Elementos de la mecánica cuántica. Saxon

ELEMENTOS DEMECÁNICACUÁNTICA

David S. SaxonUniversidad de California, Los Angeles

SEGUNDA EDICIÓN

EDITORIAL EASO, S. A. MÉXICO

vi PREFACIO

Se presentan ciento cincuenta problemas que son muy importantespedagógicamente. Los problemas no son exclusivamente del tipo ilus-trativo del material presentado en el texto; también sirven para am-pliarlo. Un número importante sirve para ampliar el curso, señalandonuevos tópicos y nuevos puntos de vista. Muchos problemas son de-masiado difíciles para que el estudiante los domine al primer intento.Se le aconseja que vuelva a intentarlos a medida que vaya entendien-do la teoría. Finalmente podrá resolver cualquiera de ellos. En elApéndice III, se exponen respuestas y soluciones completas a cin-:uenta problemas representativos. Alrededor de cuarenta ejercicios sesncuentran distribuidos en el libro. En general se refieren a ciertosJetalles del texto, pero no todos son triviales.

En UCLA, el material del texto se presenta en una secuencia deJos trimestres, pero el curso también se puede usar en un curso de un¡emestre; cualquiera de las secciones marcadas con asterisco en la ta-lla del contenido pueden omitirse sin afectar el desarrollo lógico del•esto. Si se desea, también puede usarse el texto para un curso de uniflo, pero complementado con otro material. Las representaciones deíeisenberg y de interacción y, en general, la teoría de transformación,ion tópicos que surgen a la mente de inmediato. Respecto a las apli-¡aciones, los efectos Zeeman y Stark, las ondas de Bloch, los méto-los de Hartree-Fock y Fermi-Thomas, moléculas simples y espín iso-ópico, son temas adecuados para escoger.

El autor se ha beneficiado de numerosas críticas y sugerencias de;olegas y estudiantes. A todos ellos expresa su gratitud profunda y¡specialmente al Dr. Ronald Blum por su cuidadosa lectura de la edi-:ión preliminar y del manuscrito final. El autor también agradecerá¡omentarios adicionales así como el señalar las erratas y los errores.

David S. SaxonNoviembre, 1967

contenido

I. LA NATURALEZA DUAL DE LA MATERIA Y LA RADIA-CIÓN

1. El fracaso de la física clásica 12. Conceptos cuánticos 33. El aspecto ondulatorio de las partículas 54. Magnitudes numéricas y dominio cuántico 135. El aspecto corpuscular de las ondas 146. Complementareidad 177. El principio de correspondencia 17

II. FUNCIONES DE ESTADO Y SU INTERPRETACIÓN

1. La idea de función de estado; superposición de estados 192. Valores de expectación 253. Comparación entre las descripciones cuántica y clásica

de un estado; paquetes de onda 27

III. MOMENTO LINEAL

1. Funciones de estado que corresponden a un momentolineal definido 30

2. Construcción de paquetes de onda por superposición . 323. Transformadas de Fourier; la función delta de Dirac. . 364.» Espacios de configuración y de momento lineal 395. Operadores de posición y de momento lineal 406. Relaciones de conmutación 477. El principio de incertidumbre 49

„*,„••,„

VIH CONTENIDO

IV. MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA LIBRE

1. Movimiento de un paquete de ondas;velocidad de grupo 59

2. El requisito del principio de correspondencia 623. Popagación del paquete de ondas de una partícula libre

en el espacio de configuración 644. Propagación del paquete de ondas de una partícula libre

en el espacio de momentos; el operador de energía.. . 665. Evolución en el tiempo de un paquete

de ondas gausiano 686. Ecuación de Schródinger para la partícula libre 707. Conservación de la probabilidad 728. Notación de Dirac 769. Estados estacionarios 78

10. Partícula en una caja 8011. Resumen . 83

V. ECUACIÓN DE SCHRÓDINGER

1. El requisito de la conservación de la probabilidad . . . . 902. Operadores hermitianos 913. El requisito del principio de correspondencia 984. Ecuación de Schródinger en el espacio de configuración

y en el espacio de momentos 1015. Estados estacionarios 1046. Autofunciones y autovalores de operadores

hermitianos 1087 Observables simultáneos y conjuntos completos

de operadores 1118. El principio de incertidumbre 113

*9. Movimiento de paquetes de onda 11810. Resumen: los postulados de la mecánica cuántica... . 119

f l . ESTADOS DE UNA PARTÍCULA EN UNA DIMENSIÓN

1. Características generales 1242. Clasificación por simetría: el operador de paridad. . . .1273. Estados ligados en un pozo cuadrado 130

Para un curso de un semestre cualquiera de las secciones con asterisco puede omitirse sinerjudicar el desarrollo lógico (ver el prefacio).

CONTENIDO ÍX

4. El oscilador armónico 135*5. La representación del operador de creación 147*6. Movimiento de un paquete de ondas en

el potencial del oscilador armónico 1547. Estados continuos en un pozo de potencial

cuadrado 1588. Estados del continuo; el flujo de probabilidad 163

*9. Paso de un paquete de ondas a través deun potencial 166

s 10. Solución numérica de la ecuación de Schródinger.... 169

VII. MÉTODOS APROXIMADOS

1. La aproximación WKB 1862. La aproximación de Rayleigh-Ritz 1963. Teoría de perturbación para estados estacionarios. . . .2024. Matrices 2155. Estados vecinos o degenerados 2186. Teoría de perturbación dependiente del tiempo 222

Vffl. SISTEMAS DE PARTÍCULAS EN UNA DIMENSIÓN

1. Formulación 2422. Dos partículas: coordenadas del centro de masa 2453. Interacción de partículas en presencia de fuerzas

externas uniformes 249*4. Osciladores armónicos acoplados 251

5. Interacción débil de partículas en presencia defuerzas externas 254

6. Partículas idénticas y degeneración de intercambio. . .2577. Sistema de dos partículas idénticas 2598,. Sistemas de muchas partículas, sinietrización

y el principio de exlusión de Pauli 261*9. Sistemas de tres partículas idénticas 26610. Partículas idénticas interaccionando débilmente

en presencia de fuerzas externas 272

K. MOVIMIENTO EN TRES DIMENSIONES

1. Formulación: movimiento de una partícula libre .. . .279

CONTENIDO

*2. Potenciales separables en coordenadas rectangulares. .2833. Potenciales centrales; estados de momento angular. . .2864. Algunos ejemplos 2975. El átomo de hidrógeno 304

MOMENTO ANGULAR Y ESPIN

1. Operadores del momento angular orbital yrelaciones de conmutación 318

2. Autofunciones y autovalores del momento angular.. .322*3. Operadores de rotación y de translación 3344. Espín; los operadores de Pauli 337

*5. Adición del momento angular 348

ALGUNAS APLICACIONES Y OTRAS GENERALIZACIONES

* 1. El átomo de helio; la tabla periódica 366*2. Teoría de la dispersión 374*3. Funciones de Green para la dispersión;

la aproximación de Born 383*4. Movimiento en un campo electromagnético 396* 5. Teoría del electrón de Dirac 401*6. Estados mixtos y matriz de densidad 411

APÉNDICES

I. Cálculo de integrales de funciones gausianas 423II. Referencias seleccionadas 426

III. Respuestas y soluciones a problemas seleccionados. . .429

"Y ahora lector, afánate, porque siem-pre te ayudaremos en las dificultades,ya que no esperamos, como otros, queuses al arte de la adivinanza para des-cubrir nuestro significado, pero no se-remos indulgentes con tu holgazaneríacuando lo único que se te exija sea tuatención; estarías muy equivocado alimaginar que empezamos esta gran ta-rea para no dejar nada a tu sagacidad oal ejercicio de tu talento recorriendoestas páginas sin beneficio ni placer.

Henry Fielding

ILa naturaleza dual de la

materia y la radiación

1.- EL FRACASO DE LA FÍSICA CLASICA *

A finales del siglo XIX la mayor parte de los físicos pensaban quese había completado la descripción de la naturaleza y que solamentefaltaba por desarrollar algunos detalles. Esta creencia se basaba en loslogros espectaculares de la mecánica de Newton que, junto con la leyde gravitación y la electrodinámica de Maxwell, describían y prede-cían las propiedades de sistemas macroscópicos cuyas dimensionesvariaban desde el tamaño de un laboratorio al tamaño del cosmos.Sin embargo, al desarrollarse las técnicas experimentales para estudiarsistemas atómicos, surgieron dificultades que no podían explicarsecon las leyes de la física clásica ni con sus conceptos. Las nuevas le-yes y los nuevos conceptos que fueron necesarios desarrollar durantela primera cuarta parte del siglo XX fueron los de la mecánica cuán-tica.

Las dificultades que se encontraron fueron de diferentes tipos. Enprimer lugar se encontraron contradicciones con algunas de las pre-dicciones del teorema de equipartición de la energía. La aplicacióndirecta de este teorema conduce a resultados absurdos para el espec-tro de radiación del cuerpo negro y a conclusiones erróneas para loscalores específicos de sistemas materiales. En ambos casos, el resulta-do empírico predice que sólo algunos de los grados de libertad del sis-tema participan en los intercambios de energía que llevan al equili-brio estadístico.

En segundo lugar, se encontraron dificultades para explicar la es-

* Una discusión detallada de las bases históricas y experimentales de la mecánica cuántica, seencuentran en las referencias del [ 1] al [5], en el apéndice II.

2 LA NATURALEZA DUAL DE LA MATERIA Y LA RADIACIÓN

tructura y la existencia misma de los átomos, tomados como sistemasde partículas cargadas. Para tales sistemas, el equilibrio estático es im-posible bajo fuerzas exclusivamente electromagnéticas, siendo tam-bién imposible el equilibrio dinámico, por ejemplo en forma de unsistema solar en miniatura. Partículas en equilibrio dinámico estánaceleradas y, clásicamente, cargas aceleradas radian energía, lo cualprovoca el colapso de las órbitas independientemente de su naturale-za. Pero, aunque se acepte la existencia de los átomos, subsiste el pro-blema de explicar el espectro atómico, es decir, determinar las carac-terísticas de la radiación causada por la aceleración de las cargas deun átomo al perturbar su configuración de equilibrio. Clásicamente seesperaría que dicho espectro consistiera de los armónicos correspon-dientes a ciertas frecuencias fundamentales. Pero el espectro observa-do satisface la ley de combinación de Ritz, la cual establece que lasfrecuencias del espectro se obtienen como diferencias de ciertas fre-cuencias fundamentales y no como múltiplos.

Una tercera clase de dificultades proviene del efecto fotoeléctrico.La fotoemisión de electrones de superficies iluminadas no puede expli-carse clásicamente. La dificultad esencial es la siguiente: el númerode electrones emitidos es proporcional a la intensidad de la luz inci-dente y por lo tanto a la energía electromagnética que incide sobre lasuperficie, pero la energía transferida a los fotoelectrones no dependede la intensidad de la iluminación. Esta energía depende de la fre-cuencia de la luz, creciendo linealmente con ella a partir de cierto va-lor de umbral, característico de la superficie del material. Para fre-cuencias menores que la del umbral no se emite ningún fotoelectrónaunque sea grande la energía electromagnética transmitida a la super-ficie metálica. Por otra parte, para frecuencias mayores que la delumbral, aunque la fuente de luz sea débil, siempre se emiten fotoelec-trones y siempre con la energía total apropiada a la frecuencia.

Las explicaciones a estas dificultades comenzaron en 1901 cuandoPlanck supuso la existencia del cuanto de energía para poder obtenerla modificación necesaria del teorema de equipartición. La conse-cuencia de que la radiación electromagnética es de naturaleza cor-puscular fue afirmada por Einstein en 1905 al explicar en forma di-recta y simple las características de la emisión fotoeléctrica. Tambiénfue Einstein, dos años más tarde, el primero en explicar el comporta-miento del calor específico de los sólidos a bajas temperaturas, cuan ti-zando los modos de vibración del sólido de acuerdo con las reglas dePlanck. La primera explicación del espectro y estructura atómicos sedio en 1913 cuando Bohr introdujo la idea revolucionaria de estadoestacionario y estableció las condiciones cuánticas para su determina-ción. Más tarde, estas condiciones fueron generalizadas por Sommer-

CONCEPTOS CUÁNTICOS 3

feld y Wilson, y la teoría resultante explicó casi perfectamente el es-pectro y estructura atómicos del hidrógeno. Sin embargo, la teoría deBohr tropezó con dificultades muy serias al intentar estudiar proble-mas más complejos. Por ejemplo, el átomo de helio fue imposible tra-tarlo con esta teoría. La primera indicación para resolver estos pro-blemas fue dada en 1924 cuando de Broglie sugirió que las partículaspodrían exhibir un comportamiento ondulatorio, así como las ondasexhibían un comportamiento corpuscular. Siguiendo estas sugeren-cias, Schródinger estableció su famosa ecuación de onda en 1926.Heisenberg, poco antes, partiendo de un punto de vista diferente ha-bía llegado a establecer resultados matemáticos equivalentes. Aproxi-madamente al mismo tiempo, Uhlenbeck y Goudsmit introdujeron laidea de espín o giro del electrón, Pauli enunció su principio de exclu-sión, y así, esencialmente, se había completado la formulación de lamecánica cuántica no relativista.

2. CONCEPTOS CUÁNTICOS

Las leyes de la mecánica cuántica no pueden demostrarse, análoga-mente a lo que sucede con las leyes de Newton y las ecuaciones deMaxwell. Sin embargo, se espera que estas leyes puedan deducirse,más o menos directamente, como consecuencias lógicas de ciertos ex-perimentos seleccionados. Pero la descripción cuántica de la naturale-za es demasiado abstracta para que esto sea posible: los conceptos bá-sicos de la teoría cuántica están fuera del alcance de la experienciadiaria. Estos conceptos son los siguientes:

Funciones de Estado. La descripción de un sistema se hace me-diante la especificación de una función especial, llamada función deestado del sistema, la cual no puede observarse directamente. La in-formación contenida en la función de estado es esencialmente esta-dística o probabilística.

Observables. La especificación o determinación de una función deestado es consecuencia de un conjunto de observaciones y medicio-nes de las propiedades físicas o atributos del sistema estudiado. Pro-piedades que pueden medirse, tales como energía, momento lineal,momento angular y otras variables dinámicas, se llaman observables.Observaciones u observables se representan por objetos matemáticosabstractos llamados operadores.

El proceso de observación exige que haya cierta interacción entreel instrumento de medida y el sistema observado. Clásicamente pue-den suponerse estas interacciones tan pequeñas como se quiera. Ge-

LA NATURALEZA DUAL DE LA MATERIA Y LA RADIACIÓN

eralmente se toman como infinitesimales, en cuyo caso el sistema0 se perturba por la observación. Pero, a escala cuántica, la interac-ión tiene características discretas y no puede disminuir indefinida-mente sino hasta cierto límite. El acto de observar provoca en el sis-sma ciertas perturbaciones incontrolables e irreducibles. La observa-lón de la propiedad A provocará cambios incontrolables en otro ob-srvable B relacionado con A. La existencia de un límite absoluto pa-a una interacción o perturbación, permite dar a la idea de tamaño un[gnificado absoluto. Un sistema puede considerarse grande o peque-o, y tratarlo clásica o cuánticamente, dependiendo de que la interac-ión dada pueda considerarse pequeña o no.

La noción de que la observación precisa de una propiedad provocaue una segunda propiedad (llamada complementaria de la primera)sa inobservable, es un concepto exclusivamente cuántico sin analo-ía en la física clásica. Las características de ser onda o partícula nosroporciona un ejemplo de un par de propiedades complementarias.,a dualidad partícula-onda de sistemas cuánticos, es una afirmaciónel hecho de que tales sistemas pueden exhibir cualquiera de las dosaracterísticas dependiendo de las observaciones realizadas sobre elístema. Las variables dinámicas, posición y momento lineal, son unjemplo más cuantitativo de una pareja de observables compleménta-los. Al observar la posición de una partícula, por ejemplo iluminán-ola, necesariamente se provocará una perturbación en su momentoneal. Este resultado es consecuencia de la naturaleza corpuscular de1 luz; la medida de la posición de una partícula exige que, por lo me-os, un fotón choque con la partícula, siendo esta colisión la querovoca la perturbación. Consecuencia inmediata de esta relación en-re medición y perturbación es que trayectorias precisas de partículas0 pueden definirse cuánticamente. La existencia de una trayectoria,efinida implica el conocimiento de la posición y del momento lineale la partícula en el mismo instante. Pero el conocimiento simultá-eo de ambas propiedades no es posible, si la medición de una delias provoca una perturbación incontrolable y apreciable en la otra,orno es el caso de sistemas cuánticos. Estas perturbaciones mutuas1 incertidumbres no son debidas a la técnica experimental; son con-scuencias inevitables de la medición u observación. La existencialevitable de estos efectos para una pareja de variables compleménta-las fue enunciada por Heisenberg en su famoso principio de incerti-'umbre.

Más adelante se estudiarán estos hechos, pero ahora es convenientempezar el desarrollo de las leyes de la mecánica cuántica. El enfoque[ue se va a seguir no es el histórico y se llevará a cabo en la forma si-uiente. En el resto del capítulo se intentará hacer plausible algunas

EL ASPECTO ONDULATORIO DE LAS PARTÍCULAS 5

de las ideas de la mecánica cuántica, en particular las ideas de incer-tidumbre y complementareidad. Se hará considerando algunos expe-rimentos y observaciones, que resaltan la naturaleza dual de la mate-ria y de la cual se concluye inmediatamente que las trayectorias pre-cisas de partículas, como en la mecánica de Newton, no existen. Co-mo consecuencia se presenta el problema de cómo caracterizar el es-tado de movimiento de un sistema cuántico y de cómo describirlo.En el Capítulo II se resolverá este problema introduciendo la funciónde estado de un sistema, discutiendo su interpretación probabilísti-ca. En el Capítulo III se considerarán las propiedades generales de ob-servables y de variables dinámicas en mecánica cuántica y se obten-drán reglas para encontrar sus representaciones abstractas como ope-radores. En los Capítulos IV y V se completará la primera etapa deesta formulación al introducir la ecuación de Schródinger, que go-bierna el desenvolvimiento en el tiempo de sistemas cuánticos. Méto-dos para resolver la ecuación de Schródinger para el sistema más sim-ple, el movimiento de una partícula en una dimensión, se discutiránen los Capítulos VI y VIL Únicamente hasta los cuatro capítulos fi-nales se podrá tratar el problema general de sistemas de partículas in-teraccionando en tres dimensiones, y así, encontrar la relación con elmundo real. En todo el desarrollo, siempre se usará el principio deque las predicciones cuánticas deben de corresponder a las prediccio-nes de la física clásica en el límite adecuado. Este principio de corres-pondencia jugará un papel muy importante al determinar la forma delas ecuaciones en la mecánica cuántica.

Se recalcarán las propiedades cuánticas de sistemas materiales. De-bido a su complejidad, no se presentará ningún desarrollo sistemáticode las propiedades cuánticas de campos electromagnéticos, aunque seharán plausibles algunas de sus propiedades cuánticas. '

3. EL ASPECTO ONDULATORIO DE LAS PARTÍCULAS

El experimento que mejor revela los elementos básicos de la des-cripción cuántica de la naturaleza es la dispersión de un haz de elec-trones por un cristal metálico, realizado por primera vez por Davissony Germer en 1927. Este experimento fue diseñado principalmentepara comprobar la predicción de de Broglie, según la cual, en analo-1 En la Sección 5 de este capítulo se recurre a la naturaleza corpuscular de la luz para ex-plicar la radiación del cuerpo negro y la dispersión de Cpmpton. No será sino hasta la Sec-ción 6, Capítulo VII, en que se discutirá otra vez la radiación, cuando su emisión y absor-ción se presenten en forma eurística y semiclásica. Finalmente, en la Sección 4, Capitulo XI,se discutirá brevemente el movimiento de una partícula cargada en un campo electromagné-tico clásico.


gía a las propiedades corpusculares de la luz, perfectamente estable-cidas, también puede asociarse a una partícula de momento lineal puna onda X que se llama longitud de onda de de Broglie expresadacomo,

X = h/p.

La constante h es la constante universal de Planck o el cuanto deacción. La hipótesis anterior fue consecuencia de que de Broglie tra-tara de acomodar un número entero de semilongitudes de onda enuna órbita de Bohr para entender la condición de cuantización deBohr, aparentemente arbitraria. Pero Davisson y Germer observaronque electrones de momento lineal p, dispersados por un cristal, se dis-tribuían en un patrón de difracción, exactamente como lo haríanrayos-X de la misma longitud de onda dispersados por el mismo cris-tal. Por lo tanto, se verificó cuantitativamente y directamente la hi-pótesis de de Broglie.

El cuanto de acción tiene dimensiones de momento lineal por lon-gitud o lo que es lo mismo, de energía por tiempo, siendo su valornumérico.

h = 6.625 X 10-" erg-sec.

En la mayoría de las aplicaciones cuánticas resulta más convenien-te usar la cantidad h/2tr, que se abreviará h y será denominada "/zbarra". Su valor numérico es,

h = h¡lTT = 1.054 x 10~27 erg-sec.

En términos de t í , la relación de de Broglie puede escribirse como

X = X/27T = hlp,

donde se ha introducido la longitud de onda reducida X (lambda ba-rra), que, físicamente, caracteriza mejor a la onda que la propia lon-gitud de onda. También es conveniente definir el número de onda k(más bien el número de onda reducido), como el recíproco de X . En-tonces, se puede escribir la relación de de Broglie como,


Reuniendo dichas relaciones en una sola expresión, finalmente, setiene que,

p = h¡\ = 277-fc/X = ft/X = hk. (1)

La hipótesis de de Broglie y el experimento de Davisson y Germerestán en conflicto con la física clásica, porque se asignan a la mismaentidad ambas propiedades, la de partícula y la de onda. La naturale-za y las implicaciones de este conflicto pueden aclararse imaginandoque el experimento se realiza con un haz de electrones tan débil queun solo electrón se dispersa por el cristal y se registra en cierto instan-te de tiempo. En este evento, no se obtiene inicialmente un patrón dedifracción; el electrón será dispersado en cierta dirección, aparente-mente al azar. Sin embargo, a medida que transcurre el tiempo, el nú-mero de electrones dispersados aumenta a miles y a millones, obser-vándose que mayor número de electrones se dispersan en ciertas di-recciones preferentes, y así, se va formando el patrón de difracción.

De los resultados experimentales de Davisson y Germer pueden ob-tenerse las conclusiones siguientes:(a) Los electrones poseen propiedades de partícula y de onda. La re-

lación cuantitativa entre ellas está expresada por la relación dede Broglie; ecuación (1).

(b) No puede predecirse exactamente el comportamiento de un elec-trón sino únicamente su comportamiento probable.

(c) En mecánica cuántica no existen trayectorias definidas.(d) La probabilidad de observar a un electrón en una región dada, es

proporcional a la intensidad de su campo ondulatorio asociado.(e) El principio de superposición se aplica a las ondas de de Broglie,

tal como se aplica a las ondas electromagnéticas.Las conclusiones (a) y (b) no necesitan comentarios. La conclusión

(c) se sigue de (b), debido a que, clásicamente, para condiciones ini-ciales dadas, una partícula se mueve en una trayectoria única bajo lainfluencia de fuerzas especificadas. La conclusión (d) se obtiene delparalelismo entre los patrones de difracción para rayos-X y para elec-trones, producidos por un determinado cristal. Por último, la conclu-sión (e) se obtiene de que el patrón de difracción se produce por inter-ferencia de ondas secundarias, generadas en cada átomo del cristal, osea, por combinación lineal o superposición de estas ondas.

Estas, conclusiones forman el punto de partida de todo el desarro-llo de la mecánica cuántica. Se ha llegado a ellas sin hacer referenciaal tipo de interacción entre los electrones (o rayos-X) y los átomosdel cristal, y sin estudiar las particularidades del patrón de difracciónformado como resultado de esta interacción. Este argumento se basa


totalmente en el comportamiento de un cristal como una red de di-fracción tridimensional, calibrada por la observación de sus efectossobre rayos -X de propiedades conocidas. Sin embargo, es poco satis-factorio, al menos pedagógicamente, llegar a dichas conclusiones sinexplorar todos los detalles. Pero el entender estos detalles requiereconocer la interacción de un electrón con los átomos de un sólidocristalino, cuya interacción no puede comprenderse sin antes haberentendido la mecánica cuántica. Por esta razón, se considerará a con-tinuación dos experimentos "cruciales", aunque idealizados, de loscuales se obtienen los mismos resultados en forma más o menos in-mediata. Estos experimentos son versiones en una dimensión de la di-fracción y de la dispersión, interviniendo en ellos los sistemas mássimples. Sin embargo, los experimentos se realizan sólo en principioy no en la práctica.

El primer experimento se muestra en la Figura l(a). Una partículade carga positiva e y masa m se lanza con momento lineal p a lo largodel eje de un tubo, cuyas paredes se encuentran a potencial cero. Se-parado infinitesimalmente y alineado con él, se encuentra un segundotubo a un potencial mayor VQ .

Primer tubo Segundo tubo

y=o v=va(a)

E...

(b)

Figura 1. (a) El sistema de tubos, (b) la energía potencial U como función de ladistancia a lo largo del eje del sistema de tubos. Por facilidad se ha supuesto queU varía discontinuamente. Una partícula clásica se refleja si su energía es E± y setransmite si su energía es EI .

I

EL ASPECTO ONDULATORIO DE LAS PARTÍCULAS

Se supone que la energía de la partícula es EI = pi?/2m yes menos que eVo, como se muestra en la Fig. 1 (b). Clásicamente, lapartícula se reflejará en la interfase regresando a lo largo del eje delprimer tubo sin cambiar la magnitud de su momento lineal. Si se in-crementa la energía hasta alcanzar el valor E2 , mayor que eVo, comotambién se muestra en la Fig. l(b), clásicamente se predice que elelectrón se desacelera en la interfase y pasa al segundo tubo con mo-mento lineal p tal que,

Para el caso en que la energía es E± , los resultados de este experi-mento concuerdan con la predicción clásica, pero no en el caso enque la energía es EI . Para EI mayor que eV$ , la partícula no siemprese transmite sino que algunas veces se refleja. Sin embargo, cuandoEI crece, la reflexión decrece, hasta que, prácticamente, la partículanunca se refleja coincidiendo con la predicción clásica. Si se define elcoeficiente de transmisión T como el número relativo de veces que la

i.o

R

E eVa E

Figura 2. Coeficientes de transmisión y reflexión como funciones de la energíaen el sistema de tubos. Las líneas punteadas se refieren a las predicciones clásicas.

partícula se transmite y el coeficiente de reflexioné como el númerorelativo de veces que la partícula se refleja, entonces, R + T = 1 y losresultados se muestran en la Figura 2. La predicción clásica está repre-sentada por la línea punteada y el resultado experimental por la cur-va continua, la cual no puede explicarse clásicamente. Hay que recal-car que, en el intervalo de energía donde puede ocurrir la transmisióno la reflexión, no hay forma de predecir el comportamiento precisode la partícula o asociarle una trayectoria bien definida. Lo únicoque se puede decir es que la partícula se refleja con probabilidad R, obien, que se transmite con probabilidades T = 1 — R.

Otro experimento ideal pero más revelador de las conclusiones an-teriores se logra al alinear, con el segundo tubo, un tercer tubo a po-tencial cero. El potencial U se muestra en la Figura 3. La longitud deltubo intermedio es 2a y el origen se ha colocado a la mitad de este

H tek, j ^ÉP **'

U^^^ LA NATURALLA NATURALEZA DUAL DE LA MATERIA Y LA RADIACIÓN

U

y=o

2a

Figura 3. Barrera de potencial cuadrada y repulsiva.

tubo. Un potencial como el de la Figura 3 se llama potencial cuadra-do repulsivo; si VQ fuera negativo, sería atractivo.

La teoría clásica predice que la partícula se refleja si su energía E\es menor que eVq y se transmite por encima de la barrera si su ener-gía es EI excede a eVo, como se muestra en la Figura 3. En amboscasos la Interpretación es errónea si la barrera es lo suficientementeestrecha. Sin importar el signo de E — e V0, siempre que esta diferen-cia no sea muy grande, una fracción de las partículas se transmite yuna fracción se refleja. Definiendo los coeficientes de reflexión ytransmisión como antes, el coeficiente de transmisión experimentalcomo función de la energía se muestra en la Figura 4. La predicciónclásica también se muestra en la figura.

Estos resultados son sorprendentes. Particularmente notable es elhecho de que la partícula pueda transmitirse a través de la barreracuando su energía no es suficiente para que la sobrepase, o sea, que laenergía cinética sería negativa al encontrarse la partícula en el inte-rior de la barrera. Clásicamente no se puede asociar un significado fí-sico a una energía cinética negativa, y el movimiento en tal región re-sulta imposible. Por lo tanto, se tiene la paradoja de que la partículaatraviesa dicha región prohibida y aparece del otro lado de la barrera.Este resultado se conoce como efecto túnel ya que la partícula tieneque atravesar la barrera de potencial. Por el momento sólo se recalca-rá que la idea de trayectoria clásica pierde su significado cuando losefectos cuánticos son importantes.


T

1 O -•

eVH

Resultado experimental

Predicción clásica

Figura 4. Coeficiente de transmisión para la barrera de potencial cuadrada y re-pulsiva.

Es importante estudiar las oscilaciones del coeficiente de transmi-sión. Si el primer máximo ocurre a una energía e por encima de la al-tura de la barrera, el segundo máximo se observará a 4 e , el terceroa 9 e, etc. Al repetir el experimento variando la anchura de la barre-ra, se encuentra que el valor de e es inversamente proporcional alcuadrado de la anchura de la barrera. Entonces, se concluye que laenergía En del máximo n-ésimo es tal que,"^,,- eVo es proporcionala nja. Si llamamos p al momento lineal de la partícula al pasar porencima de la barrera, el momento lineal pn del máximo n-ésimo satis-face la relación

n h2a = = • —

2 pn

donde la constante de proporcionalidad resulta ser la constante dePlanck. Dicho de otra manera, cuando la anchura de la barrera, 2a, esun múltiplo semientero de h/p, la transmisión alcanza su valor máxi-mo de uno y el coeficiente de reflexión es cero resultando que la ba-rra es perfectamente transparente únicamente para estos valores par-ticulares.

Este comportamiento es exactamente análogo al de la transmisiónde la luz a través de una placa delgada de dieléctrico o de una pelícu-la, cuando el coeficiente de reflexión se anula porque el espesor de lapelícula es igual a un número entero de semilongitudes de onda. Porconsiguiente lo que se observa es un fenómeno ondulatorio y explí-


citamente, existe una onda de longitud de onda X asociada a una par-tícula de momento lineal p, lo cual concuerda con la predicción dede Broglie y los resultados experimentales de Davisson y Germer.

La explicación de las observaciones anteriores sería como sigue. Ala partícula incidente en el primer tubo se le asocia una onda que sellamará onda de de Broglie y expresada como,

(2)

Cuando esta onda choca con la primera cara de la barrera de po-tencial, parte se transmite al interior de la barrera y parte se refleja.La onda transmitida al interior de la barrera tiene la forma

i/, = eifxlh.

Parte de esta onda se transmite fuera de la barrera y parte se reflejaen la segunda interfase. La onda reflejada llega a la primera interfasedonde parte se transmite y parte se refleja, volviéndose a repetir elmismo proceso con la onda reflejada en la segunda interfase y así su-cesivamente. Por lo tanto, la onda transmitida hacia la derecha seráuna superposición de ondas múltiplemente reflejadas. La condiciónpara que estas ondas interfieran constructivamente para dar un máxi-mo en la transmisión es que la anchura de la barrera sea un múltiploentero de semilongitudes de ondas. En esta explicación se encuentraimplícita la idea de que las intensidades de las ondas transmitidas yreflejadas deben de asociarse con las probabilidades de transmisión yreflexión de la partícula.

En esta interpretación no es esencial que la energía cinética sea ne-gativa o que el momento lineal sea imaginario. Para un momento li-neal imaginario la longitud de onda de de Broglie también es imagina-ria, y por lo tanto, las ondas correspondientes son ondas atenuadas yno ondas que se propagan. Estas ondas existen y pueden explicarsesatisfactoriamente. El efecto túnel podría explicarse cualitativamentecon estos argumentos. La onda que se transmite hacia el interior de labarrera resulta ser una onda atenuada. Llega a la segunda interfasecon menor amplitud, pero después de transmitirse se convierte denuevo en una onda que se propaga. Si la barrera es ancha, la atenua-ción es grande y la transmisión cae exponencialmente a cero, lo cualconcuerda con la observación, *

1 Un tratamiento detallado se presenta en la Sección 7 del Capítulo VI.

MAGNITUDES NUMÉRICAS Y DOMINIO CUÁNTICO

4. MAGNITUDES NUMÉRICAS Y DOMINIO CUÁNTICO

13

Es ilustrativo examinar las magnitudes de las ondas de de Brogliepara algunos casos representativos:(a) Un electrón de energía E (en electrón voltios)

10-" E-"2 cmP VlmE

(b) Un protón de energía E (en electrón voltios)

X - 5 x 10-10 E~112 cm

(c) Una masa de un gramo moviéndose a una velocidad de un centí-metro por segundo

X = 10-27 cm.

Estos números nos revelan por qué los efectos cuánticos sólo semanifiestan a nivel atómico. A nivel macroscópico todas las dimen-siones son enormes comparadas con las longitudes de onda de de Bro-glie, por lo cual, las características ondulatorias no son détectables.En el dominio atómico y subatómico las dimensiones son compara-bles con las longitudes de onda de de Broglie y, por lo tanto, las ca-racterísticas ondulatorias predominan.

Estos números también aclaran las dificultades para realizar en ellaboratorio el experimento ideal con los tubos antes mencionados.Para simplificar se supuso que los potenciales cambiaban discontinua-mente, aunque, en realidad cambian a lo largo de una distancia, porejemplo b, lo cual complica el análisis pero no cambian las caracterís-ticas cualitativas de los resultados. Sin embargo, la magnitud de losefectos cuánticos dependen crucialmente del tamaño de b. Los efec-tos serán apreciables solamente si b es menor que la longitud de ondao comparable con ella. Considerando el caso más favorable, el delelectrón, se concluye que el espacio entre los tubos debe ser de unoscuantos anstroms, es decir, de unos cuantos diámetros atómicos.

A escala atómica existen experimentos análogos a los menciona-dos anteriormente. La emisión de electrones de un metal correspon-dería al primer experimento y el decaimiento nuclear de partículas,considerado como efecto túnel, correspondería al segundo. El pasode un electrón externo a través de un átomo correspondería alsegundo experimento. Se observan resonancias en la transmisión, lascuales se conocen como efecto Ramsauer. En todos estos experimen-tos intervienen sistemas físicos muy complejos cuyas propiedades no

LA NATURALEZA DUAL DE LA MATERIA Y LA RADIACIÓN

edén entenderse sin antes haber comprendido perfectamente latánica cuántica.

EL ASPECTO CORPUSCULAR DE LAS ONDAS

Anteriormente se ha demostrado que las partículas clásicas tienenturaleza dual por exhibir propiedades ondulatorias. A continua->n, se describirán algunos experimentos que demuestran cómo lasdas electromagnéticas exhiben propiedades corpusculares. Laprime-indicación de este hecho provino de las propiedades espectrales deradiación de un absorbedor perfecto o cuerpo negro. Una buenaroximación de él se puede obtener en la forma siguiente. Se tomarecipiente construido de paredes opacas a la radiación electromag-

tica y que tenga un agujero infinitesimal en la superficie. La radia-in que entra por el agujero tiene una probabilidad grande de no sa-y así, el agujero se comporta como un cuerpo negro. El campo de

Ilación en el interior del recipiente en equilibrio térmico con éste anperatura T, se puede considerar como la radiación de cuerpo ne->. Puede estudiarse experimentalmente examinando la radiacióne escapa por el agujero infinitesimal. Su distribución espectral yisidad de volumen dependen solamente de la temperatura y no depropiedades particulares de las paredes o de alguna otra causa. De-

io a esta independencia, resulta que la radiación del cuerpo negroun fenómeno muy importante para entender el intercambio de;rgía entre la materia y la radiación cuando se encuentran en equi-no térmico. La física clásica no explica satisfactoriamente el espec-de esta radiación. El argumento es como sigue.

El campo electromagnético en el interior de una cavidad puedescribirse completamente como una superposición de modos carac-isticos de vibraciones armónicas del campo en la cavidad. La am-tud de cada modo es independiente y, en principio, puede ser asig-da arbitrariamente. Cada modo representa un grado de libertad delupo de radiación y estos grados de libertad son de tipo vibracional.i acuerdo al teorema de equipartición de la mecánica estadística.sica, cada grado de libertad vibracional tiene la misma energía pro-ídio kT en el equilibrio térmico. No es difícil demostrar que el nú-¡ro de modos en el intervalo de frecuencia entre v y (v + dv) esrr/c3)Kv2c?v, donde V es el volumen de la cavidad. Entonces, setiene el resultado paradójico de que el espectro de la densidad desrgía para el cuerpo negro es (Sir/c^^kTv^dv, lo cual significae la densidad de radiación con frecuencia entre v y v + dv crece in-finidamente con el cuadrado de la frecuencia y que, por lo tanto,ínergía electromagnética total en la cavidad es infinita.

EL ASPECTO CORPUSCULAR DE LAS ONDAS 15

Ejercicio 1. Considerar una caja cúbica de volumen V con paredesperfectamente conductoras.

(a) Demostrar que el número de modos de vibración con fre-cuencias entre v y v + dv está dado por (Sw/c3) Vv2 dv (referencia [3]).

(b) ¿Se comportará esta caja como cuerpo negro a todas lasfrecuencias si tiene una partícula de polvo en su interior? ¿Cualesserán sus propiedades a frecuencias muy bajas?

Este resultado clásico, conocido como la ley de Rayleigh-Jeans,no es totalmente incorrecto; esta ley predice exactamente la parte delespectro correspondiente a bajas frecuencias. Para altas frecuencias elespectro observado es menos intenso que el predicho clásicamente yeventualmente tiende a cero exponencialmente. Se podría expresarlode otra manera diciendo que no todos los grados de libertad asocia-dos con las frecuencias altas participan en el reparto de energía y quelos correspondientes a las más altas no participan.

El misterio de que algunos grados de libertad no participen fueexplicado por primera vez por Planck cuando propuso que la energíade un modo vibracional de frecuencia v podía tomar únicamente va-lores discretos y no podía variar continuamente como en mecánicaclásica.3 Supuso que la energía, partiendo de cero, podía crecer sólopor saltos iguales de magnitud proporcional a la frecuencia. La cons-tante de proporcionalidad es precisamente la constante de Plank yla energía de un cuanto de frecuencia v, o frecuencia angular <a, es

E = hv = hu> (3)

y entonces, la energía de un oscilador tendrá solamente los valorespermitidos O, w, 2ftw, . . . .

Es fácil ver que, por lo menos cualitativamente, la idea de Planckes correcta. Para modos de frecuencia suficientemente baja, los saltosde energía son muy pequeños comparados con las energías térmicasy, por lo tanto, el teorema de equipartición clásico no se modifica.Para modos cuyas frecuencias son suficientemente altas, los saltos deenergía son grandes comparados con las energías térmicas, por lo cualestos modos no participan en el reparto de energía. Entonces, resultaque la energía promedio de un grado de libertad vibracional de fre-cuencia v a temperatura T es,

3 Se está presentando el argumento desde un punto de vista moderno. Planck asoció caracte-rísticas cuánticas únicamente a osciladores materiales, los cuales introdujo para representarlas propiedades de las paredes de la caja, y no a los modos de vibración del campo electro-magnético. Einstein fue el primero que se dio cuenta de que el campo de radiación tambiéndebía de estar cuantizado.


j? — hv _ ho>^ ahtflkT i ¿tñoill€ I c

(4)

que recobra el valor clásico kT cuando fua/kT <* 1 y es exponencialpara h<a¡kT > 1. La densidad de energía de la radiación del cuerponegro para frecuencias entre v y v •+ dv será entonces,

hv3

C3 ehvlkT _ J dv, (5)

que es la ley de radiación de Planck. Concuerda perfectamente con elexperimento y resulta ser, históricamente, el primer método para de-terminar con mucha exactitud el valor de h.

Ejercicio 2. (Verlareferencia [3]).(a) Obtener la ecuación (4) y la ley de radiación de Planck, ecua-

ción (5).(b) Llamando Xm a la longitud de onda correspondiente al máxi-

mo del espectro del cuerpo negro, demostrar que \mT = constante(ley de desplazamiento de Wien).

(c) Demostrar que la energía total radiada por un cuerpo negroa temperatura T es proporcional a T* (ley de Stefan).

Aunque Planck dio una solución completamente satisfactoria a lasdificultades de la radiación del cuerpo negro, su trabajo atrajo pocaatención.4 Fue tomada seriamente en 1905 cuando Einstein aplicóla idea cuántica al fenómeno de la emisión fotoeléctrica, introdu-ciendo explícitamente las propiedades corpusculares de la radiaciónelectromagnética. Estas propiedades corpusculares se observan mejorín el efecto Compton. Cuando rayos-X de frecuencia dada se disper-san por electrones libres en reposo, la frecuencia de los rayos-X dis-persados decrece al crecer el ángulo de dispersión. Este efecto se des-cribe con precisión considerando a los rayos-X como partículas rela-ivistas de energía ña> y momento lineal ñu/c y aplicando, a la coli-ión, las leyes usuales de conservación de energía y momento lineal.

Ejercicio 3. Demostrar que en la dispersión de Compton

onde A.c = h/mc es la llamada longitud de onda de Compton, m es lanasa del electrón, A es la longitud de onda de los rayos-X inciden tes y

E. U. Condón, en Physlcs Today. Vol. 15, No. 10, p. 37, Oct. 1962.

COMPLEMENTAREIDAD - EL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA 17

X' es la longitud de onda de los rayos-X dispersados a un ángulo 0. Lalongitud de onda de Compton puede tomarse como una longitud fun-damental asociada con una partícula de masa m. ¿Cuál es su valor nu-mérico aproximado para un electrón, para un protón, para un mesónir y para una bola de billar? (Ver la referencia [3]).

6. COMPLEMENTAREIDAD

Como resultado de las consideraciones anteriores se ha establecidoque, en la naturaleza, existe cierta simetría entre partículas y ondas,de la cual carece totalmente la física clásica, en donde cierta entidadtiene exclusivamente una de estas características. Estas conclusionesllevan a grandes dificultades conceptuales. De alguna manera se tienenque reconciliar los conceptos clásicos de partícula y onda. En esta re-conciliación interviene un principio que se conoce como principio decomplementareidad, enunciado por primera vez por Bohr. La duali-dad partícula-onda es uno de los muchos ejemplos de la complemen-tareidad.

La idea es la siguiente; los objetos en la naturaleza no son partícu-las ni son ondas; un experimento o medición que resalte una de estaspropiedades, lo hace necesariamente a expensas de la otra. Un experi-mento diseñado para aislar o describir las propiedades de partícula,tales como la dispersión Compton o la observación de trayectorias,no proporciona información sobre los aspectos ondulatorios. Por otraparte, un experimento diseñado para aislar las propiedades ondulato-rias, por ejemplo la difracción, no proporciona información acerca delas propiedades corpusculares. Este conflicto se resuelve establecien-do que estos aspectos irreconciliables no pueden, en principio, obser-varse simultáneamente. Otros ejemplos de complementareidad pue-den ser, la posición y el momento lineal de una partícula, la energíade un estado y el tiempo que dura dicho estado, la orientación angu-lar de un sistema y su momento angular, etc. Ahora se puede estable-cer en forma general el principio de complementareidad. La descrip-ción cuántica de las propiedades de un sistema físico se expresa entérminos de parejas de variables mutuamente complementarias. Laprecisión en la determinación de una de estas variables, necesariamen-te implica una imprecisión en la determinación de la otra.

7. EL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA

Hasta aquí la atención se ha concentrado en experimentos que nopueden explicarse mediante la mecánica clásica y que al mismo tiem-po ponen de manifiesto ciertos aspectos de la mecánica cuántica. Sin


embargo, no hay que olvidar que existe un dominio enorme, el domi-nio macroscópico, para el cual es válida la mecánica clásica. Enton-ces, se tiene un requisito obvio que la mecánica cuántica debe satisfa-cer; en el límite clásico apropiado la mecánica cuántica debe llegar alas mismas conclusiones a que llega la mecánica clásica. Matemática-mente, este límite es aquél para el cual h puede considerarse peque-ña. Por ejemplo, para el campo electromagnético significa que el nú-mero de cuantos en el campo es muy grande. Para partículas, signifi-ca que la longitud de onda de de Broglie es muy pequeña comparadacon todas las otras dimensiones importantes del problema. Natural-mente que los resultados de la mecánica cuántica son probabilísticospor naturaleza, mientras que los resultados de la mecánica clásica soncompletamente determinísticos. Por ello, en el límite clásico, las pro-babilidades cuánticas deben de convertirse en certidumbres; las fluc-tuaciones resultan despreciables.

Este principio, o sea que en el límite clásico las predicciones de lasleyes cuánticas deben de estar en correspondencia de uno a uno conlas predicciones clásicas, se llama el principio de correspondencia. Susrequisitos son suficientemente rigurosos para que, partiendo de laidea de ondas de de Broglie y su interpretación probabilística, las le-yes de la mecánica cuántica puedan determinarse del principio de co-rrespondencia, como se demostrará más adelante.

Problema 1. Calcular, con dos cifras significativas, las longitudes deonda de de Broglie siguientes:

(a) Un electrón moviéndose a 107 cm/seg.(b) Un neutrón térmico a temperatura ambiente, es decir, un

neutrón en equilibrio térmico a 300°K moviéndose con la energíatérmica promedio.

(c) Un protón de SQMeV.(d) Una pelota de golf de lOOgm. moviéndose a 30 metros/seg.

Problema 2. Considerar un electrón y un protón con la misma ener-gía cinética T. Calcular la longitud de onda de de Broglie para cadauno, con una cifra significativa en los casos siguientes:

(a) T=30í?F.(b) T=3(c) T=3(d) T= 30 GeV= 30,000MeV.

Nota: Con bastante exactitud, la energía en reposo de un electrón es0.5 MeV, y la de un protón es de 1 GeV. La relación entre energíacinética, momento lineal y masa en reposo puede expresarse como

E = T + me2 = V(mc2)2 + (pe)2.

II

Funciones de estado

y su interpretación

1. LA IDEA DE FUNCIÓN DE ESTADO; SUPERPOSICIÓN DEESTADOS

Las consideraciones que se han hecho en el capítulo anterior hanconducido a la idea de que la descripción de cierto tipo de comporta-miento de las partículas, requiere la introducción de las ondas de deBroglie. Estas ondas exhiben propiedades de interferencia y la inten-sidad en una región dada está asociada con la probabilidad de encon-trar a la partícula en esa región.

A continuación se intentarán generalizar estas ideas y al mismotiempo definirlas mejor. Para simplificar las características matemáti-cas, se considerará el caso del movimiento de una partícula en una so-la dimensión bajo la influencia de una fuerza externa determinada.Como primer paso se describirá el estado de movimiento en un ins-tante de tiempo. En mecánica clásica, dicha descripción se estableceespecificando la posición y el momento lineal de la partícula en elinstante de tiempo considerado. Las leyes de Newton suministran lareceta para determinar la evolución del tiempo. Pero se ha recalcadoque tal descripción no es válida en la mecánica cuántica, ya que lastrayectorias de las partículas no están definidas con exactitud. Parapoder empezar el estudio de la mecánica cuántica se hará la hipóte-sis mínima de que el estado de una partícula al tiempo t se describecompletamente, o por lo menos tan completamente como sea posi-ble, mediante una función i|» que se llamará la función de estado dela partícula o del sistema.

20 FUNCIONES DE ESTADO Y SU INTERPRETACIÓN

(2)

(3)

Entonces, se deben de contestar las preguntas siguientes:(1 ) ¿Cómo se especifica «/» ? ¿O sea, cuáles son las variables de las

que depende?¿Cómo se interpreta </<? Es decir, cómo pueden deducirse de\¡¡ las propiedades de los observables de un sistema?¿Cómo evoluciona \¡> en el tiempo? Es decir, determinar laecuación de movimiento del sistema.

A la primera pregunta se podría contestar suponiendo la hipótesismás sencilla posible, o sea que la función de estado de una partículasin estructura ' en una dimensión y en un instante dado t, puedeexpresarse como función de las coordenadas espaciales únicamentei// = ^ t ( x ) , donde el índice t se refiere al instante en el cual es válidala descripción. Usando una notación más conveniente, se puedeescribir

= fy(x, t ) , (1)

siendo t, en este caso, un parámetro. La suposición de que <// debede expresarse de esta forma para una partícula sin estructura, resultacorrecta y significa que cualquier estado físico puede especificarse entérminos de una i/» apropiada que tenga la forma de la ecuación (1).Surge ahora la pregunta siguiente. ¿Corresponde a algún estado físi-co una función $ arbitrariamente escogida? La respuesta es negati-va. Solamente ciertas clases de funciones de estado llamadas física-mente aceptables, corresponden a estado físicos realizables. Por ejem-plo, resulta que </< corresponde a un estado físico si es univaluadayacotada, propiedades que se definirán más adelante.

Respecto a la segunda pregunta, que es el tema principal de estecapítulo, se necesita establecer un significado físico preciso para losaspectos probabilísticos de la función de estado de la mecánica cuán-tica. La suposición más plausible y físicamente necesaria estableceque la probabñidad de encontrar a una partícula en una región da-da del espacio es grande cuando i/> sea grande y pequeña cuando </<sea pequeña. Ya que las probabilidades nunca pueden ser negativasy como i// puede tomar valores positivos, negativos o nulos ( de he-cho es compleja), la asociación más simple que se puede hacer es to-mar la probabilidad relativa proporcional al valor absoluto cuadradode «A, en analogía con la intensidad de un campo ondulatorio ordi-nario. Entonces, si P(x, t) dx es la probabilidad relativa de encon-trar a la partícula al tiempo t en un volumen dx centrado en x, seescribirá

P ( x , t ) dx= \*li(x, t)\* dx = i¡i*(x,t)\li(x,t) O,

1 Por partícula sin estructura se entiende una masa puntual convencional. Para una partículacon grados de libertad internos, como el espín, la descripción tendrá que ser modificada.

LA IDEA DE FUNCIÓN DE ESTADO; SUPERPOSICIÓN DE ESTADOS 21

donde i//* es el complejo conjugado de i/>. Se puede convertir la ex-presión anterior a probabilidades absolutas p(x, t) dx escribiendo,

p(x,t) dx = P(x,t) dxf P ( x , t ) dx (2)

o bien,

p(x,t) =•

donde la integral se extiende a todo el espacio. El hecho de que pdxsea una probabilidad absoluta se sigue de que

í pdx= 1.lo cual significa que la probabilidad de encontrar a una partícula enalgún lugar del espacio tiene el valor uno. La cantidad p se llama ladensidad de probabilidad. Si la densidad de probabilidad tiene algúnsignificado, la integral en el denominador tiene que ser acotada. Porlo tanto, todas las funciones físicamente aceptables deben de cumplirla condición de ser cuadráticamente integrables.2

De acuerdo con (2), p no cambia si fy se multiplica por un factorarbitrario independiente de las coordenadas, o sea, por un factor c(f)que podría ser complejo y en este sentido i/» está indeterminada poreste factor. Es conveniente escoger este factor en tal forma que

/ i// * i|» <¿v = 1, (3)

que siempre se cumple para funciones de estado físicamente acepta-bles. Esta condición se llama condición de normalización y las fun-ciones de estado que la satisfacen se llaman normalizadas. Para fun-ciones de estado normalizadas i|/*i|/será la densidad de probabilidad,

P(JC,/) = t|/*(jc, í)i//(jc,/), (4)

y i/» puede interpretarse como la amplitud de probabilidad.El procedimiento para normalizar es el siguiente: sea i// una fun-

ción de estado físicamente aceptable. Se calcula / \\i*fydx, llamandoal resultado M, que es un número real. Entonces,

1 Aunque esta condición es correcta, los físicos encuentran muy frecuentemente que es con-veniente trabajar con funciones de estado idealizadas que satisfacen condiciones más débileso equivalentes como,

J<li*(x, t)<¡i(x, t) e-"lfl dx = M(a, t),

donde M es finita y a arbitrariamente pequeña pero no cero. Más adelante se verán algunosejemplos.


define la normalización de la función de estado »//' para 8 arbitra-ria. Es necesario recalcar el hecho de que se normaliza por conve-niencia y que no puede atribuirse ningún significado físico a la mag-nitud numérica absoluta de una función de estado. Sólo magnitudesrelativas son importantes. Dicho de otra manera, si una función deestado se incrementa en todas partes por un orden de magnitud, per-manece inalterada físicamente. Este resultado está en contraposicióncon la física clásica. Por ejemplo, un incremento de la misma magni-tud en la presión de una onda acústica, altera totalmente las condi-ciones físicas para cualquier observador.

Es importante entender con precisión la naturaleza de las cantida-des probabilísticas que se han introducido. Se está considerando unsistema que consiste de una partícula moviéndose en una dimensiónbajo la influencia de alguna fuerza externa prescrita. A continuación,se supone un conjunto de tales sistemas, idénticos entre sí y que sa-tisfacen condiciones iniciales idénticas. Además, se supone que enalgún instante t se han Añedido las coordenadas de la partícula de cadasistema del conjunto. Los valores medidos no serán siempre los mis-mos, como lo serían clásicamente, sino que se distribuirán en ciertointervalo de valores. La cantidad p(x,t) dx será la fracción de sistemasen el conjunto para los cuales los valores medidos de las coordenadasse encuentran entre x y x + dx.

Es necesario recalcar una propiedad importante de las funciones deestado, o sea, la existencia de interferencia. La observación de estapropiedad dio lugar a la asociación de propiedades ondulatorias a laspartículas, lo cual implica que si i//, describe un estado posible del sis-tema y t/>2 describe un segundo estado posible, entonces

también describe un estado posible del sistema, donde at y a2 sonarbitrarias. Generalizando, se concluye que una superposición arbi-traria de cualquier conjunto de funciones de estado posibles, tambiénes una función de estado posible. Este resultado se llama el principiode superposición. La aplicación de este principio es una de las hipó-tesis básicas de la mecánica cuántica marcando perfectamente la dife-rencia entre sus aspectos probabilísticos y los de la mecánica estadís-tica clásica.

Para aclarar la relación entre interferencia y principio de superposi-ción se podría calcular, por ejemplo, la densidad de probabilidad quecorresponde a la superposición particular i/»3, definida anteriormente.Se tiene,

LA IDEA DE FUNCIÓN DE ESTADO; SUPERPOSICIÓN DE ESTADOS 23

Los dos primeros términos son precisamente la suma de las probabili-dades individuales para cada estado, multiplicado por un factor depeso indicando la proporción presente de cada estado en la superposi-ción, exactamente como en el caso clásico. Los dos últimos términosson los términos de interferencia. Estos términos no se expresan sóloen función de las probabilidades individuales asociadas con cada esta-do, sino que son propiedades de ambos estados simultáneamente.Sus signos están determinados por la fase relativa de al^l y a2i|/2 pu-diendo ser positivos o negativos, lo cual corresponde a interferenciapositiva o negativa en las probabilidades. Este resultado no debe pa-sarse por alto, pues significa que un conjunto de estados, cada uno delos cuales describe independientemente algún evento con probabili-dad finita, pueden combinarse en tal forma que el evento dado nopueda ocurrir.

Un ejemplo interesante es el famoso experimento de la rendija do-ble, en el cual se estudia el patrón de interferencia registrado en unapantalla opaca producido por un haz de partículas que incide sobrelas rendijas. El experimento se muestra esquemáticamente en la Fi-gura l(a). La primera pantalla contiene rendijas idénticas en^l y enB, pudiendo estar abiertas o cerradas cualquiera de ellas. Todo elec-trón que pase por el sistema de rendijas se registra en la pantalla C.En la Figura l(b) se muestra a la izquierda la distribución de partícu-las cuando está abierta la rendija A o la B, y en la derecha se muestra

haz incidentede partículas

x

- - 0

partículastransmitidas

pantalla conrendijas A y B

pantalla de registro C

(a)

rendija A o rendija B abiertas rendijas A y B abiertas

(b)

Figura 1. El experimento de la rendija doble, (a) Esquema del dispositivo ex-perimental, (b) Distribución de las partículas registrada en la pantalla C.

24 DEBITADO Y SU INTERPRETACIÓN

el resultado cuando están abiertas ambas rendijas, A y B. En el pri-mer caso, se tiene el patrón típico de Fraunhofer y en el segundo, es-te patrón está modulado por la interferencia y claramente no es la su-perposición de las probabilidades individuales de transmisión a travésde cada rendija. Para relacionarlo con el principio de superposición,sea $A\& función de estado de un electrón cuando A está abierta y Bcerrada, ifB cuando B está abierta y A cerrada y <foB cuando ambas ren-dijas están abiertas. Sean pA, pB y pAB las densidades de probabili-dad correspondiente. Entonces, como buena aproximación se tieneque,

de donde se obtiene que

PAB ^ \AB\2 \B\

Ya que pA = PB, en contraste con el resultado clásico PAB = PA + PB - 2pAse tiene que,

PAB= ZpAÍl +COS 8 ( x ) ] ,

donde 8(x) es la fase de i/»B relativa a tyA,

El factor de fase 5 crece linealmente con la distancia al origen O a lolargo de la pantalla opaca C y los mínimos de interferencia ocurrencuando 8 es un múltiplo impar de ir. Aquí se observa explícitamentecómo la superposición produce la interferencia. En particular, cuan-do ambas rendijas están abiertas, la probabilidad de que un elec-trón llegue a la pantalla en un mínimo de interferencia es cero, aun-que la probabilidad de llegar al mismo punto de la pantalla sea finitacuando una sola rendija está abierta.

Merece comentarse otro aspecto de este experimento. La natura-leza corpuscular del electrón se manifiesta en el hecho de que unelectrón es una entidad que puede localizarse. Cuando se detecta ose registra, en la forma que sea, siempre se observa como tal y nuncase observa parte de un electrón. Por lo tanto, un electrón que pasapor la primera pantalla, pasa por una de las dos rendijas. Si pasa porla rendija A, ¿cómo puede conocer la existencia de la rendija B yajustar su comportamiento para dar el resultado experimental correc-to? La respuesta es que, en este aspecto, el electrón no está localiza-do; también tiene atributos que están distribuidos en el espacio a se-mejanza de una onda. O sea, exhibe ambas propiedades; partícula yonda. Los aspectos complementarios de esta dualidad se recalcan al

VALORES DE EXPECTACIÓN 25

introducir un detector adicional que determine a través de cual de lasdos rendijas pasa el electrón. Al hacerlo, se observa que cada elec-trón pasa con seguridad a través de una de las rendijas. Pero el actode observar, necesariamente provoca una interacción entre el aparatode medición y el electrón, lo cual acarrea una perturbación incontro-lable que destruye la relación de fase necesaria para la interferencia.Se puede decir que al observar a través de cuál de las rendijas pasa elelectrón, se le está obligando a actuar como partícula, la interferenciadesparece y emerge el resultado clásico correspondiente.

2.- VALORES DE EXPECTACIÓN

Dada la interpretación probabilística de la función de estado <//( v. t)falta mostrar cómo se obtiene información respecto al comporta-miento de una partícula. Recordando que p(x, t) se refiere a la dis-tribución de los valores medidos de la coordenada de una partículaen un conjunto de sistemas, el valor promedio o valor de expectaciónde la posición (x) será

(x) = S x p ( x , t) dx, (5)

donde la integral cubre todo el espacio. Es preciso recalcar que estose concluye porque p(x, t) dx es la fracción de los valores medidosde la posición que se encuentran entre x y x + dx. Pero si se tratade alguna función de la posición de la partícula como/(x), entoncesp(x, t) dx es la fracción del número de veces que el valor medidode f(x) se encuentra entre /(x) y f(x + dx). Entonces, usando lamisma notación, se tiene que el promedio o valor de expectaciónes

= í f ( x ) P ( x , t ) d x . (6)

Por ejemplo, si una partícula se mueve en un potencial V(x) ysu densidad de probabilidad es p(x, t), entonces, su energía puedecalcularse según (6) usando/(x) = V(x).

Los valores de expectación se pueden expresar en términos de lafunción de estado \{j(x, t) obteniendo que,

(7)

(8)

y si la función de estado está normalizada,

, O


Naturalmente que el orden de los factores en el integrando de (8) esirrelevante. Se podría escribir/i|»*i|/ o bien ifj*\¡>f que son expresionesmás sencillas que el insertar / entre ^* y «/». Pero se ha escogido es-ta última forma por razones de conveniencia que se aclararán másadelante.

Hasta aquí se ha visto cómo calcular el análogo cuántico de la posi-ción de una partícula o de cualquier función de la posición. Quedapor examinar en una dimensión la variable correspondiente al mo-mento lineal. Una forma de proceder es como sigue. Como <J< = «/>(x, t),en general, el valor de expectación de x es una función del tiempo(x) =/(/), entonces, la cantidad md(x)/dt puede calcularse si se co-noce \l> como función del tiempo. Esta cantidad corresponderá almomento lineal, al menos en el límite clásico, aunque existen dosdificultades. La primera es fundamental pues se refiere al momentolineal como variable dinámica. Clásicamente, la existencia de unatrayectoria asocia un significado preciso a la operación matemáti-ca de calcular m dx/dt. En mecánica cuántica, no existen trayecto-rias definidas y la cantidad dx/dt resulta indefinida y, por lo tanto,no tiene sentido hablar de p si está definida como m dx/dt, o sea,como una cantidad exclusivamente cinemática. Sin embargo,/? debetener un significado físico independiente de las trayectorias. Si sela considera como variable dinámica, en analogía con la variable deposición, es preciso dar un significado a su valor de expectación (p),siendo éste el siguiente objetivo.3

La segunda dificultad es más bien de tipo práctico. Para calcularuna cantidad como d(x)/dt, se necesita contestar a la pregunta ¿có-mo evoluciona i/> en el tiempo? Todavía no se puede contestar aesta pregunta. Una vez que se entienda el momento lineal como va-riable dinámica cuántica, se hará uso de los requisitos del principio decorresponden cía

. , _md(x)<p)-~dT~

d ( p ) = ldV(x)\dt \ dx /

para establecer la dependencia en el tiempo de la función de estado.

3 Clásicamente, la descripción que considera la posición y el momento lineal como variablesdinámicas del mismo tipo, es la descripción hamiltoniana. Puede anticiparse que la funciónHamiltoniana resultará muy importante en la formulación de las leyes cuánticas.

COMPARACIÓN ENTRE LAS DESCRIPCIONES CUÁNTICA YCLASICA DE UN ESTADO; PAQUETES DE ONDA 27

3. COMPARACIÓN ENTRE LAS DESCRIPCIONES CUÁNTICA YY CLASICA DE UN ESTADO; PAQUETES DE ONDA

La discusión anterior se ha alejado mucho de la física clásica, en lacual se determina con precisión la posición y la velocidad de una par-tícula en un instante dado y no una distribucón de probabilidad, ymucho menos una amplitud de probabilidad inobservable. Ya que lamecánica cuántica pretende ser más general que la mecánica clásica,a la cual incluye como caso particular, es preciso establecer cómo sepuede recobrar la descripción clásica partiendo del concepto de unafunción de estado cuántica. Esta meta no es difícil. Una trayectoriaclásica no es mas que cierta curva en el espacio que evoluciona decierta manera en el tiempo. La función de estado cuántica tiene co-mo dominio todo el espacio y el tiempo. Aunque sea una entidadesencialmente no localizable, puede usarse para describir una trayec-toria si se escoge una función particular y localizada, por ejemplo,una que se anule en todas partes excepto en una vecindad infinitesi-mal de la trayectoria.

Estas funciones de estado localizadas se llaman paquetes de onda.Juegan un papel muy importante en la explicación de muchos efec-tos físicos y, naturalmente, en entender la relación entre la mecánicaclásica y la cuántica. Un ejemplo de un paquete de ondas en un ins-tante determinado sería la función gausiana,

ty = A exp[-U-*0)2/2L2].

La distribución de probabilidad relativa sería,

(9)

(10)

de la cual se concluye que se tiene un estado localizado en la vecin-dad del punto x = x0 y de dimensión L. Si L decrece, la función deestado está más localizada; el límite clásico de precisión absoluta co-rresponde al límite en el cual L tiende a cero.

La especificación de la función de estado en un cierto instante esanáloga a la especificación clásica de la posición inicial de una par-tícula. Si una parece más vaga y misteriosa que la otra se debe a que,en el campo clásico, se fijan las condiciones iniciales a través de uncontacto más directo y personal, por lo menos en la imaginación,como en el caso de tirar un objeto o poner a funcionar el mecanismoque dispara un'satélite. En ambos puntos de vista la forma de esta-blecer las condiciones iniciales es irrelevante para la evolución poste-rior; únicamente se necesita conocer las condiciones iniciales. Aun-que todavía no se puede discutir cómo se puede preparar inicialmen-


te un estado cuántico bien definido, esto no es una dificultad puesúnicamente se necesita conocer el estado inicial y no su origen.

Dado un estado inicial, su evolución en el tiempo se determina me-diante las ecuaciones de movimiento, ya sean clásicas o cuánticas 4

Si se supone que después de integrar las ecuaciones de movimientose obtiene la trayectoria

x = f ( t ) .

es tentador suponer que la forma adecuada que corresponda a la fun-ción de probabilidad cuántica en el límite clásico sea,

,/,*</> = M I 2 exP{-[*-/(f)]2/L2}

con L suficientemente pequeña. Esta expresión representa un paque-te de ondas de anchura L, moviéndose a lo largo de la trayectoria cía- •sica y de acuerdo a las ecuaciones de movimiento clásicas. Esta supo-sición intuitiva puede verificarse en el caso especial del movimientode una partícula libre. Para una partícula de masa m, partiendo delorigen con momento lineal p0, clásicamente se tiene que,

x = p0í/m,

y por lo tanto, se supone que la distribución de probabilidad cuánticapodría estar dada por el movimiento del paquete de ondas,

(U)

El resultado correcto, obtenido en el Capítulo IV (ecuación FV-22),al integrar las ecuaciones de movimiento cuánticas, coincide con éste,excepto que la constante L queda reemplazada por la función en eltiempo

L(t) =

Entonces, el resultado correcto revela que el tamaño del paquete cre-ce en el tiempo a partir de su valor inicial L. Pero, para partículasmacroscópicas, el segundo término del radicando es despreciable res-

4 La posición y el momento lineal deben especificarse ambas en el caso clásico. ^ En mecánicacuántica, ambas no pueden especificarse con precisión arbitraria. La información respecto almomento lineal está implícitamente contenida en la función de estado. Cómo obtener estainformación será el objeto del capi'tulo siguiente.

PROBLEMAS 29

pecto a intervalos de tiempo cosmológicos1 y, por lo tanto, la ecua-ción (11) no se devía apreciablemente del resultado correcto por loque las apreciaciones intuitivas anteriores pueden considerarse correc-tas. En el Capítulo IV se volverá a tratar este tema.

Problema 1. Considerar que una partícula está descrita por el paquetegausiano,

$ = A exp[-U-Jc0)2/2íí2].

(a) Calcular A si i// está normalizada.(b) Calcular <x>.(c) Calcular la desviación cuadrada media en la posición de la

partícula, <(x — (x) )2).(d) Suponer que la partícula se mueve en un potencial V(x).

Calcular (V) para V = mgx; para V = ifoc2. Ver Apéndice Ipara el cálculo de integrales gausianas.

Problema 2.(a) Lo mismo que en el Problema 1 , pero con la función de es-

tado,

i/»,=/l exp[/U - x0)la] exp[-(jc - x())'2l2a2] .

(b) Considerar la superposición de estados

donde i// es el paquete de ondas del Problema 1 , y *l>t el paquete ante-rior. Calcular c±. Graficar y comparar la densidad de probabilidad pa-ra los cuatro casos, \íf*t¡i, i|/i*iK, »K*</>+ y </»_ *i/»-.

3 Esta conclusión se obtiene debido a que A es pequeña desde el punto de vista macroscópico.

IIIMomento lineal

1. FUNCIONES DE ESTADO QUE CORRESPONDEN A UNMOMENTO LINEAL DEFINIDO

Una vez entendidas algunas de las propiedades de las funcionesde estado, es necesario comprender el momento lineal como variabledinámica cuántica. La solución la suministra la descripción dada porde Broglie para una partícula libre con momento lineal definido p. Seha argüido que, de alguna manera, se asocia a la partícula una ondade longitud de onda reducida 4. = h/p. Esta relación indefinida se pue-de concretar explícitamente suponiendo que, precisamente, la ondade de Broglie es la función de estado de la partícula. Por lo tanto sepuede escribir que,

\}i(x, t) = exp[/(*M) - iüit}

o bien, escribiendo A. en función de p,

\¡ip(x, t) = e\p[i(pxlh) - , (1)

donde se ha puesto el índice p en $ para especificar que esta funciónde estado describe a una partícula que se mueve con momento linealp definido y fijo. La frecuencia w de las ondas de de Broglie, todavíano recibe atención especial y al escribir la ecuación (1) se considera aw como una función característica de p, aunque desconocida porahora.

La asociación de la función de estado anterior con una partículade momento lineal bien definido, es un paso crucial en el presentemétodo de desarrollo que es una deducción directa del experimentode Davisson y Germer recalcando que la mecánica cuántica queda

FUNCIONES DE ESTADO QUE CORRESPONDENA UN MOMENTO LINEAL DEFINIDO 31

fundamentada una vez entendida y aceptada la ecuación (1). Excep-to por el espín y el principio de exclusión, todo lo demás se obtienedel principio de correspondencia.

La importancia de este resultado merece comentarse con algún de-talle. Para empezar, hay que hacer notar que se ha escogido «//p comouna función exponencial compleja. Hay que elaborar esta seleccióncon más detalle pues una onda viajera representada por una funcióntrigonométrica, también puede representarse satisfactoriamente poruna función exponencial. De hecho, todos los campos clásicos serepresentan por funciones reales, aunque se usa la notación complejapor conveniencia. Este hecho es esencial en la mecánica cuántica ypuede justificarse de la siguiente forma: para una partícula libre to-dos los puntos del espacio son físicamente equivalentes y la seleccióndel origen es irrelevante ya que el sistema no puede depender de estalelección. Se puede suponer que el origen se desplaza hacia la iz-quierda una distancia arbitraria b, o sea, que se substituye* por* + b.De la ecuación (1), <|»P queda multiplicada por un factor de fase quees constante y físicamente indetectable e*6"1. Por lo tanto, el estadole describe sin hacer ninguna referencia física al origen. Este no seríael caso si se usara una función trigonométrica para representar a »J>p-Si se usara la forma de la onda viajera más general posible dada por,

i/» = A eos (px/h — tai) + B sin (px/h — <at),

y se impusiera a i/r el requisito de convertirse en un múltiplo de símisma bajo una translación arbitraria, el resultado obtenido sería laforma exponencial de la ecuación (1).'

Ejercicio 1. Demostrar la última afirmación.

Merece comentarse otra propiedad de «/»P. Esta función de estadocorresponde a la falta total de localización en el espacio. La densi-dad de probabilidad relativa es

lo cual significa que la partícula puede encontrarse en cualquier ele-mento de volumen. Como consecuencia inmediata, la función de es-tado i/»P no, es físicamente aceptable excepto en el sentido dado enU nota que sigue a la ecuación (II-3). Sin embargo, como «J»p sí co-1 Elta afirmación puede Juitiflcaiie con el argumento más convencional y quizál mal clarod« exigir que la probabilidad de encontrar a la partícula en algún lugar del espado debe teruno en todo momento. Eite tema N volverá a tratar en la lección 7 del Capitulo IV.

32 MOMENTO LINEAL

rresponde a un valor preciso del momento lineal p, esta función deestado es una idealización útil como se demuestra a continuación.

2. CONSTRUCCIÓN DE PAQUETES DE ONDA POR SUPER-POSICIÓN

A continuación se dará un ejemplo importante y muy instructivode la utilidad de estos estados idealizados, combinándolos para for-mar un paquete de ondas, la más intuitiva y física de las funciones deestado. Este resultado se obtiene construyendo una superposición deestados de momento lineal <//p. Ya que existe un continuo de valo-res de p, la superposición resulta ser una integral en lugar de una su-ma, escribiéndola como,

, t) = dp (2)

donde el factor l/V2_irft aparece por razones de conveniencia. Enesta superposición, la amplitud de la función de estado de i/»P quecorresponde al momento lineal p se escribe como <£(p). Por el mo-mento no se tomará en cuenta la dependencia en el tiempo de lafunción de estado o la relación entre <o y p. Únicamente se estudia-rá la descripción del estado en un instante determinado, tomándolocomo f = 0 por comodidad. Por lo tanto, en lugar de la ecuación(2) se tiene que,

1 ípxl* dp, (3)

donde

Ahora, podría ser útil dar un ejemplo, aunque sea puramente ma-temático, para mostrar cómo se puede obtener un estado normaliza-do y físicamente aceptable \l>(x) por superposición de estados delmomento lineal, inaceptables e idealizados exp [ipx/h].Para particu-larizar a un caso muy simple, sea (p) constante en un intervalo deanchura A¿> a cada lado del momento lineal fijo p0 e idénticamentecero fuera de este intervalo. Se escoge <t>(p) como la distribucióncuadrada.

\P - Pol « A/?\p - pol > A/?,

(4)

CONSTRUCCIÓN DE PAQUETES DE ONDA POR SUPERPOSICIÓN 33

siendo c una constante arbitraria. Esto significa que el momento li-neal del estado considerado no tiene valor numérico preciso sinoque está distribuido uniformemente en una banda de anchura 2Apcentrada en pc, como se ilustra en la Figura 1.

Figura 1 . Distribución de momentos de la ecuación (4).

Al escoger <£(p) de esta manera, (3) se convierte en,

I f Po+Ap

*U) = 7/= c e*** dpV ¿irnj PO-AP

y factorizando el término eivtxlñ resulta

(5)

Este ejemplo proporciona una función de estado que es una onda dede Broglie correspondiente al momento lineal p0 modulada por elfactor (1/x) sen (Apx/h). Este factor convierte a </»(x) en una funciónnormalizable y por lo tanto físicamente aceptable. Para examinarcon más detalle el ejemplo, se normaliza $ para obtener la constan-te c en las ecuaciones (4) y (5). Se tiene

P ,= iíi' J_oo

y cambiando a la nueva variable u = &px/h se obtiene que,

|c| = 1/V2A7, (6)

34 MOMENTO LINEAL

donde se ha hecho uso del resultado,

= 7T. (7)

Para resumir, se puede decir que la distribución particular (4) propor-ciona, por superposición, el paquete normalizado de la ecuación (5)si c satisface la ecuación (6).

En el límite, cuando Ap tiende a cero, se recobra una onda de deBroglie pura de momento lineal p0, o sea que,

lim \¡i(x) =Ap-O

ip°xm

La aparición del factor VA/? significa que la amplitud de </; es infi-nitesimal, lo cual es una consecuencia del hecho de que la funciónde estado no puede normalizarse en este límite y por lo tanto no sepuede tender al límite en la forma usual. Pero, si la dimensión físicarelevante del sistema considerado es L, entonces, únicamente se ne-cesita considerar la función de estado en una región de esa dimensión.Como consecuencia, si ApL/ft < 1, el paquete de ondas normaliza-do se desvía en forma indetectable del estado puro de de Broglie. Es-to significa que el límite anterior puede lograrse físicamente, o seaque A¿? puede tomarse efectivamente como cero cuando sea mu-cho menor que h/L. Este ejemplo ilustra la forma de utilizar esta-dos puros de momento lineal, no físicos y no normalizables, comoidealizaciones de verdaderos estados físicos.

Volviendo al caso general, se necesita interpretar la amplitud </>(p)que aparece en la superposición integral de la ecuación (3). Como ca-so particular se puede tomar la superposición únicamente de dos fun-ciones de estado del momento lineal, o sea,

Claramente, esta combinación corresponde a un estado en el cual elmomento lineal sería p¡ o p2, con amplitudes de probabilidad rela-tivas ai y a-i respectivamente. El estado más general (3), es un es-tado en el cual todos los momentos lineales están presentes con pro-babilidad determinada por <^(p). Es natural suponer que <t>(p) esproporcional a la amplitud de probabilidad del momento lineal o a laamplitud de probabilidad en el espacio de momentos. Si p(p) es ladensidad de probabilidad correspondiente, la probabilidad de que lapartícula tenga un momento lineal entre p y p + dp será

CONSTRUCCIÓN DE PAQUETES DE ONDA POR SUPERPOSICIÓN 35

<fr*<MPp(p) dp = -^

fJ-odp

donde, como se indica, la integral se extiende a todo el espacio demomentos. Si 4>(p) está normalizada,

y por lo tanto

<t>*(p)<t>(p) dp=l,

p(p) = (9)

donde 4>(p) es directamente la amplitud de probabilidad.Al aceptar esta interpretación se puede considerar al momento li-

como variable dinámica. Si </>(p) es conocida, análogamente alyprocedimiento seguido en el espacio-* o espacio de configuración, se

tiene que,

= / Pp(p)dp,

Interpretando a (p ) como el momento lineal promedio sobre un con-| Junto de sistemas igualmente preparados. En general, para una fun-• CÍÓn/(p) del momento lineal, se tiene que

Como ejemplo particular, el valor de expectación de la energía ciné-tica es,

Entonces el momento lineal p se trata en forma análoga a la coor-denada x. Sin embargo, quedan todavía algunas preguntas por con-testar. Si se fija <¿>(¿>), i//(x) está determinada por la ecuación (3).Pero también puede presentarse el problema inverso, fijar iK*) ydeterminar </>(p). Además, la relación única entre 00?) y ijj(x) da-da por (3), significa que si una de estas funciones está normalizada,no queda libertad para normalizar la otra. Por lo tanto, como unacomprobación de la consistencia e interpretación de esta formulación,ie debe exigir que al estar normalizada </>(/?) también debe de estar-lo i|/(x) y viceversa. En el ejemplo dado por las ecuaciones (4) y(5), se puede verificar que este requisito se cumple. Recordando que

está normalizada si |c| = I /V2A/? , de (4) se obtiene que,

MOMENTO LINEAL

f I ri>0 + ±P

U** dp = r-M dp=\J 2Ap JP..-AP

36

y </> también está normalizada. Naturalmente, es necesario demos-trarlo en general y no únicamente para ejemplos particulares.

Para contestar a estas preguntas y a otras semejantes se hará, a con-tinuación, una breve digresión matemática sobre las propiedades delas integrales de Fourier, que así se llaman las integrales que tienenla forma de la ecuación (3).

3. TRANSFORMADAS DE FOURIER; LA FUNCIÓN DELTA DEDIRAC 2

Una función /(0) que sea celularmente continua en el intervalo—ir =s e « TÍ-, puede representarse por una serie de Fourier. Al escri-bir esta serie en forma exponencial se tiene que,

f ( 6 ) = /!„ e™,

donde

Substituyendo 0 por ^x/L se obtiene,

f(x) = An ein™/

e-"'» de

A* = rT /M e-tn"XIL dx.¿L- J-l.

il próximo paso será considerar el límite de estas expresiones cuandoL tiende a infinito. Para ello se escribe,

' por lo tanto,

'ambién se escribe,

A,, =

kn =

AA: = k,,+l - kn = ir/L

kn = nA/t.

n) = (l//.)

Ver las referencias del [6] al [ 13] en la lista dada en el Apéndice II.

TRANSFORMADAS DE FOURIER; LA FUNCIÓN DELTA DE DIRAC

Reuniendo estas expresiones se tiene que,

37

f(x) = g(nbk) ein*k* = Vl/(27r) g(nM) ein

g(nbk) = Vl/(2ir) T /(A) f-''"^^ J-;,

y haciendo que L -»°°, tal que A A: —* O y «A A: -»/: se obtiene que,

1"ITT J-/:

g(k)=V2-ir J-

g(k) eikx dk

f ( x ) e~ik*

(U)

utilizando la definición elemental de integral como el límite de unasuma. La pareja de funciones /(x) y g(k), relacionadas simétricamen-te por dichas expresiones, se llaman transformadas de Fourier una deotra y las expresiones (11) se llaman representaciones integrales deFourier.

La ecuación (11) especifica cómo calcular /(x) si se conoce g(k) yviceversa. Como aspecto interesante de dichas relaciones puede consi-derarse una función arbitraria /(x) suponiendo queg(fc) puede calcu-larse de la segunda ecuación de (1 1). Substituyendo la expresión deg(k) en términos de/00 en la primera ecuación, se obtiene que

f ( x ) =~ dk eík* f ( x ' ) e-'"*' dx' ,¿Tt J-oo

donde x ' es una variable muda de integración en la representación in-tegral de g(k). Suponiendo válido el intercambio en el orden de inte-gración, el resultado se pude escribir como,

/(*)= f dx'f(x')d(x-x'),J -00

donde se ha introducido la abreviación,

S(x-x')--^- f" e^-^dk.¿ir J_oo

(12)

(13)

Í8 MOMENTO LINEAL

La función 8(x — x') la introdujo Dirac por primera vez y se llama larunción delta de Dirac.3 Ya que /(x:) es arbitraria en un intervalonuy amplio, la función delta tendrá propiedades muy particulares,üstas propiedades se obtienen de la ecuación (12); al integrar a todo5! espacio el producto de una función / por la función 8, se obtiene;omo resultado el valor de / en el punto donde el argumento de la'unción 8 se anula. Dicho de otra manera, 8(z) selecciona en la inte-gración únicamente el valor de f(z) en el punto z — 0. El comporta-niento de/(z) es irrelevante fuera de dicho punto, por lo cual se con-fuye que 8(z) se anula en todas partes excepto en el punto z = 0. En: = O resulta muy grande pero de tal forma que permanece integrable.Este último resultado se concluye explícitamente al escoger f(x) co-no constante, por lo cual, de la ecuación (12) se obtiene que,

r 8(x-x') dx' = 1, (14)

;s decir, que la integral de una función 8 está normalizada a la uni-iad.4

Resumiendo, las propiedades básicas de la función 8 de Dirac estándefinidas por las ecuaciones (14) y (12), siendo (13) su representa-ción integral de Fourier. Algunas propiedades útiles son las siguien-tes:

(15)»(-*) = 8(jr)

a8(±ax)=8(x), a>0

- fl2) = - [8(jr - a)2aa)]

(16)

(17)

3 Cambiando x - x' por z y k por y, la definición de la delta puede escribirse como,

8(2) =

Esta expresión significa que, por ejemplo, en analogía con la ecuación (13) se tiene que,

8(*- / fc ' )=J- í" e"*-*'* dx .2.1T J -00

4 Una versión diferente puede construirse como sigue. Considérese la ecuación (12) para x fi-ja, por ejemplo, x = b y que/(jr)se altere por una cantidad arbitraria *)(*) en la vecindad in-finitesimal de un punto cualquiera a * b. El miembro izquierdo de la ecuación (12) no cam-bia, permaneciendo igual a/(¿) y, por lo tanto, la contribución adicional del miembro dere-cho debe de ser cero. Esto implica que 8(0 - fr)= O, b ¥= a, lo cual concuerda con las con-clusiones anteriores. Podría ayudar al lector a visualizar las propiedades de la función-8 si sela considera como el límite de una función de buen comportamiento con un máximo biendefinido como por ejemplo una función gausianá, que se discute en los problemas.

ESPACIOS DE CONFIGURACIÓN Y DE MOMENTO LINEAL

d8(x-a) , = _df\dx X dx\r=n

39

(18)

La demostración se dejará para los problemas.Finalmente, es útil mencionar el teorema de convolución. Si f\ (x)

y f2(x)son funciones arbitrarias, con transformadas de Fouriery g2(k) respectivamente, este teorema establece que,

fJ —

f,(x)ft(x) dx= g í ( k ' ) g 2 ( k - k ' ) dk'. (19)

La demostración no es difícil y resulta ser un ejercicio instructivo enla manipulación de integrales de Fourier. Si se substituye f¡(x) y f-¿(x)por sus representaciones integrales de Fourier, resulta que

dx e~ik* ft(x)ft(x) =¿ f dx e-ik* f dk' g í ( k ' ) eík'*

x dk" g2(k") e*"*.

Como en el miembro derecho la dependencia de x es explícita, inter-cambiando el orden de integración y calculando primero la integralsobre x se obtiene que,

dx e'** fiWMx) = 11^ dk' dk" g l ( k ' ) g í ( k " )

x -í- f dx *«*•+*•-«*.ZTT J

El último factor es 8(k" — k + k') de acuerdo con (13). Finalmente,calculando la integral sobre A:" se obtiene el resultado. Como casoparticular se tiene que,

íJ —

f*(x)f(x)dx= g*(k)g(k)dk. (20)

Ejercicio 2. Demostraría ecuación (20).

4. ESPACIOS DE CONFIGURACIÓN Y DE MOMENTO LINEAL

Ahora, es posible establecer una relación precisa entre funcionesde onda en el espacio de configuración fy(x) y funciones 4>(p) en elespacio de momentos. De la ecuación (3) se tiene que,

MOMENTO LINEAL40

mientras que de la ecuación ( 1 1 ) se tiene que,

=-7=f í"\2trn )-

(21)

Únicamente en un sistema de unidades en el cual h = 1 , </> es la trans-formada de Fourier de «/».. En general,

= Vñ

es su transformada, siendo p/h = 2v /x = k donde k es el número deonda reducido. Con esta identificación, y haciendo /= i|< y g =de la ecuación (20) se obtiene que,

y se satisface la condición de que fy y <t> sean normalizables simultá-neamente.

Hasta aquí se han establecido dos representaciones equivalentes, obien, dos formas de escribir una función de estado, una en el espaciode configuración y otra en el espacio de momentos. Ninguna de ellascontiene más información que la otra ni ninguna distinción especial.Juntas, permiten tratar la posición y el momento lineal sin ningunapreferencia como variables dinámicas.

5. OPERADORES DE POSICIÓN Y DE MOMENTO LINEAL

Dada una función de estado »/»(x), ya se conoce cómo calcular valo-res de expectación de cualquier función de la posición o de cualquierfunción de momento lineal. En el último caso, es necesario calcularla función de estado en el espacio de momentos, es decir, hacer latransformación al espacio de momentos. Claramente, el procedimien-to es ineficiente y largo, por lo cual convendría desarrollar un méto-do para poder calcular valores de expectación del momento linealdirectamente de i//(x). La técnica establecida hasta ahora no permitecalcular valores de expectación de funciones mixtas de la posición ydel momento lineal, como por ejemplo el momento angular.

Para resolver este problema se parte de la ecuación,

(p) = f 4>*(p)p<j>(p) dp.

Usando la ecuación (21) se expresa <t>(p) y <t>*(p) en términos de i|/(x)y <//*(x) respectivamente, obteniendo que,

OPERADORES DE POSICIÓN Y DE MOMENTO LINEAL

 = ¿ / / / dpdxdx' e™'1* p

41

(22)

Como la dependencia de p es explícita se puede hacer primero la in-tegración sobre p. La integración resulta muy simple si se elimina elfactor p en el integrando. Para ello se usa el hecho de que,

-ipxlñ — _i dx (23)

como se puede verificar fácilmente haciendo la diferenciación indica-da en el miembro derecho. Substituyendo este resultado en la ecua-ción (22), se obtiene que,

( p ) = dp dx dx' <¡i*(x') É-""' * 4-/ dx

A continuación se integra por partes respecto a x. El término inte-grado es proporcional al valor de i/»(jc) en infinito y por lo tanto escero para funciones de estado físicamente aceptables porque talesfunciones se anulan en infinito. Entonces, el resultado de la integra-ción por partes resulta ser,

~ ÍSÍ dpdxdx'¿irn / dx

Ahora, es fácil integrar respecto a p obteniéndose que,

dx' 8(x' - x)

de donde se obtiene finalmente que,

f (24)

También se puede calcular el valor de expectación de p" para narbitraria. Usando la misma técnica,

<P") = S <t>*(p)pn<t>(p) dp

= T^T /// dp dx' dx ijj*(x') eipx'lñ p" ^,(x) e~

42

o bien,

MOMENTO LINEAL

dp dx> dx ~ e~tpxlñ (25)

donde, en el último paso, se ha usado la siguiente generalización de laecuación (23):

-i-?)' íF1- -<*>La integración por partes de la ecuación (25) respecto ax, repetida nveces, da como resultado

(pn) == /// dp dx' dx

ya que el término integrado siempre se anula. De la integración sobrep resulta el factor 2M S(x '- x ) y de la integración sobrex 'se obtie-ne el resultado final,

(27)

Para generalizar este resultado se considera una función / (p) quepueda desarrollarse en serie de potencias de p. Obviamente, al gene-ralizar el argumento anterior, se puede escribir que,

</(/>)> = / **(*)/(* ¿ (28)

De este resultado se pretende obtener una conclusión importantey fundamental, y por esta razón es necesario aclarar perfectamentesu significado. Por hipótesis, /(p) puede expresarse en serie de po-tencias de p como

Entonces la ecuación (28) puede expresarse como,

</(/»)> = 2 a» < / > " > ,n

donde cada término puede calcularse usando (27). Este procedimien-to no es útil o práctico al tratar con funciones complicadas del mo-mento; sería mucho más sencillo transformar al espacio de momen-tos. Además, en el caso de funciones que no puedan desarrollarse en

OPERADORES DE POSICIÓN Y DE MOMENTO LINEAL 43

serie de potencias, este último procedimiento es el único método aseguir.

Por ahora, el tratamiento será más formal que práctico. La ecua-ción (28) se puede escribir en la forma siguiente,

< = í" rJ -00

(29)

entendiéndose que el momento lineal p en el integrando debe de re-emplazarse por el operador diferencial (h/i)d/dx que opera sobre lafunción <K*) que se encuentra a su derecha. Esta substitución se pue-de expresar en la forma siguiente: en el espacio de configuración, elmomento lineal está representado por la operación de diferenciaciónmultiplicada por h/i,

(30)

lo cual significa que,

(31)

y en general,

- (75)' (32)

Este argumento parece establecer que la interpretación del momen-to lineal como operador diferencial en el espacio de configuración esválida únicamente cuando se refiere al cálculo de valores de expecta-ción, es decir, nada más en expresiones tales como (29). Esta inter-pretación puede extenderse aceptando la ecuación (30) como unaafirmación general, cuyo contenido operacional expresado por (31) y(32) es independiente del cálculo de valores de expectación. Esta ge-neralización es conceptual pero muy útil, aunque es necesario recal-car que no implica ninguna suposición física adicional. Este hechose concluye debido a que todo observable o consecuencia medible dela mecánica cuántica, se expresan en términos de integrales sobre fun-cionales cuadráticas de la función de estado, ilustrado por (29).

Hasta ahora la atención se ha restringido a las propiedades del mo-mento lineal en el espacio de configuración. Pero, ¿qué se puede de-cir acerca de las propiedades de la posición en el espacio de momen-tos? Calcando los argumentos expuestos anteriormente, se puede

44 MOMENTO LINEAL

demostrar que la posición puede representarse en el espacio de mo-mentos por el operador de diferenciación en dicho espacio multipli-cado por (—ft/z), o sea,

h dx — . . •i dp (33)

Ejercicio 3. Partiendo de,

< * > = / **(x)x*(

y usando la ecuación (3) para expresarducir la ecuación (33).

dx

en función de <í>(p), de-

Este resultado significa que, en completa analogía con el espacio deconfiguración, se puede escribir

(34)

y en general,

^w-(-*£)%„,

y, por lo tanto, en el espacio de momentos,

(35)

(36)

En forma general, se pueden establecer estos resultados diciendoque en mecánica cuántica las variables dinámicas no son números si-no que están representados por operadores que se aplican a funcionesde estado. La forma particular de los operadores depende de la re-presentación. En el espacio de configuración, la variable de posiciónes precisamente el número x, y la variable de momento lineal es eloperador diferencial (30). Recíprocamente, la variable de posiciónen el espacio del momento lineal es el operador diferencial (33) y lavariable del momento lineal es un número. Estos resultados se resu-men en la Tabla I.

OPERADORES DE POSICIÓN Y DE MOMENTO LINEAL 45

RepresentaciónVariable Dinámica

Posición Momento lineal

Espacio de posición hd_i dx

Espacio de momentos hd_i dp

TABLA I. Representación de los operadores de posición y momento lineal.

Para la caracterización de las variables dinámicas bajo el punto devista cuántico ha sido necesario introducir el concepto de operador.Estas entidades se encontrarán con mayor frecuencia en el desarrolloposterior de la teoría. Antes de proseguir es conveniente resumir suspropiedades más importantes.

Cualquier regla o receta por la cual se cambia una función en otra,se llama una operación y la representación abstracta de este procesose define como un operador. Simbólicamente se escribe como,

A f ( x ) = g ( x ) , (37)

donde el operador A está definido sobre cierta clase de funciones si gestá determinada para toda/en esa clase. Puede parecer complicadopero no es más que una formalización de lo que se acostumbra a ha-cer. Quizás se aclare con los ejemplos de la Tabla II.

Operación Ecuación (37) Representación simbólica

Multiplicación por 2Multiplicación por e'*'*'DiferenciaciónElevar al cuadradoConjugación compleja

Af=2fAf= e»fAf=df/dxAf=flAf=f*

A = 2A = <?w"A=d¡dxA = tA = 1

TABLA u. Ejemplos de operaciones y operadores.

El miembro izquierdo de la ecuación (37) se parece a un productoaunque no lo es, pues sería un producto si A fuera un número o unafunción de x, real o compleja. Además existen operadores perfecta-mente bien definidos aunque no tengan una representación conven-cional o simbólica, como los dos últimos ejemplos de la Tabla II.

Los operadores de la mecánica cuántica son operadores lineales, osea, operadores tales que,

46 MOMENTO LINEAL

(38)

Todos los operadores de la Tabla II son lineales excepto el de elevaral cuadrado. Que el operador de elevar al cuadrado no sea lineal sesigue del hecho de que,

= tf + 2/,/2

que es diferente de la operación,

RELACIONES DE CONMUTACIÓN 47

El orden de los operadores en un producto determina el orden enel cual estos operadores deben de operar. En general, el resultado de-penderá de este orden, o sea que,

AB * BA

por lo que el álgebra de operadores es no conmutativa, contrastandocon el álgebra de los números ordinarios que sí lo es. Para los opera-dores anteriores A y B,

Frecuentemente se tendrá que tratar con secuencias de operacio-nes, las cuales operan una después de la otra. Por ejemplo, se encon-trarán casos en los cuales un operador B opera sobre una función ysobre el resultado opera el operador A. El resultado neto define elnuevo operador C. Entonces, se puede escribir que,

C f ^ A ( B f ) . (39)

Se acostumbra omitir el paréntesis de la derecha y expresar esta rela-ción en la forma,

Cf=-ABf,

que implica la relación entre operadores

C = AB,

donde a C se le llama el producto de A y B, recalcando que el signifi-cado de este producto está expresado por la ecuación (39). El cua-drado de un operador es un caso especial del producto. Productosde más de dos operadores o potencias de operadores, se definen porla aplicación sucesiva de la regla del producto. Por ejemplo,

— A A . . • ASl\Sl% ^n

es el resultado de operar primero con An, después con /4n_i y así su-cesivamente hasta llegar a operar con A i .

Para dar algunos ejemplos concretos, sea A la multiplicación pore«*u) y /? la diferenciación respecto a x. Entonces,

ABf=eWx)^f,dx

Oi<t>(x> _£_ r „*<*<*> ¿Y»-M

que es diferente de ABf. Análogamente, si C es el operador de conju-gación compleja, entonces,

pero,

CAf=e-'*f*(x).

Por otra parte, para los operadores B y C definidos anteriormente, seconcluye fácilmente que el orden de los operadores es indiferente ypor lo tanto,

BC = CB,

Entonces, se dice que estos operadores conmutan entre sí o son mu-tuamente conmutativos.

6. RELACIONES DE CONMUTACIÓN

Un aspecto importante al considerar las variables dinámicas comooperadores, es el hecho de que variables dinámicas indistinguibles cla-sicamente, pueden ser totalmente diferentes en la física cuántica. Unejemplo importante son los productos xp y px. Clásicamente estosproductos son idénticos, pero no lo son en la mecánica cuántica, locual se comprueba al operar cada producto sobre una función de es-tado. En el espacio de configuración se tendría que,

h d' fi cli(>= r i/í = — v —ti

dx1 ' h d

MOMENTO LINEAL

ionde se obtiene que,

(40)

que i^ es arbitraria se concluye que la diferencia entre px y xp es>perador numérico h/i,

(px-xp) = (p,x) =y

a diferencia se llama el conmutador y se ha introducido una nota-i para representarlo. De modo que si A y B son operadores arbi-ios su conmutador se define como,

(A,B) = AB-BA=-(B,A). (41)

contraste con la multiplicación ordinaria, la multiplicación de va-rié dinámicas en la mecánica cuántica es no conmutativa.is instructivo examinar el conmutador de p y x en el espacio dementos. Se tiene que,

I / \ " "xp<t>(p)=-rTph . h d<f>

= — — es arbitraria también se concluye que,

(p, x) = ñ¡i.

lunque las expresiones para p y x dependen de la representación,conmutador es independiente de ella. La relación de conmutaciónI) puede tomarse como la relación fundamental entre las propie-les de las variables dinámicas que representan a la posición y jalmentó lineal en la mecánica cuántica. La constante h intervieneno la medida cuantitativa de la no conmutatividad. En el límitesico h podría tomarse como cero, recobrándose entonces la con-tatividad.

EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE 49

Es fácil generalizar la relación (40) a funciones de variables diná-micas. Por ejemplo, se puede considerar [p, f(x}] para f(x) arbitra-ria. Se obtiene que,

,dx (42)

que se comprueba fácilmente en el espacio de configuración. Análo-gamente,

(43)/ dp

que se comprueba fácilmente en el espacio de momentos. Por otraparte,

[?,/(/>)] = U,/(*)] = O (44)

de donde se concluye que, sif(x, p } es un operador bien definido,5

, /U, ,)] =/ dx

y que,

Estas últimas expresiones son equivalentes a

en el espacio de configuración y a

en el espacio de momentos.

(45)

(46)

(47)

(48)

7. EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE

La propiedad no conmutativa de los operadores en mecánica cuán-tica, de la cual se h'an estudiado algunos ejemplos, tiene un signifíca-5 Por operador bien definido se entiende un operador para el cual el orden de los elementosno anmutativos en su desarrollo en serie de potencias están especificados sin ambigüedadpara cada término.

50 MOMENTO LINEAL

do preciso en función de observaciones y mediciones. La especifica-ción de una función de estado particular, implica que el sistema estu-diado ha sido preparado mediante una secuencia de observaciones.Medir el valor de una variable dinámica es equivalente a operar sobrela función de estado con el operador que representa a esta variable.En general, bajo el punto de vista cuántico, una medición provocaperturbaciones en el sistema observado. Por lo tanto, la medición dela propiedad A no proporciona necesariamente el mismo resultado sise lleva a cabo después de medir la propiedad B o se realiza previa-mente a ésta, ya que la perturbación provocada al medir B puede cau-sar cambios en el valor de A. En este caso, A y B no conmutarían,pero sí conmutarían si no hubiera interferencia.

El principio de incertidumbre se refiere precisamente a la interfe-rencia provocada por la observación. Más adelante se establecerá unarelación general entre la incertidumbre mutua de parejas de observa-bles y su conmutador. Por ahora, se discutirá cualitativamente esteprincipio al estudiar la determinación simultánea de las variables deposición y momento lineal.

Al comienzo de este capítulo se aclaró que la función de estado^definida por (1), que describe a una partícula con momento linealdefinido, no contiene información acerca de la localización de la par-tícula. Para describir a una partícula localizada fue necesario cons-truir un paquete de ondas. De la forma de la ecuación (3), la cualrepresenta dicho paquete, se deduce que el momento lineal no estádefinido con precisión sino que está distribuido en un intervalo devalores fijado por la estructura de $(p). Este comportamiento, en elcual una de las variables (p o x) está poco definida a cambio de quelo esté la otra, es un resultado general que se estudiará brevemente.

Como ejemplos, se discutirán dos casos particulares de paquetes deondas.

(a) Paquete de Ondas Cuadrado. Como primer ejemplo seconside-derará el paquete de ondas cuadrado y normalizado definido por,

= 0

, |x| ^ L

, \x\>L,

(49)

que es parte de una onda plana correspondiente al momento linealPe, de longitud 2L y centrada en el origen. De acuerdo a la ecuación(21) se obtiene que,

j,UPO-P)Xlfl


o bien,

y además de que,Po- P

, = A sen2 [(p0-p) L/h]irL (p0-p)-

(50)

(51)

cuya gráfica se muestra en la Figura 2. Como se indica en la figura, la

p» P

Figura 2. Distribución de momentos de un paquete de ondas cuadrado.

altura del máximo principal, centrado en p0, es proporcional a L y laanchura es inversamente proporcional a L.6 El área bajo la curva esindependiente de L y a proximadamente igual a uno. Entonces, unpaquete de ondas que localiza a una partícula en un intervalo A* = 2Llocaliza al momento lineal en un intervalo Ap - hrr/L. Por lo tantoAxA p es del orden de h y es independiente de L. Para L grande, elmomento lineal resulta estar bien definido y la localización espaciales muy pobre, y viceversa para L pequeña, pero de tal manera que laincertidumbre en x por la incertidumbre en p es siempre del orden deh.

(b) Paquete de Ondas Gausiano. Como segundo ejemplo se consi-derará el paquete de ondas gausiano,

exp (52)

que está normalizado y describe a una partícula localizada en tornoal origen en un intervalo de longitud L y con momento lineal prome-dio p0. Usando las técnicas del Apéndice I, resulta que este paqueteestá dado por,

(¡>(p) =VL/ft\/í exP[-(/>-po)2£W], (53)6 La altura del máximo principal se obtiene tomando el límite de (51) cuando (/> - p<¡) tien-de a cero. La anchura se obtiene localizando el primer cero de la función seno que se en-cuentra al tomar su argumento el valor de TT.

52 MOMENTO LINEAL

que también es gausiano, de anchura inversamente a L. Además, elmomento lineal se encuentra localizado en un intervalo de longitudh/L centrado en p0. De nuevo, el producto de las incertidumbres esdel orden de h.

Ejercicio 4. Calcular (x) y (p) en el espacio de configuración y el demomentos para el paquete de ondas cuadrado (ecuaciones (49) y(50)) y para el paquete de ondas gausiano (ecuaciones (52) y (53)).

Se ha demostrado que la relación entre las anchuras de un paquetede ondas en el espacio de configuración y en el espacio de momentosson aproximadamente las mismas para los paquetes de onda cuadradoy gausiano. A continuación se comprobará que este resultado es ge-neral, examinando un paquete de ondas general que puede escribirsecomo,

=f(x) (54)

Se supone que / (x) es real y que es una función de x sin variacionesbruscas, de anchura L, centrada en el origen. También se supone que^ está normalizada, es decir que,

f * ( x ) dx=\.o

Se verifica fácilmente que para este paquete el valor de expectacióndel momento es />„.

Ejercicio 5. Verificar que (p) = pa para el paquete de ondas de laecuación (54).

De acuerdo a la ecuación (21), la función de estado en el espaciode momentos para este paquete de ondas es,

f ( x ) "1 dx.

Por hipótesis, / (x) es una función sin cambios bruscos, centrada en elorigen en donde tiene su máximo y cuya anchura es L . Esto signifi-ca que la contribución principal a la integral proviene del dominio

EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE 5 3

|*| =£ L . Entonces, si

(Po - p) Llh < 1 ,

el argumento de la exponencial es despreciable en el dominio de inte-gración y </>(p) será aproximadamente constante y proporcional alárea bajo la curva /(x). Al crecer (pa — p), la exponencial comienza aoscilar, llegando a oscilar rápidamente en el dominio efectivo de inte-gración, resultando que la integral y por lo tanto </>(p) son muy peque-ñas. La frontera entre los dos comportamientos está fijada por,

que determina cuándo empieza la oscilación. En otras palabras, cuan-do se satisface la condición anterior, <Kp) comienza a decrecer rápi-damente desde su valor máximo en p = p0. La anchura del paquetede ondas en el espacio de momentos será aproximadamente,

Ap = hjL.

Pero la anchura en el espacio de configuración Ax es igual a L y porlo tanto,

ApA* = h, (55)

si/(x) es una función sin cambios bruscos.También puede suponerse que /(x) tiene cierta estructura, o sea,

que tiene ciertos cambios bruscos. Entonces, (p0 — p) tiene que sermayor que antes para que la exponencial oscile rápidamente dentrode la distancia que caracterice a dicha estructura y </>(p) comience adecrecer. Por lo tanto, la anchura Ap del paquete de ondas en el es-pacio de momentos resulta mayor y la ecuación (55) representa elmejor resultado que se puede obtener, o sea que en general

> ft. (56)

Más adelante se definirá con precisión lo que se entiende por Ax yAp y se obtendrá una desigualdad precisa. Por ahora, se considerarándichas cantidades como una medición razonable de las anchuras deun paquete de ondas en ambos espacios.

La interpretación física de esta relación matemática trivial es la si-guiente. Si una partícula se encuentra localizada en cierta región Axsin importar el significado, entonces, su momento lineal se encuen-

54 MOMENTO LINEALEL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE

tra localizado en Ap, y viceversa. En otras palabras, la posición yel momento lineal de una partícula no pueden conocerse (determi-narse o medirse) simultáneamente con precisión arbitraria, sino den-tro de los límites fijados por (56), siendo ésta una versión matemáti-ca no muy precisa del principio de incertidumbre, enunciado porHeisenberg. Este principio demuestra que las trayectorias clásicasno tienen un significado preciso en el dominio de la mecánica cuán-tica.

En general, la relación de incertidumbre se cumple entre parejas devariables dinámicas canónicamente conjugadas o complementarias.Como segundo ejemplo podría tomarse el siguiente: si se mide laenergía de un sistema con incertidumbre A£, el tiempo al cual se re-fiere esta medición tendrá una incertidumbre Ai tal que,

AEAf > h. (57)

Para medir la energía de un sistema con mayor precisión se empleaun tiempo mayor. Un aspecto importante de este resultado es la in-formación que suministra acerca del decaimiento de estados excita-dos. En particular, la vida media y la anchura en energía de estosestados están relacionados por la ecuación (57). Para un ejemplo,ver la Sección 3 del Capítulo VIL

De la discusión anterior se concluye que las relaciones de incerti-dumbres se obtienen automáticamente en mecánica cuántica. Inter-pretándolas como mediciones, estas relaciones son consecuencia dela transferencia incontrolable de energía y momento lineal que ine-vitablemente ocurre durante el proceso de observación entre al apa-rato de medición y el sistema cuyas propiedades se miden. Comoejemplo puede considerarse la determinación de la coordenada y deuna partícula mediante una rendija (Figura 3). Si la rendija tieneabertura L, A/y = L, el patrón de difracción obtenido tendrá anchuraangular 6 - X/Z = h/p0L — h/p0ky. La incertidumbre en la compo-nente y del momento lineal es Apu = pa sin 0 — p09. Por lo tantoApyAy — h, de acuerdo con el principio de incertidumbre. Un segun-do ejemplo consistiría en la localización de una partícula medianteun microscopio. Para localizar una partícula en una distancia A*, lalongitud de onda de la luz usada en la observación tiene que ser delorden de X < Aje. Entonces, el momento del fotón sería del orden dep > ft/Ax. La partícula se ve debido a que dispersa o absorbe el fo-tón y el momento lineal transferido en el proceso de dispersión es delorden ft/Ax, según lo exige el principio de incertidumbre.7

7 Para una discusión detallada de éste y otros ejemplos, véase la Referencia [ 18].

55

Figura 3. Localización de una partícula mediante una rendija.

Como se hizo notar anteriormente, es importante reconocer que elprincipio de incertidumbre es parte importante de la mecánica cuán-tica, así como consecuencia de ella. La violación a este principionunca se presenta en mecánica cuántica, y si ésta es correcta en suforma actual, el principio de incertidumbre es una consecuencia ne-cesaria. Este principio es muy útil para entender las propiedadescuánticas de un sistema. Para sistemas muy complicados, cuya solu-ción exacta o completa no es posible obtener, el principio de incerti-dumbre permite decidir si ciertos efectos existen o no.

Como ejemplo se puede considerar el caso de una partícula confi-nada por un potencial atractivo V(r) en una región de radio a. Paracada una de sus coordenadas, la incertidumbre en la posición es delorden de a y, por lo tanto, Ap = hfa. Como el momento promedioes cero, este resultado es del orden del momento lineal y, por lo tan-to, la energía cinética promedio de la partícula { T)no puede ser me-nor que ñ2/2ma2. La energía potencial promedio (V} es del orden deV(a). Entonces, la energía total E está dada aproximadamente por,

E ( a ) = (V) =*2ma2 (58)

Se observa en esta ecuación una competencia muy clara entre la ener-gía cinética y la energía potencial, cuyo origen es cuántico. Si a de-crece, la energía potencial decrece para interacciones atractivas, perola energía cinética siempre crece. Una estimación vaga de la energíamínima posible del sistema o energía del estado base, se obtiene dife-

56 MOMENTO LINEAL

rendando la ecuación (58) respecto a a e igualando el resultado a ce-ro. Como caso particular, se puede considerar el átomo de hidrógenodonde el potencial de confinamiento es el potencial culombiano(— e2/r). Entonces, la energía total es,

E(a) =h2

2ma2£_a

Se encuentra fácilmente que esta expresión tiene su valor mínimo ena = h2/me2 que es precisamente el radio de Bohr y la energía mínimaserá (—me4/2fi2) que corresponde al valor correcto de la energía delestado.8 La sola existencia de un estado base explica la razón de quelos átomos no sufran un colapso, como lo predeciría la mecánica clá-sica. Debido a que la energía tiene un valor mínimo absoluto, el áto-mo no puede perder energía por radiación o por otros mecanismos yel sistema es estable.

Este ejemplo es muy instructivo. Se ha usado el principio de incer-tidumbre para explicar la existencia de un estado base, estableciendola existencia y estabilidad de los átomos, con lo cual se tiene un mé-todo sencillo para estimar su energía, al menos para el átomo de hi-drógeno. Entonces, se puede concluir que con el principio de incerti-dumbre es posible identificar las características esenciales de un siste-ma complejo, lo suficientemente complejo como para no poder si-quiera formular el problema y menos resolverlo, sino hasta el Capítu-lo IX.

Problema 1.(a) Considerar la función definida por, A(x)

A(JC) =rí- ei/cxí/A:.2vr J_¿

Calcular la integral y demostrar que A(x) tiene las propiedades de800 cuando L -»°°.

(b) Considerar la función,

A W = - J _ eikx-a\k\ dk.

Demostrar que A(x) se comporta como 8(x) en el límite a — *0.(c) Considerar la función A 00 = Ae~x*")1- Demostrar que si A se

' La selección aparentemente casual de los factores numéricos al estimar <T> y (V), los cua-les están determinados por un factor de dos o más, han sido escogidos para obtener las res-puestas correctas para el átomo de hidrógeno. Esta pequeña trampa no afecta para nada lanaturaleza de los resultados.


escoge apropiadamente, A(x) se comporta como 8(x) cuando b -»0.(d) Demostrar lo siguiente:

(1) 8(-x)=d(x).(2) a8(±ax)=8(x), a > 0.(3) S(X

2-a2)=\[8(x-a)+8(x+a)]~.(4) /-«/WS'U-a) dx = -f'(a),

donde el acento denota la diferenciación.

Problema 2. Encontrar la representación en seríes de Fourier de lasfunciones siguientes en el intervalo — L < x < L:

(a) /(*)' = *.(b) f(x) = \x\.(c) /W = l.(d) f(x) = e-™.

En el caso (d) comparar el comportamiento de las amplitudes de laserie de Fourier en el límite aL > 1 con el comportamiento de latransformada de Fourier de e~"lxl.

Problema 3. Encontrar las transformadas de Fourier de las siguientesfunciones:

/r.\ /Y--\ I •* * \X\ <

(b)

(c) /W = {¿~W ' |*'<

Problema 4. Considerar el paquete de ondas,

= A exp[-(|jt|/L)

(a) Normalizar i//.(b) Calcular <t>(p) y comprobar que está normalizada.(c) Examinar la anchura de los paquetes de ondas en el espacio de

configuración y en el espacio de momentos, y comprobar que secumplen las relaciones de incertidumbre.

Problema 5. Usando la representación más conveniente, calcular losconmutadores siguientes:

58 MOMENTO LINEAL

(a)(b)(c)(d)

( P 3 , x ) .(P2,*2).

Problema 6. Los operadores A¡, A¡,...^.K actúan sobre una funciónarbitraria i/r(x) en la forma siguiente; A¡ multiplica i|/(x) por x2, A-¿eleva t|/ al cuadrado, A3 promedia i/»(x) en un intervalo 2L centradoentorno ax,A4 subtituyex por* +a, y45subtituy ex por — x, y Ae di-ferencia i/; dos veces.

(a) Escribir una expresión para ¿¡^(x) en cada caso.(b) Determinar cuáles son lineales.(c) Determinar las parejas de operadores que conmuten.

Problema 7. Usar el principio de incertidumbre para estimar la ener-gía del estado base de los sistemas siguientes:

(a) Una partícula en una caja de longitud L.(b) Un oscilador armónico de frecuencia clásica w .(c) Una partícula colocada sobre una mesa sometida a la grave-

dad.

Problema 8. xc y p0 representan los valores de expectación de x y ppara el estado </»o(x). Considerar el estado i|»(x) definido por

Demostrar que (x >y (p ) se anulan para este estado. ¿Viola este resul-íado al principio de incertidumbre? Explicar.

Problema 9. Una|partícula de masa m moviéndose en un potencialV(x) se encuentra en su estado base dado por ^»0 (x). Suponer cono-;ida i/»o aunque no esté normalizada.

(a) Dar una expresión para la probabilidad de que la medicióniel momento de la partícula tenga un valor entre p y p -4- dp.

(b) Dar una expresión para la probabilidad de que la mediciónle la energía cinética T de la partícula tenga un valor entre Ty T + dT.

Problema 10. Considerar una función de estado real, <//(x) = *l>*(x).(a) Demostrar que {p) = 0. ¿Qué valores tienen (p2 ) y ( x ) 1(b) ¿Bajo qué condiciones sobre i|/(x) la función <f>(p) es real y

;uál sería el valor de ( x )?

IVMovimiento de una

partícula libre

1. MOVIMIENTO DE UN PAQUETE DE ONDAS; VELOCIDADDE GRUPO

Hasta ahora se ha estudiado la función de estado de un sistema aun tiempo t fijo, pero a continuación se discutirá la forma en que es-tos paquetes varían como funciones del tiempo. En este capítulo seconsiderará el problema más sencillo, o sea, el movimiento de unapartícula libre de influencias externas. Como punto de partida se re-curre a la ecuación (2) del Capítulo III que establece una descripcióngeneral del paquete de ondas de una partícula libre como,

(1)

donde w(p) todavía es desconocida. Se supone que i// es conocida enat t = O, cuyo valor inicial <fi0 (x) está dado por,

(2)

Entonces, dada tKC*) el problema será calcular \¡i(x, t).Como paso preliminar se considerará el ejemplo de la propagación

sin dispersión (como la propagación de la luz en el vacío), donde o>es proporcional pfh. La constante de proporcionalidad tiene dimen-siones de velocidad y se simbolizará por c. Por lo tanto, en este ejem-plo,

— 277T/A

60 MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA LIBRE

y la ecuación (1) resulta ser,

*(*,/) =

Comparándola con la ecuación (2) se concluye que iHx, O como fun-ción de (x — ct) tiene la misma forma que i//0 como función de x. Esdecir que,

i¡i(x,t) =i|»,,U-fí),

y el paquete de ondas se desplaza hacia la derecha con velocidad c,sin distorsión, independientemente de su forma inicial.1

Volviendo al caso general de w(p) desconocida, no se podría calcu-lar; nada si w(p) fuera arbitraria y se tuviera un paquete de ondas com-pletamente arbitrario, aunque no se necesita particularizar mucho pa-ra obtener propiedades esenciales. La primera suposición que puedehacerse es que <£(p) sea un paquete de ondas sin variaciones bruscas,definido en el espacio de momentos, centrado enpu y de anchura Ap.Para recalcar este comportamiento se escribe <¿>(p) en la forma

donde g es una función sin variaciones bruscas, que cae rápidamentea cero cuando su argumento excede en magnitud a Ap. Esto significaque la contribución principal a la integral de la ecuación (1) provienede una región de anchura Ap en torno al punto p0.

En segundo lugar, se supone que w(p) es una función dep, sin va-riaciones bruscas. Por esta razón, w se puede desarrollar en serie deTaylor en torno a p0,

co(p) = co(p0)

= ODO + (p - Po) -f + (p - p»)2 « + • • - ,

donde

(Ü0 =

1 El tratamiento de este problema como propagación óptica se ha simplificado considerable-mente. También se debe de considerar el caso cuando <a y p tienen signos opuestos,u - -cp/h. En óptica, la propagación de un paquete de ondas, no está determinado única-mente por iK(x). También se tiene que fijar d<///<W(jc, t = 0). Este hecho es consecuencia deque la ecuación de onda electromagnética es de segundo orden en el tiempo.

MOVIMIENTO DE UN PAQUETE DE ONDAS; VELOCIDAD DE GRUPO 61

t d<i)\'a — n —.

Introduciendo la variable s =como,

- pa, se puede escribir la ecuación (1)

donde / (x, t) es la envolvente del paquete de ondas dada por,

/U, /) = 7= I" ds g(s) exp[| (jr - vat) - Ias2t + • • • \. _ (3)

Entonces, la ecuación (2) resulta ser

•M*) =/o'U) «

donde /„ (x) será la envolvente inicial dada por,

/„(*)=/(*, r = 0) = 1ds g(s) (4)

La contribución principal a estas integrales proviene de que s esmenor en magnitud que Ap debido al comportamiento que se ha su-puesto para g (s). Entonces, si t es lo suficientemente pequeño paraque

a(Ap)'2/^ 1,

puede despreciarse el término cuadrático en s en la exponencial de laecuación (3), quedando la función envolvente,

f ( x , t ) = ~= T ds g(s)VZTTft •/-«=

Comparándola con la ecuación (4) se nota que, con esta aproxima-ción, f ( x , t) es la misma función de (x — vat) quef0 lo es de x, o sea,

f ( x , t ) =f0(x- vat).

Por lo tanto, se ha demostrado que para t < t0, donde

/ = 1_ 20 a(Ap)2

(5)

(6)


el paquete de ondas viaja sin distorsión con velocidad v9 , donde

(7)

La cantidad vg se llama la velocidad de grupo de las ondas y represen-ta la velocidad de propagación de un grupo de ondas, o sea, las queforman el paquete de ondas. Esta velocidad debe de compararse conla velocidad de fase, que es la velocidad con la que avanza la fase deuna onda armónica pura y dada por vp — hta/p0. Para propagación sindispersión, w es proporcional a p y las dos velocidades son igualesaunque en general son totalmente diferentes.

Es necesario recalcar que este resultado es válido sólo para tiempospequeños comparados con f0 definido por la ecuación (6). Cuando texcede a ta, la exponencial comienza a oscilar rápidamente para s me-nor que Ap. Cuando esto sucede, el dominio efectivo de integraciónen p se reduce en tamaño, produciendo un incremento correspon-diente en la anchura del paquete de ondas en el espacio de configura-ción. Este resultado significa que, en general, un paquete de ondasviaja inicialmente sin distorsión con la velocidad de grupo vg, que fi-nalmente comienza a desparramarse en el espacio. Más adelante sedarán algunos ejemplos.

2. EL REQUISITO DEL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA

Para obtener la forma cuántica de w(p) se usará el argumento si-guiente. Un paquete de ondas bien definido en el espacio de configu-ración se desplaza con la velocidad de grupo, va, por lo menos duran-te tiempos cortos. En el límite clásico, esta limitación sobre el tiem-po no es importante, o sea, ta tiene que resultar muy grande compara-do con los demás tiempos importantes. Suponiendo que se cumpleesta condición se exige que,

V D = V9 vclass¡cal m

Entonces, de la ecuación (7),

, da> _p0n — ¡ — — — .m

Integrando y suprimiendo el índice en p0, se obtiene,

(8)

que es la relación de Planck. En cierta forma se ha deducido la rela-

EL REQUISITO DEL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA 63

clon de Planck como consecuencia de toda la formulación anterior yde su interpretación.2

Se observa que la ecuación (8) es arbitraria hasta una constante deIntegración, la cual se ha tomado como cero. Está relacionado conel hecho de que se tiene la libertad de escoger el cero de la energíaimplicando una libertad análoga en la selección de la frecuencia cuán-tica. Únicamente tienen sentido físico diferencias en energía y porlo tanto también en frecuencias.3

A continuación se examinará el tiempo /0 para el cual un paquetede ondas cuántico empieza a desparramarse apreciablemente. De lasecuaciones (6) y (8) se tiene que,

°

Imh(9)

Una forma instructiva de escribir esta expresión es hacer uso de la re-lación de incertidumbre expresando Ap como ft/Ax, donde Ax es laextensión inicial del paquete de ondas. Entonces,

^ 2m(A;c)2

0 h

Para una partícula macroscópica, por ejemplo para una masa de ungramo, cuya posición está definida en 10~4 cms (1 miera), se tieneque,

/o = 1019 sec.

La edad del universo es aproximadamente de 3 x 1010 años o bien de1018 seg. Por lo tanto, el paquete de ondas de una partícula macros-

cópica no se desparrama durante un período comparable a la edaddel universo. Este resultado establece que las trayectorias clásicaspara sistemas macroscópicos no están en conflicto con la mecánicacuántica. Pero, por otra parte, para un electrón cuya posición estádefinida en 10~8 cm.,

<o = 10-'6 sec,

y la descripción clásica carece de sentido.

2 Este argumento demuestra que la ecuación (8) tiene que cumplirse en el dominio clásico.A nivel cuántico, se puede suponer que además intervienen términos adicionales si su contri-bución es despreciable en el límite clásico. Sin embargo, no es difícil demostrar por argu-mentos dimensionales que para partículas libres no existen estos términos y que la ecuación(8) es única, excepto por una constante aditiva.

3 Anteriormente se vio que la amplitud absoluta de las ondas cuánticas no tiene significadofísico y ahora se concluye que la frecuencia absoluta tampoco lo tiene. El contraste con lasondas clásicas es sorprendente y total.

•164 MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA LIBRE

Es posible dar una interpretación física simple del tiempo ta. Lavelocidad de grupo para la propagación de una onda de de Broglie esp/m. En un tiempo t, dos segmentos de un paquete de ondas que di-fieran en momento lineal poruña cantidad Ap/2, diferirán en distan-cia recorrida por una cantidad de Apí/2m. Cuando esta distancia seacomparable con la anchura Ax del paquete inicial, la anchura de ésteempezará a crecer apreciablemente. Por lo tanto, los paquetes empie-zan a desparramarse cuando el tiempo toma el valor ta definido por,

2mAJC-

que es la ecuación (9). Este argumento implica que cuando un pa-quete de ondas empieza a desparramarse, lo hace con una rapidez li-neal en el tiempo. Más adelante se comprobará este resultado.

3. PROPAGACIÓN DEL PAQUETE DE ONDAS DE UNA PAR-TÍCULA LIBRE EN EL ESPACIO DE CONFIGURACIÓN

Al identificar w(p) como se hizo anteriormente, la ecuación (1) sepuede escribir como,

+(x,t)= f"J-

- dp,ti

(10)

que es una representación general de la función de estado dependien-te del tiempo para la partícula libre. Si *l>0(x) = «K*, 0) está determi-nada, también lo estará <f>(p) de acuerdo con (IH-21), o sea, mediante,

=Í7TÍ í" «fc>(vZTm J-oo

Ahora, se puede expresar >//(*, i) en términos de su valor inicial subs-tituyendo la expresión anterior en (10), dando como resultado que,

*Como la dependencia en p es explícita, al invertir el orden de integra-ción se puede escribir como,

K ( x ' , x ; t ) dx', (11)

PROPAGACIÓN DEL PAQUETE DE ONDAS DE UNA PARTÍCULA LIBREEN EL ESPACIO DE CONFIGURACIÓN

donde K está dada por,

65

Esta integral se puede calcular usando los métodos del Apéndice I,obteniendo que

K(x',x; t) = \/m/(2mñl) exp [i(x - x')2m/2ñt]. (13)

La ecuación (11) establece un resultado muy importante, cuyoanálisis se hará con cierto detalle. La función de estado inicial $(x', 0)especifica la amplitud de probabilidad de que la medición de la posi-ción de la partícula resulte x' at / = 0. La función de estado t//(x, t)especifica la amplitud correspondiente en x al tiempo t. La ecuación(11) establece cómo se encuentra esta última a partir de la funciónde estado inicial, mediante la función intermedia K. Esto implicaque K puede interpretarse como la amplitud de probabilidad de quela partícula se propague al punto x durante el intervalo t, cuandooriginalmente se encontraba en x'. La función K se llama el propaga-dor, y para este caso particular se llama el propagador de la partículalibre. Con esta interpretación, todo el proceso puede describirse dela siguiente manera: la amplitud inicial para encontrar la partícula x',multiplicada por la amplitud de propagación de x' a x en el intervalot y sumada sobre todas las x', dará como resultado la amplitud paraencontrar a la partícula en x. Este es el significado físico de la ecua-ción (11).

Las propiedades generales del propagador de la partícula libre noson difíciles de establecer. De (12) o de (13) se deduce que,

K(x',x;0) =8(x-x'),

lo cual significa que, para intervalos de tiempo infinitesimales, laamplitud de propagación a cualquier punto je es despreciable exceptopara puntos en la vecindad de x. Al pasar el tiempo, K se desparramay las contribuciones provienen de intervalos (x — x O cada vez mayo-res.4

Las ecuaciones (11) y (13) establecen una solución completa, ge-neral y explícita del problema del movimiento cuántico de una par-tícula libre. Es análoga al problema clásico correspondiente,

x = x0 +

4 Hay que hacer notar que la amplitud es finita para puntos lejanos, aunque pequeña, aúnpara intervalos de tiempo cortos. Esto refleja el carácter no relativista del tratamiento. Elpropagador relativista se anula fuera del cono de luz.


Si el único interés fuera el estudio de la partícula libre, no habría na-da más que decir. Sin embargo, la intención es establecer el caminopara generalizaciones posteriores como el movimiento de una par-tícula sometida a influencias externas. Cuánticamente, todavía faltadar el paso de la primera ley de Newton a la segunda.

4. PROPAGACIÓN EN EL ESPACIO DE MOMENTOS DEL PA-QUETE DE ONDAS DE UNA PARTÍCULA LIBRE; EL OPERA-DOR DE ENERGÍA

A continuación, se discutirá en el espacio de momentos la evolu-ción en el tiempo del paquete de ondas de la partícula libre. Para es-te propósito, se define la dependencia temporal de las funciones deestado en el espacio de momentos <t>(p, t) escribiendo la generalización

Naturalmente t juega el papel de un parámetro, el cual se tomó comocero en la discusión anterior. Dicho de otra manera, <f>(p} es sencilla-mente <f>(p, t = 0). Entonces, por el teorema integral de Fourier setiene que,

, O = <t>(P, ipxlñ dp.

Comparando esta expresión con (10) se concluye que,

<MP, /) = *G») e-»1"*™* = <t>(p, t = 0) e-*™

(15)

(16)

y,

p(p, t) = \4>(p, í)|2 - \4>\p)I2 = p(p, t = 0).

En otras palabras, únicamente cambia en el tiempo la fase del paque-te de ondas de la partícula libre en el espacio de momentos. La den-sidad de probabilidad es independiente del tiempo o estacionaria y,por lo tanto, el valor de expectación de cualquier función del mo-mento es también independiente del tiempo, resultado que no es sor-prendente. Se están considerando estados de una partícula libre y,en este caso, clásicamente, el momento lineal es una constante demovimiento. Debido al principio de correspondencia, el momentolineal de una partícula libre también debe de ser una constante de

PROPAGACIÓN DEL PAQUETE DE ONDAS DE UNA PARTÍCULA LIBRE ^_EN EL ESPACIO DE MOMENTOS; EL OPERADOR DE ENERGÍA 67

movimiento en la mecánica cuántica, y así ha resultado.Se ha recalcado que el valor de expectación de cualquier función

del momento es sencillo para la partícula libre. Como ejemplo parti-cular y muy importante, se puede tomar la energía E, o sea p*/2m.Entonces,

, O

De la ecuación ( 1 6) se obtiene que,

y, por lo tanto, esta expresión puede escribirse como,

/ c-\ P° JL*I .\ \ h d4>(P>')~\ j< £ > t = L* ^-'U"/ ar- J*-Además, para cualquier función / í^), si el argumento anterior se ge-neraliza, se puede escribir que,

/ 3L t \

(17)

Ya que 0 (p,t) es una función de estado arbitraria para la partículalibre, se puede concluir que en el espacio de momentos la energía Epuede representarse por el operador de diferenciación respecto altiempo multiplicado por (—*//), o sea que,

(f(E) ) = <t>*(p, í)/- 4>(p, t) dp.

i dt'(18)

¿Cuál sería la representación de E en el espacio de configuración?Ya que t participa sólo como parámetro respecto a la transformaciónentre los dos espacios, es claro que E tendrá la misma representaciónen ambos espacios. Este resultado se obtiene al expresar </> (p,t) y<f> * (p,t) de la ecuación (17) en términos de i// y i/»* usando la ecua-ción (14) y calculando la integral sobre p. Se obtiene inmediatamen-te que,

(19)=£ **<*•'>/(-? !

Ejercicio 1. Deducir la ecuación (19) en la forma indicada.


5. EVOLUCIÓN EN EL TIEMPO DE UN PAQUETE DE ONDASGAUSIANO

Antes de continuar con la discusión general, es útil examinar endetalle un ejemplo. Como caso particular se puede tomar un paquetede ondas que inicialmente tenga forma gausiana. En particular, seconsiderará el paquete de ondas dado por la ecuación (111-52):

C, o) = (20)

que describe a una partícula localizada inicialmente en torno al ori-gen, dentro de una distancia L y cuyo momento lineal tiene un valorde expectación igual a p0- Usando (11) y (13), y calculando la inte-gral según los métodos del Apéndice I, se obtiene,

L(—x2/2L2 + ipoX/h — ipo tl2mh)L + ihtlmL

siendo la densidad de probabilidad, (21)

exp rL L2 + fi2t2lm2

2 iL2 J

Ejercicio 2. Considerar inicialmente el paquete de ondas gausianodefinido en (20).

(a) Obtener (21)(b) Obtener (22) de (21)(c) Escribir $ (p, í)(d) Calcular {E) y su fluctuación ((E- < E » 2 > .

Comparando la ecuación (22) con la expresión

se observa que en p(x, t) sólo hay dos cambios. En primer lugar, elcentro del paquete de ondas se mueve con la velocidad de grupo p0/my en segundo lugar, la anchura del paquete crece con el tiempo. Lla-mando a esta anchura L (t), se tiene que,

L(t) =

Este resultado está completamente de acuerdo con las prediccionesrespecto a la propagación de paquetes de onda. Inicialmente, el pa-

EVOLUCION EN EL TIEMPO DE UN PAQUETE DE ONDAS GAUSIANO 69

quete de ondas no está distorsionado, pero empieza a desparramarseapreciablemente cuando ftt/mL2 es del orden de la unidad, que estáde acuerdo con la ecuación (9). Además, cuando t resulta muy gran-de, la anchura del paquete crece linealmente con la rapidez

hmL m

resultado también predicho.El comportamiento de p(x,t) para un paquete de ondas gausiano se

esboza en la Figura 1 . Naturalmente que el área bajo la curva perma-nece constante.

Figura 1. Paquete de ondas gausiano desparramándose en el tiempo

Este ejemplo se presta fácilmente para discutir el límite clásico.Los efectos cuánticos tienen que desaparecer al tomar h -* 0. En elpresente ejemplo este resultado se obtiene inmediatamente, ya queen este límite la ecuación (22) se reduce a

O = exp [-(x -

que describe el movimiento clásico de una partícula libre, cuyo mo-mento inicial es precisamente pa pero cuya posición está distribuidaen torno al origen de acuerdo a una gausiana de anchura I. La condi-ción inicial clásica, para la cual posición y momento lineal están defi-nidas con precisión, se logra tomando Z -»0, con lo cual

p(x, t) = 8(x-p0t/m),

que resulta ser la trayectoria clásica al expresar ésta en el lenguaje dedensidades de probabilidad. Esta última expresión sencillamente es-tablece que la probabilidad de encontrar a la partícula en cualquierpunto es cero, excepto a lo largo de la trayectoria clásica, tal y comodebe de ser.

Es necesario añadir dos comentarios. El primero se refiere a losdos procesos de tomar el límite de la expresión (22) para recobrar el


resultado clásico, siendo crucial el orden en que se ha procedido.5

En este ejemplo y en general, es importante obtener el límite clásicohaciendo tender h a cero, antes de fijar las condiciones iniciales de ladescripción clásica. En segundo lugar, es necesario observar que elhacer tender h a cero, tiene significado para la densidad de probabili-dad, pero no lo tiene para la función de estado, o por lo menos su sig-nificado no es muy claro por ahora. Dicho de otra manera, la ampli-tud de la función de estado está bien definida en el límite clásico,aunque por ahora, la fase no lo está. Este resultado no es sorpren-dente puesto que sólo la primera se observa directamente. En el Ca-pítulo VII, Sección 1, se presentará un análisis más sistemático dellímite clásico y su significado para la fase, así como para la amplitudde la función de estado.

6. ECUACIÓN DE SCHRODINGER PARA LA PARTÍCULA LIBRE

Al estudiar la evolución en el tiempo de la función de estado deuna partícula libre, se obtuvieron varias representaciones integralesequivalentes para <¡>(x, t), pero ahora también se quiere obtener unarepresentación diferencial que está motivada por la siguiente conside-ración. Una representación integral es una caracterización global;necesita la especificación de una función, el estado inicial, en todo elespacio en un instante dado. Con esta información se puede calcularla solución a un tiempo posterior. Es más común dar una caracteri-zación local, en la cual la información de las propiedades del sistemaen una vecindad infinitesimal del espacio-tiempo es suficiente paradefinir la solución. Esta descripción local se logra mediante ecuacio-nes diferenciales. Se prefiere esta última descripción no sólo por cos-tumbre sino porque las ecuaciones diferenciales dan un punto de vis-ta poderoso e independiente que es indispensable al tratar problemasmás complicados que la partícula libre.

La caracterización local que se busca se obtiene más fácilmentede la ecuación (10). Derivando bajo el símbolo de integración, seobtiene que,

El mismo resultado se obtiene al calcular -(ft.2/2m)d2\li/dx2 por dife-renciación dentro del símbolo de integración. Se concluye que cual-

3 El estudiante encontrará instructivo si invierte este orden, haciendo tender a cero, primeroL y después h.

ECUACIÓN DE SCHRODINGER PARA LA PARTÍCULA LIBRE 71

quier función i/»(x, O definida por (10), y por lo tanto cualquier fun-ción de estado de partícula libre, satisface la ecuación diferencial par-cial,

(23)2m dx2

La ecuación (10) es sencillamente una forma de escribir la solucióngeneral de (23), que es la ecuación de Schródinger en el espacio deconfiguración para una partícula libre en una dimensión. La ecua-ción es compleja explícitamente y de primer orden en el tiempo, node segundo orden como en óptica. 6

La interpretación de esta ecuación es muy sencilla y directa si serecuerda que en el espacio de configuración el operador del momentolineal es,

h ap = 7^'

según la ecuación (111-30), y que el operador de energía es,

según (18). Entonces, la ecuación de Schródinger será la ecuación deoperadores,

¿m(24)

Clásicamente, para una partícula libre,

E = p2/2m,

y la ecuación cuántica correspondiente exige que al operar con eloperador de energía E sobre la función de estado de una partícula li-bre, se obtenga el mismo resultado que operando con el operador deenergía cinética p2/2m. Esta condición asegura que el valor de expec-tación de cualquier función de la energía total sea el mismo que el va-lor de exceptación de la misma función de la energía cinética,

</(£)) = (f(p2/2m)),

lo que al mismo tiempo asegura que las condiciones del principio decorrespondencia se satisfagan.6 Estos aspectos se discutirán en la sección siguiente.


La ecuación de Schródinger también puede escribirse en el espaciode momentos como,

h d<í>" / a / '

(25)

que es más sencilla que la ecuación (24) porque p es un operador nu-mérico en esta ecuación. Ya que las ecuaciones (24) y (25) tienenexactamente la misma forma, no es necesario identificar la represen-tación y pueden escribirse simbólicamente,

p22w

(26)

donde se intenta dar la idea de que la representación no se especifica.En el espacio de configuración ty=i|»(x, t) y en el espacio de momen-tos = </>(p, t).

La solución de la ecuación (25) es trivial e inmediata. La ecuaciónpuede escribirse como,

di

y por lo tanto,

donde <f>(p, t0) es arbitraria. Esta solución se reconoce como una ge-neralización obvia del resultado anterior aunque para tiempos arbi-trarios iniciales t0. La solución de la ecuación de Schródinger en elespacio de configuración, donde es una ecuación diferencial parcial yno una ecuación diferencial ordinaria, es más complicada. Este pro-blema se estudiará más adelante.

7. CONSERVACIÓN DE LA PROBABILIDAD

En el proceso de obtener las leyes de la mecánica cuántica se haidentificado a i//*i/» como la densidad de probabilidad, suponiendoque t|/ es normalizable. En particular se supone que, a un tiempo t es-cogido arbitrariamente, se puede escoger \fj tal que,

dx=\,

y análogamente para el espacio de momentos. La dependencia en eltiempo de las funciones de estado que aparecen en el integrando es-

CONSERVACIÓN DE LA PROBABILIDAD 73

tan condicionadas por la ecuación de Schródinger. Entonces, al im-poner esta condición en un cierto instante, la misma condición se sa-tisfará en el transcurso del tiempo. Al interpretar i/» como la ampli-tud de probabilidad, la condición de normalización establece que laprobabilidad de encontrar una partícula en algún lugar es la unidad.Es necesario comprobar que esta probabilidad permanece igual a unoal pasar el tiempo, es decir, la probabilidad se conserva.

La demostración es inmediata. Al escribir,

f"P(t) = j—<

•/»*(*, /)i//(jc,/) dx,

se quiere demostrar que dP/dt es cero para cualquier solución arbitra-ria de la ecuación de Schródinger. Se obtiene que

dP

r=J- •*De acuerdo con la ecuación de Schródinger en el espacio de configu-ración, ecuación (23), se tiene que,

y conjugándola se obtiene,

_•dt ~ 2m dx2

2m

Entonces,

4J- = J*dt 2«

= ¿[' dx

Debido a que ty es normalizable, se anula en ±« t y por lo tanto elmiembro derecho se anula, de lo cual resulta que dP/dt es cero.

Este hecho es crucial en toda la interpretación y es necesario recal-car que la demostración fallaría si la ecuación de Schródinger no fue-


ra de primer orden en la derivada respecto al tiempo. Este resultadose hace más patente en el espacio de momentos, donde

roo

P ( t ) = 4>*(p,t)<l»(p,t) dpJ -ac.

dP_

dt

-/[= 0.

1L2m

ih-2ÍnP dp

Si en lugar de la ecuación (25), la ecuación de Schródinger fuera,

la demostración fallaría.

Ejercicio 3. Si <|/*i/f se interpreta como la densidad de probabilidad,demostrar que la probabilidad no se conserva necesariamente para laecuación del tipo,

Obtener la causa de esta dificultad teniendo en cuenta que toda solu-ción de la ecuación de Schródinger también es solución de la ecua-ción anterior.

Se ha recalcado mucho la importancia de la conservación de laprobabilidad que es consecuencia de la forma particular de la ecua-ción de Schródinger. Cuando se generalice el caso de la partícula li-bre pasando al caso de una partícula bajo la influencia de fuerzas ex-ternas, se invertirá el argumento, partiendo del requisito de que lageneralización de la ecuación de Schródinger tiene que ser construidade tal manera que se garantice la conservación de la probabilidad. Co-mo se verá, ésta es una condición muy estricta y, por lo tanto, muyútil.

Desde este punto de vista se podría preguntar cuál ha sido la razónde que al establecer las ecuaciones de la partícula libre, se haya llega-do al resultado correcto. ¿Dónde estuvo el paso esencial? La respues-ta, como se hizo notar al principio, se encuentra en el hecho de que

CONSERVACIÓN DE LA PROBABILIDAD 75

se definieron estados de momento como exponenciales complejas yno como funciones trigonométricas reales, apropiadas a campos clási-cos. Al rastrear los argumentos, dicha definición lleva primero a laidentificación de los operadores de energía y momento, y después ala ecuación de Schródinger como una ecuación diferencial de primerorden y explícitamente compleja.

El hecho de que en la mecánica cuántica intervengan númeroscomplejos en forma tan esencial, se interpreta a menudo como unamanifestación misteriosa de la diferencia entre las descripciones clá-sica y cuántica. Sin embargo, quizás merezca la pena recalcar que,tanto en la mecánica clásica como en la mecánica cuántica, el uso denúmeros complejos es más bien por razones de economía y conve-niencia que por necesidad. La mecánica cuántica podría formularseúnicamente en términos de funciones reales en la forma siguiente.Sea i/»i la parte real de fy y </>2 su parte imaginaria, o sea,

donde «/>, y i//2 son reales. Con esta expresión para i/>, después de se-parar la parte real y la parte imaginaria en la ecuación de Schródinger(23), ésta queda como,

, = »22m dx2 ~ dt

_ 2

2m dx2 'di

que son un par de ecuaciones acopladas en ^¡ y i/»2 Claramente, todarelación obtenida y usada hasta ahora, puede desdoblarse en la mismaforma. Como condición de normalización se obtiene,

y como valor de expectación del momento,

' <„-*/(£+.-*£)*.

y así sucesivamente. Resumiendo, se puede decir que la mecánica

76cuántica puede eiOftMm m il tonguije de estados reales de dos com-ponentes. '

Una descomposición semejante de cualquier campo clásico, en suparte real y su parte imaginaria, conduce a un par de ecuaciones dife-renciales idénticas no acopladas, una para cada parte. Las partes reale imaginaria de campos clásicos son equivalentes y cualquiera puedeutilizarse para caracterizar completamente al campo. En contraste,la mecánica cuántica requiere para su especificación de dos funcionesrelacionadas. Este es el contenido esencial al establecer que la ecua-ción de Schródinger es compleja intrínsecamente.

8. NOTACIÓN DE DIRAC

Hasta aquí, la formulación de la mecánica cuántica se ha desarro-llado consistentemente en el espacio de configuración y en el de mo-mentos, intentando presentar las leyes básicas en tal forma que seanindependientes de la representación. Ahora, se introducirá una no-tación debida a Dirac que permita escribir las ecuaciones indepen-dientemente de la representación. La notación de Dirac es bastantemás general de lo que se necesita por ahora, y de lo que el lector es-tá preparado para entender. Se introducirán una o dos definiciones,generalizándolas posteriormente y añadiendo otras según se necesiten.

7 Aquellos que estén familiarizados con la notación matricial podían darse cuenta que estadescripción no es tan inconveniente ni engorrosa como parece. La introducción de matiiceshilera y matices columnas,

(*').WJy de la matriz dos-por-dos,

opermite transcribir inmediatamente todos los resultados según la regla siguiente: sustituir ipor y en donde aparezca. Específicamente,

p = -W (3/ f l jc)

x = hy \dldp)

no alterándose la forma operacional de la ecuación de Schródinger. Nada de esto es sorpren-dente pues se verifica fácilmente que,

y únicamente se ha dado una alternativa para la designación convencional de V^ como nú-mero imaginario. Es instructivo comparar esta teoría de dos componentes con la teoría dedos componentes de Pauli para el espm que se presenta en el Capítulo X.

NOTACIÓN DE DIRAC 77

En primer lugar, se establece una forma de escribir el valor de ex-pectación independientemente de la representación. Sea ¥ una fun-ción de estado arbitraria, definida en cualquier representación, y Aun operador arbitrario. El valor de excectación de A en el estado Vse escribe como la expresión entre paréntesis.

( A ) =

En la representación de posición será,

= / ifr*'(jt,

y en la representación de momentos,

dx.

Si el operador A se toma como el operador unidad, se establececomo segunda definición,

En el espacio de configuración se tiene que,

y análogamente para el espacio de momentos. En la notación presen-te, la condición de normalización se escribe simplemente como,

Si se desea, o bien se necesita,-especificar en esta notación la repre-sentación, se logra fácilmente escribiendo explícitamente el argumen-to de la función de estado. Así, en la representación de posición sepuede escribir < t/»(x, t) /A/tyfr, í) >. Sin embargo, hay que notar quecomo factor a la izquierda se escribe * y no ¥*. La operación deconjugación compleja está implícita en la notación de Dirac. De estamanera, al escribir el valor de expectación como una integral, siemprehay que usar el complejo conjugado de la función de estado que seencuentra a la izquierda en el paréntesis.


9. ESTADOS ESTACIONARIOS

Volviendo al problema de resolver la ecuación de Schródinger (23)en el espacio de configuración, se usará el método convencional deseparación de variables. Se busca una solución particular en formade producto tal como,

\li(*,t) = \li(x)T(t).

Substituyendo en la ecuación (23) se obtiene que,

(28)

o sea,

11 d^~2m dx'2

.*! I2m \jt

. = _k dT_i dt

dx'2 i TdTdt '

El miembro izquierdo depende únicamente de x, el miembro derechodepende únicamente de t, pero los dos tienen que ser iguales para to-da x y t. Por lo tanto, cada uno debe de ser igual a una constante d,que se conoce como constante de separación,

ñ \_ dT_'i T dt

y también,

h'2 1, = a.2m t// dx'2

La solución a la ecuación (29) es inmediata;

(29)

(30)

Por lo tanto, de la ecuación (28),

(31)

donde <Mx) tiene que satisfacer (30) y donde el índice indica que setrata de la solución que corresponde a la constante de separación a.

La interpretación de a es la siguiente. Considerando la función deestado (31) y suponiéndola normalizada, entonces, sin importar lascaracterísticas de <Mx), se tiene que,

ESTADOS ESTACIONARIOS 79

Análogamente, para cualquier función de la energía / (E) que puedadesarrollarse en serie de potencias,

<^Q|/(£)|0Q )=/(«),

lo que significa que «ta es un estado cuya energía f (E) tiene un valorpreciso y numérico igual a a'.8 Para recordar este hecho, se sustituirá apor el número E, que es el valor numérico de la energía para el estadoconsiderado. Se puede comparar esta notación con la definida ante-riormente para los estados •//„, recordando que estos son estados enlos cuales el momento tiene el valor numérico p. De todas maneras,esta notación es desafortunada, ya que el símbolo usado par el valornumérico es el mismo que el usado para el operador en otros contex-tos. Sin embargo, es común hacerlo y la literatura no podría leerse sino se tuviera en cuenta esta ambigüedad. El lector no puede proce-der a ciegas, sino que del texto debe de saber distinguir cuál es el ca-so. Afortunadamente es fácil hacerlo.

Ahora, se puede escribir la solución como,

y la ecuación (30) como,

(32)

(33)

La ecuación (33), que ya no contiene el tiempo, se llama ecuación deSchródinger independiente del tiempo, en este caso para la partículalibre.

Los estados i/»£(x, t) tienen una propiedad muy importante. El va-lor de expectación de cualquier operador A es independiente deltiempo, si A no depende explícitamente del tiempo. Por ejemplo, síA = f(p, x), entonces/ 0£/^4/!/»£>no cambia en el tiempo. Por esta ra-zón, los estados fe se llaman estados estacionarios. Estos estados sonsoluciones de la ecuación de Schródinger independiente del tiempo;son estados de energía definida. Cuánticamente, son estados bastan-te! sencillos, aunque desde el punto de vista'clásico seaniestados compli-cados, o por lo menos inapropiados. Esto es debido a que los valoresde expectación de x y p son independientes del tiempo, y por lo tan-

8 Naturalmente, ésta es una condición suficiente sobre ita, pero también puede demostrarseque es condición necesaria de la forma siguiente: cualquier distribución estadística se descri-be en forma única con un conjunto completo. Los presentes tienen la propiedad de que<£") = a" = <£)"ijara toda n. Todas las fluctuaciones de E en torno a a = (£) se anulan yse sigue la conclusión.


to no hay ninguna liga con algún estado de movimiento clásico. Losestados clásicos serán, necesariamente, superposiciones de muchos es-tados estacionarios.

Finalmente, para completar la discusión, se exhibirán las solucio-nes de la ecuación (33). Como se puede verificar fácilmente, se ob-tiene que,

Por lo tanto,

Notar que E tiene que ser positiva para que fe no crezca exponen-cialmente en un sentido o en otro. Pero ya que

donde p es el valor numérico del momento correspondiente a la ener-gía E, se puede escribir

-exp[± '£-

donde los dos signos en el exponente exhiben los dos valores posiblesdel momento que corresponden a la energía E. Esta es una soluciónde la ecuación de Schródinger (23) para cualquier valor positivo de Eo, lo que es lo mismo, para cualquier valor de p, positivo o negativo.La solución general de la ecuación (23) es una superposición de estosestados estacionarios con amplitudes arbitrarias. La representaciónoriginal (10) se reconoce como tal superposición. Por lo tanto, se hademostrado que la ecuación (10) es una representación de la solucióngeneral de la ecuación (23).

10. PARTÍCULA EN UNA CAJA

Como ejemplo del uso de la ecuación de Schródinger se estudiaránlos estados estacionarios de una partícula, restringida a moverse libre-mente dentro de una caja (en una dimensión). Esta restricción signi-fica que, fuera de la caja, la probabilidad de encontrar a la partículaes cero y, por lo tanto, \\i debe de anularse. Si $ es continua, su com-portamiento en el interior de la caja debe ser tal que se anule en las

PARTÍCULA EN UNA CAJA 81

paredes.9 Al fijar las paredes en x = O y x = L, se buscan solucionesde la ecuación de Schródinger para la partícula libre, ecuación (33),tales que,

fe(* = 0) = fe(;c = L) =0.

Anteriormente se obtuvo que, para una energía fija E,

(34)

La solución más general para una energía dada E, será la combinaciónlineal,

l' fifi^JE = 4 ei\¡2mE ílti _|_ ft ^

Aplicando las condiciones a la frontera (34), se obtiene que,

A + B = 0Llh _ Q

obteniendo de la primera,

= -A

y de la segunda,

sen V2mE L/ñ = 0.

Esta última condición no se satisface para valores arbitrarios de E, si-no únicamente para los valores discretos de En tales que,

o bien,

£„ = ri2TT2h2

2mL2 ' (35)

9 Ahora se puede demostrar que <¡> tiene que ser continua. El problema bajo consideraciónen realidad no e,s un problema de partícula libre, pues las paredes de la caja ejercen fuerzasimpulsivas sobre la partícula. En los siguientes dos capítulos se discutirá el movimiento deuna partícula bajo la influencia de fuerzas externas. El caso de una partícula en una caja,puede considerarse como el caso límite del movimiento en un pozo de potencial cuadrado'cuando el potencial se hace intinitamente profundo. Al considerar este caso, la continuidady las condiciones a la frontera pueden verificarse.


Las funciones de estado estacionarias que corresponden a estos valo-res, una vez normalizadas, son

(36)

Entonces, se concluye que se obtienen soluciones únicamente si unnúmero semientero de longitudes de onda de de Broglie, caben exac-tamente en la caja. Para « = O la función de estado se anula y, porlo tanto, el estado de energía más bajo será para n = 1,

2mL2

En término de E¡ , se puede escribir £„ como,

Por lo tanto, se ha encontrado que, en contraste con la física clási-ca, una partícula en una caja puede existir únicamente en un conjun-to discreto de estados I0 Además, no existe un estado con energíacero, de acuerdo con los requisitos del principio de incertidumbre.Una partícula en una caja no puede estar en reposo, siempre poseerá,por lo menos, un estado de movimiento mínimo.

El espectro de energías permitido y sus funciones de onda corres-pondientes, se muestran en la Figura 2. A pesar de que la separaciónentre estos niveles de energía crece con n, esta separación es infinite-simal para todas las energías alcanzables de una partícula macroscópi-ca.

Por ejemplo, para una partícula de un gramo en una caja de uncentímetro de longitud, la energía del estado base es 5 x 10~54 ergios,aproximadamente. Para n — 1030, la energía de este estado es de 107

ergios = un yulio (joule) y para el estado n — 103:! su energía seráaproximadamente de un millón de yulios. La distancia entre estadosvecinos es de 10~24 ergios aproximadamente en el primer caso y de10~21 ergios en el último. Ambos son mucho mayores que el espacia-do de 10-53 ergios en la vecindad del estado base, pero muy pequeñose indetectables en la escala de energía macroscópica. Por otra parte,para un electrón en una caja de 2 x 10"12 centímetros, E\ -10-" er-gios = 6 eV, que es aproximadamente igual a la separación observadaen átomos.

10 Resulta que el espectro de estados es discreto cuando el movimiento de una partícula estáacotado, esto es, cuando está restringido a una región fija. Esencialmente, la razón es la mis-ma que en el presente ejemplo, o sea, la necesidad de acomodar un número apropiado delongitudes de onda de de Broglie en la región tratada.

PARTÍCULA EN UNA CAJA

E

83

E,

Figura 2. Espectro de energía y funciones de estado para una partícula en unpozo cuadrado. Al exhibir las funciones de estado, se usará la siguiente conven-ción aquí y en todo lo que sigue. El eje espacial * para el n-ésimo estado se di-buja a una altura que represente a la energía E,,. La ordenada, medida desde eleje x representa la amplitud de probabilidad <!>„.

El capítulo se concluirá con una discusión de las propiedades deun paquete de ondas (estado dependiente del tiempo), para una par-tícula en una caja. El estado más general, es una superposición arbi-traria de un conjunto discreto de estados estacionarios,

,j-IE,,tltl

donde En yto,

n están dadas por las ecuaciones (35) y (36). Por lo tan-

(37)

que describe un estado en el cual, la energía de la partícula no estádefinida con precisión, pero puede tomar cualquiera de los valores Encon cierta probabüidad, determinada por la participación del n-ésimoestado en la superposición. Dicho de otra manera, si ty(x, t) está nor-malizada, una medición de la energía dará En con una probabilidadque será justamente /An/*. Este resultado es muy importante y, acontinuación, se demostrará que es correcto.

Las funciones de estado estacionarias </% que son funciones senoi-dal de acuerdo con la ecuación (36), cumplen que,

I, m = n), m ^ n (38)


Por brevedad se ha introducido el símbolo 8m n , la delta de Krone-cker, que se define como la unidad cuando m es igual a n y cerocuando m es diferente de n. Cualquier conjunto de funciones quesatisfaga una ecuación del tipo (38), esto es, que cada función en elconjunto esté normalizada y funciones diferentes en el conjunto seanortogonales entre sí, se llama un conjunto ortonormal.

Suponiendo que i//(x, t) esté normalizada,

ifi*(x, t ) $ ( x , t) dx= 1,

y de la ecuación (37) se obtiene que,

™»» dx=\,

usando n como índice de suma para <|>*(x, t) y m en la expresión para<Kx, t). Intercambiando el orden en que se realizan las sumas y la in-tegración, se obtiene que,

2 A* A m e™ »-*>»»>« {" <¡>*En(xHEm(x) dx=\.m,n •> O

Usando la condición de ortonormalización (38) esta expresión se re-duce a,

y, finalmente, la condición de normalización requiere que,

(39)

A continuación se calculará el valor de expectación de la energía.Se obtiene que

y usando (37),

 = i" (S/W.M eÍEn^\(yjAmEmÊm(x) *-«W'*) dx.J O \ fi / \ /

Volviendo a usar la condición de ortonormalidad de </»„ , se obtiene,

Em\Am2. (40)

PARTÍCULA EN UNA CAJA 8 5

y utilizando el mismo argumento, se concluye que para toda s,

/ / > = Effls A*

y, por lo tanto, para cualquier función /(£"),

Ya que /(£") es arbitraria se concluye que, como se afirmó anterior-mente, <l> es un estado en el cual una medición de la energía dará elvalor Émcon probabilidad /Am/2. Dicho de otra manera, Am es la am-plitud de probabilidad y /Am/'2 la probabilidad de que el sistema se en-cuentre en su m-ésimo estado estacionario con energía Ema\ observar-lo.

Ahora, se supone que la función de estado de una partícula en unacaja se fija en un cierto instante de tiempo que, por simplicidad, setomará como t = 0. Llamando iM*) a este estado, se tiene que,

donde se supone conocida «M*). El comportamiento del sistema sepuede ahora determinar, por lo menos formalmente. De la ecuación(37), para t = O, se tiene que,

Multiplicando esta expresión poiÊm(x) e integrando sobre toda la ca-ja, se obtiene que,

= An \\„ J J dx.

Debido a la ortogonalidad de ên, miembro el derecho se reduce aun solo término ^4mdado por,

dx = (42)

Para el estado inicial dado «M*), la ecuación (42) resulta ser la ampli-tud de probabilidad de que el sistema se encuentre en el w-ésimo es-tado estacionario.

La evolución del sistema en el tiempo puede estudiarse de la si-guiente forma. 'La ecuación (42) se sustituye en (37) resultando que,


usando x 'para indicar la variable muda de integración en la expresiónpara las amplitudes An. Este resultado se puede escribir como,

(X,t) = Í%0U'Jo

x',x; t) cix', (43)

dónde K, que es el propagador para una partícula en una caja resultaser

K ( x ' , x ; t ) = (44)

Estos resultados deben de compararse con los resultados (1 1) y (12)para la partícula libre.

La forma explícita de K es de cierto interés. De las ecuaciones(35) y (36) se obtiene que,

f t i \K(x,x;t)=mrx' sin nrrx

¿L l|=1 L L

¡- . ., .,,. ,_ , ,-.exp [ — inzir-nt/2mL2] .

En el límite de L -» =c , la suma puede sustituirse por una integral y elparecido del resultado con el de la partícula libre no es difícil de apre-ciar.

Lamentablemente, no es posible obtener K en forma cerrada parauna partícula en una caja. Sin embargo, en el límite clásico, es posi-ble demostrar que un paquete de ondas se propaga sin distorsión y,como debe de ser, rebota sucesivamente en las paredes de la caja.Pero el álgebra es bastante tediosa y por ello no se explicará en de-talle.

11. RESUMEN

Un resumen del progreso realizado hasta aquí puede ser útil, por-que se ha estado trabajando simultáneamente en dos niveles concep-tualmente distintos. Superficialmente, el interés principal se ha refe-rido al comportamiento de la partícula libre. Así, se ha formulado laecuación de movimiento, o sea la ecuación de Schródinger, para estapartícula dando su solución general en términos del propagador de lapartícula libre. El resultado se usó para aclarar las relaciones entrelas soluciones clásica y cuántica. Se introdujo la técnica de separa-ción de variables aplicándola al movimiento de una partícula en unacaja. De nuevo se obtuvo una solución general.

Sin embargo, el interés fundamental ha consistido en entender lascaracterísticas generales de la descripción cuántica de la naturaleza,a las cuales se recurrirá repetidamente en desarrollos posteriores. En-

PROBLEMAS 87

tre éstos, destaca en importancia la identificación del operador deenergía y la comprensión que se ha logrado de la importancia que tie-ne la conservación de la probabilidad y el principio de corresponden-cia al fijar la forma de las ecuaciones cuánticas. En el curso del análi-sis se ha llegado a la noción de estado estacionario, la función de esta-do cuántica más sencilla. Finalmente, se ha obtenido que para unapartícula ligada, los estados estacionarios forman un conjunto discre-to y ortonormal.

Problema 1.(a) En aguas profundas, la velocidad de fase es vv = VgA/2'77- pa-

ra ondas de longitud de onda \. ¿Cuál es la velocidad de grupo deestas ondas?

(b) La velocidad de fase de una onda electromagnética típicaque se propaga en una guía de onda tiene la forma

"" Vi - (ü>o/«)2 '

donde c es la velocidad de la luz en el vacio y w0 es cierta frecuenciacaracterística. ¿Cuál es la velocidad de grupo de estas ondas? Notarque la velocidad de fase es mayor que c. ¿Viola esto la relatividad es-pecial? ¿Cuál es la velocidad de grupo?

Problema 2. Considerar que un paquete de ondas a t = O tiene la for-ma,

t/»U, 0) = A eipaxiri e~

MIL.

das.

(a) Normalizar ty(x, 0).(b) Calcular </>(p, 0) y </>(p, t). Comprobar que están normaliza-

(c) Calcular ( p ) , discutir su dependencia en el tiempo. Hacerlomismo para<E).

(d) Graficar |</>(p, í)l2 contra p, suponiendo que L §> ñ/p0 y queL < h/po. Explicar la diferencia entre los dos casos usando el princi-pio de incertidumbre.

(e) Calcular ( A r ) a í = 0ya cualquier tiempo t > 0. (Sugeren-cia: hacerlo en el espacio de momentos).

Problema 3. Una partícula está confinada en una caja de longitud L.(a) Calcular


EL2m

Discutir los resultados en cada caso.(b) El movimiento de una partícula en una caja es periódico con

período T = 2L/v, siendo v la velocidad de la partícula. El movimien-to cuántico no exhibe esta periodicidad. Explicar cómo se obtiene elmovimiento periódico clásico yendo al límite apropiado. (Este no esun problema trivial. Su solución exige, más que álgebra, razonamien-to).

Problema 4. Una partícula se encuentra en su estado base en unacaja de longitud L. La pared de la caja que se encuentra en x = L,cambia repentinamente a,

(a) x = 2L(b)x = 101(c) x= 100¿

En cada caso, calcular la probabilidad de que la partícula se encuen-tre en el estado base al crecer la caja. En cada caso, encontrar el es-tado más probable que ocupará la partícula al crecer la caja. Expli-car. (Sugerencia: ¿Cuál es la función de estado de la partícula encada caso?).

Problema 5. Una partícula se encuentra en su estado base en una ca-ja de longitud L. Las paredes de la caja desaparecen repe unamente yla partícula puede moverse libremente.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que el momento de la partículase encuentre entre p y p + dp al desaparecer las paredes?

(b) Graficar la densidad de probabilidad del momento en contrade p y discutir cualitativamente el resultado. ¿Qué se esperaría clási-camente? (Sugerencia: ¿Cuál es la función de estado inicial de lapartícula?

(c) Calcular (x) a t = O y a t > 0. (Sugerencia: hacerlo en el es-pacio de momentos).

(d) Calcular lo mismo suponiendo que inicialm ente la partículase encuentra en su centesimo estado.

Problema 6. Una partícula en una caja se encuentra en el estado

= , i , ,

donde </»<> es el estado base normalizado y </»i el primer estado excita-do, también normalizado. Calcular (E), (x) y (p). Discutir la depen-dencia en el tiempo de cada una de estas cantidades.

PROBLEMAS 89

Problema 7. Demostrar que en el caso de una partícula libre, paraun paquete de ondas arbitrario, se cumple que

m

de acuerdo con el principio de correspondencia. Hacerlo,(a) en el espacio de momentos, usando la ecuación (16) y(b) en el espacio de configuración, usando las ecuaciones (11) y

(12), o bien, usando (11) y (13).

I i,i,.«iíin-,

VEcuación de Schrodinger

En el capítulo anterior se obtuvieron las ecuaciones de movimien-to cuánticas para una partícula libre. Estos resultados se generaliza-rán al caso de una partícula moviéndose bajo la influencia de agentesexternos. Únicamente se considerarán fuerzas conservativas y por lotanto se pueden obtener de una función potencial V(x). Se demos-trará que los requisitos impuestos por la conservación de la probabi-lidad y el principio de correspondencia, esencialmente determinan lasolución. Para empezar se considerará la conservación de la proba-bilidad.

1. EL REQUISITO DE LA CONSERVACIÓN DE LA PROBABI-LIDAD

En el análisis del movimiento de una partícula libre, se recalcó quela derivada a primer orden respecto al tiempo en la ecuación de Schro-dinger es esencial para la conservación de la probabilidad. Entonces,en la ecuación general que se busca, se supone que la derivada respec-to al tiempo sea a primer orden. Por lo tanto, en el espacio de confi-guración, se supone que la ecuación de Schrodinger tiene la forma,

»«*.«>--?-£. (1)

donde H todavía es un operador desconocido. Naturalmente que, sise tiene una partícula libre, H resulta ser el operador de energía ciné-

OPERADORES HERMITIANOS 91

tica p2!2m. También se supone que H es lineal para conservar el prin-cipio de superposición.

Para una función de estado \¡i físicamente aceptable que satisfagala ecuación (1), la conservación de la probabilidad exige que,

Diferenciando se obtiene que

=/:(•la:

L

4Ldt

y usando (1) para eliminar las derivadas respecto al tiempo se reduce a

dP

El paréntesis en el primer término se usa para indicar que el operadorH*, el complejo conjugado de H, opera sólo sobre la función »//* y nosobre t//. Si esta expresión se anula, se tiene que,

o bien,

roo

J-«

í°° * rJ-oo J-oo

(2)

Ya que esta ecuación se cumple para todo tiempo, también tiene quecumplirse para ^ arbitraria aunque aceptable, lo cual impone una res-tricción sobre el operador H. Esta condición se llama condición dehermiticidad y cualquier operador que la satisfaga se llama operadorhermitiano (llamado así en honor al matemático Hermite). Enton-ces, se ha demostrado que H tiene que ser hermitiano.

2 OPERADORES HERMITIANOS

Antes de seguir adelante es conveniente discutir brevemente laspropiedades hermitianas y dar algunos ejemplos. Sea A un operadorhermitiano,. Si A representa una cantidad física observable, su valorde expectación siempre debe ser real. Se tiene que,

( A ) -rJ-o

dx

ECUACIÓN DE SCHR<3DINGER92

y además,

Si (A ) es real, estas dos expresiones tien que ser igljales,que es preci-samente la definición de hemi¡ticidad . * Entonces se ^demostradoque cualquier operador que represen te 'hermitiano.

La definición de hermiticidad seque si A es hermitiano, y si y ^ sori.tables, no necesariamente iguales, entorxces

un obse'rfabktíene que ser

generalizaidemostrando

dx. (3)

La demostración parte de lafunción de Astado

^^ aî +

que es una superposición arbitraria deción de hermiticidad se tiene qU6;

j (**)** dx =

y substituyendo i|/ se obtiene,

*</'i ¿*+ kl2 /

v ií» Pebiio a la defini-

= kl2/

roYa que A es un operador herrnitiano, ^j primer rizquierdo es igual al primer término de^ miembro cêreíl10' y anál°ga-mente para los segundos. POr lo tanto^ ia QKnKSi&

n aiteríor se redu

ce a

1 El lector debe tener cuidado de no confundir (A > *VIA*\mente. Por definición, el segundo es, yv" '•

i<TiMOitescribió anterior-1^

que en general es totalmente diferente.


donde ai y a2 son arbitrarias y, en particular, su fase relativa es arbi-traria. Esta igualdad se cumple independientemente de la fase relati-va, por lo cual puede concluirse que cada expresión entre paréntesisse anula.2 Esto completa la demostración. Por lo tanto, la ecuación(3) será la definición general de hermiticidad.

La ecuación (3) puede escribirse en la notación de Dirac. La nota-ción se puede generalizar escribiendo,

Como AÎ! y A t|/2 son a su vez funciones de estado, usando la mismanotación,

= ¡

Entonces, si A es hermitiano, de la ecuación (3) se obtiene que,

(4)

como definición de hermiticidad en la notación de paréntesis de Dirac.Es necesario recalcar que al pasar de la notación de Dirac al lengua-

je de integrales siempre hay que tomar el complejo conjugado de lafunción de la izquierda.

Es importante el hecho de que únicamente operadores hermitianostengan valores de expectación reales. Significa que el operador querepresenta a cualquier variab le dinámica observable físicamente tieneque ser hermitiana. Es fácil comprobar que el momento y la posiciónde una partícula satisfacen este requisito. El primero es un númeroreal en el espacio de momentos y el segundo lo es en el espacio deconfiguración y los números reales son hermitianos.

Ejercicio 1.(a) Demostrar que p y x son hermitianos. En ambos casos de-

mostrarlo en el espacio de configuración y en el espacio de momen-tos. (Sugerencia: integrar por partes en los casos no triviales).

} Dicho de otra manera, el miembro derecho es el complejo conjugado del miembro izquier-do, aunque la fase de cada miembro sea arbitraria ya que a\ y a2 son arbitrarias. Por lo tanto,la igualdad se cumple, si y sólo si cada miembro es igual a cero.

94 ECUACIÓN DE SCHRODINGER

(b) Demostrar en la forma más sencilla posible que cualquierfunción de p únicamente, real y arbitraria, es hermitiana y lo mismoparaje.

(c) ¿Son hermitianos px, xp, (p,x) y (px + xp)l Basándose enlos resultados, determinar el operador que represente al producto dela posición por el momento lineal.

Las variables dinámicas que interesan por ahora son funciones delos operadores hermitianos, posición y momento. ¿Qué se puede de-cir acerca de las propiedades de estas funciones de operadores hermi-tianos? Para estudiar el problema se examinarán algunos ejemplos.De la definición de hermiticidad se sigue que la suma de operadoreshermitianos es hermitiana, aunque si se considera el caso más generalde una combinación arbitraría de operadores hermitianos A y B,

C = aA + pB ,

C sena hermitiano si a y /3 son números reales. Para concluir esto, senota que

mientras que,

diferente a la anterior. La última ecuación se sigue de

(7)

debido a que A es hermitiano. Un resultado análogo se obtiene parael término en B.

Como segundo ejemplo se puede tomar el producto AB de dosoperadores hermitianos,

D = AB (8)

y se tiene


Al operar con B sobre i/»2 se obtiene una nueva función que se desig-nará temporalmente como<£2. Entonces,

En el último paso se ha usado la propiedad de que A es hermitiano.Expresando 02 como Bfy2, se obtiene que,

y tomando A , como una nueva función 0,, se puede escribir

donde se ha usado el hecho de que B también es hermitiano. Final-mente, expresando como A^y juntando todo se obtiene que,

<«Í», |D«ÍÍZ ) = < l |», |y4fl lfc> = <A4«M»M- (9)Por otra parte, se tiene que

) , (10)y por lo tanto D es hermitiano si A y B conmutan.

Estos resultados aparentemente disconexos, pueden sistematizarseintroduciendo el concepto de operador adjunto o hermitiano conju-gado. Sea E un operador, no necesariamente hermitiano y Et eloperador "adjunto de E" o ÍIE daga", definido por

(Ha)o bien por,

para funciones arbitrarias i/>, y <//2 que sean aceptables. De esta de-finición se sigue que el adjunto del adjunto es el operador mismo,

(Et)t = E.

Se puede demostrar fácilmente que las ecuaciones (1 la) y (1 Ib) sonequivalentes, escribiéndolas explícitamente en el espacio de configu-ración o en el espacio de momentos. La ecuación ( l i a ) tendría laforma

mientras que la ecuación (1 Ib) sería

/ <í»,*Et/r2 dx = / (Et«/í,)*i/»2 dx,

y análogamente en el espacio de momentos. La segunda expresiónno es más que el complejo conjugado de la primera, si las funciones

'Wp1

96 ECUACIÓN DE SCHRODINGER OPERADORES HERMITIANOS 97

arbitrarias «//i y </>2 se vuelven a etiquetar. Dicho de otra manera, eladjunto de un operador que actúa sobre una función en un paréntesisde Dirac, es equivalente al mismo operador actuando sobre la otrafunción. En el lenguaje de integrales, la definición es una generaliza-ción del concepto de integración por partes, en la cual, el símbolo deadjunto en un operador significa que el complejo conjugado del ope-rador se transfiere de una función a la otra.

El hecho de que las ecuaciones (1 la) y (1 Ib) se cumplan para fun-ciones arbitrarias </»t y t|/2 que sean aceptables establece, al menosformalmente, una definición completa del adjunto de un operador.Sin embargo, esta definición puede ser tan formal que parezca inútil,porque no contiene una receta clara para construir una representa-ción explícita de .Et cuando se conoce E. Pero esta receta puede es-tablecerse para aquellos operadores de interés, o sea, los operadoresque se construyen a partir de operadores hermitianos. Además, lanoción de adjunto permite dar una caracterización puramente opera-cional de las propiedades de los operadores así construidos y de lahermiticidad. Para esta última propiedad, de la ecuación (4) se con-cluye inmediatamente que todo operador hermitiano es su propioadjunto. Es decir que,

A=A*\ (12)

si A es hermitiano. Por esta razón los operadores hermitianos suelenllamarse autoadjuntos o autoconjugados.

Si se toma un operador como el operador C de la ecuación (5),de anierdo con la definición

<C«Jr, | i |T2> = <«h|

y de la ecuación (7) se concluye que,

Ct = <**/! + B*B,

o sea que

(aA + BB)-t = a*A + B*B.

En general, si Ai es un conjunto de operadores hermitianos y a, unconjunto de números,

(2a í^ () t = 2a fX í . (13)

Como caso particular, el adjunto de un operador numérico será sucomplejo conjugado,

«t = a * ,

de modo que la conjugación hermitiana puede considerarse el análo-go de la conjugación compleja, pero para el caso de operadores.

Como ejemplo de esta idea se nota que R + R t es hermitiano y tam-bién lo es (R — R^ )//. Por ello, un operador arbitrario R siemprepuede expresarse como la suma de dos operadores hermitianos escri-biendo,

que es análogo a la forma usual de escribir números complejos entérminos de dos números reales.

Finalmente, considerando productos de operadores, la ecuación(9) muestra que,

o lo que es lo mismo,

Dt = BA.

(AB)J( = BA.

En general, el adjunto de un producto de cualquier número de opera-dores hermitianos será sencillamente el producto escrito en ordeninverso,

(ABC • • • QR)í = RQ • • • CBA. (15)

Las ecuaciones (13) y (15) son las reglas que se buscaban. Estable-cen cómo construir adjuntos de sumas y productos de operadores yasí de funciones arbitrarias de operadores que pueden expresarse enforma de series de potencias.

Ejercicio 2. Suponer que A, B, C,..., R son operadores arbitrarios nonecesariamente hermitianos.

(a) Demostrar que (ABC...QR)* = R f Qt...Ct5t^t(b) Demostrar que (aA + /3fl)t = a*/!t + /3*fit.(c) Demostrar que si A y B son hermitianas, también lo son

i(A£\AB + BAyABA.(d) Demostrar que si A es hermitiano, también lo es A".

Con esta regla para construir adjuntos de operadores, la ecuación(l lb) significa que y </ltt|/i|i//2> pueden tomarse como dosexpresiones completamente equivalentes de la misma cantidad. Paraexpresar esta equivalencia, se introduce el símbolo simétrico del pa-réntesis (i|/,M|i//2 ) para simbolizar a ambos, definiéndolo como,

<<¿»,|/4|<M ^ (^\A^2) = (AWM. (16)En esta notación está implícita la libertad ganada para pasar operado-res de una función de estado a otra o integrar por partes usando las

ECUACIÓN DE SCHRÓDINGER

reglas de las ecuaciones (13) y (15). Esencialmente, el símbolo(\lii\A\fa) no condiciona sobre cuál de las dos funciones se opera. Alevaluar esta expresión se tiene que hacer alguna elección pero se tienela libertad de escogerla según convenga.

3. EL REQUISITO DEL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA

Volviendo al problema principal de determinar el operador hermi-tiano H de la ecuación (1), el principio de correspondencia exige que,

(17)

y que,

dV_dx (18)

donde <l> es cualquier solución de la ecuación (1). La primera ecua-ción expresa la relación clásica entre el momento lineal y la velocidadmientras que la segunda es precisamente la segunda ley de Newton.

Como paso preliminar se examinará la expresión d/dt (ty\A (</») paraun operador arbitrario A(p, x, t). Se tiene que

=^r +<dt )_x

= p r di)>*~j^[ dt

(x, t)A (p, x,

dA

, t)

Separando el término intermedio, que resulta ser el valor de expecta-ción de dA/dt, y usando la ecuación (1) para eliminar las derivadastemporales en el resto de los términos, se obtiene

Mdt n J_

Como consecuencia de la hermiticidad de H, resulta que el primertérmino en la integral es,

f(Hty)*A4i dx = f ^

y por lo tanto,

Mdt

dx.

EL REQUISITO DEL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA 99

Escrita en esta forma, la integral se reconoce como el valor de expec-tación del conmutador as H y A, obteniendo en esta forma el impor-tante resultado de que,

I

~h (19)

Vale la pena señalar que si^4 no depende explícitamente del tiempo,el primer término se anula y la variación en el tiempo está únicamen-te determinada por el conmutador de H y A. El primer término de-termina la variación del operador ,4 en el tiempo; el segundo términoestá generado exclusivamente por el cambio de la función de estadocon el tiempo.

Se ha recalcado que en estas condiciones es fundamental la depen-dencia explícita en el tiempo del operador./!. Se acostumbra pensarque las variables dinámicas tales como posición y momento, son fun-ciones del tiempo porque así se consideran en el dominio clásico. Sinembargo, en el caso cuántico los símbolos x y p se refieren a opera-dores que no varían en el tiempo; son operadores independientes deltiempo. Esto significa que, explícitamente,

y,

= 0,

y análogamente para cualquier operador en cuya determinación nointervenga el tiempo explícitamente.3

En la aplicación de la ecuación (19) intervienen estos operadoresde posición y momento independientes del tiempo. Considerandoprimero aje se obtiene que,

(20)

3 En esta presentación de la mecánica cuántica la dependencia en el tiempo de los observa-bles representados por operadores, está contenida en la función de estado. Fue introducidapor Schródinger y se llama representación de Schrodinger. Una alternativa fuéîntroducidapor Heisenberg y es la llamada representación de Heisenberg. En ella, la función de estadoes independiente del tiempo y toda la dependencia en el tiempo recae en los operadores di-námicos a través de las ecuaciones de movimiento. Esta presentación se parece a la descrip-ción clásica. También son posibles versiones intermedias. Todas son equivalentes y cadauna tiene su intervalo de simplicidad y utilidad. Se ha escogido la representación de Schro-dinger porque es la más sencilla de manejar a nivel elemental.


El miembro derecho puede escribirse de otra manera si se hace uso delas relaciones de conmutación obtenidas en el Capítulo III. Recor-dando que,

/ f \ " OJ\X)P) /TTT A £i \(/,*)=- —: , (111-46)

donde / es cualquier operador función de x y p, y por lo tanto laecuación (20) se reduce a

a//dp (21)

En esta forma, toda referencia a h ha desaparecido y el paso al lími-te clásico es inmediato. Al comparar con el requisito impuesto por elprincipio de correspondencia expresado en la ecuación (17) se de-muestra que, por lo menos en el límite clásico, se tiene

J^m

a//

Pero i// es una función de estado totalmente arbitraria, aunque acep-table, y por lo tanto este resultado implica la ecuación de operadoressiguiente:

E- — d"m dp

(22)

Respecto al operador de momento p la ecuación (19) da como re-sultado que,

(23)

(III-45)

Usando la relación de conmutación,

se obtiene que

dHdx

(24)

El requisito impuesto por el principio de correspondencia expresadoen la ecuación (18) demuestra que, por lo menos en el límite clásico,el resultado es,

ECUACIÓN DE SCHRODINGER EN EL ESPACIO DE CONFIGURACIÓNY EN EL ESPACIO DE MOMENTOS 101

dVdx

dHdx

lo cual implica la ecuación de operadores,

dxdVdx' (25)

Por lo tanto, las ecuaciones (22) y (25) expresan condiciones sobreH que tienen que cumplirse en el límite clásico. Se comprueba queestas condiciones sobre H, se satisfacen cuando,

(26)

El operador H es la energía total del sistema expresado en térmi-nos de las variables de posición y momento, reconociéndose como lafunción hamiltoniana y las ecuaciones (21) y (24) como las ecuacio-nes de movimiento en forma hamiltoniana.4 Entonces, se concluyeque el principio de correspondencia se satisface si el operador cuánti-co H como función de las variables cuánticas p y x, es el mismo queel hamiltoniano clásico como función de las correspondientes varia-bles clásicas. El operador H es hermitiano y se reduce a pz/2m para lapartícula libre.

Naturalmente que este argumento no impide la posibilidad de queH pueda contener términos que se anulen en el límite clásico, puessus efectos serían apreciables sólo a nivel cuántico. Pero estos tér-minos no aparecen en la ecuación (26), por lo cual.// tiene su formamás simple consistente con el principio de correspondencia.5

4. ECUACIÓN DE SCHRODINGER EN EL ESPACIO DE CONFI-GURACIÓN Y EN EL ESPACIO DE MOMENTOS

Se ha demostrado que en una dimensión la función de estado sa-tisface la ecuación de Schródinger (1), donde el operador hamilto-niano H se expresa por la ecuación (26). En el espacio de configura-ción esta ecuación toma la forma,

2m dx2 i dt (27)

4 Ver cualquiera de las Referencias [14]-[17],

5 La ecuación (26) es correcta únicamente para partículas sin espín. Para partículas con es-pin se necesitan ciertas modificaciones que se verán más adelante.


¿Qué forma tiene esta ecuación en el espacio de momentos? Si V (x)puede desarrollarse en serie de potencias en x, de acuerdo a la recetageneral se tiene que,

dt (28)

Pero, en general, V (x) contiene términos de todo orden en x, lo cualequivale a una ecuación diferencial de orden infinito que no es muyútil. Un camino más adecuado consistiría en partir de la ecuación(27) y transformarla directamente al espacio de momentos y usar elteorema de convolución para calcular la transformada del productoV(x) 4» (x, t). De esta manera se obtiene la ecuación integral

(29))+—L= iVZTrn J

siendo W la transformada de V (x) dada por

1 f"W(p') = .-— V(x) e-'"'*"1 dx.

V2-nh J-°°

dt

(30)

La relación entre las ecuaciones (28) y (29) se puede encontrar si sedesarrolla <f> (p — p', t) en serie de potencias en p' y se identifica elcoeficiente de la derivada w-ésima de <A(p, t) con el término n-ésimode F(x) desarrollado en serie de potencias.

De todas formas, a menos que el potencial sea una función muyespecial, la ecuación en el espacio de momentos sería bastante máscomplicada que en el espacio de configuración. Por esto se estudiaprincipalmente el último caso. La razón de las complicaciones en elespacio de momentos se debe a que el momento lineal ya no es unaconstante de movimiento como sucede para la partícula libre. Lapresencia de fuerzas externas significa que la función de estado con-tiene una mezcla de estados puros del momento y esta superposiciónse representa explícitamente por la integral en (29).

Ejercicio 3. Verificar la equivalencia de las ecuaciones (28) y (29) enla forma sugerida.

Es fácil concluir que la identificación,

(31)

ECUACIÓN DE SCHRÓDINGER EN EL ESPACIO DE CONFIGURACIÓNY EN EL ESPACIO DE MOMENTOS 103

que fue obtenida anteriormente, sigue siendo válida para una partícu-la que no sea libre. Evidentemente,

Por lo tanto, usando la ecuación (1),

(E) = f t//*//>M* = ¡J J l oí

donde ^ es cualquier solución aceptable de la ecuación de Schródin-ger y análogamente para cualquier función de E, lo cual compruebala afirmación anterior. El requisito de que la energía es una constan-te de movimiento si el tiempo no interviene, se satisface automática-mente. Esto se concluye si el operador A de la ecuación (19) se subs-tituye por una función arbitraria de H. Se obtiene inmediatamenteque,

d(f(H))dt = 0,

ya que [//,/(//)] = O para/arbitraria.La ecuación de Schródinger (1) se puede escribir como,

//<// = Eiji, (32)donde el operador hamiltoniano H es el hamiltoniano clásico funciónde las variables dinámicas p y x, pero tomándolas como operadorescuánticos y donde E es el operador (31). Clásicamente,

=

y por lo tanto, la ecuación de Schródinger exige que la función de es-tado tenga la propiedad de que al operar sobre ella con el operadorhamiltoniano H se obtenga el mismo resultado que al operar con eloperador de la energía total E. Este hecho asegura que el valor deexpectación de cualquier función de la energía total es exactamenteel mismo que el valor de expectación de la misma función del hamil-toniano, requisito impuesto por el principio de correspondencia. Ex-plícitamente,

donde t// es cualquier solución de la ecuación de Schródinger.La formulación de la mecánica cuántica es ahora más o menos

completa, pero es necesario generalizarla a tres dimensiones y a siste-


mad de partículas. Ninguna de estas generalizaciones es difícil de lo-grar, pero se pospondrá su realización. También se introducirá laidea de espín.

El procedimiento particular que se ha seguido en la presente expo-sición es una de las muchas posibilidades para hacerlo. En este mo-mento puede ser instructivo esbozar un procedimiento más directoque pueda considerarse como una aproximación burda al desarrollohistórico. Partiendo de las relaciones de Planck y de de Broglie, laecuación de Schródinger para la partícula libre, puede escribirse rápi-damente como

_ " ° V — _lí_ — (/, = J— ,/,2m dx2 2m \ \ / 2m

(que es la ecuación para una onda de de Broglie exp [2mx/X]). Parauna partícula que se mueva en un potencial F(x),

£?-=E-V(x),2m

se puede argüir que, en general,

h2 d2^2m dx2

Pero de acuerdo con la relación de Planck, la dependencia temporalestá dada por ?-'*'"* de donde, finalmente, la dependencia en el tiem-po se puede escribir como,

_ h2 d2^ .2m dx2

que no es mas que la ecuación de Schródinger (27) en el espacio deconfiguración. Este resultado se puede usar para examinar la depen-dencia temporal de los valores de expectación y entonces tender al lí-mite clásico. En este esquema o presentación se requiere una demos-tración de que se cumple el principio de correspondencia. Tal demos-tración fue dada por primera vez por Ehrenfest y se conoce comoteorema de Ehrenfest. En esta presentación se ha invertido la formade razonamiento en mayor o menor grado.

5. ESTADOS ESTACIONARIOS

Como en el caso de la partícula libre, se puede construir un conjun-to básico de soluciones de la ecuación de Schródinger usando el mé-

ESTADOS ESTACIONARIOS 105

todo de separación de variables para aislar la dependencia en el tiem-po. En esta forma, es posible obtener el conjunto de estados estacio-narios,

a~iEtlfl

del tiempoes solución de la ecuación de Schródinger independiente

para la energía E. La solución general de la ecuación de Schródingerdependiente del tiempo es una superposición arbitraria de estados es-tacionarios. Estos estados pueden existir sólo para un conjunto dis-creto de energías, para un conjunto continuo o bien una mezcla deambos, según sea la forma de V (x). Sin embargo, esta superposiciónse puede escribir como,

, r) = ,-iEÍ/ft(34)

pero aceptando que la ecuación (34) es simbólica. Si el espectro delos valores de la energía es continuo, la suma debe de substituirse poruna integral. Si el espectro consiste de estados continuos y discretos,la superposición general consiste de una suma sobre los estados dis-cretos y una integral sobre los estados continuos. No existe ningunadificultad conceptual en este desarrollo, pero estos aspectos se pue-den entender mejor si se consideran ejemplos particulares como severá más adelante. Por ahora, la superposición general se tratará co-mo si consistiera sólo de una suma de términos, porque es más senci-llo manejarla algebraicamente.

Para el estado general descrito por la ecuación (34), la energía delsistema no está definida con precisión pero puede tomar cualquierade los valores E con una probabilidad determinada por la amplitud CE,del ^-ésimo estado en la superposición. Precisando más, si \l> (x, t)está normalizada, al medir la energía se obtiene E con probabilidad\CE\2, donde |Q|2 es la probabilidad de que una medición de la ener-gía del sistema revele que éste se encuentre en el estado Enésimo.Una demostración más general de estas afirmaciones se dará más ade-lante.

Ahora, se puede hacer la hipótesis fundamental de que cualquieraque sea la característica del espectro de energía, representa la totali-dad de las energías físicamente posibles para el sistema estudiado.Esta hipótesis significa que el conjunto de funciones </»« forma unconjunto completo en el sentido de que cualquier función de estado

106 ECUACIÓN DE SCHRÓDINGER

físicamente realizable debe de expresarse como una superposición deestados estacionarios.

Es conveniente escoger estados estacionarios normalizados, y engeneral se escogerán de esta manera, o sea que,

( f e l f e ) = / fe* U) fe W dx=\.Se demostrará a continuación que estos estados también son ortogo-nales, o sea que fe forma un conjunto completo y ortonormal, ,

< f e ' l f e > = / ' faÊ dx =donde 8ÍA, es el símbolo de Kronecker,

(35)

SKS-' =1, E= E'

), E ¥= E'

La demostración es la siguiente. Se tiene que,

//fe = £fe

multiplicando por t|/¿-* e integrando, resulta que

/ fe,* //fe dx = E i fe,*t|/£- dx.

Análogamente, ya que

//fe. = £'fe<

o bien que,

(A/«M * = £'**•*que multiplicada por fe e integrada resulta que

(36)

Debido a que // es hermitiano, esta expresión puede escribirse como,

/fe,*//fe </*=£' / «/,£,*<//£ <¿c.

Comparándola con la ecuación (36) se concluye que,

(E -E') / fe,*fet¿t = 0

y por lo tanto la integral se anula si E' ^ E que era lo que se queríademostrar.

Es instructivo llevar a cabo la demostración en la notación deDirac para ilustrar su uso. Partiendo de la ecuación (16) y debido aque H es hermitiano,

<fe,|//|fe > = <fe.|//fe> = <//fe,|fe>

ESTADOS ESTACIONARIOS 1 07

y de la ecuación de Schródinger,

E<fe - | f e )=E '< fe ' l> / ' í ;>

de lo cual se concluye que,

<fe , | f e )=0 , E1* E.

Puede suceder, y sucede en tres dimensiones, que existan más deun estado estacionario correspondientes a la misma energía E. Estosestados se llaman degenerados. Sean W, <l'E<z),..-,6eI conjunto de es-tados degenerados. La demostración no proporciona información so-bre la ortogonalidad de los estados entre sí, y en general no lo son.Sin embargo, dichos estados degenerados siempre pueden escogersede tal manera que sean ortogonales. Un procedimiento para hacerlo,es el llamado método de ortogonalización de Schmidt que es el si-guiente. Se supone que las funciones fe" 1 fe-12',... no son ortogonalespero están normalizadas. Se define un nuevo conjunto fe0,' «JiV2,'...escribiendo,

fe'" = fem

donde los coeficientes son desconocidos hasta ahora. Estos coeficien-tes se determinan sucesivamente exigiendo que el conjunto fe sea or-tonormal. Entonces, se empieza por exigir que,

< f e < 2 > | f e < » > = 0

y estas dos ecuaciones determinan a¡ y a2y por lo tanto fe;'2 '. A con-tinuación se exige que,

<fe ( 3 ) l fe">> = <<F/"|^<2)> = 0

de donde resultan tres ecuaciones para determinar /?,, í>2 y £>». Esteprocedimiento se continúa hasta encontrar todas las funciones.

Debido a que el orden inicial de los estados degenerados es arbitra-rio, el conjunto de estados ortogonalizados no es único. De hecho,6 La notación recalca el hecho de que se trata de un grupo de estados, cuyos miembros tie-nen la misma energía E. En este grupo de estados degenerados, cada miembro está especifi-cado por los índices (1), (2), y asi sucesivamente.


existen muchos estados posibles aún en el caso más simple. En lapráctica se usa este hecho para escoger el conjunto más convenientepara el problema estudiado. En lo futuro se supondrá que si existenestados degenerados, éstos han sido ortogonalizados de alguna ma-nera.

Existe otra propiedad muy importante de los estados estacionarios.Se llama la propiedad de cerradura. La cerradura es una propiedadmatemática que determina si el conjunto es completo. Si ty es unafunción arbitraria y aceptable puede desarrollarse en términos delconjunto completo \\>K como

ty(x) = CE$E(X) • (37)E

De la ecuación (35),

(•*•=/ <fr**U)ifrU) dx= («M*) • (38)

Substituyendo esta expresión en la ecuación (37), después de inter-cambiar el orden de suma e integración, se obtiene que

(39)

Ya que t//(.v) es arbitraria, se concluye que,

que es el resultado deseado. Cualquier conjunto completo de funcio-nes satisface la condición (39). Recíprocamente, cualquier conjuntode funciones que satisfaga la condición de cerradura, es completo.

6. AUTOFUNCIONES Y AUTOVALORES DE OPERADORESHERMITIANOS

Los estados estacionarios son estados cuyas energías tienen valoresprecisos. También es de gran interés e importancia discutir estadospara los cuales otras cantidades físicamente observables tienen valo-res precisos como son el momento lineal o el momento angular. Siel observable estudiado está representado por el operador hermitianoA y <|»a es el estado normalizado para el cual el valor preciso (real) delobservable es a, significa que para cualquier n,

= a

o bien que, para toda n,

/ i¡,,*(x)[A"-a"]ijj,,(x) dx = 0, (40)

lo cual significa que el operador con A sobre t|/f, es equivalente a mul-

AUTOFUNCIONES Y AUTOVALORES DE OPERADORES HERMITIANOS 109

tiplicarla pora, o sea que,

A i//,, = «i//,,. (41)

Claramente es una condición suficiente para que la ecuación (40) sesatisfaga; también puede demostrarse que es una condición necesaria.

La cantidad a se llama el autovalor del operador A y i¿»« la autofun-ción de A correspondiente al autovalor a. La ecuación (41) se llamaecuación de autovalores. En este lenguaje la función de estado esta-cionaría i¡>K(x) es la autofunción del operador hamiltoniano corres-pondiente al autovalor de energía E.

Los autovalores de A representan los valores posibles del observa-ble representado por A. Cualquiera que sea la característica del es-pectro de autovalores de un observable dado, se supondrá que contie-ne la totalidad de los valores físicamente realizables del observableconsiderado. Enunciándolo matemáticamente, se supondrá que «taforma un conjunto completo. Repitiendo el argumento de la últimasección, reemplazando A por H y i|/E por <K se encuentra inmediata-mente que la ecuación que corresponde a la ecuación (35) es,

y la ecuación correspondiente a (39) es,(42)

'*>• (43)

De hecho, las ecuaciones (35) y (39) pueden considerarse como ca-sos particulares de las ecuaciones (42) y (43).

Conforme a las suposiciones anteriores, cualquier función de esta-do arbitraria ty(x) que sea aceptable, puede expresarse en términos de$a por la superposición general,

donde

C«= f

//,,U)

dx=

(44)

(45)

Las ecuaciones (44) y (45) pueden considerarse generalizaciones delas series (o integrales) de Fourier.

El significado físico de los coeficientes ca del desarrollo, puede de-terminarse como sigue. Si <J> (x) está normalizada, se tiene que,

2 ro'*t'n (<K/'|<Ki) ,a, a'

1 1 0 ECUACIÓN DE SCHRÓDINGER

y por lo tanto, usando la condición de ortonormalidad (42),

2lca|*=i.

El valor de expectación de A será,($\A\ty)= £ cn,*cn <« |vMI<K>

a, tí'

y como i//,, es una autofunción de A con autovalor a,

Volviendo a usar la condición de ortonormalidad, finalmente se obtie-ne que,

Y, usando exactamente los mismos argumentos, en general se tieneque,

Por lo tanto, se concluye que (CoJ2 es la probabilidad de que en el es-tado $ el observable representado por el operador A tenga el valornumérico a. Esta es la demostración y generalización de las afirma-ciones anteriores acerca de los coeficientes que se obtienen cuandoUna función de estado arbitraria se expresa como una superposiciónde estados estacionarios.

Como ejemplo particular, sea A el operador de momento

A-h-A

La ecuación (41) queda como,

y por lo tanto,

OBSERVABLES SIMULTÁNEOS Y CONJUNTOS COMPLETOS DE OPERADORES 111

tivo 1 l\flTth se ha escogido para conservar la propiedad de cerradura(43), que resulta ser

= S(x-x')

o bien

J_2-trh í e1**'*'™1 dp = S(x-x').

La condición de ortonormalidad (42) es,

í gHp-P'^m dx

donde la 8 de Kronecker se ha sustituido por la función 8 de Diracpor ser p continuo.

El desarrollo de una función de onda arbitraria como superposi-ción de autofunciones de momento, se expresa como una integral yla ecuación (44) se escribe como,

donde los coeficientes del desarrollo cp se consideran ahora comofunciones continuas de p. Escribiendo cv = 4>(p) para hacerlo explíci-to y sustituyendo la forma explícita de (//„ se obtiene el resultado fa-miliar,

y la ecuación (45) también resulta ser la expresión familiar,1 f< A ( / > ) = / • I e~lvxl* i//(;c) dx.

Finalmente ¡4>(p)l2 se interpreta como la densidad de probabilidad deque el momento tenga el valor p para un sistema en el estado i//. Deesta manera, otra vez se han obtenido las características de las repre-sentaciones en el espacio de momentos, hablando físicamente, o delas transformadas de Fourier, hablando matemáticamente, partiendode este punto de vista general.

de acuerdo con la discusión anterior acerca de las funciones de estadoque corresponden a un momento p definido. Ya que estos estadosexisten para todos los valores reales de p, el espectro es continuo y lasuperposición resulta una integral en lugar de una suma. Las autofun-ciones de los momentos no están normalizadas y el factor multiplica-

7. OBSERVABLES SIMULTÁNEOS Y CONJUNTOS COMPLETOSDE OPERADORES

Cuando se realiza la observación de algún sistema se obtiene un re-sultado preciso únicamente si el sistema se encuentra en un estado es-


pecial, es decir, si se encuentra en un autoestado del observable estu-diado. Si el operador que representa al observable se simboliza porA, entonces, el autoestado <A« que corresponde al autovalora se defi-nió por la ecuación (41),

La comprensión de esta ecuación ha sido la siguiente. Si el operadorA que representa algún observable es conocido, es decir, si se cono-cen los efectos que produce el operador al actuar sobre cualquier fun-ción arbitraria aceptable, entonces, la ecuación (41) es una recetamatemática precisa para construir los estados abstractos i/»« cuyo ob-servable tiene el valor preciso a. Esta apreciación del contenido físi-co de tales ecuaciones cuánticas pueden reforzarse si estas ecuacionestambién se interpretan como representaciones abstractas de los pro-cesos físicos de medición, es decir, al operar sobre alguna función deestado con el operador A puede considerarse como equivalente a me-dir el observable al cual corresponde A. Desde este punto de vista, laecuación (41) es la afirmación directa de que i//,, es el estado para elcual la medición del observable representado por A de siempre comoresultado el valor a.

La especificación completa de un estado cuántico, como la de unestado clásico, requiere cierto número de observaciones o medicio-nes, cuyo número está determinado por los grados de libertad del sis-tema. Como generalización inmediata de los resultados anteriores,se sigue que la medición simultánea de dos o más observables dará unresultado definido para cada uno, sólo si el sistema es autofunción si-multánea de los dos operadores. Esto implica que tales observacionessimultáneas son independientes, o sea, las observaciones no interfie-ren entre sí. Si éste es el caso, el orden en el cual se realizan las me-diciones es irrelevante y los operadores que representan a los observa-bles tienen que conmutar. Una demostración formal se da a conti-nuación.

Para empezar, se considera el caso particular de que solamente exis-tan dos operadores A y B y \\iab sea el estado para el cual los observa-bles representados por A y B tengan los valores precisos a y b. Esteestado se llama una autofunción simultánea de A y B, definido por

Evidentemente, se tiene que,

AB\fial> = ab\\iab

y por lo tanto,

EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE

(A,B) <//a6 = 0.

113

Si el conjunto âb es completo, entonces cualauier estado arbitrario^ puede expresarse como superposición de <Ki&. Esto significa quecuando (A, B) opera sobre un estado arbitrario el resultado es cero y,por lo tanto, como se quería demostrar (A, B) = 0.

El estado <//„* es degenerado respecto a a o a b únicamente. Parauna a dada las autofunciones de B con diferentes valores de b, todasson degeneradas respecto al operador A viceversa.

Por extensión de este argumento se puede concluir que un conjun-to completo de autofunciones simultáneas de un conjunto de opera-dores, pueden existir solamente si los operadores conmutan entre sí.Teniendo en cuenta la degeneración asociada con estas autofuncionessimultáneas, se puede decir que un conjunto de operadores mutua-mente ortogonales es completo si define en forma única un conjuntocompleto de estados. Por ejemplo, para una partícula sin estructurael operador de momento constituye en sí un conjunto completo y lomismo sucede para el operador de la posición, pero en general no su-cede así para el operador hamiltoniano. Junto con H, el conjunto deoperadores que conmuta con H define las constantes de movimientocuánticas. Como se verá, la mayoría de estas constantes, aunque notodas, son análogas a las constantes de movimiento clásicas.

Es importante recalcar que si A y B conmutan, el presente análisisno implica de ninguna manera que una autofunción de A sea necesa-riamente una autofunción de B y viceversa. Lo que se ha demostradoes la posibilidad de definir un conjunto simultáneo de autofuncionesde operadores si éstos conmutan. Todo esto es obvio al expresarlo entérminos de mediciones. La conmutatividad significa que observacio-nes independientes que no interfieran son posibles, pero no que talesobservaciones se lleven a cabo necesariamente.

8. PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE

Los observables toman valores precisos y definidos únicamente ensus autoestados. Para estados más generales, la observación propor-ciona valores'que fluctúan respecto al promedio o valores de expecta-ción, de una medición a la siguiente. Para un estado aceptable t/» y unobservable dado A, se define la incertidumbre A/4 como la medidacuantitativa de estas fluctuaciones. La incertidumbre está definida


como la raíz cuadrada media de la desviación de los valores observa-dos de A respecto al valor de expectación. Se escribe 7

(bA)2=((A-(A))2) = (A2)-(A)*, (48)

donde todos los valores de expectación se toman respecto al estado \¡t,que se supone normalizado por conveniencia.

Sean A y B dos operadores hemitianos que representan a un parde observables. Si A y B conmutan, existen estados para los cualescada uno tiene valores definidos debido a que las observaciones nointerfieren. Pero si A y B no conmutan, de modo que la mediciónde uno provoca una perturbación en la medición del otro, entonces,no pueden conocerse simultáneamente con precisión arbitraria. Estaincertidumbre mutua no es una cuestión de técnica experimental sinode principio, el principio de incertidumbre. Como enunciado precisodel principio, se demostrará que para cualquier estado aceptable <// ,

( A , 4 ) 2 ( A f l ) 2 & i | < ( / l , B ) > | 2 , (49)

donde todos los valores de expectación se toman respecto a i|/. Ade-más, se demostrará que la igualdad en la ecuación (49), indicando laincertidumbre mínima posible se cumple sólo para estados tales que,

(50)

donde c es una constante, y al mismo tiempo,

( A ) ] ) = Q. (51)

Para demostrar la afirmación anterior se consideran un par de fun-ciones arbitrarias / y g, las cuales cumplen la relación

r /( r gg* dx) - g( rJ-oo \ J-oo / \J-00

(52)7 La equivalencia de las dos expresiones dadas en (48) se logra elevando al cuadrado la pri-mera. Entonces,

((A - (A » 2 > = ((A*-2A (A) + ( A ) 2 ) > .

A es algún número y al valor de expectación de cualquier número es el número mismo. En-tonces, para toda n.

Procediendo término a término,

((A- (

que era lo que se quería demostrar.

/ O " ) > = (A > " .

= {A*)-2(A)Í + { A ) 2

= (A*) - ( A ) * ,


Debido a que el integrando nunca puede ser negativo, la igualdad secumple sólo si el integrando es idénticamente cero, es decir si,

f = cg, (53)donde c es una constante arbitraria.

Elevando al cuadrado el integrando de la ecuación (52) y combi-nando los términos, después de algo de álgrebra se obtiene que,

/ f f * d x f gg* / fg* dx f f*gdx, (54)que es la famosa desigualdad de Schwartz, en donde se substituyen/por F \¡> y g por G i/> dadas por,

F = A-

G = B -

Ya que A y B son hermitianos y por ello tienen valores de expecta-ción reales, F y G también son hermitianos. Por lo tanto, teniendoen cuenta la ecuación (48), la ecuación (54) resulta

dx dx

dxo sea que,

(A/ l ) 2 (Af l ) 2 &> | / ^*FG.|» dx\* =

La cantidad (î/FG/î) es compleja porque FG no es hermitiana.Para separarla en su parte real y parte imaginaria, se introduce laidentidad,8

y se obtiene

\(F,)|2. (56)

Debido a que el primer término de la derecha en la ecuación (56) esreal y el segundo es imaginario, el miembro derecho resulta ser la su-ma de los cuadrados, obteniéndose,

(A/l ) 2 (Afi) 2 * i \W\FG + GF\*)\2 + i |<*| [F, G] \* ) |2. (57)

En el primer término aparece el valor de expectación del análogocuántico de la variable dinámica clásica siendo el producto de A y B.

' Ver la Sección 2, en especial la ecuación (14) y también el Ejercicio 2, parte (c).

.líní*,


Este valor de expectación depende del estado y es posible anularlo.El segundo miembro, en el cual interviene el conmutador, con mu-cha frecuencia puede ser independiente del estado porque, como yase ha visto, el conmutador de operadores que representan a variablesdinámicas, en ciertos casos, es un número. Por lo tanto, el contenidoesencial de la ecuación (57) es que existe una limitación fundamentalpara la determinación simultánea de A y B fuera de nuestro control,porque siempre se tiene que cumplir que

( A / I ) 2 ( A B ) 2

y usando la ecuación (55),

(58)

;A/1) 2 (A£0 2 & i \(<1>\(A,B)\<!>)\2

que es la ecuación (49). Además, la igualdad se cumple si y sólo si elprimer término de la ecuación (57) se anula, que se reconoce comola ecuación (51), y si la ecuación (53) también se satisface simultá-neamente. Recordando que f y g son F \¡> y G t// respectivamente, es-ta condición será

que se reconoce como la ecuación (50).Como caso particular se puede tomar la posición y el momento,

B = x.

De la ecuación (49) se obtiene

>^-& 4 '

que es precisamente la desigualdad prometida e,i la discusión de laSección 7 del Capítulo III. Además, (Ap)2(Ax)i toma su valor míni-mo ñ'2/4 únicamente si el estado i// es tal que

y también que,

< i M ( p - p o ) U - * o ) + ( x - x 0 ) ( p - p 0 ) \ i ¡ i ) = Q,

donde se han usado las abreviaciones,

(59)

(60)

=*„La función de estado definida por las ecuaciones (59) y (60) es el lla-mado paquete de ondas de incertidumbre mínima. Para determinar

EL PRINCIPIO DE4NCERTIDUMBRE

este estado se parte de la ecuación (59) que es equivalente a

117

h dtyl~dx

y por lo tanto,

Respecto a la ecuación (60), la forma más sencilla sería la de conside-rar la relación de conmutación entre p y x que permite escribir

(p-Po)(x~X0) = -r + (x - X0) (p - p0) ,

y la ecuación (60) resulta ser

=0.

Usando la expresión (59), esta expresión puede escribirse como

h2c(,/, |(;t-jc0)2 |1J,>=0,

por lo cual

._'*2

De donde se concluye que c es un número positivo e imaginariopuro. Se puede escribir como,

c = ih/L2,

y finalmente se obtiene que

12 -i J (x ~ XQ) e ° dxJ e x xo ¿jx

que se satisface para toda L. Por lo tanto, el paquete de ondas míni-mo es una gausiana,

que puede normalizarse escogiendo A apropiadamente.

irt nnÜniifirt'iiiiiiif 'i ií

i 1 8 ECUACIÓN DE SCHRÓDINGER

>. MOVIMIENTO DE PAQUETES DE ONDA

Se ha supuesto que las autofunciones de cualquier operador hermi-iano A forman un conjunto completo que siempre pueden escogersen tal forma que sean ortonormales. Esto significa que cualquier fun-:ión de estado arbitraria ifi(x, t) puede expresarse como la superposi-;ión

RESUMEN: LOS POSTULADOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA1

119 *

londe •//„ son las autofunciones de^4 con autovalora y donde |ca(t)|2

is la probabilidad de que la partícula se encuentre en el estado a aliempo t. Si i//(x, t) se especifica para algún instante inicial ta, enton-:es, debido a la ortonormalidad de <K, se tiene que,

c«(fo)= / ifía*(jr)if»U,fo) dx

i ca(t) se puede conocer inicialmente. ¿Cómo cambia ca en el tiem-30? Este cambio está determinado por la ecuación de Schródinger,)ero no puede darse una receta general. Solamente si A =H y a=Ea descripción es sencilla. En este caso,

c E ( t ) = CE

por lo tanto,

cE(t) =*-««-'•"* / «f

Al substituirla en la superposición

, /o) dX,

y como generalización de los resultados anteriores para la partículalibre, se obtiene que,

j i ( x , t ) = / \li(x',t0)K(x',x; í - / 0 ) dx', (61)

donde el propagador K es

' í-'*»-"»*. (62)E

Como antes, se tiene que,

K(x',x;0) =8(x-x'),

donde, inicialmente, K se encuentra muy localizada pero al pasar eltiempo se va ensanchando.

K(x',x;t-t0) = 2 fe* U')E

Las ecuaciones (61) y (62) establecen una solución formal para elproblema del movimiento de una partícula libre bajo la influencia defuerzas externas que se expresa en términos de un conjunto completode autofunciones del hamiltoniano. Es necesario recalcar que la solu-ción es formal porque, aunque estas funciones sean conocidas, la su-ma infinita de (62) no se puede evaluar en forma cerrada excepto encasos especiales. En esta forma ha sido posible encontrar el propaga-dor para la partícula libre, ecuación (IV-13), y más adelante se obten-drá K para una partícula acelerada uniformemente y para el osciladorarmónico.' Estos casos especiales por lo menos indican un caminohacia las características generales de los propagadores. Como se espe-raba, K se puede obtener y es muy útil en el límite clásico.

10. RESUMEN: LOS POSTULADOS DE LA MECÁNICA CUÁN-TICA

Se puede dar un breve resumen en la forma de una lista de postula-dos básicos que son los siguientes:

( 1 ) Todo estado de movimiento de un sistema físicamente realiza-ble, está descrito por una función de estado i/». Las funciones de es-tado físicamente aceptables son normalizables y univaluadas. Cual-quier superposición de funciones de estado es una función de estado.

(2) Las variables dinámicas se representan por operadores hermi-tianos que actúan sobre funciones de estado. El espectro de autova-lores de un operador, consiste en la totalidad de valores físicamenterealizables del observable mencionado. Las autofunciones simultá-neas de un conjunto completo de operadores que conmuten entre sí,es un conjunto único y completo de funciones de estado. Para unapartícula sin estructura en una dimensión, la variable de posición espor sí misma un conjunto completo, y análogamente con el momen-to. Estos dos operadores se caracterizan por la relación de conmuta-ción (p,x)= h/i.

(3) La dependencia en el tiempo de una función de estado está re-gida por la ecuación de Schródinger, Hfy = Efy, donde H = p2/2w +V(x) es el operador hamiltoniano y donde,

~ i dt

es el operador de energía.(4) El valor de expectación de cualquier variable dinámica A,

cuando el sistema se encuentra en un estado t//, e s ( i /» | / í | « /»> . El valor

' Para el primero, ver el Problema VI-8; el último se obtiene en el Capítulo VI, Sección 6.


de expectación se interpreta como el promedio de una serie de medi-ciones de A, realizadas sobre un conjunto de sistemas idénticos, cadauno de los cuales se encuentra en el mismo estado t//.

Problema 1. Considerar un operador A y sus auto funciones i/»a, defi-nidas en el intervalo O =s x « L y con las condiciones a la fronteraiKi(x = 0) = <//„(* = L). (Estas condiciones se llaman condiciones a lafrontera periódicas). Encontrar los autovalores y las autofuncionesde A para los siguientes casos:

w^-s-(b) A = i -j- + k, donde k es real, positivo y fijo.

Cx(c) A = operador integral definido por Aty = i ^(y) dy.

Jo

En cada caso, demostrar si A es hermitiana o no y si el conjunto i//aes completo.

Problema 2. Considerar la ecuación de autovalores,

definida en el intervalo -L =s x =s ¿ y bajo a las condiciones a la fron-tera,

(a) Si A = (d/dx)n, determinar los valores de n para los cuales Aes hermitiana.

(b) Encontrar las autofunciones de A que corresponden paraa = O en los casos n = 3,4,5. Si existe degeneración para una n dada,usar el procedimiento de Schmidt para ortogonalizar los estados de-generados.

Problema 3. Expresar la dependencia en el tiempo de la función deestado para,

(a) un sistema que es un autoestado de su hamiltoniano con au-tovalor /8,

(b) un sistema que es una mezcla no determinada de un conjun-to de autoestados de su hamiltoniano con autovalor /3 y n veces de-generado.

Problema 4. Encontrar el intervalo más pequeño de x en el cualsen TTX/xn y eos -rrx/xn son ortogonales. Determinar si en este mismo

RESUMEN: LOS POSTULADOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 121

intervalo son ortogonales sen mc/x0 y sen 2nx/x0 , sen irx/x,a yexp [ÍITX/XO] y sen TTX/XO y sen irx/2x0.

Problema 5. Sea $„ los estados estacionarios ortonormales de un sis-tema con energía En. Al tiempo t = O la función de estado normali-zada del sistema es ^=2 cn<f>n. Suponiendo <An y cn conocidas,

(a) escribir la función de estado del sistema para t > O,(b) calcular la probabilidad de que una medición de la energía al

tiempo / dé el valor En(c) calcular el valor de expectación de la energía al tiempo t.

Problema 6. A y B son dos operadores hermitianos. De los siguien-tes operadores, (i) AB, (ii) A2, (¡ii) AB - BA, (iv) AB + BA, (v) ABAdeterminar cuáles

(a) son hermitianos(b) tienen valores de expectación reales no-negativos,(c) tienen valores de expectación imaginarios puros,(d) son operadores numéricos.

Problema 7.(a) A y B son operadores hermitianos, tales que A2 = B2 — 2;

obtener los autovalores de cada uno.(b) Sean \¡ib las autofunciones de B que corresponden a los auto-

valores b . Suponer que A es tal que, ( fa \A \ i/»fc ) = 0. De la definiciónde incertidumbre, calcular la incertidumbre en A para un estado conB definido.

(c) Usar este resultado y al principio de incertidumbre para ob-tener el valor de < ifel (A, B}\tyb}- Verificar la respuesta por cálculo di-recto del valor de expectación del conmutador.

Problema 8.(a) Si A, B y C son operadores arbitrarios, demostrar que

(A,BC) = (A,B)C + B(A,C).

(b) Usar este resultado para obtener que,

~- (AB) = < B) + (A ~ . ((H,A)B) + (A(H,B) ).

Problema 9. Para un sistema descrito por el hamiltoniano H = p2/2m+ V(x), obtener una expresión para d/(ps/2m)/dt. Discutir la rela-ción entre este resultado y el teorema clásico del trabajo-energía.

Problema 10. Se ha afirmado que la relación de conmutación (p, x) =h/i es fundamental. En el espacio de configuración, donde x es un

122 ECUACIÓN DE SCHRÓDINGER RESUMEN: LOS POSTULADOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 123

operador numérico, se ha representado p como el operador diferen-cial,

h d

que es consistente con la relación de conmutación. En forma gene-ral, también se podría escribir

h d

sin violar la relación de conmutación y donde /(x) es arbitraria. Siesto se hace,

(a) encontrar las nuevas autofunciones del momento i//p,(b) expresar una función de estado arbitraria i/»(x) como super-

posición de estas autofunciones de momento,(c) verificar que ninguna propiedad físicamente observable del

sistema depende de /(x) y, por lo tanto, /(x) = O siempre es posible.

Problema 11. Considerar el propagador K de la ecuación (62).(a) Demostrar que K satisface la ecuación integral

K(x',x\t-t0) = / K(x',x",í-t,)K(x'^x\tl~t0) dx".

(b) Interpretar esta ecuación como la variación en el tiempo deuna función de estado de t0 a t¡ y después de tl a ti.

(c) La ecuación (61) se obtuvo de la ecuación de Schródingerdependiente del tiempo y es equivalente a ella. Verificar este resulta-do obteniendo la ecuación de Schródinger de la ecuación (61). Supo-ner que fe(x) son soluciones conocidas de H-Ê.(X) = E$E(x) con//conocida.

Problema 12. Sean iK(x) los estados estacionarios ortonormales deun sistema con energía E. Sea i/»(x, 0) la función de estado normali-zada del sistema al tiempo t = O y tal que una medición de la energíadel sistema resulte E, con probabilidad ?, E2 con probabilidad j y E3,con probabilidad i.

(a) Escribir la expresión más general posible para (x, 0) en tér-minos de (x) y consistente con los datos.

(b) Escribir una expresión para la función de estado i/»(x, t) altiempo t > 0.

(c) Determinar cuál de las siguientes cantidades tienen valor deexpectación que son independientes del tiempo cuando el sistema seentuentra en el estado i/»(x, í) de la parte (6):

(i) posición (x)(ii) energía cinética, (p2/2m)

(ni) energía potencial

(iv) hamiltoniano H

(v) impulso ( —dx

(d) Lo mismo que en (c) cuando el sistema se encuentra en unode sus estados estacionarios fe .

Problema 13. Sea C el operador que cambia a una función en su com-pleja conjugada,

C> = «//*.

(a) Determinar si C es hermitiano o no.(b) Encontrar los autovalores de C.(c) Determinar si las autofunciones de C forman un conjunto

completo y si son ortogonales. Explicar brevemente las respuestas.

Problema 14. Demostrar que si el potencial F(x) cambia en unaconstante en todas partes, las funciones de estado estacionarias per-manecen inalterables. ¿Qué se puede decir de los autovalores deenergía?

Problema 15. Demostrar que el valor de expectación del cuadrado deun operador hermitiano nunca puede ser negativo.

Problema 16.(a) Usando el resultado dado en el problema 8, parte (b), en-

contrar una expresión para d/dt (i///px/t//) y, considerando un estadoestacionario fe, demostrar el llamado teorema del virial

< f e m f e > = i ( f edVdx fe

(b) Encontrar el teorema del virial para la mecánica clásica trans-cribiendo la demostración al lenguaje clásico.

Problema 17.(a) Encontrar una expresión para (Ax)2(Ar)2 donde T = p*/2m

es el operador de energía cinética.(b) Encontrar una expresión para (A/>)2(A//)2 ; for (A.r)2(A//)2.(c) ¿Porqué estos resultados son mucho menos interesantes y

útiles que los obtenidos en el texto para las incertidumbres mutuasen x y p?

VIEstados de una partícula

en una dimensión

1. CARACTERÍSTICAS GENERALES

Los estados que se van a considerar corresponden a los estados es-tacionarios $E(X) de una partícula moviéndose en una dimensión. Es-tos estados son soluciones de la ecuación de Schrodinger independi-ente del tiempo H <í»e(x) =E ÎE(X) que, escrita en el espacio de con-figuración, resulta ser la ecuación diferencial de segundo orden.

(1)2m dx*

Antes de estudiar las soluciones de esta ecuación para potencialesparticulares, es conveniente discutir las características generales deéstas para un potencial de tipo general cuya forma se esboza en laFigura 1. Al dibujar la figura, el cero de la energía se ha escogido ental forma que V(x) se anule paraje ->—». Al crecer x se supone queK(x) crece negativamente hasta algún valor mínimo Fz, después delcual crece y alcanza el valor V¡ cuando jc->+00. Este potencial es su-ficientemente general para los propósitos mencionados.

Las propiedades de los estados de movimiento, clásicas y cuánti-cas, están completamente determinadas por la energía. Se puedendistinguir cuatro regiones en la forma siguiente:

CARACTERÍSTICAS GENERALES 125

Figura 1. Funciones de estado en un potencial V(x) para varias energías.

(1) E > V¡, por ejemplo, E, en la figura.(2) O < E < Vi, por ejemplo E2 en la figura.(3) F2 < E < O, por ejemplo E3 en la figura.(4) E < V.2, por ejemplo E4 en la figura.

A continuación se examinan en este mismo orden.(1) E > Fi. En esta región la energía cinética E - V(x) siempre es

positiva. Clásicamente existen dos estados de movimiento indepen-dientes. En uno de ellos, la partícula se mueve hacia la derecha y enel otro la partícula se mueve hacia la izquierda. Cuánticamente tam-bién existen dos estados de movimiento independientes, aunque máscomplicados, y corresponden a las dos soluciones independientes dela ecuación diferencial de segundo orden (1). Como la energía cinéti-ca es positiva en todas partes, se concluye de la ecuación (1) quedÊ¡dx2 y il/E tienen signos opuestos en todas partes. Por lo tanto,tfe siempre es cóncava hacia el eje x, es decir, oscilatoria. Por consi-guiente, \IIE está acotada pero se extiende a infinito por ambos lados.1

Comparte estas propiedades con las autofunciones de momento </>P y,como ellas, no son estrictamente aceptables físicamente. Estos esta-dos, como </»p , también representan idealizaciones muy útiles de loscuales pueden construirse verdaderos estados físicos (paquetes deonda). Los dos estados cuánticos independientes no corresponden aun movimiento hacia la izquierda solamente o bien hacia la derecha;por ejemplo, una partícula incidente por la izquierda no necesaria-mente continúa su movimiento indefinidamente sino que algunas ve-ces se refleja. Por esta razón los estados son bastante complicados.Estos estados'se presentan para cualquier energía que sobrepase a V\,concluyendo que el espectro de energía es continuo y doblementedegenerado en esta región.1 En la Figura 1 la solución i|/£l ilustra este comportamiento.

126 ESTADOS DE UNA PARTÍCULA EN UNA DIMENSIÓN

(2) O < E < Vi . En esta región la energía cinética es positiva a laizquierda de la intersección de E y V(x), y negativa a la derecha. Elpunto de intersección, donde E = V(x) y la energía cinética se anula,es el punto de vuelta clásico del movimiento. Clásicamente, una par-tícula moviéndose hacia la derecha se refleja en el punto de vuelta yregresa hacia la izquierda; éste es el único tipo de movimiento. Cuán-ticamente existen dos soluciones independientes de la ecuación deSchródinger, pero sólo una es aceptable (aún como estado ideal). Ala izquierda del punto de vuelta clásico, las soluciones de la ecuación(1) son oscilatorias. Pero a la derecha, donde c?2fe/<¿x2 tiene el mis-mo signo que fe, las soluciones son convexas respecto al eje x, por locual,Acrecen sin límite o decrecen rápidamente a cero cuando x crece.La solución general de la ecuación (1) contiene una superposición ar-bitraria de estos dos tipos de soluciones, pero sólo la solución que de-crece a cero está permitida por los requisitos físicos. Una de estas so-luciones, fe2, se ilustra en la Fig. 1. Así, se puede concluir que el es-pectro es continuo y no degenerado en esta región. Las soluciones separecen a las soluciones clásicas en el sentido de que una partículasiempre se refleja.

(3) V2 < E < 0. En esta región existen dos puntos de vuelta clási-cos y entre ellos la energía cinética es positiva, siendo negativa en to-do el resto. Clásicamente, el movimiento es periódico, con períododeterminado por la energía. Entonces, existe sólo un tipo de movi-miento para una energía dada. Cuánticamente el movimiento es po-sible únicamente si la energía tiene exactamente el valor apropiadoque corresponde a uno del conjunto de valores propios que constitu-yen un espectro discreto no degenerado. El argumento es el siguien-te: la solución general de la ecuación (1) contiene términos crecien-tes y decrecientes en la región a la derecha del punto de vuelta dere-cho y en la región a la izquierda del punto de vuelta izquierdo. Unasolución físicamente aceptable tiene que decrecer a cero en ambasregiones. Se escoge aquella solución que tiene las propiedades desea-das a la derecha, llamándola .fe derecha, especificada en forma única.Pero a la izquierda, se escoge la solución que decrece a cero fe ,izqui.También es única. Ambas soluciones, fe, der y fe.izq oscilan en la re-gión entre los puntos de vuelta, pero en general no coincidirán suave-mente en la región común de existencia. Al variar E, la curvatura deestas funciones se altera y la rapidez de oscilación varía, y por lo tan-to, si E tiene exactamente el valor correcto, fe,izq y '¿'E,der puedenunirse suavemente. Podría decirse que este hecho corresponde a es-coger E en tal forma que un miembro determinado de las ondas de deBroglie cabe exactamente entre los puntos de vuelta. (Ver la solu-ción fe3 de la Figura 1). Los valores discretos de E para los cuales se

CLASIFICACIÓN POR SIMETRÍA: EL OPERADOR DE PARIDAD 127

cumple lo anterior, son las energías permitidas. Debido a que la par-tícula está confinada en una región finita, estos estados se llaman es-tados ligados. Entonces, se puede concluir que el espectro de estadosligados en una dimensión es discreto y no degenerado.

(4) E < Vt. En esta región, la energía cinética es negativa en don-dequiera y ningún movimiento clásico es posible. Tampoco puedenexistir estados cuánticos debido a que las soluciones de la ecuación(1) son convexas respecto al eje x en dondequiera y, por lo tanto,crecen sin límite en un sentido o en otro.

2. CLASIFICACIÓN POR SIMETRÍA: EL OPERADOR DE PARI-DAD

La mayor parte de los potenciales de interés en el dominio micros-cópico describen interacciones entre parejas de partículas. Estos po-tenciales son generalmente funciones simétricas de la posición y estacaracterística permite una simplificación considerable en el análisis.Por ejemplo, se puede considerar el caso particular para el cual V(x)sea simétrico,

V(x) = V(-x). (2)

La simplificación mencionada es una consecuencia del hecho de quecuando V es simétrico también lo es el hamiltoniano H. Entonces,cuando H opera sobre cualquier función no cambia las propiedadesde simetría de la función. Esto significa que la ecuación de Schródin-ger puede separarse en dos ecuaciones independientes, una que con-tiene funciones de estado simétricas y otra que contiene funciones deestado antisimétricas solamente. Este resultado se demostrará a con-tinuación.

Para este propósito se introduce un nuevo operador P, llamadooperador de paridad, definido por,

P f ( x ) = f ( - x ) , (3)donde /(x) es arbitraria. Entonces, el operador de paridad simple-mente cambia el signo de las coordenadas espaciales de la función so-bre la cual opera.

El operador P es hermitiano, ya que para funciones aceptables fey fe se tiene que,

r , <i fej-« r • <• = i i/»,'J-oo

= fVJ-oo

128 ESTADOS DE UNA PARTÍCULA EN UNA DIMENSIÓN CLASIFICACIÓN POR SIMETRÍA: EL OPERADOR DE PARIDAD 129

donde se ha cambiado la variable de integración de x a -x al pasar a lasegunda línea.

Para encontrar los autovalores y las autofunciones de este opera-dor hermitiano, se buscan soluciones de la ecuación

/>./»„ = «.fc.

Operando sobre esta ecuación con P se tiene que

pero, para cualquier función /(x)

x) = f(x) .

Comparando las dos ecuaciones, a2 = 1 y, por lo tanto, los autovalo-res del operador de paridad son mas o menos uno. Llamando <ff+ y </»-a los autoestados correspondientes, se tiene que,

P*+ = «K, />«/,_ =-!/í_, (4)

o lo que es lo mismo,

donde *!>+ es cualquier función par y </»- es cualquier función impar,además de que son ortogonales. Se tiene el resultado curioso de unoperador hermitiano con dos autovalores únicamente, cada uno delos cuales está infinitamente degenerado.

Las autofunciones de P claramente forman un conjunto completo,ya que cualquier función siempre puede expresarse como la suma desu parte simétrica y su parte antisimétrica. Se escribe,

ionde /+ está definida por

/+(*)

y claramente es simétrica, mientras que/- definida por,

/-U)/(*) -/(-

2es obviamente antisimétrica.

Una forma interesante de escribir estas expresiones es la de substi-tuir f(-x) por Pf(x). Se obtiene,

Las cantidades

P+ =1 ±P (5)

se llama operadores de proyección: P+ proyecta la parte simétrica opar de un estado general, y P- proyecta la parte antisimétrica o im-par. Además,

(6)

que establece las propiedades generales de estos operadores de pro-yección. En forma sucinta se tiene que,

P*f(x)=f±(x). (7)

Ejercicio 1. Verificar las expresiones de (6) por substitución de laecuación (5).

Para concluir, lo único que se necesita recalcar es que P conmutacon el hamiltoniano si V(x) es simétrico porque,

Además P± conmuta con H y, por lo tanto, al operar sobre la ecua-ción de Schródinger con P± se obtienen el par de ecuaciones indepen-dientes

(8)

Este resultado establece que los estados estacionarios en un potencialsimétrico se pueden clasificar de acuerdo a su paridad, es decir, siem-pre se pueden escoger con simetría definida sin que por esto se pierdageneralidad. Aún más, ya que los estados ligados en una dimensiónno están degenerados, cada estado ligado en un potencial simétricotiene que ser par o impar.


3. ESTADOS LIGADOS EN UN POZO CUADRADO

Como ejemplo se estudiarán los estados ligados en uno de los po-tenciales más sencillos, el pozo cuadrado. Este potencial se definecomo,

—a < x < a\x\ > a , (9)

y se muestra en la Figura 2. Como V(x) es simétrico los estados liga-dos tienen simetría definida, lo cual simplifica mucho el álgebra.

IRegión III

x =

V = 0

Regic

—a

> n l l

x =

Región I

= a

V - -V,

Figura 2. El pozo de potencial cuadrado.

Como se buscan estados ligados, la energía E tiene que ser negativay es conveniente introducir la energía de ligadura e definida por

€ = -£,

por lo cual la ecuación de Schródinger resulta ser

(10)

K(jc)fe = -efe. (11)¿./íl U-l

En la región a la derecha de x = a, llamada región I (ver Figura 2),V(x) se anula y la ecuanción (11) se reduce a

2me (12)

cuyas soluciones generales son fe ~ <?±v25"Fx"i. Se escoge sólo la ex-

ponencial negativa porque la otra solución crece sin límite cuando xtiene a infinito. Por lo tanto, en esta región

fe; = C¡ e-^ñtxl*. (13)

Análogamente, en la región a la izquierda de x = -a, la región III fetambién satisface la ecuación (12) y tiene la forma

ESTADOS LIGADOS EN UN POZO CUADRADO

,/, _ — /"... «VZm? xlfi

131

(14)

apareciendo únicamente la exponencial positiva, ya que en caso con-trario \l> crecería sin límite cuando x tendiera a menos infinito.

Finalmente, en la región central entre x — — ayx = a, la región II,donde V(x) = — V0, la ecuación (11) resulta ser

2w ,,. , , ,.dx2 ' h2 v ° "™ "'

En esta región fe es oscilatoria y la solución general se expresa en laforma,

ü = c,,(+) eos (V2/w(K 0— e)x/h) + Cn(~ )sin(V2m(K0 — e)xlh). (15)

Entonces, la función de estado fe tiene forma diferente en cadaregión. Ya que V(x) es discontinua al pasar de una región a otra, laecuación (11) establece que la segunda derivada de fe también es dis-continua, pero fe y su pendiente son continuas. Por lo tanto, se tie-nen dos condiciones de continuidad que tienen que satisfacerse en lafrontera entre las regiones, lo que proporciona cuatro ecuaciones li-neales y homogéneas para los coeficientes C\,C\í\C^y C\\\ . Si estasecuaciones tienen solución el determinante formado por los coefi-cientes tiene que anularse. Esta condición determina los valores per-mitidos de e.

Para reducir el álgebra se hace uso del hecho de que los estados li-gados en un potencial simétrico tienen simetría definida; son pareso impares. A continuación se examinan estas dos posibilidades.

Estados Pares:fe(x) = fe (- x). Para los estados pares se obtieneque C ni = Ci y C,/"1 = 0 en la ecuación (15). Además, cualquier con-dición de continuidad impuesta en x = a se satisface automáticamen-te en x= -a debido a la simetría. Solamente se necesitan aplicar estascondiciones en x = a. Al hacerlo, se obtiene:

continuidad de «/»

C¡ e-vzss-a'ft = c,,(+) eos (V2m(F0-e) a/ti)

continuidad de difi/dx

(+) s¡n (V2m(K,-e) o/ft).

Tomando el cociente de la segunda ecuación entre la primera se obtie-ne que,

Ve = VV0-e tan (V2w(^0-e) a¡K) , (16)

EN UNA DIMENSIÓN

espectro de energía de los estados pares.tflICCndente y sus raices no pueden determinarse al-Un procedimiento gráfico bastante sencillo y que

una caracterización simple, sería el de granear el miem-bro derecho y el miembro izquierdo de la ecuación (16) como fun-ción de c; las raices serán los puntos de intersección de las dos cur-vas. Este procedimiento se ilustra en la Figura 3. Ya que el miembroizquierdo resulta imaginario para e negativa y el miembro derecho esreal, las raices existen solamente para e positiva. Este resultado esconsistente con lo que se esperaba, ya que e negativa o energía de li-gadura negativa, significa que el estado no está ligado. Por otra parte,el miembro derecho resulta negativo para e > V0 y permanece así,como se muestra en la figura y, por lo tanto, no existen estados conenergía de ligadura que sobrepasen la profundidad del pozo V0, deacuerdo con lo esperado. Estas dos limitaciones significan que lasenergías de los estados ligados están restringidas al intervalo 0=s e< V0.

Figura 3. Solución gráfica de la ecuación (16), para las energías permitidas de losestados pares de una partícula en un pozo cuadrado. La curva continua repre-senta el miembro derecho de la ecuación (16) y la curva discontinua el miembroizquierdo. Las intersecciones dan las energías permitidas. Para el valor escogidode Vn existen dos energías. La energía del estado base e, y la del siguiente estadomás alto e3.

De la figura se observa que el número de raíces y, por lo tanto, el nú-mero de estados ligados pares, dependen del número de ceros delmiembro derecho de la ecuación (16) cuando e & 0. Los ceros delmiembro derecho ocurren cuando,

e= V0- (nir)2fi2/2ma2, n = 0 ,1 ,2 ,

o sea, cuando e = V0, e = F0 —ir2fi,2/2ma2, etc. En la figura se ilustrandos ceros y, por lo tanto, existen dos estados. La energía del estado

ESTADOS LIGADOS EN UN POZO CUADRADO 133

más ligado es e, y la energía del otro estado es e3- La razón de esco-ger los índices de esta manera se aclarará más adelante. Al decrecerVo, la curva que representa el miembro derecho de la ecuación (16) sedesplaza hacia la izquierda, y cuando V0 < ir*tíí/2ma2, existe un ceroy un estado ligado solamente. Análogamente, al crecer V0, la curva sedesplaza hacia la derecha y cuando V0 » (27r)2ñ2/2ma2, existen tres ce-ros y tres estados ligados, y así sucesivamente. Resumiendo, cuando,

(mr)2h2/2ma2 « V0 < [ ( n (17)

existen n + 1 estados ligados pares. Es necesario recalcar que si Vü espositiva siempre existirá, por lo menos, un estado ligado.

Estados Impares: </%(*) = - fe(- x). Para estados impares,C,,, = -C, y Cn+)en la ecuación (15) tiene que anularse. De nuevo,cualquier condición de continuidad impuesta en x = a se satisfaceautomáticamente en x = — a por simetría. Procediendo en la mismaforma que en el caso anterior, se encuentra que para estados impares,e está determinada por la ecuación

-Vl/o-e ctn (V2m(K0-e) a/ft),

que también se resuelve gráficamente como se ilustra en la Figura 4.Se ha usado el mismo valor de K0 que en la Figura 3, y resulta que setienen también dos estados ligados, cuyas energías se denominan e2 y

2ma'

é = V0

2ma*

Figura 4. Solución gráfica de la ecuación (18) para las energías permitidas de losestados impares de una partícula en un pozo cuadrado. La curva continua repre-senta el miembro derecho de la ecuación (18) y la curva discontinua el miembroizquierdo. Las intersecciones dan las energías permitidas. La energía del estadoimpar más bajo es e* y la del siguiente estado impar es e4.

134 ESTADOS DE UNA PARTÍCULA EN UNA DIMENSIÓN EL OSCILADOR ARMÓNICO 135

e4. Al comparar con la Figura 3 resulta que ci > e2 > e3 > e4.Usandolos mismos argumentos anteriores, se concluye que el número de es-tados ligados impares es igual al número de ceros del miembro dere-cho de la ecuación (18) para e 2* O, y que existen exactamente (n + 1)estados ligados impares cuando

(19)

(20)

« V0< [(n

Sin embargo, no existen estados ligados impares si

h2

2ma2'

Este resultado es muy importante y se examinará al discutir proble-mas tridimensionales.

Los resultados se pueden resumir en la siguiente forma. Al crecerV0 desde cero, al principio sólo existe un estado ligado que es un es-

tado par. Al llegar al valor

'-(i)'aparece el primer estado impar. Cuando

v2H2

0 ImcF

aparece el segundo estado par. Cuando,

Vo^llr 2ma2'

aparece el segundo estado impar, y así sucesivamente. Para K0 dada,el espectro consiste de estados pares e impares alternados, siendo parel estado más bajo o estado base, el siguiente es impar, y así sucesiva-mente, dependiendo el número total de estados de la magnitud deV0. En la Figura 5 se esboza el espectro y las funciones de estado pa-ra el caso particular ilustrado en las Figuras 3 y 4, donde V0 tienedos estados pares y dos estados impares. De la figura se puede adivi-nar que cuando V0 decrece, o sea que el pozo se hace menos profun-do, el estado más alto e4, es empujado hacia fuera, después el si-guiente estado y así sucesivamente, coincidiendo con el análisis indi-cado. Sin embargo, las ecuaciones (17), (19) y (20) son restriccionessobre V0 a

2 y no sobre F0 solamente, como se ha supuesto en la dis-cusión por simplicidad. Un decrecimiento en a2, en sus efectos sobrela energía (pero no sobre la función de estado), es indistinguible deun decrecimiento en K0. Si a2 decrece gradualmente haciendo el po-

zo más estrecho, también salen sucesivamente los estados más altos.Hay que notar que las funciones de estado se extienden más allá

de las paredes del pozo, en lo que es la región prohibida clásicamente.De acuerdo con las ecuaciones (13) y (14), las funciones de onda de-caen exponencialmente en esta región como e-v^"SuiM . Por lo tan-to, la distancia que penetran las funciones de estado está dada aproxi-madamente por

¿b —

que es la distancia necesaria para que la exponencial decrezca a I/e.Para los estados más bajos, donde e es grande, esta distancia es muybequeña y la función de estado también es muy pequeña en la fron-tera. En el límite de un potencial infinitamente profundo, estos es-tados se anulan en las fronteras y sus energías, medidas respecto alfondo del pozo, crecen como n2 de acuerdo con el análisis previo delos estados de una partícula libre en una caja.

Por otra parte, cuando e es pequeña, como por ejemplo e4 enla Figura 5, la distancia b resulta muy grande y la partícula no sepuede considerar totalmente confinada al interior del potencial, co-mo se requiere clásicamente.

v = o x = —a x = a

y- -y,Figura 5. Energías de los estados ligados y funciones de onda en un pozo cuadra-do. Cada estado de energía más alto tiene un nodo más que el estado preceden-te.

4. EL OSCILADOR ARMÓNICO

A continuación se considerará el problema más importante de lamecánica cuántica, el oscilador armónico. Relacionado a esta impor-tancia está su simplicidad: es uno de los dos o tres ejemplos no trivia-les que se pueden resolver explícitamente con toda generalidad. Sele dedicará la atención que merece.


La energía potencial de un oscilador armónico de frecuencia copuede escribirse en la forma,

V(x) = \ mo>2x2,

y la ecuación de Schródinger independiente del tiempo será,

h2

~ —2m dx2 2 . „.

~ m<a¿x¿ui = Eúi .2 ^ ^ (21)

De la discusión general de la Sección 1, se deduce que los estados deloscilador armónico tienen energía positiva, son discretos y no dege-nerados. Estos estados se encontrarán mediante dos métodos dife-rentes. El primero, es el método de las series de potencias y el segun-do, es el método de fautorización.

El Método de Serie de Potencias. Si se introduce la variable sin di-mensiones y definida por

y = Vmw/ft ;c,

la ecuación de Schródinger resulta ser,

(22)

Cuando y tiende a infinito, el término en E es despreciable compara-do con el término en y2 y se verifica fácilmente que feO) se compor-ta como e±um, multiplicado por algún factor algebraico. La soluciónfísicamente aceptable contiene solamente el signo menos y, sin pérdi-da de generalidad, se puede escribir

<My) = "(y) e (23)

Substituyendo en la ecuación de Schródinger, después de ciertas sim-plificaciones, se obtiene que

d2u du , ^-2y¿- + (-- (24)

Esta ecuación se resolverá desarrollando u en serie de potencias en y.Ya que el potencial del oscilador armónico es simétrico, los estadostienen paridad definida. Se considerarán por separado los estasos pa-res y los impares.

Estados Pares: u(y) = u(-y). Se busca una solución en la forma deuna serie de potencias. Ya que u es simétrica, únicamente potenciaspares de y intervendrán y se puede escribir

u(y) = yasy2*. (25)

EL OSCILADOR ARMÓNICO 1 Jf

Substituyendo en la ecuación (24) se obtiene que,

\ 2s(2s - 1) a^2'*-1' + V (^- - \ - 4s] a,y2s = 0.¿¿ ¿¿ \no) /o o x

Substituyendo s por s + 1 en la primera suma, esta expresión stí pue-de escribir como,

oo r

2 | 2 ( j + l ) ( 2 i + l as+1

El coeficiente de cada potencia de y tiene que anularse por separadoy, por lo tanto, se obtiene la relación de recurrencia

U- (26)

Dado el coeficiente aa, todos los coeficientes en el desarrollo puedendeterminarse sucesivamente.2 Entonces,

2£E;2E 2E 2£

y se obtiene una representación en serie para la solución simétrica dela ecuación (24). La forma de esta solución para y grande está deter-minada por el comportamiento de as para s grande. De la ecuación(26) se tiene que

as+í 1—íü = - s —> o°.as s

Esta razón es exactamente la misma que la razón de los coeficientesen el desarrollo en serie de potencias de la función exponencial. En-tonces, cuando y2 tiende a infinito, u(y) diverge como e"*, de donde,por la ecuación (23), «fe (y) diverge como e"*12. Esto no es una sor-presa, ya que se argüyó que la solución general de la ecuación deSchródinger se comporta como £>±1/2'2para y grande. Como la solucióngeneral debe de contener términos de ambos signos, necesariamente

2 La importancia esencial de la transformación de la ecuación (23) puede aclararse ahora. Ellector puede verificar que si (//e, pero no u, se desarrolla en serie de potencias, la fórmula derecurrencia que se obtenga relaciona tres coeficientes y no dos, como en la ecuación (26).Estas relaciones entre tres términos son, en general, muy difíciles de resolver.

138 ESTADOS DE UNA PARTÍCULA EN UNA DIMENSIÓN EL OSCILADOR ARMÓNICO 139

domina la exponencial positiva. Esta catástrofe puede evitarse si laserie termina después de r términos. De la ecuación (26) se concluyeque esta condición se cumple si y sólo si E tiene uno de los valoresdiscretos,

ya que ar+í, y todas las as siguientes se anulan. Entonces, se hanobtenido un con/unto infinito de soluciones, una para cada valor delentero r. Estos estados simétricos, todavía no normalizados, estándados explícitamente por

r = O, E = ftw/2,

r=\, E = 5ha>¡2,

r = 2 , E = 9ho)/2,

fe = fl0 e'"112

fe = a0(l - 2y2) e-"2'2 (2?)

fe = a0(l - 4y2 + ¿ y") e'"'12.

energía 3ftco/2, el siguiente es par con energía 5ftw/2, y así sucesiva-mente. Entonces, el espectro completo se expresa como,

£ „ = ( « +1) fto>; « = 0 , 1 , 2 . . . , (29)

y los estados son pares o impares según que n sea par o impar. Estees precisamente el espectro propuesto por Planck excepto por la cons-tante aditiva fto>/2. La necesidad de este término en el espectro, laenergía del punto cero, es obvia si se toma en cuenta el principio deincertidumbre.

Ejercicio 2. Usar el principio de incertidumbre para obtener el ordende magnitud de la energía del punto cero.

La forma más conveniente y usual de escribir las funciones de es-tado es la siguiente.3

Llamando fe al estado con energía En, se escribe

Antes de discutir estas soluciones, es conveniente considerar primerolos estados impares.

Estados Impares: u(y) = — u(— y). Para este caso se expresa u co-rno una serie en potencias impares de y,

Substituyendo en la ecuación (24) y haciendo las mismas operacionesque antes, se obtiene la relación de recurrencia,

3 - 2E/hiti a,.

La solución también diverge excepto si la serie termina después de rtérminos y, por lo tanto, E sólo puede tomar los valores discretos,

y las soluciones correspondientes sin normalizar son,

r = O, E = 3ha>/2, fe = a0y e'"'12

r=l, E=7ftco/2, fe = a0y(l-|y2) e~"'12.(28)

Reuniendo todos estos resultados se concluye que el estado másbajo es par y su energía es ftw/2, el siguiente estado es impar con

n = I 1 1

' " I ni }

(30)

Las funciones hn(y) son polinomios de grado n en potencias pares oimpares de y según que n sea par o impar. Estos polinomios se lla-man polinomios de Hermite, y los primeros son,4

12 (31)hí(y)=2y h4 = 16y4 - 48y2

M v ) = 4 y 2 - 2 /z5 = 32y5- 160y3 + 120y.

Los primeros cuatro estados del oscilador armónico se muestran enla Figura 6. Como es usual, se nota que el número de nodos de lafunción de onda aumenta por uno al pasar de un nivel de energía alinmediato superior.

Una característica curiosa del oscilador armónico es su simetríacompleta respecto al espacio de configuración y al de momentos.Ya que el operador hamiltoniano es

H =,2 1

• + - m<i)2x2,2m 2

3 La normalización de las funciones de estado se discutirá en la Sección 4 y 5.4 Ver la Referencia (7) para una lista más extensa.

(32)


Figura 6. Estados de energía y funciones de onda para el oscilador armónico.

a ecuación de Schrodinger', en el espacio de momentos es idénticai la del espacio de configuración si m se sustituye por 1/mw2. En-;onces, es fácil comprobar que las funciones de estado en el espaciole momentos son,

=

VVwiCüftTT rt !/

(33)

!>a gráfica de estas funciones superpuesta sobre una gráfica de la¡nergía cinética p2/2m, tiene exactamente el mismo aspecto que la7igura 6.

El Método de Factorización. El segundo método, que se presen-:ará a continuación, es un método exclusivamente operacional para>btener los autoestados del oscilador armónico. Este procedimien-:o, introducido por Dirac, se llama el método de factorización.

Se introducen dos nuevos operadores que se definen en la siguientebrma. El primero llamado a, se expresa en la forma

a = Vma)/2fi x + i Vl/2mwft p, (34)

i el segundo se define como el adjunto del primero. Es el análogoleí complejo conjugado para operadores. De acuerdo con la ecua-:ión (V-13) se expresa como

i

at = V/n<o/2ft x — i Vl/Zmwft p, (35)

londe, como en el Capítulo V, se ha usado la daga para simbolizar elidjunto.

EL OSCILADOR ARMÓNICO 141

Para referencia futura, a y a t se expresan en términos de la varia-ble sin dimensiones y de la ecuación (30) como,

(36)

y análogamente, en el espacio de momentos por

(31)

escrito en términos de la variable q de la ecuación (33). Además, co-mo se puede verificar fácilmente,

«resultado obtenido al usar las ecuaciones (34) y (35) para expresar elmiembro izquierdo en términos de x y p y llevando a cabo la multi-plicación indicada. Reconociendo el término entre paréntesis comoel hamiltoniano y evaluando el conmutador se obtiene que,

J_ha)

^2' (38)

donde H es el operador hamiltoniano.3 En la misma forma se encuen-tra que,

-fíen (39)

Restando la ecuación (39) de la ecuación (38), se obtiene que a y a tsatisfacen la regla de conmutación

(a,flt) = l,mientras que sumando las dos ecuaciones resulta que,

2 „

(40)

(41)

5 El método lleva su nombre debido al hecho de que, excepto por una constante aditiva, elhamiltoniano ha sido factorizado en un producto de dos nuevos operadores a flt.


La ecuación de Schródinger puede entonces escribirse de tres ma-neras completamente equivalentes, las que corresponden a las ecua-ciones (38), (39) y (40):

íl«t — X • = T~Ê

+ ato) "ta=T~"2ET~"

(42a)

(42b)

(42c)

Como paso esencial para resolver la ecuación de Schródinger, sedemostrará que si se conoce fe para alguna E, a partir de ésta se pue-de construir sucesivamente un conjunto infinito de soluciones. Parahacerlo se opera sobre la ecuación (42a) por la izquierda con at, osea,

o bien

/ 1\ Eat ( aat — •= \ fe = j— atfe

/ 1( «ta-2

y sumando a cada miembro atfe se obtiene que

Comparando con la ecuación (42b) resulta que atfe también es solu-ción de la ecuación de Schródinger, pero con el autovalor de energíaE + ha), o sea que,

(43)

Donde C+ es una constante. Repitiendo este procedimiento, se pue-de generar a partir de un estado dado una cadena infinita de estadosigualmente espaciados con energías E + fto>, E + 2ftw, E + 3/ww, yasí sucesivamente. Ya que el operar con at aumenta la energía porun paso, at se llama el operador de ascenso o más comúnmente eloperador de creación.

También se puede demostrar que al dar fe se pueden construir su-cesivamente estados de energía menor. Para hacerlo, se opera con asobre la ecuación de Schródinger (42b) encontrándose

E-ha> (44)

EL OSCILADOR ARMÓNICO

por lo cual se puede escribir que,

«fe = C_fe_ft(U.

143

(45)

Por razones obvias el operador a se llama el operador de descenso, obien, operador de aniquilación.

La operación repetida con a extiende la cadena hacia abajo a partirde E en saltos de fita. Pero la energía de un oscilador armónico nun-ca puede ser negativa,6 por lo cual, la cadena termina, llamando E0 a laenergía del estado más bajo y fe al autoestado correspondiente.

Para E = E0 la ecuación (44) resulta

íaat "2) «fe =E0 — «fe.

Excepto si flfe se anula, esta ecuación establece que a fe es un auto-estado con autovalor E0 — h<a, en contradicción con el hecho de que£"0 es el estado más bajo. Por esto se concluye que fe es tal que,

«fe = O, (46)

y de la ecuación (42b) se concluye que E0 tiene el valor

E0 = ftw/2.

Suponiendo que se conoce fe, el resto de los estados del oscilador ar-mónico pueden construirse por aplicación sucesiva de a t sobre fe,incrementando la energía por saltos de fuá. Para el «-ésimo estado setiene que

. Cn e 4 - \ n / (Arl\

donde c» es una constante de normalización y, como antes, se tieneque

Para construir explícitamente fe en el espacio de configuración, sehace uso de la ecuación (36) y escribir la ecuación (46) en la formaforma

4 Esto es claro de la discusión de la Sección 1. Este resultado también se concluye del hechode que el hamiltoniano del oscilador armónico es positivo definido y asi debe de ser su valorde expectación para cualquier estado.

1 44 ESTADOS DE UNA PARTÍCULA EN UNA DIMENSIÓN

que se resuelve fácilmente para dar

de acuerdo con el resultado ya establecido. Usando otra vez la ecua-ción (36), la ecuación (47) resulta

dy(48)

Como se demostrará posteriormente, resulta que cn es la misma cons-tante de normalización de la ecuación (30). Comparando este resul-tado con aquella ecuación se encuentra que,

(49)

siendo una representación muy compacta y conveniente de los poli-nomios de Hermite. Más adelante se dará una representación aúnmás sencilla y conveniente.

Las ecuaciones (43) y (45) son muy útiles en muchas aplicaciones,pero es necesario calcular las constantes de proporcionalidad que apa-recen en estas relaciones. De la ecuación (48) se tiene que,

y usando la expresión explícita para cn dada por la ecuación (30),

Ahora se puede considerar el caso más difícil de actuar con el opera-dor de aniquilación a sobre i//n. Se obtendrá el resultado de dos for-mas diferentes para ilustrar cómo se hace uso de estos operadores.La primera manera es inmediata y parte de la ecuación (47), de lacual se obtiene, al operar sobre ella con a,

—co

De la relación de conmutación fundamental, ecuación (40), se obtie-ne que,

" = at"a + (52)

EL OSCILADOR ARMÓNICO 145

Ejercicio 3. Demostrar este resultado usando la relación de conmu-tación de la ecuación (40). (Hay que señalar que la demostracióntambién puede llevarse a cabo, trivialmente, con los métodos de lapróxima sección).

Como a aniquila a i/>0, el primer término no da contribución y seobtiene que,

-ct> C M - I

de donde, finalmente, usando la ecuación (30),

fl«K = Vi •/,„_,. (53)

El segundo método es menos directo. Se parte de la ecuación(42a) para el (n — l)-ésimo estado, o sea para £ = (« —\) ftw. Arreglan-do los términos,

Pero, de la ecuación (51)

attK,-, = Vñ </»„,

de donde se concluye el resultado inmediatamente.

Ejercicio 4. Verificar la relación de conmutación de la ecuación (40)al operar con el conmutador sobre tyn y usar las ecuaciones (5 1 ) y(53) para obtener el resultado.

Ahora, el lector podría estar tentado en considerar que las técnicasalgebraicas operacionales del método de factorización, son una formade evitar el método de solución, poco elegante, de las series de poten-cias. Hay que reconocer que este método establece una solución parael problema del oscilador armónico que es completa e independientede la representación. No sólo es completa sino que es mucho másconveniente que la representación en el espacio de configuración enla cual participan los polinomios de Hermite. Claramente las funcio-nes de estado son expresiones muy sencillas al escribirlas en términosde a y a t , y también lo son las variables dinámicas según las ecuacio-nes (34) y (35). Por esto, los valores de expectación pueden calcular-se fácilmente en el lenguaje de estos operadores. Como ejemplo, sediscutirá brevemente la normalización de las autofunciones del oscila-


dor armónico.Para n arbitraria,

Pasando at" del segundo factor al primero y usando la definición deadjunto se obtiene que,

c_(<íla\^n) = Co

De acuerdo con la ecuación (52) y debido a que <"/»»= O,

Análogamente, usando este resultado se encuentra que,

aWtyo = naar-1^ = n(n -

y repitiendo el proceso n veces,

de donde

= i* n\«-0

Por lo tanto, si i/»0 está normalizada también lo está <iin a condición

de que,\f i2

kj-JfJ-.de acuerdo con la ecuación (30).

Como segundo ejemplo se calculará el valor de expectación de laenergía cinética para el n-ésimo estado. Invirtiendo las ecuaciones(34) y (35) se obtiene que,

y por lo tanto,

= —— (tyn\az — aat — ata + at2!1

LA REPRESENTACIÓN DEL OPERADOR DE CREACIÓN 147

Al operar a2 sobre •/»„ se obtiene el estado i/»B-2 , anulándose el térmi-no correspondiente porque los estados forman un conjunto ortonor-mal. Análogamente, al operar at2 sobre ^n se obtiene ^B+2 y tampocohay contribución. Por lo tanto, los únicos términos que contribuyenson,

T

que es un medio del valor de expectación del hamiltoniano de acuer-do con la ecuación (42c). Entonces,

de acuerdo con la relación clásica entre la energía cinética promedioy la energía total de un oscilador.

Aunque no se reconozca como el hamiltoniano la combinaciónparticular de operadores expuesta anteriormente, se puede hacer elcálculo fácilmente usando las ecuaciones (51) y (53). Se tiene que

= Vñ at

y que,

= í/i

de donde se sigue el resultado inmediatamente.7

Estos ejemplos ilustran el tipo de manipulaciones que se deben dellevar a cabo con los operadores de creación y aniquilación para calcu-lar cantidades físicas de interés. En la próxima sección se desarrolla-rá una nueva representación cuya álgebra resultará trivial.

5. LA REPRESENTACIÓN DEL OPERADOR DE CREACIÓN

En la sección anterior se ha introducido una transformación de lasvariables dinámicas p y x a un nuevo conjunto de variables dinámicasa y a t que satisfacen la relación de conmutación (40). Se introduci-rá ahora una nueva representación, la representación del operador decreación, en la cual a t es un operador numérico y a es el operador7 El lector puede apreciar mejor la simplicidad sorprendente de este método de operadores siintentara obtener la ecuación (49), o bien, las ecuaciones (30) y (31) en la representacióndel espacio de configuración.

mlrlíí


de diferenciación en el espacio a t. " Naturalmente que a y a t sonvariables dinámicas clásicas muy especiales ya que son complejas yaunque surgen algunas complicaciones, éstas no resultan muy serias.

Para establecer la representación que se busca, primero se buscanlas autofunciones del operador de creación i/»at en el espacio de confi-guración. Usando la variable sin dimensiones y y la ecuación (36), sebuscan las soluciones de,

1V2V dy (54)

donde a t es un número complejo. Los estados </>at son estados paralos cuales el operador de creación tiene el valor numérico ai. Estosestados no son físicos porque ai no es un observable físico, pero sepueden usar para construir estados físicos. La solución de la ecua-ción (54) es,

J¡ t ( y ) ~ £¡/2/2-V2 «ílt

El estado i/>0t es una función divergente de y y claramente no es nor-malizable. Esta solución se puede multiplicar por un factor arbitra-rio, independiente de y, resultando que es conveniente hacerlo. Semultiplica por el factor eat2'2, por lo cual la solución a la ecuación(54) se escribe como,

•Aatíy) = exp [y2/2 - V2 yai + ai2¡2].

Entonces, el operador de aniquilación a toma su forma más simpleen el espacio at que es consistente con la relación de conmutación(40), y dada por

a =dar

(55)

que se demostrará en breve.'Una función de estado <Kx) se puede representar como superposi-

ción de autofunciones de ai, como anteriormente se representaronfunciones de estado como superposiciones de autofunciones del mo-mento o autofunciones de energía (estados estacionarios). Al haceresta superposición y ya que at es complejo, se tiene la libertad de

• La motivación para esta representación proviene de que el conmutador de at y a es el mis-mo que el de p y x excepto por el factor fiji. Que este factor sea imaginario tiene concecu-encias importantes que se verán más adelante. Sin embargo, este procedimiento es análogoal usado en las representaciones del espacio de momentos y del de configuración.9 Ver el Problema 10 del Capítulo V para una discusión del mismo problema respecto a larepresentación del operador de momento en el espacio de configuración.


usar la trayectoria de integración más conveniente en el plano com-plejo ai. Se escoge a lo largo del eje imaginario y se escribe,

= ^k= I /(at) exP l/ V ¿TT J—ia>l>2/2 ~ ^2 yai + aÍ2/2] dai . (56)

Para aclarar el significado de esta expresión, se introduce una nuevavariable real a al escribir,

ai = /<¡a,

por lo cual «/»(>) toma la forma

o bien,

v -. f(a) exp Íy2/2 ~ iVIya " a

i /•«12/2 = ' I [/(«) Í>~a2/2l f-ívíí/a da, (57)

que es una representación de la integral de Fourier de i/»(y efunción de /(a) e-"2'2. Esta relación puede invertirse para dar,

-"*12 en

/(a) e-"*12 = ~v 77" J —

dy (58)

e introduciendo ai .

/(at) =77= í «Ky) exp [-y/2 + V2yai - aÍ2/2] dy.v 7T J —oo

(59)

Debido a las propiedades conocidas de la integral de Fourier, estasexpresiones demuestran que las autofunciones de ai forman un con-junto completo.

El par de funciones ty(y) y/(at) son descripciones completamenteequivalentes de cualquier estado del oscilador armónico, la primeraen el espacio de configuración y la segunda en el espacio del operadorde creación. De acuerdo con las ecuaciones (56) y (59) cada una estádefinida si la otra lo está, y cada una de ellas contiene la misma infor-mación. Por esto, se puede hablar de /(a i ) como la representaciónen el espacio de creación de una función de estado. Pero la normali-zación en el espacio de configuración no lleva a la normalización enel espacio de creación, en el sentido usual, como se puede concluir delas ecuaciones (57) y (58) con la ayuda del teorema de convolución,ecuación (111-19). De hecho, no se puede asociar un significado di-recto a las integrales de normalización de la forma usual en el espaciode de creación. Esta característica, que es una consecuencia del ca-


rácter no físico de ese espacio, no causa dificultades si todas las cues-tiones sobre la normalización se pasan al espacio de configuración, yesto es lo que se hará.1"

Ahora se puede verificar que en el espacio de creación el operadorde aniquilación es el operador de diferenciación dado por la ecuación(55). Para hacerlo, se recuerda que de acuerdo con la ecuación (36)se tiene que,

Por lo tanto, diferenciando bajo el signo integral la ecuación (56) seobtiene que,

=—= / ( a t ) (V2>>-a t ) exp[//2-/'V27T J-¡*

/2 - V2yat + «t*/2]iv ¿TT J-i

Integrando por partes y debido a que el término integrado se anula,se obtiene que

exp

En otras palabras, se establece que si/(at) en el espacio de creación esequivalente a i/»(y) en el espacio de configuración, entonces, dflda'í esequivalente a aty. Es decir, la representación de a\!>(y) en el espaciode creación resulta ser d/(at)/dat. Análogamente se puede obtenerque la representación de g(a) $(y) en el espacio de creación esg(d/dai) /(at). Finalmente, se concluye que en el espacio de crea-ción, el operador a está representado por ¿/dat, como se quería de-mostrar.

Las autofunciones en el espacio at, se pueden construir trivialmen-te. De acuerdo a la ecuación (47), se pueden expresar en términosdel estado base *l>0 (y) por

£

Co

10 Las integrales de normalización se pueden definir introduciendo un segundo conjunto defunciones i(ia, las autofunciones del operador de aniquilación a. Se puede demostrar que•Aot y <íia forman lo que se llama conjunto de funciones biortogonales. Las propiedades ma-temáticas de los conjuntos bi-ortogonales son muy conocidas y solamente son un poco máscomplicadas que las propiedades familiares de los conjuntos ortonormales ordinarios.


donde cn son constantes de normalización y i¡i0(y) es tal que,

a«My) =0.Entonces, en el espacio at ,

donde /n(«t)es la representación de i/>n(» en el espacio creación ydonde /<> (at) es tal que,

a/o(at) = 0.

Debido a que a es el operador de diferenciación respecto a at, /0 esuna constante c0 y la función de estado del oscilador armónico en elespacio de creación correspondiente a la energía

EH= (n + \) ho>,

es el monomio

= c»at" (60)

que es mucho más simple que la gausiana multiplicada por los polino-mios de Hermite como se encontró en el espacio de configuración (ode momentos).

Usando la ecuación (56) se puede obtener una representación muyútil y elegante para las autofunciones del oscilador armónico. Estarepresentación es

<K(>0=:77== i'" flt" exp [y/2 - V2yat + at2/2] </at. (61)/ V 2.TT J —¿oo

Como primera demostración de la utilidad de estos resultados, sepuede calcular la constante de normalización cn y como ejercicio sepuede verificar que las i/»n son ortogonales entre sí. Según la discu-sión anterior, es necesario normalizar en el espacio de configuración,por lo cual se considera,

íJ

= £j£$l ¡lcol J

Recordando que at" operando sobre la primera función bajo el signode la conjugación compleja puede sustituirse por an operando sobrela segunda función, según la definición de adjunto, se obtiene que,

fJ

dy = C-f~f f ô*amat>o dy .lcol J


Expresando el factor amí/t"<//0 (y) de la integral en términos de surepresentación en el espacio de creación y usando las ecuaciones (55)y (61), se obtiene

í - V2 ;yat + at2/2]

que claramente se anula para m > n. Por otra parte, si w < n. seobtiene el mismo resultado procediendo a la inversa, o sea transfirien-do at que opera sobre la segunda función en el integrando, a operar so-bre la primera función como a. Se observa que el integrando se anulapara m = n y que las funciones n son ortogonales. Finalmente sim = n al efectuar las diferenciaciones

fl"at"^0(y) = -7= c0 f exp [y2/2 - V2 yat + at2/2]IV ¿TT J-¡»

y por lo tanto,

f *»**. ¿y = -N? /i ! f Wí«'.J |Co| J-o,

Entonces, si las funciones *//„ están normalizadas, se encuentra que,

como antes. Falta por determinar c0 para lo cual se necesita normali-zar en el espacio x,

/<Jr0*M«M*) dx=\.

Al recordar que x = Vft/ww y la condición de normalización toma laforma,

Tomando en cuenta la ecuación (48) con n = O, se tiene que,

^0=c0e-^,

Calculando la integral se encuentra que,

c0= (mw/ftvr)"4

y, finalmente,


que coincide con la ecuación (30).Como segundo ejemplo de la utilidad de la representación integral

(61), se puede construir la llamada función generadora de los polino-mios de Hermite hn(y). De la ecuación (30), se tiene que,

y de la ecuación (61) se obtiene la representación integral,

hn(y) = —£= r (V2 flt)" exp [y2 - V2 aty + at2/2] drf. (62)/V27T J-*»

Multiplicando esta expresión por su/n y sumando sobre n se obtieneque,

exp [y2- V2aty + at2/2]y íB = yÁ n- iV^n^Li n}

Intercambiando el orden de la suma y la integral, la suma puede lle-varse a cabo obteniéndose

at2/2]

Para calcular la integral, se sustituye at por z'a y después de completarel cuadrado en el exponente, se tiene que

2 " s" = =nfí n! /V27J-J-,

hn( iÁ «! V^^

y, finalmente, al calcular la integral gausiana,

g-f+20, = V M?) sn

n=0 n '

exp [-^[o - i V2(* - y)]2]

(63)

La cantidad a la izquierda se llama la función generadora de los poli-nomios de Hermite porque estos polinomios se generan como coefi-cientes en el desarrollo de la función en potencias de s, o sea,

Ejercicio 5. Para n = 0,1,2,3, verificar que hn(y), dada por la ecua-ción (31), se obtiene de la ecuación (62); de la ecuación (63); de laecuación (49).

¿ME


6. MOVIMIENTO DE UN PAQUETE DE ONDAS EN EL POTEN-CIAL DEL OSCILADOR ARMÓNICO

Ahora se va a considerar el movimiento de un paquete de ondasarbitrario moviéndose en el potencial del oscilador armónico. Paraobtener la solución general es necesario calcular el propagador de laecuación (V-61).

K(x', x; t - /„) = ifo*(*')«MJf) e-™'-™* ,

en términos del cualToo

=l -t0) dx' . (64)

En particular, para el oscilador armónico es necesario encontrar,

(65)n

donde, por brevedad, se ha introducido el tiempo transcurrido T de-finido como,

T = t - Í0 . (66)

Antes de pasar adelante, es necesario recalcar una propiedad sorpren-dente que, entre todos los sistemas cuánticos, solamente la posee eloscilador armónico. Debido a que los estados de energía están igual-mente espaciados, el movimiento de un paquete de ondas es periódi-co. Para \l> el período es el doble del período clásico y es exactamen-te el período clásico para |i//|2. Por esto, no importando las condi-ciones iniciales, los paquetes de onda no se desparraman indefinida-mente sino que aumentan y se reducen alternativamente. Este com-portamiento se ilustrará más adelante.

La expresión (65) para el propagador no es muy difícil de calcularen forma cerrada si se usa la representación del operador de creación.De la ecuación (61), en el espacio y, se tiene que,

K(y',y,T)=-

fi»

sín J-'<*da , (fltat')"

¡» n!

x exp [-V2(yat + y'at ' ) + («t2 + at '2) /2].

Identificando,

MOVIMIENTO DE UN PAQUETE DE ONDAS EN EL POTENCIALDEL OSCILADOR ARMÓNICO 155

y sumando sobre n se tiene que,

¿7T(fot /•-;=,I

J ¡oo

daY

Xexp[-V2(vat + v'at') + («t2 + «t'2)/2

(67)

Sustituyendo at por una nueva variable ia y at'por -z/3, resulta quelas integrales son del tipo gausiano. Usando los resultados del Apén-dice I y expresando y y y 'en términos de je y x ' , se obtiene que

K(x',x;r) = 2i sin exp - 2xx2 sin WT

'lJ '

(68)

que es el resultado deseado."En esta expresión, el factor multiplicativo (2z sen wi-)-"2 se inter-

preta como,

(2/ senwr)-"2 = e~™n (1 - e'*™)-1'* ,

para que K exhiba la periodicidad mencionada. Como era obvio, dela ecuación (65) se observa que,

(69)

(70)

que este resultado también se obtiene de la ecuación (65) se puedeconcluir directamente. Se tiene que,

Además, de la ecuación (65) también se obtiene que,

K ( X ' , X ; T + ( 2 > w 1 )

K(X',X;T + (2m+

exP [-'(« (2m+

a-¡(n+l/2)wT

11 El álgebra se puede verificar examinando la forma que toma el propagador para ¡a -» O, yaque en este límite el oscilador armónico se convierte en la partícula libre. Se obtiene

mK(X',X;T) = / exp [im(x - jc')2/

* / ¿TTlflT

de acuerdo con la ecuación (IV-13).


Recordando que *lin(x) es par para n par e impar para n impar,

se puede escribir

K(x',x;r + (2m+

de acuerdo con la ecuación (70).El significado de las ecuaciones (69) y (70) se puede entender de la

siguiente forma. Usando la ecuación (64), de la ecuación (69) se ob-tiene que,

, /o ) ,

mientras que de la ecuación (70) resulta que,

i¡>(x,t0 + (2/n+ DTT/W) = (-l)2m

(71)

(72)

Ahora, supóngase que i//(x, t0) describe una partícula centrada en x0 ymoviéndose con momento promedio p0. Un ejemplo de tal paquetede ondas es la expresión,

Mr, /„) = *"*"*/(*-*.),

donde / es real y alcanza su valor máximo cuando su argumento escero. Después de un intervalo de tiempo TT/CO, igual a un medio delperíodo clásico, la ecuación (72) resulta ser

ifr(jr, to + f(-x - x0) ,

o sea que el paquete de ondas está centrado en x = — jc0, no cambia suforma y se mueve con su momento promedio — p0 . Después de unperíodo 2 TT/W , la ecuación (71) muestra que,

C, ¡O f(X -

de modo que el paquete de ondas ha vuelto a su posición original, sincambiar de forma y con su momento promedio original p0 . Enton-ces, el movimiento continúa indefinidamente y bajo este punto devista el paquete de ondas se mueve exactamente como lo haría unapartícula clásica.12

Como ejemplo especial se puede considerar un paquete de ondasgausiano inicialmente centrado en el origen y con un momento linealpromedio p0,

"Estas conclusiones no dependen de la forma particular escogida para <¡i(x, /„); se aplican aun paquete de ondas arbitrario.

MOVIMIENTO DE UN. PAQUETE DE ONDAS EN EL POTENCIALDEL OSCILADOR ARMÓNICO

exp [-x-/2L2 + ipnxlfi].

157

Sustituyendo esta expresión en la ecuación (64) y calculando las inte-grales gausianas, se encuentra que,

[—[.v — (p0lm<a) sin (or]21L'z(T)], (73)

donde T= t — t0 y

L(T) = V¿2 eos2 a>r + (h/mwL)'2 sin2 wr. (74)

De acuerdo a las predicciones anteriores, la partícula oscila precisa-mente como lo haría una partícula clásica que partiera del origen conmomento inicial pu- La anchura del paquete de ondas L(r) tambiénoscila, pero con el doble de la frecuencia clásica w. Oscila entre susdos valores extremos, L en el origen y h/muL en el punto de vueltaclásico. Si la anchura inicial del paquete L es mayor que Vrhjma>, el pa-quete de ondas disminuye en tamaño al alejarse de su posición inicial.Naturalmente no existe violación al principio de incertidumbre yaque la anchura del paquete de ondas en el espacio de momentos siem-pre cambia de tal manera que el cambio de la anchura del paquete deondas en el espacio de configuración queda exactamente compensa-do. El paquete de ondas en este ejemplo siempre es gausiano y, porlo tanto, siempre es un paquete de ondas de incertidumbre mínima.

Quizás sea más sorprendente el hecho de que si el paquete gausia-no inicial es tal que,

L = Vñ/ma>

entonces, de acuerdo con la ecuación (74),

L ( r ) = L = V/i/ma>

es constante. En otras palabras, la forma de este paquete de ondas esindependiente del tiempo. Con esta selección de L, la forma del pa-quete de ondas coincide con la autofunción del estado base. Dehecho, si a una partícula en el estado base de un oscilador armónicose le puede comunicar un momento inicial p0, oscilará indefinida-mente con la amplitud y la frecuencia clásicas, y la forma de su fun-ción de estado permanecerá inalterable en el tiempo.

Ejercicio 6.(a) Obtener la ecuación (68) de la ecuación (67)(b) Derivar la ecuación (73)

i,.»™ i •MUÍ


7. ESTADOS CONTINUOS DE UN POZO DE POTENCIAL CUA-DRADO

Hasta aquí sólo se han considerado estados ligados, primero en unpozo cuadrado y después en un oscilador armónico. En el osciladorarmónico los estados ligados forman todo el espectro. Pero para elpozo de potencial cuadrado también existe un conjunto continuo deestados con energía positiva que se examinará a continuación.

Usando la misma notación que en la Sección 3 y con referencia ala Figura 2, se buscan soluciones de

E > O, (75)

donde,

V(x)-V0, -a< x < a

O , Ijcl >a.

El pozo de potencial cuadrado tiene estados ligados únicamente paraV0 > O (potenciales atractivos), pero existen estados continuos paraV0 < O (potenciales repulsivos), y se considerarán ambos casos.

No existe ninguna dificultad en construir las soluciones buscadas,pero sí existe una dificultad en interpretarlas. La naturaleza de estadificultad es la que se explica a continuación. Para |jc| > a, en las re-giones I y III de la Figura 2, la ecuación (75) toma la forma

2mEdx' fe = 0, (76)

y por lo tanto las soluciones son oscilatorias. Pueden expresarsecomo combinaciones lineales de las ondas de de Broglie exp[±iV2mE x/ñ]. Estas soluciones se extienden hasta infinito y no sonnormalizables, por lo cual, los estados estacionarios no son físicamen-te aceptables. Para obtener un estado físico verdadero es necesarioconstruir un paquete de ondas como superposición de estos estados.Como ejemplo se considerará un paquete de ondas centrado en algúnvalor negativo de x que sea grande y viajando hacia el potencial conmomento promedio p = V2mE. Este paquete de ondas viajará casicomo el paquete de ondas de una partícula libre hasta que llega a laregión del potencial. Como resultado de la interacción con el poten-cial, una fracción del paquete de ondas se transmitirá a través de lasparedes del potencial y otra fracción se reflejará. En otras palabras,una partícula que incide sobre un potencial unas veces se transmite y

ESTADOS CONTINUOS EN UN POZO DE POTENCIAL CUADRADO 159

otras se refleja.13 En la región III, x < —a, aparecerá un paquete deondas viajando hacia la izquierda además del paquete de ondas queviaja hacia la derecha. Pero, en la región I, x > a, únicamente se en-cuentra un paquete de ondas viajando hacia la derecha.

Si se supone que la anchura del paquete de ondas inicial crece, co-mo consecuencia, su anchura en el espacio de momentos y la exten-sión en energía se reducen. De hecho, si la anchura del paquete deondas crece lo suficiente, la incertidumbre en la energía resulta infi-nitesimal. Además, el tiempo requerido para que el paquete de ondasincidente complete su interacción con el potencial resulta cada vezmayor. Entonces, en el límite de un paquete de ondas muy ancho, ladescripción se reduce al de un estado estacionario, para el cual coex-isten al mismo tiempo las ondas incidente, reflejada y transmitida.En el ejemplo discutido, se tiene que,

Región I I I , x < a: feW =/l

Región I, x > a : fe = C

+ B e~i

(77)

donde A, B y C son las amplitudes de las ondas incidente, reflejada ytransmitida respectivamente. Al escribir,

R=\B¡A\* (78)

el coeficiente de reflexión R es la probabilidad de que la partícula in-cidente se refleje, y el coeficiente de transmisión T es la probabilidadde que la partícula se transmita.14

El cálculo de la función de onda del estado estacionario es un cálculotedioso que se efectúa como sigue. En la región II, -a < x < a, que esla región en la cual el potencial es distinto de cero, la ecuación deSchródinger (75) resulta ser,

t/2fe 2m~dx*~ T2 (E+K 0 ) fe =

y, por lo tanto, la solución general en esta región es,

fe = ¿>, exp [/V2m(£+ K0) x/ñ] + b2 exp [-/V2/n(E + V0) x¡h]. (79)

13 Ver la Sección 10, en particular las Figuras 8-13, para la descripción de la solución numéri-ca del problema d? un paquete de ondas incidiendo sobre un pozo de potencial cuadrado.

14 Un conjunto de paquetes de ondas incidentes es equivalente a un haz de partículas inciden-tes. Por esto, el siguiente lenguaje se usa para describir el estado caracterizado por la ecua-ción (77): un haz de intensidad relativa o flujo \A\'¡ incide sobre un potencial. El haz refleja-do es de intensidad |fl|2 = R\A\2 y el haz transmitido es de intensidad |C|2 = T]A\*.


Como en el problema del estado ligado, fa y su pendiente son conti-nuos e n j c = a y e n ^ c = — a. Entonces, para x = a se obtiene que,

C eiktt = b¡ eÍKa + b.2 e~ÍK"

ikC eíka = iK(b, eiKa - b2 e~iKa) (80)

y para x = -a,

A e~lka + B elka = b, e~iKa + b,¿ eÍKa

ik(A e~ika - B eika) = iK(b, e~'lKa - b2 e+ÍKa),

en donde se han introducido los dos números de onda

(81)

k =

V2m(£+K 0 ) .~ h

(82)

De la ecuación (80), bt y b2 se pueden expresar en términos de Ccomo,

y la ecuación (81) resulta ser

A e'ika + B eika = \¡:( 1 + ~] eitk-2l0a + \( \ - -|) ei(k+'2KW \| _2 \ K I ¿ \ A / J

k(A e'íka - B eíka =K\±l I + • ? - . ] eiík-2K>a - ¿M - -£ I e™™» \ C.

Llamando r = C/A a la amplitud del coeficiente de transmisión, seobtiene que

_ C _ 2e-!ka

_JL_A2K 2k

eos 2 Ka - ~ (^ + -r } sen 2 Ka¿ V A . K

y finalmente,,,-2iV2mr a/fl (83)

eos ( 2V2m(£+ !/„) o/ft ) - - í sen (2V2/w(£+ K0) a/¡

ESTADOS CONTINUOS EN UN POZO DE POTENCIAL CUADRADO 161

Llamando p =B/A a la amplitud del coeficiente de reflexión, despuésde cierta álgebra se obtiene que,

_ ,,-2tV2mE fl/ft £+ KQsen (2V2m(E+ K0) a¡h

P = '

eos (2V2m(£+ ^0) a /A) - ¡-E 4, r/

' ' O° ) sen (2V2m(£-

(84)

Considerando primero el caso de potenciales atractivos, K0 > O , re-sulta que,

= i i»= [^»2/4£(£+ô K0) q/[V0

¿/4E(E+ K0)]sen2 (2V2w(E+ V 0 ) ei/h)(85)

11 + [K0

2/4£(£+ í/oJJsen2 (2V2m(£+ K0) a//l)

en donde se ha usado el resultado de que,

, (86)

=4E(E +

para simplificar las expresiones de los coeficientes de transmisión yreflexión. Como se puede comprobar

T= 1. (87)

de acuerdo a la interpretación dada. También, si T = 1 y R = O, seobtienen resonancias cuando,

2V2m(E+ yH) ci/ñ = mr.

El momento lineal de la partícula en el interior del potencial es,

p= V2m(E+ VH).

Entonces, las resonancias tienen lugar cuando la anchura 2a del po-tencial es un múltiplo semientero de la longitud de onda de de Bro-glie h/p en el interior del potencial, resultado que se estableció intui-tivamente en el Capítulo I.

De las ecuaciones (85) y (86) se puede concluir que cuando E essuficientemente grande comparado con Vü, el coeficiente de refle-xión tiendfe a cero y el de transmisión tiende a uno, resultado que seespera en el límite clásico. La aproximación a este límite es sorpren-dentemente lenta. Si E es de igual magnitud que V0, la probabilidadde que una partícula incidente sea reflejada puede sobrepasar 10 por


ciento. Sin embargo, hay que mencionar que para potenciales másrealistas que el pozo cuadrado con sus discontinuidades poco físicas,la tendencia al resultado clásico es mucho más rápida.

£--

v = v

V = O

Figura 7. Efecto túnel o penetración de una barrera.

Ahora se puede considerar el caso más interesante de potencialesrepulsivos Vü < O . Si E +K0 > O, los resultados anteriores dados porlas ecuaciones (85) y (86) siguen siendo válidos. Pero siE + V0 < O,escribiendo F0 = — V, donde V representa la altura de la barrera de po-tencial, el caso bajo consideración es para E < Fcomo se ilustra en laFigura 7. De las ecuaciones (83) y (84) se encuentra que,

R=\ i,= [F2/4£(K-£)]senh2 (2V2m(V-E) a/ft)ÍP| 1 + [V'2I4E(V- £)]senh2 (2\f2m(V- E) a¡h)

(88)

11 + [K2/4E(F-E)]senh2 (89)

y, naturalmente, la ecuación (87) sigue cumpliéndose. Aquí se tieneun ejemplo del efecto túnel discutido en el Capítulo I. Existe unaprobabilidad finita de que la partícula se transmita a través de la re-gión prohibida clásicamente, es decir, donde la energía cinética es ne-gativa. Hay que hacer notar que si la barrera es lo suficientementeancha o la energía cinética muy negativa, se tiene

2V2m(K-E) a/h > 1.

Entonces, como buena aproximación

senh (2V2m(K-E) a/h) exp [2V2w(K-E) a/ft] .

En este caso el coeficiente de transmisión es la cantidad pequeña

i , ,r»»,,i i

ESTADOS DEL CONTINUO; EL FLUJO DE PROBABILIDAD

exp [-

163

(90)

de modo que la desviación del resultado clásico resulta despreciable.Dicho de otra manera, solamente si la barrera de potencial es muy es-trecha y la energía potencial apenas negativa, el efecto túnel a travésde la barrera resultará significativo.

Hay que añadir una observación final. Se ha obtenido una solu-ción de la ecuación de Schródinger que corresponde "a una partículaque incide sobre el potencial desde la izquierda. Se podría haber he-cho exactamente lo mismo si la partícula hubiera incidido por la de-recha. Esta libertad es el resultado de que existen dos soluciones li-nealmente independientes para la ecuación de Schródinger de segun-do orden de acuerdo con la predicción anterior de que existe una de-generación doble para los estados del continuo que se acaban de dis-cutir.

8. ESTADOS DEL CONTINUO; EL FLUJO DE PROBABILIDAD

Los potenciales más importantes a nivel microscópico describen lainteracción entre partículas y tienen la propiedad de

Es de interés discutir los estados en el continuo para tales potencia-les. Por simplicidad, la discusión se restringirá al caso en que V(x)tiende a cero más rápidamente que x~l cuando \x\ tiende a infinito.15

Bajo estas circunstancias no es difícil darse cuenta de que, para \x\suficientemente grande, la función de estado se puede expresar comocombinación lineal de las ondas de de Broglie exp [±A/2m£ x/h], co-mo en el caso del pozo cuadrado. Además, se puede tomar sin altera-ciones la interpretación que se ha dado de las soluciones y se puedeescribir

x -> -o = A p e~ r / f t ) (91)

", (92)

donde se han introducido explícitamente los coeficientes p y r. Elconocimiento exacto de la forma de p y de T depende de las caracte-15 El caso en que V(x) decae exactamente como l/jc es de mucha importancia, pero requiereun tratamiento especial que por ahora está fuera del presente objetivo.

UNA PARTÍCULA EN UNA DIMENSIÓN

fíttfcll dtí pOtendll, pero R = IH2 representa la probabilidad de queuní partícula se refleje cuando llega al potencial desde infinito yT m |T|" representa la probabilidad de que se transmita. Si esta in-terpretación es correcta también se exige que se cumpla la ecuación(87), R + T — 1, sin tener en cuenta la forma del potencial. A conti-nuación se comprobará que éste es el caso. Para hacerlo, es necesariovolver a la descripción de paquetes de onda, de la cual las solucionesestacionarias son el caso límite. Se designa t// (x, t) a la función deestado y se considera la probabilidad de encontrar a la partícula enuna región fija del espacio pero arbitraria entre x = x, y x = x.2a untiempo t, escogiendo x¡ < x-2. Esta probabilidad es,

P(xí,x.2; t)= \ i|J x\

dx (93)

y, como se indica, es una función del tiempo. Específicamente, amedida que el paquete de ondas recorre la región del espacio bajoconsideración, se espera queP(x,, x.2; Acrezca desde un valor inicialdespreciable hasta un valor cercano a la unidad y posteriormente de-crecer prácticamente hasta cero. Se tiene

3 P ( x l , x 2 ; t )dt

- r~L dt

o bien, ya que i/» es una solución de la ecuación de Schródinger

se obtiene que,

d~t

= ñ+

= A f J 2

~ 2m J.,d2\¡j

Jh_2m

dx-

, a«í»

dx

dx.dx ^ dx

Siendo el miembro derecho una diferencial exacta se obtiene,

dp(xl,x.2-n= ( 0 . ( }dí j\ (94)

donde

ESTADOS DEL CONTINUO; EL FLUJO DE PROBABILIDAD 165

dx(95)

La interpretación de este resultado es la siguiente. El cambio porunidad de tiempo de la probabilidad de encontrar a la partícula en elintervalo entre x, y x2, d P / d t , es la diferencia entre la probabilidadpor unidad de tiempo de que la partícula entre en Xi, i(xt,t), y emerjaen xz, 7'(x2, t). Por lo tanto, / (x, t) tiene el significado de un flujo deprobabilidad o corriente, dirigido hacia x positivas.16

La ecuación (94) establece la conservación de la probabilidad, apli-cada a una región finita más que a todo el espacio. La aplicación par-ticular que se intenta se refiere a un estado estacionario como límitede un paquete de ondas. En este límite, se tiene que

y, por lo tanto, se concluye de la definición (93) que P(x,,x-2; t) esindependiente del tiempo. Entonces, el miembro izquierdo de laecuación (94) se anula y se concluye que, para x¡ y x.2 arbitrarias,/(Xi) = /(x2) por lo cual/(x) es una constante, /<>. Para \x\ -> », i//£(x)viene dada por (91) o (92) y se verifica fácilmente que,

x-+-<»,jo=\A\*v(i-\p\*) = MIMí- /? ), 70= M I 2 v M 2 = \A\2vT

donde v = V2/nf//i es la velocidad clásica de la partícula. Ya que és-tas tienen que ser iguales se concluye que R+T—l.

La forma de j0 en cada región es la esperada, como lo demuestra elsiguiente argumento. Para la región donde x — » w ^f está dada por(92) y

donde p(x) es la densidad de probabilidad. Entonces, el flujo de pro-babilidad / es pv, como en hidrodinámica. Análogamente, parax -* — oo . El flujo de probabilidad resultante es la diferencia entre elflujo hacia la derecha \A \2¡v y el flujo independiente hacia la izquierda\A\*vR.

16 Es útil comparar este resultado y su interpretación con el de la conservación de la carga.Sea Q(x¡ , x.¿ ; / ) la carga neta entre los puntos x, y x., de un alambre muy largo y sea I(x, t) lacorriente eléctrica que fluye por el alambre calculada en x, tomando la dirección del flujohacia las x positivas. Entonces, en un intervalo de tiempo 8 1 , la carga neta que entra al alam-bre en x.\ es I(x, , t ) 8 1, y el que sale por x.2 es I(x-¿, t) St. Por lo tanto, el incremento neto enla carga, 8(3, is [ l ( x , , t ) — / ( . v 2 , / ) ] St, o sea

que tiene la misma forma que la ecuación (94) y afirma la interpretación de / como una co-rriente (probabilidad).


Se observa que los términos de interferencia entre las ondas inciden-tes y reflejadas se han cancelado completamente (¿por qué?).

9. PASO DE UN PAQUETE DE ONDAS A TRAVÉS DE UN PO-TENCIAL

Hasta aquí se han considerado las soluciones estacionarias no físi-cas como el límite de paquetes de ondas muy anchos. Los argumen-tos de este proceso límite fueron cruciales en la interpretación de lassoluciones, pero son irrelevantes respecto a las propiedades matemáti-cas de las soluciones. Independientemente de esta interpretación setiene la libertad de considerar los estados estacionarios como estadosidealizados a partir de los cuales se pueden construir, por superposi-ción, estados físicos. La forma de hacerlo se exhibe a continuación.Ya que fe forma un conjunto completo, una solución de la ecuaciónde Schródinger dependiente del tiempo se puede escribir como,

*, O = / e-iE"*f(E) dE, (96)

donde la integral se extiende a los estados del continuo y también de-be de incluir a los estados discretos, si es que existen. El paquete deondas que se quiere construir está centrado en x grande y negativa at=0, por ejemplo en x= —x0,y se mueve hacia la derecha con momen-to promedio Po = V2m£0 • Para je grande y negativa, fe está dadopor la ecuación (91). Absorbiendo la amplitud arbitraria yl en/(£),cuando x —» — oo se tiene que,

r/ft + p(E) É.

= g(E - E0)

i//(jc, /) =

Si se escoge f(E) como,

(98)

donde g es máximo en E = £„, se habrá construido el paquete de on-das deseado ya que estas expresiones se reconocen como equivalen-tes a las representaciones en el espacio de momentos de un paquetede ondas. El primer término en la ecuación (97) representa el paque-te de ondas inicial, partiendo de x= —x0 y moviéndose hacia la dere-cha. El segundo término inicialmente es despreciable, pero despuésde transcurrir el tiempo necesario para que el paquete se refleje, osea, después de un tiempo del orden de (*0 + *i) m/Po , se obtieneun paquete de ondas reflejado en x = xv. Esto se puede verificar di-rectamente, pero está garantizado por el principio de corresponden-cia y se demostrará cómo usarlo para el paquete de ondas transmiti-

^1PASO DE UN PAQUETE DE ONDAS A TRAVÉS DE UN POTENCIAL 1 67

do. En primer lugar se observa que al despreciar el segundo términode la ecuación (97), se tiene que,

o bien que,

, 0) = / g(E - E0) ¿E

donde h(x + x0) es la envolvente del paquete inicial, centrado enx = —x0. Puede simplificarse de la forma siguiente. Ya que g (E— £„)tiene su máximo principal E =£„ , se introduce una variable nueva r¡ ,escribiendo

E = E o + 17 .y al desarrollar en serie de Taylor se obtiene que,

VlmE =

~ Po + —Po

+

Entonces, al despreciar el término de orden superior se obtiene que,

h(x + x0) - / #(17) exp [/(W/PO)T) (x + x0)lñ] di). (99)

Para obtener el paquete de ondas transmitido cuando x —»+oo, seusa la ecuación (92), obteniendo que,

fy(x, t) = //(£)T(£) exp \i\J2mEx\h — iEt/h] dE

= exp [/ [p0(x + x0) -*- E0t]/h] S g(i?M£0 + 17)

X exp [i[mlpo (x + *0) - í] rj/ft] dr¡.

Recordando que \r\2 —T, se escribe que,

T(£O + rj) = V7(£0 + T,) eME^\

y se supone que T(E) es una función de E que varía lentamente, peroque 8 (E) no varía necesariamente de esta manera. En otras palabras,se hace la suposición de que la magnitud del coeficiente de transmi-sión no cambia mucho cuando E varía poco, pero su fase cambia sig-nificativamente. Con esta superposición,

T(£O + T)) = V7(£0) exp [/S(£0) + /TJ dS/dEo] = T(£O) e

, t) = T(£O) exp [i[p0(x + x0) - £„/]/*]/ g ( n )

X exp [i[mlp0(x + xa) —t + hd8ldE0]r)/h] drj.


Al comparar con la ecuación (99) se encuentra que, para x — > +00,

T(£O) - f ( t - f i d8/dE0)

X exp [i[p0(x + x0) - E0t]/h] . (100)

Con esta aproximación, el paquete transmitido no se distorsionapero su amplitud se reduce en T(£O) , el coeficiente de transmisión.El paquete aparece en la posición x al tiempo t dado por,

m i= — (xPo

El primer término se reconoce como el tiempo empleado por unapartícula libre de momento p0 para viajar de -x0 a x. El segundo tér-mino es el incremento en el tiempo introducido por las fuerzas queactúan sobre la partícula durante su paso a través del potencial. Lla-mando a este incremento A/ se tiene que,

—I- (101)

Convendría recalcar que estos últimos resultados únicamente sonaproximados en la naturaleza. Para obtener las ecuaciones (100) y(101) se han hecho dos suposiciones muy diferentes. La primera serefiere a que en los desarrollos de Taylor en torno a E0 los términoscuadráticos en 17 y de origen superior se han despreciado. Estos tér-minos provocan que el paquete de ondas se desparrame análogamenteal paquete de ondas de una partícula libre. La discusión del CapítuloIV muestra que el aumento en la anchura es despreciable si el paque-te de ondas es suficientemente ancho. La segunda suposición se re-fiere a que la magnitud del coeficiente de transmisión r no cambiasignificativamente sobre la anchura en energía del paquete de ondas.Los términos que se desprecian en este caso, conducen a una distor-sión del paquete de ondas, pero es despreciable si los paquetes de on-das son suficientemente anchos. Aunque los paquetes de onda sedesparramen algo y sufran alguna distorsión, las características cuali-tativas de los resultados no resultan muy afectadas. Un paquete deondas transmitido sí aparecerá y su retraso en el tiempo estará expre-sado por la dependencia de 8 de la energía. Estas características for-man el contenido esencial de las ecuaciones (100) y (101).

.rtMÉIÉM.!

SOLUCIÓN NUMÉRICA DE LA ECUACIÓN DE SCHR6DINGER

10. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE LA ECUACIÓN DESCHRODEVGER

169

Hasta aquí, todo el esfuerzo ha estado dirigido a encontrar solucio-nes de la ecuación de Schródinger por métodos analíticos. Pero, co-mo actualmente se dispone de computadoras modernas y rápidas, seha vuelto relativamente fácil y rutinario obtener estas soluciones nu-méricamente. Las ecuaciones diferenciales ordinarias que definen losestados estacionarios, pueden integrarse numéricamente en cuestiónde segundos o fracciones de segundos, para los estados ligados y losestados continuos, y también para funciones potenciales complica-das. Sin embargo, la ecuación diferencial parcial de Schródinger de-pendiente del tiempo, es bastante más complicada y su solución, aun-que posible, resulta ser un esfuerzo significativo aún para las compu-tadoras más rápidad y mayores. Como resultado, la dependencia enel tiempo del movimiento de paquetes de onda todavía no se ha estu-diado extensamente por métodos numéricos y el conocimiento de losdetalles de su comportamiento es semicuantitativo. La discusión dela última sección es típica a este respecto.

Esta situación ha mejorado mucho últimamente debido a la cons-trucción de soluciones numéricas exactas para un paquete de ondasgausiano que incide sobre un pozo de potencial cuadrado.17 Los re-sultados se muestran para diferentes circunstancias de la Figura 8 ala 13.18 En las figuras 8, 9 y 10, un paquete de ondas incide sobreun potencial atractivo con profundidad y anchura fijas, cuyo com-portamiento se estudia variando la energía promedio del paquete deondas. Las figuras se explican por sí solas, consistiendo de una se-cuencia de instantáneas que muestran el paquete aproximándose alpozo, interaccionando con él y generando paquetes reflejados ytransmitidos. En la Figura 8 la energía promedio del paquete es lamitad de la profundidad del potencial atractivo; en la Figura 9 estaenergía es igual a la profundidad del pozo y en la Figura 10 es el do-ble de la profundidad del pozo. De acuerdo con lo esperado, el pa-quete reflejado decrece rápidamente en magnitud al crecer la energía

17 A. Goldberg, H.M. Schey y J. L. Schwartz, "Computer-Generated Motion Pictures of One-Dimensional. Quantum Mechanical Transmissión and Reflection Phenomena", AmericanJournal ofPhysics, 35, 177(1967).

*18 En estas figuras, la envolvente de los paquetes de ondas está dibujada en una escala arbitra-ria para la densidad de probabilidad, mientras que el potencial está dibujado en una escalaindependiente de la energía. La altura del paquete respecto a la magnitud del potencial notiene ningún significado. El pozo podría dibujarse un décimo más corto o diez veces mallargo, sin afectar el comportamiento exhibido del paquete de ondas.


y para la energía más alta se alcanza el límite clásico de reflexión.Las Figuras 11, 12 y 13 muestran el comportamiento de los pa-

quetes para el mismo conjunto de energías, pero incidiendo sobre un

0

A u280

u

200

Au360

u

240

A

440

520 640 680

VAJ V

U UFigura 8. Paquete de ondas gausiano dispersado por un pozo cuadrado. La ener-gía promedio es la mitad de la profundidad del pozo. Los números representanel tiempo de cada configuración en unidades arbitrarias.

"™'"""'''fHÍ»|| ^ ^ B

SOLUCIÓN NUMÉRICA DE LA ECUACIÓN DE SCHR5DINGER 171

potencial repulsivo o barrera. En estos casos, se pasa de una refle-xión casi total para energías bajas a una transmisión casi total a ener-gías altas, de acuerdo con el comportamiento clásico. El caso deenergías intermedias, en el cual se forman paquetes transmitidos y re-flejados, es interesante porque inesperadamente queda atrapado den-

0

A/ \/ \

, V

U400

i '¡! (

J V •

^T~700

A/

^é V

[¡

300

A/ \

J V

500

ílu/

f

U

\•i \

~TT~800

1

r

vJ

350

f\

/ \j v~Tr~

600

^ \J" V

^T~950

UFigura 9. Paquete de ondas gausiano dispersado por un pozo cuadrado. La ener-gía promedio es igual a la profundidad del pozo. Los números representan eltiempo de cada configuración en unidades arbitrarias.


tro del potencial una parte de los paquetes de ondas, como lo mues-tra la Figura 12(b).

Estos resultados exactos demuestran clara y explícitamente lasafirmaciones anteriores respecto al comportamiento cualitativo depaquetes de ondas. Claramente es visible la formación de los paque-tes reflejados y transmitidos, y que el paquete de ondas se desparra-

0

U

480 560

720 880 960

1040 1200 1520

AFigura 10. Paquete de ondas gausiano dispersado por un pozo cuadrado. Laenergía promedio es dos veces la profundidad del pozo. Los números represen-tan el tiempo de cada configuración en unidades arbitrarias.

SOLUCIÓN NUMÉRICA DE LA ECUACIÓN DE SCHRoDINGER 173

ma gradualmente al transcurrir el tiempo. Como se esperaba, este úl-timo hecho es menos notorio para paquetes con energía alta que parapaquetes con energía baja (¿por qué?). Sin embargo, los paquetes su-fren un distorsión despreciable, por lo menos visualmente. Esto esbastante sorprendente al considerar la estructura fácilmente visible ymuy complicada que se genera durante el período de interacción

O 200 240

280 320 440

480 560 800

Figura 11. Paquete de ondas gausiano dispersado por una barrera cuadrada. Laenergía promedio es la mitad de la altura de la barrera. Los números representanel tiempo de cada configuración en unidades arbitrarias.

174 , tÍÍIHiillPPMHIIttU EN UNA DIMENSIÓN

entre el ptqitt^ <^<%l)fOtendal. El incremento en tiempo asociadocon el plMldll paquete I través del potencial, aunque está presente, esdemasiado pequeflo para que aparezca en la escala de tiempo de lasfiguras.

Este capítulo se puede concluir con algunas observaciones sobrelos métodos más usados para integrar numéricamente ecuaciones di-ferenciales, tales como la de Schrodinger.19 En primer lugar se con-siderarán estados estacionarios, para los cuales se quiere resolver laecuación de Schrodinger independiente del tiempo, que se escribe enla forma

¿+/(*)!/» = O (102)

donde el punto sobre un símbolo significa diferenciación respecto ax y donde,

/(je) =~ (E- V). (103)

Se supone que /Ce) es una función conocida.Una solución numérica de la ecuación (102) significa el conjunto

de valores de i|» y i|» con exactitud prevista y dados en un conjuntodiscreto de puntos xn, llamados puntos reticulares o puntos de la ma-lla.20 Estos puntos se toman equidistantes entre ellos, con espaciado e,escribiendo

« = 0,±1,±2,. (104)

Como se busca la solución de una ecuación diferencial de segundo or-den, es necesario fijar dos constantes de integración para especificarla solución, tomándolas como los valores de «/> y i¿) en algún punto fijoque se escogerá por conveniencia el origen. El problema puede esta-blecerse en la forma siguiente: dadas <|» (0) y \¡i (0), construir !//(*„) y«¿ (xn) en los puntos reticulares que sean de interés.21 Este proble-

19 Para una discusión general, ver la referencia [7] Capítulo 13 y la referencia [9], Capítulo10. Para la aplicación a la ecuación de Schrodinger en el caso de estados ligados, ver R. S.Casvell. "Improved Fortran Program for Single Particle Energy Levéis and Wavefunctions inNuclear Structure Calculations". National Bureau of Standards Technical Note 410, Super-intenden of Documents, U. S. Coverment Printíng Office (1966). Para estados continuos verM. A. Melkanoff, J. S. Nodvik, D. Cantor and D. S. Saxon, A Fortran Program for ElasticScattering Analyses with the Nuclear Óptica! Model. University of California Press (1961),especialmente ver pp. 24-29, y M. A. Melkanoff, T. Sawada y J. Raynal, "Nuclear OpticalModel Calculations", en Methods of Computational Physics, Vol. 6, Academic Press (1966).Este último hace una relación bastante completa y al día.

"° Solamente i|i y i¿ necesitan considerarse porque todas las demás derivadas superiores se ex-presan en términos de estas dos usando la ecuación (102).

" Si la normalización de la función de estado es arbitraria, solamente la razón de i¿i(0) a i/<(0)necesita especificarse.

SOLUCIÓN NUMÉRICA DE LA ECUACIÓN DE SCHRODINGER 1 75

ma se puede resolver construyendo un par de ecuaciones de diferen-cias para estas cantidades.

Se considera la expresión

o 300

A

400

O

600 650 700

800 1050 1450

\

Figura 12(a) • Paquete de ondas gausiano dispersado por una barrera cuadrada.La energía promedio es igual a la altura de la barrera. Los números representanel tiempo de cada configuración en unidades arbitrarias. Notar el efecto de reso-nancia, para el cual una parte de la distribución de probabilidad permanece du-rante un tiempo largo en la región del potencial.

• i,,i¡


y se desarrolla en serie de Taylor el miembro derecho, obteniéndose

,) = •/,(*„) + €<M*n) + *(*») + 0(e3),

1600

A

2100 ,—,

A

2450

Figura 12(b) Detalles del decaimiento del estado resonante que se ve en la Figu-ra 12(a).

y usando la ecuación (102) se tiene que,

*(*„) + 0(e3) . (105)

Esta ecuación permite calcular <Kx«+i) si son conocidas <Kxn)y «K*»)-Se necesita una ecuación análoga para t/»(xn+i). Se obtiene fácilmentede la identidad,

= *(*„)- /(*)*(*)</*,

de donde

i-€/ (*„)• / / (*„)+0(e 2 ) . (106)Esto completa el formalismo, porque al dar «/» (0) y ^ (0), se usan(105) y (106) para calcular i / r ( e ) y « / » ( e ) . El resultado permite calcu-lar i/> ( 2e ) y i/» ( 2e ), recorriendo de esta manera el conjunto de pun-

SOLUCION NUMÉRICA DE LA ECUACIÓN DE SCHR6DINGER 177

tos reticulares. Evidentemente el error mínimo en i/» es de orden €3 yen «¿ de orden de e2.

Este esquema es lo bastante simple para que la idea básica quedeclara, pero es demasiado crudo para ser útil. El método generalmen-te usado, llamado de Runge-Kutta, usa la regla de Simpson para la in-

Figura 13. Paquete de ondas gausiano dispersado por una barrera cuadrada. Laenergía promedio es dos veces la altura de la barrera. Los números representanel tiempo de cada configuración en unidades arbitrarias.


tegración numérica que lleve a las ecuaciones (105) y (106).22 Lasexpresiones que resultan son demadiado complicadas como para es-cribirlas, pero son apropiadas para el cálculo de máquina y permitenel uso de valores mucho mayores que las expresiones dadas anterior-mente para e.

La construcción de soluciones numéricas para estados ligados y es-tados continuos, siguen procedimientos diferentes y se tratan a con-tinuación.

Estados Ligados.23 En este caso, los autovalores desconocidos quese tienen que determinar son los valores discretos de la energía. Seprocede en la siguiente forma. Se suponen autovalores de la energíaen orden creciente En, para n = O, 1, 2, 3,... La solución matemáticade la ecuación de Schródinger tiene la propiedad de que si E < E0,$ no tiene nodos; si £0 < E < E,, i/> tiene un nodo, y así sucesiva-mente. Entonces, los autovalores surgen por la aparición (desapari-ción) de un nodo para valores infinitos de x, que a su vez están seña-lados por el cambio de signo de la forma en que <// diverge cuando Epasa por un autovalor. Por lo tanto, sencillamente se supone un valorde E y se integra numéricamente desde el origen hasta que la soluciónempieza a diverger. Un incremento en E incrementa la curvatura de <//y tiende a aumentar el número de nodos, e inversamente para un de-cremento en E. Por ajustes apropiados en los valores que se han su-puesto para la energía se pueden determinar los autovalores. Estecomportamiento se ilustra en la Figura 14 para el estado base de unpotencial simétrico. En la figura, las soluciones numéricas se mues-tran esquemáticamente para varios valores de E. De la figura está cla-ro que la verdadera energía del estado base se encuentra entre Eb yEc, y está limitada por estos dos valores.

Estados Continuos.24 En este caso se buscan soluciones para algúnvalor dado de E en el continuo. Estas soluciones se obtienen por in-tegración a partir del origen y uniendo suavemente la solución numé-rica al comportamiento asintótico hacia una onda pura de de Brogliede las funciones de estado definidas por las ecuaciones (91) y (92).El análisis se complica considerablemente por el hecho de que lafunción de estado es compleja y no real.

Finalmente, se pueden hacer algunas observaciones sobre la solu-ción de la ecuación dependiente del tiempo.25 Es necesario introdu-

" La ecuación (105) es equivalente a una regla trapezoidal de integración.23 Caswell, op. cit.

" Melkanoff, et al, op. cit.25 Goldberg, Schey y Schwartz, op. cit.

119

E. > Ec

Figura 14. Comportamiento esquemático de la solución de Schródinger para va-rios valores de prueba de E en la vecindad de la energía del estado base E9. Elcomportamiento de estas soluciones muestran que Eb < £„ < Et.

cir una malla o retícula en la coordenada temporal tanto como en lacoordenada espacial. Entonces, el problema numérico es el siguiente-Dada i/< en cada punto reticular espacial para el tiempo /„ , calcular\¡i en cada punto reticular espacial t n+i , partiendo del valor inicialde i/> en t = 0. Hay que notar que en este caso se tiene que especifi"car una función completa para definir una solución, en contraste coflel caso independiente del tiempo donde sólo se necesitan dos núme-ros i/» (0) y ,jf (0). El problema todavía se complica porque es nece-sario evitar inestabilidades26 numéricas y asegurar la conservación dela probabilidad. Las ecuaciones que resultan, son ecuaciones en dife-rencias de segundo orden en la coordenada espacial y de primerorden en el tiempo, pero son largas y complejas, por lo cual no se es-cribirán explícitamente.

Problema 1. Obtener el espectro de energías y los autoestados deuna partícula en una caja, partiendo de los resultados para una par-tícula en un pozo de potencial cuadrado de profundidad V0 al pasafal límite V0 -» <». Verificar que los resultados son los mismos qu«los obtenidos directamente en el Capítulo IV. Sugerencia: Medirtodas las energías desde el fondo del pozo antes de proceder al límite.

Si </»,, es el autoestado «-ésimo del oscilador armónico,Problema 2.f*íl 1 f*l ] 1 3 T* "

(a) <*»|(b>' <</»n(c) (

"Un esquema numérico se dice que es inestable si al truncar y redondear los errores, ésto» >•acumulan de tal manera que la solución numérica diverge de la solución verdadera en form*incontrolable.


(d) (4(e) (4(f) < < J

Sugerencias: (1) Proceder en la representación del espacio de crea-ción y usar la ortonormalidad de los estados del oscilador armónico.(2) Expresar x en términos de a y de at , y análogamente para p.Observación: este problema no es difícil si se entiende lo que se hace.

Problema 3. Un oscilador armónico simple de frecuencia «0 se en-cuentra en su estado base. A t = O la fuerza constante disminuye re-pentinamente hasta un valor tal que la frecuencia resulta,(l) o* = o*0/2;(2) o> = 0*0/10. Para ambos casos:

(a) Calcular \(i(x, t = 0).(b) Calcular \ji (x,t). Dibujar el comportamiento de |«//|2 durante

un período.(c) Si el momento de la partícula se mide al tiempo t > O, cal-

cular la probabilidad de que se encuentre entre pyp+dp.(d) Si se mide la energía de la partícula, calcular la probabilidad

de que tenga el valor En = (n + 1 /2)fto>. (Usar la representación inte-gral de la ecuación (61) para resolverlo). Calcular el valor de n parael cual esta probabilidad sea máxima. Discutir los resultados breve-mente.

Problema 4. Una partícula se mueve en un pozo de potencial cuadra-do de anchura 2a y profundidad F0. Considerar el límite en el cual2a tiende a cero y K0. a infinito, en tal forma que su producto seaproxime al valor finito g. Considerando las soluciones del pozo cua-drado discutidas en el texto, demostrar que este potencial tiene exac-tamente un estado ligado y que,

(a) su energía de ligadura es e = g'2m/2h'2.(b) su autoestado normalizado es (2/ne/A2)1'4 íf-

v'5'"«l*"ft.A continuación considerar los estados continuos. De las solucionesdadas en el texto,

(c) encontrar la amplitud de los coeficientes de reflexión ytransmisión y comprobar que la probabilidad se conserva.

(d) Finalmente, ya que este potencial puede expresarse comouna función delta, V(x) = — g8(x) (¿porqué?), intentar deducir quela pendiente de Atiene que ser discontinua al cruzar este potencial.En particular, demostrar que i/» es tal que,

2mg~ ft2

dx dxUsar este resultado para obtener directamente las respuestas a las par-tes (a), (b) y (c).

PROBLEMAS 181Problema 5. Considerando los botes de una pelota de masa m, supo-ner, (1) que el movimiento es exactamente vertical, (2) que las coli-siones con el piso son perfectamente elásticas y (3) que la fuerza degravedad es uniforme.

(a) Esbozar el potencial en el cual se mueve la pelota. Estable-cer la ecuación de Schródinger y dar las condiciones a la frontera sa-tisfechas por i|».

(b) Demostrar que los estados estacionarios del sistema puedenexpresarse como funciones Bessel de orden un tercio.

(c) Encontrar la ecuación trascendente que determina las ener-gías permitidas.

Problema 6. Una partícula de masa m se mueve en un potencial atrac-tivo V(x) = ~V0e-MIL.

(a) Haciendo la substitución z — e~XIZL demostrar que los estados

estacionarios pueden expresarse en términos de funciones Bessel.(b) Como los estados estacionarios pueden clasificarse de acuer-

do a sus paridades, encontrar la ecuación trascendente que determinala energía de los estados ligados del sistema.

(c) Considerar los estados continuos E > 0. Encontrar expre-siones para las amplitudes de los coeficientes de reflexión y de trans-misión. Verificar que la probabilidad se conserva.

(d) Encontrar una expresión para el incremento en el tiempo Aiasociado con el paso de, un paquete de ondas a través del potencial;.Comparar los resultados con el que se esperaría clásicamente.

Problema 7. Una partícula se mueve en un pozo de potencial cuadra-do de profundidad V0 y anchura 2a. Considerar únicamente estadoscontinuos en el límite E > F0 y usar las soluciones obtenidas en eltexto:

(a) Demostrar que la amplitud del coeficiente de transmisión restá dado por,

T(£) = exp[íK0 Vm/2E 2a/ft]

y calcular el incremento en el tiempo al pasar un paquete de ondas através del potencial. Explicar los resultados.

(b) Demostrar que para las ondas reflejadas,

]- exp[2i VlmEa/h]].

(c) Usando el mismo método que el usado para obtener las ecua-ciones (100) y (101), demostrar que existen dos contribuciones al pa-


quete de ondas reflejado y calcular el tiempo de llegada a x = — xt.Explicar los resultados.

Problema 8. Una partícula se mueve en un campo de fuerzas unifor-me F.

(a) Escribir la ecuación de Schródinger en el espacio de momen-tos.

(b) Encontrar los estados estacionarios <t>E(p)(c) Dado un paquete de ondas inicial (j>(p,t=Q), encontrar $09,0-

Hacerlo, construyendo primero el propagador en el espacio de mo-mentos K(p,p;t\

(d) Usar los resultados para obtener una representación integralpara ty(x,t), si se da <H*,0). Determinar- si el paquete de ondas se ace-lera en la forma esperada.

Problema 9. Un oscilador armónico se encuentra en el estado

donde t|/0 y fyl son estados normalizados del oscilador armónico co-rrespondiente al estado base y al primer estado excitado. Calcular(E), (x) y { p ) y discutir la dependencia en el tiempo para cada uno.

Problema 10. Calcular el flujo de probabilidad/ (jc.f) para cada esta-do del problema 9.

Problema 11.(a) Demostrar que las funciones de onda de los estados estacio-

narios ligados siempre se pueden escoger como funciones reales sinperder generalidad.

(b) Demostrar que la corriente de probabilidad / (x,t) es ceropara cualquier estado estacionario ligado.

Problema 12. Una partícula de 10 gm. realiza un movimiento armó-nico simple con frecuencia de 2 ciclos por segundo. Si se encuentraen el estado más bajo, calcular la incertidumbre en su posición y ensu momento. Si la partícula efectúa el movimiento con una ampli-tud de 10 cm., calcular su energía y el orden de magnitud de los nú-meros cuánticos correspondientes a los estados de esta energía.

Problema 13. Demostrar que una función de estado con paridad de-finida en el espacio de configuración, tiene la misma pandad en el es-

PROBLEMAS 183pació de momentos. ¿Cuáles son las propiedades explícitas del ope-rador de paridad en el espacio de momentos?

Problema 14. Un oscilador armónico de masa m, carga e y frecuen-cia clásica w se encuentra en su estado base en un campo eléctricouniforme. Al tiempo t= O, el campo eléctrico repentinamente desa-parece.

(a) Usando las propiedades conocidas del propagador, encontraruna expresión cerrada y exacta para el estado del sistema a cualquiertiempo t > 0. Comparar los resultados con los del oscilador clásico.

(b) Si las mediciones se hacen al tiempo t >0, calcular la proba-bilidad de que el oscilador se encuentre en su n-ésimo estado.Sugerencia: Introducir un desplazamiento del origen para encontrarel estado inicial exacto.

Problema 15.(a) Una partícula se mueve en un potencial F(x). Los estados es-

tacionarios <|/E del sistema tienen las propiedades siguientes:( i) El espectro es discreto para E < O, y continuo para E *= 0.( ii) Existe un número infinito numerable de estados ligados.(iii) Para cada estado ligado y para cada entero q,

Esbozar un potencial V (x) simple y suave que sea consistente conestas propiedades. Explicar brevemente los razonamientos.

(b) Hacer lo mismo, pero en lugar de (ii) tomar un número (pe-queño) finito de estados ligados.

(c) Lo mismo que en (c), pero cambiando la propiedad (iii) por;(iiia) el valor de expectación de x es cero para el estado base, perocrece monotónicamente con la energía de excitación (solamente esta-dos ligados).

(d) Supóngase que en el caso (b) la energía del estado base delsistema es £"„= - 2 eV y que (<l>Eo\x

2\Êo) = 4 X 1Q-'8 cm2. Si lamasa de la partícula es de 10~27 gm, estimar la intensidad de V(x)en electrón voltios y su extensión en angstroms, o sea, dar una escalanumérica aproximada para dibujar la parte (b). Sugerencia: usar elprincipio de incertidumbre para hacer las estimaciones.

Problema 16. El hamiltoniano de una partícula puede expresarse enla forma,

// = €, a+a + €2(a + a+), (a,a+) = l,


donde e¡ y e2 son constantes.(a) Encontrar las energías de los estados estacionarios. (No se

necesitan encontrar las funciones de estado correspondientes).(b) Lo mismo, excepto que el conmutador de a y a+ es,

donde q es un número.Sugerencia: Teniendo en cuenta el oscilador armónico, introducirnuevos operadores de aniquilación y creación b y b+ mediante,

y escoger las constantes « y @ acertadamente.

Problema 17. Tomar 0(x,í) como una función de estado arbitrariacorrespondiente al oscilador armónico dependiente del tiempo. De-mostrar que,

{ x ) ( = { x >0 costo t + sinw /

(p)t = (p)o costo t — m<t)(x)0 sincur,

en correspondencia completa con las ecuaciones clásicas.Hacerlo en las dos formas siguientes:

(a) Encontrando expresiones para d(p}¡dt y d(x)¡dt e integran-do las ecuaciones acopladas que resultan.

(b) Por cálculo directo de ( x ) t y ( p ) t , usando el propagadoroscilador armónico para expresar \¡i(x, t) en términos de 0(x,/)-

Problema 18.(a) Sea 0(x,í) una función de estado arbitraria correspondiente

a un oscilador armónico dependiente del tiempo. Demostrar que,

(a)t=(a)0e-t»t, < a t > , = < f l t> . *tof.

Hacerlo en las tres formas siguientes:i) Encontrando expresiones para d(a)¡dt y d(af)/dt e inte-

grando las ecuaciones que resulten.ii) Calculando directamente ( a ) , y <a t ) , , usando el propaga-

dor dado en la ecuación (68) para expresar 0(x,f) en térmi-nos de <K*,0).

iii) Por cálculo directo usando la ecuación (65) para el propaga-dor.

PROBLEMAS 185

(b) Resolver el problema del oscilador clásico usando como varia*bles dinámicas clásicas a y at en lugar de x y p.

Problema 19. Usando la regla dada por las ecuaciones (105) y (106)para la integración numérica, integrar la ecuación diferencial,

desde x = cero hasta uno para los siguientes dos casos;(a) 0(0)= O, 0(0) = 1(b) 0(0) = 1, 0(0) = 0.

En ambos casos usar un tamaño reticular e = 0.2. Comparar los re-sultados con las soluciones exactas.

I „

VIIMétodos aproximados

1. LA APROXIMACIÓN WKB

En el capítulo anterior se estudiaron las soluciones de la ecuaciónde Schródinger para el oscilador armónico y para el pozo de poten-cial cuadrado. Son dos ejemplos de potenciales muy importantes pa-ra los cuales se pueden obtener soluciones exactas de las ecuacionescuánticas. Aunque existen muchos potenciales de este tipo en unadimensión, en general se tratará con potenciales para los cuales no sepueden encontrar soluciones exactas1 Para poder tratar este tipo deproblemas se estudiarán diferentes métodos de aproximación, cadauno con su dominio de validez.

Para empezar se discutirá un método para tratar potenciales quecambien muy lentamente en una longitud de onda de de Broglie.Para sistemas clásicos la longitud de onda se aproxima a cero, restric-ción que siempre se satisface para potenciales que se pueden realizarfísicamente. Principalmente, este método lleva al límite clásico y,por ello, frecuentemente se llama la aproximación semiclásica. Sinembargo, más a menudo se llama la aproximación WKB, debido aWentzel, Kramers y Brillouin, que fueron los primeros que aplicaronel método a problemas cuánticos. Este tema es muy viejo para losmatemáticos que lo estudiaron como soluciones asintóticas de lasecuaciones diferenciales y se origina en Stokes que inició estas técni-1 Se presenta más comunmente en tres dimensiones y en el estudio de sistemas de partículasen interacción. Como se verá más adelante, en ambos casos, el número de problemas que sepueden resolver en forma exacta es muy limitado.

LA APROXIMACIÓN WKB \ 37

cas en la mitad del siglo diecinueve. Estas técnicas fueron redescu-biertas por Wentzel, Kramers y Brillouin y también, independiente-mente, por Jeffríes. Por ello, el método algunas veces se llama laaproximación WKBJ.

Para seguir adelante, se considera una partícula moviéndose en unpotencial F(x), por lo cual la ecuación de Schrodinger para estadosestacionarios tiene la forma usual,

~2^^^ K Wt//i'W = tt//£'W' U)

y se quiere estudiar el límite para el cual h tienda a cero. Sin embar-go, no se puede proceder directamente con la ecuación (1) tal comoestá escrita, ya que t//E oscila tan rápidamente en este límite que elprimer término da una contribución finita y no cero, como se espera-ría. Para mostrar explícitamente este comportamiento se escribe <|»£en la forma,

i¡iE(x)=A(x) (2)

que es un tipo de onda de de Broglie generalizada, con amplitud A(x)y fase S(x), que son funciones de la posición, todavía desconocidasi.2Al diferenciar dos veces, la ecuación (2) resulta ser,

dx2=\d*A--l.',-4d.dS.i_. ¿jS_^ ídSYl

[ dx2 •*• ¿l dx dx + hA dx2 h2 \dx) J

y substituyendo en la ecuación de Schrodinger, cancelando el factorcomún eisih y reagrupando los términos, resulta la ecuación exactano lineal.

J 1 (dS\* ... , _] ih \^dAdSA\—[-r-] + V(x) —E — r— 2 -7- ~r

[_2m\dx) ' J 2m\_ dx dxn— - -- — = Q.

dx2 J 2m dx*

Considerando a ft como parámetro de pequenez, el primer término esdel orden de la unidad, el segundo término es del orden de h y el últi-mo del orden de h2 . Provisionalmente se desprecia el término en ft*.y se hacen cero por separado los otros dos términos, determinandode esta manera S y A. Del primero se obtiene,

2 Esta forma puede parecer muy especial, pero no se pierde generalidad al usarla. Se han in-troducido dos funciones desconocidas en lugar de una sola. Más adelante se usará como ven-taja esta redundancia escogiendo S y A en forma particular y muy conveniente.

188

o bien,

MÉTODOS APROXIMADOS

dx. (4)

Usando este resultado el segundo término resulta3 ,

o bien, multiplicando por A y combinando los términos,

d , ., ,(5)

De la ecuación (2), Ê*Ê — A2, para A y S reales. Entonces, estaúltima ecuación meramente establece la conservación de la probabili-dad, ya que es equivalente a dj/dx=Q, donde el flujo de probabilidad/, en la aproximación que se está considerando, se expresa como

j = pv = \I>E*¡!IE P/m = A 2p/m.

De la ecuación (5) se obtiene,

A=c¡Vp,

donde c es una constante arbitraria y, por lo tanto, la solución apro-ximada tiene la forma

donde

= V2m[É-V(x)].

Esta solución está expresada en términos de una integral indefinida.Puede expresarse en términos de una integral definida si se toma elvalor de «M*) en algún punto fijo jc0. Al hacerlo se obtiene que,

*/=(*) = exp[±/£p dx¡h\. (6)

La estructura del resultado WKB es fácil de entender. Ya se vioque la función de amplitud está determinada por el requisito de quela probabilidad se conserve. El factor de fase se interpreta de la si-guiente forma. El cambio de fase &P de una onda de de Broglie delongitud de onda X al avanzar una distancia 8x es9 La ecuación (4) se reconoce fácilmente por el lector que esté familiarizado con la formula-ción de la mecánica clásica de Hamilton-Jacobi (Referencia (14) ).

LA APROXIMACIÓN WKB

2-n e.

189

Si la longitud de onda no es constante, pero cambia con la posición,entonces, la acumulación del desfasamiento para un avance finitoes,

J<f>= \ y- dx= f p dx/ñ,

de acuerdo con el resultado anterior, aunque este argumento se basaen la noción de una longitud de onda dependiente de la posición. Pe-ro el concepto de longitud de onda pierde su significado si la longitudde onda no es prácticamente constante en una distancia del orden dela longitud de onda reducida. Por lo tanto, se espera que la presenteaproximación sea válida si la longitud de onda cambia por una frac-ción muy pequeña sobre la distancia anterior. Esto es, se espera que

i l , donde 8A. = (d\/dx)k, y que

d*.dx 1 (7)

para que la aproximación WKB sea válida. Expresando A en términosde p, la desigualdad es equivalente a

dx dx

y expresando p en términos de E y F,

1_(E - y)312 dx I

a

(8)

(9)

La ecuación (8) establece que el cambio fraccional del momento li-neal debe de ser pequeño en una longitud de onda, pero la ecuación(9) establece que, en una longitud de onda, el cambio de la energíapotencial debe de ser pequeño respecto a la energía cinética. Otraforma de establecer estas condiciones sería exigir que la longitud deonda sea pequeña comparada con la distancia sobre la que el momen-to lineal cambia apreciablemente, o bien, sobre la cual el potencialcambia apreciablemente. Naturalmente, las ecuaciones (7), (8) y (9)son equivalentes y son diferentes formas de establecer la misma con-dición.

Aunque se han seguido argumentos clásicos para obtener la aproxi-mación WKB, de la ecuación (9) se observa que, como beneficio adi-cional, la aproximación también es válida en regiones prohibidas clá-sicamente donde la energía cinética es negativa, a condición de que

190 MÉTODOS APROXIMADOS

esta energía negativa sea suficientemente grande y cambie lentamen-te. Por otra parte, en la vecindad de un punto de vuelta clásico don-de E = V, p=0 y ft. = °°, la aproximación falla completamente. (Estosdos temas se volverán a tratar más adelante).

Todavía faltaría establecer con mayor precisión la condición parala validez de la aproximación WKB. Para hacerlo, es conveniente vol-ver a la ecuación exacta (3) que fue el punto de partida y tomar enconsideración el término despreciado4 en ñ2 . Al incluir este térmi-no, la función de fase S se determina mediante la ecuación,

+ V(x) _*i^d = 02m dx2

o bien, por

dS h2 d2AA dx2

A primera aproximación, el efecto del término pequeño entiene desarrollando la raíz cuadrada,

dS _ _ , . . . h2 d2A

se ob-

aunque A, a este orden, todavía puede tomarse como proporcional ap~112-. Entonces, se tiene que

e integrando

donde

= ± [p

S = ±

fi2 fx

AS - ^ dx (d2p~wldx2).

Al escoger los límites de integración de esta manera, en lugar de laecuación (6) se tiene que,

exp -u:p dx¡h + AS/ft

4 El término en tt" se considera como un término de corrección en la expresión para S. Tam-bién puede considerarse como un término correctivo en A. Se ha escogido el primero por-que simplifica el análisis posterior, pero el resultado final es independiente de la selecciónque se haga.

LA APROXIMACIÓN WKB 191

Por lo tanto, se concluye que la aproximación WKB es válida cuando

~ dxp~112 (d2p-ll2/dx2) 1, (10)

que es la condición precisa que se buscaba. Es necesario hacer notarque esta condición contiene algo más que el comportamiento local dep(x); toma en cuenta el error acumulado en la función de fase S entodo el intervalo, desde el punto de referencia x0 hasta el punto xdonde se calcula la función de estado.

Debido a que la ecuación (10) es complicada y difícil de interpre-tar, se establecerá una cota superior aproximada para AS/ft que esmás fácil de entender. Por inspección se tiene que,

ASh dx\J2p-ll-/dx2

donde pmm es el valor mínimo dep sobre el dominio de integración.Si por simplicidad se supone que d2p~ll2ldx'2 es monótona en el inter-valo de x0 a x, la integración se puede realizar inmediatamente y seobtiene que,

AS2Vpmin dx

Ya que,

dx

dp~w

dx

donde \dp V2/dx\max es el valor máximo que alcanza \dp~l/2/dx\ en elintervalo de x0 a x, y se encuentra que

ASh

dp-dx

Pero si se supone que (d2p ir¿/dx'2)no es monótona sino que cambiade signo q veces dentro del intervalo de integración, la contribución a|AS/ft| en cada subintervalo en el cual d2p~1/2/dx2 es monotónica, estáacotada por el doble del valor máximo alcanzado por \dp~mjdx\ y,por lo tanto, ya que existen q + 1 de estos subintervalos

ASh

dp-dx


donde \dp~ll2ldx\ma* | todavía significa el valor mayor de \dp~m/dx\sobre todo el dominio de integración. Ya que

dp-dx

1 \_ dp 1 1

nPmin

dpdx

se obtiene finalmente que,

Mh

y, por lo tanto, la aproximación WKB está garantizada a condición deque se cumpla que

dp

dx

dp

dx 1. (8a)

Excepto por factores numéricos del orden de la unidad, esta^xpresiónes la misma que la ecuación (8), y en la cual deben de usarse los valo-res adecuados para el valor mínimo de p y el valor máximo de (dp/dx)en el intervalo adecuado. Hay que hacer notar que si el intervalo essuficientemente pequeño, resulta que esta distinción no es importan-te y la ecuación (8) es, esencialmente, la condición local correcta.

A continuación se estudiarán algunos ejemplos de la aplicación dela aproximación WKB. En primer lugar se discutirá el caso de estadoscontinuos y después el caso más interesante de estados discretos. Eneste último, se obtendrán las reglas de cuantización de Bohr.

En el tratamiento de los estados continuos la atención se restringi-rá al caso en el que el potencial se anule en infinito por lo menos tanrápidamente como x'1. También se supondrá que la partícula tieneuna energía E que supera al potencial en todas partes, por lo cual noexisten puntos de vuelta clásicos. En este caso, las dos soluciones in-dependientes de la ecuación de Schródinger están dadas por la ecua-ción (6), y corresponden a una partícula que viaje hacia la izquierdao hacia la derecha, sin reflexión. Esta última característica es unaconsecuencia de la suposición de que el potencial cambia muy lenta-mente. En general, el coeficiente de reflexión será tanto más peque-ño cuanto más lentamente cambie el potencial y en el límite WKB lareflexión resultará despreciable, coincidiendo con el comportamientoclásico. Entonces, la amplitud del coeficiente de transmisión tienemagnitud uno, pero contiene un factor de fase 8 que se relaciona conel incremento en el tiempo asociado con el paso de una partícula através del potencial. A continuación se obtendrán expresiones explí-citas para ^ y para el incremento en el tiempo. Considerando que lapartícula se mueve hacia la derecha, de la ecuación (6) se obtiene que,


exp

El punto de referencia x0 se fijará a la izquierda en infinito; esta se-lección permite fijar inmediatamente la forma de la onda incidente.En vista del comportamiento supuesto del potencial en infinito,F"(•*•<>) es despreciable si A-O se encuentra lo suficientemente lejano yel momento toma el valor constante,

p(x0) = V2mE.La función de estado en esta región es una onda pura de de Brogliey se tiene que,

donde f(E) es la amplitud (arbitraria) de la onda incidente. La expre-sión para Ê(x) puede escribirse en la forma

exp ( J* pdx+

Para pasar al límite se observa que,. _ (x . _ [x . _

V2mE x0+ I p dx = \/2mE x + (p - V2mE) dx.Jxo J-ro

Debido a que, (p — V2mE) se anula más rápidamente que x0~l} se pue-

de tomar el límite y se obtiene para la función de estado WKB la ex-presión,

=/(£) exp/ fx

J J[p -

Finalmente, haciendo tender x a infinito por la derecha, se tiene que

* T (p - V2^£) dx/h\exp

donde, como ya se anticipó, el coeficiente de transmisión T tiene laforma

con,

8(£) =,f <,-j —oo

/2mE) dx/h = V2¿

Es necesario recordar que, de acuerdo con la ecuación (VI-101), el in-cremento en el tiempo Ar asociado con el paso de una partícula através de un potencial está dado por


Ai = h dd/dE

por lo cual, en la aproximación WKB, después de efectuar la diferen-ciación indicada se obtiene que

donde v(x) = V2(E - V)lm es la velocidad clásica de una partículacon energía total E en un potencial F(x) y donde v0 = V2Ejm esla velocidad de una partícula libre con la misma energía. Entonces,se ha obtenido exactamente el mismo resultado clásico para la dife-rencia entre el tiempo de llegada de una partícula libre de energía E yuna partícula de la misma energía después de atravesar un potencial V.

A continuación se considerarán los estados ligados de una partícu-la en un potencial V(x). Se supone que para una energía dada E lospuntos de vuelta clásicos se encuentran en x, y x2, tomando x¡ < x.¿.En el interior del potencial, no muy cerca de los puntos de vuelta, laaproximación WKB para las soluciones puede escribirse como unacombinación lineal de ondas que viajan hacia la izquierda y hacia laderecha. Es conveniente escoger esta combinación lineal como

sin d i )

Ya que i/»¿ contiene dos constantes arbitrarias c y 5 , esta expresiónes totalmente general. A la derecha de x.¿, pero no muy cerca, la so-lución puede encontrarse con la aproximación WKB y es una funciónexponencial amortiguada; análogamente a la izquierda de x\. Ningu-na de estas soluciones WKB son válidas cerca de los puntos de vuelta,siendo el problema matemático básico el de unir las soluciones de unlado del punto de vuelta con las soluciones del otro lado. Este pro-blema puede resolverse de varias formas y se puede dar una respuestageneral. La respuest es fácil de entender, aunque los detalles de la de-rivación son complicados y por ello se omitirán5. Para entender larespuesta es necesario recalcar que si la región prohibida clásicamentetambién lo fuera cuánticamente, la función de onda tendría que anu-larse en cada punto de vuelta y esto podría lograrse colocando entrelos puntos de vuelta exactamente un número semientero de longitu-5 El procedimiento común es el siguiente; se supone que la solución WKB es válida exceptoen un intervalo de longitud L en tomo al punto de vuelta. Si el potencial cambia con sufi-ciente lentitud, se le puede considerar como lineal en ese intervalo y la ecuación de Schro-dinger se puede resolver en términos de funciones Bessel de orden un tercio. Esta soluciónpuede unirse suavemente a la forma WKB en los extremos del intervalo. Para una discusióndetallada ver la Referencia [ 19].


des de onda de de Broglie, o sea, anulando en cada punto de vuelta lafunción senoidal de la ecuación (11). Pero, ya que la función de on-da verdadera penetra un poco en la región prohibida, se encuentraque entre los puntos de vuelta se deben de colocar un número ligera-mente menor que un número entero de semilongitudes de onda. Es-pecíficamente, en cada extremo resulta que la función de onda secomporta como si se anulara a 1/8 de longitud de onda en la regiónprohibida. Entonces, resulta que la condición para un estado ligadoes que haya un número entero de semilongitudes de onda disminuidaen 1/4 de una longitud de onda o en 1/2 de una semilongitud de on-da. Ya que el número de semilongitudes de onda en el intervalo en-tre x¡ y x2 es

dx_X/2

P dx,

se tiene que,

m _i = l f2

2 h)tlp dx, /w = 1,2,3,

o bien, sustituyendo m por n +1,

r p-z / A<J> p dx = 1 I p dx = I n + -rm,J J JTl \

(12)

donde la integral de la izquierda es la integral convencional sobre unperíodo del movimiento clásico y, por lo tanto, es dos veces la inte-gral entre los puntos de vuelta6.

Este resultado se reconoce como la versión modificada de la con-dición de cuantización de Bohr, modificada por la inclusión de laenergía del punto cero que proviene del término adicional /i/2 en elmiembro derecho. Es un progreso sobre la regla de Bohr y, además,se puede hacer una estimación sobre su dominio de aplicación. Yaque la aproximación WKB exige que la longitud de onda sea cortacomparada con la distancia sobre la cual el potencial cambia aprecia-blemente, la ecuación (12) se aplica con mejores resultados si el nú-mero cuántico n crece y la longitud de onda correspondiente decrece.

Al aplicar la ecuación (12) se tiene que,

p = v'2m(E- y) =p(E,x),

donde los puntos de vuelta también dependen de la energía descono-cida E. .Entonces, el miembro izquierdo es una función de E y las so-luciones de la ecuación (12) son las energías permitidas en la aproxi-mación WKB." La ecuación (12) está expresada en términos de A y no de h.


Como ejemplo, se pueden encontrar los autovalores de energía deloscilador armónico, para el cual resulta que la ecuación (12) suminis-tra los valores exactos para todos los estados. Se tiene que,

p = \/2m(E- ma)2x2/2),

y los puntos de vuelta ocurren en,

x = ±\/2E¡mü)2.

Entonces la ecuación (12) resulta

f V2¿/mwü

_ V2J-V2£7mw2

w(£-ww2JC2 /2) í/;c=

Introduciendo la nueva variable e mediante

x = V2E/mw2 eos 6

se obtiene que,

( 1 \ 4F f77

n + ¿\h = —\ sin2 6 d0=2/ w Jo

donde

de acuerdo con el resultado correcto para toda n. Aunque de la apro-ximación WKB se obtiene la energía correcta, no se obtiene de ella lafunpión de onda correcta. Para una comparación entre las funcionesde estado correctas del oscilador armónico y las que se obtienen de laaproximación WKB ver el problema VII-17.

2. LA APROXIMACIÓN DE RAYLEIGH-RITZ

Existe una diferencia significativa en el problema de obtener solu-ciones aproximadas de la ecuación de Schródinger para estados liga-dos y para estados continuos. En el último caso, el problema consis-te en encontrar funciones de estado estacionarias para valores de laenergía en el continuo. En el primer caso, las energías discretas per-mitidas también tienen que ser determinadas. A continuación se pre-sentará un método variacional que optimiza la determinación aproxi-mada de las energías permitidas para los estados discretos, por lo me-nos para los estados más bajos. Esta técnica la iniciaron Rayleigh yRitz a principios del siglo diecinueve y se originó en problemas clási-cos de valores a la frontera.

LA APROXIMACIÓN DE RAYLEIGH-RITZ 19?

La ecuación de Schródinger independiente del tiempo es

H$K = EtyK (13)

para un sistema descrito por un hamiltoniano H. Multiplicando pori/V;* e integrando a todo el espacio el resultado se puede escribircomo,

(14)

donde es conveniente suponer que iK no está noramali/ada. Paraautofunciones correctas de H, esta ecuación resulta una identidad,pero para los estados ligados que se están considerando E y \$IK sondesconocidas. Sin embargo, se puede suponer una función aproxima-da 4> para t//f; que substituida en (14) da para E un valor aproximadoE' . En otras palabras, para <// y <//* físicamente aceptables se define£"por

, _ J *¡i*Hili dx/ (£»*(/» dx ' (15)

Evidentemente E' se puede interpretar como el valor de expectacióndel hamiltoniano para el estado aproximado <//.

Ahora, se demostrará que el error en E' es de segundo orden res-pecto a los errores en las funciones de estado, o bien, la energía es es-tacionaria respecto a variaciones arbitrarias e independientes de \l> y</»* respecto a los valores verdaderos. Para esto se necesita definir unaclase de funciones \¡¡ que incluyan a las funciones verdaderas, lo cualse hace introduciendo la familia de funciones dependientes de un pa-rámetro

i// = i//í; + a4>,

que simplemente expresa a<t> como la desviación de ^ del valor verda-dero •//£. El parámetro a sirve como medida de esta desviación. Aná-logamente se escribe

donde /3 = a * y = ,h * Sin embargo, se puede señalar que las pro-piedades estacionarias se cumplen aunque i//* no sea el complejo con-jugado de i//, sino una función escogida en forma independiente. Laecuación (15) se puede escribir en la forma,

£'(a , /8) dx

dx, (16)


donde, naturalmente, E'(a = O, P= 0) =E. Diferenciando respectoa /3 y naciendo a = /3 = O, se obtiene que

•\ e*1— S i},E**E dx + E ! X*E dx = /" a, 0=0

dx

o bien,

dE'

a, 0=0

Finalmente, ya que i//£ satisface la ecuación (13) por definición, seobtiene que,

dE'

w = 0- (17)a, 0=0

Análogamente, usando el carácter hermitiano de //, se encuentra que

= 0. (18)0=0

Las ecuaciones (17) y (18) significan que E' tiene la forma E'(a,/3)= E + términos cuadráticos y superiores en a y en /3 y, por lo tanto,como se afirmó, los errores en la energía aproximada son de segundoorden respecto a los errores en la función de onda aproximada, si laenergía se calcula usando la ecuación (15).

Ejercicio 1. Obtener la ecuación (18).

Recíprocamente, si se parte de la ecuación (15) y se exige que t/> yi^*sean tales que £' resulte estacionaria respecto a variaciones inde-pendientes en estas funciones, se puede demostrar que i/» y i|/* tienenque ser autofunciones de H. En otras palabras, la ecuación (15) con-siderada como una expresión estacionaria es enteramente equivalentea la ecuación de Schródinger, o bien, en el lenguaje del cálculo de va-riaciones, la ecuación de Schródinger es la ecuación de Euler del pro-blema variacional.

Para usar estos resultados como un método aproximado, el proce-dimiento más simple es el de suponer una función físicamente razo-nable i/» como función de prueba. Entonces, el cálculo de E'da comoresultado una estimación óptima de la energía correcta E. Procedien-do sistemáticamente, se supone una función de prueba que dependeexplícitamente de un conjunto de parámetros, se calcula E' comofunción de estos parámetros usando la ecuación (15) y, finalmente,

LA APROXIMACIÓN DE RAYLEIGH-RITZ 199

se hace E' estacionaria diferenciándola respecto a cada parámetro eigualando a cero el resultado. Un valor aproximado para la energía seobtiene al encontrar la solución del conjunto de ecuaciones simultá-neas que resultan para los parámetros desconocidos. Este valor es elmejor que se puede obtener con la función de prueba escogida inicial-mente. Más adelante se dará un ejemplo.

La utilidad práctica de este esquema es debido al hecho de que laenergía del estado base calculada de esta manera es una cota superiora la energía verdadera del estado base. Aunque la ecuación (15) pro-porciona un principio variacional para cualquier autoestado del ha-miltoniano, proporciona un principio mínimo para el estado base.La demostración es sencilla. Cualquier función de prueba $ puedeexpresarse como una superposición del conjunto completo de auto-estados de H. Entonces, se puede escribir

y substituyendo en la ecuación (15) resulta que,

, _ £ E\cEE' =

Si En es la energía del estado base, entonces, para cada término en lasuma, resulta que E ^ E0 y, por lo tanto,

E' ^ £0.

Además, la igualdad se cumple solamente para i|» = \¡iKa, suponiendoque el estado base no es degenerado.

Obviamente el principio del mínimo no es válido para estados másaltos excepto si la función de prueba es ortogonal a todos los estadosexactos más bajos. Para comprobar esta conclusión, se toma el esta-do n-ésimo con energía exacta Eay se supone «í» ortogonal a todas lasfo para E < En. Entonces, si </f se expresa como superposición de es-tados exactos, en la hipótesis no intervienen los términos E <En, y setiene que

*= I CE+E£»£„

y, por lo tanto,

c ' _En ~

Esta condición de ortogonalidad, en general, es difícil de lograr poi>que se necesita conocer todas las funciones de estado exactas para


E < En . Afortunadamente, en la práctica se pueden usar propieda-des de simetría para asegurar esta ortogonalidad entre los estados másbajos. Por ejemplo, en un potencial simétrico los estados pares y losestados impares automáticamente son ortogonales entre sí. Por lotanto, el estado par más bajo y el estado impar más bajo satisfacen unprincipio mínimo. En general, el mejor resultado que se puede obte-ner es lograr que la función de prueba sea ortogonal a los estados co-nocidos más bajos aunque sean aproximados, pero el método pierdesu validez a medida que crece el número cuántico de los estados. Yaque el método WKB da mejores resultados para números cuánticosgrandes, los métodos variacional y WKB se complementan en ciertaforma.

El método variacional exige que se introduzca alguna función co-mo función de prueba y se ha sugerido que dicha función sea física-mente razonable. ¿Cómo se escoge esta función y qué significa "físi-camente razonable"? Es difícil dar una respuesta precisa, pero quizáslas siguientes observaciones sean de alguna ayuda. Para ello se consi-dera el estado base de una partícula en un potencial simétrico. Lafunción de onda del estado base no tiene nodos y, como todas lasfunciones de estados base, se anulan rápidamente a grandes distan-cias. La función de prueba más simple es una función suave, centra-da en el origen porque tiene que ser simétrica y que prácticamente seanule en una distancia característica. Esta distancia puede tratarsecomo un parámetro que se determina por variación. Un ejemplo quese utiliza con mucha frecuencia sería una gausiana,

Otros ejemplos con propiedades semejantes son, csch x/a, (x2 + a2}-"1,etc. Se pueden construir funciones más generales multiplicando porpolinomios cualquiera de estas funciones y determinando los coefi-cientes por variación. Excepto en el caso en que se pueda usar unacomputadora, se usan funciones para las cuales se pueden calcular fá-cilmente las integrales, pero con las características generales indicadasen los ejemplos anteriores.

Para los estados excitados, también se introducen en la función deprueba el número correcto (y conocido), de nodos, la simetría co-rrecta y el comportamiento general esperado. Para el primer estadoexcitado en un potencial simétrico, que es impar y tiene un nodo enel origen, cualquiera de las funciones citadas anteriormente multipli-cada por x sería una función de prueba adecuada. Para el segundo es-tado excitado, que es par y tiene dos nodos, cualquiera de las funcio-nes anteriores podría usarse si se multiplica por el polinomio (fe2 — x 2 ) .

LA APROXIMACIÓN DE RAYLEIGH-RITZ 201

La localización de los nodos en x = ±b puede tratarse por variacionesconsiderando a b como parámetro variacional.

En resumen, se construyen funciones de prueba que se puedanusar con cierta facilidad y que contengan todas las características ge-nerales y específicas de las funciones exactas, o por lo menos tantascomo sea posible.

Como ejemplo, se usará el método variacional para estimar la ener-gía del estado base para el oscilador armónico. El uso de una gausia-na daría el resultado correcto puesto que el estado base exacto es unagausiana. Por esto, sobre la región \x\ =£ a se usará un polinomio conla forma general correcta y que se anule suavemente en los extremos.Para \x > a , se hará igual a cero la función de prueba y, naturalmen-te, se determinará a por variaciones. En particular, se escoge la fun-ción

\i> = (u2 — x-y¿, \x\ =s «,= 0, |*| » a.

Recordando que el hamiltoniano del oscilador armónico es,

¿m L

la ecuación (15) resulta ser

ft2 f ,* <*** , _u ' í f 2 , * , I— -— u;* -^ dx + - /ñor x¿w*ib dx£,U;2)=_2mJ d^_ 2 J

I t//*i// dx

Calculando la integral del denominador se obtiene

í" * -J-i,

(19)

En la misma forma, el término correspondiente a la energía potencialresulta ser

x2 t//*i|» dx =256a"

1 1 - 9 - 7 - 5 '

El término correspondiente a la energía cinética se calcula comosigue:

*fa , , r f2* P d í ,* <ty\ A P <ty* «ty .i|>* -7-5- = 1 -r- h/>* -j- } dx — \ -j— -j- dxJ_a dx2 J-adxy dx J J-a dx dx

y ya que el primer término se anula,


a 2 ) ] 2 dx = -256a7

7 - 5 - 3 '

Reuniendo estos resultados se obtiene que

E'(a2)-

h2 256a7 . 1 ,r— _ . + •= mor 772w 7 • 5 • 3 2 11256a1

• 9 - 7 - 5 3256a9/9 - 7 - 5

Se observa que la energía cinética y la energía potencial rivalizan enimportancia, hecho que se mencionó en la discusión cualitativa acer-ca de las características de los estados ligados, usando el principio deincertidumbre. Si a2 disminuye, la energía potencial decrece, perola energía cinética se hace mayor debido al incremento en la localiza-ción de la función de onda. El procedimiento variacional presentaexplícitamente esta rivalidad en el presente caso. Si se diferencia^'respecto al parámetro variacional a2 y se iguala a cero el resultado,se obtiene,

en donde,

dE' = Q = _3 _*!_ + _!_da2 2 ma* 22

a2 = V33 ñ/ma

Un error del 5 por ciento solamente y mayor que la verdadera ener-gía del estado base, como se esperaba.

Otros ejemplos se dejan para los problemas.

3. TEORÍA DE PERTURBACIÓN PARA ESTADOS ESTACIONA-RIOS

Ahora, se estudiará el método más importante para obtener solu-ciones aproximadas de la ecuación de Schródinger, un método basa-do en la teoría de las perturbaciones. Este método se aplica a cual-quier caso en el cual el hamiltoniano H que describa al sistema estu-diado no difíera mucho de un hamiltoniano //Oque describa a un sis-tema parecido pero más simple y cuyo conjunto de autofunciones yautovalores se conozcan exactamente. Estas circunstancias parecendemasiado especiales para tener alguna consecuencia, pero de hecho

TEORÍA DE PERTURBACIÓN PARA ESTADOS ESTACIONARIOS 203

se presentan muy a menudo, como se verá en las aplicaciones y debi-do a este hecho el método deriva su importancia práctica. En estasección se discutirá el caso más simple, o sea, el caso en el cual los es-tados son no degenerados, estacionarios y discretos.

Se empieza por expresar el hamiltoniano perturbado H en térmi-nos del no perturbado H0 escribiendo, sin perder generalidad, que

// = //„ + A / / ' . (20)

La cantidad H' se llama el término de perturbación en el hamiltonia-no. El parámetro sin dimensiones X , que es redundante, puede to-marse como uno para el problema físico. Se introduce por conve-niencia como un parámetro visible de pequenez y que también permi-te pasar gradualmente del problema físico al problema no perturba-do, en forma bien definida, sencillamente haciendo tender X a cero.

Se buscan las autofunciones y autovalores de H definidos por,

Enfyn = H\l>n = ( //0 + X H ') l|»,,. (21)

Los autovalores y autofunciones no perturbados son conocidos y es-tán definidos en forma análoga,

H 00M = &„<{>„. (22)

Se supone que </>„ y i//n no son degenerados. Ahora, se puede hacer lasuposición fundamental de que cuando X tiende a cero, el conjuntqde energías EH tiende hacia alguna <£„ en particular, y esta correspon-dencia uno a uno se puede establecer explícitamente etiquetando losestados de tal forma que para cada n

Km En = &n , lirn (23)

Además, los estados perturbados desconocidos i//,, se expresan comouna superposición del conjunto completo de estados no perturbados.Entonces, se tiene que

(24)

y como consecuencia de la ecuación (23),

(25)

Sustituyendo la superposición (24) en la ecuación (21) resulta que

En £ Ct,4n = (//« + A//') V Cin4n = Vcin&i<j>i+ X V Cft,//'^,t t i l

Multiplicando por^j*, integrando y usando la ortonormalidad


se obtiene, para cada valor de j,cin, (26)

donde los números H'jt, llamados elementos de matriz de//', se defi-nen como,

//;,. = / 0 , * / / ' £ , d* = <¿j | / / ' |0 ,> . (27)

Notar que //j, = H'u*, ya que//'es hermitiano.Para una n dada, se necesita resolver el conjunto de ecuaciones

exactas (26), una para cada j donde8>¡, H'jty X son desconocidas. Sieste conjunto infinito de ecuaciones homogéneas tuviera solución,su determinante debería de anularse, de donde se obtendrían lasautofunciones y autovalores exactos del problema. En la práctica noes posible llevar a cabo este procedimiento y se busca una soluciónaproximada para X pequeña. Las ecuaciones (23) y (25) establecenque, cuando X se aproxima a cero, En~* &n, cnn ~* 1 y todas las c¡n seacercan a cero. Separando los términos dominantes se puede escribirla ecuación (26) como

j = n: cnn(En -&„) = \cnaHan' + X ' H'ni c,,,i

j * n: c¡n(En-S>¡) = KcnnH ¡ñ + X ' H'a Q»,!

donde el acento en el símbolo de suma significa que el término i = nse omite, ya que este término se ha separado explícitamente. Divi-diendo entre cnn, se obtiene que

j= H'm (28)

A V1 //' '" ,— fí,,¿j " r.,,.'

(29)

Si la función de estado perturbada se normaliza, a estas ecuaciones seañade la condición S|c,J2 =1, o bien,

1 (30)

De la ecuación (29) se obtiene que c¡Jcnn es del orden de X y, por lotanto, en las tres ecuaciones (28), (29) y (30), los términos de la su-ma contribuyen a orden X2 y superior. Entonces, se puede escribiruna serie de potencias en X para los autovalores En y para las funcio-

TEORIA DE PERTURBACIÓN PARA ESTADOS ESTACIONARIOS 205

nes de estado i/>,, , usando un esquema de aproximaciones sucesivasen la forma siguiente. A orden cero, X == O, se obtiene la solución noperturbada En — & „, cín ~ 8jn y naturalmente </»„ = <£„. Substituyen-do el resultado a orden cero en el miembro derecho de las ecuaciones(28), (29) y (30) se obtiene la solución a primer orden en X , o sea, lasolución a primer oden. Por lo tanto,

(31)

C,,n -

X//'JH (32)

y usando estas expresiones para los coeficientes del desarrollo, se ob-tiene de la ecuación (24) la función de estado a primer orden.

(33)

Se observa que la expresión a primer orden para£,, depende única-mente de la función de onda a orden cero ya que //'„„ = { <f>,,\ H ' |<£n ) .Este resultado se entiende fácilmente a partir del principio variacio-nal, porque la ecuación (31) es la aproximación de Rayleigh-Ritz pa-ra En con la función de prueba </>„ = <£„. De la ecuación (32), se dedu-ce que una condición necesaria para poder aplicar el método pertur-bativo para el estado H-ésimo es que

para todos los valores de j ^ n , es decir, que la diferencia entre lasenergías no perturbadas tiene que ser mucho mayor que el corres-pondiente elemento de matriz del término perturbativo en el hamil-toniano.

Si se quiere continuar con el procedimiento, la aproximación a se-gundo orden se puede obtener substituyendo los resultados a primororden de las ecuaciones (31) y (32) en los miembros derechos de(27), (28) y (29). Únicamente se escribirá explícitamente la aproxi-mación a segundo orden para la energía, la cual viene dada por

£„ = X //'„„+ x2 in (34)

Debido a que// 'es hermitiano //'„, = H'in*cribir en la forma,

, el resultado se puede es-

(35)


donde la energía es real, como tiene que serlo. Notar que únicamen-te la aproximación a primer orden de cin y, por lo tanto, de tyn, senecesita para calcular esta expresión a segundo orden para la energía.Este resultado es una característica general; el conocimiento de lafunción de onda a un cierto orden permite el cálculo de la energía aun orden superior.7

Continuando con este procedimiento, se pueden obtener correc-ciones a orden superior, pero el álgebra resulta tediosa y los resulta-dos resultan difíciles de calcular. El método perturbativo es útilcuando converge rápidamente, de tal manera que los términos supe-riores al segundo orden sean despreciables. En la práctica, se omitegeneralmente el término a segundo orden a menos que el primerorden se anule idénticamente.8

Una descripción física de las correcciones perturbativas es la si-guiente; el término perturbativo en el hamiltoniano está generadopor fuerzas que actúan sobre el sistema no perturbado y tienden adesviarlo de su configuración no perturbada. Debido a que se usa lafunción de estado no perturbada para calcular la energía a primerorden, se ha ignorado esta desviación y el sistema se trata como sifuera rígido. El cálculo es análogo al cálculo clásico de la energía deinteracción con un campo eléctrico externo de una distribución decarga determinada de antemano, o bien el de una distribución de ma-sa dada en un campo gravitatorio externo. Ya que se utilizan funcio-nes de estado perturbadas, el cálculo a segundo orden toma en cuentala distorsión del sistema debido a las fuerzas perturbativas, por lo me-nos a primera aproximación. Los elementos de matriz H'}n miden laintensidad de las fuerzas de distorsión, y la energía en el denomina-dor,^,, — &¡, mide la resistencia a la distorsión, o rigidez del sistema.Estas distorsiones son análogas a la polarización de una distribuciónde carga en un campo eléctrico externo y a la deformación producidasobre un cuerpo por un campo gravitatorio externo.

Los signos algebraicos en el desarrollo perturbativo para la energía,determinan si la energía del sistema crece o decrece como resultadode la perturbación. La corrección a primer orden puede tener cual-quier signo, dependiendo únicamente del carácter atractivo o repulsi-vo, en promedio, del término perturbativo; es negativo en el primercaso y positivo en el segundo. Respecto a los términos a segundoorden se acaba de argüir que surgen debido a los efectos de distorsión7 El resultado se concluye más fácilmente de la ecuación (28). Ya qûe h multiplica la suma,se concluye inmediatamente que si c¡Jcnn es de orden Xa, la energía será de orden X4+1.

8 Para establecerlo en forma general, se puede decir que las correcciones de la teoría de per-turbaciones se calculan al orden más bajo diferente de cero. Es muy raro que se anulen elprimer orden y el segundo, y se necesiten términos a orden superior.


o sea, debido al ajuste del sistema a la influencia de las fuerzas de per-turbación. Pero, cualquier sistema responde a una fuerza perturbatí-va deformándose a expensas de esta fuerza y, por lo tanto, decrecien-do la energía potencial de interacción. Como consecuencia, se esperaque la corrección a segundo orden baje la energía, comparada con suvalor a primer orden. Sin embargo, no es posible especificar en gene-ral las condiciones bajo las cuales se realizan estas conclusiones, ex-cepto para el caso especial del estado base. Para este caso, la correc-ción a segundo orden siempre baja la energía, sin importar la caracte-rística de la perturbación, lo cual se concluye inmediatamente de laecuación (35). La energía del estado base 3>ü es menor que<9j paratoda j T¿ O, por lo cual todo término de la suma, y por lo tanto el tér-mino X2 en la ecuación, es negativo. Resumiendo, bajo argumentosfísicos se espera que la corrección a segundo orden baje la energía,aunque se ha demostrado este resultado nada más para el estado base.

El comportamiento de los elementos de matriz que aprecen en laecuación (35) dependen demasiado de los detalles del problema co-mo para poder hacer generalizaciones muy amplias. Sin embargo, laspropiedades de simetría del sistema sí tienen una influencia muy pro-funda que es bastante fácil de determinar. Si el hamitoniano no per-turbado fí0 es simétrico, como en general lo es, y el término perturba-tivo H' tiene simetría definida, par o impar, es fácil concluir que lamitad de los elementos de matriz de//'son cero. El argumento se ba-sa en el hecho de que los estados no perturbados tienen simetría defi-nida cuando el hamiltoniano no perturbado es simétrico. Si// 'es par,todos los elementos de matriz entre estados de paridad opuesta seanulan automáticamente,

pai ) = O, (36)

Análogamente, si H' es impar, todos los elementos de matriz entre es-tados de la misma paridad se anulan automáticamente,

(«¿•par l#'i — O- (37)

Estas reglas tan generales son casos especiales de las llamadas reglasde selección en espectroscopia. Hay que observar que las reglas deselección para H' impar tienen como consecuencia que la correc-ción a primer orden para la energía se anula para todo estado.9

La importancia de este resultado se puede juzgar partiendo del ejemplo de un sistema ató-

dendej el campo

eléctrico aplicado, lo que significa que tales sistemas no poseen un momento dipolar eléctri-co que sea permanente. Esto explica el resultado observado de que átomos y núcleos no po-sean momentos dipolares eléctricos. Para una discusión más detallada ver la Sección 3 delCapítulo VIII.


Esta discusión se puede concluir con algunas observaciones sobrela convergencia de los resultados perturbativos. Ya se puntualizóque, para un estado dado n, el método falla excepto si KH'jn<&n—&¡para todos los valores deyVn, lo cual es una condición necesaria parala convergencia pero no suficiente en vista de las sumas infinitas queaparecen en las ecuaciones (33) y (34). Sin embargo, se puede esta-blecer una condición suficiente para la convergencia, aunque no muyrigurosa, encontrando una cota superior para la magnitud de la correc-ción a segundo orden. Se parte de la ecuación (35) escribiendo unadesigualdad que se obtiene sustituyendo cada término en la suma porsu valor absoluto.

I I U' I\tt nil (38)

Se introduce la expresión b.8>n , que es la diferencia entre<9ny su ve-cino más cercano, y sustituyendo cada denominador de la ecuación(38) por) A^n|, lo cual aumenta la desigualdad, se obtiene que,

\H\ 1

2ídonde se ha tomado explícitamente la convención de que un acentosobre el símbolo de suma significa que el término i — n se omite. Su-mando y restando este término omitido, se obtiene que,

I//',

La suma de la derecha se puede calcular en la forma siguiente. De ladefinición de los elementos de matriz se tiene que,

dx' i 4n*(x)H'(x)4>*(x) dx.i

Sumando sobre í y usando la propiedad de cerradura de <t>t se obtiene

-*') H'(x) <t>n*(x) dxdx',

e integrando sobre x ' se encuentra que 1

Finalmente usando \Hnn'\2 = (<£n | / / ' |<£n)2 , se obtiene

10 Para una derivación de este resultado usando los métodos del álgebra de matrices, ver lasección siguiente, ecuación (47) con X =B.


I A 5,1 (39)

es decir que la corrección a segundo orden de la energía de un estadodado es menor en magnitud que la razón de la desviación cuadradamedia del hamiltoniano perturbado, respecto a su promedio para elestado en cuestión, entre la energía de separación de ese estado y suvecino más próximo. Hay que aceptar que este resultado no es muyexacto, pero es simple y útil, como se verá más adelante.

Como primer ejemplo del uso de la teoría de perturbación, se pue-de considerar el caso de un oscilador armónico con un fondo plano,provocado por una perturbación gausiana. Específicamente se escri-be,

H =

y con X = 1,

ma>2x2

H' = y e-ax

La corrección a primer orden para la energía del estado base, que esel valor de expectación de //'para el estado base, se calcula fácilmen-te dando como resultado,

i mulh V'2

\a + mai/ti )

Hay que notar que para a < mtalñ, o sea cuando el término pertur-bativo es prácticamente constante en el dominio del estado base, laenergía crece por la cantidad V que es precisamente lo que debe depasar cuando se suma al hamiltoniano un potencial constante de esamagnitud. También hay que observar que cuando « > mullí , o seaque la gausiana es estrecha, la corrección es pequeña aunque V seacomparable en magnitud a Ato. Por lo tanto, el resultado a primerorden parece satisfactorio en los límites de a grande y pequeña, paravalores de V que no son pequeños necesariamente y también parecesatisfactorio para todos los valores de a. Una forma de comprobarestas conjeturas sería la de calcular las correcciones a segundo orden,pero resultaría muy difícil de llevarlo a cabo y resulta más sencillousar la cota superior a estas correcciones que proporciona la ecuación(39). Ya que se está tratando con el estado base, el término a segun-do orden tiene que ser negativo (¿por qué?) y, por lo tanto, despuésde un cálculo elemental se puede escribir el resultado en la forma

/ . v( 1 — e)

-ftúj I l/ ( racu/ft-Q = -^-+V\ — ; - TT2 \a +• wco/ft/


ionde e, la razón de la corrección de segundo orden a la correcciónie primer orden, se puede expresar como

+/ mo>/ft \1 /21\ a + m(a/h] }

Cuando a es pequeña, como es el caso de un potencial aproximada-mente constante, el miembro derecho es del orden de a2F/ftw y porlo tanto despreciable, aunque se tengan valores apreciables de V¡ ftcu.Por otra parte, cuando a > mu/ti, el miembro derecho es del ordenV¡h<a y, por lo tanto, no puede asegurarse que la serie perturbativa;onverja a menos que V/ñ<a < 1, contrario a lo que se esperaba. Laverdadera situación para a grande es la siguiente: la corrección a lainergía es pequeña como ya se ha encontrado, pero la estimación aprimer orden de esta corrección no es confiable a menos que V/h<atambién sea pequeño.

Como segundo ejemplo, y último, se puede considerar el caso deun oscilador anarmónico que, desde el punto de vista físico, es mu-cho más interesante y está descrito por el hamiltoniano,

H = £- + -[ meo2*2

2m 2

El hamiltoniano no perturbado se escribe como,

(40)

por lo cual, con X = 1,

I meo2

Para obtener la energía a primer orden se tiene que calcular (<j>n\x*\$n ),donde «í> „ es la función de estado w-ésima del oscilador armónico, lacual, de la ecuación VI-47 viene dada por,

De las ecuaciones (VI-34) y (VI-35), se puede escribir que,

x= Vfc/2mctí (a + at),y je4 es función de los operadores de aniquilación y creación. Recor-dando que ot operando sobre un estado del oscilador armónico produ-ce el siguiente estado más alto y a el siguiente estado más bajo, seconcluye que al operar q veces sobre <£„ con a y4-qveces con at, en


cualquier secuencia, se obtiene el estado 4>n+4-2Q • Debido a la ortogo-nalidad de las funciones </>„ la contribución diferente de cero al ele-mento de matriz proviene de q = 2. En otras palabras, en x4 solamen-te contribuyen aquellos términos que contiene al operador a dos ve-ces y al operador at también dos veces. Explícitamente,

+ términos que no contribuyen] .

Considerando un término típico, por ejemplo el primero, se tiene que,

co

donde se ha usado el hecho de que, en la representación del operadorde creación a = ci/cftzt, o sea que el efecto de operar con a es equiva-lente a diferenciar respecto a at. Por lo tanto, usando la misma técni-ca con el resto de los términos, se obtiene inmediatamente que,

l)2+n(n+

n(n+ - 1)]

Finalmente, ya que

£„ = &n+ <

se obtiene que

(41)

La validez de esta aproximación requiere que el término de correc-ción sea pequeño comparado con la distancia entre estados, es decirque,

2n(n+ 1)]

Por esto, el resultado es válido para b suficientemente grande, peroaunque b sea grande, la aproximación resulta peor a medida que n


crece. Este resultado es de esperarse porque los estados altos se ex-tienden a valores grandes de x y, para valores de x lo suficientementegrandes, la perturbación resulta enorme aunque b sea grande.

Aunque la ecuación (41) proporciona una relación entre el térmi-no perturbativo del hamiltoniano y las correcciones a los estados deenergía, la detección experimental de la presencia de estos términosanarmónicos es posible debido al término cuadrático en n2. Se po-dría ver con mayor claridad escribiendo el resultado en la formaequivalente,

donde

8o> = 3h/4Trrnb2.

Por lo tanto, la perturbación anarmónica tiene dos efectos diferentes:primero, aumenta la frecuencia en 8«>,u, y segundo, aumenta la dis-tancia entre los niveles al aumentar la energía. Los espectrocopistasobservan este espaciado entre los niveles y este crecimiento sistemáti-co refleja que se trata de un oscilador anarmónico. Para el experimenta-lista, el problema de descifrar los datos es más complicado de lo quese ha indicado debido a que una perturbación cúbica produce exacta-mente el mismo comportamiento cualitativo que la cuarta potencia.Es necesario recalcar que una perturbación cúbica contribuye sola-mente a segundo orden; la contribución a primer orden es cero (¿porqué?).12 También resulta que esta corrección siempre es negativa pa-ra todos los estados, lo cual ya se explicó por argumentos físicos.

Ahora se puede estudiar el caso más interesante, en el cual, la per-turbación cuadrática tiene signo negativo. Se podrían usar todos losresultados anteriores sustituyendo b2 por su negativo y, por ejemplo,la ecuación (42) resultaría

Sin embargo, es necesario aclarar en qué sentido los resultados per-turbativos anteriores se pueden aplicar, y son éstas las consideracio-nes que producen las características sorprendentes del problema. Enla Figura 1 se gráfica la energía potencial,

K = -r 2 í 1 _:^_ (43)

11 Este corrimiento en frecuencia no tiene nada que ver con la alteración del periodo clásicodel oscilador dependiente de la amplitud, como se observa claramente por la presencia de hen la expresión para 8o>. Se puede demostrar que el periodo clásico esta relacionado a la dis-tancia entre niveles, pero no se continuará con este tema.

12 Para una discusión de anarmonicidades cúbicas y cuárticas, ver la página 136 de la Referen-cia [24].

^1


y se observa inmediatamente que el espectro de energía exacto escontinuo, el espectro no está acotado en ninguna dirección y que,por lo tanto, el sistema no tiene estado base. Estas observaciones sonválidas sin importar lo pequeña que sea la perturbación en la vecin-dad del origen. Entre otras cosas, esto significa que se ha violado lahipótesis fundamental de que los estados exactos y no perturbados sepueden poner en correspondencia uno a uno y que estos estados seaproximan cuando la perturbación tiende a cero. Es claro que esteresultado no es cierto para E < O y para E >Vm, donde Vm es el valormáximo alcanzado por el potencial, como se muestra en la Figura 1.

En el caso en O =s E < Vm existen dos tipos diferentes de estados:(1) Estados continuos para los cuales la partícula se encuentra casi

exclusivamente fuera del pozo de potencial, por lo cual no se puedeponer en correspondencia uno a uno con los estados no perturbados.

Figura 1. La función de energía potencial F(x) para el oscilador armónico de laecuación (43). El valor máximo del potencial se denota por Vm.

(2) Estados en los cuales la partícula se encuentra casi exclusiva-mente dentro del pozo de potencial. Son éstos los estados que co-rresponden a los estados discretos no perturbados y únicamente paraestos estados es válida la aproximación perturbativa. Estos estadosse llamarán estados metastables o quasi-acotados.

Clásicamente, estos dos tipos de estados son totalmente diferentes,pero cuánticamente no lo son. Debido al efecto túnel, una partículaque se encuentre fuera del pozo tiene una parte muy pequeña de sufunción de onda dentro del pozo. Recíprocamente, la función de es-tado estacionaria de una partícula que se encuentra dentro del pozo,tiene una parte muy pequeña de amplitud diferente de cero que seextiende fuera del pozo. Esto significa que la probabilidad de encon-trar a la partícula en esta región es finita. Por lo tanto, si se tiene un


conjunto numeroso de tales partículas, o se espera un tiempo sufi-cientemente largo, se observarán partículas que emergen de la regióninterna. Lo que se tiene en este caso es una analogía del proceso dela radiactividad a .

Aunque la descripción del sistema anterior mediante estados esta-cionarios revela sus principales características, es instructivo volverloa examinar en términos de estados dependientes del tiempo. Paraello, se considera un paquete de ondas muy particular, aquél que seconstruye por superposición de los estados que se encuentran en lavecindad de uno de los estados quasi-ligados y que se construye detal manera que la partícula se encuentre en el interior del pozo conabsoluta certeza. Esta superposición de estados continuos se necesitapara cancelar el final del estado quasi-ligado, que sin ello se extende-ría a la región exterior. Esta superposición tiene una anchura carac-terística AE y la rapidez con la que el paquete de ondas, debido alefecto túnel, emerge del interior y está gobernada por esta anchura.Dicho con mayor precisión, se observa que en un tiempo T tal querAE/ftes del orden de la unidad, las relaciones de fase que se hanpuesto en el paquete inicial se alteran radicalmente y el paquete co-mienza a emerger de la región central. El tiempo T resulta ser la vidamedia del estado y está dada por

Esta relación entre vida media y anchura en energía de un paquete deondas es muy general; como se ha establecido anteriormente no esmás que otra manifestación del principio de incertidumbre. La carac-terística por la cual el presente caso resulta tan especial, a diferenciade la situación en el espacio libre, es la presencia del pozo de poten-cial que hace posible construir un paquete de ondas confinado a undominio muy pequeño y, por lo tanto, bien localizado en el espacio,además de que simultáneamente la energía se desparrama poquísimo.Desde este punto de vista, un estado estacionario verdaderamente li-gado es el caso límite para el cual el dominio espacial es pequeño y lacantidad que se desparrama la energía es exactamente cero. Cualquie-ra de estos estados tiene una vida media infinita. Notar que en estospaquetes de onda la cantidad que se desparrama el momento linealsiempre es muy grande debido a la presencia del potencial, por lo queno existe ninguna violación a la relación de incertidumbre entre laposición y el momento.

Finalmente, volviendo a la validez de la aplicación de la teoría per-turbativa, se ve que solamente para los estados quasi-ligados y quasi-estacionarios se puede usar la teoría. Si la corrección para algún es-tado no perturbado es pequeña, entonces, está garantizada que la an-

MATRICES 215chura de ese estado es pequeña. En este sentido se puede decir queel análisis de la teoría perturbativa se aplica sin modificación y laecuación (41) se aplica con b2 negativa.

4. MATRICES

En el desarrollo de la teoría de perturbación los elementos de ma-triz del término perturbativo en el hamiltoniano juegan un papel muyimportante. A continuación se discutirá brevemente la representa-ción de operadores por matrices y se expondrá los elementos del álge-bra de matrices.

Para iniciar este desarrollo se considera un operador A que operasobre un conjunto completo de funciones <£„ ortonormales. El resul-tado de esta operación será una nueva función que puede expresarsecomo superposición del conjunto completo, es decir, que

m

donde la notación intenta exhibir el hecho de que el coeficiente de<£men la superposición depende del operador A y del estado <£„ sobre elcual opera. Debido a la ortonormalidad de<¿>mse tiene que

Amn = / $m* Atj)n dx = (<j>m\A \<f>n). (45)

Este arreglo de números se llama matriz, y cualquier número en par-ticular se llama elemento de la matriz o elemento de matriz. Estearreglo es totalmente equivalente al operador A en el sentido de queestos números definen completamente el efecto de operar con A so-bre cualquier función arbitraria. Esto se sigue de que tal funciónsiempre puede desarrollarse en términos del conjunto completo </>« yy la ecuación (44) describe el resultado de operar sobre cada <£„.. Porlo tanto, la matriz con elementos Amn es una realización o representa-ción del operador A. Una forma conveniente de visualizar este arregloes colocar los números en hileras y columnas con^4mn como el númeroen la hilera m-ésima y en la columna n-ésima. Por esto, se puede escribir

(A n AIZ . . . Aln . .

A =

(46)


Es necesario puntualizar que cualquier representación por matricesde un operador depende del conjunto de funciones 4>n , o funcionesbase, que se usan para construir el conjunto de números A mn. Si seusa un conjunto diferente, por ejemplo i|»n, se obtiene un nuevo con-junto de elementos de matriz, pero la nueva matriz sigue representan-do al mismo operador. Las transformaciones de una representación aotra, forman un tema importante de estudio en mecánica cuántica.13

También se puede considerar el producto C de dos operadores A

Se tiene que,

Pero,

Cmn =

C = AB.

dx= f <{>m*AB<j>n dX-

B<t>n —

AB<(>n = BsnA<f>s =s,k

por lo cual se tiene que,

Cmn = / 4>m* Ak*B*n$ks,k

y, finalmente, ya que las funciones $m son ortonormales,

*- mn == \Atf ) mn = y A ms"sn- (47)

Esta regla para multiplicar matrices es fácil de recordar. Los elemen-tos de matriz se escriben en el mismo orden que los operadores, don-de el primer índice del primer factor y el segundo del último factormarcan el elemento de matriz del producto y la suma se toma sobreel índice intermedio que es común. Dicho de otra manera, el elemen-to de matriz mn del producto se obtiene multiplicando la hilera w-é-sima de la primera matriz por la columna n-ésima de la segunda, ele-mento por elemento. Notar que la multiplicación está definida úni-camente si el número de elementos en las hileras de la primera matrizes igual al número de elementos de las columnas en la segunda matriz.

La generalización a un producto de más de dos matrices es trivial.Aplicando sucesivamente la ecuación (47) se obtiene inmediatamen-te que,

13 Ver Referencia [19] o cualquiera de las Referencias [22]-[28].

MATRICES

(ABC •••R)mn= £ AmiBlkCkíi.k.l s

R

217

(48)

Usando la representación de matrices se ve claramente que la mul-tiplicación de operadores no es conmutativa, ya que de la regla gene-ral se tiene que,

claramente diferente de (AB)mn si se compara con la ecuación (47).De las definiciones, se obtiene trivialmente que

(A + B)mn = (B + A)mn = Amn + Bmn

y, además, si dos matrices son iguales, entonces, cada elemento de laprimera es igual al elemento correspondiente de la segunda.

Entonces, se puede concluir que todas las relaciones que se cum-plen entre operadores también se cumplen entre las matrices de larepresentación. Por ejemplo, si

entonces,(A,B) =

(A,B)mm~ (AB)mn- (BA)mn = Cmn,

por lo que las matrices que representan a operadores que conmutentambién conmutan.

La representación por matrices del adjunto de un operador es fácilrelacionarla con la representación por matrices del operador. Recor-dando la definición de adjunto, ecuaciones (V-l la, 1 Ib), se concluyeinmediatamente que,

* = Am*. (49)

Introduciendo el símbolo Á para la matriz transpuesta

(A)mn = Anm,

se concluye que la ecuación (49) puede escribirse como

que es independiente de la representación.

Ejercicio 2.t Deducir la ecuación (49).

Se observa que para un operador hermitiano A—A ^, de la ecuación(49) se obtiene el resultado encontrado anteriormente para el opera-

,„»

218

dor hamiltoniano,

MÉTODOS APROXIMADOS

Á — A *Stmn — s*nm .

Por esto, los elementos diagonales Ann, de una matriz hermitiana sonreales. Este resultado no es una sorpresa porque Ann es el valor deexpectación de A en el estado </>„.

Una representación particularmente simple de un operador se ob-tiene cuando se usa su conjunto completo de autofunciones comobase. Entonces, si <#>„ son las autofunciones de A,

se tiene inmediatamente que,Amn = am8mn. (50;

O sea que, en la base formada por sus autofunciones, la representa-ción por matrices de un operador es diagonal y sus elementos de ma-triz son precisamente los autovalores del operador. Desde este puntode vista, el problema de encontrar los autovalores y autofunciones deun operador es equivalente al de transformar a una base en la cual larepresentación por matrices es diagonal.

5. ESTADOS VECINOS O DEGENERADOS

El método aproximado de la teoría de perturbación que se ha de-sarrollado en la Sección 3 necesita para su aplicación que el elementode matriz //'njque conecta los estados «-ésimo y/-ésimo sea pequeñocomparado con la separación de energía 8>n — 8>¡ entre los estados,para todos los valores de /. Ahora, se puede discutir la modificaciónque es necesaria hacer cuando esta condición no se cumple para al-gún estado, como por ejemplo el /-ésimo. Un caso de mucha impor-tancia es aquél para el cual los estados «-ésimo y /-ésimo son degene-rados, <3>n = <3>i. Si(3n—c5, no es grande comparado con//'ní, no sepuede suponer con seguridad que la amplitud cín del estado /-ésimosea pequeña y al analizar la ecuación (26), que es exacta, se tienenque tratar cnn y Cin con la misma importancia. Los coeficientes cjnque quedan pueden considerarse pequeños y se puede escribir laecuación (26) como,

j=n: (En-&n -X//'nn) cnn-\H'nl cln =X Y H'nl cin

, cnn+ (En — &i — X//' ( i) c ín= X ^ H'itcin (51)

j*l,n: (En- &¡) c¡n = KH'jncnn+\H'¡lclH+\ Y H'H cin.

ESTADOS VECINOS O DEGENERADOS 219De la última de estas ecuaciones se concluye que el miembro derechode las dos primeras ecuaciones es del orden de X2 y, por lo tanto,puede despreciarse a primer orden. Con esta aproximación se tieneque,

) cnn-XH'alcln = 0

donde el determinante de este par de ecuaciones homogéneas en lasincógnitas cnn y cln tiene que anularse,

(En - <9.-X//',B) (£„-#,- A//',,) -A* //',.//',„ = 0.y resolviendo esta ecuación se obtiene que,

mientras que de la ecuación (43) resulta

an~&l+l(H'nn~H'"]] + H'lnH'nl, (53)

\H'l

'•n~ &l~ X//'// X//'ní(54)

Se han obtenido dos energías de perturbación y dos estados que co-rresponden a los signos más y menos en la ecuación (53). Este resul-tado es debido a que se han tratado dos estados no perturbados, el/-ésimo y el n-ésimo, con la misma importancia y se ha determinadosimultáneamente la energía a primer orden para cada uno. Suponien-do que los estados no están degenerados, para poder determinar si es-ta interpretación es correcta se puede tomar X casi cero, por lo cual,el término en X2 bajo el radical en la ecuación (53) se puede conside-rar pequeño. Entonces, usando el signo más de la ecuación (53) seobtiene que,

y usando el signo menos


Por lo tanto, la primera expresión es el resultado a primer orden de lateoría de perturbación para el estado «-ésimo y la última lo mismopara el estado /-ésimo.

Las características cualitativas de la ecuación (53) pueden aclararsemás si se escribe la ecuación en la forma siguiente. En primer lugar seintroduce el promedio de las energías a primer orden de los dos ni-veles,

A continuación, se introduce la separación relativa de las energías aprimer orden,

Y la ecuación (53) se puede expresar como,

En±IE = 1 ± V(A2/4)

la cual muestra que los niveles están igualmente espaciados respectoal promedio a primer orden. Hay que notar que los términos a segun-do orden siempre incrementan la separación relativa de los niveles yesta cantidad es mayor cuanto mayor sea la degeneración a primerorden, es decir, cuanto más pequeño sea A. Esta tendencia generalde los niveles vecinos a repelerse se ilustra en la Figura 2, donde segráfica En

±/E como función de A. Se observa que la contribución asegundo orden proviene de la degeneración exacta y así resulta impo-sible que niveles vecinos se crucen cuando la intensidad de la pertur-bación se altera.

.-- o

Figura 2. Energía a segundo orden de un par de estados degenerados vecinos co-mo función de la separación relativa a primer orden A. La magnitud de la co-rrección a segundo orden es la distancia entre las curvas continuas y las curvaspunteadas. Por lo tanto, estas últimas son la energías obtenidas al despreciar co-rrecciones a primer orden.

ESTADOS VECINOS O DEGENERADOS 221

A continuación se va a tratar la situación en la cual los estados noperturbados tienen una degeneración exacta 3>n = &t . En este casolas ecuaciones (53) y (54) resultan,

V/'»' (55)

1'nn~ H U . (56)

Hay que notar que la relación entre las amplitudes ya no depende deX . Este resultado es consecuencia de la arbitrariedad inherente encualquier especificación de un conjunto de estados degenerados. De-bido a esta arbitrariedad, si no se tiene más información, no es posi-ble establecer a priori una relación única entre estados perturbados yno perturbados. La ecuación (56) establece cuáles son las combina-ciones lineales de los estados degenerados no perturbados que se tie-nen que poner en correspondencia uno a uno con los estados pertur-bados y la respuesta depende del carácter de la perturbación. Comoejemplo específico se puede considerar el caso en que

H'nn — //'« — O

En este caso se obtiene el resultado

(57)

(58)

Los estados degenerados originales están totalmente mezclados yaque |c,n| = |cnn| . Este caso ocurre para una perturbación antisimétri-ca que actúa sobre estados degenerados de paridad definida aunqueopuesta. Por otra parte, si los estados /-ésimo y «-ésimo tienen lamisma paridad, es fácil concluir que//¡'n es cero si la perturbación esantisimétrica y los estados permanecen degenerados a primer orden.En este caso, se necesita un cálculo a segundo orden para encontrarel desdoblamiento de los niveles debido a la perturbación.

Como segundo ejemplo, se puede considerar el caso en el cual,»

H'ln = //'„/* = O,

por lo que los estados no están conectados a primer orden. En estecaso, los dos estados están descritos por


£„= &„+ \H'nn, cnn - 1

En= c,n - 1

y la degeneración no interviene en el análisis. Ejemplos de este tipose presentan cuando la perturbación conmuta con el conjunto deoperadores usados para definir los estados no perturbados. Dicho deotra manera, el análisis se reduce al de la teoría de perturbación con-vencional cuando los estados no perturbados pueden especificarsemediante un conjunto de operadores en forma única, cada uno delos cuales conmuta con el término perturbativo.

6. TEORÍA DE PERTURBACIÓN DEPENDIENTE DEL TIEMPO

Finalmente, se puede considerar el caso de un sistema en algún es-tado inicial definido, sujeto a alguna fuerza externa dependiente deltiempo. Como ejemplo, se puede tomar el caso de un átomo sobreel cual se ejerce una fuerza oscilatoria debido a una onda de luz quepasa a través de él. Se supondrá que la fuerza externa es lo suficien-temente débil para que se pueda aplicar un método perturbativo. Elhamiltoniano se escribe en la forma,

H = H0 + H'(t), (59)

sin introducir el parámetro A. . Ahora se buscan soluciones aproxima-das de la ecuación de Schródinger dependiente del tiempo,

Llamando $„ y &n a las autofunciones y autovalores del hamiltonia-no no perturbado, se puede expresar i// como la superposición,

«!»(*, f ) = £ a. (t) <t>n(x),n

donde los coeficientes del desarrollo se toman como funciones deltiempo. Si H' fuero cero, los coeficientes an serían proporcionales ae-¡ontiñ sjn pér(jida de generalidad, es conveniente escribir

por lo cual,

«/,(*,') = 2 c n ( f ) <£„(

Por lo tanto, se tiene que

(//„ + H'W= 2 c n ( t ) &n<}>ne-

(60)

c n ( í ) e-^»

TEORÍA DE PERTURBACION DEPENDIENTE DEL TIEMPO

yh dt|/ ti „ dcn

i dt i ¿-1 dt n " ' ¿i "

por lo que la ecuación de Schródinger resulta ser,

223

Multiplicando por <j>m* e integrando, se obtiene que para cada m

Este conjunto simultáneo de ecuaciones diferenciales de primerorden y acopladas es exacto, y es completamente equivalente a laecuación de Schródinger dependiente del tiempo. Naturalmente,las condiciones iniciales tienen que especificarse. Se consideraráúnicamente el caso en el cual ,/,(/ = 0) = <K > ° sea> el sistema se en-cuentra en el estado inicial k no perturbado. Entonces, se tieneque,

rt.

Se supondrá que la perturbación es tan pequeña o los tiempos losuficientemente cortos, como para considerar que todos los coefi-cientes cn son pequeños, excepto ct Entonces, a primer orden se tie-ne que

m k:S£*-_¡ „,dt ~ 1I

H

donde se ha conservado solamente el término fc-ésimo en la suma dela derecha de la ecuación (61). De la primera de estas ecuaciones re-sulta que,

ck = exp [-' f "'**(/)Jo dt/ti] - dt.

Despreciando la desviación de ck respecto de la unidad, ya que estadesviación contribuye con términos de orden superior al primero, dela segunda ecuación resulta que

mH'mk(t) dt . (62)

Como primer ejemplo se supondrá que //"es independiente del tiem-po, excepto desde f = 0cuando la perturbación aparece repentinamen-


hasta cuando desaparece al tiempo t también repentinamente. En-tonces, se obtiene que

Cfc =«?-<«'**«'*,

que corresponde a un corrimiento H'kk en la energía, en concordanciacon el resultado de la teoría de perturbación estacionaria a primer or-den. Para las cm se tiene que,

cm(t) = H'e-u & k- & ,„»/» _

mk

o bien,(63)

Para estados no degenerados, si H'mk es bastante pequeño, entonces\cm |2 permanece pequeño para todo tiempo t. Sin embargo, siH'mkes grande, la aproximación es válida solamente para t pequeño. Enambos casos, la interpretación del resultado es la siguiente. La canti-dad ícm(í)|2 es la probabilidad de encontrar al sistema en el estadon-ésimo no perturbado después de que ha ocurrido la perturbación siel sistema se encontraba inicialmente en el fc-ésimo estado no pertur-bado. Desde este punto de vista, al actuar la perturbación durante elintervalo de tiempo de O a t, provoca transiciones entre estados noperturbados.

A continuación se puede considerar el caso de estados degeneradoso aproximadamente degenerados. Para 3>m — 8>k se tiene que

\ f j > \2f2lt2\n mk\ t ¡n , (64)

y, por lo tanto, la probabilidad de transición crece rápidamente conel tiempo y finalmente resulta del orden de la unidad. Este resultadoes válido sin importar lo pequeño que sea H'mk en tanto que no seaidénticamente igual a cero y la razón es fácil de entender partiendode los resultados previos de la teoría de perturbación estacionaria.Como ya se estableció, cuando los estados £-ésimo y m-ésimo estándegenerados y H' mk es diferente de cero, los estados perturbados soncombinaciones lineales de los estados degenerados no perturbadoscon amplitudes relativas del orden de la unidad. El crecimiento de\cm |2 refleja el intento decidido (pero sin éxito) del sistema de alcan-zar la combinación lineal correcta como respuesta a la perturbacióny, como cm finalmente resulta comparable con efe, la aproximación esválida sólo para tiempos pequeños. Sin embargo, resultados válidospara tiempos arbitrarios se pueden obtener tratando cn y ck simul-táneamente en la ecuación (61) y en igualdad de condiciones. Las

TEORÍA DE PERTURBACIÓN DEPENDIENTE DEL TIEMPO 225

ecuaciones acopladas que resultan son fáciles de resolver, pero los de-talles se dejan para los problemas.

Un aspecto de la ecuación (63) que es bastante sorprendente es elresultado de que \cm\2 inicialmente crece como t2. Se esperaría quela probabilidad de transición creciera linealmente con el tiempo, osea, que el efecto de la perturbación se describiera en términos de larapidez a la cual se inducen las transiciones. Claramente no es éste elcaso de transiciones a un solo estado final degenerado, sino a un gru-po denso de estados finales, como el continuo. Para entender la im-portancia de este caso, se considera la probabilidad de transición P aun grupo de estos estados,

p= ' = 2s n - <g,)f/2ft]

(&k-(65)

La estructura de esta suma es muy interesante. Para t grande y fija,se puede considerar que el elemento de matriz H'mk varía muy lenta-mente de término a término comparado con el resto del factor. En-tonces, la cantidad |cm. |2 como función de 8>m tiene un máximo muybien definido en el punto &m = &k, como se muestra en la Figura 3.De la figura se observa claramente que, cuando t tiende a infinito, lastransiciones ocurren con probabilidad apreciadle dentro de una ban-da de estados cada vez más estrecha, con energía E centrada respectoa la energía del estado inicial &k. Este resultado expresa la conserva-ción de la energía, ya que los estados finales que se pueblan aprecia-blemente son los estados cuya energía difiere de la energía del estadofinal por una cantidad infinitesimal. Los efectos no conservativos deponer y quitar la interacción resultan despreciables si el tiempo em-pleado entre los mismos es lo suficientemente grande.

De la figura se nota que la anchura del máximo en la curva para laprobabilidad de transición es inversamente proporcional a /, y la altu-ra de la curva es proporcional a t2. Entonces P, que es proporcional

Figura 3. Probabilidad de transición contra la energía.


al área bajo la curva, crece linealmente con t. Para ver este resultadoexplícitamente y recordando que se supuso que los estados finalesson densos, la suma de la ecuación (65) se convierte en una integralsobre un intervalo AE rodeando a &k, expresando el número de esta-dos en el intervalo de energía entre E y E + dE como p(E} dE. En-tonces p(E) es la densidad de estado en E y se obtiene que

,„, ,2sin2[(¿? f c- E)t/2h]P — P(E)

donde H'mk significa el elemento de matriz entre el estado inicial yun estado final típico en el intervalo AE. Despreciando la variaciónde p(E) y de ¡H'mk |

2 en este intervalo, se obtiene que,

P = 4p(£) \H'mk\ dE.

Haciendo* = (E — &k)t¡2h resulta que,

„ 2t sirr dx.

Para í —»°° , se puede demostrar que la integral es igual a ir y por lotanto,

P^~p(E)\H'mk2t, (66)

donde P es proporcional a f, como se esperaba. Introduciendo la ra-pidez de transición como W = dP/dt, se encuentra que,

2ff '~ \H'mk\z. (67)

Este es un resultado muy importante y útil. Debido a Fermi se acos-tumbra llamarlo la regla de oro de la mecánica cuántica. En palabras,este resultado establece lo siguiente: el número de transiciones porunidad de tiempo de un estado inicial a un grupo denso de estados fi-nales, que conservan la energía es 2ir/ft veces la densidad de estadosfinales multiplicado por el cuadrado del valor absoluto del elementode matriz que conecta el estado inicial con los estados finales.

El dominio de validez de este resultado se determina mediante lassiguientes consideraciones. En primer lugar, la probabilidad total Pde que el sistema sufra alguna transición del estado inicial tiene queser pequeña, P < 1. Por lo tanto, de la ecuación (66) se tiene que,

^p(E) \H'mk\2t^ 1, (68)

que sirve para restringir el intervalo de tiempo en el cual se aplicael resultado. Por otra parte, de los detalles de la derivación es claroque el intervalo de tiempo no puede ser muy corto. Recordando quela anchura es inversamente proporcional a t como se ve en la Figura 3,

TEORÍA DE PERTURBACIÓN DEPENDIENTE DEL TIEMPO 227

y designándola por e, se tiene que

et/2fi = 1. (69)

También hay que recordar que el cálculo de la suma sobre los estadosfinales en la ecuación (64) supone que f es tan pequeña como paraconsiderar que la densidad de estados y los elementos de matriz sonconstantes. Si e(l es una medida de la anchura máxima en la cual sejustifica esta suposición, entonces, se tiene que

e(>t/2ñ a l . (70)

La única forma que, en general, las ecuaciones (68) y (70) se puedensatisfacer simultáneamente, es que H'mk sea pequeña. Entonces, resu-miendo, no es sorprendente concluir que la regla de oro se aplique só-lo a perturbaciones débiles.

Merece comentarse otro aspecto de la ecuación (69). La cantidade mide la incertidumbre en la energía de los estados finales a los cua-les llega el sistema debido a la perturbación. El producto de esta in-certidumbre por el tiempo durante el cual actúa la perturbación es delorden de h , en concordancia con el principio de incertidumbre.

Hasta aquí se han considerado perturbaciones independientes deltiempo, excepto mientras se pone o se quita. A continuación se ge-neralizará al caso de una dependencia armónica en el tiempo, consi-derando una perturbación de la forma

H'(x,t) = H'(x)e±i(71)

que es del tipo que describe los efectos del campo de radiación elec-tromagnético.14 De la ecuación (53) se concluye inmediatamente quetodos los resultados son válidos si &k — &m se substituye por &k —&,„ + fto>. La ecuación (63) resulta

(72)

Para que la notación quede clara, es necesario puntualizar que el sig-no superior en la ecuación (72) corresponde al signo superior en elexponente de la ecuación (71), y análogamente para los signos infe-riores.

Las transiciones del estado A>ésimo al estado m-ésimo suceden conprobabilidad apreciable solamente cuando,

&„,= &k + Uto, (73)

14 En forma estricta, la dependencia armónica en el tiempo es trigonométrica, o sea COI (oí/ +8). Como consecuencia, tiene lugar una interferencia entre las componentes de frecuiDOltpositiva y negativa de la perturbación, pero su contribución es despreciable para lll Intui-ciones con probabilidad apreciable, es decir, cerca de la resonancia.


lo cual significa que las transiciones se inducen de preferencia en sis-temas que absorben o emiten un cuanto de energía ha> . En el pri-mer caso se llama absorción de resonancia y en el segundo emisión es-timulada o inducida. Si w es tal que se satisface la ecuación (73), y sik y m se refieren a estados discretos no degenerados, la probabilidadde transición que viene dada por la ecuación (64) crece duadrática-mente con el tiempo como antes. El resultado es válido para tiempossuficientemente cortos, sin importar lo débil de la perturbación. Sinembargo, como en el caso de la perturbación independiente del tiem-po, se pueden obtener resultados válidos para tiempos arbitrarios sise tratan. cm y ck con la misma importancia en la ecuación (61). Lasecuaciones que resultan son fáciles de resolver, pero los detalles delcálculo se dejan para los problemas.

Si se consideran transiciones a un (o de un) conjunto denso de es-tados degenerados en el continuo, la derivación de la ecuación (67)permanece inalterable, pero las energías de los estados inicial y finalestán relacionados por la ecuación (73). Todavía se puede hablar deconservación de energía en el proceso si se entiende que se refiere ala energía total del sistema, la parte material más el campo de radia-ción. Por esto, en la absorción, el sistema material absorbe un cuantoftw a expensas del campo de radiación. En el proceso de emisión, elcampo de radiación gana un cuanto a expensas del sistema material.15

Entendiéndolo así, la regla de oro y su interpretación quedan sin mo-dificación.

Es necesario puntualizar que, en este desarrollo, se ha consideradoel campo electromagnético como una entidad estrictamente clásica.El hecho de que la emisión y la absorción estén cuantizadas es unaconsecuencia automática de las propiedades cuánticas del sistema ma-terial; no está directamente relacionado con las propiedades cuánticasdel campo, pero sí es consistente con esas propiedades. Si esto últi-mo se quiere tomar en cuenta, las amplitudes del campo deben deconsiderarse como operadores que actúan sobre la función de estadoque describe el campo. Estas amplitudes se pueden expresar en tér-minos de variables de oscilador armónico para cada modo, y el estadodel campo se puede caracterizar por el número de cuantos en cadauno. La energía del punto cero de estos osciladores armónicos juegaun papel crucial en la interacción de sistemas materiales con el campoelectromagnético. Estas fluctuaciones del vacío, como se les llama,son responsables de la emisión espontánea, es decir, la emisión de ra-diación por un sistema cuando no existe ningún campo de radiaciónexterno presente. El tratamiento clásico, válido únicamente para nú-

15 Procesos de absorción y emisión múltiples, donde intervienen dos o más fotones, se descri-ben por cálculos de teoría de perturbación de segundo orden y orden superior.

TEORÍA DE PERTURBACIÓN DEPENDIENTE DEL TIEMPO 229meros cuánticos altos, no contiene ninguna referencia a las fluctua-ciones del vacío y, por ello, no puede tratar la emisión espontánea.14

Se puede añadir, aunque sin demostrarlo, que la regla de oro tam-bién se aplica a la descripción de transiciones inducidas a un estadofinal discreto y definido, partiendo de un estado inicial que es unamezcla densa de estados degenerados en el continuo. Este procesoes el inverso del proceso descrito anteriormente.

Como ejemplo particular de la aplicación de la regla de oro se pue-de considerar el caso de una partícula de carga e en su estado base \(i0

en un potencial V(x) , que recibe luz de frecuencia w , por lo cualsalta al continuo. Esencialmente, este proceso es el defoto-ionización.Para llevar a cabo los cálculos se harán dos suposiciones. La primerade éstas se refiere a que se tomará la longitud de onda de la luz muygrande comparada con la dimensión del sistema. Esta es una suposi-ción muy común y generalmente válida ya que, excepto en la regiónde rayos-X y menor, la longitud de onda es mucho mayor que las di-mensiones atómicas. Con esta suposición, el campo eléctrico 8> queactúa sobre la partícula puede tomarse como uniforme en el espacio,aunque armónico en el tiempo, y por esto la perturbación toma laforma,

H'(x,t) = H ' ( x ) e~iu" =-e 3>x e~iult, (74)

que es precisamente la energía potencial instantánea de la partículaen ese campo17. La segunda suposición se refiere a tomar la frecuen-cia w grande para que la energía del estado final E sea muy grandecomparada con V(x). Esta última suposición permite tratar el estadofinal de la partícula como un estado de partícula libre, es decir, comoun estado de momento y energía bien definidos.

Las únicas dificultades que se presentan en este cálculo provienende calcular la densidad de estados finales puesto que se encuentran enel continuo, y de normalizar correctamente estos estados. Ambas sepueden resolver usando el truco de encerrar al sistema en una caja delongitud L muy grande y al final hacer tender L a infinito. Cuando elsistema se encuentra en esta caja, se puede obtener fácilmente unconjunto de estados discretos y normalizables, imponiendo condicio-nes a la frontera apropiadas. Por ejemplo, para una caja real, la fun-ción de onda tiene que anularse en las paredes. Sin embargo, las fun-ciones de estado definidas de esta manera no son estados de momen-to lineal definido, aún en el límite de L -»oo, debido a que estados

9

16 Para una discusión semiclásica de la emisión espontánea ver la Referencia [23].17 Se han despreciado fuerzas magnéticas debido a que son del orden v/c menores que lasfuerzas eléctricas, donde v es la velocidad de la partícula. También se ha omitido el terminode frecuencia positiva porque solamente interesa la absorción.


nunca se anulan. Por esto, se recurre a una argucia puramente mate-mática y no física, que es la condición peródica t//(*0 + L) = iM*o),donde se supone que las paredes están en x0 y en x.0+ L. Por razonesobvias, este requisito se llama condición a la frontera periódica.

Ya que las autofunciones simultáneas de momento y energía parala partícula libre son ondas puras de de Broglie e1^"®*1* , se exigeque

exp L)/ñ] =

y por lo tanto

\/2mE L¡h = 2mr, « = O, ±1,±2,

Los estados normalizados serán

xlfí

donde

'2mE = p =2mrh

n = 0,±l, '±2,:

(75)

(76)

A medida que L crece, el espaciado del espectro resulta cada vez me-nor y, en el límite, los estados resultantes son los estados continuosde partícula libre con momento definido. Este es precisamente elhecho que motiva y justifica la introducción de las condiciones a lafrontera periódicas.

Para calcular la densidad de estados p(E) hay que recordar que estadensidad se define como el número de estados con energía entre E yE + A E. De la ecuación (76), el número total de estados N (E) conenergía menor o igual que E es 2n + 1, y expresando n en términosde E resulta que,

Por lo tanto,

N(E+ AE) = V 2 m ( E + A E ) + 1 = N(E)2-rrh

Entonces, despreciando términos de orden superior,

LAN = N(E+ AE) - N(E) =

2-rrh

TEORÍA DE PERTURBACIÓN DEPENDIENTE DEL TIEMPO

pero, por definición AN = p(E) AE y por lo tanto,

231

(77)

Falta escribir el elemento de matriz de la perturbación //'(*) defi-nida por la ecuación (74), y para expresar explícitamente que está to-mado entre el estado inicial y el final, se escribe H ' i f . El estado ini-cial del problema es el estado base normalizado <|/0(;c) con energíaE0 = —€, donde « es la energía de ligadura. El estado final será elestado normalizado de partícula libre definido por la ecuación (75),con energía Ef dada por

Ef — E0 + h(¡) = ha — e .

Entonces, el elemento de matriz será,

(78)

dx

y usando las ecuaciones (74) y (75),

dx.

El factor que multiplica la intensidad del campo eléctrico & es el ele-mento de matriz del momento dipolar ex y H'\f resulta ser el prome-dio cuántico de la energía de un dipolo en un campo uniforme S>.

Entonces, la probabilidad de transición por unidad de tiempo re-sulta ser

W = p(Ef) //',

e'2&'¿\ (79)

Como se esperaba, la longitud de normalización L no interviene enel resultado final. La densidad de estados es proporcional a L pero,debido a la normalización de los estados continuos, el cuadrado delelemento de matriz es inversamente proporcional a L y el productode ambos es independiente de la longitud de normalización. Por lotanto, la ecuación (61) tal y como aparece es el límite alcanzadocuando L resulta infinito.

Es de cierto interés calcular el elemento de matriz para un ejem-plo, como sería el de una partícula en su estado base en un pozo depotencial cuadrado. Para simplificar el cálculo, se supondrá que laanchura del potencial es tan estrecha como para considerar que elestado base es el único estado ligado y, además, tan poco ligado quela función de estado se extienda muy lejos de las paredes del poten-


cial. Se tomará el límite para el cual la función de onda dentro delpozo cuadrado no contribuye en forma apreciable a la ecuación (6 1)y puede ignorarse. Extrapolando la función de onda exterior hastael origen, se puede escribir que,

(80)

donde e es la energía de ligadura. Esta función, que está normaliza-da, se ilustra en la Figura 4, y se compara esquemáticamente con laverdadera función de onda del estado base para un potencial es-trecho.18

ecuación (80)función de onda verdadera

Figura 4. La función de onda de la ecuación (80) comparada con la función deonda verdadera, para el estado base ligado débilmente en un pozo de potencialcuadrado muy estrecho.

Con esta simplificación final se tiene que,

dx

~ ~ dx

dx

dx

V'4

= /2meV / 4 _f t*_

/:| I x exp [—V2m

+ í° x exp [V2w(Ve + /J —00

\ h2 ) 2m I (Vé -i VE,)2 (Ve + /VE,)2

Entonces, la ecuación (79) resulta ser

m (E,2 + e2)2 '

'" La función de onda de la ecuación (80) se puede obtener haciendo tender 2a a cero y ôa infinito, pero en tal forma que 2a Vo se aproxime a una constante, por ejemplo g, es decir,el límite para el cual el pozo de potencial cuadrado se aproxime a g 8 (x). La energía de liga-dura se expresa en términos de g como f = mg '¿./2 ti*, que se puede verificar al tomar el lí-mite de la ecuación (VI-16). Ver también el Problema 4 del Capítulo VI.

TEORÍA DE PERTURBACIÓN DEPENDIENTE DEL TIEMPO

donde

E [ = fto> — € .

Ya que se supuso que tua > e , esta expresión se reduce a

233

w =w

(81)

Sujeto a todas las simplificaciones que se han hecho, este resultadosignifica que si una onda electromagnética de frecuencia w y vectoreléctrico & irradia un conjunto de N partículas, cada una de carga ey masa m en su estado base con energía de ligadura e que se encuen-tra en un pozo de potencial cuadrado, entonces, el número de foto-electrones producido por segundo con energía fuá — t esNW, dondeW viene dada por la expresión anterior.

El ejemplo que se acaba de estudiar es totalmente análogo al cálcu-lo de la foto-ionización de átomos o de la fotodesintegración (eléctri-ca) de núcleos. El cálculo, aunque no es trivial, se ha hecho en unadimensión, pero el cálculo en tres dimensiones es ligeramente más di-fícil. Las diferencias entre tres dimensiones y una, estriba en la den-sidad de estados. Pueden surgir otras diferencias si la estructura de lafunción de onda del estado base es diferente. La fotodesintegración(eléctrica) del deuterón aisla los efectos del cambio en la densidad deestados, ya que la función de onda del estado base del deuterón esla que, esencialmente, se ha usado en el cálculo. Entonces, resultaque la probabilidad de transición por segundo es proporcional ae1/2/co5'2 a energías altas en lugar de e3/2/w7'2. Por otra parte, la foto-ionización del átomo de hidrógeno provoca un cambio en la funciónde onda del estado base que es la que corresponde a un potencial cu-lombiano más que a un pozo cuadrado, con el resultado de que laprobabilidad de transición decae mucho más rápidamente con la fre-cuencia, siendo proporcional a e5/2/w9'2.

Como observación final, es necesario puntualizar la costumbre deescribir que es costumbre describir estos procesos en términos de laprobabilidad de desintegración o ionización por fotón incidente másbien que en términos de probabilidad por unidad del tiempo. El nú-mero de fotones por cm2 por segundo en un haz de luz de intensidad/ es proporcional a //ft&>, donde / es proporcional al cuadrado delcampo eléctrico &. Entonces, la probabilidad por fotón incidentepor cm2, es decir la sección eficaz o sección, es proporcional a e1/2/<ü3'2

para la fotodesintegración del deuterón, y proporcional a e5/2/o>7/2parala fotoionización del átomo de hidrógeno.


Problema 1. Si la pared de un potencial infinito se considera como eljunto de vuelta clásico, la función de onda se anula en el punto de/uelta; no se extiende un octavo de longitud de onda más allá deljunto de vuelta. Entonces, la condición (12) se tiene que modificar.

(a) ¿Cuál es la condición cuántica correcta para una partícula;n una caja (paredes infinitas)?

(b) Usar la aproximación WKB para encontrar los estados esta-ñonarios y comparar con los resultados clásicos. Explicar.

'roblema 2. Considerar el movimiento de una pelota botando. To-nar el movimiento como si fuera perfectamente vertical y las colisio-les de la pelota con el suelo como si fueran perfectamente elásticas,il potencial se muestra en la Figura 5.

(a) ¿Cuáles son las condiciones cuánticas correctas?(b) Usar la aproximación WKB para encontrar las energías de

os estados estacionarios.(c) ¿Cuál es el orden de magnitud del número cuántico apropía-

lo al estado estacionario de una pelota de masa lOOgm. que cae dema altura de un metro?

y =y = mgx

Figura 5. Energía potencial de una pelota botando.

'roblema 3. Aplicar el método variacional de Rayleigh-Ritz al osci-ador armónico para encontrar:

(a) La energía del estado base si se usa como función de pruebama gausiana cuya anchura varía.

(b) La energía del primer estado excitado si se usa como fun-;ión de onda de prueba,

v _ ,,

O, |jc| & a.

:on a2 como parámetro de variación. ¿Se aplica el principio del mí-limo? Explicar.

'roblema 4. Aplicar el princio variacional de Rayleigh-Ritz a una>artícula en una caja de anchura L para encontrar:

(a) La energía del estado base usando un polinomio de segundo¡rado como función de prueba.

PROBLEMAS 235

(b) La energía del estado base usando un polinomio de cuartogrado.

(c) La energía del primer estado excitado usando el polinomioapropiado más simple como función de prueba.Nota: En cada caso escoger la función de prueba de tal manera quesatisfaga las condiciones a la frontera correctas en las paredes.

Problema 5. En física nuclear, con frecuencia se usa un potencialarmónico cortado en x = ±b, o sea

V(x) =O,

bb.

(a) Usar el método de Rayleigh-Ritz para estimar las energíasdel estado base y del primer estado excitado. Como funciones deprueba usar el polinomio de la ecuación (19) del texto y el polinomiodel Problema 3(b), considerando en cada caso a1 como parámetro devariación. Escoger b tal que b > a.

(b) Hacer lo mismo para el caso b < a.(c) Estimar las energías de los mismos dos estados usando la

aproximación WKB (condición de cuantización de Bohr modificada).(d) De los resultados variacionales y de los resultados del méto-

do WKB, estimar el valor máximo de b para el cual el potencial con-tiene sólo un estado ligado.

(e) Comparar los resultados WKB y variacionales de los casosanteriores y decidir cuál de ellos es el más confiable. Explicar.

Problema 6. Una partícula se describe con el hamiltoniano//=//0-F^donde //„ es el hamiltoniano del oscilador armónico. Por lo tanto, setrata de un oscilador armónico en un campo gravitatorio uniforme(F = - mg) o en un campo eléctrico uniforme (F = - e&\

(a) Demostrar que a primer orden en la energía no cambian losautovalores.

(b) Demostrar que,

hj2m<a

= 0, m * n± 1.

(c) Calcular los autovalores de energía a segundo orden.(d) Encontrar la solución exacta al problema. Sugerencia: in-

troducir un corrimiento del origen. Comparar con los resultados dela parte (c).


Problema 7.(a) ¿Cuál es la matriz que representa a la operación de multipli-

car por la unidad? Esta matriz se llama matriz unidad. ¿Qué se pue-de decir de la multiplicación por un constante c?

(b) Por las reglas de multiplicación de matrices, verificar que almultiplicar la matriz unidad por cualquier matriz, se obtiene el resul-tado esperado.

(c) Dadas las matrices dos-por-dos

-U I)-encontrar A\ B2, A+B,AByBA.

Problema 8.(a) Los elementos de matriz xnm de x para el oscilador armónico

se obtuvieron en el Problema 6(b). Usando las reglas de la multiplica-ción de matrices, encontrar los elementos de matriz de x2. Verificarel resultado calculando directamente x2,,,,, . (Ver Problema 2(b) delCapítulo VI).

(b) Hacer lo mismo para p y p2. (Ver Problema 2(c) del Capítu-lo VI).

(c) Usar los resultados obtenidos para verificar que

<p, jc ) =.,*//.

Problema 9. Una partícula con energía E se mueve en un potenciali/ytx\ =-—i-üw cosh2 x/b

(a) Suponiendo que E > I Fol encontrar, con la mayor precisiónque sea posible, las condiciones sobre F0 y b para que la aproxima-ción WKB sea válida.

(b) Bajo las condiciones obtenidas en (a), calcular el coeficientede transmisiónr(E)y el incremento en tiempo asociado con el pasode una partícula de energía E a través del potencial.

Problema 10. Considerar una perturbación H' independiente deltiempo excepto al ponerla a t = O y al quitarla al tiempo t. Suponerque los estados no perturbados n-ésimo y m-ésimo están degeneradosexactamente 8>m= 8>n.

(a) Suponiendo que inicialmente el sistema se encuentra en elestado no perturbado n-ésimo, encontrar su comportamiento poste-rior. Partir de la ecuación (61) y despreciar todos los estados excep-to el par degenerado, pero tratar éstos sin ninguna aproximación.

(b) Determinar bajo qué condiciones iniciales se encontrará elsistema en un estado estacionario sin que la perturbación induzcatransiciones de primer orden.

PROBLEMAS 237

(c) Discutir la relación de estos resultados con los obtenidos enla teoría de perturbación estacionaria.

Problema 11. Una partícula de masa m se coloca en una caja de unadimensión, centrada en el origen, de anchura 2L y colocada en pre-sencia de un campo gravitatorio uniforme. El hamiltoniano del siste-ma será,

mgx, L.

Estimar las energías permitidas del sistema usando:(a) La aproximación WKB.(b) Teoría de perturbación a segundo orden (¿por qué no a pri-

mer orden?).(c) El método Rayleigh-Ritz (únicamente estado base). Usar la

función de prueba (1 — ax) eos irx/2L. Explicar por qué ésta es unafunción de prueba razonable. ¿Por qué cualquier función de simetríadefinida es inferior a la función sugerida?

Problema 12. Una partícula de masa m está confinada al interior delpotencial triangular mostrado en la Figura 6. Por lo tanto, el hamil-toniano es/í = (p'2/2m) + V(x), donde

V(x) =0°, x < O

= kx, x > 0.

oFigura 6. Pozo de potencial triangular.

(a) Estimar la energía del estado base usando el principio de in-certidumbre.

(b) Estimar la energía del estado base usando el método varia-cional de Rayleigh-Ritz. Como función de prueba escoger

f O ,= "U2 (x*-a*),

[ O ,

Oxa,


y considerar a como parámetro de variación.(c) Sugerir una función de prueba adecuada para los primeros

estados excitados pero no llevar a cabo ningún cálculo. Justificarbrevemente esta selección. ¿Satisface el primer estado excitado unprincipio mínimo? ¿Por qué?

Problema 13. La energía del estado base de un sistema se estima conel método de Rayleigh-Ritz y con la teoría de perturbación a segun-do orden. El resultado de Rayleigh-Ritz es de —27.1 eV.y el de lateoría de perturbación es de —26.0 eV. ¿Cuál es el más cercano a laverdadera energía del estado base? Suponer que los números se hanintercambiado. ¿Sería posible decidir cuál estimación es la mejor?Explicar el razonamiento hecho.

Problema 14. Una partícula de masa m se mueve en un potencialV(x) = V0(x/L)2", donde s es un entero positivo. (Se tendría un osci-lador armónico para s = 1 y un pozo cuadrado para .s — » o o . )

(a) Estimar la magnitud de la energía del estado base usando elprincipio de incertidumbre.

(b) Estimar la energía del estado base usando el método de Ray-leigh-Ritz utilizando las funciones de prueba

(i) \¡i= exp [-x-¡2u-}

icos TTX¡2a x =£ a(u) t// = \ n ^[ U , x > a.

Considerar a como parámetro de variación en ambos casos. ¿Cuál esla función de prueba que da mejores resultados para diferentes valo-res de s? Discutir los resultados.

(c) Demostrar que, en la aproximación WKB, la energía del n-é-simo estado se puede expresar en la forma

donde k(s) es una cantidad sin dimensiones del orden de magnitud dela unidad para toda s. Encontrar una expresión explícita para k(s).

Problema 15. Un oscilador armónico de masa m, carga e y frecuenciaoí se encuentra en su estado base.

(a) Un campo uniforme & se pone a t = O y se quita a t = T.Usando la teoría de perturbación dependiente del tiempo a primerorden, estimar la probabilidad de que el sistema se excite al estadon-ésimo.

(b) Calcular lo mismo pero para un campo eléctrico que oscilesenoidalmente, & — &ü sen &>„/.

"PROBLEMAS 239

Problema 16. Sean t/» , y ty.2 un par de estados orton orinales y degene-rados correspondientes a algún sistema. Al tiempo t = O se pone unaperturbación H' y se quita al tiempo t = T. Suponer que el sistema seencuentra inicialmente en el estado <¡>l .

(a) Encontrar <//(*, t) para t > T y encontrar la probabilidad deque ocurra una transición de t//, a t/»2 . Despreciar todos los demás es-tados excepto el par degenerado. Por sencillez suponer que,

(b) Comparar la probabilidad de transición obtenida con el resul-tado que se obtendría al usar la teoría perturbativa dependiente deltiempo a primer orden y encontrar las condiciones precisas para la va-lidez de esta última.

Problema 1 7. El oscilador armónico se reduce al caso de la partículalibre cuando la frecuencia tiende a cero. Se comprueba fácilmenteque el oscilador armónico resulta el de la partícula libre en este lími-te. Sin embargo, no es fácil demostrar que las funciones de estadodel oscilador armónico se reducen a las funciones de estado de lapartícula libre.

(a) Hacer tender w -» O y n — > oo en tal forma que

£ „ = ( « + i) ñ<o-+ E

y estudiar la función de estado del oscilador i/» „ en este límite. (Su-gerencia: usar la representación integral de la ecuación (VI-61) ycalcular la integral por el método del punto silla).

(b) Considerar la aproximación WKB para las funciones de esta-do del oscilador armónico (no muy cerca de los puntos de vuelta).Demostrar que, para n grande, la función de estado difiere poco deun estado de partícula libre en la región central.

(c) Demostrar que los estados WKB se reducen a estados correc-tos de la partícula libre en el límite de frecuencia cero descrito en laparte (a). Notar que los puntos de vuelta en este límite resultan infi-nitamente remotos.

Problema 18. Un sistema con autoestados no perturbados y energías</>,,y £n> respectivamente, está sujeto a la perturbación dependientedel tiempo

H'(Í) = a-PIr*


donde A es un operador independiente del tiempo.(a) Si el sistema se encuentra inicialmente (t = — oo ) en su esta-

do base <f»a, demostrar que, a primer orden, la amplitud de probabili-dad de que el sistema & t = oc se encuentre en el w-ésimo estado(m í¿ 0) es

donde

(b) El límite r\Eí — E0)2/4ñ.2 9> 1 se llama el límite adiabático.

Discutir el comportamiento del sistema en el límite adiabático cuan-do pasa de menos a más infinito. ¿Por qué todas las probabilidadesde transición tienden a cero en este límite?

(c) Considerar el límite de una perturbación impulsiva T = 0.Demostrar que la probabilidad P de que el sistema, estando en el esta-do base, sufra cualquier transición es

Sugerencia: Encontrar la probabilidad de transición alestadom-ésimoy sumar a todos los estados excitados usando los métodos del álgebrade matrices.

(d) Demostrar que la perturbación impulsiva de la parte (c) esequivalente a

H'(t)=A8(t).(e) Integrar la ecuación de Schródinger dependiente del tiempo

en un intervalo infinitesimal en torno a t = O y demostrar que i//(x, í)es discontinua en t = 0. En particular, demostrar que 1!)

y por lo tanto, que la solución exacta de la ecuación de Schródingerdependiente del tiempo es,

t < 0: ^ = <(>0 e-iE°'/fl

' Si B es un operador, su inverso B~' se define, en caso de existir, como

B ~ ' B = BB-' = 1.

PROBLEMAS

Demostrar que esta solución se reduce al resultadoperturbación a primer orden si la perturbación es lodébil.

(f) Verificar que S|cm |2= 1.

Problema 19. Sean ¡1> „ los estados estacionarioscuya energía es E,,, escogiendo las funciones 4,cía (ver Problema VI-11).

(a) Demostrar que,

24la teoría di

(i//,,

(b) Demostrar que,

2 «*

A"" S1S

P°r convenien-

(c) Usando los resultados de (a) y (b) v i -. jde matrices, demostrar que, ' Y bs metodos del

ue la Pro'

[Este resultado es un ejemplo muy importa A iuna regla de suma. Su importancia proviene í/h Ihabilidad para una transición dipolar éntrelo, í ?°simo es proporcional a | XnQ |«. Por lo tanto j!**,08 efmo /tríz son cantidades que se pueden medir dire'ctl t T

(d) Verificar la regla de suma para el oscflT ]

lando directamente la suma. Cllador ai™mco, calcy-

Problema 20. En el Capítulo VI se demostrñatractivo tiene por lo menos un estodc ™£del potencial. Usar el método variacional debar que es una propiedad general de cualqukmente atractivo. Para hacerlo, usar la funci n

y demostrar que a siempre se puede escoger talva. ' (¿Por qué constituye una demostración^)

°

Pf°"QU6 SCa PUr8'

T - / *("} SCa

VIIISistemas de partículas

en una dimensión

1. FORMULACIÓN

Ahora ya se puede hacer la primera generalización importante enla formulación de las leyes de la mecánica cuántica. Los requisitosimpuestos por el principio de correspondencia, llevaron a consideraral hamiltoniano como el operador que determina el desarrollo en eltiempo de un sistema que consiste de una sola partícula moviéndoseen un campo de fuerzas externo. Por argumentos análogos, se puedeconcluir que el operador hamiltoniano de un sistema de partículas,juega exactamente el mismo papel. Este resultado se demostrará acontinuación.

Si se considera un sistema de A partículas en interacción, cada unade las cuales puede también considerarse bajo la influencia de unafuerza externa, su hamiltoniano clásico será

, PA, * i , . • 2 Va(Xt-X¡),(1)

donde p,2/2mi es la energía cinética de la partícula z-ésima de masami y Vt(xt) podría ser cualquier potencial externo (como la grave-dad) en el cual se moviera la partícula. Finalmente,

FORMULACIÓN 243

es la energía potencial de interacción entre la partícula z-ésima en je( yla /-ésima en x¡. Como lo muestra la notación, esta interacción de-pende solamente de la diferencia*, — x/. La energía total de interac-ción se obtiene sumando sobre todos los pares de partículas, y unaforma explícita de escribir este término sería,

pairsi< j

Al sumar sobre i y /, la condición de que / sea siempre menor que /asegura que cada pareja se cuenta una sola vez.

Respecto a la descripción cuántica de estos sistemas, se pueden ha-cer las siguientes suposiciones que son, en mayor o menor grado, ge-neralizaciones obvias de la descripción de una sola partícula.

(a) En el espacio de configuración, la función de estado del siste-ma depende de la coordenada de cada partícula y del tiempo,

z,. . .,xA,t).

(2)

(b) Suponiendo que fy esté normalizada,

/ dxdx.2- • • dxA\4>\2 = 1

la densidad de probabilidad absoluta en el espacio de configuraciónes | 0 f 2 . Explícitamente, |t/»|2 dxt dx2... dxA es la probabilidad deque la partícula uno se encuentre entre x, y Xj + c?xu la partículados entre xz y x2 + dxz y así sucesivamente, para todas las partícu-las A. Entonces, se concluye que,

p ( x ¡ ) = í dx2 dxA\t¡>(x1,x2,. . .,XA (3)

es la densidad de probabilidad para la partícula uno solamente eindependiente del comportamiento de las demás partículas. Poresto, P(XI) tiene el mismo significado y las mismas propiedades quela densidad de probabilidad de una sola partícula; también tienenque satisfacerse las leyes de conservación de la probabilidad.

(c) Las variables dinámicas de cada partícula son operadores quesatisfacen la ley normal de conmutación. Pero, ya que las variablesdinámicas de partículas diferentes representan grados de libertadtotalmente diferentes y, por lo tanto, observables que no interfie-ren, las variables dinámicas de partículas diferentes conmutan entresí. Entonces, se puede escribir que

i, P¡\ = = 0

- f t«-y8u . (4)

244 SISTEMAS DE PARTÍCULAS EN UNA DIMENSIÓN

Específicamente, en el espacio de configuración las coordenadas xt

son números y los momentos vienen dados por,

Pi = 7a7' (5)

Y en el espacio de momentos, los momentos pt son números y lascoordenadas vienen expresadas por,

* = - - — • (6)1 / dpi

De estas suposiciones se concluye que la función de estado en elespacio de momentos <M Pi, Pz, • • •, PA ,') es la transformada de Fourier,4-veces' y los valores de expectación se calculan en la forma usual,

n d TÍ o

y la ecuación de Schródinger tiene la forma general,

i dt

donde H es algún operador lineal y hemitiano. Se necesita, como an-tes, que la ecuación sea de primer orden en el tiempo para que secumpla la conservación de la probabilidad. Usando las ecuaciones(4), (5) y (6) se obtiene que

= h df_

= h d f _

y, por argumentos análogos a los usados en el caso de una sola par-tícula (ver Sección 3 del Capítulo V), se encuentra que

d

Oí,

1 Específicamente, esto significa que <t> y <¡i están relacionadas por

<l> = (2irfí)-AI2 / dp¡ • • • dpA(pt, • • • ,P,4)exp [i(pt

y

<t> = (2vft)~AI2 ¡ d x ¡ - • • dxÁ^(x¡,. . . , X A ) e\f

DOS PARTÍCULAS: COORDENADAS DEL CENTRO DE MASA 245Asociando valores de expectación con variables clásicas según el prin-cipio de correspondencia, se concluye que estas ecuaciones son lasecuaciones clásicas de movimiento en su forma hamiltoniana, si H enla ecuación (7) es el operador hamiltoniano, es decir, que el hamilto-niano de la ecuación (1) se puede tomar como una función de las va-riables dinámicas cuánticas definidas por (4), (5) y (6).

2. DOS PARTÍCULAS: COORDENADAS DEL CENTRO DE MASA

Como primera aplicación de esta formulación general se conside-ran dos partículas de masas m, y m2 , que interaccionan entre sí me-diante un potencial V(xl — x2) en ausencia de fuerzas externas. Elhamiltoniano del sistema viene dado por,

• + V(Xl-x2), (8)2m¡ 2m2

y la ecuación de Schródinger en el espacio de configuración resultaser,

_2mldxí* = -717' (9)

La forma de V sugiere que se use como una nueva coordenada ladistancia entre las partículas y, por lo tanto, se introduce la trans-formación

x = *! — x2

X — axj + /3jc2,

donde a y p son parámetros. Naturalmente que X resultará ser lacoordenada del centro de masa y resulta instructivo ver cómo se ob-tiene. Se tiene que,

_d_ = dx_ d_ dX_ _d_ = d_ _d_a*, d x í d x dxl dX~ dx dX

por lo cual,

dx2 dx

. - _m2 dx2

2 n Bx2 \mí m dX2 \m¡ m dxdX'


donde y, es la masa reducida del sistema y está expresada por

- = — + —l¿ m¡ m-i + m2(10)

Para eliminar el término cruzado, se escoge /3 como

y por lo tanto,

1 d2

+

w,

J_ JÜ_ = ! a2 «2

m2 dx22 n dx2 mt dX2'

La selección de a todavía es arbitraria; únicamente sirve para fijar laescala de la coordenada X. La selección más conveniente es clara-mente aquella para la cual

/ / dx.dx,^ í í dxdX,

lo cual exige que el jacobiano de la transformación sea la unidad. En-tonces,

1 =

\ dx dx

\dX dXa

m

y por lo tanto,

M'

M

donde M=m,+ m2 es la masa total. Finalmente,

X — X\ A°21 -^ ~

de donde se obtiene que

v — Y -í- 2 v iX I ~ A + M X > J

y la ecuación de Schródinger resulta ser,

/ dt

(11)

(12)

(13)

Se puede dar otro método para obtener la ecuación de Schródingeren el sistema de coordenadas del centro de masa, como se llaman las

DOS PARTÍCULAS: COORDENADAS DEL CENTRO DE MASA 247

coordenadas definidas por las ecuaciones (11) y (12). El hamiltonia-no clásico de la ecuación (8), puede escribirse inmediatamente en lascoordenadas del centro de masa en la forma familiar2

(14)

donde

P^MdX= d_^dt dt

dx

También se pueden obtener los operadores cuánticos que correspon-den a estos nuevos momentos y nuevas coordenadas. Se tiene que,

-*'> +£ =7

y es fácil demostrar que,

La transformación de p i, x „ p2, x 2 a p, x, P, X deja las reglas de con-mutación inalteradas; tal transformación se llama transformación ca-nónica ? Partiendo de estas reglas de -conmutación, se puede escribiren el espacio de configuración que,

h d_i dx'

h d(15)

y la ecuación de Schródinger en la forma de la ecuación (13) se obtie-ne inmediatamente de la forma del hamiltoniano en las coordenadasdel centro de masa, ecuación (14). El momento/' del centro de masaconmuta con H y, por lo tanto, es una constante de movimiento. Co-mo en física clásica, el momento lineal total de un sistema aislado seconserva.

Claramente, la ecuación de Schródinger en las coordenadas delcentro de masa es separable, lo cual es el objetivo principal de la trans-

»2 Ver las Referencias [ 14] a la [ 17].3 Esta transformación es el análogo cuántico de una transformación canónica clásica, o se»,una transformación que deja invariable la forma de las ecuaciones de Hamilton. Ver, porejemplo, la Referencia [ 14].


formación. Entonces, escribiendoV ( x , X , t ) = x ( X , í ) i l i ( x , t )

se tiene que,

at

(16)

2MdX2 dt

La constante de separación no es más que una constante aditiva en laenergía total y puede hacerse igual a cero sin pérdida de generalidad, 4

por lo cual, la función de estado del centro de masa del sistema satis-face la ecuación de Schródinger de una partícula libre,

_2M dX2 dt' (17)

y puede tomarse como el paquete de ondas de una partícula libre enreposo o en movimiento uniforme; también puede considerarse comoun autoestado del momento total, según las circunstancias.

Ejercicio 1. De las ecuaciones (14)y(16) verificar que,

(¿•total) = (Ecm) + {Erel)i

donde Ecm y £Vei se refieren a la energía del centro de masa y a laenergía del movimiento relativo.

El movimiento relativo satisface la ecuación de Schródinger equi-valente a una sola partícula,

-- (18)

cuyas soluciones han sido completamente investigadas. Por ejemplo,para una interacción cuadrática V(x) = fi<D2x2/2, los estados del movi-miento relativo son precisamente los del oscilador armónico. Estesistema es un tipo de molécula diatómica en una dimensión y losestados son de carácter vibracional. Como segundo ejemplo, los esta-dos continuos de la clase discutida anteriormente, pueden interpre-tarse como la colisión de dos partículas (en una dimensión). Los coe-ficientes de reflexión y transmisión dan la probabilidad de que laspartículas reboten o pasen una a través de la otra durante la colisión.Este proceso de transmisión puede parecer raro bajo el punto de vistaclásico, pues las partículas clásicas se consideran impenetrables. Sin

4 En general, la "constante" de separación puede considerarse como una función arbitrariadel tiempo. Este hecho refleja la invariancia de la función de onda total <¡i (x, X, T) respec-to a la transformación </(/ = ifi eln", xrf~ X ¿•"'""queDignifica la substitución simultánea de <l>por •/< etf(" y de x P°r X e~'""i. Ningún resultado físico depende de/y no se pierde genera-lidad al escogerla como cero.

INTERACCIÓN DE PARTÍCULAS EN PRESENCIA DE FUERZASEXTERNAS UNIFORMES 249

embargo, aún bajo el punto de vista clásico, la impenetrabilidad im-plica un potencial de interacción que resulta definitivamente repulsi-vo a distancias de separación pequeñas. Para tales potenciales, seanula el coeficiente de transmisión cuántico, lo que concuerda con elresultado clásico.

Hasta aquí, la discusión se ha restringido a considerar una parejade partículas en interacción. Pero, ¿qué pasa con sistemas aisladosde tres o más partículas? Es fácil demostrar que, como en mecánicaclásica, es posible separar el movimiento del centro de masa y que es-te movimiento satisface las ecuaciones de movimiento de una partículalibre. Como en mecánica clásica, el movimiento interno es muy com-plicado. Aunque se usara la aproximación más tosca, no sería útil eneste momento continuar con este tema pues las técnicas usadas paraanalizar tales sistemas son demasiado complicadas.

3. INTERACCIÓN DE PARTÍCULAS EN PRESENCIA DE FUER-ZAS EXTERNAS UNIFORMES

A continuación se generalizarán las consideraciones anteriores alcaso en que se encuentren presentes fuerzas externas. Bajo estas cir-cunstancias, la transformación a coordenadas del centro de masa nogarantiza la simplificación del problema. Naturalmente que el movi-miento del centro de masa está determinado por la fuerza externaneta sobre el sistema, tanto cuánticamente como clásicamente, peroesta fuerza neta depende, en general, de la configuración del sistema.Entonces, el movimiento del centro de masa y el movimiento internoestán acoplados o bien, para decirlo de otra manera, la ecuación deSchródinger no es separable en presencia de fuerzas externas arbitra-rias. Sin embargo, debido a los argumentos anteriores, existe una si-tuación excepcional para la cual la separación siempre es posible.Esta situación se presenta cuando las fuerzas externas son uniformes,porque entonces, la fuerza neta es independiente de la configuración.A continuación se estudiará este caso especial.

Se consideran dos partículas, cada una sometida a una fuerza ex-terna constante Fj y F2 respectivamente e interaccionando con un po-tencial V(x! - x2).El hamiltoniano del sistema será,

, - x2) - - F2x2.

Transformando a las coordenadas del centro de masa y usando laecuación (12) se obtiene inmediatamente que,

] + [S¡- «


y se observa que la ecuación de Schródinger se puede separar fácil-mente, obteniéndose para el movimiento del centro de masa la ecua-ción,

*<*•'>-- * fíy para el movimiento interno,

U. ' )—7 i?" (2°)

Como se esperaba, la ecuación (19) es la ecuación que rige el movi-miento del centro de masa bajo la influencia sólo de la fuerza exter-na. Sus soluciones son bastante complicadas, pero únicamente son latranscripción cuántica del movimiento bajo aceleración uniforme.5

El término adicional que aparece en la ecuación (20) representa elefecto de la fuerza externa sobre el movimiento relativo entre las dospartículas. Si este término es pequeño comparado con el potencialde interacción, puede tratarse como perturbación en la forma usual.Por ejemplo, a primer orden, la energía se desplaza por una cantidadigual al valor de expectación de la fuerza externa. Pero, si V(x) es si-métrico, los estados no perturbados tienen paridad definida por locual el valor de expectación se anula y el corrimiento en la energía esde segundo orden, o sea, proporcional al cuadrado de las fuerzas ex-ternas efectivas.

El caso especial de un potencial V(x) cuadrático enx es muy sim-ple, ya que el término perturbativo se puede hacer desaparecer me-diante un cambio de origen (ver Capítulo VII, Problema 6). Enton-ces, se tienen estados de oscilador armónico en los cuales el mínimode la energía potencial se desplaza del origen y la energía de cada es-tado decrece en una cantidad constante, proporcional al cuadrado dela fuerza externa efectiva. Para dar a este ejemplo un significado físi-co se le puede considerar como una molécula diatómica. Además, lasfuerzas externas se podrían particularizar al caso en que la moléculase encuentre en un campo gravitatorio uniforme. En este caso,FI =- m1g,F2 = — m2g y el término correspondiente a la fuerza exter-na en la ecuación (20) se anula, mientras que en la ecuación (19) re-sulta ser (m¡ + m2) g = MgX. Por lo tanto, el movimiento interno noresulta afectado por el campo gravitatorio y el centro de masa resultaacelerado en la forma esperada.

A continuación se considerará el caso de una fuerza externa produ-cida por un campo eléctrico uniforme^. Si las partículas tienen car-5 Ver Problema VI-8.

OSCILADORES ARMÓNICOS ACOPLADOS 251ga igual y opuesta, de magnitud e, entonces F, = — e8> and F2 = e AEntonces, la fuerza externa neta se anula ya que la molécula no tienecarga neta, y el movimiento del centro de masa resulta ser el de unapartícula libre. El término adicional en la ecuación (20) es<5ex, quees precisamente la energía de un dipolo eléctrico de momento ex enun campo uniforme &. Recordando que el corrimiento en la energíaes cuadrático en la fuerza externa, la energía del estado base de lamolécula diatómica es de la forma

£ = £0-5«<52 , (21)

donde a se expresa en términos de los parámetros del potencial deloscilador armónico. Este corrimiento en la energía es el de un dipoloinducido, de momento a & en el campo & ; la cantidad a se llama lapolarizabilidad eléctrica de la molécula. Pero, si el estado base delsistema no tuviera paridad definida, entonces, el corrimiento en laenergía sería lineal en 8> y no cuadrático. La energía del estado basetendría la forma

E = E0 - fíe &,

que es la energía de un dipolo eléctrico permanente, de momento i¿een un campo externo. De este ejemplo se concluye que si el estadobase de un sistema tiene paridad definida, no tiene momento dipolareléctrico permanente. Este es, con mucho, el caso más común en lanaturaleza. Para tales sistemas, la acción de un campo eléctrico exter-no distorsiona el sistema produciendo una separación de la carga pro-porcional a la intensidad del campo eléctrico que se expresa en térmi-no de la polarizabilidad. Es necesario aclarar que la polarizabilidad esuna cantidad que se puede medir directamente, ya que la susceptibi-lidad eléctrica de un gas se puede expresar en términos de la polariza-bilidad eléctrica de las moléculas que lo constituyen.

4. OSCILADORES ARMÓNICOS ACOPLADOS

Antes de seguir adelante, se estudiará un segundo ejemplo que sepuede resolver exactamente, como es el de un par de osciladoresarmónicos acoplados. En particular, se puede considerar un hamilto-niano de dos partículas de la forma6

(22)

8 Por simplicidad se ha escogido el caso particular en que los osciladores desacoplados ten-gan la misma frecuencia.


Se verifica fácilmente que las coordenadas normales para este pro-blema son precisamente las coordenadas relativas y del centro de ma-sa de la ecuación (II).7 Al usar estas coordenadas, el hamiltonianose transforma a la forma separable,

donde

H — //cm + //re|,

P2 12M 2

(23)

(24)

y donde la frecuencia & se define como,

(25)

(26)

Se observa que si el término de interacción es atractivo, k > O s> > «,y para interacciones repulsivas k < O se tiene que & < <a.

Si se llaman <S>N(X) y $n(x) a las autofunciones de oscilador armó-nico de //cm y //«.i respectivamente, con las energías (N + ?) ftw y(n + ?) h<á , se obtiene para los estados estacionarios exactos que,

, « = 0,1,2,.

con energías,

ENn= (N

(27)

(28)

El espectro, que no es degenerado si w y w no son conmesura-bles, es una simple composición de dos espectros de oscilador armó-nico. Sin embargo, depende de la magnitud relativa de <s y <a . Enla Figura 1 (a) se muestra el espectro para interacciones atractivas dé-biles, lo cual significa que O < k¡p < u?. Para este caso, w es ligera-mente mayor que w y se obtiene un conjunto de estados bien separa-dos: un estado base aislado, un par de estados excitados muy cerca-nos, le siguen un triplete de estados excitados muy cercanos entre sí,y así sucesivamente. Para estados cuya repulsión es débil, aparece lamisma estructura, pero el orden de los estados vecinos se invierte. Enla figura l(b) se muestra el espectro para el caso límite opuestokltí > t<> 2 , o sea, cuando domina el término de interacción. En estecaso el espectro consiste de un conjunto infinito de estados muy cer-7 Estos detalles se dejan para los problemas.

OSCILADORES ARMÓNICOS ACOPLADOS 253

Nn

03122130

021120

0110

00

(a)

ifi(a —

Nn

n = 3JV = O, 1, 2 .

n = 2N= 0,1,2.

n = 1N = O, 1, 2.

n = ON= O, 1, 2.

( b )

Figura 1. (a) Espectro del oscilador acoplado para fuerzas atractivas débiles. To-dos los estados cercanos tienen el espaciado común h (&> — <u). (b) Espectro deloscilador acoplado para fuerzas atractivas predominantemente fuertes. Cada se-rie infinita de estados que parta de una x dada tiene el mismo espaciado ft<o.

canos que se superponen, cuyo primer conjunto empieza en el estadobase, el siguiente en el estado n = 1, el que sigue comienza en n = 2,y así sucesivamente.

Aunque la función de estado es una función simple de las coorde-nadas normales, es una función complicada como función de lascoordenadas x¡ y x2 de las partículas, excepto para el estado base, elcual, correctamente normalizado resulta ser

X exp - 2hfj.(ü) — O))

2h (*.-. • (29)


Entonces, los estados excitados consisten del mismo factor gausianomultiplicado por polinomios de grado (« + AT) en xt y x2.

El problema del oscilador acoplado tiene cierto interés intrínseco.Por ejemplo, el límite de interacción fuerte es un modelo muy crudode los estados de una molécula diatómica fuertemente ligada en uncristal. Sin embargo, su principal interés resultaría ser una guía paraaplicar métodos aproximados al estudio de las propiedades de un sis-tema de partículas (Problema 9). A este respecto, se puede aclararque la utilidad del problema del oscilador acoplado no está limitadoal sistema de dos partículas que se ha estado analizando. Se puedenencontrar soluciones exactas para cualquier número de partículas8 ymás adelante se discutirá el caso de tres partículas.

5. INTERACCIÓN DÉBIL ENTRE PARTÍCULAS EN PRESENCIADE FUERZAS EXTERNAS

Ahora, se puede volver al caso general y considerar fuerzas exter-nas no uniformes donde, como ya se puntualizó anteriormente, elmovimiento del centro de masa no puede separarse. Aún para el casode un sistema de dos partículas, este problema es muy difícil y se res-tringirá al caso en el cual las fuerzas externas dominan sobre las fuer-zas internas, por lo que éstas se pueden considerar como una pertur-bación. Por lo tanto, el problema se inicia discutiendo los estados noperturbados, que son los de un conjunto de partículas sin interacciónmoviéndose en un campo de fuerzas externas. Se considerará en de-talle solamente sistemas de dos partículas, pero también se menciona-rán brevemente sistemas de muchas partículas.

Se parte del hamiltoniano de dos partículas,

H =

Para este sistema, las coordenadas del centro de masa son claramenteirrelevantes, pues clásicamente consiste en dos partículas moviéndoseindependientemente. Al escribir,

(32)

la ecuación de Schrodinger resulta separable y se obtienen las dosecuaciones de una sola partícula cada una,

" Para el caso clásico ver las Referencias [ 14] a [ 17]. Para el caso cuántico ver I. Bloch y Y.Hsieh, Physical Review 96, 382 (1954); 101, 205 (1956).

INTERACCIÓN DÉBIL DE PARTÍCULAS EN PRESENCIA DEFUERZAS EXTERNAS 255

Los estados estacionarios del sistema resultan ser el producto de losestados

con energíatLín '

donde «|»tn y «|»2m son las autofunciones ortonormales de //, y H2 conautovalores Eín y E2m. Un estado general arbitrario puede construirsecomo superposición de estos estados de partícula independiente. Enparticular, soluciones de la forma del producto (32) se pueden obte-ner como producto de una superposición arbitraria de los estados dela partícula uno y de una superposición análoga de estados de la par-tícula dos. Para este producto, de la ecuación (32) se tiene que,

por lo cual las partículas no están correlacionadas y el desenvolvi-miento en el tiempo se realiza independientemente, como en el casoclásico.

Sin embargo, hay que notar que es posible tener estados para loscuales no se cumple esta independencia completa. Para ello se consi-dera inicialmente la función de estado arbitraria ¡Ii(x1,x1,t = 0). Lafunción de estado más general se puede expresar como

V(x!,x2,t) = 1, cmnt¡jln(xl)^2m(x2) exp [~i(Eln + E2a)r/ñ],

y por lo tanto, ya que (/»,„ y ^2m son ortonormales, al invertir y to-mar t = O se tiene que,

cnm= fSV(xi,x2, f = 0) !|/ln* U,)<J»2m* (x2) dxi dx2.

Si el estado inicial tiene la forma i//i ( x, ) t//2 (x2 ) , entonces, cnm se pue-de expresar como el producto c,,,c2ra, y la función de estado permane-ce no correlacionada para todo tiempo. Pero si el estado inicial estácorrelacionado, por la razón que sea, entonces, estas correlaciones sinanalogía clásica, persisten en la función de estado para todo tiempo.Estas correlaciones juegan un papel muy importante al determinar laspropiedades de sistemas de partículas idénticas, como se verá másadelante.

Ahora, ya se pueden considerar los efectos de las interacciones so-bre los estados estacionarios, suponiendo que estos efectos son débi-les comparados con las fuerzas externas. Llamando V(xl — x2) al tér-mino de interacción, el hamiltoniano tendrá la forma,


2m2V(Xl - xt) .

Tomando F(JC, — x2) como una perturbación, los estados no pertur-bados son el producto de los estados t/»nm = </>inUi)t/»2mU2) con energía&nm = Em + E2m . Entonces, a primer orden se tiene que,

Enm -

y a segundo orden,

E = &t-nm 6>nm

(33)

(34)

donde los elementos de matriz están dados por

) = / / dx, dx2 .!;,„* (Jt,)«f<2m* (XÍ)V(XÍ - X2) «//„ (xt ) fe. (xt) .

La generalización al caso de más de dos partículas es inmediata.Para un sistema de tres partículas los estados no perturbados son pro-ductos de tres estados de partícula independiente y, como antes, paraestos tres estados se tiene que,

</»nml= </»l»Ul) iferoUü) <J»3i U3)

Si la interacción mutua se puede escribir como,

V = Vl2(x¡ - JC2) + K13(x, - x3) + V23(x2 - x3) ,

entonces, a primer orden resulta que,

Enmi= 8>nml+ (tyn

El último término en esta expresión se reduce a una suma de térmi-nos como los de la ecuación (33). Para demostrarlo, se puede consi-derar como ejemplo V,2(x\ ~~ x2). Se tiene que,

dxt dx2

La integración sobre x3 se puede calcular inmediatamente y, como i|/3(

está normalizada, el resultado será

<«/»»m | V \Z\tynml) = («/»»inl ' /12| l /»i im).

que como se esperaba es independiente de /. En forma análoga, losotros dos términos dan como resultado únicamente contribucionesde dos partículas.

PARTÍCULAS IDÉNTICAS Y DEGENERACIÓN DE INTERCAMBIO 257

Para A partículas se tienen productos de A estados de partícula in-dependiente y las correcciones perturbativas tendrán la forma de unasuma de contribuciones de dos partículas.

6. PARTÍCULAS IDÉNTICAS Y DEGENERACIÓN DE INTER-CAMBIO

Ahora se puede considerar el caso extremadamente importante deun sistema de partículas idénticas. Partículas idénticas siempre signi-ficará que las partículas son completamente y absolutamente indis-tinguibles. No se asocia ningún significado físico a la etiqueta de es-tas partículas. Por esta razón, las coordenadas de todas las partículasidénticas intervienen en el hamiltoniano exactamente en la mismaforma. Como ejemplo particular y simple, se puede considerar el ca-so de dos partículas idénticas sin interacción y bajo la influencia dealguna fuerza externa. Cada partícula siente exactamente el mismopotencial y, por lo tanto, el hamiltoniano tiene la forma

Entonces, las soluciones estacionarias son

con energía

(35)

(36)

donde i/»s (x) es una autofunción del hamiltoniano común de una par-tícula

con autovalor Es. Pero si q y n son diferentes, este estado está dege-nerado respecto al intercambio de las partículas, es decir, que el estado

•lv = »M*i) «M*2) (37)tiene la misma energía que i/*,,, . Esta degeneración se llama degene-ración de intercambio, que es una consecuencia de la invariancla 6VÍ-dente del hamiltoniano de la ecuación (35) respecto a un intercambiode las coordenadas de las dos partículas.

Este resultado se puede generalizar demostrando que la degenera-ción de intercambio es una propiedad de las soluciones de la ecuaciónde Schródinger para cualquier sistema de partículas idénticas, sin ilfr


portar sus interacciones mutuas ni qué tipo de fuerzas externas actúansobre las partículas, y tampoco cuántas partículas forman el sistema.Para este propósito es conveniente introducir el llamado operador deintercambio P¡2 = P2l , el cual intercambia las coordenadas de las par-tículas uno y dos cuando opera sobre cualquier función de estascoordenadas.9 P¡2 se define por

\2 f(x\,x2,x3,. . . , X A ) — f(x2,Xi,x3,. . ., (38)

para / arbitraria. Análogamente, Pi} intercambia las coordenadas delas partículas/ e /. Como ejemplos se tiene que

Pl3f(Xi,X2,X3,. . .,XA) = /(X^X^X^. • -,XA)

' 1 2 * 1 — P12 / (x3, x2, x¡ , . . . , XA)

= f(x3,x1,x2,. . . , X A ) ,

y así sucesivamente. Es necesario subrayar que, como lo demuestranestos ejemplos, el índice de una coordenada etiqueta a la partículaque se refiere a esa coordenada, y no el orden en el cual aparece unacoordenada en la función de estado.

El operador Ptj conmuta con el hamiltoniano debido a la defini-ción de indistinguible. Entonces, si Ê(X¡, x2, . . . , XN) es una auto fun-ción de H con autovalor E, también lo es /%</»£ , ya que

H Pi¡tyE=Pi¡H Ê = EPtjÊ.

Entonces, estos estados están degenerados respecto al intercambio delas partículas i y / , excepto cuando PtJÊ resulte ser un múltiplo de\¡IE , como por ejemplo el estado de la ecuación (36) con n = q. Natu-ralmente, las etiquetas i y / se refieren a cualquier par de partículasy la degeneración de intercambio ocurre cuando se intercambia cual-quier grupo de dos partículas idénticas. Para un sistema de A par-tículas, las soluciones de la ecuanción de Schródinger pueden estardegeneradas a lo más A! veces, que corresponde a las A! permutacio-nes del orden en el cual se pueden etiquetar las A partículas al escri-bir la función de estado. Cualquier combinación lineal de los esta-dos linealmente independientes formados del conjunto completo delas A! permutaciones, es una autofunción del hamiltoniano, y la for-ma en que se clasifican estos estados en general no es fácil, como severá más adelante. Para dos partículas el problema es trivial, y a con-tinuación se estudiará este caso simple pero muy importante.

* Las propiedades algebraicas de los operadores de intercambio se dejan para el Problema 1.

SISTEMA DE DOS PARTÍCULAS IDÉNTICAS

7. SISTEMAS DE DOS PARTÍCULAS IDÉNTICAS

259

Para un estado de dos partículas, solamente se necesita tomar encuenta el operador de intercambio PÍ2 . Evidentemente, el valor Pês la unidad y por lo tanto, al igual que el operador de paridad, losautovalores de PÍ2 son ± 1, que corresponden a los estados simétricoso antisimétricos respecto al intercambio. Entonces, los estados dedos partículas siempre se pueden clasificar de acuerdo a su simetríarespecto al intercambio. Como ejemplo particular, para los estadosde partícula independiente de la ecuación (36) se obtienen los esta-dos correlacionados (normalizados),

q ( x 2 ) ± (39)

y, como se puede verificar fácilmente

Pn >K<r = ± «fw* •

En forma más general, si Ê(xl,xí} es una autofunción de un hamil-toniano de dos partículas con energía E, entonces, los estados sime-trizados (no normalizados) que así se les llama, serán

si *ÍIE(XI, x2) no están simetrizados o antisimetrizados desde el inicio.La existencia de la simetría así construida parecería ser la excep-

ción a juzgar por el ejemplo de la partícula independiente en dondese presenta para el caso especial de n = q, ecuación (36). Sin embar-go, para sistemas físicos reales que contienen interacciones, se demos-trará que los verdaderos estados ligados de dos partículas exhibiránautomáticamente estas propiedades de simetría. El argumento es muysimple. La función de estado simétrica se anula necesariamente cuan-do x¡ = x2 y, por lo tanto, la probabilidad de encontrar a dos partícu-las próximas una a otra es menor comparada con la misma probabili-dad para un estado simétrico. La contribución del término de inter-acción en el hamiltoniano, sin importar el signo, es entonces numéri-camente mayor para los estados simétricos que para los estados anti-simétricos. Por ello, se espera que los estados simétricos y antisimé-tricos no formen parejas degeneradas excepto por accidente y, porlo tanto, el espectro de estados ligados consiste de un conjunto deestados discretos no degenerados. Ahora, simplemente se invierteel argumento. Si el espectro no es degenerado, olvidando los acci-dentes, y sabiendo que todos los estados se pueden clasificar por susimetría respecto a intercambio, se puede concluir que los estados


verdaderos tienen simetría definida y, automáticamente, resultanestar simetrizados. 10

La discusión de las propiedades de los estados de dos partículasindependientes se puede aclarar considerando los siguientes ejemplosque se pueden resolver exactamente y que se trataron en las Seccio-nes 3 y 4 para el caso de partículas distinguibles.

(a) Fuerzas externas uniformes. En este caso las partículas pue-den interaccionar arbitrariamente, pero las fuerzas externas estánrestringidas a ser uniformes. El hamiltoniano tiene la forma,

H = + y(Xí - xt) + FXl + Fx2

Como las partículas son idénticas, la fuerza externa F que actúa so-bre cada partícula es la misma. Además, el potencial de interacciónes necesariamente una función simétrica de su argumento (¿porqué?). Como consecuencia, de la ecuación (20) con m¡ = m2 = m yFI = F2 = F , los estados correspondientes al movimiento relativo tie-nen simetría definida respecto a la coordenada relativa x = x¡ — x2 .Ya que los estados correspondientes al centro de masa son necesaria-mente simétricos respecto al intercambio (¿por qué?), los estados delsistema están automáticamente simetrizados, de acuerdo con lo quese esperaba.

Ejercicio 2. Efectuar los detalles de los argumentos que conducen ala conclusión anterior.

(b) Osciladores armónicos acoplados. Este caso es más intere-sante y se hará con cierto detalle. Para partículas idénticas, el hamil-toniano de la ecuación (22) para osciladores acoplados resulta ser

La transformación al centro de masa toma la forma simple,

10 Este argumento es muy parecido a la discusión del Capítulo VI respecto a la paridad de losestados en un potencial simétrico. En aquél caso se pudo demostrar que el espectro de esta-dos ligados es siempre no degenerado y, por lo tanto, los estados ligados siempre se puedenclasificar de acuerdo a su simetría respecto a la paridad. En este caso, el argumento es nece-sariamente cualitativo. De hecho la degeneración se presenta en casi todos los estados parael caso de la partícula independiente, o bien accidentalmente para el caso más real de partí-culas interaccionando. Es necesario puntualizar que para el caso real no se ha dado ningunademostración, sino únicamente se han presentado argumentos plausibles.

SISTEMAS DE MUCHAS PARTÍCULAS, SIMETRIZACION Y PRINCIPIODE EXCLUSIÓN DE PAULI 261

X, + X2

2 '• X Xi X2,

y bajo esta transformación el hamiltoniano H resulta ser2 1 o2 1

1 MrfX1 + %- + ± i¿s>2x2

2 2fí 2H =

(42)

(43)

precisamente como antes, con M = 2m and n = m/2. También, comoantes

32 = <tí2 +- = ctí2 + —•fí m

Los estados estacionarios son

./,„„ = *„(*)</>„(*)

(44)

donde

P^Nn = .(-1 )"**., (45)

y, por lo tanto, estos estados están automáticamente simetrizados,como se esperaba. El espectro para interacciones débiles es el de laFigura 1 (a) y para interacciones fuertes dominantes se tiene la Figura

Hasta ahora podría parecer que, a pesar de lo que se esperaba, noresulta ninguna complicación cuando se consideran partículas idénti-cas. Al contrario, la descripción se simplifica debido a las propieda-des de simetría. Esta conclusión es válida para sistemas de dos par-tículas. Surgen complicaciones importantes solamente para sistemasde tres o más partículas, como se mostrarán a continuación.

8. SISTEMAS DE MUCHAS PARTÍCULAS, SIMETRIZACION YPRINCIPIO DE EXCLUSIÓN DE PAULI

Volviendo al estudio de las propiedades de un sistema A partículasidénticas, su hamiltoniano será

(46)pairs

donde V(x) es el potencial externo común en donde se mueven laspartículas y V(xt — x } ) = V(x¡ - xt) es el potencial de interacción pa-


ra cada par de partículas. Para determinar las características de sime-tría de los estados de este sistema es necesario examinar las propieda-des de los operadores de intercambio Pu. Como se dijo anteriormen-te, P¡_J necesariamente conmuta con H para todo par de partículas y,por lo tanto, los estados del sistema pueden tener una degeneraciónA\ respecto al intercambio, que corresponde &A\ permutaciones delorden en el cual se pueden caracterizar las A partículas al escribirlasen la función de estado. La clasificación de estos estados es compli-cada debido a que los operadores PU y Pi^no conmutan. La simetríade la función de estado respecto al intercambio de las partículas i y/,y de las partículas / y k no pueden especificarse arbitraria y simultá-neamente. Entonces, se llega a la conclusión importante de que, engeneral, las soluciones de la ecuación de Schródinger para un sistemade tres o más partículas idénticas no tienen simetría definida respec-to al intercambio entre cada par de partículas.

Sin embargo, existen dos estados excepcionales, ambos de impor-tancia primordial en lo que sigue, que sí tienen simetría definida.Uno de estos estados es simétrico respecto al intercambio de cada parde partículas y se llama estado totalmente simétrico. El otro estadoes antisimétrico respecto al intercambio y se llama totalmente antisi-métrico. Ambos estados se construyen muy sencillamente a partir delos estados no simetrizados Ê(x\,x2, • - -,XA). Llamando al primeroWE

+ y al segundo VE~"> se pueden escribir simbólicamente como,

(47)permutaciones

(48)permutaciones

En cada caso la suma corre sobre el conjunto completo de permuta-ciones. Cualquier intercambio adicional únicamente revuelve estaspermutaciones pero deja el estado simétrico inalterable. El índice rsobre el factor ( — 1Y en el estado antisimétrico es el número de inter-cambios entre pares de partículas para llegar a una permutación dada.Es importante señalar que el signo de cada término en la suma de-pende de que el número de intercambio sea par o impar. Al intercam-biar cualquier par de partículas en la función de estado totalmenteantisimétrica, cambia r par a r impar y viceversa y, por lo tanto, cam-bia el signo de VE~ como debe de ser. La propiedad fundamental desimetría de estos dos estados se puede resumir diciendo que, paratodo par de partículas z y /, se tiene

PÍJ i|»£± = ± tl/E*. (49)

SISTEMAS DE MUCHAS PARTÍCULAS, SIMETRIZACION Y PRINCIPIODE EXCLUSIÓN DE PAULI . 263

Esta discusión de las propiedades de simetría de sistemas de mu-chas paitículas ha demostrado que los estados degenerados debido alintercambio, que pueden tener una degeneración de A\, no poseen si-metría definida con excepción del caso especial en que los estadosestén totalmente simetrizados o antisimetrizados.11 Afortunadamente,la naturaleza ha simplificado enormemente el problema pues no to-das las A \ soluciones de la ecuación de Schródinger se pueden realizarfísicamente. Esta característica es de importancia primordial en laestructura de la materia y del mismo universo.

Para establecer las condiciones de restricción impuestas por la na-turaleza, se necesita mencionar que las partículas elementales poseencierta estructura y necesitan de ciertas coordenadas internas para suespecificación completa. La coordenada interna más importante enesta discusión es el momento angular interno, el espín o giro de unapartícula, que se denotará por s. Más adelante se tratará este temacon cierto detalle; por ahora, únicamente se señalará que el momentoangular de espín tiene una magnitud definida para cada tipo de par-tícula. Estas magnitudes están cuantizadas y, en unidades de ñ , so-lamente pueden tomar valores enteros o semienteros. Por ejemplo,los electrones, protones y neutrones tienen espín un medio, el fotóntiene espín uno y el mesón ir tiene espín cero. Pero, si ahora se esta-blece que el intercambio de coordenadas significa intercambio decoordenadas internas (espín) y coordenadas externas, entonces, to-dos los argumentos acerca de la degeneración por intercambio per-manecen inalterables por la presencia del espín, y la degeneración .4/todavía puede ocurrir. Entonces, la simplificación de la naturalezaestablece que para un tipo dado de partícula solamente se observa unosolo de estos A! estados. Específicamente, la función de estado dtun sistema de partículas de espín entero siempre tiene que ser total-mente simétrica, y la función de estado de un sistema de partículasde espín semientero siempre tiene que ser totalmente antisimétrica,La primera está descrita por el estado particular de la ecuación (47)y la segunda por la ecuación (48).

El postulado de que la función de estado para partículas de espínsemientero es totalmente antisimétrica no es más que una versiónprecisa y general del famoso principio de exclusión de Pauli, como severá a continuación. Estas partículas satisfacen la estadística deFermi-Dirac y actualmente reciben el nombre defermiones, y las par-tículas de espín entero satisfacen la estadística de Bose-Einstein y seles llama bosones. Estas relaciones entre espín y estadística, y los

"En contraste con el caso de dos partículas, estos estados simetrizados totalmente no apare-cen automáticamente. Tienen que ser construidos de acuerdo con las ecuaciones (47) y (48).


mismos postulados de simetría, se descubrieron empíricamente, peroya se han deducido como consecuencia necesaria de las restriccionesimpuestas a las leyes cuánticas por los requisitos de invariancia relati-vista.

Una comprensión mejor de la estructura de las funciones de estadode las ecuaciones (47) y (48) se pueden obtener observando que, parasistemas sin interacción, una solución estacionaria del sistema de Apartículas es sencillamente el producto de A funciones de estado deuna sola partícula. Se observa que el estado totalmente antisimétricose puede expresar como un determinante de estas funciones de unasola partícula que se llama determinante de Slater. El estado antisi-métrico normalizado es,

(50)

donde el argumento de las funciones de una sola partícula es (xtSi)para indicar que intervienen tanto las coordenadas espaciales como lascoordenadas de espín. El producto de los elementos diagonales es elestado original no simetrizado y los otros términos generan el conjun-to completo de permutaciones, cada una con su signo correcto. Eneste caso de partícula independiente se observa que una función deonda antisimetrizada se anula si dos partículas se encuentran en elmismo estado espacial y de espín, ya que entonces dos hileras del de-terminante serían iguales. Por lo tanto, la versión elemental del prin-cipio de Pauli al establecer que dos partículas no pueden encontrarseen el mismo estado cuántico, es un caso especial del requisito generalde antisimetrización.

El estado simétrico no se puede escribir en forma tan elegante, pe-ro se puede describir como una función de onda del tipo anterior enel cual el signo de todos los términos se toma positivo.

Hay que notar que las funciones de onda simetrizadas, como lasde la ecuación (50), son estados correlacionados, aunque se hayanformado de productos no correlacionados. Por ello, la probabilidadde que dos partículas tengan idénticas coordenadas espaciales y de es-pín es cero en un estado antisimétrico. Estas correlaciones producenefectos importantes y son responsables, por ejemplo, del fenómenodel ferromagnetismo.

La reducción de A! a un solo estado, es el final de la historia parapartículas sin espín. Para dar un ejemplo particular y simple, se pue-

SISTEMAS DE MUCHAS PARTÍCULAS, SIMETRIZACION Y PRINCIPIODE EXCLUSIÓN DE PAULI 265

de considerar el sistema de dos partículas descrito por el hamiltonia-no del oscilador acoplado de la ecuación (41). Para partículas sin es-pín, la función de estado es simétrica bajo intercambio y, de acuerdocon la ecuación (45), sólo estados con n par se logran físicamente.Esta conclusión significa que solamente la mitad de las solucionesmatemáticas de la ecuación de Schrodinger son soluciones físicas, porlo cual aparecen en el espectro de la Figura l(a) o de la Figura l(b).Para sistemas de tres o más partículas, la reducción en el número deestados es mucho mayor. El análisis de sistemas de muchas partícu-las es mucho más difícil debido a que los estados no están simetriza-dos automáticamente, lo cual se ilustrará en breve para el caso de trespartículas.

Para partículas con espín un medio, como los electrones, la situa-ción es todavía mucho más difícil. La naturaleza de estas complica-ciones adicionales, son debidas a que, excepto para efectos relativis-tas, el hamiltoniano es independiente de las coordenadas de espín.Por ello, el espín de cada partícula conmuta con H y, por lo tanto,cada espín por separado es una constante de movimiento. Este re-sultado introduce en las funciones de estado una nueva degenera-ción, la cual puede expresarse por el hecho de que cualquier soluciónde la ecuación de Schrodinger independiente del espín, sigue siendouna solución al multiplicarla por una función arbitraria de las coor-denadas de espín. Los requisitos de simetría son condiciones sobrela función de onda total y no sobre las coordenadas espaciales o deespín exclusivamente. Por lo tanto, existen muchas formas de lo-grar la simetrización. En el caso más simple, el de un sistema de doselectrones, se puede construir una función de estado totalmente anti-simétrica, de dos maneras; como el producto de una función espacialsimétrica y una función de espín antisimétrica, o bien, como el pro-ducto de una función espacial antisimétrica por una función de espínsimétrica. Como se discutirá en el capítulo X, el primero es un esta-do de espín total cero, y el segundo, de espín total uno.I! Usandootra vez como ejemplo el oscilador acoplado, significa que para partí-culas de espín semientero todos los estados se logran físicamente y elespectro es el de la Figura l(a) (o Figura (b)), en su totalidad. Elti*dos con n par son estados de espín cero (antisimétrico en los espinel),y los de n impar son estados de espín uno (simétrico en los espinel).

Si se considera un sistema de tres electrones, se encuentra que exil-ien tres formas de construir una función de estado totalmente antiti-métrica. *La primera es bastante simple. Es un estado de espín totll3/2, simétrico en los espines y antisimétrico en las coordenadas eipl-cíales. Los otros dos, son estados de espín 1/2, ninguno de loi CUllll

" Los estados atómicos del helio son de este tipo. Ver el Capítulo XI.

,IIÍWiítl ,

'ÜÉÉlMfct


tiene simetría definida respecto al intercambio espacial o al intercam-bio de espín.

Para resumir, se han estudiado los estados de un sistema de A par-tículas idénticas y se ha encontrado que las soluciones estacionariasmás generales de la ecuación de Schródinger están degeneradas A!veces. Sin mebargo, dependiendo del espín de la partícula, única-mente se presentan ciertas combinaciones de estos estados. Para par-tículas sin espín, los estados deben de ser totalmente simétricos res-pecto al intercambio de cualquier par de partículas. Para partículascon espín un medio, la función de estado tiene que ser totalmenteantisimétrica respecto al intercambio de las coordenadas espaciales yde espín, para cualquier par de partículas.

9. SISTEMAS DE TRES PARTÍCULAS IDÉNTICAS

Hasta aquí, la discusión del comportamiento de partículas idénti-cas se ha limitado, por motivos ilustrativos, al caso de sistemas de dospartículas. Sin embargo, el caso de dos partículas es demasiado sim-ple, pues aparecen los estados correctamente simetrizados en lascoordenadas. Para ilustrar las nuevas características que aparecencuando se considera más de dos partículas, a continuación se discu-tirán las propiedades de sistemas de muchas partículas.

La pregunta esencial es la siguiente: ¿cómo se pueden identificarlos estados realizables físicamente de un sistema de muchas partícu-las? Esto se lleva a cabo, por lo menos en principio, encontrando lassoluciones de la ecuación de Schródinger sin tener en cuenta la sime-tría y, posteriormente, simetrizando el resultado de acuerdo con laecuación (47) para partículas de espín cero y de acuerdo con laecuación (48) para partículas de espín un medio. Se mostrará esteprocedimiento para un sistema de tres partículas idénticas que, porsimplicidad se considerarán sin espín. Pero, el sistema de tres par-tículas es suficientemente general como para exhibir las característi-cas importantes de sistemas de muchas partículas y lo suficientemen-te sencillo como para permitir que se obtengan explícitamente losdetalles.

Se empezará por considerar el sistema de tres partículas más sim-ple, o sea el sistema en el cual las partículas no interaccionan entresí.13 El hamiltoniano viene expresado por la ecuación (46) con V = OSe pueden expresar en forma de partícula independiente como

// = //,p(x1), (51)

" Este es el caso más importante porque sirve como punto de partida para cálculos perturba-tivos. Ver Sección 10.

SISTEMAS DE TRES PARTÍCULAS IDÉNTICAS

donde el hamiltoniano común de una partícula es2

sp 2m

267

(52)

Llamando </>„ a las autofunciones de 7/sp y E,, a los autovalores corres-pondientes, los estados estacionarios se pueden expresar como el pro-ducto

con energía

£..

(53)

(54)

Si ahora se considera un estado de intercambio que es degeneradocomo P12 *l>nqgs& tiene que

y análogamente para todos los demás. Debido a la forma de la fun-ción de estado, una permutación de las coordenadas de las partículasúnicamente permuta los índices de la función de estado. Por simpli-cidad en la escritura, se omitirá el argumento de los estados cuandoéste se tome en el orden normal x¡,x2, x3 Los 3 ! = 6 estados de inter-cambio degenerados se expresan como ^nqs, <KS9, i/»asn, »/»,M, !/»,„„ </>S9n.Estos estados serán linealmente independientes o no, según que n, qy s se refieran a estados de una sola partícula o no. Para completarla descripción, se distinguirán tres casos.

(a) n=q=s. La función de estado es simétrica automáticamen-te y los estados físicamente realizables son,

(55)

con energía

El estado base de sistema se encuentra necesariamente incluido enesta clase.

(b) n = q it s. De los seis estados permutados solamente tres sondiferentes. Los estados totalmente simetrizados y, por lo tanto, losúnicos estados físicamente realizables, son

(56)

con energíaE.


El primer estado excitado del sistema está incluido necesariamente enesta clase.

(c) n 5¿ q ^ s. En este caso interviene el conjunto degenerado deseis estados de intercambio. Los estados normalizados totalmente si-metrizados, o sea, el único estado físicamente realizable, es

(57)

con energía

^n ' E. '

Hay que observar que en los tres casos, el orden de los índices paralos estados simetrizados no tiene importancia, es decir que,

y análogamente para otra permutación. También hay que observarque la degeneración de los estados físicos depende sólo de la estruc-tura del espectro de una sola partícula. Si más de una combinación(n,q,s) diferente da como resultado la misma energía, el estado estádegenerado y en caso contrario no lo está.

Esto completa la descripción para partículas sin espín. ¿Qué mo-dificaciones aparecen para espín un medio? Se presenta una degene-ración adicional debido a que existen dos orientaciones posibles delespín de la partícula. Llamando x¡ a la coordenada de espín y espa-cial, y </>,r a los dos estados posibles del espín14si el hamiltoniano esindependiente del espín, los estados 4>n

+ y <¿>«~tienen la misma energía£„. Las soluciones de la ecuación de Schródinger que corresponden ala energía &nqs se pueden expresar en la forma

(58)

donde a, b y c son símbolos que pueden tomar los valores más o me-nos. El hecho de que a, b y c no pueden ser todos diferentes, tieneconsecuencias profundas para el sistema, como se demostrará a con-tinuación. La función de estado totalmente antisimétrica se puedeexpresar como el determinante de Slater, ecuación (50),

ahc\- —

V6(59)

14 Se puede suponer que corresponden al espín hacia arriba o hacia abajo respecto a cierto ejede referencia, como se discute en el Capítulo X.

SISTEMAS DE TRES PARTÍCULAS IDÉNTICAS 269

De nuevo se distinguirán tres casos.(a) n = q = s. Debido a que a, b y c no pueden ser todos diferen-

tes, necesariamente dos renglones del determinante son iguales y eldeterminante se anula. Entonces, no existe ningún estado físico rea-lizable de este tipo en el espectro, en concordancia con el principiode Pauli.

(b) n =q =¿s. Si el determinante no se anula, se tiene que 6 = —a,y un estado típicamente realizable se obtiene desarrollando el deter-minando para obtener que,

)- = 777 [*»«+-+- *«»++-

— i//Vnns i/; +Vsnn (60)

con energía

El estado base del sistema está incluido en esta calse de estados, cadauno de los cuales está doblemente degenerado. Estos estados no tie-nen simetría definida respecto al intercambio espacial solamente o alespín únicamente; son antisimétricos respecto al intercambio simul-táneo de ambos.

(c) n ?¿ q jt s. En este caso, existen estados físicamente alcanza-bles para cualquier combinación de a, b y c. Estos estados tienen de-generación óctuple que corresponde a las ocho asignaciones posiblesde (a, b, c) ,15 El estado más simple de este tipo es totalmente simétri-co en los espines y antisimétrico en las coordenadas espaciales. Unejemplo es,

(61)

Ejercicio 3. Encontrar el estado degenerado companero del estadodado en la ecuación (60).

Como segundo ejemplo, se puede considerar un sistema de trespartículas con interacciones, que se puede resolver exactamente.

15 Esta degeneración se reduce si el hamiltoniano tiene términos que dependen del espín. Es-pecíficamente, el estado con degeneración óctuple se divide en un estado cuádruple y dosdobles.


Específicamente, se discutirá un sistema de tres osciladores acopla-dos, descrito por el hamiltoniano.

H =¿=í 2m & 2

í 5

Se comprueba rápidamente que el siguiente conjunto de coordena-das16, constituye un conjunto de coordenadas normales para esteproblema.

X = i (jr, + x2 + x3)

x = xl-x2 (63)

e inversamente,

(64)

El significado físico de las coordenadas normales es claro; X es lacoordenada del centro de masa, x es la coordenada relativa entre laspartículas uno y dos, y y es la coordenada relativa de la partículatres respecto al centro de masa de las partículas uno y dos. La in-troducción de estas coordenadas transforma el hamiltoniano en la'forma separable,

H =

dondem

'-, (65)

(66)

üJ2 = o>2 + 3 -,

6 Los detalles subsecuentes se dejan para los problemas.

(67)

SISTEMAS DE TRES PARTÍCULAS IDÉNTICAS

y donde los nuevos momentos lineales vienen dados por,

P = Pl + P2 + P3

271

(68)

Py =

No es difícil demostrar que las relaciones de conmutación canóni-cas se satisfacen, y las soluciones exactas de la ecuación de Schródin-ger son productos de estados de la forma

V - X.¿)X ~t~ X' *

con energías

(nx

(69)

(70)

Las funciones 4> , v (X) , <A«x(jc)y ^(y) son las autofunciones de oscila-dor armónico correspondientes a las coordenadas normales X, x y y.La identificación de los estados físicamente realizables y del espectrode energías, se dejan para los problemas, pero se pueden hacer las si-guientes observaciones.

(1) Los estados asociados con el movimiento del centro de masason simétricos respecto al intercambio y, por lo tanto, aparecen co-mo un factor común en todas las funciones de estado simetrizadaí,por lo cual no intervienen en el proceso de simetrización.

(2) El número máximo de estados degenerados respecto alcambio es tres y no seis.17

(3) Cuando nx es impar, no se pueden formar estados totalmentesimétricos, por lo cual estos estados no aparecerán en el espectro departículas sin espín.

(4) En contraste con el ejemplo de partícula independiente, laisoluciones degeneradas debido al intercambio no son ortogonales ne-cesariamente.

Ejercicio 4. Verificar las afirmaciones anteriores.

Esta sección se puede concluir con algunas observaciones respectoa las propiedades generales de sistemas de tres partículas. Sea17 Sin embargo, existen degeneraciones adicionales debido a que los modos normales x y ytienen la misma frecuencia.


x2, xa) una autofunción con energía E perteneciente a un hamiltonia-no de tres partículas. El número máximo posible de estados lineal-mente independientes, degenerados respecto al intercambio, es 3! =6,aunque este número se reduce muy a menudo. Esta reducción estárelacionada a propiedades de simetría que aparecen en i/»£ desde elprincipio. En particular, si un autoestado es simétrico respecto al in-tercambio de un par de partículas, solamente exhibirá una degenera-ción triple respecto al intercambio. Además, si un estado tiene sime-tría definida respecto a dos pares de partículas, automáticamente esun estado simetrizado totalmente y no exhibirá ninguna degenera-ción de intercambio.

Ejercicio 5. Demostrar las afirmaciones anteriores.

10. PARTÍCULAS IDÉNTICAS INTERACCIONANDO DÉBIL-MENTE EN PRESENCIA DE FUERZAS EXTERNAS

La discusión sobre sistemas de partículas idénticas se concentró enlos requisitos de simetrización y en las consecuencias para los estadosdel sistema. Al hacerlo, se ha supuesto conocida la solución de laecuación de Schródinger para muchas partículas. A continuación setratarán de construir estas soluciones para partículas en interacciónen presencia de fuerzas externas, por lo menos aproximadamente.Naturalmente que el problema es muy difícil, pero se restringirá a lasituación sencilla para la cual las fuerzas externas dominan sobre lasfuerzas internas, para que estas últimas puedan tratarse como unaperturbación. También se restringirá el problema a tratar sistemas dedos partículas.

Entonces, se considera el hamiltoniano

H = H0+V(Xl-x2), (71)

donde el hamiltoniano no perturbado tiene la forma de la ecuación(35) para partícula independiente,

y las soluciones no perturbadas de la ecuación (36), son

que corresponden a las energías no perturbadas,

PARTÍCULAS IDÉNTICAS INTERACCIONANDO DÉBILMENTE EN PRESENCIA „_.DE FUERZAS EXTERNAS 273

Naturalmente que se tiene que tomar en cuenta la posible degenera-ción de los estados no perturbados. Como ya se demostró, es fácil deobtenerlo en el caso de dos partículas porque los estados se puedenclasificar por su simetría respecto al intercambio. Se pueden distin-guir dos casos.

(a) Perturbación de un estado no degenerado. En este caso seconsidera el efecto de la interacción sobre un estado no degenerado yno perturbado, o sea, sobre un estado en el cual ambas partículas es-tán en el mismo estado, como por ejemplo el estado base. La fun-ción de estado no perturbado tiene la forma

(72)

y es simétrica automáticamente. A primer orden se tiene,

Enn= &nn +<«/»„„! V\*m) . (73)

(b) Perturbación de un estado degenerado. En este caso se consi-dera un estado perturbado que consiste en dos estados de una par-tícula que son distintos. Se escogen las combinaciones simetrizadas,

:V! (74)

:V2(75)

siendo simétrica la primera y antisimétrica la segunda. El elementode matriz de la perturbación que relaciona estos estados necesaria-mente se anula, debido a que la interacción perturbativa conmutacon PÍ2 . Entonces, se pueden usar los métodos de la teoría de per-turbación no degenerada, obteniéndose para el estado simétrico,

y para el estado antisimétrico,

+ /•/, <+> \V\ili~ XV'nm I ' iVn

-i-~

(76)

(77)

Los elementos de matriz de las ecuaciones (76) y (77) generalmenteson muy diferentes, y los estados se desdoblan debido a la inter-acción. Como t/fnm'"1 es cero en xt = x2, y la interacción es más fuer-te cuando las partículas están cercanas, el elemento de matriz para elestado antisimétrico es numéricamente menor que para el estado si-métrico._ Naturalmente que el signo del elemento de matriz dependede que V sea atractiva o repulsiva.

Es muy instructivo examinar la estructura de los elementos dematriz en las ecuaciones (76) y (77). Sustituyendo las funciones no


perturbadas de las ecuaciones (74) y (75), se obtiene,

(78)

£nm(-' = &nm+Jnm- Knm , (79)

donde Jnm que es la llamada energía de interacción directa viene ex-presada por,

Jnm= í / dxl dx2 ^n*(x1)^m*(x2)V(x1-x2)^n(xí)i¡im(x2) (80)

y Knm queda por,

í / dxl dx2 ^n*(x1)^m*(x2)V(x1-x2)^n(xí)i¡im(x2) (80)

es la energía de interacción de intercambio, está expresa-

Knm= f (81)

y donde se ha supuesto que las fases de </»„ y tym se pueden escogerde tal manera que Knm sea real, lo cual siempre se puede hacer sinperder generalidad.

El significado de Jnm es claro; la cantidad ItM-Xi)!2!^™^)!2 e§ laprobabilidad de que la partícula uno se encuentre en x^ y la partículados en xt y, por lo tanto, que su energía de interacción sea V(xt — x2)Como se esperaba intuitivamente, la integral resulta ser la energía deinteracción promedio. La cantidad Knm no tiene una interpretaciónsimple. Parece ser una consecuencia de las correlaciones requeridaspor la invariancia respecto al intercambio y no tiene analogía clásica.

Es instructivo volver a obtener estos resultados, pero usando losmétodos de la teoría de perturbación para estados degenerados, par-tiendo de los estados no simetrizados y sin perturbación fyn(x\)i\>m(x2)y <J>m(*i)iM*2), lo que se dejará como ejercicio.

Ejercicio 6. Partiendo de los estados no perturbados ^n(xi)^>m(x2) y<í'm(-*i)<M*2) obtener las ecuaciones (78) y (79). ¿Por qué se tieneque usar la teoría perturbativa de estados degenerados?

¿Cuál es el efecto del espín y la estadística de las partículas? Co-mo ya se estableció, para partículas de espín cero, únicamente pue-den ocurrir estados espacialmente simétricos y, por lo tanto, se per-mite únicamente la función de estado de la ecuación (74) con laenergía a primer orden dada por la ecuación (78). Por ello, el espec-tro sólo contiene alrededor de la mitad de estados de los que se ob-tendrían como soluciones matemáticas de la ecuación Schródingerque se comportan correctamente. Para partículas con espín un me-dio, ambos tipos de estados se encuentran en el espectro. El estado

PROBLEMAS 275

espacialmente simétrico está asociado con un estado de espín antisi-métrico (espín cero resulta de que los espines de las partículas sonopuestos), y el estado especialmente antisimétrico está asociado conun estado espín simétrico (espín uno resulta de que los espines de laspartículas estén alineados). Los estados atómicos del helio son unejemplo excelente de un sistema de este tipo.

Problema 1. Si P(j es el operador de intercambio para las partículasz-ésima y/'-ésima, verificar cada una de las afirmaciones siguientes:

(a) Ptí es hermitianoCb)/V= 1.(c) El operador de proyección P¡r para el intercambio es,

y tiene las propiedades,

= /V /V = o

(d) Pu y pkl conmutan si (i, /) y (k, 1 ) se refieren a dos pares departículas diferentes, pero PfJ y pü no conmutan para/ ^ /

Problema 2.(a) Considerar un sistema de A = 2N partículas idénticas. De-

mostrar que existen N(2N - 1 ) operadores de intercambio indepen-dientes pero solamente TV de ellos conmutan entre sí. Exhibir unconjunto completo de estos operadores que conmutan.

(b) Suponer A = 2N + 1 . ¿Cuántos operadores de intercambioindependiente existen y cuántos conmutan entre sí?

Problema 3.(a) En una caja de anchura L se colocan dos partículas de masas

0.98m y 1.02/n sin interaccionar. Dibujar un diagrama de niveles deenergía mostrando la primera media docena de los estados del siste-ma.

(b) Suponer que las partículas interaccionan débil y atractiva-mente. Mostrar cualitativamente qué sucede con los estados del siste-ma.


Problema 4.(a) En una caja de anchura L se colocan dos partículas idénticas

de masa m que no interaccionan. Dibujar un diagrama de niveles deenergía (a la misma escala que en el Problema 3), mostrando la pri-mera media docena de estados del sistema. Para cada nivel indicar ladegeneración de intercambio en caso de existir.

(b) Lo mismo que la parte (b) del Problema 3.(c) ¿Qué estados se observarán para partículas de espín cero y

para partículas de espín un medio?

Problema 5.Un sistema consiste de una partícula neutra y de una partícula de

carga e. La interacción entre las partículas se describe por el poten-cial,

V(XÍ ~X2) = 1 /JLW2(X¡ -X2)'2,

donde ¿t. es la masa reducida.(a) Encontrar la energía del estado base del sistema si se encuen-

tra en un campo eléctrico uniforme^, dirigido a lo largo del eje x.(b) ¿Cuál es la polarizabilidad del sistema?(c) Describir el movimiento del centro de masa del sistema.

Problema 6.Un sistema de dos partículas está descrito por el hamiltoniano,

H = P<L.2m¡

1

(a) Considerando el término gausiano de interacción como per-turbación, obtener la energía del estado base y del primer estado ex-citado a primer orden.

(b) Lo mismo, pero transformar primero a las coordenadas delcentro de masa.

(c) Usar la ecuación (VII-39) para encontrar una cota superiorpara la corrección a segundo orden de la energía del estado base. Usarel resultado para determinar las condiciones bajo las cuales el resulta-do a primer orden es válido.

(d) Suponer que el término de interacción es lo bastante fuertecomo para dominar sobre los términos oscilatorios, por lo menos pa-ra los estados bajos. Discutir el comportamiento del sistema con tan-to detalle como sea posible.

Problema 7. Lo mismo que el Problema 6, pero para partículas idén-ticas sin espín.

PROBLEMAS 277

Problema 8. Considerar el hamiltoniano de oscilador armónico aco-plado de la ecuación (41) para dos partículas idénticas.

(a) Demostrar que una transformación a las coordenadas delcentro de masa lleva a la ecuación (43) y, por lo tanto, a las solucionesdadas en la ecuación (44).

(b) Encontrar las soluciones clásicas al problema y describir losmodos normales en los casos límite de interacción débil y fuerte.

(c) Para partículas sin espín, esbozar el espectro correspondientea la Figura l(a) y a la Figura l(b).

Problema 9. Un sistema de dos partículas sin espín está descrito porel hamiltoniano de oscilador acoplado de la ecuación (41).

(a) Considerando pequeño el término de interacción, usar teoríade perturbación a primer orden para estimar la energía del estado ba-se y del primer estado excitado.

(b) Lo mismo, pero tratando el hamiltoniano como sigue: elevaral cuadrado el término de interacción y reunir términos semejantes.El hamiltoniano resulta.

2m 2m

donde

9 i *= oír H .mTomar ahora el término (—/br,.¡t2) como término perturbativo.

(c) Usar la ecuación (VII-39) para encontrar una cota superiorpara la corrección a segundo orden del resultado a primer orden delestado base. Hacerlo para el método perturbativo de la parte (a) obien de la parte (b) según el que parezca más fácil.

(d) Usar el método de Rayleigh-Ritz para estimar la energía delestado base, usando como función de prueba un producto de gausia-nas con anchura variable. En todos los casos, comparar los resulta-dos con el resultado exacto dado en el texto.

Problema 10. Considerar tres partículas idénticas descritas por el ha-miltoniano de oscilador armónico acoplado a la ecuación (62).

(a) Demostrar que la transformación a las coordenadas norma-les de la ecuación (63) da como resultado el hamiltoniano de la ecua-ción (65).

(b) Encontrar las soluciones clásicas al problema y describir losmodos normales en los límites de interacción fuerte y débil.


(c) Demostrar que los momentos de la ecuación (68) y las coor-denadas de la ecuación (63) satisfacen las relaciones canónicas deconmutación.

(d) Esbozar el espectro de energía para los límites de interacciónfuerte y débil, sin tener en cuenta la simetrización. Dar las degene-raciones de los primeros estados.

(e) ¿Cuáles de estos estados se pueden alcanzar físicamente parapartículas sin espín?Problema 11. Un sistema de tres partículas idénticas sin espín estádescrito por el hamiltoniano de oscilador armónico de la ecuación(62).

(a) Considerando pequeño el término de interacción, estimar laenergía del estado base y del primer estado excitado.

(b) Hacer lo mismo, pero elevando al cuadrado los términos deinteracción, reuniendo términos semejantes y tratando la cantidad(— k) (xiX2 + x2x3 + x¡x3) como el término perturbativo. (Ver el Pro-blema 9(b)).

(c) Usar la ecuación (VII-39) para encontrar una cota superiorpara la corrección a segundo orden del resultado a primer orden. Ha-cerlo para el método perturbativo de la parte (a) o bien de la parte(b), según el que parezca más fácil.

(d) Usar el método de Rayleigh-Ritz para estimar la energía delestado base, usando como función de prueba un producto de gausia-nas de anchura variable. En todos los casos, comparar los resultadoscon los resultados exactos dados en el texto.

Problema 12. Cuatro partículas idénticas están descritas por el ha-miltoniano,

(*),1=1

donde

n SP — T ' T2m 2

(a) Encontrar las autofunciones y energías del sistema, sin teneren cuenta la simetrización.

(b) Dar la degeneración de los cuatro estados más bajos, inclu-yendo la degeneración de intercambio.

(c) Lo mismo, pero para los estados físicamente realizables departículas sin espín.

(d) ¿Cuál es el estado base para partículas de espín un medio ycuál su degeneración?

IXMovimiento en tres

dimensiones

1. FORMULACIÓN:BRE

MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA LI-

Hasta aquí se ha considerado únicamente por sencillez el movi-miento en una dimensión. A continuación se generalizará el trata-miento a tres dimensiones. No surge ninguna dificultad conceptual,pero los aspectos matemáticos son bastante más complicados.

Al considerar el movimiento de una partícula de masa m en unpotencial externo V(r),donde r es la posición de la partícula respectoa un origen conveniente, el hamiltoniano para este sistema es,

H = .2m V ( r ) , (1)

donde p es el vector de momento lineal de la partícula. Introducien-do un conjunto de vectores unitarios éx, éy y <?z a lo largo de los ejesde coordenadas, se tiene que,

r = xéx + yéy + zéz

- , . . , . . (2)P = Pxex + pueu + pzez.

A menudo es conveniente usar índices numéricos para identificarlas componentes de los vectores, y en adelante también se escribirá

«MEÉ

280 MOVIMIENTO EN TRES DIMENSIONES

la ecuación (2) en la forma equivalente

r = *!<?, + x2é2 + x3é3

(3)

donde los índices 1, 2 y 3 representarán a las componentes x, y y zrespectivamente.

Diferentes componentes espaciales del movimiento representangrados de libertad diferentes, por lo cual conmutan. Las relacionesgenerales de conmutación se pueden escribir en forma compactacomo,

=0(4)

t, Xj) =y 80.

En particular, en el espacio de configuración, las coordenadas Xison números y

h d h dPx~ i a*' p*~ i d y ' "~i dz'

e introduciendo el operador

V == ¿ JL _L .s JL + á JL-r 3v y 3». 2 3-r 'dy

se escribe brevemente que,

(5)

(6)

La función de estado i/»(r, f ) = ty(x, y, z, t) satisface la ecuaciónde Schrodinger dependiente del tiempo,

(7)

donde

y donde, en el espacio de configuración, el operador hamiltonianoviene dado por

= _^(^ + J2¥ + ^L) + F(r)2m \OA:'! dy2 d¿2/

FORMULACIÓN: MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA LIBRE

o bien, usando (5),

281

(8)

El operador V 2 se llama operador laplaciano o simplemente el lapla-ciano, y la ecuación de Schrodinger en el espacio de configuración seescribe como,

Las soluciones estacionarias se escriben como,

*-*"*, (10)y se obtiene inmediatamente la ecuación de Schrodinger indepen-diente del tiempo,

(11)

El hecho de que se obtenga una ecuación diferencial parcial y no unaecuación diferencial ordinaria como en una dimensión, refleja elaumento en la complejidad matemática para el problema en tresdimensiones.

Antes de pasar a considerar las soluciones de la ecuación (11), esnecesario observar que para funciones de estado normalizadas, >/»*i/» esla densidad de probabilidad en el espacio ordinario tridimensional ylos valores de expectación se definen como,

donde el símbolo d3r representa al elemento de volumen tridimen-sional. El flujo de probabilidad o densidad de corriente se definecomo

(12)

que es una generalización obvia de la ecuación (VI-95). No es difícilcomprobar que la probabilidad se conserva.

Finalmente, es conveniente recalcar que las anteriores ecuacionMno sólo se aplican al movimiento de una partícula en un potenoillexterno, sino también al movimiento relativo de un par de partículuaisladas en interacción (después de separar el movimiento del centfOde masa). En el último caso, la coordenada r es la distancia entN lilpartículas, K(r) es el potencial de interacción, p su momentoy m la masa reducida.


En general, las soluciones de la ecuación (11) son muy complicadasy únicamente se pueden obtener exacta y explícitamente en unos po-cos casos. El caso más simple de todos es el de una partícula libre,cuando F(r) es cero. Las soluciones para la partícula libre son preci-samente las ondas de de Broglie viajando en alguna dirección y sepuede verificar fácilmente que son

= *"*"* = exp [i(Pxx + pyy + p¿)IK\

= p2/2m, (13)

donde, como lo indica la notación, son estados con el vector de mo-mento lineal p definido. Estos estados tienen una degeneración infi-nita porque existen un número infinito de orientaciones posibles delvector momento para una energía fija E.

Los estados de momento lineal forman un conjunto completo, ypor lo tanto cualquier función de estado puede expresarse como unasuperposición de estas funciones. Entonces, se tiene la representa-ción de Fourier en tres dimensiones.

•Mr,/) / 1 V\2TTh

S I / dpx dpy dp,

o bien, brevemente

exp [ i ( p x x + pay + p , z ) l h ]

(14)

En esta expresión <f>(p, O representa la amplitud de probabilidad en elespacio de momentos, y puede expresarse en función de i//(r, í) por lainversión

1 3/2

(15)

Entonces, las ecuaciones (14) y (15) son las generalizaciones a tres di-mensiones de los resultados en una dimensión.

Como en el caso de una dimensión discutido en el Capítulo IV, laecuación de Schródinger para la partícula libre se resuelve trivialmen-te en el espacio de momentos. La función de estado <Hp> ' ) satisfacela ecuación diferencial ordinaria.

ñ.

con la solución general,

exp[-¡>2(/-/0)/2m¿].

POTENCIALES SEPARABLES EN COORDENADAS RECTANGULARES 283

Este resultado constituye la solución completa en el espacio de mo-mentos al problema del movimiento de un paquete de ondas de par-tícula libre arbitrario. La solución correspondiente en el espacio deconfiguración se expresa en términos del propagador tridimensionalde la partícula libre, que es una generalización inmediata de la expre-sión en una dimensión, dada por la ecuación (IV-13). Los detalles sedejan para los problemas.

2. POTENCIALES SEPARABLES EN COORDENADASRECTANGULARES

El problema tridimensional más simple es aquél en el cual el poten-cial tiene la forma particular

ya que en este caso la ecuación de Schródinger es separable en coor-denadas rectangulares, como se demuestra a continuación. La ecua-ción estacionaria de Schródinger para este potencial tiene la forma

y, escribiendo,

iM*,y,z) = <]>Eí (x) fe (y) 4>E3 U) = •M^

se obtiene para cada factor que

£ a¿7 + Vi(Xi) ] feíUí) = EÍ*E>(XÍ

E = E1 + £2 + E,3.

Entonces, los estados se pueden expresar corno una simple combina-ción de estados de una dimensión.1

Como primer ejemplo se tomarán los estados que se obtienen enuna caja rectangular de lados Z.,, L2 y L3 respectivamente. Tomando elorigen eri una esquina de la caja, para que fe se anule en las paredes,

El movimiento de una partícula libre puede considerarse como el caso particular en el cuallos potenciales V¡ son cero. Observar que los estados estacionarios para la partícula libre dela ecuación (13) son precisamente esta composición de estados para una dimensión.

,,,'Ííl


las soluciones estacionarias serían,

</»/,- = V8/K sin —j— sin -|— sin -|—, /i¡ = 1, 2, 3 . . .,

donde V=LtL2L3es el volumen de la caja y

ín27r\2

Entonces, el espectro es bastante complicado y no tiene regularidadesespeciales para L,,L2y L3 generales.

Para una caja cúbica de lado L el resultado es más simple, ya queen este caso

F — ™ ( n 2 -4- n 2 - l - M 2 ^nín^"3 ~ 2 'ns>-

El estado más bajo se presenta para nt = n2 = na = 1 , y su energía esEO = 3ñ'2TT-/2mL2 . El siguiente estado ocurre cuando una de las n¡es igual a dos y las demás son iguales. Este estado está degeneradotres veces y su energía es 6h2ir2/2mL2 = 2E0 . El tercer estado ocurrecuando dos de las n¡ son iguales a dos y la que queda es igual a uno.También está degenerado tres veces y su energía es 3E0. Esta regu-laridad se rompe con el cuatro estado, que ocurre cuando una de las«, es igual a tres y las otras dos igual a la unidad. Este estado tieneenergía 1 lñ2TT2/2mL2= \\E0/3 , y posee degeneración triple. El quintoestado tiene energía 4E0 y no está degenerado; ocurre para n t = n2 =«3 = 2. El sexto estado tiene energía 14£0/3 , su degeneración es séx-tuple y corresponde a las permutaciones de los números cuánticos1, 2 y 3. Continuando de esta manera, el espectro que se obtiene semuestra en la Figura 1.

También tiene interés el considerar condiciones a la frontera pe-riódicas para la caja cúbica, es decir, que i/»c tiene que tomar el mis-mo valor sobre cualquier par de paredes opuestas de la caja. Paraeste caso,

—7= exp

donde,

n2y + n3z)/L] ,

. = 0,±1,±2, (17)

Calculando el número total de estados N(E) con energía menor oigual a E, se puede encontrar la densidad de estados p(E) en la mis-

POTENCIALES SEPARABLES EN COORDENADAS RECTANGULARES 289

Energía Números cuánticos (n^n,) Degeneración

6£0

17£./3

14£0/3

4£0

11 £o/3

3£0

2£0

411,414,144

322,232,223

321,312,231,213,123,132 6

222 1311,131,113 3

221,212,122 3

211,121,112 3

O L

Figura 1. Energías, números cuánticos y degeneraciones de los estados de unapartícula en una caja cúbica de lado L. La energía E0 del estado base es 3ft2w2/2mL2.

ma forma que se procedió para una dimensión. No es difícul demos-trar que,

(18)

que es un resultado muy simple y muy importante.

Ejercicio 1.(a) Obtener la ecuación (18).(b) Construir una figura análoga a la Figura 1 para los estados

déla ecuación (17).

Como segundo ejemplo se considerará el oscilador armónico tridi-mensional e isotrópico que se describe por el potencial

V(r) = i wo>2r2 = \ ma>2(x2 + y2 + z2).

Este potencial tiene la forma de la ecuación (16) y las soluciones es-tacionarias de la ecuación de Schródinger se pueden expresar como,


«¡ = 0, 1,2, . . .,

(19)

donde </»„,• (*¡) es la función de estado estacionaria del oscilador armó-nico en una dimensión. El estado base, con energía 3hw/2 , no estádegenerado, pero el resto de los estados lo están, creciendo al crecersu energía. Por ejemplo, el primer estado excitado tiene energía5 fita /2 y degeneración triple (una «¡ puede ser uno y las otras dos ce-ro) el segundo estado excitado tiene energía 7/2ha> y la degeneraciónes séxtuple una «¡ puede ser dos y las otras pueden tomar el valor dos,o bien, dos pueden valer uno y la que queda valer cero. Se puede de-mostrar que el estado de energía (n + 3/2) A tu está degenerado[(n + 1) (n + 2)/2] veces, o sea el número de veces que n se puedeexpresar corno la suma de tres enteros no negativos.

Ejercicio 2. Demostrar que el estado del oscilador armónico tridimen-sional con energía (« + 3/2)ftw tiene degeneración [(« + 1) (« + 2)/2]-

3. POTENCIALES CENTRALES; ESTADOS DE MOMENTOANGULAR

A continuación se considerará el caso importante del movimientoen un potencial esféricamente simétrico, como es el caso del poten-cial culombiano entre cargas puntuales o del potencial gravitatorioentre masas puntuales. Estos potenciales dependen únicamente de lamagnitud del radiovector a un punto fijo, el cual se tomará como ori-gen. Para describir el movimiento en un potencial de este tipo, esconveniente introducir coordenadas enfáticas r, 6 , <¿> , que se defi-nen como sigue. Si se considera un punto P de coordenadas x, y, zen un sistema rectangular derecho, el vector de desplazamiento de es-te punto P respecto al origen es

r = + éay +

donde éx, éu y é, son vectores unitarios a lo largo de los ejesx, y, zrespectivamente. Como se ilustra en la Figura 2, O se define como elángulo entre r y el eje z, y $ se define como el ángulo formado por laproyección del vector r en el plano x-y y el eje x midiendo este án-gulo en el sentido de las manecillas de un reloj si se mira hacia la par-te positiva del eje z. El ángulo <f> varía de cero a 2ir y 6 de cero a TT .La coordenada radial r es la magnitud de r y varía de cero a infinito.

POTENCIALES CENTRALES; ESTADOS DE MOMENTO ANGULAR

\,z

' P(x, y, z) = P(r, B, 0)

FIGURE 2. Spherical coordínate system.

De la Figura 2 se obtienen las relaciones entre las coordenadas rectan-gulares de P y sus coordenadas esféricas. El resultado es,

x = r sentí eos

y = r sen 9 sin <

z = r eos B

r = V;c2 + y2 + .

tan <t> = y/x

eos 6 = z/Vx2^

(20)

El sistema de coordenadas definido de esta manera es ortogonal, y sepuede demostrar que el elemento de volumen es,

J:1r= r'2 drsenO de d<j>.

El elemento de área sobre la esfera unidad o ángulo sólido, simboli-zado por díl , será

. díl = sene d& d<f>,

por lo cual,

d:ír=r2drdü.

Y la ecuación de Schródinger

(21)

(22)

(23)

se pue.de escribir en coordenadas esféricas, expresando el operador !••placiano V2 en estas coordenadas. De la ecuación (20) U obtiMWque,

i , , t -

_§__3r d_ 50 _d_ díj) d _ £ _ d _ , xz _3 _V_ - ., JKk , ,jjr)^ a^r ar dx SO dx d$ r dr r3 sen 6 d6 x* ' í|

288

,eos <¿> —^

MOVIMIENTO EN TRES DIMENSIONES

3 eos 0 eos 0 _3 sen rf> a^ ,r d r sen 6 5</>

y expresiones análogas para d/dy y para d/dz,. Recordando que,

d*2 dy2 dz2 '

y sustituyendo las expresiones anteriores, la ecuación (23) resulta ser

d6\sm9~de')+f¡2mr2 dr\ dr SQn0 sen2 0 d02

+ yfyE = fÊ) (24)

que es la ecuación de Schródinger en coordenadas esféricas.2 A pesarde su apariencia complicada, esta ecuación es separable como se de-mostrará a continuación.

Se empieza por separar las coordenadas radial y rectangular escri-biendo

>l,E(r,0,<t>)=R(r)Y(0,<t>).

Se multiplica por- 2mr2/ñ2 y se obtiene,

Y [señé» 30

(25)

(26)' sen2 0

donde /3 es la constante de separación. De estas ecuaciones, se puedeseparar la primera si se escribe,

y se multiplica por sen2 0, obteniéndose,

(28)

(29)

donde a2 es la segunda constante de separación. Es necesario recal-car el hecho de que las ecuaciones angulares son independientes del

1 Para la obtención de expresiones del operador laplaciano en sistemas de coordenadas curvi-líneas, ver la Referencia [7].

POTENCIALES CENTRALES ; ESTADOS DE MOMENTO ANGULAR 289

potencial V(r) y de la energía E. Entonces, las funciones angularesson funciones universales que aparecerán para cualquier potencialcentral y resulta que, como se demostrará en un momento, la ecua-ción (26) define estados de momento angular definido. Aceptandotemporalmente esta afirmación y recordando que el momento angu-lar es una constante de movimiento para un potencial central, esteresultado no es sorprendente. Únicamente expresa el hecho de quelos estados en un potencial central dependen de un conjunto univer-sal de funciones que caracterizan a los estados de momento angulardel sistema.

Como se afirmó, se demostrará que la ecuación (26) define estadosde momento angular definido. Hay que recordar que, respecto a al-gún punto fijo que se tomará como origen, el momento angular clási-co L se define como,

L = r x p . (30)Cuánticamente, L se considera como la misma función de las va-

riables dinámicas cuánticas y, por lo tanto, es un operador vectorial.En el espacio de configuración sus componentes rectangulares son,

Lx =\ "• i•~ zpy) = 7 y, J L _ A\

' 3z z d y )

,= (xpa - ypx

h /= y \

d dx^7.-y^:

(31)

(32)

(33)

No es difícil demostrar que en coordenadas esféricas estas componen-tes rectangulares resultan ser

= ~ sen <¿, + ctn e eos 0 -í \ 3o o<f> (34)

(35)

y por lo tanto,

—^ J .

Entonces, la ecuación (26) es equivalente a


(38)

y, como se quería demostrar, Y define un estado cuya magnitud delmomento angular tiene un valor definido, precisamente V/3fi. Ladiscusión detallada del momento angular y de sus propiedades se pos-pondrá hasta el Capítulo X. Sin embargo, antes de seguir adelante,es conveniente examinar brevemente la orientación del vector de mo-mento angular. Ya que Lz = (h/i)d/d<t>, la ecuación (28) es equivalen-te a

Este resultado significa que Y = 6<t> también es una autofunción deLz con autovalor ah. Entonces, los estados Y de momento angularson estados para los cuales la magnitud del vector del momento angu-lar y su proyección sobre el eje z están fijas, determinando /3 la mag-nitud y a la proyección.3

Debido al análisis anterior, la forma del laplaciano en coordenadasesféricas, y como consecuencia la del operador de la energía cinética,resulta ser

£l =1m 2m 2m r2 dr --}]8r)\ 2mr2 (40)

donde L2 tiene la forma (37). Se puede dar una derivación directa einstructiva de este resultado, derivación en la cual el momento angu-lar aparece desde el principio y no hasta el final en forma misteriosa.Para ello se parte de la identidad vectorial

(A X B) • (C X D) = (A • C) (B • D) - (A • D) (B • C) , (41)

que se comprueba fácilmente escribiendo los cuatro vectores en com-ponentes rectangulares y expresando cada lado explícitamente.

En esta identidad vectorial se hace la identificaciónA = C = r,

B = D = p . (42)

y para el caso clásico resulta que,

Al multiplicar por (l/2mr2) se obtiene una expresión parecida a laecuación (40). La ecuación (42) también se puede aplicar a la mecá-nica cuántica, si se mantiene el orden de los operadores r y p que no3 Como se verá más adelante resulta que la orientación del vector del momento angular no sepuede especificar con mayor precisión cuánticamente, y esta falta de precisión no es masque una manifestación del principio de incertidumbre.

POTENCIALES CENTRALES; ESTADOS DE MOMENTO ANGULAR 191

conmutan. Al escoger el orden ABCD resulta la ecuación vectOfk(r x p)2 = L2 que se puede escribir como

donde los términos de la derecha se han escrito en componentes rectangulares manteniendo el orden. Usando la relación de conmutación

-r 8U,

de la primera suma se obtiene

i.i+ 7 E XÍP' 8¡j

i i

y de la segunda

9 •> I •= r¿p¿ + — r • p,

U

• — r « p

- - r f p

= (r • p)2 + -r- r • p.

Entonces,

(44

que difiere del resultado clásico únicamente por el términocional a h. Como paso final se observa que, ,¡

Por consiguiente, al multiplicar la ecuación (44) por la izquierda pe1/r2 y despejar p2 se obtiene la expresión

+ 7Í- (4'

que se reconoce como la ecuación (40) excepto por el factor comúl/2m. El primer término en la ecuación (45) se reconoce como i


da (£)> momento angular (/) y componente z del momento angu-lar (m).

Antes de considerar las soluciones de la ecuación (49) para poten-ciales particulares, es necesario señalar algunas propiedades generalesde los estados estacionarios. La primera observación se refiere a ladegeneración de los estados. La función RE¡ depende de / pero node m. Entonces, para cada valor permitido de m para una / dada, seobtiene una autofunción que corresponde a la misma energía. Yaque m puede tomar valores enteros de -/ a /, existen(2/ + l)valores dem y, por lo tanto, tos estados en un potencial central están degenera-dos (21+ 1 ) veces. El número m mide la proyección de L sobre el ejez y está determinado principalmente por la orientación del vector demomento angular. La degeneración en cuestión es consecuencia delhecho de que el hamiltoniano es independiente de esta orientacióncuando el potencial es esféricamente simétrico.

La segunda observación se refiere a la paridad de los estados. Co-mo se recordará, el operador de paridad cambia el signo de todas lascoordenadas. Entonces, por definición, para / arbitraria,

Pf(x,y,x)=f(-x,-y,-Z).

Recurriendo a la ecuación (20) o a la Figura 1 , se obtiene que en co-ordenadas esféricas,

r, 0 ,0) =/(r, 7i—0,0 ± Í T ) .

y en particular

Ptslm(r, 6, 0) = Ra(r) Yr(* - 0, 0 ± TT) .

Recordando que P,m(0) es una función par o impar de eos 0 segúnque (/ — \m\) sea par o impar, se concluye que P¡m(6) tiene paridad(_ i)í-imi y ej factor eimi> en Yt

m, tiene paridad (- l)m . Entonces,

e, 0) = (- r, e, 0) , (51)

y los estados tienen paridad definida. La paridad es par o impar, se-gún que / sea par o impar, y no depende en absoluto de m.

Finalmente, se puede señalar la relación entre la ecuación radial(49) y la ecuanción para estados estacionarios en una dimensión.Si se toma la combinación del potencial V(r) más el término centrí-fugo /(/ + l)ñ.2/2mr2 como equivalente al potencial efectivo

V(r) = V(r)1(1

2mr2 (52)

entonces, la ecuación radial tiene un parecido muy estrecho con elmovimiento en una dimensión. Este parecido es más estrecho si la

POTENCIALES CENTRALES; ESTADOS DE MOMENTO ANGULAR 19$

parte radial de la función onda REl se escribe en la forma<.

11 „,(r$53)

que sustituida en la ecuación (49) da como resultado

h2 d*ua.\ví , . ft2/(/+ 1)" " ( r ) + 2mr* (54)

Esta expresión es más simple que la ecuación (49) y, lo que es másimportante, es idéntica en la forma a la ecuación estacionaria deSchródinger en una dimensión para el movimiento en el potencialefectivo y. Sin embargo, la ecuación (54) tiene significado únicamen-te para valores positivos de la coordenada r y, además si REi(r) estáacostada en el origen, entonces, de acuerdo con la ecuación (53) setiene que

«H(r = 0 ) = 0 . (55)

De este resultado se concluye que las soluciones de la ecuaciónradial son las mismas que las soluciones para estados impares delproblema en una dimensión en el potencial simétrico V—V(\x$ + h*l(l+l)/x2, ya que estos estados impares se anulan en el origen. Enuna dimensión, los estados pares no satisfacen la ecuación (55) ypor lo tanto no aparecen en el espectro. En consecuencia, todaslas técnicas que se usaron en una dimensión, se pueden aplicar almovimiento en tres dimensiones. Además, para una / dada, los es-tados radiales son únicos; existe una y sólo una autofunción radial

V = V(r) + 1(1 + \WI2mr1

Figura 3. Gráfica del potencial radial efectivo K= V(r) + 1(1+ 1)ft2/2mra paralos primeros valores de I , en el caso de un potencial repulsivo. Sólo aparecen es-tados continuos de energía positiva E. Para E dada, ocurre uno de estos estadospara cada valor de /.


simultánea de E y / para estados continuos como para estados li-gados. Sin embargo, siempre se pueden encontrar en el continuoautoestados de cualquier energía para todo valor de /, por lo cual,los estados continuos en tres dimensiones tienen degeneración infi-nita que corresponde al conjunto infinito de valores de /. Además,puede ocurrir que en la parte discreta del espectro, estados de /diferente tengan la misma energía. La degeneración introducidade esta manera, que se suma a la degeneración intrínseca de (21 + 1)discutida anteriormente para cada estado de / dada, se llama gene-ralmente degeneración accidental. Esta nomenclatura en ocasioneses inapropiada, ya que este tipo de degeneración no siempre es acci-dental sino consecuencia de simetrías adicionales en el hamiltonia-no que se añaden a la simetría esférica que se ha supuesto para V(r).Más adelante se presentarán algunos ejemplos que ilustren este com-portamiento.

Las observaciones anteriores se pueden aclarar observando las fi-guras. La Figura 3 muestra el efecto del potencial centrífugo cuandoKOO es repulsivo en todas partes. Cuando / crece, el potencial efecti- •vo se vuelve más repulsivo y el espectro consiste exclusivamente deestados continuos con energía positiva. Para cualquier energía positi-va dada, existe un estado radial para cada valor de /. En la Figura 4

Figura 4. Gráfica del potencial radial efectivo V = V(r) + 1(1 + l)ft2/2/n/-2paralos primeros valores de 7, en el caso de un potencial atractivo. Para energías po-sitivas como E,, el espectro es continuo para toda /. El espectro es discreto paravalores de / que corresponden a estados ligados de energía negativa, tales comoE,.

ALGUNOS EJEMPLOS 20?se presenta el caso más complicado e interesante de un potencillatractivo. Para energías positivas la situación es la misma que parapotenciales repulsivos; el espectro es continuo para todo valor de /,El espectro de los estados ligados con energía negativa y discreta de-penden, naturalmente, del comportamiento detallado del potencialV(r). En el ejemplo ilustrado estos estados pueden existir para valo-res de / iguales a O, 1 y 2, pero para / ^ 3 no existen estados ligadosdebido a que V es repulsivo para tales estados. El estado ligado másbajo para una / dada, no tiene nodos radiales, el primer estado exci-tado tiene uno y así sucesivamente.

Este comportamiento se ilustra en la Figura 5, mostrando el espec-tro para / = O y / = 1. En el ejemplo escogido, el cual corresponde aun potencial de corto alcance y poco profundo, resulta que existentres estados con / = O y dos con / = 1. Cuando el potencial es pro-fundo y de alcance largo, como el potencial culombiano, resulta quepara cada 1 existe un número infinito de estados ligados discretos.Este problema se estudiará más adelante.

foo

Figura 5. Estados discretos para / = 0y/ = lenel potencial atractivo de la W«gura 4. En el ejemplo mostrado existen tres estados ligados para / = O y doi pata/ = 1. La función radial UE¡ = rRE¡ también se muestra para cada estado. Si UMde las energías permitidas En¡ para / = 1 coincide con una de las energías para/ = O, se tendría un ejemplo de degeneración accidental. Como se señaló en eltexto, estas degeneraciones se presentan como consecuencia de las propiedadeide simetría del hamiltoniano.

4. ALGUNOS EJEMPLOS

Para ilustrar el movimiento en potenciales esféricamente simétricosse pueden considerar algunos ejemplos.

(a) Estados esféricamente simétricos (I = 0). Para estados esféri-camente simétricos, o sea, estados con / = O y por lo tanto con mo-mento angular cero, la ecuación (54) se reduce a


> 2 W2TI Q. U Ff) . i r / \ _ 1— _ _

2m dr* ' ' v" "fc° --*0'

donde «£0 (O satisface la condición a la frontera,/ f\\ f\

tÍFQ l f V J I V/ .

Este problema es exactamente equivalente al de encontrar los estadosimpares que caracterizan al movimiento en una dimensión correspon-diente al potencial simétrico

La situación es simple debido a la ausencia de complicaciones asocia-das con el potencial centrífugo.

Como primer ejemplo se puede considerar el caso de un pozo depotencial esférico. Este ejemplo es muy importante porque propor-ciona una descripción bastante buena de la interacción de corto al-cance entre el neutrón y el protón en el deuterón. Este potencial sedescribe como

y(r)=-y0, r ^ a

y(r)=Q , r>a.

Y el potencial correspondiente en una dimensión es

V(x)=-V0,

V(x) = O , \x\ > a,

o sea un pozo cuadrado simétrico de anchura 2a. En el Capítulo VIse consideró este problema en detalle y, entre otros resultados, seencontró que se presentan estados ligados cuando

Resulta que el deuterón tiene sólo un estado ligado y está débilmenteligado. Entonces, K0 excede a este valor por una cantidad muy pa-queña. Se sabe que el alcance de las fuerzas nucleares es de 1.9 x 10~13

aproximadamente. Si se acepta este valor para a, la profundidad delpotencial se puede estimar y resulta ser alrededor de 40 Mev. Es in-teresante hacer notar que un ejemplo tan simple proporciona el pri-mer valor confiable para la intensidad de las fuerzas nucleares.

(b) Oscilador armónico. Como segundo ejemplo se consideraráel oscilador tridimensional isotrópico. Este problema se estudió encoordenadas rectangulares pero es instructivo volver a examinar el

ALGUNOS EJEMPLOS

problema en coordenadas esféricas. Los estados / = O son los estadCUimpares del oscilador armónico en una dimensión y tienen energíll3h<a/2 , 7h<a/2 , llfi.a>/2 , y así sucesivamente. También se encontróque el espectro completo del oscilador tridimensional se podía expre-sar como,

£„= (n + 3/2)h<a,

donde el estado «-ésimo estaba degenerado [(n + 2)(n+ l)/2]- veces.Entonces, el estado w-ésimo contiene entre sus [ (n + 2) (« + l)/2]miembros, exactamente un estado esféricamente simétrico si n es pary ninguno si n es impar. Es posible demostrar que los estados de mo-mento angular más altos aparecen en el espectro en la forma siguien-te: para /= 1 , las energías permitidas son, 5/2 h<¡>, 9/2 fteo ,...; para/ = 2, las energías permitidas son 7 ft&>/2, 1 1 ttta/2,.. ;y así sucesiva-mente. En general, para un momento angular /, las energías permiti-das son, (/+3/2)ftw (7+2+3/2) ñw,(l + 4 + 3/2) ftw,... Dicho de otramanera, los miembros que pertenecen al estado de energía n-ésimoson los estados de momento angular / = n, n — 2, n—4,..., hasta / = Opara n par y hasta / = 1 para n impar.

El espectro, clasificado de acuerdo al momento angular, se muestraen la Figura 6. La degeneración de cada estado en este esquema sepuede obtener notando que un estado de momento angular / estádegenerado (21 + 1 ) veces. Así, el estado base con / = O no está de-generado, el primer estado excitado con / = 1 está degenerado tresveces, el segundo estado excitado que contiene a un estado no dege-nerado con / = O y a un estado con / = 2 degenerado cinco veces, entotal, está degenerado seis veces, y así se prosigue. La presencia cons-tante de estas degeneraciones entre estados de diferentes valores de /es un ejemplo excelente de "degeneración accidental" que no es acci-dental. Estas degeneraciones se presentan debido a la estructura par-ticular del potencial para el oscilador armónico isotrópico, por locual la ecuación de Schrbdinger resulta separable en coordenadas rec-tangulares y esféricas.

Ejercicio 3. Verificar que los estados del oscilador que correspondena la energía Et = 5ñ<ú/2 son estados con /= 1. Hacerlo, demostran-do que

donde «^«.n,», (x, y,z)w define en la ecuación ( 1 9). Identificar f(r) y


por sustitución verificar que satisface la ecuación de Schródingerradial.

Degeneración

Et = 11/2 «w

£3 = 9/2 fiu

E, = 7/2 fiu

E, = 5/2 fio,

£„ = 3/2 /ío,

15

10

6

3

1

/ = O /= 1 /= 2 / = 3 / = 4

Figura 6. Estados del oscilador armónico tridimensional clasificados de acuerdocon el momento angular. También se indica la degeneración de cada estado.

(c) Movimiento de una partícula libre. Los estados de una par-tícula libre en coordenadas rectangulares ya se discutieron anterior-mente encontrándose que son autofunciones simultáneas del hamilto-niano y del momento lineal. Sin embargo, en coordenadas esféricasse obtuvieron estados que son autofunciones simultáneas de H y delmomento angular, es decir, tienen valores definidos de E, I y m. Lasfunciones radiales son soluciones de la ecuación (49) con V(r) igual acero. Satisfacen la ecuación

donde

(57)

Estas soluciones también pueden obtenerse de la ecuación (54) que,para una partícula libre, pueden escribirse en la forma

(58)

donde uBl — rREl

Para el caso / = O y recordando que um (r) tiene que anularse enel origen, de la ecuación (58) se obtiene que

MEO ~ sen kr

ALGUNOS EJEMPLOS 301

y por lo tanto,

Para / diferente de cero la situación es más complicada, pero resultaque las soluciones de la ecuación (56) son un conjunto de funcionesmuy bien estudiadas que se pueden definir como sigue:

• (-)'senkr

kr (59)

La función j{(kr) se llama función de Bessel esférica de orden /. Entérminos de estas funciones excepto por una constante multiplicati-va, los estados radiales de la partícula libre son

= J i ( k r ) , (60)

que claramente se reduce a la solución correcta para / = O . No es di-fícil demostrar que las funciones definidas por la ecuación (59) sonsoluciones de la ecuación (46) para valores generales de I.5

5 Se puede construir una demostración simple por inducción en la forma siguiente. La ecua-ción (59) es totalmente equivalente a la relación de recurrencia

(59a)

que expresa jM en términos de j¡. La equivalencia se establece partiendo de la expresiónconocida para J0 Y aplicando la relación de recurrencia / veces. Para demostrar que la ecua-ción (59) define las soluciones de la ecuación (56), es suficiente demostrar que si j¡, es unasolución para / = /0, entonces, el miembro derecho de la ecuación (59a) necesariamente esuna solución para / = /„ + 1. Para este propósito se define

S,(kr)

en términos del cual la ecuación (59a) resulta ser

.dr

(59b)

Entonces, se ha demostrado que el miembro derecho de la ecuación (59b) satisface la mismaecuación diferencial que el miembro izquierdo, de donde se sigue el resultado.

Como orientación, se puede señalar que la ecuación (56) es una forma de la ecuación deBessel. Se puede demostrar que

Ji (kr) = -y/ : J>+™ (*r>'

donde Jv(kr) es una función de Bessel ordinaria (cilindrica) de orden v. Para una discusiónde las funciones Bessel ver las Referencias [1] a [5].

, ¡ni*


De la ecuación (59), las primeras funciones de Bessel esféricas son,

senjfcrJo(kr)=-

J\(kr) =

kr

senkr eos krkr

= [(¿p - ¿]

(61)

sen kr - eos kr,

y son suficientes para ilustrar la estructura general de estas funcionescomo polinomios en (l/kr) multiplicando funciones trigonométricas.De la ecuación (59) es fácil obtener explícitamente el comportamien-to de ji(kr) cuando r es muy pequeño y también cuando r es muygrande. En el primer caso, desarrollando (sen kr)/kr en serie de po-tencias en kr, el primer término que contribuye en esta serie es (kr)2'y por lo tanto,

(2 /+1) !(kr)1. (62)

En el último caso, el término dominante es el término inversamenteproporcional a r, y se encuentra que,

. ,. ,Ji(kr) — lir¡2)- - — • (63)

Entonces, las soluciones a distancias grandes del origen son ondas es-féricas. Sin embargo, cerca del origen la barrera centrífuga domina yla función de onda disminuye cuando / crece.

Ejercicio 4. Obtener las ecuaciones (62) y (63) de la ecuación (59).

Como ejemplo de estados de una partícula libre con momentoangular definido, se pueden considerar los estados de una partículaconfinada en una caja esférica de radio a. La función de onda tieneque anularse en las paredes de la esfera, por lo cual, el espectro de lasenergías permitidas se determina por las ecuaciones trascendentes

j,(ka)=Q, / = 0 , 1 , 2 , . . . .

Para / = O, de la ecuación (61) se obtiene que esta expresión se redu-ce a sen ka = O, lo que significa que ka es un múltiplo entero de TT.Para / = 1 la situación no es tan simple pues se tiene que resolver nu-méricamente la ecuación tan ka = ka.

ALGUNOS EJEMPLOS *>3

Evidentemente, las ecuaciones resultan cada vez más complicadas alcrecer /, y no se discutirán en este texto.

Falta por discutir un aspecto muy interesante e importante de es-tos resultados. En la Sección 1 se encontró que los estados estaciona-rios de una partícula libre se pueden escribir como ondas de de Bro-glie expresadas por la ecuación (13) con vector de momento p , orien-tado arbitrariamente pero definido. Al escribir

p = hknp,

donde ñp es un vector unitario a lo largo de p, la ecuación (13) resul-ta ser,

i/»p = etknv*. (64)

Sin embargo, se acaba de demostrar que para cualquier lym,

*Eim=Ji(kr)Yr(e,4>) (65)

es también una función de estado para la partícula libre con la mismaenergía. Estas dos representaciones son complementarias; la primeradescribe estados estacionarios con momento lineal bien definido peromomento angular mal definido y la segunda, describe estados conmomento angular bien definido pero con momento lineal mal defini-do. Clásicamente ambos estados de la partícula libre están definidoscon precisión. En mecánica cuántica el resultado se presenta en for-ma diferente como consecuencia directa de la no conmutatividad delos operadores del momento lineal y angular.

Las representaciones de las ecuaciones (64) y (65) son completasen el sentido de que un estado arbitrario de la partícula libre conenergía E se puede expresar como una superposición de cualquiera deellas. Entonces, cada una se puede expresar en términos de la otra.Usando las propiedades comunes de los armónicos esféricos y de lasfunciones de Bessel, se puede demostrar6 que

r, 0, (66)

donde 0P y <j>p definen la orientación angular de p de la misma ma-nera que e y <f> definen la orientación de r . En vista de la ortonor-malidad de los armónicos esféricos, también se puede obtener,

dílp (67)

donde dflv — sen'0p </0p d<f>p es el elemento de ángulo sólido en tornoal vector unitario np que define la dirección de p. Para una energía6 Para la obtención de la ecuación (66) se puede consultar, por ejemplo, la Referencia (22),Capitulo IX, Sección 9.

*í«títfc#i*« I


determinada, la ecuación (66) expresa un estado de momento lineal pcomo superposición de todos los estados de momento angular, y laecuación (67) expresa un estado de momento angular definido comola superposición de todas las orientaciones del momento lineal.

Un caso especial y muy importante de la ecuación (66) se presen-ta cuando ñp se encuentra a lo largo del eje z, el eje polar del sistemade coordenadas esféricas, o sea 8V = O . Ya que,

substituyendo las formas explícitas de i//p y de i/»£ím se obtiene que

= <-""-cose == «'(2/ + 1 ) Mkr) Pt (eos 0) , (68)(=0

donde se ha hecho uso de la ecuación (47),

2/TT(eos 6),

con PI (eos 6) el polinomio de Legendre ordinario. Debido a que seha escogido el momento lineal a lo largo del eje z, la componente zdel momento angular es cero y se obtiene que la superposición de laecuación (51) contiene solamente estados con m igual a cero.

5. EL ÁTOMO DE HIDROGENO

En lo que queda del capítulo se obtendrán los estados estaciona-rios de un sistema que consiste de un solo electrón y un núcleo ató-mico solamente con la interacción electrostática. Llamando e alacarga electrónica y considerando un núcleo de número atómico Z ypor lo tanto de carga Ze, el potencial electrostático será,

Para Z = 1 este sistema es el átomo de hidrógeno, para Z = 2 es el he-lio ionizado una vez, para Z = 3 es el litio ionizado dos veces, y asísucesivamente. Estos sistemas se llaman hidrogénicos debido a su si-militud con el átomo de hidrógeno. Es necesario señalar que se ha es-crito el potencial culombiano correspondiente a un núcleo puntualde carga, siendo una aproximación excelente en la escala de distan-cias atómicas.

EL ÁTOMO DE HIDROGENO 301Para un estado de momento angular / es necesario resolver la ecua-

ción radial,

/ ( /+ l ) f t 2 ]r2 J "El~

EuEl-2m dr2 ' \ r ' 2mr

En esta expresión m es la masa reducida del sistema dada por

(69)

me mn

donde me es la masa del electrón y mn la masa del núcleo. La masa mdifiere de la masa me en menos de una parte por mil, y las medicionesdel espectro atómico son tan precisas que pueden detectar el efectode la masa reducida.

Es conveniente usar una coordenada sin dimensiones y y una ener-gía de ligadura sin dimensiones W escribiendo,

me*

y la ecuación (52) toma la forma más sencilla,

d2uEl

dy22Zy

-+ w

(70)

(71)

siendo ésta la ecuación que se resolverá por el método de series depotencias. Se observa que para valores suficientemente grandes de y,el paréntesis en la ecuación (71) difiere ligeramente de W. Entoncei,el comportamiento asintótico de UE, está dominado por el factor ex-ponencial e±VWa. Físicamente sólo es válido el signo negativo, por locual,

Substituyendo en la ecuación (71) se obtiene,

y-

y J

(72)

Ahora, se necesita determinar el comportamiento de VE¡ cerca del ori-gen. Con este propósito se escribe,

VEI ~ ys-y substituyendo en la ecuación (73) se obtiene que,

s(s - 1 )y*-2 - 2 Vw sy*-1 -1(1+1 )y*-2 + 2Zy"-' = O

I ,>iiiíífii',ÍI,í.il",l!l,,1ll,,í

306

o bien,

MOVIMIENTO EN TRES DIMENSIONES

s(s-l) -1(1+ l) + 2y(Z-Vw)=Q.

El último término es despreciable cuando y es pequeña, por lo cual ses tal que,

s(s- 1) = / ( / + 1)

o bien,

Ya que vEi tiene que estar acotada en el origen, únicamente está per-mitido el primero y se tiene que,

Por lo tanto, se busca una solución en serie de potencias de la forma,

VEI = yl+í 2 c«v'- (74>«=o

que al sustituir en la ecuación (73) resulta

9=0

i+f

<z=o

9=0

y reuniendo términos se puede escribir que,

cQq[q+ (2/

Igualando los coeficientes de las mismas potencias de y, se obtiene in-mediatamente que,

*•(75)

Esta fórmula de recurrencia permite la determinación sucesiva de to-dos los coeficientes del desarrollo en términos c0 , que es una cons-tante multiplicativa arbitraria, y proporciona una solución de la ecua-ción de Schrbdinger como serie de potencias. Además, el comporta-miento correcto de esta solución en el origen está garantizado, perotodavía se tiene que examinar su comportamiento en infinito, el cualestá determinado por las propiedades de la serie para q grande. De laecuación (75) se obtiene que,

EL ÁTOMO DE HIDROGENO 307

Cq+\ __

Ca

Esta razón es la misma que la obtenida para los términos sucesivos enel desarrollo de la función exponencial y, por lo tanto, para y -> eo,V'« está dominada por el factor exponencial e2"Mv. Significa queUBI = vwe~viri'. diverge en infinito como e'JWv y la solución general noes admisible físicamente.

Este comportamiento no resulta ser una sorpresa ya que, como sedemostró anteriormente, UE¡ se comporta en infinito como e±"/w".Entonces, cualquier solución general consiste de una combinación li-neal de exponenciales crecientes y decrecientes y, necesariamente, laexponencial creciente domina como ya se ha encontrado. Esta difi-cultad se puede eliminar si la serie se trunca, lo cual significa que £„•y todos los coeficientes c, siguientes se anulan. Se obtendrá este re-sultado si W es tal que,

o sea, que la energía de ligadura del átomo es tal que,

7Z

W „ = n' = 1 2 3" n'l i ..i i i \ 2 * " ' » * • > • ' » • • • » (76)

el cual define el espectro de los estados ligados discretos. El númeron 'no puede tomar el valor cero ya que la función de onda es idéntica-mente cero si c0 se anula.

Para valores dados de n 'y /, según la ecuación (74), VB¡ es un poli-nomio de grado n ' — 1 multiplicado por el factor y l+1 . Estos polino-mios se conocen como los polinomios asociados de Laguerre7 y Msimbolizan por Lk"(z) . Para poderlos escribir en forma compacta Mintroduce primero el polinomio de Laguerre ordinario Lk(z) , defini-do por

Mz) = e* (zke-*) . (77)

Entonces, el polinomio asociado de Laguerre se expresa como,

Mz). (78)

De estas expresiones se observa que Lk(z) es un polinomio de gradok en z y Lk" un polinomio de grado k-qtnz. Se puede obtener otra7 Las piopiedadei de los polinomios se discuten en las Referencias [ 1 ] a [5 ].


expresión para estos polinomios en términos de una función genera-dora apropiada; se puede demostrar que,

, -ZS/d-S) 00

y por la ecuación (78),

( t \« ,,-z»/(l-»)-rhJVr-

Finalmente, se puede demostrar que,

¡'e-'*»1 [Lk"(z)]2dz=(2k+l-lJo

En términos de estos polinomios, resulta que,

(79)

(80)

y no es difícil verificar, por sustitución directa, que esta expresión esuna solución de la ecuación (68). De la ecuación (72) la función deonda radial se puede expresar como,

(81)

(82)

( '

y usando (80), los estados estacionarios normalizados son,

donde

_ r2Z(n' + / )f2 f (« ' -D!~ L «« J L2(« ' + /)[(T' + 2/)!

y donde, al expresar y en términos de r, se ha introducido el radio deBohr a0, definido por,

fe2

me2 = 0.53 X 10-8cm.

Según las ecuaciones (70) y (76), la energía de estos estados es

ZV 1E =

2fl0 («' > ' U =0 ,1 ,2 , . .

(84)

(85)

Se observa que la energía depende solamente de la suma del númerocuántico radial n' y del número cuántico / del momento angular. Es

EL ÁTOMO DE HIDROGENO 309

conveniente y usual introducir ahora el número cuántico principal ndefinido por

en términos del cual,

E=En =

(86)

(87)

que es la fórmula familiar de Bohr.8 La función de estado tambiénpuede expresarse en términos del número cuántico principal obte-niéndose,

, . =nlm\

donde

\ «o / L2«u« + ')!jM (89)

Es importante recordar que, de acuerdo con la ecuación (68), parauna / dada, n puede tomar únicamente los valores I + 1, / 4- 2,..., ypara una n dada / únicamente puede tomar los valores n — 1, n — 2,..,0. Las primeras funciones de estado normalizadas se escriben a conti-nuación;

?2e2/ 7 \3I2= 2 ^

\«o/E, = -

/ 7 \3/2 / 7r\— i \ I ~> — — \-\2aJ (2 aj

-Zr/2aaZV l_

4(90)

Z Zr ~Zr/2«o V* 1 E. = -

2fl02

La degeneración de los estados se puede encontrar en la forma si-guiente. Para un número cuántico principal n y para una energía deligadura En, I puede tomar todos los valores desde cero hasta n — 1.Para cada valor de / existe una degeneración (21 + 1 ) y por lo tantoN, el número total de estados con energía En, es

A? =2 (2/+ O =« 2

í=0

8 Hay que observar que la energía es proporcional a Z2 aunque la intensidad de la interacciónsea proporcional a Z. Este resultado es debido a que el radio promedio del_ átomo pata unestado de n dada es inversamente proporcional a la intensidad de la interacción y por lo tan-to inversamente proporcional a Z. Debido a que la energía, de origen electrostático, es pro-porcional a la Intensidad dividida entre el radio, se concluye la dependencia Z2.

'MRNTO EN TRES DIMENSIONES

De nuevo se tiene aquí un ejemplo de degeneración "accidental" queno es accidental. Aparece debido a que la ecuación de Schródingerpara un potencial culombiano es separable tanto en coordenadas pa-rabólicas como en coordenadas esféricas.

El espectro de un átomo hidrogénico se muestra en la Figura 7. Lanomenclatura, que se remonta a los primeros días de la espectrosco-pia, establece que los estados con / = O se llaman estados-í con / = 1estados-p, con / = 2 estad os-d, con 1 = 3 estados-/, con / = 4 esta-dos-^ y así sucesivamente en orden alfabético para estados de / másalto. En la figura se observa cómo se juntan los estados cuando E seaproxima a cero, en contraste con el comportamiento de los estadospara un pozo cuadrado. Este resultado es consecuencia del alcance

E = 0-n = 3

n = 2

/ = OP

/ = 1d

/= 2 /= 3

n = 1

Figura 7. El espectro hidrogénico.

grande de la interacción culombiana que provoca que existan infini-tos estados discretos para cada valor de /.

Entonces, se ha obtenido una solución exacta y completa para losestados ligados de un átomo hidrogénico (no relativista). Sin embar-go, estos estados resultan demasiado complicados en general y suscomportamientos cualitativos no son fáciles de ver. Para una n dada,los estados más simples son los de momento angular máximo y los demáxima componente z, esto es, los estados fyn,i=n-\,m=n-\. Omitiendolos factores de normalización, las funciones de estado en este casotienen la forma,

«/'»,»-!,n-i = rn-l ,,-Zrlnao sin"-1 B.

Para números cuánticos grandes n, estos estados están bien localiza-dos en ángulo y en radio. En particular, la función de onda tiene unmáximo bastante definido en el plano ecuatorial y en torno al radio

PROBLEMAS 311

de Bohr n2a0/Z. Estos estados exhiben el comportamiento predichopor la teoría de Bohr, en el sentido de que están centrados respecto alas órbitas circulares de esa teoría y con bastante precisión para nú-meros cuánticos suficientemente grandes.

Ejercicio 5. Verificarlas afirmaciones anteriores para el estado </»n.n-i.n-i

Problema 1.(a) Encontrar el propagador K(r, t';t — t0) para una partícula li-

bre en tres dimensiones.(b) Considerar un paquete de ondas que a t — O es una gausiana,

l/»(r, t = 0) = A eiP«'(r~ro>lf' e-<r-ro>2/2¿2

Encontraré si el paquete de ondas está normalizado.(c) Demostrar que i/»(r, t = 0) es un paquete de ondas de incerti-

dumbre mínima.(d) Encontrar t//(r, /).(e) Encontrar 0(p, t = 0), 0(p, t).(f) Encontrar {*) en t = O y para cualquier t > 0.(g) Encontrar(p), <p2)en t = O y para cualquier t > 0.

Nota: Todas las integrales se pueden escribir como productos de lasintegrales en una dimensión que ya se han tratado en el texto. Sinembargo, el problema puede resolverse más fácilmente en tres dimen-siones directamente. Cualquier procedimiento es aceptable.

Problema 2. Usando los resultados del Capítulo VI para un oscila-dor en una dimensión,

(a) Encontrar el propagador para el oscilador tridimensional.(b) Discutir el movimiento de un paquete de ondas arbitrario en

un oscilador tridimensional.

Problema 3.(a) Calcular la polarizabilidad de un oscilador armónico tridi-

mensional que es isotrópico.(b) ¿Cuál es la degeneración de los estados para un oscilador tri-

dimensional colocado en un campo externo uniforme E = & e,?

Problema 4. Como buena aproximación, el núcleo puede considerar*se como una esfera de radio R0^ a0 cargada uniformemente.

(a) ¿Cuál es el potencial electrostático entre un electrón y ltnúcleo?

•MfÉÉMltr.


(b) Obtener una expresión para la corrección a primer orden alaenergía del estado base de un átomo hidrogénico considerando finitoel tamaño del núcleo. ¿Cuál es el orden de magnitud de esta correc-ción, suponiendo que/?0= (2Z)1'3 x 10~13 cm? ¿Cómo depende de Z?

(c) Hacer lo mismo para un átomo mesónico /¿, o sea, para unsistema que consiste de un núcleo y un mesón negativo /*. (La masade un mesón i¿ es de 207 masas electrónicas aproximadamente). ¿Pa-ra qué valores de Z, si es que existe, resulta inadecuada la teoría deperturbación a primer orden? (Las primeras estimaciones de tamañosnucleares se obtuvieron del análisis espectral de un átomo mesónico

Problema 5. Considerar un oscilador armónico anisotrópico descritopor el potencial,

V(x, =± meo,2 (x2 + y2) + 1 m<w22z2.

(a) Encontrar los estados estacionarios usando coordenadas rec-tangulares. ¿Cuál es la degeneración de los estados suponiendo quewi Y 6>2

son inconmensurables?(b) ¿Pueden ser los estados estacionarios autoestados de Z,2?

¿Pueden serlo de Lz? Explicar en cada caso.

Figura 8. Movimiento de una partícula en una trayectoria circular.

Problema 6. Una partícula de masaM está restringida a moverse porun alambre circular de radio R colocado verticalmente. Suponer la

PROBLEMAS 313

fricción nula y despreciar la gravedad. El hamiltoniano del sistemaes H = L//2MR2 . Ya que Lz = (h/i) (d/d<f>) , la ecuación de SchrOdin-ger es,

ft 32i/» h d<lt

donde <f> es la coordenada angular de la partícula como se muestraen la Figura 8.

(a) Resolver la ecuación de Schródinger para encontrar las ener-gías permitidas á>m y los autoestados de energía </»»» . ¿Cuál es la de-generación de estos estados en caso de existir?

(b) Suponer que ahora se incluye el campo gravitatorio. El ha-miltoniano será,

H = L22/2 MR2 + MgR sen </> .

Considerando el término gravitatorio como perturbación, demostrarque la corrección a primer orden a las &m se anula. Calcular la co-rrección a segundo orden a la energía.

(c) Suponer que el término gravitatorio es demasiado grande pa-ra tratarlo como perturbación. (¿Para qué valores de los parámetrossería esto cierto?). Estimar la energía del estado base usando el mé-todo de Rayleigh-Ritz y la aproximación WKB.

(d) Dicutir la transición entre estados ligados en </»y estados noligados en <f> , usando la aproximación WKB. ¿Para qué estados, encaso de existir, se pueden aplicar los resultados perturbativos de laparte (b)?

Problema 7. Suponer que dos partículas idénticas sin espín se mué;ven sobre la trayectoria del problema anterior. Despreciar la gravedad^

(a) Suponiendo que las partículas no interaccionan entre sí, re-solver la ecuación de Schródinger para encontrar las energías permiti-das y los autoestados de energía. En caso de existir, ¿cuáles son laidegeneraciones de estos estados?

(b) Suponer que las partículas interaccionan débilmente me-diante el potencial V(fa, <f>2) = V0 [1 + cos(</>, — 4>2)]- Usar teoríade perturbación para encontrar las correcciones a la energía no per-turbada del estado base.

Problema 8. Una partícula de masa M está restringida a moverse li-bremente sobre la superficie de una esfera de radio R.

(a) Resolver la ecuación de Schródinger para las energías permi-tidas y para los autoestados de energía.


(b) Clásicamente, la órbita de esta partícula se encuentra en unplano y, cinemáticamente, es equivalente al movimiento en la trayec-toria circular del Problema 6, parte (a). Demostrar que, aproximada-mente, esta equivalencia también se logra cuánticamente al conside-rar estados de /^.máximo para números cuánticos grandes.

Problema 9. Un átomo de hidrógeno se coloca en un campo eléctri-co uniforme dirigido a lo largo del eje z. Despreciando el espín, elmovimiento relativo del electrón y el protón se describe por el hamil-toniano

n2 e2

H =£---+e&z.2m r

(a) ¿Es L2 una constante de movimiento? ¿Lo es L^. ¿Tienenparidad definida los estados? Explicar brevemente.

(b) Considerando el término del campo eléctrico como una per-turbación, obtener una expresión para la corrección a segundo ordende la energía del estado base (¿por qué a segundo orden?). Incluir enla respuesta únicamente elementos de matriz diferentes de cero, sincalcular las integrales ni realizar las sumas.

(c) Sugerir alguna función de prueba para hacer un cálculo varia-cional tomando en cuenta, lo mejor que sea posible, la distorsión delátomo causada por el campo eléctrico, sin efectuar ningún cálculo pe-ro justificando la función de prueba escogida.

Problema 10. Considerar los estados ligados de una partícula en unpotencial esféricamente simétrico. Demostrar que si no existen de-generaciones "accidentales" (x) y (p) se anulan para cualquierestado estacionario. ¿Por qué falla la demostración si existen degene-raciones accidentales? (Sugerencia: ¿qué se puede decir acerca de laparidad de los estados estacionarios?).

Problema 11. El núcleo de H3 (tritón) que consiste de un protón ydos neutrones es inestable. Por emisión beta decae a He3 que consis-te de dos protones y un neutrón. Suponer que cuando este procesotiene lugar, sucede instantáneamente. Entonces, la interacción cu-lombiana entre el elctrón atómico y el núcleo se dobla repentinamen-te cuando el tritio (átomo de H3) decae por emisión beta en He+

(He3 una vez ionizado). Si el átomo de tritio se encuentra en su esta-do base al decaer, calcular la probabilidad de que el ion de He+ se en-cuentre en su estado base inmediatamente después del decaimiento.Hacer el mismo cálculo si en el estado final el ion se encuentra en elestado 2s, en el estado 2p o en cualquier otro estado s.

PROBLEMAS

Problema 12. El campo gravitatorio es muy débil comparado con Itlinteracciones electrostáticas. Este hecho se ilustra dramáticamente ticonsiderar un sistema de neutrones bajo la sola influencia de su atrio-ción gravitatoria. , >

(a) Obtener expresiones para las energías de los estados ligado!y para el "radio de Bohr" de este sistema. ,

(b) Estimar, a la potencia más cercana de diez, el valor numéricode la energía del estado base (en electrón voltios) y del radio de Bohr(en cm., en años luz).

Problema 13. Tres partículas idénticas sin interaccionar se describenpor el hamitoniano siguiente

(r) =

(a) Encontrar las autofunciones y las energías del sistema, sinten er en cu en ta la sim etrización .

(b) Dar la degeneración de los tres estados más bajos incluyendola degeneración de intercambio.

(c) Hacer lo mismo con partículas sin espín para estados realiza-bles físicamente.

(d) ¿Cuál es la energía del estado base para partículas con espínun medio? ¿Cuál es la degeneración del estado base?

•' . )

Problema 14. Un sistema de dos partículas está descrito por el hami-toniano

— r ~r fritvu i\ i - inwv '2 ' 'Q " ' , .t^_ , 2m2 2 2 Hiíf

Considerar la interacción gausiana como perturbación ya las coordenadas del centro de masa. ¡

(a) Encontrar la energía del estado base y del primer estado fjPcitado a primer orden.

(b) Usar la ecuación (VII-39) para encontrar una cota superior ala corrección a primer orden para la energía del estado base.

(c) Usar una gausiana de anchura variable como función de prue-ba para el método de Rayleigh-Ritz estimando la energía del estadobase.

Problema 15. Lo mismo que en el Problema 14 pero para partículaiidénticas sin espín.

Problema 16. Un sistema de dos partículas está descrito por el hamil-toniano


H = + ~ + "2'WV'2 + *2/71] 2m2 2 2 2

(a) Encontrar las soluciones exactas transformando a las coorde-nadas del centro de masa.

(b) Esbozar el espectro en los límites de acoplamiento débil yfuerte k < púa2 y k > pwo2, respectivamente, donde ¿i es la masa redu-cida.

(c) Hacer lo mismo para partículas idénticas sin espín.

Problema 17. Considerar el átomo de hidrógeno en el estado base.Suponer que por alguna causa la interacción culombiana se eliminaa ¿ = O y que el electrón se convierte en una partícula libre. Porsimplicidad, tratar al protón como partícula con masa infinita.

(a) Encontrar la probabilidad p(p, t)d3p de que una medicióndel momento del electrón a cualquier tiempo t > O , da como resul-tado un valor en el volumen elemental </3p en torno a p. ¿Cómodepende este resultado de í? ¿Cómo depende de la dirección de p ?Explicar.

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que una medición de la energíadel electrón dé un valor entre E y E + dEl

(c) Encontrar la probabilidad de que una medición de la posicióndel electrón a cualquier tiempo t > O dé como resultado un valor enel elemento de volumen d3r en r. (Sugerencia: Usar el propagador dela partícula libre). Demostrar cualitativamente cómo cambia estaprobabilidad con el tiempo, partiendo de t = 0. Explicar brevemente.

(d) En contraste con las distribuciones de las partes (a), (b) y(c), una medición del momento angular del electrón siempre da unvalor preciso y único. ¿Cuál es este único valor?

Problema 18. Obtener una expresión para d\dt <«/»|p • r|i/>> y, con-siderando el estado estacionario fe , demostrar el teorema del virial

donde T es la energía cinética y V la energía potencial. Usar el teore-ma del virial para demostrar que E = 2 < fe| K|fe ) para el osciladorarmónico y E = |< fe| F|fe ) para el átomo de hidrógeno.

Problema 19. El neutrón y el protón interaccionan con una fuerzade alcance corto y fuerte. Aproximaciones razonables de estas fuer-zas son:

i) Tipo Yukawa:

ii) Exponencial:

V(r) = 'rlR

V(r) = — K0 e~rlR

iii) Pozo cuadrado:

PROBLEMAS

-v0,o,

317r <Rr> R.

(a) Usar el método de Rayleigh-Ritz para encontrar una expre-sión para la energía de ligadura e del estado base en los tres casos an-teriores. Usar e~r'2R como función de prueba.9

(b) Tomando e = 2.2 MeV y R = 2x10"13 cm, encontrar F0 encada caso. Dibujar las tres interacciones en la misma gráfica.

(c) Como comprobación de la exactitud del método Rayleigh-Ritz, resolver exactamente el caso del pozo cuadrado, usando méto-dos gráficos para encontrar e para el caso particular del valor de V0

encontrado en la parte (b).

9 Se puede llegar a un resultado mejor si se considera una función de prueba que contieneun parámetro de variación, tal como e~arllR. Sin embargo, las ecuaciones que resultan soncomplicadas y en los tres casos es necesario resolverlas numéricamente. Hay que señalar queel caso (ii) puede resolverse exactamente en términos de las funciones Bessel. Ver las referen-cias [29], pp.218-220. También se discute en estas páginas el método vanacional.

XMomento angular y espín

1. OPERADORES DEL MOMENTO ANGULAR ORBITAL YRELACIONES DE CONMUTACIÓN

Si en algún instante de tiempo una partícula sin estructura pasa,con momento lineal p , por un punto cuya posición respecto a un ori-gen arbitrariamente escogido es r, entonces, su momento angularL respecto al origen es

L = r x p

y en componentes,

ZPx~xPz

xpy-ypx.

(1)

(2)

Las variables dinámicas cuánticas que les corresponde y que se llamanoperadores del momento angular orbital se encuentran usando estasrelaciones pero interpretando a r y a p como variables dinámicascuánticas. Ya que el conmutador de x¡ y p¡ se anula para / ^ j , secomprueba fácilmente que L es hermitiano.

Ejercicio 1. Demostrar que L es hermitiano.

Las relaciones de conmutación entre las componentes rectangula-res de L se obtienen de la siguiente manera. Por ejemplo se tiene que,

OPERADORES DEL MOMENTO ANGULAR ORBITALY RELACIONES DE CONMUTACIÓN 3lf

(Lx , La) = ( [ypt - zpv] , [zpx - xp,} )

= (m, zpx) - (ypz, xpz) - (zpy, zpx) + (zpu, xpt) .

Si se considera el primer término

, zpx) = ypzzpx - zpxypz.y debido a que y y p.x conmutan entre sí y con z y p,, este término re-sulta ser

yp*(pz, z) = ~ypx-Análogamente, el último término resulta ser,

(Zpa,xpz) = xpu(z, Pz) = --r

Pero como y, x y p, conmutan entre sí, el segundo término se anula,y como z, pv y px también conmutan entre sí, el tercer término seanula. Entonces, se obtiene

(Lx, Lu) = ik(xpy-ypx)

y reconociendo que el término entre paréntesis es L,. se obtiene que,

(Lx,Lu) = ihLz. (3)

De la estructura de L, el resto de las relaciones de conmutación seobtienen inmediatamente por permutación cíclica de las coordena-das, y se tiene que

(Ly,L!!)=ihLx (4)

y(L,,Lx) = ihLy. (5)

Estas tres relaciones son equivalentes a la sola relación vectorial deconmutación

L x L = /f tL, (6)que se puede verificar fácilmente escribiendo explícitamente las com-ponentes rectangulares. La naturaleza del operador L se expresa ex-plícitamente por la ecuación (6), ya que el producto vectorial de unvector numérico por sí mismo se anula.

Recordando que existen autofunciones simultáneas de una colec-ción de operadores únicamente si los operadores conmutan, enton-ces, como las componentes rectangulares del vector de momentoangular no conmutan, se puede concluir que no se puede definir unconjunto completo de estados cuyas componentes del vector de mo-mento angular tengan un valor definido y preciso. Únicamente una

320 MOMENTO ANGULAR Y ESPIN

sola componente de L se puede definir con precisión: las dos compo-nentes perpendiculares que quedan son inciertas necesariamente.'Sin embargo, como se puede escoger la orientación del sistema decoordenadas, se pueden seleccionar estados del momento angular detal manera que la proyección de L sobre un eje arbitrario tenga unvalor definido. Generalmente, a este eje se le llama eje de cuantiza-ción (para el momento angular) y se toma como el eje z en cuyo casoLz tiene un valor definido, pero no lo tienen Lx y Lv.

Aunque se ha demostrado que la orientación del vector de mo-mento angular no puede especificarse completamente a nivel cuánti-co, no se ha dicho nada acerca de su magnitud. A continuación sediscutirá este tema. Para hacerlo se parte del cuadrado del operadordel momento angular,

L2=L»L = LX2 + LV

2 + L2. (7)

y se examinan las propiedades de conmutación de L2 respecto a suscomponentes rectangulares. Primero, se considerará (Lx, L2) .Yaque el conmutador de Lx consigo mismo se anula, se tiene que

( L X , L 2 ) = (LX,LU2) + ( L X , L Z

2 ) .

Desarrollando ambos lados se puede verificar fácilmente que,\L-IX, L,y ) \LX, Lly) Ly -t~ Lly\Llx, Ly)

y, por lo tanto, de la ecuación (3),

Análogamente, usando la ecuación (5),(Lx, L

2) = (Lx, LZ)LZ + LZ(LX, Lz) = -iñ (LVLZ + LZLU).

Combinando estos resultados se obtiene que,

(LX ,L2) = 0.

De la misma forma se encuentra inmediatamente que,

(Lu, L2) = (L,, L2) = O

0 bien, brevemente,(L, L 2 )=0 . (8)

Entonces, se concluye que L2 y cualquiera de sus componentes rec-tangulares, por ejemplo Lz, se pueden especificar simultáneamente y,además, L2 y Lz forman un conjunto completo de operadores que1 Sin embargo, los estados con momento angular idénticamente cero no están descartados apesar de que las tres componentes de L tengan un valor definido para estos estados. No seviolan las relaciones de conmutación porque cada lado de la ecuación (6) se anula cuando seopera sobre un estado de momento angular cero.

OPERADORES DEL MOMENTO ANGULAR ORBITALY RELACIONES DE CONMUTACIÓN 321

conmutan para la especificación de estados de momento angular. Etrtos estados se caracterizan por la magnitud del momento angular y suproyección sobre un eje z orientado arbitrariamente, pero ambos tie-nen valores definidos.

Antes de pasar a construir explícitamente las autofunciones delmomento angular, se consideran brevemente las propiedades del mo-mento angular para un sistema de partículas. Para este sistema elmomento angular es,

L = L" (9)

donde L¡ es el momento angular de la partícula z'-ésima dada por

L¡ = r¡ x p¡.

Evidentemente, ya que las variables dinámicas que se refieren a dife-rentes partículas conmutan, se tiene que

(L,, Lj) = 0,

de donde se obtiene que,

L X L = / h L ,

lo mismo que para una sola partícula. Las conclusiones respecto alcarácter general de los estados de momento angular de una sola par-tícula, se aplican sin modificación al momento angular de un sistemade partículas.

Ejercicio 2. Para el momento angular total de un sistema de partícu-las, verificar la relación de conmutación vectorial.

Característica importante de los sistemas de muchas partículas esel momento angular asociado con el movimiento del centro de masaque no es el momento angular total del sistema. Este resultado con-trasta con el del momento lineal: el momento lineal total de un siste-ma y el momento lineal de su centro de masa son idénticos. Comoejemplo, se considerará el caso más simple, como es el de un sistemade dos partículas. Transformando a las coordenadas relativas y delcentro de masa, el momento angular del centro de masa es

L c m = R X P ,

y el momento angular del movimiento relativo,

L r = r x p,

(10)

(11)

322

donde


r = r, — r2,

R =m2r2

M P=p ,

Por substitución directa se puede verificar fácilmente que el momen-to angular total del sistema es la suma de los vectores de momentoangular del movimiento relativo y el del centro de masa. Además,debido a que las coordenadas del centro de masa y relativa satisfa-cen las reglas de conmutación usuales (canónicas), se obtiene inme-diatamente que,

(12)Lr X Lr = i

L r , Lcm) = U.

Como consecuencia, los estados de un sistema de dos partículas sepueden clasificar simultáneamente respecto al momento angular desu centro de masa y al de su movimiento relativo, siendo cada uno for-malmente idénticos a los estados de momento angular de una solapartícula.

2. AUTOFUNCIONES Y AUTO VALORES DEL MOMENTOANGULAR

Para construir las autofunciones simultáneas y los autovalores co-rrespondientes de L2 y Lz se usará el método de factorización queutiliza únicamente las propiedades algebraicas de los operadores. Elanálisis es análogo al que se utilizó para el oscilador armónico aun-que es un poco más complicado. Los operadores que juegan un papelanálogo a los operadores a yat, resultan ser

L,-\- • (13)= Lx —

como se demostrará en un momento.2

Llamando ft2/? al autovalor de L2 y ha al de L,, y llamando JV,a las autofunciones simultáneas sin normalizar, se obtiene que2 Por razones que se aclararán en seguida, L+ se llama el operador de ascenso para el momen-to angular y í._ se llama el operador de descenso. Notar que L- = (L+) t ;

AUTOFUNCIONES Y AUTOVALORES DEL MOMENTO ANGULAR 321

(14)

(15)

Como L2 — L/ = Lx2 + Ly

2 y por lo tanto es un operador no negativose tiene que ,

a 2 =s /3 . (16)

Pero Lx y LU conmutan con L2 y, por lo tanto, también lo hacenL+ y L_ . Entonces,

es decir, que si Yf es una autofunción de L2 con autovalor fi2/3 ,también lo son las nuevas funciones L± YB

a.Si ahora se considera el conmutador entre L± y ¿, se tiene que,

= -ihLa±i(ihLx)

= + hL±

o bien,

(18)

Al operar sobre Yffa con esta ecuación de operadores se tiene que,

y usando la ecuanción (15),

Las ecuaciones (17) y (19) establecen que L±YBa es una autofunción

simultánea de L2 y L, con autovalores h2p y h(a ± 1) . Por lo tuéto, de acuerdo a la notación, se puede escribir,

en donde la normalización se ha dejado sin especificar.Partiendo de un estado determinado Yp

a que es un autoestado deLZ con autovalor ft« , se observa que al operar repetidamente con ¿+se pueden construir sucesivamente autoestados de Lz con autovaloreíh(a + 1), h(a + 2) y así sucesivamente, los cuales son también auto-estados de L2 con autovalor h2/3. Análogamente, por operación repeti-da con L - se pueden construir una sucesión de autoestados de L, conautovalores h(a — 1), h(a — 2), y así sucesivamente, siendo cada esta-do un autoestado de ¿2 con el mismo autovalor fc2/3. Pero, ya que


L2 — L2 es un operador no negativo esta sucesión de estados no pue-de continuar indefinidamente en cualquier sentido sino que tiene queterminar. Llamando kal al autovalor más alto y (—ha2) al autovalormás bajo, de la ecuación (16) se tiene que,

Además, ya que esta sucesión de estados necesariamente contiene unnúmero entero de intervalos n, se tiene que,

ai + a2 = n ; n = O, 1, 2, . . ..

En el extremo más alto se cumple que,

L+íV» = 0

y en el extremo más bajo se tiene que,

(21)

(22)

i v ~«z — n /"Tj"\L'- f (3 — « 5 \¿-->)

Estas condiciones se pueden usar para determinar los valores permiti-dos de «i, «2V/?.

Para hacerlo se expresa L2 en términos de L+, L_ y L¿ •

L+L_ = (Lx -f /LJ (Lx - iLtt) = Lx2 + L/ - i(Lx, Lu)

= Lx2 + Lv

2 + hL,,

y por lo tanto,r 2 _ / 2 _ l _ / 2 _ l _ / 2 _ / f — */ + / 2L, — í^x T^ I_,y i L*tz — Lj±L*i~ lí*-'z ' *-^x • (24)

Análogamente,

de donde se obtiene la expresión equivalente,

(25)

Con L2 en la forma dada por la ecuación (25) se opera sobreiy obte-niéndose,

f zy oí = / i v ai + itif + I 21 y»"1i-, J ^ — I-i—Lj+I Q 1 \lli-iz n^ I-v^ ' l &

El primer término de la derecha se anula de acuerdo con la ecuación(22) y Ye

m es una autofunción simultánea de L2 y de Lt con auto-valores ñ2P y hai según las ecuaciones (14) y (15). Entonces, cance-lando el factor común ft2, se tiene que

- ! ) • (26)


En la misma forma, operando sobre Y0~ai con L2 como en la ecua-

ción (24), se encuentra que,

1), (27)

de donde «i(«i + 1) = «2(a2 + 1). La única solución de esta ecuaciónque es consistente con la ecuación (21) es a, = a2, y por lo tanto

«i = «2 = = (28)

donde / es entero o semientero, dependiendo de que n sea par o im-par. En los dos casos,

/3 = / ( /+ 1 ) , (29)

y los autovalores de Lz varían de hl a —hl por saltos enteros de h .Llamando hm a los autovalores de Lz en lugar de ha ,m será enteroo semientero dependiendo de / y toma todos los valores desde / a -/por incrementos enteros como se muestra en la Figura 1. Es fácilconcluir que existen (21+ 1) autoestados de Lz para un valor dadode/.

•m = /

• m = / -•m = I

-m = I

• m = 2

• m = 1

• m = O

•m = -1

•m = -2

• m = 3/2

• m = 1/2

• m = -1/2

w = -3/2

•m = -/+ 1

•m = -/

m = -/ + 1

m = -I

I entero / semientero

Figura 1. Valores de m para estados de momento angular /.


De aquí en adelante Ytm será un autoestado del momento angular

con autovalores simultáneos hzl(l + 1) y hm , y donde sus ecuacio-nes de autovalores son,

(30)

Por brevedad, estos estados se llaman estados de momento angular /con componente z igual a m. Estos estados se pueden construir fá-cilmente partiendo del estado más alto Yf y operando sucesivamen-te con el operador de descenso L_. Entonces, se puede escribir,

c,(31)

donde c¡m son constantes de normalización y, como se recordaráYI' se define por

¿+y,' = 0. (32)

Los estados de momento angular también pueden obtenerse partien-do del estado más bajo Y¡~' y operando sucesivamente con L+ . Enambos casos, usando las propiedades de los operadores de ascenso ydescenso, se pueden construir explícitamente los estados y se puedendeterminar sus propiedades principales. Dejando los detalles para elEjercicio 3, los resultados serían:3

v m _ f.m-1 I (.' ' m> • ( j \l-mvlYl ~h V(2/) !(/-«)! (L-} Yl

/ (I

V (2/) !m _ J t - m - l~y m _Yl ~

. ,.

m) ! ( +£ + m y _ (

(33a)

(33b)

Ejercicio 3.(a) Demostrar que la ecuación (33b) se obtiene de la ecuación

(33a) y, por lo tanto, estas dos ecuaciones son equivalentes.(b) Derivar la ecuación (33b) calculando directamente (L±Yt

m\L±Yim), suponiendo que Y¡m está normalizada. Sugerencia: demos-trar primero que

3 Para una presentación completa y detallada ver la Referencia [22], especialmente el Capí-tulo XIII y el Apéndice B.


y usar las ecuaciones (24) y (25).(c) Demostrar que las funciones Y¡" son ortogonales.

Es importante señalar que todos los resultados obtenidos hastaaquí se han obtenido como consecuencia de la relación de conmuta-ción del momento angular dada por la ecuadión (6). Se ha usado larealización específica de L como la variable dinámica que correspon-de al momento angular orbital, definida por la ecuación (1), solamen-te al establecer esta relación de conmutación. Los resultados sonválidos para cualquier operador que satisfaga la ecuación (6), repre-senten o no a un momento angular orbital.

A pesar de esta generalización, se presenta en los resultados unacaracterística inesperada; la aparición en el espectro de estados conmomento angular semientero. Es necesario recordar que en el trata-miento de los estados de momento angular orbital para una partículaque se mueve en un potencial central, se dedujo que estos estados de-berían de tener momento angular entero para que pudieran cumplirla condición de ser funciones de estado univaluadas. Sin embargo,este requisito se aplicó con demasiado rigor, pues únicamente tienenque ser univaluadas las cantidades físicas observadas, pero estas can-tidades siempre se expresan en términos de los valores de expectacióny son funcionales de segundo grado de la función de estado del siste-ma. Por ello, no puede existir una objeción a priori a una función deestado únicamente porque puede tomar dos signos diferentes en unpunto del espacio, pues el cuadrado de esta función es univaluada.

Expresado de otra manera, se puede decir que no existe ningúnsignificado físico relacionado con el signo absoluto de la función deestado. También hay que recordar que el problema de que la funciónde estado sea univaluada, se presentó en relación con las autofuncio-nes eim* de Lz y con el hecho de que <t> = O y <t> = 2ir representan elmismo punto en el espacio. Entonces, el momento angular semiente-ro y, por lo tanto, valores semienteros de m corresponden a la ambi-güedad en el signo que se ignoró anteriormente. Sin embargo, el sig-no relativo entre dos funciones tiene significado físico, ya que los tér-minos de interferencia dependen de la fase relativa. Como conse-cuencia, el requisito de ser univaluada se violaría si algunas de las fun-ciones de estado de un sistema tuvieran momento angular entero yotras semientero. Para aclarar lo anterior, se puede tomar i/»i comoun estado con momento angular entero y i/»2 un estado con momen-to angular semientero, y considerar la superposición de ambos paratener el estado,

r, 6, r, 6, r, 0,

328

Entonces,


r, 6, 0 + 27r) = 0,(r, 6, 0) - «fe(r, 0, 0)

donde \*l>\2 no es univaluada, por lo cual estas combinaciones estánprohibidas.

Basándose en esta discusión general y puramente formal, se puedeconcluir que, en principio, los estados de un sistema dado pueden te-ner momento angular entero o semientero, pero únicamente uno uotro exclusivamente y nunca una mezcla de los dos. Este resultadosignifica que, aunque los estados de momento angular orbital puedentener momento angular entero como ya se ha supuesto, existe la posi-bilidad de que se presente el momento angular semientero, lo cualdebe de examinarse. Para esta prueba puede usarse el átomo de hi-drógeno, pero resulta que el suponer valores semienteros para el mo-mento angular orbital no concuerda con el experimento. Entonces,valores semienteros del momento angular orbital tienen que ser eli-minados.* Como se verá en breve, no es éste el caso para el momen-to angular intrínseco o espín de una partícula. Ambas posibilidadespara el espín se presentan en la naturaleza.

Como se va a tratar con más de una clase de momentos angulareses conveniente introducir una notación apropiada que permita dis-tinguirlos. Se continuará simbolizando por L al momento angularorbital y a sus autoestados por Y¡m . El momento angular espinorialse simbolizará por S y sus autoestados por \sm , o sea que xs

m está de-finido por

(34)

Finalmente, se usará el símbolo J como símbolo genérico para eloperador del momento angular, ya sea que se refiera al momentoangular orbital o al espinorial. Sus autoestados, estarán simbolizadospor Y¡m, donde

\)Y¡ (35)

Para facilitar la escritura, en los tres casos se ha usado m como elnúmero cuántico asociado con la componente z del momento angu-lar. Cuando sea necesario distinguirlos, sencillamente se usarán índi-ces, escribiendo m,, ms o bien m¡ dependiendo de las circunstancias.

* Para eliminar el momento angular orbital semientero se pueden dar argumentos diferentesal argumento empírico que se ha dado en el texto. En particular, surgen dificultades con élflujo de probabilidad para tales estados según J. M. Blatt y V. F. Weisskopf, Theoretical Nu-clear Physcs, Wiley (152), Apéndice A.


Es necesario recalcar que todos los operadores de momento angu-lar satisfacen las mismas relaciones vectoriales de conmutación dadaspor la ecuación (6) para L,

para S y, para j ,S x S = ih S

= ,7zj.

(36)

(37)

Sin embargo, existen ciertas diferencias entre el momento angularorbital y espinorial, ya que únicamente este último puede tomar va-lores semienteros. Se usará J para escribir las relaciones generales quesean válidas para todos, o sea, todas las expresiones escritas en térmi-nos de J son válidas por igual para el momento angular orbital y espi-norial. Por otra parte, expresiones escritas en términos de L y S se-gún el contexto, serán casos particulares de las relaciones generaleso se referirán a propiedades especiales de una de ellas. Un ejemplo deesto último sería la representación del momento angular orbital entérminos de armónicos esféricos; esta representación no existe para elespín. Las ecuaciones (6) y (36) son ejemplos del primer caso; am-bos son casos particulares de la regla general de conmutación para elmomento angular dada por la ecuación (37).

Debido a que, en general, se estudiará el momento angular total desistemas compuestos, el momento angular total tendrá contribucio-nes orbitales y espinoriales y, por lo tanto, exhibirá únicamente laspropiedades compartidas por ambos. Precisamente para exhibir estaspropiedades comunes se introduce J y el momento angular total deun sistema general se simbolizará por J.

Como ya se ha recalcado, todos los resultados obtenidos hastaaquí se han derivado usando únicamente la relación vectorial de con-mutación para el momento angular y, por lo tanto, son válidas paracualquier tipo de momento angular. Para referencia futura y paraestablecer explícitamente su generalidad, se pueden escribir los resul-tados principales en términos de J :

JV« = ñ

j^r = h

_(?/)! (y -«)!

U ~ m> •

(J(J->

donde,+ 1) -m(m± 1) Y¡m±t,

+=JX± iJu

(38a)

(38b)

(39a)

330

y


J-J+ =J2- hJ, - J2(39b)

Una característica interesante del operador del momento angulares que su proyección sobre el eje z siempre es menor que su magni-tud; entonces, como se mencionó anteriormente, su orientación noestá definida con precisión. Es ilustrativo discutir este comporta-miento en términos del principio de incertidumbre. De acuerdo conla ecuación (V-49), para cualquier pareja de operadores hermitianosA y B, se tiene que,

Esta relación se usa para examinar los efectos de la no conmutati-vidad de las componentes rectangulares de J . Sin embargo, paracualquier estado Yjm ,

y como Jx y Ju son combinaciones lineales de J+ y J- ,

Por lo tanto, para dicho estado,

de donde(Ayx)2 + (AJJ2 = { jx

2 + y/) = < J2 - j * ) .Además, de acuerdo con el principio de incertidumbre,

La orientación de los ejes x y y es arbitraria, por lo cual se concluyeque,

de donde la primera relación resulta ser,

AUTOFUNCIONES Y AUTOVALORES DEL MOMENTO ANGULAR

y la segunda es,

331

Comparando estas expresiones se obtiene que,

y (J2) tiene que ser siempre mayor que (Jz2) . Por lo tanto,

y, para un estado de y2 dada, como es H2j(j + 1) , se tiene que,

De aquí se concluye que el valor máximo posible de ( J2) eshjy noh y/(j+ 1) como lo sería si el momento angular estuviera orientadoa lo largo del eje z.

A estas características cuánticas del momento angular se les puededar una interpretación geométrica muy simplificada. Para el estadoY¡m , el momento angular J se puede visualizar como un vector delongitud Vj(j+ 1) ñ. sobre la superficie de un cono de altura mh entorno al eje z, como se ilustra en la Figura 2. Todas las orienta-

Figura 2. Interpretación geométrica de las propiedades del momento angularpara el estado Y¡m.

cienes de J sobre la superficie del cono son igualmente probables.Entonces,

<7 X > = <-/„> = ().

Además, por el teorema de Pitágoras,

•"-'""aBâb- •


que es el resultado correcto como se demostró anteriormente. Parauna / dada, estados de diferente m corresponden a conos de diferen-te altitud y abertura angular. El cono de momento angular nuncapuede cerrarse completamente, siendo su apertura más pequeña param = j que corresponde a una abertura angular de cos~l(j/\/j(j + 1)).La orientación precisa de los vectores del momento angular clásico serecupera en el límite clásico de j *> 1, como debe de ser.

Estas características se ilustran en la Figura 3, donde los conos demomento angular se dibujan a escala para los estados particulares demomento angular j — 1 y j = 2.

Falta exhibir los estados de momento angular orbital en el espaciode configuración y establecer la relación entre estos resultados y los

m = 1

m = O

m = -1

m = 2

m = 1

m = O

(a) j - 1

m= -2

Figura 3 Representación geométrica de los estados de momento angular; = 2 y/ = 2.


obtenidos en el Capítulo IX. Se parte de la ecuación (32). Recor*dando las ecuaciones (34) y (35) del Capítulo IX, se concluye que enel espacio de configuración,

Escribiendo y/(0, <}>) =/,(0) e"* la ecuación (32) resulta ser,

f =(/ctní)/, .

de donde se verifica fácilmente que,

/,(0) ~ (sene)',

y, por lo tanto,

'""

También se concluye que Yrl tiene exactamente la misma forma.Evaluando la integral de normalización se obtiene finalmente el re-sultado,

/V

_ , ( 2 /+ l ) ! s en ' 0-

La fase de la constante de normalización no está determinada por lacondición de normalización. La selección de esta fase arbitraria, quees la de la mayoría de los autores, se encuentra implícita en las ecua-ciones (33). Para una discusión más amplia ver la referencia [22].

Ejercicio 4. Calculando la integración angular, verificar que Yfl co-mo se expresa arriba, está normalizada a la unidad.

Estados con m ¥=• ±1 se pueden obtener por operación sucesiva con+ sobre Yf' y los resultados pueden resumirse en la forma

047r(2 / ) ! (/- ¿(eos 0)'-m

x (1 -cos'0)'

334

o bien,


V CJl 4- \\ I (1 — m\ I fim^cQnm f)\¿i T i) . ( i m) . e ¡>cii p

4 i r ( 2 / ) ! ( / + « ) ! 2 ' / !

dl+m

d(cos 0)l+m

x (1 -cos20)'.

Ejercicio 5. Llevando a cabo las diferenciaciones indicadas, encon-trar y,0, y,*1, y2

±2, Y2±l, y2° y comparar con la Tabla I, Capítulo IX.

3. OPERADORES DE ROTACIÓN Y DE TRANSLACIÓN

Una relación interesante e informativa se puede establecer entrelas transformaciones de rotación de las coordenadas espaciales y eloperador del momento angular orbital. Se puede considerar una ro-tación infinitesimal de las coordenadas por un ángulo 8$ alrededordel eje z, y llamar 8/?z al operador que induce esta transformación.El operador 8/?z actuando sobre cualquier función escalar f ( r , 0, 0) ,está definido por,

dRJ(r, 6, 0) = f(r, 0, 0 + 80) . (40)

Como 80 es infinitesimal, se puede desarrollar el miembro derechoen serie de Taylor

f ( r , 6, =/(r, 0, 0) + 8<f>d0

y conservando los términos a primer orden se obtiene que,

/(r, 0, 0 + 80) = (l + 80 j^)f(r, 0, 0).

Comparando las ecuaciones (40) y (41) se obtiene que,

dO I\ y == 1 "T" Ou) "

OÍD

Pero,

h d

y por lo tanto,

(41)

(42)

OPERADORES DE ROTACIÓN Y DE TRANSLACIÓN

que establece una relación profunda y fundamental entre las rotado»nes espaciales y los operadores de momento angular.

Este resultado se puede usar para generar una rotación por unángulo finito ft en torno al eje z, que se puede obtener operando re-petidamente con 8R „ . Al operador que corresponde a una rotaciónfinita se le puede llamar Rz({i), y su acción sobre una función escalararbitraria/se define como,

Pero,

y escribiendo «80 = /3 se tiene que,

/ Z « ( j 8 ) = lim8*- o

Si se procede al límite, de la definición de la función exponencial seobtiene que,

R,W = » - 5; £Se puede verificar que este resultado es correcto si se opera con R2((3)en la forma de serie de potencias sobre una función arbitraria f(r, 10, 0)y se compara el resultado con la representación en serie de Taylorde f ( r , 0, 0 + /3) . En general, el operador #ü(|3) que induce una rota-ción por un ángulo /3 alrededor de una eje orientado a lo largo de unvector unitario n , resulta ser

/?R()3) = eitó-L'ft, (43)

y el operador de rotación infinitesimal correspondiente 8/?ü sería,

8/?ü= 1 +/80ñ • L/ft.

De estos resultados se puede concluir que si el hamiltoniano H de unsistema conmuta con el operador L del momento angular, entonces,H necesariamente es invariante respecto a una rotación arbitraria delos ejes de coordenadas. Por lo tanto, desde este punto de vista, laconservación del momento angular como consecuencia de la conmu-tatividad de L y H, implica que no existe un sistema de coordenadaspreferido para el sistema, y el requisito dinámico de que el momentoangular total se conserva para un sistema aislado, es equivalente alrequisito puramente geométrico y más profundo de que el espacio esintrínsecamente isótropo.


La relación entre rotaciones espaciales y momento angular tam-bién proporciona la interpretación geométrica de que diferentescomponentes del momento angular no conmutan. Esta propiedad esuna consecuencia directa e inmediata de que las rotaciones finitasalrededor de ejes diferentes no conmutan. Por ejemplo, se verificafácilmente que una rotación alrededor del eje x seguida por una rota-ción alrededor del ejejy da un resultado diferente al que se obtendríasi estas dos rotaciones se llevan a cabo invirtiendo el orden.

Otro resultado importante que se deduce de estas consideracioneses una comprensión mejor de la degeneración (21 + 1) de los estadosde momento angular / en un potencial central. Esta degeneración sepresenta cuando el hamiltoniano es un invariante rotacional y es unaconsecuencia del hecho de que la selección del eje z es totalmentearbitraria, por lo cual no se asocia ningún significado físico a losautovalores de Lz. Hay que señalar que si la isotropía del espacio sedestruye de alguna manera para el sistema estudiado, la degeneracióndesaparece. Un ejemplo importante es el desdoblamiento Zeeman delos estados atómicos en presencia de un campo magnético externo.La dirección del campo magnético selecciona un eje espacial particu-lar y el desdoblamiento es producido por la interacción del campoexterno con los momentos magnéticos generados por el movimientoorbital de las cargas del sistema atómico y con cualquier momentomagnético intrínseco que puedan poseer los elementos del sistema.

A estas observaciones se puede añadir un hecho interesante. Si elespacio además de ser isotrópico es homogéneo, es decir, que no exis-te un origen de coordenadas preferido, entonces, se espera que el sis-tema sea invariante frenta a una translación de coordenadas. Para es-tudiar este resultado se define el operador de translación infinitesi-mal TSr definido como

7W(r) = (44)

donde T6r translada las coordenadas una cantidad 8r . Ya que 8res infinitesimal, se desarrolla /(r '+• 8r) en serie de Taylor

8 r ) = / ( r ) + S r - V / ( r )

y usando p =

/(r + 8r) = (1 + iSr • pM)/(r) .

Comparando (44) y (45) se obtiene que,

78r = 1 + <Sr • p/ft ,

(45)

(46)

que relaciona las translaciones espaciales al momento lineal. Porargumentos análogos a los que se usaron para las rotaciones, el opera-

ESPIN; LOS OPERADORES DE PAULI

dor Ta que induce una translación por una cantidad finita a está da-do por

_ ,, ¡a • p/ft _ 'T _ «« a t

1(47)

El requisito de que el momento lineal total de un sistema aislado seconserve, es equivalente al requisito geométrico de que el espacio esintrínsecamente homogéneo. Además, la conmutatividad de las dife-rentes componentes del momento lineal es consecuencia de que losresultados finales son independientes del orden de los desplazamien-tos. Una translación neta siempre se puede expresar como la sumade sus componentes tomadas en cualquier orden.

4. ESPIN: LOS OPERADORES DE PAULI

Hasta ahora se ha tratado principalmente con las propiedades delmomento angular orbital, o sea, con el momento angular que depen-de únicamente del estado de movimiento de una partícula y no conlas características particulares de la partícula. A continuación se es-tudiará una segunda clase de momento angular que se presenta en lanaturaleza y que es un atributo intrínseco de ciertas partículas ele-mentales. Este momento angular intrínseco o espín, como se le lla-ma, satisface las reglas de conmutación usuales para el momentoangular, pero difiere del momento angular en la forma siguiente:

(a) El espín es una propiedad específica de ciertos tipos de par-tículas y es independiente del estado de movimiento. El espín deuna partícula se puede considerar como un grado de libertad internoque, de alguna manera, está asociado con la estructura interna de laipartículas. ' ']

(b) El momento angular de espín puede tomar valores enteros^semienteros, pero exclusivamente uno de ellos para una partículf jcierto tipo.

(c) Para un tipo de partícula determinada, el espín tiertfjmagnitud fija e inmutable. Por ejemplo, las partículas que C(yen la materia, el electrón, el neutrón y el protón, todas tieheh'1un medio en unidades de h , e igual lo tienen los neutrino! *muones, así como las antipartículas correspondientes. Loitienen espín uno. Algunas partículas, como los piones y lotno tienen momento angular intrínseco, o sea, tienen espín cero,

- (d) El espín es una cantidad cuántica exclusivamente. En 6ÜÉPtido del principio de correspondencia, no existe límite clásico plfl llespín. Dicho de otra manera, no se puede dar una descripción ipara los grados de libertad asociados con el espín.


Aunque el espín es una propiedad interna de las partículas elemen-tales, tiene que acoplarse de alguna manera al mundo externo paraque tenga significado físico. Este acoplamiento se presenta a variosniveles. Las interacciones fuertes, que son las que predominan en fí-sica nuclear, dependen principalmente del espín. También lo son lasinteracciones débiles que describen los procesos de decaimiento beta.En el nivel familiar de las interacciones electromagnéticas, cualquierpartícula cargada que posea espín tiene asociado un momento mag-nético proporcional al vector de espín.

Sin importar la naturaleza de estos acoplamientos, existen ciertasconsecuencias generales debido a la existencia del espín. En primerlugar, la conexión entre espín y estadística discutida en el CapítuloVIII tiene importancia dominante en las propiedades termodinámica-estadísticas de la materia. En segundo lugar, a nivel cuántico, el mo-mento angular de espín interviene crucialmente en el significado delas leyes de conservación del momento angular, tan crucialmentecomo interviene el momento angular orbital. Sin embargo, histórica-mente, la existencia del espín no se obtuvo de estas característicasgenerales, sino de efectos especiales del momento magnético delelectrón en los estados atómicos. El más simple de estos efectos serefiere al desdoblamiento de los estados atómicos en un campo mag-nético externo. Ya que la degeneración de un estado de momentoangular total /es (2j + 1), se obtiene que el valor de/' para un estadodado está determinado por el número de estados en los cuales se des-dobla.

El análisis sistemático y detallado de estos desdoblamientos Zee-man, como se les llama, llevaron a Goudsmit y a Uhlenbeck en 1925a la conclusión de que el electrón posee un momento angular intrín-seco de magnitud fija igual a un medio en unidades de ft , que debede añadirse al momento angular orbital para dar el momento angulartotal;'. Por ejemplo, un estado s (1 = 0) de un átomo de hidrógenose desdobla en dos componentes ya que j= 1/2 para dicho estado.Un estado p (I = 1) se puede combinar de dos maneras con el espín.En una de ellas, el momento angular orbital y espinorial son parale-los (j = 3/2) y en la otra son antiparalelos O' =1/2). El primero se des-dobla en cuatro componentes y el segundo en dos, dando un total deseis componentes en lugar de tres, como se obtendría si el electrónno tuviera espín. Así se continúa para estados de momento angularmás alto; para una / dada se presentan dos estados, / = / + 1/2 y / =/— 1/2 , y el número total de estados en el espectro se dobla. Esteanálisis se refiere únicamente al átomo de hidrógeno, ya que paraátomos que contienen más de un electrón, la descripción es bastante

ESPIN; LOS OPERADORES DE PAULI 339

más complicada.A continuación se intentará desarrollar un formalismo para tratar

con el espín, restringiendo la atención al caso más importante, el deespín un medio. Como ya se estableció, la existencia del espín delelectrón produce que los estados electrónicos de una sola partículase doblen lo que corresponde a dos orientaciones posibles, y sólo dos,respecto a un eje escogido arbitrariamente. Este eje se escogerá comoel eje z, y se establecerá una expresión general para una función deonda arbitraria de una sola partícula dependiente del espín t|/(r, espín).Esta función de onda será una combinación lineal de dos estados po-sibles de espín; un estado para el cual la componente z del espín es-l-ft/2 y otro en el cual esta componente es —ft/2. Entonces, la super-posición se escribe como,

r, spin) = (48)

donde <|»±(r) se refiere a la dependencia de la función de estado y X+y X- son las autofunciones del momento angular espinorial que co-rresponden a espín hacia arriba y hacia abajo respectivamente.5 Es-tas funciones contienen toda la información acerca del espín. Ladensidad de probabilidad de encontrar a la partícula en r con espínhacia arriba es «K* (r) </»+ (r), y con espín hacia abajo es i/»_* (r) >//_ (r)de donde la densidad de probabilidad de encontrar a la partícula enr , independiente de su espín será (//+*«K+ </'-*</'- . De aquí se sigueque la integral de normalización para esta función se entiende como

(•Mr, espín) [.Mr, espín)) = <»Mr)|<Mr)> , (49)

donde cada término de la derecha tiene su significado convencionalcomo integral en el espacio de configuración. La ecuación (49) seobtiene de la ecuación (48) si se entiende que

(50)

y que las x± son ortonormales,

Puede ser de alguna ayuda el comparar esta forma de escribir lafunción de estado con la forma en la que se escribe un vector ordi-nario A en términos de sus componentes,

A = Axéx + + A2é¡,

5 En la notación de la ecuación (34) estas funciones son Xm"z / Xi/2~"2respectivamente. Pa-la ahorrar escritura, se han abreviado en una forma que es común en la literatura.

•'fitBI'mtíif«,,,í,


donde éx, éB y éz son vectores unitarios ortonormales.pondencia con la ecuación (49) se tiene que,

En corres-

Una función de estado dependiente del espín puede considerarse co-mo una función de dos componentes, una componente por cadaorientación del espín y con los estados espinoriales x± como vecto-res unitarios.

El siguiente paso será encontrar las propiedades de los estados es-pinoriales y del operador del momento angular espinorial S queactúa sobre estos estados. Naturalmente que S tiene que satisfacerlas reglas de conmutación usuales para el momento angular de laecuación (36),

S x S = ihS,

y X+ y X - , definidos como los autoestados correspondientes a lascomponentes z del espín + h/2 y -h/2, deben de satisfacer las rela-ciones,

S =-

o A (52)SzX- = ~2X--

Además, como ambos son estados de espín total h/2 se tiene que,C2-y _ X (í -4- 1 A £ 2 v 3_ ¿ 2

De la Ecuación (48), para una función de estado perfectamente arbi-traria !/»(/-, espín) se tiene que,

S2i¡t(r, espín) = | h2t¡j(r, espín),

o sea, en contraste con el caso de un momento angular orbital, S2 esun operador exclusivamente numérico,

S2 = |¿2. (53)

También,

y, por lo tanto, S2 también es un operador exclusivamente numéricolo que se deduce por el mismo argumento. Pero Sx

2, Sv2 y Sz

2 sonvariables dinámicas totalmente equivalentes y deben de compartir es-ta propiedad, por lo cual

h2

4S 2 — O 2 — C 2 — "

x ° J — (54)

'If

ESPIN; LOS OPERADORES DE PAULI

que claramente es consistente con la ecuación (53). <Las ecuaciones (53) y (54) significan que para el momento angulai

espinorial no existe ninguna caracterización diferencial del operadoien ninguna representación. Esta conclusión no entraña ningún pro-blema, pues un operador está completamente definido por los restófados que se obtienen cuando opera sobre un estado arbitrario. E»tos resultados se han dado para S2 y S, y falta especificarlos paraSx y Sv . En lugar de tratar con estos últimos operadores, es malconveniente tratar con los operadores de ascenso y descenso 5+ y S-¡definidos por,

5± = 5X±/5V . (55)

Aplicando la relación general completa, ecuación (38b), se obtieneinmediatamente para el caso bajo consideración y = | y /M = ±^

(56)

e invirtiendo la ecuación (55),

= 2*-

ift(57)

Se comprueba fácilmente queSx2y S/ son operadores numéricos quí

satisfacen la ecuación (54) y las relaciones de conmutación correctáli

Ejercicio 6. f -o!(a) Obtener la ecuación (57) partiendo de la ecuación (38b)./i!(b) Tomando Sx, Sa y S ¿definidas por las ecuaciones (52) y (5*1$

demostrar que se satisfacen la ecuación (54) y la relación de coniQU1

tación vectorial (36). Demostrarlo permitiendo que los operad oroiespinoriales actúen sobre el estado espinorial arbitrario de la ecuación(48).

El álgebra de los operadores de espín un medio es poco usual, co-mo ya se ha visto, principalmente como consecuencia de la ecuación(54J). Esta álgebra puede desarrollarse todavía un poco más. De Uecuación (56) se obtiene inmediatamente que S±

2 = 0 . Entonces,usando la ecuación (55),

fS, + SUSX)O = (S, ± ÍJ,)1 = - Su2 ± i(S


o bien, ya que Sx* = SJ = ft2/4,

*J x*J y ' — " •

La misma relación se cumple entre cualquier par de componentes di-ferentes, ya que todas las componentes de S son dinámicamenteequivalentes. Este tipo de expresión, que es análogo al conmutadorexcepto por el signo más en lugar del signo menos, se conoce comoanticonmutador. El anticonmutador para cualquier pareja de opera-dores se define como,

(A,B) + = = (B,A) (58)

Sustituyendo las variables x, y y z de las componentes de S por índi-ces numéricos, las relaciones de anticonmutación para espín un me-dio se pueden escribir como,

(S¡, -r- (59)

Usando este resultado importante, se pueden simplificar las relacio-nes de conmutación. Con i, j y k en orden cíclico se tiene que,

y como S( y Sj anticonmutan,

-ÜL c~ *' (60)

o bien, multiplicando por Sk por la izquierda o por la derecha,

Si5j5fc = Sk5i5J=M3/8, (61)

donde, para recalcar, /, / y k se toman en orden cíclico.La ecuación (60) es útil debido a las siguientes razones. Considé-

rese un operador totalmente arbitrario pero dependiente del espíny que contiene un término en las componentes de S a la «-ésimapotencia. Las ecuaciones (54) y (60) aseguran que este términosiempre puede reducirse a un término independiente del espín o aun término lineal en el espín. Para aclarar este resultado se puedendar los ejemplos siguientes:

(1) SXSUSXS1SII — SXSUS I j I

16

ESPIN; LOS OPERADORES DE PAULI' B

343 fl

En la primera línea se ha sustituido S2SV por ( — ih/2)Sx, en la se-gunda Sx

2 por ft2/4 y en la tercera SXSU por (//¿/2)SZ.

(2) ¿X I f i l

32

En la primera línea se ha sustituido SZSXSU por /ft3/8 según laecuación (61) y en la segunda S,2 por ft2/4 . Ya que cualquier po-tencia de los operadores de espín se puede reducir como se ha indi-cado, se concluye que el operador espinorial^ más general, se puedeexpresar como una función lineal del espín, esto es,

A = (62)

donde los A¡ son operadores arbitrarios independientes del espíndel tipo que se han estado tratando.

También se puede demostrar que el operador espinorial está com-pletamente especificado por las ecuaciones (52) y (57). Se puedehacer calculando el resultado de operar con el operador arbitrario A,ecuación (62), sobre un estado arbitrario i/> , ecuación (48). Se obtie-ne que,

+ -A3(\jj+x+-^-

y, reuniendo términos,

(63)

Por ejemplo, el valor de expectación de A es,

(64)

Algunas aplicaciones específicas de estos resultados se dan a conti-nuación.

(1) El operador^ de la ecuación (62) podría ser,


A=n • S,

donde ri es un vector unitario arbitrario con componentes regulares«x, «u y «z. Entonces, de acuerdo con la ecuación (64), el valor de ex-pectación del momento angular espinorial a lo largo del eje íi es

2 + <<Mifr_>. (65)

El último término es el complejo conjugado del segundo, por lo cualel resultado es real. En el caso especial en el cual <j>+ o «/»_ sea cero,que corresponde a un estado i/» con espín hacia arriba o hacia abajo,respecto al eje z, el resultado sería,

(2) Como ejemplo similar, pero más importante y más complica-do, se puede tomar

A = L • S,

donde L es el operador del momento angular orbital. Se obtiene que,

| <«ML,I<M -f <*-IL,I«M

+ < , J , _ | L + | « K > + < < K | L _ | < / , _ > . (66)

Si i/»+ es un estado cuya componente z del momento angular orbitales mh, los últimos dos términos contribuyen solamente si </»- contie-ne estados con componente z del momento angular igual a (m + 1 )ñ.

(3) Como último ejemplo se puede considerar un estado de laforma especial,

+ /3x-K (67)

Para el operador general A se obtiene que,

(68)

Y para el operador del primer ejemplo A = n • S se obtiene el resul-tado,

ESPIN; LOS OPERADORES DE PAULI 341

+ / l z ( | a | 2 - | / 3 | 2 )} - (69)

Otras aplicaciones se dejan para los problemas.Es útil tener una realización explícita de los operadores espinoria-

les aunque, como lo demuestran los ejemplos anteriores, no es nece-sario hacerlo. Se puede hacer usando una representación matricial ynotando que, debido a que se tienen sólo dos estados de espín, úni-camente se necesitan matrices dos por dos. De la definición de loselementos de matriz de un operador, la componente z'-ésima de S sepuede escribir como,

c = / <X + |Silx+> <X + W x - > \' V <x -Wx+> ( x ~ \ s t \ x - ) )

Los elementos de matriz se calculan fácilmente usando las ecuaciones(52) y (5 7). Por ejemplo,

y análogamente para £„ y S, ; entonces,

5 =A* 2\l MO]

Usando las reglas de la multiplicación de matrices, es fácil comprobarque las componentes de S satisfacen las relaciones que se obtuvieronanteriormente.

Ejercicio 7. Usar las reglas de multiplicación de matrices para de-mostrar que Sx, Sv y S ^ , definidas por la ecuación (70), satisfacen lasecuaciones (54), (59) y (60).

Aunque en todo el análisis anterior se ha usado S , es convenienteeliminar todos los factores ft/2 que aparecen en este análisis. Para

.•Mal


ello se introduce un operador sin dimensiones llamado operador dePauli definido por cr — <rxéx + a-véy + crzéz y se escribe,

(71)

Usando todos los resultados anteriores se obtiene que,

o-2 = 3

o-x2 = «•„* = oy* = 1

a X cr = 2/cr(72)

= Í0>

y la representación matricial de a será

O 1\ /O ~/1\OJ

/ \ / I 0\OJ Û -i]

Se concluye fácilmente que o-*, o-,,, o-z y la matriz unidad formanun conjunto completo de matrices dos por dos en el sentido de quecualquier matriz dos por dos se puede expresar en términos de ellas(¿por qué?). Esta afirmación es una versión más clara que la ante-rior, en la cual se afirmaba que un operador arbitrario dependientedel espín siempre puede expresarse como una función lineal del es-pín. ( ¿Por qué son equivalentes estas dos afirmaciones?).

Esta representación matricial de los operadores espinoriales sugie-re una representación similar para las funciones de estado de doscomponentes en la teoría. En particular, las funciones espinorialesX+ y X- se pueden representar por matrices columna6 definidas porpor

Estas definiciones son consistentes, pues se puede verificar que lasecuaciones (52) y (57) se cumplen cuando se consideran como ecua-ciones entre matrices. Los detalles se dejan para los ejercicios.

También se introducen los adjuntos de estas matrices que son lasmatrices renglón.

X+ t=( l 0), x-t=(0 1),

6 A estas matrices columna también se les llama vectores columna o simplemente vectores.

ESPIN; LOS OPERADORES DE PAULI 34f»

de acuerdo con la definición general de adjunto de una matriz, ecua-ción (VII-49), y de acuerdo con las reglas usuales de la multiplica»ción de matrices,

Se observa que estas relaciones son precisamente equivalentes a lasexpresiones definidas en la ecuación (51) como paréntesis de Dirac.Comparando se obtiene que,

< x ± l x ± > = x± tx± -De esta manera se ha establecido una visualización de los paréntesisde Dirac para estados espinoriales que faltaba en la definición ante-rior, pero que es muy útil y conveniente aunque no contenga infor-mación nueva.

Ahora, una matriz columna general se define como una combina-ción lineal arbitraria de x + y de x- , por lo cual, el estado generaldependiente del espín dado por la ecuación (48) se puede expresaren lenguaje matricial como,

t//(r, spin) = t//+ (r)\+ + ^ - ( r ) X - =

Sin embargo, a las expresiones en términos de paréntesis de Dirac enlas que intervienen funciones espaciales y espinoriales, falta darles elsignificado de la ecuación (5O).7

Ejercicio 8. Verificar que las ecuaciones (52) y (57) se cumplencuando se consideran como ecuaciones entre matrices.

Es conveniente hacer algunas observaciones finales. Se ha introdu-cido el espín en forma ad hoc como una necesidad empírica, más omenos como se hizo históricamente. La teoría de dos componentesde Pauli se originó a partir de estas bases empíricas. Sin embargo, sepuede mencionar que todas estas características, sin ninguna suposi-ción ad hoc, fueron obtenidas por Dirac en 1930. Partiendo de unelectrón sin estructura, Dirac construyó una versión relativista de laecuación de Schródinger de la cual se obtuvieron las propiedades es-7 Estas ideas se pueden aplicar con la misma facilidad a la representación de funciones de es-tado convencionales <//(/•). La función i> se puede considerar como una superposición de al-gún conjunto completo de funciones base ortonormales <t>m. Los coeficientes de esta super-posición, por ejemplo cm, definen completamente a 1/1, la cual se puede representar comouna matriz columna de dimensión infinita con cm como el elemento m-ésimo. Al expresaroperadores como matrices en la misma base, cualquier relación que se cumpla en la descrip-ción convencional también te cumple cuando se considera como relaciones matriciales.


pinoriales del electrón como una de sus consecuencias. También pre-dijo la existencia del positrón. En el próximo capítulo se discutirála ecuación de Dirac y cómo se obtuvieron estos resultados.

Se ha discutido ampliamente el espín un medio y la forma de tratarpartículas sin espín, pero no se ha dicho nada acerca de otros espinescomo por ejemplo, el espín uno. Ya que para espín uno existen tresorientaciones, la función de estado que describe a una partícula deespín uno tendrá tres componentes. El álgebra correspondiente, aun-que inmediata resulta más complicada y no se intentará desarrollarla.

5. ADICIÓN DEL MOMENTO ANGULAR

Considérese un sistema de muchas partículas que está aislado. Sumomento angular total se puede expresar como

J = 2(L, + S,), (74)i

donde L¡ es el momento angular orbital y S¡ es el momento angularespinorial de la partícula z'-ésima, en caso de existir. Como el mo-mento angular de un sistema aislado se conserva, los estados de talsistema siempre se pueden escribir como autofunciones simultáneasde y2 y Jz con autovalores j(j+ I ) f t 2 y mñ . Pero frecuentementesucede que el sistema se puede descomponer en subsistemas que nointeraccionan entre sí, dentro de cierta aproximación. En esta apro-ximación, se puede discutir el sistema en términos del momento an-gular de sus partes, ideas que son muy familiares en física clásica.Así, el momento angular del sistema solar puede considerarse comocompuesto de un número de elementos diferentes; el momento angu-lar orbital de cada planeta en su movimiento en tomo al Sol, el mo-mento angular de las diferentes lunas en torno a los planetas corres-pondientes y, finalmente, el momento angular de todos estos objetosy del Sol, debido al movimiento giratorio de cada uno en torno a sueje. A primera aproximación, todos ellos están desacoplados y seconservan por separado, lo cual proporciona una descripción adecua-da para el comportamiento a corto plazo del sistema solar. El com-portamiento a largo plazo requiere un tratamiento más preciso quetome en cuenta las interacciones mutuas entre los diferentes momen-tos angulares. Los momentos angulares individuales ya no se conser-van por separado, sino únicamente el total para todo el sistema.

Lo importante es encontrar una descripción cuántica del momentoangular total de un sistema como composición de los momentos an-gulares de los subsistemas. Se supone que éstos interaccionan débil-mente para que los efectos de las interacciones se puedan tratar porlos métodos de la teoría perturbativa. Entonces, se busca un conjunto

ADICIÓN DEL MOMENTO ANGULAR

apropiado de estados no perturbados, estados de momento angullfrdefinido para cada subsistema y de momento angular total para todoel conjunto. El proceso clásico de combinar momentos angulares elcompletamente trivial; simplemente se toma la suma vectorial en Uforma usual. Sin embargo, cuánticamente, este proceso es complicadodebido a que ninguno de los vectores de momento angular está orienta-do con precisión. De hecho, se tienen que sumar vectores que se en-cuentran sobre conos, como se ilustra en las Figuras 2 y 3 , con aberturaangular, alturas y orientaciones variables, y formar una resultante quese encuentra sobre dicho cono. No se intentará dar una respuesta com-pleta, sino únicamente enumerar los estados de momento angular to-tal que se pueden lograr al componer estados de momento angular defi-nido. No se intentará construir estos estados en forma explícita, ex-cepto por uno o dos casos especiales.8

El problema de enumerar los estados de momento angular que sepueden tener, tan simple para sistemas clásicos, no es trivial en me-cánica cuántica. Como se verá más adelante, la respuesta, que se lla-ma teorema de la adición vectorial del momento angular es la siguien-te: cuando un sistema de momento angular j1 se combina con unsistema de momento angular j2 , el momento angular total / tiene unvalor máximo de j \ + j 2 _ y mínimo de \ j i — j z \ . Los otros valoresposibles de / se encuentran entre estos dos extremos, distinguiéndoseentre ellos por pasos enteros de uno a otro. El conjunto completo deestas posibilidades será (/ 1 + 7 2 ) > O ' i+ iz - 1), O' i+ h - 2),...,\J\ — Jz\- Además para cada valor de / el estado con componente zdefinida es único. Pero estos estados únicos son tales que, en general,las componentes de 7, y j2 no tienen valor definidos por separado. Es-te resultado es consecuencia directa de la incertidumbre cuántica enla orientación de los vectores del momento angular y de aquí resultala complicación para construir estos estados.

Para confirmar estas afirmaciones, se puede considerar un sistemacompuesto de dos subsistemas sin interacción. Llamando Ji y J2alos momentos angulares de los susbsistemas y <f>hmi y \jtm a losestados de momento angular de cada subsistema, de acuerdo a las de-finiciones se tiene que,

8 Para una discusión completa ver la Referencia [22]. Para un tratamiento más breve ver lasReferencias [¿4] y [25].9 Brevemente, \ji-ji\>en analogía con la regla del triángulo para vectores clásicos A y B.

A + B »\\ + B\»\A-B\.

350

y


Ja2Xi*mí=J2(J2+ 1)(76)

Los estados del sistema completo se pueden expresar como pro-ductos de estas funciones. Se buscan estados compuestos que sonautofunciones simultáneas de J2 =( J, + J2)2 y de J, y también de Jfy /z2 o sea, se buscan estados cuyos momentos angulares i\y h se su-man para dar un estado de momento angular; y componente z iguala m. Llamando ^jmju, a esta función de estado compuesta, se tieneque,

nti i tnt

que es la superposición más general de funciones producto que a su vezes autofunción simultánea de /i2 y de /z2. Las constantes C ¡mmtmi

se llaman coeficientes de Clebsch-Gordan y pueden determinarse porla condición de que t/»jmj,j2 sea autofunción simultánea de/2y de/*.Para verificar el teorema de adición vectorial se enumerarán los valo-res permitidos de / y de m.

Respecto a m la respuesta es inmediata porque J, = JÍ2 + J2z y ope-rando con J, sobre la ecuación (77) se tiene que,

m = nii + m2. (78)

lo cual significa que la suma doble de (77) se reduce inmediatamentea una sola suma. También establece que el valor máximo posible dem es ji +j2 que se alcanza cuando mi y m2 tengan sus valores máxi-mos de ji y j2 respectivamente,10 y además que el valor máximo de/ es y'max = /i + /2. Considérese un sistema en el cual m es ji +j2 — l.Este estado se puede formar de dos maneras linealmente indepen-dientes; una, en la que m, es igual a ji y m2 es j2 — 1, y la otra en lacual m, es j\ — l y m2 es igual a j2.

n, Una de estas combinacionestiene que pertenecer al estado jmax =jt +j2 que ya fue identifica-do, pero una segunda combinación (ortogonal) también existe y tie-

10 Debido a que hay un solo estado de este tipo en la superposición (77), este estado se deter-mina inmediatamente como

y también el estado con m = — (_/, +j¡),

(79)

(80)

Estos estados son los únicos que siempre se pueden construir inmediatamente.

11 Estos dos estado linealmente independientes son $¡¡.¡,-1 Xj.j, y <t> i,.i, Xji.ji-i •

ADICIÓN DEL MOMENTO ANGULAR

ne que estar asociada con el estado/ =j¡ + j2 — 1. Pasando a estadoicon m =jt +j2 — 2, existirán tres estados linealmente independiéistes. Dos de ellos tienen que estar asociados con los estados de mo*mentó angular total identificados anteriormente, y el tercero estaráasociado a un estado con momento angular /' =j\ +j2 — 2. Se con-tinúa de esta manera decreciendo / por pasos enteros hasta que sehan cubierto todas las combinaciones y / alcanza su valor mínimoJmin == \Ji J z \ -

No es difícil comprobar que en esta enumeración se han incluidotodos los estados posibles. El argumento es el siguiente. La degenera-ción del primer subsistema es (2j\ + 1) , la del segundo es (2j2 + 1) ytpor lo tanto, deben de existir (2ji + I)(2j2 + 1) estados linealmenteindependientes en cualquier representación. Se puede calcular a con-tinuación el número total de estados en la representación (y, m). Ladegeneración de un estado con momento angular/ es 2j + 1 y, por lotanto, suponiendo que j¡ ^ j2 se tiene que,

UJi + O (2A + 1 ) = J ~ 2 + J Z (2.7+1).j = j l -J2

Se puede calcular la suma escribiéndola en orden inverso, sumándolaa la original y dividiendo entre dos. El primer término de cada su-mando es 2 (2j¡ + 1) que también lo es para cada par de términos. Co-mo existen (2j2 + 1) términos en total, se obtiene el resultado de-seado.

Entonces, se han verificado las reglas establecidas anteriormentepara la adición de momentos angulares. Estas reglas son equivalentesa las de los vectores ordinarios pero suplementadas por las condicio-nes cuánticas usuales para los estados de momento angular. Las mis-mas reglas se pueden aplicar para sumar más de dos momentos angu-lares. Para hacerlo, se suman dos de ellos y al resultado se le suma eltercero y así sucesivamente.

Existen muchos ejemplos importantes de la adición de momentosangulares. En uno de estos el hamiltoniano es, aproximadamente, in-dependiente del espín, por lo cual el momento angular orbital totalde todas las partículas y el momento angular espinorial total formandos sistemas independientes. El primero se describe en términos deestados de un momento angular L y el segundo por estados de unmomento angular S . Estos dos momentos angulares se acoplan porfuerzas débiles dependientes del espín para formar estados de mo-mento angular total definido. Este esquema se llama acoplamientoRussell-Saunders o L-S y se aplica a estados atómicos en la primeraparte de la tabla periódica. En el otro extremo se encuentra la clasede problemas para los que la interacción entre partículas individuales

(52 MOMENTO ANGULAR Y ESPIN ADICIÓN DEL MOMENTO ANGULAR 353

Hieden despreciarse pero no las fuerzas dependientes del espín. En5ste caso, cada partícula se describe por un estado de momento angu-ar total / y el sistema, como conjunto, se describe por la suma de es-:os estados individuales. Este esquema se llama acomplamiento j-j yte aplica a los estados atómicos en la última parte de la tabla periódi-;a y también a estados nucleares en la aproximación del modelo de;apas.

Ahora se puede dar un ejemplo de la adición del momento angular.Je encontrarán los estados de espín total para dos partículas con es-)ín un medio. Este ejemplo es el más sencillo posible, pero de modolúe todos los detalles se puedan presentar. Sea Si el operador de es-)ín para la primera partícula y S2 el de la segunda partícula. Sea x i±f X2± los estados de espín correspondientes. De acuerdo con la ecua-;ión (77), el estado espinorial más general posible de un sistema delos partículas *l>smll, se puede escribir como la superposición de[2 • 1 + 1) (2 • I + 1) = 4 estados espinoriales compuestos,

•kmii = Csm++Xl+X2+ + Csm+-Xl+X2- + Csm-+Xl-X2+ + C,m—Xl-X2-

= Xs (81)

?omo se está hablando de estados puros de espín, los autovalores delnomento angular espinorial se han llamado s en lugar de / y los esta-los compuestos espinoriales se han abreviado como Xsm. También,>or conveniencia, los índices m^ y m2 en la suma (77) se han sustjtui-lo por los signos más y menos. Finalmente, la suma se ha escrito ex->lícitamente porque contiene sólo cuatro términos.

Ahora se buscan las cuatro combinaciones lineales particulares queon autoestados simultáneos del espín total y de su componente z.U operador del espín total es

S = St + S2 = - + CT2) -¿O",

r los estados que se buscan son aquellos para los cuales,

(82)

(83)

(84)-

istos estados se identifican fácilmente con la ayuda del teorema dea adición. De acuerdo con este teorema, dos partículas de espín un

> bien, en términos de los operadores de Pauli,

l ) X s m

medio se pueden combinar para dar solamente espín uno y espín c^ro. Los estados de momento angular máximo y\m máximo siemprese pueden construir en forma trivial, y están dados por las ecuacio-nes (79) y (80). Para este caso, son los estados con s= l,m = ±l, porlo cual se obtiene inmediatamente que,

X i + X 2 +

X i - X 2 - -(85)

Los dos estados que faltan, ambos con m = O, son combinacio-nes lineales de X i + X 2 - y de Xi -Xz+ . ¿Qué combinación lineal dedos estados corresponde a s = 1, m = O el miembro que falta del con-junto de tres subestados 5 = 1 ? Observando que cada estado de s = 1identificado por la ecuación (85) es simétrico respecto al intercambiode los espines de las partículas uno y dos, se sigue que el estado bus-cado también debe de ser simétrico. Entonces, debidamente norma-lizado, el estado es

(86)

Evidentemente, el estado faltan te que tiene y y m = Oes una combina-ción lineal análoga pero ortogonal al de la ecuación (86) y, por lotanto, es el estado antisimétrico

1(87)

Ejercicio 9. Verificar la afirmación de que el estado / = 1 , m = O tie-ne que ser simétrico porque los estados j = 1 ,m = ± 1 lo son. Hacerloconsiderando una rotación del eje de cuantización y demostrandoque el operador de rotación apropiado es simétrico en los espines delas partículas.

No es difícil comprobar que los estados que se acaban de encon-trar son autofunciones simultáneas de S2 y S2 o de o-2 y o-2) . Deacuerdo con la ecuación (84) se tiene que demostrar que para los es-tados s = 1 ,

m= 1 ,0 , -1

y para los estados 5 = 0,

o-2Xoo = O

0"zXoo = 0.

(88)

(89)


Las ecuaciones en <rz son triviales pero las ecuaciones en o-2 no loson. Se pueden simplificar observando que,

•2 = (or, + o-2)2 = o-,2 + oy2 + 2o-, • <T2cr'

y, debido a que <r,2 = o-22 = 3,

cr2 = 6 + 2(7 j • <T2.

Comparándolas con las ecuaciones (88) y (89) se obtiene que o-, • o-2

da la unidad cuando opera sobre un estado con s = 1 y menos trescuando opera sobre un estado de s = O . Este resultado se obtienefácilmente, pero se dejarán los detalles para los problemas.

Recapitulando, con la ayuda del teorema de la adición vectorialse ha construido explícitamente el estado espinorial llamado tripletecon s = 1 y m = 1, O, — l , y e l estado singulete con s =m = 0. Seencontró que el primero es simétrico respecto al intercambio de espi-nes y el segundo es antisimétrico.12 Las funciones de estado nor-malizadas y sus propiedades se resumen en la Tabla I.

Triplete Singulete

O"2 = 8, CTj • CT2 = 1 1 = O, CTj • <TÍ = —3

i = 0 : Xi.o = y¿ (Xi+Xz- + Xi-Xz+)

> = -! :Xi.-i = X.-Xi-

= 0: xo.o

= 7=- (Xi+Xs- - Xi-Xz+)

Xi.m es simétricarespecto al intercambio

Xo.o es antisimétricarespecto al intercambio

Tabla I. Estados espinoriales normalizados para dos partículas de espín un me-dio.

Como segundo ejemplo, muy importante, se puede considerar laadición del momento angular orbital y espinorial para el caso de es-pín un medio. Únicamente se darán los resultados, dejando los de-talles para el Ejercicio 10. Para un momento angular orbital / ^ O ,hay dos estados con momento angular total/ = / ± i, de acuerdo conel teorema de la adición vectorial. Estos estados, a los cuales se lesllamará ^jmj¡, se definen como,11 Esta conclusión comprueba la afirmación del Capítulo VIII de que los estados antisimétri-cos de dos partículas pueden clasificarse como el producto de un estado espinorial antisimé-trico (singulete) por un estado espacial simétrico, o bien, como el producto de un estado es-pinorial simétrico (triplete) por un estado espacial antisimétrico.

ADICIÓN DEL MOMENTO ANGULAR 3Sf

Se expresan en términos de las autofunciones </»im de L2 y L¡ y de losestados espinoriales x± P°r>

1 1

[V7 + m + 1 </»(mX+ + V/ - m <Km+i X-] (90)

y por,

- = V2/* + l [VI-m *lmX + + Vl + m+l (91)

En la ecuación (90), m toma todos los valores enteros entre — (/ + !)y /, y en la ecuación (91) toma los valores enteros entre —ly 1 — 1.

La importancia de este ejemplo proviene de la existencia de la lla-mada fuerza espín-órbita. Para un electrón que se mueve en un po-tencial central V ( r } , esta interacción está representada en el hamilto-niano por el término,

H1 1 dV

2m2c2 r dr L S, (92)

donde L es el operador de momento angular del electrón y S su ope-rador espinorial. Este término, cuyo origen es relativista, es conse-cuencia del hecho de que el campo magnético producido por unapartícula cargada en movimiento interacciona con su momento mag-nético espinorial. Un hamiltoniano que contenga este término con-muta con 72, Jz y L2 pero no con L¿. Entonces, los estados de mo-mento angular son precisamente los de las ecuaciones (90) y (91).Esta relación se puede hacer explícita observando que

J2= (L + S)2 = L2 + 2L • S + 52,

de donde se obtiene que para una partícula de espín un medio,


y por lo tanto las autofunciones simultáneas de J2 y L? son tambiénautofunciones deL • S, es decir,

(L • S) «fcm,, = ¿ [./(./ + 1) - / ( / + 1) -|] h**¡n¡l.

Para j=l + ?,L • S tiene autovalor lh2/2, y para j = / - i tieneautovalor-(/+ 1) h2/2.

Ejercicio 10. Obviamente, las funciones i// jmjí de las ecuaciones (90)y (91) son autofunciones de L2 y J:. Usar la ecuación (66) para veri-ficar que son autofunciones simultáneas de L • S y por lo tanto de J2.

Ahora, se puede tomar un sistema, como el átomo de hidrógeno,descrito por el hamiltoniano,

P2= "spin-orblt •

Este hamiltoniano es separable en un producto de funciones radial yangular de la forma,

i//(r, spin) = Rjt <¡tjmjl

Usando los resultados obtenidos anteriormente para los autovaloresde L-S,la función de onda radial RH satisface la ecuación

h2 d_2mr2 dr w V(r} 1(1+

2mr2 ' )_í!_i»:v,-/ — 1J 4m2c2r dr J

(93)

donde la línea superior dentro de los paréntesis se refiere al estado/ = / +i, y la inferior al estado / = / — ? . Naturalmente, que eltérmino espín-órbita está ausente para estados s (1 = 0) , por lo cualla ecuación (93), que es exacta, se aplica solamente para / ^ O . Laperturbación provocada por este término es responsable de la estruc-tura fina de los estados atómicos, y en el dominio nuclear la existen-cia de una interacción espín-órbita fuerte es esencial para la explica-ción de las estructuras de los núcleos en el modelo de capas. En elcaso atómico donde este término generalmente es pequeño, se puedetomar como buena aproximación la teoría de perturbación a primerorden para la contribución a la energía. Un estado de un electróncon / dada se desdobla en un doblete, cuyo corrimiento en la energíaes,

PROBLEMAS

A E = (<£ell"spin-orbttl4

AE = -:

\~ ~fo

,r d r / ^ ' '"

Entonces, la energía de separación de los dos estados es

A^TV'+D.4mc¿ \r dr / , ,

La separación de las famosas líneas D del sodio, es un ejemplo deldesdoblamiento producido por la interacción espín-órbita.

Problema 1.(a) Calcular la energía del estado base del átomo de hidrógeno

suponiendo momento angular semientero. Comparar la energía deionización con el valor experimental.

(b) ¿Cuáles son las autofunciones del estado base?

Problema 2. Para el oscilador armónico isotrópico en tres dimensio-nes, encontrar la energía del estado base y la autofunción corresport-diente, suponiendo momento angular orbital semientero.

Problema 3. Econtrar las relaciones de conmutación de Lx, Lu, Lt, L*con px, py, Pz,p'¿, y con x, y, z, r2.

Problema 4. Considerar el movimiento de una partícula en un cam-po central V(r). Sea fymm(r) la autofunción del hamiltoniano que co-rresponde al momento angular total / y componente z en unidades deh. Demostrar que,

•J/' = e!(3n-L"í fem (r)

es una autofunción de H que corresponde a la misma energía £ y almismo momento angular total /, sin importar el valor de 0 ni laorientación de ñ . ¿También es i//' una autofunción de Lz ? Explicar.

Problema 5.(a) Suponer que nesun vector unitario orientado arbitrariamen-

te. Llamar l,m,n a los cosenos directores respecto a los ejes x,y,z,.respectivamente. Demostrar que,

-n


donde cr es el operador (vector) de Pauli. Verificar que (ñ • cr)2 = 1,sin importar la orientación de n.

(b) El estado de espín un medio más general es la superposición,

donde X± son las autofunciones de trz con autovalores ± 1. Usar elresultado de la parte (a) para encontrar los valores de a+ y a_ si x esla autofunción de ñ • cr. (Sugerencia: los autovalores de (n • cr)son±1. ¿Porqué?).

(c) El resultado de la parte (b) proporciona los estados espino-rales referidos a un eje arbitrario y no al eje z. Suponer un electrónque tiene su espín orientado a lo largo del eje x positivo. ¿Cuál essu función de espín? ¿Cuál es la probabilidad de que una mediciónde la componente z del espín dé el valor + 1/2?

Problema 6.(a) Debido a que (L,,<t>) = h/i y ya que O 2ir, (A<¿>)2 es

finita necesariamente para cualquier estado, explicar cómo es posibletener estados de L¡ = mh definida sin violar el principio de incerti-dumbre de la ecuación (V-49). (Sugerencia: la ecuación (V-49) secumple para operadores hermitianos únicamente. ¿Para qué clase defunciones «(</>) , L2 es hermitiano?).

(b) Considerar el paquete de ondas,

Demostrar que para cualquier función periódica f(<f>) ,

rJo

= rJ-

(c) ¿Cuál es la probabilidad pm de que una medición de Z,z parael paquete de ondas «(</>) dé como resultado mhl

(d) Graneando |«(0)|2 contra <A y pm contra m, discutir las in-certidumbres en </> y Lz .

Problema 7. Sea Ta el operador de translación, /?¿(/3) el operador derotación, P el operador de paridad y Pu el operador de intercambio.Determinar cuáles son las parejas que conmutan:

(i) T a , r b ; (ii) / ? a ( j 8 ) , / ? A ( y ) ; (iü) RA(p) , R&, (p) ;(iv) P, Ta; (v) P, Pti.

¿Cuál debe de ser la relación entre n y a si Ta y R*n(p) conmutan?

PROBLEMAS 359

Problema 8. Considerar un sistema de dos partículas idénticas sinespín. Demostrar que el momento angular orbital del movimientorelativo sólo puede ser par ( / = 0, 2, 4, . . . ) .

Problema 9. Demostrar por cálculo directo que los estados tripletedel espín de dos partículas de espín un medio son,

fi • o-2 x,

y para el estado singulete,

w=l ,0 , — 1,

Xoo =

Problema 10. Encontrar y2</) J i m iXj2m s donde <t>hm, y Xj2m2 se dañenlas ecuaciones (75) y (76) y donde J = Ji + J 2 - Sugerencia:

J2 = J12+J2

2 + 2J1 J2

Jl J2 = 2 ( J l+J 2- "r J l~Jz+ ) i J \¿J 2z-

Problema 11. La función de estado de un electrón es

(a) Demostrar directamente que la componente z del momentoangular total del electrón es 1/2 y que el electrón tiene momentoangular orbital igual a uno.

(b) ¿Cuál es la densidad de probabilidad de encontrar al elec-trón con espín hacia arriba en r, e, <f> ? ¿Cuál será la probabilidad deencontrarlo con espín hacia abajo?

(c) Demostrar que la densidad de probabilidad de encontrar alelectrón en r, O, 0, , independientemente del espín es esféricamen-te simétrica, o sea, independiente de 6 y de <¿>.

Problema 12. Escribir la función de estado más general en el espaciode configuración consistente con las condiciones:

(a) Una partícula en una dimensión con momento lineal p defi-nido.

(b) Una partícula en una dimensión con momento lineal p designo no especificado.

(cj Una partícula en tres dimensiones con momento lineal vecto-rial p definido.

(d) Una partícula en tres dimensiones con momento lineal demagnitud p sin especificar dirección.


(e) Una partícula con momento angular definido / y m comocomponente z.

(f) Una partícula con momento angular definido / pero concomponente z no especificada.

(g) Una partícula con momento angular total no definido perocon componente z definida m.

Problema 13. Escribir las constantes de movimiento para cada unode los casos siguientes (considerar únicamente las variables dinámi-cas: energía, componentes del momento lineal, componentes delmomento angular, el cuadrado del momento angular y paridad):

(a) Una partícula libre.(b) Una partícula en un campo central.(c) Una partícula en una caja cúbica.(d) Una partícula en una caja esférica,(e) Una partícula en una caja cilindrica cuyo eje está orientado

a lo largo del eje z.(f) Una partícula en una caja de forma irregular.(g) Una partícula cargada en un campo eléctrico uniforme en la

dirección z.(h) Una partícula cargada en un campo eléctrico variable en el

tiempo pero espacialmente uniforme y en la dirección z.

Problema 14.(a) Demostrar que un operador A que conmute con Lx y Lv

también conmuta con L2.(b) Suponer que A conmute con Lx

2 y conLy2 . ¿Se puede lle-

gar a conclusiones análogas respecto a su conmutador con L2?

Problema 15.(a) Sea A un operador vectorial independiente del espín. De-

mostrar que,

(a- • \)2 = A2 + i<r- ( A X A).

(b) Tomando ñ como un vector unitario arbitrario y <Hr) unafunción de la posición independiente del espín, demostrar que

— cos snProblema 16. El operador más general dependiente del espín un me-dio es lineal en el espín. Convertir los siguientes operadores a funcio-nes lineales

(a) ( l+o- x )" 2

(c) (<r r+ <!•„)-(e)

(b) ( l+o- x +(d) ( l + < r x ) «

PROBLEMAS

Problema 17. Como el inverso de un operador A se define de la Si-guiente manera, !

reducir a formas lineales las expresiones siguientes:(a) o-x-' (b) (2 + <rx)-'(c) (l + + fo-J-1 (d) (2 + .o-,)-1 (2 + o-J(e) (2 + <ry) (2 + o-*)-1 (f) ¿Tiene (1 + o-J un inverso?

Problema 18.(a) Para una función arbitraria /(r), demostrar que,

(b) Tomar «/<(r, t) como una solución de la ecuación de Schro-dinger para una partícula moviéndose en un potencial V(r). Demos-trar que eia '*"* i|/(r, t) es una solución de la ecuación de Schródingerpara el movimiento en un potencial V (r + a).

Problema 19. Considerar la transformación de un sistema de coorde-nadas S a un sistema de coordenadas 5 'que corresponde a un cambiode origen

r' = r — a.

r y r' sólo son diferentes etiquetas de coordenadas para el mismopunto físico en el espacio como se muestra en la Figura 4. Sea «/<(r, t)la función de estado en S y < J » ' ( r ' , f ) en 5' . Demostrar que esta

Figura 4. Transformación de coordenadas que corresponde a un cambio de ori-gen. Las coordenadas de P son, r en S y r 'en 5".


transformación puede inducirse por el operador de translación Ta dela ecuación (47) de acuerdo con

y que, como debe de ser (¿por qué?),

(«Mr, í)M«Mr, í) } = < « K ( r ' , t) |r' + a|^'(r ' , /) ).

Además, demostrar que p' = p y que

|4>'(P , / ) | 2 =|<HP, /) |2 .

( ¿por qué?). ¿Es $ ' (p, O = <fr(P, O ?

Problema 20. Considerar una transformación en la cual un sistemafísico aislado se desplaza una distancia constante a , manteniendofijo el origen de coordenadas. Una parte del sistema originalmenteen r ' se ha transladado al punto r donde,

r = r a.

Como se ilustra en la Figura 5, en contraste con el cambio de origendiscutido en el Problema 19, cada punto en el espacio retiene su eti-

Figura 5. Transformación de r'a r, para un sistema físico aislado que correspon-de a una translación uniforme a respecto a su origen fijo.

queta en esta transformación. Sea t/»' (r ' , t) la función de estado antesde aplicarse la translación y i//(r, t) la función después de la transfor-mación. Demostrar que se cumplen todas las conclusiones del Pro-

PROBLEMAS

blema 19 y, por lo tanto, es indiferente que se translade el sistema fí-sico respecto al origen o que se translade el origen (en sentido opues-to) respecto al sistema físico.

Problema 21. Demostrar que el operador que induce una translaciónPo en el espacio de momentos es

7PO = i-'»"/». (94)

Problema 22. Considerar una transformación de Galilea13 entre elsistema S y el sistema de coordenadas S' que se mueven con veloci-dad relativa constante v. Clásicamente,

r ' = r - v / (95a)

p = p- m\, (95b)

y la forma de las ecuaciones de movimiento clásicas es exactamentela misma al expresarlas en cualquier de las coordenadas. Ningún sis-tema de coordenadas tiene preferencia y, por lo tanto, el conceptode reposo absoluto no tiene significado en un sistema que cumplecon la mecánica de Newton. El mismo resultado es válido en la me-cánica cuántica (¿por qué?). ¿Cómo se puede demostrar este hecho?Sea t/»(r, /) la función de estado en S y sea i / / ' ( r ' , t) la función de es-tado correspondiente en 5 ' . Entonces, si ty es una solución de laecuación de Schródinger

se tienen que satisfacer las condiciones siguientes:(i) i//' (/•' , t) es solución de la ecuación,

-£ -Vr ' 2 +K(r ' + v O U ' = — ~ T- + c

l dt, (9'6)

en donde se ha permitido la posibilidad de que haya unaconstante aditiva en la energía c, que no puede eliminarseporque es indetectable y, por lo tanto, no tiene consecuen-cias físicas.

(ii) El valor de expectación de cualquier función de las coorde-nadas se tiene que transformar según la ecuación (95a),

, OI/ ( r ) |<Mr, f ) > = (97)

(iii)' El valor de expectación de cualquier función del momentose tiene que transformar según la ecuación (95b),

nUn tratamiento detallado, desde un punto de vista diferente al desarrollado aquí, se en-cuentra en la Referencia [29], pp. 174-177. Ver también las Referencias [21], [22] y [28].


r ' , f ) > . (98)

(a) Debido a la ecuación (95a), se podría escribir

Sin embargo, demostrar que esta expresión no satisface ninguna delas condiciones (i) o (iii), ecuaciones (96) y (98).

(b) Para saber cuál es el error en la ecuación (99), hay que obser-var que corresponde a la expresión,

<// ' ( r ' , t) = eip'v'1'1 <Hr' , ' ) ,

o sea que </»' se genera sólo por la transformación espacial de latransformación de Galileo, omitiendo la translación en el momento.Entonces, debido a la ecuación (94), se sugiere la transformacióncombinada,

= e-<mv'r'"1 i|/(r' + vi, /). (100)

Demostrar que esta expresión sí satisface las tres condiciones y calcu-lar la constante aditiva en la energía.

(c) Las translaciones en el espacio de momentos y en el espaciode configuración no conmutan. Demostrar que si el par de transfor-maciones que llevan a la ecuación (100) se aplican en orden inverso,la nueva función satisface las tres condiciones, pero se altera la cons-tante en la energía.

(d) Ni (b) ni (c) son totalmente satisfactorias, pues cada una im-pone un orden arbitrario y antinatural de las dos translaciones simul-táneas e inseparables que forman la translación de Galileo de la ecua-ción (95). Para resolver este problema se considera la transformacióntotal formada por una secuencia de transformaciones infinitesimalesgeneradas por incrementos en la velocidad Sv. Demostrar que trans-formaciones infinitesimales en el espacio de configuración y en el demomentos son conmutativas. Integrando estas transformaciones in-finitesimales combinadas, demostrar que se obtiene la transforma-ción combinada simultánea y simétrica

= e-«v.(»r.-pí,«^ ( r , t f ) - (101)

(e) Para calcular (101) usar el siguiente teorema que se enunciasin demostración.14 Si A y B son dos operadores y su conmutador14 La demostración se encuentra en la Referencia (29), p. 145.

PROBLEMAS 365

(A ,B) es un número a , entonces exp [/I + Bl = exp A exp B exp(— i a). Usando este resultado demostrar que,

(r' + *'< O , (102)i/»' (r', í) = exp -

y que la constante aditiva en la energía es cero.(f) Demostrar que, para un sistema de partículas, la transforma-

ción de Galileo será la que se ha encontrado con m sustituida por lamasa total del sistema y r y p sustituidas por las variables dinámi-cas del centro de masa R y P .

(g) En un sistema aislado, cuyo centro de masa se mueve comopartícula libre, examinar la forma particular que toma la función deestado para las transformaciones discutidas anteriormente.

Problema 23. Un átomo de hidrógeno en su estado base se muevecon velocidad v a lo largo del eje z en el sistema de coordenadas dellaboratorio. Si repentinamente el protón se deja en reposo por algúntipo de colisión, calcular la probabilidad de que el átomo de hidróge-no permanezca en su estado base. (Por sencillez, tomar la masa delelectrón despreciable respecto a la masa del' protón). Usar los resul-tados del Problema 22 para obtener el estado inicial del sistema.

XIAlgunas aplicaciones

y otras generalizaciones

1. EL ÁTOMO DE HELIO; LA TABLA PERIÓDICA

El estudio de átomos del tipo helio, proporciona un ejemplo exce-lente de la aplicación de las técnicas y de las ideas de la mecánicacuántica. Un átomo del tipo helio es un sistema que consiste de doselectrones interaccionando con un núcleo de carga Ze. Para simplifi-car, se despreciará el movimiento del núcleo, o sea se considera alnúcleo como si tuviera masa infinita. Para empezar, también se des-preciarán todas las interacciones que dependan del espín. Entonces,el sistema se reduce a un par de electrones moviéndose en el poten-cial culombiano del núcleo e interaccionando electrostáticamente en-tre sí. Suponiendo el núcleo en el origen, el hamiltoniano será,

1m 2m (1)

donde r, y r2 son las coordenadas de los dos electrones, como se in-dica en la Figura 1, y PI y p2 son los momentos respectivos. El últi-mo término en la expresión para H, que describe la interacción elec-trón-electrón, es el responsable por las complicaciones del problema.Aunque los efectos de este término decrecen al crecer Z, en general,no es pequeño. Sin embargo, se comenzará por tratarlo como una

EL ÁTOMO DE HELIO; LA TABLA PERIÓDICA 367

— e

Figura 1. Sistema de coordenadas para un átomo tipo helio.

perturbación y más adelante se usará el método variacional de Ray-leigh-Ritz para obtener un resultado mejor.

Al despreciar la interacción electrón-electrón, el hamiltoniano noperturbado es separable y, por lo tanto, la función de onda del estadobase es el producto de funciones de onda hidrogénicas. Entonces, setiene que,

(2)

donde,

(3)

con a0 el radio de Bohr. La energía no perturbada del estado base esel doble de la energía hidrogénica del estado base,

ZV&0 = ~2

¿•"O

y la corrección a primer orden de la energía, AE0 > será,

- r2

(4)

(5)

Esta expresión se reconoce como la energía de interacción de dos dis-tribuciones de carga superpuestas, esféricamente simétricas y cuyadensidad de carga es

P = e <t>i<M2(r),siendo fácil dar una estimación razonable de la magnitud de A£0. Ca-da distribución de carga tiene una carga total e y se extiende a unaregión espacial de radio a0/Z aproximadamente, según la ecuación(3). Entonces, excepto por un factor numérico del orden de uno, laenergía de interacción A£0 es e2/(a0/Z) = Zét¡a0. La característica im-portante de este resultado es su linealidad en Z en lugar de ser cua-drática como lo es la energía no perturbada. Por esta razón decrecela importancia de la interacción electrón-electrón al crecer Z.

368 ALGUNAS APLICACIONES Y OTRAS GENERALIZACIONES

El valor del factor numérico en la expresión para A£0 se puedeobtener usando técnicas electrostáticas elementales. Un procedimien-to más general sería hacer uso de un desarrollo muy familiar en lateoría del potencial y que no se demostrará aquí. Este desarrollo es,

í=o '

y—'V

0),

e),(6)

donde e es el ángulo entre r, y r2 : contribuye únicamente el térmi-no esféricamente simétrico (/ = 0) debido a la ortogonalidad de lospolinomios de Legendre, y la integral que resulta no es difícil decalcular. Por cualquier método la energía será,

de modo que el factor numérico por el cual hay que multiplicar la es-timación anterior es 5/8. La expresión a primer orden para la ener-gía será,

Z V | 5 Ze2

On 8 an(7)

Este resultado y la energía no perturbada se dan en la Tabla I paralos elementos desde el helio (Z = 2) hasta el carbono (Z = 6) cuatroveces ionizado. Las energías observadas también se encuentran en laTabla I, de lo cual se concluye que los resultados son muy buenosconsiderando las aproximaciones hechas. •

Este cálculo se puede mejorar mucho si se usa el método variacio-nal. Un error fundamental en el cálculo de la teoría de perturbacióna primer orden es debido a que ninguno de los electrones se mueveen el campo del núcleo exclusivamente, sino que cada uno está escu-dado en cierta forma por el otro. Este hecho se puede tomar encuenta aproximadamente suponiendo como función de prueba paracada electrón una función de onda hidrogénica apropiada a un núcleode carga Z' e en lugar de Ze, y determinando Z'por variaciones. En-tonces, se tiene que para el primer electrón,

«Ptrial = 77=V 7T

e,-Z'rlat, (8)

y análogamente para el segundo. Después de un cálculo largo perodirecto, se obtiene

£«(z'>=-£(2zz'-z'2-5-f)'

EL ÁTOMO DE HELIO; LA TABLA PERIÓDICA

que, naturalmente, se reduce a la ecuación (7) para Z'qué?). Haciendo dE0/dZ' igual a cero se obtiene que,

Z' = Z-5/16,

donde

_5_y e^_16J fl0'

369

= Z (¿por

(9)

(10)

que es más bajo que el resultado de la teoría de perturbación a pri-mer orden, ecuación (7), y por consiguiente más exacto. Este resul-tado es exactamente el resultado que se obtendría si cada electrón semoviera independientemente en el campo de un núcleo de carga(Z — 5/16)e. Los resultados variacionales también aparecen en la Ta-bla I y son muy cercanos a los valores observados.

Elemento

He

Li +

Be++

B+++

c++++

No perturbado

108.24

243.54

432.96

676.50

974.16

Energías del estado

Primer orden

74.42

192.80

365.31

591.94

872.69

base (eV)

Variacional

77.09

195.47

367.98

594.6

875.4

Experimental

78.62

197.14

369.96

594.6

876.2

Tabla I. Energías de ligadura observadas y calculadas para átomos tipo helio (se-gún Pauling y Wilson, Referencia [20]).

Ahora se presenta el problema mucho más difícil de tratar los esta-dos excitados de los átomos tipo helio, que se discutirá solamentecon la teoría de perturbación. Del resultado no perturbado se con-cluye que, excepto para estados excitados muy altos, nada más se ne-cesita considerar el caso en el cual un electrón permanece en su esta-do más bajo (¿por qué?). Un estado no perturbado, simetrizado y nomuy excitado tiene la forma

?nlm (r , , r2) = = (11)

donde se etiquetan los estados por los números cuánticos sólo delelectrón, ya que son los únicos que cambian de un estado a otro. Co-mo el estado base del electrón no tiene momento angular orbital, elmomento angular orbital del estado n;m es / y su componente z esm. Para el harniltoniano independiente del espín que se está conside-


rando, el momento angular orbital total y su componente z, sonconstantes de movimiento exactas. Entonces, la clasificación de losestados será exacta dentro de esta aproximación independiente delespín, aunque las estimaciones de las energías sean poco exactas.

Como los estados áe I y m diferentes no están acoplados por laperturbación, la corrección a primer orden de la energía de los esta-dos de la ecuación (11) se pueden calcular usando la teoría de per-turbación no degenerada. De los resultados del Capítulo VIII se sabeque, a este orden, las energías perturbadas tienen la forma

En¡= (12)

independientes de m y donde el signo positivo se refiere a estados si-métricos y el signo negativo a estados antisimétricos. La energía deCoulomb Jnl es

r, — r»

y Knl , la energía de intercambio está expresada como,

i— \ ¡J J

rí d3r2.

Estas integrales no se calcularán aquí. Evidentemente cada una esprecisamente la cantidad familiar Ze2/a0 , excepto por factores nu-méricos que decrecen al crecer n.

Finalmente, para completar la descripción es necesario incluir elespín. Ya que los electrones son partículas idénticas de espín un me-dio, satisfacen el principio de exclusión. Entonces, los estados espa-ciales simétricos deben de estar multiplicados por estados espinorialesantisimétricos o singuletes, y los estados espaciales antisimétricosmultiplicados por estados espinoriales simétricos o tripletes. Comoconsecuencia, el espín de cualquiera de los electrones puede alterarse,invirtiéndose al ocurrir una transición entre cualquier estado de la se-rie singulete y cualquiera de la serie triplete, llamándoseles de estamanera a este conjunto de estados. Casi nunca se presenta este tipode transición bajo condiciones normales, por lo cual estas series sonprácticamente independientes. Históricamente tuvieron origen dife-rente, por lo cual tuvieron nombres diferentes, llamando para-helio alos estados singulete y orto-helio a los estados triplete.

Aunque no se ha intentado calcular las integrales J y K, se notaque / es claramente positiva y K también tiene que ser positiva. Estoúltimo se sigue de que la interacción electrostática media de los elec-trones en el estado espacial antisimétrico, tiene que ser menor que enlos estados espaciales simétricos debido a las correlaciones impuestas

EL ÁTOMO DE HELIO; LA TABLA PERIÓDICA ~99§

por la simetría, presentándose de esta manera a condición de que Jftenga el mismo signo que /. Entonces, los estados triplete se encuen*tran más abajo que los estados singulete correspondientes, lo cual elun ejemplo de una regla general conocida como regla de Hund, (¡U€dice que los estados de espín más alto son los estados que se encutn-tran más bajos.

Juntando todas estas conclusiones, se pueden exhibir las caracte-rísticas principales del espectro de helio. Esquemáticamente se exhi-ben en la Figura 2. En esta figura, se tiene la configuración no per-turbada con la designación espectroscópica común de los estados

2S+1Lj y la configuración electrónica.

\s2p-\s2s- ' 'So

= S20 + -^20

\s2p-

\s2s-

VEti = £21 + Ji\ —

v ='Al.=

'S,^20 = S20 ~t~ «*20 — ^2Í

Estados triplete (ortohelio)

Estados singulete (parahelio) 'Figura 2. Espectro del helio.

La diferencia en el signo de la contribución a la energía de inter-cambio Kní para los estados triplete y singulete, se pueden expresa*en una forma interesante y sugestiva. Recordando que crt • <rs = — 3cuando opera sobre los estados singulete espinoriales y o-, • cr2 = 1 alactuar sobre los estados triplete espinoriales, la energía a primer or-den se puede escribir simbólicamente en forma

porque el factor entre paréntesis es +1 para los estados triplete y -1para los estados singulete. En este sentido, la energía depende ex-plícitamente de los espines relativos de los electrones aunque elhaníiltoniano no contenga el espín. Debido a que los electrones tie-nen un momento magnético alineado con el espín, se tienen aquí lasbases del ferromagnetismo, incluyendo la naturaleza exclusivamenteelectrostática de las fuerzas responsables de él.


Hasta ahora se han despreciado todas las interacciones dependien-tes del espín, en particular la interacción espín-órbita que es la do-minante. Cuando se incluye este término en el hamiltoniano, resul-tan las modificaciones siguientes:

(1) L?,LZ,S2, S,. ya no son constantes de movimiento exactas,aunque J2 y Jz sí lo son. Entonces, los estados no sólo son estadossingulete y triplete exclusivamente, sino que ocurren transicionesdébiles (aproximadamente) entre la serie "singulete" y "triplete". Sellaman líneas de intercombinación.

(2) Para una / dada, los estados "triplete" se desdoblan en trescomponentes j—l+ 1, /, / — 1. Aunque esta clasificación de estadoses aproximada, la interacción espín-órbita es débil, el desdoblamientoes pequeño y la aproximación es buena.

Esta sección se puede concluir con algunas observaciones brevesacerca de la tabla periódica.1 Se considerará la descripción de unátomo en la aproximación de partícula independiente, donde se su-pone que cada electrón se mueve en el potencial culombiano del nú-cleo y en el campo electrostático promedio de los demás electrones.Además se supone que este campo promedio es esféricamente simé-trico. Si se desprecian las fuerzas de espín-órbita, se puede asignar acada electrón un número cuántico principal n y números cuánticosde momento angular / y m, en analogía con los estados hidrogénicos.Naturalmente que la energía no depende de m, pero cada nivel carac-terizado por una /, tiene degeneración (21 + 1). Además, si se tomanen cuenta las dos orientaciones posibles del espín del electrón, la de-generación total es 2(21 + 1). Para estados hidrogénicos, la energíadepende solamente de n y no de /, siendo una consecuencia de laspropiedades especiales del potencial culombiano. Pero la interacciónelectrostática promedio entre los electrones altera la dependencia ra-dial de la energía potencial en la cual se mueve cada electrón, e intro-duce una dependencia de /. Específicamente, los estados de menorI para una cierta n tienen la energía más baja. Esta conclusión seobtiene de que al disminuir el momento angular, la barrera centrífugaes menos efectiva y aumenta la probabilidad de encontrar al electróncerca del núcleo donde el potencial nuclear culombiano es fuerteademás de ser atractivo. La energía de los estados para una n y /dadas depende de la carga nuclear Ze, y gradualmente disminuyencuando Z crece de un elemento al siguiente.

El estado base de un elemento es aquél en el cual los Z electronesocupan el conjunto de estados de partícula independiente más bajo1 Para un tratamiento detallado ver J. C. Slater, Quantum Theory of Atomic Structure,Vols. 1 y 2, McGraw-Hill (1960). Para una discusión elemental ver, G. P. Harnwell y W. E.Stephens, AtomicPhysíes, McGraw-Hill (1955).

EL ÁTOMO DE HELIO; LA TABLA PERIÓDICA 3?|

posible que sea consistente con el principio de exclusión de Pauli. Engeneral, los estados se ocupan en orden creciente de n y en orden ere-cíente de / para cada n. Un estado de n y / dadas, contiene 2(21 + I )electrones, cada uno con la misma energía. Estos estados se llamancapas y los electrones en la misma capa se llaman electrones equiva-lentes. Las configuraciones de los estados base de los átomos, se pue-den obtener en gran medida del ordenamiento de estas capas según laenergía. Si se usa la notación espectroscópica común, en la cual elnúmero cuántico principal tiene su valor numérico y / se denota poruna letra, el orden de los estados observados empíricamente será

p, [4s, 3d] , 4p, [5s , 4d] ,ls, 2s, 2p, 3s

5p, [6s,4f,5d],6p, [ls,5f,6d].

Ya se ha mencionado que estos estados aparecen en orden crecien-te de n y /. Sin embargo, para valores más grandes de /, el incremen-to de la energía con / es más pequeño que el incremento con n, y losestados aparecen en orden inverso. Por ejemplo, las capas 5s(n =5, / = 0) y 5p(n = 5,1 = 1) tienen energías más bajas que la capa4f (n =4,1 = 3). Análogamente, las capas 6s y 6p tienen energíasmenores que 5/. Los paréntesis encierran capas donde esta compen-sación es casi exacta, de modo que dos o más capas tienen casi la mis-ma energía. La forma de ocupar estos estados es bastante complica-da pues hay que tomar en cuenta la importancia relativa de las capas.La ocupación de la capa 3d es responsable por los primeros elemen-tos de transición, o sea, el grupo del hierro, y la ocupación de la capa4d produce el grupo del paladio. Al ocupar los catorce estados 4/seobtienen las tierras raras y la de los estados 5/ el grupo del actinio.

La configuración electrónica del estado base de un átomo se espe-cifica por el número de electrones en cada capa que, convencional-mente, se pone como índice superior en la designación de la capa.Entonces, usando el orden de las capas mencionado, se pueden escri-bir los ejemplos siguientes:

Z = l ,

Z = 2,

Z = 3,

Z = 4,

Z = 5,

H : Is

He: lí2

Li : \s22s

Be : Is22í2

B : Is22s22p


Z = l l , N a :

Z = 36, Kr :

Para el último ejemplo se tendría que Kr tiene dos electrones en sucapa Is, dos en su capa 2s, 6 en su capa 2p, y así hasta tener 6 en sucapa 4p. Esta notación es redundante puesto que la ocupación de lascapas no se necesita escribir explícitamente; únicamente se necesitaaclarar la ocupación parcial en la última capa para especificar la con-figuración. Por ello se usa la abreviación 3s para el Na, 4p6 para elKr, 5d10 para el Hg (Z = 80), 5s4d8 para el Rh (Z = 45) o 5s°4d10 parael Pd (Z = 46) . Este último ejemplo ilustra la naturaleza complicaday la importancia relativa entre los estados 5s y 4d en el grupo del Pd.

Las propiedades químicas de los átomos están determinadas princi-palmente por los electrones menos ligados o electrones de valencia.Los factores dominantes son el número de estos electrones y el inter-valo de energía a la siguiente capa no ocupada. Esta periodicidad enla aparición de las capas produce una repetición de las propiedadesquímicas y por lo tanto es responsable por el carácter periódico de latabla de los elementos.

2. TEORÍA DE LA DISPERSIÓN

En la discusión de los estados estacionarios que caracterizan al mo-vimiento de un par de partículas interaccionando mediante un poten-cial y ( r ) , únicamente se mencionaron estados discretos y ligados. Acontinuación se considerarán estados en el continuo, para lo cual sesupondrá que F(r) se anula en infinito con suficiente rapidez para quese cumpla que

l imrF(r) = 0, (14)

con lo cual existirán estados continuos para todas las energías, E =* 0.Hay que notar que la condición (14) elimina el potencial culombia-no. Más adelante se examinará este caso especial.

Como consecuencia inmediata de la ecuación (14) se obtiene quepara valores grandes de r el potencial F(r) resulta despreciable y laecuación de Schródinger se reduce a la de una partícula libre. Enton-ces, la función de estado para r grande se compone de estados de par-tícula libre. En el Capítulo IX se obtuvieron dos descripciones deestos estados, una en términos de autofunciones del momento linealy otra, en términos de autofunciones del momento angular orbital.

TEORÍA DE LA DISPERSIÓN I»'Ambas intervienen en la descripción de los estados que se buscan siestos estados tienen significado físico.

Para poder entender el significado físico del problema, es necesariovolver por un momento a una descripción independiente del tiempo.Se toma un paquete de ondas en el cual las partículas se encuentranmuy separadas inicialmente, y se aproximan con momento relativopromedio p. Al transcurrir el tiempo, las partículas se aproximan,interaccionan y se separan en diferentes direcciones pero con la mis-ma magnitud del momento relativo promedio, si la energía se conser-va. Si el paquete resulta lo suficientemente ancho, la extensión enenergía puede hacerse infinitesimal. Además, el tiempo necesario pa-ra que el paquete de ondas complete su interacción con el potencialresulta mayor. Entonces, en el límite de un paquete de ondas infini-tamente ancho, el momento y la energía se pueden definir con preci-sión y los paquetes de onda incidente y dispersado coexisten en eltiempo. En este límite, que corresponde a una descripción estaciona-ria, la onda incidente <í»¡nc resulta ser un autoestado del momentolineal,

ifrtac = *"""* = «""', 03)donde se ha usado el vector de onda k = p/ft .

Por otra parte, la onda dispersada i/>sc, que sale de la vecindaddel origen, en donde ha ocurrido la interacción que la produce, ten-drá la forma de una onda esférica viajera saliente. Entonces, a gran-des distancias, cuando r tiende a infinito a lo largo de una direcciónñ, se tiene que

piprlft p ikr(16)

donde ñ es un vector unitario a lo largo de la dirección del radiovector r. Juntando las ecuaciones (15) y (16), el campo completopara r grande tiene la forma,

pikr•Mñ,r) ~el*"r+f(h) —- (17)

Las coordenadas usadas en esta expresión se muestran en la Figura3, que también exhibe la onda plana incidente y la onda esféricadispersada.

El lenguaje del análisis subsecuente se simplificará considerable-mente si se supone que una de las partículas tiene masa infinita yse encuentra en reposo. A esta partícula se le llama la partículablanco. Entonces, los estados describen a una sola partícula inci-diendo sobre una partícula blanco y dispersada por ésta. Se supon-drá que el problema se presenta de esta manera.


Onda incidente ~\Región de interacción^

x:

Onda dispersada

Figura 3. Las ondas incidente y dispersada de la ecuación (17)

La cantidad /(ñ) se llama amplitud de dispersión. Es la ampli-tud de probabilidad de que la partícula incidente emerja a lo largode la dirección ñ como resultado de la colisión. Para expresar estaidea en forma más cuantitativa, se nota que el flujo de probabili-dad de la onda incidente normalizado a la unidad es,

= --

Usando la misma normalización, el flujo de probabilidad de la ondaesférica saliente es,

m m

Pero, la probabilidad por segundo de que la partícula atraviese elelemento de superficie dS después de la colisión es jsc' dS • Si dS se en-cuentra a una distancia r del origen, entonces

js

ya que ñ • dS = r2d£l, donde díl es el ángulo sólido subtendido en elorigen por dS. Finalmente, la probabilidad da- relativa de que lapartícula emerja en el ángulo sólido dti será

dSI J i n c (18)

La cantidad da tiene dimensiones de área y se llama la sección efi-caz diferencial para la dispersión en el elemento de ángulo sólido dflen n. La cantidad |/(ñ)|2, que simbólicamente se puede escribir

TEORÍA DE LA DISPERSIÓN

como daldíl, se llama sección eficaz diferencial, o bien, simplementesección diferencial.2 i

La razón para llamar a estas probabilidades relativas "seccioneieficaces" o simplemente "secciones" es la siguiente. Si se piensa enel flujo de probabilidad uniforme jlnc de la onda incidente, entoncesd<r es el área efectiva transversal en la región de interacción que inter-cepta el flujo de probabilidad de la onda incidente y la transfiere alángulo sólido díl. Quizás sea más claro si no se piensa en una solapartícula incidente y en una sola partícula blanco, sino más bien enun haz de partículas incidentes sobre un conjunto de partículas blan-co. Entonces, si el flujo de partículas incidentes es / por cm2y porsegundo y si el número de partículas blanco es Ar, el número de partí-culas dN que emergen por segundo en díl es

= JN\f(ñ)\2díl, (19)

de donde cada partícula blanco tiene un área efectiva da- para inter-ceptar una partícula incidente y dispersarla en dfl . La cantidad dNes una cantidad que se observa experimentalmente y la observaciónde secciones y su dependencia de la energía y dirección es la princi-pal fuente de información sobre las interacciones entre partículas ele-mentales. No es mucha la información pues lo que se puede concluiracerca de las interacciones se obtiene a partir de las secciones obser-vadas.

En la mayor parte de la discusión anterior se ha tratado la partícu-la blanco como si tuviera masa infinita, pero no se presentan dificul-tades serias si la masa de la partícula blanco se toma en cuenta. Sepueden aplicar todos los resultados obtenidos hasta ahora pero te-niendo en cuanta que las ecuaciones se refieren a las coordenadas delcentro de masa y no a las coordenadas del laboratorio.

Falta proporcionar un método para calcular amplitudes de disper-sión y secciones, pero restringiendo la atención a potenciales esféri-camente simétricos y considerando estados de momento angular defini-

2 Es instructivo comparar esta descripción cuántica de las ondas de probabilidad incidentes ydispersadas, con la descripción clásica en términos de trayectorias. Hay que recordar que Usección clásica se define como el número de partículas desviadas en dfl por unidad de tiem-po y por unidad de flujo incidente, en completa analogía con la definición cuántica. Tam-bién se puede recordar que para un potencial esféricamente simétrico, el ángulo de desvia-ción de una partícula clasica de energía dada depende solamente de\rparámetro de impactoy por lo>tanto, únicamente de su momento angular. Entonces; el análisis clásico se hace to-mando estados de momento angular definido. Como se vera en un momento, el análisiscuántico de tales potenciales también se trata de la misma manera aunque se pierde la rela-ción precisa y directa entre el momento angular y los ángulos de desviación. Una presenta-ción detallada de la teoría de la dispersión clásica se encuentra en la Referencia [ 15]; el tematambién se trata más brebemente en la Referencia [14].


do /. Entonces, la parte radial de la función de onda R E, satisface laecuación (IX-49),

2m r* dr (20)

Si V(r)fuera cero, estas funciones radiales serían las funciones j,(kr)de la partícula libre que, de acuerdo con la ecuación (IX-63), parargrande toman la forma

Mkr)sen(kr — /7T/2)

kr

Ya que V(r) resulta despreciable para r grande, la presencia del poten-cial no puede alterar la forma funcional pero sí podría alterar la fasede la función senoidal. Entonces se tiene que,

(21)

La cantidad 8, = 8, (E) se llama el desfasamiento de la onda parciall-ésima. Se puede calcular resolviendo la ecuación radial para REI yexaminando la forma asintótica de la solución para r grande.

Una vez determinadas las 8( , el propósito final es el de expresar laamplitud de dispersión y la sección en términos de los desfasamien-tos. Esta expresión se logra formando la superposición de ondas par-ciales

y escogiendo los coeficientes Clm de tal manera que </> tenga la formade la ecuación (17) cuando r resulte muy grande. Si se escoge el eje za lo largo de la dirección de incidencia, el término que corresponde ala onda plana incidente en la ecuación (17) se puede expresar en tér-minos de ondas esféricas usando la ecuación (IX-68) como,

e11" = eikr cos * = ¿ /' (21 + 1 ) j t (kr) P, (eos e) ,¡=o

de donde no es muy difícil demostrar que,

C,m = O m * O

= V47r(2/+l) e*', m=0.


(ver, por ejemplo Referencia [24] ). Con este resultado seque,

donde

= I E V4ir(2/+ I) e'6' sin 8, í?(0)

(22)(21+ 1) eis' sin d,P,(e) .

Para una energía determinada E, la amplitud de dispersión dependeúnicamente del ángulo entre la dirección incidente y la dirección dedispersión, y está completamente determinada una vez conocidos losdesfasamientos 8, . Las magnitudes de 8, están relacionadas con laintensidad del potencial de interacción en forma bastante complica-da. Pero si no existe interacción, con lo cual las partículas se muevenlibremente, por definición se anulan los desfasamientos y se observaque la amplitud de dispersión y la sección también se anulan.

La sección diferencial da mide la probabilidad de que una partícu-la sea dispersada hacia un ángulo sólido infinitesimal dfl . También esde interés considerar la sección total a , que mide la probabilidad deque una partícula sea dispersada en cualquier elemento de ángulo só-lido. De la definición se obtiene que,

- = J dfl = \f(0) |2 díl = \f(0) |2 sin 6 de d<¡> (23)

y haciendo uso de la primera forma de la ecuación (22) y de la orto-normalidad de Y¡ (e) se obtiene que,

477 (24)1=0

El hecho de que exista una probabilidad definida, proporcional ala sección total o-, para que una partícula se disperse en cualquier di-rección, significa que el flujo de probabilidad decrece a lo largo de ladirección de incidencia para que la probabilidad se conserve. Este de-crecimiento se logra mediante la interferencia entre la función de es-tado incidente y la amplitud de dispersión en la dirección hacia ade-lante. ' Este argumento implica la existencia de una relación generalentre la sección total y la amplitud de dispersión hacia adelante. Paraestablecer esta relación es necesario examinar la amplitud de disper-sión hacia adelante f(B = 0). Recordando que para toda /,


de la ecuación (22) se obtiene que,

0) =T (21+ 1) ei8'sen8,

cos (21+ l)sen2 8,.(=0 1=0

Como el segundo término es proporcional a la sección total, la rela-ción que se busca se puede expresar en la forma

v = ~r~ Im/(0 = 0). (25)

Entonces, se puede decir que la sección total a es iguala 4n dividi-do entre el número onda reducido k por la parte imaginaria de laamplitud de dispersión en la dirección hacia adelante. Este impor-tante resultado se conoce como el teorema óptico o como el teore-ma de la sección. Este resultado expresa el requisito de la conserva-ción de la probabilidad de que la amplitud de dispersión de la ondaincidente se reduce en proporción a la probabilidad total de que lapartícula se disperse en cualquier dirección. Es oportuno señalar queel resultado es mucho más general de lo que el método de obtenciónhace suponer; es válido para potenciales arbitrarios, esféricos o no, ypara procesos de dispersión arbitrarios.

En las expresiones que se han obtenido para la amplitud de disper-sión y para la sección, intervienen sumas sobre los desfasamientos delas ondas parciales. Cuestiones sobre la convergencia de estas seriesinfinitas merecen cierta atención en este momento. La importanciade la barrera centrífuga en mantener las partículas separadas juega elpapel dominante en estas consideraciones. Para valores de / suficien-temente grandes, las partículas no se aproximan lo suficiente comopara interaccionar y los desfasamientos que corresponden a tales va-lores de / tienen que anularse. Para hacerlo algo más cuantitativo, ladistancia de aproximación mínimo rc entre dos partículas con ener-gía relativa E y momento angular relativo / es el lugar donde, aproxi-madamente, la altura de la barrera centrífuga es igual a la energía to-tal E,

1(1+ = E.

Si se desprecia el uno respecto asimple,

se obtiene una expresión más


Si el alcance efectivo de la interacción es R, se espera que 8( reiulttmuy pequeña cuando / exceda apreciablemente a /max ™ kR, por-que las partículas no se acercarían lo suficiente comp para que hayainteracción. Entonces, el número de términos que contribuyen a lasuma sobre los desfasamientos de las ondas parciales es del orden dekR, lo cual significa que para altas energías, cuando kR > 1, partici-pan muchos desfasamientos en la sección y resulta una función quevaría rápidamente con el ángulo. Sin embargo, a energías bajaskR <§ 1, solamente el desfasamiento de la onda S1 o / = O difiereapreciablemente de cero y la dispersión es isotrópica.

Esta sección se concluirá con algunas observaciones sobre el casoparticular del potencial culombiano que viola la ecuación (14). Porello, los estados del continuo no se reducen a la ecuación (17) parar grande y resultan más complicados. Analizando el problema se pue-den encontrar la amplitud de dispersión y la sección. Si se usan coor-denadas parabólicas se puede obtener una solución completa y exactay la amplitud de dispersión se puede escribir en forma cerrada, siendoel único caso conocidopara el cual se puede hacer. Específicamente,se encuentra que si dos partículas de masa reducida m, con cargasZ¡e y Z2e respectivamente, inciden una sobre otra con momento re-lativo ftfc, la amplitud para la dispersión de Coulomb por un ángulo6 respecto a la dirección incidente es

fc (e) = exp ~/ 0I2) + 2//3] ' (26)

donde el parámetro culombiano r\ es

T) = ZlZ2e2mlh2k

y donde el factor de fase /3 es tal que,

La función Y se llama función gama3 y es una generalización de lafunción factorial, y está definida como

í"Jo

= e-*x" dx.Jo

Cuando v es un entero se puede comprobar fácilmente que F(v + l)=v!.El parámetro culombiano 17 se expresa frecuentemente en térmi-

nos de la velocidad relativa v de las partículas,

3 Por ejemplo, ver la Referencia [8] .


donde la constante de la estructura fina a que no tiene dimensioneses,

a = ir = 1/137.he

Cabe señalar que la expresión que se ha dado para la amplitud de dis-persión culombiana es la que corresponde a la interacción repulsivaentre dos cargas similares. Para dos cargas de signos opuestos T? cam-bia de signo, lo cual significa que fc se substituye por el negativo desu complejo conjutado.

La sección diferencial para dispersión culombiana se obtiene en laforma usual a partir de la amplitud de dispersión y está dada por

—dfl 4k2 sin4 6¡2 sin4 0/2

Esta expresión concuerda exactamente con el-resultado clásico parala dispersión de cargas puntuales, obtenido por Rutherford en 1911,y llamada la sección de Rutherford. No se puede dar ninguna expli-cación de esta correspondencia única entre la sección clásica y cuán-tica. Sin embergo, es importante observar que esta correspondenciaocurre debido a que la magnitud de la amplitud de dispersión nocontiene a h y tampoco la contiene dcr/díl y como consecuenciaasume el valor clásico. Pero la fase de la amplitud de dispersión esuna cantidad cuántica exclusivamente, por lo cual cualquier procesoque dependa de esta fase exhibirá efectos cuánticos. Un ejemploimportante e interesante de este hecho es la dispersión de partículasidénticas.

Si dos partículas interaccionan y una de ellas emerge a un ánguloO en el sistema de coordenadas del centro de masa, la otra emergeráa un ángulo ir — 8. Si la primera emerge a un ángulo ir — 9, la segun-da emergerá a un ángulo e. Si las partículas son idénticas, estas dosposibilidades no se pueden distinguir de ninguna manera. Clásica-mente,, las secciones de ambos procesos tienen que sumarse y el resul-tado clásico para partículas idénticas es

dcr\ _ da(6) da-(ir —6)dfl dü

Cuánticamente se tienen que combinar las amplitudes de dispersióny no las secciones, con el signo relativo determinado por la simetríade las funciones de estado. Para partículas sin espín por ejemplo,partículas (a) la función de onda total tiene que ser simétrica, porlo que las amplitudes de dispersión se suman con el mismo signo,

FUNCIONES DE CREEN; APROXIMACIÓN DE BORN

Para partículas de espín un medio (por ejemplo electrones o pfnes), la función de onda tiene que ser antisimétrica en las coordtdas espaciales y espinoriales juntas. El estado simétrico espacialcombina con el estado espinorial de singulete y el estado antisinÉ§<

trico espacial se combina con el estado espinorial de triplete. El pfi¿mero tiene peso estadístico uno y el último lo tiene igual a tres.tonces, para partículas de espín un medio no polarizadas,

T - 0)|2 + -/(ir- 0)|2-

En ambos casos los resultados contienen términos de interferen-cia que dependen de la fase relativa de la amplitud de dispersión en 6y en ir — 0 , y los cuales son de estructura cuántica.4 Para dispersiónculombiana de partículas idénticas después de substituir fc de laecuación (26), estas expresiones resultan ser las siguientes:

espín cero

1 2 eos (yin tan2 0/2)1eos4 0/2 sen2 0/2 eos2 0/2 J

espín un medio

d<r = /Z,Z2e2\2

dfl \ 2mv2 )1 1

2mv2 ) [sen4 0/2 eos4 0/2COS(T)/K tan2 0/2) 1sen2 0/2 eos2 0/2 J '

En cada caso, los primeros dos términos dan el resultado clásico; elúltimo término es el término de interferencia cuántico. Naturalmen-te que el término de interferencia tiene que desaparecer en el límiteclásico, y es interesante examinar cómo desaparece. Cuando h tien-de a cero i? crece sin límite y el término de interferencia oscila rápi-damente. Si la energía o el ángulo de observación se desparramanpor una cantiddad infinitesimal, entonces, provoca que el promediode este término sea cero y por lo tanto resulta inobservable.

3. FUNCIONES DE CREEN PARA LA DISPERSIÓN; LAAPROXIMACIÓN DE BORN

En la sección anterior se estableció un tratamiento formal de lateoría de la dispersión. Se introdujo la amplitud de dispersión y entérminos» de ella se definió una cantidad que se puede medir experi-mentalmente, la sección. Para el caso especial de potenciales esféri-4 Estos efectos no son pequeños. Por ejemplo, a 90° la sección da-/ d(l es dos^ veces el resul-tado clásico para partículas sin espín y la mitad del resultado clásico para partículas de espínun medio.


camente simétricos se estableció un método para calcular esta canti-dad, el método de las ondas parciales. El cálculo requiere de la solu-ción del conjunto de ecuaciones radiales (20). Estas ecuaciones sontan complicadas, aún para la interacción más simple, que no se inten-tó discutir sus propiedades.5 Como resultado, no se pudo presentaruna descripción cualitativa del carácter general de los procesos cuán-ticos de dispersión.

En esta sección se corregirá este defecto presentando un métodode aproximación introducido por primera vez por Born. La aproxi-mación de Born no es más que teoría de perturbación aplicada a es-tados continuos y está restringida a interacciones suficientementedébiles.8 A pesar de esto es una guía indispensable para la dispersióny sirve como la norma respecto a la cual todo se refiere.

La aproximación de Born se obtendrá mediante dos métodos to-talmente diferentes. En el primero se obtiene una ecuación integralexacta para la función de estado mediante la función de Green parala partícula libre. En el segundo método se toma el proceso de dis-persión como una transición, inducida por el potencial de interacciónentre estados de momentos inicial y final definidos y, así, usar losmétodos de la teoría de perturbación dependiente del tiempo.

(a) Método de la función de Green.7 Se busca una solución de laecuación de Schródinger dependiente del tiempo que se escribe en laforma

(27)

donde

= 2mE/h2

siendo k el número de onda de la partícula libre para la energía E. Sesupone que E > O y que rV(r) se anula en infinito de acuerdo con laecuación (14). La solución que se busca está sujeta a las condicionesa la frontera dadas por la ecuación (17) para r grande, que se repeti-rán por conveniencia:

s En la práctica, estas ecuaciones se resuelven casi exclusivamente por métodos numéricoscon la ayuda de computadoras digitales rápidas. Ver Sección 10, Capítulo VI.

* Pero no está restringida a interacciones esféricamente simétricas. Contrasta con el métodode las ondas parciales que resulta completamente intratable para interacciones no esféricas,excepto en casos muy especiales.

7 Para una discusión general de la función de Green ver la Referencias [6].a [13].

FUNCIONES DE GREEN; APROXIMACIÓN DE BORN

donde r = ñrLa ecuación integral que se obtiene para i/»(r) incorpora estas con*

diciones a la frontera al usar la función de Green G (r,r' ) = G (r',r),definida como la onda saliente pura, solución de la ecuación inhomo-génea

(28)(V2 + *2) G ( r , r ' ) = - 8 ( r - r ' ) .

En esta expresión 8(r - r')es la función 8 de Dirac, que se puede to-mar como el producto de tres funciones 8 en una dimensión,

-jc') 8(y - y') S(z-z')8( r _r ' ) =

y tal que,J 8 ( r - r ' ) d V =

Entonces, la función de Green se puede tomar como la función deonda en el punto r generada por una fuente puntual en r ' .

Posponiendo la construcción de G por un momento, se observaque cualquier función ^ que satisfaga la ecuación integral

*(r)=eik"-^¡ G ( r , r ' ) F( r ' ) .Mr ' )¿V (29)™ Jall space

en una solución de la ecuación de Schródinger (27) que satisfaceautomáticamente las condiciones a la frontera de la ecuación (17).Se obtiene que $ es una solución al operar sobre la ecuación (29) con(^2 + ¿2) Este operador anula el primer término a la derecha y cuan-do opera sobre G bajo el signo de integración se obtiene la función8 de Dirac de acuerdo con la ecuación (28). Entonces,

= -^r fG(r . r ' ) K(r ' ) i f r ( r ' )

= r s ( r - r ' ) V(r') </v,

que es la ecuación (27). La ecuación (17) se satisface porque G con-tiene sólo ondas salientes en r generadas por una fuente puntual enr' , por lo cual la integral a la derecha de la ecuación (29) es simple-

mente una superposición de estas ondas salientes y, por lo tanto, to-ma la forma requerida para r grande. En breve se demostrará esteaspecto explícitamente.


El siguiente paso es la obtención de G. Se parte de la relación,

(30)

que es la transcripción en el lenguaje de las ecuaciones diferencialesde la expresión culombiana para el potencial electrostático de unacarga puntual. El potencial electrostático <t> generado por una densi-dad de carga p está dado por la ecuación de Poisson

El potencial de una carga puntual de intensidad unidad es l/r y sudensidad de carga p es 8(r) ; inmediatamente se obtiene la ecuación(30) ." Si ahora se usa la identidad,

se obtiene que,

pikr 1£_=<?¡*rv2.í_

aikr

gikr

~'

"_ = £ikr V2 ir v r

= -47r8(r) etlcr

= -47r8(r),

donde al pasar a la última línea se ha usado la propiedad de la fun-ción 8, g(r)S(r) = g(0)8(r) para g(r) arbitraria. Finalmente, corriendoel origen al punto r' se obtiene que,

17 77,

y comparando con la ecuación (27) resulta que,

G(r ,r ' ) =,¡*lr-r'l

Al substituir esta expresión explícita para la función de Green en laecuación (29), se obtiene la ecuación integral exacta,

m ik\r-r'\') dar'. (32)

" Un análisis directo de la ecuación (30) permite evitar el recurrir a la electrostática. El la-placiano de l/r se anula para r ¥= O, lo cual se obtiene llevando a cabo las diferenciaciones di-rectamente. Al integrar la ecuación (30) sobre un volumen infinitesimal que contenga el ori-gen se obtiene - 4:ir para el miembro derecho y se obtiene el mismo resultado para el miem-bro izquierdo después de aplicar el teorema de Green (ley de Gauss). Ver la Referencia [18],en particular las pp. 543-4.


Ahora se puede encontrar una expresión para la amplitud do di**persión haciendo tender r = nr a infinito. Bajo estas condiciones, ''

eik\T-T'\ eik\nr-T<\ ,ikr

|r — r ' | |ñr—r' | r

en donde se ha desarrollado |r — r'| en una serie de Taylor según

/ i ( r - r ' )= / i ( r ) - r ' • V/ i ( r )+ • • - .

Entonces, después de substituir este resultado en la ecuación (32) seencuentra que para r grande,

m f e-ikñ-r' y(r')27rh2) e ( }

que es de la forma exigida por la ecuación (17). Además, al compa-rarla con esta ecuación, la amplitud de dispersión resulta ser

/(ñ) = -m

27T/Í2d3r, (33)

donde se ha suprimido el acento sobre las variables de integración.También esta expresión es exacta para cualquier potencial F(r).

La aproximación de Born se obtiene inmediatamente si se observaque al ser V(r) lo suficientemente pequeña,19 entonces, el segundotérmino de la ecuación (32) es una corrección pequeña al términoelk'T de la onda incidente. Entonces, se puede resolver la ecuación(32) en forma iterativa, análogamente a lo que se hizo en la teoríaperturbativa. La solución a orden cero es la onda incidente, la solu-ción a primer orden se obtiene substituyendo «// en la integral porsu expresión a orden cero, la solución a segundo orden se obtienesubstituyendo la solución a primer orden, y así sucesivamente. Elresultado es una serie en potencias crecientes del potencial de inter-acción que se supondrá convergente si V es suficientemente pequeño.El proceso no se llevará a cabo más allá del primer paso. Consideran-do únicamente la expresión para la amplitud de dispersión que se ob-tiene de la ecuación (33) al substituir ifi(r) por la expresión a ordencero eikr, se encuentra que,

/(A) = -m (34)

donde se ha introducido la dirección de incidencia A0 escribiendok = A0A:. La cantidad &(n0 — n) = Ak es el cambio en el vector del9 Más adelante se discutirá el significado de esta condición.


número de onda entre la dirección incidente y la dirección de disper-sión y, en esta aproximación, la amplitud de dispersión es proporcio-nal a la transformada de Fouríer del potencial con Ak como variablede transformación. La naturaleza cuántica de este resultado es clara;a la dispersión por un ángulo dado contribuye la función potencial entodo punto del espacio y no el potencial a lo largo de una trayectorialocalizada, como lo sería en el caso clásico.

Es instructivo escribir la ecuación (34) en términos de los momen-tos en lugar del número de onda. Arreglando los términos se tieneque,

/(ñ) = -m

2-irh*d3r

(35)m

'2-rrñ*V ( r ) \

donde se ha introducido el momento inicial p¡ y el momento final p/escribiendo

y donde

p¡ = ka0 = p0

p/ = ñkñ = pñ

p = V2mE.

Entonces, /(A) es proporcional al elemento de matriz de V entre losestados de momentos inicial y final no perturbados (partícula libre).Por lo tanto la sección diferencial

(36)

es proporcional al cuadrado de este elemento de matriz, por lo cualtiene la forma de una probabilidad de transición. A continuación sedemostrará que este resultado se puede obtener directamente usandolos métodos convencionales de la teoría de perturbación dependientedel tiempo.

(b) Método de la Teoría de Perturbación. Ahora se considera elpotencial de interacción como una perturbación que induce transicio-nes entre un estado de momento inicial definido ; p4 y un conjuntodenso de estados cuya energía final se conserva, es decir, estados conmomento final p, = pñ. Según la regla de oro de la teoría de pertur-bación dependiente del tiempo, ecuación (VII-37), la rapidez de tran-sición será


donde p(E) es la densidad de estados finales y Vfi es el elemento dematriz entre el estado inicial y un estado final típico.10 En este casose está tratando con estados en el continuo, no físicos e idealizados,con momento lineal definido y adoptándose el artificio de usar con-diciones a la frontera periódica en un cubo de lado L lo que permitiránormalizar correctamente estos estados y calcular su densidad. Conesta convención, los estados de momento lineal se escriben como,

—-—¿3/2 (37)

que evidentemente están correctamente normalizadas sobre el volu-men de periodicidad L3. Entonces, se obtiene inmediatamente que

(38)

Si p{ varía lentamente sobre todos los estados finales que conser-van energía, no es necesario que Vn varíe lentamente como se supusoal obtener la regla de oro. Dicho de otra manera, el requisito de queVn represente el elemento de matriz a un estado final típico no tienesignificado si se permite que p/ cubra todas las direcciones. Enton-ces, es necesario restringir p/ a un intervalo infinitesimal de orienta-ciones en torno a alguna dirección dada ñ , es decir, se tiene que en-contrar en un ángulo sólido infinitesimal díl en torno a ñ . Significaque p (E) se interpreta como la densidad de esa fracción particularde estados con energía entre E y E + dE que tienen momento en díl.Para simbolizar este resultado, se puede llamar dp(E) a la densidadrelativa y dW a la rapidez de transición, por lo cual, usando la ecua-ción (38) se obtiene que

dW = dp(E). (39)

Debido a que la distribución de los estados de momento lineal parauna partícula libre es isotrópica en el espacio de momentos, dp sepuede expresar fácilmente en términos de la densidad p de todos losestados; precisamente es p multiplicada por la razón díl entre 4w , osea

10 El significado preciso de la palabra típico con referencia a los estados finales se acláralamás adelante.


De acuerdo con la ecuación (IX-18),

0(E)= (2m}3'2 L*VÉ = mp L3P\I-'> /t_2*3 ^ V C, -,_2i31- >

entonces,

y usando la ecuación (39) se obtiene que,

= »* dü.

o sea la probabilidad por unidad de tiempo para una transición delestado inicial a cualquier estado final con momento orientado dentrodel ángulo sólido dCl. Dicho de otra manera, dW es la probabilidadpor unidad de tiempo de que ocurra una dispersión en dfl. Recor-dando la definición de sección diferencial da, ecuación (18), este re-sultado no es más que do-\jln<.\, donde \jinc\ es la magnitud del flujo deprobabilidad incidente,

Uncí = |«/»in< ' mL3'

debido a la ecuación de normalización (36). Entonces, finalmente

mU nrd(T =

en concordancia con la ecuación (36).La utilidad y sencillez de la aproximación de Born se ilustra mejor

con algunos ejemplos. Como primer ejemplo y debido a su impor-tancia, se estudiará con cierto detalle el llamado potencial de Yu-kawa,"

V(r) = V0Ra-rIR

(40)

La constante V0 se llama la intensidad del potencial de Yukawa, yR es el llamado alcance. Substituyendo en la ecuación (34) se tieneque,

/(«)=_ mV0¡ —ñ)-r d3r. (41)

" El potencial de Yukawa es de importancia esencial en las interacciones nucleón-nucleón.También se usa frecuentemente para describir un potencial culombiano escudado (ver el Pro-blema 8).


La integración se calcula fácilmente si se escoge el eje polar a lode (ñ0 — ñ) como se ilustra en la Figura 4. Llamando cu al ángulotre (ñ0 — A) y r , se tiene que,

**)—*£$ p */;«,.*, i;Por ser el integrando independiente del ángulo azimutal, la integra-ción sobre este ángulo es 2w. La integración sobre m también se pue»de hacer fácilmente dando,

/(«) = -m y.y»R r

ñ 0 -ñ | Jo~rllt

+A: 2 / ? 2 (ñ f l -ñ ) 2/

Este resultado se puede expresar inmediatamente en términos delángulo de dispersión 6, que es el ángulo entre ñ0 y ñ, como se mues-tra en la Figura 4. Se obtiene que,

,A A,(n,, -n)

Figura 4. Sistema de coordenadas para la integración de la ecuación (40).

y escribiendo /(ñ) como/(0), se tiene que,

2 0/2)- ' , (42)

(43)

n

y la sección diferencial será,


Finalmente, la sección total se obtiene integrando la sección diferen-cial sobre todo el ángulo sólido, como en la ecuación (23). Llevandoa cabo la integración se encuentra que12

2mV0R-(44)

Se observa que a energías suficientemente bajas 4k2R2 <z 1, la ecua-ción (43) muestra que la dispersión es isotrópica, lo que concuerdacon las predicciones anteriores en términos de las propiedades de losdesfasamientos 8;. Cuando kR crece, la sección se va concentrandohacia adelante y, cuando 4k2R2 => 1, la dispersión está principalmenteconfinada en un dominio angular pequeño 0 < 1/kR, que se llama elpico de difracción principal. Este comportamiento se ilustra en laFigura 5. Como lo muestra la figura, la dispersión hacia adelanteresulta ser independiente de la energía para la aproximación de Born,mientras que la sección total decrece al crecer la energía, inversamen-te a la energía de acuerdo con la ecuación (44).

4A:2/?2 » 1

o e ñ u e JT o e ir

Figura 5. Sección diferencial para el potencial de Yukawa para diferentes valoresde kR, según la aproximación de Born, ecuación (43).

Todas estas características son bastante generales, distinguiéndoseúnicamente por los detalles al pasar de un potencial a otro. Para ob-servar este hecho explícitamente se puede considerar como segundoejemplo un potencial gausiano:

V(r) = V0e-w

Suprimiendo los detalles se obtiene que,(45)

(46)

"La integral se lleva a cabo fácilmente introduciendo la variable de integración z = (1 - eos


dajdíl =

y finalmente,

2h2 k2R2

sin" 9/2

„

(47)

(48)

Ejercicio 1. Obtener las ecuaciones (46), (47) y (48).

De nuevo se encuentra que la dispersión en la dirección hacia ade-lante 0 = 0 es independiente de la energía y que la sección es inde-pendiente del ángulo a bajas energías, pero al crecer la energía se for-ma un pico de difracción de anchura angular 6 — 1/kR. Finalmente,también se encuentra que la sección decrece inversamente con laenergía a energías altas. La explicación de estos resultados generaleses la siguiente:

Dispersión hacia adelante. De acuerdo con (34), la amplitud dedispersión hacia adelante, ñ = ft0, es proporcional a la integral de vo-lumen del potencial. Llamando /(O) a la amplitud de dispersiónhacia adelante, se tiene que

/(O) = -m dar. (49)

Excepto por factores numéricos del orden de la unidad, según lasecuaciones (42) y (46) esta ecuación se puede expresar como,

/(O) = - ñ2 (50)

donde K0 es la intensidad del potencial y R su alcance.Dependencia angular. A energías bajas tales como kR < 1, el

factor potencial en el integrando de la ecuación (34) es del orden deuno sobre el dominio efectivo de integración, el cual es una esfera deradio ./? aproximadamente. Por lo tanto, para todos los ángulos,

de donde la sección es isotrópica a bajas energías y la sección totalresulta ser,

cr = (51)


Al comparar con las ecuaciones (44) y (48) en el límite de energíasbajas, se encuentra otra vez el resultado correcto, excepto por facto-res numéricos del orden de la unidad.

A continuación se considerará el límite opuesto en el cual la ener-gía es tan alta que kR > 1 . En este caso, las oscilaciones del factorexponencial en el integrando de la ecuación (34) tienen que tomarseen cuenta. Este factor oscila más rápidamente a medida que aumen-ta el ángulo, causando que la amplitud de dispersión disminuya brus-camente al apartarse de la dirección hacia adelante. Esta disminu-ción se presenta para ángulos tales que,

kR\A0- ñ| = 2kR sen 0/2 = 1,

debido a que para ángulos menores la exponencial se desvía poco dela unidad. Ya que W? > 1, esta relación se puede escribir como

0 = HkR,

y de esta manera se ha demostrado que la anchura de pico de difrac-ción es del orden de \/kR.

Sección total para energías altas. Este último resultado permitehacer una estimación rápida de la sección total a energías altas. Sucaracterística esencial es que únicamente el pico de difracción princi-pal contribuye apreciablemente a la dispersión, resultando que,

d0r nikR

° - = j |/(0)|2sen0</0í/<¿> = 277 |/(0)|2sen0

ri/kR

\f(0)\* 0 ¿0 - TT\f(0)\2lk2R2

Jo277

y, finalmente, usando la ecuación (50)

A:2/?2' (52)

en concordancia con el límite a energías altas de las ecuaciones (44)y (48), excepto por los factores numéricos usuales.

Esta disccusión sobre la aproximación de Born se puede concluircon ciertas observaciones acerca de su validez. La mayor parte de lostratamientos sobre este tema se basan en una consideración de lamagnitud de la corrección de primer orden a la función de estado deonda plana de orden cero, pero resulta muy complicada.13 Aquí sehará un análisis mucho más simple en el cual la sección total a- juegaun papel muy importante. Dentro del espíritu de la teoría de per-

"Un tratamiento bastante completo se presenta en la Referencia [18].

FUNCIONES DE GREEN; APROXIMACIÓN DE BORN 395

turbación dependiente del tiempo la sección mide directamente larapidez efectiva de las transiciones a partir del estado inicial. Estacantidad debe de ser pequeña para que el tratamiento perturbativosea válido. Expresándolo en forma cuantitativa, se toma esta canti-dad como la razón del flujo de probabilidad dispersado sobre el flujomáximo dispersado, o sea, la incidencia sobre, la sección geométricadel dispersor, 77^?2.14Esta relación es sencillamente a/irR2, y por lo tan-to la aproximación de Born es válida si esta relación es pequeña,

a-1-rrR2 < 1.

A energías bajas, usando la ecuación (51), la condición será

\1

(53)

(54)

y a energías altas, usando la ecuación (52), la condición se cumplecuando

1 (mV0R2\2

k2R¿ \ h2 )1. (55)

Se observa que la condición para energía baja es mucho más fuerteque la condición para energía alta; cuando se satisface la ecuación(54), se satisface automáticamente la ecuación (55) porque contieneel factor (kR)~2 que es pequeño a energías altas. Además, a energíassuficientemente altas, la ecuación (55) siempre se puede satisfaceraunque no lo haga la ecuación (54). Por esta razón, la aproximaciónde Born se considera principalmente una aproximación para energíasaltas y complementa el método de desfasamiento que, como se recor-dará, resulta engorroso en el dominio de las energías altas.

Las ecuaciones (54) y (55) no son condiciones rigurosas o precisas,como es evidente de la forma como se han obtenido. Sin embargo,se puede dar un argumento que quizás sirva para restaurar la confian-za en su validez. Hay que recordar que la solución exacta a cualquierproblema de dispersión satisface el teorema óptico de la ecuación (25),

La aproximación de Born nunca puede satisfacer este teorema yaque, como lo expresa la ecuación (49), la dispersión hacia adelante enla aproximación de Born siempre es real. Este resultado implica que

14 Esta condición es máxima únicamente a energías altas. A energías bajas, el máximo esmucho mayor debido a la difracción. Como resultado, esta estimación es muy conservativa.


la aproximación de Born no es confiable a menos que la parte imagi-naria de la amplitud de dispersión hacia adelante sea despreciable res-pecto al valor total de la amplitud de dispersión hacia adelante. En-tonces, es necesario tener una condición autoconsistente,

o bien, multiplicando por 4ir/& y usando el teorema óptico,

Usando las estimaciones dadas por las ecuaciones (50) y (51) seobtiene que, a bajas energías,

**(56)

Esta condición resulta más débil que la ecuación (54) debido a que elfactor 1/kR resulta muy pequeño en el límite de energías bajas. Peroa energías altas se obtiene que,

4kR\mV0R*\

W ) (57)

que es la raíz cuadrada de la ecuación (55) excepto por factores nu-méricos, y por lo tanto es una condición algo más fuerte.

Entonces, resumiendo, el requisito de autoconsistencia y el requisi-to de que la rapidez de transición total sean pequeñas, llevan a condi-ciones equivalentes para la validez de la aproximación de Born. Esteresultado hace suponer que se han identificado las característicasfundamentales. Respecto a la aplicación de estas condiciones en lapráctica, la guía más segura será la de usar la condición más restricti-va en el dominio de las energías consideradas.

4. MOVIMIENTO EN UN CAMPO ELECTROMAGNÉTICO

Considérese una partícula de carga positiva e que se mueve en uncampo electromagnético externo descrito por el vector potencialA(r, í) Y el potencial escalar $(r, r). Se recuerda que en unidadesgausianas las intensidades de los campos electromagnéticos 6> y 9(> es-tán dadas por

= v* A(58)

MOVIMIENTO EN UN CAMPO ELECTROMAGNÉTICO

y el hamiltoniano clásico es,

H = ^-(p-2m V K

,rî397

(59a)

donde V es cualquier potencial adicional que pueda estar presente."No es difícil verificar que las ecuaciones de Hamilton

dxi _ dHdt ~ dpt

dp¡ _ _ a//dt dx,

proporcionan las ecuaciones de movimiento correctas

(59b)

(60)

(61)

Sin embargo, de la primera ecuación (59b),

dx{ eA¡m~d7 = pi~~'y p no es el momento cinético pero sí es el momento canónico, o sea,la variable que corresponde al momento en el sentido de las ecuacio-nes de Hamilton.

Los potenciales electromagnéticos no tienen un significado físicodirecto; únicamente lo tienen las intensidades de campo. Los poten-ciales A y <f> no están completamente definidos por la ecuación (58).La clase de transformaciones que dejan a <3> y a 9(> invariables se lla-man transformaciones de norma y están generadas por funciones es-calares arbitrarias X de acuerdo con,

' = A-vx . c dt (62)

La selección de x determina la norma, pero ningún resultado físicodepende de esta selección, o sea, de los potenciales A' y 0' se ob-tienen las mismas intensidades de campo, las mismas ecuaciones demovimiento, etc., que se obtendrían de A y <f>. Hay que observarque el momento canónico depende de la norma, aunque la velocidadde la partícula no depende de ella como se puede observar de la ecua-ción (60),- la cual no hace referencia a ninguna cantidad dependientede la norma.15 Ver por ejemplo, Referencia [14], especialmente el Capítulo I, Sección 5, y Capítulo VII,Sección 3. Ver también el Problema 11.


Como de costumbre, el operador hamiltoniano se obtiene substitu-yendo las variables dinámicas clásicas en el hamiltoniano clásico porlos operadores cuánticos correspondientes. Entonces, la ecuación deSchródinger resulta ser

A pesar de la presencia del campo, la reglas de conmutación entrep y r permanecen inalterables y siguen teniendo la forma usual,

-r

Entonces, en el espacio de configuración se tendría,

h

Se nota que, en general p y A(r, í) no conmutan y es necesario acla-rar el significado del primer término en la ecuación (63). Específica-mente, se tiene que entender que este término tiene la forma simetri-zada,

' eA\»,p~v) -' e .--(P A + A £_

c2 (64)

en cuyo caso no es difícil concluir que es hermitiano.Se ha argüido que el potencial vectorial y el potencial escalar no

están completamente definidos y que pueden alterarse mediante unatransformación de norma. Clásicamente esta transformación no afec-ta a ningún resultado físico, y la misma conclusión debe de ser válidaen el caso cuántico. Para ver este resultado se parte de la transforma-ción de norma de la ecuación (62) y se toma ty'(x, t) como la funciónde estado transformada, solución de la ecuación de Schródinger enla nueva norma,

Substituyendo la ecuación (62) se obtiene,

- - i « l - f i f » ' . (65,

Comparando las ecuaciones (63) y (65) se obtiene que </» y </»' estánrelacionadas por la expresión

'(*. O = *(*,/) (66)

MOVIMIENTO EN UN CAMPO ELECTROMAGNÉTICO 399

que se comprueba por substitución directa. Dicho de otra manera,la transformación de norma de la ecuación (62) se genera substitu-yendo t/> por \¡i e"xlñe en la ecuación (63). Entonces, se concluye quela arbitrariedad en la definición de los potenciales electromagnéticosse refleja en la arbitrariedad de la fase de la función de estado, la cualestá determinada solamente por una función escalar indetectableexilie, siendo éste el significado de la invariancia de norma de la ecua-ción Schrodinger.18

Como ejemplo ilustrativo se puede considerar una partícula carga-da en un campo magnético uniforme 9(>. Para este caso, el vector po-tencial se puede escribir en la forma,

Se puede verificar fácilmente que se satisface la ecuación (58). Comop conmuta con este potencial vectorial, se puede escribir A • p + p •A = 2A • p y, por lo tanto,

Pero,

L,X r) • p = SK • (r X p) =

donde L es el operador del momento angular orbital y la ecuación deSchrodinger resulta ser,

£' 2mcL +

8mc22 .,.= _ « ü£ft di/»

7aT (67)

El término cuadrático en % se entiende fácilmente si se considerael movimiento de una partícula libre en un campo magnético. Clási-camente, la trayectoria de este movimiento es una hélice acotada enel plano perpendicular a 9(> • El término cuadrático en 96 en la ecua-ción de Schrodinger es responsable por un confinamiento análogo dela función de estado respecto al movimiento,en el plano transversal.Además, es fácil demostrar que el movimiento en este plano es equi-valente al movimiento armónico bidimensional.17 Entonces, el tér-mino cuadrático es esencial en la descripción de tales estados. Porotra parte, al discutir los estados ligados de una partícula en algúnpotencial de confinamiento V, la contribución del término cuadráti-16 Ver el Problema 10, Capítulo V, para una discusión de la indetectabilidad de un factor defase como el mencionado.17 Ver Referencias [19] o [24].


co generalmente es muy pequeña y casi siempre se puede despreciar.El término lineal en 96 en la ecuación de Schródinger describe la

interacción con un dipolo magnético de momento magnético

*" 2mc"

Si se desprecia el término cuadrático, K(r) es esféricamente simétri-co y si se escoge el eje z a lo largo de 9(>, entonces, los estados esta-cionarios se pueden clasificar como autofunciones simultáneas deL2 y de Lt, pero la energía depende de los autovalores mth de Lz.Si se tiene un estado i/»^m, con energía Enl en ausencia de un campomagnético, entonces, en presencia del campo se tiene que,

Z7 r7 en sns

-"'"" ~" 2mc~ '""

donde el estado degenerado (21 + 1) veces se desdobla en 21 + 1 esta-dos con energía de separación iguales,

eh „,2mc~-

La cantidad eh/2mc se llama magnetón de Bohr; es el momentomagnético de una partícula con momento angular orbital unidad. Alnúmero cuántico ml se le llama frecuentemente número cuánticomagnético debido al papel que juega en la fórmula anterior. Es con-veniente señalar que todas las ecuaciones se han escrito para una par-tícula de carga positiva e. Para un electrón, e se tiene que substituirpor -e en todas las expresiones.

Para terminar, es conveniente mencionar los efectos del espín,aunque sea brevemente. Asociado con el espín existe un nomentomagnético que se puede escribir en la forma,

.-.£«*. (68)

La cantidad sin dimensiones g mide la razón del momento magnéticoen unidades de eh/2mc , al momento angular en unidades de ñ .Para el movimiento orbital g resulta ser la unidad. Para el momentomagnético intrínseco del electrón, resulta que g tiene el valor dos.En cierto sentido, resulta que el momento angular espinorial es dosveces más efectivo para generar un momento magnético que el mo-

TEORIA DEL ELECTRON DE DIRAC 401

mentó angular orbital.18

La existencia del momento magnético espinorial significa que elhamiltoniano tiene que ser suplementado con un término de energíamagnética Msmn -9<*. Por ejemplo, para un electrón en un campo mag-nético uniforme, el término lineal en <•% en el hamiltoniano tiene laforma,

donde J es el momento angular total. El análisis de este término, quelleva al llamado efecto Zeeman anómalo, es bastante más complicadoque para el caso de una partícula sin espín y no se tratará aquí.19

5. TEORÍA DEL ELECTRON DE DIRAC

En esta sección se desarrollará una versión relativista de la ecua-ción de Schródinger para el movimiento del electrón. Para empezar,se considerará al electrón como partícula libre sin que haya ningunafuerza externa actuando sobre él. Para este caso, el hamiltonianoclásico relativista es,

// = V(pc)2 + (me2)2 ,

donde m es la masa en reposo del electrón y p su momento lineal. Sip es el operador cuántico usual, se puede concluir que H no está biendefinida debido al signo de la raíz cuadrada.20 Una forma de evitaresta dificultad fue sugerida por Klein y Cordón que consideraron laexpresión

18 Es interesante mencionar valores g para otras partículas, midiendo siempre los momentosmagnéticos en las unidades naturales de eft/2mc} siendo m la masa de la partícula. Para elmesón ft, g es dos también, como para el electrón. Ambos casos están de acuerdo^ con laspredicciones de la teoría de Dirac. Pero el momento magnético intrínseco del protón no esun magnetón nuclear (g = 2) como se acostumbra llamarlo, sino 2.79 magnetones nucleares(g = 5. 59), y el momento magnético del neutrón no es cero (como para el neutrino) sino— 1. 91 magnetones nucleares, donde el signo negativo significa que es opuesto al espín. Es-tos momentos magnéticos anómalos indican claramente la existencia de algún tipo de estruc-tura para el protón y el neutrón. Estos temas son de mucho interés en la física de las partí-culas elementales.

"Por ejemplo, ver la Referencia [22].

20 En el espacio de configuración se tiene que desarrollar en serie de potencias la raiz cuadra-da, por lo cual H es equivalente a un operador diferencial de orden infinito. Este hecho sepuede evitar si se pasa al espacio de momentos, pero las ecuaciones que resultan son muycomplicadas excepto para el caso especial de la partícula libre.


en lugar de

Esta ecuación es una ecuación relativísticamente correcta, pero debi-do a la segunda derivada respecto al tiempo, la probabilidad no seconserva si $ se interpreta como una amplitud de probabilidad. Re-sulta que esta ecuación, llamada ecuación de Klein-Gordon, se puedeinterpretar dentro de la teoría cuántica de los campos pero no se pue-de aplicar al movimiento de una sola partícula.

Este dilema fue resuelto por Dirac usando el siguiente argumento.Si i/< se considera como una amplitud de probabilidad, entonces, enla ecuación de Schrodinger sólo puede aparecer la primera derivadarespecto al tiempo. Ya que relativísticamente las coordenadas espa-ciales y la coordenada temporal son coordenadas del mismo tipo, lascoordenadas espaciales en la ecuación de Schrodinger también tienenque aparecer sólo linealmente. Entonces se escribe,

imponiendo que H sea lineal en el momento,

//= [a • pc + /3mc2],

y donde a y )8 se determinan por la condición

H2 = (pc)2+ (me2)2.

Se observa que Dirac impuso la condición de que

(69)

(70)

H = \f(pc)2+.(mc2)2

fuera una función lineal de p bien definida. Es claro que a y /3 nopueden ser números si las ecuaciones (69) y (70) se satisfacen, sinoque tienen que ser operadores independientes de las coordenadas.

Teniendo en cuenta las caractarísticas de a y de /3 se tiene que,

[a • pe + /3/nc2]2 = (pe)2 + (me2)2

y, conservando el orden de todos los factores,

(oía, PtPjc2 /3a,)inc*p,c

(me2)2.

Comparando términos se concluye que a,2 = /í2 = 1 o bien,

ax2 = av

2 = a,2 = p = 1 (71)

TEORÍA DEL ELECTRON DE DIRAC 403

y además,

(a,, <*.,)+ = O,

(72)

Entonces, las cuatro matrices ax,aa,az y p anticonmutan entresí y el cuadrado de cada una es igual a la unidad.

El álgebra de estos operadores de Dirac es idéntico al de los ope-radores espinoriales de Pauli, excepto que los operadores de Diracson cuatro. Ya que los operadores de Pauli, junto con la matriz uni-dad, agotan el número de matrices independientes dos por dos, loscuatro operadores de Dirac no pueden representarse por matricesdos por dos. Matrices tres por tres tampoco los representan, pero lasmatrices que sí sirven son matrices cuatro por cuatro. Estas matricesno están totalmente definidas por las relaciones de conmutación, pe-ro la selección convencional es,

(73)

que en notación compacta se escriben como,

- (i -?)/ O <T\a=U o)' (74)

donde cada elemento es una matriz dos por dos ya- es el operadorespinorial de Pauli.

Los operadores de Dirac conmutan con todas las variables exter-nas, tales como p y r , y por lo tanto deben de actuar sobre algunaclase de grados de libertad internos. Debido a la dimensionalidad delas matrices de Dirac, se debe de tomar a >/> como una función de


onda con cuatro componentes, llamada espinar. Esta función de cua-tro componentes se escribirá como una matriz columna, o sea

(75)

sobreentendiendo que cuando una matriz arbitraria A cuatro por cua-tro, con elementos At¡, actúa sobre </» , lo hace de acuerdo con las re-glas de multiplicación de matrices, y dando como resultado otra ma-triz columna. Escribiéndolo explícitamente, se tiene que

«12

Entonces,

«„</» =

Por lo tanto, la ecuación de Dirac

(76)

i dí \' ')

se entiende como una ecuación para estas matrices columna. E repre-senta el operador de la energía total, incluyendo la energía en reposode la partícula.

TEORÍA DEL ELECTRON DE DIRAC

Se recuerda que si dos matrices son iguales, cada elemento de U>primera matriz es igual al elemento correspondiente de la segundamatriz. Entonces, la ecuación de Dirac es una forma compacta de es-cribir un conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales lineales para lascuatro componentes de i/» . Usando la ecuación (76), estas ecuacio-nes se escriben explícitamente como

c(px -

c(Px -

= _ f t dtyii dt

= _ f t/ (78)

Para resolver estas ecuaciones se toma un estado estacionario conmomento lineal definido p y energía E, tomando p a lo largo del ejez. Si este estado se escribe como

(79)

donde U es un espinor con componentes constantes,

U =

la ecuación (78) se reduce a las ecuaciones algebraicas

cpU3 — (E —

-cpU4- (E-

cpU1-(E +

—cpL/2 — (E +

(80)

Se verifica fácilmente que este sistema tiene solución si se cumpleque,

; = ± V(pc)2+ (me2)2. (81)

406 MOVIMIENTO EN UN CAMPO ELECTROMAGNÉTICO

Usando cualquiera de los signos se obtiene que

Ul _E + me2 peU3 pe E — me2

t/4

E +me2

pe

(82)pe

E-me2

La ecuación (81) es la relación relativista correcta entre energíay momento y establece que es posible tener energía positiva y negati-va. Por ahora se considerarán únicamente los estados de energía posi-tiva, dejando para más adelante el problema de las energías negativas.

De las expresiones (82) se nota que U¡ y U3 son totalmente inde-pendientes de í/2 y f/4. Este resultado significa que la solución sepuede expresar como una combinación lineal arbitraria de dos esta-dos independientes. Estos estados se pueden escribir como,

(83)donde

X+ = x- = (84)

Los coeficientes a+ y a_ son arbitrarios y, naturalmente, Ul y U3están relacionados entre sí por la ecuación (82), como lo están U2

y t/4.Estos resultados muestran que estados de una energía dada E y

momento lineal determinado, que en el caso presente se encuentra alo largo del eje z, no son únicos sino que están doblemente degenera-dos. Esto significa que H y p no forman un conjunto completo deoperadores que conmutan sino que tienen que suplementarse por unoperador adicional asociado con algún tipo de coordenada interna.Resulta que esta coordenada interna es el espín y el operador quefalta es la componente del espín a lo largo de p , lo cual se demuestraa continuación.

En primer lugar se define en cuatro componentes el análogo deloperador de espín de Pauli escribiendo

- (" °"'(o (85)


Esta notación significa, por ejemplo, que

"z (86)

y análogamente para las demás componentes. Entonces,

donde x± están expresadas mediante la ecuación (84). Ya que eloperador de Dirac ó- tiene exactamente las mismas propiedades alge-braicas que el operador cr de Pauli, se puede concluir que x+ descri-be un estado con el espín orientado a lo largo del eje positivo z y queX- describe un estado orientado a lo largo del eje negativo z. Comolo indica la notación, estos estados son los análogos espinoriales delos estados de dos componentes no relativistas que se discutieron enel Capítulo X. Esta relación se puede aclarar si se pasa al límite norelativista, para el cual

E — me2 me

En este límite, se concluye de la ecuación (82) que Ua y U4 resultandespreciables respecto a Ui y a í/2 . Si se desprecian dichas compo-nentes, los espinores de Dirac x± se reducen a estados de dos com-ponentes que son precisamente las representaciones usuales de los es-tados espinoriales no relativistas x+ y X- , y el operador de Dirac ó-se reduce al operador o- de Pauli.

El argumento que se ha expuesto hace plausible que ó- esté relacio-nado al momento angular interno del electrón pero no pretende seruna demostración. Es necesario observar que cuando los efectos rela-tivistas son importantes, una función de estado que sea autoestado deH y p puede hacerse autoestado simultáneo de la componente de o- alo largo de p , pero no de las componentes perpendiculares. En otraspalabras, únicamente la componente paralela de <r conmuta con H.Entonces, relativísticamente, existe un acoplamiento entre grados delibertad internos y externos, pero la separación en "interno" y "ex-terno" resulta que ya no está bien definida.

En lugar de un argumento plausible, se puede dar una demostra-ción en la siguiente forma. En primer lugar se tiene que examinar siel momento angular es una constante de movimiento. Para ello se


examinan las relaciones de conmutación entre L y H. Después decierta álgebra se encuentra que 21 ,

(L, H) = iñc(aXp),

de donde se concluye que el momento angular orbital no se conserva.Este resultado no es una sorpresa puesto que el hamiltoniano de Di-rac no es invariante frente a rotaciones espaciales solamente. Ahora,se puede examinar el conmutador de ó- y H. Después de cierta álge-bra se obtiene que,

(ó-, //) = -2ic (a x p ) ,

de donde se obtiene que J = L + (h¡2}ó- es una constante de movi-miento,

Entonces, la cantidad J, que satisface el requisito de las relaciones deconmutación para momento angular, tiene que interpretarse como elmomento angular total y (ft/2)ó- como el operador que representaal momento angular intrínseco. Por lo tanto, la ecuación de Diractiene como consecuemcia que el electrón, o cualquier otra partículaque pueda describir, tiene automáticamente un momento angular es-pinorial de un medio.

Ya que las funciones de onda espinoriales tienen cuatro compo-nentes, se tiene que ampliar la definición de valores de expectacióny la de elementos de matriz. El significado de una expresión como

= í¡=1

donde i|>¡ y </>¡ son las z-ésimas componentes de los estados espinoria-les i|» y 0. Las cantidades < î\4>i > tienen su significado usual. Así porejemplo, en el espacio de configuración,

= J>i*(r, f)Esta regla es todo lo que se necesita para calcular los elementos dematriz de un operador arbitrario A, en el espacio ordinario y en elespinorial, ya que siempre se puede escribir (<|»|/1|4>> = <^ |< /> ' ) donde$ ' es el nuevo espinor obtenido al operar con A sobre <f>.

Ahora se puede regresar al problema de los estados de energía ne-gativa. De acuerdo con la ecuación (8 1 ), el espectro de energía de

" Los detalles se dejan para los problemas.


la partícula libre es un continuo desde más infinito hasta la 9ten reposo de me2. Bajo esta energía hay un espacio sin ningún eltf»do que continúa hasta la energía-me2. Para energías más negativasel espectro vuelve a ser continuo y se extiende hasta menos infinitaEste espectro se muestra en la Figura 6. En cierto sentido este resul-tado no es diferente al espectro clásico, ya que también en el casoclásico son posibles formalmente soluciones de energía negativa.

Continuo de energía positiva

No existen estados

de partícula libre

Continuo de energía negativa

Figura 6. Espectro de las energías permitidas para una partícula libre de Dirac.

Pero, clásicamente, no existe ninguna comunicación entre las partesde energía positiva y negativa en el espectro. Una partícula no pue-de cambiar su estado de movimiento con energía positiva a un estadode movimiento con energía negativa, porque para hacerlo tendría quepasar por un intervalo de energía en el cual el movimiento es imposi-ble. La existencia de estos estados no causa ninguna dificultad clási-camente; estos estados son inaccesibles y por lo tanto inobservables.

Cuánticamente todo cambia; los cambios discontinuos son la re-gla. Es posible que ocurran transiciones de estados de energía positi-va a negativa liberando una cantidad enorme de energía; mayor que2mc2. Ya que el espectro de energía negativa se extiende hasta infi-nito, parecería que no se podría observar ninguna partícula de Diraccon energía positiva. Es decir, todos los electrones del Universo cae-rían rápidamente al "mar" de energía negativa, un mar suficiente-mente profundo para aceptarlos.

Una forma de evitar esta dificultad sería la de eliminar los estadosde energía negativa por ser inadmisibles físicamente, pero si se haceesto los estados de Dirac no formarían un conjunto completo22.

22 Este es un ejemplo, y muy importante, en que las matemáticas forzaron la interpretaciónfísica en lugar de ser al revés. Mediante una interpretación física se ha concluido, correcta-mente, que la totalidad de los estados físicamente admisibles tienen que ser completos. Perose deja la pregunta de cómo identificar todos los estados físicamente aceptables. Anterior-mente se tomó esta identificación como un hecho y el resultado de que sean completos seconsideró una consecuencia necesaria. Pero aun cuando la intuición respecto a los estadosaceptables físicamente sean inadecuada, el requisito de que sea completo obliga a aceptar losestados de energía negativa.

10 ALGUNAS APLICACIONES Y OTRAS GENERALIZACIONES ESIADOS MIXTOS Y MATRIZ DE DENSIDAD 411

irac mismo resolvió este problema postulando que en el estado nor-ial del Universo todos los estados de energía negativa están comple-mente ocupados. En estas condiciones, el principio de exclusión•ohibe cualquier transición de un electrón en un estado de energíajsitiva a uno de energía negativa. Además, este conjunto vasto e in-nitamente denso de electrones en estados de energía negativa seríaerte eléctricamente y mecánicamente, excepto por transiciones delar negativo a estados de energía positiva. Esta transición requeriríala energía mayor que 2mc2. Esta energía enorme, no se produceijo condiciones normales y, de acuerdo con la experiencia, no se ob-rva partículas con energía negativa.Sin embargo, si se suministra suficiente energía para provocar una

ansición del mar negativo a un estado de energía positiva, se obser-iría la aparición repentina de un electrón ordinario, que no se obser-iba originalmente pues ocupaba un estado de energía negativa. Tam-íén se observaría un cambio repentino en las propiedades del mar} energía negativa. Este mar ya no sería inerte eléctrica y mecánica-icnte, ni tampoco inobservable, debido a que no estaría completa-ente lleno; un estado estaría desocupado. Este estado agujero, co-0 se le llama, está asociado con la supresión de una carga negativa; energía negativa del estado inerte del Universo, que se podría lla-,ar el vacío. La supresión de una carga negativa de energía negativail vacío se puede interpretar como la aparición de una carga positi-1 de energía positiva, llamada el positrón, totalmente equivalente alectrón excepto porque tiene carga opuesta.Se puede concluir que esta interpretación es razonable si se consi-

eran los efectos de una fuerza electromagnética aplicada al mar delergía negativa cuando este mar contiene un estado agujero. Los.ectrones tenderían a moverse en el sentido de la fuerza aplicada y! favorecerían las transiciones al estado agujero que es el único dis-onible en el mar. El agujero tendería a moverse en sentido opuestolos electrones, haciéndolo como si fuera un objeto aislado.La transición de un electrón de un estado de energía negativa a

no de energía positiva, corresponde a la aparición repentina de unlectrón y un positrón en el mismo punto del espacio del tiempo, y¡ requiere una energía mínima de 2mc2. Este es el famoso fenóme-3 de la producción de un par. El proceso inverso también es posi-le, o sea cuando un electrón en estado de energía positiva pase acupar un estado agujero. El fenómeno se conoce como la aniquila-lón electrón-positrón, y la energía se manifiesta como energía elec-•omagnética, generalmente como un par de fotones.

Hasta aquí se ha considerado únicamente el hamiltoniano de Diracara la partícula libre. Pero también se puede considerar que el elec-

trón se mueve en un campo electromagnético externo o en otro po-tencial, en cuyo caso el hamiltoniano de Dirac se modifica en la for-ma canónica

H = (p- fA/c) ] V,

donde A y $ son los potenciales vectorial y escalar respectivamente yV es cualquiera otra interacción que puede estar presente. Si, porejemplo, se resuelve esta ecuación para un electrón en un campo mag-nético uniforme, la energía de interacción magnética resulta ser la deuna partícula de espín un medio con un momento magnético de unmagnetón de Bohr, lo cual coincide con la observación. Como segun-do ejemplo se podría calcular la solución a la ecuación de Dirac paralos estados del átomo de hidrógeno, cuya concordancia con el expe-rimento es casi perfecta, incluyendo las correcciones de la estructurafina23 .

La teoría del electrón de Dirac, partiendo únicamente de la masay de la carga de éste, obtiene todas las propiedades intrínsecas del po-sitrón así como de su existencia y de los fenómenos de aniquilaciónde un par y producción de éste.

La discusión se ha limitado únicamente al electrón, pero cualquierpartícula de espín un medio puede describirse por la ecuación de Di-rac. Por ejemplo, muones y neutrinos se describen con la mismaecuación tomando la masa en reposo apropiada. Sin embargo, losprotones y los neutrones, como consecuencia de su momento magné-tico anómalo, se describen por un hamiltoniano de Dirac con un tér-mino adicional que se ajusta para dar el momento magnético obser-vado. La producción de pares y su aniquilación, en la que intervie-nen todas estas partículas y sus antipartículas, como se les llama, hansido observadas experimentalmente y concuerdan con las prediccio-nes de la teoría.

6. ESTADOS MIXTOS Y MATRIZ DE DENSIDAD

En un sistema cuántico todo esto bien definido es una autofun-ción simultánea de un conjunto de operadores. Si se expresa en tér-

23 Sin embargo, la ecuación de Dirac no proporciona el llamado corrimiento Lamb. Estepequeño corrimiento está generado por las interacciones con las fluctuaciones del vacíode los campos electromagnéticos. Estas fluctuaciones del campo, a semejanza del movi-miento del punto cero del oscilador armónico, son de origen estrictamente cuántico y npaparecen en ningún tratamiento en el cual el campo electromagnético se considera como clá-sico, como es el presente tratamiento.

AJÍ


minos de observaciones, significa que si un estado se especifica co-rrectamente, se tiene que hacer un conjunto de mediciones que nointerfieran entre sí. Este tipo de estado se llama estado puro. Laevolución en el tiempo de un estado puro está determinada por laecuación de Schródinger y esta evolución se puede predecir perfecta-mente. La naturaleza estadística de la mecánica cuántica se mani-fiesta en las distribuciones de los valores observados que se obtienenal efectuar mediciones sobre un conjunto de sistemas preparadosidénticamente, encontrándose cada uno en el mismo estado puro.Hasta ahora se han tratado únicamente estados puros. Sin embargo,con mucha frecuencia, el conocimiento de los sistemas complicadosno es completo y una descripción en términos de estados puros esimposible. Esta falta de conocimiento introduce un segundo elemen-to estadístico que no es de origen cuántico y que es familiar en mecá-nica estadística clásica. A continuación se mostrará brevemente có-mo se pueden tratar cuánticamente estos estados mixtos.

La descripción de un estado mixto requiere de la mezcla estadísti-ca de todos los estados puros que sean consistentes con el conoci-miento incompleto del problema. Se puede pensar como un conjun-to de sistemas, cada uno de los cuales se encuentra en algún estadopuro y suponer que un sistema del conjunto esté descrito por el esta-do puro i/r, y que «J» se puede expresar en términos de algún conjuntocompleto ortonormal,

n

Sea A un operador que represente algún observable arbitrario. En-tonces,

donde Anm son los elementos de matriz de A,

Promediando sobre el conjunto de sistemas como en mecánica esta-dística, se obtiene que,

(A) = CmCn*A, (89)

donde una barra sobre una cantidad representa que se ha tomado unpromedio. Los números Anm son fijos de modo que el promedio dela derecha depende únicamente de Cn que aquí representan las varia-

ESTADOS MIXTOS Y MATRIZ DE DENSIDAD

bles estadísticas. Como A es arbitrario, el promedio de cualquiifoperador físico está determinado por el conocimiento de la cantidad

pmn^CmCB*; |p m n | « l . (90)

El operador p, con elementos pmn se llama matriz de densidad. Con-tiene toda la información disponible del sistema, puesto que si seconoce p , también se conoce la distribución de los valores medidospara cada medición que se haga sobre el sistema.

Expresando la ecuación (89) en términos de p , se obtiene

Ya que el miembro derecho se puede interpretar como un productode matrices, esta expresión se reduce a

(91)

La suma de los elementos diagonales de una matriz se llama la trazade la matriz y se escribe como

donde (91) se puede expresar en forma independiente de la represen-tación como,

(A) = Tr(pA). (92)

Entonces se ha logrado el principal objetivo, o sea, desarrollar una ca-racterización adecuada de los estados mixtos. La matriz de densidadpara tales estados juega el mismo papel que la función de estado paraestados puros. Toda la información disponible está contenida en ellay cada una define el estado que caracteriza.

A continuación se desarrollarán algunas propiedades de la matrizde densidad. De la ecuación (90) se obtiene que p es hermitiana,

pmn = Pnm*. (93)

Este resultado se concluye de la independencia al promediar y de laconjugación compleja. Al igualaré a la unidad en la ecuación (92) seobtiene que, '

Tr p = 1. (94)

o sea que los elementos de la diagonal de la matriz suman la unidad.


Este resultado puede verificarse partiendo de la ecuación (90) ya que,

También se observa que los elementos de la diagonal principal pmmexpresan la probabilidad de que el sistema se encuentre en el estado0 m , por lo cual pmm nunca puede ser negativo sino que tiene queencontrarse entre cero y la unidad. Si se considera una representa-ción en la cual p es diagonal, entonces, los elementos de la diagonalserán los autovalores de p y todos los autovalores de la matriz de den-sidad se encontrarán entre cero y la unidad por lo cual p es un opera-dor positivo definido y acotado.

Supóngase que p está determinado inicialmente. ¿Qué se puededecir acerca de su evolución en el tiempo? Sea H el hamiltoniano delsistema y supóngase que Cn, dada por la ecuación (87), es una fun-ción del tiempo,

Ya que <// satisface,

se encuentra que Cm satisface el conjunto de ecuaciones,

ÍÍ "^mi dt

y por lo tanto,

(95)

(96)i i

en donde, en el último paso, se ha usado el hecho de que H es hermi-tiano. Multiplicando la ecuación (95) por Cn* y la ecuación (96) porCm y restando se obtiene que,

- | I (CmCn*) = £ (HmiCtCn* - CmC(*Hín).

Como las operaciones de diferenciación respecto al tiempo y la depromediar sobre el conjunto son independientes, se obtiene que,

ESTADOS MIXTOS Y MATRIZ DE DENSIDAD

Finalmente, la evolución de p en el tiempo será,

-f 3-(».„).

41S

(97)

de donde se obtiene que p es estacionaria si conmuta con el hamilto-niano.

Algunas de estas propiedades de p se pueden ilustrar con ejemplossencillos. Como ejemplo se puede considerar un sistema que se en-cuentra en un estado de energía definida E y momento angular defi-nido /, pero orientado al azar. Entonces, cada uno de los 11 + 1 esta-dos degenerados son igualmente probables. Estos 21 + 1 estados for-man un conjunto completo para el sistema, y en una representaciónque use estos estados, p es sencillamente la matriz unidad divididaentre (21 + 1) . Otro ejemplo podría ser el de una partícula sin pola-rizar, con espín un medio. En la representación para la cual crz esdiagonal,

P —1/2O ° }1 / 2 ) '

que describe a un estado mixto en el cual el espín tiene la misma pro-babilidad de encontrarse con espín hacia arriba o hacia abajo respec-to a cualquier eje. En ambos casos la traza de p es la unidad y p esestacionaria.

Un último ejemplo muy importante se refiere a un sistema en equi-librio térmico a la temperatura T. La probabilidad de que el sistemase encuentre en cierto estado está determinado por el factor de Boltz-mann y por lo tanto,

p = 1 e-n,Krt

donde Z, la función de partición, se expresa como

Z = Tr e-"lkT

y la traza de p es la unidad. Ya que p es función sólo de H, conmutacon H y por lo tanto es estacionaria, como tiene que serlo en el equi-librio. Todas las propiedades termodinámicas del sistema se determi-nan en la forma usual en términos de la función de partición.

Como conclusión se puede señalar que el formalismo de la matrizde densidad se puede aplicar a la descripción de estados puros y deestados mixtos. Si un estado es puro, todqs los sistemas del conjuntose encuentran en el mismo estado y el promedio sobre el conjunto notiene consecuencias. Entonces pmn tiene la forma producto

pmn = CmCn*. (98)


Precisamente esta forma es la que identifica a p como describiendoun estado puro. Para obtener una caracterización independiente de larepresentación, se observa que,

= YCmC i*C iCn*,

y ya que la suma sobre |C,|2 es igual a la unidad,

o sea, p2 = p para un estado puro. Como consecuencia

Tr p2 = 1, (99)

que es una condición necesaria y suficiente para que el estado seapuro24.

Problema 1. Calcular la integral de la ecuación (5) para encontrarla corrección a primer orden a la energía de átomos tipo helio usandoteoría de perturbación.

Problema 2. Usando la función de prueba de la ecuación (8) para unátomo tipo helio, obtener la ecuación (10).

Problema 3. Considérese un átomo del tipo helio con Z=\ , elzonnegativo del hidrógeno. Demostrar que de acuerdo con la estima-ción variacional de la ecuación (10), el sistema es inestable respecto ala disociación por un valor algo menor que un eV. [El sistema H~esestable, pero se requiere un cálculo bastante más refinado para de-mostrarlo que el que se obtiene de la ecuación (10).]

Problema 4.(a) Considerando al protón como una masa infinita y despre-

ciando los términos dependientes del espín, demostrar que el hamil-toniano para la molécula de hidrógeno es,

// = £í- + £L_^_.ÍL + £_2m 2m R r, - rz - R| , - R| |r2 + R|

usando el sistema de coordenadas mostrado en laFigura 7.(b) Una función de prueba razonable para un cálculo de Ray-

leigh-Ritz podría ser la que supone que cada electrón es un estado" Ver la Referencia [22].

PROBLEMAS

— e

R e

Figura 7. Sistema de coordenadas para la molécula de hidrógeno.

base hidrogénico <£„ respecto a su "propio" núcleo. Basándose en es-ta idea, demostrar que una función de prueba correctamente simetri-zada es,

i /r(r , , r2) = «M^Mota) ± <Mr2 + R)<Mr, - R) .(c) Usando esta función de prueba demostrar que,

J ± K

donde J y K son las integrales directas y de intercambio del hamilto-niano total H, y donde

« = / <M'i)*o('*)<Mr« + R)«o(r, - R) d*r, d3r2.

Al calcular las integrales, este resultado muestra que solamente el ca-so simétrico conduce a un estado ligado, donde E+(R) tiene unmínimo cercano al valor exacto en el valor aproximado de R. Ver lareferencia [20] .

Problema 5. Dibujar la razón de la sección diferencial cuántica a lasección diferencial clásica para la dispersión culombiana de electro-nes por electrones para una energía de 100 electrón voltios en elcentro de masa; también para partículas alfa sobre partículas alfa a5 MeV.

Problema 6. Usar la aproximación de Born para encontrar la ampli-tud de dispersión además de la sección total y diferencial para el po-tencial exponencial

Comparar el comportamiento a energía alta y baja con el resultadopredicho en el texto.

Problema 7. Lo mismo que en el problema 6 pero considerando unpozo de potencial cuadrado,

i/ Í-Ô' r<RO , r & R.

-MÜHÉMu


Problema 8. El efecto de pantalla de los electrones en un átomoneutral, modifica la interacción electrostática entre un átomo y unapartícula incidente cargada. Una aproximación razonable a este efec-to de pantalla del potencial culombiano es,

que en la forma es el mismo que el potencial de Yukawa. En estaexpresión, Z es el número atómico del átomo, ze es la carga de la par-tícula incidente y R es el radio atómico efectivo.

(a) Demostrar que de la aproximación de Born se obtiene el re-sultado exacto para la sección de Rutherford en el límite de R —> °° .

(b) Usando la aproximación de Born estimar el intervalo angularpara el cual la sección diferencial de dispersión de un potencialculombiano de este tipo difiere de la dispersión de Rutherford en loscasos siguientes:

( i) una partícula alfa de 5MeV dispersada por oro;( ii) un protón de 1 Mev. dispersado por carbón;(iii) un electrón de 100 eV dispersado por carbón.

Por facilidad tomar R = IA en todos los casos y suponer que todaslas energías se toman en el sistema del centro de masa.

Problema 9.(a) Para una energía de 5 MeV en el centro de masa, los desfasa-

mientos que describen la dispersión elástica de un neutrón por un nú-cleo, tienen los valores siguientes:

S0 = 32.5°, 8, = 8.6°, 82 = 0.4° .

Suponiendo que todos los demás son despreciables, dibujar dvldflcomo función del ángulo de dispersión. ¿Cuál es la sección total a?Por sencillez, tomar la masa reducida del sistema como la masa delneutrón.

(b) Hacer lo mismo en el caso de cambiar los signos de los tresdesfasamientos.

(c) Hacer lo mismo en el caso en que se cambia sólo el signo de 80 .(d) Usando los resultados de la parte (a), calcular el número

total de neutrones dispersados por segundo de un haz de 1 010 neutro-nes por cm2 por seg, y área transversal de 2 cm2, que incide sobre unalámina conteniendo 1021 núcleos por cm2. ¿Cuántos neutrones sedispersan por segundo hacia un contador a 90° respecto al haz inci-dente que subtiende un ángulo sólido de 2 x 1 0~sesterradianes?

Problema 10. Encontrar los estados del átomo de hidrógeno en uncampo magnético de intensidad de 104 gaus. Considerar al electrón

PROBLEMAS 4Í9

sin espín y despreciar los términos cuadráticos en el campo magnéti-co. ¿Está justificado esto último?

Problema 11. Demostrar que el hamiltoniano clásico, ecuación (5 9a),lleva a las ecuaciones de movimiento clásicas correctas, ecuación(60). Notar que

= 7 + V(v A ) - v x (Vx A)oí

y que, para cualquier vector B ,

V (B2) =2(B -V )B + 2B X (V X B ) .

Problema 1 2. Para la ecuación de Dirac y para la ecuación de Schró-dinger, demostrar que,

donde A es un operador (espinor) arbitrario.

Problema 13. Una partícula que satisface la ecuación de Dirac se en-cuentra en un estado arbitrario. Encontrar expresiones explícitaspara

(a) < * > ,

(b)d ( x ) ¿(y) '

dt dt

Problema 14. Demostrar por cálculo directo que J = L + ha-/2 con-muta con el hamiltoniano de Dirac.

Problema 15.(a) Partiendo de la ecuación (80) obtener la ecuación (83).(b) Encontrar la función de estado de Dirac para una partícula

libre de masa en reposo m moviéndose a lo largo del eje x con mo-mento p.

Problema 16.(a) Se sabe que un sistema se encuentra en uno de sus tres esta-

dos. La probabilidad de encontrarse en el primero es de 1/2 y deencontrarse en el segundo es de 1/3. ¿Cuál es la matriz de densidaddel sistema?


(b) Determinar, en caso de que exista, cuál de las siguientes ma-trices de densidad describe estados puros.

-1 2et*}5\2e-^ 4 )4 \-i 2

Problema 17. El estado de un sistema está descrito por la matriz dedensidad,

'0.4 0.2 e»yp =

(b) Verificar si el sistema se encuentra en un estado puro o no.

Problema 18.(a) Se sabe que un sistema se encuentra en uno de dos estados.

Demostrar que la matriz de densidad más general tiene la forma,

Pa e* \

-a)'? < a < ?

(b) Demostrar que fi = ± Va (I — «) si el sistema se encuentraen un estado puro.

(c) Demostrar que a = \ , fi = O para un haz de partículas nopolarizado y de espín un medio.

(d) Encontrar a y (3 (en una representación en la cual oves dia-gonal) para un haz de partículas polarizadas parcialmente de tal ma-nera que el espín paralelo al eje z se presenta dos veces más a menudoque el espín antiparalelo al eje z.

Problema 19. El estado de polarización de un haz de partículas deespín un medio se describe mediante el vector de polarización P defi-nido en términos de la matriz de densidad p como sigue:

P = < o - ) = T r ( p o - ) .

Suponiendo que P se determina experimentalmente, demostrar que

Problema 20. Recordando que la parte independiente del espín en elhamiltoniano de un electrón en un campo magnético 06 es,

eh2mc a-

PROBLEMAS 421(a) Demostrar que el vector de polarización P (ver Problema 19)

de un haz de electrones en este campo satisface la ecuación de movi-miento

dt me

(b) Suponiendo que el campo magnético es uniforme, resolveresta ecuación de movimiento y discutir los resultados.

APÉNDICE I

Cálculo de integrales de

funciones gausianas

1. LA INTEGRAL BÁSICA

Se quiere calcular la integral

»+«»*» dx

Para llevar a cabo este cálculo, se toma el cuadrado de esta expresiónescribiéndola en la forma del producto

foo r<xi

/o2 = e-(a+i6)x2 dx e-*

+iw dyJ — 00 J—00

que es equivalente a la integral doble00

V = J Idxdye-^»**1^.— 00

Si se consideran x y y como coordenadas rectangulares en un plano,la integral doble se calcula fácilmente transformando a coordenadaspolares r, <t> . Se obtiene inmediatamente que,

f2ir fao

V = ¿<HJo Jo

r dr e-(a+ib>rí = TT

a + ib

y por lo tanto,

/0 = a + ibEn el límite de a -> O,

/o = Vñfib = -ilr'4

424 APÉNDICES

Para a =0, la integral gausiana se puede tomar como este límite.

2. INTEGRALES GAUSIANAS

Se puede generalizar el resultado anterior considerando la integral

/„ = P x" e-(a+ib)x* dx.

J -00

para n entero.Se observa que

/2m+1 = 0,

debido a que la integral es impar, y además

( J \m /•<»

Ta) L e~<a+Í^ dX

Entonces,

dam '

da

Un ejemplo sería,

3. INTEGRALES GAUSIANAS GENERALIZADAS

Finalmente, se puede considerar una integral de la forma

Jo = í" e-0*'-"* dx,J-x

donde « y /3 pueden ser complejas, pero donde la parte real de «tiene que ser mayor que cero. Para calcular la integral se completa elcuadrado en el exponente,

Substituyendo x + (3/2a por una nueva variable, por ejemplo y, la in-tegral se reduc'e a la forma considerada en la Sección 1 y se obtieneinmediatamente que,

CALCULO DE INTEGRALES QUE CONTIENEN FUNCIONES GAUSIANAS

70=^<-

Este resultado también es válido para « imaginaria pura, si se consi-dera como un límite. Si « — a + ib, a > O, el límite se obtiene cuan-do a -» 0.

Las integrales del tipo

fn = i" X" e~ax

se calculan por el método de la Sección 2 y se obtienen inmediata-mente las expresiones,

32m+l // . xom j- i O Jo

= (-D-(¿

dmJ0

dam

Por ejemplo,

'•--£'• J*= ^

Ejercicio 1. J3 se puede calcular por la receta anterior, pero tambiénse puede obtener de la relación

Verificar que ambos métodos conducen al mismo resultado. Demos-trar que, en general,

APÉNDICE II

Referencias seleccionadas

. BASES HISTÓRICAS Y EXPERIMENTALES

1. G. Holton y D.H.D. Roller, Foundation of Modern Physicalcience, Addison-Wesley (1958). Una introducción interesante peroxclusivamente elemental y descriptiva.

2. F.K. Richtmyer, E.H. Kennard y T. Lauritse, Introduction tolodern Physics, quinta edición, McGraw-Hill (1955).

3. R.M. Eisberg, Fundamentáis of Modern Physics, Wiley (1962).4. M. Born, Atomic Physics, séptima edición, Blackie, Glasgow

1962). Un libro clásico sobre las bases y orígenes de la mecánicauántica.

5. R.B. Leighton, Principies of Modern Physics, McGraw-Hill1959).

í. BASES MATEMÁTICAS

6. E.A. Kraut, Fundamentáis of Mathematical Physics, McGraw-1111(1967).

7. H. Margenau y G.M. Murphy, The Mathematics of Physics andthemistry, segunda edición, Van Nostrand (1956).

8. P. Dennery y A. Krzywicki, Mathematics for Physicists, HarperndRow(1967).

9. J.S. Sokolnicoff y R.M. Redheffer, Mathematics o f Physicsnd Modern Engineering, McGraw-Hill (1966).10. D.J. Jackson, Mathematics for Quantum Mechanics, Benjamín1962).11. G. Arfken, Mathematical Methods for Physicists, Academic'ress (1966).12. A. Sommerfeld, Partial Differential Equations in Physics (tra-ucido por E.G. Straus), Academic Press (1949). Un libro clásico so-re ecuaciones diferenciales y tópicos afines escrito para físicos.

REFERENCIAS SELECCIONADAS

13. P.W. Berg y J.L. McGregor, Elementary Partial DtfferenHalEquations, Holden-Day (1966).

C. MECÁNICA CLASICA

14. H. Goldstein, Classical Mechanics, Addison-Wesley (1950).Recalca aquellos aspectos de la mecánica clásica que son importantespara la mecánica cuántica.

15. J.B. Marión, Classical Mechanics of Partióles and Systems, Aca-demic Press (1965).

16. R.A. Becker, Introduction to Theorical Mechanics, McGraw-Hill (1954).

17. J.C. Slater and N.H. Frank, Mechanics, McGraw-Hill (1947).

D. MECÁNICA CUÁNTICA (ELEMENTAL)

18. D. Bohm, Quantum Theory, Prentice-Hall (1951). Tratamien-to con motivación física y con énfasis sobre las relaciones entre losconceptos clásicos y cuánticos.

19. R.H. Dicke y J.P. Wittke, Introduction to Quantum Mechanics,Addison-Wesley (1960).

20. L. Pauling y E.B. Wilson, Introduction to Quantem Mechanics,McGraw-Hill (1935).

21. D. Park, Introduction to the Quantum Theory, McGraw-Hill(1964).

E MECÁNICA CUÁNTICA (AVANZADO)

22. A. Messiah, Quantum Mechanics (en dos volúmenes), North-Holland, Amsterdam (1961). Un texto de fácil lectura y cuidadosa-mente hecho.

23. L.I. Schiff, Quantum Mechanics, McGraw-Hill (1955).24. L.D. Landau y E.M. Lifshitz, Quantum Mechanics, Non-relati-

vistic Theory, (traducido por J.B. Sykesy J.S. Bell), Addison-Wesley(1958).

25. A.S. Davydov, Quantum Mechanics (traducido por D. ter Haar),Addison-Wesley (1965).

26. G.L. Trigg, Quantum Mechanics, Van Nostrand (1964).27. P.A.M. Dirac, Quantum Mechanics, cuarta edición, Oxford

(1958). Un libro clásico. Ningún estudiante debe sentirse satisfechosino lo ha leído y entendido.28. P. Stehle, Quantum Mechanics, Holden-Day (1966).

428 APÉNDICES

29. D. ter Haar, editor, Selected Problems in Quantum Mechantes,Academic Press (1964). Una colección de problemas excelentes. Lamayor parte de las soluciones están hechas en detalle.

30. J.D. Bjorken y S.D. Drell, Relativistic Quantum Mechantes, MeGraw-Hill(1964).

APÉNDICE III

Respuestas y soluciones

a problemas seleccionados

CAPITULO I

Problema 2. Después de encontrar p en términos de(7/mc2)se puedeescribir,

donde \c = h/mc es la longitud de onda reducida de Compton de lapartícula. De esta manera se encuentran,

X (cm)

electrón protón

30 eV 4 x 10-» 10-'°30 keV 10-'° 4 x 10-12

30 MeV 7 X 10"13 1Q-'3

30 GeV 7 x lO'16 7 x 1Q-16

A energías ultrarrelativistas T §> me2, la longitud de onda de de Brog-lie es aproximadamente hc/T y es independiente de la masa de la par-tícula.

CAPITULO II

Problema 1. (a) \A\ = Tr~m a-112; (b) (x) = x0

Problema 2. (b) |c±| = [2(1 ± e-"4)]-"2

430 APÉNDICES

Problema 2.(a) _ 2L Y ,

TT

CAPITULO HI

sin (nirx/L)n

(b) « v t - - " * "L ¿ a2 + n277-2/L2

Problema 3.(c) in fe/2

Problema 4.(a) /4 = L-1'2

(b) <í>(p) = (2 ft3/7rL3)"2

Problema 7. Las energías del estado base son, aproximadamente,

(a) hzlmL?

(b) hoi

(c) (ft'mg2)"3.

CAPITULO IV

Problema 1.

(a) v0 = ix/^ =

(b) v, = c Vi - (¿>0/<o)2 *£ c

Problema 3.

(a) <fe>|«KB>=

£lfe

RESPUESTAS Y SOLUCIONES A PROBLEMAS SELECCIONADO!

(b) Se considera un paquete de ondas inicial, centrado en *'con momento promedio Po y descrito por

Seggún las ecuaciones (IV-43) y (IV-45), la evolución en el tiempo deeste estado es,

, o -o n=l

(2)

Pero un estado de este tipo es exactamente periódico con período4mL2

7 ~ Trft 'aunque este período no tiene nada que ver con el período clásicoUporVé) Es del orden de 10" segundos para un objeto macrosco-

• 1ns límites clásicos de laA continuación se van a i/uuaivivi»* n-»» nnm-vi» ~*a.^ciones (1) y (2). Para poder tener órdenes de magnitud se puede to-maina partícula de un gramo de masa en una caja de algunos centí-metros de longitud. El momento inicial se toma como gm-cmêgy su posición inicial se puede considerar definida por 10 cm. Esteultimo dato significa que la función de amplitud / tiene•.*L maumocentrado en x =x. para el cual su argumento es cero, y cuya anchuraefde 10- Como p,/ft es del orden de 10", se tiene que elfactor ex-ponencial en la ecuación (1) oscila alrededor de 1023 veces sobre laanchura del paquete de ondas. Por esto, para el termino n-esimo enTsÜma de ecuación (2), la contribución de la -tegraUs ¿esprecia-ble excepto cuando n es tal que las oscilaciones de sen nirx IL esténexactamente en fase con las oscilaciones del factor «P°?™«^ ""*hacerlo explícito se usa un nuevo índice de suma 5 definido como,

(3)

10"Ahora se puede establecer fácilmente que la contribución principalProviene dP

e valores de , que son pequeños. El factor unportante enel término n-ésimo de la ecuación (2) resulta ser,

sin

_ r , , _ -i«x'siL - exp (2ip0x'lñ

432 APÉNDICES

El segundo término entre paréntesis oscila tan rápidamente sobre elpaquete de ondas que se obtiene una contribución despreciable paratodos los valores de s. El primer término oscila s&xir/L veces sobrela anchura A* del paquete. Entonces, la región efectiva para la suma

\S\ < 10". (4)

Para establecer la periodicidad clásica del movimiento, se necesitajxaminar las consecuencias de estos resultados únicamente para elFactor dependiente del tiempo en la exponencial y para cada términole la ecuación (2). Sustituyendo la ecuación (3), este factor para el:érmino w-ésimo resulta ser

exp [- = exp -2mh mL

.J

Pero de acuerdo con la ecuación (4), el término cuadrático en s noupera a ht/m(Ax~)2 — 10~19 t en magnitud, y por lo tanto es despre-iable en los intervalos de tiempo comparables a la edad del universo.Comparar este análisis con el que condujo a la ecuación (IV-9). Omi-iendo el término cuadrático se tiene que,

exp [-//i27T2ftf/2mL2] = exp r_ P¿L2mh mL (6)

intonces, excepto por el factor de fase exp - / (p02t¡2mñ.) , que multi-

>lica a todo el paquete de ondas, por lo cual no tiene significado im->ortante (¿por qué?), la solución es periódica precisamente con el>eríodo clásico.

r==2mL = 2LPo v

le puede señalar, aunque sin demostración, que usando la ecuación6), sumando primero y después integrando, se puede calcular lacuación (2) en forma cerrada sin hacer otra aproximación, dandoorno resultado que el paquete de ondas viaja sin distorsión y rebotan las paredes en x = O y x = L. Resumiendo, el centro del paquetee ondas sin distorsión exhibe una forma periódica de diente de sie-ra cuando se gráfica contra t, en concordancia exacta con la soluciónlásica. Los detalles, que no son totalmente triviales, se dejan comon ejercicio.

RESPUESTAS Y SOLUCIONES A PROBLEMAS SELECCIONADOS

Problema 5. Se supone, por generalidad, que la partícula se encuen-tra en el estado H-ésimo en la caja cuando las paredes de ésta desapa-recen. Entonces, como estado inicial se tiene que

í V2/I sin mrx/L, O « x *£ L"> ~ \ o en los demás casos

Después de que las paredes han desaparecido, se tiene que en el espa-cio de momentos,

donde

" V2ññ J-

La integral es elemental, y se tiene que,

, 0) e~ipxin dx.

i i 19 _ hpj |1- (-1)" e-ipLlfí\2

•nL

donde

pn = mrh¡L = v2mEn.

Para n grande, la distribución en momento tiene un máximo defi-nido en p = ± pn, en concordancia con el resultado clásico.

CAPITULO V

Problema 2.(a) A es hermitiana si y sólo si n es dos.(b) Para n = 3, i|/i = x2 - L* (no normalizada). Para n=4,\a au-

tofunción general es una cúbica en x. Pero la autofunción identifica-da para n =3, llamada (J/,, automáticamente es una autofunción paran = 4. Entonces se tiene un par de autofunciones degeneradas. Laautofunción cúbica se puede hacer ortogonal a i/»t determinando suscoeficientes, encontrando que el par degenerado ortogonal (no nor-malizado) es,

Para n = 5 la autofunción general es cuártica en x y i|>, y fa tambiénson autofunciones. Escogiendo los coeficientes de la función cuárti-ca .n tal forma que sea ortogonal a «I», y a i|/2, se puede identificar un

434 APÉNDICES

conjunto de tres autofunciones degeneradas tres veces y ortogonalesque son

Observar que, excepto para n = 3 , estas autofunciones no son únicas.Por ejemplo, para n = 4, se puede escoger cualquier combinación li-neal de i/»i y t/»2 como nueva autofunción, llamada i/i, , y usar la orto-gonalización para encontrar una segunda combinación lineal indepen-diente i/»2 . Análogamente paran = 5. Las autofunciones ortogonalesparticulares que se han exhibido arriba son las más fáciles de cons-truir.

Problema 6.(a) ii, iv, v; (b) ii; (c) iii; (d) ninguna

Problema 10.(a) Las nuevas autofunciones del momento están definidas por

[7 ¿y por lo tanto, resultan ser

donde

0Kpx-g(xfllfí

dx.

Estos estados difieren por un factor de fase de los estados de momen-to convencionales, que se denotan por $„ para distinguirlos clara-mente y expresándolos como

1 oiPX/tl

(b)

RESPUESTAS Y SOLUCIONES A PROBLEMAS SELECCIONADOS 435

donde ^.(x) es la función de estado en la representación convencio-nal. Es necesario recalcar que ty y ¡J> representan el mismo estadofísico, o sea la que corresponde a la función de estado del momentolineal <j>(p).

(c) En primer lugar se tiene que,

debido a que el factor e~Mx)l* no interviene en el cálculo del miembroizquierdo. Además se tiene que,

porque

f fy los factores de fase en el miembro izquierdo se cancelan. Y final-mente, tomando en cuenta que no se altera la relación de conmuta-ción, se concluye que (f(x, p)) da el mismo resultado en cualquierrepresentación. Entonces, los valores de expectación de cualquierobservable y de todos ellos son independientes de /, tal y como sequería demostrar.

Problema 12.(a)

a * 82

(a) i//U, 0) = ^,

donde 8¡ son constantes arbitrarias.l6i-iE¡t/fí

(b)

(c) iv(d) todos excepto v

CAPITULO VI

Problema 2.

(a) 80s

(c) cero; mo)h[ n + . / man \2 ,~ ,3 ( — —\ (2n¿ -2n

436 APÉNDICES

Problema 3.

(a) 4, U, 0) =\

(b) Considerando a w arbitraria se pueden tratar ambos casos si-multáneamente. Se tiene que,

donde el propagador K está expresado por la ecuación (68). La inte-gral es del tipo gausiano, y después de cierta álgebra se obtiene que

«!»(*, 0 = 7[eos (út+ (/wo/cü) sin w/]1'2

XexP{-^[ qj0 eos co/ + iü) sin tofw eos tu/ + /&>„ sin o)/

que se reduce al resultado correcto cuando ai = <a0. Para |i/»|2 resultala expresión a la cual se reduce la ecuación (73) para el caso particu-lar de un paquete inicial gausiano en la parte (a).

(c) Se tiene que,

, t) =-4=f í *U. O *'*"* dx,V2irn J

que es del tipo gausiano. Después de calcular la integral se encuentraque la densidad de probabilidad en el espacio de momentos es,

U(p, t ) I 2 =I V V^ "_

[eos2 «/+ (o>2/cü02) sin2

x exn ív I eos2 a»t + (w2/w0

2) sin2 <oí

(d)

2S

de la cual se obtiene que,

p _ 2 VcuQft) (25)! /o>0 — g > \M cü0 + w 22S(5!)2 \<u<> + w /

p — n1 2S+1 «•

usando la representación indicada de fyn. Aunque no es un ejerciciotrivial también se puede verificar que,

RESPUESTAS Y SOLUCIONES A PROBLEMAS SELECCIONADOS

Problema 4.(d) La ecuación de Schródinger es,

¿m ax'

Tomando a la función 8 como el límite de una función con un máxi-mo muy definido, no es difícil concluir que ¡I>E es continua pero quedtyE/dx cambia dramáticamente sobre la anchura del potencial por

una cantidad proporcional al área bajo el potencial. En el límite,d\l>Eldx resulta discontinua. Para exhibir esta discontinuidad cuan-

titativamente, se integra la ecuación de Schródinger desde un puntoa la izquierda del origen (0_) hasta un punto a la derecha (0+), peromuy cercanos al origen, y después se considera el límite cuando estospuntos se aproximan al origen (cada uno se aproxima al otro desdesus dominios). Se encuentra que,

anulándose el miembro derecho ya que i//£ es continua. Entonces, ladiscontinuidad en la derivada de t|»£ es,

• dx dx 0_

La regla para resolver la ecuación de Schródinger será la siguiente: ala región a la izquierda del origen x < O, se le llama región I, y a la re-gión a la derecha del origen x > O, se le llama región II. El origen seexcluye de cada región y en ambas regiones la ecuación de Schródin-ger resulta la de una partícula libre. Entonces, escribiendo una solu-ción general que satisfaga las condiciones a la frontera en infinito y ala derecha, la solución a la izquierda se puede fijar al exigir que </%sea continua y que d\¡iEldx tenga la discontinuidad correcta. A con-tinuación se escriben las soluciones para estados ligados y continuos,

(i) Estados ligados. E < 0. Si se escribe E = — €, en la región IIse tiene que,

fe» = A exp (- V2me/ft2 x),

siendo la exponencial positiva inadmisible. Análogamente, en la re-gión I,

fe1 = B exp

438 APÉNDICES

siendo ahora inadmisible la exponencial negativa. La condición deque Ê sea continua en el origen obliga a que A = B. La condiciónde discontinuidad sobre dîE¡dx se puede satisfacer si e tiene el úni-co valor,

que es la energía de ligadura del único estado ligado para un poten-cial de función 8 , de acuerdo con el resultado mencionado en la par-te (a). La función de estado normalizada para el estado ligado es laque se establece en la parte (b).

(ii) Estados Continuos. E > 0. Para construir una solución quecorresponda al caso convencional de una onda incidiendo solamentepor la parte izquierda con amplitud A, se toman en cada región lassoluciones de la partícula libre.

itt l — A

Imponiendo las condiciones a la frontera en el origen, se obtiene in-mediatamente que,

1

Como lo exige la conservación de la probabilidad |p|2 + \r\2 = 1 .

Problema 6.(a) Región I, x < 0. Haciendo z = exKL se obtiene una forma

de la ecuación Bessel y, para la energía E, la solución general se pue-de expresar en la forma,

«V = AJy(aexl2L) + BJ-y(aexl2L) ,

donde

y = iV2mÉ (2L¡h)

a = V2/nF0 (2L/ft) .Región II, x > 0. Haciendo z = e-*121- , en la misma forma se

encuentra la solución general,

Condiciones a la frontera enx = 0: Tienen que ser continuasy dfa/dx .

RESPUESTAS Y SOLUCIONES A «O

(b) Estados ligados. E < 0. Al escribir £«-4es real,

en donde se ha escogido arbitrariamente el signo de la raíz cuadradapara que y sea positiva (¿por qué se tiene esta libertad?). Al conside-rar ifiE

l , se observa que para x -> oo el argumento de las funcionesBessel tiende a cero. Yaque,

para z ->• O (ver referencias [6] - - [13] ), únicamente el término Jy

es admisible físicamente. Análogamente, también en la región II elúnico término físicamente admisible es Jy . Entonces, se tiene que

•/,£< =AJ7(aexl2L)

Son continuas en el origen ifo y dÊ/dx, por lo cual se exige que

AJy(a) =BJy(a),

y también

-jda

Las soluciones serán A=B,primeras son pares y las segundas impares.

Problema 8. (c) K(p',p;t)= • S(p-p'-Ft)

Problema 18.

(a) Escribiendo a = b — —, at = ¿»t — —, se encuentra que H =e, et

e,¿>t¿> - e22/e,; (¿t, ¿) = 1. Al comparar con el oscilador armónico se

encuentra que En = ne¡ — e22/ej, n = O, 1,2,. . . .

CAPITULO VII

Problema 3.

(a) E0 =(b) Ei =

(exacto, ¿por qué?= l.óftco

440

Problema 4.

APÉNDICES

h2

(a) E = 5 —^ , aproximadamente 1 % mayor que el valor co-

rrecto ~2 mL2

Problema 7.

(c) A2

> - / 3 l\~(l 4J

Problema 9.(a) b$>(b) T = <

Problema 15.

(a)

al [2m(E - V0)]3'2

8(E) ~-

,2

= 0,

Problema 16.

(a) *(/) = [eos (f) *, - / sin (f) ^] e lEtlh

CAPITULO VIIIProblema 5.

(a) - H<¡> — • 2, donde m es la masa del elemento cargado.

(b) a = ne2/m2<ú2

(c) aceleración uniforme bajo la fuerza e3>

Problema 6.(a) AE = (<l>io(xt)<j>20(x2)\ H' \<¡>¡o(x1 )<t>2t>(x2)), donde 4>10 y <¿>20

son las autofunciones del estado base para el oscilador armónico co-rrespondiente a las partículas 1 y 1, respectivamente. Entonces,

AE =

yj

exp (- | (m,*,2 + m2;c22) - (je, - *2)2/a2)


donde /u, es la masa reducida mlm2/(m1 + m2)(b) El resultado no cambia, pero el análisis es más simple. En las

coordenadas del centro de masa, el hamiltoniano resulta ser,

= v° e~

y, por lo tanto, es separable. El problema se reduce al de una solapartícula, que es uno de los ejemplos discutidos en detalle en la Sec-ción 3 del Capítulo VIL

Problema 12.

(a) «íw, = <¡>P(xi)<}>v(x2)<l>r(x3)<l>,(x4)

donde p,q,r,s pueden tomar todos los valores enteros partiendo decero y <£„ (x) es la n-ésima autofunción del oscilador armónico.

(b) Al escribir p + q + r + s = N se obtiene que,

Entonces, la degeneración será el número de formas de combinar es-tos cuatro números enteros no negativos para que siempre sumen N.Se puede demostrar que este número es (N + 1) (N + 2) (N + 3)/6.Los cuatro primeros estados tienen degeneraciones 1,4,10 y 20 res-pectivamente. La Tabla I exhibe los números cuánticos de estos esta-dos degenerados.

(c) Para partículas sin espín únicamente se pueden realizar físi-camente los estados totalmente simétricos bajo intercambio. El esta-do base es simétrico automáticamente. Los cuatro estados para N = 1forman un conjunto degenerado bajo intercambio y el único estadorealizable sería una combinación simétrica de ellos. Para N = 2, losestados en el grupo (a) son un conjunto degenerado bajo intercam-bio, como también lo son los del grupo (b). Ya que estos dos gruposde estados son independientes, para N = 1 existen dos estados que sepueden realizar físicamente, la combinación simétrica de los estadosdel tipo (a) y la de los estados del tipo (b). Para N = 3, por un argu-mento análogo, existen tres estados que se pueden realizar físicamen-te; las combinaciones simétricas de los estados degenerados bajo in-tercambio de los tipos (a), (b) y (c) respectivamente,

442 APÉNDICES

N Degeneración

0 1

1 4

2 10

3 20

pqrs

0000

(a)

(b)

(a)(b)

(c)

1000,

2000,fllOO,{0101,

3000,1110,Í2100,0210,10021,

0100,

0200,1010,0011

0300,1101,2010,0201,1002,

0010,

0020,1001,

0030,1011,2001,1020,0102,

0001

00020110

000301111200,0120,0012

Tabla I. Números cuánticos y degeneraciones de los cuatro estados más bajos

(d) El estado base para partículas de espín 1/2 se identifica fácil-mente usando el principio de exclusión de Pauli. Es el estado N = 2que corresponde a la combinación totalmente antisimétrica de esta-dos de una sola partícula en la cual dos partículas con espín opuestose encuentran en el estado base y dos con espín opuesto se concen-tran en el primer estado excitado. No está degenerado.

CAPITULO IX

Problema 3.(a) a = e2/mu2

(b) el mismo resultado que si el campo fuera cero

Problema 4.

(a)Ze2

2R0

= Ze2

r(b) AE - | ZV/V/flo3

= 7 X 10-9 Z14'3 eV

Problema 6.

(a) i/»m =

r ^ R0


2MR2

(b)

A£m<2) = g2M3R4/(4m2 - l)h2

(c) WKB: E0^*VglR-MgR

Problema 8.(a) .//,„,= y,"1 (0,<¿>)

Et = ti2l(l+l)l2MR2

Problema 11. Probabilidad para el estado Is =0.70, para el estado2s — 0.25, para cualquier otro estado que no sea un estad o s, =0. (Verreferencia [29], pp. 250-2).

Problema 1 7.

(a)-rla,

[1 +3bt l - = P(P)p(p, ' ) =

(b)

Problema 19.

(a) Yukawa:

(b) Exponencial: e = al mismo (¡coincidencia!)

ft2

_y0 a2

8

(c) Pozo cuadrado: e = il—e~1\ y0 —^ R2

CAPITULO X

Problema 1.(a) £ „ ( / = > ) = « £ „ ( / = ! )

(b) i

444 APÉNDICES

Problema 3. Algunos conmutadores típicos son los siguientes:(L x ,* )=0; ( L x , y ) = ihz; (Lx, pv) = ihp,

Problema 7. Las parejas (i), (ii) y (v) conmutan; las otras no. Ta yconmutan si y sólo si ñ y a son colineales.

V2/3

Problema 11.

(a) J, =

y por lo tanto,

(b) Densidad de probabilidad para espín hacia arriba:

Densidad de probabilidad para espín hacia abajo:

(c) P+ + P_ = i \R(r)\2 dy/f + 2|y,'|2)=l l / í(r)l2(¿cos20+¿sin20)

Problema 13.(a) Todas son constantes de movimiento.(b) Excepto las componentes del momento lineal, todas son

constantes de movimiento.(c) La energía y la paridad.(d) Lo mismo que en (b)(e) EyL,(f) Solamente E(g) E,Lz,px.,py

(h) Lt,px,pu.

Problema 22. La probabilidad de que el átomo de hidrógeno perma-nezca en su estado base es [1 + (mva0/2ft)2]~4. (Ver Referencia [29] ,pp. 310-14).


CAPITULO XI

Problema 3. De acuerdo con la estimación variacional de la ecuación(10), la energía de ligadura de H~ es

121 e2

0 256 flo'

Este resultado tiene que compararse con la energía del sistema diso-ciado, un átomo de hidrógeno neutro más un electrón libre en infini-to. La energía del estado base del sistema disociado es precisamentela energía de ligadura del átomo de hidrógeno, —e2!2a0. Entonces, enesta aproximación, el sistema H~ es inestable a la disociación por*ra edicto o sea de 0.7 eV aproximadamente. Naturalmente que el he-cho de que el sistema #~sea estable, no viola el principio del mínimopara las energías del estado base (¿por qué?)

Problema 7. Después de calcular la integral, la amplitud de disper-sión en la aproximación de Born para el pozo cuadrado se puede ex-presar como

/(«) =2kR sin

donde j¡ es la función de Bessel esférica de orden uno (ver ecuaciónIX-61) dada por

Ji(z) =sin z eos z

z

Entonces, la sección diferencial do-jdCl = \f(6) |2 y la sección total es

1 sin4kR sin22fefl\4k2R2 8kaR3 16/k4/?4/

Ahora se puede demostrar con relativa facilidad que el comporta-miento a baja energía y a alta energía concuerda con lo esperado.(Ver Referencia [23] , pp. 168-9, para una discusión detallada).

Problema 9.(a) o- = 2 x 10-25 cm2

(b) o- y da/díl no se alteran(c) <r no cambia, pero dcrldíl sí.(d) Número total' dispersados por segundo = 4 x 106 ; el número

dispersado que llega al contador a 90° es alrededor de seis por segundo.

446 APÉNDICES

Problema 10. Tomando el eje z a lo largo del campo magnético, laenergía E\imi de un estado con número cuántico principal n, momen-to angular total / y componente z igual a w, es

^ e*~'~2rf¿~0 2mc

x 10-5m,)eV./

Los estados s no se afectan y los estados con / O se desdoblan en21+1 componentes igualmente espaciadas, cuya distancia en magni-tud es de 5x 10-5 eV aproximadamente.

Considérese ahora el término que se despreció (cuadrático) en €>(> ,que se denotará por A . De acuerdo con la ecuación (67),

Ya que r es del orden de n2a0, donde n es el número cuántico princi-pal, se tiene que,

. . . e2a0W 4<A>= -8^-"-

Comparándolo con el desdoblamiento a primer orden resulta que

gflo2^ 4 ln_6 4-T- — —•^— n* — 10 ' n*,c) 4hc

de donde se concluye que este término es despreciable para casi to-dos los números cuánticos de interés.

Problema 13.

(a) <*> = <«

ÍM d<X}-(fe) -3T-;

ii=l

Para una partícula libre (H, p) = O y (H, x) = -caxde donde, co-mo se esperaba,

RESPUESTAS Y SOLUCIONES A PROBLEMAS SELECCIONADOS447

pero,

dt

Al notar que este resultado también se cumple para un electrón queno está libre sino que se mueve en un potencial estático, se concluyeque c a juega el papel de un operador de velocidad en la teoría deDirac. Debido a que los autovalores de cada componente de a son±1, los autovalores del operador velocidad son ±c, lo que equivale adecir que una medición de la velocidad siempre da como resultado lamagnitud de c. Este resultado paradójico se puede entender intuiti-vamente en la siguiente forma. Una medición de la velocidad instan-tánea implica una medición precisa y absoluta de la posición en dosintervalos de tiempo separados infinitesimalmente. Pero, cualquierdeterminación precisa de la posición provoca una incertidumbre to-tal en el momento, de modo que el momento promedio de las medi-ciones resulta indefinidamente grande. Entonces, la medición de lavelocidad da siempre el resultado c. Para otra discusión ver la Refe-

rencia [30] .

Problema 18.(a) O =s a ^ 1, |/31 « Va(l-a)

(d) a = 2/3 ~

índice

Absorción de luz, 228Adición del momento angular, 348 - 357Adjunto de un operador, 95 - 97Algebra de matrices, 215 - 218Amplitud de dispersión, 376, 387Amplitud de probabilidad, 21,119,243,281

Conservación de la, 72-75, 163-165en el espacio de momentos, 35, 244, 282para estados estacionarios, 84-85,105Restricción impuesta por la, 90-91

Aniquilación y creación de pares, 410-411Anticonmutación, Relaciones de, 342, 346,

403Anticonmutador, 342Arfken, G., 426Armónicos esféricos, 292Átomos hidrogénicos, 304

mesónicosmu, 311tipo helio, 366-374

Autofunción radial, 293-297Autofunciónes y autovalores, 108-111Autovalores de energía, para osciladores aco-

plados,-251, 270para partículas en una caja, 80-26, 283-

285para el potencial delta 180,437para el pozo exponencial, 181,438para la partícula libre, 78-80para el oscilador armónico, 138, 286para el átomo de helio, 368 - 371para átomos hidrogénicos, 308 - 309en el pozo cuadrado, 130-135en la aproximación WKB 186-196

Barrera de potencial (ver potencial de pozocuadrado, efecto túnel)

Bases, 202 - 215Becker,R,A.,401-427Berg, P. W., 427

Bessel, funciones de, 302Funciones de, esféricas 300 - 302

Bjorken, J.D., 428Bohm, D., 427Bohr, Magnetón de, 400

Radio de, 308 - 309Born, M., 426Born, Aproximación de, 383 - 396

Validez de la aproximación de, 349-396Bose-Einstein, Estadística de, 263Bosones, 263

Campo electromagnético, Transformaciónde norma y, 397

Movimiento en el, 396 - 401Canónica, Transformación, 247Cantor, D., 174Caswell, R, S., 178Cerradura, 107-109Clebsch-Gordan, Coeficientes de, 350Configuración, Espacio de, 39-40, 243Compton, Efecto, 16

Longitud de onda, de 16Conjunto completo de operadores que con-

mutan, 111-113,119de autofunciones, 119, 107 -109

Conjunto estadístico, Matriz de densidad pa-ra un, 411 -416

Conmutador, 48Constantes de movimiento, 67, 102 - 103,

247-248,335 -336Constante de estructura fina, 382Coordenadas del centro de masa, 245 - 249

esféricas, 286 - 294Relaciones de conmutación para el mo-

mento lineal y las, 47 - 49Correlación en mecánica cuántica, 254-257,

264Correspondencia, Principio de, 17-18

450 ÍNDICE

Restricciones impuestas por el, 62-64,98-101

Cuanto de acción, 5Cuerpo negro, Radiación del, 14-16

Davisson y Germer, Experimento de, 5-8Davydov, S. S., 427Degeneración, 106-108,125-127

accidental, 296, 297, 299, 310de intercambio, 258para el átomo de hidrógeno, 310para el campo central, 293para la partícula en una caja, 284-285para el oscilador armónico isótropo, 285

de Broglie, Ondas de, 12, 281Longitud de onda de, 5

Dennary, P., 426Densidad de estados, 225, 229-230, 285Desfasamiento de dispersión, 378

en la transmisión a través de una barrera,Incremento en el tiempo asociadocon el, 167

Aproximación WKB para el, 193Deuterón, 298Dicker, R. H., 427Dirac, P. A. M., 427

Paréntesis de, 76, 92-93, 97Función delta de, 37-39, 56en tres dimensiones, 385Ecuación de, 401

Dispersión, 374Análisis del desfasamiento para la, 378-

381Amplitud, de, 375,387en la aproximación de Born, 374-383colombiana, 381para partículas idénticas, 382, 383Desarrollo en ondas parciales de la, 380Ecuación integral para estados de, 386Solución numérica de la, 169 -179de paquetes de onda, 163-166, 374

Drell, S. D., 428

Ecuación de movimiento para la matriz dedensidad, 414

para valores de expectación, 99, 121para funciones de estado (ver ecuación

de Schródinger)de Schródinger dependiente del tiempo,

(ver ecuación de Schródinger)en tres dimensiones, 279independiente del tiempo, 79, 105radial, 293para la partícula libre, 7 0 - 7 2para el movimiento en un campo electro-

magnético, 398para un sistema de partículas, 244

Efecto túnel, 11,162-163Ehrenfest, Teorema, de, 104Eisberg, R. M., 426Emisión inducida de luz, 227-228

espontánea de luz, 228Energía, Conservación de, 103

del punto cero, 139Operador de, 195

Espacio de configuración, 39-40. 243;Espacio de configuración, 39-40. 243

de momentos, 34, 39, 243-245, 282para el oscilador armónico, 139-141Propagador para aceleración uniforme en

el, 182Representación en el, 39-40, 244Ecuación de Schródinger en-el, 71, 101,

182Espectro continuo, 125

discreto, 83, 126de energía, 83, 105, 125para la partícula libre de Dirac, 409

Espín, 337 - 348y la teoría de Dirac, 406y estadística, 263Adición de, 351-353

Espinores, 403 - 405Valores de expectación para, 407

Estadística de Bose-Einstein, 263de Fermi-Dirac, 263

Estados antisimétricos, y principio de exclu-sión, 261 -262

Estados base, 55Estados continuos de la partícula libre, 30,

64-67,281, 300-303en una dimensión, 125-126, 158-165y dispersión, 374de momento lineal, 30, 281como superposición de estados de mo-

mento angular, 303y paquetes de onda, 32-35de energía negativa de Dirac, 405, 409-

411de la partícula libre en una dimensión,

59-80estacionarios, 78-80,104-106como conjunto ortogonal completo, 106

108ligados, 83, 126Métodos numéricos para, 169-179en la aproximación de Rayleigh-Ritz,

196-202en la aproximación WKB, 194-196quasiligados o quasi-estacionarios, 212-

215Evolución en el tiempo de la matriz de den-

sidad, 414de los valores de expectación 98, 119

de funciones de estado, (ver ecuación deSchródinger)

Factorización, Método de, para el momentoangular, 322-330

del oscilador armónico, 140-147Fermión, 263Fourier, Integrales de, 36-39

Series de, 36-37Frank, N. H., 427Función de onda de prueba, 199-201

de estado aceptable, 20univaluadas, 292, 327

Funciones de estados, 3,30-31,119asociadas de Legendre, 292-293Naturaleza compleja de las, 31,71-76como autofunciones, 708-Í09como superposición de estado estaciona-

rias, 83,105para energía definida, 79, 81-83de onda (ver Funciones de estado)

Gauss, Integrales de funciones de, 423-425Gausiano, Movimiento de un paquete, 68-70

Paquetes de ondas, para el oscilador ar-mónico, 156-157

Paquetes de onda, 51para el pozo cuadrado, 169-179Potencial, 392

Giromagnética, Razón (ver valor g)Goldberg, A. 169n, 178nGoldstein, H,, 427Green, Función de, 385-386Grupo, Velocidad de, 62

Hamiltoniano en coordenadas del centro demasa, 247-248

en un campo electromagnético externo,396-398,411

Operador, 100, 244, 280-281para sistemas de partículas idénticas, 257,

261relativista, 401,411

HarnweU, G. P., 372n.Heisenberg, Principio de incertidumbre de,

(ver Principio de incertidumbre)Representación de 99n

Hermite, Polinomios de 139-144Función generadora de los, 153Representación integral de los, 153

Hidrógeno, átomo de, 304Autofunciones del, 309Degeneración del, 309Molécula de, 416Niveles de energía del, 309

Holton, G., 426Hsi h,Y.,254n

Inceitldumbtt, 4, H»Principio dt,494í,l...,para el mominto inguUl, jpara las coordenad»! y llff

53,116para la energía y el tiempo, 54,116 • ' "

Integral de intercambio, 274, 370Intercambio de partículas idénticas, 257

Degeneración bajo el, 258Operadores de, 257, 275Simetría bajo el, 259-266

Interferencia y principio de superposición,22

Invariancia bajo rotaciones, 336bajo translaciones, 335de Galileo, 363-365de norma, 397

Inverso de un operador, 240n, 361

Jackson, J. D., 427

Kennard, E. H., 426Klein-Gordon, Ecuación de, 401-402Kraut. E. A., 426Kronecker, Símbolo de.la delta de, 83,106Krzywicki, A., 426

Laguerre, Polinomios de, 307Polinomios asociados, 306-307

Lamb, Corrimiento, 411n.Landau, L. D., 427Lauritsen, T., 426Legendre, Desarrollo de una onda plana en

polinomio de, 303Polinomios de, 292-293Polinomios asociados de, 292-293

Leighton, R. B., 426Límite clásico, 18, 186Lifshitz, E. M., 427

Masa reducida, 246Manético, Número cuántico, 400Margenau, H., 426Marión, J. B., 427McGregor, J. L., 427Matriz, Adjunto de una, 216-218

de densidad, 411-416Ecuación de movimiento para la, 415para estados puros, 415de los operadores de espín, 343-344de espín, 345

de los espinores, 408Elementos de, 204,215hermitiana, 217Representación de operadores como,

215-216Traza de una, 413

i

452 ÍNDICEÍNDICE 453

Transpuesta de una, 217Medición de observables, 111Melkanoff, M. A., 174n, 178nMétodo variacional (ver aproximación de

Rayleigh-Ritz)Messiah, A., 427Metastable, Estado, 212Molécula diatómica, 251, 254,416Momento angular, 289-292, 318-354

Adición de, 348-354Autovalores del, 289-292, 322, 329Conservación del, 335intrínseco o espinorial, 336-348orbital, 289-296, 318-322Operadores de, 289-290, 318-320Paridad de los estados de, 294Relación entre estados de momento lineal

definido y,Relaciones de conmutación para el, 318-

320Relaciones de incertidumbre del, 330Rotaciones y, 334-336total, 321, 329, 348-357

Momento dipolar eléctrico, 193n, 241, 251inducido, 251magnético, 400

Movimiento relativo, 249Murphy, G. M., 426

Nodvik, J. S., 173nNormalización, Condición de, 21

y aceptación física, 21Número cuántico principal, 309

Observables, 3simultáneos, 111-113Conjunto completo de, 111-112, 119como operadores hermitianos, 91-93

Observaciones, 3Como operadores hermitianos, (ver tam-

bién principio de incertidumbre),Ondas parciales, 303, 378-379Operador adjunto 95-97

autoadjunto, 96de aniquilación y creación, 140-142de proyección para la paridad, 128el intercambio, 275de posición, 40-45, 243Representación del, 147-153

Operadores, Algebra de, 45-47Autofunciones ortogonales de, 108-111como variables dinámicas, 40-45, 91-93,

119de ascenso y descenso para el momento

angular, 322, 331-333del momento lineal, 40-45, 243, 279-280como observables, 108-111

hermitianos, 91-93para el oscilador armónico, 140-143

Óptico, Teorema, 380Ortogonalidad de autofunciones, 108-110Oscilador armónico, 135-157

Autofunciones del, en el espacio de con-figuración,

en el espacio de creación, 151de momentos, 140Movimiento de un paquete de ondas en

un potencial de, 154-157Propagador, del 155(ver también oscilador anarmónico)

Osciladores armónicos acoplados, 251-254,260-261,269-272,276-278

Paquetes de ondas 32, 50-53de incertidumbre mínima, 117como superposición, 32-35Dispersión de, 163-178, 375Ensanchamiento de, 28, 62-64Movimiento de, 118-119para la partícula libre, 64-70para el oscilador armónico, 154-157y límite clásico 26-28, 68-70y velocidad de grupo, 59-62

Paridad, 127-129de estados de momento angular, 294y reglas de selección, 207

Park, D., 427Partículas idénticas, 257-275

y degeneración de intercambio, 257-258Dispersión de, 382-383en una caja, 80-87, 284-285, 302Espín y estadística de, 263y simetría de funciones de estado, 259-

266Pauli, Operadores de, 346

Teoría de dos componentes de, 347Principio de exclusión de, 263-264

Pauling, L., 427Penetración de barreras, (ver efecto túnel)Periódicas, Condiciones a la frontera, 120,

229-231,285Planck, Constante de, 4-5Polarización, Vector y matriz de densidad

de, 420Ecuación de movimiento para el vector

de, 421Polarizabilidad, 251

del átomo de hidrógeno, 314del oscilador isótropo, 311

Posición, Operador de, 40-45, 244Potencial culombiano escudado, 418

central, 286-297Dispersión por un, 378-381centrífugo, (ver potencial radial efectivo)

de función delta, 180, 437-438radial efectivo, 294-297

Potencias, Método de serie de,para el átomo de hidrógeno, 304-307para el oscilador armónico, 135-140

Pozo cuadrado, Estados ligados en un, 130-135

Estados continuos de un, 158-163en tres dimensiones, 298

Probabilidad, Densidad de, 90-91en el espacio de momentos, 35, 244Conservación de la, 72-75,164-165Restricción impuesta por la, 90-91Flujo de, 164

Probabilística, Interpretación, 20, 22, 83-86Producción y aniquilación de pares, 410Propagador, 64-66, 118-119, 122

para aceleración uniforme, 182, 439para la partícula libre, 65, 311para el oscilador armónico, 154-155, 311para una partícula en una caja, 85

Punto de vuelta, 125-126

Ramsauer, Efecto, 13Rayleigh-Ritz, Aproximación de, 196-202

y el oscilador armónico, 201-202y átomos tipo helio, 367-369y teoría de perturbación, 205Cotas superiores en la aproximación de,

199-200funciones de prueba para la, 200-201

Radiación del cuerpo negro, 14-16Raynal, S., 174nRapidez de transición, 226Redheffer, R. M., 427Reflexión, Coeficiente de, 8-9, 154, 163Regla del triángulo, 349nRichtmyer, F. K., 426Roller, D. H. D., 426Rotación, Operadores de, 334-335Rotaciones infinitesimales, 335Rutherford, Sección de, 382

Saxon, D. S., 174nSawada, T., 174nSchery, H. M. 169n, 178n.Schiff, L. S., 427Schmidt, Método de ortogonalización de,

107, 120Schródinger, Ecuación de, para la partícula

libre, 70-72dependiente del tiempo, (ver ecuación de

Schrodinger)en el espacio de momentos, 67, 101en tres dimensiones, 281independiente del tiempo, 79, 105para el movimiento en un campo electro-

magnético, 398para un sistema de partículas en tres di-

mensiones, 281Schawartz, J. L., 169n, 178n.

Desigualdad de, 115Separación de variables, 78, 290Sección diferencial, 376

de Rutherford, 382total, 379Teorema de la, 380

Simetría, Clasificación de estados por, 127-129,259,263

Propiedades de, para partículas idénticas,259-275

Simetrización de estados para partículasidénticas, 265-272, 278

Singulete, Estados, 354, 370-371Slater, J. C., 372n, 427

Determínate de, 264Sokolmikoff, A., 426Sommerfeld, A., 426Stehle, P., 427

Tabla periódica, 372Teoría cuántica vs. cuántica, 1-4, 8-14, 26-

29,69-70,381-383(ver también principio de corresponden-

cia)Teoría de perturbación, degenerada (ver teo-

ría de perturbación estacionaria yteoría dependiente del tiempo)

a segundo orden, 205-206Cota superior para la corrección a segun-

do orden en la, 208estacionaria, 202-215, 218-222Interpretación física de la, 205-207para estados degenerados o estados veci-

nos, 218-222para estados no degenerados, 224para estados no degenerados a primer or-

den, 205para la dispersión, 388-390repentina, 239para sistemas de partículas, 207Regla de oro para la 226, 228Validez de la, 224, 228y reglas de selección, 207

Transformación de Galileo, 363-365de norma y campo electromagnético,

397-399y la ecuación de Schródinger, 399

Transformaciones como operadores, 334-337361-365

Translación, Operadores de, 336Transmisión, Coeficiente de, 9-11, 159, 163Triplete, Estados, 354, 370-371Trigg, G. L., 427

i

454 ÍNDICE

Traza de una matriz, 413

Valor g, 400-401, 401n.Valor de expectación, 24-26, 119. 282

de la posición y el momento lineal, 41-44

en el espacio espinorial, 343-345de espinores, 408Ecuaciones de movimiento para, 98, 121

Variables dinámicas como operadores, 3, 43-45,67,91-93,119

Variacional, Método, (ver aproximaciónRayleigh-Ritz)

Vector de polarización y matris de densidad420,

Ecuación de movimiento para el, 421

Wilson, E. B., 427Wittlce, J. P., 427WKB, Aproximación, 186-196

para estados ligados, 194-196para estados continuos, 192-193Validez de la, 189-193

Yukawa, Potencial de, 390

Zeeman, Efecto, 338, 400-401

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