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Para alguns, é a sorte que faz a bola parar ; para a ciência, trata - se de um evento de probabilidades Pesca em área de proteção ambiental no rio Jutaí : uso raciional dos recursos ajuda a preservar espécies Matemática – Probabilidade pg. 02 Matemática – Geometria de posição pg. 04 Física – Eletrostática pg. 06 Física – Campo eletrostático ou campo elétrico pg. 08 Português – Concordância Nominal II pg. 10

Apostila Aprovar Ano04 Fascículo21 Mat Fis

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Matemtica Probabilidade Matemtica Geometria de posio

pg. 02 pg. 04

Pesca em rea de proteo am raciional dos recursos ajuda biental no rio Juta: uso a preservar espcies

Fsica Eletrosttica

Fsica Campo eletrosttico ou campo eltrico Portugus Concordncia Nominal II

pg. 06 pg. 08 pg. 10

r la para ; az a bo de f to te que a sor e de um even uns, ata -s lg Para a cincia, tr para a idades probabil

Capes aprova mais um curso de doutorado para a UEAAlm de consolidar sua presena nos municpios com a implantao de novos ncleos e aumentar a oferta de vagas para o interior via vestibular, a Universidade do Estado do Amazonas avana tambm na ps-graduao. A Coordenao de Aperfeioamento de Pessoal de Nvel Superior do Ministrio da Educao (Capes) aprovou a realizao de mais um curso de Doutorado para a UEA: o de Engenharia Eltrica, com nfase em Computao. O curso, no formato Dinter Doutorado Interinstitucional, em parceria com a Universidade Federal de Pernambuco (UFPE), tem incio previsto para o segundo semestre deste ano. A UEA j oferece outros dois cursos de Doutorado: em Doenas Tropicais e Infecciosas o primeiro na rea de Medicina do Amazonas e o Doutorado em Clima e Ambiente, com incio no primeiro semestre deste ano em associao com o Instituto Nacional de Pesquisas da Amaznia (Inpa) e integrante do Programa de Ps-Graduao em Clima e Ambiente, indito no Brasil. Para oferecer cursos fora de sede, a UEA estabelece parcerias com instituies consolidadas. Com menos de seis anos de criao, a instituio j criou 52 cursos em nvel de Ps-Graduao: alm do doutorado em Doenas Tropicais e Infecciosas e o Doutorado em Clima e Ambiente, j foram oferecidos sete mestrados e 44 especializaes. Ainda este ano a Pr-Reitoria de PsGraduao da UEA est aguardando a aprovao final da Capes para outros nove doutorados e dez mestrados interinstitucionais, resultado do trabalho em conjunto com as Unidades Acadmicas e com o Centro de Estudos do Trpico mido da UEA. Entre os mestrados oferecidos esto o de Doenas Tropicais e Infecciosas; Direito Ambiental; Biotecnologia e Recursos Naturais da Amaznia; Ensino de Cincias; Administrao Pblica (UEA/FGV); Engenharia Elettrica/Comunicao (UEA/UFPA) e Engenharia Eltrica/Automao (UEA/ UFCG). A turma especial do Doutorado em Engenharia Eltrica ter 15 vagas. Desse total, dez sero destinados formao de quadros da prpria UEA e as outras cinco vagas, para servidores da Prefeitura Municipal de Manaus. O objetivo qualificar, em mdio prazo, mo-de-obra para atuar no Plo Industrial de Manaus, pois a partir da qualificao dos professores da Universidade j ser possvel o oferecimento de novos cursos de mestrados nesta rea do conhecimento.

MatemticaProfessor CLCIO

AplicaoNo lanamento de um dado, um nmero pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente provveis, portanto, P= 3/6= 1/2 = 50%. Dizemos que um espao amostral S (finito) equiprovvel quando seus eventos elementares tm probabilidades iguais de ocorrncia. Propriedades Importantes: 1. Se A e A so eventos complementares, ento: P( A ) + P( A) = 1 2. A probabilidade de um evento sempre um nmero entre 0(probabilidade de evento impossvel) e 1 (probabilidade do evento certo). Probabilidade Condicional Antes da realizao de um experimento, necessrio que j exista alguma informao sobre o evento que se deseja observar. Nesse caso, o espao amostral modifica-se e o evento tem a sua probabilidade de ocorrncia alterada. Frmula de Probabilidade Condicional: p(A/B) = p(AB)/p(B) ou p(AB) = p(A/B).p(B), em que p(A/B) a probabilidade condicional de ocorrer A, tendo ocorrido B.

ProbabilidadeA histria da teoria das probabilidades teve incio com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse o motivo da grande existncia de exemplos de jogos de azar no estudo das probabilidades. A teoria das probabilidades permite que se calcule a chance de ocorrncia de um nmero em um experimento aleatrio.

Experimento aleatrio aquele experimento que quando repetido em iguais condies, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, so resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve clculo de experimento aleatrio. Espao amostral o conjunto de todos os resultados possveis de um experimento aleatrio. A letra qu e representa o espao amostral S.

AplicaoUma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposio, qual ser a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul? Resoluo: Seja o espao amostral S=30 bolas, e considerarmos os seguintes eventos: A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30 B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29 Assim: P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87 Eventos independentes Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En so eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles no depende do fato de os outros terem ou no terem ocorrido. Frmula da probabilidade dos eventos independentes: P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En)

AplicaoLanando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espao amostral, constitudo pelos 12 elementos: S={K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6} a) Escreva, explicitamente, os seguintes eventos: A={caras e m nmero par aparece}, B={um nmero primo aparecem}, C={coroas e um nmero mpar aparecem}. b)Idem, o evento em que: a) A ou B ocorrem; b) B e C ocorrem; c) somente B ocorre. c) Quais dos eventos A,B e C so mutuamente exclusivos? Re soluo: 1. Para obter A, escolhemos os elementos de S constitudos de um K e um nmero par: A={K2, K4, K6}; Para obter B, escolhemos os pontos de S constitudos de nmeros primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5} Para obter C, escolhemos os pontos de S constitudos de um R e um nmero mpar: C={R1,R3,R5}. 2. (a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5} (b) B e C = B C = {R3,R5} (c) Escolhemos os elementos de B que no esto em A ou C; B Ac Cc = {K3,K5,R2} 3. A e C so mutuamente exclusivos, porque AC= Conceito de probabilidade Se num fenmeno aleatrio as possibilidades so igualmente provveis, ento a probabilidade de ocorrer um evento A : n. de casos favorveis P(A) = n. de casos possveis

AplicaoUma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na urna, qual ser a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul? Resoluo: Como os eventos so independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul na segunda retirada igual ao produto das probabilidades de cada condio, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Da, usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9. Observe que na segunda retirada foram consideradas todas as bolas, pois houve reposio. Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada no influenciou a segunda retirada, j que ela foi reposta na urna. Probabilidade de ocorrer a unio de eventos Frmula da probabilidade de ocorrer a unio de eventos:

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P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2) P(E1 e E2) De fato, se existirem elementos comuns a E1 e E2, estes eventos estaro computados no clculo de P(E1) e P(E2). Para que sejam considerados uma vez s, subtramos P(E1 e E2). Frmula de probabilidade de ocorrer a unio de eventos mutuamente exclusivos: P(E1 ou E2 ou E3 ou ... ou En) = P(E1) + P(E2) + ... + P(En)

de A vencer ou B vencer ou C vencer igual a 1. (evento certo). Assim, substituindo, vem: k + k + k/2 = 1 \ k = 2/5. Portanto, p(A) = k = 2/5, p(B) = 2/5 e p(C) = 2/10 = 1/5. A probabilidade de A ou C vencer ser a soma dessas probabilidades, ou seja, 2/5 + 1/5 = 3/5. 04. Um dado viciado, de modo que cada nmero par tem duas vezes mais chances de aparecer num lanamento que qualquer nmero mpar. Determine a probabilidade de num lanamento aparecer um nmero primo. Soluo: Pelo enunciado, podemos escrever: p(2) = p(4) = p(6) = 2.p(1) = 2.p(3) = 2.p(5). Seja p(2) = k. Poderemos escrever: p(2) + p(4) + p(6) + p(1) + p(3) + p(5) = 1, ou seja: a soma das probabilidades dos eventos elementares igual a 1. Ento, substituindo, vem: k + k + k + k/2 + k/2 + k/2 = 1 \ k = 2/9. Assim, temos: p(2) = p(4) = p(6) = 2/9 p(1) = p(3) = p(5) = 2/18 = 1/9. O evento sair nmero primo corresponde a sair o 2, ou o 3 ou o 5. Logo, p(2) + p(3) + p(5) = 2/9 + 1/9 + 1/9 = 4/9. 05. Um carto retirado aleatoriamente de um conjunto de 50 cartes numerados de 1 a 50. Determine a probabilidade do carto retirado ser de um nmero primo. Soluo: Os nmeros primos de 1 a 50 so: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47, portanto 15 nmeros primos. Temos, portanto, 15 chances de escolher um nmero primo num total de 50 possibilidades. Portanto a probabilidade pedida ser igual a p = 15/50 = 3/10. 06. Das 10 alunas de uma classe, 3 tm olhos azuis. Se duas delas so escolhidas ao acaso, qual a probabilidade de ambas terem os olhos azuis?

Aplicaes01. Se dois dados, azul e branco, forem lanados, qual a probabilidade de sair 5 no azul e 3 no branco?

Desafio Matemt ico01. (Cesgranrio) Uma urna contm 4 bolas brancas e 5 bolas pretas. Duas bolas escolhidas ao acaso so sacadas dessa urna, sucessivamente e sem reposio. A probabilidade de que ambas sejam brancas vale:a) 1/6 c) 4/9 b) 2/9 d) 16/81 e) 20/81

Resoluo: Considerando os eventos: A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6 B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6 Sendo S o espao amostral de todos os possveis resultados, temos: n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Da, temos: P(A ou B) = 1/6 + 1/6 1/36 = 11/36 02. Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 8 ou um rei?

02. (Fatec) Considere todos os nmeros de cinco algarismos distintos obtidos pela permutao dos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8. Escolhendo-se um desses nmeros, ao acaso, a probabilidade dele ser um nmero mpar :a) 1 d) 1/4 b) 1/2 e) 1/5 c) 2/5

03. (FEI) Uma caixa contm 3 bolas verdes, 4 bolas amarelas e 2 bolas pretas. Duas bolas so retiradas ao acaso e sem reposio. A probabilidade de ambas serem da mesma cor :a) 13/72 d) 1/9 b) 1/18 e) 1/4 c) 5/18

Sendo S o espao amostral de todos os resultados possveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere os eventos: A: sair 8 e P(A) = 4/52 B: sair um rei e P(B) = 4/52 Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma carta no pode ser 8 e rei ao mesmo tempo. Quando isso ocorre, dizemos que os eventos A e B so mutuamente exclusivos. 02. Uma moeda viciada, de forma que as caras so trs vezes mais provveis de aparecer do que as coroas. Determine a probabilidade de num lanamento sair coroa. Soluo: Seja k a probabilidade de sair coroa. Pelo enunciado, a probabilidade de sair cara igual a 3k. A soma destas probabilidades tem de ser igual a 1. Logo, k + 3k = 1 \ k = 1/4. Portanto, a resposta 1/4 = 0,25 = 25%. 03. Trs estudantes A, B e C esto em uma competio de natao. A e B tm as mesmas chances de vencer e, cada um, tem duas vezes mais chances de vencer do que C. Pede-se calcular a probabilidades de A ou C vencer.

04. (Fei) Em uma pesquisa realizada em uma Faculdade foram feitas duas perguntas aos alunos. Cento e vinte responderam sim a ambas; 300 responderam sim primeira; 250 responderam sim segunda e 200 responderam no a ambas. Se um aluno for escolhido ao acaso, qual a probabilidade de ele ter respondido no primeira pergunta?a) 1/7 d) 11/21 b) 1/2 e) 4/25 c) 3/8

05. (Fuvest) Escolhem-se ao acaso trs vrtices distintos de um cubo. A probabilidade de que estes vrtices pertenam a uma mesma face :a) 3/14 d) 3/7 b) 2/7 e) 13/18 c) 5/14

Soluo: Sejam p(A), p(B) e p(C) as probabilidades individuais de A, B, C vencerem. Pelos dados do enunciado, temos: p(A) = p(B) = 2.p(C). Seja p(A) = k. Ento, p(B) = k e p(C) = k/2. Temos: p(A) + p(B) + p(C) = 1. Isto explicado pelo fato de que a probabilidade

Soluo: Existem C10,2 possibilidades de se escolher duas pessoas entre 10 e, existem C3,2 possibilidades de escolher duas alunas de olhos azuis entre as trs. Logo, a probabilidade procurada ser igual a: P = C3,2 / C10,2 = (3.2/2.1)/(10.9/2.1) = 6/90 = 3/45 = 1/15. Comentrios sobre o clculo de Cn,p. Como j sabemos da Anlise combinatria, Esta a forma tradicional de se calcular Cn,p. Na prtica, entretanto, podemos recorrer ao seguinte expediente: Cn,p possui sempre p fatores no numerador a partir de n, decrescendo uma unidade a cada fator e p fatores no denominador a partir de p, decrescendo uma unidade a cada fator. Exemplos: C10,4 = (10.9.8.7)/(4.3.2.1) = 210. C8,3 = (8.7.6)/(3.2.1) = 56. C16,3 = (16.15.14)/(3.2.1) = 560. C12,4 = (12.11.10.9)/(4.3.2.1) = 495. C10,5 = (10.9.8.7.6)/(5.4.3.2.1) = 252.

06. (FuvestGV) No jogo da sena seis nmeros distintos so sorteados dentre os nmeros 1, 2,....., 50. A probabilidade de que, numa extrao, os seis nmeros sorteados sejam mpares vale aproximadamente:a) 50% d) 10% b) 1% e) 5% c) 25%

07. (Mackenzie) Num grupo de 12 professores, somente 5 so de matemtica. Escolhidos ao acaso 3 professores do grupo, a probabilidade de no mximo um deles ser de matemtica :a) 3/11. d) 8/11. b) 5/11. e) 9/11. c) 7/11.

08. (Puccamp) O nmero de fichas de certa urna igual ao nmero de anagramas da palavra VESTIBULAR. Se em cada ficha escrevermos apenas um dos anagramas, a probabilidade de sortearmos uma ficha dessa urna e no anagrama marcado as vogais estarem juntas a) 1/5040 d) 1/30 b) 1/1260 e) 1/15 c) 1/60

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Desafio Matemt ico01. (ITA) Consideremos um plano a e uma reta r que encontra esse plano num ponto P, e que no perpendicular a a. Assinale qual das afirmaes a verdadeira.a) Existem infinitas retas de a . perpendiculares a r pelo ponto P b) Existe uma e somente uma reta de a perpendicular a r por P . c) No existe reta de a, perpendicular a r, por P . d) Existem duas retas de a perpendiculares a r passando por P . e) Nenhuma das afirmaes acima verdadeira .

MatemticaProfessor CLCIO

P4. Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas semi-retas.

Geometria de posioA Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliao da Geometria plana (euclidiana) e trata dos mtodos apropriados para o estudo de objetos espaciais assim como a relao entre esses elementos. Os objetos primitivos do ponto de vista espacial, so: pontos, retas, segmentos de retas, planos, curvas, ngulos e superfcies. Os principais tipos de clculos que podemos realizar so: comprimentos de curvas, reas de superfcies e volumes de regies slidas. Tomaremos ponto e reta como conceitos primitivos, os quais sero aceitos sem definio. Conceitos primitivos So conceitos primitivos (e, portanto, aceitos sem definio) na Geometria espacial os conceitos de ponto, reta e plano. Habitualmente, usamos a seguinte notao: a) pontos: letras maisculas do nosso alfabeto. A b)retas: letras minsculas do nosso alfabeto.

Observe que as faixas de uma rodovia do a idia de uma reta

02. (EESCUSP) O lugar geomtrico dos pontos mdios dos segmentos que unem pontos de duas retas reversas :a) uma elipse; b) uma hiprbole; c) uma esfera; d) uma reta; e) um plano.

c) planos: letras minsculas do alfabeto grego.

03. (EEUM) Se a e b so dois planos perpendiculares, r a sua interseo e s uma reta paralela a a, ento:a) a reta s paralela ao plano b; b) a reta s perpendicular ao plano b; c) a reta s paralela reta r; d) a reta s intercepta o plano b; e) nada se pode concluir.

Observao: Espao o conjunto de todos os pontos. Por exemplo, da figura a seguir, podemos escrever:

Plano Um plano um subconjunto do espao R3 de tal modo que quaisquer dois pontos desse conjunto podem ser ligados por um segmento de reta inteiramente contido no conjunto. Um plano no espao R3 pode ser determinado por qualquer uma das situaes: a) Trs pontos no colineares (no pertencentes mesma reta). b)Um ponto e uma reta que no contm o ponto. c) Um ponto e um segmento de reta que no contm o ponto. d)Duas retas paralelas que no se sobrepem; e) Dois segmentos de reta paralelos que no se sobrepe. f) Duas retas concorrentes. g)Dois segmentos de reta concorrentes. Planos e retas 3 Um plano um subconjunto do espao R de tal modo que quaisquer dois pontos desse conjunto podem ser ligados por um segmento de reta inteiramente contido no conjunto. 3 Duas retas (segmentos de reta) no espao R podem ser: paralelas, concorrentes ou reversas. Retas paralelas: Duas retas so paralelas se elas no possuem interseo e esto em um mesmo plano.

04. (EESCUSP) Uma s das seguintes afirmaes exata. Qual?a) Um plano paralelo a uma reta de um outro plano paralelo a este; b) Um plano perpendicular a uma reta de um plano perpendicular a este plano; c) Um plano paralelo a duas retas de um plano paralelo ao plano; d) Dois planos paralelos mesma reta so paralelos; e) Um plano paralelo trs retas de um mesmo plano paralelo a este plano.

Pr Qsr sera Axiomas Axiomas ou postulados (P) so proposies aceitas como verdadeiras sem demonstrao e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria. Temos como axioma fundamental: existem infinitos pontos, retas e planos. Postulados sobre pontos e retas P1. A reta infinita, ou seja, contm infinitos pontos.

Retas concorrentes: duas retas so concorrentes se elas tm um ponto em comum. As retas perpendiculares so retas concorrentes que formam entre si um ngulo reto.

05. (UFBA) Sendo e dois planos e r1 e r2 duas retas, tais que // , r1 e r2 // , ento r1 e r2 podem ser: a) Paralelas a . b) Perpendiculares a .c) Coincidentes. d) Oblquas. e) Ortogonais.

P2. Por um ponto podem ser traadas infinitas retas.

Retas reversas: duas retas so ditas reversas quando uma no h interseo entre elas: no so paralelas. Isto significa que elas esto em planos diferentes. Pode-se pensar de uma reta r desenhada no cho de uma casa e uma reta s, no paralela a r, desenhada no teto dessa mesma casa

06. (UFPE) Assinale a alternativa correta, considerando r, s e t como sendo retas no espao .a) Se r e s so ambas perpendiculares a t, ento r e s so paralelas. b) Se r perpendicular a s e s perpendicular a t, ento r perpendicular a t. c) Se r perpendicular a s e s perpendicular a t, ento r e t so paralelas. d) Se r perpendicular a s e um plano que contm s, ento r perpendicular a e) Se r e t so perpendiculares a s no mesmo ponto, ento existe um plano que contm r e t e perpendicular a s. Observe que os eixos se encontram no centro da roda gigante, dando a idia de feixe de retas. Reta paralela a um plano: Uma reta r paralela a um plano no espao R3 se existe uma reta s inteiramente contida no plano que paralela reta dada.

P3. Por dois pontos distintos passa uma nica reta.

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Reta perpendicular a um plano: uma reta perpendicular a um plano no espao R3, se ela intersecta o plano em um ponto P e todo segmento de reta contido no plano que tem P como uma de suas extremidades perpendicular reta. Posies entre planos 1. Planos concorrentes no espao R3 so planos cuja interseo uma reta. 2. Planos paralelos no espao R3 so planos que no tm interseo. 3. Diedro: Quando dois planos so concorrentes, dizemos que tais planos formam um diedro.

3. Icosaedro

Observao Na tentativa de construir poliedros regulares, verificamos, na prtica, que no possvel faz-lo nem com hexgonos, nem com polgonos que tenham mais do que seis lados. Resumo:

Desafio Matemt ico01. (UFPA) Assinalar a nica proposio errada entre as seguintes:a) duas retas do espao, paralelas a uma terceira, so paralelas entre si; b) um plano perpendicular a dois planos incidentes perpendicular reta interseo deles; c) uma reta ortogonal a duas retas de um plano ortogonal ao plano; d) um plano perpendicular a uma reta de um outro plano perpendicular a este plano; e) dois planos perpendiculares mesma reta so paralelos.

4. ngulo diedral: ngulo formado por dois planos concorrentes. Para obter o ngulo diedral, basta tomar o ngulo formado por quaisquer duas retas perpendiculares aos planos concorrentes. 5. Planos normais so aqueles cujo ngulo diedral um ngulo reto (90 graus). Poliedros So slidos do espao de 3 dimenses cuja fronteira a reunio de partes de planos.

Aplicaes01. O nmero de faces de um poliedro convexo de 20 arestas igual ao nmero de vrtices. Determine o nmero de faces do poliedro. Soluo: Sabemos que sendo dado um poliedro de V vrtices, F faces e A arestas, vale a clebre relao de Euler: V+F=A+2 dado que A = 20 e V = F. Logo, substituindo, fica: F + F = 20 + 2 ; logo, 2F = 22 e da conclui-se que F = 11. Portanto o poliedro possui 11 faces. 02. Um poliedro convexo possui 10 faces, sendo algumas quadrangulares e outras triangulares. Ache o nmero de faces de cada tipo, sabendo que a soma dos ngulos das suas faces 2520. Soluo: Sendo x faces quadrangulares e y faces triangulares, teremos: x + y = 10 Sabemos que a soma dos ngulos internos de todas as faces de um poliedro convexo dada por: S = (V 2) . 360, onde V o nmero de vrtices. Logo, 2520 = (V 2) .360 V 2 = 7 V = 9 Sabemos tambm pelo Teorema de Euler, que: V+F=A+2 onde V o nmero de vrtices, A o nmero de arestas e F o nmero de faces. Teremos ento: 9 + 10 = A + 2, ento A = 17 Outra relao conhecida para os poliedros : n . F= 2 . A, onde n o nmero de arestas em cada face. No presente caso, n . F = 4x + 3y j que so 4 faces quadrangulares e 3 faces triangulares. Logo, 4x + 3y = 2 . A = 2.17 = 34 J sabemos que a soma dos ngulos internos de um tringulo vale 180 e a soma dos ngulos internos de um quadriltero vale 360. Logo, como so x quadrilteros e y tringulos, vem: x . 360 + y . 180 = 2520 Simplificando, vem:

02. (UEA) Se um ponto eqidistante de trs outros, ento:a) b) c) d) e) os quatro so coplanares; esto sobre uma circunferncia; esto sobre uma esfera; so vrtices de um tetraedro; nenhuma das afirmaes anteriores verdadeira.

Relao de Euler Em qualquer poliedro convexo, vlida a relao: VA+F=2 V = n. de vrtices; A = n. de arestas; F = n. de faces. Soma dos ngulos das faces: S S = (V 2). 360 Poliedros de Plato De um poliedro de Plato, exige-se que: a) Todas as faces sejam polgonos, regulares ou no, mas com o mesmos nmero de lados; b) Todos os bicos sejam formados com o mesmo nmero de arestas. Quantos so os poliedros de Plato? S existem cinco tipos de poliedros de Plato, regulares ou no, que so: 1. Tetraedro

03. (IME) A nica proposio certa :a) Se trs retas tem um ponto comum, elas so coplanares. b) Dois planos perpendiculares a um terceiro plano, so paralelos entre si. c) Se dois planos so paralelos a uma mesma reta, ento so paralelos entre si. d) Um plano perpendicular a um de dois planos que se interceptam, deve interceptar o outro. e) A interseo de dois planos perpendiculares a um terceiro plano uma reta perpendicular a este ou o conjunto vazio.

04. (FGV) Duas retas no espao, perpendiculares a uma terceira:a) so paralelas; b) so perpendiculares; c) podem ser perpendiculares; d) so coplanares; e) so reversas.

4. Hexaedro

2. Octaedro

05. (U.MACK) Considere as afirmaes: I. Se uma reta paralela a dois planos, ento estes planos so paralelos. II. se dois planos so paralelos, toda reta de um paralela a uma reta do outro. III. Se duas retas so reversas, ento existe uma nica perpendicular comum a elas. Ento:a) b) c) d) e) Todas so verdadeiras. Somente a II verdadeira. Somente a III verdadeira. Somente a I verdadeira Somente II e III so verdadeiras.

5. Dodecaedro

Resolvendo o sistema acima, vem: y = 14 2x 4 x + 3 (14 2x) = 34 4x + 42 6x= 34 2x= 8 Da tiramos x = 4 e, portanto y = 6. So ento 4 faces quadrangulares e 6 faces triangulares.

06. (U.MACK) Um poliedro convexo tem 15 faces. De dois de seus vrtices partem 5 arestas, de quatro outros partem 4 arestas e dos restantes partem 3 arestas. O nmero de arestas do poliedro :a) 75 d) 45 b) 53 e) 25 c) 31

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Desafio Fsico01. (UFRJ) Trs pequenas esferas metlicas idnticas, A, B e C, esto suspensas, por fios isolantes, a trs suportes. Para testar se elas esto carregadas, realizam-se trs experimentos durante os quais se verifica com elas interagem eletricamente, duas a duas: Experimento 1: As esferas A e C, ao serem aproximadas, atraem-se eletricamente, como ilustra a figura 1: Experimento 2: As esferas B e C, ao serem aproximadas, tambm se atraem eletricamente, como ilustra a figura 2: Experimento 3: As esferas A e B, ao serem aproximadas, tambm se atraem eletricamente, como ilustra a figura 3:

FsicaProfessor CARLOS Jennings

EletrostticaNesta aula, discutiremos os efeitos produzidos por cargas eltricas em repouso, em determinado referencial. Carga Eltrica No estudo da Dinmica, vimos que a propriedade fsica denominada massa faz que dois corpos troquem foras de campo gravitacional e que tais foras so sempre de atrao. Na Eletrosttica, apresentaremos um outro tipo de fora de interao entre os corpos, derivada de uma propriedade fsica denominada carga eltrica. a fora de campo eletrosttico ou, simplesmente, fora de campo eltrico. Essa fora pode ser de atrao ou de repulso, o que implica a existncia de duas espcies de cargas eltricas: uma positiva outra negativa. Ambas so manifestaes contrrias da mesma propriedade fsica. Unidade de carga eltrica No SI, a unidade de medida da carga eltrica o coulomb, cujo smbolo C. Carga eltrica elementar Experincias revelaram que a carga eltrica apresenta-se na natureza com valores mltiplos inteiros de uma carga denominada carga eltrica elementar, simbolizada por e, cujo valor 19 : e = 1,6 . 10 C Toda partcula dotada de carga eltrica um portador de carga eltrica. o caso do eltron (carga negativa) e do prton (carga positiva). Por conveno: 19 qeltron = e = 1,6 . 10 C 19 qprton = + e = +1,6 . 10 C O nutron uma partcula no-dotada de carga eltrica, ou seja: qnutron = 0 Alm do prton e do eltron, existem partculas elementares dotadas de carga eltrica, como o psitron e o pon, por exemplo, que tm carga +e. Qualquer tomo um corpo eletricamente neutro. Perdendo ou ganhando eltrons, ele se torna um corpo eletrizado denominado on (positivo ou negativo). Carga eltrica de um corpo eletrizado e quantizao da carga eltrica Quando a soma das cargas eltrica de todos os portadores de carga existentes num corpo igual a zero, dizemos que ele est eletricamente neutro. Eletrizar esse corpo significa tornar essa soma diferente de zero. Quando eletrizamos um corpo, alteramos a sua quantidade de eltrons, mas no a de prtons (os ncleos atmicos, onde esto os prtons, s podem ser alterados em situaes especiais, como, por exemplo, ao serem bombardeados por partculas dotadas de altas energias em aceleradores de partculas). Para eletrizar um corpo negativamente devemse fornecer eltrons a ele; nesse caso, ele ficar com excesso de eltrons. Para eletriz-lo positivamente, devem-se retirar eltrons dele, o que o deixar com eltrons em falta. Esse dficit de eltrons equivale a um excesso de prtons. Em qualquer caso, a carga eltrica Q adquirida pelo corpo sempre um mltiplo inteiro da carga elementar e: Q = n . e (n = 1, 2, 3, ...) Pelo fato de Q ser um mltiplo inteiro de e, dizemos que a carga eltrica quantizada.

Formulam-se trs hipteses: I. As trs esferas esto carregadas. II. Apenas duas esferas esto carregadas com cargas de mesmo sinal. III Apenas duas esferas esto carregadas, mas com cargas de sinais contrrios. Analisando o resultados dos trs experimentos, indique a hiptese correta. 02. (Unesp) Considere uma ampla regio do espao onde exista um campo eltrico uniforme e constante. Em quaisquer pontos desse espao, como os pontos I e II, o valor desse campo E (Figura 1). Em seguida uma pequena esfera de material isolante e sem carga introduzida nessa regio, ficando o ponto II no centro da esfera e o ponto I sua esquerda. O campo eltrico induzir cargas na superfcie da esfera (Figura 2).

positivamente, com carga equivalente a um excesso de 3 prtons (n = 3): -19 Q = n . e = +3 . 1,6 . 10 -19 Q = 4,8 . 10 C Atrao e Repulso Verifica-se experimentalmente que: Corpos eletrizados com cargas de mesmo sinal se repelem. Corpos eletrizados com cargas de sinais opostos se atraem. Condutores e Isolantes Condutor eltrico um corpo que possui grande quantidade de portadores de carga eltrica facilmente movimentveis, como: eltrons livres (nos metais e na grafite); ons positivos e negativos (nas solues eletrolticas); ons e eltrons livres (nos gases ionizados). Isolante eltrico um corpo que, ao contrrio do condutor, no possui quantidade significativa de portadores de carga eltrica facilmente movimentveis (vidro, plsticos, mica, porcelana, seda, etc.). Condutores eletrizados em equilbrio eletrosttico Quando se eletriza um condutor, os portadores mveis de carga se distribuem atravs dele, buscando a situao mais estvel possvel, que, uma vez atingida, interrompe o fluxo de portadores de uma regio para outra. Dizemos ento que o condutor atingiu o equilbrio eletrosttico. Sistema eletricamente isolado um conjunto de corpos que podem trocar cargas entre si, mas no com outros corpos externos ao sistema. Princpio da Conservao da Cargas Eltricas Num sistema fsico eletricamente isolado, a soma algbrica das cargas eltricas de todos os corpos sempre constante. Processos de Eletrizao 1. Eletrizao por atrito de materiais diferentes Os corpos atritados eletrizam-se com cargas de mesmo valor absoluto e sinais opostos. Isso ocorre porque um corpo captura eltrons do outro. A seda, por exemplo, tem maior afinidade por eltrons que o vidro. Assim, quando se atrita um tecido de seda num basto de vidro, ambos inicialmente neutros, a seda fica negativa e o vidro positivo. 2. Eletrizao por contato de condutores Se A estiver eletrizado positivamente, uma certa quantidade de eltrons livres de B passar para A, diminuindo o excesso de carga positiva de A e eletrizando B positivamente.

Se A estiver eletrizado negativamente, uma certa quantidade de eltrons livres de A passar para B. com isso, A ficar menos negativo e B ser eletrizado negativamente.

a) O que ocorrer com a intensidade do campo eltrico nos pontos I e II? b) Justifique sua resposta. 03. (Cesgranrio) Uma pequena esfera de isopor, aluminizada, suspensa por um fio de nylon, atrada por um pente plstico negativamente carregado. Pode-se afirmar que a carga eltrica da esfera :a) b) c) d) e) apenas negativa; apenas nula; apenas positiva; negativa, ou ento nula; positiva, ou ento nula.

De acordo com o Princpio da Conservao da Carga Eltrica, as cargas finais (QA e QB) e iniciais (QA e QB) dos condutores so tais que: QA + QB = QA + QB = QA No caso de condutores geometricamente idnticos, temos, por simetria: QA = QB QA = QB = QA/2

AplicaoUm tomo tem o nmero de prtons igual ao 3+ nmero de eltrons. Um on de alumnio Al um tomo de alumnio que perdeu trs eltrons. Qual -19 a carga eltrica Q desse on? (e=1,6.10 C) Soluo: Se o tomo perdeu 3 eltrons, ficou eletrizado

3. Eletrizao por induo Consideremos um basto eletrizado positivamente, que cria, nos pontos A e B, potenciais diferentes: em A maior do que em B.

Se um objeto metlico neutro e isolado ocupar a

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regio entre A e B, eltrons livres do metal passaro a se deslocar para a esquerda.

medida que se acumulam eltrons na extremidade esquerda do condutor, o potencial eltrico em A vai diminuindo. Ao mesmo tempo vai-se acumulando carga positiva na extremidade direita do condutor e, assim, o potencial em B vai aumentando. Quando os potenciais em A e B se igualam, o condutor atinge o equilbrio eletrosttico. Se, em seguida, qualquer ponto do condutor for ligado Terra (potencial nulo), eltrons livres marcharo da Terra at ele, porque cargas negativas buscam potenciais mais altos. Essa marcha de eltrons cessar quando o potencial do condutor reduzir-se a zero, igualando-se ao da Terra.

2. Duas bolinhas, A e B, eletrizadas com cargas positivas Q e 4Q, respectivamente, esto fixas dentro de uma canaleta isolante e lisa, e separadas uma da outra por uma distncia l = 120cm, como mostra a figura:

Desafio Fsico01. (Unicamp) Cada uma das figuras a seguir representa duas bolas metlicas de massas iguais, em repouso, suspensas por fios isolantes. As bolas podem estar carregadas eletricamente. O sinal da carga est indicado em cada uma delas. A ausncia de sinal indica que a bola est descarregada. O ngulo do fio com a vertical depende do peso da bola e da fora eltrica devido bola vizinha. Indique em cada caso se a figura est certa ou errada.

Uma terceira bolinha C, eletrizada com carga q, encontra-se em equilbrio dentro da canaleta, a uma distncia x da bolinha A. Calcule a distncia x. Soluo: a) Como a bolinha C est em equilbrio, a resultante entre FAC e FBC nula:

Desse modo, o condutor que estava neutro, eletriza-se negativamente graas induo eletrosttica do basto. Mantida a ligao Terra, se o basto for afastado do condutor, este voltar neutralidade eltrica. Porm, se a ligao a Terra for cortada antes de se afastar o basto, o condutor permanecer eletrizado negativamente. Se o basto estivesse eletrizado negativamente, o condutor, antes de ser ligado Terra, estaria num potencial negativo, menor, portanto, que o da Terra. Se qualquer ponto do condutor fosse ligado Terra, eltrons dele marchariam para a Terra e ele ficaria eletrizado positivamente por induo. LEI DE COULOMB Consideremos duas partculas em repouso, eletrizadas com cargas Q e q e separadas por uma distncia d.

Ento: 120 x = 2 x = 40cm ou x 120 x = 2 x = 120cm x

Exerccios01. (FEI) Qual das afirmativas est correta?a) Somente corpos carregados positivamente atraem corpos neutros. b) Somente corpos carregados negativamente atraem corpos neutros. c) Um corpo carregado pode atrair ou repelir um corpo neutro. d) Se um corpo A eletrizado positivamente atrai um outro corpo B, podemos afirmar que B est carregado negativamente. e) Um corpo neutro pode ser atrado por um corpo eletrizado.

02. (Unirio) Trs esferas metlicas iguais esto carregadas eletricamente e localizadas no vcuo. Inicialmente, as esferas A e B possuem, cada uma delas, carga +Q, enquanto a esfera C tem carga Q. Considerando as situaes ilustradas, determine: a) a carga final da esfera C, admitindo que as trs esferas so colocadas simultaneamente em contato e a seguir afastadas; b) o mdulo da fora eltrica entre as esferas A e C, sabendo que primeiramente essas duas esferas so encostadas, como mostra a figura I, e, em seguida, elas so afastadas por uma distncia D, conforme a figura II.

Essas partculas interagem com foras eletrostticas (ou eltricas) que formam um par ao-reao. Sendo K uma constante de proporcionalidade que depende do meio em que as partculas esto imersas, a Lei de Coulomb expressa por: K.|Q|.|q| Fe = 2 d No vcuo, a constante eletrosttica do meio vale: 9 2 2 K0 = 9,0 . 10 N.m /C .

Aplicaes1. Em cada vrtice de um tringulo eqiltero foi fixada uma partcula eletrizada com a carga positiva q. Sendo K a constante eletrosttica do meio, determine a intensidade R da fora eletrosttica resultante em cada partcula. Soluo:

02. (Fuvest 90) Uma esfera condutora A, de peso P eletrizada positivamente, , presa por um fio isolante que passa por uma roldana. A esfera A se aproxima, com velocidade constante, de uma esfera B, idntica anterior, mas neutra e isolada. A esfera A toca em B e, em seguida, puxada para cima, com velocidade tambm constante. Quando A passa pelo ponto M a atrao no fio T1 na descida e T2 na subida. Podemos afirmar que:

03. (Cesgranrio) Na figura a seguir, um basto carregado positivamente aproximado de uma pequena esfera metlica (M) que pende na extremidade de um fio de seda. Observa-se que a esfera se afasta do basto. Nesta situao, pode-se afirmar que a esfera possui uma carga eltrica total:

a) b) c) d) e)

T1 < T2 < P T1 < P < T2 T2 < T1 < P T2 < P < T1 P < T1 < T2

a) negativa. b) positiva. c) nula. d) positiva ou nula. e) negativa ou nula.

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Desafio Fsico01. (Desafio) Duas bolinhas metlicas idnticas esto no vcuo, suspensas por fios isolantes de seda, em equilbrio, como mostra a figura. Cada bolinha est eletrizada com carga Q = 24 . 10-8C. Sendo l = 20cm o comprimento de cada fio, e de 37 o ngulo formado por eles com a vertical, calcule o peso de cada bolinha.

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Campo eletrosttico ou campo eltricoVetor Campo Eltrico Em Dinmica, vimos que um corpo, por ter massa, cria no espao uma regio de influncias denominada campo gravitacional, que lhe permite trocar foras de campo gravitacional com outras massas. Considere, agora, um corpo em repouso, eletrizado com carga Q. Por ter carga eltrica, esse corpo tambm cria no espao uma regio de influncias, denominada campo eletrosttico ou campo eltrico, que lhe possibilita trocar foras com outras cargas.

Soluo:

Dados: K=9,0.109 (Sl); sen37=0,60; cos37=0,80. 02. Duas cargas, q1= 6 .10-6C e q2=4.106 C, esto separadas por uma distncia de 1m, no vcuo. Sendo a constante eletrosttica do vcuo igual a 9 .109N. m2 /C2, podemos afirmar que o mdulo da fora de repulso entre essas cargas, em N, de, aproximadamente:a) 0,2 b) 0,3 c) 0,4 d) 0,5 e) 0,6

Esse campo ser representado, em cada ponto do espao, pelo vetor campo eltrico E . No SI, o vetor E, num ponto qualquer, informa a direo, o sentido e a intensidade, em newtons, da fora eltrica atuante numa carga de +1C, hipoteticamente colocada nesse ponto, sendo o N/C a sua unidade. Conseqentemente, o vetor E criado por uma carga Q positiva tem sentido saindo dela, e o vetor E criado por uma carga Q negativa tem sentido chegando a ela.

Em todos os casos, atua na partcula um peso de intensidade P dado por: -3 -2 P = m.g = 2 . 10 . 10 = 2 . 10 N a) Como q > 0, atua na partcula uma fora eltrica no mesmo sentido do campo eltrico: 7 3 Fe = |q|.E = 2.10 .10000 = 2.10 N Como R = m . a, temos: P Fe = m . a 2 . 10 2 2 .10-3 = 2 . 10-3 . a a = 9m/s2 b) Como q > 0, Fe tem o sentido de E: 6 2 Fe = |q|.E = 2.10 .10000 = 2.10 N -2 Como P = 2 . 10 N, a fora resultante nula e a partcula fica em equilbrio: a=0 c) Como q < 0, Fe tem sentido oposto ao de E : 6 2 Fe = |q|.E = 2.10 .10000 = 2.10 N Novamente, a partcula fica em equilbrio: a=0 Campo eltrico criado por uma partcula eletrizada A figura mostra o vetor E criado por uma partcula eletrizada com carga Q, num ponto P situado a uma distncia d da partcula. Em relao carga de prova q colocada em P, a intensidade de E vale: Fe = |q|.E K.|Q|.|q| = |q|.E 2 d K.|Q| E = 2 d Linhas de fora de um campo eltrico Em cada ponto de uma linha de fora, o vetor campo eltrico tem direo tangente linha e o sentido dela.

03. Qual o sentido e a intensidade do vetor campo eltrico no ponto P devido partcula eletrizada com carga Q nos seguintes casos? (K = 9 . 109N.m2/C2)

04. (Cesgranrio) Trs cargas de mesmo mdulo so depositadas em trs vrtices diferentes de um quadrado. A figura indica essa situao.

Se uma carga q for colocada num ponto qualquer do campo criado por Q, ela ficar submetida a uma fora eletrosttica dada por: Fe = q . E Se q > 0 Fe tem a mesma direo e o mesmo sentido de E. Se q < 0 Fe tem a mesma direo, mas sentido oposto ao de E. Campo eltrico criado por vrios corpos eletrizados Considere vrios corpos eletrizados com cargas Q1, Q2, Q3, ... , Qn criando, num ponto P os , vetores E1, E2, E3, ..., Em, respectivamente. O vetor campo eltrico total no ponto P (Ep) dado pela adio vetorial: Ep = E1 + E2 + E3 + ... + En

O vetor campo eltrico resultante no ponto M, que vrtice livre do quadrado, corretamente representado pela opo:

A intensidade de E tanto maior quanto mais concentradas esto as linhas de fora. A partir da figura acima, temos: EA > EB. 1. Campo de uma carga puntiforme

AplicaoUma partcula de massa m e carga q abandonada numa regio, submetendo-se exclusivamente a dois campos: o gravitacional e o eltrico. Sendo g = 10N/kg e E = 10000N/C, determine o mdulo da acelerao da partcula, nos seguintes casos:

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2. Campo de duas cargas puntiformes de mesmo mdulo e sinais opostos

EP = 10N/C POTENCIAL ELETROSTTICO OU POTENCIAL ELTRICO a capacidade que um corpo eletrizado tem de realizar trabalho, ou seja, de atrair ou repelir outras cargas eltricas. Para obter o potencial eltrico de um ponto, coloca-se nele uma carga de prova q e mede-se a energia potencial adquirida por ela. Essa energia potencial proporcional ao valor de q. Portanto, o quociente entre a energia potencial e a carga constante. Esse quociente chama-se potencial eltrico do ponto: Ep V = q V o potencial eltrico, Ep a energia potencial e q a carga. A unidade no S.I. J/C = V (volt). Ento, quando se fala que o potencial eltrico de um ponto L VL = 10V, entende-se que esse ponto consegue dotar de 10J de energia cada unidade de carga de 1C. Se a carga eltrica for 3C, por exemplo, ela ser dotada de uma energia de 30J, obedecendo proporo.

3. Campo de duas cargas puntiformes de mesmo mdulo e sinais iguais

Desafio Fsico01. (UFMS) Na figura, o campo eltrico uniforme e tem mdulo igual a 20N/C:

Importante: As linhas de fora saem de um corpo eletrizado positivamente, e chegam a um corpo eletrizado negativamente. Linhas de fora no se cruzam (se o cruzamento ocorresse, teramos nesse ponto duas orientaes distintas para o vetor E, o que absurdo). 4. Campo eletrosttico uniforme O vetor E tem mesma intensidade, mesma direo e mesmo sentido em todos os pontos. Assim, suas linhas de fora so representadas por segmentos de reta paralelos entre si, igualmente espaados e igualmente orientados.

Se d = 4,25m, determine a diferena de potencial, em volts, entre as superfcies equipotenciais assinaladas. 02. Uma partcula carregada, tendo massa m e carga q > 0, penetra numa regio entre duas placas metlicas paralelas com uma velocidade vo, cuja direo perpendicular s placas.

Este o tipo de campo existente entre duas placas planas e paralelas, uniformemente eletrizadas com cargas de sinais contrrios, desde que no tomemos pontos prximos de suas extremidades.

Para calcular o potencial eltrico devido a uma carga puntiforme usa-se a frmula: K.Q V = d No S.I., d em metros , K a constante dieltrica do meio, e Q a carga geradora. Como o potencial uma quantidade linear, o potencial gerado por vrias cargas a soma algbrica (usa-se o sinal) dos potenciais gerados por cada uma delas como se estivessem sozinhas: K.Q2 K.Q3 K.Q4 K.Q1 VL = + + + d1 d2 d3 d4 O potencial eltrico tem o sinal da carga que o gerou: Q>0V>0 Q