Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7

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Métodos NuméricosGrado en Ingeniería Informática

Tema 7 Interpolación de funciones II

Luis Alvarez León

Univ. de Las Palmas de G.C.

Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 1 / 42

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Contenido

1 Interpolación de Hermite

2 Interpolación por splines cúbicos.

3 Interpolación utilizando la función seno cardinal

4 Interpolación de funciones periódicas utilizando polinomiostrigonométricos

5 Aproximación por mínimos cuadrados. Regresión lineal


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Contenido







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Interpolación de funciones IIEl problema de interpolación


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Interpolación de funciones IIInterpolación Lineal


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Interpolación de funciones IIInterpolación a través del polinomio de Lagrange


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Interpolación de funciones IIInterpolación de Hermite. Se interpola tanto la función como su derivada

Figura:


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Interpolación de funciones IIInterpolación de Hermite. Se interpola tanto la función como su derivada.


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Interpolación de funciones IILa interpolación de Hermite

En la interpolación de Lagrange ajustamos el polinomio interpolador P(x)para que P(xi ) = f (xi ).

En el caso de Hermite además de ajustar el valor dela función f (x), ajustamos sus derivadas es decir:

P(xi ) = f (xi ) y P ′(xi ) = f ′(xi )

Ejemplo: Buscar un polinomio P(x) tal que P(−1) = 1, P(1) = 0 yP ′(−1) = 0, P ′(1) = 0. El grado del polinomio buscado debe ser 3. Por tanto

P ′(x) = a(x + 1)(x − 1) = ax2 − a → P(x) = ax3

3− ax + b

Si exigimos que P(−1) = 1 y P(1) = 0 llegamos al sistema{−a/3 + a + b = 1a/3− a + b = 0 →

{a = 3/4b = 1/2 → P(x) =

312

x3 − 34

x +12


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En la interpolación de Lagrange ajustamos el polinomio interpolador P(x)para que P(xi ) = f (xi ). En el caso de Hermite además de ajustar el valor dela función f (x), ajustamos sus derivadas es decir:

P(xi ) = f (xi ) y P ′(xi ) = f ′(xi )


P ′(x) = a(x + 1)(x − 1) = ax2 − a → P(x) = ax3

3− ax + b


{a = 3/4b = 1/2 → P(x) =

312

x3 − 34

x +12


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P(xi ) = f (xi ) y P ′(xi ) = f ′(xi )

Ejemplo: Buscar un polinomio P(x) tal que P(−1) = 1, P(1) = 0 yP ′(−1) = 0, P ′(1) = 0. El grado del polinomio buscado debe ser ?

3. Portanto

P ′(x) = a(x + 1)(x − 1) = ax2 − a → P(x) = ax3

3− ax + b


{a = 3/4b = 1/2 → P(x) =

312

x3 − 34

x +12


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P(xi ) = f (xi ) y P ′(xi ) = f ′(xi )


P ′(x) = ?

a(x + 1)(x − 1) = ax2 − a → P(x) = ax3

3− ax + b


{a = 3/4b = 1/2 → P(x) =

312

x3 − 34

x +12


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P(xi ) = f (xi ) y P ′(xi ) = f ′(xi )


P ′(x) = a(x + 1)(x − 1) = ax2 − a → P(x) = ?

ax3

3− ax + b


{a = 3/4b = 1/2 → P(x) =

312

x3 − 34

x +12


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P(xi ) = f (xi ) y P ′(xi ) = f ′(xi )


P ′(x) = a(x + 1)(x − 1) = ax2 − a → P(x) = ax3

3− ax + b

Si exigimos que P(−1) = 1 y P(1) = 0 llegamos al sistema

?

{−a/3 + a + b = 1a/3− a + b = 0 →

{a = 3/4b = 1/2 → P(x) =

312

x3− 34

x +12


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P(xi ) = f (xi ) y P ′(xi ) = f ′(xi )


P ′(x) = a(x + 1)(x − 1) = ax2 − a → P(x) = ax3

3− ax + b


{a = 3/4b = 1/2 → P(x) =

312

x3 − 34

x +12


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Interpolación de funciones IIInterpolación de Hermite. Polinomios base de Hermite en los puntos de interpolación -1,1..

Polinomio de Hermite H0−1(x) Polinomio de Hermite H0

1 (x)


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Polinomio de Hermite H1−1(x) Polinomio de Hermite H1

1 (x)


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Vamos a calcular H1−1(x) que verifica que P(−1) = P(1) = P ′(1) = 0 y

P ′(−1) = 1. Como P(x) vale 0 en −1,1 se tiene que

P(x) = ?

(x + 1)(x − 1)(ax + b) → P(x) = ax3 + bx2 − ax − b

derivando obtenemosP ′(x) = 3ax2 + 2bx − a

Si exigimos que P ′(−1) = 1 y P ′(1) = 0 llegamos al sistema{3a− 2b− a = 13a + 2b− a = 0 →

{a = 1/4

b = −1/4 → H1−1(x) = (x2 − 1)(

14

x +14)

En función de los polinomios base de Hermite H0−1(x),H

01 (x),H

1−1(x),H

11 (x),

el polinomio que interpola a una función en f (−1), f (1), f ′(−1) y f ′(1) es

P(x) = f (−1)H0−1(x) + f (1)H0

1 (x) + f ′(−1)H1−1(x) + f ′(1)H1

1 (x)


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P(x) = (x + 1)(x − 1)(ax + b) → P(x) = ax3 + bx2 − ax − b

derivando obtenemos

P ′(x) = ?

3ax2 + 2bx − a


{a = 1/4

b = −1/4 → H1−1(x) = (x2 − 1)(

14

x +14)


01 (x),H

1−1(x),H

11 (x),


P(x) = f (−1)H0−1(x) + f (1)H0

1 (x) + f ′(−1)H1−1(x) + f ′(1)H1

1 (x)


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Si exigimos que P ′(−1) = 1 y P ′(1) = 0 llegamos al sistema

?

{3a− 2b− a = 13a + 2b− a = 0 →

{a = 1/4

b = −1/4 → H1−1(x) = (x2 − 1)(

14

x +14)


01 (x),H

1−1(x),H

11 (x),


P(x) = f (−1)H0−1(x) + f (1)H0

1 (x) + f ′(−1)H1−1(x) + f ′(1)H1

1 (x)


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{a = 1/4

b = −1/4 → H1−1(x) = (x2 − 1)(

14

x +14)


01 (x),H

1−1(x),H

11 (x),


P(x) = ?H0−1(x) +?H0

1 (x) +?H1−1(x) +?H1

1 (x)


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{a = 1/4

b = −1/4 → H1−1(x) = (x2 − 1)(

14

x +14)


01 (x),H

1−1(x),H

11 (x),


P(x) = f (−1)H0−1(x) + f (1)H0

1 (x) + f ′(−1)H1−1(x) + f ′(1)H1

1 (x)


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Interpolación de funciones IIInterpolación por splines cúbicos

Uno de los problemas principales de la interpolación de Lagrange es que si elgrado del polinomio es alto, tiende a oscilar mucho.

EjemploEl polinomio base de Lagrange que verifica P(0) = 1 y P(xi ) = 0 sobre lospuntos xi = −5,−4,−3,−2,−1,1,2,3,4,5 es

P(x) = ?

(x2 − 1)(x2 − 4)(x2 − 9)(x2 − 16)(x2 − 25)(−5)(−4)(−3)(−2)(−1)(1)(2)(3)(4)(5)


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Uno de los problemas principales de la interpolación de Lagrange es que si elgrado del polinomio es alto, tiende a oscilar mucho.

EjemploEl polinomio base de Lagrange que verifica P(0) = 1 y P(xi ) = 0 sobre lospuntos xi = −5,−4,−3,−2,−1,1,2,3,4,5 es

P(x) =(x2 − 1)(x2 − 4)(x2 − 9)(x2 − 16)(x2 − 25)(−5)(−4)(−3)(−2)(−1)(1)(2)(3)(4)(5)


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Para evitar las oscilaciones de los polinomios de Lagrange, cuando se trabajacon muchos puntos de interpolación, se suele interpolar la función utilizandopolinomios a trozos, definiendo un polinomio distinto para cada intervalo[xi , xi+1]. La técnica más conocida es la interpolación por splines cúbicos,que son polinomios de grado 3. Por tanto, tendremos un polinomio de grado 3distinto P i

3(x) = di (x − xi )3 + ci (x − xi )

2 + bi (x − xi ) + ai para cada intervalo[xi , xi+1]. Si hay N + 1 puntos, el número de polinomios es N. Para definirestos polinomios, se imponen las siguientes condiciones:

P i3(xi ) = f (xi ) i = 0, ..,N − 1

P i3(xi+1) = f (xi+1) i = 0, ...,N − 1

∂P i3

∂x(xi+1) =

∂P i+13

∂x(xi+1) i = 0, ..,N − 2

∂2P i3

∂x2 (xi+1) =∂2P i+1

3∂x2 (xi+1) i = 0, ...,N − 2


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TeoremaSi una familia de polinomiosP i

3(x) = di (x − xi )3 + ci (x − xi )

2 + bi (x − xi ) + ai , i = 0, ..,N − 1, satisfacelas condiciones anteriores, entonces

ai = f (xi ) i = 0, ..,N di =ci+1 − ci

3hii = 0, ..,N − 1 (1)

bi =ai+1 − ai

hi− hi (2ci + ci+1)

3i = 0, ..,N − 1

hi−1ci−1 + 2(hi−1 + hi )ci + hici+1 =3(ai+1 − ai )

hi− 3 (ai − ai−1)

hi−1

para i = 1, ..,N − 1. donde hi = xi+1 − xi .. La última relación determina unsistema de ecuaciones en las variables ci . Dicho sistema tiene N + 1incognitas (c0, ..., cN) y N − 1 ecuaciones. Para completar dicho sistema, sesuele imponer que c0 = cN = 0.


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EjemploVamos a calcular los polinomios interpoladores utilizando splines cúbicos alinterpolar la función f (x) en los puntos x = 0,1,2, y 3, sabiendo quef (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f (3) = 2, tomando c0 = c3 = ?

0. En este casohi = 1. Debemos definir 3 Polinomios distintos que corresponden a losintervalos [0,1], [1,2], y [2,3].

Los términos ai se calculan utilizando la relación ai = f (xi ) :

a0 = 0 a1 = 1 a2 = 0 a3 = 2

Los términos ci se calculan utilizando la relación


hi− 3 (ai − ai−1)

hi−1

lo que lleva al sistema{

4c1 + c2 = −6c1 + 4c2 = 9 →

(c1c2

)=

(−2,22,8

)


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EjemploVamos a calcular los polinomios interpoladores utilizando splines cúbicos alinterpolar la función f (x) en los puntos x = 0,1,2, y 3, sabiendo quef (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f (3) = 2, tomando c0 = c3 = 0. En este casohi = ?

1. Debemos definir 3 Polinomios distintos que corresponden a losintervalos [0,1], [1,2], y [2,3].


a0 = 0 a1 = 1 a2 = 0 a3 = 2



hi− 3 (ai − ai−1)

hi−1


4c1 + c2 = −6c1 + 4c2 = 9 →

(c1c2

)=

(−2,22,8

)


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EjemploVamos a calcular los polinomios interpoladores utilizando splines cúbicos alinterpolar la función f (x) en los puntos x = 0,1,2, y 3, sabiendo quef (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f (3) = 2, tomando c0 = c3 = 0. En este casohi = 1. Debemos definir ?

que corresponden a los intervalos [0,1], [1,2], y[2,3].


a0 = 0 a1 = 1 a2 = 0 a3 = 2



hi− 3 (ai − ai−1)

hi−1


4c1 + c2 = −6c1 + 4c2 = 9 →

(c1c2

)=

(−2,22,8

)


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EjemploVamos a calcular los polinomios interpoladores utilizando splines cúbicos alinterpolar la función f (x) en los puntos x = 0,1,2, y 3, sabiendo quef (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f (3) = 2, tomando c0 = c3 = 0. En este casohi = 1. Debemos definir 3 Polinomios distintos que corresponden a losintervalos [0,1], [1,2], y [2,3].


a0 = ? a1 = ? a2 = ? a3 = ?



hi− 3 (ai − ai−1)

hi−1


4c1 + c2 = −6c1 + 4c2 = 9 →

(c1c2

)=

(−2,22,8

)


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a0 = 0 a1 = ? a2 = ? a3 = ?



hi− 3 (ai − ai−1)

hi−1


4c1 + c2 = −6c1 + 4c2 = 9 →

(c1c2

)=

(−2,22,8

)


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a0 = 0 a1 = 1 a2 = ? a3 = ?



hi− 3 (ai − ai−1)

hi−1


4c1 + c2 = −6c1 + 4c2 = 9 →

(c1c2

)=

(−2,22,8

)


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a0 = 0 a1 = 1 a2 = 0 a3 = ?



hi− 3 (ai − ai−1)

hi−1


4c1 + c2 = −6c1 + 4c2 = 9 →

(c1c2

)=

(−2,22,8

)


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a0 = 0 a1 = 1 a2 = 0 a3 = 2



hi− 3 (ai − ai−1)

hi−1

lo que lleva al sistema ?

{4c1 + c2 = −6c1 + 4c2 = 9 →

(c1c2

)=

(−2,22,8

)


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a0 = 0 a1 = 1 a2 = 0 a3 = 2



hi− 3 (ai − ai−1)

hi−1


4c1 + c2 = −6c1 + 4c2 = 9 →

(c1c2

)=

(−2,22,8

)Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 18 / 42

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Los valores bi se calculan utilizando bi =ai+1−ai

hi− hi (2ci+ci+1)

3

b0 = 1,733 b1 = −0,467 b2 = 0,133

Los valores di se calculan utilizando di =ci+1−ci

3hi

d0 = −0,733 d1 = 1,667 d2 = −0,933

Por tanto, los polinomios son

P0(x) = −0,733x3 + 1,733x

P1(x) = 1,667 (x − 1)3 − 2,2 (x − 1)2 − 0,467 (x − 1) + 1

P2(x) = −0,933 (x − 2)3 + 2,8 (x − 2)2 + 0,133 (x − 2)


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hi− hi (2ci+ci+1)

3

b0 = 1,733 b1 = −0,467 b2 = 0,133


3hi

d0 = −0,733 d1 = 1,667 d2 = −0,933


P0(x) = −0,733x3 + 1,733x

P1(x) = 1,667 (x − 1)3 − 2,2 (x − 1)2 − 0,467 (x − 1) + 1

P2(x) = −0,933 (x − 2)3 + 2,8 (x − 2)2 + 0,133 (x − 2)


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hi− hi (2ci+ci+1)

3

b0 = 1,733 b1 = −0,467 b2 = 0,133


3hi

d0 = −0,733 d1 = 1,667 d2 = −0,933


P0(x) = −0,733x3 + 1,733x

P1(x) = 1,667 (x − 1)3 − 2,2 (x − 1)2 − 0,467 (x − 1) + 1

P2(x) = −0,933 (x − 2)3 + 2,8 (x − 2)2 + 0,133 (x − 2)


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a continuación se muestra una gráfica con los 3 polinomios concatenados enel intervalo [0,3]. Como puede observarse no se aprecia nada irregular en lasuniones de los intervalos. Parece una única función


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Presentamos ahora las gráficas de la función derivada y derivada segunda dela misma función:

derivada primera derivada segunda


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Interpolación de funciones IIInterpolación utilizando la función seno cardinal

Una base de funciones interpolantes muy utilizada en la teoría de Fourier esla base formada a partir de la función seno cardinal, definida por

sin c(x) =sin(x)

x


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Esta función tiene la propiedad de que en x = 0, sin c(0) = 1, y paracualquier entero i distinto de 0, sin c(πi) = 0.

Dada una función f (x), sufunción interpolante en los puntos xi = a ⋅ i para i = M, ...,N viene dada porla función

f̃ (x) =N

∑i=M

f (xi )sin(π

( xa − i

))

π( x

a − i)

Esta base de funciones se suele utilizar cuando a partir de una señalmuestreada (por ejemplo una señal de sonido que se muestrea guardando elvalor de la señal cada cierto intervalo de tiempo) queremos recuperar la señaloriginal (por ejemplo para oir el sonido almacenado digitalmente).


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Esta función tiene la propiedad de que en x = 0, sin c(0) = 1, y paracualquier entero i distinto de 0, sin c(πi) = 0. Dada una función f (x), sufunción interpolante en los puntos xi = a ⋅ i para i = M, ...,N viene dada porla función

f̃ (x) =N

∑i=M

f (xi )sin(π

( xa − i

))

π( x

a − i)



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Esta función tiene la propiedad de que en x = 0, sin c(0) = 1, y paracualquier entero i distinto de 0, sin c(πi) = 0. Dada una función f (x), sufunción interpolante en los puntos xi = a ⋅ i para i = M, ...,N viene dada porla función

f̃ (x) =N

∑i=M

f (xi )sin(π

( xa − i

))

π( x

a − i)



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EjemploSi f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f (3) = 2. La interpolación utilizando lafunción seno cardinal es:

f̃ (x) = ?sin(π (x − 1))π(x − 1)

+?sin(π (x − 3))π(x − 3)


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EjemploSi f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f (3) = 2. La interpolación utilizando lafunción seno cardinal es:

f̃ (x) = 1sin(π (x − 1))

π(x − 1)+ 2

sin(π (x − 3))π(x − 3)


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Comparación del sin x (en azul) con su aproximación utilizando sin c(x) (enrojo) tomando como puntos de interpolación x=−π, −π

2 ,0, π2 ,π.


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Interpolación de funciones IIComparación de la interpolación de Lagrange, los splines cúbicos y seno cardinal.

Polinomio de Lagrange (línea verde), splines cúbicos (línea azul), y lainterpolación por sin c(x) (línea roja).


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Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos para aproximar funciones ondulatorias periódicas

f (x) = 2 cos(x)− 2 cos(2x) + 6 cos(4x)


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Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Funciones base

f (x) = 2︸︷︷︸amplitud

cos( 1︸︷︷︸frecuencia

x) −2︸︷︷︸amplitud


x) + 6︸︷︷︸amplitud


x)

azulcos?x

rojocos?x

verdecos?x


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x)

azulcos 1x

rojocos?x

verdecos?x


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x)

azulcos 1x

rojocos 2x

verdecos?x


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x)

azulcos 1x

rojocos 2x

verdecos 4x


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Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Polinomios trigonométricos

Polinomio trigonométrico : Pk (x) = eikx = ?

cos kx + i sin kx

cos kx =eikx + e−ikx

2sin kx =

eikx − e−ikx

2

f (x) = 2 cos(x)− 2 cos(2x) + 6 cos(4x) =

= 1eix + 1e−ix − 1ei2x − 1e−i2x + 3ei4x + 3e−i4x

Descomposición general de una función periódica (de periodo 2π) usandopolinomios trigonométricos

f (x) ≈N

∑k=−N

ck eikx


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Polinomio trigonométrico : Pk (x) = eikx = cos kx + i sin kx

cos kx = ?

eikx + e−ikx

2sin kx =

eikx − e−ikx

2

f (x) = 2 cos(x)− 2 cos(2x) + 6 cos(4x) =



f (x) ≈N

∑k=−N

ck eikx


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2sin kx = ?

eikx − e−ikx

2

f (x) = 2 cos(x)− 2 cos(2x) + 6 cos(4x) =



f (x) ≈N

∑k=−N

ck eikx


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2sin kx =

eikx − e−ikx

2

f (x) = 2 cos(x)− 2 cos(2x) + 6 cos(4x) =

= ?eix +?e−ix −?ei2x −?e−i2x +?ei4x +?e−i4x


f (x) ≈N

∑k=−N

ck eikx


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2sin kx =

eikx − e−ikx

2

f (x) = 2 cos(x)− 2 cos(2x) + 6 cos(4x) =



f (x) ≈N

∑k=−N

ck eikx


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Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Cálculo de los coeficientes de los polinomiostrigonométricos

TeoremaLos coeficientes ck que minimizan el error cuadrático medio

E(c−N , ..., cN) =∫ π

−π

(f (x)−

N

∑k=−N

ck eikx

)2

dx son ck =

∫ π−π f (x)e−ikxdx

2π

Demostración Un mínimo de E(c−N , ..., cN), debe verificar :

∂E∂ck

(c−N , ..., cN) = ?

2∫ π

−π

(f (x)−

N

∑l=−N

cleilx

)eikxdx = 0

la demostración del teorema se concluye teniendo en cuenta que∫ π

−πeilxeikxdx =

∫ π

−πei(l+k)xdx =

ei(l+k)x

i(l + k)

]π

−π

=

{2π si l = −k0 si l ∕= k


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E(c−N , ..., cN) =∫ π

−π

(f (x)−

N

∑k=−N

ck eikx

)2

dx son ck =


2π


∂E∂ck

(c−N , ..., cN) = 2∫ π

−π

(f (x)−

N

∑l=−N

cleilx

)eikxdx = ?

0


−πeilxeikxdx =

∫ π

−πei(l+k)xdx =

ei(l+k)x

i(l + k)

]π

−π

=

{2π si l = −k0 si l ∕= k


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E(c−N , ..., cN) =∫ π

−π

(f (x)−

N

∑k=−N

ck eikx

)2

dx son ck =


2π


∂E∂ck

(c−N , ..., cN) = 2∫ π

−π

(f (x)−

N

∑l=−N

cleilx

)eikxdx = 0


−πeilxeikxdx =

∫ π

−πei(l+k)xdx = ?

ei(l+k)x

i(l + k)

]π

−π

=

{2π si l = −k0 si l ∕= k


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E(c−N , ..., cN) =∫ π

−π

(f (x)−

N

∑k=−N

ck eikx

)2

dx son ck =


2π


∂E∂ck

(c−N , ..., cN) = 2∫ π

−π

(f (x)−

N

∑l=−N

cleilx

)eikxdx = 0


−πeilxeikxdx =

∫ π

−πei(l+k)xdx =

ei(l+k)x

i(l + k)

]π

−π

= ?

{2π si l = −k0 si l ∕= k


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E(c−N , ..., cN) =∫ π

−π

(f (x)−

N

∑k=−N

ck eikx

)2

dx son ck =


2π


∂E∂ck

(c−N , ..., cN) = 2∫ π

−π

(f (x)−

N

∑l=−N

cleilx

)eikxdx = 0


−πeilxeikxdx =

∫ π

−πei(l+k)xdx =

ei(l+k)x

i(l + k)

]π

−π

=

{2π si l = −k0 si l ∕= k


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Interpolación de funciones IIInterpolación por polinomios trigonométricos. Ejemplo de aproximación

Consideremos la función

f (x) ={

1 si x ∈ [−π2 ,

π2 ]

0 si x /∈ [−π2 ,

π2 ]

Vamos a calcular el polinomio trigonométrico interpolante para N = 3. Losvalores de ck son

c0 = ?

∫ π−π f (x)dx

2π=

12

c1 =

∫ π−π f (x)e−ixdx

2π=

1π

= c−1

c2 =

∫ π−π f (x)e−2ixdx

2π= 0 = c−2 c3 =


2π= − 1

3π= c−3

Por tanto, el polinomio trigonométrico interpolador es

P3(x) =12+

2π

cos(x)− 23π

cos(3x)


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f (x) ={

1 si x ∈ [−π2 ,

π2 ]

0 si x /∈ [−π2 ,

π2 ]


c0 =

∫ π−π f (x)dx

2π=

12

c1 = ?


2π=

1π

= c−1

c2 =


2π= 0 = c−2 c3 =


2π= − 1

3π= c−3


P3(x) =12+

2π

cos(x)− 23π

cos(3x)


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f (x) ={

1 si x ∈ [−π2 ,

π2 ]

0 si x /∈ [−π2 ,

π2 ]


c0 =

∫ π−π f (x)dx

2π=

12

c1 =


2π=

1π

= c−1

c2 = ?


2π= 0 = c−2 c3 =


2π= − 1

3π= c−3


P3(x) =12+

2π

cos(x)− 23π

cos(3x)


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f (x) ={

1 si x ∈ [−π2 ,

π2 ]

0 si x /∈ [−π2 ,

π2 ]


c0 =

∫ π−π f (x)dx

2π=

12

c1 =


2π=

1π

= c−1

c2 =


2π= 0 = c−2 c3 = ?


2π= − 1

3π= c−3


P3(x) =12+

2π

cos(x)− 23π

cos(3x)


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f (x) ={

1 si x ∈ [−π2 ,

π2 ]

0 si x /∈ [−π2 ,

π2 ]


c0 =

∫ π−π f (x)dx

2π=

12

c1 =


2π=

1π

= c−1

c2 =


2π= 0 = c−2 c3 =


2π= − 1

3π= c−3


P3(x) = ?+? cos(x)−? cos(3x)


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f (x) ={

1 si x ∈ [−π2 ,

π2 ]

0 si x /∈ [−π2 ,

π2 ]


c0 =

∫ π−π f (x)dx

2π=

12

c1 =


2π=

1π

= c−1

c2 =


2π= 0 = c−2 c3 =


2π= − 1

3π= c−3


P3(x) =12+? cos(x)−? cos(3x)


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f (x) ={

1 si x ∈ [−π2 ,

π2 ]

0 si x /∈ [−π2 ,

π2 ]


c0 =

∫ π−π f (x)dx

2π=

12

c1 =


2π=

1π

= c−1

c2 =


2π= 0 = c−2 c3 =


2π= − 1

3π= c−3


P3(x) =12+

2π

cos(x)−? cos(3x)


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f (x) ={

1 si x ∈ [−π2 ,

π2 ]

0 si x /∈ [−π2 ,

π2 ]


c0 =

∫ π−π f (x)dx

2π=

12

c1 =


2π=

1π

= c−1

c2 =


2π= 0 = c−2 c3 =


2π= − 1

3π= c−3


P3(x) =12+

2π

cos(x)− 23π

cos(3x)


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La siguiente gráfica muestra la aproximación entre f (x) y P3(x):


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Contenido







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Interpolación de funciones IIAproximación por mínimos cuadrados


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La aproximación mínimo cuadrática aproxima, a través de una función, unconjunto de valores de forma global, sin exigir que la función aproximantepase exactamente por ese conjunto de puntos.

Dado un conjunto de valores {(xi , yi )}i=1,..,N , la aproximación mínimocuadrática lineal consiste en buscar la recta y = ax + b, tal que la función deerror cuadrático

E(a,b) =N

∑i=1

(axi + b− yi )2

sea mínima. Esta aproximación en estadística se denomina regresión lineal


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TeoremaLos valores a y b que minimizan el error cuadrático anterior son

a =N ∑N

i=1 xiyi −∑Ni=1 xi ∑N

i=1 yi

N ∑Ni=1 x2

i −(

∑Ni=1 xi

)2 y b =∑N

i=1 x2i ∑N

i=1 yi −∑Ni=1 xiyi ∑N

i=1 xi

N ∑Ni=1 x2

i −(

∑Ni=1 xi

)2

Demostración En primer lugar, observamos que, dada la forma cuadráticaque tiene el funcional, debe poseer un mínimo. Además, en un mínimo delfuncional E(a,b), las derivadas parciales son ?

cero, y por tanto

∂E∂a

(a,b) = 2N

∑i=1

(axi + b− yi ) xi = 0 y∂E∂b

(a,b) = 2N

∑i=1

(axi + b− yi ) = 0

Esto da lugar a un sistema lineal de ecuaciones cuyas incógnitas son a y b, ycuya resolución lleva al resultado establecido en el teorema.


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a =N ∑N


i=1 yi

N ∑Ni=1 x2

i −(

∑Ni=1 xi

)2 y b =∑N

i=1 x2i ∑N


i=1 xi

N ∑Ni=1 x2

i −(

∑Ni=1 xi

)2

Demostración En primer lugar, observamos que, dada la forma cuadráticaque tiene el funcional, debe poseer un mínimo. Además, en un mínimo delfuncional E(a,b), las derivadas parciales son cero, y por tanto

∂E∂a

(a,b) = ?

2N

∑i=1


(a,b) = 2N

∑i=1

(axi + b− yi ) = 0



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a =N ∑N


i=1 yi

N ∑Ni=1 x2

i −(

∑Ni=1 xi

)2 y b =∑N

i=1 x2i ∑N


i=1 xi

N ∑Ni=1 x2

i −(

∑Ni=1 xi

)2


∂E∂a

(a,b) = 2N

∑i=1


(a,b) = ?

2N

∑i=1

(axi + b− yi ) = 0



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a =N ∑N


i=1 yi

N ∑Ni=1 x2

i −(

∑Ni=1 xi

)2 y b =∑N

i=1 x2i ∑N


i=1 xi

N ∑Ni=1 x2

i −(

∑Ni=1 xi

)2


∂E∂a

(a,b) = 2N

∑i=1


(a,b) = 2N

∑i=1

(axi + b− yi ) = 0



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Efectívamente si partimos de

N

∑i=1

(axi + b− yi ) xi = 0 yN

∑i=1

(axi + b− yi ) = 0

esto nos lleva al sistema : {a?+ b? = ?a?+? = ?

cuya solución por el método de Cramer es

a =

∣∣∣?∣∣∣∣∣∣?∣∣∣ b =

∣∣∣?∣∣∣∣∣∣?∣∣∣


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N

∑i=1


∑i=1

(axi + b− yi ) = 0

esto nos lleva al sistema : {a ∑N

i=1 x2i + b? = ?

a?+? = ?


a =

∣∣∣?∣∣∣∣∣∣?∣∣∣ b =

∣∣∣?∣∣∣∣∣∣?∣∣∣


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N

∑i=1


∑i=1

(axi + b− yi ) = 0

esto nos lleva al sistema :{a ∑N

i=1 x2i + b ∑N

i=1 xi = ?a?+? = ?


a =

∣∣∣?∣∣∣∣∣∣?∣∣∣ b =

∣∣∣?∣∣∣∣∣∣?∣∣∣


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N

∑i=1


∑i=1

(axi + b− yi ) = 0


i=1 x2i + b ∑N

i=1 xi = ∑Ni=1 yixi

a?+? = ?


a =

∣∣∣?∣∣∣∣∣∣?∣∣∣ b =

∣∣∣?∣∣∣∣∣∣?∣∣∣


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N

∑i=1


∑i=1

(axi + b− yi ) = 0


i=1 x2i + b ∑N


a ∑Ni=1 xi +? = ?


a =

∣∣∣?∣∣∣∣∣∣?∣∣∣ b =

∣∣∣?∣∣∣∣∣∣?∣∣∣


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N

∑i=1


∑i=1

(axi + b− yi ) = 0


i=1 x2i + b ∑N


a ∑Ni=1 xi + b ∑N

i=1 1 = ?


a =

∣∣∣?∣∣∣∣∣∣?∣∣∣ b =

∣∣∣?∣∣∣∣∣∣?∣∣∣


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N

∑i=1


∑i=1

(axi + b− yi ) = 0


i=1 x2i + b ∑N



i=1 1 = ∑Ni=1 yi


a =

∣∣∣?∣∣∣∣∣∣?∣∣∣ b =

∣∣∣?∣∣∣∣∣∣?∣∣∣


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N

∑i=1


∑i=1

(axi + b− yi ) = 0


i=1 x2i + b ∑N



i=1 1 = ∑Ni=1 yi


a =

∣∣∣?∣∣∣∣∣∣∣ ∑Ni=1 x2

i ∑Ni=1 xi

∑Ni=1 xi N

∣∣∣∣ b =

∣∣∣?∣∣∣∣∣∣?∣∣∣


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N

∑i=1


∑i=1

(axi + b− yi ) = 0


i=1 x2i + b ∑N



i=1 1 = ∑Ni=1 yi


a =

∣∣∣∣ ∑Ni=1 yixi ∑N

i=1 xi

∑Ni=1 yi N

∣∣∣∣∣∣∣∣ ∑Ni=1 x2

i ∑Ni=1 xi

∑Ni=1 xi N

∣∣∣∣ b =

∣∣∣?∣∣∣∣∣∣?∣∣∣Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 40 / 42

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N

∑i=1


∑i=1

(axi + b− yi ) = 0


i=1 x2i + b ∑N



i=1 1 = ∑Ni=1 yi


a =

∣∣∣∣ ∑Ni=1 yixi ∑N

i=1 xi

∑Ni=1 yi N

∣∣∣∣∣∣∣∣ ∑Ni=1 x2

i ∑Ni=1 xi

∑Ni=1 xi N

∣∣∣∣ b =

∣∣∣?∣∣∣∣∣∣∣ ∑Ni=1 x2

i ∑Ni=1 xiyi

∑Ni=1 xi N

∣∣∣∣Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7 Interpolación de funciones IIUniv. de Las Palmas de G.C. 40 / 42

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N

∑i=1


∑i=1

(axi + b− yi ) = 0


i=1 x2i + b ∑N



i=1 1 = ∑Ni=1 yi


a =

∣∣∣∣ ∑Ni=1 yixi ∑N

i=1 xi

∑Ni=1 yi N

∣∣∣∣∣∣∣∣ ∑Ni=1 x2

i ∑Ni=1 xi

∑Ni=1 xi N

∣∣∣∣ b =

∣∣∣∣ ∑Ni=1 x2

i ∑Ni=1 xiyi

∑Ni=1 xi ∑N

i=1 yi

∣∣∣∣∣∣∣∣ ∑Ni=1 x2

i ∑Ni=1 xiyi

∑Ni=1 xi N

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ProblemaLa evolución de altura de un niño ha sido la siguiente : al nacer : 50 cm, a los3 meses 60 cm, a los 6 meses 67 cm y a los 9 meses 71 cm. Calcular la tasade variación del peso del niño utilizando una aproximación mínimocuadrática.

Solución: Tenemos que calcular a =N ∑N

i=1 xi yi−∑Ni=1 xi ∑N

i=1 yi

N ∑Ni=1 x2

i −(∑Ni=1 xi)

2

Cálculando cada término por separado tenemos

N

∑i=1

xiyi = ?

1221N

∑i=1

xi

N

∑i=1

yi = 4464N

∑i=1

x2i = 126

(N

∑i=1

xi

)2

= 324

Por tanto la tasa de variación es a =4 ⋅ 1221− 4464

4 ⋅ 126− 324=

73


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i=1 yi

N ∑Ni=1 x2

i −(∑Ni=1 xi)

2


N

∑i=1

xiyi = 1221N

∑i=1

xi

N

∑i=1

yi = ?

4464N

∑i=1

x2i = 126

(N

∑i=1

xi

)2

= 324


4 ⋅ 126− 324=

73


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i=1 yi

N ∑Ni=1 x2

i −(∑Ni=1 xi)

2


N

∑i=1

xiyi = 1221N

∑i=1

xi

N

∑i=1

yi = 4464N

∑i=1

x2i = ?

126

(N

∑i=1

xi

)2

= 324


4 ⋅ 126− 324=

73


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i=1 yi

N ∑Ni=1 x2

i −(∑Ni=1 xi)

2


N

∑i=1

xiyi = 1221N

∑i=1

xi

N

∑i=1

yi = 4464N

∑i=1

x2i = 126

(N

∑i=1

xi

)2

= ?

324


4 ⋅ 126− 324=

73


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i=1 yi

N ∑Ni=1 x2

i −(∑Ni=1 xi)

2


N

∑i=1

xiyi = 1221N

∑i=1

xi

N

∑i=1

yi = 4464N

∑i=1

x2i = 126

(N

∑i=1

xi

)2

= 324

Por tanto la tasa de variación es a = ?

4 ⋅ 1221− 44644 ⋅ 126− 324

=73


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i=1 yi

N ∑Ni=1 x2

i −(∑Ni=1 xi)

2


N

∑i=1

xiyi = 1221N

∑i=1

xi

N

∑i=1

yi = 4464N

∑i=1

x2i = 126

(N

∑i=1

xi

)2

= 324


4 ⋅ 126− 324=

73


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Interpolación de funciones IIAproximación por mínimos cuadrados. Gráficas de crecimieno de niños


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Métodos Numéricos Grado en Ingeniería Informática Tema 7