Control Resumen Final

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Contiene el resumen de los contenidos de teoria de control 1

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  • TEORA DE CONTROL I - Segundo Interciclo

    Andrade Andrade Carlos DanielChica

    candradea@est.ups.edu.ec

    Paul Marcelo Cando Naula

    pcando@est.ups.edu.ec

    Wilson Vinico Astudillo Calderon Chica

    wastudilloc@est.ups.edu.ec

    Byron Javier Carmona Chica

    bcarmona@est.ups.edu.ec

    Mara Fernanda Mena

    mmenas@est.ups.edu.ec

    Daniel Arvalo

    darevaloc@est.ups.edu.ec

    Universidad Politcnica Salesiana, Sede Cuenca

    Teora de Control I

    19 de febrero de 2015

  • Captulo 1

    Correccin del Examen Interciclo

    1.1. Encontrar la funcin de transferencia del siguiente sistema, con

    variable de estados y realizar su grca de estados:

    Figura 1.1: Sistema elctrico - masa resorte

    Donde:

    R,L,C, k,m,B = 1

    x(s)

    Va(s)=?

    Sistema elctrico:

    Va = VR + VL + VC

    Va = i(t) + Ldi(t)

    dt+

    1

    C

    i(t)dt

    Va = i(t)R+ Li(t) +

    1

    C

    i(t)dt

    Resolvemos mediante variables de estado, dando a x1 el menor valor de la derivada:

    x1 =

    i(t)dt

    x2 = x1 = i(t)

    Reemplazando, obtenemos:

    1

  • CAPTULO 1. CORRECCIN DEL EXAMEN INTERCICLO 2

    Va = Rx2 + Lx2 +1

    Cx1

    Ahora obtenemos:

    x1 = x2

    x2 =VaL RLx2 1

    LCx1

    Sistema masa-resorte:

    Tomamos en cuenta la siguiente ecuacin: F = ma

    Obtenemos:

    F kxBx = mxObtenemos las variables de estado:

    x3 = x

    x4 = x3 = x

    Reemplazando, obtenemos:

    F kx3 Bx4 = mx4Como:

    F =i

    2=x22

    i

    2 kx3 Bx4 = mx4

    Seguidamente obtenemos:

    x3 = x4

    x4 =x22m kmx3 B

    mx4

    Armamos nuestra matriz de estados:x1x2x3x4

    =

    0 1 0 01/LC R/L 0 0

    0 0 0 10 1/2m k/m B/m

    x1x2x3x4

    +

    01/L00

    VaLa salida ser:

  • CAPTULO 1. CORRECCIN DEL EXAMEN INTERCICLO 3

    y =[

    0 0 1 0]

    x1x2x3x4

    Con estos datos, podemos obtener nuestra grca de estados:

    Figura 1.2: Grca de estados del sistema elctrico - masa resorte

    Aplicamos de Ley de Mason:

    M =

    k0

    Mk4k4Donde:

    k Nmero de trayectorias directasMk Ganancia de la K-sima trayectoria directa entre la entrada y la salida.4 = 1

    i

    Li1 +j

    Lj2 l

    Ll3 + ....

    4k 4 a excepcin de los lazos que tocan la K-sima trayectoria.Lj1 Ganancia de lazos individuales.Lj2 Producto de ganancias de pares de lazos que no se tocan entre s.

    k = 1

    M1 =1

    s4

    (slo tiene 1 trayectoria)

    L11 = Bms

    L21 = kms2

    L31 =1

    2ms3

  • CAPTULO 1. CORRECCIN DEL EXAMEN INTERCICLO 4

    L41 = RLs

    L51 = 1LCs2

    L61 =1s2

    L

    L12 = L11 L41 = BRmLs2

    L22 = L11 L51 = BmLCs3

    = 1( Bms kms2

    +1

    2ms3

    )+

    (BR

    mLs2+

    B

    mLCs3

    )

    = 1 +B

    ms+

    k

    ms2 1

    2ms3+

    BR

    mLs2+

    B

    mLCs3

    1 = 1

    M(s) =1/s4 (1)

    1 + Bms +kms2 12ms3 + BRmLs2 + BmLCs3

    M(s) =1

    s4 + s3B/m + ks

    2/m s/2m + BRs2/mL + sB/mLC

    1.2. Encontrar la forma de onda de salida para la gura, si la salida

    esta estabilizada y esta en el tiempo 3 encontra la salida para

    t>3.

    Si es de primer orden

    = 1seg

    = 0.2

  • CAPTULO 1. CORRECCIN DEL EXAMEN INTERCICLO 5

    Figure 1.3: Grca dada

    k =Y

    R=

    4

    2= 2

    por lo tanto la salida para cuando la entrada vara a 3 esta se estabilizara en:

    Y = k R

    Y = 2 3 = 6por lo tanto la salida para cuando la entrada varia a 1 esta se estabilizara en:

    Y = k R

    Y = 2 1 = 2

    Figure 1.4: Grca de salida

    1.3. Encontrar la forma de onda de salida para la gura y acotar Yss

    k =Y

    R=

    3

    2= 1.5

  • CAPTULO 1. CORRECCIN DEL EXAMEN INTERCICLO 6

    Por lo tanto la salida para cuando la entrada vara a 1 esta se estabilizara en:

    Y = k R

    Y = 1.5 1 = 1.5

    Figure 1.5: Grca de salida

    1.4. Calcular y gracar los polos en el plano (s) de:

    G(S) =8

    6s2 + 12s+ 24

    Calculamos los polos, usando la formula para ecuaciones cuadrticas:

    bb2 4ac2a

    12122 4(6)(24)2(6)

    = 1 j1.73

    Entonces, las races sern:

    S1 = 1 j1.73

    S2 = 1 + j1.73

  • CAPTULO 1. CORRECCIN DEL EXAMEN INTERCICLO 7

    Figure 1.6: POLOS

    Calculamos y acotamos el valor de , n, .

    G(S) =8

    6s2 + 12s+ 24

    Basndonos en la frmula:

    G(S) =2n k es

    s2 + 2ns+ 2n

    Tenemos:

    G(s) = 1.3S2+2s+4

    2n = 4

    n = 2

    = 1.73

    = wn

    1 = 2

    = 1/2

    = cos1(/wn) = cos1(1/2) = 60 grados

  • CAPTULO 1. CORRECCIN DEL EXAMEN INTERCICLO 8

    Figure 1.7: Acotaciones para los valores obtenidos.

    Determinamos y(t) para t=2seg y t=10seg con una entrada escaln R=3

    Cuando t = 2seg

    y(t) = 1 ewnt

    1 2 sin(wn

    1 2 + cos1())

    y(2) = 1 e1/2221 (1/2)2 sin(2

    1 (1/2)2 + cos1(1/2))

    y(2) = 0.8623

    Cuando t = 10seg

    y(t) = 1 ewnt

    1 2 sin(wn

    1 2 + cos1())

    y(2) = 1 e1/22101 (1/2)2 sin(2

    1 (1/2)2 + cos1(1/2))

    y(2) = 0.99

  • Captulo 2

    DETERMINACIN DE

    CARACTERSTICAS

    2.1. MODELOS DE PRIMER ORDEN

    La estabilidad de sistemas lineales e invariantes en el tiempo se puede determinar al vericar la ubicacin

    de las races de la ecuacin caracterstica del sistema, un modelo de primer orden posee la siguiente ecuacin

    caracterstica:

    Donde k es una constante que dene la magnitud de salida al estabilizarse, es el tiempo muerto, es decir eltiempo que se demora en empezar a responder el sistema, y es es el tiempo que se demora para que la salidallegue a su estado estable.

    Si se aplica una entrada escaln el sistema, este responde de una manera exponencial como se muestra en la

    gura (1).

    Figura 2.1: Respuesta al escaln para un sistema de primer orden

    Si se analiza la relacin entre la entrada y la salida, se puede observar que hay una diferencia entre las

    magnitudes que llega a tener la salida la cual esta denida por

    k =y

    R=yssR(2.1)

    Si la entrada sufre alguna variacin, la salida tambin se va a ver afectada.

    9

  • CAPTULO 2. DETERMINACIN DE CARACTERSTICAS 10

    2.2. CRITERIOS PARA DETERMINAR

    1. Primer criterio para determinar : Este criterio consiste en trazar una recta tangente a la curvade la seal de salida, y luego trazar una recta horizontal en el punto en el cual la seal de salida alcanza

    yssy as obtenemos el punto en el cual se cruzan las dos rectas para obtener ; sin embargo este criteriono es el mejor pero puede ser usado para una primera apreciacin de la seal.

    Figura 2.2: Primer criterio para determinar

    2. Segundo criterio para determinar : Este criterio consiste en trazar una recta tangente al puntodonde la seal alcanza el 63% de el nivel en el cual la seal de salida llega a estabilizarse, y luego trazar

    una recta horizontal en el punto en el cual la seal de salida alcanza yssy as obtenemos el punto en elcual se cruzan las dos rectas para obtener ; este criterio es mejor que el primero pero aun no es el maseciente.

    Figura 2.3: Segundo criterio para determinar

    3. Tercer criterio para determinar : Este criterio consiste en encontrar los puntos en los cuales laseal de salida alcanza el 63% y el 28% de el nivel en el cual se estabiliza para as obtener .

  • CAPTULO 2. DETERMINACIN DE CARACTERSTICAS 11

    Figura 2.4: Tercer criterio para determinar

    4. Cuarto criterio para determinar : Cuando la seal posee mucho ruido y no es posible visualizaruna curva exacta, sino que es muy distorsionada, se puede trazar una curva aproximada a la seal de

    salida y esta se va a estabilizar en 4 o 5

    Figura 2.5: Tercer criterio para determinar

    2.3. MODELOS DE SEGUNDO ORDEN

    Para los sistemas de segundo orden se tienen las siguientes variables a considerar:

    tr tiempo de levantamiento: es el tiempo que se demora en llegar a yss por primera vez

    td time delay, es un tiempo de retarde de la seal

    mp es la variacin del pico mxima que se da a la salida.

    tss tiempo de estabilizacin, este es el tiempo en el cual la seal se encajona en 5 %

  • CAPTULO 2. DETERMINACIN DE CARACTERSTICAS 12

    Figura 2.6: Caractersticas para modelos de segundo orden

    to periodo de la seal de salida, es el tiempo entre los primeros picos de la seal de salida

    tiempo muerto, se da en To/2 es el instante en el cual responde el sistema

    Figura 2.7: Caractersticas para modelos de segundo orden

    Los modelos de segundo orden poseen una ecuacin caracterstica que tiene la siguiente forma:

    H(s) =kw2ne

    S

    S2 + 2wnS + w2n(2.2)

    2.4. ANLISIS DEL COMPORTAMIENTO DE SISTEMAS DE SE-

    GUNDOORDEN EN FUNCINDEL COEFICIENTE DE AMOR-

    TIGUAMIENTO

    Para el anlisis de sistemas es indispensable realizar un anlisis de los polos del sistema, es decir las races

    del denominador del polinomio ya que estas denen la estabilidad del sistema, para ello tomamos el modelo de

    sistemas de segundo orden con K=1 y = 0

  • CAPTULO 2. DETERMINACIN DE CARACTERSTICAS 13

    H(s) =w2n

    S2 + 2wnS + w2n(2.3)

    De donde se obtienen las siguientes races:

    S1 = wn + jwn

    1 2

    S2 = wn jwn

    1 2Se puede observar que la estabilidad del sistema depende de que los polos estn en el semi plano izquierdo

    de el eje imaginario, para ello tiene que ser mayor a cero, al realizar un anlisis de el comportamiento de lossistemas al variar se observan las posibles condiciones del sistema.

    SISTEMA OSCILANTE: Sus polos se encuentran justo sobre el eje imag