Prof. dr Esad Jakupović

U cilju striktnog aksiomatskog fundiranja »običnih« matematičkih teorija (tj; onih koje su izložene »običnim« jezikom) uveden je u matematičkoj logici pojam formalne teorije. Formalna teorija neke matematičke discipline izlaže tu disciplinu formalno pomoću simbolike specijalno izgrađene za tu teoriju. Osim jezika u formal nim teorijama formalizovan je i način zaključivanja.Razvijanje formalne teorije liči stoga na neku igru koja se odvija po izvjesnim pravilima (na primjer, šah).Jedan od razloga za razvijanje formalnih teorija bila je pojava paradoksa u teoriji skupova početkom ovog veka. Formalnim zasnivanjem teorije skupova i dru gih fundamentalnih matematičkih disciplina nastojalo se da se paradoksi eliminišu i eventualno utvrdi neprotivrečenost tih teorija. Time bi cijela matematika bila postavljena na čvršće temelje.U izgradnji formalnih teorija veliku ulogu igra pojam efektivnog postupka (algoritma).

Kod običnih (neformalnih) aksiomatskih matematičkih teorija uvode se najprije, pomoću definicija, objekti teorije. Zatim se za aksiome (postulate, istine koje po pretpostavci važe i koje se ne dokazuju) prihvataju neke rečenice koje povezuju izvesne objekte teorije.Teoremama teorije nazivaju se rečenice koje se logičkim pravilima izvode iz aksioma i već dokazanih teorema. Pri ovome se logička pravila ne ističu posebno u teoriji već se podrazumevaju.Ovakav način izvođenja teorema naziva se sintaktički. Postoji i tzv. semantički način izvođenja kod koga se analizira značenje rečenica koje se pojavljuju u dokazu teoreme a teoremom se smatra rečenica koja je tačna ako su tačne aksiome.Formalne teorije se grade uz dosta sličnosti sa običnim matematičkim teorijama. Pojam formalne teorije objašnjavamo najpre opisno a zatim dajemo formalnu definiciju.Za formalnu teoriju najprijese definiše skup (azbuka) njenih osnovnih simbola (slova).

Konačni nizovi slova su reči. Izvesne reči se definicijom proglašavaju formulama teorije.Formule teorije odgovaraju rečenicama kod običnih teorija. Definicija formula je takva da se može efektivno utvrditi za svaku zadatu reč da li je formula ili nije. Izvjesne formule se proglašavaju aksiomama teorije.Opet, uvek se može efektivno utvrditi da li je zadata formula aksioma. Konačno, data su i pravila izvođenja u formalnoj teoriji. Svako pravilo je neka (n-arna) relacija u skupu formula. Opet postoji efektivan postupak za odlučivanje da li su bilo koje formule u relaciji ili ne. Ako su formule A1. A2,...., An u, relaciji a kaže se daje An direktna posljedica formula A1, A2,..., An-1 po pravilu izvođenja . Formalna teorija je određena skupom osnovnih simbola, skupom formula, skupom aksioma i skupom pravila izvođenja.

Definicija 1. Formalna teorija je uređena četvorka T = ( S , F , A , R ), gdje je:

1° S (skup osnovnih simbola) neprazan, konačan ili prebrojiv skup;2° F (skup formula) podskup skupa reči formiranih od osnovnih simbola pri čemu postoji efektivan postupak za utvrđivanje da li je svaka zadata riječ formula ili ne;3° A (skup aksioma) podskup skupa F , pri čemu postoji efektivan postupak za utvrđivanje da li je svaka zadata formula aksioma ili ne;4° R (skup pravila izvođenja) konačni skup relacija skupa R pri čemu postoji efektivan postupak za utvrđivanje da li su bilo koje zadate formule u jednoj od relacija iz skupa R .

Kao što se vidi formalne teorije su definisane po ugledu na obične matematičke teorije.

Dajemo još neke definicije u vezi sa formalnim teorijama.

Definicija 2. Konačan niz formula A1. A2,...., An formalne teorije T naziva se za izvođenje ili dokaz u teoriji T . Ako je svaka, od formula u nizu ili aksioma ili direktna posledica nekih prethodnih formula u nizu po jednom od pravila izvođenja teorije T , Formula A je teorema teorije T (šio se označava sa: A) ako postoji bar jedan konačan niz formula koji predstavlja izvođenje u T pri čemu je posljednja formula u nizu formula A.

Definicija 3. Formalna teorija T je odlučiva ako postoji efektivan postupak za utvrđi vanje da li je bilo koja zadata formula iz T teorema u T .

Definicija 4. Za formulu A teorije T kažemo da je posljedica skupa formula teorije T ako postoji konačan niz formula u kome je svaka formula ili aksioma ili pripada ili je direktna posljedica nekih prethodnih formula niza po nekom od pravila izvođenja.

Sa nešto više detalja opisaćemo iskazni račun L — formalnu teoriju koja opisuje iskaznu algebru.Neka je L =(S, F, A, R)Skup osnovnih simbola S, sadrži iskazna slova uvedena u 3.2, operacijske simbole i i zagrade (i). Skup formula F se poklapa sa skupom formula iskazne algebre (definicija 1 iz 3.2). Pri tome treba imati u vidu da se, slično onome kako smo postupili prilikom definisanja formula kvantifikatorskog računa, ( A B) zamjenjuje sa (A B), (A B) zamenjuje sa {A B) i ((A B) (B A)) zamenjuje se sa (A B). Konvencije o brisanju zagrade iz iskazne algebre važe i ovdje. Formule iskaznog računa zvaćemo iskazne formule.Skup aksioma uvodi se pomoću == 1 2 3 gdje je 1 ={ },

2={ }, 3={ }.Dakle, aksioma ima beskonačno mnogo ali su one uvjek jednog od tri navedena tipa.

,A B A A B , ,A B C A B A C A B C

,B A A B A B

Skup R sadrži samo jedno pravilo izvođenja. To je modus ponens prema kome za svake dve formule A, B kažemo da je B neposredna posljedica formula A i A B. Modus ponens »čuva« tautologije u smislu što je B tautologija ako su A i A B tautologije.Pošto su aksiome tautologije i pošto modus ponens »čuva« tautologije izlazi da su sve teoreme računa L tautologije.

Primjer 1. Neka je A T Tada - A A, jer sljedeći niz formula predstavlja dokaz:

1) A (A A) A),2) (A ((A A) A)) ((A (A A)) (A A)),3) (A (A A)) (A A),4) A (A A),5) A A.

Formula (1) je aksioma iz A 1,(2) je aksioma iz A2, (3) je neposredna posljedica formula (1) i (2) po modus ponensu, (4) je aksioma iz A 1 a (5) se dobija po modus ponensu iz (4) i (3).Interesantno je da se i svaka tautologija može »dokazati« u računu L . Ta činjenica, zajedno sa prethodnom primjedbom, izražena je sljedećom teoremom koja se naziva teorema potpunosti računa L i koju navodimo bez dokaza.

Teorema 1. Iskazana formula je teorema računa L ako i samo ako je tautologija.

Pošto za utvrđivanje da li je iskazna formula tautologija postoji efektivan postupak, na osnovu teoreme 1 sljeduje da postoji efektivan postupak za utvrđivanje da li je iskazana formula teorema računa L . Na osnovu definicije 3 iz prethodnog odeljka, iskazni račun L, je odlučiva formalna teorija.

Efektivni postupak nazivamo i algoritam. Intuitivno pod algoritmom shvatamo otprilike ono što je dato sljedećom definicijom. Algoritam za rešenje nekog tipa problema iz unapred fiksirane klase partikularnih slučajeva toga problema je konačan spisak pravila postupajući po kojima dolazimo do rješenja bilo kojeg od partikularnih slučajeva problema iz zadate klase.Ovo je opisna definicija algoritma koja samo dejlimično zadovoljava. Na primjer nije jasno šta u gornjoj definiciji znači pravilo. Stoga su date razne striktne definicije algoritma.Posmatraćemo tzv. aritmetičke funkcije, tj. funkcije f obiika f : Nn→N, gdje je N skup prirodnih brojeva, za ovu priliku, po tradiciji, proširen brojem 0. Problem koji posmatramo sastoji se u izračunavanju vrjednosti funkcije f za zadatu n-torku prirodnih brojeva. Vrlo široka klasa problema se može svesti na problem izračunavanja vrjednosti jedne numeričke funkcije što će biti pokazano u sljedećem odjeljku.

Definisaćemo jednu klasu aritmetičkih funkcija za koje postoji algoritam (za svaku od njih u opštem slučaju različit) za izračunavanje njihovih vrjednosti. To su. tzv, rekurzivne funkcije koje uvodimo poslje neophodnih prethodnih objašnjenja.Neka su funkcije N(x), S(x) i određene jednakostimaN (x) = 0, S (x) = x + I, (x1 , x2, ..... , xn) =xi.Prvu funkciju zovemo nula-funkcija, drugu nasljednička funkcija, a treću funkcija identifikovcnja i-te promjenljive ili projekcijska funkcija. Navedene funkcije nazivaju se osnovne rekurzivne ili polazne funkcije.Određenim postupcima fotmiramo od zadatih funkcija nove funkcije. Razmatraćemo sljedeće postupke formiranja novih funkcija: supstitucija, rekurzija i mikrorekurzija.Ako su h1, h2, ... , hk funkcije n-promjenjivih a g funkcija k promjenijivih, za funkciju n promjenijivih određenu pomoću f(x1, x2, ... , xn) = g (h1 (x1, x2,... xn), h2 (x1, x2, ... , xn), ... , hk (x1, x2, ..., xn)) kažemo da je dobijena supstitucijom pomoću funkcija g, h1, h2, . . . hk.Neka je g funkcija n promjenijivih i neka je h funkcija n+2 promjenljive.

niU

niU

Tada se može definisati funkcija f od n+1 promjenijivih pomoću

Kaže se da je f dobijena od g i h pomoću rekurzije. Kod mikrorekurzije polazi se od funkcije g(x1, x2,. . . ,xn, y) (koja zavisi od n+1 promjenljivih) i pomoću nje se definiše funkcija f(x, x2, . . . , xn) od n promjenijivih. Pretpostavimo da g ima osobinu:

Neka je y(g(x1, x2 , ..., xn, y)=0) najmanje rješenje po y jednačine g{x1, x2, . . ., xn, y)=0. Tada se definiše f(x1, x2,..., xn) = y (g(x1, x2,..., xn, y) = 0) i kaže da je f dobijena od g pomoću mikrorekurzije (ili pomoću -operatora).

Definicija 1. Funkcija f: Nn→N je rekurzivna funkcija ako postoji niz funkcija f1 ,f2, ... , fm=f takav da je svaki član niza ili osnovna rekurzivna funkcija ili je dobijena supstitucijom, rekurzijom ili mikrorekurzijom od prethodnih članova niza.

1 2

1 21 2 1 2

, ,..., 0,, ,..., ,

, ,..., , 1, , ,..., , 1 0,

n

nn n

g x x x za yf x x x y

h x x x y f x x x y za y

1 2 1 2... , ,..., , 0.n nx x x y g x x x y

Primjer 1. Funkcija dve promjenljive f1(x,y)=x+y je rekurzivna zbog egzistencije sljedećeg niza funkcija (x)=x,S(x)=x+1, f1(x, y)=+-y, jer se f1 dobija iz (x) i S(x) rekurzijom: f1(x,0) = x = (x) i f1(x, y)=S (f1 (x, y - 1)). Takođe je f2 (x, y)=xy rekurzivna funkcija zbog niza , S(x), f1(x, y), N(x), f2(x, y) ∙ f2 se dobija rekurzijom pomoću N(x) i f1(x, y) jer je f2(x, 0)=N( ) i f1(x, y)=-f1(f2 ,y - 1),x)Ako se u izgradnji funkcija po šemi iz definicije 1 dopusti upotreba samo supstitucije i rekurzije, dobijene funkcije se nazivaju primitivno rekurzivnim.Dalje, ako se izostavi zahtjev (1) a dopusti primjena mikrorekurzije dobijaju se funkcije koje ne moraju biti definisane za sve n-torke iz Nn. Takve funkcije se nazivaju parcijalne rekurzivne funkcije.Rekurzivna funkcija ima osobinu da za izračunavanje njene vrjednosti postoji efektivni postupak (u intuitivnom smislu ili po navedenoj opisnoj definiciji). Taj efektivni postupak je sugerisan načinom konstrukcije funkcije. Dakle, rekurzivne funkcije spadaju u izračunljive funkcije (u intuitivnom smislu).Obrnuto, vjeruje se daje svaka izračunljiva funkcija rekurzivna, tj. da se skup izračunljivih funkcija poklapa sa skupom rekurzivnih funkcija. Ovo vjerovanje naziva se Churchova teza.

1

1U 1

1U1

1U1

1U

Neka je g funkcija koja preslikava skup osnovnih simbola, riječi i konačnih nizova riječi jedne formalne teorije u skup prirodnih brojeva. Neka je g injektivna funkcija, tj. neka svaki simbol, svaka riječ i svaki niz reci dobije u korespondenciju jedan prirodan broj po kome se taj objekt može prepoznati. Smatra se takođe da je g izračunljiva funkcija i da se za svaki prirodan broj može efektivno utvrditi da li je slika nekog od pomenutih objekata i, ako jeste, da se taj objekt može efektivno odrediti.Preslikavanjem g uvedena je aritmetizacija formalne teorije. Problemi formalnih teorija su na taj način pretvoreni u probleme sa prirodnim brojevima, tj. u aritmetičke probleme.

Primjer 1. Za kvantifikatorski račun aritmetizacija se izvodi na taj način što se svakom simbolu s ovog računa pridružuje tzv. Gödelov broj g(s).

Za osnovne simbole Gödelov broj je određen pomoću: g(()=3, g())=5, g(,)=7, g( )=9, g( )=11, g( )=13, g(uk)=9+8k (ako je uk promjenljiva, k-ta po redu u nizu promjenljivih), g(ak)=11+8k, g( )=13+8(2i3j), g( )=15+8(2i 3j).Neka je F skup Gödelovih brojeva formula jedne teorije T i neka je T skup Gödelovih brojeva teorema te teorije.

Očigledno je T F N. Neka je funkcija f : F→N definisana pomoću

Teorija T je odlučiva ako postoji efektivan postupak za izračunavanje vrjednosti funkcije f tj. ako je f rekurzivna funkcija.Na opisani način se može dokazati daje kvantifikatorski račun neodlučiv. Ovo je rezultat A. Churcha iz 1936. god. Takođe se dokazuje daje formalna teorija brojeva neodlučiva kao i mnoge druge važnije formalne teorije. 

jiR

jif

1 ako je x Gödelov broj neke teoreme

0 ako je x Gödelov broj formule koja nije teorema.f x