Parabola - Circunferencia - Pedro

Relación Binaria, Parábola y Circunferencia

1. Relación Binaria.

1.1. Par Ordenado: los pares ordenados son entes matemáticos que constan de dos elementos “a” y “b”, a los cuales se les denomina primera componente y segunda componente respectivamente, y se le denota por (a; b) .

Dos pares ordenados (a; b) y (c; d) son iguales si y solo si sus primeras componentes son iguales: a = c, así como también sus segundas componentes: b = d, simultáneamente, es decir:

1.2. Producto cartesiano AxB: dos conjuntos A y B se definen como producto cartesiano A x B como el conjunto , de esta forma el producto cartesiano es un conjunto de pares ordenados donde las primeras componentes se encuentran en el conjunto A, y sus segundas componentes se encuentran en el conjunto B. Por ejemploSean y , entonces

Es importante saber que

1.3. Relaciones.Sean A y B dos conjuntos. Un conjunto de pares ordenados se llama una “Relación de A en B” si R es un conjunto cualesquiera de A x B.

Así por ejemplo una relación con respecto al ejemplo anterior de producto cartesiano: podría ser .

Dominio de una relación: se llama dominio de una relación R de A en B al conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados de la relación, se denota por:

, entonces: es decir:

Lic. Pedro Cuyate Reque

1

2

3

-1

-2

-3

A B

Conjunto de partidaO Dominio

Conjunto de llegadaÓ Rango

3;2;11 RD 2;11 RR


Rango de una relación: se llama rango de una relación R de A en b al conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados de la relación, se denota por

, entonces es decir

1.4. Tipo de Relaciones:

A. Reflexiva: R es reflexiva si todo elemento de A esta relacionado consigo mismo.B. Simétrica: R es simétrica si y solo si se tiene que C. Transitiva: R es transitiva si y solo si se cumple que

D. De Equivalencia: R es una relación de equivalencia en A si y solo si es reflexiva, simétrica y transitiva.

2. Relación de R en R: Parábola

2.1. Definición:Una parábola es el conjunto de todos los puntos en el plano R2 que equidistan de una recta fija , llamada directriz, y de un punto fijo F, denominado foco, que no pertenece a la recta. En síntesis:

Según esta definición y refiriéndonos a la gráfica, se tiene que:

2.2. Elementos:- Vértice (V): es el punto de intersección de la parábola.- Foco (F): es el punto fijo, situado sobre el eje de simetría a “p” unidades del

vértice.- Eje de simetría ( ): recta perpendicular a la directriz y que pasa por el vértice

y foco.- Cuerda (CE): es el segmento de recta que uno dos puntos cuales quiera de la

parábola.- Directriz ( ): recta fija, perpendicular al eje de simetría.


D

l

A

BC

E

FV

L

R

'D

P

1l


- Cuerda focal (AB): segmento de recta que une dos puntos de la parábola pasando por el foco.

- Lado Recto (LR): es una cuerda focal perpendicular al eje de simetría.- Radio Vector (PF): segmento de recta que une el foco con un punto de la

parábola.

2.3. Ecuaciones de la Parábola:

A. Ecuación Canónica: en los cuatro caso el vértice de la parábola es V(0;0), es decir el eje de coordenadas.

Parábola coincidente con el eje X:Cuando se trabaja con “y2” la parábola se abre hacia la derecha si 4p > 0 (positivo); ó hacia la izquierda si 4p < 0 (negativo).

Parábola coincidente con el eje Y:Cuando se trabaja con “x2” la parábola se abre hacia arriba si 4p > 0 (positivo); ó hacia abajo si 4p < 0 (negativo).

B. Ecuación Ordinaria: esta ecuación sucede cuando el vértice es diferente de (0;0), y se toma en forma general como: V(h;k), tenemos las siguientes.

Parábola de eje paralelo al eje “X”:


l

)0;( pF

P

V

D

pxy 42

l

pxy 42

)0;( pF

P

V

D

F

P

V

pyx 42

F

P

V

pyx 42


Cuando se trabaja con “y2” la parábola se abre hacia la derecha si 4p > 0 (positivo); ó hacia la izquierda si 4p < 0 (negativo).

Parábola de eje paralelo al eje “Y”:

Cuando se trabaja con “x2” la parábola se abre hacia arriba si 4p > 0 (positivo); ó hacia abajo si 4p < 0 (negativo).

C. Ecuación General:


h

k V(h, k)

F

X

Y

h

kF

X

Y

V(h; k)

)(4)( 2 hxpky )(4)( 2 hxpky

h

k

F

X

Y

V(h; k)

)(4)( 2 kyphx )(4)( 2 kyphx


Se ha visto que la ecuación representa una parábola de eje horizontal, y que la curva de ecuación es una parábola de eje vertical. Si desarrollamos ambas ecuaciones obtenemos:

Y sabemos que cada una contiene un término de segundo grado, ya sea en y2 o en x2, es decir cada ecuación se puede reducir a la forma cuadrática, obteniendo así la ecuación general de la parábola:

Para “y2”, D = -4p; E = -2k y F = (k2 + 4ph)Para “x2”, D = -2h; E = -4p y F = (h2 + 4pk)

D. Ejercicios.

1. Graficar, luego hallar el dominio y el rango de la siguiente relación:

Solución:- Despejando y operando: - Como se puede observar no hay presencia de “h” y “k”, debido a que el

vértice es V (0; 0), pues se trata de una ecuación canónica.- Una vez ubicado el vértice (0; 0) analizamos que se trabaja con “y2”, por lo

tanto existen dos posibilidades, que la parábola se abra hacia la derecha o hacia la izquierda.

- Analizando que 4p = 3; y que es mayor que cero (positivo), entonces deducimos que de las dos posibilidades existentes, la parábola se abrirá hacia la derecha. Obteniendo como gráfico:

- Para determinar el dominio observamos los números del eje “x” y vemos si la prolongación vertical de ese punto intersecta la parábola, por ejemplo si analizamos el punto (-1) notaremos que en su prolongación vertical no llega a intersectar a la parábola, si embargo el 0; 1; 2; etc., si cortan a la parábola, por lo tanto el dominio queda determinado como

- Para el rango realizamos el mismo procedimiento pero con los puntos de los números enteros del eje “y”, en este caso todos en su prolongación horizontal llegan a intersectar a la parábola, por lo tanto el rango queda determinado como: todos los reales.




Solución- Ubicamos primero que estamos trabajando con “x2”, esto me ayuda a deducir

que existen dos posibilidades, una parábola que se abre hacia arriba y otra hacia abajo.

- Ahora bien, observamos un término nuevo 4x, esto implica que el “h” y el “k” de repente sean diferente de cero, por lo tanto obtendremos un vértice V (h; k) que no estará en el eje de coordenadas.

- Para resolver este ejercicio será necesario completar cuadrados con respecto a “x”:

- Comparando la ecuación con la ecuación ordinaria.

- Obtenemos que h = 1; y k = -2, entonces el vértice es (1; -2), como a = ½ y es positivo la parábola se abre hacia arriba.

- El y el



3. Relación de R en R: Circunferencia

3.1. Definición:Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano cuyas distancias (no dirigidas) a un punto fijo son iguales. El punto fijo se llama centro y la distancia no dirigida es el radio:

3.2. Elementos:- Radio: r- Centro: C (h; k)

3.3. Ecuaciones de la Circunferencia:

A. Ecuación canónica: cuando el centro es (0; 0) y coincide con el eje de coordenadas.

B. Ecuación ordinaria: cuando el centro no coincide con el eje de coordenadas, entonces tendremos un centro C (h; k):


C (0;0)

r

222 ryx

C (h; k)

h

k

r

222 )()( rkyhx


C. Ecuación General:

Si desarrollamos la ecuación obtenemos:

Esta ecuación tiene la misma forma que:

(Ecuación General)

Donde D = -2h; E = -2k y F = (h2 + k2 – r2).

D. Resolviendo:

1. Graficar, luego halla el dominio y rango de La siguiente relación

Solución

- Analizando la relación observamos que se trata de un circunferencia con centro C (0, 0), es decir una ecuación canónica, donde h = 0 y k = 0.

- Ahora si comparamos la ecuación con obtendremos que , de donde ; este valor conformará el radio de la circunferencia.

- Para determinar los polos de la circunferencia, esta cantidad r = 3 se aumenta a la derecha, a la izquierda, hacia arriba y hacia abajo a partir del centro, bosquejando posteriormente la circunferencia.

- Otra forma de determinar los polos de la circunferencia es sumando y restando al centro la cantidad del radio:

En el eje “x”: C (0; 0) aumentamos y diminuimos r = 3 a la primera componente del par ordenado que pertenece a “x”, así obtenemos:

En el eje “y”: C (0; 0) aumentamos y diminuimos r = 3 a la segunda componente del par ordenado que pertenece a “y”, así obtenemos :

- El dominio de la relación analizando el eje “x” queda determinado:


3r3r

3r

3r

C (0; 0)

(0+3; 0)

(0; 0-3)

(0; 0+3)

(0-3; 0)


- El rango de la relación analizando el eje “y” queda determinado:

2. Graficar, luego halla el dominio y rango de La siguiente relación

Solución

- Desarrollamos similarmente al procedimiento para graficar una parábola, para ello empezamos completando cuadrados con respecto a “x” y “y”, de esta forma obtenemos:

- Agrupando, operando y dándole forma semejante a la ecuación general:

- Comparando la ecuación con la ecuación general , obtenemos:

- Por lo tanto el centro es C (h; k) = C (-1; -2).- Luego distribuimos el radio para determinar los polos de la circunferencia:

Obteniendo la gráfica siguiente:

-

PROBLEMAS ADICIONALES



3r3r

3r

3r

C (-1; -2) (3; -2) (-5; -2)

(-1; 2)

(-1; -6)




4. Encontrar la ecuación de la relación que permita hallar el área máxima de un rectángulo de 1000 m. de perímetro. Grafica la relación.

5. Se desea cercar una pequeña granja de forma rectangular, que limita por un lado con un río. Si se posee 12 m. de malla. Calcular el área máxima que se puede cercar y averiguar las respectivas dimensiones.

6. Un diseñador construye una antena electromagnética parabólica (ubicada en el eje “y” con vértice en el eje de coordenadas) de 200 pies de diámetro para rastrear espacios de prueba, desea ubicar el foco 100 pies arriba del vértice. Encontrar la ecuación de la parábola y determinar la profundidad del foco.





11. Graficar, luego hallar el dominio y el rango de la siguiente relación, sabiendo que :

12. Un CD-R tiene un diámetro de 12 cm., si esta ubicado con un centro en (10;10), determinar la ecuación ordinaria que permita obtener las coordenadas de cualquier punto del borde del CD-R.


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