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Máquina a vapor da Estrada de Ferro Madeira Mamoré : calor transformado em energia mecânica Casas de farinha representam sustento familiar e fonte de renda para o homem do interior Matemática – Progressões pg. 02 Matemática – Trigonometria no triângulo pg. 04 Física – Movimentos de projéteis pg. 06 Física – Trabalho e Energia pg. 08 Literatura – Realismo e Naturalismo I pg. 10

Apostila Aprovar Ano04 Fascículo17 Mat Fis

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Matemtica Progresses

Matemtica Trigonometria no tringulo

pg. 02 pg. 04

Casas de farinha representam fonte de renda para o homem sustento familiar e do interior

Fsica Movimentos de projteis Fsica Trabalho e Energia Literatura Realismo e Naturalismo I

pg. 06

pg. 08 pg. 10

ecnica o e Ferr em energia m d strada do r da Eor transforma vapo cal aa Mquin a Mamor : Madeir

Acervo de bibliotecas registra crescimento de 700%Ao ingressar na Universidade do Estado do Amazonas, o aluno tem acesso a um rico acervo bibliogrfico. Em cinco anos, o nmero de ttulos disponveis cresceu mais de 700%. Em 2001, eram 3.661 ttulos e 8.235 exemplares. Em 2006, j so 29.058 ttulos e 95.180 exemplares. A esse acervo, soma-se o material didtico disponvel em todos os 61 municpios do interior do Amazonas disponvel para os alunos dos cursos ministrados pela UEA pelo Sistema Presencial Mediado (Proformar, Cincia Poltica e Licenciatura em Matemtica). A rede de servios composta por uma Biblioteca Central, nove bibliotecas setoriais, nove bibliotecas de ncleos e 37 minibibliotecas. A Biblioteca da UEA informatizada e utiliza o sistema Pergamun, que permite ao aluno pesquisar e fazer reservas e renovaes de ttulos via Internet. O Pergamun j utilizado em cerca de 48 instituies de nvel superior do Pas, o que possibilita aos alunos da UEA consulta ao acervo dessas instituies. Todo esse sistema de informatizao utiliza 68 computadores. Alm disso, professores, pesquisadores, alunos e funcionrios da UEA tm acesso produo cientfica mundial atualizada por meio do Portal de Peridicos da Capes. Trata-se de uma biblioteca virtual, de fcil acesso, oferecida pelo governo federal e mantida pela Capes. O acervo do Portal compreende mais de 9,5 mil peridicos completos, 507 revistas cientficas e bases de dados brasileiros de acesso gratuito, 105 bases de dados referenciais e, ainda, seis bases de dados de patentes com cobertura internacional e outras fontes de informaes acadmicas. O foco da coleo do Portal so as publicaes peridicas. Completando essa coleo, esto includos importantes stios com textos completos, destacando-se: Biblioteca Nacional; Escola Paulista de Medicina; Domnio Pblico (Ministrio da Educao), entre outros. Os usurios autorizados para o acesso s colees so professores permanentes, temporrios e visitantes, estudantes de graduao, ps-graduao e extenso, funcionrios permanentes e temporrios vinculados oficialmente s instituies participantes do Portal. Com o objetivo de qualificar equipes tcnicas para o usos e a divulgao do Portal, so desenvolvidos treinamentos em todas as Unidades Acadmicas da UEA, por meio de bibliotecrias capacitadas pela Capes, bem como treinamento por representantes das editoras credenciadas.

MatemticaProfessor CLCIO

Progresses1. Progresso aritmtica ( P .A.) Definio Consideremos a seqncia ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16). Observamos que, a partir do segundo termo, a diferena entre qualquer termo e seu antecessor sempre a mesma: 4 2 = 6 4 = 10 8 = 14 12 = 16 14 = 2 Seqncias como esta so denominadas progresses aritmticas (PA). A diferena constante chamada de razo da progresso e costuma ser representada por r. Na PA dada temos r = 2. Podemos, ento, dizer que: Progresso aritmtica a seqncia numrica onde, a partir do primeiro termo, todos so obtidos somando uma constante chamada razo. Notao Considere a P ( a1, a2, a3, a4, ...., an) .A. Onde: a1= primeiro termo an = ltimo termo, termo geral ou n-simo termo n = nmero de termos(se for uma PA finita) r = razo Classificao Quanto razo: (5, 10, 15, 20, 25, 30) uma PA de razo r = 5. Toda PA de razo positiva (r > 0) crescente. (12, 9, 6, 3, 0, -3) uma PA de razo r = -3. Toda PA de razo negativa (r < 0) decrescente. (2, 2, 2, 2, 2,...) uma PA de razo r = 0. Toda PA de razo nula (r = 0) constante ou estacionria. Quanto ao nmero de termos: (5, 15, 25, 35, 45, 55) uma PA de 6 termos e razo r = 10. Toda PA de n. de termos finito limitada. (12, 10, 8, 6, 4, 2,...) uma PA de infinitos termos e razo r = -2. Toda PA de n. de termos infinito ilimitada. Propriedades: Numa PA, qualquer termo, a partir do segundo, a mdia aritmtica do seu antecessor e do seu sucessor. Numa PA qualquer de nmero mpar de termos, o termo do meio (mdio) a mdia aritmtica do primeiro termo e do ltimo termo. Exemplo: Consideremos a PA(3, 6, 9, 12, 15, 18, 21) e o termo mdio 12. Observemos que o termo mdio sempre a mdia aritmtica do primeiro e do ltimo, ou seja: 3 + 21 = 12 2 A soma de dois termos eqidistantes dos extremos de uma PA finita igual soma dos extremos. Exemplo: Consideremos a PA (3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31).

Suponhamos que se queira calcular a soma dos termos dessa seqncia, isto , a soma dos 10 termos da PA(2, 4, 6, 8, ..., 18, 20). Poderamos obter esta soma manualmente, ou seja, 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 =110. Mas se tivssemos de somar 100, 200, 500 ou 1000 termos? Manualmente seria muito demorado. Por isso, precisamos de um modo mais prtico para somarmos os termos de uma PA. Na PA( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20) observe: a1+a10 = 2 + 20 = 22 a2+a9 = 4 + 18 = 22 a3+a8 = 6 + 16 = 22 a4+a7 =8 + 14 = 22 a5+a6 = 10 + 12 = 22 Note que a soma dos termos eqidistantes constante (sempre 22) e apareceu exatamente 5 vezes (metade do nmero de termos da PA, porque somamos os termos dois a dois). Logo, devemos, em vez de somarmos termo a termo, fazermos apenas 5 x 22 = 110, e assim, determinamos S10 = 110 (soma dos 10 termos). E agora, se fosse uma progresso de 100 termos, como a PA(1, 2, 3, 4,...,100), como faramos? Procederemos do mesmo modo. A soma do a1 com a100 vale 101 e esta soma vai-se repetir 50 vezes (metade de 100), portanto S100 = 101x50 = 5050. Ento, para calcular a soma dos n termos de uma PA, somamos o primeiro com o ltimo termo e esta soma ir se repetir n/2 vezes. Assim, podemos escrever: n Sn = (a1 + an) 2

Aplicaes01. (FGV) Verifique se 31/20 termo da sucesso. 1+3n an = 2n a) dcimo termo; b) quarto termo; c) sexto termo; d) oitavo termo; e) n.d.a. Soluo: 31 1+3n an = e an = 20 2n 31 1+3n = e 62n = 20 + 60n 20 2n 2n = 20 n = 10 (n IN) 02. (MACK) Determine o valor de x para que os nmeros log28, log2(x+9) e log2(x+7) estejam, nessa ordem, em PA a) x = 5 b) x = 3 c) x = -3 d) x = -5 e) n.d.a. Soluo: (log28, log2(x+9) e log2(x+7)) PA 2log2(x+9) = log28 + log2(x+7) 2 2 log2(x+9) =log28(x+7) x +18x+81= 8x+56 2 x + 10x+25 = 0 x = 5 03. (UFAM) Quantos so os nmeros naturais menores que 98 e divisveis por 5? a) 15 nmeros b) 20 nmeros c) 25 nmeros d) 30 nmeros e) n.d.a. Soluo: (0, 5, 10,..................., 95) PA a1 = 0; an = 95; r = 5 an = a1 + (n1).r 95 = 0 + (n1).5 95 = (n1).5 19 = n 1 n = 20 Portanto a quantidade de termos igual a 20. 04. (UNIP) Numa PA crescente de 6 termos, a soma dos termos de ordem mpar 27, e a soma dos termos de ordem par 36. Escreva essa PA Soluo: (x5r, x3r, xr, x+r, x+3r, x+5r) P .A. x5r + xr + x+3r=27 3x3r=27 xr=9 x3r + x+r + x+5r=36 3x+3r=36 x+r=12

Termo Geral Uma PA de razo r pode ser escrita assim: PA(a1, a2, a3, a4, ...., an1 an) Portanto, o termo geral ser: an = a1 + (n 1)r, para n N* Soma dos Termos de uma PA finita Consideremos a seqncia (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20). Trata-se de uma PA de razo 2.

Logo a PA dada por: (3, 6, 9, 12, 15, 18) P .A. 05. (UEA) O permetro de um tringulo retngulo mede 24cm. Calcule as medidas dos lados, sabendo-se que elas esto em P .A.

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a) 5cm, 9cm e 10cm b) 4cm, 6cm e 10cm c) 4cm, 5cm e 15cm d) 5cm, 6cm e 13cm e) n.d.a. Soluo: (xr, x, x+r)P .A. xr + x + x+r = 24 3x = 24 x = 8 8r, 8, 8+r representam os lados de um tringulo retngulo. 2 2 2 (8r) + 8 = (8+r) 2 2 64 16r + r + 64 = 64 + 16r + r 32r = 64 r = 2 Logo os lados so 6cm, 8cm e 10cm. 06. (FGV) Ache a progresso aritmtica em que S10 = 65 e S20 = 170. a) (-20, -17, -14,..........) b) (-20, -15, -10,..........) c) (-10, -17, -24,..........) d) (-20, -17, -14,..........) e) n.d.a Soluo: (a1 + a10).10 S10=65 = 65 a1+a10=13 2 (a1 + a20).10 S20=170 = 170 a1+a20=17 2 Logo a P dada por (-20, -17, -14,..........) .A. 2. Progresso geomtrica( PG) Definio Entenderemos por progresso geomtrica PG como qualquer seqncia de nmeros reais ou complexos, onde cada termo, a partir do segundo, igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominada razo. Exemplos: (1, 2, 4, 8, 16, 32, ... ) PG de razo 2 (5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) PG de razo 1 (100, 50, 25, ... ) PG de razo 1/2 (2, 6, 18, 54, 162, ...) PG de razo 3 Frmula do termo geral Seja a PG genrica: (a1, a2, a3, a4, ... , an, ... ) , onde a1 o primeiro termo, e an o n-simo termo, ou seja, o termo de ordem n. Sendo q a razo da PG, da definio podemos escrever: a2= a1 . q 2 a3= a2 . q = (a1 . q).q = a1 . q 2 3 a4= a3 . q = (a1 . q ).q = a1 . q ................................................ ................................................ n-1 Infere-se (deduz-se) que: an = a1 . q , que denominada frmula do termo geral da PG. Genericamente, poderemos escrever: j-k aj = a k . q Exemplos: a) Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o dcimo termo. Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para calcular o dcimo termo, ou seja, a10, vem pela frmula: 9 9 a10 = a1 . q = 2 . 2 = 2. 512 = 1024 b)Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente igual a 20, e o oitavo termo igual a 320. Qual a razo desta PG? Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemos 84 escrever: a8 = a4 . q . Da, vem: 4 320 = 20.q 4 Ento q =16 e portanto q = 2. Nota: Uma PG genrica de 3 termos, pode ser expressa como: (x/q, x, xq), onde q a razo da PG. Propriedades principais Em toda PG, um termo a mdia geomtrica dos termos imediatamente anterior e posterior. Exemplo: PG (A, B, C, D, E, F, G) 2 2 Temos ento: B = A . C ; C = B . D ; 2 2 D = C . E ; E = D . F, etc. O produto dos termos eqidistantes dos extremos de uma PG constante. Exemplo: PG (A, B, C, D, E, F, G) 2 Temos ento: A . G = B . F = C . E = D . D = D Soma dos n primeiros termos de uma PG Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...). Para o clculo da soma dos n primeiros termos Sn , vamos considerar o que segue: Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an Multiplicando ambos os membros pela razo q, vem:

Sn . q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q . Logo, conforme a definio de PG, podemos reescrever a expresso acima como: Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q Observe que a2 + a3 + ... + an igual a Sn a1. Logo, substituindo, vem: Sn . q = Sn a1 + an . q Da, simplificando convenientemente, chegaremos seguinte frmula da soma: an . q a1 Sn = q1 n-1 Se substituirmos an = a1 . q , obteremos uma nova apresentao para a frmula da soma, ou seja: qn a1 Sn = a1 q1 Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condies, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na frmula anterior, encontraremos: a1 S = q1

Desafio Matemt ico01. Se numa seqncia temos que f(1) = 3 e f (n + 1) = 2.f(n) + 1, ento o valor de f(4) :a) 4 d) 31 b) 7 e) 42 c) 15

02. O trigsimo primeiro termo de uma P . A. de 1. termo igual a 2 e razo 3 :a) 63 d) 95 b) 65 e) 102 c) 92

Aplicaes01. (UFMG) Dados os nmeros 1, 3 e 4, nesta ordem, determine o nmero que se deve somar a cada um deles para que se tenha uma progresso geomtrica. a) 5 d) 8 b) 6 e) n.d.a. c) 7

03. O primeiro termo de uma progresso aritmtica, com a7 = 12 e razo igual a 5 :a) 18 d) 42 b) 18 e) 2 c) 42

Soluo: (x+1, x+3, x+4) P .G. 2 (x+3) = (x+1).(x+4) 2 2 x + 6x + 9 = x + 5x + 4 x = 5 02. (UEA) Numa P .G., o primeiro termo 4 e o quarto termo 4000. Qual a razo dessa P .G. a) 10 d) 40 b) 20 e) n.d.a. c) 30

04. Trs nmeros positivos esto em progresso aritmtica. A soma deles 12 e o produto 18. O termo do meio :a) 2 d) 4 b) 6 e) 3 c) 5

05. A soma dos mltiplos de 3 compreendidos entre 100 e 200 :a) 5000 d) 4950 b) 3950 e) 4500 c) 4000

Soluo: a1 = 4 e a4 = 4000 3 3 a4 = a1.q 4000 = 4. q 3 q = 1000 q = 10 03. (UFPA) Numa progresso geomtrica, a diferena entre o 2. e o 1. termo 9 e a diferena entre o 5. e o 4. termo 576. Calcule o primeiro termo dessa progresso. a) 3 d) 6 Soluo: b) 4 e) n.d.a. c) 5

06. Um cinema possui 20 poltronas na primeira fila, 24 poltronas na Segunda fila, 28 na terceira fila, 32 na quarta fila e as demais fileiras se compem na mesma seqncia. Quantas filas so necessrias para a casa ter 800 lugares?a) 13 d) 16 b) 14 e) 17 c) 15

07. Se a razo de uma P maior que 1 .G. e o primeiro termo negativo, a P .G. chamada:a) decrescente c) constante e) singular b) crescente d) alternante

04. (UFAM) Inserindo- se quatro meios geomtricos entre a e 486, obtm-se uma P de razo igual a 3. Qual o valor de a? .G. a) a = 2 b) a = 2 c) a = 3 d) a = 3 e) n.d.a. Soluo: (a,................, 486) P .G. q=3 5 5 a6 = a1.q 486 = a. 3 a = 2 05. (FGV) Resolva a equao: 10x + 20x + 40x + .............+ 1280x = 7650, sabendo que os termos do 1. membro esto em P .G. a) x = -3 b) x = 3 c) x = 4 d) x = -4 e) n.d.a. Soluo: (10x, 20x, ................, 1280x) P .G. n1 1280x = 10x.2 128 = 2n-1 n = 8 10x + 20x + 40x + .............+ 1280x = 7650 10x.(28 1) = 7650 x = 3 21

08. Em uma progresso geomtrica, o quinto termo 24 e o oitavo termo 3. A razo entre o sexto termo e o dcimo :a) 4 d) 16 b) 8 e) 1/16 c) 1/8

09. Sabendo que a sucesso (x 2, x + 2, 3x 2,...) uma P .G. crescente, ento o quarto termo :a) 27 d) 16 b) 64 e) 54 c) 32

10. Dada a progresso geomtrica 1, 3, 9, 27,..., se a sua soma 3280, ento ela apresenta:a) 9 termos d) 6 termos b) 8 termos c) 7 termos e) 5 termos

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Desafio Matemt ico01. Considere o tringulo retngulo representado na figura abaixo, onde AB = 3 e AC = 4.

MatemticaProfessor CLCIO

Nomenclatura dos catetos Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posio em relao ao ngulo sob anlise. Se estivermos operando com o ngulo C, ento o lado oposto, indicado por c, o cateto oposto ao ngulo C e o lado adjacente ao ngulo C, indicado por b, o cateto adjacente ao ngulo C.

Trigonometria no tringulo1. Trigonometria: Trigonometria do Tringulo Retngulo A trigonometria possui uma infinidade de aplicaes prticas. Desde a antiguidade, j se usava da trigonometria para obter distncias impossveis de serem calculadas por mtodos comuns. Algumas aplicaes da trigonometria so: Determinao da altura de um certo prdio.

C O valor de cos ^ : a) 4/5 d) 5/4 b) 3/5 e) 3/4 c) 5/3

Um dos objetivos da trigonometria mostrar a utilidade do conceitos matemticos no nosso cotidiano. Iniciaremos estudando as propriedades geomtricas e trigonomtricas no tringulo retngulo. O estudo da trigonometria extenso e minucioso. Propriedades do tringulo retngulo ngulos: Um tringulo retngulo possui um ngulo reto e dois ngulos agudos complementares. Lados: Um tringulo retngulo formado por trs lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros dois lados que so os catetos. Altura: A altura de um tringulo um segmento que tem uma extremidade num vrtice e a outra extremidade no lado oposto ao vrtice, sendo que este segmento perpendicular ao lado oposto ao vrtice. Existem 3 alturas no tringulo retngulo, sendo que duas delas so os catetos. A outra altura (ver grfico acima) obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura relativa a este lado ser o segmento AD, denotado por h e perpendicular base. Funes trigonomtricas bsicas As Funes trigonomtricas bsicas so relaes entre as medidas dos lados do tringulo retngulo e seus ngulos. As trs funes bsicas mais importantes da trigonometria so: seno, cosseno e tangente. O ngulo indicado pela letra x.

02. Se um cateto e a hipotenusa de um tringulo medem a e 3a, respectivamente, ento o cosseno do ngulo oposto ao menor lado :a) d) b) e) c)

03. Duas rodovias A e B encontram-se em O, formando um ngulo de 30. Na rodovia A existe um posto de gasolina que dista 5km de O. O posto dista da rodovia B:a) 5Km d) 15Km b) 10Km e) 1,25Km c) 2,5Km

Os gregos determinaram a medida do raio da Terra, por um processo muito simples. Seria impossvel se medir a distncia da Terra Lua, porm com a trigonometria isso torna simples. Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele mais fcil quando ele usa dos recursos trigonomtricos. Um cartgrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa. Tudo isto possvel calcular com o uso da trigonometria do tringulo retngulo. Tringulo Retngulo um tringulo que possui um ngulo reto, isto , um dos seus ngulos mede noventa graus, da o nome tringulo retngulo. Como a soma das medidas dos ngulos internos de um tringulo igual a 180, ento os outros dois ngulos mediro 90. Observao: Se a soma de dois ngulos mede 90, estes ngulos so denominados complementares, portanto podemos dizer que o tringulo retngulo possui dois ngulos complementares. Lados de um tringulo retngulo Os lados de um tringulo retngulo recebem nomes especiais. Estes nomes so dados de acordo com a posio em relao ao ngulo reto. O lado oposto ao ngulo reto a hipotenusa. Os lados que formam o ngulo reto (adjacentes a ele) so os catetos.

04. Um retngulo com lados adjacentes medindo sen e cos , com 0