LIETUVOS EDUKOLOGIJOS UNIVERSITETAS

MATEMATIKOS KATEDRA

prof. Romanas Januškevičius

TEIGINI Ų IR PREDIKAT Ų LOGIKOS

KURSO KONSPEKTAS

(naudota ir rekomenduojama literatūra –

[1] R. Plečkaitis „Logikos pagrindai“, V., Tyto alba, 2009;

[2] K.Bulota, P.Survila „Algebra ir skaičių teorija“, [Mokslas, 1989], I sk. „Matematinės

logikos ir aibių teorijos pradmenys“)

Vilnius, 2012

2

Logikos objektas. Loginė samprotavimo struktūra

Su logikos sąvoka tradiciškai siejami trys pagrindiniai šios sąvokos aspektai:

• Ontologinis – daiktų logika, reiškianti būtiną tikrovės objektų sąryšį

(Demokritas);

• Gnoseologinis – pažinimo logika, reiškianti sąveikų, kuriomis suvokiama esmė ir

tiesa, sąryšį (Platonas);

• Loginis – įrodymų ir paneigimų logika, tirianti mąstymą jo formos požiūriu (t.y.

teiginius, samprotavimus ir pan.) ir teisingų išvadų gavimą grindžianti vien

samprotavimų logine forma ir nesigilinant, ar nagrinėjami teiginiai ir

samprotavimai išreiškia esmę ir tiesą ar ne (Aristotelis).

Pirmieji du aspektai priskiriami filosofijai ir dialektinei logikai, o trečiasis – matematinei

logikai.

Matematinės logikos pagrindų vystymas tapo itin aktualus XX a. pradžioje, kai buvo

intensyviai nagrinėjami matematinės logikos pagrindai, gimė aibių teorija, buvo tikslinama

algoritmo sąvoka ir pan.

Tačiau matematinės logikos svarba nusakoma ne vien jos taikymais matematikoje, nes

logiškai mąstyti svarbu ne vien kiekvienoje mokslo šakoje, bet ir realioje kasdienybėje. Štai

kodėl trečiasis logikos sąvokos aspektas dar yra vadinamas šiuolaikine logika.

Taigi, mes nagrinėsime ne tik matematinės logikos pradmenis, bet ir LOGIKĄ plačiąja

šio žodžio prasme:

Logika (gr. Logikẽ) – tai mokslas apie priimtinus samprotavimo būdus.

Galima sakyti, kad logika – tai mokslas, tiriantis žmogaus mąstymą. Žmogaus mąstymą

savaip tiria ir kiti mokslai – psichologija, filosofija, nervų sistemos fiziologija, psichiatrija ir kt.

Sugebėjimas mąstyti — viena iš aistrų, galinti ilgiau džiuginti už visas kitas.

[Bernardas Šo]

Mąstymas turi turinį ir formą. Mąstymo turinys – tai objektų, apie kuriuos mąstome,

vaizdai arba sąvokos sąmonėje. Logika tiria ne mąstymo turinį, o mąstymo formą. Logika tiria

ne tai, kas mąstoma, bet tai, kaip mąstoma.

Moksle ne tiek svarbu gauti naujų faktų, kiek svarbu rasti naujų būdų mąstyti apie juos. — [V. Bragas]

3

Norėdami suprasti, kas yra loginė mąstymo forma, panagrinėkime šį samprotavimą:

Jei šiandien – vasario 10 diena, tai rytoj – vasario 11 diena.

Šiandien – vasario 10 diena.

Vadinasi, rytoj – vasario 11 diena.

Teiginį „šiandien – vasario 10 diena“ pažymėkime raide p, o teiginį „rytoj – vasario 11 diena“

pažymėkime raide q. Gauname tokią loginę samprotavimo struktūrą:

Jei p, tai q.

p yra.

Vadinasi, q yra.

Panagrinėkime dar vieną samprotavimo pavyzdį:

Jei visi žmonės yra mirtingi, tai graikai yra mirtingi.

Visi žmonės yra mirtingi.

Vadinasi, graikai yra mirtingi.

Teiginį „visi žmonės yra mirtingi“ pažymėkime raide p, o teiginį „graikai yra mirtingi“

pažymėkime raide q. Gauname tokią loginę samprotavimo struktūrą:

Jei p, tai q.

p yra.

Vadinasi, q yra.

Taigi, ir vėl gavome tokią pat loginę samprotavimo struktūrą. Samprotaujant pagal šią formą,

pasakomas koks nors teiginys (p) ir iš jo išplaukiantis teiginys (q). Paskui p patvirtinamas, o

tada išvadoje patvirtinamas ir q.

UŽDUOTIS. Išnagrinėkite šio samprotavimo loginę struktūrą:

Jei Tomas moka rusų kalbą, tai F. Dostojevskio romaną „Nusikaltimas ir bausmė“ Tomas gali skaityti

originalo kalba.

Tomas moka rusų kalbą.

Vadinasi, Tomas F. Dostojevskio romaną „Nusikaltimas ir bausmė“ gali skaityti originalo kalba.

Tokio tipo loginė samprotavimo struktūra vaidina labai svarbų vaidmenį logikoje.

Matematinėje logikoje, pavyzdžiui, kur logika įeina kaip sudėtinė formalių aksiominių teorijų

dalis, vienintele pradine išvedimo taisykle yra laikoma būtent šio tipo samprotavimo išvedimo

taisyklė.

Taigi, logikoje mąstymas yra formalus, jis nepriklauso nuo turinio.

Mąstymo forma (dar vadinama minties logine forma) yra nustatoma naudojant

formalizacijos metodą, kurio esmė yra ta, kad teiginiai ir kai kurie žodžiai yra užrašomi

simboliais. Mūsų pateiktuose samprotavimuose simboliais p ir q žymėjome įvairius

teiginius. Tie p ir q gali būti pavadinti loginiais kintamaisiais, kadangi duotuose

samprotavimuose jų turinys yra skirtingas.

4

Gyvoje kalboje samprotavimai retai kada būna išdėstyti nuosekliai. Dažniausiai jie

būna apipinti kalbos puošmenomis, įterptiniais žodžiais. Kai kurie teiginiai nutylimi kaip

savaime suprantami. Todėl konkretaus samprotavimo formalizacija gali būti gana nelengvai

įveikiamas uždavinys.

Formalizacijos metodo pradininku logikoje yra laikomas Aristotelis (384 – 322 p.m.e).

Aristotelis yra parašęs nemažai veikalų iš įvairių mokslo sričių; daug dėmesio skyręs logikai,

kurią vadino „analitika“. Svarbiausioji Aristotelio logikos dalis – silogistika, kuri su nežymiais

papildymais yra išsilaikiusi iki šiol.

Taigi, vartojant formalizacijos metodą, įprastos natūralios kalbos žodžiai ir teiginiai

užrašomi loginiais simboliais (didžiosiomis ar mažosiomis raidėmis, įvairiais kitais simboliais),

sukuriama dirbtinė kalba. Esant aukštam teorinio mąstymo lygiui, moksluose be dirbtinių

kalbų apsieiti neįmanoma. Štai tik keli kiti dirbtinių kalbų pavyzdžiai:

matematikos formulių kalba,

fizikos dėsnių formulės,

cheminių reakcijų užrašymai ir t.t.

Dirbtinė kalba pašalina įvairius dviprasmiškumus, lengvai galinčius atsirasti Įprastoje

kalboje, ji įgalina ekonomiškiausiai ir tiksliausiai reikšti tyrimų rezultatus.

Prielaida – tai pradinis samprotavimo teiginys, kuriuo remiamasi darant išvadą.

Pavyzdžiui, sudėtiniame teiginyje „jei namo stogas yra kiauras, tai namo vidun gali prilyti“

prielaida yra teiginys „namo stogas yra kiauras“.

Samprotaujant prielaida neįrodinėjama, ji laikoma daugiau ar mažiau pagrįsta.

Akivaizdu, kad samprotavimuose prielaidų gali būti daugiau, kaip viena. Kai kada

atskiriamos samprotavimo ir įrodymo sąvokos. Samprotavimu vadinama tokia schema:

1 prielaida

2 prielaida

3 prielaida

....................

n prielaida

∴ Išvada

Simbolis ∴ skaitomas todėl. Kartais ši schema vadinama įrodymu ir dažnai sutinkama,

pavyzdžiui, teismų praktikoje tokia forma:

1 argumentas

2 argumentas

........................

5

n argumentas

∴ Tezė

Pagal kokį požymį skiriama, kur yra samprotavimas, o kur yra įrodymas? Jei norima iš

turimų žinių (prielaidos) išvesti naują žinią (išvadą), – tai samprotavimas. O jei žinomu teiginiu

(teze) norima įtikinti pašnekovą, ir tam surandami įvairūs tezę pagrindžiantys argumentai, – tai

įrodymas. Tačiau abiem atvejais turi būti priežastinis ryšys tarp prielaidų ir išvados, tarp

argumentų ir tezės. Tiek išvada turi logiškai sekti iš prielaidų, tiek tezė turi būti logiškai

būtinas argumentų sekmuo.

Dabartiniu metu dažnai porose prielaida–argumentas ir išvada–tezė apjungtos sąvokos

laikomos sinonimais, t.y. žodžiais, galinčiais pakeisti vienas kitą. Pastebėsime, kad tokios

sąvokos, kaip „argumentas“ ir „tezė“, yra atėję iš filosofijos, kurios dalimi visuomet buvo

laikoma logika.

Logika kaip mokslas ėmė formuotis labai seniai. Vienas iš logikos kūrimosi etapų

vadinasi antikinė logika. Joje daug dėmesio buvo skiriama antinomijų (tada vadintų

aporijomis) tyrimui. Antinominiu laikomas logiškai nesuderinamas, prieštaringas teiginys.

Pavyzdžiui, kai aš meluoju, ir sakau, kad meluoju, tai meluoju, ar sakau tiesą? Prieštaravimas

yra tame, kad jeigu aš melagis, ir sakau, kad melagis, tai aš sakau tiesą, vadinasi, nesu melagis.

O jei aš nesu melagis ir sakau, kad melagis, tai meluoju ir esu melagis.

Vėlesniais laikais didelės reikšmės logikos vystymuisi turėjo G. Leibnico (1646 –

1716), D. Būlio (1815 – 1864) ir A. De Morgano (1806 – 1878) darbai. Logikoje imta plačiai

naudoti įvairius simbolius, o ryšius tarp teiginių reikšti formulėmis. Nuo tada logiką imta

vadinti formaliąja logika.

Ypatingą vaidmenį logika vaidina matematikoje, kurioje pasiektas ženklus abstrakcijos

laipsnis. Teoremos įrodomos grynai loginių samprotavimų būdu ir jų teisingumą garantuoja tik

nepriekaištinga logika.

Šiame kurse dėstoma logika dažnai vadinama simboline logika. Simboline ji vadinama

todėl, kad joje plačiai vartojami simboliai, kad ji sudaryta kaip simbolių kalba. Simbolinė

logika kitaip dar vadinama matematine logika dėl to, kad čia matematikos metodai perkelti į

logiką.

Simbolinė, arba matematinė, logika tėra skirtingi pavadinimai tos pačios logikos, kuri

dar kitaip gali būti pavadinta šiuolaikine formaliąja logika.

6

Įvardijant šiuolaikine, ji skiriama nuo ankstesniųjų – antikinės, viduramžių, naujųjų

amžių logikos istorinių pavidalų. Formalus logikos pobūdis reiškia tai, kad ji tiria tokius

minčių ryšių dėsningumus, kurie priklauso ne nuo mąstymo turinio, o nuo mąstymo formos,

nuo minčių struktūros.

1. Teiginių logika Jeigu į daiktus, kuriuos tu matei visą laiką, imsi žiūrėti atidžiau, lyg pirmą kartą, trokšdamas įžvelgti visas

smulkmenas, tai pasirodys, kad tu jų ankščiau niekada nematei. — [Ch.S.Puigas]

1.1. Teiginio samprata. Elementarieji ir sudėtiniai teiginiai ir j ų pavyzdžiai

Teiginiais teiginių logikoje vadinami visi sakiniai, kurie yra teisingi arba klaidingi.

Pavyzdžiui, sakiniai „Dabar Vilniuje lyja“, „Visi žmonės yra mirtingi“, „Jonas eina į mokyklą“

yra teiginiai. Būna tokių sakinių, kurie nėra teiginiai — pavyzdžiui, klausimai, skatinamieji

sakiniai. Teiginio teisingumas ar klaidingumas vadinamas jo teisingumo reikšme.

Paprasčiausia teiginių logika yra dvireikšmė: joje visi teiginiai laikomi arba teisingais, arba

klaidingais (tuo ji skiriasi nuo daugiareikšmių logikų). Teiginiai teiginių logikoje žymimi

lotyniškomis raidėmis p, q, r, ...

Apibr ėžimas. Teiginys – tai toks sakinys, apie kurį galima pasakyti, kad jis yra

teisingas arba klaidingas.

Vadinasi, kiekvienas teiginys turi būti teisingas arba klaidingas. Teiginys negali būti

vienu metu ir teisingas ir klaidingas.

Klausiamieji ir skatinamieji sakiniai nėra nei teisingi, nei klaidingi, todėl negali būti

teiginiais. Atvirkščiai, tiesioginiuose sakiniuose paprastai tvirtinama, kad yra tam tikri objektai

arba jų nėra, kad tie objektai turi arba neturi tam tikrų požymių, kad yra tam tikri faktai arba jų

nėra. Tokie sakiniai yra teisingi arba klaidingi, ir todėl jie yra teiginiai.

UŽDUOTIS. Nusakyti kurie iš sekančių sakinių yra teiginiai, o kurie ne. Kurie iš

teiginių yra teisingi? Klaidingi?

• Beržas yra medis.

• Dabar lyja.

• Tenisas yra įdomesnis žaidimas už badmintoną.

• Ar rytoj lis?

• Skaičius 5 mažesnis už 7.

• Du plius x daugiau už tris.

• Skaičiaus π milijonasis skaitmuo po kablelio yra 5.

7

• Gera mintis, nesvarbu iš kur paimta, daug vertingesnė už kvailą savąją. — [F.

Lanot de Vajė]

• Stenkis išmokti ką nors apie viską ir viską apie ką nors. — [A. Huxley]

Apibr ėžimas. Teiginiai, kurių negalima išskaidyti į sudėtines dalis, kurios vėl būtų

teiginiai, vadinami elementariaisiais teiginiais.

Teiginius galima neigti, jungti, atskirti, išvesti iš kitų teiginių, atrasti teiginių

ekvivalentumą. Šių operacijų analizė ir sudaro teiginių logiką.

UŽDUOTIS KARTOJIMUI. Kurie iš šių sakinių yra teiginiai, o kurie – ne. Kodėl?

Kurie iš teiginių yra teisingi? Klaidingi?

• Kieme stovi autobusas

• Sankt Peterburgas yra Rusijos sostinė.

• Valio!

• Naujų metų naktį švies saulė.

• Ar mėgsti žvejoti?

• Liūdnų žmonių daugiau nei linksmų.

• Visi paukščiai – vanagai.

• Žemė – vienintelė planeta, kurioje yra gyvybė.

• 2022 metais bus pasaulio pabaiga.

• Nemeluok!

UŽDUOTIS KARTOJIMUI. Ar teisingi šie matematiniai teiginiai?:

• 12 + (-15) > 0

• -12 = (-1)2

• Kiekvienas lyginis skaičius dalinasi iš 2

• -33 = (-3)3

• x2 ≥ 0

• 0 · x = 1

• x + 3 ≥ 4, x ∈ N

8

1.2. Loginės operacijos su teiginiais. Teisingumo reikšmių funkcija ir lentel ės

Operatoriais teiginių logikoje vadinami tam tikri teiginių jungimo būdai, kuriais

galima sujungti atskirus teiginius į kitus, ilgesnius teiginius. Operatoriai lemia loginius teiginių

ryšius. Teiginių logikoje skiriami šeši operatoriai. Jie atitinka kai kuriuos lietuvių kalbos

jungtukus. Operatoriai žymimi specialiais simboliais. Visuotinai priimtos simbolių sistemos čia

nėra — egzistuoja keli žymėjimo būdai.

Operatoriaus pavadinimas

Žymėjimas Operatorių atitinkantys lietuvių kalbos jungtukai

Neigimas „netiesa, kad…“

Konjunkcija „… ir …“

Disjunkcija „… arba …“

Griežtoji disjunkcija „arba …, arba …“

Implikacija „jei …, tai …“

Ekvivalencija „... tada ir tik tada, kai …“

Teiginys, kuris sukonstruotas naudojant operatorius, vadinamas sudėtiniu. Teiginiai be

operatorių, kaip jau minėjome, vadinami paprastais.

Apibr ėžimas. Sudėtiniais teiginiais vadinami teiginiai, kurie gaunami iš elementariųjų

teiginių, sujungiant juos loginėmis jungtimis «... ir ...», «... arba ...», «arba..., arba...», «jeigu... ,

tai...», «... tada ir tik tada, kai...»

Pavyzdžiai:

• 6 dalijasi iš 3 (elementarusis teiginys);

• 6 dalijasi iš 2 (elementarusis teiginys);

• 6 dalijasi iš 2 ir 3 (sudėtinis teiginys. „6 dalijasi iš 2 ir 6 dalijasi iš 3“);

• 6 dalijasi iš 2 arba 3 (sudėtinis teiginys. „6 dalijasi iš 2 arba 6 dalijasi iš 3“).

Teiginių logikoje sudėtinio teiginio teisingumo reikšmė visada vienareikšmiškai

priklauso tik nuo dviejų dalykų: nuo to, kokios yra į jį įeinančių paprastų teiginių teisingumo

reikšmės, ir nuo to, kokiais operatoriais jie sujungti.

9

Nagrinėsime penkias dažniausiai sutinkamas logines operacijas: neigimą, konjunkciją,

disjunkciją, implikaciją ir ekvivalenciją atitinkančias logines jungtis «ne...», «...ir...»,

«...arba...», «jeigu... , tai...», «... tada ir tik tada, kai...».

Logikoje neigimas žymimas tam tikru simboliu – brūkšniu, kuris dedamas virš teiginio.

Teiginį pažymėjus raide p, jo neigimas žymimas p ir skaitoma: ne-p; netiesa, kad p; klaidinga,

kad p.

Apibr ėžimas. Teiginio p neigimu p yra vadinamas teiginys «Netiesa, kad p »

(«ne p »), kuris yra teisingas tada ir tik tada, kai p yra neteisingas.

Pavyzdys: ≡p «šiandien lyja», ≡p «šiandien nelyja».

Loginis neigimas taip pat gali būti reiškiamas žodžiais „nėra“, „klaidinga, kad ...“ ir pan.

Pavyzdžiui, teiginio „Auditorijoje yra lenta“ neigimas reiškiamas taip:

Auditorijoje nėra lentos.

Netiesa, kad auditorijoje yra lenta.

Klaidinga, kad auditorijoje yra lenta.

Visi šie teiginiai lygiaverčiai. Įprastoje kalboje neigimas gali būti reiškiamas dar ir kitais

žodžiais: „be“, „išskyrus" ir pan. Pavyzdžiui, teiginys „Marytė buvo be akinių" lygiavertis

teiginiui „Marytė nebuvo užsidėjusi akinius".

Centrinė sąvoka logikoje – teisingumas. Tad kyla klausimas, koks santykis tarp pradinio

teiginio p ir jo neigimo p teisingumo požiūriu. Tuo tikslu sudaroma teisingumo lentelė:

p

auditorijoje yra lenta

p

auditorijoje nėra lentos

teisinga klaidinga

klaidinga teisinga

Kur kas trumpiau loginio neigimo teisingumo lentelė sudaroma taip:

p p

t k

k t

Raidės t, k lentelėje yra žodžių „teisinga" ir „klaidinga" santrumpos.

10

Mūsų kompiuteriai dirba taip vadinamos dvejetainės sistemos pagrindu. Jei impulsas yra,

tai kompiuterinė sistema fiksuoja 1, o jei to impulso nėra, tai kompiuterinė sistema fiksuoja 0.

Todėl matematikai – o jų pavyzdžiu ir mes – vietoje žodžių „teisinga“ ir „klaidinga“ naudoja

atitinkamai santrumpas – teisingumo reikšmes – 1 ir 0. Tada loginio neigimo teisingumo

reikšmių lentelė atrodys taip:

p p

1 0

0 1

UŽDUOTIS (pagal R. Plečkaičio knygą „Logikos pagrindai“):

1. Pateikite šių teiginių neigimus ir nustatykite jų teisingumą:

a) partijų kova yra politinė kova;

b) lietuvių kalbos daiktavardžiai kaitomi giminėmis;

c) logika tiria žmogaus nuotaikas.

2. Raide p pažymėję teiginį „Priešo puolimas buvo lauktas“, teiginį „Priešo puolimas

nebuvo nelauktas“ užrašykite loginiais simboliais ir nustatykite, kokiam teiginiui jis

lygiavertis. [teiginys p lygiavertis teiginiui p]

Pereiname prie sekančios loginės operacijos – konjunkcijos.

Apibr ėžimas. Dviejų teiginių p ir q konjunkciniu teiginiu

(arba sutrumpintai konjunkcija) qp ∧ yra vadinamas sudėtinis teiginys «p ir q»,

kuris yra teisingas tada ir tik tada, kai abu jį sudarantys teiginiai yra teisingi.

Pavyzdžiai: « 522 =⋅ ir 632 =⋅ » yra klaidingas teiginys; «2 2 4⋅ = ir klevas yra lapuotis

medis» yra teisingas teiginys.

Galimi ir kiti konjunkcijos qp ∧ žymėjimai. Pavyzdžiui, p q⋅ arba tiesiog pq.

Konjunkcijos teisingumo reikšmių lentelė yra tokia:

p q qp ∧

1 1 1

1 0 0

0 1 0

11

0 0 0

Pirmuose dviejuose stulpeliuose pažymėti visi galimi paprastų teiginių p ir q

teisingumo ir klaidingumo atvejai. Nesunku suvokti, kad jų tebus tik keturi: 1)p teisingas, q

teisingas; 2)p teisingas, q klaidingas; 3)p klaidingas, q teisingas; 1)p klaidingas, q

klaidingas.

Trečiajame stulpelyje pažymėtos atitinkamos konjunkcijos qp ∧ teisingumo reikšmės:

1) jei p teisingas, q teisingas, tai konjunkcija qp ∧ yra teisinga;

2) jei p teisingas, q klaidingas, tai konjunkcija qp ∧ yra klaidinga;

3) jei p klaidingas, q teisingas, tai konjunkcija qp ∧ yra klaidinga;

4) jei p klaidingas, q klaidingas, tai konjunkcija qp ∧ yra klaidinga.

UŽDUOTIS. Užrašykite loginiais simboliais konjunkcinį teiginį „Auditorijoje yra

pakabinta lenta ir prie lentos stovi studentas“ ir nustatykite jo teisingumo reikšmes ir jų

realizacijos atvejus.

R. Plečkaitis [1] pastebi, kad įprastojoje kalboje konjunkcija reiškiama ne tik žodžiu „ir“.

Mūsų natūrali kalba yra turtinga. Daugeliu atvejų loginiu požiūriu jungčiai „ir“ lygiaverčiai šie

gramatiniai jungtukai: „o“, „bet“, „tačiau“, „nors“. Pavyzdžiui, šie teiginiai savo logine

reikšme yra lygiaverčiai:

Petraitis dar Vilniuje ir atostogaus gimtajame kaime.

Petraitis dar Vilniuje, o atostogaus gimtajame kaime.

Petraitis dar Vilniuje, bet atostogaus gimtajame kaime.

Petraitis dar Vilniuje, tačiau atostogaus gimtajame kaime.

Petraitis dar Vilniuje, nors atostogaus gimtajame kaime.

Visi šie teiginiai teisingi tik tada, kai teisingi juos sudarantys paprasti teiginiai, todėl šie

penki teiginiai yra logine prasme lygiaverčiai.

Dabar panagrinėsime sekančią loginę operaciją – disjunkciją.

Apibr ėžimas. Dviejų teiginių p ir q disjunkcija qp ∨ yra vadinamas sudėtinis teiginys

„ p arba q “, kuris yra klaidingas tada ir tik tada, kai abu jį sudarantys teiginiai yra klaidingi.

Pavyzdžiai: « 522 =⋅ arba 632 =⋅ » yra teisingas teiginys. « 522 =⋅ arba klevas –

spygliuotis medis» yra klaidingas teiginys.

12

Disjunkcijos teisingumo reikšmių lentelė yra tokia:

p q qp ∨

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Pirmuose dviejuose stulpeliuose, kaip ir konjunkcijos teisingumo reikšmių lentelės

atveju, pažymėti visi galimi paprastų teiginių p ir q teisingumo ir klaidingumo atvejai.

Nesunku suvokti, kad jų tebus tik keturi: 1)p teisingas, q teisingas; 2)p teisingas, q

klaidingas; 3)p klaidingas, q teisingas; 1)p klaidingas, q klaidingas.

Trečiajame stulpelyje pažymėtos atitinkamos disjunkcijos qp ∧ teisingumo reikšmės:

1) jei p teisingas, q teisingas, tai disjunkcija qp ∨ yra teisinga;

2) jei p teisingas, q klaidingas, tai disjunkcija qp ∨ yra teisinga;

3) jei p klaidingas, q teisingas, tai disjunkcija qp ∨ yra teisinga;

4) jei p klaidingas, q klaidingas, tai disjunkcija qp ∨ yra klaidinga.

UŽDUOTIS. Užrašykite loginiais simboliais disjunkcinį teiginį „Auditorijoje yra

pakabinta lenta arba prie lentos stovi studentas“ ir nustatykite jo teisingumo reikšmes ir jų

realizacijos atvejus.

Kai kada jungtį „... arba ...“ patogu nagrinėti dviem aspektais, suteikiant jai dvi reikšmes

– griežtąją ir silpnąją. Priklausomai nuo to skiriamos dvi disjunkcijos rūšys - griežtoji

disjunkcija ir silpnoji disjunkcija. Pirmuoju atveju jungtis „... arba ...“ suprantama „arba ...,

arba ...“ prasme, t.y. griežtojoje disjunkcijoje iš kelių galimų atvejų įvykdomu laikomas tik

vienas. Antruoju atveju jungtis „... arba ...“ suprantama aukščiau pateikto įrėminto apibrėžimo

prasme, bet, siekiant išvengti painiavos, prie termino „disjunkcija“ aukščiau išnagrinėta prasme

pridedamas žodelis „silpnoji“. Taigi, terminas „silpnoji disjunkcija“ suprantamas pateikto

įrėminto apibrėžimo prasme.

Griežtoji disjunkcija žymima simboliu ∨ɺ . Griežtosios disjunkcijos teisingumo reikšmių

lentelė yra tokia:

p q p q∨ɺ

1 1 0

1 0 1

13

0 1 1

0 0 0

Iš lentelės matome, kad griežtoji disjunkcija teisinga tada ir tik tada, kai teisingas tik

vienas jos narys.

Pavyzdžiai: «Arba 522 =⋅ , arba 632 =⋅ » yra teisingas teiginys. «Arba 2 2 4⋅ = , arba

klevas – lapuotis medis» yra klaidingas teiginys.

R. Plečkaitis [1] pateikia tokį pavyzdį. Tarkime, kad metame į viršų monetą ir sakome:

„Iškris herbas arba skaičius“. Šiai disjunkcijai sudarysime teisingumo lentelę:

p

iškris herbas

q

iškris skaičius

p q∨ɺ

iškris herbas arba iškris skaičius

teisinga teisinga klaidinga

teisinga klaidinga teisinga

klaidinga teisinga teisinga

klaidinga klaidinga klaidinga

Herbas ir skaičius abu iš karto iškristi negali (reikšmė „klaidinga“ paskutinio stulpelio

antroje eilutėje). Gali būti taip, kad iškrinta herbas, o skaičius neiškrinta (reikšmė „teisinga“

paskutinio stulpelio trečioje eilutėje). Gali būti taip, kad herbas neiškrinta, o skaičius iškrinta

(reikšmė „teisinga“ paskutinio stulpelio ketvirtoje eilutėje). Galiausiai negali būti taip, kad

neiškrinta nei herbas, nei skaičius (reikšmė „klaidinga“ penktoje eilutėje).

Teiginys „Už egzaminą galima gauti arba įvertinimą puikiai, arba labai gerai, arba gerai,

arba vidutiniškai, arba patenkinamai, arba silpnai, arba nepatenkinamai“ taip pat yra

griežtosios disjunkcijos pavyzdys, nes teisingas tik vienas iš išvardytų įvertinimų.

Tuo tarpu silpnojoje disjunkcijoje iš kelių galimų atveju įvykdomu laikomas bent vienas,

tačiau numatoma, kad gali būti įvykdomi ir kiti atvejai.

R. Plečkaitis [1] pateikia sekantį pavyzdį ir apibendrinimus. Tarkime, kad laikraštyje

išspausdintas tokio turinio skelbimas: „Firmai reikalinga sekretorė, kalbanti angliškai arba

vokiškai“. Pažiūrėkime, kokie asmenys atitiks šiame teiginyje išsakytą reikalavimą. Jei

kandidatė kalbės angliškai ir vokiškai, tai ji geriausiai atitiks reikalavimą. Jei ji kalba angliškai,

o vokiškai nekalba, ji taip pat atitiks skelbime nurodyta sąlygą (reikšmė „teisinga“ antroje

eilutėje). Jei kandidatė angliškai nekalba, o kalba vokiškai, ji irgi atitiks sąlygą. O jei ji nekalba

nei angliškai, nei vokiškai, tai skelbimo nurodytos sąlygos neatitiks.

Taigi, silpnosios disjunkcijos taisyklė: silpnoji disjunkcija klaidinga tada ir tik tada, kai

klaidingi visi jos nariai.

14

Samprotavimuose svarbu skirti griežtąją ir silpnąją disjunkciją. Teiginį „Nusikaltimą

padarė asmuo A arba asmuo B“ galima suprasti dvejopai - priklausomai nuo to, kokią reikšmę

priskirsime jungčiai „arba“. Jei jungtį „arba“ suprasime griežtąja reikšme, tai duotąjį teiginį

turime suprasti taip, kad nusikaltimą padarė tik vienas kuris nors asmuo – tik A arba tik B.

Jungčiai „arba“ priskyrę silpnąją reikšmę, duotąjį teiginį turime suprasti taip, kad nusikaltimą

padarė arba asmuo A, arba asmuo B, arba jie abu.

Silpnoji disjunkcija yra bendresnio, abstraktesnio pobūdžio negu griežtoji disjunkcija.

Todėl loginėse išraiškose vartojama silpnoji disjunkcija, nes logikai rūpi sukurti abstrakčius

alfabetus, tinkamus vartoti įvairiuose moksluose.

UŽDUOTIS (pagal R. Plečkaitį [1]). 1. Nustatykite, kuriuose iš pateikiamų teiginių

jungtis „arba“ pavartota griežtąja reikšme ir kuriuose – silpnąja reikšme:

a) ši byla civilinė arba baudžiamoji; [griežtoji reikšmė]

b) ar vėjužis pūtė, ar giružė ūžė, ar lendružėlė siūbavo; [silpnoji reikšmė]

c) ar kur maras nugalabys, arba šaltis sustingdys, arba sargas koks suglebęs kakton

buomą suvarys. (A. Puškinas) [griežtoji reikšmė]

2. Buvo sulaikyti trys asmenys, įtariant juos padarius žmogžudystę. Buvo aišku, kad

nusikaltėlis – tik vienas kuris nors iš jų trijų. Per parengtinį tardymą išaiškėjo, kad vienas

sulaikytųjų – visų gerbiamas miesto pilietis, kitas – žinomas apgavikas, o trečias – nežymus

miesto pilietis. Jų pavardės: Braunas, Džonsas ir Smitas. Kiekvienas apklaustųjų davė

parodymus.

Braunas: Aš to nepadariau. Džonsas to nepadarė.

Džonsas: Braunas to nepadarė. Tai padarė Smitas.

Smitas: Aš to nepadariau. Tai padarė Braunas.

Toliau tiriant bylą išaiškėjo, kad visų gerbiamo piliečio abu parodymai teisingi,

apgavikas abu kartus sumelavo, o nežymusis pilietis vieną kartą sumelavo, o kitą kartą pasakė

tiesą. Nustatykite visų gerbiamo piliečio, apgaviko ir nežymaus piliečio pavardes ir pasakykite,

kuris iš jų žudikas.

[Tarkime, kad nusikaltimą padarė Braunas. Tada pirmas Brauno parodymas klaidingas,

o antras teisingas. Džonsas sumelavo abu kartus, o Smitas abu kartus pasakė tiesą. Tai atitinka

sąlygą. Tarus, kad nusikaltimą padarė Džonsas, išeina, kad visi trys vieną kartą sakė tiesą, o

antrą kartą melavo. Tai neatitinka sąlygos. Neatitinka sąlygos ir prielaida, kad nusikaltimą

padarė Smitas. Nustačius, kad kaltas Braunas, paaiškėja, kad jis – nežymusis pilietis, Džonsas

– apgavikas, Smitas – visų gerbiamas miesto pilietis.]

15

Pereiname prie sekančios loginės operacijos – implikacijos – nagrinėjimo.

Apibr ėžimas. Dviejų teiginių p ir q implikacija qp⇒ yra vadinamas sudėtinis teiginys

«jeigu p , tai q», kuris yra klaidingas tada ir tik tada, kai p yra teisingas, o q– klaidingas.

Pavyzdys: «Jei 522 =⋅ , tai klevas – lapuotis medis» yra teisingas teiginys. Teiginys «Jei

klevas – lapuotis medis, tai 522 =⋅ » yra klaidingas teiginys.

Teiginys „Jei šiandien vasario 10 diena, tai rytoj vasario 11“ yra implikacija, sudaryta iš

dviejų paprastų teiginių: „šiandien vasario 10“ (p), „rytoj vasario 11“ (q). Turime: jei p, tai q.

Pirmasis implikacijos narys p vadinamas antecedentu, arba prielaida, o antrasis narys q –

konsekventu, arba išvada. Implikaciją žymėsime ženklu ⇒ .

Išraiška p q⇒ skaitoma dvejopai: 1) jei p, tai q; 2) iš p seka q. Tad implikacijos prasmė

yra ta, kad iš prielaidos (antecedento) seka išvada (konsekventas).

Toliau, nagrinėdami implikacijas, vadovausimės R. Plečkaičio knyga [1].

Įprastoje šnekamojoje kalboje implikacija reiškiama įvairiais žodžiais. Jungties „jei...,

tai...“ teiginyje gali kartais ir nebūti, tačiau teiginys turi implikacijos prasmę, pvz.: „Ką pasėjai,

tą ir pjausi“, „Dėsi grūdą prie grūdo – pripilsi aruodą“. Jungtimi „jei..., tai...“ šie teiginiai

reiškiami taip: „Jei tą pasėjai, tai tą ir pjausi“. „Jei dėsi grūdą prie grūdo, tai pripilsi aruodą“.

Implikacijos yra ir, pavyzdžiui, šie teiginiai: „Kai žmogus visas atsiduoda melui, jį

apleidžia protas ir talentas" (V. Bielinskis). „Norint atlikti didelius darbus, reikia būti

įkvėptiems" (C. Saint Simonas). Implikaciją dažnai išreiškia ir žodžiai „taigi“, „vadinasi“ ir

pan.

Jungtis „jei..., tai...“ – sudėtingiausia iš visų loginių jungčių. Teiginio išvedimas iš kito

teiginio yra sudėtingiausia loginė veiksena. Pasaulio objektų ir jų požymių begalinė įvairovė

neįgalina samprotavimus apie pasaulį apimti vienintele logine seka. Apžvelgsime svarbiausias

implikacijas.

Kauzalinė implikacija išreiškia priežastinį ryšį tarp reiškinių. Teiginyje „Jei trintis didėja,

tai kūno judėjimo greitis mažėja“ jungtis „jei..., tai...“ turi kauzalinės implikacijos reikšmę: iš p

priežastingai seka q.

Griežtoji implikacija išreiškia būtiną ryšį tarp reiškinių. Priežastiniai ryšiai taip pat

būtini, tačiau ne visi būtini ryšiai yra priežastiniai. Teiginyje „Jei skaičius dalijasi iš 4, tai jis

dalijasi ir iš 2“ jungtis „jei..., tai...“ turi griežtosios implikacijos reikšmę: iš p būtinai seka q.

Formalioji implikacija išreiškia ryšį tarp objekto ir jo požymio. Teiginyje „Jei x yra

žmogus, tai x – mąstanti būtybė“ pasakoma, kad jei kas nors turi požymį „būti žmogumi“, tai

16

jis turi požymį „būti mąstančia būtybe“. Šiame teiginyje jungtis „jei..., tai...“ turi formaliosios

implikacijos reikšmę.

Materialioji implikacija yra pati bendriausia, pagrindinė implikacijos rūšis.

Materialiojoje implikacijoje neatsižvelgiama nei į priežastinius, nei į būtinus ar kokius nors

kitus ryšius. Materialiojoje implikacijoje abstrahuojamasi nuo vi sų prasminių ryšių ir

atsižvelgiama tik į vieną faktori ų – teiginių teisingumą ir klaidingum ą. Formulė qp⇒

yra materialiosios implikacijos simbolinis užrašymas. Ją ir vartosime loginėse išraiškose

ir, užuot sakę „materialioji implikacija“, sakysime tiesiog „impl ikacija“ .

Implikacijos teisingumo reikšmių lentelė yra tokia:

p q p q⇒

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

Panagrinėsime šią lentelę detaliau. Antra eilutė: iš teisingo antecedento p seka teisingas

konsekventas q, implikacija p q⇒ teisinga. Taip ir būna samprotavimuose: kai turime teisingą

prielaidą – teiginį p – ir iš jos išvedame teisingą išvadą – teiginį q, – tai reiškia, kad mūsų

samprotavimo būdas teisingas.

Trečia eilutė: iš teisingo antecedento – prielaidos p – seka klaidingas konsekventas –

išvada q, – tai implikacija p q⇒ yra klaidinga. Jei kas nors iš teisingo teiginio išveda

klaidingą teiginį, tai jam nurodoma, kad jo samprotavimo būdas klaidingas. Iš teisingo teiginio

negali sekti klaidingas teiginys. Jei iš teisingų teiginių būtų galima logiškai išvesti klaidingus

teiginius, tai mes vieni kitų nesuprastume.

Ketvirta eilutė: iš klaidingos prielaidos p seka teisinga išvada q, implikacija

p q⇒ teisinga. Šis implikacijos atvejis pradedantiesiems dažnai atrodo neįtikimas. Argi

galima iš klaidingo teiginio logiškai išvesti teisingą teiginį? Pasirodo, galima. Logika eina

išvien su sveiku protu, tačiau ji eina toliau už sveiką protą. Iš klaidingo antecedento „Vilniaus

universitetas buvo įkurtas X amžiuje“ (šiame amžiuje universitetų apskritai nebuvo) seka

teisingas konsekventas „Vilniaus universitetas nebuvo įkurtas IX amžiuje“. Iš klaidingos

prielaidos „M. K. Čiurlionis sukūrė operą „Faustas“ seka teisingas teiginys „M. K. Čiurlionis

buvo talentingas kompozitorius“. Sukurti šią operą tegalėjo talentingas kompozitorius, tad visa

implikacija „Jei Čiurlionis sukūrė operą „Faustas“, tai Čiurlionis buvo talentingas

kompozitorius“ teisinga.

17

Penkta – paskutinioji – eilutė: iš klaidingos prielaidos p seka klaidinga išvada q,

implikacija p q⇒ teisinga. Šis atvejis pradedantiesiems taip pat dažnai kelia abejonių. Tuo

tarpu dalykas čia visai paprastas. Kai iš klaidingo teiginio p išvedame klaidingą teiginį q, tai ar

gerai (teisingai) samprotaujame, ar ne? Žinoma, kad gerai (teisingai) . Iš klaidingų teiginių

turi sekti klaidingi teiginiai. Jei žmogus laikosi klaidingų įsitikinimų, tai jie jį turi nuvesti į

kitas klaidas . O dabar šia tema – iš klaidingos prielaidos p seka klaidinga išvada q –

panagrinėkime pavyzdį.

Tegul turime samprotavimą: Akmuo maistingas. Duona iškepta iš akmens. Vadinasi, duona maistinga. Nors šiame samprotavime prielaidos „Akmuo maistingas“ ir „Duona iškepta iš akmens“

klaidingos, išvada „Duona maistinga“ teisinga, ir ji išvesta visiškai logiškai .

Panašiai iš klaidingų prielaidų Mes negyvename Lietuvoje. Lietuva - didžiausia Europos valstybė.

seka teisinga išvada „Mes negyvename didžiausioje Europos valstybėje“. Tad iš klaidingų teiginių

galima išvesti teisingus teiginius, ir šiuo atveju implikacija turi būti laikoma teisinga. Žinoma,

teisingų teiginių išvedimas iš klaidingų teiginių yra ne dėsningas, bet atsitiktinis reiškinys.

Todėl logika negali nurodyti, kada iš klaidingų teiginių gausime teisingus teiginius.

Trumpiau implikacijos teisingumo reikšmių lentelę galima nusakyti taip:

iš teisingo seka teisingas - implikacija teisinga;

iš teisingo seka klaidingas - implikacija klaidinga;

iš klaidingo seka teisingas - implikacija teisinga;

iš klaidingo seka klaidingas - implikacija teisinga.

Implikacijos taisyklė:

implikacija klaidinga tada ir tik tada, kai iš teisingos prielaidos seka klaidinga išvada.

Pereiname prie paskutiniojo mūsų teiginių logikos kurso operatoriaus – ekvivalencijos –

nagrinėjimo.

18

Apibr ėžimas. Dviejų teiginių p ir q ekvivalencija qp ⇔ yra vadinamas sudėtinis

teiginys «p tada ir tik tada, kai q», kuris yra teisingas tada ir tik tada, kai p ir q teisingumo

reikšmės sutampa, ir klaidingas, kai jos skiriasi.

Pavyzdžiai: Teiginys «35 yra sveikojo skaičiaus kvadratas tada ir tik tada kai 10 dalijasi

iš 7» yra teisingas. Teiginys «Klevas yra lapuotis medis tada ir tik tada, kai 522 =⋅ » yra

klaidingas teiginys.

Teiginys „Šiandien yra vasario 10 diena tada ir tik tada, jei rytoj yra vasario 11“ yra

ekvivalencija, sudaryta iš dviejų paprastų teiginių: „šiandien vasario 10“ (p), „rytoj vasario 11“

(q). Turime: p tada ir tik tada, kai q. Ekvivalenciją žymėsime ženklu ⇔ .

Išraiška p q⇔ skaitoma dvejopai: 1) p tada ir tik tada, kai q; 2) p ekvivalentus q. Dar

mes vietoj termino ekvivalentus vartojome terminą lygiavertus.

Kai kurie autoriai – pavyzdžiui, R. Plečkaitis [1] – ekvivalencijai žymėti naudoja ženklą

∼ , o išraišką p q⇔ skaito taip: jei ir tik jei p, tai q. Galimi ir kiti žymėjimai – pavyzdžiui, ≡ .

Ekvivalencijos teisingumo reikšmių lentelė yra tokia:

p q p q⇔

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Panagrinėsime šią lentelę detaliau. Antra eilutė: p teisingas, q teisingas. Teiginys

„Teisingumas ekvivalentus teisingumui“ teisingas.

Trečia eilutė: p teisingas, q klaidingas. Teiginys „Teisingumas ekvivalentus

klaidingumui“ klaidingas.

Ketvirta eilutė: p klaidingas, q teisingas. Teiginys „Klaidingumas ekvivalentus

teisingumui“ klaidingas.

Ir, pagaliau, paskutinė eilutė: p klaidingas, q klaidingas. Teiginys „Klaidingumas

ekvivalentus klaidingumui“ teisingas.

Ekvivalencijos taisyklė:

du teiginiai yra logiškai ekvivalentūs, jei jų teisingumo reikšmės vienodos

(abu teisingi arba abu klaidingi).

19

Teiginį „Vaiką maitinu tada ir tik tada, kai jis yra alkanas“ patikrinkime teisingumo

reikšmių lentele, nustatydami, kada pažadą pamaitinti vaiką tik tada, kai jis yra alkanas

ištesėsime ir kada neištesėsime.

Antra eilutė: p teisingas (vaiką maitinu), q teisingas (jis yra alkanas). Teiginys „Vaiką

maitinu tada ir tik tada, kai jis yra alkanas“ teisingas, pažadas ištesėtas.

Trečia eilutė: p teisingas (vaiką maitinu), q klaidingas (jis nėra alkanas). Pažadas

neištesėtas, nes pasižadėjome pamaitinti vaiką tik tuo atveju, kai jis alkanas.

Ketvirta eilutė: p klaidingas (vaiką nepamaitinau), q teisingas (jis yra alkanas). Pažadas

neištesėtas, nes pasižadėjome pamaitinti jį tuo atveju, kai jis alkanas.

Penkta – paskutinė – eilutė: p klaidingas (vaiką nepamaitinau), q klaidingas (jis nėra

alkanas). Pažadas ištesėtas.

Mūsų pasirinktas ekvivalencijos ženklas ⇔ yra tartum dviejų implikacijos ženklų –

ženklo ⇒ ir ženklo ⇐ sintezė, nes galima įrodyti, kad

Loginė ekvivalencija – tai implikacija abiem kryptim:

( ) ( )( ) ( )p q p q q p⇔ ⇔ ⇒ ∧ ⇒

Skaitome: teiginys „p tada ir tik tada, kai q“ ekvivalentus teiginiui „Iš p seka q ir iš q seka

p“. Pavyzdžiui, teiginys „Gaminys atitinka pasaulinius standartus tada ir tik tada, kai jis yra

aukštos kokybės gaminys“ yra implikacija abiem kryptim: „Jei gaminys atitinka pasaulinius

standartus, tai jis yra aukštos kokybės gaminys, ir jei gaminys yra aukštos kokybės, tai jis

atitinka pasaulinius standartus“.

Teiginių logikoje ypatingas vaidmuo tenka taip vadinamai teisingumo reikšmių funkcijai,

kitaip tariant – indikatoriui, kuris lygus 1, jei nagrinėjamasis teiginys yra teisingas, ir lygus 0,

jei šis teiginys yra klaidingas:

Apibr ėžimas. Teiginių aibėje apibrėžtą funkciją )( pτ vadinsime teisingumo reikšmių funkcija,

jei 1)( =pτ , kai teiginysp yra teisingas ir 0)( =pτ kai teiginys p yra klaidingas.

Pavyzdžiai. Tegu p yra teiginys „Skaičius π yra mažesnis už 3“. Iš mokyklinio kurso

žinome, kad iracionalusis skaičius π – tai apskritimo ilgio ir skersmens santykis, kuris yra

matematinė konstanta, plačiai naudojama matematikoje ir fizikoje, ir 3,14π ≈ , o jei tiksliau,

tai (žr. http://lt.wikipedia.org/wiki/Pi)

20

3,141592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 8841 971 69 399 3751 05 820 974 944 592 3...π ≈

Todėl šiuo atveju ( ) 0pτ = . Tačiau jei raide q pažymėsime teiginį „sakinys «Skaičius π yra

mažesnis už 3» yra teiginys“, tai nesunku pastebėti, kad ( ) 1qτ = .

Išnagrinėję penkias pagrindines logines jungtis – neigimą, konjunkciją, disjunkciją,

implikaciją ir ekvivalenciją – sudarysime bendrą jų teisingumo reikšmių lentelę:

p q p qp ∧ qp ∨ qp⇒ qp ⇔

1 1 0 1 1 1 1

1 0 0 0 1 0 0

0 1 1 0 1 1 0

0 0 1 0 0 1 1

Ši teisingumo reikšmių lentelė logikos kurse yra taip pat svarbi, kaip mokykloje yra

svarbi daugybos lentelė. Nežinant šių teisingumo reikšmių, neįmanoma toliau studijuoti

logikos kurso.

UŽDUOTIS KARTOJIMUI 1. Suformuluoti ir užrašyti konjunkcijos ar disjunkcijos

formoje sekančių teiginių teisingumo sąlygas (a ir b yra realūs skaičiai):

1. 0;ab= (sprendimas: ( ) ( )0 0a b= ∨ = );

2. 0;ab≠

3. / 0;a b≠

4. / 0;a b=

5. 7;a =

6. 7;a >

7. 7;a <

8. 2 2 0;a b+ =

9. 2 2 0.a b+ ≠

UŽDUOTIS KARTOJIMUI 2. Nustatykite teisingumo reikšmes sekančių sudėtinių

teiginių:

1. Jei 15 dalosi iš 5, tai 15 dalosi iš 3;

21

2. Jei 13 dalosi iš 5, tai 13 dalosi iš 3;

3. Jei 12 dalosi iš 5, tai 12 dalosi iš 3;

4. Jei 10 dalosi iš 5, tai 10 dalosi iš 3;

5. 15 dalosi iš 5 tada ir tik tada, kai 15 dalosi iš 3;

6. 13 dalosi iš 5 tada ir tik tada, kai 13 dalosi iš 3;

7. 15 dalosi iš 5 tada ir tik tada, kai 15 dalosi iš 4;

8. 15 dalosi iš 2 tada ir tik tada, kai 15 dalosi iš 3.

22

1.3. Loginės formos ir jų ekvivalentumas

1.2 skyrelyje matėme, kad sudėtiniai teiginiai gaunami iš elementariųjų, sujungiant juos

loginėmis jungtimis.

Kadangi sudėtinio teiginio teisingumas priklauso nuo jį sudarančių paprastų teiginių

teisingumo reikšmių, tai žinant paprastų teiginių p, q, r, s, t, ... teisingumo reikšmes, lengvai

galima nustatyti viso sudėtinio teiginio teisingumo reikšmę. Taikomos neigimo, konjunkcijos,

disjunkcijos, implikacijos, ekvivalencijos taisyklės.

Išnagrinėsime pavyzdį. Tarkime, kad teiginyje p q r∧ ⇒ teiginys p yra teisingas, t.y.

( ) 1pτ = , q klaidingas, t.y. ( ) 0qτ = , ir r teisingas, t.y. ( ) 1rτ = . Tai žinant, lengva nustatyti

viso sudėtinio teiginio p q r∧ ⇒ teisingumo reikšmę ( )p q rτ ∧ ⇒ . Iš tiesų, pirmiausia

išnagrinėję teiginių p, q ir r išvardytas teisingumo reikšmes, gauname:

Jei (p yra teisingas ir q yra klaidingas), tai r yra teisingas.

Atliekame veiksmą, nurodytą skliaustuose. Šis veiksmas – tai konjunkcija, kurios

rezultatas, akivaizdu, klaidingas. Tai ir užrašome, aiškumo dėlei palikdami skliaustus:

Jei ( p q∧ yra klaidinga), tai r teisingas;

vadinasi, p q r∧ ⇒ yra teisinga,

nes kai iš klaidingo teiginio seka teisingas teiginys, tai implikacija teisinga. Tad pagal turimas

teisingumo reikšmes sudėtinis teiginys p q r∧ ⇒ yra teisingas, todėl ( ) 1p q rτ ∧ ⇒ = .

Tačiau pilną vaizdą apie sudėtinį teiginį p q r∧ ⇒ turėsime tik iš jo teisingumo reikšmių

lentelės:

p q r p q∧ p q r∧ ⇒

1 1 1 1 1

1 1 0 1 0

1 0 1 0 1

1 0 0 0 1

0 1 1 0 1

0 1 0 0 1

0 0 1 0 1

0 0 0 0 1

Toliau mums yra naudingi keli nauji apibrėžimai.

Apibr ėžimas. Sudėtiniai teiginiai p , qp ∧ , qp ∨ , qp⇒ , qp ⇔ dar yra vadinami

pagrindinėmis loginėmis formomis. Į pagrindines logines formas vietoj raidžių vėl įrašius

elementariuosius ar sudėtinius teiginius gausime naujus teiginius, kurie yra vadinami

23

loginėmis formomis.

Pavyzdys: rqp ∨∧ )( , rqp ∧⇒ )( , p q r∧ ⇒ , qp ∧ yra loginės formos.

Logines formas žymėsime panašiai kaip funkcijas.

Pavyzdys: rqprqp ∨∧= )(),,(α , rqprqp ∧⇒= )(),,(β .

Apibr ėžimas. Loginės formos ),...,( 1 kppα ir ),...,( 1 kppβ , kurių teisingumo reikšmių

lentelės sutampa, vadinamos logiškai ekvivalenčiomis.

Žymėjimas: ),...,(),...,( 11 kk pppp βα ≡ , jei jų teisingumo reikšmių lentelės sutampa.

Taigi, tuo atveju, kai norėsime pabrėžti, kad ekvivalencija 1 1( ,..., ) ( ,..., )k kp p p pα ⇔ β yra

teisinga visoms kintamųjų 1,..., kp p reikšmėms, tai žymėsime ),...,(),...,( 11 kk pppp βα ≡ .

Apibr ėžimas. Loginė forma, kurios teisingumo reikšmės lygios 1 imant bet kurias jos

kintamųjų teisingumo reikšmes, vadinama tautologija ir žymima I .

Pavyzdys: Ipp ≡∨ .

Apibr ėžimas. Loginė forma, kurios teisingumo reikšmės lygios 0 imant bet kurias jos

kintamųjų teisingumo reikšmes, vadinama tapačiai neteisinga arba loginiu nuliu ir žymima O.

Pavyzdys: p p O∧ ≡ . Pastebėsime, kad loginė forma p p∧ įgyja tik klaidingas

teisingumo reikšmes, tuo tarpu loginė forma p p O∧ ≡ įgyja tik teisingas teisingumo

reikšmes.

Apibr ėžimas. Kiekvieną tautologiją vadiname logikos dėsniu.

Pavyzdžiuose pateikta Ipp ≡∨ tautologija vadinama negalimo trečiojo dėsniu, o

p p O∧ ≡ – prieštaravimo dėsniu.

24

Šiuos ir kitus logikos dėsnius detaliau panagrinėsime sekančiame skyrelyje.

1.4. Pagrindiniai logikos dėsniai

PRIEŠTARAVIMO D ĖSNIS. Šis dėsnis laikomas vienu svarbesnių logikos dėsnių. Jis,

kaip jau matėme, užrašomas formule

p p O∧ ≡ .

Tokia forma prieštaravimo dėsnis užrašomas, pavyzdžiui, vadovėlyje [2]. Kai kurie

autoriai (pavyzdžiui, R. Plečkaitis [1]) šį dėsnį užrašo tokia forma:

p p∧ ,

kuri skaitoma taip: netiesa, kad teiginys p ir jo neigimas ne-p yra kartu teisingi. Prieštaravimo

dėsnis dar ir taip nusakomas: teiginys negali būti kartu ir teisingas, ir klaidingas .

Loginę formą p p∧ sudaro teiginys p, jo neigimas p , teiginių p ir p konjunkcija, šios

konjunkcijos neigimas. Loginę formą p p∧ pradedame skaityti nuo ilgojo brūkšnio,

reiškiančio p p∧ neigimą: netiesa, kad teiginys p ir jo neigimas ne-p yra kartu teisingi.

Kadangi loginė forma p p∧ yra logikos dėsnis, tai kintamąjį p pakeitę kokiu nors

konkrečiu teiginiu visuomet gausime tiesą. Pakeitę p, pavyzdžiui, teiginiu „Vardenis

Pavardenis pažeidė įstatymą“, loginę formą p p∧ skaitome taip: netiesa, kad teiginys

„Vardenis Pavardenis pažeidė įstatymą“ ir jo neigimas „Vardenis Pavardenis nepažeidė

įstatymą“ yra kartu teisingi. Kiekvienam aišku, kad negali būti taip, jog koks nors asmuo

pažeistų įstatymą ir tuo pačiu metu jo nepažeistų, nes negalima įstatymą „truputį pažeisti“

(kaip sako kai kurie politikai).

Patikrinti, ar tikrai loginė forma p p∧ yra logikos dėsnis, galima sudarant jos

teisingumo reikšmių lentelę:

p p p p∧ p p∧

1 0 0 1

0 1 0 1

Pirmame teisingumo reikšmių lentelės stulpelyje pažymėta, kad teiginys p gali būti

teisingas arba klaidingas. Antrame stulpelyje nustatoma p reikšmė: jei p teisingas, tai p

klaidingas, jei p klaidingas, tai p teisingas. Trečiame stulpelyje nustatoma konjunkcijos p p∧

teisingumo reikšmė. Žinome, kad konjunkcija teisinga tik tada, kai teisingi visi jos nariai.

Antroje lentelės eilutėje p teisingas, bet p klaidingas, tad konjunkcija p p∧ klaidinga.

25

Trečioje eilutėje p klaidingas, p teisingas, tad ir konjunkcija p p∧ taip pat klaidinga.

Paskutiniame lentelės stulpelyje nustatoma p p∧ teisingumo reikšmė loginio neigimo

taisyklės pagrindu. Kadangi p p∧ yra loginės formos p p∧ neigimas, tai kai loginė forma

p p∧ klaidinga, jos neigimas teisingas. Neigiant tai, kas klaidinga (trečio stulpelio antra ir

trečia eilutės), gauname reikšmę „teisinga“ (ketvirto stulpelio antra ir trečia eilutės). Taigi

išraiška p p∧ yra visuomet teisingas teiginys, t.y. p p∧ yra tautologija, o tuo pačiu ir logikos

dėsnis.

Analogiškai tikrinama, kad ir kita prieštaravimo dėsnio išraiškap p O∧ ≡ yra logikos

dėsnis:

p p p p∧ O p p O∧ ⇔

1 0 0 0 1

0 1 0 0 1

Atkreipkime dėmesį į tai, kad išraiška p p∧ yra visuomet klaidinga, todėl teiginiai p ir

p vadinami prieštaraujančiais vienas kitam. Du teiginiai vienas kitam prieštarauja, jei nėra

teiginio, kuris patvirtintų juos abu. Logikoje nėra teiginio, kuris patvirtintų ir p, ir ne-p.

Prieštaravimo dėsnis draudžia apie objektą mąstyti prieštaringai, jis nurodo, kad

negalima suderinti teiginio ir to paties teiginio neigimo. Pagal šį dėsnį, negalima laikyti kartu

teisingais tų teiginių, kurių vienas ką nors teigia apie objektą, o antras tą patį neigia.

Prieštaravimo dėsnis yra vienas pagrindinių logikos dėsnių, kuriuo mes nuolat

vadovaujamės samprotaudami. Kai teismas skelbia nuosprendį, teisiamasis, padaręs

nusikaltimą, niekuomet negali būti pripažintas kaltu ir drauge nekaltu.

R. Plečkaitis [1] pažymi, kad taikant teiginiams p ir p prieštaravimo dėsnį, šiuos

teiginius reikia vartoti vienu ir tuo pačiu požiūriu, viena ir ta pačia prasme. Jei teiginį p

vartosime vienu požiūriu, o jo neigimą p – kitu požiūriu, tai prieštaravimo dėsnis tokių

teiginių atžvilgiu negalios. Pavyzdžiui, pagal prieštaravimo dėsnį negali būti laikomi kartu

teisingi teiginiai „Aš esu auditorijoje“ ir „Aš nesu auditorijoje“. Jei kas nors sako, kad vis dėlto

galima būti auditorijoje (pvz., sėdėti auditorijos suole) ir kartu joje nebūti (pvz., mintyse

persikelti į praeitį), tai aišku, kad čia teiginiai „Aš esu auditorijoje“ ir „Aš nesu auditorijoje“

vartojami skirtingomis prasmėmis. Logika reikalauja, kad samprotaujant vienas ir tas pats

teiginys būtų vartojamas viena ir ta pačia prasme. Šį reikalavimą visuomet reikia prisiminti

diskusijose, sekti, ar oponentas vartoja teiginius ta pačia prasme.

26

UŽDUOTIS (pagal R. Plečkaitį [1]). 1. Kokią klaidą atskleidžia Sobakevičius

Čičikovo samprotavime:

„Jūs, rodos, esate gan protingas žmogus, turite mokslo žinių. Juk dalykas, kurį jūs

parduodate – tiesiog tuščias burbulas! Ko jis vertas? Kam reikalingas?

– Na, jūs perkate, tai, vadinasi, jums reikalingas.

Čičikovas prikando lūpą ir nesusigriebė, ką atsakyti.“ (A. Gogolis)

[Čičikovas nesilaiko prieštaravimo dėsnio, nes sako vieną, o daro priešingai]

2. Senovės graikų filosofijos krypties – skepticizmo – šalininkai tvirtino, kad pasaulis

nepažinus, kad joks teiginys logiškai nėra stipresnis arba teisingesnis už jam prieštaraujantį

teiginį, kad kiekvienas teiginys ne daugiau tikras negu jam prieštaraujantis teiginys. Teiginį ir

jo prieštaravimą skeptikai paskelbė lygiaverčiais. Skeptikų mokyklos įkūrėjas Pironas kartą

supyko ant savo virėjo už neskaniai pagamintus pietus. Ar pagal skepticizmo principus Pironas

turėjo teisę ant virėjo supykti? [ne, nes skepticizmo atskaitos sistemoje teiginiai „pietūs yra

neskaniai pagaminti“ ir „pietūs yra skaniai pagaminti“ yra lygiaverčiai]

NEGALIMO TRE ČIOJO DĖSNIS. Šis dėsnis užrašomas formule

p p I∨ ≡ .

Tokia forma negalimo trečio dėsnis užrašomas, pavyzdžiui, vadovėlyje [2]. Kai kurie

autoriai (pavyzdžiui, R. Plečkaitis [1]) šį dėsnį užrašo tokia forma:

p p∨ ,

kuri skaitoma taip: teiginys p teisingas arba jo neigimas ne-p teisingas – trečios galimybės

nėra. Negalimo trečiojo dėsnis dar ir taip nusakomas:

kiekvienas teiginys yra teisingas arba klaidingas – trečios galimybės nėra.

Negalimo trečiojo dėsnis dažnai formuluojamas lotynų kalbos posakiu

tertium non datur (trečios galimybės nėra).

Kadangi loginė forma p p∨ yra logikos dėsnis, tai kintamąjį p pakeitus kokiu nors

konkrečiu teiginiu, visuomet gausime tiesą. Pavyzdžiui, kintamąjį p pakeitus teiginiu

„Konstitucija buvo pažeista“, loginę formą p p∨ skaitome taip: „Konstitucija buvo pažeista

arba Konstitucija nebuvo pažeista“. Trečios galimybės – pavyzdžiui, „Konstitucija buvo truputį

pažeista“ – nėra. Iš šių teiginių – p ir p – tėra teisingas kuris nors vienas – arba teiginys p,

arba jo neigimas p . Remiantis loginio neigimo taisykle, nustatoma: jei p teisingas, tai jo

neigimas p klaidingas; jei p klaidingas, tai jo neigimas p teisingas.

Loginėje formoje p p∨ kintamąjį p pakeitus teiginiu „Vardenis Pavardenis matė

nusikaltimą“, ją skaitome: „Vardenis Pavardenis matė nusikaltimą arba Vardenis Pavardenis

27

nematė nusikaltimo“. Trečios galimybės nėra. Iš šių dviejų teiginių teisingas tik vienas, o

antras – klaidingas.

Patikrinti, ar tikrai loginė forma p p∨ yra logikos dėsnis, galima sudarant jos

teisingumo reikšmių lentelę:

p p p p∨

1 0 1

0 1 1

Pirmame teisingumo reikšmių lentelės stulpelyje pažymėta, kad teiginys p gali būti

teisingas arba klaidingas. Antrame stulpelyje nustatoma p reikšmė: jei p teisingas, tai p

klaidingas, jei p klaidingas, tai p teisingas. Trečiame stulpelyje nustatoma disjunkcijos p p∨

teisingumo reikšmė. Žinome, kad disjunkcija klaidinga tik tada, kai klaidingi visi jos nariai.

Antroje lentelės eilutėje p klaidingas, bet p teisingas, tad ir disjunkcija p p∨ teisinga.

Paskutinėje eilutėje p klaidingas, bet p teisingas, tad ir disjunkcija p p∨ taip pat teisinga.

Taigi, loginė forma p p∨ yra visuomet teisingas teiginys, t.y. p p∨ yra tautologija, o tuo

pačiu ir logikos dėsnis.

Analogiškai tikrinama, kad ir kita negalimo trečiojo dėsnio išraiškap p I∨ ≡ yra logikos

dėsnis:

p p p p∨ I p p I∨ ⇔

1 0 1 1 1

0 1 1 1 1

Negalimo trečiojo dėsnį galima užrašyti pavartojus ir griežtąją disjunkciją: p p∨ɺ . Bet

esame nurodę, kad silpnoji disjunkcija yra bendresnio pobūdžio, todėl kaip tik ji vartojama

loginėse išraiškose.

Kaip ir prieštaravimo dėsnis, negalimo trečiojo dėsnis yra vienas iš pagrindinių dėsnių,

nuolat vartojamų samprotavimuose. Pavyzdžiui, teisiamasis kaltas arba nekaltas, trečios

galimybės nėra.

Negalimo trečiojo dėsnis atspindi mąstyme tą paprastą faktą, kad koks nors objektas

egzistuoja arba neegzistuoja, kad jis turi kokius nors požymius arba jų neturi.

Taip pat svarbu pabrėžti, kad taikant teiginiams p ir p negalimo trečiojo dėsnį, šiuos

teiginius reikia vartoti vienu ir tuo pačiu požiūriu, viena ir ta pačia prasme.

28

UŽDUOTIS (pagal R. Plečkaitį [1]). 1. Kuriam iš pateiktų teiginių taikomas negalimo

trečiojo dėsnis ir kuriam netaikomas:

a) „Būti ar nebūti - štai mįslė“ (V. Šekspyras); [taip, nes taikant negalimo trečiojo dėsnį

šie teiginiai vartojami vienu ir tuo pačiu požiūriu, viena ir ta pačia prasme]

b) liudytojas painiojasi parodymuose arba sąmoningai nutyli faktus. [ne, nes šie teiginiai

vartojami ne vienu ir tuo pačiu požiūriu ir net skirtingomis prasmėmis]

2. Ar pritariate šiam samprotavimui:

Teiginiui „Šis popierius baltas arba juodas“ taikomas negalimo trečiojo dėsnis. Vienas iš

dviejų - arba teisinga, kad popierius baltas, arba teisinga, kad popierius juodas. Trečios

galimybės nėra. [ne, popieriaus lapas dar gali būti raudonas, mėlynas ar pan. Teisingas būtų

tokio tipo samprotavimas: arba teisinga, kad popierius baltas, arba teisinga, kad popierius nėra

baltas]

DVIGUBO NEIGIMO D ĖSNIS. Šis dėsnis užrašomas formule

p p≡ .

Dar šį dėsnį galima užrašyti tokia forma: p p⇔ . Ši forma skaitoma taip: teiginys

„Netiesa, kad ne-p" ekvivalentus teiginiui p. Dvigubo neigimo dėsnis dar ir taip nusakomas:

dvigubas neigimas ekvivalentus teigimui.

Esame pabrėžę, kad logikos dėsnis yra visuomet teisingas teiginys. Jei išraiška visuomet

teisinga, tai kintamuosius pakeitus konkrečiais teiginiais gausime tiesą. Dvigubo neigimo

dėsnyje kintamąjį p pakeiskime kokiu nors konkrečiu teiginiu. Pakeitę p , pavyzdžiui, teiginiu

„Vasaris šiemet buvo šaltas“, išraišką p p⇔ skaitome taip: teiginys „Netiesa, kad vasaris

šiemet buvo nešaltas“ ekvivalentus teiginiui „Vasaris šiemet buvo šaltas“. Ši ekvivalencija yra

visuomet teisingas teiginys nepriklausomai nuo to, ar vasaris šiemet buvo šaltas, ar, priešingai,

šiltas. Taip yra todėl, kad ši ekvivalencija yra logikos dėsnis, o norint tai pabrėžti dažnai

naudojama forma p p≡ .

Patikrinsime, ar tikrai loginė forma p p⇔ yra logikos dėsnis, teisingumo reikšmių

lentelės pagalba:

p p p p p⇔

1 0 1 1

0 1 0 1

29

Pirmame teisingumo reikšmių lentelės stulpelyje pažymėta, kad teiginys p gali būti

teisingas arba klaidingas. Antrame stulpelyje nustatoma p reikšmė: jei p teisingas, tai p

klaidingas, jei p klaidingas, tai p teisingas, nes iš loginio neigimo žinome, kad jei teiginys p

teisingas, tai jo neigimas p yra klaidingas, ir jei p klaidingas, tai jo neigimas p teisingas.

Trečiame stulpelyje nustatoma p reikšmė. Vėl reikia taikyti loginio neigimo taisyklę, nes p

yra p neigimas. Taigi jei p klaidingas, tai p teisingas, ir jei p teisingas, tai p klaidingas.

Paskutiniame stulpelyje nustatysime išraiškos p p⇔ teisingumo reikšmes. Trečiame ir

pirmame stulpeliuose pažymėtos teiginių p ir p teisingumo reikšmės. Šių stulpelių pirma

eilutė vienoda – reikšmė „teisinga“. Tai tiesa. Šitai užrašome paskutinio stulpelio pirmoje

eilutėje. Trečio ir pirmo stulpelio antra eilutė taip pat vienoda – reikšmė „klaidinga". Tai tiesa,

ir šitai užrašome paskutinio stulpelio antroje eilutėje. Taigi, loginė forma p p⇔ yra visuomet

teisingas teiginys, t.y. p p⇔ yra tautologija, o tuo pačiu ir logikos dėsnis.

Kadangi p ekvivalentu p, tai dvigubą neigimą visuomet galima „nubraukti“.

Įsitikinsime, kad trigubas neigimas p ekvivalentus neigimui, t.y., kad p p⇔ . Tuo tikslu

sudarome teisingumo reikšmių lentelę:

p p p p p p⇔

1 0 1 0 1

0 1 0 1 1

Taigi, loginė forma p p⇔ yra visuomet teisingas teiginys, t.y. p p⇔ yra tautologija,

o tuo pačiu ir logikos dėsnis.

Šį pastebėjimą galima apibendrinti taip:

jei teiginyje lyginis neigimų skaičius, tai juos visus galima nubraukti, nes jie ekvivalentūs

teigimui. Jei teiginyje nelyginis neigimų skaičius, tai jie visi ekvivalentūs vienam neigimui.

R. Plečkaitis [1] pastebi, kad loginis neigimas taikomas loginei gramatinių sakinių

analizei. Pavyzdžiui, tegu turime sakinį „A melavo, kad jis matė B“. Šiame sakinyje išreikštos

dvi mintys, ir būtų netikslu teigti, kad viena jų priklauso pagrindiniam sakiniui, o kita -

šalutiniam. Tos dvi mintys šios:

1. A teigia, kad jis matė B.

2. A nematė B.

Išanalizavę gauname sakinį: „A teigė, kad jis matė B, ir A nematė B“.

30

Natūrali šnekamoji kalba ne visada pajėgia griežtai išreikšti loginius būvius. Lietuvių

kalboje į teiginį įvestas vienas neigimas kartais tegali būti išsakomas dviem ar net trimis

neigimo prasmę turinčiais žodžiais. Teiginyje „Nutariau nieko nedaryti“ yra du tokie žodžiai,

nors logiškai žodžiais „nieko nedaryti“ išsakomas vienas neigimas. Anglų kalboje šiuo atveju

apsieinama vienu neigiamu žodžiu to do nothing. Teiginyje „Niekas nieko nepasakė“ trimis

neigiamais žodžiais išsakomas vienas loginis neigimas: „nėra tokio, kuris ką nors būtų

pasakęs“.

UŽDUOTIS (pagal R. Plečkaitį [1]). Išnagrinėkite teiginį „A suklydo teigdamas, kad

B sakė netiesą“. [A teigė, kad B sakė netiesą, ir A suklydo]; galimas ir detalesnis variantas: [A

teigė, kad netiesa, jog B sakė tiesą, ir A suklydo]

IMPLIKACIJOS D ĖSNIS. Šis dėsnis užrašomas formule

( )p p q I⇒ ⇒ ≡ .

Prieš šio dėsnio įrodymą teisingumo lentelių pagalba pamėginsime detaliau išnagrinėti, kokią

situaciją atspindi ši formulė. Tuo tikslu implikaciją ( )p p q⇒ ⇒ perrašysime taip:

„Jei p , tai

jei p , tai q “

Šiek tiek pridėjus papildomų žodžių, nekeičiančių esmės, gauname:

„Jei p , tai

jei dar ir papildomai p , tai q “

arba tiesiog:

„Jei pp ∧ , tai q “, t.y. p p q∧ ⇒ .

Kadangi pagal prieštaravimo dėsnį pp ∧ yra visada klaidingas teiginys, tai iš antros formos

( p p q∧ ⇒ ) aiškiai matyti, kad iš klaidingo teiginio seka bet kas.

Štai kodėl implikacijos dėsnis dar yra nusakomas taip:

iš klaidingo teiginio seka bet kuris kitas teiginys (teisingas arba klaidingas).

Žinoma, šios išvados teisingumui pagrįsti mes be įrodymo pasinaudojome tuo, kad

loginės formos ( )p p q⇒ ⇒ ir p p q∧ ⇒ yra ekvivalenčios, todėl teisingumo reikšmių

lentelė pagalba atliksime tai dabar:

p q p p q⇒ ( )p p q⇒ ⇒ pp ∧ p p q∧ ⇒

31

1 1 0 1 1 0 1

1 0 0 1 1 0 1

0 1 1 1 1 0 1

0 0 1 0 1 0 1

Susumuojant tai, kas pasakyta, darome išvadą, kad implikacijos dėsnio reikšmė yra ta, kad jis

samprotavimų prielaidose draudžia vartoti klaidingus teiginius. Jei teorijoje pasirodo

klaidingas teiginys, tai iš jo galima išvesti daug kitų klaidingų teiginių. Jei kas nors vartoja

klaidingas prielaidas, tai iš jų jis gali įrodyti ką tik nori. Iš klaidingos prielaidos, kad P. Cvirka

neparašė „Frank Kruk“, seka, kad jis parašė bet kurį kitą kūrinį, pavyzdžiui, „Tykųjį Doną“ .

Istorija pateikia nemažai pavyzdžių, kaip klaidingos pažiūros, įsitikinimai atvedė į daugelį kitų

klaidų. Klaidingi fašizmo teiginiai atvedė į didžiausias katastrofas žmonijos gyvenime .

UŽDUOTIS (pagal R. Plečkaitį [1]). 1. Perskaitykite išraišką ( ) ( )p q q r⇒ ⇒ ⇒ .

2. Konjunkcijos ir disjunkcijos narius galima sukeisti vietomis. Ar galima tai padaryti

implikacijoje?

3. Iš klaidingo teiginio „2 = 1“ išveskite teisingą teiginį „2 = 2“. [Jei 2 = 1, tai iš abiejų lygybės

pusių atėmę po 1 gauname, kad 1 = 0, o iš šios lygybės abi puses sukeitę vietomis gauname,

kad 0 = 1. Dabar belieka sudėti atitinkamas šios lygybės ir lygybės 2 = 1 puses. Gauname, kad

2 = 2]

4. Jei visi metalai yra skysčiai ir vanduo yra metalas, tai kas iš to seka? Aptarkite šį

samprotavimą. [ Vanduo yra skystis. Teisinga išvada gaunama iš klaidingų prielaidų]

5. Aptarkite ši įrodymą. Vienas šiuolaikinės logikos kūrėjų B. Russellas kartą skaitė populiarią

paskaitą apie moderniąją logiką ir jos vertę. Paskaitoje jis aiškino, kodėl visuomenė nemėgsta

klaidingų teiginių - mat jais galima įrodyti ką tik nori. Vienas klausytojas pateikė B. Russellui

klaidingą teiginį 2*2 = 5 ir pasiūlė iš jo išvesti, kad Russellas esąs popiežius. Russellas išvedė

tai taip: iš lygybės 2*2 = 5 abiejų pusių atėmus po 3, gausime, kad 1 = 2. Bet jei 1 = 2, tai ir 2

= 1, todėl popiežius ir aš esame tas pats asmuo. [Russelo įrodymas yra logiškas ]

32

1.5. De Morgano dėsniai. Kiti logikos dėsniai

Mes gan detaliai išnagrinėjome elementariųjų teiginių neigimą. Tačiau neigti galima ne

tik elementariuosius, bet ir sudėtinius teiginius. Detaliau panagrinėsime konjunkcijos ir

disjunkcijos neigimą.

Pradėsime konjunkcijos neigimo nagrinėjimą tokiu pavyzdžiu. Tegu turime teiginį

„Netiesa, kad studentas teisingai išsprendė pirmą ir antrą uždavinį“. Ar tai reiškia, kad abu

uždaviniai išspręsti neteisingai? Ne, nereiškia. Šį teiginį reikia suprasti taip: studentas

neteisingai išsprendė pirmą uždavinį arba studentas neteisingai išsprendė antrą uždavinį, arba

studentas neteisingai išsprendė abu uždavinius, nes silpnojoje disjunkcijoje numatoma, kad ir

šie abu atvejai gali būti realūs. Jei raide p pažymėti teiginį „studentas teisingai išsprendė pirmą

uždavinį“, o raide q pažymėti teiginį „studentas teisingai išsprendė antrą uždavinį“, tai mūsų

išnagrinėtą atvejį galima užrašyti taip:

p q p q∧ ⇔ ∨ .

Pasirodo, kad ši formulė yra teisinga bet kuriems teiginiams p ir q.

PIRMASIS DE MORGANO DĖSNIS. Bet kuriems teiginiams p ir q

p q p q∧ ≡ ∨ .

Šią išraišką skaitome taip: teiginys „Netiesa, kad p ir q“ ekvivalentus teiginiui „Ne-p arba ne-

q“. Dažnai taip pat rašoma: p q p q∧ ⇔ ∨ . Įrodysime šį dėsnį teisingumo reikšmių lentelės

pagalba:

p q p q∧ p q∧ p q p q∨ p q p q∧ ⇔ ∨

1 1 1 0 0 0 0 1

1 0 0 1 0 1 1 1

0 1 0 1 1 0 1 1

0 0 0 1 1 1 1 1

Paskutiniame lentelės stulpelyje yra tik reikšmės „teisinga“, vadinasi, duotoji loginė forma

p q p q∧ ⇔ ∨ yra visuomet teisingas teiginys, logikos dėsnis. Tai reiškia, kad konjunkcijos

neigimą suprantame teisingai.

Panagrinėkime dabar disjunkcijos neigimą. Teiginys „Netiesa, kad studentas teisingai

išsprendė pirmą arba antrą uždavinį“ reiškia ne tai, kad studentas neteisingai išsprendė pirmą

uždavinį arba studentas neteisingai išsprendė antrą uždavinį, bet tai, kad studentas neteisingai

išsprendė pirmą ir antrą uždavinius kartu:

p q p q∨ ⇔ ∧ .

33

Ir ši formulė yra teisinga bet kuriems teiginiams p ir q.

ANTRASIS DE MORGANO DĖSNIS. Bet kuriems teiginiams p ir q

p q p q∨ ≡ ∧ .

Šią išraišką skaitome taip: teiginys „Netiesa, kad p arba q“ ekvivalentus teiginiui „Ne-p ir ne-

q“. Dažnai taip pat ir rašoma: p q p q∨ ⇔ ∧ . Įrodysime šį dėsnį teisingumo reikšmių lentelės

pagalba:

p q p q∨ p q∨ p q p q∧ p q p q∨ ⇔ ∧

1 1 1 0 0 0 0 1

1 0 1 0 0 1 0 1

0 1 1 0 1 0 0 1

0 0 0 1 1 1 1 1

Paskutiniame lentelės stulpelyje yra tik reikšmės „teisinga“, vadinasi, duotoji loginė forma

p q p q∧ ⇔ ∨ yra visuomet teisingas teiginys, logikos dėsnis. Tai reiškia, kad ir disjunkcijos

neigimą suprantame teisingai.

Baigdami de Morgano dėsnių nagrinėjimą pastebėsime, kad Augustas de Morganas –

žymus XIX a. anglų matematikas ir logikas. Detaliau apie šį mokslininką galima paskaityti,

pavyzdžiui, čia: http://en.wikipedia.org/wiki/Augustus_De_Morgan .

Tautologijų, taigi, ir logikos dėsnių yra labai daug. Mes paminėsime tik kelis iš jų ir

pasiūlysime skaitytojui savarankiškai sudaryti jų teisingumo reikšmių lenteles.

KONTRAPOZICIJOS D ĖSNIS:

( ) ( )p q q p⇒ ≡ ⇒ .

SILOGIZMO D ĖSNIS:

( )( )1 1( ) ( ) ( )p p p q p q I⇒ ∧ ⇒ ⇒ ⇒ ≡ .

IDEMPOTENCIJOS DĖSNIAI (iš lotynų kalbos žodžių idem – tas pats, potens –

stiprus):

p p p∧ ≡ ir p p p∨ ≡ .

SUVEDIMO Į PRIEŠTARAVIM Ą DĖSNIS:

( ) ( )( ) ( )p q r r p q∧ ⇒ ∧ ≡ ⇒ .

O štai prisiminus implikacijos p q⇒ teisingumo reikšmių lentelę nesunku įrodyti šias

dvi taisykles, kurias pavaizduosime schematiškai.

34

TEISINGOS IŠVADOS TAISYKL Ė (MODUS PONENS):

p yra teisingas,

p⇒q yra teisingas,

----------------------------

q yra teisingas.

Apie šią taisyklę straipsnyje Formalioji logika http://www.mindgasmic.com/ese45a.htm

rašoma taip:

Jau senovės graikai pastebėjo, kad taisyklingo samprotavimo procese tam tikri elementai

kartojasi. Klasika tapęs pavyzdys: jeigu žinome, kad visi žmonės yra mirtingi (pažymėkime šį teiginį

raide p), ir dar žinome, kad Sokratas yra žmogus (pažymėkime šį teiginį raide q), tada teisinga

sakyti, kad Sokratas yra mirtingas (tai teiginys p q⇒ ). Kitaip tariant, jeigu sutinkame su šių dviejų

teiginių turinių teisingumu: ,,iš to, kad kas nors yra žmogus, išplaukia, kad jis yra mirtingas” ir ,,Sokratas

yra žmogus”, galima padaryti išvadą, kad ,,Sokratas yra mirtingas”. Gyvenime dažnai samprotaujame

panašiai. Atrodo labai logiška, kad nepaisydami konkretaus turinio, esame linkę šio tipo samprotavimą

laikyti teisinga beveik visais atvejais:

Jeigu žinome, kad iš p išplaukia q, o p yra teisinga, tada be papildomos faktų analizės sutinkame

su tuo teiginiu, kad q taip pat yra teisinga.

Tokio tipo samprotavimas vadinamas modus ponens. Jeigu kažkas savo samprotavimą išdėsto

kaip susijusių teiginių virtinę, turbūt nesunkiai įtikina mus.

NETEISINGOS IŠVADOS TAISYKL Ė (MODUS TOLLENS):

p⇒q yra teisingas,

q yra neteisingas,

----------------------------

p yra neteisingas.

O štai toliau pateikiamų tautologijų, taigi, ir dėsnių pavadinimai nėra labai paplitę arba

dar nesugalvoti , todėl panagrinėsime juos kaip dėsnių pavyzdžius.

Pavyzdžių sprendimas. Patikrinkite, ar šios poros logiškai ekvivalenčios:

1) (p ⇒⇒⇒⇒ (q ⇒⇒⇒⇒ r)) ≡ ((p ∧∧∧∧ q) ⇒⇒⇒⇒ r)

p q r q⇒r p⇒(q⇒r) p∧q (p∧q) ⇒r

0 0 0 1 1 0 1

0 0 1 1 1 0 1

0 1 0 0 1 0 1

0 1 1 1 1 0 1

1 0 0 1 1 0 1

35

1 0 1 1 1 0 1

1 1 0 0 0 1 0

1 1 1 1 1 1 1

2) (p ⇒⇒⇒⇒ q) ∧∧∧∧ (p ⇒⇒⇒⇒ r) ≡ p ⇒⇒⇒⇒ (q ∧∧∧∧ r)

p q r p ⇒ q p ⇒ r (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r) q ∧ r p ⇒ (q ∧ r)

0 0 0 1 1 1 0 1

0 0 1 1 1 1 0 1

0 1 0 1 1 1 0 1

0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 0 1 0 0 0

1 1 0 1 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1

3) ((p ⇒⇒⇒⇒ r) ∨∨∨∨ (q ⇒⇒⇒⇒ r)) ≡ ((p ∧∧∧∧ q) ⇒⇒⇒⇒ r)

p q r p ⇒ r q ⇒ r (p ⇒ r) ∨ (q ⇒ r) p ∧ q (p ∧ q) ⇒ r

0 0 0 1 1 1 0 1

0 0 1 1 1 1 0 1

0 1 0 1 0 1 0 1

0 1 1 1 1 1 0 1

1 0 0 0 1 1 0 1

1 0 1 1 1 1 0 1

1 1 0 0 0 0 1 0

1 1 1 1 1 1 1 1

4) ((p ⇒⇒⇒⇒ r) ∧∧∧∧ (q ⇒⇒⇒⇒ r)) ≡ ((p ∨∨∨∨ q) ⇒⇒⇒⇒ r)

p q r p ⇒ r q ⇒ r (p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r) p ∨ q (p ∨ q) ⇒ r

0 0 0 1 1 1 0 1

0 0 1 1 1 1 0 1

0 1 0 1 0 0 1 0

0 1 1 1 1 1 1 1

36

1 0 0 0 1 0 1 0

1 0 1 1 1 1 1 1

1 1 0 0 0 0 1 0

1 1 1 1 1 1 1 1

5) (q ∧∧∧∧ p ) ⇒⇒⇒⇒ q ≡ (q ⇒⇒⇒⇒ p)

p q p q q ∧ p (q ∧ p ) ⇒ q q ⇒ p

0 0 1 1 1 1 1

0 1 1 0 1 0 0

1 0 0 1 1 1 1

1 1 0 0 0 1 1

6) ≡∨∨ )( rqp )( rqp ∧∧ (De Morgano dėsnis trims kintamiesiems)

p q r p q r )( rqp ∧∧ rqp ∨∨ )( rqp ∨∨ 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0

7) p ∧∧∧∧ q ∧∧∧∧ q ≡ p ∧∧∧∧ q ∧∧∧∧ p

p q p q p ∧ q ∧ q p ∧ q ∧ p

0 0 1 1 0 0

0 1 1 0 0 0

1 0 0 1 0 0

1 1 0 0 0 0

UŽDUOTIS. 1. Nustatykite, ar žemiau pateiktos loginės formos yra tautologijos:

1) ((p ⇒⇒⇒⇒ q) ∧∧∧∧ (r ⇒⇒⇒⇒ q)) ⇔ ((p ∧∧∧∧ r) ⇒⇒⇒⇒ q);

2) (( p ∧∧∧∧ q) ⇒⇒⇒⇒ (r ∧∧∧∧ r )) ⇔ ((p ∧∧∧∧ r) ⇒⇒⇒⇒ q);

37

3) ((p ⇒⇒⇒⇒ q) ∧∧∧∧ (q ⇒⇒⇒⇒ r)) ⇔ ( p ⇒⇒⇒⇒ q).

2. Sudarykite šių formų teisingumo lenteles:

1) )( rqp ∧⇒ ;

2) )( rqp ∧⇔ ;

3) rqp ⇒∧ )( .

3. Įrodykite tautologiją:

( ) ( )( ) ( )p q p q q p⇔ ≡ ⇒ ∧ ⇒

t.y. įrodykite, kad loginė ekvivalencija – tai implikacija abiem kryptim.

38

1.6. Kontaktinės schemos

Mes minėjome, kad pagrindinis mūsų kurso uždavinys – tai loginio mąstymo

formavimas. Tačiau, kaip sakoma, loginio mąstymu pirštais nepačiupinėsi . O taip norėtųsi

pamatyti bent paprasčiausius išnagrinėtos medžiagos taikymus! Todėl dabar ir panagrinėsime

vieną iš paprasčiausių ir, svarbiausia, akivaizdžiausių matematinės logikos pritaikymų –

elektros grandines.

Kontaktinis elementas (pavyzdžiui, jungiklis arba relė), žymimas , gali būti

dvejose būsenose:

1) jis praleidžia elektros srovę, kontaktai sujungti, sakome, kad jis įjungtas;

2) kai kontaktai nesujungti, elementas išjungtas, jungiklis elektros srovės nepraleidžia.

Kontaktinė schema – tai sujungtų kontaktinių elementų rinkinys su dviem išėjimais į

išorę. Štai tokios schemos pavyzdys:

Paveikslėlyje matome elektros grandinę, kurią sudaro srovės šaltinis, lemputė ir kontaktinė

schema, apvesta punktyrine linija.

Kiekvieną kontaktinį elementą žymime raide. Jei, pavyzdžiui, paveikslėlyje pateikti

elementai p ir r yra įjungti, o q – išjungtas, tai kontaktinė schema srovę praleis, o štai jei

elementai q ir r yra įjungti, o p – išjungtas, tai kontaktinė schema srovę jau nepraleis.

Sakoma, kad elementai q ir r sujungti lygiagrečiai, o p – pajungtas nuosekliai.

Elektros srovės praleidimo sąlygą galima užrašyti kaip formulę.

Mūsų pavyzdžio schema praleis srovę tada ir tik tada, kai bus teisingas sudėtinis teiginys

( )p q r∧ ∨ , kur p yra teiginys „jungiklis p įjungtas“, o q ir r yra analogiški teiginiai.

Nagrinėdami kontaktines schemas, raidėmis p, q ir t.t. žymėsime atitinkamai teiginius

„jungiklis p įjungtas“, „jungiklis q įjungtas“ ir t.t., o simboliais p , q ir t.t. žymėsime

atitinkamai teiginius „jungiklis p išjungtas“, „jungiklis q išjungtas“ ir t.t.

39

Nuoseklų kontaktinių elementų jungimą atitinka konjunkcija, o lygiagretų - disjunkcija.

Iš tikro: kontaktinė schema praleis srovę tada ir tik tada, kai abu kontaktiniai

elementai p ir q bus įjungti, tai yra, kai teiginys „p įjungtas ir q įjungtas“ yra teisingas, tai yra,

kai teiginys p q∧ yra teisingas.

Analogiškai, kontaktinė schema praleis srovę tada ir tik tada, kai bent vienas

kontaktinis elementas p arba q bus įjungtas, tai yra, kai teiginys „p įjungtas arba q įjungtas“ yra

teisingas, tai yra, kai teiginys p q∨ yra teisingas.

Taigi, kiekvienai kontaktinei schemai galima parašyti ją atitinkančią formulę.

Teisingas ir atvirkščias tvirtinimas: jeigu turime loginę formą, kurioje yra tik neigimo ir

∧ , ∨ loginės operacijos, tai galima nubrėžti ją atitinkančią schemą.

Kontaktinės schemos vadinamos ekvivalenčiomis, jei viena praleidžia srovę tada ir tik tada, kai

kita taip pat praleidžia srovę.

Žinome, kad schema praleidžia srovę tada ir tik tada, kai ją atitinkanti formulė yra

teisinga. Jei kontaktinės schemos ekvivalenčios, tai kiekvienam kontaktinių elementų reikšmių

rinkiniui jos abi kartu praleidžia srovę arba ne, todėl jas atitinkančios loginės formos yra kartu

teisingos arba ne, tai yra loginės formos yra ekvivalenčios. Ir atvirkščiai, jei dvi loginės formos

yra ekvivalenčios, tai jas atitinkančios kontaktinės schemos yra ekvivalenčios.

Pavyzdys. Įsitikinsime, kad kontaktinė schema

ir kontaktinė schema

40

yra ekvivalenčios ir sudarysime jas atitinkančias logines formas.

Tuo tikslu pastebėsime, kad pirmoji kontaktinė schema yra sudaryta iš trijų lygiagrečiai

sujungtų grandžių, kurias atitinkamai pažymėsime 1t , 2t ir 3t .

Nesunku įsitikinti, kad

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

1

;

t q r q s r s r q q s r s s

r I s r O I s r s r r s

⇔ ∨ ∨ ∧ ∧ ∨ ⇔ ∨ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ⇔

⇔ ∨ ∧ ∧ ∨ ⇔ ∧ ∧ ⇔ ∧ ⇔ ∧

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 ;t p s p p s p p p s p I p s I p I p⇔ ∧ ∨ ⇔ ∧ ∨ ∧ ⇔ ∧ ∨ ∧ ⇔ ∧ ∨ ⇔ ∧ ⇔

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( )( )

3

.

t r q q r s p p p s

r q q s p p s p

r I p s s p r p I p

r p p r I r

⇔ ∧ ∨ ∧ ∧ ∧ ∨ ∨ ∧ ⇔

⇔ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∨ ⇔

⇔ ∧ ∧ ∧ ∨ ∨ ⇔ ∧ ∧ ∨ ⇔

⇔ ∧ ∨ ⇔ ∧ ⇔

Tai reiškia, kad

( )1 2 3t t t r s p r∨ ∨ ⇔ ∧ ∨ ∨ .

O kadangi gautoji loginė forma ( )r s p r∧ ∨ ∨ yra antrosios kontaktinės schemos loginė

išraiška, tai abi kontaktinės schemos yra ekvivalenčios.

Tokiu būdu gavome metodą kontaktinių schemų ekvivalentiškumui patikrinti: imame jas

atitinkančias logines formules ir nustatome, ar jos ekvivalenčios.

Į analogiškus matematinės logikos uždavinius suvedama keletas praktinių, įprastų

inžinieriams, uždavinių. Pavyzdžiui, duotai schemai rasti jai ekvivalenčią ir paprastesnę. Kas ta

paprastesnė schema, patikslinama konkrečiam uždaviniui, įvedus sudėtingumo sąvoką.

Schemos sudėtingumu gali būti bendras elementų skaičius, skirtingomis raidėmis pažymėtų

elementų skaičius, elementų, pažymėtų tam tikromis raidėmis skaičius ir t.t. Taip pat, žinant

elementų kainas (skirtingų elementų jos gali būti nevienodos), apskaičiuojama schemos kaina

ir stengiamasi rasti ekvivalenčią schemą, kurios kaina būtų mažiausia (schemos minimizacijos

pagal kainą uždavinys).

UŽDUOTIS. Įrodykite, kad šios kontaktinės schemos yra ekvivalenčios:

41

1.

ir

2.

ir

3.

ir

4.

ir

42

5.

ir

6.

ir

43

1.7. Aksiomos ir teoremos

Šiame ir sekančiame skyreliuose pasinaudosime medžiaga, pateikiama vadovėlyje [2].

Kiekvienoje matematikos srityje vartojamos tiek bendros visai matematikai, tiek ir

specifinės, tik tai sričiai būdingos sąvokos. Naujos sąvokos turi būti apibrėžtos.

Matematinės sąvokos apibrėžimu (definavimu) atskleidžiami būdingiausi tos sąvokos

bruožai, nusakomas jos turinys arba esmė.

Remiantis apibrėžimu, apibrėžtąjį objektą galima išskirti iš kitų jam artimų objektų.

Naują sąvoką galima įvairiai apibrėžti. Labiausiai paplitęs apibrėžimo būdas, kai

nurodoma giminė ir rūšinis skirtumas. Pavyzdžiui, apibrėžime „Lygiagretainis yra

keturkampis, kurio priešingos kraštinės lygiagrečios“ nurodyta giminė – keturkampis – ir

rūšinis skirtumas – priešingų kraštinių lygiagretumas.

Apibrėždami kokią nors sąvoką, remiamės jau žinomomis sąvokomis. Pastarosios savo

ruožtu apibrėžiamos remiantis vėl kitomis sąvokomis. Savaime aišku, toks vienų sąvokų

apibūdinimas vartojant kitas sąvokas negali būti begalinis. Bet kuri teorija pradedama kurti nuo

sąvokų, kurios įvedamos be specialaus apibrėžimo. Jų prasmė yra daugiau ar mažiau visiems

aiški arba aiškinama pavyzdžiais.

Neapibrėžiamos sąvokos vadinamos pagrindinėmis, arba pirminėmis. Pavyzdžiui, aibė,

elementas, funkcija yra vienos iš pagrindinių matematikos sąvokų.

Kiekviena matematikos šaka turi ir savas pagrindines sąvokas. Pavyzdžiui, aritmetikos

pagrindinė sąvoka yra natūrinis skaičius, geometrijos — taškas, tiesė ir t. t.

Pagrindinėms sąvokoms išskirti iš kitų formuluojami tam tikri teiginiai, vadinami

aksiomomis. Aksiomos nusako esminius pagrindinių objektų bruožus.

Vikipedijoje http://lt.wikipedia.org/wiki/Aksioma rašoma taip. Senovės Graikijos

filosofijoje aksioma – teiginys, kurio teisingumas matomas be įrodymo.

Matematikoje aksioma – pradinis loginės įrodymų sistemos taškas. Visi įrodymai tam

tikroje sistemoje remiasi aksiomomis, bet įvairiose sistemose tas pats teiginys nebūtinai yra

aksioma.

Teiginiai, kurie gali būti išvesti iš jau apsibrėžtos aksiomų aibės, nėra reikalingi kaip

aksioma, tokiu būdu išlaikant minimalų aksiomų kiekį.

Terminų žodynas http://www.zodynas.lt/terminu-zodynas/A/aksioma rašo taip:

Aksioma – tai pradinis teiginys, kuris moksle priimamas be įrodymų.

44

Aksiomos būtinos pradedant kurti bet kurią matematinę teoriją. Iš tikrųjų įrodyti kokį

nors teiginį — reiškia išvesti jį iš kitų jau įrodytų, t. y. teisingų teiginių. Tačiau iš ko išvesti

pačius pirmuosius teiginius?

Suprantama, aksiomos nėra absoliučios — jas galima parinkti įvairiai. Kurie teiginiai bus

paimti kaip aksiomos, o kurie iš pastarųjų išvesti — priklausys nuo teorijos autorių, jų patirties,

tradicijų, patogumo ir kitų faktorių.

Kiekvienas teiginys, kuris nėra aksioma, turi būti įrodytas. Teiginys, kurio teisingumas

patvirtinamas įrodymu, vadinamas teorema.

O štai ką apie teoremos sąvoką rašo Vikipedija http://lt.wikipedia.org/wiki/Teorema:

Teorema (lot. theorema = tezė, reikalaujanti įrodymo; gr. theorema = požiūris, tezė) –

dedukcinės teorijos teiginys, kurio teisingumas patvirtinamas įrodymu, remiantis anksčiau

įrodytomis teoremomis ir apsibrėžtomis aksiomomis.

Matematikoje teorema yra teiginys, kuris gali būti įrodytas tam tikro loginio

samprotavimo būdu. Teoremų įrodinėjimas laikoma pagrindine matematikos sritimi. Paprastai

teoremomis vadinami tik teiginiai su netrivialiomis išvadomis. Lemomis paprastai vadinami

teiginiai, reikalingi teoremos įrodymui, kiti teiginiai vadinami išvadomis, postulatais ir pan.

Teoremos dažnai formuluojamos sudėtiniais sakiniais. Pirmąją teoremos dalį, dažnai

prasidedančią žodžiu „jeigu“, vadiname teoremos sąlyga, o antrąją dalį, prasidedančią žodžiu

„tai“, vadiname teoremos išvada. Kartais teoremos sąlygas apima nagrinėjamo objekto

pavadinimas. Pavyzdžiui, teoremą „rombo įstrižainės statmenos“ pagal bendrą schemą

galėtume formuluoti Šitaip: „Jeigu įstrižainės yra rombo, tai jos statmenos“.

Tokios teoremos pagal savo loginę schemą yra implikacijos.

Teorema turėtume vadinti kiekvieną įrodomą teiginį, bet praktiškai, kaip minėjome, taip

vadinami tik svarbesni iš jų. Pavyzdžiui, niekam neateis į galvą teiginį „Lyginių sveikųjų

skaičių suma yra lyginis skaičius“ vadinti teorema. Tai jau labai akivaizdus tvirtinimas. Jau

minėjome, kad pagalbiniai teiginiai, vartojami įrodinėjant teoremas, vadinami lemomis.

Tačiau, pavyzdžiui, teiginio, žinomo Pitagoro teoremos pavadinimu, niekas nepavadins tiesiog

tvirtinimu ar lema, nes tai vienas iš svarbesnių geometrijos dėsnių ir anaiptol neakivaizdus.

Savaime aišku, skirstymas į lemas, teoremas ar tiesiog tvirtinimus yra sąlyginis, nes priklauso

nuo dėstymo formos, autoriaus nuomonės.

Kurios nors matematikos srities aksiomų visuma vadinama aksiomų sistema.

Aksiomų sistemos sudarymas — sunkus uždavinys. Beje, jis gali būti išspręstas

nevienareikšmiškai. Pavyzdžiui, vienoje aksiomų sistemoje teiginys p gali būti priimtas kaip

45

aksioma, o teiginys q — kaip teorema, kitoje sistemoje gali būti atvirkščiai: q — aksioma, p —

teorema.

Aksiomų sistemai keliami tam tikri reikalavimai, ir kuo geriau sistema juos tenkina, tuo ji

laikoma optimalesne. Pagrindiniai reikalavimai yra šie:

1. Sistemos minimalumas. Aksiomų sistemoje turi būti kuo mažiau aksiomų. Tai

atitinka bendrą požiūrį matematikoje: kuo daugiau teiginių įrodyti ir kuo mažiau jų priimti be

įrodymo.

2. Sistemos neprieštaringumas. Aksiomų sistema laikoma neprieštaringa, jeigu ja

remiantis negalima įrodyti, kad kuris nors teiginys yra ir teisingas, ir (galbūt įrodinėjant kitu

būdu) klaidingas. Šis reikalavimas yra kategoriškas.

3. Sistemos pilnumas. Yra įvairių aksiomų sistemos pilnumo apibrėžimų. Pilnumas

paprastai reiškia reikalavimą, kad sistemą sudarytų tiek ir tokių aksiomų, jog jų pagrindu būtų

galima sukurti matematinę teoriją.

4. Sistemos nepriklausomumas. Aksiomų sistema vadinama nepriklausoma, jeigu nė

viena iš jos aksiomų nėra kitų tos sistemos aksiomų išvada. Šis reikalavimas glaudžiai siejasi

su pirmuoju.

Sakoma, kad matematikos teorija sukurta aksiominiu metodu, jeigu iš pradžių buvo

nustatytos pagrindinės sąvokos ir sudaryta aksiomų sistema, po to remiantis ta sistema įrodyti

kiti teiginiai.

Aksiominis metodas matematikoje vartojamas seniai. Pastaruoju metu jis ypač

populiarus. Ir tai suprantama, nes matematikos teorijos, sukurtos aksiominiu metodu,

patrauklios savo logine darna, nepriekaištinga vidine struktūra.

Aptarkime keletą matematikoje paplitusių terminų.

Implikaciją p q⇒ vadinsime tiesiogine teorema.

Implikaciją q p⇒ vadinsime atvirkštine teorema tiesioginei teoremai p q⇒ ,

implikaciją p q⇒ vadinsime priešinga tiesioginei teoremai p q⇒ ,

o implikaciją q p⇒ vadinsime priešinga atvirkštinei teoremai q p⇒

Suprantama, imant konkrečią teoremą, toks skirstymas būtų sąlyginis: dažniausiai bet

kurią iš tų keturių teoremų galima laikyti tiesiogine, o kitas tris sudaryti laikantis tos schemos.

Iš tiesioginės teoremos teisingumo, kaip matysime, ne visuomet išplaukia jai atvirkštinės

ar priešingos teoremos teisingumas. Dabar suformuluosime pirmąją mūsų kurso teoremą —

teoremą apie teoremas.

46

1 teorema. Tiesioginė ir priešinga atvirkštinei teoremos yra ekvivalenčios, t.y.

( ) ( )p q q p⇒ ≡ ⇒ .

Įrodymas. Pirmiausia pastebėsime, kad tai yra kontrapozicijos dėsnis, kurį įrodysime

teisingumo reikšmių lentelės pagalba:

p q p q⇒ q p q p⇒ ( ) ( )p q q p⇒ ⇔ ⇒

1 1 1 0 0 1 1

1 0 0 1 0 0 1

0 1 1 0 1 1 1

0 0 1 1 1 1 1

Iš paskutiniojo lentelės stulpelio matome, kad ekvivalencija ( ) ( )p q q p⇒ ⇔ ⇒ yra

tautologija, t.y. dėsnis, ką ir reikėjo įrodyti.

2 teorema. Atvirkštinė ir priešingoji teoremos yra ekvivalenčios, t.y.

( ) ( )q p p q⇒ ≡ ⇒ .

Įrodymas. Teoremos išvadą ( ) ( )q p p q⇒ ≡ ⇒ gauname iš 1 teoremos, joje p ir q

sukeitę vietomis.

Šios teoremos svarbios dėl to, kad vienos teoremos įrodymą galima pakeisti kitos

teoremos įrodymu. Jeigu tiesioginės teoremos p q⇒ įrodymas sudėtingesnis negu priešingos

atvirkštinei teoremai q p⇒ , tai įrodoma pastaroji, o tiesioginės teoremos įrodymas išplaukia

iš 1 teoremos, t.y. iš tautologijos ( ) ( )p q q p⇒ ≡ ⇒ . Toks teoremos įrodymas vadinamas

netiesioginiu įrodymu.

Dabar suformuluosime ir kitas teoremai p q⇒ ekvivalenčias teoremas.

3 teorema. Šios loginės formos yra logiškai ekvivalenčios:

p q⇒ ,

( )p q p∧ ⇒ ,

( )p q q∧ ⇒ ,

( ) ( )p q r r∧ ⇒ ∧ .

UŽDUOTIS. Teisingumo reikšmių lentelės pagalba įrodykite šią teoremą.

47

Suformuluosime dar keletą labai svarbių sąvokų.

Bet kurioje teisingoje implikacijoje p q⇒ teiginys p vadinamas teiginio q pakankamąja

sąlyga, nes p pakanka, kad būtų q.

Teiginys q vadinamas teiginio p būtinąja sąlyga (jeigu q neteisingas, tai negali būti

teisingas ir p). Aišku, q gali būti būtina, bet nepakankama sąlyga, nes implikacija q p⇒ gali

būti neteisinga.

Kai teiginys p q⇒ yra teorema, teiginį p vadiname teoremos pakankamąja sąlyga, o

teiginį q — teoremos būtinąja sąlyga. Pavyzdžiui, Pitagoro teoremoje teiginys „Trikampis yra

status“ (pažymėkime jį raide p) — teoremos pakankamoji sąlyga, o teiginys „Statinių kvadratų

suma lygi įžambinės kvadratui“ (pažymėkime jį raide q) — teoremos būtinoji sąlyga.

Pastebėsime, kad teiginiai p q⇒ ir q p⇒ anaiptol nebūtinai ekvivalentūs. Pavyzdžiui,

jei p yra teiginys ,,realus skaičius a yra lygus realiam skaičiui b“, o q — teiginys ,,realaus

skaičiaus a kvadratas yra lygus realaus skaičiaus b kvadratui“, tai implikacija p q⇒ yra

teisinga visoms realioms a ir b reikšmėms, o implikacija q p⇒ — ne. Pakanka paimti,

pavyzdžiui, 7, 7a b= = − : aišku, kad iš 2 27 ( 7)= − neseka, jog 7 ( 7)= − .

1.5 skyrelio pabaigoje mes matėme, kad

( ) ( )( ) ( )p q p q q p⇔ ≡ ⇒ ∧ ⇒ , (1)

t.y. kad loginė ekvivalencija – tai implikacija abiem kryptim. Tuo atveju, kai teiginiai p q⇒ ir

q p⇒ yra teisingi, iš (1) formulės išplaukia, kad teisingas ir teiginys p q⇔ . Pastarasis

teiginys vadinamas teorema su būtinosiomis ir pakankamosiomis sąlygomis.

Pagrįsime šį pavadinimą. Teiginyje p q⇒ teiginys p yra teiginio q pakankamoji sąlyga,

o teiginyje q p⇒ tas pats p yra teiginio q būtinoji sąlyga. Taigi p — teiginio q pakankamoji ir

būtinoji sąlyga. Tą patį galima pasakyti ir apie q, t.y. kad q — teiginio p pakankamoji ir

būtinoji sąlyga.

Paprastai p q⇔ tipo teorema skaitoma taip:

„p tada ir tik tada, kai q“.

Vienas iš teiginių vadinamas teoremos išvada, o kitas — būtinąja ir pakankamąja sąlyga.

Logikos dėsnis (1) nurodo, kaip reikia įrodyti teoremą su būtinąja ir pakankamąja sąlyga:

teorema „p tada ir tik tada, kai q“ bus įrodyta, kai įrodysime teoremas „Jeigu p, tai q“ ir „Jeigu

q, tai p“.

UŽDUOTIS. 1. Suformuluokite teoremą p q⇒ ir jai atvirkštinę, kai

l.1) p — „Realiųjų skaičių a ir b sandauga ab teigiama“,

48

q — „Skaičiai a ir b vienodų ženklų“;

l.2) p — „Trupmena a/b lygi nuliui“,

q — „Trupmenos a/b skaitiklis a lygus nuliui“.

2. Nustatykite, kurios iš suformuluotųjų teoremų teisingos, o kurios – ne.

3. Naudodamiesi 1 uždavinio p ir q reikšmėmis, suformuluokite teoremą p q⇔ .

Nustatykite, ar ji teisinga.

49

1.8. Teoremos įrodymas kaip mąstymo procesas

Praeitame skyrelyje teorema pavadinome teiginį, kurio teisingumas nustatomas įrodymu.

Tai reiškia, kad

Teorema yra teiginys t, kurio teisingumo reikšmė ( )tτ lygi 1, t.y. ( ) 1tτ = .

Mąstymo procesas, kurio metu nustatoma, kad teiginio t teisingumo reikšmė ( )tτ lygi 1,

vadinamas teoremos t įrodymu.

Pabrėšime, kad teisingas mąstymas, nepriekaištingas teoremų įrodinėjimas paremtas

logikos dėsniais ir taisyklėmis.

Jeigu teorema t suformuluota pagal schemą „jeigu p, tai q“, t. y. ( )t p q≡ ⇒ , tai dažnai

jos įrodymas vadinamas tiesioginiu.

Jeigu teorema t yra minėtos formos „jeigu p, tai q“, o įrodinėjama viena iš jai

ekvivalenčių formų, įvardytų pereito skyrelio 3 teoremoje, tai toks teoremos įrodymo būdas

vadinamas netiesioginiu. Tokius įrodymus dažnai pradedame žodžiais „Tarkime priešingai“.

Tai reiškia, kad laikome teisingais teoremos sąlygą p ir teoremos išvados q neiginį q , t. y.

laikome teisinga konjunkciją p q∧ .

Jau vidurinėje mokykloje matėme, kad įrodymas gali būti baigiamas įvairiai. Jei,

pavyzdžiui, jį baigiame žodžiais „Gavome prieštaravimą teoremos sąlygai p, todėl teiginys

p q⇒ yra teisingas“, tai rėmėmės kontrapozicijos dėsniu ( ) ( )p q q p⇒ ≡ ⇒ .

Jeigu įrodymas baigiamas sakiniu „Tai ir reikėjo įrodyti“, tai pasinaudojome turime

nesunkiai įrodomu dėsniu ( ) ( )p q q p q∧ ⇒ ≡ ⇒ , kurio pritaikymo pavyzdys pateikiamas

žemiau.

Užbaigdami įrodymą fraze „Gautasis prieštaravimas ( )r r∧ rodo, kad teorema p q⇒

yra teisinga“, remiamės suvedimo į prieštaravimą dėsniu ( ) ( )( ) ( )p q r r p q∧ ⇒ ∧ ≡ ⇒ . Šio

dėsnio pritaikymo pavyzdys taip pat pateikiamas žemiau.

Tačiau prieš pradėdami šių pavyzdžių nagrinėjimą priminsime, kas yra lygtis ir lygties

sprendinys pagal http://lt.wikipedia.org/wiki/Lygtis .

50

Lygtis – tai matematinio uždavinio, reikalaujančio rasti argumentų (vadinamų

nežinomaisiais) reikšmes, su kuriomis du duoti reiškiniai būtų lygūs, simbolinis užrašas.

Lygties bendroji forma yra tokia:

( ) ( )1 2 1 2, ,..., , ,...,n nf x x x g x x x= .

Argumentai, kurie tenkina šią lygybę, vadinami lygties sprendiniais arba šaknimis.

Lygties sprendinių radimas yra vadinamas lygties sprendimu. Paprastos lygties pavyzdys

galėtų būti: 2 0.x x− =

Šią lygtį galima persirašyti taip: ( )1 0.x x− =

Iš pastarojo užrašo matome, kad lygybė galioja (kairė pusė lygi dešinei pusei) tada, kai x

= 0 arba x = 1, nes vietoje x įsistatę 1 arba 0 gauname teisingas lygybes (atitinkamai, 0(0 − 1) =

0 ir 1(1 − 1) = 0). Taigi, lygties sprendiniai yra 0 ir 1.

Užrašant apibendrintas lygtis, abėcėles pradžioje esančios raidės (a, b, c, d...) dažnai

žymi konstantas, o abėcėles pabaigoje esančios raidės (x, y, z, w...) dažniausiai žymi

nežinomuosius.

Lygčių savybės:

1. Bet koks dydis gali būti pridėtas arba atimtas prie abiejų pusių. Pvz.: lygtyje 3 0x+ =

iš abiejų pusių atėmę 3 gausime 3x = − . Galima atiminėti bei pridėdinėti ir kintamuosius. Pvz.:

lygtyje 2 4x x− = prie abiejų pusių pridėję x gausime 2 4x x= +

2. Abi lygybės puses galima padauginti arba padalinti iš bet kokio dydžio (išskyrus 0).

Pvz.: lygtyje 5 4x = abi puses padalinę iš 5 gauname 4 / 5 0,8x = = .

Dalinti ir dauginti iš reiškinių, kuriuose yra kintamieji, reikia atsargiai, nes galima

prarasti sprendinių arba gauti netinkamų.

Grafinis lygčių sprendimas. Apytiksliai lygtis galima spręsti nubrėžiant abejose lygties

pusėse esančių funkcijų grafikus. Grafikų susikirtimo taškai nusakys lygties sprendinius. Jei

lygtyje yra vienas kintamasis, tai brėžinys bus plokštumoje ir lygties sprendiniai bus

susikirtimo taškų x koordinatės. Tarkime turime lygtį 0,5x + 2 = -x + 5. Norint išspręsti šią

lygtį grafiškai, reikia nubrėžti brėžinius y = 0,5x + 2 ir y = -x + 5:

51

Matome, kad tiesės kertasi vieninteliame taške (2;3). Kadangi mes ieškome x, pirmoji

taško koordinatė ir bus lygties sprendinys. Vietoje x įsistatę 2 galime įsitikinti, kad tai yra

duotosios lygties sprendinys: 0,5*2 + 2 = -2 + 5. Kadangi abiejose pusėse atlikus veiksmus

gaunasi 3, tai lygybė galioja ir sprendinys x=2 yra teisingas. Reikia pastebėti, kad abiejose

lygybės pusėse įstačius rastą x gaunamas skaičius, kuris yra lygus susikirtimo taško ordinatei.

Brėžiant grafikus ranka ir nurodant susikirtimo taškus „iš akies“, paprastai susikirtimo taškai

randami tik apytiksliai. Įsistačius apytikslius sprendinius kintamuosius į lygtį, gautos lygybės

pusės būna tik apylygės (pvz.: 3,1 ≈ 2,95). Jei funkcijų grafikai kertasi keliuose taškuose, tai

visi tie taškai nusakys lygties sprendinius. Praktikoje grafinis lygčių sprendimo metodas yra

naudojamas retai, nes dažniausiai algebrinis lygčių sprendimo metodas yra greitesnis ir

tikslesnis.

Dabar mes jau galime grįžti prie mąstymo proceso, kurio metu įrodoma teorema, analizės

pavyzdžių.

Teoremų netiesioginių įrodymų pavyzdžiai. Mūsų tikslas, kaip minėjome, mąstymo

proceso analizė, t.y. mums dabar svarbiausia – forma. Štai kodėl du toliau pateikiami

pavyzdžiai – labai kuklūs savo turiniu. Tai teiginiai, kuriuos dėl įvardytų priežasčių kažkaip

nekuklu vadinti teoremomis, todėl juos mes malonybiškai pavadinsime teoremėlėmis ir

svetainės rašyk.lt pavyzdžiu priminsime, kad

su žodžiais reikia elgtis atsargiai. Švelniai. Malonybiškai. Gerai, kad dauguma žodžių turi savo

saldžiuosius variantus, tokius kaip „saulutė”, „mo čiutė”, „ragan ėlė”, „gyva čiukė”, kurie sielą atgaivina, sušildo

ir nuramina.

Taigi, tikėsimės, kad ir ši teoremėlė mus atgaivins, sušildys ir nuramins:

1 teoremėlė. Tarkime, kad a ir b — realieji skaičiai, 0a ≠ . Jei ax=b, tai ši lygtis turi

vienintelį sprendinį * /x b a= .

Teoremėlės įrodymas – netiesioginis, paremtas dėsniu ( ) ( )p q q p q∧ ⇒ ≡ ⇒ . Teiginiu

p pažymėkime tokį teiginį: „a ir b yra tokie realieji skaičiai, kad 0a ≠ ir ax=b“. Įrodomąjį

teiginį q suformuluokime šitaip: „* /x b a= yra vienintelis lygties ax = b sprendinys“. Tada q

formuluojamas taip: „ * /x b a= yra nevienintelis lygties ax = b sprendinys“, t.y egzistuoja dar

vienas lygties ax = b sprendinys **x . Tačiau jei **x yra lygties ax = b sprendinys, tai, pagal

sprendinio apibrėžimą, ** .ax b= Prisiminę ką tik pakartotas lygčių savybes (konkrečiai, 2

savybę), lygybės **ax b= abi puses padauginame iš 1/a (tai galima, nes 0a ≠ ) ir gauname,

kad ** /x b a= . Taigi, turėdami prielaidą ( )p q∧ , gavome q . Tai ir reikėjo įrodyti.

52

Žinoma, teoremėlės įrodymo samprotavimo pabaigą galėjome pateikti kitaip. Iš tiesų,

teiginį ** *x x≠ pažymėkime raide r. Aišku, kad jei **x yra lygties ax = b sprendinys, tai

** .ax b= Padauginę lygybės **ax b= abi puses iš 1/a gauname, kad ** /x b a= , t.y. ** *x x= , o

tai, savo ruožtu, reiškia, kad r yra teisingas. Užbaigiant įrodymą fraze „Gautasis

prieštaravimas ( )r r∧ rodo, kad teorema p q⇒ yra teisinga“, belieka pasiremti suvedimo į

prieštaravimą dėsniu ( ) ( )( ) ( )p q r r p q∧ ⇒ ∧ ≡ ⇒ .

2 teoremėlė. Lygtis 2 1 0x + = neturi realiųjų sprendinių.

Šią teoremėlę įrodysime prieštaros būdu. Raide t pažymėkime teiginį „Lygtis 2 1 0x + =

neturi realiųjų sprendinių“. Šio teiginio neigimas t formuluojamas taip: „Lygtis 2 1 0x + = turi

realų sprendinį *x “, t.y. egzistuoja *x toks, kad *2 1 0x + = , t.y. *2 0x < . Kadangi bet kokio

realaus skaičiaus kvadratas yra neneigiamas skaičius, tai *2 0x ≥ . Pažymėkime šį teiginį raide

r. Reziumuojame gautus rezultatus. Jei t teisingas, tai teisingas ir teiginys r, ir jo neigimas r ,

nes įrodėme, kad *2 0x < . Tai reiškia, kad implikacija ( )t r r⇒ ∧ yra visada teisingas teiginys.

Belieka pasinaudoti tautologija ( )( )t r r t⇒ ∧ ≡ , kurią siūlome įrodyti savarankiškai.

UŽDUOTIS. Naudodamiesi netiesioginio įrodymo schema, įrodykite šią teoremėlę:

Jeigu sveikųjų skaičių x ir y sandauga yra nelyginis skaičius, tai sveikieji skaičiai x ir y yra

nelyginiai.

[Pažymėkime raide p teiginį „sveikųjų skaičių x ir y sandauga yra nelyginis skaičius“, o

raide q – teiginį „sveikieji skaičiai x ir y yra nelyginiai“. Tarkime priešingai – q yra teisingas,

t.y. bent vienas iš skaičių x ar y – pavyzdžiui, x – yra lyginis, t.y. 2x k= , k – sveikas skaičius.

Tada 2xy ky= yra lyginis, t.y. teiginys p yra teisingas, o tuo pačiu ir implikacija q p⇒ yra

visada teisinga. Belieka pasinaudoti 1 teorema, kuri tvirtina, kad tiesioginė ir priešinga

atvirkštinei teoremos yra ekvivalenčios, t.y. ( ) ( )p q q p⇒ ≡ ⇒ .]

53

1.8. Predikatų logika. Funkciniai ryšiai logikoje

R. Plečkaitis [1] pažymi, kad teiginių logikoje teiginys laikomas nedaloma visuma. Mes,

pavyzdžiui, raide p pažymėję teiginį „Vardenis Pavardenis yra atestuotas psichologas“ iki šiol

nesigilinome, iš ko gi tas p yra sudarytas. Buitiškai kalbant, nesidomėjome teiginio p „virtuve“.

Mus domino tik tai, ar tas p yra teisingas teiginys, ar klaidingas. Tačiau loginį teiginį galima

nagrinėti ir jo struktūros požiūriu, panašiai kaip gramatika nagrinėja gramatinį sakinį,

surasdama sakinio dalis – veiksnį, tarinį, aplinkybes ir pan. Žinoma, loginio teiginio struktūra

visai kitokia, negu gramatinio sakinio.

Predikatų logika yra logikos teorija, nagrinėjanti vidinę teiginio struktūrą.

Teiginį sudaro objektas (lot. objectus — daiktas, reiškinys) ir

požymis, kuris tam objektui priskiriamas arba nepriskiriamas

Plačiausia prasme objektas yra tai, ką galima pavadinti.

Pagal Lietuviškąją tarybinę enciklopediją (VIII t. MELI institutas, Vilnius), objektas –

realiai egzistuojantis pasaulis, žmogaus, kaip daiktinės praktinės ir pažintinės veiklos subjekto,

priešybė. Visuomenės istorinėje raidoje sukurtos veiklos, kalbos, žinių formos (pvz., loginės

kategorijos) taip pat yra objektas. Pažinimui iš empirinio darantis teoriniu, atsiranda teoriniai

objektai. Jie iš esmės skiriasi nuo empirinių, nors nei vieni, nei kiti atskiros veiklos sričių ir

nesudaro. Dalis teorinio pažinimo objektų (idealiosios dujos, idealiai kieti kūnai ir pan.) realiai

neegzistuoja ir tėra būdas išskirti ir fiksuoti teorine kalba tuos objekto aspektus, kurie ne visai

apima empirines žinias. Kiti teoriniai objektai, pavyzdžiui, atomai, elementariosios dalelės,

ontologiniu požiūriu iš esmės nesiskiria nuo empirinio pažinimo objektų – makrokūnų.

Požymis yra tai, kuo objektai yra panašūs arba kuo jie skiriasi vienas nuo kito. Teiginyje

“Vilnius yra Lietuvos sostinė” objektas yra Vilnius, kuriam priskiriamas požymis “būti

Lietuvos sostine”. Teiginio objektas kartais dar vadinamas subjektu, o požymiai dar kitaip

vadinami predikatais.

Skiriami tokie požymiai: savybės, santykiai ir pavadinimai.

Savybė yra toks požymis, kurį galima priskirti bent vienam objektui. Savybę “būti

kietu” gali turėti ir ne vienas objektas, pvz., sakome “Plienas yra kietas”, “Akmuo yra kietas” ir

pan. Tai prasmingi ir teisingi teiginiai.

Santykis yra toks požymis, kuri galima priskirti mažiausiai dviem objektams.

Požymiai “būti seserimi”, “būti lengvesniu” ir pan. yra santykiai. Teiginys „Marytė Algio

sesuo“- prasmingas teiginys. Tuo tarpu teiginys „Marytė sesuo“ yra beprasmiškas, nes požymis

54

„būti seserimi“ yra santykis, ir jo negalima priskirti vienam objektui. Dėl to, kad savybes

galima priskirti vienam objektui, o santykius galima priskirti mažiausiai dviem objektams,

savybės vadinamos vienviečiais predikatais, o santykiai – daugiaviečiais predikatais.

Pavadinimas taip pat yra požymis, nes vieną objektą nuo kito galima atskirti pagal jų

pavadinimą. Pavadinimai nagrinėjami ne predikatų logikoje, bet loginėje semantikoje.

Predikatų logika nagrinėja savybes ir santykius. Pagal tai predikatų logika skirstoma į dvi

dalis – savybių teoriją ir santykių teoriją.

Toliau mums bus reikalingas teiginio, objekto ir pan. funkcijos ir teiginio teisingumo

reikšmės interpretacijos funkcinio sąryšio pagalba supratimas.

Pastebėsime, kad terminas funkcija plačiausia prasme reiškia priklausomybę. Dydžiai,

esantys kokiame nors reiškinyje, dažnai kinta priklausomai vienas nuo kito. Pvz., produkto

kaina priklauso nuo darbo našumo, gamybos kaštų, rinkos konjunktūros ir t.t. Todėl ir sakoma,

kad kaina yra minėtų veiksnių funkcija.

Funkciniai ryšiai yra ir logikoje. Vieni dydžiai logikoje kinta priklausomai nuo kitų

dydžių kitimo. Tai matėme jau teiginių logikoje, kurioje sudėtinio teiginio teisingumas

priklauso nuo jį sudarančių paprastų teiginių teisingumo reikšmių. Vadinasi,

sudėtinio teiginio teisingumo reikšmė yra funkcija, kintanti priklausomai nuo sudėtinį teiginį

sudarančių paprastų teiginių teisingumo reikšmių kitimo.

Funkciniai ryšiai predikatų logikoje reiškiasi tuo, kad predikatų logikoje teiginio

teisingumas priklauso nuo to, kokiems objektams priskiriamas tam tikras požymis. Vadinasi,

predikatų logikoje teiginio teisingumas yra funkcija, kintanti priklausomai nuo to,

kokiems objektams tas požymis priskiriamas.

Matematikai pasakytų, kad plačiąja prasme funkcija yra vienos aibės atvaizdavimas į

kitą. Pavyzdžiui, mūsų anksčiau išnagrinėtas teiginių aibės atvaizdavimas τ į jų teisingumo

reikšmių aibę.

Panagrinėsime kitą teiginio funkcijos pavyzdį. Tegu turime tokius tris teiginius:

Lydeka yra žuvis.

Karpis yra žuvis.

Ešerys yra žuvis.

Lygindami šiuos teiginius matome, kad jie vienas nuo kito skiriasi tik savo objektais,

skirtingiems objektams priskiriamas tas pats požymis. Žodžius „lydeka“, „karpis“, „ešerys“

pakeitę kintamuoju x, gauname štai tokią išraišką:

x yra žuvis.

55

Ar šią išraišką galima vadinti teiginiu? Ne, negalima. Teiginys turi būti teisingas arba

klaidingas. Tuo tarpu išraiška „x yra žuvis“ nėra nei teisinga, nei klaidinga. Jei lentoje randame

parašytą teiginį „Lydeka yra žuvis”, tai jį laikome teisingu. Tačiau jei vietoje x įrašytume žodį

„Kiaulė“, tai teiginys „Kiaulė yra žuvis“ jau yra klaidingas. Taigi, apie tvirtinimą „x yra žuvis”

negalime pasakyti, ar jis teisingas, ar klaidingas, nes nežinome, kas yra x. Tvirtinimas „x yra

žuvis“ yra ne teiginys, bet objekto x funkcija, kuri virsta teisingu ar klaidingu teiginiu, kai

vietoj x įrašoma viena ar kita šio kintamojo reikšmė, t.y. objekto pavadinimas.

Objekto x funkcija, kuri virsta teiginiu, kai vietoj x įrašomas objekto pavadinimas, vadinama

propozicine funkcija.

Ši objekto x funkcija – propozicinė funkcija, – kaip pamatysime žemiau, dar yra

vadinama predikatu. Propozicinių funkcijų (predikatų) pavyzdžiai:

x yra psichologas,

x yra mokslas,

x yra universitetas.

Kintamasis x yra vadinamas šių funkcijų argumentu. Šių tvirtinimų virtimas teisingais ar

klaidingais teiginiais priklauso nuo to, kokias reikšmes įgauna argumentas x. Kintamojo x

pakeitimas kokio nors objekto pavadinimu ir yra pirmasis, paprasčiausias būdas propozicinei

funkcijai paversti teiginiu (lot. p r o p o s i t i o – teiginys). Pakeitę x kokio nors asmens (pvz.,

Pavardenio) pavarde, mokslo (pvz., psichologija) ir universiteto pavadinimais (pvz., LEU),

gauname:

Pavardenis yra psichologas,

psichologija yra mokslas,

LEU yra universitetas.

Tai teisingi teiginiai. Tuo tarpu x pakeitus asmens, kuris yra ekonomistas, pavarde

Vardenis, gauname klaidingą teiginį: „Vardenis yra psichologas“. Propozicinės funkcijos

virtimas teisingu ar klaidingu teiginiu priklauso nuo to, kokiam objektui požymis priskiriamas,

kitaip tariant, priklauso nuo argumento x reikšmių.

Taigi, yra sakinių, kuriuose kažkas teigiama, tačiau kas teigiama – tiesa ar netiesa –

nustatyti negalima, nes juose veiksnys yra kintamasis.

Apibr ėžimas. Predikatu vadinamas sakinys su vienu ar keliais kintamaisiais, kuris tampa

teiginiu, kai vietoj kintamojo(-ųjų) įrašomos jų konkrečios reikšmės.

56

Predikatus žymėsime didžiosiomis raidėmis, tarp skliaustų nurodydami į juos įeinančius

kintamuosius. Pavyzdžiui, predikatą „ 2 1 0x + > “ žymėsime )(xP , o predikatą „ ABC∆ yra

statusis trikampis“ žymėsime ),,( CBAQ .

Turėdami kokį nors predikatą )(xP , jo reikšmių visumą galime skirti į dvi dalis: į tuos x ,

su kuriais )(xP yra teisingas teiginys, ir į tuos x , su kuriais )(xP yra klaidingas.

Apibr ėžimas. Aibė )(xPx yra teisingas yra vadinama aibe, apibrėžiama predikatu P(x).

Pavyzdys. ( ) : 2 1 0P x x= + > . Tada )(xPx yra teisingas= ),(012 21 ∞−=>+xx .

Pažymėsime, kad vidurinėje mokykloje sprendžiamas lygtis, nelygybes ir jų sistemas

galima nagrinėti kaip sakinius su kintamaisiais, taigi, kaip predikatus. Jas sprendžiant ieškoma

atitinkamais predikatais apibrėžtų aibių.

Pavyzdžiai. 1) Geometriškai pavaizduoti plokštumoje aibę, apibrėžiamą predikatu P(x,y),

7,( , ) :

1.

x yP x y

x y

− ≤= + ≥

Sprendimas:

2) Patikrinti, ar taškas 0 priklauso aibei, apibrėžiamai predikatu 0sin >x .

Sprendimas: Kadangi 00sin = , tai 0sin|0 >∉ xx .

UŽDUOTIS. Nustatykite, kurie sakiniai yra teiginiai, kurie – predikatai:

1) Vilniuje yra parduotuvių ir pramogų

centras „Akropolis“.

teiginys

2) Lietuvos edukologijos universitetas yra teiginys

1

1 7

-7

57

Kaune.

3) Kur yra Žalieji ežerai? klausimas, ne teiginys

4) a<b predikatas

5) 2x=3 predikatas

6) 2⋅2=5 teiginys

7) (a-b)2 = a2-2ab+b2 teiginys

8) 3x – 4y > 10 predikatas

1.9. Predikatinės formos. Kvantoriai

Priminsime, kad predikatais vadinami sakiniai su vienu ar keliais kintamaisiais, kurie

tampa teiginiais, vietoje kintamųjų įrašius konkrečias reikšmes. Pavyzdžius nagrinėjome

ankstesniame skyrelyje, o dabar pateiksime dar kelis tokių „matematinių sakinių“ pavyzdžius:

• ( ) : 3 2 0P x x= + > ;

• ( ) : log 2Q x x= < ;

• 2( ) : 3 4 3 0R x x x= + − = ;

• 2 2( , ) : 1T x y x y= + = .

Predikatai taip pat, kaip ir teiginiai, gali būti jungiami loginėmis jungtimis , , , ,¬ ∧ ∨ ⇒ ⇔ .

Pavyzdžiui, )(xP galima skaityti taip: «Netiesa, kad 023 >+x » arba « 023 ≤+x ».

Taigi, pagrindinės predikatinės formos yra:

)(xP , )()( xQxP ∧ , )()( xQxP ∨ , )()( xQxP ⇒ , )()( xQxP ⇔ .

Kitas predikatines formas galime gauti iš pagrindinių formų, panaudoję baigtinį skaičių

simbolių, reiškiančių predikatus, logines operacijas bei skliaustus. Pavyzdžiui:

)())()(()(( xQxTxRxP ⇒∨∧ .

Jau minėjome, kad kiekvienas predikatas apibrėžia aibę kintamojo reikšmių, su kuriomis

jis yra teisingas teiginys.

Aibę )(| xPxAp = vadinsime predikato teisingumo reikšmių aibe.

Apibr ėžimas. Jei dviejų predikatų )(xP ir )(xQ teisingumo reikšmių aibės sutampa, tai

predikatai )(xP ir )(xQ vadinami ekvivalenčiais ir tai žymima )(~)( xQxP .

Matėme, kad iš predikato )(xP teiginys )(aP gaunamas, paėmus ax = .

58

Antras būdas predikatą paversti teiginiu yra susiejimas kvantoriais.

Terminas kvantorius kilęs iš lotynų kalbos žodžio q u a n t u m – „kiek“.

Kvantorius teiginį apibūdina kiekybiškai. Požymį galima priskirti vienam objektui

(„Marytė Pavardaitė yra studentė“) arba keliems objektams („Kai kurie jaunuoliai – studentai“)

arba visiems kurios nors klasės objektams (“Visi, esantys šioje auditorijoje, studentai”).

Kokiam objektų skaičiui požymis priskiriamas arba nepriskiriamas – tai ir nurodo kvantorius.

Kasdieninėje šnekamojoje kalboje yra visa eilė taip vadinamų kvantorinių (t.y. viena ar

kita prasme nusakančių kiekybę) žodžių:

visi nė vienas keliolika egzistuoja

kiekvienas kai kurie vienintelis daug

bet kuris keli yra be galo daug

Šiems žodžiams reikšti logikoje pakanka dviejų pagrindinių kvantorių – egzistavimo

kvantoriaus ir visuotinumo kvantoriaus.

Egzistavimo kvantorius žymimas simboliu ∃ . Ženklas ∃ yra anglų kalbos žodžio exist,

vokiečių kalbos existieren apversta pirmoji raidė. Simbolis ∃ x skaitomas taip:

Egzistuoja (yra) toks (tokie) x.

Taigi, egzistavimo kvantorius rašomas prieš propozicinę funkciją. Šitaip propozicinę

funkciją susiejus egzistavimo kvantoriumi, ji virsta teiginiu. Propozicinės funkcijas „x yra

psichologas“, „x yra mokslas“, „x yra universitetas“ susiejus egzistavimo kvantoriumi, gauname:

∃ x (x yra psichologas),

∃ x (x yra mokslas),

∃ x (x yra universitetas).

Šios išraiškos skaitomos taip:

Egzistuoja toks x, kuris yra psichologas,

Egzistuoja toks x, kuris yra mokslas,

Egzistuoja toks x, kuris yra universitetas.

Tikrai, psichologų yra ne vienas ir ne du . Daug yra mokslų, daug ir universitetų – ne

tik Lietuvoje, bet ir visame pasaulyje. Taigi, visos šios išraiškos yra teisingi teiginiai.

Tačiau pateiktose išraiškose visai nenurodyta, kokiai objektų aibei, sričiai, klasei

priklauso objektas x. Todėl daug geriau išraiškas skaityti konkrečiai nurodant objektų aibę

(sritį, klasę), kuriai tas požymis priskiriamas.

Pavyzdys: aibėje A egzistuoja toks elementas x, su kuriuo )(xP - teisingas teiginys.

Sutrumpintai užrašoma taip: ( )x A P x∃ ∈ .

59

Jei Ω=A , kur Ω - taip vadinama universalioji aibė (t.y. pati didžiausia aibė

nagrinėjamame kontekste), tai užrašoma dar trumpiau: ( )x P x∃ . Savybių teorijoje dažnai

žymima taip: ∃∃∃∃x P(x).

Tačiau egzistavimo kvantorius negali nurodyti, koks konkretus skaičius objektų turi

nagrinėjamą požymį. Egzistavimo kvantorius tenurodo, kad yra bent vienas objektas, turintis

tokį požymį, bet galbūt jų yra ne tik kad daugiau, bet ir gerokai daugiau .

Visuotinumo (kai kurie autoriai vartoja lygiavertį terminą bendrumo) kvantoriumi

tvirtinama, kad požymį turi kiekvienas nagrinėjamosios klasės objektas.

Visuotinumo kvantorius žymimas simboliu ∀ . Ženklas ∀ yra anglų kalbos žodžio all,

vokiečių kalbos alle apversta pirmoji raidė. Simbolis ∀ x skaitomas taip:

kiekvienas x arba visiems x.

Visuotinumo kvantorių parašius prieš propozicinę funkciją, ji virsta teiginiu.

Propozicines funkcijas „x yra mąstantis subjektas“, „x yra asmens dokumentas“, „x yra

psichologas“ susiejus visuotinumo kvantoriumi, gauname:

∀ x (x yra mąstantis subjektas),

∀ x (x yra asmens dokumentas),

∀ x (x yra psichologas).

Šios išraiškos skaitomos ir nurodant objektų aibę (klasę), kurios sudėtyje yra tie objektai

x: mąstantys subjektai yra žmonės; būti asmens dokumentu gali, sakysime, asmens tapatybės

kortelė; būti psichologu, gali, sakysime, kiekvienas studentas, gavęs psichologijos bakalauro

diplomą. Jei išraiška susieta visuotinumo kvantoriumi, tai nurodymas objektų aibės (klasės),

kurios sudėtyje yra objektai x, reiškiamas implikacija. Pateiktos išraiškos skaitomos taip:

Kiekvienas x, jei x žmogus, tai x yra mąstantis subjektas;

Kiekvienas x, jei x yra asmens tapatybės kortelė, tai x yra dokumentas;

Kiekvienas x, jei x yra studentas, gavęs psichologijos bakalauro diplomą, gali būti

psichologu.

Tačiau galima ir visai kitaip – matematiškai – nurodyti, kokiai objektų aibei, sričiai,

klasei priklauso objektas x. Pavyzdžiui, su visais x iš aibės A predikatas )(xP yra teisingas.

Čia mes pabrėžėme, kad kintamasis x kinta aibės A ribose. Sutrumpintai tai užrašoma taip:

)()( xPAx∈∀ arba tiesiog ( )x A P x∀ ∈ .

Jei Ω=A , tai užrašoma dar trumpiau: )()( xPx∀ arba savybių teorijoje priimtu būdu –

tiesiog ∀ x P(x).

60

Išnagrinėsime dar vieną pavyzdį. Tarkime, kad )(xP yra predikatas 0122 =+− xx , o

[ ]1,1A = − . Tada teiginiai 012)( 2 =+−∈∃ xxAx ir 012)( 2 =+−∈∀ xxAx skaitomi taip:

Atkarpoje [ ]1,1A = − egzistuoja tokia x reikšmė, su kuria 0122 =+− xx (teiginys

teisingas, pakanka paimti 1=x );

Visiems x iš atkarpos [ ]1,1A = − 0122 =+− xx (teiginys klaidingas, nes 0)1( 2 ≠−x ,

kai, pvz., 1−=x ).

Iš paskutinio pavyzdžio matome, kad propozicines funkcijas susiejus egzistavimo ar

visuotinumo kvantoriais, galima gauti ir klaidingus teiginius. Pavyzdžiui, išraišką „x yra

pirmakursis“ susiejus visuotinumo kvantoriumi ir požymį „būti pirmakursiu“ priskyrus

studentams, gauname: „Kiekvienas x, jei x yra studentas, tai x yra pirmakursis“. Tai klaidinga,

nes ne kiekvienas studentas yra pirmakursis.

Kaip ir bet kuriems teiginiams, taip ir kvantorių pagalba sudarytiems teiginiams galima

taikyti neigimo operaciją.

Pavyzdys. Teiginį )()( xPAx∈∃ skaitome taip: Netiesa, kad aibėje A egzistuoja toks

x , su kuriuo )(xP būtų teisingas.

Įvedus neegzistavimo kvantorių ∃ , tai galima užrašyti kitaip: )()( xPAx∈∃ , t.y. aibėje

A neegzistuoja toks x , su kuriuo )(xP būtų teisingas.

Tą pačią mintį galima užrašyti dar kitaip: „Su visais aibės A elementais teiginys )(xP yra

neteisingas“, t.y. )()( xPAx ¬∈∀ arba )()( xPAx∈∀

UŽDUOTIS. 1. Nustatyti, kurie iš sekančių tvirtinimų ir kodėl yra predikatai, o kurie ne:

• x dalosi iš 5 (x∈N);

• upė x įteka į Nemuną;

• x yra y brolis (x, y kinta visų žmonių aibėje).

2. Nustatykite, kurie iš sekančių teiginių yra teisingi, o kurie ne, jei visi kintamieji kinta

realiųjų skaičių aibėje:

• (∀ x) (∃ y) (x+y=7);

• ( ∃ y) (∀ x) (x+y=7);

• ( ∃ x) (∃ y) (x+y=7);

• (∀ x) (∀ y) (x+y=7).

61

1.10. Savybių teorijos alfabetas

Predikatų logika tiria savybes ir santykius. Pagal tai predikatų logika, kaip minėjome,

skirstoma į dvi dalis – savybių teoriją ir santykių teoriją.

Savybių teorijos objektus, sekdami [1], žymėsime mažosiomis raidėmis x, y, z. Savybes

žymėsime didžiosiomis raidėmis F, G, H. Išraišką F(x) skaitysime taip: x turi savybę F.

Analogiškai išraiškos G(y), H(z) skaitomos taip: y turi savybę G; z turi savybę H.

Savybių teorijos žymėjimas F(x) neatsitiktinai kartoja matematinį funkcijos žymėjimą

y = F(x). Matematikoje funkcija – tai atvaizdavimas, kuris kiekvienam aibės elementui

priskiria elementą kitoje aibėje (žr., pvz., http://lt.wikipedia.org/wiki/Funkcija_(matematika)).

Išraiškos

∃∃∃∃x F(x); ∀∀∀∀y G(y) (1)

skaitomos taip: egzistuoja toks x, kuris turi savybę F; kiekvienas y turi savybę G. Galimi ir

tokie ekvivalentūs šios išraiškos (1) supratimai: yra toks x, kuris turi savybę F; visi y turi

savybę G. Tačiau kaip mes suprantame posakį „ekvivalentūs šios išraiškos (1) supratimai“?

Esame minėję, kad propozicines funkcijas susiejus egzistavimo ar visuotinumo

kvantoriais, gauname teisingus arba klaidingus teiginius. Pažymėkime juos raidėmis p ir q.

Gautieji teiginiai p ir q gali būti ekvivalentūs arba neekvivalentūs. Pirmuoju atveju mes

naudojome žymėjimą p q⇔ ir būtent šia prasme suprantame minėtų išraiškų ekvivalentumą.

Tačiau norėdami pagerbti savybių teorijoje paplitusį ekvivalencijos žymėjimą ~ (žr. [1]), mes

irgi naudosime šį ekvivalencijos simbolį: p ~ q.

Grįžkime prie (1) formulės. Teiginį „Kai kurie meniniai filmai yra psichologiniai“

formalizuosime taip. Žodis “kai kurie” reiškiamas egzistavimo kvantoriumi (∃∃∃∃x), savybę “būti

meniniu filmu” žymėsime raide F, savybę “būti psichologiniu filmu” – raide G.

Kai išraiškoje yra egzistavimo kvantorius, dažnai patogu savybes susieti konjunkcija,

kurią savybių teorijoje žymėsime tašku · . Gauname: ∃∃∃∃x [F(x)·G(x)]. Skaitome: egzistuoja

toks x, kuris turi savybę F ir savybę G. Kitaip tariant, egzistuoja tokie x, kurie turi savybę

„būti meniniais filmais“ ir turi savybę „būti psichologiniais filmais“ – tokia teiginio „Kai

kurie meniniai filmai yra psichologiniai“ loginė struktūra savybių teorijos požiūriu.

Išnagrinėsime dar vieną pavyzdį, formalizuodami teiginį „Visi kompiuteriai yra

skaičiavimo įrenginiai“. Savybę „būti skaičiavimo įrenginiu“ pažymėkime raide G, savybę

„būti kompiuteriu“ – raide F. Kai išraiškoje yra visuotinumo (kartais savybių teorijoje

naudojamas terminas bendrumo) kvantorius, dažnai patogu savybes susieti implikacija.

Gauname: ∀∀∀∀x [F(x)⇒G(x)]. Skaitome: kiekvienas x, jei x turi savybę F, tai x turi savybę G.

Kitaip tariant, kiekvienas x, jei x turi savybę “būti kompiuteriu”, tai x turi savybę „būti

62

skaičiavimo įrenginiu“ – tokia yra teiginio „Visi kompiuteriai yra skaičiavimo įrenginiai“

loginė struktūra savybių teorijos požiūriu.

Predikatų logikoje taip pat, kaip ir kitose logikos teorijose, operuojama ir teiginių

logikos veiksmais – neigimu, konjunkcija, disjunkcija, implikacija, ekvivalencija.

Savybes galima neigti. Neigiant savybę, virš jos rašomas neigimo ženklas: F(x), G (y).

Skaitome: x neturi savybės F; netiesa, kad y turi savybę G.

Kaip minėjome, galima neigti ne tik savybes, bet ir kvantorius. Neigiant kvantorių, virš

jo rašomas neigimo ženklas: ∃ x; ∀ x. Skaitome: netiesa, kad yra toks (tokie) x; netiesa, kad

kiekvienas x. Pavyzdžiui, išraiška

∃ x F(x)

skaitoma taip: netiesa, kad yra toks x, kuris turi savybę F, arba taip: neegzistuoja toks x, kuris

turi savybę F.

Panagrinėkime teiginį „Mūsų universitete nėra nedorų studentų“. Savybę „būti mūsų

universiteto studentu“ pažymėkime raide F, savybę „būti doru studentu“ – simboliu G, o jos

neigimą – simboliu G . Susieję išvardytas savybes konjunkcija, nustatome nagrinėjamo

teiginio loginę struktūrą: ∃ x [F(x)· G (x)]. Skaitome: netiesa, kad yra tokių x, kurie turi

savybę F ir neturi savybės G. Kitaip tariant, netiesa, kad yra tokių x, kuri turi savybę “būti

mūsų universiteto studentu” ir neturi savybės „būti doru studentu“.

Dukart panaudojome žodį netiesa. Tai kas tada šiame pavyzdyje tiesa? Na kad ir štai

kas: ∀∀∀∀x[F(x)· G (x)]. Skaitome: visi mūsų universiteto studentai yra dori studentai.

UŽDUOTIS. Užrašykite teiginį „Mirusieji nekalba“ savybių teorijos priemonėmis.

[Pažymėkime F savybę „būti mirusiu“, o G – savybę „būti nekalbiu“. Tada išraiška

∀∀∀∀x[F(x) ⇒G (x)] suprantama taip: kiekvienas x, jei x miręs, tai x nekalba].

Išraiškoje gali pasitaikyti ne vienas kvantorius, bet du ir daugiau. Išraiška

∃∃∃∃x ∃∃∃∃y [F(x) ∨ F(y)]

skaitoma taip: egzistuoja x ir egzistuoja y tokie, kad x turi savybę F arba y turi savybę F.

Pvz., egzistuoja koks nors žmogus x ir egzistuoja koks nors žmogus y, iš kurių x turi savybę

„būti psichologu“ arba y turi savybę „būti psichologu“. Tai suprantama taip: visuomet galima

rasti du žmones, kurių vienas arba kitas yra psichologas. Išraiška

∀∀∀∀x F(x) · ∃∃∃∃y F(y)

skaitoma taip: kiekvienas x turi savybę F ir yra tokių y, kurie turi savybę F. Pvz., kiekvienas

vyras Lietuvoje dėvi kelnes, tačiau yra ir moterų, kurios dėvi kelnes.

63

Kvantoriaus galiojimo sritį paprastai parodo skliaustai. Išraiškoje ∀∀∀∀x [F(x)⇒G(x)]

visuotinumo kvantorius galioja visai išraiškai, tuo tarpu išraiškoje ∀∀∀∀x F(x) · ∃∃∃∃y F(y)

visuotinumo kvantorius galioja tik iki konjunkcijos ženklo.

Predikatų logikos išraiškose būna trijų rūšių kintamieji:

1. Individualūs kintamieji – tai x, y, z … , juos galima pakeisti atskirų

objektų vardais.

2. Predikatiniai kintamieji – tai F, G, H … , juos galima pakeisti

konkrečiais predikatais (savybėmis ir santykiais).

3. Propoziciniai kintamieji – tai p, q, r … . Jie paimti iš teiginių logikos ir

gali būti pakeisti konkrečiais teiginiais.

Pavyzdžiui, išraiškoje p⇒ (∀∀∀∀x F(x) · ∃∃∃∃y G(y)) yra visų trijų rūšių kintamieji: x,y –

individualūs, F,G – predikatiniai, p – propozicinis kintamasis.

UŽDUOTIS (pagal R. Plečkaitį [1]). 1. Perskaitykite išraišką: ∃ x [F(x)· G (x)].

[Skaitome: netiesa, kad yra toks x, kuris turi savybę F ir neturi savybės G. Arba:

neegzistuoja toks x, kuris turi savybę F ir neturi savybės G.]

2. Perskaitykite išraišką: ∀∀∀∀x [F(x)⇒G(y)]. [Skaitome: kiekvienas x, jei x turi savybę

F, tai y turi savybę G.]

3. Savybių teorijos simboliais užrašykite teiginius:

yra tokių kalnų, į kurias nelengva įkopti; [ ∃∃∃∃ x [F(x)· G (x)] ]

kiekvieno žmogaus gyvenime yra neišspręstų problemų; [ ∀∀∀∀ x [F(x) ⇒ G (x)] ]

visi normalūs žmonės trokšta laimės; [ ∀∀∀∀ x [F(x) ⇒G(x)] ]

kai kurie žmonės moka kelias kalbas; [ ∃∃∃∃ x [F(x) · G (x)] ]

yra tokių logikos uždavinių, kurie nelengvai sprendžiami; [ ∃∃∃∃ x [F(x)· G (x)] ]

kiekviename moksle yra neišspręstų problemų; [ ∀∀∀∀ x [F(x) ⇒ G (x)] ]

laikrodis turi rodyti tikslų laiką; [ ∀∀∀∀ x [F(x) ⇒G(x)] ]

kai kurios kalbos turi kelis būsimuosius laikus. [ ∃∃∃∃ x [F(x) · G (x)] ]

64

1.11. Savybių teorijos dėsniai

Kaip pastebima vadovėlyje [1], dėsnių savybių teorijoje yra daug. Panagrinėsime kai

kuriuos iš jų.

Atskirą grupę sudaro keturi dėsniai, įgalinantys vienus kvantorius pakeisti kitais.

Aptarsime kiekvieną iš šių dėsnių ir pateiksime pavyzdžius, tačiau nenagrinėsime įrodymų.

I. ∀∀∀∀x F(x) ~∃ x F(x).

Skaitome: išraiška “Kiekvienas x turi savybę F” ekvivalenti išraiškai “Netiesa, kad yra

toks x, kuris neturi savybės F” . Pavyzdžiui, teiginys “Kiekvienas žmogus turi rankas”

ekvivalentus teiginiui “Netiesa, kad yra toks žmogus, kuris neturi rankų” .

II. ∀ x F(x) ~∃∃∃∃x F(x).

Skaitome: išraiška “Netiesa, kad kiekvienas x turi savybę F” ekvivalenti išraiškai “Yra

toks x, kuris neturi savybės F”. Pavyzdžiui, teiginys “Netiesa, kad visi žmonės sąžiningi“

ekvivalentus teiginiui „Yra tokie žmonės, kurie nesąžiningi“.

III. ∃∃∃∃x F(x) ~∀ x F(x).

Skaitome: išraiška “Yra toks x, kuris turi savybę F” ekvivalenti išraiškai “Netiesa, kad

kiekvienas x neturi savybės F”. Kadangi yra sąžiningų žmonių, tai netiesa, kad kiekvienas

žmogus nesąžiningas, ir atvirkščiai.

IV. ∃ x F(x) ~∀∀∀∀x F(x).

Skaitome: išraiška “Netiesa, kad yra toks x, kuris turi savybę F” ekvivalenti išraiškai

“Kiekvienas x neturi savybės F”. Teiginys “Netiesa, kad mūsų grupėje yra studentas, kuris

moka kinų kalbą” ekvivalenti teiginiui “Visi mūsų grupės studentai nemoka kinų kalbos”.

Svarbus savybių teorijos dėsnis yra šis:

V. ∀∀∀∀x F(x) ⇒F(y).

Skaitome: jei kiekvienas x turi savybę F, tai savybę F turi koks nors y. Šis dėsnis yra

loginis bendrų teiginių taikymo atskiriems atvejams pagrindas. Pavyzdžiui, kadangi

kiekvienas Lietuvos pilietis privalo laikytis Lietuvos Respublikos įstatymų, tai jų privalo

laikytis ir Vardenis Pavardenis.

Pateiktajam dėsniui artimas šis dėsnis:

VI. F(y)⇒ ∃∃∃∃x F(x).

Skaitome: jei koks nors objektas y turi savybę F, tai egzistuoja toks x, kuris turi savybę

F. Tai reiškia, kad jei koks nors laisvai pasirinktas objektas y turi tam tikrą savybę, tai tą

savybę turi ir koks nors objektas x, kuris priklauso tai pačiai klasei, kaip ir objektas y. Pvz.,

Pavardenis yra verslininkas, reiškia, yra ir daugiau žmonių, kurie yra verslininkai.

65

Pateiksime dėsnius, kurie nurodo, kaip reikia kvantorius įkelti į skliaustus ir iškelti už

skliaustų. Jie vadinami kvantorių išskaidymo ir jungimo dėsniais.

Visuotinumo kvantoriaus išskaidymas konjunkcijoje:

VII. ∀∀∀∀x [F(x)· G(x)] ~[∀∀∀∀x F(x)·∀∀∀∀x G(x)].

Skaitome: išraiška “Kiekvienas x turi savybę F ir savybę G” ekvivalenti išraiškai

“Kiekvienas x turi savybę F ir kiekvienas x turi savybę G”. Teiginys “Kiekvienoje ES šalyje

yra universitetai ir mokyklos” ekvivalentus teiginiui “Kiekvienoje ES šalyje yra universitetai

ir kiekvienoje ES šalyje yra mokyklos”.

Kitaip išskaidomas egzistavimo kvantorius konjunkcijoje:

VIII. ∃∃∃∃x [F(x)· G(x)] ⇒ [∃∃∃∃x F(x)·∃∃∃∃x G(x)]

Skaitome: jei egzistuoja toks x, kuris turi savybę F ir savybę G, tai egzistuoja toks x,

kuris turi savybę F, ir egzistuoja toks x, kuris turi savybę G. Palyginus su visuotinumo

kvantoriaus išskaldymu konjunkcijoje, skirtumas čia tas, kad tarp skliaustuose esančių

išraiškų negalima rašyti ekvivalentiškumo ženklo.

Žinome, kad ekvivalentiškumas yra implikacija abiem kryptim. Tačiau iš VIII išraiškos

dešinės pusės [∃∃∃∃x F(x)·∃∃∃∃x G(x)] negalima išvesti kairės pusės ∃∃∃∃x [F(x)· G(x)]. Tai įrodo kad

ir toks pavyzdys. Yra toks sportininkas, kuris disko metime 1971 metais pasiekė geriausią

rezultatą pasaulyje, ir yra toks sportininkas, kuris disko metime pasiekė geriausią rezultatą

pasaulyje 2011 metais. Tačiau klystume teigdami, kad yra toks sportininkas, kuris disko

metime pasiekė geriausią rezultatą pasaulyje 1971 ir 2011 metais – tai gali būti visiškai

skirtingi sportininkai. Dar daugiau, tai tikrai bus du skirtingi sportininkai, nes laiko tarpas tarp

išvardytų pasaulio rekordų – 40 metų!

Pastaba. Išraiškos, kuri ekvivalencijos operatoriaus pagalba įtvirtintų visuotinumo

kvantoriaus išskaidymą disjunkcijoje, negali būti. Tai įrodo toks pavyzdys. Tarkime, kad

grupei vaikų davėme kiekvienam po vieną vaisių – obuolį arba kriaušę. Tada iš teiginio

“Kiekvienas vaikas gavo obuolį arba kriaušę” neseka teiginys “Kiekvienas vaikas gavo obuolį

arba kiekvienas vaikas gavo kriaušę”. Juk vieni vaikai gavo obuolius, kiti – kriaušes. Tačiau

atvirkščias teiginys jau bus teisingas. [Iš teiginio “Kiekvienas vaikas gavo obuolį arba

kiekvienas vaikas gavo kriaušę”, t.y. kiekvienas vaikas gavo vaisių, išplaukia teiginys

“Kiekvienas vaikas gavo obuolį arba kriaušę”]

Predikatų logikoje iš vienų dėsnių išvedami kiti dėsniai, remiantis dvejybiškumo

principu. Konjunkcija ir disjunkcija, kvantoriai x∃ ir x∀ vadinami dvejybiškais. Be to,

dvejybiški taip pat simboliai ⇒ ir ⇐ . Ženklas ⇐ vadinamas atvirkštine implikacija. Jei

implikacijoje iš p seka q, tai atvirkštinėje implikacijoje iš q seka p.

66

Dvejybiškumo principo esmė yra ta, kad nustatoma, jog išraiška, kurioje yra

visuotinumo kvantorius, konjunkcija, implikacija yra ekvivalenti išraiškai, kurioje: 1)

visuotinumo kvantorius pakeičiamas egzistavimo kvantoriumi; 2) konjunkcija pakeičiama

disjunkcija; 3) implikacija pakeičiama atvirkštine implikacija.

Taikant dvejybiškumo principą visuotinumo kvantoriaus išskaidymui konjunkcijoje,

<VII> išraiškoje reikia x∀ pakeisti x∃ , konjunkciją · pakeisti disjunkcija ∨ . Atlikę šias

operacijas, gauname egzistavimo kvantoriaus išskaidymą disjunkcijoje:

IX. ∃∃∃∃x [F(x) ∨ G(x)] ~ [∃∃∃∃x F(x) ∨ ∃∃∃∃x G(x)].

Skaitome: išraiška “Yra toks x, kuris turi savybę F arba savybę G” ekvivalenti išraiškai

“Yra toks x, kuris turi savybę F arba yra toks x, kuris turi savybę G” .

Taikant dvejybiškumo principą <VIII> išraiškai reikia x∃ pakeisti x∀ , konjunkciją ·

pakeisti disjunkcija ∨ , o implikaciją ⇒ pakeisti atvirkštine implikacija ⇐ . Atlikę šias

operacijas, gauname visuotinumo kvantoriaus jungimą disjunkcijoje:

X. [∀∀∀∀x F(x) ∨ ∀∀∀∀x G(x)] ⇒ ∀∀∀∀x [F(x) ∨ G(x)].

Skaitome: jei kiekvienas x turi savybę F arba kiekvienas x turi savybę G, tai kiekvienas

x turi savybę F arba savybę G.

Panagrinėsime du su <X> išraiška susijusius pavyzdžius. Tarkime, kad kiekvienas iš

sėdinčių šioje auditorijoje turi mobilų telefoną (savybė F) arba kiekvienas iš sėdinčių šioje

auditorijoje turi rašymo priemonę (savybė G). Iš čia seka, kad kiekvienas iš sėdinčių šioje

auditorijoje turi mobilų telefoną (savybė F) arba rašymo priemonę (savybė G).

Tačiau atvirkščias teiginys, kaip jau esame pastebėję, bendru atveju yra klaidingas, t.y.

iš išraiškos ∀∀∀∀x [F(x) ∨ G(x)] negalima išvesti išraišką [∀∀∀∀x F(x) ∨ ∀∀∀∀x G(x)]. Iš tiesų, teisinga

tai, kad kiekvienas medis turi lapus (savybė F) arba spyglius (savybė G). Tačiau būtų

klaidinga teigti, kad kiekvienas medis turi lapus (savybė F) arba kiekvienas medis turi

spyglius (savybė G). Abu šie teiginiai klaidingi, todėl ir jų disjunkcija klaidinga.

Taigi, gautoji <X> išraiška – tai kvantorių jungimo dėsnis. Panagrinėsime dar kelis

kvantorių jungimo dėsnius. Jie nurodo, kaip kvantorius iškeliamas už skliaustų.

Visuotinumo kvantoriaus jungimas konjunkcijoje:

VIIa. [ ∀∀∀∀x F(x) · ∀∀∀∀x G(x)] ~ ∀∀∀∀x [F(x) · G(x)].

Kodėl šiai formulei suteikėme tokį keistą numerį VIIa ? Todėl, kad šis dėsnis

elementariai gaunamas iš visuotinumo kvantoriaus išskaidymo konjunkcijoje <VII> dėsnio,

sukeitus vietomis jo puses.

Skaitome: išraiška „Kiekvienas x turi savybę F ir kiekvienas x turi savybę G“

ekvivalenti išraiškai „Kiekvienas x turi savybę F ir savybę G“ .

67

Išraiškos, kuri tvirtintų egzistavimo kvantoriaus jungimą konjunkcijoje, negali būti, nes

egzistavimo kvantorius išskaidymo konjunkcijoje <VIII> dėsnis suformuluotas ne kaip

ekvivalencija, bet kaip implikacija. Žinome, kad bendru atveju implikacijos prielaida ir išvada

negali būti sukeistos vietomis.

Egzistavimo kvantoriaus jungimas disjunkcijoje:

IXa. [∃∃∃∃x F(x) ∨ ∃∃∃∃x G(x)] ~ ∃∃∃∃x [F(x) ∨ G(x)].

Šio dėsnio numeris IXa sufleruoja mums, kad jis gaunamas iš egzistavimo kvantoriaus

išskaidymo disjunkcijoje <IX> dėsnio, sukeitus vietomis jo puses.

Skaitome: išraiška “Yra toks x, kuris turi savybę F arba yra toks x, kuris turi savybę G”

ekvivalenti išraiškai “Yra toks x, kuris turi savybę F arba savybę G”.

Egzistavimo kvantoriaus jungimas implikacijoje:

XI. [∃∃∃∃x F(x) ⇒∃∃∃∃x G(x)] ⇒ ∃∃∃∃x [F(x) ⇒G(x)].

Skaitome: jei yra toks x, kuris turi savybę F, tai yra toks x, kuris turi savybę G. Iš to

seka, jog yra toks x, kad jei x turi savybę F, tai x turi savybę G.

Šis dėsnis atrodo gana sudėtingai, todėl išnagrinėsime paprastą pavyzdį . Tarkime, kad

yra grupė studentų, kurie laikys logikos egzaminą. Jei yra studentai, kurie laikys logikos

egzaminą (savybė F), tai yra studentas (tas ar kitas), kuris geriausiai išlaikys egzaminą

(savybė G). Iš to seka, kad egzistuoja (yra) toks studentas, kad jei jis laikys logikos egzaminą

(savybė F), tai jis išlaikys geriausiai (savybė G).

Visi teiginių logikos dėsniai galioja ir predikatų logikoje, todėl savybių teorijos dėsnius

galima išvesti iš teiginių logikos dėsnių. Tuo tikslu teiginių logikos išraiškose kintamuosius p,

q, r, ... reikia pakeisti savybių logikos kintamaisiais F(x), G(x), H(x), ...

Taip, pavyzdžiui, dvigubo neigimo dėsnyje pp ~ pakeitę p išraiška F(x), o logines

konstantas (dvigubą neigimą ir ekvivalentiškumo ženklą) palikę, gauname dvigubo neigimo

dėsnį savybių teorijoje:

XII. ∀∀∀∀x [ F(x)~F(x)]

Skaitome: kiekvienam x teisinga, kad išraiška “Netiesa, kad x neturi savybės F”

ekvivalenti išraiškai “x turi savybę F” .

Pvz., teiginys „Netiesa, kad šie vyrai yra neatletiško sudėjimo“ yra ekvivalentus

teiginiui „Šie vyrai yra atletiško sudėjimo“.

Pastebėsime, kad savybių teorijos dėsnius išvedant iš teiginių logikos dėsnių, prieš

kiekvieną savybių teorijos dėsnį rašomas visuotinumo kvantorius. Jis parodo, kad tai, kas

dėsnyje teigiama, tinka kiekvienam x.

68

Analogiškai gaunamas prieštaravimo dėsnis savybių teorijoje. Tuo tikslu prieštaravimo

dėsnį teiginių logikoje p p O∧ ≡ perrašome ekvivalenčia forma p p I∧ ≡ , o išraiškoje

p p∧ pakeitę p išraiška F(x) gauname prieštaravimo dėsnį savybių teorijoje:

XIII. ∀∀∀∀x F(x) F(x)∧ .

Šis užrašas suprantamas taip: „∀∀∀∀x F(x) F(x)∧ yra visada teisinga loginė forma“

Skaitome: kiekvienam x teisinga, kad netiesa, jog x turi savybę F ir x neturi savybės F.

Pvz., neteisinga teigti, kad kas nors yra išmintingas ir neišmintingas tuo pačiu metu.

Toks tvirtinimas tinka kiekvienam objektui.

Pagaliau, negalimo trečiojo dėsnyje Ipp ≡∨ pakeitę p išraiška F(x) gauname

negalimo trečiojo dėsnį savybių teorijoje:

XIV. ∀∀∀∀x[F(x) F∨ (x)].

Šis užrašas suprantamas taip: „∀∀∀∀x[F(x) F∨ (x)] yra visada teisinga loginė forma“.

Skaitome: kiekvienam x teisinga, kad x turi savybę F arba neturi savybės F.

Pavyzdys: kiekvienas gimęs kūdikis yra mergaitė (savybė F) arba ne mergaitė (savybė

F), t.y. kiekvienas gimęs kūdikis yra mergaitė arba berniukas .

Savybių teorijos dėsniai iš teiginių logikos dėsnių išvedami ir kitokiu būdu. Teiginių

logikos kintamieji p, q, r pakeičiami išraiškomis ∀∀∀∀x F(x), ∀∀∀∀y G(y), ∃∃∃∃x F(x) ir pan. Dėsnyje

( ) ( )p q q p⇒ ≡ ⇒ p pakeitus išraiška ∀∀∀∀x F(x), kuri yra predikatas, visuotinumo kvantoriaus

dėka tapęs teiginiu, o q pakeitus išraiška ∃∃∃∃y G(y), kuri dėl analogiškos priežasties taip pat yra

teiginys, gauname:

XV. [∀∀∀∀x F(x) ⇒∃∃∃∃y G(y)] ~ [∃ y G(y) ⇒ ∀ x F(x)].

Skaitome: jei kiekvienas x turi savybę F, tai yra toks y, kuris turi savybę G. Tai yra

ekvivalentu tam, kad jei netiesa, jog yra toks y, kuris turi savybę G, tai netiesa, kad kiekvienas

x turi savybę F.

UŽDUOTIS (pagal R. Plečkaitį [1]). 1. Remdamiesi kvantorių pakeitimo <I> ir <II>

dėsniais, nustatykite, kokiems teiginiams ekvivalentūs šie teiginiai:

a) Visi pasiruošėme seminarui;

b) Netiesa, kad visi pasiruošėme seminarui.

[a) Netiesa, kad yra tokių, kurie seminarui nepasirengė; b) yra tokių, kurie

seminarui nepasirengė].

69

2. Išraiškai [∀∀∀∀x F(x) · ∀∀∀∀x G(x)] ⇒ ∀∀∀∀x [F(x) · G(x)] taikydami dvejybiškumą, išveskite

naują dėsnį. [Sprendimas: [∃∃∃∃x F(x) ∨ ∃∃∃∃x G(x)] ⇐ ∃∃∃∃x [F(x) ∨ G(x)], t.y.

∃∃∃∃x [F(x) ∨ G(x)] ⇒ [∃∃∃∃x F(x) ∨ ∃∃∃∃x G(x)] ].

3. Teiginių logikos dėsnį ( )( )p p p I⇒ ⇒ ≡ paverskite savybių teorijos dėsniu.

[Sprendimas: ∀∀∀∀x [F(x) ⇒ F(x) ⇒ F(x)] ]

UŽDUOTIS MEDŽIAGOS PAKARTOJIMUI. Predikatų pagalba atlikite dvi žemiau

pateiktas užduotis:

1. Turime tokį samprotavimą. Bet kas, turintis laiko ir kantrybės, galėtų susiremontuoti

savo mašiną. Deja, daugybė žmonių skundžiasi, kad negali patys susiremontuoti

mašinos. Tai reiškia, kad daugybei žmonių tiesiog trūksta kantrybės. Užrašykite šį

samprotavimą matematiškai, jei kintamojo x kitimo aibė – visų žmonių aibė, o

predikatai apibrėžti taip: L(x) – „x turi laiko“, K(x) – „x turi kantrybės“, M(x) – „x

gali susiremontuoti savo mašiną“. [Sprendimas: samprotavimas gali būti užrašytas

taip: ∀ x [L(x) · K(x) ⇒M(x)]; ∃∃∃∃x M (x); ∴ ∃∃∃∃x [ K (x)] ]

2. Turime tokį samprotavimą. Yra ne vienas muzikantas, kuris savęs nelaiko krepšinio

sirgaliumi. Lietuviai, kaip žinia, visi yra didesni ar mažesni krepšinio gerbėjai.

Taigi, dalis muzikantų, išeitų, nėra lietuviai. Užrašykite šį samprotavimą

matematiškai, įvesdami tokius predikatus: M(x) – „x yra muzikantas", K(x) – „x yra

krepšinio sirgalius“, L(x) – „x yra lietuvis“.

[Sprendimas: samprotavimas gali būti užrašytas taip:

∃∃∃∃x [M(x) · K (x)]; ∀ x [L(x) ⇒K(x)]; ∴ ∃∃∃∃x [M(x) · L (x)] ]

PASTABA. Atkreipiame dėmesį, kaip vykusiai abiejų samprotavimų autoriai – V.

Dičiūnas ir G. Skersys – parenka predikatų pažymėjimus. Raide K pirmu atveju

žymimi kantrybę turintys, antru atveju – krepšinio sirgaliai; raide L – atitinkamai

laiko turintys ir lietuviai; pagaliau, raide M – atitinkamai mašiną galintys

susiremontuoti ir muzikantai . Simbolis ∴skaitomas taip: todėl arba vadinasi.

70

1.12. Išraiškų pertvarkymas savybių teorijoje

Savybių teorijos išraiškos įvairiai pertvarkomos, pažymima [1], iš vienų išraiškų

išvedant kitas joms lygiavertes išraiškas. Dėsniai

∀∀∀∀x F(x) ~ ∀∀∀∀y F(y); ∃∃∃∃x F(x) ~ ∃∃∃∃y F(y)

rodo, kad kurioje nors išraiškoje kintamąjį pakeitę kitu kintamuoju, gauname jai ekvivalentinę

išraišką.

Analogiškai, išraiškoje ∃∃∃∃x [F(x) · G(x)] pakeitę x kintamuoju y, gauname lygiavertę

išraišką ∃∃∃∃y [F(y) · G(y)]. Keičiant kintamąjį kitu kintamuoju, reikia pakeitimą daryti visoje

išraiškoje, kur tas kintamasis bebūtų.

Kintamieji predikatų logikos išraiškose yra dvejopo pobūdžio – suvaržyti arba laisvi.

Suvaržytas kintamasis – tai kintamasis, kuris yra kvantoriaus galiojimo srityje.

Laisvas kintamasis – tai tas, kurio kvantoriaus galiojimo srityje nėra. Išraiškoje ∀∀∀∀x

[F(x)⇒F(y)] ∨ G(x) kvantoriaus galiojimo srityje esąs kintamasis x – suvaržytas;

laužtiniuose skliaustuose esąs x taip pat suvaržytas, nes jis yra kvantoriaus galiojimo srityje; y

– laisvas kintamasis; paskutinysis x – taip pat laisvas, nes jis yra už kvantoriaus galiojimo

srities.

Esminė kvantoriaus savybė ta, kad jis laisvus kintamuosius paverčia suvaržytais.

Išraiška, kurioje nėra laisvų kintamųjų, yra teiginys, o ne propozicinė funkcija.

Pabrėšime, kad suvaržytų kintamųjų negalima pakeisti laisvais ir atvirkščiai, t.y.

laisvųjų kintamųjų negalima pakeisti suvaržytais. Išraiškos ∀∀∀∀x [F(x)⇒F(y)] negalima

patvarkyti į išraišką ∀∀∀∀x [F(x)⇒F(x)]. Pirmoje išraiškoje y yra laisvas kintamasis, o antroje

jis pakeičiamas suvaržytu kintamuoju.

Savybių teorijos išraiškas galima taip pertvarkyti, kad kvantoriai būtų iškelti prieš

visus kitus išraišką sudarančius simbolius. Sakoma, kad šitaip pertvarkytu išraiška įgauna

normaliąją formą. Išraiškos [∀∀∀∀x F(x)] ∨ [∀∀∀∀y G(y)] normalioji forma ši:

∀∀∀∀x ∀∀∀∀y [F(x) ∨ G(y)].

Skaitome: kiekvienam x ir kiekvienam y teisinga, kad x turi savybę F arba y turi savybę G.

Taikant kvantorių ekvivalencijos dėsnius ir teiginių logikos dėsnius, savybių teorijos

išraiškas galima taip pertvarkyti, kad neigimas tektų tik savybėms. Panagrinėkime,

pavyzdžiui, tokią išraišką: xF(x) yG(y)∃ ⇒∀ .

71

Skaitome: netiesa, kad jei egzistuoja toks x, kuris turi savybę F, tai kiekvienas y turi

savybę G. Taikant šiai išraiškai teiginių logikos dėsnį ( )p q p q⇒ ⇔ ∧ , gauname:

xF(x) yG(y)∃ ⇒∀ ~ [ ∃∃∃∃x F(x) · ∀ y G(y)] .

Pritaikę II kvantorių ekvivalencijos dėsnį ∀ y G(y) ~ ∃∃∃∃yG (y), gauname:

xF(x) yG(y)∃ ⇒∀ ~ [ ∃∃∃∃x F(x) · ∃∃∃∃y G (y) ].

Gautoje išraiškoje neigimas tenka tik savybėms.

Panašiai išraiškos pertvarkomos ir antroje predikatų logikos dalyje - santykių teorijoje.

UŽDUOTIS (pagal R. Plečkaitį [1]). 1. Išraiškoje ∃∃∃∃x F(x)⇒ G (y) laisvą kintamąjį

pakeiskite: a) suvaržytu kintamuoju; b) kitu laisvu kintamuoju.

[Sprendimas: a) ∃∃∃∃x F(x)⇒ G (x); b) ∃∃∃∃x F(x)⇒ G (z) ].

2. Suteikite normaliąją formą išraiškai ∃∃∃∃x F(x) · ∃∃∃∃y G(y) ir perskaitykite gautą

rezultatą. [Sprendimas: ∃∃∃∃x ∃∃∃∃y [F(x) · G(y)] ].

3. Išraišką xF(x) yG(y)∃ ∨ ∃ pertvarkykite taip, kad neigimas tektų tik savybėms.

[Sprendimas: Taikome šiai išraiškai antrąjį de Morgano logikos dėsnį p q p q∨ ≡ ∧ :

[ xF(x) yG(y)∃ ∨ ∀ ] ~ [ ∃ x F(x) · ∃ y G(y)].

Kadangi pagal IV kvantorių keitimo dėsnį ∃ x F(x) ~∀∀∀∀x F(x), tai

[ ∃ x F(x) · ∃ y G(y) ] ~ [∀∀∀∀x F(x) · ∀∀∀∀y G (y)],

t.y. [ xF(x) yG(y)∃ ∨ ∀ ] ~ [∀∀∀∀x F(x) · ∀∀∀∀y G (y)] ].

4. Išraišką xF(x) yG(y)∃ ∧ ∀ pertvarkykite taip, kad neigimas tektų tik savybėms.

[Sprendimas: Taikome šiai išraiškai pirmąjį de Morgano logikos dėsnį p q p q∧ ≡ ∨ :

[ xF(x) yG(y)∃ ∧ ∀ ] ~ [ ∃ x F(x) ∨ ∀ y G(y)].

Kadangi pagal IV kvantorių keitimo dėsnį ∃ x F(x) ~∀∀∀∀x F(x), o pagal III kvantorių

keitimo dėsnį ∃∃∃∃x F(x) ~∀ x F(x), tai pastarajame pažymėję Fraide G gauname, kad

[ ∃ x F(x) ∨ ∀ y G(y) ] ~ [∀∀∀∀x F(x) ∨ ∃∃∃∃y G (y)],

t.y. [ xF(x) yG(y)∃ ∧ ∀ ] ~ [∀∀∀∀x F(x) ∨ ∃∃∃∃y G (y)] ].

72

1.13. Santykių samprata

Savybių teorijoje požymis buvo priskiriamas mažiausiai vienam objektui. Santykių

teorija nagrinėja tokius požymius, kurių vienam objektui priskirti negalima. Santykius galima

priskirti dviems, trims ir daugiau objektų. Mažiausiai turi būti du objektai.

Kalboje gausu žodžių, reiškiančių santykius, pavyzdžiui:

daugiau sesuo dovanoti priežastingumas

lygu brolis sukurti judėjimas

skirtingas tėvas matyti diskusija

būti tarp draugas ginti mainai

Santykių teorijoje, kurios pradmenis pateiksime pasinaudodami R. Plečkaičio

vadovėliu [1], objektus žymėsime mažosiomis raidėmis x, y, z,... Pačius santykius žymėsime

didžiosiomis raidėmis R, S, T,... Išraišką

x R y

skaitome taip: tarp objektų x ir y yra santykis R. Šią struktūrą turi teiginys „Grybautojas rado

baravyką“:

x R y

Grybautojas rado baravyką.

Kai santykis yra tarp dviejų objektų, jis vadinamas dviviečiu santykiu. Tačiau yra ir

tokių santykių, kurie egzistuoja tarp trijų, keturių ir daugiau objektų. Tokiu atveju sakoma,

kad santykis yra trijų, keturių vietų ir t.t. Jei savybės yra vienviečiai predikatai (požymiai), tai

santykiai yra daugiaviečiai predikatai (požymiai).

Teiginyje “Panevėžys yra tarp Vilniaus ir Šiaulių” santykis “būti tarp” reikalauja trijų

objektų. Panevėžį pažymėję raide x, Vilnių – y, Šiaulius – z, šį teiginį užrašome formule

R(x, y, z).

Skaitome: tarp objektų x, y, z yra santykis R.

Žodis „duoti“ taip pat reiškia trivietį santykį: kas nors duoda ką nors kam nors, pvz.,

tėvas duoda vaikui kriaušę. Terminas “prekyba” – keturvietis santykis: kas nors kam nors ką

nors parduoda už tam tikrą kainą. Taigi prekės pirkimas yra keturvietis santykis, kuri sudaro

pirkėjas, pardavėjas, prekė ir pinigai, sumokami už prekę.

Daugelis požymių, kurie laikomi savybėmis, pasirodo tikrumoje esą ne savybės, bet

santykiais. Kai sakoma, kad poelgis x geresnis už poelgį y, tai griežtai tariant, toks teiginys

netiksliai suformuluotas. “Būti geresniu” yra trijų vietų santykis: x geresnis už y z požiūriu,

t.y. poelgis x geresnis už poelgį y egzistuojančių moralės normų požiūriu.

73

Loginių santykių teorijoje pagrindinis santykis yra santykis tarp dviejų objektų,

žymimas išraiška x R y. Santykių teorijoje plačiai vartojami kvantoriai. Panagrinėkime šias

išraiškas:

x yra aukštesnis už y;

x nupirko y.

Šios išraiškos yra ne teiginiai, bet propozicinės funkcijos. Santykių teorijoje iš

propozicinių funkcijų teiginiai sudaromi panašiai kaip ir savybių teorijoje. Paprasčiausias

būdas propozicinę funkciją paversti teiginiu yra kintamųjų dydžių pakeitimas konkrečių

objektų vardais, pvz.:

Simukas yra aukštesnis už Petriuką.

Inga nupirko riestainį.

Antras būdas propozicinę funkciją paversti teiginiu – susiejimas kvantoriais:

∃∃∃∃x ∃∃∃∃y (x yra aukštesnis už y);

∃∃∃∃x ∃∃∃∃y (x nupirko y)

Šiuos teiginius skaitome taip:

Yra toks x ir yra toks y, iš kurių x yra aukštesnis už y;

Yra toks x ir yra toks y, iš kurių x nupirko y.

Pirmasis teiginys yra teisingas, jei grupėje yra bent du asmenys, iš kurių vienas

aukštesnis už kitą geriau už kitą; antrasis teiginys irgi yra teisingas, nes yra daug pirkėjų ir

daug prekių, kurias tie pirkėjai nupirko.

Santykių teorijoje, kaip ir savybių teorijoje, propozicinės funkcijos gali būti

susiejamos įvairiais kvantoriais. Išraiška ∀∀∀∀x ∀∀∀∀y (x R y) skaitoma taip: kiekvienam x ir

kiekvienam y teisinga, kad tarp jų yra santykis R. Trumpiau galima sakyti taip: kiekvienas x

yra santykyje R su kiekvienu y. Pavyzdžiui, tegu R reiškia „sukelti“, x – „priežastis“, y –

„pasekmė“. Skaitome: kiekvienai priežasčiai ir kiekvienai pasekmei teisinga, kad priežastis

sukelia pasekmę.

Išraišką ∃∃∃∃x ∀∀∀∀y (x R y) skaitome taip: yra toks x, kuris su kiekvienu y yra santykyje R.

Pvz., yra žmonių, kurie į bet kokią kritiką reaguoja liguistai.

Jei išraišką susiejantys kvantoriai vienodi, tai juos galima sukeisti vietomis. Ar

parašysime ∃∃∃∃x ∃∃∃∃y (x R y), ar ∃∃∃∃y ∃∃∃∃x (x R y), nuo to išraiškos esmė nepasikeis. Tačiau jei

išraišką susiejantys kvantoriai nevienodi, tai jų sukeisti vietomis negalima, nes, sukeitus

vietomis, pakinta išraiškos prasmė. Pavyzdžiui, išraiškoje ∃∃∃∃x ∀∀∀∀y (x R y) sukeitę kvantorius

vietomis gauname visai kitokią prasmę turinčią išraišką ∀∀∀∀y ∃∃∃∃x (x R y).

74

Santykių teorijoje yra ir tokių išraiškų, kuriose ne visi kintamieji susieti kvantoriais,

t.y. ne visi kintamieji yra suvaržyti, pasitaiko ir laisvų kintamųjų. Pavyzdžiui, išraiškoje ∃∃∃∃x (x

R y) kintamasis x suvaržytas, o kintamasis y laisvas.

UŽDUOTIS (pagal R. Plečkaitį [1] ir ne tik ). 1. Kurie iš pateiktų žodžių reiškia savybes

ir kurie – santykius: a) sėdėti greta; b) pažinti; c) gyventi kaimynystėje; d) būti jaunu

specialistu; e) mylėti. [ savybes išreiškia tik d) ]

2. Kokį mažiausią objektų skaičių reikalauja šie santykiai: a) diskusija; b) sugriauti; c)

suteikti; d) sukaupti. [ du ]

3. Perskaitykite išraišką ∀∀∀∀x ∃∃∃∃y (x R y) ir x bei y pakeiskite konkrečiais objektais, o santykį R

– konkrečiu santykiu taip, kad gautumėte teisingą teiginį. [ kiekvienam vyrui egzistuoja tokia

moteris, kuri tinka santuokai ]

4. O dabar perstatykite kvantorius vietomis ir perskaitykite gautą išraišką ∃∃∃∃y ∀∀∀∀x (x R y).

Vietoj x bei y įrašę iš 3 punkto konkrečius objektus ir santykį R , perskaitykite gautą teiginį ir

pateikite išvadą. [egzistuoja moteris, kuriai kiekvienas vyras tinka santuokai . Išvada –

skirtingus kvantorius negalima sukeisti vietomis, nes gautosios išraiškos prasmė stipriai

skiriasi nuo pradinės]

1.14. Teiginių ir santykių formalizacija

Su teiginių formalizacija mes jau esame ne kartą susidūrę anksčiau – pavyzdžiui, 1.11

skyrelio užduotyse medžiagos pakartojimui. Santykių logikoje formalizuojant teiginius ir

santykius, pasinaudojama savybių teorijoje nustatytomis priemonėmis.

Tegul turime teiginį „Kiekvienas žmogus daro klaidų“. Jo dalinė formalizacija yra ši:

žmogus [x] · klaidos [y] → x daro y.

Ženklas → čia reiškia atvaizduoja arba priskiria, tai yra šiuo atveju kiekvienai porai

„žmogus [x]“ ir „klaidos [y]“ priskiriama išraiška „x daro y“, išreiškianti nagrinėjamų

elementų x ir y santykį.

Savybę „būti žmogumi“ pažymėję raide F, savybę „būti klaida“ – raide G, o santykį,

išreiškiamą veiksmažodžiu „daryti“, raide R, teiginį „Kiekvienas žmogus daro klaidų“

formalizuosime visiškai:

∀∀∀∀x ∃∃∃∃y [F(x) · G(y)] → (x R y)

Skaitome: kiekvienam x yra tokie y, kad jei x turi savybę F ir y turi savybę G, tai tarp

x ir y yra santykis R.

75

Išnagrinėsime dar du formalizacijos pavyzdžius. Tegul turime teiginį „Esama asmenų,

kurie nepaklūsta įstatymams“. Jo dalinė formalizacija yra ši:

asmenys [x] · įstatymai [y] → x nepaklūsta y.

Savybę „būti asmeniu“ pažymėję raide F, savybę „būti įstatymu“ – raide G, o santykį,

išreiškiamą veiksmažodžiu „paklūsti“, raide R, gauname visišką formalizaciją: ∃∃∃∃x ∃∃∃∃y [F(x) ·

G(y)] → (x R y). Skaitome: egzistuoja tokie x ir egzistuoja tokie y, kad jei x turi savybę F

ir y turi savybę G, tai tarp x ir y nėra santykio R.

Pagaliau, teiginio „Niekas neperskaitė visų knygų“ dalinė formalizacija yra ši:

žmonės [x] · knygos [y] → x neperskaitė y.

Savybę „būti žmogumi“ pažymėję raide F, savybę „būti knyga“ – raide G, o santykį,

išreiškiamą veiksmažodžiu „skaityti“, raide R, gauname visišką formalizaciją: ∀∀∀∀x ∃∃∃∃y [F(x) ·

G(y)] → (x R y). Skaitome: kiekvienam x egzistuoja tokie y, kad jei x turi savybę F ir y

turi savybę G, tai tarp x ir y nėra santykio R.

UŽDUOTIS (pagal R. Plečkaitį [1]). 1. Dalinai ir pilnai formalizuokite teiginį „Kai kurie

tėvai neprižiūri savo vaikų“. Perskaitykite gautą rezultatą.

[ Sprendimas. Dalinė formalizacija yra ši:

tėvai [x] · vaikai [y] → x neprižiūri y.

Savybę „būti tėvais“ pažymėję raide F, savybę „būti vaikais“ – raide G, o santykį, išreiškiamą

veiksmažodžiu „prižiūrėti“, raide R, gauname visišką formalizaciją: ∃∃∃∃x ∃∃∃∃y [F(x) · G(y)] →

(x R y). Skaitome: egzistuoja tokie x ir egzistuoja tokie y, kad jei x turi savybę F ir y turi

savybę G, tai tarp x ir y nėra santykio R.

2. Dalinai ir pilnai formalizuokite teiginį „Niekas nematė visų miestų“. Perskaitykite

gautą rezultatą.

[ Sprendimas. Dalinė formalizacija yra ši:

žmonės [x] · miestai [y] → x nematė y.

Savybę „būti žmogumi“ pažymėję raide F, savybę „būti miestu“ – raide G, o santykį,

išreiškiamą veiksmažodžiu „matyti“, raide R, gauname visišką formalizaciją: ∀∀∀∀x ∃∃∃∃y [F(x) ·

G(x)] → (x R y). Skaitome: kiekvienam x egzistuoja tokie y, kad jei x turi savybę F ir y

turi savybę G, tai tarp x ir y nėra santykio R.

76

1.15. Veiksmai su santykiais

Su loginiais santykiais gali būti atliekami tam tikri veiksmai. Ir nors su kai kuriais iš jų –

pavyzdžiui, neigimu – mes jau susidūrėme 1.14 skyrelyje, dabar trumpai pakartosime.

Santykio neigimas. Santykį neigiant, virš santykio rašomas neigimo ženklas. Išraišką

x R y

skaitome taip: netiesa, kad tarp x ir y yra santykis R; tarp x ir y nėra santykio R. Pavyzdžiui,

teiginyje „Netiesa, kad Marytė myli Petriuką“ nurodoma, kad tarp šių objektų tokio santykio

nėra.

Santykio konversija. Jei x R y yra bet koks santykis tarp x ir y, tai šio santykio

konversija yra santykis, kuris atsiranda tarp y ir x. Santykio konversija žymima simboliu R

ir

išreiškiama formule

x R y ~ yR

x.

Santykio “x yra y tėvas” konversija – tai santykis “y yra x sūnus”. Pavyzdžiui, santykio

“Marytė myli Petriuką” konversija – “Petriukas yra Marytės mylimas”. Taigi, jei santykį

reiškiąs žodis yra veiksmažodis, tai santykio konversija reiškiama neveikiamosios rūšies

dalyviu (pasyvu). Priminsime, kad neveikiamosios rūšies dalyviai reiškia daikto ypatybę ar

patiriamą būseną, kylančią iš kito veikėjo veiksmo. Ypatybės turėtojas neveikia, yra pasyvus.

Tam tikro santykio konversijos konversija yra pradinis santykis:

R ~ R

.

Pavyzdžiui, santykio “x lengvesnis už y” konversija – santykis “y sunkesnis už x”; santykio

“y sunkesnis už x” konversija – santykis “x lengvesnis už y”.

Galima konversuoti ir santykių konjunkciją ir disjunkciją. Pvz.:

R ∨ S:= [(x R

y) ∨ (xS

y)] ~ [(y R x)∨ (y S x)]

(priminsime, kad ženklas := reiškia „pagal apibrėžimą lygu“).

Tegul R žymi santykį “perskaityti”, o S – santykį “parašyti”. Sudarome teiginį “x

perskaitė y arba x parašė y”. Jį konversavę, gausime: “y buvo x-so perskaitytas arba y buvo x-

so parašytas”.

Sakoma, kad santykyje x R y visi objektai x sudaro šio santykio sritį, o visi objektai y

sudaro santykio R konversinę sritį. Santykio sritį ir konversinę sritį sudaro vienarūšiai arba

nevienarūšiai objektai. Santykyje “x draugauja su y” santykio sritį ir konversinę sritį sudaro

vienarūšiai objektai – žmonės. Tuo tarpu santykyje “Technikai sukūrė naują mobiliųjų

77

telefoną” santykio sritį sudaro žmonės, o konversinę sritį – kitos rūšies objektai –

elektroniniai įrenginiai. Santykio sritis ir konversinė sritis sudaro santykio lauką.

Santykių sudėtis. Dviejų santykių sudėtimi nustatoma, kad tarp objektų x ir y yra bent

vienas iš santykių R, S. Santykių sudėtis žymima simboliu ∪∪∪∪. Išraiška R ∪∪∪∪ S skaitoma:

santykis R sudedamas su santykiu S. Detaliau santykių sudėtis reiškiama formule:

xRy ∪∪∪∪ xSy.

Santykių sudėtis suprantama taip, kad tarp objektų x ir y yra bent vienas sudedamų santykių.

Vadinasi, ženklas ∪∪∪∪ čia reiškia tą patį, ką ir silpnoji disjunkcija teiginių logikoje:

(R∪∪∪∪S) := (xRy ∨ xSy).

Santykis “būti tėvais” yra santykių “būti tėvu” (R) ir “būti motina” (S) sudėtis. Tai

reiškia: x yra y tėvas arba x yra y motina. Jei ką nors laikome x tėvais, tai tas turi būti arba x

tėvas, arba x motina. Santykių “būti draugu” (R) ir “būti pažįstamu” (S) sudėtis reiškia, kad x

yra y draugas arba x yra y pažįstamas.

Santykių daugyba. Dviejų santykių daugyba nustatoma, kad tarp objektų x ir y yra abu

santykiai R ir S. Santykių daugybe žymima ženklu ∩∩∩∩. Išraiška R∩∩∩∩S skaitoma taip: santykis R

dauginamas su santykiu S. Detaliau santykių daugyba užrašoma taip:

xRy∩∩∩∩xSy.

Sudauginus santykius “būti jaunesniu” (R) ir “būti draugu” (S), gauname: x jaunesnis už

y ir x yra y draugas. Taigi ženklas ∩∩∩∩ reiškia tą patį, ką ir konjunkcija teiginių logikoje:

(R∩∩∩∩S) := (xRy ∧ xSy).

Sudauginę santykius “dirbti geriau” (R) ir “dirbti greičiau” (S), gauname: x dirba geriau

už y ir x dirba greičiau už y. Pvz., naujai sukurtas kompiuteris dirba geriau ir greičiau už seną.

Santykių sudėtis ir daugyba, suprantama, tarpusavy skiriasi. Sudedant du santykius,

laikoma, kad tarp objektų x ir y yra bent vienas sudedamų santykių. Dauginant du santykius,

laikoma, kad tarp objektų x ir y yra abu santykiai. Jei santykį “pažinti” sudėsime su santykiu

“patikti”, gausime: x pažįsta y arba x patinka y. Jei šiuos du santykius dauginsime, gausime: x

pažįsta y ir x patinka y.

Santykių kompozicija. Santykių kompozicijos dėka iš dviejų santykių sudaromas naujas

sudėtinis santykis. Santykiai “motinos motina”, “tėvo brolis” ir pan. gaunami santykius

komponuojant. Santykių kompozicija žymima taip:

R////S.

78

Santykių kompozicija – veiksmas, kuriuo nustatomas santykis tarp objektų x ir y,

remiantis jų santykiais su objektu z:

xR////Sy:= ∃ x(xRz·zSy).

Tai galima žymėti xRz////zSy. Skaitome: egzistuoja objektas z, su kuriuo x yra santykyje

R su z, o z yra santykyje S su y.

Pavyzdžiui, tegul R reiškia “būti dukra”, o S – “būti seserimi”. Tada pateiktą santykių

kompozicijos formulę skaitome: x yra z dukra, o z yra y sesuo. Vadinasi, x yra y sesers dukra.

Sukomponavę santykius “dukra” ir “sesuo”, gavome naują santykį “sesers dukra”.

Dar vienas pavyzdys. Tegul R reiškia “pažįstamas”, o S – “draugas”. Sukomponavę

šiuos du santykius, gauname: x yra z pažįstamas, o z yra y draugas; vadinasi, x yra y draugo

pažįstamas.

Pastebėsime, kad santykių kompozicijai analogiška sąvoka matematinėje analizėje – tai

funkcijų kompozicija. Funkcijų f ir g kompozicija – tai funkcijos funkcija, kuri žymima

f(g(x)).

UŽDUOTIS (pagal R. Plečkaitį [1]). 1. Suraskite šių santykių konversijas:

a) „Tardytojas apžiūrėjo įvykio vietą“;

b) „Andrius susipažino su nauja bendradarbe“.

[Sprendimai: a) Įvykio vieta buvo tardytojo apžiūrėta; b) Nauja bendradarbė

susipažino su Andriumi].

2. Kaip sukomponuoti santykį „brolio sūnus“?

[Sprendimas. Tegul R reiškia “būti sūnumi”, o S – “būti broliu”. Tada šių

santykių kompozicijos formulę xRz////zSy skaitome taip: x yra z sūnus, o z yra

y brolis. Vadinasi, x yra y brolio sūnus. Sukomponavę santykius “sūnus” ir

“brolis”, gavome naują santykį “brolio sūnus”].

79

1.16. Specialios loginės santykių savybės

Nors pasaulyje be galo daug objektų ir įvairiausių santykių tarp jų, tačiau visi šie

santykiai turi tam tikrų savybių, kurias ir išnagrinėsime.

REFLEKSYVUMAS. Refleksyviniu vadinamas toks santykis, kai objektas yra tame

santykyje su pačiu savimi. Refleksyvumo santykis užrašomas taip:

xRx.

Lygybės, tapatybės, panašumo santykiai yra refleksyvūs, nes kiekvienas objektas lygus

pats sau, tapatus pats sau ir pan.

Nerefleksyviu vadinamas toks santykis, kai objektas nėra tame santykyje su pačiu

savimi. Nerefleksyvumo santykis užrašomas taip:

x R x.

Būti sunkesniu, vyresniu, kaimynu, kolega – nerefleksyvūs santykiai, niekas negali būti

sunkesnis ar vyresnis už save patį, būti savo paties kaimynu ar kolega ir pan.

SIMETRIŠKUMAS. Simetrišku vadinamas toks santykis R tarp x ir y, kurio prasmė

nepasikeičia, kai x ir y yra sukeičiami vietomis:

xRy ~ yRx.

Pavyzdžiui, santykis “sėdėti greta” simetriškas, nes jei x sėdi greta y, tai y sėdi greta x.

Skirtumo santykis taip pat simetriškas: x skiriasi nuo y, o y skiriasi nuo x.

Jei santykio, kuris yra tarp objektų x ir y, nėra tarp objektų y ir x, jis vadinamas

nesimetrišku. Nesimetriškumo santykis užrašomas taip:

xRy → yR x.

Pavyzdžiui, santykiai “būti tėvu”, “būti protingesniu” – nesimetriški: jei x yra y tėvas, tai y

yra sūnus arba duktė; jei x sunkesnis už y, tai y lengvesnis už x.

Kartais neįmanoma nustatyti, ar santykis simetriškas, ar nesimetriškas. Pvz., jei x myli

y, tai jokiomis logikos priemonėmis nenustatysi, ar y myli x, ar nemyli .

TRANZITYVUMAS. Tranzityviu vadinamas toks santykis, kuris, būdamas tarp objektų x

ir y ir tarp objektų y ir x, nepakeičia prasmės ir būdamas tarp objektų x ir z. Tranzityvumo

santykis užrašomas taip:

(xRy · yRz) ~ xRz.

Pavyzdžiui, santykiai “lygus”, “didesnis”, “ankstesnis” – tranzityvūs: jei x įvyko anksčiau už

y, o y įvyko anksčiau už z, tai x įvyko anksčiau už z.

Netranzityviu vadinamas toks santykis, kuris, būdamas tarp objektų x ir y ir tarp objektų

y ir z, nesti tarp objektų x ir z. Netranzityvumo santykis užrašomas

(xRy · yRz) → xR z.

80

Pvz., jei x yra y tėvas ir y yra z tėvas, tai x jau ne z tėvas, bet senelis.

Kartais vien logikos priemonėmis neįmanoma nustatyti, ar santykis tranzityvus, ar

netranzityvus. Pvz., jei x yra y draugas, o y yra z draugas, tai visai neaišku, ar x yra z draugas,

gali atsitikti priešingai .

VIENAREIKŠMIŠKUMAS. Dažnai svarbu nustatyti kiekį objektų, tarp kurių yra kuris

nors santykis. Kiekvienas turi tik vieną biologinį tėvą ir vieną biologinę motiną, tuo tarpu

pastarieji gali turėti ir daugiau vaikų.

Vienareikšmišku vadinamas toks santykis R tarp x ir y, kuris kiekvienam objektui y

priskiria tik vieną objektą x. Santykis “x yra y-o pirmasis mokytojas” – vienareikšmiškas.

Kiekvienas (y), pirmą kartą atėjęs į mokyklą, turi savo pirmąjį mokytoją (x). Tačiau pirmasis

mokytojas turi ne vieną mokinį, bet visą klasę. Jei R tarp x ir y yra vienareikšmiškas, tai

(xRy · zRy) ⇒ (x = z).

Pavyzdžiui, jei x yra y tėvas ir z yra y tėvas, tai x = z, nes y gali turėti tik vieną tėvą.

Abipusiai vienareikšmiškas santykis yra tada, kai santykyje xRy kiekvieną objektą y

atitinka tik vienas objektas x ir atvirkščiai, kiekvieną objektą x atitinka tik vienas objektas y.

Pavyzdžiui, teiginyje “M. Mažvydas išleido pirmąją lietuvišką knygą” išreikštas abipusiai

vienareikšmiškas santykis. Turimomis žiniomis, pirmąją lietuvišką knygą išleido vienas

asmuo – M. Mažvydas, ir atvirkščiai: M. Mažvydas išleido vienintelę pirmąją lietuvišką

knygą.

UŽDUOTIS. 1. Santykis R tarp realių skaičių x ir y nusakomas taip: y=3x.

Nustatykite, ar šis santykis yra refleksyvus, simetriškas, vienareikšmiškas, abipusiai

vienareikšmiškas. [Sprendimas: ne, ne, taip, taip]

2. Santykis R tarp realių skaičių x ir y nusakomas taip: y=x. Nustatykite, ar šis santykis

yra refleksyvus, simetriškas, vienareikšmiškas, abipusiai vienareikšmiškas. [Sprendimas: taip,

taip, taip, taip]

3. Santykis R tarp realių skaičių x ir y nusakomas taip: y=sinx. Nustatykite, ar šis

santykis yra refleksyvus, simetriškas, vienareikšmiškas, abipusiai vienareikšmiškas.

[Sprendimas: ne, ne, ne, ne]

81

1.17. Tapatybės santykis

Tapatybės santykis turi svarbią reikšmę moksluose ir įvairiose gyvenimo srityse. R.

Plečkaitis [1] pažymi, kad tapatybę galima nagrinėti dviem požiūriais – ontologiniu (tai

filosofijos sritis, tirianti bendriausius būties bruožus) ir loginiu.

Ontologiniu požiūriu nagrinėjama objektų ir reiškinių tapatybė. Loginiu požiūriu

nagrinėjama minčių tapatybė.

Tiek ontologiniam, tiek ir loginiam tapatybės aspektui būdingi bendri bruožai, kuriuos ir

panagrinėsime. Taigi, kalboje tapatybė reiškiama įvairiai:

x tapatus y.

x toks pat, kaip y.

x lygus y, ir pan.

UŽDUOTIS. Ar sutinkate su Ruslano Baranovo straipsnyje „Tapatybė ir prasmė:

postmodernus būvis“ (http://www.kulturpolis.lt/main.php/id/2980/lang/1/nID/8963) mintimis

apie šiuolaikinio jaunimo tapatybės santykio supratimą? Argumentuokite savo požiūrį į

žemiau pateikiamus šio autoriaus teiginius ir retorinius klausimus apie asmens tapatybę:

dėl didžiulio nuasmeninimo, slypinčio po sąvokomis „darbo jėga“, „specialistas“ ar „įmonės

reputacija“, žmogus vis sunkiau gali kurti ir atskleisti savo tapatybę per darbą.

tapatybė visada reikalauja vertinimo. Žmogus, šis vienišas klajūnas, trokšta ir ieško Kito

pripažinimo, savo egzistavimo pripažinimo. Susikurti (!!!) tapatybę per save, šis antžmogiškas

troškimas, ar tai nėra svaigiausia iš visų iliuzijų?

meilė, suteikianti prasmingumo pojūtį, duoda jaunam žmogui daugiau negu gali pasirodyti iš

pirmo žvilgsnio. Visų pirma žmogus pajunta tam tikrą visuomeniškumą, kaip buvimą su Kitu. Be to,

jaunas žmogus gali kurti ir konstatuoti savo tapatybę. Santykis su mylimuoju, kaip santykis su Kitu,

kuriame išskleidžiama sava tapatybė. Meilės santykis – tai santykis dviejų, santykis, kuriame Kitas

ateina iš pasaulio, bet kartu yra maksimaliai nepasauliškas, artimas sau, o svarbiausia, vienintelis

mylimas.

šioje griuvėsių epochoje, kurios didžiausi mąstytojai atvirai abejoja tapatybe apskritai, meilė

jaunam žmogui suteikia bent jau trapią tapatybę ir prasmę.

Pagrindinis tapatybės dėsnis: x tapatus y tada ir tik tada, kai x turi kiekvieną požymį, kurį turi

y, ir y turi kiekvieną požymį, kurį turi x.

Kitaip tariant, x tapatus y tada ir tik tada, kai visi jų požymiai bendri jiems abiem.

Tapatybę pažymėję ženklu = , požymius – raide Q, pagrindinį tapatybės dėsnį užrašome taip:

(x = y) ~ ∀ Q [Q(x) ~ Q (y)].

82

Skaitome: x tapatus y tada ir tik tada, kai kiekvieną tokį požymį Q, kurį turi objektas x,

tai jį turi objektas ir y, ir atvirkščiai.

Vadinasi, jei objektas x turi kokį nors požymį, o objektas y jo neturi, tai x skirtingas nuo

y. Nesunku suprasti, kad tokių objektų, kurių visi požymiai būtų tie patys, realybėje nėra.

Absoliučiai tapačių objektų negali būti dėl begalinės pasaulio įvairovės. Nėra net dviejų

tapačių medžio lapų, nėra ir bent dviejų žmonių, kurių pirštų atspaudai sutaptų .

Taigi, absoliuti tapatybė yra abstrakcija, o realiai egzistuoja ne absoliučiai, bet

santykinai tapatūs objektai, t.y. objektai, kuriuo nors atžvilgiu turintys tuo pačius požymius.

Iš pagrindinio tapatybės dėsnio išvedamas kitas svarbus tapatybės dėsnis: kiekvienas

objektas tapatus pats sau. Šis dėsnis užrašomas taip:

∀ x (x = x).

Dėl šio dėsnio būta įvairių nuomonių. Mat iškart kildavo teisėtas klausimas, kaip

objektai išsaugo savo tapatybę, jei jie kinta ar vystosi. Jau senovės graikų filosofas Heraklitas

http://lt.wikipedia.org/wiki/Heraklitas (apie 544 m. pr. m. e. – 483 m. pr. m. e.) teigė, kad

gamtoje nieko nėra pastovaus. Pantha rhei, arba „viskas juda“, yra vienas žinomiausių

posakių, priskiriamų Heraklitui.

Heraklito teorija primena Mileto mokyklos (žr., pvz., http://lt.wikipedia.org/wiki/Mileto_mokykla)

filosofiją – jie taip pat pastebėjo, jog pasaulis nėra statiškas. Tačiau miletiečiai manė, jog tarp

visų judančių ir besikeičiančių dalykų šiame pasaulyje egzistuoja ir stabilūs, nekintantys; tuo

tarpu Heraklitas teigė, jog juda absoliučiai viskas. Jis tai iliustravo teiginiu „Į tą pačią upę

neįbrisi du kartus“. Upės tariamas stabilumas maskuoja nuolatinę kaitą – nors upė ir atrodo ta

pati, ji tokia nėra.

Tačiau nors pasaulyje tikrai visi objektai kinta, tačiau visuotiniame kitime yra

santykinio pastovumo momentas. Jame objektai išsaugo savo kokybinį ir kiekybinį

apibrėžtumą, t.y. jie nesiliauja buvę tuo, kuo jie yra, lieka tapatūs sau.

Šio santykinio objektų pastovumo momento atsispindėjimas mąstyme yra loginis

tapatybės dėsnio aspektas: kiekviena mintis tapati pati sau. Šis dėsnis užrašomas taip:

∀ A (A = A),

kur A reiškia kokią nors mintį.

Iš šio dėsnio seka svarbi išvada, ypač aktuali psichologams:

tame pačiame samprotavime sąvokos ir teiginiai turi būti vartojami vienareikšmiškai.

83

Diskusija gali būti nevaisinga tol, kol diskutuojančios pusės neišaiškina, ar tuo pačiu žodžiu

supranta tikrai tuos pačius, o ne skirtingus, objektus.

Panagrinėkime pavyzdį. Mokinys klausia mokytoją: ar galima bausti už tai, ko žmogus

nepadarė? Mokytojas atsako, kad negalima bausti. Tada mokinys prašo jo nebausti už tai, kad

jis neatliko namų darbų .

Mokytoja manė, kad klausdamas mokinys žodį “nepadarė” vartoja tokia prasme:

“nepadarė ir neprivalėjo padaryti”. Tuo tarpu mokinys, prašydamas jo nebausti, žodį

“nepadarė” aiškiai vartoja tokia prasme: “nepadarė, bet privalėjo padaryti”.

UŽDUOTIS (pagal R. Plečkaitį [1]). 1. Ar žodis „Jonas“ vienareikšmiškai pavartotas:

Jonas yra vyras; Jonas yra vardas.

Kodėl antrasis teiginys netaisyklingai parašytas?

[Sprendimas: Nevienareikšmiškai, nes pirmu atveju kalbama apie žmogų, o antruoju –

apie žodį. Antrame teiginyje žodį „Jonas“ reikia rašyti su kabutėmis].

2. Suraskite klaidų šiame samprotavime: Pelė – graužikė. Pelė – dviskiemenis žodis.

Vadinasi, kai kurie dviskiemeniai žodžiai – graužikai.

[Sprendimas: Tuo pačiu žodžiu suprantami skirtingi objektai: pirmojoje prielaidoje

kalbama apie realų gyvūną, o antrojoje – apie žodžio savybę].

1.18. Santykių teorijos dėsniai

Esame minėję, kad visi teiginių logikos dėsniai galioja ir predikatų logikoje, todėl ne tik

savybių teorijos, bet ir santykių teorijos dėsnius galima išvesti iš teiginių logikos dėsnių. Tuo

tikslu teiginių logikos išraiškose kintamuosius p, q, r, ... reikia pakeisti santykių teorijos

kintamaisiais xRy, xSy, xTy, ...

Taip, pavyzdžiui, dvigubo neigimo dėsnyje pp ~ pakeitę p išraiška xRy, o logines

konstantas (dvigubą neigimą ir ekvivalentiškumo ženklą) palikę, gauname dvigubo neigimo

dėsnį santykių teorijoje:

∀∀∀∀x ∀∀∀∀y [x R y~xRy]

Skaitome: kiekvienam x ir kiekvienam y teisinga, kad išraiška “Netiesa, kad tarp x ir y

nėra santykio R” ekvivalenti išraiškai “Tarp x ir y yra santykis R” .

Pvz., teiginys „Netiesa, kad magistrantas laiku neparengė diplominio darbo“ yra

ekvivalentus teiginiui „Magistrantas parengė diplominį darbą laiku“.

84

Pastebėsime, kad santykių teorijos dėsnius išvedant iš teiginių logikos dėsnių, prieš

kiekvieną santykių teorijos dėsnį rašomi du visuotinumo kvantoriai. Jie parodo, kad tai, kas

dėsnyje teigiama, tinka kiekvienam x ir kiekvienam y.

Analogiškai gaunamas prieštaravimo dėsnis santykių teorijoje. Tuo tikslu prieštaravimo

dėsnį teiginių logikoje p p O∧ ≡ perrašome ekvivalenčia forma p p I∧ ≡ , o išraiškoje

p p∧ pakeitę p išraiška xRy gauname prieštaravimo dėsnį santykių teorijoje:

∀∀∀∀x ∀∀∀∀y xRy xRy∧ .

Šis užrašas suprantamas taip: „∀∀∀∀x ∀∀∀∀y xRy xRy∧ yra visada teisinga loginė forma“

Skaitome: kiekvienam x ir kiekvienam y teisinga, kad netiesa, jog tarp x ir y yra

santykis R ir tuo pačiu metu tarp x ir y nėra santykio R.

Pavyzdžiui, neteisinga teigti, kad kokios nors merginos yra seserys ir tuo pačiu metu

nėra seserys.

Analogiškai, negalimo trečiojo dėsnyje Ipp ≡∨ pakeitę p išraiška xRy gauname

negalimo trečiojo dėsnį santykių teorijoje:

∀∀∀∀x ∀∀∀∀y [xRy ∨ x R y].

Šis užrašas suprantamas taip: „∀∀∀∀x ∀∀∀∀y [xRy ∨ x R y] yra visada teisinga loginė forma“.

Skaitome: kiekvienam x ir kiekvienam y teisinga, kad tarp jų yra santykis R arba tarp jų

santykio R nėra.

Pavyzdys: kiekvienos dvi merginos yra seserys arba ne seserys .

Santykių teorijos dėsniai išvedami taip pat iš savybių teorijos dėsnių, savybes pakeičiant

santykiais.