Granicne Vrednosti i Neprekidnost Funkcije

  • View
    226

  • Download
    6

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Granicne Vrednosti i Neprekidnost Funkcije Matematika

Text of Granicne Vrednosti i Neprekidnost Funkcije

..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcije.......ININJERSKA MATEMATIKA IGranina vrednost i neprekidnost funkcijedr piro Gopevisgopcevic@yahoo.com.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcije...1Granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija...2Neprekidnost funkcijeDenicija neprekidnosti funkcijeOsnovna tvrenja o neprekidnosti funkcijeOsobine neprekidnih funkcija na zatvorenom intervalu...3Odreivanje granine vrednosti funkcijeRaunanje sa beskonanouNeke poznate granine vrednosti.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Sadraj...1Granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija...2Neprekidnost funkcijeDenicija neprekidnosti funkcijeOsnovna tvrenja o neprekidnosti funkcijeOsobine neprekidnih funkcija na zatvorenom intervalu...3Odreivanje granine vrednosti funkcijeRaunanje sa beskonanouNeke poznate granine vrednosti.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Okolina realnog brojaOkolina realnog broja

je svaki (proizvoljno mali) otvoreniinterval koji sadri broj 0Za broj se kae da se nalazi u blizini broja 0 ako pripadaintervalu (0 , 0 + ) za proizvoljno malo (pozitivan broj)Interval (0 , 0 + ) se naziva i okolina broja

.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Okolina realnog brojaAko (0 , 0 + ) , tj ako je 0 zadovoljava relaciju

0 < < 0 + < 0 < +| 0| < onda se kae da taka na brojnoj pravoj, korespodentna broju ,nalazi u okolini take 0 odnosno da se broj nalazi uokolini broja

..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Pribliavanje taki 0.Primer........Intuitivno, pojam "pribliavanja" nam je jasan: na primer, student sesvakoga radnog dana pribliava fakultetu..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Pribliavanje taki 0.Primer........Broju 0 = 1 na brojnoj pravoj moemo se pribliavati tako daredom "stanemo" na brojeve: 0, 9; 0, 99; 0, 9999; 0, 99999; itd.(ovo je slino "hodanju" prema jedinici)Broju 0 = 1 na brojnoj pravoj moemo se pribliavati"skakuui" oko take 1 "stajui" na brojeve: 0, 9; 1, 09; 0, 99;1, 009; 0, 999; 1, 0009, itd..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Pribliavanje taki 0U razmatranju vrednosti funkcije u taki 0, mi se taki 0 moemopribliavati"Hodajui" po brojnoj pravoj prema taki 0,"Skakuui" oko take 0 tako da smo joj sve blie..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Pribliavanje taki 0.Primer........Poto funkcija() = 2 1 1 = + 1, 1nije denisana u taki 0 = 1, ta se deava sa vrednostima funkcijekada se pribliavamo taki 0 = 1.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Pribliavanje taki 0Moe se uoiti da emo se u svakome od ovih pribliavanja pribliiti

0 proizvoljno blizu , ali nikada neemo doi tano u 0..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Bliske takeBliske su one take koje su "blizu" na brojnoj pravojProblemi (naizgled) poinju kada se "bliskost" razmatra ukontekstu razmatranja: funkcije, vrednosti funkcije i grafafunkcije.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Bliske take.Primer........ je neka realna funkcija realne promenjive i (0) = 0. Oko take

0 odredili smo neku okolinu (0 , 0 + ). Odgovorite:Koja se okolina od 0 preslikava u interval (0 , 0 + )?Moraju li take ije su vrednosti funkcije bliske 0 biti bliske 0?.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..MotivOpis: oblasti denisanosti funkcije, monotonosti, ogranienosti,periodinosti, nula taaka, moe da bude nedovoljan za opisgrafa.Graninu vrednost funkcije koristiemo na dva naina:da bismo razmatranjem formule kojom je funkcija zadata doznalineke od informacija znaajnih za izgled grafa te funkcijeda bismo ponaanje neke funkcije lake opisali rijeima.Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..MotivDa bismo intuitivno "osetili" pojam limesa, razmotrimo ponaanjesledeih funkcijaZa opis graka moe se koristiti izraz: "kada se pribliava takitoj-i-toj, vrednosti funkcije se pribliavaju vrednosti toj-i-toj".Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..MotivDa bismo intuitivno "osetili" pojam limesa, razmotrimo ponaanjesledeih funkcijaZa opis graka moe se koristiti izraz: "kada se pribliava takitoj-i-toj, vrednosti funkcije neogranieno rastu" itd..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..MotivDa bismo intuitivno "osetili" pojam limesa, razmotrimo ponaanjesledeih funkcijaZa opis graka moe se koristiti izraz: "vrednosti funkcije na levojstrani koordinatnog sistema tee prema..." itd..Gopevi Ininjerska matematika I..........................................................................................................SadrajGranine vrednosti funkcijeNeprekidnost funkcijeOdreivanje granine vrednosti funkcijeUvodDenicije granine vrednosti funkcijaLimes u konanostiLimes u beskonanostiJednostrani limesiNeka svojstva limesa funkcija..Vrednost funkcije za = 0Uoimo funkciju () () .Neka je 0 vrednost argumenta funkcije .Ako je za 0 funkcija denisana, onda (0) predstavljavrednost funkcije za = 0 (odnosno vrednost funkcije u taki

0)Ako za 0 funkcija nije denisana, onda simbol (0) ne moeda doe u obzir kao u prvom sluaju jer je tada vrednost funkcijeili neodreena ili uopte ne postoji ili ne postoji bar u skupurealnih brojeva.

0 ne mora da pripada domenu denisanosti funkcije..Gopevi