Růstové a přírůstové funkce

Dendrometrie – cvičení 9

Růstové a přírůstové funkce

Růstová funkce je matematicky formulovaný model závislosti růstové veličiny na věku (faktory prostředí se obvykle neuvažují).

Přírůstová funkce je matematicky formulovaný model závislosti přírůstu růstové veličiny na věku (faktory prostředí se obvykle neuvažují).

Zadání

Pro zadané dřeviny vypočítejte parametry Michajlovovy a Korfovy růstové funkce, přírůstové funkce běžného a průměrného přírůstu, indexy korelace a determinace.

Tvorba modelu růstové a přírůstové funkce

Správný prvotní odhad parametrů modelu

a je asymptota funkce, tedy maximálně dosažitelná hodnota růstové veličiny v daných podmínkách

Parametry k a n udávají tvar funkce a jejich odhady závisí na použité funkci (pro náš případ k=1 pro Michajlovovu fci, k=10 pro Korfovu fci a n=1,5 pro Korfovu fci)

Pro každou hodnotu reálně změřené růstové veličiny se musí spočítat i hodnota modelová pomocí vhodně zvolené funkce

Tvorba modelu růstové a přírůstové funkce výšky

Výška bude modelována pomocí Michajlovovy růstové funkce

A,k jsou parametry modelu a t je věk

Tvorba modelu růstové a přírůstové funkce výšky

Je nutné dopočítat sumu čtverců reziduí pro optimalizaci nastavení parametrů modelu a celkovou kvalitu modelu

Reziduum = měřená hodnota-modelová hodnota

Čtverec rezidua = reziduum2

Ideální hodnoty parametrů a vhodné postavení modelu je ve stavu, když suma čtverců reziduí je na svém minimu

Minimum RSČ lze dopočítat pomocí řešitele v Excelu

Tvorba modelu růstové a přírůstové funkce výšky

Pro spočítanou růstovou funkci je nutné dopočítat hodnoty běžného a průměrného přírůstu výšky

k

t2

kBP A.e .

t

yPP

t

Tvorba modelu růstové a přírůstové funkce výšky

Vytvoření společného grafu pro růstovou funkci i přírůstové funkce výšky

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

Výška

Modelová výška (m) Měřená výška (m)Běžný přírůst (m/rok) Prům. přírůst (m/rok)

Věk (rok)

Výška (

m)

Pří

růst

m/r

ok

Tvorba modelu růstové a přírůstové funkce tloušťky

Výška bude modelována pomocí Korfovy růstové funkce

A,k,n jsou parametry modelu a t je věk

n 1

k

1 n .ty A .e

Tvorba modelu růstové a přírůstové funkce tloušťky

Je nutné dopočítat sumu čtverců reziduí pro optimalizaci nastavení parametrů modelu a celkovou kvalitu modelu

Reziduum = měřená hodnota-modelová hodnota

Čtverec rezidua = reziduum2

Ideální hodnoty parametrů a vhodné postavení modelu je ve stavu, když suma čtverců reziduí je na svém minimu

Minimum RSČ lze dopočítat pomocí řešitele v Excelu

Tvorba modelu růstové a přírůstové funkce tloušťky

Pro spočítanou růstovou funkci je nutné dopočítat hodnoty běžného a průměrného přírůstu tloušťky

n 1

k

1 n .t

n

kBP A. .

t

y

PPt

Tvorba modelu růstové a přírůstové funkce tloušťky

Vytvoření společného grafu pro růstovou funkci i přírůstové funkce tloušťky

20 30 40 50 60 70 80 90 100 1100.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

35.0

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40Tloušťka

Modelová tloušťka (cm) Výčetní tloušťka (cm)Běžný přírůst (cm/rok) Prům. přírůst (cm/rok)

Věk (rok)

Tlo

ušťk

y (

cm

)

Pří

růst

cm

/rok

Výpočet indexu korelace - IR

Index korelace udává míru závislosti růstové veličiny a věku v nelineárním vztahu

y jsou měřené hodnoty růstové veličiny

y jsou modelové hodnoty růstové veličiny

y je průměr z měřených hodnot růstové veličiny

Výpočet indexu determinace - ID

Index determinace udává, jak velkou část variability závisle proměnné (v tomto případě růstové veličiny) je vysvětlena regresním modelem (modelem růstové funkce)

𝐼 𝑟=1−∑ (𝑦− 𝑦� )2

∑ (𝑦− 𝑦� )2