fundacion elastica

En ciertas aplicaciones, una viga de rigidez a la flexión relativamente pequeño se coloca en una

base elástica y se aplican cargas a la viga. Las cargas se transfieren

a través de la viga a la fundación. La viga y la base debe ser diseñado

para resistir las cargas sin fallar. A menudo, el fallo se produce en el haz antes de que ocurra

en la base. Por consiguiente, en este capítulo se supone que la fundación tiene

fuerza suficiente para impedir su propio fracaso. Además, se supone que el

fundamento resiste las cargas transmitidas por el haz, de manera linealmente elástico;

es decir, la presión desarrollada en cualquier punto entre la viga y la cimentación

es proporcional a la deflexión del haz en ese punto. Este tipo de cimentación

respuesta se refiere como la base o modelo Winkler Winkler (Hetényi, 1946;

Westergaard, 1948). Otros tipos de modelos de cimentación se usan, por ejemplo, la

Vlasov modelo (Vlasov y Leontiev, 1966). Sin embargo, el modelo de Vlasov es más

complejo que el modelo de Winkler. Por lo tanto, empleamos el supuesto de que el

fundación responde linealmente con la deflexión del haz. Este supuesto es bastante acu-

tarifa para pequeñas desviaciones. Sin embargo, si las desviaciones son grandes, la resistencia de la

fundación generalmente no permanece linealmente proporcional a la deflexión del haz.

Para grandes deflexiones, la rigidez de la cimentación es mayor que para los pequeños

desviaciones y se relaciona de una manera no lineal con la flecha de la viga. El aumento de

rigidez debido a la respuesta no lineal de la base tiende a reducir la deflexión

ciones y tensiones en la viga en comparación con los debidos a una base lineal res-

Ponse. Puesto que se considera pequeños desplazamientos, la solución presentada en este capítulo

para el haz en una base elástica es generalmente conservador para el rango de

deflexiones tratada. (Sin embargo, para ciertos casos en los que la carga sobre la viga es

distribuye bastante uniformemente, el modelo de Winkler puede conducir al diseño nonconservative

valores; Vallabhan y Das, 1987). Además, dado que se considera sólo una res-lineales

Ponse de la fundación, dejamos caer el término lineal en nuestra discusión.)

La solución presentada en este capítulo para vigas en fundaciones elásticas pueden ser

utilizado para obtener una solución simple aproximada para el apoyo de las vigas idénticas

muelles elásticos que están separados uniformemente a lo largo de la viga. Amplios estudios de

estudios sobre las vigas en fundaciones elásticas se han dado por Kerr (1964), Selvadurai

(1979), y Scott (1981). Vallabhan y Das (1988) y Jones y Xenophontos

(1977) han estudiado el modelo de Vlasov. Mesas de diseño basadas en el modelo de Winkler

Se han desarrollado por Iyengar y Ramu (1979).

405La respuesta a cargas de una viga apoyada en una base elástica se describe por una

diferencial con una única ecuación sujeta a diferentes condiciones de contorno para la viga,

dependiendo de cómo la viga está soportada en sus extremos. Por ejemplo, consideremos una viga

de longitud infinita unida a lo largo de su longitud a una base elástica (Fig. 10,1). dejar

el origen de los ejes de coordenadas (x, y, z) se encuentra en el centroide de la viga transversal

sección y dejar que un P concentrado de carga lateral se aplica a la viga en el origen

de los ejes (x, y, z). El eje z coincide con el eje de la viga, el eje x es

normal a la figura (dirigida hacia el lector), y el eje y. es normal a la

base elástica. La carga P hace que el haz de desviar, en el que a su vez desplaza

la base elástica. Como resultado, una fuerza distribuida se desarrolla entre el

viga y la fundación. Por lo tanto, con relación al haz, la rigidez de la fundación

ción produce una fuerza distribuida lateralmente q (fuerza por unidad de longitud) en la viga

406(Fig. 10.1a). En la solución del problema de deflexión, veremos que en cierto

las regiones de la deflexión de la viga puede ser negativa (hacia arriba). Puesto que el haz es

supone que se adjunta a la fundación, la fundación puede en ciertas regiones

ejercer una fuerza de tracción sobre la viga.

Un diagrama de cuerpo libre de un elemento Az de la viga se muestra en la figura. 10.1b, con

convenciones positivos de signos para la fuerza cortante total de E /;, y Mx momento indicado. para el

convención indicada signo y la condición de los pequeños desplazamientos, se obtiene la

relaciones diferenciales

donde q se toma como positivo si se empuja hacia arriba en la viga, es decir, q es positiva si

que actúa en la dirección y negativa.

Para la fundación linealmente elástico, la carga distribuida q es linealmente proporcional

a la deflexión y de la viga, por lo

donde el resorte k coeflicient se puede escribir en la forma

en la que b es el ancho del haz y kn la constante elástica del resorte para la fundación.

Las dimensiones de ko son force/length3. La sustitución de la ecuación. (10,2) en la cuarta

de las ecuaciones. (10,1) se obtiene la ecuación diferencial del eje de flexión de la viga en

una base elástica.

y la solución general de la ecuación. (10.4) se puede expresar como

Con la notación,

La ecuación (10,6) representa la solución general para la respuesta de un haz infinito

sobre una base elástica sometida a una carga lateral se concentró. las magnitudes

40710,2

10,2 BEAM / INFINITE SOMETIDO A CARGA CONCENTRADA

Figura 10.2 viga semiinfinita sobre base elástica y se carga en el extremo.

de las constantes de integración C1, C 2, C 3, 4 y C son determinados por el límite

condiciones.

Soluciones para la respuesta de una viga soportada por una base elástica y

específicos sometidos a cargas laterales se puede conseguir por el método de superposición,

mediante el empleo de la solución para un haz infinito cargado por una carga concentrada

(Fig. 10,1) y para un haz de semiinfinito cargado en el extremo por una carga concentrada P

y momento MO como se indica en la figura. 10,2. En cualquiera de los casos que se muestran en las Figs. 10,1

y 10,2, la desviación de la viga tiende a cero para grandes valores positivos de z. con-

posteriormente, el C1 y C2 constantes en la ecuación. (10,6) son cero, y la ecuación para el

y desplazamiento del eje de giro de la viga se reduce a

y = e_ "Z (C3 + C4 pecado Bz Bz cos), z 2 0 (10.7)

Debido a la simetría, el desplazamiento de la viga de la figura. 10,1 para los valores negativos

de z se puede obtener a partir de la solución para valores positivos de z, es decir, y (- z) = y (z).

Para el caso de la viga semiinfinito (Fig. 10,2), z Z 0, de manera que la ec. (10,7) se aplica

directamente.

VIGA INFINITA sometido a un CONCENTRADA

CARGA: CONDICIONES DE CONTORNO

Considere el través de una longitud infinita, descansando sobre una base elástica y se cargó a

el 0 origen de los ejes de coordenadas (y, z) con carga concentrada P (Fig. 10,1). Para deter-

extraer las dos constantes de integración, C3 y C4 en la ecuación. (10,7), empleamos el

condiciones (a) que la pendiente de la viga permanece en cero bajo la carga debido

simetría y (b) que la mitad de la carga P debe ser compatible con la base elástica

bajo la media de la viga especificado por los valores positivos de z. La otra mitad de P es

el apoyo de la base elástica en la que z <0. Así, se obtienen las relaciones

gl-X = 0 para z = 0 y kydz ZJ '= P (10,8)

O dz

La condición de fuga pendiente en z = 0 rendimientos, con la ec. (10,7),

C3: 3 C4 = C

"Z515

»z

H

408Por lo tanto, la ecuación. (10,7) se convierte en

y = Ce "fl" (pecado Bz Bz + cos) (10,9)

Sustituyendo la ecuación. (10,9) en la segunda de las ecuaciones. (10,8), obtenemos

_ P5

c _ 3], (10,10)

Por consiguiente, la ecuación del eje desviado de la viga es

P

y =-jg-e "" Z (sin Bz + cos / 32), z 2 0 (10.11)

La ecuación (10.11) se cumple para los valores positivos de z. Las desviaciones de los valores negativos

de z se obtienen por la condición de que y (- z) = y (z), es decir, por la simetría. valores

para la pendiente, momento, y de cizallamiento se obtienen por sustitución de la ecuación. (10.11) en

Ecs. (10,1). Así, encontramos

Por conveniencia, los valores de A5, B5,, C5, y D5, se enumeran en la Tabla 10,1 por

0 3 fiz $ 511 :/ 2.

Los valores de deflexión, la pendiente, el momento de flexión y cizalladura en cualquier punto a lo largo de la

haz vienen dados por las Ecs. (10,12), (10,13), (10,14), y (10,15), respectivamente. mediante el uso

las condiciones de simetría, y (-2) = y (z), 6 (-z) = - 6 (2), M,, (-2) = M,, (z), y

Vy (-z) = - I / Y (z), estas cantidades se representan vs Bz en las Figs. 10.lc, d, e, y f. desde

todas estas cantidades se aproximan a cero como / iz llega a ser grande, las soluciones anteriores pueden

ser usado como aproximaciones para vigas de longitud finita. En particular, en la Tabla 10,1,

observamos que el A5, = - 0 para fiz = 31 :/ 4, por lo que la viga tiene cero deflexión en un dis-

tancia 31 :/ (4.3) de la carga. Un haz con una longitud L = 31 :: / (25) cargado en el centro

tiene una deflexión máxima 5,5% mayor (Hetényi, 1946) y un máximo de flexión

momento 1,9% mayor que para un haz con una longitud infinita. Aunque el error en

utilizando la solución para una viga de longitud L = 311 :/ (25) es no conservativo, el error es

no es grande, por lo tanto, la solución haz infinita produce resultados razonables para vigas

tan corto como L = 31 :/ (ZB) cuando se carga en el centro. La solución viga infinita también

412Ejemplo 10,1

Ruedas Locomotoras Diesel en tren

Un ferrocarril utiliza carriles de acero (E = 200 GPa) con una profundidad de 184 mm. la distancia

desde la parte superior del raíl a su centroide es 99,1 mm, y el momento de inercia de

el ferrocarril es 36,9> <106 mm. El carril se apoya en los lazos, de lastre, y una cama de carretera

que juntos se supone que actúan como una base elástica con constante de resorte k =

14,0 N / mmz

4'12 10 / VIGAS DE FUNDACIONES ELÁSTICAS

(a) Determine la deflexión máxima, momento de flexión máxima, y maxi-

tensión de flexión madre en el carril para una carga de rueda única de 170 kN.

(b) una locomotora diesel particular, tiene tres ruedas por camión igualmente espaciados a

1,70 m. Determinar la deflexión máxima, el momento flector máximo, y

tensión máxima de flexión en el raíl si la carga sobre cada rueda es 170 kN.

SULUTIGN

Las ecuaciones para el momento de flexión y deflexión requiere el valor de / 3. de

Eq. (10,5), nos encontramos con que

, 0 - 4 k 4 14-0000830 mm '"1

7 4151, '4 (200> <103) (36,9> <106)'

(a) La máxima deflexión y el momento flector máximo se producen bajo el

cargar donde AB = CB = 1,00. Las ecuaciones (10.12) y (10.14) dan

PB 170> <103 (0.000s30)

ymax - 2k - ZU4) - ~ 5,039 mm

P 170> <103

M - 0 a 51,21 kN-

45 ma '4 (0.000s30) m

Mme »51,21> <106 (99,1)

am ", - = -7, - ~ - 36,9 X 106 a 137,5 MPa

(b) La desviación y momento de flexión en cualquier sección de la viga se obtienen

por superposición de los eflects de cada una de las tres cargas de las ruedas. Con superpo-

sición, un examen de las figuras. 10,10 y e indica que la máxima deflexión

ción y el momento flector máximo ocurrir ya sea bajo la rueda central o

bajo una de las ruedas del extremo. Deje que el origen se encuentra en una de las finales

ruedas. La distancia desde el origen hasta la siguiente rueda es zl --- 1,7> <103 mm.

Por lo tanto, B21 = 0,000830 (1,7> <103): 1,411. La distancia desde el origen hasta el

segunda rueda es 22 = 2 (1,7> <103) mm. Por lo tanto, Bz2 = 0,000830 (2) (1,7> <103):

2.822. De la tabla 10.1, encontramos

A,, _., 1 = 0,2797, c,,,, = -0,2018

A,,,, = -0,0377, -0,0752 cm =

La desviación y momento de flexión en el origen (en uno de los finales

Ruedas) son

P

ñame, =-jg-(A520 + A321 + Aflzz) = 5,039 (1 + 0.2797-0.0377)

= 6,258 mm

P

Mend = EB (C520 + C521 + C322) = 51,20> <106 (1 - 0,2018 a 0,0752)

= 37,02 kN-m

413

10,2 BEAM / INFINITE SOMETIDO A CARGA CONCENTRADA 413

Ahora, el origen belocated debajo de la rueda central. La distancia entre

la rueda de disco y una de las ruedas del extremo es 21 = 1,7> <103 mm. Por lo tanto,

P

yceme, = -2 € (AFL, _.0 + 2,4321) = 5,039 [l + 2 (0.2797)] = 7,858 mm

P

Meme, = EB-(CM + 2 € flz1) = 51,20> <106 [1 - 2 (0.2018)]

= 30,54 kN m ~

Así, encontramos

ycenter: ymax: mm

Mend = Mm, = 37,02 kN-m

y

M C 37,02> <106 (99,1)

- Ma '_ P 0.4

"Max 1,, 36,9> <106 99 M 3

Viga apoyada en equiespaciados discreta

Soportes elásticos

Vigas largas a veces con el apoyo de resortes elásticos espaciados uniformemente a lo largo del

viga (Fig. 10.3a). Aunque resortes helicoidales se muestra en la figura. 10.3, cada primavera apoyo

puerto puede ser debido a la resistencia de un miembro elástico lineal o una estructura tal

como un elemento de tensión, viga recta, o viga curvada. Es posible obtener una

solución exacta para el haz de primavera con apoyo de la fig. 10.3a por métodos de energía (ver

Sec. 5,5, Ejemplo 5.15), sin embargo, el trabajo de cálculo se convierte en prohibitivo como

el número de resortes se hace grande.

Alternativamente, se puede proceder de la siguiente manera: Que cada primavera en la fig. 10.3a tiene

el mismo K. La constante R fuerza que cada resorte ejerce sobre la viga está directamente

proporcional a la deflexión y de la viga en la sección donde el resorte está en-

adjunta. Así, se escribe

R = Ky (10.17)

Suponemos que la ... R carga se distribuye uniformemente sobre un espaciamiento l, a una distancia 1/2

a la derecha y a la izquierda de cada resorte. Así, se obtiene el escalonado distribuido

la carga se muestra en la figura. 10.3b. Si la carga escalonada distribuido es aproximada por

una curva media lisa (curva de trazos en la figura. 10.3b), el aproximado distribuido

carga es similar a la carga distribuida q de la figura. 10.1a. Puesto que la curva de trazos en la

La figura. 10.3b intersecta cada uno de los pasos cerca de su centro, se supone que el discontinua

curva en efecto, se cruzan cada uno de los pasos directamente debajo de la primavera. Así, se

asumir que una constante de resorte k equivalente, de tal manera que

k = § ~ (10.18)

Por lo tanto, la sustitución de la ecuación. (10.18) en la ecuación. (10,5) se obtiene un equivalente / 3 para la

resortes. A continuación, damos por sentado que las Ecs. (10.12) a (10.15) tienen una validez de un infinito

414

Figura 10,3 viga Infinita apoyo de muelles elásticos igualmente espaciados.

viga soportada por soportes elásticos espaciados igualmente y cargados en el centro. Ob-

riormente, la solución resultante aproximada se vuelve más precisa como el espaciado

l entre los muelles se vuelve pequeño. Sin embargo, observamos que esta solución aproximada

se convierte en gran medida en error cuando el espaciamiento entre los resortes l se hace grande. tiene

ha encontrado que el error en la solución no es excesivo si se requiere que la

l espaciamiento entre los resortes satisface la condición

TC

lfi Z-B (10,19)

La magnitud del error de separación que satisface la ecuación. (10.19) se discute en la

ejemplo problema que sigue a esta sección.

La solución aproximada para un haz de longitud infinita, con igualmente espaciados

Los soportes elásticos, pueden utilizarse para obtener una solución aproximada para un razonable

suficientemente largo finito-longitud de la viga. Observamos que la carga ejercida por cada elástica

primavera se ha supuesto que se distribuye sobre una distancia l, siendo la distribución

uniforme sobre una distancia l / 2 a la izquierda y derecha de la primavera (Figs. y 10.3a

b). Por lo tanto, considerar una viga de longitud L con el apoyo de muelles elásticos discretos

(Fig. 1O.4a). En general, los resortes finales no coinciden con los extremos de la viga

pero se encuentran a cierta distancia inferior a L / 2 de la viga termina. Desde el distribuida

efecto del final resortes se supone que actúan sobre la longitud l, l / 2 a la izquierda y derecha

de los resortes finales, extendemos la viga de longitud L a una viga de longitud L ",

donde (Fig. l0.4b)

L "= ml (10,20)

415

Figura l0.4

y el número entero m denota el número de soportes de resorte. Si L "2 31 :/ (2B), la AP-

solución aproximada para un muelle apoyado por viga infinito se obtiene un buen razonablemente

aproximación para una viga apoyada primavera finito de longitud L.

Ejemplo 10,2

F1n1te-Eslora Manga apoyo de Seven Springs

Una aleación de aluminio en forma de I (profundidad = 100 mm, Ix = 2,45> <106 mm4, E = 72,0 GPa)

tiene una longitud L = 6,8 m y está apoyado en siete resortes (K = 110 mm / N) espaciados

a la distancia L = 1,10 m Centro al centro a lo largo de la viga. Una carga P = 12,0 kN es ap-

navegaban en el centro de la viga sobre uno de los muelles. Usando la aproximación de lo que se

lución método descrito en la sección. 10,2, determinar la carga soportada por cada primavera,

la desviación del haz de debajo de la carga, el momento de flexión máxima, y

la máxima tensión de flexión en la viga. La solución exacta de este problema tiene

han presentado en el Ejemplo 5,15.

SOLUCIÓN

La magnitud del factor B se estima por medio de las ecuaciones. (10.18) y (10,5).

Así, encontramos

416

Por lo tanto, las condiciones de limitación de L y L "están satisfechos. La máxima deflexión

y el momento flector máximo se producen bajo la carga donde AB = CB = - 100

Las ecuaciones (10.12) y (10.14) dan

La deflexión ymax (YD = ymax en la figura. E5.15b) se produce en el origen (en el centro

del haz de debajo de la carga). La magnitud de Bz para el primero, segundo y tercero

manantiales situados a la derecha ya la izquierda de la carga son Bl = 0,6754, 2131 - = 1,3508 y 3,61 =

2,0262, respectivamente. De la Tabla 10.1, AB, = 0,7153, A251: 0,3094, y A35, =

0,0605. Las deflexiones de la C resortes, B y A (véase la fig. E5.15b) están dados por

Eq. (10.12).

La reacción para cada muelle se puede calcular por medio de la ecuación. (10 17) Una compa-

ison de la solución aproximada se presenta aquí con la solución exacta de Exam-

plo 5,15 se dan en la Tabla E10.2. Aunque la reacción en A es considerablemente en error,

los resultados en la Tabla E10.2 indican que la deflexión máxima aproximada 1S

5,50% menor que la desviación exacta, mientras que el máximo aproximado flexión

momento es 6,68% mayor que el momento de flexión exacta. Estos errores en el máximo

imo desviación y el momento máximo no son grandes si se considera la sim

simplicidad de la presente solución en comparación con la del Ejemplo 5,15.

TABLA E102

Ejemplo Cantidad 5,15

417

10,3

10,3 VIGA / INFINITA sometido a una carga distribuida 417

VIGA INFINITA SUJETO T () A DISTRIBUIDA

SEGMENTO DE CARGA

La solución para el problema de una carga concentrada en el centro de un infinito

viga en una base elástica infinita puede ser utilizado para obtener soluciones para distri-

buido cargas. Sólo los segmentos de las cargas uniformemente distribuidas son considerados en este

sección. Consideremos un viga infinito apoyada en una base elástica infinita y

sometido a una carga uniformemente distribuida w sobre un segmento de longitud L '(Fig. 10,5).

La deflexión, la pendiente, el momento de flexión y cizalladura de la viga se puede determinar

con la solución presentada en la sección. 10,2. Dado que los valores máximos de estos Quan-

dades generalmente ocurren dentro del segmento de longitud L ', obtenemos la única solución

en este segmento.

Considere un infinitesimal longitud Az del haz dentro del segmento de longitud L '.

En este segmento, la viga está sometida a una carga uniformemente distribuida w (Fig. 10,5).

Por lo tanto, una carga del AP = wAz actúa sobre el elemento Az. Tratamos a la carga AP = w Az como

una carga concentrada y elegir el origen de los ejes de coordenadas AP bajo carga.

A continuación, consideremos cualquier punto H a una distancia z de la carga del AP = wAz; nota que H

se encuentra a distancias a y b de los extremos izquierdo y derecho del segmento L ',-respecto

vamente. La deflexión A) / H en H debido a la carga concentrada AP Az = w está dada por

Eq. (10.11) con P = AP = wAz. Así, tenemos

El yH deflexión total debido a la carga distribuida sobre toda la longitud L 'es ob-

contenida por superposición. Es la suma algebraica de incrementos dadas por la ecuación. (10.21).

Por lo tanto, el proceso de integración, se obtiene

Figura 10.5 uniformemente distribuida segmento de carga sobre una viga infinita descansa sobre un elástico

fundación.

418 10 / VIGAS DE FUNDACIONES ELÁSTICAS

Los valores de la pendiente, el momento de flexión y cizalladura en el punto H también puede ser obtenida por

superposición. Estas expresiones pueden ser simplificado por medio de las ecuaciones. (10,16). Por lo tanto,

se obtienen los resultados

Generalmente, los valores máximos de desviación y momento de flexión son de

mayor interés. La deflexión máxima se produce en el centro del segmento L '. la

momento de flexión máxima puede o no puede ocurrir en el centro del segmento L '. en

general, la localización del momento de flexión máximo depende de la magnitud

Para BL 'menor o igual a n, los datos para BB, en la tabla indican que el 10,1

momento de flexión máxima se produce en el centro del segmento L '.

fll '-> co

Como BL 'se hace grande,

e-0, M, -> 0, V, -> 0, y y-+ (10.27) LZ-

en todas partes, excepto cerca de los extremos del segmento L '. Los datos de la Tabla 10,1 indicar

que el momento flector máximo se produce cuando Ba o Bb es igual a TC / 4.

Los valores intermedios de [Hf

Para fil 'mayor que 1:, la ubicación del momento de flexión máximo puede estar fuera

lado del segmento L '. (Véase el problema 10.18 y en el ejemplo 10.3.) Sin embargo, el máximo

valor de momento fuera del segmento L 'para el problema de ejemplo es sólo un 3,0% más

que el momento de flexión máximo en L segmento. La ubicación de la max-

imum momento de flexión se puede conseguir por ensayo y error, sin embargo, debido a la

pequeña diferencia, la precisión suflicient puede obtenerse tomando la ubicación de la

máximo momento de ser 1c / (4/3) desde cualquiera de los extremos de la carga uniformemente distribuida

de la eslora L

419

10,3 VIGA / INFINITA sometido a una carga distribuida 419

Ejemplo 10.3

Carga uniformemente distribuida sobre un segmento de viga de madera

Una viga de madera larga (E = 10,0 GPa) tiene una sección transversal rectangular con una profundidad

de 200 mm y una anchura de 100 mm. Se apoya en una base del suelo. El muelle de con-

constante para la fundación es k0 = 0,040 N/mm3. Una carga uniformemente distribuida w =

35,0 N / mm se extiende sobre una longitud L '= 3,61 m de la viga (Fig. E10.3a). deter-

extraer la deflexión máxima, la tensión de flexión máxima, y la presión máxima

entre la viga y la cimentación. Tome el origen de coordenadas en el centro de

L segmento

SOLUCIÓN

La magnitud de B se obtiene por medio de las ecuaciones. (10,3) y (10,5). Así, encontramos

k = bko = 100 (0,040) = 4,00 N / mmz

I BH3 100 (200) 3

"12 12

- 66,67> <106 mm4

4 4 4 k __,

"B \ / 4E1," \ / 4 (10> <103) (66,67> <106) "0001107 mm

La magnitud de BL ', necesario para determinar donde el momento flector máximo

ocurre, es BL '= 0.001107 (3,61> <103) = 4.00. Desde fil 'es mayor que 1:, el-max

imum momento de flexión no se produce en el centro del segmento L '. Con los valores de

(d) Momento de flexión

(e) Shear

La figura E10.3

Fi

420


Ba y, Bb == 4,00 - Ba, los valores de la ordenada cantidades, 0, Mx, y V, se puede calcular

por medio de las ecuaciones. (10,23), (10,24), (10,25), y (10,26), y los datos de la Tabla 10,1.

Estas cantidades se representan gráficamente en las Figs. E10.3b, c, d, y e, respectivamente. Los valores son

también se muestra por los puntos en la viga fuera del segmento de carga distribuida donde Bb =

B (a + L ') y a es la distancia entre H al borde más cercano de la carga distribuida

(Fig. E10.3a). Las ecuaciones (10.24) y (10.26), para 0, y VH, respectivamente, son válidos

para los puntos de distancia de la carga distribuida, sin embargo, las ecuaciones se necesitan diferentes

para yH MH y como se indica en el problema 10.18.

La deflexión máxima se produce en el centro del segmento L ', donde [fa = Bb =

2,00. La ecuación (10.23), con DB, = -0,0563 la Tabla 10.1, da

35

ym, =-Zia - 1),,,) = Z-(1 + 0,0563) = 9,243 mm

La presión máxima entre la viga y la base se produce en el punto de

deflexión máxima, por lo que nos encontramos con que es la máxima presión pm, = ymaxko =

9,243 (0,040) = 0,370 MPa. Hay cuatro posibles ubicaciones en las que los mayores

momento de flexión pueden ocurrir. Están situados simétricamente con respecto a la

centro del segmento L '. Relativos momentos de flexión máximas ocurren en lugares

donde VH = 0. De la Tabla 10,1, se encuentra que VH = 0 (Cfl, = C5), cuando Ba = 0,858

y / ib = 3,142 y también cuando Ba y Bb = 0,777 = 4,777. Estas condiciones lo-

cado la posición relativa de momentos máximos de flexión dentro del segmento L 'y

fuera del segmento L ', respectivamente. Sin embargo, el valor de la mayor flexión

momento se encuentra fuera del segmento L 'y está dada por la ecuación indicada en

Problema 10.18. Así, encontramos (fuera del segmento L ').

- W

Mmáx = ZFF (BFLA - Bfib)

35 g

_ [0,3223 - (-0.00s6)] = 2,363 kN-m

Este valor es 3% mayor que el momento de flexión calculado por medio de

Eq. (10.25) con [fa = 0,858 y Bb = 3,142. En la práctica, esta diferencia no es

especialmente significativo.

El estrés fiexure correspondiente es

M,,,,, ¢ 2,363> <106 (100)

6,,,,, _ Ix _ 6667x106 3.544MPa

Si el momento de flexión máxima se asume que ocurre en a / (413) (ver el fin de

Sec. 10,3), / ia = 7E / 4 y Bb = 4 - 1 :/ 4 (interior del segmento L '). Sustituyendo estos

valores para los vagos y fib en la ecuación. (10.25), encontramos

w 35

MH - Z35-(B3, + B,,,,) - [0.3224 + (- 0,0029)]

= 2,281 kN-m

que es un 3,5% menor que el mayor momento M ma, calculado anteriormente. Generalmente, la

MH valor para Ba = n / 4 y Bb = BL '- n / 4 da una buena aproximación de M max.

421

10.-1 / SEMIIFINITE viga cargada AL FINAL rrs 421

VIGA semiinfinito SUJETO CARGAS T6

En su extremo

Un rayo semiinfinito descansando sobre una base infinita lineal elástico se carga en el

su extremo por una carga concentrada P y momento flector M0 positivo (Fig. 10,2). la

condiciones de contorno que determinan las dos constantes de integración C3 y C4

en la ecuación. (10,7) se

dzy

E1 --- =-M

xdzg Z O 0

d3

EHG-Z-33: 0 = - V), = P (10,28)

La sustitución de la ecuación. (10,7) en estas condiciones de contorno produce dos ecuaciones lineales

ciones en C3 y C4. Resolviendo estas ecuaciones para C3 y C4, obtenemos

2 P

c, = c4 = 3: '--- c3 (10.29)

Sustituyendo en la ecuación éstos. (10,7), nos encontramos con

y = - '~ 2 - Eiéfi [P cos fiz - BM0 (cos / 32 - pecado Bz)] (10.30)

Los valores de la pendiente, el momento de flexión y cizalladura se obtienen por sustitución de

Eq. (10.30) en las ecuaciones. (10,1). Estas ecuaciones se simplifican con las definiciones dadas

por las Ecs. (10,16). Así, tenemos

2

21,23 y 123, 2BkM ° c,,, (10.31)

2P 2 4 3M

0 = - kíl / 1,, + ii ', -91>,,,, (10.32).

P

? Mx = + MOAflz

Estos resultados son válidas, siempre que el haz está unido a la Fundación cada-

donde a lo largo de su longitud.

Ejemplo 10.4

I-viga cargada en su extremo

Una viga en I de acero (E = 200 GPa) tiene una profundidad de 102 mm, una anchura de 68 mm, momento

de inercia de Ix = 2,53> <106 mm ', y la longitud de 4 m. Está conectado a una goma

bases para que ko = 0,350 N / mmg '. Una carga concentrada P = 30,0 kN es

422


aplicado en un extremo de la viga. Determinar la deflexión máxima, máximo

estrés flexión en la viga, y la ubicación de cada uno.

SOLUCIÓN

El coeficiente k resorte es igual al producto de la anchura del haz y el elástico

constante de resorte ko para la base, es decir, k = 68 (0,350) = 23,8 N / mmz. de

Eq. (10,5), encontramos que

, 8. _ 4 k. _ 4 2 y 8 -0.001852 mm'1

4EIx 4 (200.000) (2.530.000)

desde

3 3

L = 4000 mm> 2; _ 2 (O'0O '; 852) - 2540 mm

el haz de luz puede ser considerado como un haz de largo. Los valores de desviación y y-mo

ción Mx están dadas por las Ecs. (10.31) y (10.33). La deflexión máxima se produce

el extremo donde se aplica la carga P, puesto que DB, es máxima donde B2 = 0. El maxi-

mum momento se produce en z = Tc/4B, donde B6,, es un máximo. Así, el máximo

deflexión es

2P [i 2 (30.000) (0.00l 8 52)

ymax - '1 'T - 8 "" Inn]

La ubicación de ymax es en z = 0. El momento máximo es

0.3224P 0,3224 (30000)

M = ------- _ 5,22 kN-

ma 'es 0.001852 m

y, por lo tanto, la tensión máxima es

Mme 5220000 (51)

- _ -. MP

Soy "1,, 105 3 2530000 una

La ubicación de amax es en z = Tc/4B = 424 mm.

10,5

,

VIGA semiinfinito CON CARGA CONCENTRADA

Cerca de su extremo

La solución para una viga apoyada en semiinfinito un fundamento infinito linealmente elástico

ción con una carga concentrada P cerca de su extremo se pueden obtener a partir de las soluciones

presentado en la sección. 10,2 y 10,4. Considere una viga sometida a carga P a una distancia

una desde su extremo (Fig. 10.6a). Deje que el viga se extenderá hasta el infinito a la izquierda como indi-

indicado por la línea discontinua. Para la viga tan extendido, las Ecs. (10.14) y (10.15) dan

423

10,5 / semiinfinito VIGA CON CARGA NOMINAL CONCENT cerca de su extremo

......

. ., __ ", ~ ... -. 7 V

A Vy y ta)

Q

<1 ~ Z 1

M

L4 - un

y (b)

Figura 10.6 viga semiinfinito sobre una base elástica carga cerca de su fin.

magnitudes de M,, (, = _,,.) = PC, "/ (4/3) y I / Y (z: _,) = PD", / 2 a una distancia a la

a la izquierda del origen (Fig. 10.6a). Ahora vamos a la viga (Fig. 10.6a) ser cargado a la izquierda

final (Fig. 10.6b), por las cargas Q y M con magnitudes

PD, PC,

Q = M = - ~ 21-Bi (10.35)

Desde el origen de los ejes de coordenadas es una distancia a la derecha de la cargada

final, la desviación y momento de flexión para esta carga vienen dadas por las ecuaciones. (10.31)

y (10,33), respectivamente, si la coordenada z se sustituye por (a + z). superponiendo el

dos cargas para los dos haces en la figura. 10,6 cancela el momento y cortante en la

extremo izquierdo. Por lo tanto, la superposición de los dos resultados se obtiene la solución de un semiinfi-

nite viga cargada por una carga concentrada P en una distancia desde el extremo izquierdo. uso

Ecs. (10.12), (10.31) y (10.35), se obtiene la deflexión y para z 2 - a. Así, se

para y encontrar la fórmula

P 13

y = _iE [ABZ + 2DflaDB (a + z) + CflaCfl (a + z): |

Del mismo modo, las ecuaciones. (10.14), (10.33) y (10.35) Mx dar el momento de flexión para z 2 --- una

como sigue:

P

Mx 2 ZEECBZ - 2DBaBfl (a + z) - 'CBaAB (a + z)]

W7 '

Dado que las cantidades A5,. y CB2 en las ecuaciones. (10.36) y (10.37) son simétricos en z,

para valores negativos de z (- $ 2 g 0), utilizamos las condiciones AflZ (-z) = ABZ (z) y

Cflz ("Z) = C5212) -

Ejemplo 10.5

I-viga cargada cerca de un extremo

Dejar que la carga en el ejemplo 10,4 se mueve a una ubicación 500 mm de un extremo de la

viga. Determinar la deflexión máxima, la tensión de flexión máximo en la viga,

y la ubicación de cada uno.

424


SOLUCIÓN

A partir del ejemplo 10.4, k = 23,8 N / mmz y B = - 0,001852 mm ". la deflexión

yy Mx momento de flexión están dadas por las Ecs. (10.36) y (10.37). Desde Ba =

0.001852 (500) = 0.9260, Tabla 10.1 da Cl, "= -0,0782 y el PP, == 0,2383. Por lo tanto,

y = 5;, - € - [Ax + 21>, .. 1>, ....., + <1, .. c, ... +, 1.

= 1.l672 [/ OO4766Dfi 132 + (a + z) --- 0. () 782CB (a + Z)]

M. = 1% [<1, .. - 21>, .. B, ...... - C, .. A, ....., 1

= 4'050'000 [Cfiz --- 0,4 '/ 66Bfi (a + Z) + 0.0782AB (a + Z)]

Por ensayo y error, se ha encontrado que la ymax deflexión máxima se produce

424 mm desde el extremo de la viga, en la que Z = - 76 mm [fiz = 0,1408 y 3 / (a + z) =

11 :/ 4 = 0,7854]. De la Tabla 10.1, Afiz = 0,9816, DWH) = 0.3224, y la CNN) = 0.

Por lo tanto,

ymax = 1.l672 [+ 0,9816 0,4766 (0,3224) - ~ 0.0782 (0)]

= 1,3251 mm

Por ensayo y error, se encontró que el momento de flexión máximo Mm "oc-

curs a 500 mm desde el extremo de la viga [B2 = 0 y B (a + z) = 0,9260]. de

Tabla. 10,1, CB, = 1,0000, AB (a +,.) = 0,5548, y BM ") = 0,3165. Por lo tanto,

Mm, 4.050.000 = [1.0000 - ~ 0.4-766 (0,3165) + 0.07s2 (0.554s)]

3.615.000 = N-mm

y, por lo tanto,

Mme 3615000 (s1)

___. P

"Max 1,, 2530000 729 M a

10,6

___ .... i .. __ - 4-

VIGAS DE CORTOS

Las soluciones que se han presentado en las secciones anteriores son una buena aproxi-

imations para una viga soportada por una base elástica y con una longitud mayor

del 31 :/ (26). Sin embargo, para haces cuyas longitudes son menos de 31 ¢ / (25), llamado así

vigas cortas, soluciones especiales se requieren. Se remite al lector al libro de

M. Hetényi (1946) para una solución aplicable para vigas cortas. Para el caso especial

de una carga concentrada situado en el centro de un haz de corto, el máximo de-

ymax flexión y flexión máximo momento M max ocurrir debajo de la carga; su

425

Flexión diagramas de momento y las curvas de deflexión de una viga elástica en corto

apoya sometido a carga concentrada situado como se muestra en cada curva.

Los extremos de las vigas son desenfrenada (libre). (a) Span = 2 / / 5 '. (b) Span = 3 / B.

(c) Span = 4/5. (d) Span = 5 / B.

426


10,7

magnitudes vienen dadas por las siguientes ecuaciones:

PB + cos cosh BL BL + 2

- 10. 8

ym "2k senh 31. + Sen 51. (3)

P cosh BL - cos BL

M - 10.

ma 'senh 4B BL BL + sen (39)

en la que L es la longitud de la viga. Las magnitudes de la deflexión y flexión

Mx momento para otras localizaciones de la carga concentrada están más allá del alcance de

el libro. Sin embargo, las soluciones se han calculado para las ubicaciones de carga para varias

tres vigas cortas y una larga viga. Los resultados se presentan en la figura. 10,7.

"Tablas de diseño para vigas finitas con extremos libres sobre una base Winkler tener

sido propuesta por Iyengar y Ramu (1979). Los casos de extremos simplemente apoyados y

extremos sujetados pueden ser tratados mediante técnicas de superposición apropiadas. Una solución

para vigas finitas con limitaciones extremas elásticas en la base Winkler se le ha dado

por Ting (1982). Esta solución se puede utilizar para simular una viga sobre fundación elástica

ciones con condiciones de contorno diferentes, incluida la solución inicial de un fin de

la viga. El efecto de otros miembros estructurales conectado a una viga en un Winkler

fundación también se puede evaluar mediante el uso de valores propios de las restricciones extremo elástico.

La solución está en una forma que puede ser codificada fácilmente en lenguaje de ordenador.

De pared delgada CIRCULAR CILINDROS

El concepto de una viga en una base elástica puede ser utilizado para aproximar

la respuesta de pared delgada cilindros circulares sometido a cargas que son de rotación

aliado simétrica (Fig. 10,8). Utilizamos cilíndrico coordenadas r, 0, z para radial, cir-

direcciones cumferential y axial. Las dimensiones de una larga pared delgada cilindro puede

ser representado por el radio medio y un espesor de pared h. Deje una larga pared delgada

cilindro de ser sometido a un anillo de carga w que tiene unidades de N / mm, cuando la longitud

dimensión se mide en la dirección circunferencial. Se demuestra que la respuesta

w (N / mm)

Figura 10,8 anillo de carga en un cilindro de pared delgada.

427

10,7 / pared delgada CIRCULAR CILINDROS 427

del cilindro es similar a la de una viga correspondiente en una base elástica

sometido a una carga concentrada en su centro (Art. 10,2).

En el desarrollo de una analogía entre un cilindro circular de pared delgada y una viga en

una base elástica, especificamos la viga análoga y base elástica como

sigue: Cortar una tira longitudinal del cilindro de anchura aA (~ 7 (Fig. l0.9b) Para.

conveniencia que el ancho a/.80 ser la unidad. Consideramos que esta tira de longitud L y

un ancho A0 = 1 como una viga. Consideramos que el resto del cilindro para actuar como el

base elástica. La constante de resorte k de la base elástica se obtiene

imaginando el cilindro abierto para ser sometido a una presión P2 externo. Esta

p2 presión produce un estado de tensión uniaxial para que el estrés sólo distinto de cero

componente es 06,, = apz / h. Por lo tanto, por la ley de Hooke, la tensión circunferencial es

699 = 090 / E. A su vez, por las relaciones de tensión-desplazamiento, se puede expresar en términos E66

de la u el desplazamiento radial de la siguiente manera [ver ecuaciones. (2,85)]:

'Wee @ 2172

2 Z ----- I ----- 0.4

u aem, E Eh (10 O)

Puesto que u es constante a lo largo de la longitud del cilindro, la magnitud de k está dada

por la ec. (10.27) donde u reemplaza yy w = p2 (AA0) = p2 ', ya AA9 = - 1. Por lo tanto,

tenemos

k = 3 = 5? (10.41)

U G

Tenga en cuenta que la tira estrecha (Fig. 10.9b), que representa el haz sobre un elástico

fundación, tiene un diferente estado de estrés (y la tensión) que otros haces considerados

en este capítulo. La viga en la figura. 10,1 se supone que es libre para deformarse en la x

dirección, desarrollando así la curvatura anticlástica (Boresi y Chong, 1987). Cada uno de

los dos lados de la viga en la figura. 10.9b encuentra en un plano radial del cilindro; estos

lados están limitados a estar en los mismos planos después de la deformación muy similar a un plano

placa (véase el capítulo 13). Por lo tanto, dado que el rayo no puede deformar anticlastically, Eh

en la ecuación. (10,5) debe ser reemplazado por D = Eh? '/ [12 (1 --- \ / 2)] [véase la ecuación. (F) del Ejemplo 3,1].

_, J '(1) 2/an

(4)

Figura 10.9 delgada pared del cilindro.

428


Sustitución de E1, por D y el uso de la ec. (10.41), expresamos B en la forma

B = 4/5- (-15,3, -,,, '3-A (10,42)

Con el valor de B dada por la ecuación. (10,42), la solución para cualquiera de las cargas con-

considerado en la sección. 10.2 a 10.5 es aplicable para pared delgada cilindros circulares sub-

proyectada para cargas lineales circunferenciales. También pueden ser utilizados para obtener estimaciones de

la respuesta de un cilindro de pared delgada sometida a cargas con simetría de rotación que

variar a lo largo del eje del cilindro.

Nota: La fundación análoga elástico para la toma de una tira delgada pared

cilindro circular es muy rígida en comparación con la base elástica usual. Por lo tanto, la

analogía es aplicable incluso para un cilindro con una longitud menor que el radio a. Si

suponer que v = 0,30, la longitud mínima L para los que es aplicable la analogía es

31: h h 1

= --- =. - =. - = - .4

L ZFI 367A \ £ l (L 082afora 20) (10 3)

En general para los cilindros de pared delgada, h / a es menor que 1/20, y la longitud L de la-cil

inder influenciada por el anillo de carga concentrada es de menos de 0.82a. A menudo, el haz

analogía se puede emplear para obtener estimaciones de la respuesta de no cilíndrica cir-

cardiovasculares segmentos de comandos (por ejemplo, conchas cónicas) si el cambio en el radio de una determinada

longitud L es pequeño comparado con el radio medio de una en la longitud L..

Ejemplo 10,6

Destaca, en Tanques de Almacenamiento

Un extremo cerrado del cilindro de pared delgada se utiliza como tanque de almacenamiento de aceite que se apoya en uno de los

sus extremos (véase la fig. E10.6). El depósito tiene un diámetro de 30 m, la profundidad de 10 m, y la pared

espesor de 20 mm. El tanque está hecho de acero para la que E = 200 GPa y v =

0,29. Determinar la tensión de cizalladura máxima en el tanque si se llena con aceite que tiene

una densidad de masa de 900 kg/m3 en las distintas condiciones siguientes:

(A) Supongamos que la parte inferior del tanque no influye en la circunferencial

estrés en las paredes cilíndricas.

(B) Supongamos que el desplazamiento radial de la unión entre el cilindro y

parte inferior permanece en cero durante la carga y que la parte inferior tiene infinita rotación

rigidez institucional.

(C) Supongamos que el desplazamiento radial de la unión entre el cilindro y

parte inferior permanece en cero y que la placa de fondo es sufliciently flexible que el

momento en la unión puede ser considerada como cero.

SOLUCIÓN

(A) Elegir cilíndrica coordenadas r, 0, y z. La presión en el cilindro en-

aumenta linealmente con la profundidad. Si la parte inferior no ejerce momentos o radial.

429

10,7 / pared delgada CIRCULAR CILINDROS

Figura El0.6 delgada pared del tanque del cilindro de almacenamiento de petróleo.

fuerzas sobre las paredes del cilindro, la pared AB en la figura. E10.6a deforma en la recta

línea A * B *. Las tensiones en las paredes del cilindro en B * son 0 ", 096, y 02,. la

0 radiales de tensión ", y el estrés longitudinal una en la parte inferior son pequeñas y están

descuidado en comparación con la tensión circunferencial 066. Mediante la solución para delgada

cilindros de paredes, nos encontramos con

3 -9 3

aw Z pha 2 (10> <10) (9.s07) (9g?)> <10) (15> <10) 2 6620 MP3

El esfuerzo cortante máximo viene dado por la ec. (2.39)

O-0-_ max min G96

--- 3 0,1 MP

tmax 2 2 3 O una

En la parte (b) de la parte inferior del tanque se supone que tiene rigidez infinita. como

indica en la figura. El0.6b, la parte inferior evita tanto un desplazamiento radial y

un cambio en la pendiente de la pared del cilindro en el cilindro B. Aunque no es uni-

manera uniforme cargado, consideramos que es un cilindro cargado uniformemente con una larga

anillo de carga w aplicado en su centro. El centro del cilindro se toma como la unión

entre el cilindro y el fondo, y se corta en esta línea de carga. Por lo tanto, la

430


parte inferior del tanque produce una carga de anillo w / 2 en la mitad superior de la larga

momento de flexión y cilindro para evitar la rotación de la sección de corte. El as-

magnitudes asociadas de k y fi son dadas por las Ecs. (10,41) y (10,42). Por lo tanto,

nos encontramos.

Eh (200> <103) (20)

k = -------. 2

a2 (15 X 103), 00178 N / mm

En 4 a 3 - 0 2 _

__ 3 (1v2) 4 [(0.29)] _ 1

5 "\ / hzaz 'K / (20) 2 (15> <103) ~' ~ 0'O0235mm

Dado que el cilindro está sometido a presión interna ejercida por el aceite, no es uni-

manera uniforme cargado como se supone en la solución propuesta. Para la analogía a ser

válida, la mínima carga uniforme longitud [ec. (10.43)] tiene que ser

L 31c 31:

Ll Z Z 2 2 1

2 4/2 4 (0,00235) O03 mm

que corresponde a la distancia L 'en las Figs. E10.5a y b. Así, sólo el 10%

de la altura del cilindro necesita ser cargado uniformemente, la variación de presión

seguro de que en esta altura se considera lo suficientemente pequeño como para ser descuidada. La radial

u desplazamiento de las paredes del cilindro alejado de efectos finales se da

por la ec. (10.40)

__ 066A 66,20 (15> <103) __

u - E - 200x103 4.965mm _

Como el desplazamiento radial de la placa de fondo del tanque se supone

a ser cero, el anillo de carga w provoca un desplazamiento radial hacia dentro de 4,965 mm.

La magnitud de w se obtiene sustituyendo el valor conocido de u

(igual a y) en la ecuación. (10,12) para Bz = 0. Por lo tanto, por

WB W (0.0023s)

Z Z Z 4_

"2K 2 (0.01" / 8) 965 mm

encontramos

w = 75,21 N / mm

El momento de flexión máximo viene dado por la ecuación. (10,14) para B2 = 0. Por lo tanto,

obtenemos

W 75,21

M _ - _ - 8001 N-

W 45 4 (0,00235) mm

y

M MAXC M max (h / 2) 3901 (6)

O'ZZ (max) '-' - '-' --- f_ "==-Eiéii" = '- MP3

El esfuerzo radial 0,, es pequeño y descuidado. Como el desplazamiento radial

de la pared cilíndrica en la parte inferior es la misma que para el cilindro de carga,

el valor medio de 066 a través del espesor de la pared es igual a cero. Sin embargo, debido a

431

10,7 / pared delgada CIRCULAR CILINDROS 431

flexión, la proporción de 0'66 a oz, es proporcional a la relación de Poisson [véase la ecuación. (a)

del Ejemplo 3,1]. Por lo tanto,

<> -,,,, (,, m, = vammax) = 0,29 (120,0) = 34,8 MPa

El esfuerzo cortante máximo en la unión entre la parte inferior del tanque

y las paredes cilíndricas del tanque está

0 '- 0 a 120,0

_ ____ Mm máx. P

rmax 2 2 60 0 M a

que es 81% mayor que para la parte (a).

El desplazamiento u radial para la unión entre la parte inferior del tanque

y las paredes cilíndricas del tanque se ha descuidado. Sin embargo, su magnitud

se puede calcular mediante la siguiente relación:

(1 -) 75,21071 15 X 103

"Bottom _ W 2Ehv un 2 (2 §) 0 X) (103) (20)) 0,100 H1111

Este valor es sólo 2% del desplazamiento de la pared del cilindro sin restricciones.

Si el momento flector en la unión de las paredes cilíndricas y tanque bot-

tom es cero, el cilindro de pared delgada puede ser tratado como un haz en un elástico

fundación cargado en un extremo. El fondo del tanque se asume para prevenir

un desplazamiento radial, como se indica en la figura. E10.6c. Sea w el anillo de carga pro-

ducida por la parte inferior del tanque. El desplazamiento radial u viene dada por

Eq. (10,31) para FLZ = 0.

2WB 2w (0.00235)

u-k 0.0178-4.965mm

w = 18,80 N / mm

El momento máximo se produce a una distancia rc / (4/3) = 334 mm desde la parte infe-

tom y tiene una magnitud dada por la ecuación. (10.33)

W 1s.s0 (0.3224)

=-_ - __ 257 N-

Mm "/ s B" 0,00235 9 mm

3 Mmaxc 2579 (6)

O'zZ (max) === MP3

Esta tensión de flexión provoca una tensión circunferencial am, que es parte de la

tensión circunferencial resultante.

0-691 Z V0-zz (max) = 2 __

Otra parte de la tensión circunferencial am proviene del hecho de que el

esfuerzo de flexión máxima se produce en un lugar (Bz = 1c / 4), donde el desplazamiento

ción no es máxima. El desplazamiento radial dada por la ecuación. (10.31) es

2

u = - 'I-i @ 1>,,, j. = 0,32240, "

432


Desde awmax) == 66,20 MPa es la tensión circunferencial uniforme en la

delgada pared del cilindro, cuando u = 0, la tensión media circunferencial para u =

0.3224um, X es

0992 = (1-0,3224) A69 (m, x) = 0,6776 (66,20) == 44,86 MPa

La tensión circunferencial en el punto donde Ammin) se produce es

U00 Z 0-Q91 + U962 1 "'+ 7 -

y

Tm ", 0 -,,,,, Z am," __ 33,64 - 38,69 g) __ 3617 MP3

que es 9% mayor que para la parte (a).

Si el máximo esfuerzo cortante criterio de fallo se utiliza, el máximo

tensión de cizallamiento indica la gravedad de las condiciones de carga. Si la parte inferior

del tanque es rígida (una condición limitante), la tensión de cizalladura máxima es de 81%

mayor que la de sin restricciones paredes cilíndricas. Si la parte inferior no hace

ofrecer una resistencia a la flexión (una segunda condición limitante), la tensión de cizallamiento

es 9% mayor que la de sin restricciones paredes cilíndricas. La actual condición

ción de la carga para la mayoría de los tanques de fondo plano sería entre los dos limitar

condiciones pero más cerca de la condición de un fondo rígido. Algunos experimental

mediciones de las tensiones, en lo que se informa, la mayor del mundo soldada

acero tanque de almacenamiento de agua, se han dado por James y Raba (1991).

PROBLEMAS

Sección 10.2

10,1

10,2

10,3

10,4.

El balasto y firme bajo los rieles del ferrocarril puede variar considerablemente de

un lugar a otro. Si la magnitud de k es 50% menor que el valor en

Ejemplo 10,1, determinar el porcentaje de aumento en la máxima deflexión

ción y momento de flexión máximo para el carril de la carga de la rueda misma.

Una viga en I de acero (E = 200 GPa) tiene una profundidad de 127 mm, una anchura de 76 mm,

momento de inercia de Ix = 5,12> <106 mm ', y la longitud de 4 m. Se apoya en

una base de goma dura. El valor de la constante de resorte para el duro

caucho es ko == 0,270 N / mm 3. Si la viga está sometida a un concentrado

carga, P = 60,0 kN, en el centro de la viga, determinar el máximo

deflexión y la tensión de flexión máxima en el centro de la viga.

Ans. ym, = 2,187 mm, 0 -,,,,, = 124,4 MPa

Resolver el problema 10,2 si la viga de acero se sustituye por una aleación de aluminio

haz para que E = 72,0 GPa.

Un haz de longitud infinita descansa sobre una base elástica y se carga por

dos iguales fuerzas P espaciados a una distancia L. El rayo ha doblado rigidez

La IE y la fundación tiene una constante de resorte k.

433

PROBLEMAS 433

(A) Encuentre la distancia L de tal manera que la deflexión y bajo una de las fuerzas

es la misma que la mitad de la desviación entre las dos fuerzas.

(B) Para los valores unitarios de P, EI, y k, y con la mitad de camino entre el origen

las dos fuerzas, escribir una expresión para la deflexión y como una función

de la posición z. Evalúe su expresión para la desviación en z = j-_L / 2.

(C) Representar gráficamente la expresión derivada en (b) sobre el dominio -4,0 _ € FLZ 3 4,0.

Un tren de carril de acero (E = - 200 GPa) tiene momento de inercia

I = 36,9> <106 mm 'y descansa sobre una sub-base con k = 14,0 N / mmz. Encontrar

el máximo espacio entre ruedas del tren de modo que nunca levanta el riel

de la sub-base entre dos conjuntos de ruedas.

Una máquina pesada tiene una masa de 60.000 kg. Su centro de masas es equidistante

de cada uno de cuatro suelo apoyos situados en las cuatro esquinas de un cuadrado

1,5 m de lado. Antes de ser trasladado a su ubicación permanente, temporal

apoyo deben ser diseñados para mantener la máquina en un nivel horizontal sur-

enfrentan en el suelo. La capa superficial del suelo es limo por encima de un espesor

capa de arcilla inorgánica. Por la teoría de la mecánica de suelos, se estima que

la constante de resorte del suelo es ko = 0,029 N/mm3. La máquina se coloca

centralmente en dos vigas de madera largas (E = 12,4 GPa), 200 mm de ancho y

300 mm de profundidad. Las vigas son paralelas entre sí, con los centros de 1,50 m

aparte. Determinar la deflexión máxima de las vigas, flexión máximo

estrés en las vigas, y L longitud mínima requerida para las vigas.

Ans. ymax = 13,27 mm, o-ma, = 14,84 MPa, L> 8,10 m

Una capacidad de 60 kN elevador puede ser movido a lo largo de una viga en I de acero (E =

200 GPa). La viga en I tiene una profundidad de 152 mm y el momento de inercia,

Ix - = 11,0> <106 mm. El haz se cuelga de una serie de barras de acero verticales

(E = 200 GPa) de longitud de 2,50 m, de diámetro de 18,0 mm, y 500 mm espaciados

de centro a centro.

(A) Para la capacidad de carga en el centro de la viga, que se encuentra debajo de uno de

las barras, determinar la tensión máxima en la viga y las varillas.

(B) ¿l satisfacer la ecuación. (10.19)?

Después de la instalación de la viga en I de 10,7 problema, se hace necesario

bajar la viga en I 800 mm. Esto se hizo mediante la adición de 18,0 mm de diámetro

barras de aleación de aluminio (E = 72 GPa) de longitud 800 mm a las barras de acero.

Para una carga de 60-kN en el centro de la viga situada debajo de uno de los com-

bares compuesto, determinar la tensión máxima en la viga y las varillas.

AVIS. 0-max (rayo) Z O-n1ax (-od!) 7:

Una viga de madera larga (E = 12,4 GPa) de profundidad y 200 mm de anchura 60 mm

con el soporte de 100 mm cubos de goma colocados equidistantes a lo largo de la viga

en l = 600 mm. Los bordes del cubo son paralelos y perpendiculares al eje

de la viga. El caucho tiene una constante de resorte de k0 = 0,330 N/mm3. La

P se aplica una carga al centro de la viga situada encima de una de la goma

cubos.

434


10.10.

10.11.

(a) Si la madera tiene una tensión de fluencia de Y - = 40,0 MPa, determinar la mag-

nitud de P sobre la base de un factor de seguridad SF - = 2,50. ¿Cuál es la maxi-

presión máxima desarrollada entre el caucho y viga '?

(b) ¿l satisfacer la ecuación. (10.19)?

Una larga barra de 50 mm de diámetro de acero (E = 200 GPa y Y = 300 MPa) es sup-

portado por un número de pares de 2-mm de diámetro alambres de acero de alta resistencia

(E == 200 GPa y Y = 1200 MPa). Una vista de extremo de la viga y cables es

se muestra en la figura. P10.10. Los pares de hilos están igualmente espaciados a Z == 900 mm.

Una carga P se aplica al centro del haz de largo en el mismo lugar

como un par de cables.

4-0

0 / »

6 6

P

Figura P10.10

(a) Determinar la magnitud de P si tanto la viga y los cables son de-

firmado con factor de seguridad SF = 2,00.

(b) ¿l satisfacer la ecuación. (10.19)?

Ans. (a) P = 5,428 kN, (b) Sí

A largo 40-mm de diámetro de acero viga (E = 200 GPa) es apoyado por un

número de vigas curvas semicirculares. (Ver vista de extremo en la figura. P10.ll.) La

/

X

P

Figura Pl0.11

435

10.12.

10.13.

10,14.

10,15

Sección 10.3

10.16.

PROBLEMAS 435

vigas curvadas están espaciados a lo largo de la viga con l = distancia entre 550 mm. cada

viga curvada está hecho de acero, tiene una sección transversal circular de diámetro

30 mm, y un radio de curvatura R = 300 mm. Una carga P = 3,00 kN es ap-

navegaban al centro de la viga largo situado en una de las vigas curvadas.

Determinar la tensión máxima en la viga larga y vigas curvadas.

Las vigas de la fig. P10.12 son de acero I-vigas (203 mm de profundidad, Ix =

24,0> <106 mm ', E = 200 GPa). Si una carga P = 90,0 kN se aplica a

el centro del haz de largo situada sobre una de las vigas transversales, determinar

minar el stess flexión máximo en la viga larga y vigas transversales.

A718. O '!-Naxuong) Z 0-max (Cruz) Z

I = 600 mm

> "**" ">

H H I1 I1 Fl 1'1

E

I. '57 I 3 '.1}} q yo - = 01;

m

|

Y-Lu u u u nosotros; \

Figura P10.12

Dejar que las vigas curvadas en Problema 10,11 estar hecho de una aleación de aluminio

(E = 72,0 GPa). Determinar la tensión máxima en la viga larga y

vigas curvadas. -

Dejar que el viga largo en el problema 10,12 estar hecho de una aleación de aluminio (E =

72,0 GPa). Determinar el esfuerzo de flexión máximo en la viga larga y

vigas transversales.

Un s. amaxmoss) == 79,4 MPa, amamong) = 102,6 MPa

Para el haz sobre una base linealmente elástico mostrado en la figura. 10.1, sustituir

la carga P concentrada en una solución concentrada (en sentido antihorario) Momento M 0

en el punto 0. La viga tiene rigidez a la flexión de la IE y la fundación tiene un

constante de resorte k (fuerza / área). Deducir expresiones analíticas para el de-

reflejó forma de Y (z), la cizalladura rotación 0 (2), en la residencia momento M (z), e internos

V (z). Dibuje cada una de las cuatro expresiones, como se hace en la figura. 10,1.

Deje que la carga de 60,0 kN en el problema 10.2 se distribuye uniformemente sobre una

longitud de 1,00 m. Determinar la deflexión máxima y máximo

estrés flexión en la viga.

436


10,17

10.18.

Sección 10.4

10.19.

10.20.

10,21

10.22.

10.23.

La viga de madera largo en el problema 10,9 se somete a una carga distribuida

w sobre longitud L '== 3,00 m. Determinar la magnitud de w basa en un factor

tor de seguridad SF = 2,00.

Ans. W = 123,2 kN / m

Demostrar que, para H punto situado fuera del segmento L '(Fig. E10.3), el

siguientes ecuaciones son válidas: yH = w (D, A - Dpb) / 2k y MH =

"" W (Bpa "'Bfib) / (4fi2)'

Vamos a cargar P se trasladó a un extremo de la viga en el problema 10,2. determinar

la deflexión máxima y la tensión de flexión máximo en la viga y dar

la ubicación de la tensión de flexión máxima.

Dejar que el polipasto en el problema 10,7 ser movido a un extremo de la viga. cada varilla

apoyar la viga en I es un resorte que ejerce una influencia sobre la longitud l. Si el

extremo de la viga es l / 2 = 250 mm de la varilla de tensión más cercano, determinar

la tensión máxima en las barras y vigas.

O-MAX (r0d) 7: S-max (viga) 1 '

A largo viga rectangular latón sección (E == 82,7 GPa) tiene una profundidad de

20 mm, y una anchura de l5 mm y descansa sobre una base de goma dura

(Fig. P10.21). El valor de la constante de resorte para el caucho duro fundación

ción es 0,200 N mm3 /. Si la viga está sometida a una carga concentrada P =

700 N en la ubicación que se muestra, determinar la deflexión máxima de la

viga y el estrés de flexión máximo en la viga.

P

-aw A »b = 100 mm

Figura P10.2l

Resuelva el problema 10.21 para B = - = 200 mm.

Ans. amax == 140 MPa, ymax = 0,833 mm en z = 159 mm

Un acero en forma de I (profundidad = 102 mm, Ix = 2.53> <106 mm ', E - "200 GPa) es

de largo y con el apoyo de muchos resortes (K = 100 N / mm) espaciados a distancia

I - centro = 500 mm hacia el centro a lo largo de la viga. Una carga P = 3,50 kN es ap-

navegaban en el extremo izquierdo de la viga a una distancia de 2,00 m desde el primero

primavera. Determinar el esfuerzo de flexión máximo en la viga y máximo

tensión de carga y la carga máxima de compresión en los muelles. Sugerencia: M0 =

-P (2000 - l / 2).

437

10.24.

Sección 10.5

10,25.

10,26.

10,27.

10,28

10,29

Sección 10.6

10,30

PROBLEMAS 437

Resolver el problema 10,23 para el caso en el que se sustituye la viga de acero por una

viga de aleación de aluminio para el que E = 72,0 GPa.

Ans. am, = 141,1 MPa, compresión = 4,23 kN (lst primavera),

tensión = 720 N (6 º primavera)

Deje que la carga P = 60,0 kN en el problema 10.2 se trasladó a uno de los barrios

puntos en la viga. Determinar la deflexión máxima y máximo

estrés flexión en la viga y ubicaciones para cada uno.

Deje que la carga P = 60,0 kN en el problema 10.2 se trasladó a un lugar 500 mm

desde un extremo de la viga. Determinar la deflexión máxima y-max

estrés de flexión imum en el haz y ubicaciones para cada uno.

Ans. ymax = 3,036 mm en el extremo libre, soy "= 94,5 MPa bajo carga

Deje que el polipasto en el problema 10.7 con una capacidad de carga de 60 kN se encuentra

en virtud de la segunda varilla de un extremo. Dado que cada muelle se supone que ejercen

una influencia sobre una longitud L = 500 mm, la carga actúa a una distancia a = 750 mm

desde el extremo de la viga. Determine la deflexión máxima de la viga,

estrés de flexión máximo en la viga, la tensión máxima en las barras, y-loca

ciones para cada uno.

Deje que el polipasto en el problema 10.7 con una capacidad de carga de 60 kN se encuentra

en virtud de la primera varilla de un extremo. Dado que cada muelle se supone que ejercen una

influir en una longitud L = 500 mm, los actos de carga a distancia a = 250 mm

desde el extremo de la viga. Determine la deflexión máxima de la viga,

estrés de flexión máximo en la viga, la tensión máxima en las barras, y-loca

ciones para cada uno.

Ans. ymax = 2,80 mm en el extremo libre; amaxweam) == 39,2 MPa a 880 mm del

extremo libre; amamod) = 172.7 MPa bajo carga

Un coche de cuatro ruedas se desplaza sobre rieles de acero (E = 200 GPa). Los rieles tienen una profundidad

de 120 mm. La distancia desde la parte superior de un carril para su centroide es 69 mm,

y "su momento de inercia es 17,07> <106 mm. El raíl descansa sobre un elástico

fundación con constante de resorte k = 12,0 N / mmz. Las dos ruedas de cada

lado del vehículo están separados 2,50 m centro a centro. Si cada carga de la rueda es

80,0 kN, determine la deflexión máxima y tensión máxima de flexión

cuando una rueda de automóvil se encuentra en un extremo del carril y la rueda de otro coche

en el mismo raíl es 2,50 m del extremo.

Una viga en I de acero (E = 200 GPa) tiene una longitud de L = 3,00 m, la profundidad de 305 mm,

Ancho de brida de 129 mm, y el momento de inercia Ix == 95,3> <106 mm4. La

haz descansa sobre una base elástica de goma dura cuya constante de resorte es

438


10,31

Sección 10.7

10,32

10,33.

10,34

10,35.

k0 = 0,300 N/mm3. Si la viga está sometida a una carga concentrada P =

270 kN en su centro, determinar la deflexión máxima y máximo

fiexure estrés en el haz.

La magnitud de BL para la viga en el problema es 10,30 2,532. Determinar

la deflexión máxima y la tensión de flexión máximo en la viga si la

carga se mueve a un extremo de la viga. Mediante la interpolación lineal con la

curvas de la fig. 10,7.

Ans. yam = 12,37 mm, am, = 147,2 MPa

Un acero (E - = 200 GPa y v = 0,29) delgada pared del cilindro tiene un diámetro interior-

metro de 40 mm y un espesor de pared de 1 mm. El cilindro puede estar con-

considerado fijado donde entra en el extremo rígido de un recipiente a presión. La

tensión residual de instalación puede considerarse insignificante. Determinar

las tensiones de flexión resultantes de una presión interna de 3 MPa.

Un cilindro de pared delgada está hecho de una aleación de aluminio (E = 72,0 MPa y

v = 0,33), tiene un diámetro exterior de 1 m, y un espesor de pared de 5 mm.

Un anillo partido de sección cuadrada de 20 mm en un lado se aprieta en el

cilindro hasta que la tensión en el anillo partido es de 100 MPa. Supongamos que la escisión

anillo aplica dos cargas de línea separados por la dimensión de 20-mm del anillo.

Determinar los esfuerzos principales en el radio interior del cilindro por debajo

la línea central del anillo partido.

Ans. 0,2 - = 103,0 MPa, 009 = -62.1 MPa

Deje que el anillo partido en el problema 10.33 se redondeará en la superficie interior así como

para aplicar una carga de línea en el centro del anillo. Determine el máximo prin-

cipal destaca en el radio interior del cilindro.

Un cilindro de acero de extremo cerrado (E = 200 GPa y v = 0,29) tiene una ra-dentro

dius a = - 2,00 m, espesor de pared h = 10 mm, y extremos hemisféricos. Desde

el estado de estrés es dilferent por cilindro y del hemisferio, sus radial dis-

colocaciones será diferente. Demostrar que la longitud L / 2 [v. (10.43)]

es pequeño en comparación con una que lo que la longitud corta del hemisferio pueden

considerarse otro cilindro. Determinar la fuerza de corte w en términos de

j presión interna en la unión del cilindro y el hemisferio (como-

SUMED ser otro cilindro). Tenga en cuenta que el momento de flexión en la

unión es cero debido a la simetría. Determinar el máximo de flexión

estrés o ",, (b, nding) en el cilindro de estrés, axial 02, y circunferencial

estrés 099 en el exterior de la botella en el lugar donde la maxi-

esfuerzo de flexión se produce mum, y la relación de la tensión de cizalladura máxima en

esa ubicación a la tensión de cizalladura máxima en el cilindro a una distancia

lejos de la unión.

AVIS. W 2 0-zZ (flexión) 0-Z zz Z

099 = l74.6p1; ratio = 0,874

439

REFERENCES 439

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