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ANÁLISIS DEL PROCESO DE PRÁCTICA PEDAGÓGICA
INVESTIGATIVA, PERIODO 2009-2010
SANDRA MARCELA CHITO CERÓN
UNIVERSIDAD DEL CAUCA
FACULTAD DE CIENCIAS, NATURALES EXACTAS Y DE LA
EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
POPAYAN 2011
ANÁLISIS DEL PROCESO DE PRÁCTICA PEDAGÓGICA
INVESTIGATIVA, PERIODO 2009-2010
SANDRA MARCELA CHITO CERÓN
Directora: Esp. YENY LEONOR ROSERO ROSERO
Asesora: Mag. DOLORES CRISTINA MONTAÑO ARIAS
UNIVERSIDAD DEL CAUCA
FACULTAD DE CIENCIAS, NATURALES EXACTAS Y DE LA
EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
POPAYAN 2011
NOTA DE ACEPTACIÓN
El presente trabajo de
Grado fue aprobado
Por las asesoras y
Respectivo evaluador
_______________________
Vo. Bo. Olga Lucía Flórez
Coordinadora Licenciatura en Matemáticas
_______________________
Vo. Bo. Dolores Cristina Montaño A.
Asesora
_______________________
Vo. Bo. Yeny Leonor Rosero R.
Directora
_______________________
Vo. Bo. Eruin Sánchez
Evaluador
Agradecimientos
A Dios por haberme ayudado a descubrir mi vocación y permitir vivir esta
oportunidad al darme el don de la vida.
A mi familia por haber confiado en mí, por todas sus oraciones y constantes
sacrificios para formar la persona que hoy soy.
A las profesoras Yeny Rosero y Dolores Montaño, por su valiosa formación en
el ámbito académico, personal y profesional. Hoy es el día en el que uno siente que
tanto esfuerzo vale la pena.
A todas aquellas personas que confiaron en mí, me animaron y dedicaron su
tiempo en escucharme y estar dispuestos a colaborarme en todo lo que estuviera a su
alcance: amigos, amigas y por supuesto tú, Miguel Ángel.
Contenido
INTRODUCCIÓN ........................................................................................... 9
1. LA INVESTIGACIÓN ............................................................................ 11
1.1 El problema de investigación ............................................................. 11
1.1.1 Los Antecedentes ............................................................................. 13
1.1.2 Justificación ..................................................................................... 18
1.1.3 Objetivos ......................................................................................... 21
1.1.3.1 Objetivo General ......................................................................... 21
1.1.3.2 Objetivos Específicos ................................................................... 21
1.1.4 Marco de referencia .......................................................................... 22
1.1.4.1 Teórico conceptual ......................................................................... 22
1.1.4.2 Marco de referencia contextual ........................................................ 39
1.1.5 La Metodología de Investigación ........................................................ 44
1.1.6 Resultados ....................................................................................... 54
6
1.1.7 Conclusiones y recomendaciones ....................................................... 63
2. EL PROYECTO PEDAGÓGICO EN EL AULA ........................................ 65
2.1 El abordaje de la Práctica con un enfoque investigativo ........................... 69
2.2 Hallazgos y aportes al proceso de Práctica Pedagógica ............................ 76
2.3 Aportes al proceso de enseñanza y aprendizaje de la disciplina ................ 80
2.4 Incidencia y/o aportes al proceso formativo de licenciados en matemáticas 83
3. SISTEMATIZACIÓN DE LA EXPERIENCIA OBTENIDA EN EL PROCESO DE
PRÁCTICA PEDAGOGÍCA INVESTIGACTIVA ............................................ 89
Bibliografía ................................................................................................... 97
ANEXOS ..............................................................................................101
Anexo 1. Ubicación geográfica de la ENSP................................................101
Anexo 2. Instalaciones Escuela Normal Superior de Popayán .......................102
Anexo 3. Grado Once A, año lectivo 2010 .................................................102
7
Anexo 4. Registro del software utilizado en la sesión 21 de mayo de 2010 .... 103
Anexo 5. Participación de los estudiantes del grado once A, primera sesión, 21 de
mayo de 2010 ................................................................................................... 103
Anexo 6. Definición de función dada por los estudiantes. ............................ 104
Anexo 7. Participación de los estudiantes durante la primera sesión, propuesta de
nuevas funciones. .............................................................................................. 104
Anexo 8. Forma de planeación de los estudiantes, problema 1, sesión del 1 de
junio de 2010 .................................................................................................... 105
Anexo 9. Algunas palabras en los enunciados determinan la manera como los
estudiantes planean la resolución ........................................................................ 105
Anexo 10. La mayoría de estudiantes trazaron de manera continua la recta, pues
están acostumbrados a este tipo de representación. ................................................ 106
Anexo 11. Estudiantes compartiendo sus respuestas, 1 de junio de 2010 ........ 106
Anexo 12. Estudiantes presentando el taller individual, 25 de junio de 2010 .. 106
Anexo 13. Estudiante explicando sus respuestas en el tablero. ...................... 107
8
Anexo 14. Evidencias de registro de entrevistas de los estudiantes del grupo
participante. ......................................................................................................107
Anexo 15. Plan de Acción ........................................................................110
Anexo 16. Talleres que se abordaron durante las sesiones ............................114
Anexo 17. Guía sobre la clase de parábola, 9 de diciembre de 2010, grado
décimo. ............................................................................................................118
INTRODUCCIÓN
Un estudiante del programa de Licenciatura en Matemáticas al encontrarse culminando sus
estudios tanto en el campo pedagógico como de la propia disciplina se encuentra en
condiciones de iniciar un proceso de práctica pedagógica investigativa.
En el presente documento se pretende dar a conocer el trabajo realizado durante este
proceso. En el primer capítulo, se presenta una investigación cuyo objetivo es caracterizar
la manera cómo los estudiantes del grado once A de la Escuela Normal Superior de
Popayán (ENSP), periodo lectivo 2010, planean la resolución de situaciones problema que
involucran la definición de función matemática a partir de la intuición. La investigación se
desarrolló bajo el marco de la investigación cualitativo-etnográfica, en la que se destacan
principalmente tres momentos: recolección de información, estructuración y
conceptualización.
En el segundo capítulo se encuentra el Proyecto Pedagógico de Aula. En este se consigna
la importancia del proceso de práctica pedagógica en la formación de un futuro licenciado,
así como su identificación con un modelo pedagógico. Además, a partir del análisis de los
hallazgos, se especifican los aportes generados tanto al proceso de enseñanza y aprendizaje
de las matemáticas como al proceso formativo del futuro licenciado en Matemática.
En el tercer capítulo se encuentra el análisis de la experiencia obtenida al realizar la
intervención enfocados al campo disciplinar, el proceso didáctico y el proceso formativo a
través de un ejercicio de sistematización para concluir con algunas reflexiones finales.
11
1. LA INVESTIGACIÓN
1.1 El problema de investigación
La matemática es un área del conocimiento de la Educación Básica y Media
resaltada por la comunidad educativa en general debido a su rigor tanto en la enseñanza
como en el aprendizaje de la misma. En ocasiones, su enseñanza se basa en la
transmisión directa de los conocimientos, en dar un ejemplo que clarifique lo que los
estudiantes no entienden a través de la escritura formal, para finalmente proponer
algunos ejercicios que el estudiante deberá resolver de manera individual y de esta
forma prepararse para la respectiva evaluación de los conocimientos.
Sin embargo, los estudiantes poseen ciertas capacidades que pueden facilitar el
aprendizaje de la matemática, por ejemplo, la abstracción, imaginación, concentración e
intuición. Los maestros para introducir un determinado tema utilizan la intuición, a
pesar de esto, no se permiten respuestas basadas solamente en ella sin fundamento
matemático.
12
Por medio de este trabajo se pretende hacer énfasis en el uso de la intuición en
matemáticas al abordar situaciones problema que involucran la definición de función
con los estudiantes del grado once A de ENSP, periodo lectivo 2010, a través del
modelo pedagógico constructivista.
13
1.1.1 Los Antecedentes
La intuición es un tema que ha ido cobrando importancia a lo largo del tiempo. Hoy
en día existen diversos estudios sobre su relación con algunas áreas del conocimiento. Por
ejemplo, se han realizado varias investigaciones sobre la influencia de la intuición en el
aprendizaje de la matemática. Sin embargo, esto se hace de manera general, sin entrar a
profundizar en la enseñanza y aprendizaje de algún tema específico de esta área.
Por ejemplo, Rodríguez (2005) en su investigación La resolución de problemas
y el pensamiento matemático divergente concibe la intuición como una nueva
alternativa de aprender matemáticas respecto a la potencialidad humana de desarrollar
algunas capacidades específicas de razonamiento que antes se creían propias de seres
dotados genéticamente con cerebros matemáticos. Por tal motivo, las matemáticas no
son exclusividad de algunos pocos. Están al alcance de todos aquellos que sientan
interés en aprender. Depende del tiempo y el esfuerzo que cada uno le dedique.
Sin embargo, el maestro tiene una doble responsabilidad. En primer lugar,
enseñar los temas de matemáticas que se encuentran dentro del plan de estudios de esta
área para los diferentes grados, pero fundamentalmente, hacer que los imaginarios que
se tienen sobre esta área, se vayan modificando, puesto que sería imposible enseñarla si
se mantiene la imagen que se tiene de las matemáticas. Debido a que según Rodríguez:
14
(…) se está percibiendo la matemática como una ciencia abstracta y estática,
basada en fundamentos absolutos, cuya única forma posible de representación es
mediante expresiones formalizadas, fruto de un razonamiento deductivo impecable, en
un manejo de signos y símbolos complejos y confusos y en la que sólo a los grandes
matemáticos les es permitido inventar, ensayar y construir (p. 2).
Si esta percepción continúa no habría lugar para pensamientos intuitivos, ya que
la intuición hace uso lo menos posible de expresiones formalizadas, por lo tanto, las
opiniones y propuestas de los estudiantes no serían tomadas en cuenta, al no
considerarse proposiciones verdaderas dentro de los argumentos matemáticos.
Asimismo, en ocasiones los estudiantes de educación básica y media que se
están formando en esta área no disponen de las herramientas, espacio y tiempo
necesario para llevar a cabo procesos de descubrimiento y aprendizaje significativo de
los conocimientos matemáticos, conformándose con memorizar y aplicar fórmulas de
manera mecánica pero aceptada dentro de la labor educativa. Rodríguez (2005)
considera que el profesor es “un expositor repetidor fiel de ese contenido matemático; y
el alumno, un sujeto reproductor de lo recibido (…) así, para romper este esquema se
requiere considerar que hay una unidad en la disciplina, pero también muchas maneras
de pensar y representar el problema y por tanto son muchas las posibilidades de
encontrar una solución” (p. 3). La idea de que una respuesta se obtiene de manera única
será modificada por la idea de pensar en muchas formas de llegar a ella, haciendo uso
15
no solo de los conocimientos matemáticos sino de formas alternativas de pensamiento
válidas en el momento de dar una respuesta.
La intuición es considerada por profesores de la Educación Básica y Media
como una buena forma de inducir a los estudiantes al aprendizaje de un determinado
tema, sin embargo, para muchos sus estudiantes no tienen lo que comúnmente
denominan la “chispa” para entender rápidamente lo que se está enseñando. Sin
embargo, Gómez (2006) en su investigación Procesos de intuición en matemáticas: una
experiencia con estudiantes para profesores de secundaria, manifiesta que la intuición
puede ser cultivada con una formación adecuada. De ahí que se puede trabajar en ella
para aumentar su uso en el aula de clase. También, afirma que “una intuición es una
idea que posee las dos propiedades fundamentales de una realidad concreta y
objetivamente dada: inmediatez (evidencia intrínseca) y certeza (no la certeza
convencional formal, sino la certeza inmanente, prácticamente significativa)” (pp. 30-
31). Además, asegura que aunque “la matemática es un sistema deductivo de
conocimientos, la actividad creativa en matemáticas es un proceso constructivo, en el
cual los procedimientos inductivos, las analogías y las conjeturas plausibles, juegan un
papel fundamental. Para ello el rol de la intuición es clave” (p. 30). Por medio de
actividades, en donde el estudiante recurra a su creatividad y capacidad para plantear
supuestos desde su propia experiencia, el maestro puede hacer uso de la intuición de los
estudiantes para referirse a un tema
16
En la educación básica y media, la intuición, se convierte en un camino por el
que es necesario transitar. Crespo R. (1954) en su investigación La intuición y la
enseñanza de la matemática afirma que en la práctica hay una separación bastante
rígida entre dos grandes esferas: la del qué y la del cómo. Es en estos aspectos donde el
maestro tiene una labor fundamental, puesto que en un intento por responder a estas dos
preguntas, de una manera adecuada, en ocasiones debe tomar partido frente al uso de la
intuición.
Sobre esto, Crespo R. (1954) señala:
En los años escolares la mente del niño no está todavía preparada para recibir
semillas intelectuales de sutil fermento. El razonamiento lógico riguroso escapa
inexorablemente al común de los alumnos de primera enseñanza. Por eso sería ilusorio
pretender que el maestro diera de ciertas proposiciones las definiciones conceptualmente
precisas que maneja el matemático profesional. (p. 84)
De ahí que, para un niño en los primeros años de escolaridad existen rutinas
matemáticas acordes a su edad pero con un alto nivel de complejidad, que deben ser
tenidas en cuenta, y más cuando su enseñanza se facilita debido al uso de la intuición.
Lo importante es tener cuidado al momento de formalizar el lenguaje matemático.
Puesto que el uso de estructuras establecidas de manera rigurosa, puede generar
dificultades en el aprendizaje de las matemáticas en esta etapa de su formación.
17
Así mismo, esta enseñanza debe corresponder con una adecuada metodología, la
cual haga partícipes a los estudiantes en su propia formación. Puesto que no se debe
pretender que los estudiantes se desenvuelvan como expertos cuando se refieren a las
definiciones matemáticas, sin embargo, el aprendizaje en el aula debe ser significativo y
esto se logra cuando ellos son conscientes de lo que están aprendiendo y más cuando
pueden partir de lo que ya saben o creen saber.
18
1.1.2 Justificación
Este trabajo se hizo con el propósito de aproximar al estudiante del programa de
Licenciatura en Matemáticas a la realidad profesional, a partir de un proceso de
intervención y reflexión crítica de tal realidad, involucrando el estudio y el inicio de la
formación en investigación. El proceso considera prioritario los convenios con
instituciones educativas de los niveles de Educación Básica y Media para llevar a cabo
las unidades temáticas establecidas en el plan de estudios para el proceso de Práctica
Pedagógica Investigativa (PPI). En esta oportunidad, el estudio se desarrolló en la
Escuela Normal Superior de Popayán (ENSP) con un curso del grado once y es allí
donde se analizó una situación educativa en el área de matemáticas desde el punto de
vista pedagógico e investigativo.
En los niveles de Educación Básica –ciclos: primaria, secundaria- y Media la
orientación de la asignatura de Matemáticas no se hace con el propósito de formar
matemáticos puros. Crespo C. (2005) señala que en estos niveles lo que se hace es
enseñar a usar la matemática, pero sobre todo educar en la comprensión y el manejo del
método de esta ciencia.
En el momento de enseñar algunos conocimientos matemáticos es importante
aprovechar la intuición de los estudiantes, o como afirma Henríquez, Quiroz & Reumay
(1997, Introducción) es de gran importancia la intuición por la influencia que tiene en la
19
adquisición de la autoconfianza que debiera tener un estudiante frente a los procesos de
enseñanza y aprendizaje.
De ahí que, en este trabajo se buscó caracterizar la intuición de los estudiantes
del grado once A, periodo lectivo 2010, de la Escuela Normal superior de Popayán al
trabajar la definición de función, cuyo tema hace parte del bloque temático II,
INTERVALOS, DESIGUALDADES Y FUNCIONES, considerado en el programa
formulado para el grado once.
Dentro de los Estándares básicos de competencias en matemáticas se propone el
desarrollo del pensamiento variacional. El tema de funciones se encuentra dentro de este
tipo de pensamiento, puesto que “el estudio de los patrones está relacionado con
nociones y conceptos propios del pensamiento variacional, como constante, variable,
función, razón o tasa de cambio, dependencia e independencia de una variable con
respecto a otra, y con los distintos tipos de modelos funcionales asociados a ciertas
familias de funciones1. Un estudiante al trabajar con funciones debe identificar en
primer lugar las variables que se relacionan y a partir de esto hacer la representación
que le permita analizar el comportamiento de tales variables para posteriormente
encontrar una expresión algebraica que determine la función.
1 Estándares básicos de competencias en matemáticas. Ministerio de Educación
Nacional (1983, p. 67)
20
Esto se puede abordar de manera significativa a partir de situaciones problema,
las cuales en ocasiones requieren del uso de la intuición, puesto que “en las situaciones
de aprendizaje que fomentan el desarrollo de este tipo de pensamiento, también se dan
múltiples oportunidades para la formulación de conjeturas, la puesta a prueba de las
mismas, su generalización y la argumentación para sustentar o refutar una conjetura o
una propuesta de generalización, todo lo cual se relaciona con el pensamiento lógico y
el pensamiento científico. Esto se logra a través de la elaboración e interpretación de
ciertas representaciones matemáticas– gráficas, tablas, ecuaciones, inecuaciones o
desigualdades, etc. –que permiten tratar con situaciones de variación y dependencia en
la resolución de problemas”2 Al hacer uso de situaciones problema en la enseñanza de
la definición de función, el estudiante tiene la oportunidad de hacer uso de su
experiencia al identificar en aquellas situaciones cotidianas las condiciones específicas
que determinan cuándo una relación es una función.
Esta forma de enseñar un tema de matemáticas permite asumir un compromiso
en torno a los procesos de enseñanza y aprendizaje de las Matemática para estar en
condiciones de tomar decisiones que favorezcan a los estudiantes y promuevan sus
competencias en matemáticas, cumpliendo con los propósitos de los estándares de
matemáticas.
2 Estándares básicos de competencias en matemáticas (p. 68).
21
1.1.3 Objetivos
1.1.3.1 Objetivo General
Caracterizar la manera cómo los estudiantes del grado once A de la Escuela
Normal Superior de Popayán, periodo lectivo 2010, planean la resolución de situaciones
problema que involucran la definición de función matemática a partir de la intuición.
1.1.3.2 Objetivos Específicos
Describir las formas de planeación de la resolución de situaciones problema por los
estudiantes.
Identificar las manifestaciones de la intuición que presentan los estudiantes al
planear la resolución de situaciones problemas.
22
1.1.4 Marco de referencia
1.1.4.1 Teórico conceptual
La formación matemática es una de las grandes prioridades en todo sistema
educativo. Como señala Rodríguez (2005) es “fundamental en toda sociedad que
pretenda alcanzar un nivel aceptable del desarrollo de sus recursos humanos, científicos
y técnicos” (p. 2). Sin embargo, según Rodríguez “pareciera ser aceptado
universalmente que las personas que entienden matemática son diferentes y que
pertenecen a una elite de privilegiados con un don especial” (p. 2), tendiéndose a
relacionar las matemáticas con niveles superiores de abstracción.
Aquellos estudiantes que no se consideran buenos en matemáticas manifiestan
su desagrado hacia esta área. Por lo tanto, los profesores de matemática tienen una
doble responsabilidad, no sólo deben enseñar los temas sino además generar motivación
en los estudiantes para aprender significativamente estos conocimientos. Hoy en día los
estudiantes plantean con mayor frecuencia preguntas como ¿y eso para qué sirve?, ¿de
dónde surge eso?, ¿por qué debo aprenderlo?, ¿a quién se le ocurrió eso?, cuyas
respuestas no son del todo convincente para unos estudiantes cada día más inquietos y
preocupados por su propia formación.
23
Sin embargo, actualmente existen algunas teorías que se desarrollan para
explicar la manera como las personas aprenden. Esto permite, y permitirá a medida que
se avance en este proceso, que los profesores tengan otras concepciones sobre la labor
que ejercen, puesto que como afirman Del Carmen, Caballer, Furió & Gómez (1996) lo
que se enseña no es realmente lo que se aprende. Además, es necesario tener en cuenta
muchos factores en el proceso de enseñanza y aprendizaje, por ejemplo, la edad, puesto
que según Crespo C. (2005) “recién hacia los diez y seis años se va formando en el ser
humano la capacidad de abstracción necesaria para comenzar a interiorizar el
pensamiento formal” (p. 25). Por lo tanto, no se puede pretender que un estudiante de
menor edad esté en condiciones de interiorizar exitosamente importantes proposiciones
que requieren mayor madurez intelectual. Los estudiantes no tienen interés en aprender
tales conocimientos, pues no se encuentran preparados para acceder a ellos de una
manera formal.
Según Serramona (2007) el hombre construye modelos de su mundo y estas no
son construcciones vacías, sino significativas. Hoy en día existen diversos modelos que
intentan explicar la forma como un determinado tipo de enseñanza genera
consecuencias en la manera como se aprende. Entre estos se encuentran el modelo
pedagógico constructivista. Dicho modelo se caracteriza por propender por un
aprendizaje significativo. Entre los aportes realizados a tal modelo se encuentra
24
Ausbel3. Su aportación fundamental ha consistido en conceptualizar el aprendizaje
como una actividad significativa para la persona que aprende. Ésta se encuentra
directamente en contacto con la existencia de relaciones entre el conocimiento nuevo y
el poseído por el alumno. (Carretero, 2005, pág. 31)
Al respecto Palomino (2001) afirma que:
Para Ausbel el aprendizaje del alumno depende de la estructura cognitiva previa
que se relaciona con la nueva información, debe entenderse por "estructura cognitiva",
al conjunto de conceptos, ideas que un individuo posee en un determinado campo del
conocimiento, así como su organización (…) Ausbel resume este hecho en el epígrafe
de su obra de la siguiente manera: “si tuviese que reducir toda la psicología educativa a
un solo principio, enunciaría este: el factor más importante que influye en el aprendizaje
es lo que el alumno ya sabe. Averígüese esto y enséñese consecuentemente” (p. 2).
Según Ausubel, D. P (1983) la teoría del aprendizaje asimilativo o significativo
se ocupa específicamente de los procesos de enseñanza y aprendizaje de los conceptos
científicos a partir de los conceptos previamente formados por el niño en su vida
cotidiana. Esta teoría asume que el conocimiento está organizado en estructuras y que el
3 Psicólogo estadounidense, nacido “en el año de 1918, hijo de una familia judía
emigrante de Europa Central. Estudió en la Universidad de Nueva York
25
aprendizaje tiene lugar cuando existe una reestructuración debida a la interacción entre
las estructuras presentes en el sujeto y la nueva información.
Este aprendizaje precisa de una instrucción formalmente establecida,
presentando de modo organizado y explícito la información que debe desequilibrar las
estructuras existentes.
Ausubel considera que toda situación de aprendizaje es susceptible de un análisis
desde dos dimensiones, como se muestra en la figura 1. Cada uno de estos ejes
corresponde a un continuo: el eje vertical representa el tipo de aprendizaje realizado por
el alumno, desde el aprendizaje meramente memorístico hasta el aprendizaje
plenamente significativo; el eje horizontal se refiere a la estrategia de instrucción
planificada para fomentar el aprendizaje, desde la enseñanza por transmisión-recepción
hasta la enseñanza basada en el descubrimiento autónomo.
26
Figura 1. Clasificación de las situaciones de aprendizaje según Ausubel, Novak
y Hanesian4
Por lo anterior, esta teoría promueve la participación activa del estudiante,
favoreciendo sus conocimientos previos. Además de estos, el estudiante puede hacer
uso de su intuición, puesto que como se ha dicho esta puede ser cultivada pero no
aprendida. Es decir todas las personas poseen un nivel de intuición, además, desde la
antigüedad se usaba como una forma para acceder al conocimiento, como Machado
(2004) señala:
El intuicionismo tuvo una amplia divulgación en los inicios del siglo XX a
través de la filosofía del francés H. Bergson aunque ella estaba presente en la filosofía
griega, Pitágoras y sus seguidores, que poseían una formación matemática, y en gran
parte de la filosofía cristiana como una de las maneras en que se podía llegar a conocer
a Dios (…) Como tendencia cercana al misticismo (el concepto surge al parecer del
término matemático de axioma que es una proposición obvia que no necesita ser
demostrada y de la idea mística de la revelación que es la verdad que supera las
capacidades del intelecto), ella no es reducible a la experiencia sensorial ni al pensar
discursivo.
4 Pozo, J. I. (2006). Teorías cognitivas del aprendizaje. p. 211
27
Sin embargo, hoy en día, la intuición no se define claramente, su entendimiento
es confuso hasta tal punto que se maneja como sinónimo de no pensar. Lo cual es un
error, pues en el mismo momento en el cual se acepta, de manera intuitiva, alguna
proposición, se está asumiendo algún tipo de pensamiento que es difícil de explicar por
medio de palabras pero realmente se lleva a cabo en la mente humana.
Como afirma Gómez (2006) “(…) al utilizar la intuición percibimos de forma
activa nuestras impresiones, las registramos, las interpretamos y, por último, las
integramos con el resto de los procesos mentales. La intuición es un proceso muy
riguroso. Un proceso que necesita ser cultivado explícitamente con una formación
adecuada” (p. 31). Por lo tanto, la intuición puede ser ejercitada. Además, Crespo C.
(2005) afirma que “la intuición, entendida como la captación primera de conceptos que
nos permite comprender lo que nos rodea, surge desde la niñez y constituye el punto de
partida en la investigación y en el aprendizaje” (p. 24). De ahí que, es a diario
manifestada por los estudiantes en muchas áreas del conocimiento, pues como señala
Roldán (2001) “en la Matemática (y en general en las ciencias naturales y exactas) la
intuición se muestra como la habilidad del individuo de inferir nuevas propiedades de
los objetos de estudio a partir de su definición y de las propiedades ya conocidas, de
manera espontánea y sin conocimiento consciente del origen de dicha inferencia” (p.
134). Este conocimiento es construcción propia del estudiante, a partir de su experiencia
o conocimientos previos.
28
Es decir, el estudiante se encuentra en capacidad de llegar a la construcción de
algún concepto matemático. La clave está en saberlo orientar, haciendo uso de su propia
realidad, que es donde mejor se perciben las manifestaciones de la intuición al momento
de trabajar con estudiantes de Educación Básica y Media. La definición de intuición que
se adopta por su relación con las matemáticas es la asumida por Not (1983)
Llamaremos intuición (del latín intuitio, imagen reflejada en un espejo) a la
representación de las realidades concretas que pueden expresar las formas matemáticas.
En un sentido la intuición capta formas mientras que el formalismo combina signos.
(…) La intuición y el formalismo varían en sentido opuesto: una tiende hacia el objeto
concreto y el otro hacia el signo; el formalismo asocia formas definidas por su
coherencia y sus relaciones con el sistema en el que se integran y al que se trata para
estas relaciones y según ellas. En estas condiciones una situación matemática será tanto
más intuitiva cuanto que esté menos formalizada y tanto más formalizada cuanto se
hayan evacuado de ella las significaciones concretas que puede adoptar (p. 275).
De ahí que, un estudiante puede hacer uso de su intuición y, además, del
formalismo que trae consigo las matemáticas, pero en momentos diferentes de su
aprendizaje. El estudiante debe operar con expresiones formales, ya que estas no se
deben dejar de lado, sin embargo, el uso de representaciones concretas para
introducirlos a dichos temas, sirve de soporte en el aula de clase.
29
Es necesario aclarar que las representaciones según Rico (2000) “son las
notaciones simbólicas o gráficas, específicas para cada noción, mediante las que se
expresan los conceptos y procedimientos matemáticos así como sus características y
propiedades más relevantes.” Tales representaciones se utilizan debido a que son más
fáciles de manejar. Como afirma Rico (2000)
Un sistema de símbolos matemáticos constituye un modo específico de
representación, un lenguaje que satisface las siguientes funciones:
Facilitar la comunicación, dado que los conceptos son objetos puramente mentales
y no hay forma de observar directamente el contenido de la mente es necesario un
medio visible que permita el acceso a los productos de la mente. El símbolo es un
medio visible que está conectado a una idea, que es su significado.
Registrar el conocimiento entre las características de las ideas están el ser
invisibles, inaudibles y perecederas; esto hace necesario un registro de las mismas
que asegure la comunicación.
Formación de clasificaciones múltiples correctas, un mismo objeto se puede
clasificar de múltiples formas. Por la asignación de un símbolo a la clasificación
somos capaces de concentrar nuestra atención sobre propiedades diferentes del
mismo objeto. Cuantos más símbolos se puedan ligar a un objeto mayor será el
número de clasificaciones en que pueda intervenir el mismo.
30
A diferencia de los signos que según Quesada (2002) son “cualquier cosa que
pueda considerarse como substituto significante de cualquier otra cosa. Esa cualquier
otra cosa no debe necesariamente existir ni subsistir de hecho en el momento en que el
signo la represente” (p. 95). En matemáticas son muy necesarios tales signos, pues
muchos de los elementos con los cuales se trabajan no tienen correspondencia directa
con la realidad o con aquello que existe.
Como afirma Crespo C. (2005) al no formarse matemáticos en la educación
media es preciso que al momento de enseñar se dé un espacio a la actividad creativa de
los estudiantes. Puesto que algunos teóricos creen que la intuición es un conocimiento
inconsciente que pese a no ser un conocimiento racional influye en la manera en que se
elaboran estructuras tan racionales como el conocimiento científico. Sin embargo, es
conveniente que se tenga mucho cuidado, debido a que no todo lo que se cree
intuitivamente es cierto. El estudiante puede encontrarse en la situación de aceptar
frecuentemente las cosas sin verificarlas y mucho menos demostrarlas, convirtiéndose
en un obstáculo para el aprendizaje. Por otro lado, muchas ideas son aceptadas por el
estudiante, y aunque son falsas, es posible que se le dificulte deshacerse de ellas, ya que
su mente les asegura la validez de las mismas.
Asimismo, según Gómez (2006):
Otra situación poco deseable [evidenciada en los estudiantes] es la denominada
coacción. La coacción aparece en el caso en que se acepta intuitivamente un hecho que
31
provoca rechazar la validez de otros resultados. Esta situación ha tenido lugar a lo largo
de la historia de la matemática, y en algunos casos conllevando una perpetuación de
falsas teorías y es que, como ya se ha comentado, no es sencillo desprenderse de una
convicción de tipo intuitivo.
Sin embargo, el estudiante no debe excusar los errores que comete cuando
resuelve los diferentes problemas al sostener que se están guiando por su intuición.
Tampoco deben dejar de lado la realización de pruebas, puesto que como dice Crespo
C. (2005) “probar una propiedad requiere de la deducción que la independiza de la
experiencia y la torna universal” (p. 25), de ahí su importancia. Es decir, finalmente
desliga el proceso deductivo de la experiencia. Asimismo, afirma que “el proceso
deductivo a nivel de enseñanza plantea limitaciones y posibilidades, pues en él
intervienen no sólo cierto dominio de los conocimientos como una cierta habilidad en el
manejo de principios lógicos que requieren de madurez de pensamiento” (p. 25).
Entonces, sería valioso fomentar en primer lugar la intuición para posteriormente
avanzar a niveles deductivos.
Según Not (1987) la intuición y el formalismo varían en sentido opuesto, sin
embargo, esto da lugar a una relación entre las dos, puesto que para Roldán (2001)
“hacer Matemática significa entonces intuir y formalizar. De modo que intuición y
formalización son conceptos indisolublemente unidos, siendo así que entrenar la
intuición en Matemática significa a la vez entrenar la capacidad de concientizar dicha
capacidad, para poder formalizar los resultados” (p. 135). Esto significa, que se puede
32
partir de la intuición para llegar finalmente a la formalización de un concepto, sin
embargo, al abordar un concepto de manera formal, también se puede recurrir a la
intuición para aclarar su significado.
Tener claro esto permite que los profesores trabajen con base en las experiencias
de sus estudiantes. Los estudiantes no llegan con la mente en blanco y mucho menos
cuando ya se encuentran en un mayor grado de su formación escolar. El hecho que los
estudiantes no evidencien en muchas ocasiones respuestas intuitivas puede ser por otros
motivos diferentes a que carezcan de éstas.
Con respecto a esto Roldán (2001) señala lo siguiente:
(…) En este sentido existen cuatro situaciones básicas, que denominaremos
como el bloqueo del temor, el bloqueo de la ausencia repetida de intuición, el bloqueo
del error repetido y el bloqueo de la formalización. Asimismo, existen otros factores
(objetivos y subjetivos) que pueden frenar o acelerar el desarrollo de la intuición en los
estudiantes. Entre ellos se pueden contar la motivación por el tema, la capacidad de
abstracción, el desarrollo del pensamiento lógico, las relaciones grupales, el nivel de
partida, la evaluación y hasta el medio ambiente (p. 136).
Para Gómez (2007) “formarse en los aspectos de enseñanza en matemática es
tener como eje en las aulas no sólo el contenido matemático, sino el proceso de
construcción del conocimiento matemático; la importancia de los procesos de
33
pensamiento matemático, en los que los procesos de intuición son determinantes” (p.
13). Los estudiantes son tenidos en cuenta, el conocimiento transmitido es cuestionado
continuamente, por lo tanto, se construye a partir de lo que el estudiante es capaz de
aportar.
Así que, la labor del profesor cambia, según Gómez (2006) “es necesario
introducir estrategias para probar los niveles de conciencia del que aprende, así como
para estructurar las tareas, pensar sobre los conceptos y permitir a los que aprenden
extender fructíferamente simples tareas por ellos mismos.” Es aquí donde desempeña
una importante función la resolución de situaciones problemas, puesto que los ejercicios
mecánicos no permiten el desarrollo de la intuición.
La resolución de situaciones problema hace posible que la concepción de las
matemáticas cambie y esto es muy importante, pues según Rodríguez (2005, p. 32)
“entenderla de esta forma, como un proceso perfeccionable y no como un producto
elaborado y formal que hay que transmitir con rigor, es determinante para comprender
la matemática y para trabajarla en el aula (…) Todo esto, con la finalidad de que los
estudiantes sean personas dotadas de iniciativas, creativos, pleno de recursos y
confianza en ellos mismos, preparados para afrontar problemas personales,
interpersonales o de cualquier índole.”
Así mismo, Rodríguez (2005, p. 2) afirma:
34
(…) esta estrategia (las situaciones problema) les proporciona a los estudiantes
oportunidades frecuentes para pensar creativamente conduciéndolos a cambios de
actitudes y le permite guiar su solución de una manera que incluya generar preguntas
relevantes acerca del problema, formular respuestas y organizar la información en un
plan sistemático, evaluar soluciones tentativas y seleccionar acertadamente las
posibilidades optimas de solución.
De ahí que hacer uso de situaciones problema, permite que los estudiantes
interactúen con el profesor y entre ellos. Por medio de preguntas y respuestas, los
estudiantes intentan construir el conocimiento.
Según Múnera (2001) una situación problema “la podemos entender, como un
espacio para generar y movilizar procesos de pensamiento que permitan la construcción
sistemática de conceptos matemáticos” (p. 1). Para Lovell (1999) “un concepto puede
ser definido como una generalización a partir de datos relacionados, y posibilita
responder a, o pensar en, estímulos específicos o preceptos de una manera determinada.
Por esto, un concepto equivale a un juicio y se utiliza como un criterio” (p. 95). Al
enfrentarse a una situación problema, los estudiantes son partícipes en su propia
formación, por lo tanto, se encuentran en las mejores condiciones para hacer uso de
todas sus potencialidades.
Por medio de dichos problemas se pone constantemente a prueba la intuición y
curiosidad del estudiante. Al plantearles problemas interesantes y adecuados a su nivel
35
puede despertar el gusto por el pensamiento independiente. Puesto que no se les está
entregando el conocimiento acabado. A través de estos se puede caracterizar la manera
como los estudiantes planean su resolución, para González (1993,1996) planear es “(…)
organizar estrategias cuyo desarrollo, eventualmente, conduzca al logro de alguna meta,
por ejemplo la solución de un problema que se deba enfrentar” (p. 9) Al empezar a
resolver un problema, los estudiantes hacen uso de esta capacidad.
Para Mercado (1991) planear es:
…un proceso de decisiones anticipatorio, es actuar sobre un sistema con un
propósito determinado. Es definir el propósito de cambio que uno desea realizar en un
sistema, es la detección de una problemática, así como la forma de resolverla, no es la
solución de subproblemas sino la reducción global de todos en forma coherente, es el
diseño de un futuro deseado, así como las especificaciones de las formas más efectivas
por medio de las cuales este futuro puede ser alcanzado” (p. 65)
De ahí que, un estudiante planea cuando pone en juego todos sus conocimientos
y capacidades con el objetivo de lograr un propósito determinado, como por ejemplo la
solución de un determinado problema.
Al planear, se utiliza constantemente el término estrategias, debido a que quien
planea debe hacer uso de algunas de ellas. Al respecto, Pérez (1997) afirma:
36
Una estrategia siempre es específica o, mejor dicho contextual porque siempre
trata de ajustarse a las condiciones de cada situación concreta, algunas de las cuales
difícilmente se volverán del mismo modo y con la misma combinación de variables.
Una estrategia implica siempre una aproximación generalista a una tarea o problema de
aprendizaje (o de enseñanza), pero en el seno de un contexto específico. La relación
compensada entre el conocimiento de algunas de las condiciones relevantes del
problema y de cursos de acción alternativos (estrategia) y de conocimiento específico
utilizable (conceptos, procedimientos, actitudes puntuales) determinará las opciones de
resolución del alumno en una situación de enseñanza - aprendizaje concreta (p. 30).
Para Sarramona (2008) se presentan dos grandes grupos de estrategias.
a) Una estrategia de algoritmo contiene un conjunto de reglas precisas a seguir para
resolver el problema.
b) Las estrategias heurísticas parten de conjeturas o suposiciones que habitualmente
se aplican cuando se desconoce la manera exacta de resolver el problema. A veces
toman la forma de ensayo y error pero lo más propio de la resolución de problemas
por estrategia heurística es el ensayo mental de las opciones posibles tales como el
empleo de analogías (resolver un problema de modo semejante a como se ha
resuelto otro), mediante simulaciones, etc. (p. 263)
Cuando el estudiante hace uso de estrategias heurísticas en el aula de clase
utiliza mayor tiempo en la resolución de los problemas, puesto que no sabe con certeza
37
cuáles conocimientos debe utilizar. Además, todo depende del tema que se esté
abordando. Algunos temas son de comprensión rápida, otros necesitan tiempo y práctica
en el manejo de situaciones que tengan que ver con esos temas. Entre ellos se encuentra
la definición de función matemática. Este es uno de los temas más importantes en
matemáticas, puesto que es el fundamento para temas de mayor complejidad como
límites, continuidad, derivadas e integrales.
La definición de función dada por Apóstol (2006) permite trabajar con
situaciones cotidianas, antes de entrar a trabajar con funciones de valor real,
permitiendo que en el dominio se encuentren elementos que no necesariamente son
números. Entonces, se hablaría de una función si la relación entre las variables
involucradas satisface las condiciones dadas. La definición adoptada es la siguiente:
Dados dos conjuntos de objetos, el conjunto y el conjunto , una función es
una ley que asocia a cada objeto de uno y sólo un objeto en . El conjunto se
denomina el dominio de la función. Los objetos de , asociados con los objetos en
forman otro conjunto denominado el recorrido de la función.
Si es una función dada y es un objeto de su dominio, la notación se
utiliza para designar el objeto que en el recorrido corresponde a , en la función , y se
denomina el valor de la función en o la imagen de o la imagen de por . El
símbolo se lee, “ de ”.
38
El cálculo elemental tiene interés considerar en primer lugar, aquellas funciones
en las que el dominio y el recorrido son conjuntos de números reales. Estas funciones se
llaman funciones de variable real o más brevemente funciones reales y se pueden
representar geométricamente mediante una gráfica en el plano . Se representa el
dominio en el eje , y a partir de cada punto de se representa el punto
donde La totalidad de los puntos se denomina la gráfica de la función
(pp. 62,63)
39
1.1.4.2 Marco de referencia contextual
Esta investigación se llevó a cabo con un grupo de estudiantes del grado once A
de la Escuela Normal Superior de Popayán.
La Escuela Normal Superior de Popayán es una institución educativa mixta, de
carácter público, laico, dedicada fundamentalmente a la formación de maestros que
además del conocimiento pedagógico, brinda a sus estudiantes una preparación que le
permita el contacto con la ciencia y la tecnología, la cultura, el fortalecimiento de los
valores y la participación en la vida pública.
Con acreditación previa por el Ministerio de Educación Nacional según
Resolución Número 0031 del 6 de enero de 1999 de acuerdo con las recomendaciones
del Consejo de Acreditación de Escuelas Normales – CAENS-; con licencia de
funcionamiento según Resolución Número 2789 del 22 de diciembre de 1999 de la
Gobernación del Departamento del Cauca, para impartir enseñanza formal en los
niveles de educación preescolar, básica primaria y secundaria, media académica con
profundización en el campo de la Educación y la formación pedagógica y un Ciclo
Complementario de Formación Docente con una duración de cuatro (4) semestres
académicos.
40
Está dedicada exclusivamente a formar maestros para el nivel de educación
preescolar y básica primaria con énfasis en el área de Humanidades (Lenguaje y
Comunicación); en jornada única y calendario A.
Filosofía
La Escuela Normal Superior de Popayán como Institución formadora de
maestros fundamenta la formación integral en una educación centrada en la persona del
estudiante, orientada a partir de la Pedagogía como enfoque y como objeto de
conocimiento, pretendiendo formar un individuo participante, crítico, responsable,
cuestionador de la realidad que lo circunda e investigador del Saber Pedagógico,
Científico, Técnico y Artístico.
Visión
Se centra en la promoción integral de las personas, la formación y desarrollo de
nuevos ciudadanos comprometidos con la región y el país, a través de la Docencia, la
investigación y la Proyección a la Comunidad. Promocionan Normalistas Superiores
acreditados para ejercer la docencia en contextos multiculturales y lingüísticamente
diferenciados, en los Niveles de Preescolar y Educación Básica Primaria. La Escuela
Normal Superior de Popayán pretende liderar procesos educativos en el departamento
del Cauca, en los niveles de Preescolar y Básica Primaria, mediante el desarrollo de
41
proyectos investigativos, los cuales contribuyan a mejorar la calidad educativa de los
grupos sociales de su influencia, soñar mundos posibles y construir nuevas realidades.
Objetivos de la Escuela Normal Superior de Popayán:
Contribuir a la formación integral de los ciudadanos.
Construir un Proyecto Educativo Institucional que integre el servicio educativo de
preescolar, básica, media y Ciclo Complementario de Formación Docente.
Formar docentes para el nivel de preescolar y ciclo de primaria, acorde con los
nuevos requerimientos del sistema educativo colombiano, y en especial para que se
desempeñen con un alto sentido humano y profesional en contextos multiculturales
y lingüísticamente diferenciados.
Fortalecer la identidad profesional del educador, su valoración y proyección en el
contexto social como un dinamizador de la cultura.
Articular, académicamente el Ciclo Complementario, con programas de Educación
Superior con el propósito de garantizar la continuidad en la formación y
perfeccionamiento docente.
Incentivar y consolidar las comunidades pedagógicas regionales, de profesores,
estudiantes, y egresados, y promover su integraci6n nacional con otras
comunidades homologas, para confrontar saberes y experiencias.
Desarrollar conjuntamente con Instituciones de Educación Superior, programas de
actualización y perfeccionamiento de docentes, especialmente de preescolar y
básica primaria.
42
Producir, recrear y difundir materiales de apoyo a la labor educativa,
preferiblemente para los niveles de preescolar y básica primaria.
Promover y fomentar eventos pedagógicos encaminados a socializar los avances en
su proceso de investigación y formación didáctico-pedagógica.5
El curso en el cual se realizó la intervención es el once A. El director de curso es
el Especialista Carlos Ordóñez Dulcey. El curso está conformado por 36 estudiantes,
De los 36 estudiantes 2 estudiantes tienen 15 años, 2 estudiantes tienen 16 años,
16 estudiantes tienen 17 años y 8 estudiantes tienen 18 años. Además, 26 estudiantes
5 www.normalpopayan.edu.co/
64%
36%
Número de estudiantes
Mujeres Hombres
43
viven con un número de personas entre 1 y 4 integrantes; y 10 estudiantes viven con un
número de personas entre 5 y 8 integrantes.6
6 Datos tomados de la Ficha de Matrícula de los estudiantes del grado once A. Año
2010
44
1.1.5 La Metodología de Investigación
La intervención realizada en la Escuela Normal Superior de Popayán es de tipo
cualitativa. Como afirma Pita & Pertégas (2002) “la investigación cualitativa trata de
identificar la naturaleza profunda de las realidades, su sistema de relaciones y su
estructura dinámica.” Por esta razón, se trabajó en la descripción e interpretación del
comportamiento y producciones escritas de los estudiantes del curso once A.
Método y metodología
El método escogido para hacer esta investigación es el etnográfico. Para ello, se
partió de la determinación de los puntos de vista de los estudiantes involucrados y, a
partir de esto, ir develando poco a poco las relaciones que subyacen entre ellos.
Como los instrumentos al igual que los procedimientos y estrategias a utilizar los
determina el método, se hizo un estudio de las formas de recolección de la información.
A partir de esto se llegó a la conclusión de que el investigador básicamente se centraría
alrededor de la observación participativa y la entrevista semi-estructurada. Al hacer un
estudio sobre la forma cómo se escogería el grupo participante o muestra se determinó
escoger a los estudiantes de manera intencional o basada en criterios, puesto que se
escogieron cinco estudiantes, dos de alto rendimiento académico, dos de medio y uno de
bajo según las notas registradas por el profesor de matemáticas.
45
Para plantear la pregunta fue necesario asistir a la institución educativa. De esta
forma, al tener un primer acercamiento surgieron algunas inquietudes, que
posteriormente fundamentaron la pregunta problema, constituyéndose en su razón de
ser.
Para la construcción de la pregunta problema se siguió los planteamientos de la
asesora, los cuales se encuentran consignados en su Cuaderno universitario de estudio
No, 1, 2 y 3. (Material de apoyo-Circulación interna). A partir del correspondiente
estudio se propuso identificar las categorías que conformarían la pregunta, luego
delimitarla lo mejor posible, así como hacer la respectiva contextualización.
Una vez identificadas las categorías se hizo una búsqueda de información que
diera cuenta de cada una de ellas. Esto a través de la elaboración de árboles de
categorías, en los cuales se colocó cada una de las categorías y la definición encontrada
en alguna fuente confiable, como libros físicos o virtuales.
Como en las distintas definiciones se identificaron algunas categorías
importantes, para estas también se hizo una búsqueda de su definición. Esto permitió,
construir el marco conceptual del proyecto de investigación y tener claro el significado
de cada uno de los términos que conformaban la pregunta de investigación. De la misma
manera se abordaron los objetivos del proyecto.
46
Debido a que el tema de matemáticas que se abordaría es el de funciones, para
introducirlo se usó un software durante la primera sesión. Los estudiantes participaron
escribiendo en el portátil las respuestas que ellos habían propuesto. Asimismo
explicaron en el tablero el proceso que les había llevado a tales respuestas, reflejando
por medio de sus argumentos el conocimiento matemático. Además, una vez trabajaron
varios ejemplos por medio del software, propusieron otros ejemplos de funciones
inventados por ellos mismos.
Al analizar lo que ocurría en los ejemplos proporcionados por el software, se les
manifestó a los estudiantes que los números involucrados se denominaban valores, los
cuales correspondían a determinadas variables, en matemáticas denominadas
comúnmente variable y variable , donde cada una recibía un nombre específico
variable independiente y variable dependiente, respectivamente.
Una vez realizado esto tuvieron un primer acercamiento a la definición de
dominio y codominio de una función; estos conceptos son de vital importancia puesto
que a partir de ellos se define una función. A partir de la experiencia vivida, al finalizar
la sesión, los estudiantes de manera individual dieron su definición de función
matemática. Cada una de las respuestas fueron confrontadas con los ejemplos
observados por medio del software y de esta forma ellos mismos las modificaron
cuando lo consideraron conveniente. A partir de esto se escribió en el tablero la
definición seleccionada para este trabajo.
47
La primera sesión fue de vital importancia, puesto que al no tener conocimientos
previos sobre este tema, los estudiantes empezaron a hacer uso de este nuevo concepto y
los elementos que lo caracterizaban. En las siguientes sesiones se abordaron situaciones
problema, algunas de manera individual y otras en grupo. Después de que la mayoría de
los estudiantes tenían alguna respuesta, se socializaba en el tablero y posteriormente se
formalizaban los conceptos. Además, se realizaron dos evaluaciones, en donde los cinco
estudiantes obtuvieron buenas calificaciones.
Técnicas y/o estrategias
Como ya se había dicho, en esta investigación se utilizó la observación no
estructurada. Puesto que según Cabrero y Martínez (2008) se empleó el procedimiento
de la “observación participante” en la que el investigador actúa como observador y se
familiariza con el lugar para posteriormente volverse participante activo, desarrollando
un plan de muestreo de eventos y seleccionado las posiciones para llevar a cabo la
observación. Esto exigió mayor esfuerzo, puesto que se debía enseñar el tema y
asimismo estar pendiente de los comentarios, respuestas y actitudes de los estudiantes,
tanto en el aula de clase, como al final de las sesiones cuando algún estudiante de la
muestra se quedaba para verificar alguna respuesta. Además, en ocasiones fue necesario
reunirse con los estudiantes para ampliar o confrontar la información recogida.
En conclusión, fue necesario analizar el ambiente, los participantes, sus
actividades e interacciones, la frecuencia y duración de los eventos para ir tomando
48
“notas de campo”, “notas de observación”, “notas teóricas”, “notas metodológicas” y
“notas personales”, obteniendo así información sobre la dinámica de grupo y el
fenómeno a estudiar. Por esta razón, se llevó un cuaderno y diario de campo. En estos se
registraron los sucesos más importantes y trascendentales para la investigación.
También, se usaron las entrevistas semiestructuradas o focales, en las cuales
según Cabrero y Martínez (2008) “el entrevistador se vale de una guía temática que
indica las preguntas que habrá de formular”. Dichas entrevistas fueron grabadas, para
posteriormente realizar un proceso de escritura de las respuestas. La entrevista, consistió
en una conversación con el estudiante sobre el trabajo realizado en clase. Se caracterizó
por ser de tipo no estructurada o informal, como afirma Arredondo (2006). Igualmente,
las preguntas fueron abiertas, es decir, a partir de las respuestas dadas por los
estudiantes, bien sea en los talleres o en las evaluaciones, se les hacía una pregunta pero
si el estudiante hacía algún comentario de interés para la investigación, se partía de este
en la siguiente pregunta.
Cada una de las clases fueron grabadas con una video cámara, esto permitió que
el licenciado en formación pudiera observase y así analizar la forma como estaba
interviniendo. Además se realizó registro fotográfico de la resolución de cada uno de los
talleres y evaluaciones.
Instrumentos para la recolección de información
49
Diario de campo
Cuaderno de notas
Hojas de registro
Fichas de matrícula
La entrevista
Grabaciones
La muestra escogida está conformada por 5 estudiantes, 3 mujeres y 2 hombres.
En adelante, para referirse a los sujetos participantes se realizará de la siguiente forma:
Est.1, Est.2, Est.3, Est.4, Est.5. En las siguientes tablas se encuentra información sobre
cada uno de ellos, obtenida de la ficha de matrícula, la cual es llenada por el estudiante
y conservada por el director de curso Carlos Ordóñez Dulcey.
50
Información obtenida de la ficha de matrícula de los estudiantes que conforman la muestra
Edad
(años)
Número de personas con
quien vive
Enfermedades crónicas Situación de
discapacidad
Peso (kg) Talla (m)
Est.1 15 3 Ninguna Ninguna 51 1,69
Est.2 16 5 Ninguna Ninguna 55 1,65
Est.3 18 3 Ninguna Visual 50 1,50
Est.4 17 4 Gastritis Ninguna 49 1,50
51
Est.5 16 5 Ninguna Ninguna 49 1,48
Áreas de
mejor
desempeñ
o
Áreas de
mayor
dificultad
Áreas
pendientes de
aprobación
Se destaca
en:
Situación de
convivencia
Lo que un
compañero (a)
piensa de él y/o
ella
Est.1 Física,
Cálculo,
Química
Economía
política
Ninguna Estudio,
Ajedrez y
en la
responsabi
lidad
“Es
compañerista”
“Tienes todas las
capacidades para
ser mucho mejor,
pues eres alguien
muy responsable”
52
Est.2 Matemáti
cas,
Informáti
ca y
tecnologí
a, Inglés
Química Ninguna Matemátic
as
“Es callado,
pero no tiene
ningún
problema con
nadie”
“Es un buen
estudiante,
responsable y
respetuoso.
Espero que sigas
así y cada día
mejorando aún
más”
Est.3 Música,
Práctica
Pedagógi
ca
Investigat
iva,
física,
cálculo,
psicologí
a
Economía y
política
Ninguna Artes “Es una buena
compañera, nos
ayuda cuando
puede”
“Pienso que debe
dedicarse un poco
más porque es
una excelente
alumna que con
respecto al año
pasado se ha
descuidado
mucho ”
53
Est.4 Física,
Química,
Cálculo
Economía y
Política
Ninguna Artes “Como todos
tiene sus malos
ratos, pero es
una niña
chévere”
“Es una niña
excelente tanto
como persona y
estudiante. Es un
poco malgeniada
pero no se puede
decir que es una
mala amiga”
Est.5 Psicologí
a,
Química
Física,
Cálculo
Ninguna Artes “Se integra con
todo el curso”
“Es una Buena
compañera y
amiga, trabaja
para mejorar
académicamente”
54
1.1.6 Resultados
El software trabajado en la primera sesión (ver Anexos, Figura No.2) llamó la
atención de los estudiantes, puesto que pudieron participar en la construcción de su
conocimiento. Su interés evidencia el compromiso que asumieron al abordar un nuevo
tema. Según Ausubel el aprendizaje es significativo cuando se construyen “los conceptos
científicos a partir de los conceptos previamente formados por el niño en su vida cotidiana”
(p. 1) Al no tener conocimiento del tema, empezaron a suponer y a conjeturar, para
posteriormente confirmar sus respuestas con los resultados que el programa arrojaba.
A partir de esto manifestaron que en los resultados arrojados por el programa se
evidenciaba una serie de patrones, los cuales identificaron como reglas o condiciones, para
posteriormente definir con sus palabras, de manera general, lo que representaba para ellos
una función. Estas condiciones no fueron entregadas de manera inmediata al estudiante,
por el contrario a partir de lo que ellos respondían se determinaron. De esta forma, es más
significativo el aprendizaje, pues los estudiantes cuando analizan si una relación es una
función deben tener en cuenta el hecho de que cada elemento del dominio tenga imagen y
esta pertenezca al codominio, pero sobre todo que su imagen sea única. Son prácticamente
tres condiciones que deben analizar, por eso, al olvidarse de alguna o entenderlas de
manera equivocada, cometen errores.
Cuando los estudiantes trabajan con situaciones más conocidas, pueden recordarlas
fácilmente y a partir de ellas llegar a generalizaciones. Como afirma Ausubel “el factor
55
más importante que influye en el aprendizaje es lo que el alumno ya sabe. Averígüese esto
y enséñese consecuentemente.” Los estudiantes recurren constantemente a analogías.
Según Sarramona (2008) en las analogías los estudiantes resuelven un problema de modo
semejante a como se ha resuelto otro, esto se evidencia cuando al terminar de escribir una
definición formal, solicitan más ejemplos; por medio de ellos pretenden entender lo que no
queda claro a través del lenguaje matemático. Cuando entienden alguna solución, intentan
aplicar dicha solución a cualquier problema.
Al partirse de las situaciones particulares que se abordaron para llegar a la
definición, los estudiantes comprendieron que dicho comportamiento era general, por lo
tanto, vieron la necesidad de una construcción formal.
Además, estas situaciones facilitaron a los estudiantes la identificación de la
diferencia entre las variables dependiente e independiente, al visualizar en el programa dos
tipos de conjuntos, uno que contenía los elementos de entrada y otro los elementos de
salida (ver Anexos, Figura 1), en las situaciones problema, empezaron a identificarlas de
manera inmediata, esto facilitaba la resolución.
Los estudiantes debieron identificar en todas las soluciones las variables que
intervenían, esto les generaba dificultad y confusión, por tal motivo, la dependencia e
independencia no es tan fácil de abordar, de ahí que si se entra a dar ejemplos de funciones
de variable real con su correspondiente notación, el estudiante no comprende que la
56
variable es independiente, por tal motivo es conveniente partir de la notación para
que asimilen que está en función de .
Al abordarse los primeros ejemplos manifestaron “ahhh, el número que entra en la
máquina es la variable independiente y el que sale es la dependiente” (ver Anexos, Est.1),
deducciones sacadas por ellos mismos. Así mismo entendieron que lo que hacía la máquina
era equivalente al papel de la función matemática cuando manifiestan “¿entonces la
máquina es la función?” (Ver Anexos, Est.2)
Al terminar la sesión dieron la definición de función, evidenciando el modelo
pedagógico constructivista, ya que este modelo “pretende la formación de personas como
sujetos activos, capaces de tomar decisiones y emitir juicios de valor, lo que implica la
participación activa de maestros y estudiantes que interactúen en el desarrollo de la clase
para construir, crear, facilitar, liberar, preguntar, criticar y reflexionar sobre la comprensión
de las estructuras profundas del conocimiento”7 Los estudiantes, trabajaron de manera
participativa, conjeturando y suponiendo para luego afirmar, confrontar y validar sus
aciertos dentro de los conceptos matemáticos propuestos para la sesión.
Al abordar las diferentes situaciones problema en las siguientes sesiones, se pudo
evidenciar que cuando los estudiantes leen un problema tienden en primer lugar a realizar
7 Ministerio de protección social. Servicio Nacional de aprendizaje, SENA. Regional
Quindío. Programa formación de docentes.
57
trazos en sus cuadernos, lo cual les permiten exteriorizar lo que están pensando. Según
Crespo C. (2005) la intuición les permite comprender lo que los rodea, pero al tener una
formación matemática desde los años anteriores, es inevitable que constantemente intenten
representar las situaciones por medio de fórmulas matemáticas, y esto también es intuición
pues como afirma Not (1983), se trata de intuición cuando intentan representar las
realidades concretas por medio de formas matemáticas.
Como afirma Rico (2000) las representaciones son las notaciones simbólicas o
gráficas que ellos hacen de la realidad. Por tal motivo, recurren a diagramas, gráficas y
dibujos para comprender lo que en palabras formales les es complicado, “como estábamos
empezando lo de funciones entonces no tenía bien como fortalecido el concepto de
dominio y codominio entonces se me hacía más fácil dominio y codominio /señalando el
diagrama/ para entenderlo y no enredarme” (ver Anexos, Est5.)
Los estudiantes, al resolver una situación problema identifican en primer lugar las
variables involucradas utilizando en la mayoría de los casos correspondencia entre valores
(ver Anexos, Registro fotográfico No.6), posteriormente determinan el dominio y el
codominio posible, y a partir de esto deciden si se trata de una función haciendo uso de lo
que han entendido como las condiciones para que una relación sea función “Pues me puse,
yo siempre empiezo a dibujar, empiezo como a ponerle lógica…entonces empiezo a unir
líneas, entonces es como si tiene imagen en el dominio y codominio, y si se le ve la lógica,
entonces ya empiezo a resolverlos, sí, primero que todo el óvalo, entonces el dominio y el
codominio, y voy viendo que sea más o menos” (ver Anexos, Est.5). De ahí que contar con
58
representaciones concretas, en este caso visuales, al momento de planear la resolución les
permite observar el comportamiento con mayor facilidad y expresar el concepto
matemático que se está abordando, reafirmando lo planteado por Rico (2000). El uso de
diagramas de Ven fue una herramienta muy utilizada. Sin embargo, al adquirir más
práctica algunos dejaron de recurrir a ellos, mostrando un mayor nivel de abstracción, al
afirmar “…es que ya iba hartos ejercicios y se me estaba haciendo tarde pero también
porque ya estaba cogiéndole práctica…ya no solo el dibujito en la hoja sino que ya iba
uno solito”. (Ver Anexos, Est.1). Lo cual evidencia que pasan de representaciones
concretas a mayores niveles de abstracción.
A algunos estudiantes se les facilitó escribir los conjuntos por comprensión, puesto
que como dice Rico (2000) el símbolo es un medio visible que está conectado a una idea,
que es su significado, lo cual le permite manejar las ideas de manera más sencilla. Mientras
que otros explicaban sus argumentos por medio de palabras.
El hecho de utilizar problemas que se referían a situaciones cotidianas permitió que
el interés de los estudiantes aumentara y los llevara posteriormente a otras
generalizaciones, “no pensé que estas situaciones se consideraran funciones, pero ¿con
números es igual?” (Ver Anexos, Est.1). Como afirma Ausbel a medida que se enfrentan a
los problemas surge una reestructuración debida a la interacción entre las estructuras
presentes en cada uno de ellos y la nueva información. Asimismo, al final de cada sesión
organizaban lo estudiado y posteriormente se formalizaba. Sin embargo, algunos chicos
59
llegaban más rápido a la formalización, debido a que el manejo de las notaciones les
resultaba más familiar al haberlas visto anticipadamente.
Los estudiantes al hacer la gráfica no dudan en trazar la línea que une los puntos,
(Registro escrito No.3) pero cuando se les pide retomar el enunciado del problema no
encuentran sentido con la gráfica trazada, borrándola inmediatamente. Sin embargo, al
observar que la gráfica se compone solo de puntos les parece extraño preguntando “¿qué
tipo de variable sería?”. Estos interrogantes generan nuevos aprendizajes.
Es necesario resaltar que la manera como se plantea el problema determina la forma
como planean su resolución, una palabra ambigua puede ocasionar dificultades al momento
de resolverlo. Por ejemplo, un estudiante cambió una palabra, ante esto se le preguntó
“¿Por qué cambiaste la palabra “una” por “cada”? Una por cada…espere yo miro, no
recuerdo (lee lo escrito en su hoja) ahhh porque si decía “una” solo era del dominio, y al
leerla se interpretaba que solo una…digamos al codominio sólo le pertenecería una sola
imagen pero si decía… “estatura de cada persona” podrían ser dos, entonces ahí creo que
surgió el primer interrogante ¿por qué…un elemento del dominio no podía tener dos
imágenes al mismo tiempo?...creo que de ahí fue que saqué ese interrogante...cuando
colocaba “una persona” era solamente un valor de la variable… entonces decía “estatura
de cada persona” si era de “cada” o sea de “cada una”, o sea aquí /señalando el
dominio/ no solo iba dar un elemento, aquí iba a dar muchos, entonces a cada uno le
tendría que corresponder una imagen ” (Ver Anexos, Est.2)
60
Al trabajar con gráficas, para determinar si representa una función, se ayudan del
criterio de la recta vertical, entendiendo que si la recta corta a la gráfica en dos puntos,
significa que un elemento del dominio tiene dos imágenes y esto hace que ya no sea
función. “La anterior gráfica sí representa una función porque la pendiente o recta solo
intersecta en un punto al eje . Por ende para un valor de solo habrá una y solo una
imagen de ” (Ver Anexos, Est.2) “Sí es una función porque cada valor del eje le
corresponde uno y solo un valor en el eje ” (Ver Anexos, Est.1) “Todo se explica porque
por ella se realiza un corte que no toca otra línea” (Ver Anexos, Est.1)
Cuando los estudiantes participan en su propia formación; plantean interrogantes,
trabajan en grupo, resuelven problemas en el tablero, se corrigen entre ellos, pero sobre
todo cambian la actitud de esperar que sea el maestro quien les entregue el conocimiento;
ellos fueron capaces de construirlo y eso motivó a que en cada sesión participaran con
mayor disposición. Además las situaciones problema les produjo mayor interés debido a
que debían recurrir a sus propios conocimientos, por esta razón, en ocasiones, no
compartían su respuesta pues consideraban que estaba mal. Los estudiantes consideran que
cada ejercicio tiene una única forma de resolverlo como afirma una estudiante “…en mi
otro colegio era como que teoría y te daban los ejercicios y resuelva, pero no te los
explicaban, no te daban nuevas formas de…o sea, formas de comprobarlo, formas de
hacerlo, o sea sí, todo era como muy mecánico y como que no tenía la oportunidad de
experimentarlo” (ver Anexo, Est.5), pero en los problemas son muchos los caminos que
conducen a su resolución de manera correcta.
61
Finalmente, según Gómez la intuición puede ser cultivada a través de situaciones
que surjan de la vida cotidiana. Sin embargo, en ocasiones la intuición genera
inconvenientes, puesto que algunas respuestas eran ciertas para los chicos debido a que su
intuición así se los decía, sin embargo, dentro de la lógica matemática no eran acertadas.
Esto se evidencia en la siguiente situación donde se le pregunta a un estudiante sobre su
respuesta a la pregunta de si la relación entre las personas y los pupitres de un salón
representa una función, donde P.M representa profesora de matemáticas:
- P.M “¿Por qué escribes que “una persona podría ocupar dos puestos si lo quisiera”?”
- Est.2 “Pues por ejemplo yo podría /señalando un asiento/coger ese puesto y poner las
piernas ahí o sentarme en uno y la mitad del otro”
- P.M: “¿Y por qué haría eso?”
- Est.2: “Para estar más cómodo”
- P.M: “¿Y en el salón puede ocurrir eso?”
- Est.2: “Pues si porque a veces cuando sobran puestos pues otras personas lo cogen para
poner el maletín o para poner los pies”
- P.M: “¿Cuál variable corresponde al dominio?”
- Est.2: “Las personas”
- P.M: “¿Cuál variable corresponde al codominio?”
- Est.2: “Los puestos…los pupitres”
- P.M: “¿Entonces tú dices que una persona puede tener dos pupitres, entonces ahí sería
una función?”
- Est.2: “No”
62
- P.M: “¿Pero en la realidad ocurre eso?”
- Est.2: “Sí, hay personas que son gordas”
- P.M: “¿Si excluyes esas situaciones que mencionas, si podría ser una función?”
- Est.2: “Sí”
- P.M: “¿Por qué no lo consideraste de esa forma?”
- Est.2: “Porque más cotidianamente pues se ve eso de que a veces algunas personas
utilicen dos pupitres o que una persona ocupe…¿cómo es?…/mirando hacia arriba/o que
dos personas ocupen un pupitre o que una persona ocupe dos …por ejemplo, si
tomáramos todos los pupitres que existen, pues por ejemplo en las escuelas pobres que les
toca a veces sentarse a dos personas en un mismo pupitre…bueno”
63
1.1.7 Conclusiones y recomendaciones
La enseñanza y aprendizaje de las matemáticas es un proceso que debe ser tenido
en cuenta de manera conjunta. El interés de un maestro en matemáticas es hacer que sus
estudiantes se motiven en el aprendizaje de esta área y que al final la aprueben. De ahí que,
una manera útil de hacer que los estudiantes participen más en el aula de clase es a través
de la resolución de situaciones problema, puesto que los estudiantes interactúan con el
profesor, entre ellos y finalmente colocan a prueba sus conocimientos a través de un
ejercicio de evaluación, acorde con lo trabajado en clase.
Por otro lado, es importante que el docente se identifique con un modelo
pedagógico, para que de esta forma tenga en cuenta el objetivo que persigue y las
estrategias que debe usar.
El uso de la intuición es un factor que debería tenerse en cuenta en el aula de clase,
puesto que los estudiantes no se encuentran vacíos de conocimiento, ellos tienen opiniones
y sugerencias que deben ser valoradas.
Asimismo, contar con un plan de acción hace que el licenciado en formación no se
sienta desorientado en la forma de proceder, por el contrario es una buena forma de buscar
el objetivo de su intervención.
Los estudiantes de esta forma harán uso en un comienzo de algunas de sus
cualidades como la imaginación, comparación, aclaración por medio de casos particulares,
64
para ir avanzado a mayores niveles de abstracción. De esta forma sentirán mayor confianza
sobre lo que hacen y mayor libertad para poder hacer uso de lo que saben o intuyen.
Aumentando su compromiso con lo que están realizando puesto que el éxito en la solución
de los problemas depende enormemente de la disposición de cada uno los estudiantes con
la labor que está efectuando.
En muchos casos lo primero que llega a la mente son las intuiciones, por lo tanto al
fortalecerla constantemente se lograría un mayor uso de esta. Es necesario resaltar que
cualquier problema matemático debe despertar, en primer lugar, el interés del estudiante,
para que de esta forma esté en condiciones de conjeturar, reflexionar, cuestionar e intentar
darle respuesta. De ahí que, la duda y la incertidumbre harán parte del proceso de
enseñanza y aprendizaje, pero todo esto sucede cuando el estudiante es consciente de lo
que está realizando.
Aunque Not (1983) afirma que un concepto es más intuitivo entre menos
formalizado esté, es importante formalizar los conceptos al terminar la sesión, es decir
escribir en el tablero los conceptos a los cuales se llegó, puesto que no todos los
estudiantes logran construir tales conceptos en el tiempo acordado para ello, de ahí que no
se puede terminar la sesión sin definir los términos que se pretenden enseñar.
65
2. EL PROYECTO PEDAGÓGICO EN EL AULA
La Universidad del Cauca, ubicada en el municipio de Popayán, es una universidad
de carácter público que cuenta actualmente con nueve facultades en las cuales se brinda
formación de pregrado y posgrado en diferentes áreas del conocimiento.
Una de las facultades de la Universidad del Cauca es la Facultad de Ciencias
Naturales, Exactas y de la Educación, la cual “desarrolla y aplica el saber pedagógico para
la formación y capacitación de docentes, el mejoramiento de la educación, la enseñanza, el
aprendizaje y la transformación de la sociedad.”8 A dicha facultad pertenece el programa
de Licenciatura en Matemáticas que tiene como objetivo “formar un Licenciado en
Matemáticas que más allá de instituirse como un mero transmisor de saberes, logre
contribuir a la consolidación de una cultura matemática en su medio; un profesional que
entienda el problema de la comunicación de las matemáticas como un problema que
requiere del concurso de múltiples disciplinas: Matemáticas, Historia, Filosofía,
Sociología, Antropología, Pedagogía y Sicología.”9 Esto permite la formación de un
profesional integral, con amplios conocimientos sobre la disciplina, los cuales están
8 Página de la universidad; www.unicauca.edu.co
9 Registro calificado, CONDICIONES DE CALIDAD PROGRAMA LICENCIATURA EN
MATEMÁTICAS 2010, p. 54
66
relacionados con los momentos históricos clave que los determinaron, pues al estar en un
aula de clases el licenciado se encuentra a diario con preguntas marcadas por el por qué,
cómo, cuándo, quiénes y dónde, ante estas preguntas el estudiante espera respuestas
coherentes y convincentes.
Para lograr el objetivo anterior, la formación disciplinar y pedagógica brindada a
los futuros Licenciados en Matemáticas se desarrolla a través de cuatro núcleos que
conforman en su totalidad el plan de estudios del programa. Estos son: el núcleo de
Matemáticas, cultura y sociedad, el núcleo de Educación Matemática, el núcleo de
Conocimiento Matemático y Científico, y finalmente, el núcleo de Filosofía de las
Matemáticas.
Por medio de estos núcleos se busca que los futuros licenciados hagan “una
reflexión sistemática sobre las cuestiones técnicas referentes a su saber disciplinar tanto del
campo de la matemática, como de la educación matemática”10
, asimismo, propender por
una “visión humanista de las matemáticas que tenga en cuenta los aspectos sociales y
culturales involucrados en el quehacer matemático”11
; y por último, “reflexionar sobre la
10 Registro calificado, CONDICIONES DE CALIDAD PROGRAMA LICENCIATURA EN
MATEMÁTICAS 2010, p. 38
11Ibíd.
67
naturaleza y realidad de los objetos que involucra este saber determinado”12
, de esta forma
un Licenciado en matemáticas será una persona crítica y comprometida con la labor que
tiene, no sólo de enseñar los conceptos matemáticos sino formar los profesionales del
futuro.
Es importante resaltar que el componente pedagógico e investigativo se enfatiza en
el núcleo de Educación Matemática a través de las siguientes unidades temáticas:
Pedagogía y Currículo en la Enseñanza de las Matemáticas, Educación Matemática y
Matemáticas Escolares, Didáctica de las Matemáticas I y II, y Práctica Pedagógica I, II, III,
IV.
A través de las unidades temáticas de Práctica Pedagógica se lleva a cabo un
proceso de investigación formativa, que comienza con una fundamentación teórica sobre
investigación y sistematización, continúa con la elaboración y ejecución de un proyecto de
investigación y finaliza con un ejercicio de sistematización de la experiencia. Por lo tanto,
a lo largo del proceso se desarrollan y fortalecen competencias comunicativas, lectoras y
escritoras, fundamentales en la formación de un Licenciado en Matemáticas.
12 Ibíd.
68
Las cuatro unidades temáticas de Práctica Pedagógica se llevan a cabo en la
universidad del Cauca pero además en la Institución Educativa en la cual se hace la
intervención.
69
2.1 El abordaje de la Práctica con un enfoque investigativo
Después de recibir la debida formación sobre matemáticas y luego de haber
aprobado cuatro cursos del núcleo de Educación Matemática, se abordó el proceso de
práctica pedagógica desde un enfoque investigativo con la participación de dos maestras
vinculadas a la Universidad del Cauca, cada una experta en un ámbito diferente. La
primera maestra y directora del proyecto pertenece al Departamento de Matemáticas, su
formación como Licenciada en Matemáticas le ha permitido conocer ampliamente la
disciplina pero su continuo desempeño dentro del núcleo de Educación Matemática, le ha
proporcionado una buena formación en este ámbito. La segunda maestra y asesora del
proyecto hace parte del Departamento de Pedagogía, sus conocimientos y experiencia en la
formulación y ejecución de proyectos de investigación en Educación, les permitió a los
Licenciados en formación vivir una experiencia de investigación en el aula.
El proceso de práctica pedagógica al tener un enfoque investigativo, permitió
adquirir conocimientos sobre investigación. Para esto, la primera unidad fue
imprescindible, puesto que durante este periodo se estudiaron algunos documentos como
por ejemplo “La investigación cualitativa, síntesis conceptual” de Martínez (2006), este
documento permitió tener una visión general sobre lo que respecta a investigación
cualitativa. Según Martínez es necesario tener en cuenta cuatro etapas en el proceso de
investigación: la contrastación con las teorías existentes, la teorización para lograr la
síntesis final de la investigación, la categorización para hacer un examen exhaustivo de
70
toda la información recopilada y finalmente la estructuración para esquematizar la
información que fue categorizada.
También se consideró otro documento de Martínez (2004) llamado “Métodos
cualitativos”, este permitió comprender que existen varias clases de métodos como por
ejemplo los fenomenológicos, etnográficos y de investigación- acción. El método que se
estudió de manera más profunda fue el etnográfico debido a que es de mayor preferencia
para entrar a conocer un grupo institucional. De acuerdo a esto se estudió los mecanismos
de recolección y análisis de la información, al ser determinados por el método.
Asimismo, se estudió el documento “La forma en que conocemos y hacemos el
mundo” de Bravin y Pieri. Esto con el objetivo de aclarar la manera como se plantearían
las primeras hipótesis. A partir de esto se concluyó que para formular las hipótesis se
puede recurrir a mecanismos como la experiencia, es decir, recurrir a casos anteriores y el
razonamiento, que tiene que ver con la inducción, la deducción y una combinación de
éstas.
Con el objetivo de obtener conocimientos sobre elementos no sólo de investigación
cualitativa sino también sobre investigación cuantitativa se trabajó el documento
“Metodología de la Investigación” de María Antonieta Tapia (2000).
Aquí se afirmó que en la investigación también se utiliza el método científico. Es
decir, formular correctamente el problema, proponer una tentativa de explicación, elegir
71
los instrumentos metodológicos, someter a prueba dichos instrumentos, obtener los datos,
analizar e interpretar los datos recopilados, estimar la validez, etc. Además, se afirmó que
la Investigación Cuantitativa se centra en los aspectos susceptibles de cuantificar y la
Cualitativa: se centra en descubrir el sentido y el significado de las acciones sociales.
Para abordar el documento de manera significativa se analizó de acuerdo a las
cuatro etapas que lo conforman. La primera etapa de Formulación del problema de
investigación, en donde se tiene en cuenta la forma de hacer la pregunta, los objetivos, la
justificación, etc. En la segunda etapa llamada Fase exploratoria se evidencia la
importancia de la elaboración del marco teórico, la revisión de la literatura y la importancia
de buscar fuentes primarias de información, al ser más verídicas. En la tercera etapa se
abordó el Diseño de la investigación, puesto que la investigación depende del tipo de
estudio a realizar, el cual puede ser exploratorio, descriptivo, correlacional, y explicativo,
profundizándose en el descriptivo puesto que este permite detallar el fenómeno estudiado
básicamente a través de la medición de uno o menos de sus atributos. En la última etapa
referente a la extracción de la muestra se analizaron los conceptos como población,
muestra, unidad de la muestra y las cualidades de una buena muestra, al afirmarse que
esta debía ser representativa o el reflejo general del conjunto o universo que se va a
estudiar. Para esto se estudiaron los tipos de muestra profundizándose en la muestra
intencionada, donde el investigador escoge de acuerdo a sus criterios las unidades de
estudio.
72
Finalmente, se estudió el documento “Diseño de proyecto en investigación
educativa” de Arredondo et al. (2005). El análisis de este documento se hizo teniendo en
cuenta los tres capítulos que lo conforman. El primer capítulo llamado Componentes del
diseño de investigación, se estudió con el fin de conocer la descripción del proceso que se
debe tener presente para desarrollar una investigación. En el segundo capítulo se estudió
Acerca del Enfoque Cuantitativo en Investigación Educativa, comprendiendo que existen
distintos tipos de hipótesis, además que estas se relacionan con las variables que
intervienen en la investigación. También se habló de la selección de la muestra y las
técnicas cuantitativas.
Además se afirmó que había varias formas de presentación del documento, como
una sistematización, un artículo, un manual. Se aclaró que las preguntas problemas que se
planteen deben nacen de reconocer la ignorancia. Por lo tanto, sirven para generar nuevo
conocimiento. Asimismo, el problema de investigación existe siempre y cuando para el
investigador que lo formule se fundamente y justifique. El tercer capítulo consistió en
estudiar los Enfoques Cualitativo y Socio-Crítico en Investigación Educativa. Aquí se
analizó la importancia de la problematización, es decir la condición para la comprensión
de un problema, la contextualización, formulación, delimitación y justificación de un
problema de investigación. Así como las técnicas para la recolección de información.
Entre ellas se encuentran, la entrevista, la observación, el grupo de discusión, el registro
etnográfico. El estudio de este documento evidenció que el proceso de investigación
posiblemente nunca termine, puesto que siempre, surgirán nuevos interrogantes sobre un
73
mismo problema. Además con el paso del tiempo, las personas cambian. Por lo tanto, los
resultados y conclusiones obtenidas son únicas e irrepetibles.
Todo lo anterior permitió obtener fundamentos teóricos sobre los paradigmas
existentes. Como la Investigación Cualitativa es un proceso que permite adquirir
información sobre algún problema que se desee tratar profundamente y además a que el
interés está ubicado en el ámbito educativo generado a partir de algún tema específico de
las matemáticas se escogió este tipo de investigación, con el fin de dar respuesta a un
problema de investigación el cuál surgió debido a que en la enseñanza de las matemáticas
en la Educación Básica y Media, es muy poco el valor que se le da a la intuición en el
momento de enseñar algún tema específico.
En la segunda unidad temática de Práctica Pedagógica, se asistió a la Institución
Educativa y a partir de las observaciones realizadas se inició el planteamiento del proyecto
de investigación. Con base en los conocimientos adquiridos en la anterior unidad se
buscaron estrategias de recolección de información. Además hubo una primera
intervención en la cual se enseñó un tema de geometría, esto con el objetivo de tener un
primer acercamiento con el grupo participante. Es necesario aclarar que los estudiantes en
este momento se encontraban cursando décimo grado.
El tema de matemáticas con base en el cual se planteó el problema de investigación
es la definición de función, puesto que esta hace parte del plan de estudios del grado once y
es uno de los temas más relevantes en la formación matemática de un estudiante de
74
Educación Media, puesto que a partir del tema de funciones se enseñan otros, como límite
de funciones, continuidad y derivada; los cuales son nuevamente abordados en los cursos
de cálculo orientados en cualquier programa de ingeniería de formación superior, en los
cuales se hacen uso de funciones para modelar situaciones específicas.
A partir de esto se empezó el diseño de un plan de acción metodológico en donde
se asumió la situación problema como estrategia de intervención puesto que como afirma
Múnera (2001) “la podemos entender, como un espacio para generar y movilizar procesos
de pensamiento que permitan la construcción sistemática de conceptos matemáticos” (p.
1). El uso de situaciones problema como herramienta didáctica, involucran al estudiante en
la construcción de su propio conocimiento, haciendo que su aprendizaje sea significativo.
Asimismo, esto permite hacer uso del modelo pedagógico constructivista y dejar de lado el
conductista, caracterizado por ser de tipo transmisionista y memorístico. Lo cual favorece
de manera significativo los procesos de enseñanza y aprendizaje.
En la tercera unidad temática se ejecutó el proyecto de investigación, para esto se
realizaron prácticas docentes con los estudiantes del grado once A de la ENSP, quienes
para el momento de la intervención se encontraban en este grado. Durante la intervención
el plan de acción fue enriquecido, pero siempre de manera anticipada a cada intervención.
Por último, en la cuarta unidad temática de Práctica Pedagógica se prosiguió a
reflexionar sobre la práctica docente, realizada en la anterior etapa. Esta reflexión se hizo
desde la organización, la categorización y el análisis de los datos que se obtuvo a raíz de la
75
investigación, para finalmente, sistematizar la experiencia. Por esta razón, también se
abordaron documentos sobre la manera como se debía sistematizar. Entre ellos se
encuentra el Manual para la sistematización de experiencias en fe y alegría escrito por un
grupo de profesores coordinados por Uribe (2005). En este documento se dan algunas
pautas que se deben tener en cuenta como por ejemplo, comprender la diferencia entre
sistematización y relato, tener presente la pregunta de sistematización, los objetivos, a
quiénes va dirigida, y los ejes temáticos que se desarrollarán.
76
2.2 Hallazgos y aportes al proceso de Práctica Pedagógica
La fundamentación teórica recibida en la primera unidad temática proporcionó los
conocimientos necesarios sobre investigación y sistematización. Puesto que un estudiante
del programa en esta parte de su formación profesional, no está lo suficientemente
preparado en cuanto a investigación se trata. A pesar de que para este momento se han
visto cuatro unidades del núcleo de Educación Matemática, en ninguna de ellas se llevó a
cabo una fundamentación teórica sobre estos aspectos, debido a que tienen otros propósitos
consignados en sus programas de estudio.
Dicha fundamentación permitió tener a mano todos los conceptos necesarios para
contrastarlos con la realidad, puesto que en ocasiones existe un gran abismo entre la teoría
y la práctica. Además, desde la primera unidad temática se realizó un proceso de escritura,
lo cual facilitó la elaboración del documento final. De esta forma todo cuanto ocurrió
durante el proceso quedó guardado no sólo en la memoria sino en las composiciones
escritas recogidas en el diario de campo y posteriormente en el documento escrito.
También, en esta unidad se llevó a cabo una revisión de la literatura en el área de
matemáticas, así mismo se conoció el plan de estudios del grado décimo y once, facilitado
por el director de curso y maestro de matemáticas. Además, se analizaron los estándares
básicos de competencias para justificar el proyecto de investigación y tener claro los
propósitos de la intervención. Para esto fue necesario elaborar un plan de acción y
77
determinar las técnicas de recolección, lo cual promovió él éxito en la intervención y la
obtención de la información necesaria para categorizar e interpretar.
Otro aspecto que se debe resaltar es que la formulación de la pregunta problema
requirió bastante tiempo. Cada vez que parecía reunir los intereses del licenciado en
formación que realizaría la investigación sufría modificaciones. Esto fue resuelto cuando
intervino la asesora en el ámbito pedagógico, pues ella explicó que en una pregunta de
investigación no se debían incluir demasiadas categorías puesto que de estas se debía dar
cuenta durante la investigación y hacer alusión en los resultados, de ahí que, demasiadas
categorías implicarían mucho más tiempo del definido para el proceso de práctica.
Aunque el licenciado en formación tiene la ventaja de ver cursos de pedagogía, de
lectura y escritura, de historia y filosofía y además algunas áreas de interés en donde se
promueve la competencia escritora y lectora, su formación en matemáticas hace que sea
menos expresivo y utilice cada vez menos palabras al momento de resolver un problema.
Por esta razón, adquirir el hábito de escritura por medio de la redacción de un diario de
campo, permitió que mejoraran los procesos de redacción y estilo de escritura. Además, las
dos asesoras continuamente revisaban estos escritos, mejorando cada vez más la
coherencia y claridad en la redacción de estos.
Asimismo, se tuvo en cuenta conservar todas las evidencias necesarias para que al
final no hiciera falta información, pues conduciría a errores. De igual forma, no se dejó de
lado los registros puesto que la memoria puede fallar pero lo escrito permanece. Por esta
78
razón, el ejercicio de sistematización se convirtió en un ejercicio de reflexión y escritura
mucho más agradable. Resaltando que la sistematización permitió analizar el proceso de
enseñanza y aprendizaje con mayor profundidad dado que no solo se centró la atención en
la disciplina sino además, en los actores que intervienen y los procesos que se promueven.
A través de la ENSP se combinaron los saberes de la matemática y sus posibles
formas de enseñanza y aprendizaje. Es en estos momentos donde el futuro licenciado vive
su primer contacto con la realidad. En él se centra toda la responsabilidad, pues de manera
autónoma debe tomar decisiones en el aula de clase. Esta es una gran experiencia que debe
vivir cualquier licenciado en formación, pues estar en un aula de clase, frente a un grupo de
estudiantes y sentir el gran compromiso que tiene al enseñar un área como las matemáticas,
es un gran desafío. De ahí que asumir el reto siendo todavía un licenciado en formación
hace que al final del proceso reafirme su vocación.
Asimismo, la ENSP fue un espacio privilegiado para la intervención puesto que
debido a su carácter pedagógico, se encontró con un grupo participativo; los estudiantes de
once A de manera responsable y seria trabajaron en las distintas actividades que se
realizaron. Además, permitieron que se les entrevistara en horarios extra clase, que se les
tomara fotos a sus documentos, pero sobre todo que se grabaran sus intervenciones y
actitudes en el aula de clase.
Por otro lado, como fueron tres los estudiantes que iniciaron y terminaron el
proceso de Práctica Pedagógica, se logró conformar un grupo de estudio con la directora y
79
la asesora de la investigación; esto favoreció la formación recibida al ser más
personalizada. El lema que caracterizó a este grupo fue “aprender a investigar
investigando”, por lo tanto, la formación que se recibió fue la más apropiada.
Además, la Universidad del Cauca formalizó el convenio con la Escuela Normal
Superior de Popayán, esto facilitó la intervención pues la institución asumió su
compromiso al permitir asistir a la institución para hacer la respectiva investigación.
Finalmente, a manera de recomendación es importante que el número de créditos
dados a la tercera unidad temática de Práctica Pedagógica, en la cual se lleva a cabo la
intervención, sea mayor; puesto que preparar clase, diseñar talleres y evaluaciones, y
posteriormente revisarlos y calificarlos, requiere más tiempo del exigido para esta fase.
Además, en esta etapa todavía no se ha terminado de ver los cursos del plan de estudio.
Asimismo, es importante mantener el acompañamiento de dos asesoras durante este
proceso, una en la parte pedagógica y otra en la parte disciplinar, como sucedió en este
caso. Y por último, se debe dar flexibilidad para cambiar los horarios de los cursos básicos,
puesto que en ocasiones se cruza con el horario de la intervención en la institución
educativa.
80
2.3 Aportes al proceso de enseñanza y aprendizaje de la disciplina
Actualmente en la ENSP, la enseñanza de las matemáticas se ha venido
desarrollando de manera transmisionista. Hasta ahora, el éxito o fracaso en el área de
matemáticas depende de la facilidad que se le presente al estudiante para memorizar
fórmulas y algoritmos.
Esta intervención les dio la oportunidad a los estudiantes de once A de la ENSP de
conocer otra estrategia de enseñanza y aprendizaje. Por medio de la resolución de
situaciones problema, los estudiantes tuvieron la posibilidad de aprender un tema de
matemáticas específico usando otra metodología.
A partir de una situación problema el maestro de matemáticas induce a los
estudiantes a la construcción de su conocimiento, permitiendo, que el estudiante sea
responsable de su proceso de formación, que su interés hacia esta área sea mucho mayor y
que participe activamente en el aula de clase. Esto debido a que, el estudiante al momento
de resolver un problema tiene el espacio y tiempo para interactuar con sus compañeros,
asimismo, puede dirigirse a su maestro y por medio de preguntas y respuestas construir sus
propias definiciones. Al finalizar cada sesión, se llevó a cabo la institucionalización de los
conocimientos, es decir se formalizaron los conceptos matemáticos, para de esta forma
aclarar lo que todavía era confuso, reafirmar lo aprendido y tener la teoría necesaria para
repasar en otros espacios, por ejemplo, al estudiar en su casa. Por otro lado, los ejercicios
no se descartan completamente, las situaciones problema cobran valor al momento de
empezar el tema, pero después se puede trabajar con ejercicios, excluyendo aquellos
repetitivos y mecánicos.
81
Asimismo, es ventajoso utilizar programas matemáticos en las clases, puesto que el
uso de éstos abre un mundo de posibilidades. El estudiante lo explora, identifica patrones y
relaciona lo que entiende con sus conceptos matemáticos. De esta forma fue posible
introducir importantes conceptos haciendo uso de otra metodología. Los estudiantes
debieron recurrir a sus conocimientos previos y de manera progresiva construir la
respuesta.
El modelo pedagógico constructivista permite la participación activa del estudiante,
convirtiendo el aula de clase en un espacio de interacción entre estudiantes, con el
profesor, el director de curso, la directora y asesora presentes en el aula. Los estudiantes
tuvieron la oportunidad de contar con tres licenciados en formación y dos Licenciados en
Matemáticas durante el desarrollo de la clase. Esto cambió completamente la manera de
enseñar un tema de matemáticas.
La enseñanza de un tema como lo es la definición de Función matemática, es una
responsabilidad muy grande para el maestro, los estudiantes deben identificar variables,
conjuntos, hacer gráficas, aprender criterios como el criterio de la recta vertical, manejar
nuevas notaciones que en ocasiones no les dice nada. De ahí que antes de que los
estudiantes se enfrenten a funciones de valores reales, es importante que a través de
situaciones problemas relacionados con la vida cotidiana asimilen este concepto. De esta
forma, como Ausbel afirma avancen a mayores niveles de aprendizaje.
La intuición es un aspecto que en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en
muchas ocasiones no se tiene en cuenta, los estudiantes consideran que el rigor de las
matemáticas elimina sus procesos intuitivos, sin embargo, a diario hacen uso de esta, por
82
ejemplo, cuando un estudiantes se anticipa a la respuesta, propone nuevos caminos que
aunque se les dificulta explicar su validez para él es completamente cierto.
83
2.4 Incidencia y/o aportes al proceso formativo de licenciados en matemáticas
Un egresado del programa de Licenciatura en matemáticas debe ser un profesional
“con una formación que integra las matemáticas, su pedagogía, y su componente socio-
humanística, la cual pondrá al servicio de la comunidad donde se desempeña”13
En el
proceso de Práctica Pedagógica al ser necesario intervenir en una institución Educativa, en
este caso la Escuela Normal Superior de Popayán, permite vivir un ejercicio de docencia
donde se coloca en juego los conocimientos adquiridos a lo largo de la formación
disciplinar, pero sobre todo, la formación pedagógica recibida en los cursos del núcleo de
Educación Matemática. A pesar de esto, hoy en día los estudiantes son cada vez más
espontáneos, activos y sorprendentes; no guardan sus dudas, inquietudes y preocupaciones,
por lo tanto, nunca se estará lo suficientemente preparado. De ahí que, enfrentarse a este
tipo de situaciones permite adquirir mayor madurez, seguridad y compromiso con la
formación continua, quedando en la mente de un Licenciado en Matemáticas el propósito
de nunca dejar de prepararse.
13 Registro calificado, CONDICIONES DE CALIDAD PROGRAMA LICENCIATURA EN
MATEMÁTICAS 2010, p. 55
84
Para la intervención fue necesario elaborar un plan de acción. Este aprendizaje es
muy importante para un Licenciado en formación, puesto que cuando llegue el momento
de desempeñarse como profesional, tendrá en cuenta la elaboración de dicho plan, en
donde se especifiquen los temas que se desarrollarán, el número de sesiones necesarias, las
actividades, los objetivos, la metodología, los recursos, el tiempo que se empleará y las
observaciones correspondientes al finalizar cada sesión. De esta forma, el maestro actuará
de manera más segura pero los realmente beneficiados serán los estudiantes.
El trabajo en el aula de clase a través de las situaciones problema, implicó, una
labor delicada de planeación por parte del profesor y un proceso de seguimiento detallado
del trabajo de los estudiantes con el fin de lograr aprendizajes significativos. El papel del
profesor se redimensionó, porque pasó de ser la persona que enseña a aquella que propicia
y conduce situaciones de aprendizaje en sus estudiantes.
La intervención implicó además, la preparación de cada una de las clases, la
elaboración de guías, el diseño de talleres y aplicación de evaluaciones. Esto hace que un
Licenciado en formación cambie la idea de que “para enseñar matemáticas sólo se necesita
saber matemáticas”, puesto que aunque conocer ampliamente la disciplina es importante,
tener claro los momentos claves en la intervención; la mejor forma de dar a entender un
tema y los errores que no se deben cometer, también es necesario saberlo. De esta forma,
se tuvo en cuenta el tiempo que debían invertir resolviendo un taller, socializando las
respuestas y finalmente institucionalizando los saberes por parte del maestro. Asimismo, se
hizo un ejercicio de búsqueda de situaciones problema, las cuales no son tan fáciles de
encontrar, sin embargo, el maestro también puede diseñarlas. Esto cambió la forma de
85
intervenir en el aula de clase, puesto que los estudiantes no estaban esperando los
ejercicios, sino los problemas, que les exigían mayor concentración.
Es importante para un licenciado en matemáticas en formación analizar los
resultados que se obtiene cuando se interviene usando un modelo distinto al tradicional.
Para introducir a los estudiantes al tema, se utilizó el software como herramienta
didáctica, es decir, el medio que facilita la enseñanza y el aprendizaje de algún concepto en
el aula de clase. Esto permitió que construyeran varios conceptos en una sola sesión, los
cuales fueron reforzados en las sesiones siguientes y de manera mucho más sencilla, pues
de alguna forma ya lo habían interiorizado.
Contar con la presencia de las asesoras del proceso de práctica pedagógica, del
director de curso y de los demás licenciados en formación, generó presión puesto que
además de su presencia las clases fueron grabadas para luego ser analizadas y discutidas
con cada uno de los futuros licenciados. Esto generó mayor compromiso en la preparación
de las clases y en la intervención.
Además, el licenciado en formación tuvo la oportunidad de realizar registros de
observación, entrevistas y llevar un diario de campo, esto permitió que ganara más
confianza con sus estudiantes, conociera las opiniones que tenían, comprendiera el nivel de
dificultad o confusión que presentaban en el tema. Esto fortaleció la comunicación entre el
maestro y los estudiantes, puesto es importante hacer las modificaciones en la metodología
86
durante el proceso y no al final cuando los estudiantes han perdido el área de matemáticas
y se ven obligados a recurrir a profesores particulares para no perder el año.
Por otro lado, un licenciado en matemáticas, también debe ser “capaz de promover,
formular y desarrollar proyectos de investigación desde el aula”14
. En el proceso de
práctica pedagógica se desarrolló un ejercicio de investigación. Esto permitió conocer los
paradigmas existentes sobre investigación, trabajar con la investigación cualitativa y
conocer el método etnográfico debido a que el objetivo era describir e interpretar el
comportamiento de un grupo de estudiantes. Gracias a esto el licenciado en formación es
“capaz de comprometerse con proyectos de investigación relacionados con su saber”15
al
momento de desempeñarse como profesional. Asimismo, entender que es importante que
el problema acordado no incluya demasiadas categorías teóricas. Esto debido a que,
cuando el problema no se delimita lo máximo posible se va a requerir mayor esfuerzo de
parte del investigador, al tener más aspectos que indagar. Además, el problema se puede
plantear a través de una pregunta. Dicha pregunta debe tener como fin producir
conocimiento, para que de esta forma genere interés en cuanto a la inversión de tiempo,
14 Registro calificado, CONDICIONES DE CALIDAD PROGRAMA LICENCIATURA EN
MATEMÁTICAS 2010, p. 55
15 Registro calificado, CONDICIONES DE CALIDAD PROGRAMA LICENCIATURA EN
MATEMÁTICAS 2010, p. 55
87
recursos y esfuerzos. También es importante especificar el contexto donde se desarrollará y
se procurará el cumplimento de los objetivos planteados, pues la teoría con la práctica
siempre deben ir de la mano. De esta forma se evitará crear un proyecto muy ambicioso
teóricamente pero difícil de contrastarlo con la realidad.
Esto permitió que el licenciado en formación se volviera más atento, observador,
analista e indagador. Para ello fue importante estar en continuo diálogo con los estudiantes,
con el director de curso y con las asesoras de la investigación. También se logró hacer un
ejercicio de análisis de resultados, que diera validez a alguna estrategia didáctica, en este
caso el uso de situaciones problema para la enseñanza y el aprendizaje de un tema
específico: la definición de función matemática. Dicha estrategia incluyó el uso de la
intuición en el aula de clase, llegando a la conclusión de que los estudiantes continuamente
recurren a su intuición, por esta razón, si se conoce más sobre ella se puede promover en el
aula de clase, facilitando la comprensión de algunos temas matemáticos y evitando los
errores que a diario cometen, pues para ellos tales errores tienen validez dentro de la lógica
que manejan.
Finalmente, el proceso de práctica pedagógica es la mejor forma de poner a prueba
no sólo los conocimientos en la disciplina sino la vocación del licenciado en formación. En
este proceso, se recibió una fundamentación teórica sobre investigación, se recibió
formación sobre elaboración de un proyecto de investigación, se ejecutó y se desarrollo un
ejercicio de sistematización, todo esto con el objetivo de que un Licenciado en
Matemáticas sea “capaz de desarrollar y mantener una actitud de indagación, que
88
enriquecida con las teorías y modelos investigativos, permita la reflexión de la práctica
educativa y avance del conocimiento pedagógico y didáctico”.16
Además debido al trabajo
realizado durante este proceso se hizo una presentación en el evento organizado por la
Universidad del Cauca denominado “Primer Encuentro de Matemáticos” que se llevó a
cabo en Santander de Quilichao. Esto permitió conocer el trabajo de muchos maestros en
distintos colegios del Departamento del Cauca y además dar a conocer la experiencia en
investigación.
16 capaz de desarrollar y mantener una actitud de indagación, que enriquecida con las
teorías y modelos investigativos
89
3. SISTEMATIZACIÓN DE LA EXPERIENCIA OBTENIDA EN EL PROCESO
DE PRÁCTICA PEDAGOGÍCA INVESTIGACTIVA
Como afirma Rodríguez (2005) la matemática es una disciplina muy importante en
la formación de una persona, sin embargo, muchas personas consideran que no tienen las
aptitudes necesarias para aprenderlas, señalando que entender matemáticas no es para
todos. Por lo tanto el éxito en ellas depende de “algún talento con los números”, pero
asimismo, su nivel de complejidad y rigor las hace atractivas, como afirma una estudiante
“…desde pequeña siempre he tenido una facilidad con los números, se me hacen
interesantes, y además pues son hermosas, uno las puede escribir y demostrar eso es lo
que las hace interesante” (ver Anexos, Est.3).
Asimismo resaltan que la formación en matemáticas es progresiva, una mala
formación inicial producirá dificultades en el futuro, “si desde sexto a uno le dan unas
bases uno puede continuar con los temas más avanzados fácil, si uno tiene buenas bases se
le hace lo difícil fácil” (ver Anexos, Est.1). Además, algunos estudiantes la consideran
como una disciplina de mayor exigencia “me parecen interesantes, más divertidas, uno no
es sólo quedarse en escribir como español sino que uno tiene que ir más allá de quedarse
pensando solo en la idea, tiene que utilizar la idea de otros que ya han pensado cosas o
bases, utilizar lo de ellos y lo de uno, el intelecto de uno para poder avanzar digamos en
los procesos matemáticos” (ver Anexos, Est.1)
90
Otros estudiantes, relacionan las matemáticas con el nivel de exigencia asumido por
el colegio. Para otros su interés por las matemáticas se debe a la influencia del profesor que
enseña esta área “…pues es que al principio en octavo no porque me daba otro
profesor…pero yo nunca a él le entendí, pero sin embargo mi papá me explicaba y uno iba
a ver y era muy fácil, ya en noveno cuando él me vino a dar ya me motivé mucho y me
gustaron… y ya en décimo y once las matemáticas con él me gustaron mucho” (ver
Anexos, Est.3)
Otros afirman que su gusto por ellas se debe a que es una disciplina de rigor
científico, “las ciencias exactas siempre me han llamado la atención, me han gustado y me
relaciono más con ellas que con humanidades” (ver Anexos, Est.2)
Cualquier tema de matemáticas es visto por los estudiantes como un reto, algunos
afirman tener facilidad para asumirlo, a otros les cuesta más, sin embargo, todos reciben la
misma formación en dicho tema. Por lo tanto, en la enseñanza de la definición de función
se colocó en juego otros factores como el uso de la intuición, software matemático y sobre
todo situaciones problema como herramienta didáctica. Para que de esta forma cada
estudiante tuviera la oportunidad de enfrentarse al problema sin antes recibir indicaciones
para hacerlo. En ellos recaía la responsabilidad de su formación en este tema de
matemáticas.
91
El software matemático “la máquina de funciones”17
, se utilizó para introducirlos a
este nuevo tema, los estudiantes comprendieron que el comportamiento de la máquina es
equivalente a una función matemática. Así mismo, por medio de este software, los
estudiantes identificaron que los elementos de entrada correspondían a la variable
independiente que conformaba el dominio de la función y que los elementos de llegada
correspondían a la variable dependiente que conformaban el codominio. Esta asimilación
les permitió construir la definición de función matemática como una relación que debía
cumplir dos requisitos, “una relación es una función si todos los elementos del dominio
tienen una y sólo una imagen” (ver Anexos, Est.1). Es necesario resaltar que los
estudiantes llegaron a dicha definición gracias a las respuestas dadas a sus propios
interrogantes. En este aspecto, intervine como mediadora para que los estudiantes no se
confundieran o se desviaran del objetivo, puesto que en ocasiones querían hacer uso de
todos sus conocimientos matemáticos que se salían del propósito de la sesión, los
estudiantes se preocupaban por buscar las fórmulas que representaban las funciones.
Algunas de ellas conducían a formulas muy importantes que tenían que ver con sucesiones
matemáticas. En estos casos les planteaba nuevos interrogantes y ellos mismos aclaraban
sus dudas, y reafirmaban sus aciertos.
17 http://nlvm.usu.edu/es/nav/topic_t_2.html
92
Debido a que los estudiantes vieron en el software dos columnas, una para los
elementos de entrada y otros para los elementos de salida, cuando se enfrentaban a un
problema recurrieron en muchas ocasiones a los diagramas de Ven y a las columnas, esto
les ayudaba en un comienzo a identificar las variables, y posteriormente el dominio y
codominio de la función.
Por otra parte, el uso de gráficas en ocasiones les causó dificultades sobre todo al
tratarse de variables discretas conformada sólo por puntos, los estudiantes tienden a trazar
de manera continua una línea que una todos los puntos y esto hace que cometan errores.
(Ver anexos, Registro escrito No.3, Est.1). Así mismo aprendieron el criterio de la recta
vertical para determinar cuándo una gráfica representaba una función.
Como afirma Mercado (1991) planear “no es la solución de sub-problemas sino la
reducción global de todos en forma coherente” por tal motivo, los estudiantes para dar
respuesta a los problemas recurrieron a la identificación de las variables independiente y
dependiente, y su correspondencia con el dominio y codominio respectivamente. Esto con
el objetivo de darse cuenta si estaban trabajando con una función, de esta forma
descartaban las relaciones que no eran funciones cuando no satisfacían las condiciones
dadas. Asimismo, los estudiantes al planear su respuesta ahorraban tiempo y adquirían
mayor seguridad como afirma un estudiante “pues como estamos trabajando funciones
entonces yo dije no pues tiene que ser una función, si la pongo acá estatura /señalando el
dominio/ y acá personas /señalando el codominio/ no era función entonces la explicación
que había…pues que tocaba dar no concordaba con lo que yo había hecho” (ver Anexos,
93
Est.1) Asimismo, el estudiante diseña un plan de resolución como expresa una estudiante
“para resolverlo uno debe llevar una secuencia de lo que uno quiere hacer porque las
matemáticas es de demostrar y eso implica un pensamiento lógico y meterse en lo que es
las matemáticas” (ver Anexos, Est.4)
Por otra parte, los estudiantes al resolver situaciones problema se involucran más en
la construcción de su conocimiento como manifiesta una estudiante “si uno no practica
desarrollo de procesos, no consigue aprender matemáticas” (ver Anexos, Est.2) Además,
la resolución de situaciones problema permite que el estudiante se involucre con el
problema, evitando con esto distracciones. Cuando el estudiante tiene total interés de
resolverlo, coloca en juego sus conocimientos matemáticos, intuición e inteligencia “para
aprender matemáticas se necesita es ganas, ganas y ponerle empeño y pues también
colocarle coherencia a las cosas…” (Ver Anexos, Est.1). Una situación problema requiere
la concentración del estudiante, elemento importante destacado por ellos mismos, “para
aprender matemáticas tal vez se necesita mucha concentración, eso sí porque yo a ratos se
despistarme un ratico entonces ya me pierdo y como que quedó ahí, entonces ante todo la
concentración”. (Ver Anexo, Est.5). Además, trabajar con situaciones problema para
abordar un tema de matemáticas permite que el estudiante cambie su actitud hacia las
matemáticas y le dé valor a su opinión y forma de resolver un problema, puesto que para
aprender matemáticas se necesita que el estudiante se enfrente a problemas matemáticos,
además de los ejercicios puesto que en ocasiones tienden a pensar que saber matemáticas
es resolver muchos ejercicios de manera mecánica “los temas de matemáticas me parecen
fáciles, sí, son fáciles sino que pues digo que yo necesito práctica porque si yo pongo harta
94
atención yo entiendo rápido, sino que es más que todo la práctica y nada más, sólo
práctica” (Ver Anexos, Est.3)
Por otra parte, los estudiantes no niegan la dificultad que a veces tienen para
aprender matemáticas, sin embargo, si tienen voluntad para aprender los temas se facilita
mucho este proceso “unos temas de matemáticas son complicados, pero todos necesitan
estar ahí pendientes, sí, estar ahí en la jugada, estar repasando, estudiando” (Ver Anexos,
Est.2) Así mismo, es más significativo para un estudiante resolver problemas cuando estos
no son mecánicos, es decir, cuando se salen de la aplicación directa de la fórmula “cuando
resuelvo estos problemas siento que aprendo más, pues a veces cuando hacía los otros
ejercicios a mí se me olvidaba rápido y en el examen me iba mal” (Ver Anexos, Est.1)
De ahí que el uso de la resolución de situaciones problema como herramienta
pedagógica es una estrategia muy favorable para enseñar una disciplina tan estigmatizada
como las matemáticas. De esta forma, los estudiantes participan en su formación,
interactúan más con el maestro encargado de orientar este curso y además, comparten con
sus compañeros, ya que entre todos se colaboran, plantean interrogantes a los cuales ellos
mismos les dan respuesta. Además, el maestro no es el único que tiene la palabra, en
ocasiones cuando caen en cuenta de sus errores, entre ellos se corrigen.
Además, tener en cuenta la intuición en la enseñanza y aprendizaje de un tema de
matemáticas permite que el estudiante se re-contextualice a lo requerido por el problema.
En ocasiones se olvidan lo que estaban resolviendo, empiezan a trabajar con variables,
95
notaciones, gráficas y sólo cuando se les pregunta lo que están buscando se acuerdan del
enunciando del problema. “Qué decía el problema…ahhh ya, entonces no se trazaría la
línea, pero entonces qué iría, ¿sólo puntos?” (Ver Anexos, Est.4) En estos casos, sus
respuestas no son correctas según los conceptos matemáticos, es ahí donde entra en juego
el uso de la intuición gracias a la intervención del profesor. Como las respuestas deben
guardar coherencia con la pregunta, entonces se puede trabajar en este aspecto con los
estudiantes, para que de esta forma, no dejen de lado el contexto donde se están
desenvolviendo, y así mismo la respuesta se encuentre dentro de éste. Sin embargo, la
intuición también puede generar conflictos cognitivos, es decir, una discrepancia entre los
conocimientos previos y los nuevos conocimientos, puesto que al abordarse situaciones
que tienen que ver con la vida cotidiana, ellos tienen en cuenta numerables factores, que
los confunden y que les puede generar dificultades, como por ejemplo, casos hipotéticos,
variables que no son consideradas por el maestro, pero que ellos al resolverlas las tienen en
cuenta, esto hace que el maestro de matemáticas tenga que manejar con más situaciones
que las que abordaría al hacer uso de ejercicios.
Además el tiempo que se requiere para abordarlas es mucho mayor, puesto que una
situación problema no implica la aplicación directa de los conocimientos que se han
abordado anteriormente. Por esta razón, el estudiante no sabe cómo enfrentarse a él, pues
no tiene a la mano los conocimientos que debe aplicar de manera inmediata, sin embargo,
está en condiciones de resolverlo. De igual forma, es muy fructífero utilizar situaciones
problema para inducir a los estudiantes a un tema nuevo, ya que están libres de prejuicios,
96
al no tener los conocimientos del tema que se desea enseñar, de esta forma su intuición
juega un papel importante.
Es importante resaltar que es responsabilidad del maestro motivar la participación
de los estudiantes, para que de esta forma tengan mayor disposición en la clase, igualmente
tener cuidado de que no se desvíen del objetivo. Por lo tanto, es conveniente diseñar un
plan de acción para que de esta forma, el maestro tenga un camino delimitado por el cual
seguir y así no sentirse perdido o confundido en el aula de clase. Sin embargo, es muy
importante, tener claro, que dicho plan de acción es flexible, el aula de clase es una “caja
de sorpresas”, nunca se sabe a ciencia cierta los interrogantes y respuestas que se les
puedan ocurrir a los estudiantes, cuando se potencia el espíritu de la imaginación, la
intuición y la creatividad, la clase no será nunca monótona.
97
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101
ANEXOS
Anexo 1. Ubicación geográfica de la Escuela Normal Superior de Popayán
102
Anexo 2. Instalaciones de la Escuela Normal Superior de Popayán
Anexo 3. Grado Once A, año lectivo 2010
103
Anexo 4. Registro del software utilizado en la sesión 21 de mayo de 2010
Anexo 5. Participación de los estudiantes del grado once A, primera sesión, 21 de
mayo de 2010
104
Anexo 6. Definición de función dada por los estudiantes.
Anexo 7. Participación de los estudiantes durante la primera sesión, propuesta de
nuevas funciones.
105
Anexo 8. Forma de planeación de los estudiantes, problema 1, sesión del 1 de junio de
2010
Anexo 9. Algunas palabras en los enunciados determinan la manera como los
estudiantes planean la resolución
106
Anexo 10. La mayoría de estudiantes trazaron de manera continua la recta, pues
están acostumbrados a este tipo de representación.
Anexo 11. Estudiantes compartiendo sus respuestas, 1 de junio de 2010
Anexo 12. Estudiantes presentando el taller individual, 25 de junio de 2010
107
Anexo 13. Estudiante explicando sus respuestas en el tablero.
Anexo 14. Evidencias de registro de entrevistas de los estudiantes del grupo
participante.
EST.1
“ahhh, el número que entra en la máquina es la variable independiente y el
que sale es la dependiente” (ver Registro de entrevista No. 1, 21 de mayo de 2010)
“como estábamos empezando lo de funciones entonces no tenía bien como
fortalecido el concepto de dominio y codominio entonces se me hacía más fácil
dominio y codominio /señalando el diagrama/ para entenderlo y no enredarme”
(Registro de entrevista No.2, 6 de junio de 2010)
“…es que ya iba hartos ejercicios y se me estaba haciendo tarde pero también
porque ya estaba cogiéndole práctica…ya no solo el dibujito en la hoja sino que ya iba
uno solito”. (Registro de entrevista No 3.)
“si desde sexto a uno le dan unas bases uno puede continuar con los temas
más avanzados fácil, si uno tiene buenas bases se le hace lo difícil fácil” (Registro de
entrevista 4, 12 de junio de 2010)
“pues como estamos trabajando funciones entonces yo dije no pues tiene que
ser una función, si la pongo acá estatura /señalando el dominio/ y acá personas
/señalando el dominio/ no era función entonces la explicación que había…pues que
tocaba dar no concordaba con lo que yo había hecho” (Registro de entrevista 5, 11 de
junio de 2010)
“para aprender matemáticas se necesita es ganas, ganas y ponerle empeño y
pues también colocarle coherencia a las cosas…” (Registro de entrevista 6, 28 de mayo
108
de 2012)
“Sí es una función porque cada valor del eje le corresponde uno y solo un
valor en el eje ” (Registro escrito No.1.)
“no pensé que estas situaciones se consideraran funciones, pero ¿con números
es igual?” (Registro de entrevista 7, 28 de mayo de 2010)
“cuando resuelvo estos problemas siento que aprendo más, pues a veces
cuando hacía los otros ejercicios a mí se me olvidaba rápido y en el examen me iba
mal” (Registro de entrevista 14, 4 de junio de 2010)
EST.2
“¿entonces la máquina es la función?” (Registro de entrevista No. 7, 21 de
mayo de 2012).
“¿Por qué cambiaste la palabra “una” por “cada”? Una por cada…espere
yo miro, no recuerdo (lee lo escrito en su hoja) ahhh porque si decía “una” solo era
del dominio, y al leerla se interpretaba que solo una…digamos al codominio sólo le
pertenecería una sola imagen pero si decía… “estatura de cada persona” podrían ser
dos, entonces ahí creo que surgió el primer interrogante ¿por qué…un elemento del
dominio no podía tener dos imágenes al mismo tiempo?...creo que de ahí fue que saqué
ese interrogante...cuando colocaba “una persona” era solamente un valor de la
variable… entonces decía “estatura de cada persona” si era de “cada” o sea de
“cada una”, o sea aquí /señalando el dominio/ no solo iba dar un elemento, aquí iba a
dar muchos, entonces a cada uno le tendría que corresponder una imagen ” (Registro
fotográfico No 8, Registro de entrevista No. 7, 10 de junio de 2010 )
“las ciencias exactas siempre me han llamado la atención, me han gustado y
me relaciono más con ellas que con humanidades” (Registro de entrevista No 9, 23 de
junio de 2010)
“si uno no practica desarrollo de procesos, no consigue aprender
matemáticas” (Registro de entrevista No 10, 23 de junio de 2010)
“Unos temas de matemáticas son complicados, pero todos necesitan estar ahí
pendientes, sí, estar ahí en la jugada, estar repasando, estudiando” (Registro de
entrevista 11, 21 de mayo de 2010)
“La anterior gráfica sí representa una función porque la pendiente o recta
solo intersecta en un punto al eje . Por ende para un valor de solo habrá una y solo
una imagen de ” (Registro escrito No.2)
EST.3
“me parecen interesantes, más divertidas, uno no es sólo quedarse en escribir
como español sino que uno tiene que ir más allá de quedarse pensando solo en la idea,
tiene que utilizar la idea de otros que ya han pensado cosas o bases, utilizar lo de ellos
y lo de uno, el intelecto de uno para poder avanzar digamos en los procesos
matemáticos” (Registro de entrevista 13, 6 de junio de 2010
“…pues es que al principio en octavo no porque me daba un profesor, el
profesor Cuellar, pero yo nunca a él le entendí, pero sin embargo mi papá me
explicaba y uno iba a ver y era muy fácil, ya en noveno cuando él me vino a dar ya me
motivé mucho y me gustaron… y ya en décimo y once las matemáticas con él me
109
gustaron mucho” (Registro de entrevista 14,16 de junio de 2010)
“los temas de matemáticas me parecen fáciles, sí, son fáciles sino que pues
digo que yo necesito práctica porque si yo pongo harta atención yo entiendo rápido,
sino que es más que todo la práctica y nada más, sólo práctica” (Registro de
entrevista No 15,18 de junio de 2010)
EST.4
“…desde pequeña siempre he tenido una facilidad con los números, se me
hacen interesantes, y además pues son hermosas, uno las puede escribir y demostrar
eso es lo que las hace interesante” (Registro de entrevista 17, 8 de junio de 2010).
“para resolverlo uno debe llevar una secuencia de lo que uno quiere hacer
porque las matemáticas es de demostrar y eso implica un pensamiento lógico y meterse
en lo que es las matemáticas” (Registro de entrevista 18, 8 de junio)
“la anterior gráfica sí representa una función porque la pendiente o recta solo
intersecta en un punto al eje. Por ende para un valor de x solo habrá una y solo una
imagen de y” (Registro de entrevista 19, 26 de junio de 2010)
“Todo se explica porque por ella se realiza un corte que no toca otra línea”
(Registro de entrevista 3, 28 mayo de 2010)
“Qué decía el problema…ahhh ya, entonces no se trazaría la línea, pero
entonces qué iría, ¿sólo puntos?” (Registro de entrevista 7, 4 de junio de 2010)
EST.5
“Pues me puse, yo siempre empiezo a dibujar, empiezo como a ponerle
lógica…entonces empiezo a unir líneas, entonces es como si tiene imagen en el dominio
y codominio, y si se le ve la lógica, entonces ya empiezo a resolverlos, sí, primero que
todo el óvalo, entonces el dominio y el codominio, y voy viendo que sea más o menos”
(Registro de entrevista No. 20, 8 de junio de 2010)
“…en mi otro colegio era como que teoría y te daban los ejercicios y resuelva,
pero no te los explicaban, no te daban nuevas formas de…o sea, formas de
comprobarlo, formas de hacerlo, o sea sí, todo era como muy mecánico y como que no
tenía la oportunidad de experimentarlo” (Registro de entrevista 21, 11 de junio de
2010)
“yo soy de otro colegio, yo venía de la Normal de Belalcazar, entonces como
que no es la misma exigencia, o sea acá te exigen ya más, te ponen en serio como hacer
las cosas, en cambio en mi otro colegio era como que teoría y te daban los ejercicios y
resuelva, pero no te los explicaban, no te daban nuevas formas de…o sea, formas de
comprobarlo, formas de hacerlo, o sea sí, todo era como muy mecánico y como que no
tenía la oportunidad de experimentarlo” (Registro de entrevista 21, 18 de junio de
2010)
“para aprender matemáticas tal vez se necesita mucha concentración, eso sí
porque yo a ratos se despistarme un ratico entonces ya me pierdo y como que quedó
ahí, entonces ante todo la concentración”. (Registro de entrevista 23, 4 de junio de
2010)
110
Anexo 15. Plan de Acción
Número 1 FECHA: 21 de Mayo de 2010
Tema
Actividad
Objetivo
Metodología
Recursos
Tiempo
Observación
Variables
dependie
ntes e
independ
ientes
Ejercicios
mediante el uso
de software
Identificar la
diferencia entre
variables
dependientes e
independientes.
Mediante el uso de un
Software se resuelve
algunos ejercicios sobre
función.
Cada vez que se coloque
un ejercicio se da cinco
minutos para que los
estudiantes escriban el
procedimiento y la
respuesta obtenida en una
hoja.
Posteriormente los
estudiantes que deseen
compartir su respuesta
salen, la escriben, y
explican en el tablero el
procedimiento empleado.
Así los demás determinan
si es una manera correcta
de resolver el ejercicio.
1. Humanos:
docente y
estudiantes.
2. Materiales:
Papel, lápiz, hojas,
borradores, tablero,
marcadores, video
beam, portatil
3. Financieros:
2 marcadores
a $1500
Total: $3000.
Transporte
desplazamien
to a la
institución
$2600
37hojas de
cuadernillo a
$100 c/u.
Total $3700
2 horas
Si los estudiantes
utilizan más
tiempo del
acordado se
dedicará otra
sesión para la
socialización.
Se deben
entregar las
alternativas de
solución dadas
por los
diferentes
estudiantes.
111
Número 2 FECHA: 1 de Junio de 2010
Tema Actividad Objetivo Metodología Recursos Tiempo Observación
Variable
continua y
discreta.
Dominio,
Codomini
o y rango
de una
función
matemátic
a
Taller
Analizar las
manifestaciones
intuitivas que presentan
los estudiantes en la
identificación del
dominio, codominio y
rango de una función.
Asimismo, la forma
como resuelven
geométricamente algún
problema.
1. Asignar 3 situaciones
problema para trabajar en
grupos de 3 estudiantes
en clase.
2. Los estudiantes,
solucionan las
situaciones problemas
asignadas.
3. Los estudiantes
comparten la actividad
realizada.
4. Con los estudiantes se
evalúa la actividad
realizada (coevaluación).
1. Humanos:
docente y
estudiantes.
2. Materiales:
Papel, lápiz, hojas,
borradores, tablero
y marcadores.
3. Financieros:
2 marcadores
a $1500 c/u.
Total: $3000.
Transporte,
desplazamien
to a la
institución
$2600.
37 hojas de
cuadernillo a
$100 c/u.
Total $3700.
2 horas
Si los estudiantes
utilizan más
tiempo del
acordado se
dedicará otra
sesión para la
socialización.
Se deben
entregar las
alternativas de
solución dadas
por los diferentes
estudiantes.
Número 3 FECHA: 4 de Junio de 2010
Tema Actividad Objetivo Metodología Recursos Tiempo Observación
Todos
los
anterio
res
Taller
individual
.
Identificar la manera
como cada estudiante
resuelve algún
problema relacionado
con los temas
1. Asignar situaciones
problema para trabajar de
manera individual.
2. Los estudiantes,
solucionan las
1. Humanos:
docente y
estudiantes.
2. Materiales:
Papel, lápiz, hojas,
2 horas Los
estudiantes
no pueden
hacer uso de
su cuaderno
112
estudiados. situaciones problemas
asignadas.
borradores, tablero
y marcadores.
3. Financieros:
2 marcadores
a $1500 c/u.
Total: $3000.
Transporte
desplazamien
to a la
institución
$2600
37 hojas de
cuadernillo a
$100 c/u.
Total $3700
ni de sus
apuntes.
Tampoco
pueden
compartir las
respuestas
entre ellos.
Está
permitido
preguntar
cualquier
duda al
profesor de la
PPI.
Número 4 FECHA: 8 de Junio de 2010
Tema Actividad Objetivo Metodología Recursos Tiempo Observación
Clases de
funciones:
inyectivas
,
sobreyecti
vas y
biyectivas
.
Taller Identificar la
diferencia entre las
funciones inyectivas,
sobreyectivas y
biyectivas.
1. Se devuelve el taller
realizado en la primera
clase.
2. Los estudiantes,
identifican las
diferencias que presentan
las diferentes funciones.
3. A medida que vayan
identificando las
características
principales se formaliza
las correspondientes
definiciones.
1. Humanos: docente y
estudiantes.
2. Materiales: Papel,
lápiz, hojas utilizadas
en la primera clase,
borradores, tablero y
marcadores.
3. Financiero:
2 marcadores a
$1500 Total:
$3000.
Transporte
desplazamien
2 horas Entre todos
los
estudiantes se
identifican las
característica
s principales.
Las dudas
manifestadas
pueden ser
respondidas
por los
mismos
compañeros.
113
4. Con los estudiantes se
evalúa la actividad
realizada (coevaluación).
to a la
institución
$2600.
Número 4 FECHA: 18 de Junio de 2010
Tema Actividad Objetivo Metodología Recursos Tiempo Observación
Clases
de
funcio
nes
Taller Reforzar lo abordado
en la anterior clase.
1. Asignar situaciones
problema para trabajar en
grupos de 3 estudiantes
en clase.
2. Los estudiantes,
solucionan las
situaciones problemas
asignadas.
3. Los estudiantes
comparten la actividad
realizada.
4. Con los estudiantes se
evalúa la actividad
realizada (coevaluación).
1. Humanos: docente
y estudiantes.
2. Materiales: Papel,
lápiz, hojas,
borradores, tablero y
marcadores.
3. Financieros:
2 marcadores a
$1500 Total:
$3000.
Transporte
desplazamiento a
la institución
$2600.
37 hojas de
cuadernillo a
$100 c/u.
Total $3700
3 horas Si los estudiantes
utilizan más
tiempo del
acordado se
dedicará otra
sesión para la
socialización.
Se deben
entregar las
alternativas de
solución dadas
por los diferentes
estudiantes.
114
Anexo 16. Talleres que se abordaron durante las sesiones
Universidad del Cauca - Escuela Normal
Superior de Popayán
Grado Once A
Taller
1 de junio de 2010
“Enfrentarse, siempre enfrentarse, es el modo de resolver el problema.” Joseph Conrad
Lea cuidadosamente cada uno de los siguientes problemas, escribiendo de manera clara el proceso de
resolución.
1. ¿El precio de un bolígrafo en la papelería cercana es de $700, cual es el valor de 3, 4, 5, 6 y 7 bolígrafos?
¿Se pueden graficar los resultados obtenidos en el punto anterior? ¿Si se puede graficar qué resultado se
obtiene?
2. ¿Se quiere comprar papas a 1000 el kilo, cuál es el precio de 1, 1.5, 2, 2.7, 5, 5.7 y 7 kilos? ¿Se pueden
graficar los resultados obtenidos en el punto anterior? ¿Si se puede graficar que resultado se obtiene?
¿Qué significa que algo cambie?
Si se pueden realizar las gráficas que representen, o ilustren las situaciones anteriores
¿encuentra alguna diferencia entre dichas gráficas?
3. Indica cuál de las dos gráficas representa una función
4. Considere la correspondencia entre el perímetro de un cuadrado y su lado. Si el lado varía como sigue
en centímetros: 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5 y 5
a) Elabore la tabla del perímetro con respecto al lado.
b) Halle la función de perímetro con respecto al lado a partir del punto anterior.
c) Elabore la gráfica del perímetro con respecto al lado
5. Realice un ejercicio similar al anterior, con los mismos datos de la variación de los lados, pero ahora
con respecto a su área.
115
Universidad del Cauca - Escuela Normal
Superior de Popayán
Grado Once A
Taller individual
4 de junio de 2010
1. Decida cuál de las siguientes expresiones representa una función, explicando cuidadosamente sus
razones.
Estatura de una persona
Precio de un artículo en el supermercado
Peso de un artículo
Edad de una persona
Pupitre en el cual un estudiante puede sentarse.
Materias y profesores por materia
2. Por el alquiler de un automóvil cobran $2000 por kilómetro recorrido. Si en la mañana se recorren 30
km, en la tarde 70 km y en la noche hasta antes del momento de devolverlo se recorren 55 km ¿qué
cantidad de dinero se debe pagar?
¿Se puede identificar las variables independientes y dependientes? Si es así, identifica cada
una.
¿Se puede graficar la anterior situación? si es así ¿Qué gráfica se obtiene y qué se puede decir
sobre las variables involucradas?
¿La anterior situación representa una función? Explica tus razones
Si es una función ¿se puede determinar el dominio, codominio y rango?
116
Universidad del Cauca - Escuela Normal
Superior de Popayán
Grado Once A
Taller
8 de junio de 2010
1. Se va a cercar un pedazo rectangular de tierra de forraje y se va a dividir en dos porciones iguales por medio
de un cercado adicional paralelo a dos lados. La porción de tierra tiene Exprese la cantidad de
cercado F en términos de la longitud x mostrada en la figura.
2. La ventana que se muestra en la figura tiene la forma de un rectángulo con un semicírculo en la parte
superior. Exprese el área A de la ventana como una función del ancho x indicado, si se sabe que el perímetro
de la ventana es 20m.
3. Determinar el dominio, rango y definir el codominio de las siguientes correspondencias para que sean
funciones, trazar la gráfica y clasificar cada una de ellas:
117
Universidad del Cauca - Escuela Normal
Superior de Popayán
Grado Once A
Taller individual
25 de junio de 2010
1. En una lámina de zinc el largo es igual a 1 cm más que el doble del ancho. Deduzca una
función f(x) que represente el área en términos del ancho.
2. Una persona de de altura camina hacia un farol de 15 m, como se muestra en la
figura. Exprese la longitud de su sombra como una función de su distancia x desde el farol.
3. Determinar el dominio de la siguiente correspondencia para que sea función, hallar el rango y
definir el codominio para su clasificación, y, trazar la gráfica:
4. Determinar si la siguiente función es inyectiva, sobreyectiva y biyectiva
118
Anexo 17. Guía sobre la clase de parábola, 9 de diciembre de 2010, grado
décimo.
CÓNICAS
LA PARÁBOLA
La parábola es una curva que tiene una gran importancia en Física y que se ajusta a la
descripción o a la representación matemática de muchos fenómenos. Sin embargo, en muchas
ocasiones no se es consciente de esto. Por esta razón, en esta guía se pretende estudiar su
definición matemática, propiedades y aplicaciones mediante la resolución de problemas. El tiempo
que se empleará es de cuatro (4) horas. El conocimiento se irá construyendo mediante preguntas
dirigidas a los estudiantes, quienes deberán participar activamente para poder lograr la
formalización de los conceptos matemáticos.
Situaciones cuya forma asemeja la representación gráfica de una parábola
Cuando un haz luminoso de forma cónica se
proyecta sobre una pared blanca de manera que
la pared sea paralela a la generatriz del cono.
Es lo mismo que ocurre cuando cortamos un
cono con un plano paralelo a cualquiera de las
generatrices.
¿Qué entiende por recta generatriz?
¿En términos matemáticos que es un cono?
¿Qué es una recta paralela?
Una de las propiedades más importantes de las
formas parabólicas es que cualquier rayo que incida
de forma paralela al eje de la parábola rebota en su
superficie pasando por el foco. La parábola sirve
para concentrar los rayos de luz en un punto, el
foco, en el caso de la cocina solar, o las radiaciones
electromagnéticas, en general, en las antenas
parabólicas. Pero también sirve, como en el caso
del faro de un coche, para conseguir que la luz que
sale del foco se concentre en un haz más o menos
cerrado.
1. Antena parabólica de
televisión
2. Antena para el
seguimiento de satélites
(Robledo de Chavela)
119
¿Qué es un plano?
¿Qué entiende por proyección?
¿Qué es un rayo?
¿Qué entiende por
foco?
¿Qué entiende por eje?
3. Cualquier cuerpo lanzado al aire de forma
oblicua u horizontal describe un movimiento
parabólico bajo la acción de la gravedad. Por
ejemplo es el caso de una pelota que se
desplaza rebotando.
4. 5. ¿Qué entiende por forma oblicua?
6. También, es caso de los chorros y las gotas de agua
que salen de los caños de las numerosas fuentes que
podemos encontrar en las ciudades. El
desplazamiento bajo la acción de la atracción
gravitatoria de la Tierra permite obtener bonitos
arcos parabólicos.
¿Qué entiende por arco parabólico?
Algunas definiciones de parábola…
Algunos términos son utilizados frecuentemente en el diario vivir, sin embargo dependiendo del
contexto puede tener diferentes significados. Este es el caso de la palabra parábola. Veamos
algunos de sus acepciones:
Es una transliteración de la palabra griega “PARABOLÉ”, la cual significa “poner al lado
de; lanzar ó tirar al lado de”. Como lo define el diccionario expositivo de palabras del Nuevo
Testamento Vine “Poner una cosa a la par de otra con vista a hacer una comparación”.
La voz parábola (del latín parabŏla, y este del griego παραβολή) designa una forma literaria
consistente en un relato figurado del cual, por analogía o semejanza, se deriva una enseñanza
relativa a un tema que no es el explícito. Es, en esencia, un relato simbólico o una
comparación basada en una observación verosímil. La parábola tiene un fin didáctico y
podemos encontrar un ejemplo de ella en los evangelios cristianos, donde Jesús narra muchas
parábolas como enseñanzas al pueblo.
120
Relato alegórico del que se desprende una enseñanza moral o una verdad importante: la
parábola del hijo pródigo.
Ahora sí, la definición matemática:
En matemática, la parábola (del griego παραβολή) es una sección cónica generada al cortar
un cono recto con un plano paralelo a la directriz. [1]
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos en el plano que equidistan de un
punto fijo (llamado foco de la parábola) y de una recta fija (llamada la directriz de la
parábola) que no contiene a .
¿Qué pasaría si el foco estuviera sobre la directriz?
¿Qué característica tiene el eje de la parábola?
¿Qué característica tiene el vértice de la parábola?
¿Cómo podríamos trazar una cuerda?
¿Qué característica tendría una cuerda focal?
121
¿Qué característica tiene el lado recto de la parábola?, según las respuestas a las preguntas
anteriores.
¿Cómo podríamos trazar un radio focal de un punto?
1. Ecuación de la parábola de vértice en el origen y eje un eje coordenado
La ecuación de una parábola toma su forma más simple cuando su vértice está en el
origen y su eje coincide con uno de los ejes coordenados.
¿Cuáles son las coordenadas del foco?
¿Cuál es la ecuación de la directriz?
¿Qué relación existe entre las distancias AP y PF?
¿Cuál es la expresión analítica para dicha relación?
¿Si despejamos Y qué relación existe entre P y X?
¿Qué entiende por simetría?
¿Existe alguna relación simétrica en esta gráfica y alguna otra gráfica respecto al eje Y?
¿Cuál es la longitud del lado recto?
Si el vértice de la parábola está en el origen y su eje coincide con el eje Y ¿Cuál sería la
ecuación de la parábola? Realiza el mismo análisis.
Las ecuaciones anteriormente determinadas se llaman a veces la primera ecuación ordinaria
de la parábola. Como son las ecuaciones más simples nos referimos a ellas como a las
formas canónicas.
Formalización de los conceptos
La ecuación de una parábola de vértice en el origen y eje el eje X es, en
donde el foco es el punto y la ecuación de la directriz es . Si , la parábola se
abre hacia la derecha, si , la parábola se abre hacia la izquierda.
Si el eje de una parábola coincide con el eje Y, y el vértice está en el origen, su ecuación
es en donde el foco es el punto y la ecuación de la directriz es P.
122
Si , la parábola se abre hacia arriba, si , la parábola se abre hacia abajo.
En cada caso la longitud del lado recto está dada por el valor absoluto de 4P, que es el
coeficiente del término de primer grado.
Ejercicio
Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje Y pasa por el
punto . Hallar
La ecuación de la parábola.
Las coordenadas de su foco.
La ecuación de su directriz.
La longitud de su lado recto.
2. Ecuación de una parábola de vértice y eje paralelo a un eje coordenado
Frecuentemente necesitaremos obtener la ecuación de una parábola cuyo vértice no esté
en el origen y cuyo eje sea paralelo, y no necesariamente coincidente a uno de los ejes
coordenados. Consideremos la parábola cuyo vértice es el punto .
¿Cómo se puede establecer una expresión analítica para esta modificación en la gráfica
de la parábola haciendo uso de lo aprendido anteriormente?
Formalización de los conceptos
La ecuación de una parábola de vértice y eje paralelo al eje X, es de la forma
, siendo la longitud del segmento comprendido entre el foco y el vértice.
Si , la parábola se abre hacia la derecha, si , la parábola se abre hacia la
izquierda.
123
Si el vértice es el punto y el eje de la parábola es paralelo al eje , su ecuación es de
la forma .
Si , la parábola se abre hacia arriba, si , la parábola se abre hacia abajo.
Ejercicio
Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto y cuyo foco es el punto
Hallar también la longitud de su directriz y la longitud de su lado recto.
3. Situaciones Problema
El arco parabólico de un puente debe tener un claro de 50 m por arriba del agua
y una distancia de claro de 200 m. Encontrar la ecuación de la parábola después
de insertar un sistema coordenado con el origen en el vértice de la parábola y el
eje “y” vertical (apuntando hacia arriba) a lo largo de la parábola.
Un diseñador de una antena electromagnética parabólica de 200 m de diámetro
para rastrear espacios de prueba desea ubicar el foco 100 m por arriba del
vértice.
Encuentre la ecuación de la parábola usando el eje de la parábola como el
semieje positivo de las ordenadas y vértice en el origen de coordenadas.
Un lanzador de beisbol lanza una pelota con una velocidad inicial de 100 Km/h
y un ángulo de 40°. ¿A qué altura llegará la pelota y a qué distancia del
lanzador caerá la pelota al piso?
Los cables del tramo central de un puente colgante tienen la forma de una
parábola. Si las torres tienen una separación de 800 metros y los cables están
atados a ellas 400 metros arriba del piso del puente, ¿qué longitud debe tener el
puntal que está a 100 metros de la torre? Suponga que el cable toca el piso en el
punto medio del puente.
Sandra Marcela Chito Cerón
