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书书书
数学物理方法习题全解
主!
编!
柯导明
副主编!
孟!
坚!
陈军宁
参!
编!
薛!
峰!
吴秀龙!
徐太龙
中国科学技术大学出版社
内 容 简 介
本书包含复变函数!积分变换!数理方程三部分内容!
书中总结了这些内容的要点"
简明扼要地列出了相应的知识点!
习题题型丰富"题量适中"适用范围广"且对题目进行
了归类"凡是可以用相同知识点解出的题目都做了提示说明!
习题解答详尽!完整"有的
提供了多种解法!
本书适合工科学生!应用物理类学生使用"对理科学生和科研工作者学习!复习!进
修也有一定的帮助!
!
图书在版编目!
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数学物理方法习题全解#柯导明主编!
$合肥%中国科学技术大学出版社"
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中国版本图书馆1&2
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(第#$3+%#
号
出版!
中国科学技术大学出版社
地址!
安徽省合肥市金寨路*.
号"
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网址!
455
6
%##
6
7899!:95;!8<:!;=
印刷!
安徽江淮印务有限责任公司
发行!
中国科学技术大学出版社
经销!
全国新华书店
开本!
+$#>>?*.#>>
!
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#
$.
印张!
"0@+3
字数!
3*"
千
版次!
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年%
月第$
版
印次!
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年%
月第$
次印刷
定价!
%,!##
元
前!!
言
科学技术的发展对大学生数学能力的广度和深度都提出了更高的要求"例如"
电子产品的微型化"使得我们要了解器件和电路的性能就要解二维甚至三维的偏微
分方程)为了了解电路的频率特性"就需要更进一步地熟悉广义函数的特性!
因此"
大学生掌握和应用数学的能力日显重要!
但是与此同时"由于学生的就业压力增大"
导致专业课程科目增加"数学课时普遍被压缩"现在数理方法'工程数学(课时普遍
被压缩在一学期以内"学生花在数理方法上的时间大幅度减少!
而数理方法是以高
等数学为基础"与专业课和科研紧密结合的课程"概念多!理解困难!运算繁杂"若没
有一定量的习题辅助"难以掌握"更难以将它应用到今后的专业课和工作中去!
本书
作者都是专业课的教师"因科研工作的需要长期与数理方法打交道"故而兼教电子!
信息类本科生和研究生的数理方法课程!
本书稿曾在"##$
年以讲义的形式提供给校
内学生使用"这次对原讲义进行整理!修订后出版"希望对广大学生和有关科研工作
者有所帮助!
我们在书中对数理方法的传统内容根据现代科学技术的发展做了一些删减!
这
门课的传统内容包含复变函数!积分变换和数理方程三大板块!
对于电子!信息类工
科学生和应用物理类专业学生来说"这部分内容实际上就是工程数学!
无论是数理
方法还是工程数学"传统上都是重视复变函数而轻积分变换和数理方程的!
但是科
学技术!现代教育以及计算科学的发展使得本课程内容在实践中有了一些较大的变
化!
计算数学和计算机技术的发展导致了数值计算的范围急剧扩大"所以有些传统
内容已经淡化"而有些内容却急剧增加!
例如"现在大部分电磁场和电磁波教科书中
已不再有保角变换内容"而偏微分方程的内容已广泛地用于电子器件的特性分析和
计算电磁学中"信号与系统课程更是大量使用广义函数和积分变换等内容!
基于上
述变化"书中对传统内容进行了调整%减少了复变函数的内容"增加了积分变换和数
理方程的内容!
特别对各种常见数理方程的解法做了详细系统的介绍"既有经典的
解法"也有现代的方法!
本书的复变函数包括了复数与复变函数)复变函数的导数与
积分)泰勒级数!罗朗级数和留数三部分内容"删除了保角变换!
这三部分重点放在
单值函数的导数!积分!级数!留数上"但也介绍了一些多值函数的基本概念!
积分变
换板块不但包含了传统的傅里叶变换和拉普拉斯变换"而且引进了很多广义函数内
容"习题不再仅仅局限于求解偏微分方程的需要"而是紧密结合电子信息类学生今
后发展和专业课的需求"增加了大量的与频谱等方面有关的习题!
数理方程内容是
本书的重点"包括了直角坐标系!柱面坐标系!球面坐标系的偏微分方程解法"有分
离变量法!特征线法!高维波动方程解法!积分变换法!冲量法!格林函数法!偏微分
方程的分类以及特殊函数的习题!
针对学生今后专业课和科研的要求"将变系数二
阶常微分方程和正交函数系方面的内容单立一章"并给出了适量的习题"以便打好
学生的理论基础"提高计算能力!
由于本课程概念与计算方法多"学生在学完课程后往往难以将学过的东西总结
完整"故此我们将本书分成了两部分%纲要与习题)习题全解!
在纲要里"我们尽可能
简明扼要地列出该章的主要内容!知识点和解题要用到的公式"使其既能成为学生
解题时的手册"又能成为学生学完该章时的内容小结"学完本课程后将纲要完整地
阅读一遍"又成为数理方法的提纲!
全书共有%##
多道习题"书中的习题选择一般是
按照纲要所列知识点的次序"从易到难"内容连续"基本上覆盖了所列的知识点!
为
了便于学生和教师选择习题"我们在用相同的知识点内容可以解出的题目前面单独
列出了标题"加"
的题目难度较大"供学有余力的读者选用!
由于学生在上课时会同
时听到教师对习题解法的介绍"也由于习题指导类的书籍较多"所以本书不再给出
典型例题分析或习题指导等"而直接在习题解答中详尽地解答每一题"读者将自己
所做的题目与解答对比后可以很方便地找到问题所在!
书中的选题尽量照顾了不同
类型读者的需要"使它能适合更多读者使用!
但是由于编者的教学对象是工科专业
的本科生"所以基本内容与现有的工程数学以及应用物理类数理方法教材的内容相
符"故也可供学习工程数学的学生使用!
本书由柯导明任主编并统稿)孟坚副教授!陈军宁教授任副主编!
孟坚编写习题
&
至习题'
的解答"研究生薛峰'现在安徽三联学院(编写习题(
的解答"其余内容由
柯导明!陈军宁!吴秀龙副教授!徐太龙老师编写!
黄志祥教授阅读了本书大纲和解
答的前(
章"并提出了宝贵的意见!
在讲义使用期间代月花教授对部分习题解答提出
了很好的建议!
研究生周茂秀!熊三星!刘杰!彭春雨!占萌萌打印了本书的初稿"研
究生赵阳!郑智雄!韦巍校对了本书的初稿!
中国科学技术大学出版社为本书的出版做了大量工作"对此深表感谢!
本书由安徽大学*
"&&
工程+基金和安徽省科技计划项目*基于栅工程的射频功
率)*+,-
的设计与研究+提供资助!
由于编者水平所限"不妥之处敬请广大读者指出!
柯导明
"#&&
年&
月于合肥
%
数学物理方法习题全解
第&
部分!
纲要与习题
第!
章!
复数与复变函数
!!!
!
复数及其运算
&!
复数的定义及概念
!!
虚数单位是.
" #
槡 &!$
"
%
&
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称为复数"称#
$
"
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#
.'
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常
用算符有/0
和12
"它们的意义分别是%
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时"
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"其值是
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注意%
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"
#
的辐角不确定)复数不能比较大小!
图&!&
!
复数的几何意义
:!
复数$
的表达式与运算规则
$
有代数表达式!三角表达式!指数表达式和极坐标表达式'
种"其表达形式与运算
规则如表&!&
所示"复数$
的四则运算符合交换律!结合律!
这里要注意的有两点%
'
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(欧拉公式
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"
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'!
扩充复平面与复球面
设有一个假想点&
#
" >
"复平面加上假想点构成扩充复平面!
扩充复平面在复
图&!"
!
扩充复平面与复球面的关系
球面上投影如图&!"
所示"无穷远
点是北极记为?
"即扩充复平面的
几何模型是复球面!
当+
为有限复
数时"
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虚部及辐角无意义"
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#
无意义!
"
数学物理方法习题全解
%
第&
章!
复数与复变函数
!!"
!
复变函数的极限以及连续性
&!
复变函数的两个等价定义
定义!
!
对于复平面点集,
中的任一点$
"
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.'
"有一个或多个-
与之对应"
则有
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定义"
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$
平面上点集与-
平面上点集之间的映射'或变换(称作复变函数
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复变函数的极限
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总有复常
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#
点连续!
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'
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内每一点都连
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'
$
(在5
内连续!
连续函数在$
#
成立的充要条件是若.
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(连续!
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数学物理方法习题全解
!!#
!
复变函数的幂级数
&!
收敛的定义及性质
若幂级数-
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6
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7
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$
#
(
6 部分和的极限存在"称级数是收敛的"否则发散!
级数收敛的必要条件%一般项@=2
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(
6 绝对收敛"绝对收敛
级数一定是收敛级数!
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6 一定收敛!
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对于每一个收敛的幂级数-
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#
'
8
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$
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"
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:!
运算法则
若两个级数有公共收敛圆"这两个级数可以在收敛圆内加!减!乘"并且可以逐
项积分和求导!
3
第&
章!
复数与复变函数
!!$
!
初 等 函 数
&!
初等单值函数
最简单的初等函数是整幂函数$
6
'
6
为正整数(以及由整幂函数组成的多项式
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'
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:
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"
#
的点称为奇点"除奇点外有理分式函数在复平面上连续!
复杂一些的初等单值函数有指数函数!三角函数和双曲函数"定义与性质如表
&!"
所示!
表!#"
!
指数函数#三角函数和双曲函数性质
名称 指数函数 三角函数 双曲函数
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均为无界函数
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均为无界函数
与实变函数的
相似性质
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数学物理方法习题全解
"B
初等多值函数
初等多值函数有对数函数!幂函数!反三角函数和反双曲函数"其性质如表&!:
所示!
表!#$
!
初等多值函数性质
名称
对数函数 幂函数 反三角函数 反双曲函数
定义
-
"
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"
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$
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(
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主值"如
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"
#
.
@8
'
.
$
&
&
#
$槡 "
(
如上面各式所
示"但对数函数
应当取主值"如
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(
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"
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$
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$
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$
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"
$
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# #
+
第&
章!
复数与复变函数
习!
题!
!
复数的概念及运算
&!&
!
计算下列各式的值"并写出相应的三角函数和指数表达式!
'
&
(
'
"
&
"
.
!
(
'
'
&
#
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(
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'
"
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槡:.
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' (
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'
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'
'
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'
"
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"槡.
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&
"
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'
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$
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"且说明几何意义)
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$
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$
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$
6
"
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'
&
内无根!
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"
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&
)
'
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'复常数("半径为8
的圆方程)
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"
'
'
(直线方程1%
&
3
'
&
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"
#!
,
数学物理方法习题全解
"
&!(
!
求下列复数列的极限!
'
&
(
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&
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.
!
(
"
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("且指出它所表示的几何意义)
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"
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$
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"
'
'
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"先计算@=2
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"再根据此计算结果证明
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&
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"
$
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'
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"
&
$
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平面上的曲线)
*
第&
章!
复数与复变函数
'
'
(
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"
&
'
"
"
'
经过-
"
&
$
映射后在-
平面上的曲线!
复变函数的幂级数
"
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讨论下列各级数的敛散性!
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"
.
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6
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>
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"
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&
&有相同的收敛
半径!
初等函数
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'
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"
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"
'
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数学物理方法习题全解
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"
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&
#
738
"
$
)
'
'
(
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&
&
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"
"
"<=8
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$
"
"
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$
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#
$
"
"
)
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(
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$
"
(
"
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"
&
6;<A$
&
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"
)
'
(
(
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"
)8
'
$
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$
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(
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.
#
$
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!
判断下列函数的多值性!
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"
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)
!
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!
6;<槡$)
!
<=8槡$
槡$)
!
)8<=8$!
$$
第&
章!
复数与复变函数
第"
章!
复变函数的导数与积分
"!!
!
多值函数与单值分支
多值函数不能求极限"因而不能做求导!积分等分析运算"通常将多值函数划分
成单值分支"在这个划分过程中最重要的概念是%
支点"在多值函数-
"
.
'
$
(中点$
"
+
的充分小的邻域内"做一条包围该点的
闭曲线=
"当$
从=
上某点出发"绕=
连续变动一周回到出发点时"
.
'
$
(将从它的一
个值变到另一个值"称+
是.
'
$
(的支点)
支割线"从一点引一条射线'线段(或一条简单曲线"将$
平面割开"使得割开的
$
平面构成了一个区域,
"支点不在,
任何闭区域内"这样的射线称为支割线)
单值分支"设@
'
$
(是区域,
内的多值函数"
.
'
$
(是,
内的单值函数"若.
'
$
(
在,
内每一点的值都等于@
'
$
(在该点的一个值"则.
'
$
(称为@
'
$
(在,
内的一个
单值分支!
必须注意"对应不同的支割线"多值函数的各单值分支的定义域和值域不同!
"!"
!
复变函数的导数和积分运算
复变函数的求导与积分运算如表"B&
所示!
表"#!
!
求导与积分运算
导!
数 积!
分
定义
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是曲线弧
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解 析 函 数
若函数-
"
.
'
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(在区域,
内可微"则称.
'
$
(是区域,
内的解析函数!
如果
.
'
$
(在$
#
点不解析"但是在$
#
点的任一邻域内总有.
'
$
(的解析点"则称$
#
是.
'
$
(
的奇点"解析函数的性质见表"!"!
表"#"
!
解析函数.
'
$
(
"
/
'
%
"
'
(
&
.
0
'
%
"
'
(的性质
导!
数 积!
分
解析函数判断法则
'
&
(柯西 黎曼方程'
H /
方程(%
直角坐标系
0
/
0
%
"
0
0
0
'
"
0
/
0
'
"#
0
0
0
%
)
*
+
!
极坐标系(
0
/
0
(
"
0
0
0!
"
0
/
0!
"#
(
0
0
0
(
)
*
+
!
'
"
(充要条件%
/
'
%
"
'
(!
0
'
%
"
'
(在,
内可微"且满足H /
方程!
'
:
(充分条件%
/
'
%
"
'
(!
0
'
%
"
'
(有一
阶连续偏导数"且满足H /
方程
充要条件%
.
'
$
(在,
内连续"且对,
内的任
何闭路7
都有
1
7
.
'
$
(
G$
"
#
%$
第"
章!
复变函数的导数与积分
续表
导!
数 积!
分
解析函数性质
:
个方程%
0
"
/
0
%
"
&
0
"
/
0
'
"
"
#
)
0
"
0
0
%
"
&
0
"
0
0
'
"
"
#
)
H /
方程!
解析函数的导数同时满足上述:
个方
程"即实部与虚部为该区域内的共轭
调和函数
'
&
(原函数计算法%
@!
'
$
(
"
.
'
$
("
/
$
$
#
.
'
'
(
G
'"
@
'
$
(
#
@
'
$
#
()
'
"
(柯西公式
.
'
$
#
(
"
&
"
&
.
1
7
.
!
'
$
(
$
#
$
#
G$
)
'
:
(柯西 古萨定理%单连通区域上闭曲线7
"有
1
7
.
'
$
(
G$
"
#!
多连通区域上"若7
包含了多个闭曲线
7
A
"有
1
7
.
'
$
(
G$
"
-
6
A
"
&
1
7
A
.
'
$
(
G$
注意
事项实变函数的微分学中值定理均不成立 实变函数的积分学中值定理均不成立
导数与
积分关系 .
'
6
(
'
$
(
"
6
/
"
&
.
1
7
.
!
'
'
(
'
'#
$
(
6
&
&
G
'!
'
6
"
#
"
&
"
"
"
:
&(
习!
题!
"
简单多值函数划分为单值函数
"
"!&
!
完成下列各题!
'
&
(
-
"
:
槡$在沿正实轴割开的$平面上"并且-
'
.
(
"#
.
"求-
'
#
.
(和G-G$
$
"#
.
的值!
'
"
(
-
"
槡$在沿上半虚轴割开的$平面上%
(
求-
在正实轴上取正值的一支"在上半虚轴左沿的.
以及右沿的.
的值)
)
求这一支的-
'
#
&
(以及G-G$
$
"#
&
的值!
'
:
(
.
'
$
(
"
$
'
&
#
$槡 (在割去线段#
&
/0$
&
&
的$
平面上"求在割线
-
#
"
&
.上岸取正值时的那一支在$
"#
&
时.
'
$
(和.
!
'
$
(的值!
'
'
(求.
'
$
(
"
$
'
$
#
&
('
$
#
"槡 (
的支点"以及在什么样的区域可以分出单
0$
数学物理方法习题全解
值解析分支!
'
%
(
.
'
$
(
"
)8$
沿$
平面负实轴割开"求$
"
&
时.
'
$
(取#
.
"
&
和.
"
&
的
那两支在$
"
.
时的函数值和一阶导数值!
复变函数的导数
"!"
!
求导数!
'
&
(
-
"
"$
'
&
%$
:
&
$
"
&
&
&
"
.
)
!
'
"
(
-
"
<=8$
&
$
)
!
'
:
(
-
"
0
$
@8$
)
'
'
(
-
"
0
$
<=8$
&
6;<$
)'
%
(
-
"
E
槡$&
)8$
)'
(
(
-
"
0
$
6;<$
$
"
)'
E
(
-
"
738"$!
"
"!:
!
求导数!
'
&
(求-
"
0
#
'
'
6;<%
&
.
<=8%
(的导数)
'
"
(求题"!"
'
%
(在$
"
&
处的导数值)
'
:
(求/
'
%
"
'
(的形式导数0/0
$
和0/0
#
$
)
'
'
(求证.
'
$
(
"
槡(0.
!
"
'
(
'
#
"
%
%
!
%
%&
"
&
(满足.
!
'
$
(
"
&
"
.
'
$
(
!
"
"!'
!
'
&
(证明.
'
$
(
"
$
在$
平面处处不可导)
'
"
(试求.
'
$
(
"
$12$
的可导性)
'
:
(试证.
'
$
(
"
#
"
$
"
#
"
#
$
:
$
"
"
$
$
)
*
+
#
在原点不可导"但在原点满足H /
方程!
解析函数的判定以及H /
方程的应用
"!%
!
'
&
(若.
'
$
(在区域,
上解析"试证
0
"
.
'
$
(
"
!
0
%
"
&
0
"
.
'
$
(
"
!
0
'
"
"
'
.
!
'
$
(
"
)
'
"
(若%
"
(6;<
!
"
'
"
(<=8
!
"
-
"
/
&
.
0
"试证函数-
'
$
(的极坐标形式是
G-
G$
"
0
/
0
(
&
.
0
0
0
' (
(
0
#
.
!
)
'
:
(试证/
'
$
(
"
&
"
@8 $
"
'
$
$
#
(满足0"
/
0
%
"
&
0
"
/
0
'
"
"
#
)
"
"!(
!
证明下列函数在某一个区域内是调和函数"并找出它的一个共轭调和函数!
'
&
(
/
'
%
"
'
(
"
"%
'
&
#
'
()
!
'
"
(
/
'
%
"
'
(
"
'
!
%
"
&
'
"
)
!
3$
第"
章!
复变函数的导数与积分
'
:
(
/
'
%
"
'
(
"
<=8A%
,
<=8
'
!
"
"!E
!
完成下列各题的要求!
'
&
(求.
'
$
(
"
$$
"
$
%
&
"
$
"
"
$
(
1
&
的解析区域)
'
"
(求.
'
$
(
"
%
"
'
&
.'
的解析区域)
'
:
(若.
'
$
(在区域,
内恒为常数"则解析函数.
'
$
(必为常数)
'
'
(若.
'
$
(在区域,
内解析"且在,
内34
5.
'
$
(为常数"
.
'
$
(在,
内必为
非零常数!
复变函数的积分与证明
"!$
!
设三角形C13
的:
个顶点顺次为'
#
"
#
("'
:
"
#
("'
%
"
&
("以=
表示C
,
1
,
3
,
C
的闭曲线"证明1
=
$
"
G$
"
#!
"!F
!
设=
为单位圆$
"
&
"用$
"
&
#
$
! 证明1
=
#
$G$
的值与路径方向有关!
"!&#
!
已知/
=
G$
$
#
$
#
"在下列积分路径求值!
'
&
(
=
是$
#
$
#
"
8
的上半部正向曲线)
'
"
(
=
是$
#
$
#
"
8
的下半部负向曲线!
"!&&
!
在下列条件下用原函数计算/
=
$
&
"
G$
"其中=
是$
"#
:
到$
"
:
的除端点以
外位于%
轴上方的任意曲线!
'
&
(
$
&
" 取'
(
'
#
"
#
%
!
%
"
&
(分支)
'
"
(
$
&
" 取(
'
#
"
#
&
"
%
!
%
:
"
' (
&
分支)
! !
"
'
:
(从'
"
(和'
&
(总结出"若=
是$
"#
:
到$
"
:
除端点外位于%
轴下方的
任意曲线"应当如何用原函数计算/
=
$
&
"
G$
"并求其值!
"
"!&"
!
用积分估值公式证明%
'
&
(
/
.
#
.
'
%
"
&
.'
"
(
G$
&
"
"积分路径是直线段)
'
"
(
/
.
#
.
'
%
"
&
.'
"
(
G$
&
&
"积分路径是圆周$
"
&
的右半圆)
'
:
(
/
"
&
.
.
G$
$
"
&
"
"积分路径是直线段!
.$
数学物理方法习题全解
简单多值函数的积分
"
"!&:
!
计算积分!
'
&
(
/
=
G$
:
槡$"
=
是$
"
&
"路径取逆时针&
到&
"其单值解析分支是槡&"
&
以及
:
槡&"#
&
"
&
.
槡:"
)
'
"
(
/
=
)8$G$
"
=
是$
"
&
"路径取逆时针&
&
到#
&
"其单值解析分支是
)8&
"
#
以及)8&
"
"
&
.
!
柯西积分公式与高阶导数公式的积分法
"!&'
!
用柯西积分公式求解下列积分!
'
&
(
1
=
G$
&
&
$
"
"
=
%
$
&
.
"
&
的正向曲线)
'
"
(
1
=
G$
$
"
#
+
"
"
=
%
$
&
+
"
+
的正向曲线!
"!&%
!
计算下列积分!
'
&
(
1
=
0
$
'
"$
&
&
('
$
#
"
(
G$
"其中=
分别是曲线$
"
&
"
$
#
&
"
&
"
$
#
&
"
&
"
"
$
"
'
)
'
"
(
1
$
"
"
<=8$
$
#
&
' (
"
&##
G$
"其中=
是$
"
"
的正向曲线!
"
"!&(
!
计算下列积分!
'
&
(
/
&
&
"
.
#
6;<
$
"
G$
"
/
#
#
&
.
0
#
$
G$
)
'
"
(
1
$
"
"
$0
$
$
"
G$
)
'
:
(
D
"
1
=
0
"$
$
'
&
#
$
(
:
G$
)
'
'
(
1
$
"
(
G$
'
&
#
$
(
6
'
(
$
&
(
!
"
"!&E
!
'
&
(若多项式:
'
$
(比多项式9
'
$
(高"
次"试证
@=2
8
,
>/
$
"
8
9
'
$
(
:
'
$
(
G$
"
#
)
+$
第"
章!
复变函数的导数与积分
'
"
(设9
'
$
(
"
'
$
#&
&
('
$
#&
"
(&'
$
#&
6
("其中&
A
'
A
"
&
"
"
"&"
6
(各不
相同"闭曲线=
不通过&
&
"
&
"
"&"
&
6
!
求证积分D
"
&
"
&
.
/
=
9!
'
$
(
9
'
$
(
G$
等于
位于=
内的9
'
$
(的零点个数!
高阶导数的证明题
"
"!&$
!
'
&
(设.
'
$
(在$
&
&
上解析"在$
"
&
上满足.
'
$
(
#
$
&
$
"求证
&
6
/
.
'
6
(
' (
&
"
&
"
6
&
"
)
'
"
(设/
'
%
"
4
(
"
'
&
#
"%4
&
4
"
(
#
&
"
"
4
是复变数"试证
0
6
/
0
4
6
4
"
#
"
&
"
6
G
6
G%
6
'
%
"
#
&
(
6
!
,$
数学物理方法习题全解
第$
章!
泰勒级数!罗朗级数和留数
#!!
!
泰勒级数和罗朗级数
泰勒级数和罗朗级数的定义和特性对比如表:!&
所示!
表$#!
!
泰勒级数和罗朗级数的定义和特性
名!
称 泰勒级数 罗朗级数
定义.
'
$
(
"
-
>
6
"
#
7
6
'
$
#
$
#
(
6
)
7
6 "
&
6
/
.
'
6
(
'
$
#
(
.
'
$
(
"
-
>
6
"#>
7
6
'
$
#
$
#
(
6
)
7
6 "
&
"
&
.
1
7
.
!
'
'
(
'
'#
$
#
(
6
&
&
G
'
级数
与解
析函
数的
关系
'
&
(
.
'
$
(是解析函数的充要条件是可以
展开成泰勒级数)
'
"
(收敛圆内的幂级数就是泰勒级数"因
此初等函数的泰勒级数与实变函数
的幂级数在形式上是相同的"但收敛
情况不相同)
'
:
(收敛圆内可以加!减!乘!求导和积分
'
&
(可以研究解析函数在孤立奇点附近
的性质)
'
"
(确定留数
#!"
!
孤立奇点和留数
.
'
$
(的孤立奇点有两类"定义如下%
'
&
(
$
#
$
#
%
"
内除$
#
点外都是解析的"称$
#
是孤立奇点)
'
"
(
.
'
$
(在>
远点的邻域内是解析的"称>
点是.
'
$
(的孤立奇点!
孤立奇点的特点与类型如表:B"
所示!
表$#"
!
函数.
'
$
(的孤立奇点的特点及类型
$
"
$
#
$
" >
可去奇点 罗朗级数不含负幂项或@=2
$
,
$
#
.
'
$
(
"
有限值 罗朗级数不含正幂项或@=2
$
,
>
.
'
$
(
"
有限值
续表
$
"
$
#
$
" >
E
重极点
&
.
'
$
(
有E
级零点或@=2
$
,
$
#
.
'
$
(
" >
或
@=2
$
,
$
#
'
$
#
$
#
(
E
.
'
$
(为不等于零的有限值
罗朗级数中正幂项最高次幂为E
'
E
'
#
("或@=2
$
,
>
.
'
$
(
" >
本性奇点罗朗级数有无限多个负幂项或
@=2
$
,
$
#
.
'
$
(
不存在
罗朗 级 数 中 有 无 限 多 个 正 幂 项 或
@=2
$
,
>
.
'
$
(不存在
留数常用于计算围道积分和定积分"它们的求法如表:!:
所示!
表$#$
!
留数定义#应用及求法
留数定义/0<
.
'
$
("
$
- .
# "
7
#
&
"
!
/0<
.
'
$
("
>
- .
"#
7
#
&
留数与
积分关系
若曲线7
包围了6
个孤立奇点"则有
1
7
.
'
$
(
G$
"
"
&
.
-
6
A
"
&
/0<
.
'
$
("
$
- .
A
留数求法
'
&
(
$
#
是.
'
$
(的E
阶极点"则有
/0<
.
'
$
("
$
- .
# "
&
'
E
#
&
(/
@=2
$
,
$
#
G
E
#
&
G$
E
#
&
'
$
#
$
#
(
E
.
'
$
- .
()
'
"
(
$
#
是.
'
$
(
"
9
'
$
(
:
'
$
(
的一阶极点"
9
'
$
#
(
$
#
"
9
'
$
#
(和:
'
$
#
(解析"
$
#
是:
'
$
(
的一阶零点"
/0<
9
'
$
(
:
'
$
(
"
$
- .
#
"
9
'
$
#
(
:
!
'
$
#
(
)
'
:
(若.
'
$
(在扩充复平面上只有有限个孤立奇点"则有
/0<
.
'
$
("
>
- .
"#
/0<
.
&
' (
$
,
&
$
"
"
- .
#
)
'
'
(设$
&
"
$
"
"&"
$
6
"
>
是平面上有限个孤立奇点"则有
/0<
.
'
$
("
>
- .
"#
-
6
)
"
&
/0<
.
'
$
("
$
- .
)
#!#
!
留数与积分的关系
留数求定积分没有通用的解法"但是几种特殊类型积分有固定步骤!
&!
/
"
&
#
8
!
6;<
!
"
<=8
!
#
G
!
做代换$
"
0
.
!
"
6;<
!"
$
"
&
&
"$
"
<=8
!"
$
"
#
&
"
.
$
"
G$
"
.
0
.
!
G
!
"则积分为
/
"
&
#
8
'
6;<
!
"
<=8
!
(
G
!"
1
$
"
&
&
.
$
8
$
"
&
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"
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"
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数学物理方法习题全解
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#
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#
G%
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$
(
"
9
'
$
(
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'
$
(
的:
'
$
(至少比9
'
$
(高"
次"
:
'
$
(在实
轴无零点"
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'
$
(在12$
'
#
的极点有6
个"则有
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&
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#
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9
'
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积分可以写成D
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"
D
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"计算此积分时8
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'
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(
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真分式"在实轴上无奇点"则有
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8
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"
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"
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- .
A
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分开上式积分后的实部和虚部"可以得到所求的积分!
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0
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!
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'
#
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所示"利用@=2
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'
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7
8
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'
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(
0
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$
G$
可以解出结果!
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!
积分围道
引理!
!约当引理"
!
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'
$
(在!
&
&
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$
&
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"
"
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#
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$
&
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'
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#
(
#
"
#
&
!
&
&
!
"
&
&
(上连续"
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8
是该闭区域上一段以原点为中心"
8
'
'
8
#
(为半径的
$"
第:
章!
泰勒级数!罗朗级数和留数
圆弧!
当$
在闭区域时@=2
$
,
>
2
'
$
(
"
#
"则有
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8
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&
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引理"
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(沿圆弧7
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(
充分小(上连续"且
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'
$
#
+
(
.
'
$
(
"(
于7
(
上一致成立"则有
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(
,
#
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7
(
.
'
$
(
G$
"
.
'
!
"
#!
&
(
(
!
习!
题!
#
泰勒级数展开及应用
:!&
!
按照要求将下列函数展开成幂级数"并且求出收敛半径!
'
&
(
0
$在$
"
&
处)
!
'
"
(
&
$
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在$
"
&
处)
!
'
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(
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&
#
$
在$
"
.
处)
'
'
(
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在$
"
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"
处)
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'
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'
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"
&
'
"
(在$
"
#
处!
:!"
!
求在$
"
#
处的<=8$
和6;<$
的幂级数"并且由<=8$
和6;<$
的幂级数导出
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和6;<A$
的幂级数!
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!
试证%
'
&
(
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'
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(
'
$
#
"
(
6
$
6
'
$
#
"
%
"
(
!
"
:!'
!
完成下列各小题!
'
&
(将738$
在$
"
#
处展开成幂级数!
'
"
(求多值函数幂级数的展开式%
(
求)8
'
&
#
$
(和'
&
&
$
(
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"
#
处的展开式)
)
求)8$
$
"
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"
.
&
"
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$
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.
:
"
&
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处的展开式!
'
:
(试证@8
'
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"
(
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"
-
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6
"
&
+
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6
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!
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'
'
(试证对任意$
有0
$
#
&
&
0
$
#
&
&
$0
$
!
""
数学物理方法习题全解
'
%
(试证.
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#
'
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#
"
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"
"
$
$
*
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"
"
#
&
&
"
$
"*
&
)
*
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"
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平面上的解析函数!
罗朗级数展开及应用
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将函数按要求展开成罗朗级数!
'
&
(
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$
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(
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"
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'
&
(函数按下面要求能否展开成罗朗级数0并且说明其原因!
(
槡$在$"
#
和$
"
&
处的去心邻域展开成指定的分支)
)
0
738
&
$ 在$
"
#
处的去心邻域)
*
<06
&
$
#
&
在$
"
&
处的去心邻域)
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&
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在$
" >
的邻域!
'
"
(求.
'
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$
#
"
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:槡 (在$
'
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'
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&
$
#
6
('
#
%
$
%
&>
("求7
6
表达式"
其中4
是与$
无关的实参数!
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!
用长除法证明下列函数的罗朗级数"并求相应的围道积分!
'
&
(
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0
$
#
&
"
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&
"
&
&
&"
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'
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(
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#
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$
%
&
("并用柯西公
%"
第:
章!
泰勒级数!罗朗级数和留数
式和留数计算1
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0
$
$
'
$
"
&
&
(
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'
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%
$
"
&
'
(
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"
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!
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点("对于极点要指出阶数!
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(
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$
"
&
&(
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"
(
&
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为何种奇点"并求>
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(
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&
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$
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)
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'
"
(
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"
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阶极点"问.
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'
$
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(
2
'
$
(
及.!
'
$
(
2
'
$
(
分别以$
"
+
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用留数求积分
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求积分!
'
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(
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$
"
&
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'
&
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'
"
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=
0
&
$
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"
=
为包围$
"
#
的曲线)
'
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$
#
:
"
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"
"
"
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"
'
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'
'
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"
=
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(
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"
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:
"
)
$
"
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"
6
为正整数!
"
:!&:
!
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点留数求积分!
'
&
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$
"
"
$
:
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&
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&
&
$
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"
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'
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"
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"
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&
&
$
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'
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"
&
"
"
"
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数学物理方法习题全解
用留数求定积分
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'
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G
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为自然数()
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"
"求菲涅尔'
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&
&
(
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3"
第:
章!
泰勒级数!罗朗级数和留数
第%
章!
傅里叶变换
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!
正交函数系与广义函数
设%
2
+
"
- .
>
"在其上定义了函数系)
6
'
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(%
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"
#
"
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"& 的积分
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(
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#
"
6
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6
"
E
1
!
则称函数系是正交函数系)当7
"
&
"称为标准正交函数系"
)
6
'
%
(称为标准正交基!
通常称
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'
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'
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"
- .
>
是.
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(的定义域!
广义函数A
'
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(和,
'
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#
%
#
(特性如表'!&
所示!
表%#!
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广义函数A
'
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(和,
'
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(
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或同时满足三个条件%
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$!"
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一维傅里叶变换及性质
一维傅里叶级数与傅里叶变换的对比如表'!"
所示!
表%#"
!
一维傅里叶级数与傅里叶变换的对比
傅里叶级数 傅里叶变换及逆变换
定义
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数学物理方法习题全解
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傅里叶积分及应用
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章!
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上面这一组公式称为傅里叶余弦变换和傅里叶正弦变换"或者单边傅里叶变换!
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