LO SCRIGNO DI PROMETEO

COLLANA DI DIDATTICA, DIVULGAZIONE E STORIA DELLA FISICA

Direttore

Ettore GUniversità degli Studi di MilanoPiero Caldirola International Centre for the Promotion of Science

Comitato scientifico

Sigfrido BUniversità degli Studi di Pavia

Giovanni FUniversità degli Studi di Ferrara

Marco Alessandro Luigi GUniversità degli Studi di Milano

LO SCRIGNO DI PROMETEO

COLLANA DI DIDATTICA, DIVULGAZIONE E STORIA DELLA FISICA

La conoscenza completa delle leggi fisiche è la meta più alta a cui possa aspirare unfisico, sia che essa abbia uno scopo puramente utilitario. . . sia che egli vi cerchi lasoddisfazione di un profondo bisogno di sapere e la solida base per la sua intuizionedella natura.

Max P

La Fisica ha come scopo capire il rapporto tra l’uomo e la natura,non solo da un punto di vista scientifico, ma anche filosofico, e hacambiato in modo irreversibile la nostra vita tramite le sue ricadutetecnologiche.La spiegazione e la divulgazione dei concetti che stanno alla sua base,dati quasi per scontati, ma lungi dall’essere noti o compresi da molti,e l’evoluzione delle tecniche sperimentali, che hanno permesso discoprire le leggi che regolano i fenomeni naturali e delle teorie via viaelaborate, sono perciò argomenti di studio e riflessione di rilevanzaprimaria.Questa collana si rivolge a chi abbia desiderio di approfondire o discu-tere questi temi ed è aperta a chi voglia collaborarvi con contributioriginali.

Marino Dobrowolny

Problemi aperti della Fisica

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I edizione: luglio

Indice

Introduzione

Capitolo IFondamenti della Meccanica quantistica

.. L’esperimento delle due fenditure, – .. L’equazione di Schrö-dinger e il problema della misurazione, – .. Indagini sul problemafondazionale della meccanica quantistica, – ... La teoria dell’ondapilota, – ... La decoerenza ambientale, – ... L’equazione di Schrö-dinger modificata di Ghirardi Rimini e Weber (GRW), – ... Un possibileruolo della gravità nella riduzione dello stato quantico, – ... Meccanicaquantistica relazionale, .

Appendice I postulati della meccanica quantistica

Capitolo IIL’energia del vuoto quantistico

.. La nozione di campo quantistico, – .. Modi normali dei campi evettori di stato, – .. Energia di un campo nello stato di vuoto, –.. Calcoli della energia del vuoto, – ... Stime della densità di energiaper il vuoto virtuale, – ... Stima della densità di energia del vuoto deicampi quantistici, .

Appendice Il principio di indeterminazione di Heisenberg

Appendice Il principio di esclusione di Pauli

Appendice Quantizzazione dell’oscillatore armonico

Indice

Appendice Quantizzazione del campo di Klein–Gordon

Appendice La lunghezza di Planck

Capitolo IIIIl Modello Standard e il quadro attuale delle particelle elementari

.. Le forze fondamentali e il Modello Standard, – .. L’Interazioneelettromagnetica, – .. L’interazione forte, – .. La forza debole, – .. Simmetrie di gauge, – .. Rottura spontanea della simmetria, – .. Il campo di Higgs, – .. L’assoluta necessità di un campo diHiggs, – .. Il campo di Higgs nella storia dell’Universo, – .. Unquadro riassuntivo delle particelle elementari, .

Appendice La costante di struttura fine

Appendice Invarianza di gauge della elettrodinamica quantistica

Capitolo IVOltre il Modello Standard

.. Problemi aperti del Modello Standard, – .. I neutrini, –.. Il problema della gerarchia, – .. Il problema della asimmetriacosmica di materia e antimateria, – .. La materia oscura, –.. Teorie oltre il Modello Standard, – ... Teorie di Grande Unifi-cazione (GUT’s), – ... Teorie supersimmetriche, – .. Alla cacciadella materia oscura, .

Capitolo VL’espansione dell’Universo e le cosmologie della relatività generale

.. La scoperta di Hubble, – .. L’espansione dell’Universo nellameccanica newtoniana, – .. Le cosmologie della relatività genera-le, – .. La costante cosmologica, – .. Soluzione cosmologicacon materia e costante cosmologica, .

Appendice Energia dello stato di vuoto dei campi quantistici

Indice

Capitolo VICosmologia osservativa

.. Breve storia dell’Universo, – .. L’Universo prima della rotturadella simmetria elettrodebole, – .. Osservazioni della radiazionecosmica di fondo, – .. Misure dello spettro delle fluttuazioni ditemperatura, – .. La scoperta della accelerazione dell’ Universoattuale, .

Capitolo VIIL’ipotesi inflazionaria

.. Problemi con la teoria standard del Big Bang e l’ipotesi inflaziona-ria, – .. Meccanismo fisico della inflazione, – .. Il modelloΛCDM, .

Capitolo VIIIProblemi aperti della Cosmologia

.. La costante cosmologica, – ... Il problema della energia delvuoto quantistico, – ... Il problema della costante cosmologica, –.. L’evoluzione dell’entropia nell’Universo, – .. Problemi connessicon l’inflazione, .

Capitolo IXVerso la quantizzazione della gravità: i buchi neri

.. Le singolarità delle equazioni di Einstein, – .. Le stelle oscure diMitchell e Laplace, – .. La soluzione di Schwarzschild alle equazionidi Einstein, – .. Evidenze osservative di buchi neri, – .. Buchineri e natura dello spazio tempo, – .. Buchi neri e termodinamica, – .. Radiazione di Hawking, .

Appendice Cenni sulla evoluzione stellare

Capitolo XGravità quantistica

.. Incompatibilità della meccanica quantistica con la relatività gene-rale, – .. Teorie delle stringhe, – .. Gravità quantistica aloop, – .. La quantizzazione della geometria, – .. Altri risul-tati della gravità quantistica a loop , – .. Verifiche sperimentali,

Indice

– .. Il problema del tempo, – .. Verso una teoria di tutte leinterazioni, .

Bibliografia

Introduzione

Il secolo scorso è stato caratterizzato da due grandi rivoluzioniscientifiche che hanno ridefinito i fondamenti della fisica. Si trat-ta, naturalmente, della meccanica quantistica e della relatività diEinstein.

La meccanica quantistica si può dire iniziata nel con l’ipo-tesi che l’energia della radiazione si presenti in pacchetti discreti el’introduzione della costante di Planck.

Nel Einstein introduceva la relatività speciale, rivoluzionandolo spazio e il tempo newtoniani, e, circa venti anni dopo, la relativitàgenerale che è una teoria anche essa rivoluzionaria, della gravità,che sostituiva la gravitazione di Newton.

Nel seguito, partendo da Dirac, la meccanica quantistica vienecombinata con la relatività speciale. Si scoprono nuove particellecome il neutrone, il neutrino e centinaia di altre particelle elementari.Si capisce che la totalità dei fenomeni naturali è imputabile a forze:l’elettromagnetismo, la gravità, la forza nucleare forte (che tieneinsieme i nuclei atomici) e la forza nucleare debole (responsabile deifenomeni radioattivi).

Neli anni ‘, si era arrivati a una complessa teoria, denominatail Modello Standard delle particelle elementari, capace di spiegaretutti gli esperimenti sulle particelle effettuati con gli acceleratori.L’ultima scoperta sperimentale che convalida il Modello Standard,è in effetti, quella del bosone di Higgs, rivelato nel nel LargeHadron Collider di Ginevra.

In maniera simile, la relatività generale di Einstein ha avuto nume-rose conferme sperimentali, dalla anomalia del perielio di Mercurio,all’incurvamento dei raggi luminosi in un campo gravitazionale, allaconferma della dilatazione del tempo (gravitational red shift). Infineuna conferma indiretta, ma molto precisa, delle onde gravitazionalipredette dalla teoria, si è ottenuta dalla osservazione della radiazioneemessa da un sistema di pulsar binarie. In conclusione, si può dire

Introduzione

che, per la prima volta nella storia della fisica, il Modello Standarddella fisica delle particelle e la relatività generale di Einstein, ci hannodato un background teorico in accordo, senza eccezioni, con i risultatidegli esperimenti.

A questo bisogna aggiungere che la relatività generale, applicatada Einstein stesso all’intero Universo, prevedeva la sua espansione,poi confermata dalle osservazioni di Hubble sull’allontanamento dellegalassie. Queste, e altre osservazioni astronomiche, sempre nel secoloscorso, hanno consolidato la cosmologia in una scienza sperimentale.In questo campo ha preso corpo l’ipotesi di un Big Bang iniziale e,anche qui, è stata sviluppata quella che possiamo chiamare una teoriastandard dell’Universo primordiale.

Questo grande progresso, con le conseguenti ricadute tecnologi-che, ha però lasciato alcuni problemi fondamentali aperti e, nonostantemolto lavoro, non si può dire che si sia fatto, negli anni dal adoggi, un sostanziale progresso, intendendosi per sostanziale progressouna chiarificazione definitiva dei problemi stessi.

L’opinione è, in effetti, che, per superare tali problemi, occorra in-trodurre dei nuovi principi fondamentali, come fu fatto per la relativitàgenerale e la meccanica quantistica.

Ricordo adesso brevemente quali sono questi problemi che verran-no poi meglio inquadrati e discussi nel resto del libro.

Il primo problema riguarda i fondamenti della meccanica quanti-stica. La teoria divide sostanzialmente la natura in due parti. Da unaparte c’è il sistema che vogliamo osservare, dall’altra c’è l’osservatorecon, eventualmente, le sue apparecchiature sperimentali.

Conosciamo lo stato del sistema solo quando interagisce con l’os-servatore, cioè quando è misurato, mentre non possiamo dire nientesu questo stato prima della misura, o in assenza di osservatori.

Questo contrasta con una visione realistica del mondo, secondo laquale, la maniera in cui la scienza descrive la realtà non deve involvere,in alcun modo, un procedimento di misura. Il ché è un altro modoper dire che il mondo reale deve esistere indipendentemente da noi.

Se si accetta questa visione realistica del mondo, c’è dunque unproblema con la meccanica quantistica quale è attualmente presentata.Questo si chiama il problema fondazionale della meccanica quantisticaed è il primo grande problema aperto.

Introduzione

Problema n. : Il problema fondazionale della meccanica quantistica

Aggiungo che, su questo problema, si dibatte da circa un secolo, daiprimi scontri tra la concezione di Bohr e Heisenberg da un lato, e leopinioni di Einstein e Schrödinger che ritenevano che la teoria deiquanti fosse una descrizione incompleta della natura.

Veniamo adesso al Modello Standard delle particelle elementariche si è gradualmente sviluppato a partire da un adeguamento allarelatività speciale della meccanica quantistica. Il Modello Standard,nonostante il suo straordinario accordo con tutti i risultati sperimentaliad oggi, ha un grosso problema che è quello di avere una lunga listadi costanti da aggiustare. Queste costanti specificano proprietà delleparticelle, come la massa dei leptoni e dei quark , o l’intensità delleforze. Per ottenere lo straordinario accordo con gli esperimenti cheabbiamo menzionato, i valori usati nel Modello Standard sono quelliottenuti da misure sperimentali. Tuttavia, la teoria continuerebbea essere consistente (ma non in accordo con gli esperimenti), perqualunque altro valore di queste costanti.

Ci sono in tutto circa costanti da aggiustare il ché è evidente-mente in contrasto col fatto che si vorrebbe avere a che fare con unateoria fondamentale. La distanza da una teoria fondamentale apparechiaramente quando si confronti il Modello Standard con la teoria del-la relatività generale che contiene una sola costante e cioè la costantedi gravitazione.Il secondo Problema aperto à dunque il seguente:

Problema n. : Spiegare come i valri delle costanti libere nel ModelloStandard delle particelle elementari siano scelte in natura

Questo naturalmente indica la necessità di una teoria, oltre il ModelloStandard, e di cui il Modello Standard sia una approssimazione. Questateoria viene cercata, come diremo, nella unificazione delle forze e,una volta trovata, dovrebbe anche rispondere al Problema n. .

Un terzo problema, sempre di natura fondamentale, viene dallaconsiderazione del fatto che le due teorie fondamentali del ◦

secolo, la teoria dei quanti e la relatività generale, soffrono dellapresenza di singolarità o, in maniera equivalente, portano a valoriinfiniti per certe quantità.

Introduzione

Nella teoria dei campi quantistici, alla base del Modello Standard, leinfinità derivano appunto dal fatto che si usa la teoria per descriveredei campi. Il problema è che un campo ha valori in ogni punto dellospazio, il che conduce a un numero infinito di variabili. Per di più, nellateoria quantistica, queste variabili fluttuano in maniera incontrollata.È questo che conduce a un risultato infinito per certe quantità. Questiinfiniti sono, per così dire, controllati, nella teoria dei quanti, con unaprocedura detta di rinormalizzazione. La procedura è tuttavia moltoartificiosa e il problema di fondo rimane.

D’altra parte, la relatività generale ha problemi con gli infiniti quan-do si considera l’interno di un buco nero, dove la densità della materiae la curvatura dello spazio diventano infinite. E lo stesso succedequando ci avviciniamo al Big Bang, usando la relatività generale perdescrivere l’Universo primordiale.

In aggiunta al problema degli infiniti, c’è il fatto, che discuteremopiù avanti, che la meccanica quantistica e la relatività generale sono in-compatibili fra loro. Esse sono sopravvissute in maniera indipendentefino ad ora, perché abbiamo scelto di dividere la nostra descrizionedel mondo in due parti. In una parte, il mondo atomico e sub atomicosegue la teoria dei quanti e la gravità si può ignorare perché la forzacorrispondente è trascurabile rispetto alle altre forze. In un’altra parte,quella della gravitazione e della cosmologia, dove le dimensioni so-no grandi, si può usare la relatività generale e si possono ignorare ifenomeni quantistici.

È chiaro che questa situazione va superata e questo conduce alproblema fondamentale n. :

Problema n. : Combinare la relatività generale con la teoria dei quantiin un’unica teoria che si possa eventualmente identificare come la teoriacompleta della natura

Questo è il problema della gravità quantistica sul quale, come ve-dremo, si sono fatti molti passi avanti negli ultimi anni, anche serimangono questioni irrisolte.

Veniamo adesso a quei problemi aperti che vengono, in particolare,dalla astrofisica e dalla cosmologia.

Con diverse osservazioni, e nell’arco di decenni, gli astronomisi sono resi conto che il moto delle stelle nelle galassie richiede la

Introduzione

presenza di una massa molto maggiore, anche volte superiore, aquella che si desume dalle osservazioni dirette del contenuto dellagalassia.Questo eccesso di massa viene indicato come materia oscura.

È infatti materia che noi non vediamo in quanto non emette nériflette la luce. Si tratta quindi di materia che non è presente nelModello Standard delle particelle elementari. Questo dà luogo a unaltro problema della fisica moderna:

Problema n. : Cosa è la materia oscura

La sua soluzione, a meno che non si voglia mettere in discussionele leggi di Newton, e quindi la relatività generale, va cercata oltre ilModello Standard.

Andando a scale più grandi, quelle della cosmologia, dai dati dellaradiazione di fondo si è ottenuta una alta uniformità della materia e,inoltre, che l’Universo, tra le possibili geometrie, è piatto.

Per spiegare questi fatti, è stata introdotta, nel , l’idea dellainflazione, cioè di un periodo brevissimo di espansione acceleratadell’Universo. Questa idea sembrava risolvere semplicemente tutti iproblemi e adesso è accettata da gran parte degli astrofisici.

Vedremo tuttavia che ci sono numerose critiche a questa idea, nonultimo il numero dei parametri che bisogna fissare per farla funzionare.Anche l’inflazione si può quindi considerare un problema aperto:

Problema n. : Necessità reale di una inflazione e sua natura

Inoltre, sempre dalla piattezza dell’Universo, e dalle percentuali dimateria visibile e materia oscura, si deriva che manca ancora unagrande quantità di massa (o energia). Questa viene denominata ener-gia oscura. Più precisamente, il % della densità di materia apparenella forma di energia oscura, il % nella forma di materia oscurae solo il % è materia ordinaria. Dunque, abbiamo osservato speri-mentalmente solo parte su del contenuto dell’Universo, mentre ilrestante % è sconosciuto.

Questa energia oscura, vedremo, è associata a una forza repulsivanelle equazioni cosmologiche (il termine della costante cosmologica)e questa forza è stata in effetti confermata da osservazioni astrofisiche

Introduzione

su delle supernovae che indicano una accelerazione della espansionedell’Universo al tempo attuale.Abbiamo dunque un ulteriore problema aperto nella nostra lista:

Problema n. : Spiegare l’energia oscura e, quindi, il valore osservato dellacostante cosmologica

Siccome un termine di costante cosmologica viene, come vedremo,dalla energia del vuoto, e le possibili stime di questa energia, dalla teo-ria dei campi quantistici, sono enormemente più grandi rispetto al va-lore della costante cosmologica dedotto dalle osservazioni, possiamodire di avere un ulteriore problema aperto, di natura fondamentale:

Problema n. : La natura della energia del vuoto e un suo calcolo appropriato

Avendo dunque fatto un elenco, per così dire, di alcuni problemi apertifondamentali della fisica attuale, procederò, nel resto del libro, a inqua-drare meglio questi problemi (e altri ancora) e, inoltre, a descriverecosa si è fatto, o si sta facendo, per cercare di risolverli.

Capitolo I

Fondamenti della Meccanica quantistica

Al contrario della relatività generale (come vedremo), la meccanicaquantistica venne sviluppata, ad opera di diversi scienziati e nel giro didiversi anni, sulla base di ottimi dati sperimentali che non si potevanospiegare con la fisica pre–esistente (la fisica classica). La teoria chene è seguita rappresenta una rivoluzione, rispetto alla meccanica diNewton, ancora più grande di quella intervenuta con le teorie dellarelatività di Einstein.

Nel seguito cercherò di accennare ai fondamentali della meccanicaquantistica e la sua strana visione del mondo. Come vedremo neconsegue, per lo meno agli occhi di molti, un problema, che abbiamoricordato nella introduzione e che possiamo chiamare “il problemafondazionale della meccanica quantistica”. Per quanto se ne discutasin dagli inizi della teoria, cioè da circa un secolo, il problema si deveconsiderare ancora aperto.

.. L’esperimento delle due fenditure

Secondo Feymann, tutte le caratteristiche essenziali della meccanicaquantistica sono contenute nell’esperimento delle due fenditure.Nello stesso tempo, i risultati di questo esperimento, indicano anchechiaramente il formalismo che si deve usare per spiegare quantoosservato. Questo formalismo (e, in effetti, la base di postulati dellameccanica quantistica), è estremamente semplice mentre le sueconseguenze, rispetto alla descrizione classica del mondo, sonostraordinarie.

Vediamo dunque l’esperimento delle due fenditure (ancorché inuna versione ideale), e riferiamoci agli elettroni, ricordando peròche questo esperimento, e altri simili con particelle diverse daglielettroni, è stato effettivamente realizzato.

Problemi aperti della Fisica

La figura . è uno schema dell’esperimento.

Figura .. Schema dell’esperimento delle due fenditure.

A sinistra abbiamo un cannone di elettroni. Gli elettroni (mono–energetici), sono diretti verso una parete con due fenditure, indicatecon e . A destra di questa parete, c’è una piastra dove vanno aurtare gli elettroni e, su questa piastra, possiamo pensare di mettereun rivelatore connesso con un altoparlante.

La prima cosa da notare è che, corrispondentemente alla rivela-zione degli elettroni, sentiamo dei click, sempre dello stesso tipo.La loro frequenza si può variare, se muoviamo il rilevatore nelladirezione x, ma i click restano inalterati. Questo è consistente conl’idea che vengano rilevate singole particelle.

Muovendo il rilevatore, possiamo determinare la probabilità dirivelare un elettrone a un certo x. Questa curva di probabilità èquella indicata con P alla estrema destra della figura, e rappresenta,chiaramente, un effetto di interferenza.

Come la possiamo interpretare? I click corrispondono ai singolielettroni e un elettrone, diremmo, o è passato attraverso la fenditura o attraverso la fenditura . Assumendo questo, gli elettroni chesentiremo sulla piastra terminale si dividono dunque in due classi,quelli che sono passati attraverso e quelli che sono passati attraver-so . Perciò la curva di probabilità (funzione di x) che misuriamodovrebbe corrispondere alla somma degli effetti degli elettroni chepassano da e di quelli che passano da .

. Fondamenti della Meccanica quantistica

Ma questo lo possiamo verificare sperimentalmente. Prima guardiamogli elettroni che vengono dalla fenditura e, per questo, chiudiamo lafenditura . Contiamo i click del rivelatore (in funzione di x) e otte-niamo la curva di probabilità indicata con P (questa, con un massimocorrispondente alla fenditura , sembra perfettamente ragionevole).Facciamo la stessa cosa per ottenere la distribuzione di probabilità de-gli elettroni che passano dalla fenditura (cioè questa volta chiudiamola ) e otteniamo la curva P che ha un massimo corrispondente allafenditura .

Ora, come si vede dalla figura ., il risultato ottenuto con tutte edue le fenditure aperte (P), non è sicuramente la somma di P e P,cioè delle probabilità relative a ciascuna fenditura

P 6= P + P

Possiamo cercare di immaginare ogni sorta di possibili complicazioniper le traiettorie degli elettroni che potrebbero passare da , per tornareindietro e quindi passare da ecc., ma, per quante complicazioniconsideriamo, non riusciremo mai a ottenere P. Il risultato P, chemostra una interferenza, come ci si aspetterebbe da onde e non daparticelle, è dunque essenzialmente un mistero.

Tuttavia, possiamo legare P con P e P con una matematicaestremamente semplice. Quello che accade nella parete finale delnostro esperimento si può spiegare attraverso due numeri complessiφ e φ (che sono, naturalmente, funzioni di x). Il valore assoluto alquadrato di φ (funzione di x), dà il risultato che vediamo quando solola fenditura è aperta, cioè

P=|φ|

Analogamente, quando è aperta solo la fenditura , quello che vedia-mo è

P=|φ|

Quando tutte e due le fenditure sono aperte, d’altra parte, si ottieneP da

P=|φ +φ|

Problemi aperti della Fisica

Questa è però evidentemente la matematica con cui si rappresentanole onde.In conclusione, i click ci dicono che gli elettroni arrivano come parti-celle, ma la loro distribuzione probabile sulla piastra finale corrispondealla distribuzione di intensità di un’onda. In questo senso potremmodire che si comportano, in parte come particelle, e in parte come onde.Possiamo sintetizzare quanto sopra nel modo seguente:

a) La probabilità P di un evento è data dal quadrato del valore asso-luto di un numero complesso φ che viene chiamato ampiezzadi probabilità o funzione d’onda

P = probabilità φ = ampiezza di probabilità P = |φ|

b) Quando un evento si può verificare in diversi modi alterna-tivi, ll’ampiezza di probabilità è la somma delle ampiezze diprobabilità

φ = φ +φ

e la probabilità è data da

P=|φ +φ|

cioè si ha interferenza. In altre parole, se associamo l’ampiezzadi probabilità con lo stato dell’elettrone, dobbiamo dire chel’elettrone è in una sovrapposizione di stati.

c) Se invece nell’esperimento si scieglie l’alternativa, la probabilitàdell’evento diventa la somma delle probabilità per ciascunaalternativa.

Cosa succede se si hanno fenditure? Si hanno tre ampiezze di proba-bilità φ, φ, φ e l’ampiezza di probabilità totale è data dalla sommadelle tre ampiezze

φ = φ +φ +φ

La figura che si ottiene sullo schermo finale corrisponde allora a unaprobabilità

P=|φ +φ +φ|