หนวยท 2 เรอง ตรรกศาสตร

ความหมายของศพทตรรกศาสตร

ค ำวำ “ตรรกศำสตร” ไดมำจำกศพทภำษำสนสฤตสองศพท คอ ตรรก และศำสตร ตรรก หมำยถง กำรตรกตรอง ควำมคด ควำมนกคด และค ำวำ ศำสตร หมำยถง วชำ ต ำรำ รวมกนเขำเปน “ตรรกศำสตร” หมำยถง วชำวำดวยควำมนกคดอยำงเปนระบบ ปรำชญทวไปจงมควำมเหนรวมกนวำ ตรรกศำสตร คอ วชำวำดวย กำรใชกฎเกณฑ

การใชเหตผล

วชาตรรกศาสตรนนมนกปราชญทางตรรกศาสตรไดนยามความหมายไวมากมาย นกปราชญเหลานน คอ

1.พจนานกรมศพทปรชญาองกฤษ – ไทย ฉบบราชบณฑตยสถาน นยามความหมายวา “ตรรกศาสตร คอ ปรชญาสาขาทวาดวยการวเคราะหและตดสนความสมเหตสมผลในการอางเหตผล”

2.กรต บญเจอ นยามความหมายวา “ตรรกวทยา คอ วชาทวาดวยกฎเกณฑการใชเหตผล”

3.”Wilfrid Hodges” นยามความหมายวา “ตรรกศาสตร คอ การศกษาระบบขอเทจจรงใหตรงกบความเชอ”

ประพจน (Proposition)

ประพจน คอ ประโยคทเปนจรงหรอเปนเทจเพยงอยำงเดยวเทำนน

ประโยคเหลำนอำจจะอยในรปประโยคบอกเลำหรอประโยคปฏเสธกได

ประโยคตอไปนเปนประพจน

จงหวดชลบรอยทำงภำคตะวนออกของไทย ( จรง )

5 × 2 = 2 + 5 ( เทจ )

ตวอยางตอไปนไมเปนประพจน

โธคณ ( อทำน )

กรณำปดประตดวยครบ ( ขอรอง )

ทำนเรยนวชำตรรกวทยำเพออะไร ( ค ำถำม )

ประโยคเปด (Open sentence)

บทนยาม ประโยคเปดคอ ประโยคบอกเลา ซงประกอบดวยตวแปรหนงหรอมากกวาโดยไมเปนประพจน แตจะเปนประพจนไดเมอแทนตวแปรดวยสมาชกเอกภพสมพทธตามทก าหนดให นนคอเมอแทนตวแปรแลวจะสามารถบอกคาความจรง

ประโยคเปด เชน

1.เขาเปนนกบาสเกตบอลทมชาตไทย

2. x + 5 =15

ประโยคทไมใชประโยคเปด เชน

1.10 เปนค าตอบของสมการ X-1=7

2. โลกหมนรอบตวเอง

3.จงหาคา X จากสมการ 2x+1=8

ตวเชอม (connective)

1. ตวเชอมประพจน ” และ ” ( conjunetion ) ใชสญลกษณแทน Ùและเขยนแทนดวย P Ù Q แตละประพจนมคาความจรง(truth value) ได 2 อยางเทานน คอ จรง (True) หรอ เทจ (False) ถาทง P และ Qเปนจรงจะไดวา PÙQ เปนจรง กรณอนๆ P Ù Q เปนเทจ เราใหนยามคาความจรง P Ù Q

2. ตวเชอมประพจน ” หรอ ” ( Disjunction ) ใชสญลกษณแทน V และเขยนแทนดวย P V Q และเมอ P V Q

จะเปนเทจ ในกรณททง P และ Q เปนเทจเทานน กรณอน P V Q เปนจรง เรา

ตวอยาง 5 + 1 = 6 V 2 นอยกวา 3 (จรง)

5 + 1 = 6 V 2 มากกวา 3 (จรง)

5 + 1 = 1V 2 นอยกวา 3 (จรง)

5 + 1 = 1V 2 มากกวา 3 (เทจ)

3. ตวเชอมประพจน “ ถา….แลว” Conditional) ใชสญลกษณแทน * และเขยนแทนดวย P*Q

นยามคาความจรงของ P*Q โดยแสดงตารางคาความจรง

ตวอยาง 1 < 2 * 2 < 3 (จรง)

1 < 2 * 3 < 2 (เทจ)

2 < 1 * 2 < 3 (จรง)

2 < 1 * 3 < 2 (จรง)

4. ตวเชอมประพจน “กตอเมอ” (Biconditional) ใชสญลกษณแทน « และเขยนแทนดวย P«Q

นนคอ P«Q จะเปนจรงกตอเมอ ทง P และ Q เปนจรงพรอมกนหรอทง P และ Q เปนเทจพรอมกนตารางแสดงคาความจรงของ P«Q

ตวอยาง 1 < 2 « 2 < 3 (จรง) 1 < 2 « 3 < 2 (เทจ)

2 < 1 « 2 < 3 (จรง)

2 < 1 « 3 < 2 (เทจ)

5. นเสธ (Negation) ใชสญลกษณแทน ~ เขยนแทนนเสธของ P ดวย ~P ถา P เปนประพจนนเสธของประพจน P คอประพจนทมคาความจรงตรงขามกน P

ตวอยาง ถา p แทนประโยควา "วนนเปนวน เสาร" นเสธของ p หรอ ~p คอประโยคทวา "วนนไมเปนวนเสาร“

สจนรนดร (Tautology) และความขดแยง (Contradiction)1. สจนรนดร (Tautology) คอ รปแบบประพจนทมคาความจรงเปนจรงเสมอโดยไมขนอยกบคาความจรงของตวแปรของแตละประพจนทมรปแบบเปนสจนรนดร เรยกวา ประพจนสจนรนดร (Tautology statement)ตวอยางท 1 P® PvQเปนสจนรนดร เราสามารถพสจนไดหลายวธ

2. ความขดแยง (Contradiction) คอ รปแบบประพจนทมคาความจรงเปนเทจเสมอโดยไมขนอยกบคาความจรงของตวแปรของแตละประพจนยอยประพจนทมรปแบบ เปนความขดแยง เรยกวา ประพจนความขดแยง (Contradicithon statement)

ตวอยาง P ^ ~P เปน ความขดแยง ตารางแสดงคาความจรง

P ^ ~P มคาเปนเทจ ส าหรบทกๆ คาความจรงของ P

ดงนน P ^ ~P จงเปนความขดแยง (Contradicithon )

ทฤษฎตรรกสมมล (Logical Equivalences)

ความรประพจนตรรกะสมมล (Logical equivalent- statement)มประโยชนมากส าหรบการหาขอโตแยงและขอสรปในทางคณตศาสตร ซงในทางปฏบตแลว การสรปเหตผลในแตละรปจะยงยากมากหากไมอาศยทฤษฎ ตรรกะสมมลในการกลาวอาง ดงนนจงสรปทฤษฎตรรกะสมมลไวส าหรบใชอางองตอไป

การใหเหตผล (Reasoning)

โดยทวไปกระบวนการใหเหตผลม 2 ลกษณะคอ

1.การใหเหตผลแบบนรนย เปนการใหเหต โดยน าขอความทก าหนดให ซงตองยอมรบวาเปนจรง ทงหมด เรยกวา เหต และขอความจรงใหมทไดเรยกวา ผลสรป ซงถา พบวาเหตทก าหนดนนบงคบใหเกดผลสรปไมได แสดงวา การใหเหตผลดงกลาวสมเหตสมผล แตถาพบวาเหตทก าหนดนนบงคบใหเกดผลสรปไมไดแสดงวา การใหเหตผลดงกลาวไมสมเหตสมผล