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CónicasCónicas

SE LLAMAN SECCIONES CÓNICAS PORQUE PROVIENEN DE LA INTERSECCIÓN DE UN CONO CON UN PLANO.

1. CIRCUNFERENCIA:Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto llamado CENTRO es constante, a dicha distancia se llama RADIO.

La ecuación de la circunferencia de centro (a,b)Y radio r en forma REDUCIDA es:

La ecuación de la circunferencia en formaDESARROLADA es:

0222 rbyax

022 FEyDxyx

Ejercicio:Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el punto C=(3,0) y cuyo radio mide 3cm.

Ecuación reducida. 0222 rbyax

022 FEyDxyxEcuación desarrollada.

2,

2),(

EDbaCentro

FED

rRadio 44

22

Ejercicio:Calcula los elementos de las circunferencias siguientes:2x²+2y²-12x+16y-50=0.(x-2)²+(y-3)²-16=0.(3x-2)²+(3y-3)²-144=0.

Posición relativa “RECTA y CIRCUNFERENCIA”:Posición relativa “RECTA y CIRCUNFERENCIA”:

Para estudiar la posición se resuelve el sistemade ecuaciones.

Paso 1: despejamos de la lineal.Paso 2: sustituimos en la no lineal

Ejercicio:Estudia la posición relativa de la recta r:x-y+5=0 y la circunferencia x²+y²-6x+8y-25=0

ESQUEMA

Posición relativa “DOS CIRCUNFERENCIAS”:Posición relativa “DOS CIRCUNFERENCIAS”:

Paso 1: Calculamos la distancia entre los centros.Paso 2: Calculamos la suma de los radios.Paso 3: Calculamos la resta de los radios.Paso 4: Aplicamos la tabla siguiente. Pág. 142 del libro

Ejercicio:Estudia la posición relativa de las circunferencias:C1: x²+y²-6x+8y-25=0C2: x²+y²-1=0

POTENCIA:POTENCIA:

Se cumple que:

'

'

PA

PB

PB

PA

Esto es lo mismo que:

'' PBPBPAPA

Es decir:

ctePAPA '

A esta constante la llamamos POTENCIA POTENCIA

del punto P respecto de la circunferencia C.

Para calcular la potencia de un punto respecto a C, hay que sustituir el punto en C.

La potencia sirve para saber la posición relativaentre un punto y una circunferencia:

.0 exteriorpuntoPPotC

.0 nciacircunfereenpuntoPPotC

.0 dentropuntoPPotC

Ejercicio:Estudia la posición de P(-3,2), Q(0,6) y R=(1,2) respecto de C: x²+y²-6y=0

ESQUEMA

Ejercicio:Estudia para qué valores de m el punto P=(5,m) es interior , exterior o perteneciente a la circunferencia C: x²+y²-4x-4y-17=0Calcula el lugar geométrico del plano que tienen la misma potencia respecto de las circunferencias C1:x²+y²-4x-4y-17=0C2: x²+y²+1=0

EJE RADICAL:EJE RADICAL:

Es el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto a las dos circunferencias:

Propiedades del eje radical:Propiedades del eje radical:

3.-Si las circunferencias son secantes pasa por los puntos de corte.

1.-Es perpendicular a la rectaque une los centros.

2.-Pasa por el punto medio de las tangentes exteriores comunes.

4.-Si son tangentes, el eje radical es tangente en el punto de tangencia.

Ejercicio:Halla el centro radical de las circunferencias siguientes:C1: x²+y²=16C2: x²+y²-2x+4y-4=0C3: x²+y²+6x-6y+14=0Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene por centro el punto C(1,4) y es tangente a la recta 3x+4y-4=0.Calcula la ecuación de una circunferencia concéntrica a C: 4x²+4y²-24x+4y+33=0y cuyo radio mide la mitad.

Ejercicio:Calcula el eje radical de las circunferencias:C1: x²+y²-4x+2y+4=0C2: x²+(y-3)²=4C3:2 x²+2y²+8x-24=0Calcula la posición relativa de la circunferencia :C1: 2x²+2y²-6x-6y+7=0Con las circunferencia:C2: x²+y²-2x-3y+3=0C3: x²+y²=-1/4C4: 2x²+2y²=5C5: x²+y²-3y+2=0

Todo el peso se apoya en el suelo sobre un punto. La superficie de rozamiento es mínima.La primera rueda de la que se tiene constancia

se encontró en un grabado de Mesopotamia en el 3.500 A.C.

LA RUEDA:LA RUEDA:

LA NORIA:LA NORIA:

PIEZAS DE INGENIERÍA:PIEZAS DE INGENIERÍA:

Podemos relacionar el radio “r” o diámetro del anillo con la medida del dedo “L”.

EL ANILLO:EL ANILLO:

Lr 2

2L

r

L

d

Podemos construir una espiral, en la naturaleza se encuentra en el caparazón de algunos moluscos.

ESPIRAL:ESPIRAL:

Podemos calcular la velocidad de giro.

DISCO DURO:DISCO DURO:

Para generar energía no contaminante.Para las ruedas de molino.

RUEDA DE PALETAS:RUEDA DE PALETAS:

Cambia la dirección de la fuerza aplicada a un objeto.LA POLEA:LA POLEA:

Para localizar situaciones y medir distancias.La longitud de un arco es el radio por el ángulo.

PARALELOS Y MERIDIANOS:PARALELOS Y MERIDIANOS:

rl

rad2 metrosr2rad l

2. PARÁBOLA:Lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto llamado foco y de una recta llamada directriz.

),(),( dPdFPd

Simplificando esta ecuación queda:

22

22 p

yp

yx

Los puntos de la parábola cumplen:

pxx 22

La parábola en otros casos:

Ejercicio:Escribe la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto V(-2,4), su eje es paralelo al eje de ordenadas y la distancia entre su foco y su directriz es de 3 unidades.Parea las siguientes parábolas, calcula las coordenadas del foco y del vértice, la ecuación del eje y de la directriz:(a)x=y²-6y+10(b)x²-4x=6y-28

ESQUEMA

PUENTES:PUENTES:

ANTENA PARABÓLICA:ANTENA PARABÓLICA:

TRAYECTORIAS DE PROYECTILES:TRAYECTORIAS DE PROYECTILES:

PISTAS DE PATINAJEPISTAS DE PATINAJE

NAVES ESPACIALESNAVES ESPACIALES

CIUDAD Y ARTES DE LAS CIENCIASCIUDAD Y ARTES DE LAS CIENCIAS (VALENCIA) (VALENCIA)

3. ELIPSE:Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos llamados focos es constante.

Ecuación fundamental de la elipse:

aPFPF 2'

La elipse cumple que la suma de las distancias de cada foco al punto P es siempre la misma:

222 cba

La excentricidad de la elipse es:

a

ce

Si e=0 es una circunferenciaSi e= 1 es una rectae SIEMPRE ESTÁ ENTRE 0 Y 1

aPFPF 2' aycxycx 2)()( 2222 Operando y reduciendo lo máximo posible nos queda:

22222222 caaybxca

12

2

2

2

b

y

a

x

Esta es la ecuación reducida de la elipse.

La elipse en otros casos:

Ejercicio:Dada la elipse de ecuación 4x²+9y²=36, calcula el valor de sus semiejes, su semidistancia focal, su excentricidad y las coordenadas de los focos y vértices.Calcula la ecuación reducida de la elipse sabiendo que uno de sus focos es el punto F(0,-6) y su excentricidad es e=0’6.

ESQUEMA

El anfiteatro de Pompeya.

ANFITEATROS:ANFITEATROS:

Plaza elíptica.

LA CASA BLANCA:LA CASA BLANCA:

Vistas en perspectiva.

CIRCUNFERENCIAS:CIRCUNFERENCIAS:

Determina la velocidad de los planetas.

LEY DE KEPLER:LEY DE KEPLER:

1571-

1630

Arte en las calles de Chicago.

CLOUD GATE ELIPSECLOUD GATE ELIPSE

Arte y geometría.FELICE VARINIFELICE VARINI

4. HIPÉRBOLA:Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos llamados focos es constante.

Ecuación fundamental de la hipérbola:

aPFPF 2'

En este caso:

222 bac

La excentricidad de la elipse es:

a

ce Si e= 1 es una recta

e SIEMPRE ES MAYOR QUE 1

Las asíntotas de la hipérbola son:

xa

by x

a

by

aPFPF 2' aycxycx 2)()( 2222 Operando y reduciendo lo máximo posible nos queda:

22222222 acayaxac

12

2

2

2

b

y

a

x

Esta es la ecuación reducida de la hipérbola.

La hipérbola en otros casos:

Ejercicio:Dada la hipérbola de ecuación x²-9y²=9, calcula sus elementos.

Calcula la ecuación de una hipérbola en cada uno de los casos:(a)Vértice A(5,0 )y foco F(8,0).(b)Foco F(15/4,0) y pasa por el punto P(5,3).(c)Asíntota y=2x y eje real 2ª.

ESQUEMA

Aeropuerto de Barcelona.TORRE DE AERPUERTOTORRE DE AERPUERTO

CHIMENEAS EN CENTRALES TÉRMICASCHIMENEAS EN CENTRALES TÉRMICAS

INTERFERENCIAS DE GOTAS DE AGUAINTERFERENCIAS DE GOTAS DE AGUA

BÓBEDAS DE LA SAGRADA FAMILIA:BÓBEDAS DE LA SAGRADA FAMILIA:

FinFin

La excentricidad mide lo “achatada” que está la elipse, cuanto más cerca de uno está su valor, más achatada está.

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