ +

sin( ) cos( )oq G q G p q o px t x tζ ψζ ζ ψ ζ ω γ ψ ω γ= − ⋅ = − − −

cos( ) sin( )oq G q p G p q p o px t x tζ ψζ ζ ψ ω ζ ω γ ω ψ ω γ= − ⋅ = − + −

cos( ) sin( )o

2 2q G q p G p q p o px t x tζ ψζ ζ ψ ω ζ ω γ ω ψ ω γ= − ⋅ = − − + −

oq q p p q p pζ ψ

( ) ( ) ( )

( )sin( ) ( ) cos( )

( ) cos( ) ( )sin( )

( )sin( ) ( ) cos( )

o

o

z q q R q

G q p o q q p

p G q p p o q q p

2 2

q x gm x gA x

g b x t g x b x t

n x t x n x t

m x t x m x t

ζ ψ

ζ ζ ζ ψ

ρρ ζ ω γ ρ ψ ω γω ζ ω γ ω ψ ω γ

ω ζ ω γ ω ψ ω γ

′= − + −

− − + − −

′ ′− − − − −

′ ′+ +( )sin( ) ( ) cos( )

( )sin cosop G q p p o q q p

T q T q p

m x t x m x t

gA b x k x t gAζ ζ ζ ψω ζ ω γ ω ψ ω γ

ρ ω ρ+ − − − +

+ + ( ) cos sin .T q T q pb x k x tω

cos( ) sin( )x x o x

2 2G G G p G p G p o px t x tζ ψζ ζ ψ ω ζ ω γ ω ψ ω γ= − ⋅ = − − + −



( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) sin( )

xz G z q q

x

o 2 2G VL

T x m x q x dx

T x gA x m x m x tζ ζ

ζ

ζ ρ ω ω ω γ

= − = ⋅⋅⋅

⎡ ⎤= + − − − −⎣ ⎦

∫Dobija se, nakon sređivanja

( ) ( ) ( ) ( ) sin( )

( ) ( ) ( ) cos( )

( ) cos( ) ( )sin( )

( ) cos

o

x

o

z G VL p p p

2 2o VL G p p p

p G p p o p

T S p

T x gA x m x m x t

gS x m x x m x t

n x t n x t

gA Q x t gAζ

ζ ζ

ζψ ψ

ζ ζ ζψ ψ

ζ ρ ω ω ω γ

ψ ρ ω ω ω γ

ω ζ ω γ ω ψ ω γρ ω ρ

⎡ ⎤+ ⎣ ⎦⎡ ⎤− − − − − +⎣ ⎦

+ − + − −

− − ( )sinT C pQ x tζ

ω

( )( ) ( ) ( )sin ( )dinz o o p TT x T x T x t xω γ⎡ ⎤= + +⎣ ⎦

Odnosno

Amplituda i fazni pomeraj dinamičkog dela transverzalne sile zavise od koordinate preseka x, i mogu se odrediti preko opštih trigonometrijskih formula (zbir niza harmonijskih funkcija...) Ukupna vertikalna transverzalna sila u poprečnom preseku sastoji se iz statičke komponente (koja se javlja u ravnotežnom položaju plivanja broda na mirnoj vodi), i dinamičke, oscilatorne komponente, koja je posledica ljuljanja i talasa... Amplituda ove dinamičke komponente moguće je odrediti nakon što se proračuna ljuljanje broda, odnosno (u konkretnom primeru plovidbe ka talasima) nađu amplitude poniranja i posrtanja broda...



( ) ( )( )

z

dino p

T pT

TP

Aω

ω =

Ukoliko je određena amplituda transverzalne sile, njena prenosna funkcija glasi

T

Moment savijanja u poprečnom preseku broda moguće je dobiti primenom zakona o promeni momenta količine kretanja za izdvojeni deo broda (deo broda od krme

( ) ( ) ( )sav y yM x J x M xψ′ ′= −

( ) ( ) ( )sav y q z q q

x

M x J x x q x dxψ′= − − = ⋅⋅⋅∫

odakle sledi spektar transverzalne sile, itd...

Dobija se, nakon sređivanjado proizvoljne pozicije x)... Umesto za težište krutog tela (kako je to uobičajeno u Mehanici), zakon o promeni momenta količine kretanja izdvojenog dela broda pišemo za poprečni presek na koordinati x...

( )( ) ( ) ( )sin ( )dinsav o o p MM x M x M x t xω γ⎡ ⎤= + +⎣ ⎦

( ) ( )( )

dino p

M pT

MP

Aω

ω =

Prenosnu funkciju momenta moguće je odrediti

j j

Zakon o promeni momenta količine kretanja, projektovan na osu y’, tada glasi

( ) ( ) ( )y y savJ x M x M xψ′ ′= +

Prenosnu funkciju momenta moguće je odrediti nakon što se proračuna ljuljanje broda, odnosno nađu amplitude poniranja i posrtanja... Zatim sledi klasičan proračun na neregularnim talasima...



5.2.4. Uticaj ljuljanja na posadu i putnike

Ljuljanje izrazito nepovoljno utiče i na komfor i na radne sposobnosti ljudi na brodu

Morska bolest

Čovek, ukoliko se nalazi na brodu koji se ljulja, može osetiti slabost, glavobolju, mučninu... Može doći i do povraćanja...brodu...

Putnici (veoma često) osećaju mučninu, a rezultati rada posade su lošijeg kvaliteta, uz veći napor i zamaranje...Pri većim ubrzanjima, rad postaje nemoguć...

mučninu... Može doći i do povraćanja...To su simptomi morske bolesti. Smatra se da je morska bolest posledica neusklađenosti signala koje ljudski mozak dobija od različitih čula...Dok centar ravnoteže u unutrašnjem uhu

Nastanak mučnine i povraćanja, kao i uslove pri kojima je posada prinuđena da prekne rad, moguće je relativno dobro povezati sa ubrzanjima i ostalim parametrima ljuljanja broda...

j i k li d i d d i

registruje promenljiva ubrzanja usled ljuljanja, noge šalju mozgu drugačije signale... Pri tom, podaci koje dobija od očiju ne moraju biti usaglašeni ni sa jednim ni sa drugim...Konfuzija mozga usled ovih

Za smanjeni kvalitet rada i dodatni zamor mornara pri ljuljanju, još uvek nije pronađeno adekvatno kvantitativno merilo... Ali, krenimo redom...

kontradiktornih informacija manifestuje se kod većine ljudi mučninom i ostalim simptomima morske bolesti...

(zašto?)



Sklonost ka morskoj bolesti je individualna. Čak je i sklonost istog čoveka, u različitim prilikama, različita... Većina ljudi ponekad doživi morsku bolest, ali se, ukoliko je duže izložena ljuljanju, na to

I pored toga što je medicinski bezopasna, morska bolest predstavlja veliki problem i za putnike, i za posadu broda. Bolest nije samo neprijatna...Mornar oboleo od morske bolesti nijej j j j

stanje adaptira... Morska bolest prestaje ubrzo nakon prestanka ljuljanja, i (osim što je veoma neprijatna) nije opasna, i ne ostavlja nikakve posledice. S medicinskog aspekta to i nije bolest, već normalna reakcija zdravog organizma na

Mornar oboleo od morske bolesti nije sposoban za ozbiljnije poslove, a brod s obolelom posadom može biti onesposobljen za izvršenje zadatka... Putnik oboleo od morske bolesti svakako ne uživa u turističkom krstarenju, i teško da će ponovo izdvojiti novac za sličnenormalna reakcija zdravog organizma na

nenormalne uslove... Postoji niz medikamenata koji umanjuju neprijatne simptome, uglavnom tako što blokiraju funkcije mozga... Uz to, mogućnost nastanka morske bolesti se

j j k lik j č k kti d

da će ponovo izdvojiti novac za sličnesvrhe... Zato se problemu morske bolesti pridaje ozbiljan značaj, a uslovi pod kojima se ona javlja detaljno su ispitivani i u laboratorijskom, i u realnom okruženju.

smanjuje ukoliko je čovek aktivan, odnosno ukoliko mozak zaokupi drugim problemima... Postoji i niz narodnih (mornarskih) lekova protiv ove bolesti, od kojih je najpoznatije žvakanje korena đumbira...

Pokazalo se da pojava morske bolesti zavisi, pre svega, od promenljivog ubrzanja kojem je čovek izložen na brodu koji se ljulja...



Preciznije, pojava morske bolesti zavisi od: • Intenziteta (amplitude) ubrzanjaS porastom intenziteta ubrzanja, verovatnoća pojave morske bolesti raste;• Perioda u kome je čovek izložen

Zavisnost pojave morske bolesti od intenziteta i frekvencije ubrzanja daju rezultati obimnih laboratorijskih eksperimenata (npr. O’Hanlon& McCauley 1974)...U eksperimentima je veliki broj ispitanika i l lji ik l i b jiPerioda u kome je čovek izložen

ubrzanjuVerovatnoća pojave morske bolesti vremenom raste, a zatim dolazi do adaptacije organizma;• Frekvencije ubrzanjaPostoji frekvencija ubrzanja na koju je

izlagan promenljivom vertikalnim ubrzanjima oblika

sinoa a tω=Amplitude ao i frekvencija ω su sistematski menjane od testa do testa...a eksperiment prekidan ukoliko je ispitanik Postoji frekvencija ubrzanja na koju je

čovek najosetljiviji, odnosno frekvencija kod koje je pojava morske bolesti najčešća.Ova neprijatna frekvencija ljuljanja iznosi oko 1 rad/s, odnosno odgovara neprijatnom periodu ljuljanja od oko 6 s ;• Individualne osetljivosti pola i starosti

počinjao da povraća...

Za verovatnoću morske bolesti (ustvari, verovatnoću povraćanja), koja se prema uvedenom terminu Motion Sickness Incidence najčešće obeležava sa MSI, dobijena je približna formulaIndividualne osetljivosti, pola i starosti

osobe na brodu.Pojava morske bolesti zavisi (u manjoj meri) i od pravca ubrzanja, iako su podaci o ovom uticaju donekle kontradiktorni...

formula

( ) ( )a tMSI z zΦ Φ= ⋅

( )2z x

21z e dx2

Φπ

−

−∞

= ∫



, , log( ) ,t a sz 1 13 z 1 989 T 2 904= ⋅ + ⋅ − gde je t vreme trajanja eksperimenta u časovima

, log( / ) , log( / ) , log ( / ) ,2a oz 2 128 a 2 g 9 277 2 5 809 2 1 851ω π ω π= ⋅ − ⋅ − ⋅ −

Čovek nije osetljiv na niske frekvencijeČovek nije osetljiv na niske frekvencije, niti na visoke frekvencije (vibracije)...Najosetljiviji je na frekvencije od približno 1 rad/s (oko 0,16 Hz), bez obzira na amplitudu ubrzanja i trajanje eksperimenta...Verovatnoća pojave morske bolesti raste tokom prva dva časa... Eksperimenti nisu trajali duže, i u njima se ne vide efekti adaptacije organizma na novo stanje... Ukoliko je čovek duže izložen jpromenljivom ubrzanju, simptomi morske bolesti počinju (nakon približno šest sati) da se smanjuju, a posle dva do tri dana potpuno nestaju.



Oscilacije frekvencijom od oko 1 rad/s ne samo da pogoduju pojavi morske bolesti, već ih (nezavisno od morske bolesti) čovek doživljava kao nerealno jake... Ovo pokazuju eksperimenti (ShoenbergerOvo pokazuju eksperimenti (Shoenberger 1975) u kojima su iskusni piloti, adaptirani na oscilatorna kretanja, izlagani promenljivom vertikalnom ubrzanju sa zadatkom da ocene jačinu ljuljanja... Ubrzanjima različitog intenziteta i frekvencije davali su brojčanu ocenu –

Čdavali su brojčanu ocenu indeks subjektivne jačine ljuljanja (po engleskom nazivu Subjective Magnitude –SM) u odnosu na referentno kretanje ubrzanjem od 0,6g frekvencijom 1 Hz, za koje je dogovorena ocena 10.

Čovek ne oseća pravi intenzitet oscilatornih ubrzanja... Ubrzanja određenih (neprijatnih) frekvencija čine mu se veća nego što pokazuju objektivna merenja... Naša čula nas i u ovom slučaju varaju,

,1 43oa

SM Ag

⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )exp( , ) , , ln , ln2 2A 1 1 65 75 6 49 6 13 5ω ω ω⎡ ⎤= − − − ⋅ + ⋅⎣ ⎦

Naša čula nas i u ovom slučaju varaju, prikazujući svet drugačijim od realnog. Dobijena je formula



Ubrzanja pojedinih tačaka broda koji se ljulja na regularnim talasima jesu sinusne funkcije čija je frekvencija jednaka prividnoj frekvanciji talasa... tako da formula za MSI (na regularnim

l ) d j d b l

Deljenjem spektra na veliki broj traka širine Δωp

moguće je odrediti amplitudu ubrzanja koje odgovara svakoj frekvenciji ωn

i primenjuje formula za MSI... talasima) daje dobre rezultate. Da li se ova formula može primeniti i pri kretanju broda na neregularnim talasima?

Verovatnoća pojave morske bolesti zavisi od amplitude i frekvencije ubrzanja...

p j jVerovatnoća pojave morske bolesti na neregularnim talasima je tada zbir svih verovatnoća na regularnim talasima

N

nn 1

MSI MSI=

=∑ N 1

Koju amplitudu ubrzanja, i koju frekvenciju koristiti u realnim uslovima ljuljanja broda na neregularnim talasima? S obzirom da neregularni talasi predstavljaju zbir regularnih komponenti, moguće je iskoristiti proračunati spektar vertikalnog

Proračun je, međutim, samo formalan...Primenjeni princip superpozicije važi samo za linearne probleme... Da li složeni procesi nastanka morske bolesti, u kome ljudski organizam spontano

j i d l k ji jiskoristiti proračunati spektar vertikalnog ubrzanja tačke broda Sa(ωp) . Amplituda ubrzanja koja odgovara prividnoj frekvenciji ωn (po definiciji spektra) iznosi

( )n a n pa 2S ω Δω= ⋅

reaguje na neprirodne uslove kojima je izložen, važe tako prosti zakoni? Eksperimenti ne daju ubedljiva slaganja proračunatih vrednosti sa realnim, olujnim uslovima...



Verovatnoća pojave morske bolesti na neregularnim talasime se češće određuje na nešto drugačiji način...korišćenjem tzv. doze morske bolesti (Motion Sickness Dose Value), koja je definisana kao

Ubrzanje filtrirano po frekvencijama je tada

( )( ) ( )sinN

n n n nn 1N

a t a tζ ω ω γ=

= − =∑

∑) j j

( )s

1T 22

0MSDV a t dtζ

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦∫

gde je Ts vreme u kome je čovek izložen ljuljanju, d k j tik l b j t

( )( ) ( ) sinn n n n nn 1

W a tω ω ω γ=

= ⋅ −∑Filter W je dobijen eksperimentalno, i izgleda (prema propisima ISO 2631)

dok je vertikalno ubrzanje posmatrane tačke broda filtrirano po frekvencijama.

aζ

Naime, vertikalno ubrzanje tačke broda koji se ljulja na neregularnim talasima može se izraziti kao

N

∑ ( )( ) ( )sinn n n nn 1

a t a tζ ω ω γ=

= −∑gde se amplitude komponenti ubrzanja an(ωn)određuje iz proračunatog spektra ubrzanja, na uobičajeni način...



Verovatnoća pojave morske bolesti dobija se na osnovu doze morske bolesti kao

( )MSI % K MSDV= ⋅gde koeficijent K zavisi od niza individunalnih faktora osobe koja je

( )4 a p p0

S dσ ω ω∞

= ∫

sN T1 1∑ ∫

S duge strane, srednja kvadratna vrednost filtriranog ubrzanja je

individunalnih faktora osobe koja je izložena ljuljanju: pola, starosti, prethodnog iskustva na brodovima, uvežbanosti, pa i trenutne predispozicije... Uobičajena vrednost za odrasle putnike

š it l j K 1/3

( )s

1T 22

s 40

MSDV a t dt Tζ σ⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦∫

( ) ( )2 24 i

s 0i 1

1 1a t a t dtN Tζ ζσ

=

= =∑ ∫

mešovitog pola je K ≈ 1/3

Postupak proračuna MSDI je sledeći

Odredi se, na poznati način, prenosna funkcija vertikalnog ubrzanja Pa(ωp) ...

( ) ( ) ( )P W P

RMS sMSDV a T=

Primer: putnički brod L = 200 m,d j ( ) ( ) ( )a p p a pP W Pω ω ω= ⋅

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2 2a p a T p a T p

2p a p

S P S W P S

W S

ω ω ω

ω ω

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅

200 m, plovi pramcem ka talasima

Tada je



U ovom kursu se, jedino pri proučavanju morske bolesti odaljujemo od fizičkih zakona i uobičajenih inženjerskih proračuna...U igri su, uz mehaničke veličine kakve su

Činjenica je da su vertikalna ubrzanja, posebno pri plovidbi ka talasima, i posebno kod dužih brodova, znatno veća od poprečnih...Međutim, ukoliko brod plovi koso, a posebno bočno u odnosu na talase, javljaju se i značajne g

ubrzanje, frekvencija itd, i spontane reakcija ljudskog organizma na uslove na koje nije naviknut... Ove reakcije organizma su daleko složenija od čisto mehaničkih zakona na kojima se zasniva ponašanje broda na

j j j jpoprečne komponente ubrzanja... A čovek (po svemu sudeći) nije manje osetljiv na poprečna od vertikalnih ubrzanja, posebno pri nižim frekvencijama oscilovanja...

Postoji još jedan nedostatak metoda vezanih j p jtalasima... Logično je zato i tačnost proračuna daleko manja...

Osim složenosti samog problema, postoje i drugi razlozi zbog kojih je korelacija

j j jza proračun doze i verovatnoće morske bolesti... Naime, MSI je definisan kao početak povračanja osoba na brodu... Međutim, znatno pre povračanja, čovek oseti slabost glavobolju i mučninuproračuna sa pojavom morske bolesti u

realnim uslovima relativno slaba... Proračuni (za sada) uzimaju u obzir samo vertikalnu komponentu ubrzanja...

slabost, glavobolju i mučninu...Ljudima na brodu može biti veoma neprijatno (mogu patiti od morske bolesti) i kada ne povraćaju...



Prekid rada usled ljuljanja

Primenićemo uslove odsustva kljizanja i preturanja tereta...

t ta a g gη ζμ ϕ μ− + <

prA gl≤kl tA gμ<

( )( ) exp

2t gV A g

μμ⎡ ⎤

> = −⎢ ⎥

2Ch a gh l a j glη ζϕ ϕ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ≤

Uslovi klizanja i preturanja su izvedeni za kruti teret, a ne za čoveka koji bi reagovao pre nego što prokliza, ili izgubi ravnotežu...Nagnuo be se, pridržao, seo... Trudeći se da ne padne, međutim, mornar bi bio prinuđen da prekine rad

( ) exp( )kl t

o

V A g2 kl

μσ

> ⎢ ⎥⎣ ⎦

( )( ) exp( )

2

pro

glV A gl2 prσ

⎡ ⎤> = −⎢ ⎥

⎣ ⎦

na čoveka (mornara) koji stoji na palubi bio prinuđen da prekine rad. Uslovi klizanja i preturanja tereta primenjeni na mornara na brodu predstavljaju uslove prekida rada usled ljuljanja...

a čove a ( o a a) oj stoj a pa ubbroda...

Pretpostavićemo da mornar stoji poprečno u odnosu na brod i da je, radi sigurnijeg oslanjanja, blago raširio noge...



,2l 0 5 m≈h 1 m≈

Podaci za tipičnog mornara su

,Cj 0 5 m≈

K fi ij ti kli j

i k d

,k 0 7μ ≈,k 0 19μ ≈

Koeficijenti klizanja

suva paluba, adekvatna obuća:

mokra, klizava paluba:

Primer: mornar na komandnom mostu teretnog broda dužine 110 m, koji plovi na bočnim regularnim talasima... Visina talasa je 3 m.



Uobičajeno je da se verovatnoća proklizavanja i preturanja mornara (verovatnoća prekida rada) preračunavaju u srednje frekvencije u minutama...

Mornari su nekada prinuđeni da rade i u

Odnosno srednji broj prekida rada usled klizanja ili gubitka ravnoteže u minutu...To je tzv. indeks prekida rada. Obeležavaja se sa MII (Motion Interuption Index)

Mornari su nekada prinuđeni da rade i u uslovima u kojima je MII veći od uobičajenih normi...Tada su, međutim, izloženi riziku od povrede, njihov rad usporen, a rezultati lošijeg kvaliteta...Sit ij j b t šk ib ki

( )( ) ( )( )

okl

2

klV kl V klMII 60 60T 2 kl

σπ σ

= =

( ) ( ) ( )( )

opr

2

V pr V pr prMII 60 60T 2 pr

σπ σ

= =Situacija je posebno teška na ribarskim brodovima, gde se od posade zahteva da love i u ekstremnim vremenskim uslovima. Rad na ovakvim brodovima i predstavlja zato jedno od najopasnijih zanimanja...

( )2T 2 prπ σ

Primer: mornar na komandnom mostu teretnog broda dužine 110 m, koji plovi na bočnim neregularnim talasima...



5.3. KRITERIJUMI POMORSTVENOSTI

Važan aspekt proračuna ponašanja broda na talasima predstavljaju maksimalne dozvoljene vrednosti pojedinih parametara vezanih za ljuljanje broda tzv norme ilivezanih za ljuljanje broda – tzv. norme, ili kriterijumi pomorstrvenosti broda...Norme koje će biti prikazane predstavljaju plod dugogodišnjeg iskustva pomoraca i brodograditelja...Ipak, s izuzetkom onih i koje su ušle u

il b ih h i i l kpravila, treba ih shvatiti uslovno, kao smernice za projektovanje...

Uticaj na putnike i posadu

Standardi ISO 2631 daju gornju granicu tik l b j k j d di d

Primenjuju se prvenstveno na putnike na brodu, i dovode do pojave morske bolesti kod oko 10% neadaptiranih odraslih osoba.

i ik l b jvertikalnog ubrzanja koja dovodi do izrazitog nekomfora (severe discomfort boundary) kod ljudi nenaviknutih na ljuljanje...

Uz to, u vezi vertikalnog ubrzanja postoji još još ceo niz preporuka...



Vertikalno ubrzanje, RMS vrednost

0,02g Putnici na brodovima za krstarenje. Stariji ljudi. Blizu donje granice na kojoj pojava morske bolesti nije verovatna. Vrednost koja se koristi za poseban komfor

0,200g Laki manuelni rad za ljude adaptirane na ljuljanje. Nepodnošljivo u dužem periodu. Brzo dovodi do zamora. Uobičajeni maksimum na komandnom mostu trgovačkih i ratnih brodova (STANTAG 4154).Vrednost koja se koristi za poseban komfor

putnika. 0,05g Putnici na feribotima. ISO standard za period izloženosti od pola sata. Izaziva simptome morske bolesti kod približno 10%neadaptiranih odraslih osoba.

l k l i d lj d l i

g ( )0.275g Jednostavan laki rad. Najveća pažnja mora biti usmerena na održavanje ravnoteže. Prihvatljivo samo u kratkom periodu na pramcu broda, ili na brzim brodovima.

0,100g Intelektualni rad za ljude relativno dobro adaptiranje na ljuljanja (na primer naučnike na istraživačkim brodovima). Manuelni rad zahtevnije prirode. Dugoročno podnošljivo za posadu. 0,150g Težak manuelni rad za ljude

Poprečno ubrzanje, RMS vrednost

0,100g Uobičajeni maksimum na komandnom mostu trgovačkih i ratnih brodova (STANTAG 4154). Generalno, limit poprečnog ubrzanje je oko 50% vertikalnog.

adaptirane na ljuljanje: na primer posadu na ribarskim brodovima i brodovima snabdevačima.

pop eč og ub a je je o o 50% ve t a og.



Verovatnoća morske bolesti MSI (%)

10% za 2 h Putnici na putničkim brodovima20% za 4 h Posada na ratnim

Uticaj na konstrukciju broda, teret i opremu

Sleming

Srednja učestalost sleminga 20 – 60/časI t t j d iž d t d j STANTAGbrodovima

Indeks prekida rada MII (broj u minuti)

0,5 Za zahtevnije poslove (na primer dopuna goriva i snabdevanje na otvorenom moru).

Interesantno je da nižu vrednost daje STANTAG 4154 za ratne brodove.Verovatnoća sleminga 1 - 3%

Zalivanje palube

Srednja učestalost zalivanja palube 30 – 90/čas Nižu vrednost daje STANTAG 4154 za ratne )

1 Uobičajena maksimalna vrednost za posadu ratnih i trgovačkih brodova

Ugao valjanja, RMS vrednost

4 – 6° STANAG 4154 preporučuje limit d ° b d P j di i i

jbrodove.

Verovatnoća zalivanja palube 2 – 7%

Izletanje propelera

Učestalost izletanja propelera 90 – 120/čas (na ¼ prečnika).od 4° za ratne brodove. Pojedini autori

dozvoljavaju i veće vrednosti.Ugao posrtanja, RMS vrednost

1,5°

¼ prečnika).

Verovatnoća izletanja 10 – 25%

Izletanje sonara

Učestalost izletanja aktivnog sonara 24/časUčestalost izletanja pasivnog sonara 90/čas



Kombinovani kriterijumi

Postoji više pokušaja da se uspostavi kombinovani kriterijum pomorstvenosti za određeni tip broda... J d d ćih k bi ij t t

Dopuna goriva na otvorenom moru

MII = 0,5/minMSI = 20% za 4 časaZalivanje palube = 0.5/čas

Poletanje i sletanje aviona s fiksnim krilima Jednu od mogućih kombinacija za teretne brodove dao je Ochi 1995:Pun brod:

V[zalivanja palube i/ili značajne vrednosti vertikalnog ubrzanja na pramcu ≥ 0,4 g] ≤ 0,07

Prazan brod:

(RMS vrednosti)

Vertikalno pomeranja 0,8 mPoprečno pomeranje 2,3 mVertikalna brzina 0,7 m/s

V[sleminga i/ili značajne vrednosti vertikalnog ubrzanja na pramcu ≥ 0,4 g] ≤ 0,03

Specifične misije

Pojedine misije koje brod obavlja zahtevaju, zbog svoje složenosti, oštrije norme od onihzbog svoje složenosti, oštrije norme od onih koje su prikazane u prethodnom tekstu. Posebno su detaljano proučene misije ratnih brodova u okviru NATO propisa STANTAG 4154. Na primer:

Poletanje i sletanje helikoptera (RMS)

Ugao valjanja 2,5°Ugao posrtanja 1,5°Vertikalna brzina 1 m/s



5.4. MOGUĆNOST SMANJENJA LJULJANJA BRODA

Ljuljanje broda je kao što je već više

5.4.1. Poniranje i posrtanje broda

Znamo: Na valjanje broda projektant može uticati vertikalnim pomeranjem težišta broda, odnosno promenom MGLjuljanje broda je, kao što je već više

puta istaknuto, nepovoljno i opasno...Na žalost, more po kome plove brodovi je često uzburkano, a ljuljanje neizbežno. U takvoj situaciji, jedan od važnih

d k j k ( i d ik

odnosno promenom MG... Za ponirenje i posrtanje nema neki sličan, pogodan parametar... Da li ipak postoje neke druge (skrivene) mogućnosti...

Uti j ć (d li ič ) t li i

Razmotrićemo mogućnosti koje stoje na raspolaganju projektantu broda...

zadataka projektanta (a i zapovednika broda) je da smanji ljuljanje i njegove nepovoljne posledice...

Uticaje smo već (delimično) razmatrali pri analizi poniranja i posrtanja na regularnim talasima...

Uticaj brzine plovidbe

Pri plovidbi broda ka talasima, smanjenje

Primer: fregata dužine 110 m, koja plovi ka talasima značajne visine 5 m

p , j jbrzine plovidbe uvek deluje povoljno...



Zašto je smanjenje brzine povoljno?



Iako smanjenje brzine predstavlja jednu od malobrojnih sigurnih mera za smanjenje ljuljanja, ova mera je (na žalost) veoma retko pod kontrolom

Uticaj veličine broda

Dobro je poznata činjenica da se veći brodovi manje ljuljaju na olujnom moru...

projektanta broda...Brzina broda je, po pravilu, izričit zahtev naručioca broda koji projektant mora da zadovolji...Često, naročito kod brzih brodova, brzina plovidbe i nije ograničena

Samo avanturisti kreću na okean u malim čamcima...U eskadrili ratnih brodova koja plovi ka talasima po uzburkanom mora, uvek su najugroženije male jedinice...Dok nosači aviona i bojni brodovi jedva brzina plovidbe i nije ograničena

snagom motora...već prevelikim ubrzanjima i slemingom do koga dolazi pri plovidbi broda ka talasima...

Razarači...

j josećaju talase, mali prateći brodovi, razarači i fregate, ulažu maksimalan napor da ne zaostanu za grupom...Posada fregata, sa zavišću posmatra svoje kolege na velikim brodovima.

A projektant, da bi obezbedio zahtevanu brzinu na uzburkanom moru, mora da primeni druge mere za smanjenje poniranje i posrtanje...

Primeri brodova različitog deplasmana...



Zašto je povećanje deplasmana povoljno?

Sami....



Analiza malog povećanje deplasmana, bez promene odnosa glavnih dimenzija...

Primer: Povećanje dimenzije broda (L, B, T) za 10% deplasman a 33%

Geometrijski slični brodovi...

10%, deplasman za 33%.

Zaključujemo, povećanje deplasmana broda dovodi do smanjenja ljuljanja broda koji plovi ka talasima...I generalno, povećanje broda poboljšava njegovo

š j l iponašanje na talasima.Da bi značajnije smanjilo ljuljanja, povećanje broda mora biti dovoljno veliko...i prevazilazi male varjacije dimenzija koje su u nadležnosti projektanta.



Deplasman broda jednak je zbiru brodskih masa...I direktno utiče na cenu broda...

Uticaj odnosa glavnih dimenzija

Pretpostavimo da su deplasman i brzina broda zadati i konstantni...Razmotrimo mogućnost smanjenja poniranja i

Projektant (po pravilu) teži minimalnom deplasmanu, koje obezbeđuju izvršenje zadataka koji se postavljaju pred broda...Svako veštačko povećanje mase broda predstavlja daleko preskupu meru za

g j j p jposrtanja promenom odnosa glavnih dimenzija.Postavljeni zadatak je tipičan za ranu fazu projektovanja broda, kada projektant zna brzinu koju brod mora da zadovolji...proračunao je preliminarnu vrednost deplasmana...

t b d d b ( k i l ti kihpredstavlja daleko preskupu meru za poboljšanja pomorstvenosti...Primenjuje se sasvim retko, kod ratnih brodova, kada se jedino povećanjem broda može obezbediti pouzdano izvršenje zadatka na uzburkanom moru

a treba da odabere (u okviru relativno uskih preporuka za određenu vrstu broda) glavne dimenzije broda...Reč je o veoma važnom izboru, od koga u mnogome zavisi kvalitet budućeg broda...

K lik j j kt t ć ti d tičmoru. Koliko je projektant u mogućnosti da utiče na smanjenja ljuljanja budućeg broda pravilnim izborom i variranjem odnosa glavnih dimenzija?Otrovni gas...

Skepsa profesora Žornea...



( )g TT T 2 1L Lζ ζ ζ

δπ κα

= = +

Sopstveni periodi poniranja i posrtanja mogu se izraziti u bezdimenzionom obliku...

Nameće se, kao potencijalno povoljna mera, smanjene odnosa T/L ...odnosno smanjenje gaza na račun dužine, pri B = const

L Lζ ζ ζα

( )y

y

jg TT T 2 1L i Lψ ψ ψ

δπ κα

= = +

Povoljno je da sopstveni periodi budu što

oR

vF

gL=

Sem povoljnog uticaja na sopstvene periode, povećanjem dužine smanjuje se i Frudov broj...

j j p pmanji...

Međutim, smanjenje gaza, povećava se verovatnoća sleminga...

⎡ ⎤

?

( ) ( )( ) exp22ps

rel relo 2

vTV slem2 2σ σ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦



Primer:

Poniranje, posrtanje, vertikalno ubrzanje na komandnom mostu i verovatnoća sleminga dva broda jednakog deplasmana, jednake širine, a različite dužine i gaza...Reč je o malom vešenamenskom brodu – roditelju, dužine 110,6 m, čija je dužina povećana za (približno) 10% na račun smanjenja gaza. Razlika odnosa T/L dva broda je približno 20%, što je oko maksimuma koji bi projektant, u realnim uslovimauslovima...

Promena glavnih dimenzija neminovno utiče i na ostale osobine broda...Produženje broda na račun gaza povoljno je s aspekta otpora broda na mirnoj vodi

Da li je rezultat povoljan?

otpora broda na mirnoj vodi...ali izrazito nepovoljno s aspekta čvrstoće broda...Posebno, ako smanjenje gaza prati i odgovarajuće smanjenje visine broda, odnosno ako se ne menja slobodni bok.



Kaže se da je dužina najskuplja brodska dimenzija...Ustvari, produženjem broda raste moment savijanja, a smanjenjem visine, smanjuje se otporni moment poprečnog preseka

Uticaj koeficijenata forme

g T δ

Izrazi za sopstvene bezdimenzione periode poniranja i posrtanja

otporni moment poprečnog preseka. Elemente brodske konstrukcije treba jače dimenzionisati, što dovodi do težeg brodskog trupa...Pretpostavljen je konstantan deplasman broda...

( )g TT T 2 1L Lζ ζ ζ

δπ κα

= = +

( )y

y

jg TT T 2 1L i Lψ ψ ψ

δπ κα

= = +

Da li će veća težina trupa biti kompenzovana lakšim motorom (zbog smanjenja otpora), ili će se smanjiti nosivost broda? Svaka intervencija na glavnim dimenzijama neminovno pokreće celu spiralu ključnih

ukazuju da treba težiti što manjem vertikalnom prizmatičnom koeficijentu

vδϕα

=

Pretpostavimo da se forma broda modifikujep p jpitanja projektovanja broda...i zato ovim promenama treba pristupati oprezno i selektivno, ne povodeći se samo za jednom od karakteristika broda.

Pretpostavimo da se forma broda modifikuje tako da se zadržava konstantan deplasman i glavne dimenzije...a smanjuje vertikalni prizmatični koeficijent...



Ustvari, prema prethodnim pretpostavkama, važi

D constLBT

δρ

= =

tako da se povećava samo koeficijent punoće vodne linije α

2gn nρ′ RBω ω

Da li je ovakva promena forme povoljna?

Posmatrajmo prigušenje...

linije α ...3p

n nω

=

, ,Rp R

R

Bn f

Tω β⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Rp p 2g

ω ω=Popunjavanje vodne linije dovodi do promene forme rebara...

Širina rebara u pramčanom i krmenom delu broda se povećava, što, pri nepromenjenom gazu, dovodi do većih odnosa B / Tdo većih odnosa BR / TR . S obzirom na uslov D = const, površine rebara se ne menjaju, što, pri povećanoj širini, dovodi do smanjenja koeficijenta punoće rebra βR ... Rebra pri tom dobijaju karakterističan “V” oblik...

,R nβ ′

/ ,R RB T n′



Fizički, novi V oblik rebara indukuju veće talase pri poniranju, koji odnose veću energiju... Mera, koju smo uveli na osnovu formule za bezdimenzione periode, pokazala se veoma

Dodatno, i veoma povoljno... novi oblik pramčanih rebara ima veći poprečni ugao nagiba (fler) θp , što bitno smanjuje udarne pritiske na dnu broda, ukoliko i dođe do sleminga.bezdimenzione periode, pokazala se veoma

povoljna i sa stanovišta prigušenja!

Popunjavanjem vodne linije na pramcu i krmi, raste radijus inercije vodne linije...

( )yjg TT T 2 1δ κ+

ukoliko i dođe do sleminga.

( )y

y

gT T 2 1L i Lψ ψ ψπ κ

α= = +

što, uz nepromenjeni radijus inercije jy , dodatno smanjuje sopstveni period posrtanja broda.

R t i d ti j j j dRazmotrimo sada uticaj popunjavanja vodne linije na sleming. Zbog manjeg poniranja i posrtanja, pri nepromenjenom gazu broda, opasnost od sleminga se smanjuje...



Pri popunjavanju vodne linije na pramčanom delu broda, na žalost, zahtevi otpora i pomorstvenosti nisu usaglašeni...Povećanje ugla “ulaza” vodne linije na pramcu negativno utiče na otpor broda...

Rezimirajmopopunjavanje vodne linije (odnosno povećanje koeficijenta α ) deluje, makar kvalitativno, kao veoma dobra mera za

j j i j i j

Povoljno utiče na sopstvene periode, prigušenje i sleming, bez vidljivih negativnih efekata sa aspekta pomorstvenosti...Ipak kao i svaki lek i ova mera ima svoje

pramcu negativno utiče na otpor broda...i projektant mora da usvoji kompromisno rešenje između dva suprostavljena zahteva...

Otpor?

smanjenje poniranja i posrtanja...

Ipak, kao i svaki lek, i ova mera ima svoje kontraindokacije. Primer:

Povećanje koeficijenta α za oko 5,5%, pri nepromenjenom deplasmanu, glavnim dimenzijama i brzini broda

Popunjavanje vodne linije u krmenom delu broda dovodi, u krajnjem ishodu, do široke (tzv. transom) krme...Ovakva krma je pri većim brzinamaOvakva krma je, pri većim brzinama, povoljna i sa stanovišta otpora, što predstavlja jedan od retkih primera gde su zahtevi ponašanja na talasima i zahtevi otpora na mirnoj vodi, usaglašeni...



5.4.2. Valjanje broda

Već više puta naglašeno, na valjanje se može efikasno uticati promenom MG...

Ostalo je nejasno šta se dešava na neregularnim talasima...

Da li je skepsa opravdana...?

s obzirom da uvek postoje komponente talasa u odnosu na koje je brod u potkritičnoj, kritičnoj ili natkritičnoj oblasti...

Primer: mali kontejnerski brod na bočnim neregularnim talasima



Najmanje amplitude valjanja i ubrzanja javljaju pri malim metacentarskim visinama, na granici dozvoljenih s aspekta stabiliteta broda...To je oblast dugih sopstvenih perioda, i mekog valjanja broda... S povećanjem metacentarske visine, amplitude valjanja i ubrzanja rastu...Tek pri izuzetno velikim metacentarskim visinama, i posebno pri jakim olujama, uočava se (izvesan) povoljni efekat povećanja metacentarske visinevisine...

Ovaj povoljan efekat potkritičnog valjanja je, međutim, mali, uočava se samo kod ugla, a ne i kod ugaonog ubrzanja, i to pri metacentarskim visinama koje su tehnički veoma teško ostvarljive...

U većem delu dijagrama, valjanja se povećava s porastom MG...Povoljno je smanjenje MG...

To je tipično natkritično ponašanje...

tehnički veoma teško ostvarljive...Situacija je neuporedivo povoljnija pri malim metacentarskim visinama.Da li se rezultati ovog pojedinačnog primera smeju prihvatiti kao generalni zaključak?



Različiti brodovi Prethodna analiza, prema kojoj uobičajeni brodovi na neregularnim talasima imaju (uglavnom) natkritično ponašanja...važi samo za uobičajene brodove...važi samo za uobičajene brodove...

Katamarani, na primer, imaju drugačije ponašanje



Projektant može poboljšati ponašanje broda na talasima promenom veličine broda, promenom forme broda, promenom

5.4.3. STABILIZATORI LJULJANJA 5.4.3.1. Pasivni stabilizatori

Pasivni stabilizatori valjanja rade na dva principa: mogu povećavati prigušenje (otpor) broda prip p

rasporeda masa itd...Postoji, međutim, i drugi put. Ljuljanje se može smanjiti primenom specijalnih uređaja – tzv. stabilizatora ljuljanja.O i đ ji t i j j k d

mogu povećavati prigušenje (otpor) broda pri valjanjuto su prigušivači valjanja, a mogu vršiti tzv. dinamičku apsorpciju oscilovanja, odnosno biti tzv. dinamički apsorberi valjanja.

Ovi uređaji se prvenstveno primenjuju kod valjanja, a sasvim izuzetno, i to samo kod specijalnih brzih brodova, i na smanjenje posrtanja i poniranja.

Postoji niz različitih stabilizatora, koji se b i j bit ličiti i i i

a. Prigušivači valjanja

Ljuljne kobilice

Ljuljne kobilice (bilge keels) su tipičan pasivni stabilizator valjanja koji radi na

baziraju na bitno različitim principima... principu povećanja prigušenja...Ustvari, to je najprostiji, najmanje efikasan, ali i najčešće primenjivan stabilizator valjanja...

(Sam termin “stabilizator” nije adekvatan, jer nijedan od uređaja ne povećava stabilitet...)



Teško da ga možemo nazvati uređajem...reč je o pločama koje se postavljaju (zavaruju) upravno na uzvoj broda, i tako remete poprečno opstrujavanje vode pri valjanju...

2k k k k k k

1M 2r F 2r c v A2ρ= ⋅ = ⋅

2⎛ ⎞

22

kBv r GK2

ϕ ϕ ⎛ ⎞≈ ≈ + ⎜ ⎟⎝ ⎠

3k k k kM c r Aρ ϕ ϕ≈

Jednačina valjanja broda sa ljuljnim k bili

Moment oko ose x koji stvaraju sile koje deluju na kobilice su

kobilicama

( ) cos2 2k o T2 tϕ ϕ ϕ ϕϕ μ ϕ β β ϕ ϕ ω ϕ α ω ω+ + + + =



Ljuljne kobilice povećavaju koeficijent prigušenja za

( )3

k k kk 2

x

c r AD j 1 ϕ

ρβκ

≈⋅ + kc 5 7≈ −

Uticaj ljuljnih kobilica je najveći u okolini rezonancije...

( )

Postoji niz semi-empirijskih postupaka za preciznije određivanje koeficijenta ck ...

Efikasnost ljuljnih kobilica zavisi i od njihove površine Aknjihove površine Ak ...Veće kobilice, daju veće prigušenje... Pri tome je širina kobilica, po pravilu, ograničena gabaritom broda (nalaze se unutar pravougaonika B x H)... i najčešće je u granicama 0,3 – 1 m. , ,P 0 25 0 5ϕΔ = −

Tipično, smanjenje rezonantnog pika je

U protivnom, kobilice bi smetale pri pristajanju i plovidbi u plitkoj vodi. Zato dužina kobilice treba da bude što veća, i najčešće se kreće u granicama 25 – 50%dužine broda.

Na neregularnim talasima zavisi od slučaja do slučaja (položaja pikova prenosne funkcije valjanja u odnosu na spektar nagiba talasa), ali tipično



Na model broda se, u okolini uzvoja, lepe trake i prati se njihov položaj tokom kretanja modela kroz mirnu vodu... Na osnovu toga se odruđuje pravac strujnica, duž koga se postavljaju ljuljna

Poboljšanje dostiže 20% ...

strujnica, duž koga se postavljaju ljuljna kobilica... Problem se može javiti kod brodova koji se, u službi, kreću bitno rezličitim brzinama (npr. remorkeri, ribarski brodovi itd), jer položaj ljuljnih kobilica optimalan za jednu, može biti izrazito nepovoljan zaza jednu, može biti izrazito nepovoljan za drugu brzinu plovidbe...Primena ljuljnih kobilica ima i svojih mana...

Kobilice su izdanci koji povećavaju okvašenu površinu broda, i time otpor broda pri plovidbi u mirnoj vodi... Da bi se ovaj negativni efekat smanjio, odnosno ograničio samo na povećanje otpora trenja,

Dugogodišnje iskustvo je pokazalo da izvesno povećanje otpora broda, pa i težine konstrukcije koje stvaraju ljuljne kobilice, predstavlja razumnu cenu za ograničio samo na povećanje otpora trenja,

kobilice treba postaviti tako da minimalno remete uzdužno opstrujavanje broda...Za određivanje položaja kobilica duž broda, često se koriste eksperimenti u kome se strujanje vizualizuje...

smanjenje valjanja...Zato je većina savremenih morskih brodova, ukoliko nemaju neki efikasniji (i skuplji) uređaj, opremljena bar ovim jednostavnim stabilizatorom...



ParavaniKod manjih brodova, a posebno kod ribarskih brodova gde ljuljne kobilice mogu smetati pri izvlačenju mreža...koriste se i tzv. paravanski pstabilizatori – paravani. Oni su posebno popularni na Severnom Atlantiku, u priobalju Kanade i SAD... Reč je o čeličnim pločama specifičnog (obično trouglastog)specifičnog (obično trouglastog) oblika vezanih sajlama, koje se spuštaju u vodu preko izbačenih držača, tako da ih brod vuče tokom plovidbe po talasima...Pošto sajle prenose silu samo dok su zategnute paravani “rade”zategnute, paravani rade neizmenično...Prigušenje tokom valjanja stvara samo jedan od paravana – onaj koga brod u tom trenutku povlači naviše...



Kada brod ne napreduje, uticaj je sličan uticaju ljuljnih kobilica...

Kada brod napreduje, javlja se i dopunski efekat prigušenja...

Tipičan uticaj na neregularnim talasima

Tipičan uticaj na prenosnu funkciju...



b. Dinamički apsorberi valjanja

Apsorberi valjanja su mehanički oscilatori koji se postavljaju na brod s ciljem smanjenja valjanja... K b b ž ( i i ) k i i i

Pasivni ljuljni tankovi

Pasivni ljuljni tankovi se dele na “obične” tankove (a), U-tankove (b) i “spoljne” U-tankove (c) itdKao absorber, može se (u principu) koristiti

masa vezana oprugama, klatno, ili neki slični uređaj...

tankove (c), itd. Tankovi se, u slučaju nevremena, delimično pune spoljnom vodom koja, usled valjanju broda, osciluje... Podešavaljem sopstvene frekvencije i drugih parametara oscilovanja vode u tanku, ovakvi

Postoji, međutim, i bolje tehničko rešenje... Kao apsorber valjanja se najčešće koristi

uređaji postaju efikasni apsorberi valjanja...

Kao apsorber valjanja se, najčešće, koristi voda u specijalnim – tzv. pasivnim luljnim tankovima broda...

klatno – dizalica...

Analiziraćemo jednu od mogućih konstrukcija: pasivni U-tank...

Tipično, koristi se tankovi u dvoboku oko sredine broda, koji se spajaju cevima...



Treba, prvo, rešiti oscilovanje vode u nepokretnom U-tanku

sekv

2gl

ω =

lA∫

sopstvena frekvencija stuba tečnosti

μs koeficijent prigušenja

k l d žoekv

0

Al dl

A= ∫ ekvivalentna dužina

stuba tečnosti

U slučaju

Pri izvođenju diferencijalne jednačine oscilovanja, polazi se od odgovarajuće Lagranževe jednačine druge vrste...

k ks

E Ed Qdt s s

∂ ∂− =

∂ ∂ Adt s s∂ ∂

Dobija se, nakon izvođenja...

2s ss 2 s s 0μ ω+ + =

( )oekv s s s

d

Al 2h B b d

A≈ + − −

Punjenjem / pražnjenjem tanka, menja se lekv , odnosno podešava sopstvena frekvencija ωs ...



U – tank, na brodu koji se ljulja...Interesuje nas prenosna funkcija (odnosno amplituda) valjanja

o

o

Pϕϕα

=

U klasičnom slučaju ( , )P fϕ ϕ ϕΛ Ψ=

Tϕ

ϕ

ωΛω

= ϕϕ

ϕ

μΨ

ω=gde su

Problem sa dva stepena slobode...

k kE Ed Qdt ϕϕ ϕ

∂ ∂− =

∂ ∂k k

sE Ed Q

dt s s∂ ∂

− =∂ ∂

Dobijaju se spregnute jednačine...

Sada je ( , , , )s sP fϕ ϕ ϕΛ Ψ Λ Ψ=

gde su ss

ϕ

ωΛω

= ss

s

μΨω

=

j ć j i ( d š i)cos2 2

s s o T2 a s c s tϕ ϕ ϕϕ μ ϕ ω ϕ ω α ω+ + ⋅ + + =

2s ss 2 s s a c 0ϕ ϕμ ω ϕ ϕ+ + + + =

sΛ je moguće menjati (podešavati) promenom nivoa vode u tanku...

sΨ je moguće menjati (podešavati) otvaranjem – zatvaranjem zasuna



Razmotrićemo, prvo, slučaj slabog prigušenja vode u tanku

odnosno slučaj kada je zasun u spojnoj cevi

s 1Ψ

potpuno otvoren...

Posmatrajmo rešenja u funkciji Λφ , pri različitom parametriu Λs ...

Da bi se eliminisao rezonantni pik valjanja, neophodno je podesiti

s ϕω ω=

To je opšte pravilo pasivnog U-tanka: sopstvenu frekvenciju oscilovanja vode u tanku treba izjednačiti sa sopstvenom frekvencijomtreba izjednačiti sa sopstvenom frekvencijomvaljanja broda...Efekat na rezonantnu amplitudu valjanja je tada veoma veliki...



Međutim, prenosna funkcija valjanja broda, umesto jednog rezonantnog pika, sada poseduje dva pika...Tank uklanja opasnost od rezonantnog valjanja ali ugrožava brod na talasima

Dobija se

valjanja, ali ugrožava brod na talasima drugih, ranije bezopasnih frekvencija...Na neregularnim talasima, nova prenosna funkcija broda s tankom ne mora biti povoljnija od prenosne funkcije broda bez tanka...

Pretpostavićemo sada da se sopstvena frekvencija oscilovanja vode u tanku poklapa sa sopstvenom frekvencijom valjanja broda (Λs = 1)...Odnosno da je tank, shodno prethodnoj

li i j fik iji

Uticaj veoma mali...Povoljan u okolini razonancije...Nepovoljan u dalekoj potkritičnoj oblasti...

analizi, najefikasniji...Ispitaćemo, pod tim uslovom, lučaj jakog prigušenja vode u tanku... Postiže se pritvaranjem zasuna...

Optimalno rešenje se (očigledno) nalazi između slučaja slabog, i slučaja jakog prigušenja...



Treba naći srednje - umereno prigušenje oscilovanja vode u tanku...pri kome prenosna funkcija valjanja broda nema izraženi rezonantni pik, ali ni nove pikovi u potkritičnoj i natkritičnoj oblasti...

Prenosne funkcije valjanja broda s ljuljnim tankom su, pri veoma malim frekvencijamatalasa, veće od jedan... Ovaj rezultat posledica je statičkog efekta slobodne površine...podnosno smanjenja efektivne metacentarske visine pod uticejem slobodne površine vode u tanku.

Da ovaj statički efekat ne bi bio suviše veliki, ograničava se odnos

, ,ss

s

0 2 0 35μΨω

= ≈ −

I stvarno, pri vrednostima

dobija se

,AG 0 2MG

≤

što, kod uobičajenih konfiguracija, daje odnos mase vode u tanku prema deplasmanu broda

, ,m 0 02 0 05D= −

Ovo ograničenje, međutim, ograničava i efikasnost ljuljnih tankova...



Na neregularnim talasima dobija se

Da bi tank u okviru svoje veličine

Veličina, a time i efikasnost ljuljnog tanka je ograničena negativnim efektom slobodne površine vode u tanku na statički stabilitet broda...

• Sopstvena frekvencija oscilovanja vode u tanku treba da je jednaka sopstvenoj frekvenciji valjanja

Da bi tank, u okviru svoje veličine, imao maksimalan efekat, treba podesiti parametre tanka...

Da rezimiramo...Pogodno je kao pasivne U – tankove koristiti

broda...• prigušenje treba da bude umereno, između ekstremno malog i ekstremno velikog...

Ovi parametri se podešavaju promenom nivoa vode u tankuPogodno je kao pasivne U tankove koristiti

tankove u dvoboku oko sredine broda, koji se spajaju cevima... što je tehnički lako izvodljivo...

promenom nivoa vode u tanku...i podešavanjem položaja zasuna...

Analiza ostalih tipova pasivnih tankova, veoma slična...



5.4.3.2. Aktivni stabilizatori

Aktivni stabilizatori valjanja predstavljaju deo petlje automatskog upravljanja (kontrole) valjanja...

Aktivna peraja su vrsta podvodnih krila, koja se postavljaju iznad uzvoja, oko sredine broda

Aktivna peraja

Na brodu postoje merni uređaji – senzori, koji mere kretanje broda (npr. nagib, ugaonu brzinu, ugaono ubrzanje valjanja)...Na osnovu izmerenih kretanja sistem aktivira servo motor, koji dalje pokreće sam

bili

Krila su simetrična, i vezana za servo motor koji može menjati napadni ugao nastrujavanja vode tokom plovidbe...

stabilizator...Kretanje stabilizatora utiče na valjanje broda, što registruju senzori... čime se petlja zatvara.

Peraja se, po pravilu, mogu uvlačiti u trup, da ne bi povećavala otpor na mirnoj vodi i smatala pri pristajanju broda... Kod ratnih brodova su češća “fiksna” rešenja...



Presek peraja je simetričnan hidroprofil na koji, pri napredovanju broda, voda nastrujava brzinom vo

Koeficijent uzgona profila cL zavisi od vitkosti krila AR , i od tipa profila...Za peraje zadate geometrije, koeficijent uzgona profila je, međutim, isključivo funkcija napadnog ugla ε ...p g g

Ukoliko je napadni ugao ε = 0 , na profil deluje samo sila otpora FD

Ukoliko je napadni ugao različit od nule, javlja se i sila uzona

2L L

1F c A vρ=Za (relativno) male napadne uglove zavisnost j ibliž liL L p oF c A v

2ρ je približno linearna

Za razliku od ljuljnih kobilica, uticaj peraja na valjanje bitno zavisi od brzine plovidbe... i vo = 0 je praktično zanemarljiv...

pri čemu se, s promenom smera napadnog ugla menja znak koeficijenta cL , odnosno smer sile uzgona...

L Lc a ε≈



Peraja na suprotnim bokovima su podešena tako da zaklapaju napadne uglove suprotnog smera...

Sada dolazimo do ključnog problema ovog, i svakog drugog aktivnog stabilizatora...Po kom zakonu treba pokretati stabilizator da bi uticaj na smanjenje valjanje broda bio najveći? Kako izabrati zakon zakretanja peraja ε(t) ?Kako izabrati zakon zakretanja peraja ε(t) ?

Diferencijalna jednačina valjanja broda sa perajama, na regularnim talasima, glasi

( )xJ m n gDMGϕ ϕϕ ϕ ϕ+ + + ⋅ =

( )

2p L p L p p o

2p p o L L M

M 2F r c A r v

A r v a a a t

ρ

ρ ε ε

= = ≈

≈ ⋅ = ⋅

coso T pgDMG t Mα ω= −

Nameće se, makar na prvi pogled, rešenje kod koga aktivni moment poništava pobudni moment talasa

cosp o TM gDMG tα ω=

Sile koje deluju na dva peraja stvaraju ukupan moment za osu x

Moment kojim peraje deluju na brod je, prema tome, srazmeran napadnom uglu peraja, odnosno zakonu zakretanja peraja ε(t) ...

p o Tg

( ) cosoT

2

gDMGt t

aαε ω= ⋅

odnosno zakon zakretanja peraja glasi



Tada bi valjanje broda opisivala jednačina slobodnih oscilacija, čije rešenje vremenom opada i teži nuli, pa se brod na talasima uopšte ne bi valjao!T k l t išt j lj j

Najbolje (iako ne i jedino rešenje) je ono pri kome servo motor zakreće peraja srazmerno ugaonoj brzini valjanja broda

( )t aωε ϕ= ⋅Tada se aktivni moment peraja menja po zakonu

Takvo elegantno poništavanje valjanja, na žalost, nije tehnički izvodljivo. Na brodu nije unapred poznata frekvencija talasa ωT , a ni amplituda nagiba talasa αo , posebno u slučaju plovidbe po neregularnim talasima...

( )p L M L MM a a t a a aωε ϕ= ⋅ = ⋅

( )cos

xJ m n gDMG

gDMG t a a a

ϕ ϕϕ ϕ ϕ

α ω ϕ

+ + + ⋅ =

= −

a diferencijalna jednačina valjanja postaje

Zato nije moguće servo motoru zadavati kretanje koji zavisi od ovih veličina...Ma koliko poništenje momenta talasa delovao primamljivo, moramo potražiti drugo, tehnički primenljivije rešenje.

coso T L MgDMG t a a aωα ω ϕ=odnosno

( ) cos2 2p o T2 tϕ ϕ ϕϕ μ μ ϕ ω ϕ α ω ω+ + + ⋅ =

Aktivni moment peraja se (formalno) javlja kao dodatni koeficijent prigušenja – aktivno

Neophodno je meriti zakone valjanja broda...i na osnovu tih kretanja zadavati kretanje stabilizatoru...

prigušenje μp ..! Aktivni stabilizator tako “napada” isti član kao i najprostiji prigušivači valjanja – ljuljne kobilice...Rezultat aktivnog stabilizatora je, međutim, daleko povoljniji...



Kod brzih brodova (tipično vo > 15 čv) uticaj peraja postaje veoma značajan, a prigušenje valjanja veoma efikasno...

Tipična prenosna funkcija valjanjavelikog putničkog broda (kruzera)

Na neregularnim talasima

g p g ( )opremljenog aktivnim perajama

Rezonantni pik je, zbog velikog aktivnog prigušenja potpuno poništen, a prenosna funkcija monotono opada s porastom frekvencije valjanja.



Aktivne peraje su veoma efikasan stabilizator valjanja...Danas, najefikasniji...Imaju međutim i dve bitne mane

Žiroskopi

Kada se u knjigama ili predavanjima iz Mehanike stigne do poglavlja o žiroskopima, naglasi se (možda da se opravda složena teorija koja sledi) da Imaju, međutim, i dve bitne mane...

Njihova efikasnost zavisi od (kvadrata) brzine plovidbe...Uticaj im se smanjuje sa smanjenjem brzine plovidbe, i neupotrebljive su kod sporih brodova...

žiroskopi služe kao stabilizatori valjanja broda...To je samo delimično tačno. Žiroskopi su se primenjivali kao stabilizatori valjanja u prvoj polovini dvadesetog veka, ali su danas praktično istisnuti iz upotrebe...I pored toga ovde ćemo objasniti princip njihovogTakođe, ceo uređaj, koji osim peraja

obuhvata senzore, servo motor i dodatnu opremu, je veoma složen i skup... Posebno u slučaju kada se peraje uvlače u trup broda.

I pored toga, ovde ćemo objasniti princip njihovog rada, i to ne samo iz istorijskih razloga... Naime, iako istisnuti iz upotrebe kao stabilizatori, žiroskopi su se (zbog svojih jedinstvenih osobina) izborili za drugo, važno mesto unutar petlje automatske stabilizaciju valjanja broda...p

(Cena je i preko milion dolara)Zato nisu primenljiva na jeftine brodove...

Uz to, i danas se povremeno javljaju pokušaji reaktiviranja žiroskopi kao aktivnih stabilizatora valjanja broda...



Osnovni deo brodskog žiroskopa za stabilizaciju valjanja predstavlja disk (rotor) velikog prečnika i mase, koji se velikom, konstantnom ugaonom brzinom obrće oko sopstvene ose...

k j b iNeka je to osa z, a ugaona brzina sopstvene rotacije ωo = constUgaona brzina sopstvene rotacije može se izraziti u vektorskom obliku

Ležajevi A1 A2 o koje se oslanja vratiloo okω ω=

Ležajevi A1 , A2 , o koje se oslanja vratilo rotora nisu nepokretni, već su vezani za prsten (ram) koji može da se ljulja (obrće) oko poprečne ose y ... pri čemu se ram (preko svog vratila) oslanja o ležajeve B1 , B2 , koji su kruto vezani za trup broda

Dok nema precesionog kretanja (dok je ωp = 0) ovakav uređaj – žiroskop, ne pokazuje nikakva neuobičajena svojstva...Međutim, kada mu se zada malo precesiono kretanje ( )tω ωtrup broda...

Ugaonu brzinu obrtanja rama oko ose y je ugaona brzina precesije ωp , koja se u vektorskom obliku izražava kao

p p jω ω=

j ( )p otω ωodnosno kada se zaljulja oko ose y ...menja se pravac ose sopstvene rotacije z , a uređaj se ovoj promeni odupire na potpuno specifičan (žiroskopski) način...



Javlja se žiroskopski efekat, odnosno uređaj stvara žiroskopski moment

G z o p z o pM J J iω ω ω ω= × = −

j k ihMoment je upravan na vektore ugaonih brzina, odnosno deluje oko uzdućne ose broda x ...Znači, moment ne teži da vrati osu sopstvene rotacije u prvobitni položaj, već da ceo uređaj obrne oko treće, upravne ose...Fizički, moment deluje na rotor, i prenosi se kao spreg dve suprotne dinamičke sile FA (koje deluju u ležajevima A1 , A2) na ram...Dalje, preko sprega dinamičkih sila FB

Pema tome, kada se ram žoroskopa zaljulja po zakonu ωp(t) , na brod će delovati moment

( ) ( )G z o pM t J tω ω=j , p p g B

(koje deluju u ležajevima B1 , B2) žiroskopski moment se prenosi na trup broda...

Ukoliko su moment inercije i soptvena ugaona brzina žiroskopa dovoljno veliki, ovakav moment može služiti za stabilizaciju valjanja broda...



Videli smo da je aktivni stabilizator najefikasniji kada deluje momentom koji je srazmeran ugaonoj brzini valjanja broda...Prema tome, zakon preceseije koji se

Žiroskopi, međutim, imaju niz ozbiljnih mana...To je složen i skup uređaj, koji zahvata značajan (žiroskopski) prostor unutar broda...Uređaj, sem servo motora koji zadaje precesiono kretanje, mora posedovati i motor koju zadaje

Žiroskopi, međutim, imaju niz ozbiljnih mana...To je složen i skup uređaj, koji zahvata značajan (žiroskopski) prostor unutar broda...Uređaj, sem servo motora koji zadaje precesiono kretanje, mora posedovati i motor koju zadaje p j j

zadaje žiroskopu treba da glasi

( ) ( ) ( )p t t a tωω ϕ ϕ=∼

tako da se žiroskopski moment menja po zakonu

( ) ( )G z oM t J a tωω ϕ= ⋅

j p j jstalno (konstantno) sopstveno obrtanje...Tipično, veliki putnički brodovi su imali više žiroskopa, sa rotorima prečnika preko 4 m, mase preko 300 t, koji bi se pokretali u slučaju oluje, i obrtali sa skoro 1000 o/min.

j p j jstalno (konstantno) sopstveno obrtanje...Tipično, veliki putnički brodovi su imali više žiroskopa, sa rotorima prečnika preko 4 m, mase preko 300 t, koji bi se pokretali u slučaju oluje, i obrtali sa skoro 1000 o/min.

( ) ( )G z o

constω ϕ

odnosno (matematički) da povećava prigušenje u diferencijalnoj jednačini valjanja broda...

Dobro projektovan aktivni žiroskop nije j fik d k i ih j

Uređaji imaju i dodatne probleme, vezane za samu prirodu žiroskopskog efekta... Zamislimo da brod sa žiroskopom počne da posrće...Žiroskop bi to prepoznao kao precesiono kretanje, stvorio moment oko uzdužne ose imanje efikasan od aktivnih peraja...

Čak ima i jednu značajnu prednost: njegova efikasnost ne zavisi od brzine plovidbe, tako da može smanjiti i ljuljanje broda koji ne napreduje...

kretanje, stvorio moment oko uzdužne ose i izazvao valjanje broda! Rešenje je, na prvi pogled, da se uređaj obrne za 90°, tako da osa sopstvene rotacije postane horizontalna... Tada bi, međutim, svako skretanje broda izazivalo neželjene žiroskopske efekte...



Ovi problemi se mogu rešiti ugradnjom dva (tzv. tandem) žiroskopa koji međusobne poništavaju neželjene efekte...Sistem se, međutim, dodatno komplikuje, i postaje nekonkurentan drugim aktivnim

Osnovna osobina žiroskopa je da prepoznaje promenu pravca ose sopstvene rotacije, i da na nju reaguje stvaranjem žiroskopskog momenta...Ova osobina ima ceo niz važnih primena...p j g

uređajima za stabilizaciju valjanja broda...

Jedan od (retkih) savremenih pokušaja revitalizacvije žiroskopa

pa idealna je za ulogu senzora u petlju automatske stabilizacije valjanja... Naime, ako je ram žiroskopa postavljen tako da precesiju stvara valjanja broda...žiroskop će na svako valjanje reagovati

t i j b i imomentom srazmernim ugaonoj brzini valjanja...i na taj način davati impuls servo motoru aktivnog stabilizatora – npr. perajima. A za ovu svrhu, žiroskop ne treba da ima velike

Žiroskopi su (možda) izgubili utakmicu kao stabilizatori, ali su se izborili za drugu važnu ulogu...

dimenzije i veliku masu, niti visoku cenu...



Aktivni ljuljni tankovi

U pasivnim ljuljnim tankovima, voda vrši slobodno oscilovanje... Efikasnost ljuljnih tankova može se bitno

ć i k jih d đ ji k jipovećati ako se u njih ugrade uređaji koji izazivaju prinudne oscilacije vode...Za to su posebno pogodni U-tankovi, u koje se može ugraditi reverzibilna pumpa u spojnu cev...ili periodično dovodi vazduh visokog pritiska u prostor nad slobodnom površinom...U prvoj varjanti se (tipično) koristi propelerska pumpa velikog kapaciteta. U drugoj varjanti, vazduh pod pritiskom se dovodi iz kompresora i razvodi preko četvorokrake slavine...

Uobičajeno je da oba rešenja služe i kao nakretni sistemi broda...odnosno sistemi koji ispravljaju neželjeni statički nagib broda.



Kod ovih stabilizatora, zbog veće inercije sistema, ne može se izbeći

Situacija, međutim, nije toliko povoljna...

Tipična prenosne funkcije broda sa aktivnim ljuljnim tankovima (slabo prigušenje, slučaj sa kompresorom)...

j ,značajno kašnjenje kretanja vode u tanku za ugaonom brzinom valjanja...što bitno pogoršava realni oblik prenosne funkcije u odnosu na dobijena teorijska rešenja...Posebno su u ovom pogledu nepovoljniPosebno su u ovom pogledu nepovoljni U-tankovi s reverzibilnim pumpama... Takođe, i utrošak energije za aktiviranje U-tanka je relativno velik...Zato se, u praksi, aktivni ljuljni tankovi nisu pokazali konkurentni aktivnim

jDobijene prenosne funkcije pokazuju da efekti

pp kΔ ϕ=p

ekv

kb

2 lϕ ρ=gde je

perajama...i danas su (za razliku od pasivnih tankova) praktično istisnuti iz upotrebe... (?)

aktivnog tanka (makar teorijski) ne zaostaje za efektima aktivnih peraja..Dodatno, uticaj ljuljnih tankova ne zavisi od brzine napredovanja broda, i u tom pogledu imajuznačajnu prednost u odnosu na aktivna peraja...



Kormilo

Na svakom brodu postoji kormilo i kormilarski uređaj, potpuno nezavisno od problema ponašanja broda na talasima...P j ć k il đ i ž

Projektant uređaja s aktivnim perajima određuje (bira) parametre peraja tako da dobije dovoljno veliko aktivno prigušenje valjanja...Pod njegovom kontrolom su, pre svega, površina peraja i maksimalni napadni ugaoPostojeće kormilo se, međutim, može

iskoristiti i kao aktivni stabilizatori valjanja broda... Ustvari, pomorci su oduvek znali da veštim manipulisanjem kormilom mogu smanjiti ljuljanje broda...

površina peraja i maksimalni napadni ugao peraja...Kod kormila je situacija drugačija...Površina kormila je zadata drugim uslovima, i nije pod kontrolom projektanta uređaja za stabilizaciju valjanja...

I dok su oni to vekovima radili na osnovu iskustva (na osećaj)...danas su razvijeni sistemi upravljanja kormilarskim uređajem koji automatizuju ovaj tradicionalni metod stabilizacije broda.

Osnovna razlika je, međutim, u maksimalnomnapadnom uglu...Kod peraja je ovaj ugao ograničen samo hidrodinamičkim uslovima (odvajanjem strujnica, kavitacijom), i kreće se oko 25°...Kod kormila, da bi se izbeglo skretanje broda s

Teorija je, u principu, veoma slična, teoriji peraja...Efikasnost uređaja je, međutim, znatno manja...

Kod kormila, da bi se izbeglo skretanje broda s kursa, ugao zakretanje se ograničava na znatno manje vrednosti...



Aktivno prigušenje koje se postiže kormilomje zato daleko manje...Kormilo, kao stabilizator valjanja, je daleko manje efikasno od aktivnih peraja,i odgovara (grubo) tipičnim pasivnim

Sve što treba dodati je senzor valjanja, i d ki i t lj j ( t j ć )

tako da ovakav metod stabilizacije ne zahteva poseban stabilizator, niti poseban servo motor.

i odgovara (grubo) tipičnim pasivnim stabilizatorima valjanja...

i dopunski sistem upravljanja (postojećeg) kormilarskog uređaja...

Uređaj je zato oko deset puta jeftiniji, i neuporedivo manji, i lakši od aktivnih peraja...Dodatna prednost je što se može naknadno ugraditi u brod, bez ikakve značajnije rekonstrukcije...

S druge strane, i kormilo i kormilarski uređaj već postoje na brodu...



Izbor tipa stabilizatora

Uobičajeno je da savremeni brodovi imaju neki od stabilizatora ljuljanja...

D jč šć k i t

Ukoliko su one nedovoljne...

treba razmišljati o pasivnim ljuljnim tankovima...

Danas se, najčešće koriste• ljuljne kobilice,• pasivni ljuljni tankovi,• aktivne peraje

Praktično svi komercijalni i ratni brodovi imaju (bar) ljuljne kobilice...

Tipično, savremeni kontejnerski brodovi imaju pasivne ljuljne tankove...Smanjuju i opasnost od parametarskog valjanja..



Ukoliko su ljuljni tankovi nedovoljni, najbolji (i najskuplji) stabilizator suaktivna peraja (active fins)...

Postoji i niz drugih stabilizatora:paravani (za ribarske brodove)kormila (za brze brodove, posebno pri naknadnom p pugrađivanju)aktivni ljuljni tankovi (trenutno potisnuti)žiroskopi (ponovo)itd...

Koriste ih putnički brodovi (kruzeri)...Ratni brodovi (sistem bez uvlačenja)Mega jahte...



5.5. OPERATIVNOST BRODA

Imali smo problem da ocenimo ukupnu pomorstvenost broda...da uporedimo kvalitet različitih brodova

Zatim, na osnovu dugoročne statistike stanja mora... treba odrediti verovatnoću dostizanja baš one visine talasa na kojima brod dostiže norme...da uporedimo kvalitet različitih brodova...

To nam omogućava parametar poznat kao operatinost broda (operability), ili operaciona efikasnost broda...

Operativnost broda predstavlja verovatnoću da će, i i š j d tk t ti

dostiže norme...

To je složen, i obiman posao...

Prikazaćemo postupak, kroz jedan tipičan primer...pri izvršenju zadatka, sve norme pomorstvenosti

biti zadovoljene... Ustvari, verovatnoću da će brod moći da izvrši traženi zadatak...

Da bi se odredila operativnost broda potrebno j č ti j di k kt i tik

p p

Mali kontejnerski brod – fider dužine 110,6 m, brzine 14 kn, plovi na Severnom Atlantiku (zona 9) s istoka na zapad, u zimskom periodu...

je, prvo, proračunati pojedine karakteristike ljuljanja u funkciji visine talasa...i odrediti stanje mora (visinu talasa) na kome brod dostiže maksimalno dozvoljene vrednosti (norme) ovih karakteristika ljuljanja...



Proračunamo (npr) RMS vrednost poprečnog ubrzanja na komandnom mostu, pri plovidbi na bočnim talasima...

Odredimo visinu talasa na kojima ubrzanje dostiže normu (npr 0 2g)

i dobijamo tako ( )/ ( )a

1 3h fη μ=

dostiže normu (npr. 0,2g) ...

Kolika je verovatnoća pojave talasa pri

Unutar sive zone, norma je zadovoljena...

Uradimo to za različite pravce plovidbe...

Dobijamo (npr)j p j p

kojima je norma zadovoljena..?Zavisi od oblasti plovidbe...

Zona 9, pravac plovidbe istok – zapad, zimski period...

( )/ ( ) ,a

1 3h 90 4 75 mη ° ≈



h1/3 (m) W NW N NE E SE S SW

0-1 0.006832 0.004286 0.003014 0.003801 0.004312 0.00423 0.0033 0.007311

1-2 0.029313 0.019289 0.013062 0.010992 0.01503 0.022184 0.032221 0.037149

h1/3 (m) W NW N NE E SE S SW

μ = 180° μ = 135° μ = 90° μ = 45° μ = 0° μ =- 45° μ = -90° μ =- 135°

0-1 0.006832 0.004286 0.003014 0.003801 0.004312 0.00423 0.0033 0.007311

1-2 0.029313 0.019289 0.013062 0.010992 0.01503 0.022184 0.032221 0.037149

Verovatnoća pojavljuvanja telasa u oblasti 9, decembar - februar

2-3 0.040994 0.024816 0.0157 0.011587 0.015893 0.02585 0.052989 0.04367

3-4 0.039892 0.021545 0.012372 0.008565 0.011519 0.018424 0.045614 0.03873

4-5 0.03284 0.015679 0.008038 0.005267 0.007022 0.01081 0.028921 0.028257

5-6 0.024244 0.010378 0.004773 0.002885 0.003881 0.005828 0.015722 0.018772

6-7 0.01675 0.006542 0.002638 0.001466 0.001971 0.003102 0.007958 0.011461

7-8 0.01102 0.004061 0.001444 0.000687 0.000924 0.001598 0.003688 0.002766

8-9 0.007053 0.002482 0.000754 0.000321 0.000493 0.000846 0.001747 0.003952

2-3 0.040994 0.024816 0.0157 0.011587 0.015893 0.02585 0.052989 0.04367

3-4 0.039892 0.021545 0.012372 0.008565 0.011519 0.018424 0.045614 0.03873

4-5 0.03284 0.015679 0.008038 0.005267 0.007022 0.01081 0.028921 0.028257

5-6 0.024244 0.010378 0.004773 0.002885 0.003881 0.005828 0.015722 0.018772

6-7 0.01675 0.006542 0.002638 0.001466 0.001971 0.003102 0.007958 0.011461

7-8 0.01102 0.004061 0.001444 0.000687 0.000924 0.001598 0.003688 0.002766

8-9 0.007053 0.002482 0.000754 0.000321 0.000493 0.000846 0.001747 0.003952Dobija se (npr)

9-10 0.004408 0.001466 0.00044 0.000137 0.000246 0.00047 0.000776 0.002174

10-11 0.002645 0.000902 0.000251 9.16E-05 0.000123 0.000282 0.000388 0.001186

11-12 0.001543 0.000564 0.000126 4.58E-05 6.16E-05 0.000094 0.000194 0.00079

12-13 0.000882 0.000338 6.28E-05 0 6.16E-05 0.000094 0.000194 0.000395

13-14 0.000661 0.000226 6.28E-05 0 0 0 0 0.000198

preko 14 0.000882 0.000338 6.28E-05 0 0 0 0 0.000395

9-10 0.004408 0.001466 0.00044 0.000137 0.000246 0.00047 0.000776 0.002174

10-11 0.002645 0.000902 0.000251 9.16E-05 0.000123 0.000282 0.000388 0.001186

11-12 0.001543 0.000564 0.000126 4.58E-05 6.16E-05 0.000094 0.000194 0.00079

12-13 0.000882 0.000338 6.28E-05 0 6.16E-05 0.000094 0.000194 0.000395

13-14 0.000661 0.000226 6.28E-05 0 0 0 0 0.000198

preko 14 0.000882 0.000338 6.28E-05 0 0 0 0 0.000395

( )/ ( )

, , ,, , , ...

a1 3V h 90

0 0030 0 01306 0 01570 0124 0 0080 0 0522

η⎡ ⎤° ≈⎣ ⎦≈ + + ++ + =



( ) ( )/ /( ) ( )

n n180 180

a aa 1 3 n 1 3 nV V h V hη η

μ μ

μ μ= ° =− °

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∑

Uradimo to za sve pravce plovidbe u odnosu na talase...i saberemo verovatnoće

( )( ) ( )/ / /

( ) ( )/ /

( ) , ( ) , ( ) ,

( ) , ( )

a1 3 1 3 1 3

a slem1 3 1 3

V h V h V h

V h V h

ζ

η

ϕ ψμ μ μ

μ μ

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦

Određene su

/ /( ) ( )n n

a 1 3 n 1 3 n

0 0η

μ μ

μ μ= =

⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∑Dobijamo verovatnoću da u zimskim mesecima poprečno ubrzanje neće biti veće od norme...

Postupak treba ponoviti za niz različitih p pkarakteristika ljuljanja broda, i odgovarajućih normi...

U konkretnom primeru, zbog jednostavnosti, analizirano je samo 5 karakteristika povorstvenosti:

RMS vrednost amplitude valjanja, posrtanja, vertikalnog i poprečnog ubrzanja na komandnom mostu, i verovatnoću sleminga...

, , , , ( )a a V slemζ ηϕ ψ



Verovatnoća da pojedinačna karakteristika ljuljanje broda neće prevazići normu (odnosno da će karakteristike ljuljanja biti manje od maksimalno dozvoljenih), za sve moguće uglove plovidbe broda u odnosu na talase, je tada

n n180 180μ μ= ° =− °

( ) ( )/ /( ) ( )

n n

i ii 1 3 n 1 3 n

0 0

V V h V hμ μ

μ μ= =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∑Verovatnoća da će sve norme biti zadovoljene jednaka je proizvodu svih verovatnoća, i iznosi

n∏1 2 3 ii 1

V V V VΩ=

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ =∏To je tražena operativnost (operaciona efikasnost) broda

U konkretnom primeru dobija se Ω ≈ 0 72 =72%U konkretnom primeru, dobija se Ω ≈ 0,72 =72%

Toliki procenat vremena brod bi bio u stanju da obavlja predviđenu službu u zimskim mesecima na Severnom Atlantiku... U preostaih 28% slučajeva, kontejneri ne bi mogli biti isporučeni u predviđenom roku...



Da se vidi primena ovog bezdimenzionog parametra, uporedićemo nekoliko različitih brodova...

Brod A – mali kontejnerski brod (L = 110 m)Brod A mali kontejnerski brod (L 110 m)...Brod B – veliki kontejnerski brod (L = 282 m)...Brod C – mali kontejnerski brod, većeg odnosa L/T...Brod D – kontejnerski brod (L = 175 m), V forme rebara...Brod E – kontejnerski brod (L = 175 m), U forme rebara...Brod F – kontejnerski brod (L = 175 m), veće brzine plovidbe...

S i bl ti 9 S Atl tik

Primeri potvrđuju ono što smo (kvalitativno) već znali... Pomorstvenost broda se poboljšava sa povećanjem broda sa smanjenjem brzineSvi u oblasti 9 Severnog Atlantika, u

zimskim mesecima...povećanjem broda, sa smanjenjem brzine plovidbe, sa popunjavanjem vodne linije...

Međutim, sada imamo, u formi bezdimenzionog parametra Ω, i objektivnu kvantitativnu meru ovih uticaja...



Το nam omogućava da odgovorimo i na ranije postavljeno pitanje: koliko je projektant broda u mogućnosti da, pri zadatom deplasmanu, poboljša pomorstvenost broda?

Moguće je, dalje, uzeti u obzir različite pravce plovidbe, i tako, na primer, analizirati operativnost ratnih, patrolnih brodova... Moguće je upoređivati različita stanja

Ako je neko očekivao da vešt projektant može sprečiti, ili dramatično smanjiti negativne posledice ljuljanja, svakako nije bio u pravu... Međutim, izvesna poboljšanja operativnosi (prema navedenim

Moguće je upoređivati različita stanja opterećenja broda, različite rute plovidbe i različita godišnja doba...

Proračun operativnosti omogućavaju analizu i poređenje različitih rešenja s aspekta pomorstvenostioperativnosi (prema navedenim

primerima, reda veličine 5%) ipak jesu moguća...

Mogućnosti proračuna operativnosti broda znatno su veće i složenije od onih

pomorstvenosti... i zato predstavlja (ili treba da predstavlja) važan deo studija izvodljivosti i ranih faza projektovanja brodova... Na neki način, analiza operativnosti broda predstavlja krunu celog proračuna ponašanja b d t l ikoje su date u nekoliko prethodnih

primera... Moguće je uzeti u obzir znatno veći broj kriterijuma...

broda na talasima...

Documents

4. LJULJANJE BRODA NA REGULARNIM TALASIMA 86 broda na talasima/ponasanje... · nζ– prigušenje broda pri poniranju Hidrodinamičku komponentu Fizičko objašnjenje uvedenih parametara