Cursopro-calculo Ago2014 v3

INSTITUTO TECNOLGICO DE SAN LUIS POTOS

1

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS

Mientras el lgebra y la geometra tomaron caminos distintos,

su avance fue lento y sus aplicaciones limitadas. Pero

cuando las dos ciencias se complementaron, se contagiaron

una a la otra de vitalidad, y de ah en adelante marcharon

con ritmo rpido hacia la perfeccin.

Joseph-Louis Lagrange

3ra EDICIN Agosto de 2014

PRO-CLCULO


2

PROGRAMA DE FORTALECIMIENTO ACADMICO EN EL REA DE MATEMTICAS PARA

ESTUDIANTES DE PRIMER INGRESO AL ITSLP

Mensaje para los estudiantes:

Este curso es una iniciativa del departamento de ciencias bsicas y un esfuerzo simultneo del

propio departamento, subdireccin acadmica y la direccin de esta institucin con el propsito de

contribuir a recuperar algunos conceptos matemticos bsicos que hayas extraviado en el sinuoso

camino que te trajo hasta aqu, o bien segn sea tu caso; ofrecerte la oportunidad de reafirmar los

antecedentes mnimos necesarios para iniciarte en el fascinante estudio del clculo diferencial e integral.

Conforme vayas descubriendo cosas nuevas que consideres te sean de utilidad, tendrs la

sensacin de haber estado una gran parte de tu vida en una habitacin a oscuras, en donde podas tocar

los muebles, las paredes y la puerta; pero sin llegar a saber cmo eran en realidad.

Esperamos que este curso y los prximos que te ofrezca este departamento te ayuden a

encender la luz para ver lo que siempre ha estado ah. Descubrirs que es lo que hay, donde se

encuentra y lo que puedes hacer con ello. Esto es algo que en un futuro tu profesin te lo agradecer. Te

aseguramos que lograrlo depende en gran parte de tu actitud hacia el trabajo.

Con el orgullo e identidad de nuestra historia cmo institucin de prestigio en educacin

superior nos planteamos permanentemente la siguiente pregunta: qu buscamos, sino la perfeccin, en

el intento de mejora continua inherente a todo profesional? Lograrlo es muy difcil pero intentarlo debe

ser obligatorio.

Bienvenido al Instituto Tecnolgico de San Luis Potos!


3

Calendario de actividades


4

ndice

1 Aritmtica ...................................................................................................................................... 6

1.1 Jerarqua de operaciones .......................................................................................................... 6

1.2 Potenciacin ............................................................................................................................. 7

1.3 Radicacin .............................................................................................................................. 11

1.4 Reduccin y Simplificacin de Quebrados ............................................................................... 15

1.4.1 Reduccin de quebrados ................................................................................................. 15

1.4.2 Simplificacin de quebrados ........................................................................................... 16

1.5 Operaciones con Nmeros Fraccionarios ................................................................................ 17

1.5.1 Suma de quebrados ........................................................................................................ 17

1.5.2 Resta de quebrados ........................................................................................................ 17

1.5.3 Multiplicacin de quebrados ........................................................................................... 18

1.5.4 Divisin de quebrados ..................................................................................................... 18

2 lgebra ......................................................................................................................................... 20

2.1 Conceptos bsicos .................................................................................................................. 20

2.1.1 Expresin algebraica ....................................................................................................... 20

2.2.1 Suma o adicin................................................................................................................ 26

2.1.2 Resta o sustraccin ......................................................................................................... 27

2.1.3 Multiplicacin de polinomios .......................................................................................... 27

2.3 Productos notables y Factorizacin ......................................................................................... 30

2.3.1 Productos notables ......................................................................................................... 30

2.3.2 Factorizacin................................................................................................................... 31

2.4 Fracciones algebraicas ............................................................................................................ 34

2.4.1 Operaciones con fracciones (operaciones bsicas) .......................................................... 34

2.5 Ecuaciones de primer grado con una incgnita. ..................................................................... 36

3 Geometra .................................................................................................................................... 38

3.1 Tringulo rectngulo ............................................................................................................... 38

3.1.1 rea, permetro .............................................................................................................. 39


5

3.1.2 Teorema de Pitgoras ..................................................................................................... 39

3.1.3 Funciones trigonomtricas: seno, coseno y tangente ..................................................... 40

3.2 Lnea recta .............................................................................................................................. 43

3.2.1 Plano cartesiano ............................................................................................................. 43

3.2.2 Grfica ............................................................................................................................ 43

3.2.3 Ecuacin de la recta y su grfica ...................................................................................... 44

3.3 Parbola ................................................................................................................................. 44

3.3.1 Grfica: Eje de simetra, foco, vrtice y concavidad ................................................................ 44

3.3.2 Ecuacin de la parbola: grfica y concavidad ........................................................................ 44

3.3.3 Forma estndar ..................................................................................................................... 45

4 Resolucin de Problemas .......................................................................................................... 47

4.1 Problemas de Aritmtica........................................................................................................ 50

4.2 Problemas de lgebra ............................................................................................................. 51

4.3 Problemas de pensamiento lateral.......................................................................................... 52

BIBLIOGRAFA........................................................................................................................................ 54


6

Mdulo 1 Aritmtica

Objetivo: Mediante una experiencia grata, relajada, consciente y casi placentera, el estudiante

reafirmar algunos conceptos de la Aritmtica Elemental.

Nota: No permitir el uso de calculadora, celular o Tablet.

1 Aritmtica

1.1 Jerarqua de operaciones

El orden en que se realizan las operaciones es: potenciacin y radicacin; despus multiplicacin y divisin, y por ltimo sumas y restas.

Signos de agrupacin: Son empleados para asociar dos o ms trminos y que las expresiones sean claras al indicar la jerarquizacin de las operaciones, se utilizan los siguientes signos:

a) Parntesis ordinario ( ) Ejemplo: (2x+3) b) Parntesis rectangular o corchete [ ] Ejemplo: [2 + (3-x)] c) Parntesis de llave { } Ejemplo: {1- [2 + (3-x)]} Y nos indican que las operaciones colocadas dentro de ellas deben de ser realizadas primero.

Saber

Saber Hacer


7

Ejercicios 1.1.1

Hallar el valor de:

1. ( ) ( )

2. ( )( )

3. ( ) ( ) ( ) ( )

4. ( )

5. ( ) ( )

1.2 Potenciacin

Si n es un nmero entero positivo y b es cualquier nmero real entonces: , n factores. Al nmero b se le llama base de la potencia y es el nmero que se multiplica por s mismo y a n se le da el nombre de exponente e indica las veces que la base se repite como factor.

En la expresin ( ) , realice las operaciones indicadas siguiendo el

orden correcto.

( ) ( )

Saber Hacer con

Autonoma

Saber

Saber Hacer


8

Ejercicios 1.2.1

Hallar el valor de:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. ( )

8. [( ) ] ( )

Ejemplo: La segunda potencia o cuadrado de un nmero es el resultado de tomarlo como factor dos veces.

La tercera potencia o cubo de un nmero es el resultado de tomarlo como factor tres veces.

Definicin del exponente cero: Si b es un nmero real diferente de cero, entonces: . As: , .

Se ha convenido en llamar la primera potencia de un nmero al mismo nmero. As: , .

Saber Hacer con

Autonoma

Saber Hacer


9

Producto De

Potencias De

Igual Base

( ) ( )

( ) ( )

Usando la regla 1. Para multiplicar potencias de la

misma base se suman los exponentes.

Cociente De

Potencias De

Igual Base

Usando la regla 2. Para dividir potencias de la

misma base se restan los exponentes.

Potencias De Los

Exponentes ( ) ( )

( )

Usando la regla 3. Los exponentes se multiplican

Regla 1. Si se multiplican nmeros de igual base los exponentes se suman:

Regla 2. Si se dividen dos nmeros de igual base los exponentes se restan:

Regla 3. En las potencias los exponentes se multiplican: ( )

Saber

Saber Hacer


10

Ejercicios 1.2.2

PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE

Encontrar:

COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE

Encontrar:

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

11. ( )

12. ( ) ( )

13. ( ) ( )

14.

15.

16.

( )

(

)

Propiedad distributiva para la multiplicacin:

Propiedad distributiva para la divisin:

Definicin del exponente entero negativo ( ): Si n es un entero y entonces

.

Saber Hacer con

Autonoma

Saber


11

Ejemplos: Ejercicios 1.2.3

Hallar el valor de:

1. ( )

2. ( )

3.

4. ( )

5. (

)

6. (

)

( )

1.3 Radicacin

Operacin: Solucin:

( ) ( )

(

)

(

)

RADICACIN. Consiste en hallar la base cuando se conoce la potencia y el exponente (operacin inversa de la potenciacin).

Saber Hacer con

Autonoma

Saber

Saber Hacer


12

En la prctica el ndice 2 se omite, por lo que:

, se escribe como

Ejercicios 1.3.1

Hallar el valor de: Determine la cantidad subradical en:

1.

2.

3. 4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Las races impares de una cantidad, tienen el mismo signo que la cantidad subradical.

Las races pares de una cantidad negativa no se pueden extraer porque toda cantidad ya sea positiva o negativa elevada a una potencia par da un resultado positivo.

Como , el nmero 4 que elevado al cuadrado da 16, es la raz cuadrada de de 16, lo que se expresa como

Saber Hacer con

Autonoma

Saber

Saber Hacer


13

Raz de un Producto

( )( )

( )( )

Raz de un Cociente

Raz de una Potencia

Raz de una Raz

Propiedades de los radicales: para k, n, m nmeros naturales mayores o iguales a 2, a y b nmeros reales.

1

RAZ DE UN PRODUCTO

2

RAZ DE UN COCIENTE

3

RAZ DE UNA POTENCIA

4

RAZ DE UNA RAZ

Ejemplos:

Saber Hacer

Saber Hacer

Saber


14

Ejercicios 1.3.2

Hallar el valor de: Resultado Resultado expresado con

exponente fraccionario

A partir de la propiedad 3, se deriva que:

Ejemplos:

, usando

, tenemos que

Expresado como exponente fraccionario

Saber

Saber Hacer

Saber Hacer con

Autonoma


15

1.4 Reduccin y Simplificacin de Quebrados

1.4.1 Reduccin de quebrados

Ejercicios 1.4.1

Convertir en quebrados Reducir:

1.

2. 3 a cuartos

3.

4. 5 a tercios

5.

6. 15 a onceavos

7.

8. 22 a treceavos

9.

10. 80 a 92avos

CONVERTIR UN MIXTO EN QUEBRADO. Se multiplica el entero por el denominador, y al producto se le suma el numerador, el resultado se divide entre el denominador.

Ejemplos: Convertir el nmero mixto

en quebrado impropio.

R:

( )

Ejemplos: Reducir 6 a quebrado equivalente de denominador 7.

R:

REDUCIR UN ENTERO A UN QUEBRADO DE DENOMINADOR DADO. Se multiplica el

entero por el denominador y el producto se divide entre el denominador.

Saber

Saber

Saber Hacer con

Autonoma

Saber Hacer


16

1.4.2 Simplificacin de quebrados

Ejercicios 1.4.2

Reducir a su ms simple expresin

1.

2.

3.

4.

5.

SIMPLIFICAR UNA FRACCIN. Es convertirla en otra fraccin equivalente cuyos trminos sean menores, para lo cual se dividen sus trminos sucesivamente entre los factores comunes que tengan.

Ejemplos: Reducir a su ms simple expresin

R:

Saber Hacer con

Autonoma

Saber

Saber Hacer


17

1.5 Operaciones con Nmeros Fraccionarios

1.5.1 Suma de quebrados

1.5.2 Resta de quebrados

SUMA DE QUEBRADOS. Se suman los numeradores y el resultado se divide entre el denominador comn, se simplifica el resultado y se encuentran los enteros si los hay.

( ) ( ) ( )

Ejemplos:

1. Efectuar

R:

2. Efectuar

R: simplificando lo quebrados:

El mnimo comn denominador es 420 (resultado de multiplicar 7 con 60, ya que 4 es divisor de 60). Entonces:

RESTA DE QUEBRADOS. Se restan los numeradores y el resultado se divide entre el denominador comn, se simplifica el resultado y se encuentran los enteros si los hay.

Saber

Saber Hacer

Saber


18

1.5.3 Multiplicacin de quebrados

1.5.4 Divisin de quebrados

( ) ( )

Ejemplos:

1. Efectuar

R:

2. Efectuar

R: simplificando lo quebrados:

El mnimo comn denominador es 80. Entonces:

MULTIPLICACIN DE QUEBRADOS. Se multiplican los numeradores y el resultado se divide entre el producto de los denominadores. Se simplifica el resultado y se encuentran los enteros si los hay.

Saber

Saber Hacer

Ejemplos:

1. Efectuar

R:

Saber Hacer

DIVISIN DE QUEBRADOS. Se multiplica el dividendo por el divisor invertido. Se simplifica el resultado y se encuentran los enteros si los hay.

Saber

Ejemplos:

1. Efectuar

R:

Saber Hacer


19

Ejercicios 1.5.1

SUMA Y RESTA MULTIPLICACIN Y DIVISIN SIMPLIFICACIN DE UNA

FRACCIN COMPLEJA

1.

(

) 1. (

)

1.

2.

(

) 2. (

)

2.

3.

(

) 3. (

)

3.

4.

(

) 4. (

)

4.

5. (

)

5.

(

) 5.

6.

(

) 6. (

) (

) 6.

7. (

) 7. (

)

)

7.

8.

(

) 8. (

)

8.

9. (

)

9. (

) (

) (

)

9.

10. (

) (

) 10. (

) (

) (

)

10.

Saber Hacer con

Autonoma


20

Mdulo 2 lgebra

Objetivo: Homogenizar y reforzar los conocimientos bsicos en lgebra, requeridos en las diferentes disciplinas del Sistema Tecnolgico. Nota: No permitir el uso de calculadora, celular o Tablet.

2 lgebra

2.1 Conceptos bsicos

2.1.1 Expresin algebraica

LGEBRA es la rama de las matemticas que estudia la cantidad considerada del modo ms

general posible.

En Aritmtica, se dice que se emplea el lenguaje numrico ya que solo se efectan operaciones

con nmeros. En lgebra, las cantidades se representan por medio de letras (las cuales pueden

representar todos los valores) para generalizar. Los smbolos empleados en lgebra para

representar las cantidades son los nmeros y las letras. Cuando se emplean letras, nmeros y

signos y adems se les usa como nmeros generalizados, se dice que empleamos el lenguaje

algebraico.

EXPRESIN ALGEBRAICA. Es la representacin de un smbolo algebraico o de una o ms

operaciones algebraicas.

TRMINO ALGEBRAICO es una expresin algebraica que consta de uno o varios smbolos no

separados entre s por el signo + o -.

El GRADO DE UN TRMINO puede determinarse respecto a una variable o bien respecto a

todas las variables que aparecen en el trmino (grado absoluto).

Saber


21

Ejemplo de clasificacin de un trmino algebraico:

TRMINO

ALGEBRAICO

COEFICIENTE FACTOR LITERAL GRADO CON

RESPECTO A

LA VARIABLE

GRADO

ABSOLUTO

---------

Clasifica los trminos algebraicos de la tabla siguiente:

TRMINO

ALGEBRAICO

COEFICIENTE FACTOR LITERAL GRADO CON

RESPECTO A LA

VARIABLE

GRADO CON

RESPECTO A LA

VARIABLE

GRADO

ABSOLUTO

TRMINO ALGEBRAICO

es el coeficiente numrico es el factor literal

Saber Hacer con

Autonoma

Saber Hacer


22

2.1.2 Clasificacin de las expresiones algebraicas

Ejemplo:

En el polinomio el trmino independiente con respecto a es 7.

Clasificacin Ejemplo

Monomio Tiene un trmino

Binomio Tiene dos trminos

Trinomio Tiene tres trminos

Polinomio Tiene varios trminos

Clasificacin

Monomio Tiene un trmino

Binomio Tiene dos trminos

Trinomio Tiene tres trminos

Polinomio Tiene varios trminos

El trmino independiente con respecto a una variable es el trmino que no contiene a dicha

variable.

Se dice que se ordena un polinomio, cuando se ordenan los trminos de tal manera que los

exponentes de una literal (la que se indique o se seleccione) se acomoden en orden

ascendente o descendente.

Saber

Saber Hacer


23

Clasifica y ordena las expresiones algebraicas de la tabla siguiente:

TRMINO ALGEBRAICO Ordena respecto a cualquier

letra en forma descendente

Ordena respecto a cualquier

letra en forma ascendente

2.1.3 Trminos semejantes Ejemplo: Los trminos y son semejantes ya que sus factores literales son iguales. Ejemplo: Reducir R: Paso 1: Agrupar los trminos positivos que contienen el factor literal y reducirlos a un solo trmino Paso 2: Agrupar los trminos negativos que contienen el factor literal y reducirlos a un solo trmino Paso 3: Restar los coeficientes dejando el signo del mayor

TERMINOS SEMEJANTES. Cuando dos o ms trminos tienen la misma literal se dice que son semejantes REDUCCIN DE TRMINOS SEMEJANTES. Es una operacin en la que la que varios trminos semejantes se reducen a un nico trmino.

Saber Hacer con

Autonoma

Saber

Saber Hacer


24

Reduce los trminos semejantes

2.1.4 Valor numrico Ejemplo:

Hallar el valor numrico de para y

R: Sustituimos y por su valor y tenemos ( )( ) ( )( )

Determina el valor numrico de las expresiones siguientes para:

VALOR NUMRICO DE UNA EXPRESIN ALGEBRAICA. Es el resultado que se obtiene al sustituir las literales por valores numricos dados y despus efectuar las operaciones indicadas.

Saber

Saber Hacer con

Autonoma

Saber Hacer con

Autonoma

Saber Hacer


25

2.1.5 Lenguaje algebraico Ejemplos:

1. Escriba la suma del cuadrado de con el cubo de .

R:

2. Compro libretas iguales por $m. Cunto me cost cada libreta?

R: cada libreta me cost $

3. Tena $12 y gast $ . Cunto me queda?

R: Me quedan $( )

4. Compr tres celulares a $ cada uno, seis memorias USB a $ y dos tablets a $ . Cunto gast?

Tres celulares a $ , el gasto por ellos es de $

Seis memorias USB a $ , el gasto por ellos es de $

Dos tablets a $ , el gasto por ellos es de $

R: El gasto total fue de $( )

Expresa las siguientes expresiones en lenguaje algebraico:

Escribe la suma de y

Escribe la suma del cuadrado de , el cubo de y la quinta

potencia de

Si es un nmero entero, escribe los dos nmeros enteros

consecutivos posteriores a

El Profesor Gustavo Vera tena $ , cobr $ y le regalaron $ ,

Cunto tiene en total?

Con las cantidades algebraicas representadas por literales pueden hacerse las mismas operaciones que con los nmeros aritmticos.

Saber

Saber Hacer con

Autonoma

Saber Hacer


26

2.2 Operaciones algebraicas

2.2.1 Suma o adicin

Ejemplo: Sumar R: Se agrupan los trminos semejantes con la variable y se reducen a un solo trmino: Se agrupan los trminos semejantes con la variable y se reducen a un solo trmino: Se agrupan los trminos semejantes con la variable y se reducen a un solo trmino: Entonces la suma es la reunin de los trminos resultantes

En la prctica los polinomios tambin se pueden sumar colocndose uno debajo del otro en columna.

Efecta la operacin indicada:

1.

2.

3.

SUMA. Es una operacin algebraica que tiene por objeto reunir dos o ms expresiones en una sola expresin algebraica.

Saber

Saber Hacer con

Autonoma

Saber Hacer


27

2.1.2 Resta o sustraccin

Ejemplo: de restar

( )


1. ( ) ( )

2. (

) (

)

3.

2.1.3 Multiplicacin de polinomios

RESTA. Es una operacin que tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (resta o diferencia). En la resta algebraica hay que restar del minuendo cada uno de los trminos del sustraendo.

MULTIPLICACIN. Es una operacin que tiene por objeto, dadas las cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad llamada producto.

El producto de dos o ms monomios es otro monomio obtenido a travs de:

1) La ley de los signos. 2) El producto de los coeficientes. 3) El producto de las variables de acuerdo con las leyes de los exponentes.

Para encontrar el producto de un monomio por un polinomio, se multiplica el monomio por todos y cada uno de los trminos de polinomio.

Para determinar productos entre polinomios, se aplica la propiedad distributiva. Esto es, se multiplica cada trmino de uno de los polinomios por los trminos del otro.

Saber

Saber

Saber Hacer con

Autonoma

Saber Hacer


28

Ejemplos: 1. Multiplicar

R:

2. Multiplicar ( )

R: ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3. Multiplicar( ) ( )

R:

Opcin 1: ( ) ( ) ( ) (( ) ( )) ( ) (( ) ( ))

Opcin 2 para multiplicar ( ) ( )


1. ( )( )

2. ( )( )

3. ( )( )

4. ( )( )

5. ( )( )

6. ( )( )

Saber Hacer con

Autonoma

Saber Hacer


29

2.1.4 Divisin de polinomios Ejemplo:

1. Dividir aentreabbaa 3 963 223

R: 22

223

323

963baba

a

abbaa

2. Dividir aaentreaaa 638 3246311 2253 R: Se ordenan los polinomios y se efecta la divisin

432

0

322412

322412

24189

32 309

16126

4636

863

32 4611 3863

23

2

2

23

23

234

234

345

2352

aaa

aa

aa

aaa

aa

aaa

aaa

aaa

aaaaa


1.

2.

3.

4.

5.

DIVISIN. Es una operacin que tiene por objeto dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor) hallar el otro factor (cociente).

Saber

Saber Hacer con

Autonoma

Saber Hacer


30

2.3 Productos notables y Factorizacin

2.3.1 Productos notables

. Ejemplo:

Determine el cuadrado del binomio R:

( ) ( ) ( )( ) ( )


1. (

)

2. (

)

3. ( )

4. (

)

5. ( )

( ) ( )

( ) ( )

Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccin; es decir sin efectuar la multiplicacin Cuadrado de un binomio: Es el cuadrado del primero ms el doble producto del primero por el segundo ms el cuadrado del segundo.

Cubo de un binomio: El cubo de la primera cantidad ms el triple producto del cuadrado del primero por el segundo ms el triple producto del primero por el cuadrado del segundo ms el cubo del segundo.

Saber

Saber Hacer con

Autonoma

Saber Hacer


31

2.3.2 Factorizacin

Ejemplos:

( )( ) ( )

Ejemplos:

( )( ) ( )( )

(

) ( )( )

Ejemplo:

( ) Ejemplos:

( )( ) ( )( )

FACTORIZACIN. Es el proceso de escribir un nmero o una expresin algebraica como el producto de otros nmeros o expresiones algebraicas se denomina factorizacin.

Frmulas especiales: ( ) ( )( ). Se usa para factorizar trinomios de la forma , para lo cual, se buscan dos nmeros que sumados den el coeficiente de x y multiplicados den el trmino constante c.

Trinomio cuadrado perfecto: Una cantidad es trinomio cuadrado perfecto si es producto de dos factores iguales, ( )

Diferencia de cuadrados: Es el producto de los binomios conjugados, ( )( )

Saber

Saber

Saber

Saber Hacer

Saber Hacer

Saber Hacer

Saber

Saber Hacer


32

Efecta las siguientes factorizaciones:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Ejemplos:

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

Ejemplos:

( ) ( )( ) ( )(

Diferencia de cubos: ( )( ) Suma de cubos: ( )( )

( )( ) Diferencia de dos ensimas potencias:

Saber Hacer con

Autonoma

Saber

Saber

Saber Hacer

Saber Hacer


33

Factorizacin por factores comunes

Ejemplos:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) Factorizacin por agrupamiento

Ejemplos:

( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) Factorizacin por el mtodo de completar el cuadrado: se completa el cuadrado sumando y restando el mismo trmino algebraico y se resuelve por diferencia de cuadrados Ejemplo:

R: ( ) ( )( )

( )( )


1.

2.

3. ( ) ( )

4. ( ) ( )

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Saber Hacer con

Autonoma

Saber Hacer


34

Ejemplo:

Factorizar R:

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( )


1.

2.

3.

4.

5.

6.

2.4 Fracciones algebraicas

2.4.1 Operaciones con fracciones (operaciones bsicas)

Trinomios de la forma , se diferencia al trinomio cuadrado perfecto en el coeficiente de x. Para Factorizar se multiplica el trinomio por el coeficiente del trmino cuadrtico, posteriormente se buscan dos nmeros que multiplicados den el trmino constante ( ) y sumados den el trmino lineal ( ) Finalmente se divide entre el nmero descompuesto en n factores y que son divisibles entre ellos.

Suma y resta (regla general) 1) Se simplifican las fracciones dadas si es posible. 2) Se obtiene el mnimo comn denominador. 3) Se efectan las operaciones indicadas. 4) Se suman los numeradores de las fracciones que resulten y se parte esta suma

por el denominador comn. 5) Se reducen trminos semejantes en el numerador. 6) Se simplifica la fraccin si es posible.

Saber

Saber Hacer

Saber Hacer con

Autonoma

Saber


35

Ejemplo:

( )

( )

Ejemplo:

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )( )

( )( )

( )( )


1.

2.

3.

4.

5.

( )

( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

Fracciones con denominadores compuestos, para encontrar el mnimo comn denominador se factoriza cada fraccin. El factor comn proviene de la factorizacin de cada uno de los denominadores:

( ) ( )( )

Saber

Saber Hacer con

Autonoma

Saber Hacer

Saber Hacer


36

Multiplicacin Ejemplo:

(

)(

) (

( ))(

( ))

( )( )( )

( )( )( )( )

Divisin Ejemplo:

( )

( ) ( )( )

( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )

( )


1.

2.

1.

3. (

)(

)

4. (

)(

)

5. (

) (

)

2.5 Ecuaciones de primer grado con una incgnita.

Ecuacin es una igualdad condicionada que est compuesta por trminos, cuyos valores no conocemos, denominados variables o incgnitas de la ecuacin, por lo general representados por las ltimas letras del abecedario, y por trminos cuyos valores no cambian, denominados constantes.

Saber

Saber Hacer con

Autonoma

Saber Hacer


37

Existen varios tipos de ecuaciones, dependiendo de su grado y nmero de incgnitas. El grado de una ecuacin con una incgnita nos lo indica el mayor exponente que tenga la variable, habiendo ecuaciones de primer grado o lineales como , ecuaciones de segundo grado como , ecuacin de tercer grado o ecuacin cbica . Resolver una ecuacin lineal con una incgnita consiste en encontrar el valor de la variable que al sustituir en la ecuacin original mantiene la igualdad. Para llegar a la solucin es necesario dejar en el primer miembro de la ecuacin a todos los trminos que contengan a la variable, y en el segundo miembro los trminos que no lo contengan, de modo que cuando algo est sumando lo restamos en ambos miembros de la ecuacin para que no se altere la igualdad, esto implica que dos trminos se cancelarn en uno de los miembros. Simplificando podemos decir que al trasladar trminos de un miembro a otro de la ecuacin equivale a cambiarle el signo a la operacin; as mismo cuando un miembro est multiplicando pasar al otro miembro dividiendo. Ejemplo:

Resolver la ecuacin

Resolver la ecuacin indicada:

1.

2. ( ) ( )

3.

4.

5.

Saber Hacer con

Autonoma

Saber Hacer


38

Mdulo 3 Geometra

Objetivo: Desarrollar el pensamiento espacial para mejorar el pensamiento cientfico, ya que es usado para representar y manipular informacin en el aprendizaje y en la resolucin de problemas.

Nota: En esta seccin los problemas bsicos sern marcados como B, mientras que los problemas opcionales correspondern a los marcados como O.

3 Geometra

La Geometra es una ciencia formativa que nos ayuda a razonar. Est presente en la naturaleza y es

utilizada en diversas actividades del hombre. Puede ser muy atractiva si se logra hacerla prxima a los

alumnos; pero, tambin puede ser muy difcil, si predomina en su enseanza la abstraccin.

Las reglas de la geometra se remontan a los antiguos egipcios y griegos, quienes usaron la geometra

para medir la altura de pirmides, la circunferencia de la tierra y la distancia a la luna.

3.1 Tringulo rectngulo

La importancia de los tringulos en todas las ciencias es grande, por eso es necesario tener presente las

caractersticas fundamentales de ellos.

Las principales propiedades que tienen los tringulos son:

- La suma de los ngulos interiores de un tringulo es igual a 180.

- Cada lado de un tringulo es menor que la suma de los otros dos.

- El ngulo que se opone al lado mayor es el mayor ngulo.

- Tipos de tringulos: escaleno, issceles, equiltero, rectngulo.

Cuando se trata con tringulos es habitual el convenio de denotar con letras maysculas los vrtices y los

ngulos (la misma letra para el vrtice y el correspondiente ngulo). Para indicar un lado (o lo que mide)

se usa la misma letra que la del ngulo opuesto pero escrita en minscula.


39

B. Si dos ngulos suman 90, se dice que son _________________.

Los dos ngulos agudos de un tringulo rectngulo suman ______.

Por tanto, los dos ngulos agudos de un tringulo rectngulo son _________________.

B. Construye un tringulo cuyos lados midan: , y . Mide los ngulos:

Qu tipo de tringulo result? ____________________________________.

B. Analizar para los datos que se dan a continuacin si todos los tringulos pueden ser construidos. En caso negativo analizar por qu no lo son y en caso positivo determinar la cantidad de soluciones posibles:

- un tringulo equiltero cuyos ngulos sean de , y , - un tringulo cuyos ngulos sean , y , - un tringulo cuyos lados midan , y respectivamente.

3.1.1 rea, permetro

B. Cul es el rea del siguiente tringulo? Cul es su permetro?

3.1.2 Teorema de Pitgoras

El cuadrado de la hipotenusa del tringulo rectngulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

.


40

B. Encuentra el lado que falta en los siguientes tringulos rectngulos y dibjalos:

a)

b)

c)

d)

B. Considere un cuadrado cuya diagonal mide 10 unidades. Determine el rea del cuadrado.

B. Determina el rea de un tringulo equiltero cuyo lado mide .

3.1.3 Funciones trigonomtricas: seno, coseno y tangente

Hay seis funciones trigonomtricas, tambin conocidas como funciones circulares, sin embargo en este

apartado solo discutiremos las siguientes tres: seno, coseno, tangente.

Definicin de las funciones trigonomtricas

Grados y radianes

La variable de entrada de una funcin trigonomtrica es la medida del ngulo; la variable de salida es un

nmero real.

Definicin de radin: un ngulo central de un crculo mide 1 radin si interseca un arco cuya longitud

mide lo mismo que el radio.

La siguiente relacin es til para realizar conversiones entre las diferentes unidades de ngulo:

B. Use el tringulo para completar la tabla.


41

B. Use el tringulo del problema anterior para completar la tabla.

B. Use el tringulo para completar la tabla.

B. Cuntos radianes hay en 120?

B. Cuntos grados hay en radianes?

B. Convierta los siguientes ngulos de grados a radianes y viceversa.

radianes

radianes

radianes

radianes

B. Use la calculadora para completar la siguiente tabla.


42

( ) ( )

( ) ( )

Aplicaciones

B. Determine los lados del siguiente tringulo.

B. Cul es el rea del pentgono? Cul es su permetro?

B. Desde un punto a 340 pies de la base de un edificio, el ngulo de elevacin hasta la parte alta del

edificio es de 65. Encuentre la altura del edificio.

B. Desde la parte superior de un puente que mide 100 pies de altura, un hombre observa un automvil

que se desplaza frente al edificio. Si el ngulo de depresin del automvil cambia de 22 a 46 durante el

periodo de observacin, cunto se ha trasladado el automvil?

B. Un gran pingino lleno de helio est amarrado en el inicio de la ruta de un desfile esperando que

empiece. Dos cables atados a la parte inferior del pingino crean ngulos de 48 y 40 con el piso y estn

en el mismo plano que la lnea perpendicular desde el pingino al piso. Si los cables estn sujetados uno

del otro por 10 pies, qu tan alto est el pingino del piso?


43

3.2 Lnea recta

3.2.1 Plano cartesiano

A cada punto del plano le asociamos una pareja de nmeros ( ), llamados coordenadas cartesianas o

coordenadas rectangulares.

3.2.2 Grfica

Conceptos bsicos

o Recta horizontal y recta vertical

o Rectas paralelas y perpendiculares

o Pendiente de una recta, , y su inclinacin, .

o Ecuacin de la recta en su forma pendiente-ordenada al origen ( )

Graficar la recta a partir de una tabulacin

La pendiente de una recta es la tangente de su ngulo de inclinacin, .

Si ( ) y ( ) son dos puntos diferentes cualesquiera de una recta, la pendiente de la recta

es:

con .

Dadas dos rectas y con pendientes y respectivamente, ocurre que:

Si son paralelas, entonces sus pendientes son iguales, es decir:

.

Dos rectas son perpendiculares cuando se cortan formando ngulos rectos, entonces la

pendiente de una de ellas es igual al recproco de la pendiente de la otra con signo opuesto, es

decir:

B. (a) Grafique los puntos y trace la recta que une los dos puntos. (b) Determine analticamente la

pendiente y la inclinacin de la recta que pasa por cada par de puntos. (c) Use el transportador para

medir la inclinacin de la recta.

I. ( ) y ( )

II. ( ) y ( )

III. ( ) y ( )


44

IV. ( ) y ( )

B. Determine la ecuacin de la recta que es perpendicular a la recta y corta al eje en .

B. Una recta que tiene una inclinacin mayor que radianes tiene una pendiente negativa. Cierto o

falso?

O. Determine la ecuacin de la recta que corta el eje en 6 y es paralela a la recta que pasa por los

puntos ( ) y ( ).

3.2.3 Ecuacin de la recta y su grfica

B. Genere una tabla de valores de algunos pares ordenados de nmeros que satisfacen la siguiente

ecuacin . Determine el ngulo que la lnea recta forma con el eje horizontal.

B. Determine analticamente la inclinacin de la lnea recta cuya ecuacin es . Trace la

grfica de .

B. Genere tabla de valores de algunos pares ordenados de nmeros que satisfacen la siguiente ecuacin

. Trace la grfica. Use un transportador para determinar su inclinacin. Determine

analticamente la inclinacin de la recta.

O. Trace la grfica de la recta 8 . Determine su pendiente e inclinacin.

3.3 Parbola

Definicin

La parbola es el conjunto de puntos en un plano que equidistan de una lnea particular (la

directriz) y un punto particular (el foco) en el plano.

3.3.1 Grfica: Eje de simetra, foco, vrtice y concavidad

Grfica de la parbola

o Eje de simetra, foco, vrtice y concavidad

3.3.2 Ecuacin de la parbola: grfica y concavidad

Ecuacin de la parbola:


45

o Graficar la parbola a partir de una tabulacin de puntos

3.3.3 Forma estndar

Forma estndar: ( ) , vrtice en ( ), eje de simetra en .

B. Considere la siguiente frmula Obtenga su grfica. Es una _________________ abierta hacia

____________________.

B. Considere la siguiente frmula Obtenga su grfica. La __________________es cncava hacia

____________________.

B. Considere la siguiente frmula Es una parbola abierta hacia

____________________. Obtenga su grfica.

B. Considere la siguiente frmula La parbola es cncava hacia

____________________. Obtenga su grfica.

B. Determine las coordenadas del vrtice de la parbola .

Completar el cuadrado de , se suma el cuadrado de la mitad de :

(

)

. Por consiguiente (

) (

)

Completando el cuadrado: ( ) ( ) , vrtice ( ), su

eje de simetra esta en .

B. Determinar la concavidad de la parbola, su vrtice y su eje de simetra si .

( ) .

Vrtice: ( ). Eje de simetra en .

B. Determine las intersecciones con el eje de la parbola ( ) .

Las intersecciones con el eje son -2 y 3. A estos puntos tambin se les llama races de la

ecuacin ( ) , y tambin se les llama ceros de la funcin ( ).

O. Localizar el vrtice y el eje de simetra, y grafique la curva de la parbola . Cul

es su concavidad?

Completando el cuadrado:


46

(

)

(

)

Vrtice: (

)

Eje de simetra:

, la curva es cncava hacia arriba.

O. Determine las intersecciones con el eje de la parbola ( ) .

Las coordenadas del punto de interseccin son: (

).

O. Encuentre los puntos de interseccin con el eje de . b) Grafique .

O. Resuelva .

O. Grafique , y determine los valores de talque .

O. Muestre de forma grfica que la ecuacin cuadrtica no tiene solucin en los

nmeros reales.

La grfica de est por arriba del eje para todos los valores de . Por

consiguiente la ecuacin no tiene solucin en los nmeros reales.


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Mdulo 4 Resolucin de problemas

4 Resolucin de Problemas

ALGUNOS CONSEJOS PARA RESOLVER PROBLEMAS MATEMTICOS

Por favor!, dame un problema

Los matemticos entendemos la palabra "problema" de forma diferente a la usual. Si le dices a un amigo "tengo un problema", seguro que ese amigo entiende que te sucede algo que puede tener consecuencias desagradables. Casi todo el mundo procura evitar los problemas y a nadie le gusta que le "calienten la cabeza" con problemas. A nadie... menos a los matemticos. Para un matemtico tener un buen problema es garanta de horas de trabajo interesante, a veces, incluso, apasionante. En todos los tiempos el deseo de resolver algunos grandes problemas ha sido el mayor estmulo para el progreso de las matemticas. Hacer matemticas consiste, esencialmente, en resolver y en proponer problemas.

Te digo todo esto, porque ya es hora de que empieces a considerar los problemas como amigos que te brindan la oportunidad de progresar de una forma activa en tus estudios, de comprobar si de verdad sabes lo que crees saber y, a veces, de experimentar ese destello de plenitud gozosa que sobreviene cuando, despus de horas de intenso trabajo, alcanzas la "iluminacin" de la respuesta correcta, simple y elegante.

Es muy posible que hayas llegado a estas instancias sin haberte enfrentado nunca con un problema de verdad, un problema que no sea un mero ejercicio. Porque no son lo mismo.

EJERCICIOS

De un vistazo sabes lo que te piden que hagas.

Conoces de antemano un camino y no tienes ms que aplicarlo para llegar a la solucin.

El objetivo principal es aplicar en una situacin concreta, de forma ms o menos mecnica, procedimientos y tcnicas generales previamente ensayados.

Proponen tareas perfectamente definidas.

PROBLEMAS

Suele ser necesario leerlos con atencin para entenderlos correctamente.

Sabes, ms o menos, a dnde quieres llegar, pero ignoras el camino.


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El objetivo es que organices y relaciones tus conocimientos de forma novedosa. Suponen una actitud mental positiva, abierta y creativa.

En general, son cuestiones ms abiertas y menos definidas que los ejercicios.

ALGUNOS CONSEJOS QUE TE AYUDARN A PENSAR MEJOR

Para ser eficaz resolviendo problemas, es conveniente que tengas en cuenta las siguientes recomendaciones.

La actitud inicial es importante. Cuando nos enfrentamos a un problema es muy importante la actitud que tienes ante l. Ests ansioso por resolverlo o no tienes gana ninguna? Tus condiciones fsicas (cansancio, sueo, etc.) son las adecuadas? Tienes curiosidad, disposicin de aprender, gusto por el reto?

Ten confianza en tus capacidades. Con frecuencia, no es necesario saber mucho para resolver bien un problema. Basta con pensar correctamente. Acta, pues, sin miedo, con tranquilidad, convencido de que est a tu alcance.

S paciente y constante. No abandones a la menor dificultad. Si te quedas atascado, no te des por vencido; piensa un nuevo enfoque del problema. Cada problema requiere su tiempo.

Concntrate en lo que haces. Resolver problemas es una actividad mental compleja. Requiere poner en tensin todos nuestros resortes mentales.

Busca el xito a largo plazo. Aprender a resolver problemas es un proceso lento. Los frutos tardarn un cierto tiempo en llegar pero cuando notes los progresos sentirs una gran satisfaccin.

ETAPAS EN LA RESOLUCIN DE UN PROBLEMA

No existen reglas que aseguren el xito en la solucin de problemas. Sin embargo, s se pueden sealar algunos pasos generales para el proceso de resolverlos.

A.- Comprende el problema. Lee tranquilamente el enunciado. Puede ser necesario que lo leas varias veces, hasta estar seguro de haberlo entendido y de que no se te ha escapado ningn dato interesante. Has de tener muy claro en qu consiste, qu conoces, qu se te pide, cules son las condiciones. Esto es imprescindible para afrontar el problema con garantas de xito.


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B.- Elabora un plan de actuacin. Cuando ya ests seguro de haber entendido bien el problema y crees tener toda la informacin necesaria, es el momento de elegir una estrategia para resolverlo. Existe una gran variedad de estrategias que conviene que conozcas y que practiques para mejorar tu capacidad de resolver problemas. Al final te indico algunas de las ms frecuentes.

C.- Lleva adelante tu plan. Ya tienes una estrategia que te parece adecuada. Trabjala con decisin y no la abandones a la primera dificultad. Pero si ves que las cosas se complican demasiado y que no te acercas nada a la solucin, vuelve al paso anterior y prueba con una estrategia diferente. Por lo general hay varias formas de llegar a la solucin y no podemos esperar acertar siempre con la ms apropiada al primer intento.

Sali? Seguro? Revisa el resultado y cercirate bien de que has llegado a la solucin. Son innumerables las veces que creemos haber resuelto un problema y luego no es as. Las medias ideas y medias soluciones sirven de poco.

D.- Mira atrs y reflexiona sobre todo el proceso. Has resuelto el problema? Enhorabuena! Has pasado un buen rato interesado, entretenido, intentndolo con ganas, y has acabado por no resolverlo? Enhorabuena tambin! Se aprende mucho ms de los problemas trabajados con inters y tesn y no resueltos, que de los que se resuelven casi a primera vista. Ahora debes reflexionar sobre todo el proceso. Esta etapa puede ser la ms provechosa de todas y la que ms a menudo olvidamos realizar.

Examina a fondo el camino que has seguido. Cmo has llegado a la solucin? O, por qu no has llegado a la solucin? Ibas bien encaminado desde el principio? Habas intuido la estrategia correcta en el paso B? O, por qu no se te ocurri pensar en ella? Qu es lo que te enga al escoger estrategias? Cul fue la chispa que te hizo intuir que iba a ir bien?

Revisa la solucin desde un principio tratando de comprender bien no slo que funciona sino por qu funciona. Mira a ver si se te ocurre hacerlo de modo ms simple.

Familiarzate con el mtodo de solucin, a fin de utilizarlo en problemas futuros. Descartes dijo una vez: "Cada problema que resolv se convirti en una regla que ms adelante me sirvi para solucionar otros problemas."

Reflexiona un poco sobre tu propio proceso de pensamiento y saca consecuencias para el futuro. Con experiencias repetidas como sta tal vez te puedas hacer un diagnstico de tu propio estilo de conocimiento. Cada uno tiene el suyo peculiar. Cmo es tu pensamiento? Visual o analtico? Dependes mucho de la expresin verbal o de la frmula escrita? Tiendes a pensar en crculos, obsesivamente? Tiendes al compromiso con una sola idea, sin flexibilidad? Cmo podras fomentar la fluencia espontnea de ideas variadas, originales, novedosas? Si lo consigues, tendrs una gran ventaja al saber en qu clases de problemas te puedes ocupar con ventaja y en cules tu probabilidad de xito no es tan grande. Sabrs cmo abordar problemas, no ya matemticos, sino de toda clase, aproximndote a ellos tratando de sacar el mejor partido posible de las ventajas de tu propio estilo.

E .-Redactar el proceso de resolucinEsfurzate por redactar de forma clara, ordenada, elegante, que pueda ser comprendida con facilidad por otra persona. Es frecuente que al hacerlo te des cuenta de que hay algn punto que no sabes explicar bien o alguna dificultad que t habas pasado por alto. Aunque no hubieras llegado a resolverlo, hacer una buena redaccin describiendo el proceso que has seguido, los sucesivos intentos, el porqu crees que no sale, etc., te ayudar a mejorar. Adems, puede resultar muy til para que quien te lo propuso pueda darte orientaciones que sean ms adecuadas para ti.


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4.1 Problemas de Aritmtica

Aritmtica: Parte de las matemticas que estudia los nmeros y las operaciones hechas con ellos.

EJEMPLO:

La serie de Bisbol en Puerto Rico, en la que los Expos jugaron con los Gigantes, atrajo a muchas personas al Parque Hiram Bithorn. El primer da fueron 3,000 personas menos que el segundo da. El segundo da fueron 2,000 personas menos que el tercer da. El tercer da fueron 18,678 personas. Cuntas personas fueron el primer y segundo da?

SOLUCIN:

Descarta la informacin que no es necesaria y utiliza los pasos para la resolucin de problemas:

PASO 1. Comprende el problema: Cuntas personas fueron el primer y segundo da? Estos son los datos que se proveen:

El primer da fueron 3,000 personas menos que el segundo da.

El segundo da fueron 2,000 personas menos que el tercer da.

La asistencia del tercer da fue de 18,678 personas.

PASO 2. Planea la estrategia para la solucin del problema. En este caso, haremos una tabla con los datos del problema.

PASO 3. Resuelve el problema. Utilizaremos el mtodo conocido como Trabajar hacia atrs. (Para trabajar hacia atrs, usaremos los datos del tercer da y le restaremos los datos de los das anteriores.) Para resolver este problema se utilizar la operacin matemtica de la resta.

PASO 4. Resultado: El primer da fueron 13,678 personas y el segundo da fueron 16,678.

PASO 5. Comprueba mediante la operacin inversa. Me refiero a la suma de los datos: 13,678 + 3,000 = 16,678 + 2,000 = 18,678

Problemas propuestos de aritmtica.

1. Calcula qu fraccin de la unidad representa:

a) La mitad de la mitad.

b) La mitad de la tercera parte.

c) La tercera parte de la mitad.

d) La mitad de la cuarta parte.


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2. Una familia ha consumido en un da de verano:

2 botellas de litro y medio de agua.

4 botes de 1/3 de litro de zumo.

5 limonadas de 1/4 de litro.

Cuntos litros de lquido han bebido? Expresa el resultado con un nmero mixto.

3. 4 hombres hacen una obra en 12 das. en cuntos das podrn hacer la obra 7 hombres? Expresa el resultado con un nmero mixto.

4.2 Problemas de lgebra lgebra: Parte de las matemticas en la cual las operaciones aritmticas son generalizadas empleando nmeros, letras y signos. Cada letra o signo representa simblicamente un nmero u otra entidad matemtica. Cuando alguno de los signos representa un valor desconocido se llama incgnita.

EJEMPLO:

Tres socios se van a repartir su capital. Si el primero y el tercero recibirn

y

del capital, cunto

recibir el segundo?

SOLUCIN:

Descarta la informacin que no es necesaria y utiliza los pasos para la resolucin de problemas:

PASO 1. Comprende el problema: Cuntos socios son? Cmo puedo representar la parte del capital que reciben el primer y el tercer socio?

Estos son los datos que se proveen:

Son tres socios.

Hay dos variables que se desconocen y son el capital y la cantidad que recibe el segundo socio.

El primer socio recibe

del capital

El tercer socio recibe

del capital

PASO 2. Planea la estrategia para la solucin del problema. En este caso, usaremos las expresiones algebraicas para obtener un modelo matemtico.

PASO 3. Resuelve el problema. Define el modelo matemtico. Sea el capital.

Sea la cantidad que recibe el segundo socio.

El primer socio recibe

del capital, entonces recibe

El tercer socio recibe

del capital, entonces recibe


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As que el segundo socio recibe el capital total menos lo que juntos reciben el primer y el tercer socio, es

decir: (

)

PASO 4. Resultado.

(

) (

)

, el segundo socio recibe

del capital.

PASO 5. Comprueba el resultado. La suma de las fracciones debe dar la unidad.

Problemas propuestos de lgebra

1. Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas. Cuntos cerdos y pavos hay?

2. Trabajando juntos, dos obreros tardan en hacer un trabajo 14 horas. Cunto tiempo tardarn en hacerlo por separado si uno es el doble de rpido que el otro?

3. Andrs quiere invertir $18,000.00 en tres cuentas bancarias, de tal forma que la segunda y la tercera sean respectivamente el doble y el triple de la primera cuenta. Cunto deposit en la primera cuenta?

4.3 Problemas de pensamiento lateral

La expresin de pensamiento lateral empez a ser utilizada hace algunos aos por el psiclogo Edward de Bono para referirse a un proceso mental diferente del deductivo, un proceso para pensar desde diferentes ngulos, en donde hasta lo que parece absurdo adquiere un sentido y lo que parece imposible se hace posible.

Estos ejercicios intelectuales han sido usados por personas que buscan en el pensamiento lateral promover una mayor atencin de los estudiantes a los planteos de diversos problemas, enfatizando la comprensin antes que la aplicacin mecnica de procesos.

Antes de dar su respuesta o decir es imposible o es absurdo se ha hecho las preguntas adecuadas? Tenga en cuenta que antes de sumergirse en un problema y ponerse a hacer clculos o ejercitar la memoria, conviene examinarlo desde arriba (o, mejor an, desde un costado) para estar seguro de que tiene claro qu quiere averiguar o descubrir.

Problemas propuestos de pensamiento lateral

1. Tringulos. Cul tringulo es ms grande? Uno cuyos lados miden 200, 300 y 400 cm u otro

cuyos lados miden 300, 400 y 700 cm?

2. Dos hombres en el hotel. Los seores Lpez y Pelayo eran dos empresarios que hicieron reservacin para la noche en el mismo hotel. Se les dieron habitaciones vecinas en el tercer piso. Durante la noche el Sr. Pelayo dorma profundamente. Sin embargo, a pesar del cansancio, el Sr. Lpez no lograba hacerlo. Al fin el Sr. Lpez llam por telfono al Sr. Pelayo e inmediatamente despus de colgar cay dormido. Por qu sucedi as?

3. El cdigo. El portero de un club exclusivo dice una palabra a quien desea entrar. Si responde correctamente, entra; si no, es rechazado.


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4. Un NO SOCIO esperanzado observ cuidadosamente cuando se acerc un socio. Dos dijo el portero. Tres contest el socio. Lo dejaron entrar. Lleg otro socio. Tres, dijo el portero. Cuatro, respondi el socio. Como tambin lo dejaron entrar, el hombre decidi que era fcil y dio un paso adelante. Cuatro, dijo el portero. Cinco, contest el hombre. Furioso, el portero lo expuls dndole una palmada en la nuca. Qu tendra que haber dicho?

5. Tres amigos reciben como pago de un trabajo una partida de cerveza, envasada en 21 botellas iguales, de las cuales se hallan:

7 llenas

7 mediadas

7 vacas

Quieren ahora repartirse estas 21 botellas de modo que cada uno de ellos reciba el mismo nmero de botellas y la misma cantidad de cerveza sin abrir las botellas.

6. Un joyero dispona de ocho anillos iguales por su forma, tamao y color. De estos ocho anillos, siete tenan el mismo peso; el octavo era sin embargo un poquito ms ligero que los otros. Cmo podra el joyero descubrir el anillo ms ligero e indicarlo con toda seguridad utilizando la balanza y efectuando dos pesadas, sin disponer de pesa alguna?


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BIBLIOGRAFA

LGEBRA Y TRIGONOMETRA CON GEOMETRA ANALTICA

Walter Fleming-Dale Varberg

Tercera Edicin

Prentice- Hall

ARITMTICA

Aurelio Baldor

Editorial Patria

MATEMTICAS UNIVERSITARIAS INTRODUCTORIAS CON NIVELADOR MYMATHLAB

Tutor interactivo online

Demana-Waits-Foley-Kennedy-Blitzer

Editorial Pearson

PRECLCULO

Larson-Hostetler

Sptima Edicin, 2008

Editorial Revert

PRECLCULO

Max A. Sobel

Quinta Edicin

Editorial Pearson

Documents

Cursopro-calculo Ago2014 v3