问题 1 ，什么样的图形是正多边形？

各边相等 , 各角也相等的多边形是正多边形 .

你知道正多边形与圆的关系吗？

正多边形和圆的关系非常密切 , 只要把一个圆分成相等的一些弧 , 就可以作出这个圆的内接正多边形 , 这个圆就是这个正多边形的外接圆 .

⌒⌒

B

4

⌒

⌒ 1

2

3

A

C D

E

⌒

5

证明：∵ AB=BC=CD=DE=EA

∴AB=BC=CD=DE=EA

∵BCE=CDA=3AB

∴∠1= 2∠

同理∠ 2= 3= 4= 5∠ ∠ ∠

又∵顶点 A 、 B 、 C 、 D 、 E都在⊙ O上，

∴五边形 ABCDE是⊙ O的内接五边形。

⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒

⌒ ⌒ ⌒

如图 , 把⊙ O 分成把⊙ O 分成相等的5 段弧 , 依次连接各分点得到正五边形ABCDE.

正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角 .

O·中心角 半径 R

边心距 r

我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心 .

外接圆的半径叫做正多边形的半径 .

中心到正多边形的距离叫做正多边形的边心距 .

例 有一个亭子 , 它的地基半径为 4m 的正六边形 , 求地基的周长和面积 ( 精确到0.1m2).

OA

B C

D

EF

R

P

r

解 : 如图由于 ABCDEF 是正六边形 , 所以它的中心角等于 ，△ OBC 是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径 .

36060

6

因此 , 亭子地基的周长 l =4×6=24(m).

在 Rt△OPC 中 ,OC=4, PC=4

22 2

BC ，

利用勾股定理 , 可得边心距2 24 2 2 3.r

亭子地基的面积

21 124 2 3 41.6(m ).

2 2S lr

OA

B C

D

EF

R

P

r

练习：分别求出半径为 R 的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积 .

解：作等边△ ABC 的 BC 边上的高 AD, 垂足为D 连接 OB ，则 OB=R

在 Rt△OBD 中 ∠ OBD=30°,

边心距＝ OD=1.

2R

在 Rt△ABD 中 ∠ BAD=30°,

1 3

2 2AD OA OD R R R ，

cosAD

BADAB

，

32 3 .

cos cos30

RADAB R

BAD

21 1 3 3 33 .

2 2 2 4ABCS BC AD R R R

·

A

B CD

O

解：连接 OB ， OC 作 OE⊥BC 垂足为 E ，

∠OEB=90° ∠OBE= ∠ BOE=45°在 Rt△OBE 中为等腰直角三角形

2 2 2BE OE OB

2 22OE OB2

2

2

OBOE

2 2

2 2OE OB R 边心距

22 2 2

2BC BE R R 边长

2 22 2ABCDS AB BC R R 正方形

·

A

B C

D

O

E