Espao Vetorial e Transformaes Lineares

Parte IEspao Vectorial

Definio

Um espao vectorial real um conjunto , no vazio, com estas duas operaes definidas:

1 Condio: Existe uma adio com as seguintes propriedades:

- Fecho: A soma de quaisquer dois elementos de um elemento de .

- Comutatividade: A ordem por que feita a soma de vectores de no afecta o resultado.

- Associatividade: Numa soma de pelo menos 3 vectores de , a prioridade atribuda a cada soma no afecta o resultado.

- Existncia de elemento neutro: Existe um elemento de cuja soma com cada elemento de no o altera.

- Existncia de elemento simtrico: Cada elemento de pode ser somado com outro para resultar no elemento neutro da soma.

2 Condio: Existe multiplicao por um escalar com as seguintes propriedades:

- Fecho: A multiplicao de qualquer nmero real por qualquer elemento de um elemento de .

- Associatividade: Numa multiplicao entre pelo menos 2 nmeros reais e 1 elemento de , a prioridade atribuda a cada multiplicao no afecta o resultado.

- Distributividade em : A multiplicao entre uma soma de nmeros reais e um elemento de igual soma da multiplicao de cada um dos nmeros reais por esse elemento.

- Distributividade no espao: A multiplicao de um nmero real pela soma de elementos de igual soma da multiplicao desse nmero real por cada um dos elementos.

- Existncia de elemento neutro: A multiplicao de 1 por cada elemento de resulta nesse elemento.

Combinao Linear

Sejam um espao vectorial, vectores em e nmeros reais. Um vector uma combinao linear de se existem nmeros reais tais que:

= =

Nota Bem: Os elementos do espao Vectorial so chamados de vectores.

Exemplo: Considerando os seguintes vectores:

)

Verifique se uma combinao linear de

= = = =

Sendo tem-se que:

(1,2,4) =

Assim temos:

combinao linear de

Sejam um espao vectorial e . Dizemos que o conjunto Linearmente Independente (LI), ou que os vectores so Linearmente Independentes, se a equao:

Isso implica que . No caso em que exista algum dizemos que Linearmente Dependente (LD), ou que os vectores so LD.

Nota Bem: Um conjunto de vectores linearmente independente se e s se a nica combinao linear dos seus vectores que iguala o vector nulo do espao que o contm aquela cujos coeficientes so todos 0.

Propriedades:

Sejam um espao vectorial e . So vlidas as seguintes propriedades:

- Qualquer conjunto X que contenha o vector nulo Linearmente Dependente. Em particular, o conjunto {0} Linearmente Dependente.

- Se no nulos so Linearmente Dependente se, e s se, um mltiplo escalar do outro.

- Sendo que so o Linearmente Dependente, ento, qualquer que seja , Linearmente Dependentes.

- Se X Linearmente Independente e Y X, ento Y Linearmente Independente.

- Um conjunto {} Linearmente Dependente se, e somente se, ao menos um dos vectores combinao linear dos demais.

Exemplo: Para verificar se os vectores (1, 1, 1), (0,1, 1) e (1, 0, 1) so linearmente independentes temos que resolver o sistema homogneo resultante da igualdade:

(1, 1, 1) + (0,1, 1) + (1, 0, 1) = (0, 0, 0)

Matricialmente, corresponde a [A|0]:

O sistema sempre possvel por ser homogneo. Assim, os vectores so linearmente independentes se este sistema for determinado, isto , se a caracterstica de A coincidir com o nmero de vectores (n de variveis). Assim temos que estudar a car(A).

1 Possibilidade: Atravs do determinante

Aplicando o Teorema de Laplace

Det = 1* = -1 * [(-1*1) (1*2)] = 3

Uma vez que A uma matriz quadrada e tem determinante -> o sistema possvel e determinado

2 Possibilidade: Clculo directo da caracterstica.

Sendo caracterstica o n de linhas no nulas, temos que Car(A) = Car(A|B) = n = 3, logo o sistema possvel e determinada.

Concluso: Os trs vectores so linearmente independentes. Notemos que a matriz A a matriz formada pelos 3 vectores em coluna

Caso Geral: O sistema linear homogneo com as incgnitas , admite unicamente a soluo nula se e s se Car(A) = m. Neste caso, os vectores so linearmente independentes.

Se Car(A) < m, o sistema admite um infinidade de solues. Neste caso, os vectores so linearmente dependentes.

Teorema: Sendo A uma matriz de ordem n m com caracterstica p, existem p colunas e p linhas linearmente independentes e quaisquer r colunas e r linhas, com r > p, so linearmente dependentes.

Subespaos Vectoriais

Dado um espao vectorial , muitas vezes possvel formar um outro espao vectorial usando um subconjunto S de e as operaes de . Como um espao vectorial, as operaes de soma e multiplicao por um escalar produzem sempre um outro vector em .

Para um novo sistema, usando um subconjunto S de , ser um espao vectorial, o conjunto S tem que ser fechado em relao s operaes de soma e multiplicao por um escalar. Por outras palavras, a soma de dois elementos de S tem que ser sempre um elemento de S e a multiplicao de um elemento de S por um escalar tem que pertencer sempre a S.

Definio: Seja um espao vectorial. Um subconjunto S , de um subespao vectorial de se, e s se, satisfaz as seguintes condies:

As suas propriedades so:

Um subconjunto S de um espao vectorial um subespao vectorial de se e s se for:

- No vazio: S contm pelo menos um elemento.

- Fechado para a soma: A soma de quaisquer dois elementos de S um elemento de S.

- Fechado para a multiplicao por nmeros reais: A multiplicao de qualquer nmero real por qualquer elemento de S um elemento de S.

OBS: Se S um subespao de um espao vectorial , ento S contm o vector nulo de .

Nota Bem: Se um espao vectorial, ento um subespao dele mesmo. O conjunto formado apenas pelo vector nulo tambm um subespao de . Assim, qualquer espao vectorial no nulo tem pelo menos dois subespaos. O prprio E e o conjunto {0} constitudo apenas pelo vector nulo em chamado o subespao nulo (os chamados subespaos triviais).

Teorema: Seja um espao vectorial e A = com A . O conjunto S de todos os vectores de , que so combinaes lineares dos vectores A, um subespao vectorial de V.

S =

Geradores de um Subespao Vectorial

Definio: Um conjunto de geradores para um espao vectorial um conjunto B de vectores de tal que qualquer vector de pode ser expresso como uma combinao linear (finita) dos vectores de B, isto , = onde cada um escalar e cada B. Neste caso, dizemos que B gera , ou que os vetores de B geram .

Se gerado por ento qualquer vector de pode ser expresso como uma combinao linear dos vectores , isto , existem escalares tais que = . Assim, = {: i, R}.

Notao: Se B gera , escrevemos ; se B =, dizemos que os vectores geram e escrevemos .

Exemplo: = [(1, 0), (0, 1)] pois para qualquer vector = (x, y) de, = (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1). Do mesmo modo, = [(1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1)] pois para qualquer vector = (x, y, z) de , = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1). Generalizando, = [(1, 0, 0, ..., 0),(0, 1, 0, ..., 0), ...,(0, 0, 0, , 1)].

Observao:Se a um conjunto de geradores de um subespao vectorial juntarmos um qualquer vector de obtemos ainda um conjunto de geradores de . Por outro lado, se num conjunto de geradores um dos vectores for combinao linear dos restantes, ento o conjunto obtido retirando esse vector ainda um conjunto de geradores de . Repetindo este processo, de um conjunto de geradores de podemos sempre obter um subconjunto deste que ainda gere e seja formado por vectores linearmente independentes.

Teorema: Se gerado por m vectores, quaisquer r vectores de , com r> m, so linearmente dependentes. Isto , se em h r vectores linearmente independentes, ento quaisquer m vectores de S, com m