Studija slucajeva iz operacionih istrazivanja - ekspozicij…

8/13/2019 Studija slucajeva iz operacionih istrazivanja - ekspozicij

1/102

Univerzitet u Novom SaduTehni ki fakultet Mihajlo Pupin Zrenjanin

Du#ko Leti % Vesna Jevti %

f f ,

1232007/2008


2/102

Sadr`aj _________________________________________________________________________________________________________ii

UNIVERZITET U NOVOM SADUTEHNI ' KI FAKULTET "MIHAJLO PUPIN" ZRENJANIN

Du#ko Leti % Vesna Jevti %

Studija slu ajeva izOPERACIONIH ISTRA # IVANJA

ekspozicije u Mathcad-u

p metode optimizacijep ispitni zadacip seminarski radovip programska re enja

ZRENJANIN, 2007.


3/102

Sadr # aj _________________________________________________________________________________________________________

i

__________________________________________________________________________________________________________

Studija slu ajeva iz OPERACIONIH ISTRA ) IVANJA + ekspozicije u Mathcad-u

Dr Du #ko Leti % Mr Vesna Jevti %

Recenzenti: Prof. dr Mirko Vujo #evi%, Fakultet organizacionih nauka, Beograd.Prof. dr Dragan Radojevi %, Institut Mihajlo Pupin , Beograd.

Izdava : Tehni ki fakultet "Mihajlo Pupin" Zrenjanin.

Za izdava a: Dekan Tehni kog fakulteta "Mihajlo Pupin" u Zrenjaninu,Prof. dr Mom ilo Bjelica.

Lektor: Mr Sr , an - erer, lektor.

Znak fakulteta: Dr Du #ko Leti %.

_____________________________________________________________________________________________Ovu knjigu je odobrilo Nau no-nastavno ve %e odlukom od 27. 06. 2007. god. kao ud / benik za

studente Tehni kog fakulteta "M. Pupin" u Zrenjaninu, Univerziteta u Novom Sadu.Sva prava zadr / ana. Nije dozvoljeno nijedan deo knjige reprodukovati, uklju uju%i fotokopiranje,snimanje, skeniranje ili bilo koji drugi na in bele / enja, bez prethodne pismene dozvole izdava a.

123 + 56869:6?=@6 B DBE9=F6?=@= G=E9=:8HF6 J68=?H LMDLFH, O:Q= R6S.

!#%& , '(*+,

RTVW2XZ R\V]ZX^`Z 2b c3^eZ12cO2g 2RTeZi2`ZjZ + HFLD:>=?=@H B J6 thcad- B '(*+, .012 , 3.578 :.


4/102

Sadr`aj _________________________________________________________________________________________________________ii

Predgovor

Knjiga Studija slu ajeva iz OPERACIONIH ISTRA # IVANJA % ekspozicije u Mathcad-u predstavlja sa / etu materiju nastalu tokom vi #egodi #njeg dr / anja nastave naTehni kom fakultetu sMihajlo Pupin t u Zrenjaninu. Gradivo ove knjige mo / e biti

podjednako interesantno studentima vi #e profila ovog fakulteta: Profesorima informatike,In/ enjerima informatike, Profesorima tehnike i informatike, Dipl. in / enjerima zaupravljanje tehni kim sistemima i drugima. Knjiga sadr / i algoritme i metode za re #avanjespecifi ne klase problema iz domena operacionih istra / ivanja koji su dobrim delommatemati ki orijentisani. Njena poglavlja se odnose na:

p Linearno programiranje.p Transpotni problem.p Fazi linearno programiranje.p Problem asignacije radnih mesta.p Dinami A ko programiranje.p Lanci Markova.p Masovno opslu # ivanje.p Teorija igara.p Vi ekriterijumska optimizacija.p Nelinearno programiranje.p Heuristi A ko istra # ivanje.p Simulaciono modeliranje (Monte-Karlo).p Upravljanje zalihama.

Nakon uvodnog upoznavanja sa istorijom predmetne oblasti slede problemi izlo / eni po poglavljima u navedenom redosledu. Svako poglavlje sadr / i matemati ke postupke, beziscrpnih dokaza, sa naglaskom na pragmati nost i aplikativnost metoda i postupakaoperacionih istra / ivanja. Prate %i kompakt disk upotpunjuje sadr / aj knjige i pru / a studentudovoljnu i potrebnu materiju putem, reprezentativnih fajlova, razvrstanih po poglavljima(folderima).

Autori se zahvaljuju dr Milanu Bojanovi %u, direktoru kompanije CPS-CADProfessional Sys. iz Beograda i mr Sr , anu - ereru prof. engleskog jezika + lektoru, nakorisnim sugestijama pri zavr #noj redakciji ovog ud / benika.

Posebnu se zahvaljujemo recenzentima ud / benika, prof. dr Mirku Vujo #evi%u, saFakulteta organizacionih nauka iz Beograda i Draganu Radojevi %u sa Instituta Mihajlo

Pupin u Beogradu.

U Zrenjaninu, 02. 08. 2007. Autor


5/102

Sadr # aj _________________________________________________________________________________________________________

i

Sadr # aj Str.

Razvoj operacionih istra =ivanja ............................................................................................ 11. LINEARNO PROGRAMIRANJE ................................................................................. 2

1.1 Optimizacija proizvodnog programa [LP1.mcd] .......................................................... 21.2 Optimizacija tableta vitamina [LP7.mcd] ..................................................................... 41.3 Optimizacija proizvodnog programa asortiman / koli ina [LP2.mcd] .......................... 51.4 Model linearnog programiranja sa dve promenljive [LP4.mcd] ................................... 71.5 Optimizacija broja raketa [LP9_1.mcd] ....................................................................... 91.6 Optimizacija koli;ine sirovina hemijskih proizvoda [LP8.mcd] ................................ 111.7 Dualni model linearnog programiranja [LP5.mcd]...................................................... 13

2. FAZI LINEARNO PROGRAMIRANJE ................................. .................................. 15

2.1 Optimizacija proizvodnog programa na osnovu fazi mera [LPF1.mcd] ..................... 153. TRANSPORTNI PROBLEM ........................................................................................ 19

3.1 Transportni zadatak uz minimalne tro #kove [TP1.mcd] ............................................. 193.2 Transportni zadatak uz minimalne tro #kove [TP2.mcd] ............................................. 213.2 Transportni problem maksimuma dobiti [TP6.mcd] ................................................... 233.4 Transportni problem maksimuma dobiti [TP4.mcd] ................................................... 253.5 Transportni zadatak minimuma tro #kova [TP5.mcd] .................................................. 283.6 Transportni zadatak minimuma tro #kova [TP6.mcd] .................................................. 303.7 Transportni zadatak minimuma tro #kova [TP8_2.mcd] .............................................. 32

4. PROBLEMI ASIGNACIJE ................................. .......................................................... 35

4.1 Raspodela radnika na poslovima [A1a.mcd] ............................................................... 354.2 Raspore , ivanje poslova [A2a.mcd]............................................................................. 374.3 Raspore , ivanje poslova [A2a_2.mcd]......................................................................... 394.4 Otvoreni problem raspore , ivanja poslova [A .mcd] .................................................. 424.5 Raspore , ivanje studenata [A7a_2.mcd] ...................................................................... 44

5. NELINEARNO PROGRAMIRANJE ......................................................................... 485.1 Jedan model nelinearnog programiranja [NP1.mcd] ................................................... 485.2 Maksimizacija profita metodom nelinearnog programiranja [NP2.mcd].................... 525.3 Uslovi optimalnosti proizvodnje [NP3.mcd] .............................................................. 535.4 Funkcija korisnosti-optimalni obim kupovine dobara [NP4.mcd] ............................. 535.5 Optimizacija produkta enzima [NP5.mcd] ................................................................. 55

6. DINAMI ' KO PROGRAMIRANJE ...................................................... ..................... 576.1 Jednodimenzionalni proces raspodele resursa [DP1.mcd] .......................................... 57

7. VI - EKRITERIJUMSKA OPTIMIZACIJA ...................................... ........................ 617.1 Metoda jednostavnih aditivnih te / ina [VO1.mcd] ...................................................... 61

8. HEURISTI ' KO ISTRA ) IVANJE ................................. ............................................. 628.1 Optimalni pre nik cevovoda [HI1.mcd] ...................................................................... 62

9. MODELI MARKOVA .................................................................................................... 659.1 Model za prognoziranje opredeljenja potro #a a [MM1.mcd] ..................................... 659.2 Naplativost potra / ivanja [MM2.mcd] ......................................................................... 67

10. MASOVNO OPSLU ) IVANJE ................................. .................................................. 6910.1 Sistem opslu / ivanja M/G/beskona no [MO1.mcd]................................................... 6910.2 - estokanalni model masovnog opslu / ivanja [MO2.mcd] ......................................... 70


6/102

Sadr`aj _________________________________________________________________________________________________________ii

11. SIMULACIONO MODELIRANJE ................................. ......................................... 7111.1 Generisanje slu ajnih brojeva [o16.mcd] .................................................................. 7111.2 Simuliranje vremena pouzdanosti elemenata tehni kog sistema [SM16a.mcd] ....... 74

12. MATRI ' NE IGARE ................................. ..................................................................... 7712.1 Nesingularne matri ne igre [MI1.mcd]...................................................................... 7713. UPRAVLJANJE ZALIHAMA .................................................................................... 78

13.1 Optimalne koli ina zaliha sa konstantnom nabavkom [UZ1.mcd] ........................... 7813.2 Optimalna koli ina zaliha sa interventnom nabavkom [UZ2.mcd]........................... 81

14. MRE ) NO PLANIRANJE ............................................................................................. 8314.1 Primena tehnike mre / nog planiranje PERT [MP1.mcd] ........................................... 83

15. TESTIRANJE STATISTI ' KIH HIPOTEZA .......................................................... 8515.1 Test c2 za verifikaciju hipoteze o slaganju empirijske sa teorijskom

eksponencijalnom raspodelom [ST1.mcd]................................................................ 83

15.1 Testiranje hipoteze o homogenosti uzoraka na osnovu njihovihvarijansi [ST2.mcd]90Referentni pojmovnik: Operaciona istra / ivanja ....................................................................... 93Literatura: Operaciona istra / ivanja ........................................................................................... 94

u Osnovna struktura tutorijala OI


7/102

Sadr`aj _________________________________________________________________________________________________________

ii

Napomena: Sve tekstualne i/ili slikovne informacije koje su objavljene u ovoj knjizi a koje su preuzete sa sajta PTC-a, preuzete su uz saglasnost kompanije CPS-CAD Professional Sys. +

Beograd, koja je zvani ni distributer softverskog paketa Mathcad za Republiku Srbiju. Izdava u,tehni kom fakultetu sMihajlo Pupin t iz Zrenjanina se odobrava #tampanje tako pripremljeneknjige.


8/102

Studija slu A ajeva iz operacionih istra # ivanja __________________________________________________________________________________________________________

1

u Razvoj istra =ivanja operacija

kompjuterskoj matematici se za modele, esto, veoma slo / ene strukture vrlo brzorazvijaju numeri ke metode optimizacije, iji se zadaci sastoje u prou avanju ekstremnihvrednosti funkcija kriterijuma pri optimalnim vrednostima argumenata. Posebno trebaista%i zadatke matemati kog programiranja, na osnovu kojih se re #avaju mnogi zadaci

proizvodnje i poslovanja. U istra / ivanje operacija i nauke o upravljanju spadaju optimizacionizadaci, kao i odgovaraju %e metode koje su razra , ene za njihovo re #avanje. Stabilnost ra unarskihmetoda i algoritama obuhvata jedan od glavnih pravaca u istra / ivanju primene i klasifikacijegre#aka razli ite vrste pri implementaciji ovih metoda. Po etkom 20. veka, 1916. g. po injerazvoj nauke o upravljanju koju je postavio Frederik Tejlor. Nekoliko bitnih stvari je timere#avano, i one se, prevashodno, odnose na upravljanje resursima. Tih godina je Haris postavioosnovni matemati ki model optimalnog nivoa zaliha. Nastanak teorije redova ekanja vezuje seza danskog matemati ara Erlanga (1909. g.). Doprinose teoriji optimalnih zaliha dali su, izme , uostalih: Kendal, Li, Hin in i Pola ek. Teorija igara je matemati ka teorija o dono #enju odluka utakmi arskim situacijama suprotnih interesa. Prvi ju je zapo eo razvijati Emile Borel 1921. g. atemeljni doprinos dao je 1928. g. Fon Nojman (1903-1957). Prvi primeri modeliranja linearnog

programiranja i transportnog problema izlo / eni su u radovima Kantorovi a iz 1939. g. i Nojmanaiz 1936. g. dok je nagli razvoj ove teorije i prakse usledio posle 2. svetskog rata. U pioniretransportnog problema treba izdvojiti i ameri kog matemati ara Hi koka iz 1941. g. koji je me , u

prvima formulisao i re #io jedan tip transportnog zadatka. Tu su jo # i radovi Vogela posve %eniaproksimativnoj metodi za nala / enje po etnog re #enja transporta, radovi Forda i Falkersona,' arnesa i Kupera i drugih. Sve su ovo bili preduslovi da se uo i 2. svetskog rata u VelikojBritaniji formira tim nau nika, razli itih struka koji se uklju uju u istra / ivanja mnogostrukihoperacija vezanih za koordinaciju i razme #taj radarskih sistema, transport vojnih resursa i sl. Oviistra / iva i operacija su se slu / ili matemati kim metodama i time stvorili multidisciplinarnunauku nazvanu Istra # ivanje operacija . Nakon rata njene metode su veoma brzo implementiranekod re #avanja problema u proizvodnji i poslovanju, medicini, industriji i sl. Veliki zna aj imala jemetoda linearnog programiranja simpleks koju je 1947. g. razvio poznati ameri ki matemati arDancig [9]. U periodu 1951-1955. g. izvr #ena je modifikacija metode od strane: ' arensa,Lemkea, kao i samog Danciga. Pedesetih godina je sna / an naglasak stavljen na linearno

programiranje i statisti ke metode. U istoj deceniji Nojman i Morgen #tern su postavili modernuteoriju igara. Po ev od Fon Nojmana, termin sigre t se koristi kao nau na metafora zakomunikaciju me , u stru njacima kod kojih je bitan ishod interakcije me , usobnih strategija dveili vi #e strana, a koje imaju konfliktne interese. Pedesetih godina su Kun i Taker ozna ili po etkenelinearnog programiranja. Ovo je dovelo do burnog razvoja novih metoda i primene istra / ivanjaoperacija. Poznata metoda numeri ke simulacije Monte-Karlo nastala je 1949. g. kada se pojaviorad Metropolisa i Ulmana na temu slu ajnih brojeva. Koristi se za re #avanje kakodeterministi kih tako i stohasti kih zadataka u mnogim sferama nauke: teorije pouzdanosti,metereologije, proizvodnje, masovnog opslu / ivanja, nuklearne fizike i sl. Kao logi an nastavak

primene tredicionalnog Gantovog dijagrama krajem 50-tih godina pro #log veka, razvijen je skupmetoda koje se jednim imenom zovu tehnike mre # nog planiranja . Ove metode zasnovane su narezultatima: algebre, teorije grafova, statistike i ra unarskih nauka. Prvu studiju sa osnovnim

postavkama metode objavili su 1958. g. Volker i Kejli. Razvoj PERT metode je zapo et 1958. g.,

a istra / ivanjem je rukovodio Fazar, dok je matemati ke osnove metode postavio Klark 1958. g.[15]. Dinami ko programiranje (DP) i algoritme optimalnog upravljanja postavio je ameri kimatemati ar Belman 1952. g., gde je razvio klasi nu metodologiju za modeliranje i re #avanje


9/102

Ekspozicije u Mathcad-u __________________________________________________________________________________________________________2

jedne klase specijalno strukturiranih optimizacionih zadataka vezanih za tzv. vi eetapne proceseupravljanja . - ezdesetih godina su veliki uticaj imali: mre / no planiranje, linearno programiranje,teorija grafova u optimizaciji i diskretna stohasti ka simulacija. Sedamdesete godine su

karakteristi ne po nelinearnom programiranju i globalnoj optimizaciji, kao i po prodorukompjuterskih metoda zasnovanih na numeri koj matematici. Tada se zna ajnije razvijajuteorijske osnove sa novim algoritmima u tretiranju neizvesnosti, kada se vi #e ne koriste isklu ivo,klasi ni statisti ki i probabilisti ki modeli. Zna ajna tehnika po etkom 70-ih razvijena je inazvana je PDM ili mre / na metoda s prvenstva t . Algoritmi ove metode ugra , eni su danas ugotovo sve programske pakete za mre / no planiranje. Time je ova visoko elaborirana tehnika,mo / da vi #e od svih iz domena istra / ivanja operacija primenjiva u praksi. Osamdesetih godina se

pa / nja istra / ivanja operacija usmerava ka vi #ekriterijumskoj optimizaciji i teoriji odlu ivanja.Ekspertni sistemi i sistemi za podr #ku odlu ivanju omogu %uju uvo , enje personalnih ra unara saodgovaraju %om programskom podr #kom. Novije metode, zasnovane na teoriji srasplinutihskupova t u svetu nauke objavljene su 1965. g. od strane Zadeha. Danas postoje mnogobrojnemetode bazirane na fazi principu: s- to se bli / e posmatra realan problem, njegovo re #enje postajesve vi #e fazi (Zadeh) t , tako da teorija fazi (rasplinutih) skupova nalazi odgovaraju %e primene uupravljanju tehni kim sistemima [3], [25]. Devedesetih godina su napravljeni zna ajni prodori ure#avanju problema celobrojnog, me #ovitog i vi #ekriterijumskog programiranja. Ogromnira unarski resursi postaju masovno raspolo / ivi i omogu %uju efikasnu primenu metodaoperacionih istra / ivanja u svakodnevnim realnim sistemima i procesima. Razvoj novih pristupaza re #avanje takvih problema, obuhvata na osnovu heuristike: genetske algoritme, neuronskemre / e i sl. Vremenom su stvareni alati za re #avanje problema koji %e se aplicirati u novimtehnolo #kim okolnostima, internet okru / enju i elektronskom poslovanju. Pored toga, mo / e se re %ida je do #lo i do delimi ne evolucije u terminologiji, pa se danas pa / nja skre %e na upravljanje

operacijama (operacioni menad / ment), a ne samo na njihovo istra / ivanje.

1. LINEARNO PROGRAMIRANJE

1.1 Optimizacija proizvodnog programa [LP1.mcd]

Primer: Fabrika proizvodi dva tipa proizvoda P1 i P2. Proizvodnja se odvija na dvema ma #inama.Za procesiranje prvog proizvoda operaciona vremena iznose: 4 as/kom na prvoj ma #ini i 10as/kom na drugoj ma #ini. Za procesiranje drugog proizvoda ova vremena su: 5 as/kom na prvoj

ma#ini i 6 as/kom na drugoj ma #ini. Efektivni kapaciteti ma #ina mogu se iskoristiti maksimalno750, odnosno 850 asova. Na tr / i#tu proizvodi se pojavljuju u minimalnoj koli ini od 40 komadaza P1 i 65 komada za P2. Odrediti maksimalnu dobit proizvoda i optimalne koli ine proizvodametodom linearnog programiranja, ako su jedini ne cene proizvoda c1= 5500 nj/kom za P1 i c2=2800 nj/kom za P2.

Re enje:

Funkcija kriterijuma (dobiti): F x( ) 5500 x 0 2800 x 1+:=

U tom slu aju vektor cena proizvoda je: C 5500 2800( ):=


10/102


3

Sistem ograni enja u pogledu proizvodnje i tr / i#ta:

proizvodni: 4 x0 5 x1+ 750 10 x 0 6 x1+ 850

tr / i#ni: x0 40 x1 65

Zbog izjedna avanja relacionih operatora sva etiri ograni enja, poslednje dve nejedna ine semogu definisati kao:

A

4

10

1-

0

5

6

0

1-

:= B

750

850

40-

65-

:=

Jedna inicijalna vrednost (pretpostavlja se za poslednju promenljivu): x1 50:=

Blok za re #avanje modela linearnog programiranja:

Given A x B x 40

Optimalne koli ine proizvoda P1 i P2 proizvodnog programa:

te su optimalne vrednosti: Xr 46

65

=

ili pojedina no: Xr 0

46= Xr 1

65=

Najve %a dobit preduze %a iznosi: D C Xr := D 435000=

Aritmeti ka i logi ka verifikacija re #enja: A Xr

509

850

46-65-

= i A Xr 0

1

1

0

0

=

Dopunske promenljive iznose: Xd A Xr B-:= Xd

241-0

6-0

=

Napomena: : Alternativne postupke za re #avanje ovog problema pogledati u fajlovima LP1_1(pdf, mcd).

Xr Maximize F x,( ):=


11/102


1.2 Optimizacija tableta vitamina [LP7.mcd]

Primer: Za proizvodnju tableta vitamina T1, T2 i T3 jedna fabrika farmaceutskih proizvoda

koristi sirovine S1, S2, S3 i S4. Broj tableta vitamina koji se mo / e dobiti iz jednog kilogramasirovine prikazan je slede %om tabelom [16].T.1.1

iT

T1 8

S1

T2 4

T3 4

jS

6

S2

4

2

4

S3

2

8

4

S4

6

2

18000

Potrebe zatabletama /kom/

12000

8000

U planiranom periodu potrebno je proizvesti 18000, 12000 i 8000 tableta vitamina T1, T2 i T3.Jedan kilogram sirovine S1, S2, S3 i S4 mo / e se kupiti na tr / i#tu po ceni od 16, 24 15 i 20 /nj/.Ako snabdevanje sirovinama Sj nema ograni enja, odrediti optimalni plan nabavke sirovina sanajmanjim ukupnim tro #kovima.

Re enje:

Ako se sa x1, x2, x3 i x4 ozna e broj kilograma sirovine S1, S2, S3 i S4, model nabavke sirovina

dobija oblik: 8 x1 6 x2+ 4 x3+ 4 x 4+ 18000

4 x1 4 x2+ 2 x3+ 6 x 4+ 12000

4 x1

2 x2

+ 8 x3

+ 2 x4

+ 8000

Matrica koeficijenata i vektor ograni enja na osnovu sistema jedna ina je sada:

A

8

4

4

6

4

2

4

2

8

4

6

2

:= B18000

12000

8000

:= ORIGIN 1:=

Funkcija kriterijuma se formira kao: F x( ) 16 x 1 24 x 2+ 15 x 3+ 20 x 4+:=

gde je vektor cena: C 16 24 15 20( ):=



Given A x B x 0


12/102


5

Optimalne varijanta programa krojenja #ipki: X Minimize F x,( ):=

te su optimalne vrednosti: XT 1250 1000 0 500( )=

Optimalni plan daje slede %e vrednosti koli ine sirovina /kg/:

X1

1250= X2

1000= X3

0= X4

500=

Najmanji ukupni tro #kovi nabavke sirovina za proizvodnju planiranog broja tableta vitaminaiznosi /nj/:

T C X:= T 54000=

Verifikacija re #enja: A X18000

12000

8000

=

1.3 Optimizacija proizvodnog programa asortiman/koli @ina [LP2.mcd]

Primer: Proizvodni program se sastoji od pet proizvoda [32]: P1, P2, P3, P4 i P5, ije sukarakteristike date u tabeli:

p qi + Koli ine koje se mogu planirati za tr / i#te /kom/god/.p d j + Dobit po jedinici proizvoda /din/kom/.

T.1.2

P1

Proizvodi

P2

P3

P4

P5

Zavojno vreteno

Ure|aj za o{trenje burgija

Brusno vreteno

Univerzalni podeoni aparat

Odstojni podmeta~i

Jedini~na dobit d j

14

10

7

12

9

Analiza procesa rada pokazala je da je za izradu planiranih pet proizvoda anga / ovano, poredostalog, pet vrsta tehnolo #kih sistema i to:

p US + univerzalni strugovi CNC, sa kapacitetom od 50000 as/god.p OC + obradni centri, sa kapacitetom od 80000 as/god.p BK + bu#ilice koordinatne, sa kapacitetom od 40000 as/god.p BR + bu#ilica za ravno bru #enje, sa kapacitetom od 50000 as/god.p BN + brusilica za navoj, sa kapacitetom 20000 as/god.


13/102


Pri tome normativ vremena za proizvode / as/kom/ i date vrste operacija tehnolo #kih sistema, prikazan je u slede %oj tabeli.

T.1.3

US

OC

BK

BR

BN

2

4

1

1

5

P1

5

25

20

4

-

P2

4

15

5

10

-

P3

25

20

2

18

-

P4

10

-

1

20

-

P5ProizvodiTehnolo{ki

sistemi

50000

80000

40000

50000

20000

Vremenskikapaciteti /~as/

Optimizacija programa proizvodnje %e biti izvr #ena u skladu sa napred opisanim modelom LP ukome je funkcija kriterijuma data kao potreba maksimizacije dobiti.

Sistemska promenljiva: ORIGIN 1:=

Funkcija kriterijuma (dobiti) je: F x( ) 14 x 1 10 x 2+ 7 x3+ 12 x 4+ 9 x 5+:=

Ograni enja koja su odre , ena samo vremenskim kapacitetima tehnolo #kih sistema iznose:

2 x1

5 x2

+ 4 x3

+ 25 x4

+ 10 x5

+ 50000

4 x1

25 x2

+ 15 x3

+ 20 x4

+ 80000

x1 20 x 2+ 5 x 3+ 2 x 4+ x5+ 40000

x1 4 x 2+ 10 x 3+ 18 x 4+ 20 x 5+ 50000

5 x1 20000

Prethodni model LP potrebno je oblikovati u formi matrica i vektora kao:

Vektor cena: C 14 10 7 12 9( ):=

Matrica koeficijenata (operaciona vremena) A i vektor ograni enja (vremenski kapaciteti) B:

A

2

4

1

1

5

5

25

20

4

0

4

15

5

10

0

25

20

2

18

0

10

0

1

20

0

:= B

50000

80000

40000

50000

20000

:=


14/102


7

Re#enje na osnovu definisanog modela putem matrice A i vektora B i C, sledi uz pretpostavljenuinicijalnu vrednost (kao poslednja promenljiva sistemu nejedna ina):

x5 0:=

Blok za re #avanje LP: Given

A x B x 0

Optimalno re #enje koli ine proizvoda:

ili pojedina no:

Xr 1 4000= Xr 2 1547.61= Xr 3 453.12= Xr 4 925.64= Xr 5 930.84=

Maksimalna dobit iznosi: D C Xr := D 94133.24=

Verifikacija aritmeti kog i logi kog re #enja: A Xr

5000080000

40000

50000

20000

= A Xr B

11

1

1

1

= (ta no)

Dopunske promenljive iznose: Xd A Xr B-:= odnosno: Xd

0

0

0

0

0

=

1.4 Model linearnog programiranja sa dve promenljive [LP4.mcd]

Primer: Za datu funkciju kriterijuma i sistem nejedna ina sa dve nepoznate primenuti metodure#avanja optimuma nepoznatih argumenata i maksimuma kriterijumske funkcije. Na osnovumodela LP formirati grafi ku i animacijsku prezentaciju re #enja.

Funkcija kriterijuma (max): F x( ) 2 x 1 2 x 2+:= ( ORIGIN 1:= )

Xr Maximize F x,( ):= Xr

4000

1547.61

453.12

925.64

930.84

=


15/102


Sistem linearnih ograni enja:

x1 2 x 2+ 8 x1- x2+ 1 x1- 2 x 2+ 0 4

5

x1 2 x 2+ 3

Zbog izjedna avanja relacionih operatora poslednje dve nejedna ine se mogu napisati kao:

x1 2 x 2- 0 4

5- x1 2 x 2- 3-

Na bazi prethodnog modela LP sledi matrica koeficijenata i vektor ograni enja:

A

1

1-1

4-5

2

1

2-

2-

:= B81

0

3-

:=

Na bazi prethodnog modela LP sledi matrica koeficijenata i vektor ograni enja:

Inicijalna vrednost jedne nepoznate (poslednje promenljive): x2 1:=

Blok za re #avanje i sistem LP: Given A x B x 0

Optimalno re #enje modela LP: Xr Maximize F x,( ):= te je: Xr 4

2

=

Maksimalna vrednost F-kriterijuma je: F C Xr := F 12=

Verifikacija re #enja: A Xr

8

2-0

7.2-

= A Xr B-

0

3-0

4.2-

=

Grafi ko i animacijsko re #enje linearnog problema:

a

b

4

2

:= Dobit 50 FRAM:=


16/102


9

3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2

1

1

2

3

4

5

41

2X-

1 X+

X

2

4-10

X 3

2+

6 X-

FRAME10

X-

b

X X, X, X, X, X, a,

Sl. 1.1 Grafi A ka interpretacija modela linearnog programiranja sa prikazom najmanje (nulte) inajve Be vrednosti funkcije kriterijuma D dobiti

1.5 Optimizacija broja raketa [LP9_1.mcd]

Primer: Potrebno je izgaditi odre , eni PVO sistem. Poznato je da protivnik raspola / e sa 100aviona za dejstvo sa malih visina, 150 aviona za dejstvo sa srednjihvisina i 100 aviona za dejstvosa velikih visina, ali se ne zna sa koje %e visine dejstvovati. Mo / e se obezbediti dva tipa raketa.

prvi tip raketa obara avione sa verovatno %ama: 3/4, 1/2 i 1/4, a drugi tip sa verovatno %ama: 1/4,1/2 i 3/4, zavisno da li lete na malim, srednjim ili velikim visisnama. Prvi tip staje 25, a drugi 50/nj/kom/. Koliko kojih raketa je nu / no obezbediti, pa da o ekivani broj oborenih aviona ne budemanji od broja aviona koji mogu dejstvovati? Pri tome izdatke za nabavku svesti na najmanjumogu %u meru. re #enje predstaviti grafi ki [20].

Re enje:

Funkcija kriterijuma (tro #kova): ORIGIN 1:= F x( ) 25 x 1 50 x 2+:=

U tom slu aju vektor cena ko #tanja je: C 25 50( ):=

Sistem ograni enja u pogledu broja oborenih aviona:

34

x1 1

4x2+ 100

12

x1 1

2x2+ 150

14

x1 3

4x2+ 100


17/102


Matrica koeficijenata i vektor ograni enja na osnovu sistema nejedna ina je sada:

A

3

412

14

1

412

34

:= B100

150

100

:=


Blok za re #avanje modela linearnog programiranja: Given

A x B x 0

Optimalne koli ine raketa: X Minimize F x,( ):= X250

50

=

Zna i, za izgradnju efikasnog PVO sistema potrebno je obezbediti slede %i broj raketa:

X1 250= X2 50=

Najmanja vrednost funkcije kriterijuma je: T C X:= T 8750=

Verifikacija re #enja: A X200

150

100

=

Programiranje grafi kog re #enja LP i skaliranje ose X: X 100- 400..:=

f X( ) 3- X 400+ 0 X 50if X- 300+ 50 X 250if 1-

3X 400

3+ 250 X 400if

:= ab

250

50

:=

Podloge za realizaciju animacije funkcije kriterijuma: Trosak 50 FRAME:=


18/102


11

100 0 100 200 300 400 500

100

100

200

300

400

500

3- X 400+

X- 300+

1-3

X 4003

+

f X( )

X

2-

FRAMEX

2

-

b

X X, X, X, X, X, a,

Trosak 0=

Sl. 1.2 Grafi A ka interpretacija modela linearnog programiranja sa prikazom nulte i najmanjevrednosti funkcije kriterijuma D tro kova

1.6 Optimizacija koli @ine sirovina hemijskih proizvoda [LP8.mcd]

Primer: hemijska industrija dobija tri proizvoda P1, P2 i P3 u jednom procesu separacije od dvevrste sirovina: S1 i S2. Slede %a tabela pokazuje koliko tona proizvoda se mo / e dobiti od jednetone sirovina. Fabrika je obavezna da mese no isporu i svojim kooperantima najmanje 30; 25odnosno 20 tona respektivno od pojedinih proizvoda.

T.1.4

iS

S1 0,03

P1

S2 0,6

j P

0,125

P2

0,25

0,4

P3

0,05

Koli~ina proizvoda /ton/

30 25 20

a) Koliko tona sirovina treba da nabavi komercijalni sektor hemijske industrije po ceni od 500,odnosno 400 /nj/, da tro #kovi budu minimalni.

b) Od kog proizvoda se mo / e kooperantima vi #e isporu iti nego #to je donji limit.c) Grafi ki i animacijski predstaviti re #enje modela LP.


19/102


Re enje:

Sistem ograni enja u pogledu nejedna ina: ( ORIGIN 1:= )

0.03 x 1 0.6 x 2+ 30 0.125 x 1 0.25 x 2+ 25 0.4 x 1 0.05 x 2+ 20

Funkcija kriterijuma (tro #kova): F x( ) 500 x 1 400 x 2+:=

U tom slu aju vektor cena proizvoda je: C 500 400( ):=

Matrica koeficijenata i vektor ograni enja na osnovu sistema nejedna ina je sada:

A0.03

0.125

0.4

0.60.25

0.05

:= B3025

20

:=

a) Jedna inicijalna vrednost (pretpostavlja se za poslednju promenljivu): x2 0:=


Given A x B x 0


Xr Minimize F x,( ):= te su optimalne vrednosti: Xr 40

80

=

ili pojedina no: Xr 1

40=

Xr 2

80=

Najmanji tro #kovi iznose: T C Xr := T 52000=

Aritmeti ka i logi ka verifikacija re #enja: A Xr 49.2

25

20

= A Xr 0

1

1

1

=

b) Mogu %nost isporuke ve %eg broja proizvoda

Dopunske promenljive iznose: Xd A Xr B-:= Xd19.2

0

0

=

Konstatacija: Od prvog proizvoda P1 se mo / e kooperantima isporu iti za 19,2 tone vi #e nego #to je donji limit od 30 tona.


20/102


13

Programiranje granice oblasti dopustivog re #enja:

f X( ) 400 8 X- 0 X 40if

100 X2

- 40 X 10009

if

50 X

20- 1000

9X if

:= ab

40

80

:=

Trosak 400 FRAM:=

Napomena: Za postupke animacije preporu eni su slede %i parametri: From: 0, To: 130, At: 10frame/sec.

50 0 50 100 150

50

50

10050

X

20-

100X

2-

400 8 X-

f X( )

5-4

X

5-4

X FRAME+

b

X X, X, X, X, X, a,

Trosak 0=

Sl. 1.3 Grafi A ka interpretacija modela linearnog programiranja sa prikazom nulte vrednosti funkcije kriterijuma D tro kova

1.7 Dualni model linearnog programiranja [LP5.mcd]

Primer: Za poznatu funkciju kriterijuma i sistem nejedna ina formirati primarni i dualni modelLP. Prona %i optimalne vrednosti nepoznatih argumenata i minimalne (za primarni model)odnosno maksimalne vrednosti (za dualni model) funkcije kriterijuma.

Primarni model LP:

Funkcija kriterijuma: F x( ) 2 x 0 4 x1+ 2 x2+ 3 x 3+:=


21/102



Primarni model opisuje se slede %im vektorima i matricom koeficijenata:

C 2 4 2 3( ):= A4

25

16

2

75

10

5

2

7

8

40

4

:= B

1800

2400

3000

:=

Iinicijalna vrednost: x3 1:=

Blok za re #avanje prethodnog modela LP: Given

A x B x 0

Optimalno re #enje modela LP: Xr Minimize F x,( ):= Xr

53.991

0

298.694

11.321

=

Minimalna vrednost funkcije kriterijuma iznosi: F C Xr := F 739.33=

Verifikacija re #enja: A Xr 1800

2400

3000

=

Dualni model LP:

Dualna funkcija kriterijuma:

odnosno: F y( ) 1800 y 0 2400 y 1+ 3000 y 2+:=


Dualni model opisan je slede %im vektorima i matricom koeficijenata:

4 x0 2 x 1+ 5 y 2+ 8 y 3+ 1800

25 x 0 75 x 1+ 2 y 2+ 40 y 3+ 2400

16 x 0 10 x 1+ 7 y 2+ 4 y 3+ 3000

F y( ) BT y:=

4 y 0 25 y 1+ 16 y 2+ 2

2 y0

75 y1

+ 10 y2

+ 4

5 y 0 2 y 1+ 7 y 2+ 2

8 y0

40 y1

+ 4 y2

+ 3


22/102


23/102


Sistem ograni enja: x0 x1+ B1 2 x0 x1+ B2 x0 2 x 1+ 310

Matrica koeficijenata i vektor ograni enja na osnovu sistema nejedna ina iznose:

M

1

2

1

1

1

2

:= V400

500

310

:=

Treba napomenuti da u ovom modelu ograni enje u odnosu na raspolo / ivu elektri nu energijunije rasplinuto, ali to nije prepreka za primenu odgovaraju %eg pristupa izra unavanju. Proizvoljnore#enje X=(x 0,x1) zadovoljava postavljena rasplinuta ograni enja sa slede %im stepenima:

m1 x( ) 1 x0

x1

+ 400if

500 x0

- x1

-

100400 0.4 x

0 0.3 x

1+ 500if

0 x0

x1

+ 500if

:=

m2 x( ) 1 2 x0

x1

+ 500if

500 2 x0

- x1

-

100500 0.4 x

0 0.3 x

1+ 600if

0 2 x0

x1

+ 600if

:=

Radi odre , ivanja f1 i f2 - rezonski najmanje i najve %e vrednosti kriterijumske funkcije narasplinutom skupu dopustivih re #enja, re #avaju se slede %a dva optimizaciona zadatka, P1 i P2, ukojima se odre , uju (x 1,x2) tako da kriterijumska funkcija ima maksimalnu vrednost pri zadatimogani enjima.

2.2 Optimizacioni zadatak I

Jedna inicijalna vrednost (poslednji argument): x1 65:=

Blok za re #avanje modela linearnog programiranja: Given x 0

1

2

1

1

1

2

x400

500

310


X1 Maximize f1 x,( ):= te su optimalne vrednosti: X1230

40

=


24/102


17

Najve %a dobit preduze %a: f1 C X1:= f1 104=

Verifikacija re #enja: M X1

270

500310

= M X1 0

1

11

=

Dopunske promenljive: Xd M X1 V-:= Xd130-0

0

=

Re#enje ovih standardnih zadataka LP mogu se dobiti primenom Simplex metode ili npr. ukonkretnom slu aju grafi kom metodom. Za problem P1 dobija se (x1 1,x1 2)= (230,40) i f1=104.

Za ovo re #enje su u potpunosti iskori #%eni radni sati (500) i elektri na energija (310), dok sirovinaima za 130 jedinica vi #e nego #to se proizvodi (400-270).

2.3 Optimizacioni zadatak II

Funkcija kriterijuma (dobiti): f2 x( ) 0.4 x0

0.3 x1

+:=

Jedna inicijalna vrednost: x1 65:=


1

2

1

1

1

2

x500

600

310

x 0


X2 Maximize f2 x,( ):= te je: X2296.67

6.67

=

Najve %a dobit preduze %a: f2 C X2:= f2 120.667=

Verifikacija re #enja: M X2303.333

600

310

= te je: M X2 0

1

1

1

= (potvrdno)

Dopunske promenljive: Xd M X2 V-:= Xd96.667-100

0

=


25/102


Re#enje problema II dobija se (x2 1,x2 2)= (296.67,6.67) i f2=120,67. Za ovo re #enje su u potpunosti iskori #%eni radni sati (600) i elektri na energija (310), dok sirovina ima dovoljno za proizvodnju jo # 196,67 jedinica.

Kori #%enjem vrednosti f1 i f2 odre , uje se funkcija pripadnosti proizvoljnog x rasplinutom skupuoptimalnih re #enja.

m x( ) 0 0.4 x 0 0.3 x 1+ f1if

0.4 x 0 0.3 x 1+ f1-

f2 f1- f1 0.4 x 0 0.3 x 1+ f2if

1 0.4 x 0 0.3 x 1+ f2if

:=

Postupaju %i po opisanoj proceduri, originalni zadatak fazi LP je transformisan u standardi zadatakLP u kome treba odrediti (x 1,x2) tako da se ostvari maksimalna pripadnost l .

22.6 l 0.4 x0

- 0.3 x1

- 104- 100 l x0

+ x1

+ 500

100 l 2 x0+ x1+ 600 x0 2 x 1+ 310 l x0, x1 0,

p Operativna forma zavr Anog modela FLP

Funkcija kriterijuma (dobiti):

Jedna inicijalna vrednost:


Given 22.6

100100

0

0.4-

12

1

0.3-

11

2

x

104-

500600

310

x 0


X Maximize f x,( ):= X0.42

268.37

20.81

=

Vektor cena proizvoda: C 1 0.4 0.3( ):=

f x( ) x0

:=

x2 55:=


26/102


19

Najve %a dobit preduze %a: f C X:= f 114.02=

Verifikacija re #enja:22.6100

100

0

0.4-1

2

1

0.3-1

1

2

X

104-331.63

600

310

=

Dopunske promenljive: Xd

22.6

100

100

0

0.4-1

2

1

0.3-1

1

2

X

104-500

600

310

-:= Xd

0

168.37-0-

0

=

Re#enje ovog zadatka je (x 1*,x 2*)= (268,37;20,81), l *= 0.42 i f= 114,02. Za ovu proizvodnju potrebno je obezbediti 548 radnih asova. Sva raspolo / iva elektri na energija bi %e iskori #%ena, asnabdevanje sirovinama treba da je takvo da omogu %i proizvodnju ukupno 286 jedinica

proizvoda.

3. TRANSPORTNI ZADATAK

3.1 Transportni zadatak uz minimalne tro Akove [TP1.mcd]

Primer: Za potrebe tri industrijska centra uvozi se jedna vrsta materijala iz tri razli ite zemlje prema ponudi i tra / nji [23]:

Ponuda: P

6000

8000

3000

:= P 17000= Tra / nja: T5000

2000

10000

:= T 17000=

Transportni tro #kovi po jedinici uvoza dati su u slede %oj tabeli:

T.3.1

A

I

2

II

7

III

5

B 3 1 4

C 5 3 7

Tra`nja 5000 2000 10000

6000

Ponuda

8000

3000

S= 17000

Centar Zemlja

x0=?

x3=?

x6=?

x1=?

x4=?

x7=?

x2=?

x5=?

x8=?


27/102


ili putem vektora cena: C 2 7 5 3 1 4 5 3 7( ):=

a) Na %i po etni transportni program.

b) Odrediti optimalni transportni program tako da ukupni tro #kovi transporta (uvoza) buduminimalni.

Re enje: Prema datim elementima, transportni problem se mo / e izraziti funkcijom tro #kova:

F x( ) 2 x 0 7 x1+ 5 x2+ 3 x3+ x4+ 4 x5+ 5 x 6+ 3 x7+ 7 x8+:=

i matricom koeficijenata i vektorom ograni enja na osnovu sistema jedna ina:

M

10

0

1

0

0

10

0

0

1

0

10

0

0

0

1

01

0

1

0

0

01

0

0

1

0

01

0

0

0

1

00

1

1

0

0

00

1

0

1

0

00

1

0

0

1

:= V stack P T,( ):= V

60008000

3000

5000

2000

10000

=

Kako je zbir ponuda jednaka zbiru potra / nje, ovaj problem je zatvorenog tipa:

P T 1= (logi ki potvrdno)Jedna inicijalna vrednost re #enja jednog (poslednjeg) lana: x8 0:=


Sistem linearnih jedna ina: M x V x 0

Optimalne koli ine transportnih koli ina X:

X Minimize F x,( ):= X

5000

0

1000

0

0

8000

0

2000

1000

=

Najmanji tro #kovi sistema: Trosak C X:= Trosak 60000=


28/102


21

Vrednosti optimalnog transporta:

X0

X3

X6

X1

X4

X7

X2

X5

X8

5000

0

0

0

0

2000

1000

8000

1000

=

Verifikacija re #enja LP: M X

6000

8000

3000

5000

2000

10000

=

3.2 Transportni zadatak uz minimalne tro Akove [TP2.mcd]

Primer: Za potrebe tri poslovna centra uvozi se jedna vrsta materijala iz tri razli ite regije prema ponudi i tra / nji. Transportni tro #kovi po jedinici uvoza dati su u slede %oj tabeli.

T.3.2

R1 (25)

C1 (17)

10

C2 (21)

8

C3 (41)

9

R2 (32) 5 6 4

R3 (40) 9 7 6

Centar Regija

x1=?

x6=?

x11 =?

x2=?

x7=?

x12 =?

x3=?

x8=?

x13 =?

C4 (14)

6

3

4

x4=?

x9=?

x14 =?

C5 (24)

5

8

3

x5=?

x10 =?

x15 =?

R4 (20) 14 10 8x16 =? x 17 =? x 18 =?

8 x19 =? 8 x20 =?

a) Na %i po etni transportni program.b) Odrediti optimalni transportni program tako da ukupni tro #kovi transporta budu minimalni.

Vektor cena se formira na osnovu palete alata Matrix , direktnim unosom podataka:

C 10 8 9 6 5 5 6 4 3 8 9 7 6 4 3 14 10 8 8 8( ):=

Prema datim elementima, transportni problem se mo / e izraziti u obliku funkcije tro #kova(kriterijuma):

ORIGIN 1:= n 1 20..:= F x( )n

CT( n xn:=

sa odgovaraju %om matricom koeficijenata i vektorom ograni enja na osnovu sistema jedna ina.Matrica koeficijenata za ograni enje po kapacitetima regija iznosi:


29/102


P

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

:=

Matrica koeficijenata za ograni enje po kapacitetima po centrima:

S

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

:=

Kompletna matrica se dobija kao spojeni niz: A stack P S,( ):=

A

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

=

Vektor ograni enja po regijama i centrima je: B

25

32

40

20

1721

41

14

24

:=

Jedna inicijalna vrednost (poslednjeg lana): x20 0:=

Blok za re #avanje modela linearnog programiranja: Given Sistem linearnih jedna ina: A x B x 0


30/102


23

Optimalne koli ine transporta: X Minimize F x,( ):=

XT 0 21 0 0 4 17 0 15 0 0 0 0 6 14 20 0 0 20 0 0( )=

Najmanji tro #kovi transporta su: T C X:= T 645=

Vrednosti optimalnog plana transporta se mogu prikazati pomo %u matrice:

X1

X6

X11

X16

X2

X7

X12

X17

X3

X8

X13

X18

X4

X9

X14

X19

X5

X10

X15

X20

0

17

0

0

21

0

0

0

0

15

6

20

0

0

14

0

4

0

20

0

=

Verifikacija re #enja: A X( )T 25 32 40 20 17 21 41 14 24( )=

ili: A X B 1= (logi ki potvrdno)

3.3 Transportni problem maksimuma dobiti [TP6.mcd] Primer: Elektronska industrija u etiri svoje osnovne organizacije u toku mesec dana treba da proizvede 72000 jedinica proizvoda. Ovaj proizvod treba plasirati u etiri potro #a ka centra.Zarada po jedinici proizvoda je zavisna od mesta proizvodnje i mesta plasmana. Svaki pogon

proizvodi po 18000 jedinica proizvoda. Analiza tr / i#ta je pokazala da je potro #a kim centrimaP1, P2, P3 i P4 potrebno 8000, 12000, 20000, 32000 jedinica, respektivno [20]. Ova analiza iuslovi transporta pokazali su da zarada po jedinici proizvoda iznosi kao #to je dato u tabeli.

T.3.3

P 1 (18000)

C 1 (8000)

40

C 2 (12000)

50

C 3 (20000)

80

P 2 (18000) 10 60 40

P 3 (18000) 80 90 20

CentarPogon

y0=?

y4=?

y8=?

y1=?

y5=?

y9=?

y2=?

y6=?

y10 =?

C 4 (32000)

30

50

70

y3=?

y7=?

y11 =?

P 4 (18000) 40 60 50y12 =? y 13 =? y 14 =?

20 y15=?

Potrebno je odrediti raspodelu proizvoda po potro #a kim centrima koja %e omogu %iti najve %uzaradu i optimalne vrednosti transporta.


31/102


32/102


25

Vektor ograni enja po regijama i centrima: B

18000

18000

18000

18000

8000

12000

20000

32000

:=

Jedna inicijalna vrednost: y15 2:=


Sistem linearnih jedna ina: A y B y 0

Optimalne koli ine transportnih koli ina Y: Y Maximize D y,( ):=

YT 0 0 18000 0 0 0 0 18000 4000 0 0 14000 4000 12000 2000 0( )=

Najve %a dobit preduze %a iznosi: Dobit C Y:= Dobit 4620000=

Vrednosti optimalnog plana transporta, ure , eni kao matrica 4x4:

Y0

Y4

Y8

Y12

Y1

Y5

Y9

Y13

Y2

Y6

Y10

Y14

Y3

Y7

Y11

Y15

0

0

4000

4000

0

0

0

12000

18000

0

0

2000

0

18000

14000

0

=

Verifikacija re #enja: A Y( )T 18000 18000 18000 18000 8000 12000 20000 32000( )=

3.4 Transportni problem maksimuma dobiti [TP4.mcd]

Primer: Jedan veliki poljoprovredni kombinat je svoje zemlji #te, obzirom na sastav, svrstao u #est

kategorijai odredio kako veli inu kompleksa zemlji #ta koji pripadaju pojedinim kategorijama,tako i prinose 7 glavnih proizvoda u /nj/ po kastarskom jutru kategorisanog zemlji #ta. Podatke dokojih se do #lo prikazuje slede %a tabela [7]:


33/102


T.3.4

i K j P P enica Ovas Zob Kukuruz Lucerka Krompir Repa Kompleks /kj/

K1 12 18 5 0 20 100 60 4000

K2 8 14 3 40 10 120 0 8000

K3 18 5 5 36 16 60 0 14000

K4 16 12 0 50 4 0 140 2000

K5 4 0 8 25 0 40 230 18000

K6 5 24 0 42 18 80 200 23000

Plan /kj/ 20000 16000 2000 24000 3000 1000 300069000

69000

Prema planu setve predvi , eno je da se pojedinim kulturama zaseje respektivno 20000, 16000,2000, 24000, 3000, 1000 odnosno 3000 katastarskih jutara (kj). Kakav plan setve treba ostvaritiako je cilj maksimiranje koli ine proizvodnje?

Re enje: Vektor cena se unosi na osnovu tabelarnih podataka: ORIGIN 1:=

C1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 12 18 5 0 20 100 60 8 14 3 40 10 120 0 18

:=

Prema datim elementima, transportni problem se mo / e izraziti u obliku funkcije dobiti:

n 1 42..:= D q( )n

CT( )n q n:=

i odgovaraju %im ograni enjima u vidu linearnih jedna ina:

Kompletna matrica koeficijenata se formira otvaranjem i popunjavanjem blanko tabele. Na indobija Input Table je putem dijaloga Component Wizard -a iz menija Insert m Component .


34/102


27

A1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

:=

Vektor ograni enja po regijama i centrima: B1

1

2

3

4

5

6

7

8

4000

8000

14000

2000

18000

23000

20000

16000

:=

Jedna inicijalna vrednost (poslednja): q42 0:=


Sistem linearnih jedna ina: A q B q 0

Optimalne koli ine transportnih koli ina Q: Q Minimize D q,( ):=

QT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151 0 0 0 4000 0 0 0 0 2000 0 1000 2000 0 3000 0

=

Najve %a dobit preduze %a iznosi: Dobit C Q:= Dobit 754000=

Vrednosti optimalnog plana transporta, ure %eni kao matrica 6x7:


35/102


Q1

Q8

Q15

Q22

Q29

Q36

Q2

Q9

Q16

Q23

Q30

Q37

Q3

Q10

Q17

Q24

Q31

Q38

Q4

Q11

Q18

Q25

Q32

Q39

Q5

Q12

Q19

Q26

Q33

Q40

Q6

Q13

Q20

Q27

Q34

Q41

Q7

Q14

Q21

Q28

Q35

Q42

0

0

0

0

0

20000

0

2000

14000

0

0

0

0

0

0

0

0

2000

4000

1000

0

0

18000

1000

0

2000

0

1000

0

0

0

0

0

1000

0

0

0

3000

0

0

0

0

=

Verifikacija re #enja:

A Q

( )T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131 4000 8000 14000 2000 18000 23000 20000 16000 2000 24000 3000 1000 3000=

Napomena: Pogledati sadr / aj fajla TP4_1.mcd, gde je rezultuju %a matrica programski re #ena.

3.5 Transportni problem minimuma tro Akova [TP5.mcd]

Primer: U narednoj tabeli date su koli ine robe koje treba otpremiti iz otpremnih stanica OC u,koli ine robe koje se tra / e u prijemnim stanicama (PS), kao i cene prevoza od svake otpremnestanice do svake prijemne stanice.

T.3.5

OC

A1 5

B1

A2 7

A3 15

12

B2

8

4

1

B3

14

2

4

B4

6

7

36

Koli~ina robe /kom/

23

29

PS

A4 6 11 5 16 12

13

B5

5

9

3

Koli~inarobe /kom/

13 24 15 21 S=10027

Kakav plan transporta realizovati ako je cilj minimiziranje ukupnih tro #kova transporta?

Re enje: Vektor cena se unosi na osnovu tabelarnih podataka: ( ORIGIN 1:= )

C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161 5 12 1 4 13 7 8 14 6 5 15 4 2 7 9 6

:=


36/102


29

Prema datim elementima, transportni problem se mo / e izraziti u obliku funkcije dobiti:

n 1 20..:= T x( )n

CT( n xn:=

i odgovaraju %im ograni enjima u vidu linearnih jedna ina:

Kompletna matrica koeficijenata se formira otvaranjem i popunjavanjem blanko tabele. Na indobija Input Table je putem dijaloga Component Wizard -a iz menija Insert m Component .

A1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1

2

34

5

6

7

8

9

1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0

:=

Vektor ograni enja po regijama i centrima: B1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

36

23

29

12

13

24

15

21

27

:=

Jedna inicijalna vrednost (poslednja): x20 0:=


Sistem linearnih jedna ina: A x B x 0

Optimalne koli ine transportnih koli ina q: q Minimize T x,( ):=

qT 5 0 10 21 0 8 0 0 0 15 0 24 5 0 0 0 0 0 0 12( )=

Najmanji tro #kovi iznose: Trosak C q:= Trosak 392=


37/102


Vrednosti optimalnog plana transporta, ure , eni kao matrica 4x5:

q1

q6

q11

q16

q2

q7

q12

q17

q3

q8

q13

q18

q4

q9

q14

q19

q5

q10

q15

q20

5

8

0

0

0

0

24

0

10

0

5

0

21

0

0

0

0

15

0

12

=

Verifikacija re #enja: A q( )T 36 23 29 12 13 24 15 21 27( )=

3.6 Transportni problem minimuma tro Akova [TP6.mcd]

Primer: Za potrebe sedam poslovnih centara uvozi se jedna vrsta materijala iz osam razli itihzemalja prema ponudi i tra / nji (T.3.6). Transportni tro #kovi po jedinici uvoza dati su u slede %ojtabeli.

T.3.6

S1

P1

1

P2

S2 14

S3 7

Tra # nja 170

300

Ponuda

290

280

S= 2120

Centar Zemlja

x1=?

x8=?

x15=?

S4 35

S5 7

S6 25

x22=?

x29=?

x36=?

S7 10

S8 2

x43=?

x50=?

P3 P4 P5 P6 P7

270

260

250

240

230

3

12

9

120

x2=?

x9=?

x16=?

22

10

20

x23=?

x30=?

x37=?

15

5

x44=?

x51=?

5

10

13

190

x3=?

x10=?

x17=?

4

13

15

x24=?

x31=?

x38=?

9

8

x45=?

x52=?

7

6

17

330

x4=?

x11=?

x18=?

26

16

5

x25=?

x32=?

x39=?

16

8

x46=?

x53=?

9

8

21

490

x5=?

x12=?

x19=?

23

12

11

x26=?

x33=?

x40=?

12

3

x47=?

x54=?

11

6

24

390

x6=?

x13=?

x20=?

20

8

17

x27=?

x34=?

x41=?

17

15

x48=?

x55=?

8

3

29

430

x7=?

x14=?

x21=?

20

5

23

x28=?

x35=?

x42=?

10

21

x49=?

x56=?

a) Na %i po etni transportni program.b) Odrediti optimalni transportni program tako da ukupni tro #kovi transporta budu minimalni.

Vektor cena se formira na osnovu palete alata Matrix , direktnim unosom podataka:

C0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0 1 3 5 7 9 11 8 14 12 10 6 8 6 3 7

:=


38/102


31


ORIGIN 1:= n 1 56..:= F x( )n

CT( )n xn:= sa odgovaraju %om matricom koeficijenata i vektorom ograni enja na osnovu sistema jedna ina.Matrica koeficijenata za ograni enje po kapacitetima regija iznosi:

A1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

1

2

3

45

6

7

1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

:=

Broj elemenata u matrici: s last A 1 ( ) 1+( ) last A T( )

1 1+ := s 912=

Vektor ograni enja po regijama i centrima je: B1

1

2

3

4

5

6

7

8

300

290

280

270

260

250

240

230

:=




Optimalne koli ine transporta: X Minimize F x,( ):=

XT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 141 0 10 0 80 210 0 0 0 0 0 0 0 290 0

=



39/102



X1

X8

X15

X22

X29

X36

X43

X50

X2

X9

X16

X23

X30

X37

X44

X51

X3

X10

X17

X24

X31

X38

X45

X52

X4

X11

X18

X25

X32

X39

X46

X53

X5

X12

X19

X26

X33

X40

X47

X54

X6

X13

X20

X27

X34

X41

X48

X55

X7

X14

X21

X28

X35

X42

X49

X56

0

0

170

0

0

0

0

0

10

0

110

0

0

0

0

0

0

0

0

190

0

0

0

0

80

0

0

0

0

250

0

0

210

0

0

0

0

0

50

230

0

290

0

80

20

0

0

0

0

0

0

0

240

0

190

0

=

Verifikacija re #enja: A X( )T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 300 290 280 270 260 250 240 230 170 120

=

3.7 Transportni problem minimuma tro Akova [TP8_2.mcd]

Primer: Tri mlina (M1, M2 i M3) snabdevaju bra #nom tri pekarska preduze %a (P1, P2, P3 i P4).U narednom mesecu mlinovi mogu proizvesti 750, 400 i 350 tona bra #na, respektivno. U istom

periodu pekarska preduze %a su: Tro #kovi transporta po toni bra #na od mlinskih do pekarskih preduze %a su: od prvog mlina 70, 30 i 60 /nj/ po preduze %u Pj, respektivno; od tre %eg mlina 10,50 i 90 /nj/toni/ do preduze %a Pj, respektivno (T.3.7).

T.3.7

M1

P1

70

P2

30

P3

60

M2 40 80 20

M3 10 50 90

Pekare

Mlinovi

x1=?

x4=?

x7=?

x2=?

x5=?

x8=?

x3=?

x6=?

x9=?

Kapaciteti pekara /t/

a 1= 75

a 2= 40

a 3= 35

b1= 20Kapacitetimlinova /t/

b2= 45 b3= 30 S= 95S= 150

Izna %i optimalni plan transporta, kome %e odgovarati minimalni tro #kovi.

Re enje: Matemati ki model je oblikovan u cilju odre , ivanja otvorenog transportnog problema

gde treba odrediti vrednost nenegativnih promenljivih xij. Pri pome su po etni parametri:

Broj redova: m 3:= broj kolona: n 3:= ( ORIGIN 1:= )


40/102


33

Indeksne vrednosti: i 1 3..:= j 1 3..:=

Kapaciteti u vektorskom obliku: a

75

4035

:= b

20

4530

:=

Suma kapaciteta: a 150= b 95= a b

te je ovo otvoreni transportnog problema. Po #to je ve %a potra / nja od ponuda, uvodi se fiktivna pekara P4 sa kapacitetom:

b4

a

b

-:= sledi da je: b

4 0=

Kapaciteti u pro #irenom vektoru iznose: a75

40

35

:= b

20

45

30

b4

:=

T.3.8

M1

P170

P230

P360

M2 40 80 20

M3 10 50 90

Pekare

Mlinovi

x1=?

x5=?

x9=?

x2=?

x6=?

x10=?

x3=?

x7=?

x11=?

Kapaciteti

pekara /t/

a 1= 75

a 2= 40

a 3= 35

b1= 20Kapacitetimlinova /t/

b2= 45 b3= 30 S= 150S= 150

P40

0

0

x4=?

x8=?

x12=?

b4= 55

Vektor vrednosti tro #kova se formira, direktnim unosom podataka iz pro #irene tabele T.3.8:

C 70 30 60 0 40 80 20 0 10 50 90 0( ):=


k 1 n 1+( ) m..:= F x( )k

CT( )k xk:=

sa odgovaraju %om matricom koeficijenata i vektorom ograni enja na osnovu sistema jedna ina.Matrica koeficijenata za ograni enje po svim kapacitetima iznosi:


41/102


A1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1

2

3

4

5

6

7

1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

:=

Vektor ograni enja po kapacitetima je: B stack a b,( ):= B

75

40

35

2045

30

0

=




Optimalne koli ine transporta X: X Minimize F x,( ):=

XT 0 4 5 0 3 0 0 0 3 0 1 0 2 0 0 0 1 5( )=



X1

X5

X9

X2

X6

X10

X3

X7

X11

X4

X8

X12

00

20

450

0

030

0

3010

15

=

Aritmeti ka i logi ka verifikacija re #enja: A X

75

40

35

20

45

30

55

= i A X B 1= (logi ki potvrdno).


42/102


35

4. PROBLEMI ASIGNACIJE

4.1 Raspodela radnika na poslovima [A1a.mcd]

Primer: Proizvodni sistem u kome se izra , uju finalni proizvodi od drveta raspisao je konkurs za prijem 5 ma #inskih stolara za 5 radnih mesta (rendisaljka, glodalica, strug, bu #ilica, brusilica). Nakon analize prijava na konkurs sve postavljene uslove zadovoljilo je pet kandidata. radi pravilnog raspore , ivanja radnika na radna mesta organizovan je probni rad [30]. Svaki kandidat je dobio da obradi po 100 istih komada na svakoj ma #ini pri emu je utvr , en broj dobrih komadakoji su #kart (T.4.1). Zadatak se sastoji u raspore , ivanju radnika na radna mesta koje %eobezbediti minimalni ukupni #kart.

T.4.1

R1

R2

R3

R4

R5

3

8

33

14

9

21

23

14

21

16

12

2

13

19

10

6

5

10

11

15

10

5

7

11

13

Broj poenaU~esniciu radu P1 P2 P3 P4 P5

Re enje: Vektor vrednosti nestandardnih delova (lo #ih) proizvoda: ORIGIN 1:=

Funkcija kriterijuma, kao funkcija maksimalnih poena: n 5:= m 5:=

C1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

1 3 21 12 6 10 8 23 2 5 5 33 14 13 10 7 14 21 19 11 11 9 16 10 15 13

:=

Funkcija kriterijuma, kao funkcija minimalnih #kartova:

j 1 n m..:= D x( )1

n m

j

CT( ) j x j=

:=

Kompletna matrica koeficijenata ograni enja se formira otvaranjem i popunjavanjem blankotabele. Na in dobija Input Table je putem dijaloga Component Wizard -a iz menija Insert m Component .

Veli ina tabele A: n m+( ) n m 250=

veli ina vektora B: m n+ 10=


43/102


A1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

:=

Vektor ograni enja kojim je definisano mogu %nost da samo jedan radnik mo / e raditi na jednojma#ini i samo jedanposao mo / e biti dodeljen jednom radniku:

B

1

1

1

1

1

11

1

1

1

:=




Optimalni raspored poslova: X Minimize D x,( ):=

XT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 251 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0

=

Vrednosti optimalnog plana rasporeda poslova, kao matrica 5x5:

Najmanji ukupni broj #kartova: S C X:= S 39=


44/102


37

X1

X6

X11

X16

X21

X2

X7

X12

X17

X22

X3

X8

X13

X18

X23

X4

X9

X14

X19

X24

X5

X10

X15

X20

X25

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

=

Verifikacija re #enja: A X( )T 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( )=

Zaklju @ak: Na osnovu optimalnog re #enja konstatuje se da prvi posao treba poveriti prvomradniku, drugi petom, tre %i drugom, etvrti etvrtom i peti tre %em. Takva raspodela poslova %erezultirati najmanjem broju #kart proizvoda od 39 komada.

4.2 Raspore Civanje poslova [A2a.mcd]

Primer: Proizvodni sistem u kome se izra , uju finalni proizvodi od drveta treba da rasporedi 5radnika na 5 radnih mesta. nakon prijave na konkurs sve postavljene uslove zadovoljilo je 5kandidata. U cilju njihovog pravilnog raspore , ivanja na radna mesta organizovana je proveranjihove stru ne sposobnosti. na osnovu nekoliko kriterijuma [25]. Stru na sposobnost je izra / ena

preko sumarnog broja osvojenih poena datih u T.4.2.

T.4.2

R1

R2

R3

R4

R5

10

20

25

18

10

20

30

20

15

20

8

10

20

15

30

18

15

30

20

30

12

17

16

22

20

Broj poenaU~esniciu radu P1 P2 P3 P4 P5

Zadatak sesastoji u takvom raspore , ivanju radnika na radna mesta koje %e obezbediti da ukupnaefikasnost, izra / ena brojem poena, bude maksimalna.

Re enje: Vektor vrednosti poena: ( ORIGIN 1:= )

C1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

1 10 20 8 18 12 20 30 10 15 17 25 20 20 30 16 18 15 15 20 22 10 20 30 30 20

:=



45/102


46/102


39

Najve %a vrednost funkcije kriterijuma iznosi: S C X:= S 125=

Vrednosti optimalnog rasporeda poslova, ure , eni kao matrica 5x5:

X1

X6

X11

X16

X21

X2

X7

X12

X17

X22

X3

X8

X13

X18

X23

X4

X9

X14

X19

X24

X5

X10

X15

X20

X25

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

=


Zaklju @ak: Na osnovu optimalnog re #enja konstatuje se da etvrti posao treba poveriti prvomradniku, drugi drugom, tre %i prvom, etvrti petom i peti etvrtom. Takva raspodela poslova %erezultirati najve %om vredno #%u funkcije kriterijuma 125 poena.

4.3 Raspore Civanje poslova [A2a_2.mcd]

Primer: Radna organizacija treba da otvori etiri nova radna mesta raspisan je konkurs [30]. Uu/ i izbor je u #lo pet kandidata. Izvr #ena je provera njihive stru ne sposobnosti za obavljanje

poslova. Broj osvojenih poena dat je u tabeli T.4.3.

T.4.3

R1

R2R3

R4

R5

5

48

2

6

M1 Radna mesta

Ma#ine

6

66

4

10

M2

5

47

4

9

M3

1

16

4

4

M4

Kako rasporediti radnike na radna mesta, pa da ukupna efikasnost bude najve %a? Koji radnik ne %e biti primljen.

Re enje : Prethodno definisan problem asignacije je otvoren. Posle dodavanja jednog fiktivnogradnog mesta dobija se tabela T.4.4, #to predstavlja uslov za formiranje kvadratne matrice 5x5 i prividno zatvorenog problema asignacije.


47/102


T.4.4

R1

R2

R3

R4

R5

5

4

8

2

6

M1 Radna mesta

Ma#ine

6

6

6

4

10

M2

5

4

7

4

9

M3

1

1

6

4

4

M4

0

0

0

0

0

M5

Re enje: Vektor vrednosti poena: ( ORIGIN 1:= )

C1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

1 5 6 5 1 0 4 6 4 1 0 8 6 7 6 0 2 4 4 4 0 6 10 9 4 0

:=


j 1 n m..:= D x( ) j

CT( j x:=


Veli ina tabele A: n m+( ) n m 250= veli ina vektora B: m n+ 10=

A1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

:=

Vektor ograni enja kojim je definisano mogu %nost da samo jedan radnik mo / e raditi na jednojma#ini i samo jedanposao mo / e biti dodeljen jednom radniku:


48/102


41

B

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

:=




Optimalni raspored poslova: X Maximize D x,( ):=

XT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 251 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0

=

Vrednosti optimalnog plana rasporeda poslova, kao matrica 5x5:

Najve %a vrednost funkcije kriterijuma: S C X:= S 27=

Xr

X1

X6

X11

X16

X21

X2

X7

X12

X17

X22

X3

X8

X13

X18

X23

X4

X9

X14

X19

X24

X5

X10

X15

X20

X25

:= Xr

0

0

10

0

0

0

00

1

1

0

00

0

0

0

01

0

0

1

00

0

=


Zaklju @ak: Na osnovu optimalnog re #enja konstatuje se na prvo radno mesto treba postaviti petog (fiktivnog) radnika, na drugo drugog radnika, na prvo tre %eg, na etvrto etvrtog i na tre %e petog. Prvi radnik ne %e biti zaposlen.


49/102


50/102


43


j 1 n m..:= D x( ) j

CT( ) j x

:=


A1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

1

2

34

5

6

7

8

9

10

11

12

1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

:=

Vektor ograni enja kojim je definisano mogu %nost da samo jedan radnik mo / e raditi na jednojma#ini i samo jedan posao mo / e biti dodeljen jednom radniku:

B1

1

2

3

4

5

1

1

1

1

1

:=



Documents

Studija slucajeva iz operacionih istrazivanja - ekspozicij…