Add m4-2-chapter3

คูมอืครสูาระการเรยีนรูเพิม่เตมิคณติศาสตร เลม ๒กลุมสาระการเรยีนรูคณติศาสตรชัน้มธัยมศกึษาปที ่๔

ตามหลกัสตูรการศกึษาขัน้พืน้ฐาน พทุธศกัราช ๒๕๔๔

จัดทําโดย

สถาบนัสงเสรมิการสอนวทิยาศาสตรและเทคโนโลยีกระทรวงศกึษาธกิาร

ISBN 974 - 01 - 3820 - 9พมิพครัง้ทีห่นึง่ ๑๐,๐๐๐ เลม

พ.ศ. ๒๕๔๗

องคการคาของคุรุสภาจัดพิมพจําหนายพิมพที่โรงพิมพคุรุสภาลาดพราว

๒๒๔๙ ถนนลาดพราว วงัทองหลาง กรงุเทพมหานครมลีขิสทิธิต์ามพระราชบญัญตัิ

บทที่ 3เรขาคณิตวิเคราะห

( 42 ชั่วโมง )

สําหรับบทเรียนนี้จะกลาวถึง เรขาคณิตวิเคราะห โดยแบงเปนสองหัวขอใหญ ๆ คือ ความรูเบื้องตนเกี่ยวกับเรขาคณิตวิเคราะห และภาคตัดกรวย โดยจะเนนการนําความรูไปใชในการแกปญหา แตถึงอยางไรก็ตามผูสอนควรใหผูเรียนสามารถหาสูตรไดบาง เพราะถาผูเรียนรูที่มาอันแนนอนของสูตร ก็ยอมใชสูตรนั้นดวยความเขาใจดีขึ้น สําหรับหวัขอความรูเบื้องตนเกี่ยวกับเรขาคณิตวิเคราะหที่จะกลาวถึงเปนการแสดงถึงความเกี่ยวของระหวางเสนตรงและสมการกําลังหนึ่ง โดยมีสาระการเรียนรูดังตอไปนี้ ระยะระหวางจุดสองจุด จุดกึ่งกลางระหวางจุดสองจุด ความชันของเสนตรง เสนขนาน เสนตั้งฉาก ความสัมพันธซ่ึงมีกราฟเปนเสนตรง และระยะหางระหวางเสนตรงกับจุด สวนหัวขอภาคตัดกรวยจะกลาวถึงวงกลม พาราโบลา วงรี และไฮเพอรโบลา ตามลําดับ ในชีวิตจริงไดมีการนําสมบัติของภาคตัดกรวย ไปใชกันอยางกวางขวาง เชน ในการศึกษาเกี่ยวกับโครงสรางของอะตอม การประดิษฐเลนสที่ใชในกลองสองทางไกล เลนสกลองจุลทรรศน เลนสแวนสายตาการประดิษฐโคมไฟรถยนต เรดาร และจานดาวเทียม ซ่ึงพื้นผิวดานในเกิดจากการหมุนพาราโบลารอบแกนพาราโบลา

นอกจากนีใ้นการหาตนกาํเนดิเสยีง เชน ในการหาทีต่ัง้ปนใหญ อาจอาศยัสมบตัขิองไฮเพอร-โบลาโดยใชทหารสองคนยนือยูคนละแหงจดเวลาที่ไดยินเสียงปน จากผลตางของเวลาทั้งสองนี้ ทําใหสามารถหาผลตางของระยะทางจากที่ตั้งปนใหญไปยังจุดที่ทหารยืนอยูโดยที่ตั้งปนใหญจะอยูบนไฮเพอรโบลา ซ่ึงมีโฟกัสทั้งสองเปนจุดที่ทหารยืนอยู จุดฟงจุดที่สามจะชวยทําใหหาตําแหนงที่ตั้งของปนไดสําหรับ การหาตําแหนงของเครื่องบิน ก็ใชวิธีการทํานองเดียวกัน โดยสถานีจากภาคพื้นดินสามแหงคอยรับสัญญาณจากเครื่องบินแลวนําผลตางของเวลาที่ไดรับสัญญาณมาคํานวณหาตําแหนงของเครื่องบินดังนั้น ในบทเรียนนี้ผูเรียนจะไดเรียนรูการนําคณิตศาสตรไปประยุกตใชในชีวิต

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวัง1. หาระยะทางระหวางจุดสองจุด จุดกึ่งกลาง ระยะหางระหวางเสนตรงกับจุดได2. หาความชันของเสนตรง สมการเสนตรง เสนขนาน เสนตั้งฉาก และนําไปใชได3. เขียนความสัมพันธที่มีกราฟเปนภาคตัดกรวย เมื่อกําหนดสวนตาง ๆ ของภาคตัดกรวยใหและเขียน

กราฟของความสัมพันธนั้นได4. นําความรูเร่ืองการเลื่อนแกนทางขนานไปใชในการเขียนกราฟได5. นําความรูเร่ืองเรขาคณิตวิเคราะหไปใชแกปญหาได






พ.ศ. ๒๕๔๗



157

ผลการเรียนรูที่คาดหวังเปนผลการเรียนรูที่สอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรูชวงชั้นทางดานความรู ดังนั้นในการจัดการเรียนรู ผูสอนตองคํานึงถึงมาตรฐานการเรียนรูดานทักษะ/กระบวนการทางคณิตศาสตรดวยการสอดแทรกกิจกรรมหรือโจทยปญหาที่จะสงเสริมใหผูเรียนเกิดทักษะ/กระบวนการทางคณิตศาสตรที่จําเปน อันไดแก ความสามารถในการแกปญหา การใหเหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตรและการนําเสนอ การเชื่อมโยงความรูตาง ๆ ทางคณิตศาสตรและเชื่อมโยงคณิตศาสตรกับศาสตรอ่ืน และการคิดริเร่ิมสรางสรรค นอกจากนั้นกิจกรรมการเรียนรู ควรสงเสริม ใหผูเรียนตระหนักในคุณคาและมีเจตคติที่ดีตอวิชาคณิตศาสตร ตลอดจนฝกใหนักเรียนทํางานอยาง เปนระบบ มีระเบียบวินัย รอบคอบ มีความรับผิดชอบ มีวิจารณญาณ และมีความเชื่อมั่นในตนเอง

ในการเรียนการสอนแตละสาระการเรียนรูของวิชาคณิตศาสตรนั้น ผูสอนควรแสดงหรือยก ตัวอยางใหผูเรียนเห็นถึงประโยชนและการนําคณิตศาสตรไปใช ดังเชนสองหัวขอในบทเรียนนี้ เพื่อให ผูเรียนตระหนักถึงคุณคาอันเกิดจากการศึกษาวิชาคณิตศาสตร ซ่ึงจะโยงไปถึงเจตคติตอวิชาคณิตศาสตร

ในการจัดกิจกรรมการเรียนรูสําหรับบทเรียนนี้ ผูสอนควรใหผูเรียนไดทดลอง และคนควาหาขอสรุปดวยตนเอง

ขอเสนอแนะ1. ในการสอนเรื่องระยะทางระหวางจุด 2 จุด ผูสอนทบทวนความรูของผูเรียนเรื่องระยะ

ระหวางจุด 2 จุดบนเสนจํานวนที่แทนดวยจํานวนจริง a และ b วาเทากับ ⏐a – b⏐ ซ่ึงผูเรียนไดเคยศึกษามาแลวในเรื่องจํานวนจริง ถาผูเรียนจําไมได ใหผูสอนยกตัวอยางจุดบนเสนจํานวนที่แทนดวยจํานวนจริง ใหผูเรียนหาระยะหางระหวางจุดเหลานั้น เชน

ก. ระยะหางระหวางจุดที่แทน 2 และจุดที่แทน 10ข. ระยะหางระหวางจุดที่แทน –10 และจุดที่แทน 5ค. ระยะหางระหวางจุดที่แทน –15 และจุดที่แทน –5

ซ่ึงผูเรียนควรตอบไดวา เทากับ ⏐10 – 2⏐, ⏐5 – (–10)⏐ และ ⏐–5 – (–15)⏐ ตามลําดับ โดยผูสอนอาจใชเสนจํานวนแสดงประกอบดวย

2. สัญลักษณที่ใชแทนความยาวของสวนของเสนตรง AB จะเขียนแทนดวย AB หรือ ABซ่ึงผูเรียนไดเคยใชมาแลวในระดับมัธยมศึกษาตอนตน แตบางครั้งบางคนยังสับสนอยูบาง ใหผูสอนชี้แจงเร่ืองสัญลักษณอีกครั้งหนึ่ง เนื่องจากเปนสัญลักษณที่นักเรียนจะใชตอไปอีกมาก

3. การนิยามความชันของเสนตรงในบทนี้นิยามโดยอาศัยโคอออรดิเนตของจุดสองจุดที่ เสนตรงผาน กลาวคือ ความชันของเสนตรงที่ผานจุด P1(x1, y1) และ P2(x2, y2) จะเทากับ

12

12

xxyy

−−






พ.ศ. ๒๕๔๗



158

นอกจากนี้อาจนิยามความชันของเสนตรงโดยอาศัยฟงกชันตรีโกณมิติ กลาวคือความชันของเสนตรงที่ ทํามุม θ กับแกน X เทากับ tan θ (มุม θ เปนมุมที่วัดทวนเข็มนาฬิกา จากแกน X ดานที่เปนบวก ไปจนถึงเสนตรงมุม θ นี้เรียกวา “มุมเอียง” ของเสนตรง และ 0° ≤ θ < 180°)

4. ในหนังสือเรียนที่กลาววา “ความชันของเสนตรงเสนหนึ่ง (ที่ไมขนานกับแกน Y) มีเพียงคาเดียวเทานั้น” ซ่ึงในหนังสือเรียนไมไดแสดงวิธีพิสูจนไว ผูสอนอาจแสดงใหผูเรียนเห็นโดยวิธีการดังนี้

ให L เปนเสนตรงที่ไมขนานกับแกน Y และทํามุมแหลมกับแกน X จุด P1(x1, y1) และ P2(x2, y2) อยูบนเสนตรง L

จากนิยามของความชัน จะไดวา ความชันของเสนตรง L เทากับ 21

21

xxyy

−−

ถา P3(x3, y3) และ P4(x4, y4) เปนจุดอีกสองจุดบนเสนตรง Lดังนั้น ความชันของเสนตรง L เทากับ

43

43

xxyy

−−

จากรูป จะเห็นวา ∆ P1P2Q ∼ ∆ P3P4Rดังนั้น

RPQP

3

1 =RPQP

4

2

QPQP

2

1 =RPRP

4

3

21

21

xxyy

−− =

43

43

xxyy

−−

นั่นคือ ความชันของเสนตรงเดียวกันยอมเทากันสําหรับเสนตรงที่ทํามุมปานกับแกน X ผูสอนอาจใชวิธีการแสดงในทํานองเดียวกัน

•

•

•

•

0(x4, y4) x3 – x4

y3 – y4P4

P3

P2

P1

(x3, y3)

(x2, y2)

(x1, y1)

x1 – x2

y1 – y2

Q

R

LY

X






พ.ศ. ๒๕๔๗



159

5. ในหนังสือเรียน ไดกลาววา เสนตรงสองเสนใด ๆ (ที่ไมขนานกับแกน Y) จะขนานกัน ก็ตอเมื่อ ความชันของเสนตรงทั้งสองเทากันและในหนังสือเรียนไดแสดงใหเห็นเฉพาะสวนที่กลาววา ถาเสนตรงสองเสนขนานกันแลวความชันยอมเทากัน แตไมไดแสดงวา ถาความชันของเสนตรงสองเสนใดเทากันแลว เสนตรงทั้งสองจะขนานกัน ซ่ึงอาจแสดงวาถาเสนตรงสองเสนมีความชันเทากันแลว เสนตรงทั้งสองจะขนานกัน ไดดังนี้

ให L1 และ L2 เปนเสนตรงที่มีความชัน m1 และ m2 ตามลําดับ และ m1 = m2 จะแสดงวา L1 และ L2 ขนานกัน

สมมุติวา L1 ไมขนานกับ L2 ให L1 ตัดกับ L2 ที่จุด P1(x1, y1)ให P2(x2, y3) และ P3(x2, y2) เปนจุดบน L1 และ L2 ตามลําดับ

จะได m1 =12

13

xxyy

−− และ m2 =

12

12

xxyy

−−

เนื่องจาก y3 ≠ y2 ดังนั้น 12

13

xxyy

−− ≠

12

12

xxyy

−−

จึงทําให m1 ≠ m2 ซ่ึงขัดแยงกับที่กําหนดใหดังนั้น ที่สมมุติวา L1 ไมขนานกับ L2 จึงเปนไปไมไดนั่นคือ L1 ขนานกับ L2

0

P3 (x2, y2)

P2 (x2, y3)

P1 (x1, y1)

L1

Y

X

y1

y2

y3

x1 x2

L2






พ.ศ. ๒๕๔๗



160

6. ในหนังสือเรียนไมไดแสดงการพิสูจนวา ถาเสนตรงสองเสนมีผลคูณของความชันเทากับ –1 แลว เสนตรงทั้งสองจะตั้งฉากซึ่งกันและกัน ซ่ึงหากผูเรียนสนใจการพิสูจนผูสอนอาจแสดงไดดังนี้

ให L1 และ L2 เปนเสนตรงสองเสนที่ไมขนานกับแกน Y มีความชัน m1 และ m2 ตามลําดับและ m1m2 = –1 จะแสดงใหเห็นวา L1 ตั้งฉากกับ L2

เนื่องจาก m1m2 = –1 จะได m1 ≠ 0 และ m2 ≠ 0 และ m1 ≠ m2

(เพราะถา m1 = m2 จะได m12 = –1 ซ่ึงเปนไปไมได)

ดังนั้น L1 ไมขนานกับ L2 ให L1 และ L2 ตัดกันที่จุด R (a, b)เนื่องจาก L1 และ L2 มีความชันเปน m1 และ m2 ตามลําดับ

ดังนั้น สมการของเสนตรง L1 ซ่ึงผานจุด (a, b) และมีความชัน m1 คือ y = m1(x – a) + bดังนั้น เสนตรง L1 ตัดแกน Y ที่จุด P(0, b – am1)และ สมการของเสนตรง L2 ที่ผานจุด (a, b) และมีความชัน m2 คือ y = m2(x – a) + bดังนั้น เสนตรง L2 ตัดแกน Y ที่จุด Q(0, b – am2)จะแสดงวา ∆ PRQ เปนสามเหลี่ยมมุมฉากเนื่องจาก PQ2 = [(b – am2) – (b – am1)]2

= a2m12 – 2a2m1m2 + a2m2

2

= a2m12 + 2a2 + a2m2

2 (m1m2 = –1)PR2 = a2 + [b – (b – am1)]2

= a2 + a2m12

0(0, b – am1)

(0, b – am2) L1

Y

XP

QL2

(a, b)R•






พ.ศ. ๒๕๔๗



161

และ QR2 = a2 + [b – (b – am2)]2

= a2 + a2m22

จะได PR2 + QR2 = a2m12 + 2a2 + a2m2

2

= PQ2

แสดงวา สามเหลี่ยม PRQ เปนสามเหลี่ยมที่มี PRQ เปนมุมฉากและเนือ่งจากสวนของเสนตรง PR และสวนของเสนตรง QR เปนสวนหนึง่ของเสนตรง L1 และ L2 ตามลาํดบันั่นคือ L1 ตั้งฉากกับ L2

7. ในการสอนเรื่องสมการเสนตรง ควรชี้ใหเห็นวา กําลังของตัวแปรแตละตัวในสมการ เสนตรงนั้นเปนหนึ่งเสมอ และเนื่องจากเสนตรงที่ผานจุดสองจุดที่กําหนดใหมีไดเพียงเสนเดียวเทานั้น ดังนั้น เพื่อความสะดวกในการเขียนกราฟเสนตรงใดก็ตามเราหาจุดที่เสนตรงนั้นผานเพียงสองจุดก็พอ แตเพื่อปองกันความผิดพลาดเรานิยมพิจารณาจุดที่เสนตรงผานสามจุด ถาพบวาจุดทั้งสามจุดไมอยูในแนว เสนตรงเดียวกันแสดงวามีความผิดพลาดเกิดขึ้นตองตรวจสอบใหมอีกครั้ง

8. ในการหาระยะระหวางเสนตรงกับจุด นอกจากจะใชวิธีการในหนังสือเรียนแลวยังมีวิธีอ่ืนอีก เชน วิธีหาสมการเสนตรงที่ผานจุดที่กําหนดใหและตั้งฉากกับเสนตรงที่กําหนดให เพื่อหาจุดตัดของเสนตรงทั้งสอง แลวจึงหาระยะระหวางจุดที่กําหนดใหกับจุดตัด

9. ถา L เปนเสนตรงที่ขนานกับแกน X และอยูหางจากแกน X เปนระยะ ⏐b⏐ หนวย ความสัมพันธที่มีกราฟเปนเสนตรง L คือ

{(x, y) ∈ R × R⏐y = b}หรือ {(x, y) ∈ R × R⏐y = –b}

ทํานองเดียวกัน ถา L เปนเสนตรงที่ขนานกับแกน Y และอยูหางแกน Y เปนระยะ ⏐a⏐หนวย ความสัมพันธที่มีกราฟเปนเสนตรง L คือ

{(x, y) ∈ R × R⏐x = a}หรือ {(x, y) ∈ R × R⏐x = –a}

10. ในการหาความสัมพันธที่มีกราฟเปนเสนตรง เมื่อทราบวา เสนตรงผานจุด (x1, y1) และ มีความชันเปน m แลว ถานักเรียนเขียนความสัมพันธที่ไดเปน

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ =

−−

mxxyy

)y,x(1

1 ใหผูสอนชี้แจง

ผูเรียนทราบวา ไมถูกตอง เนือ่งจากกราฟของความสมัพนัธดงักลาวไมรวมจดุ (x1, y1) ซ่ึงผูเรียนควรเขยีนใหถูกตองเปน {(x, y)⏐y – y1 = m(x – x1)} ซ่ึงกราฟของความสัมพันธนี้จะเปนเสนตรงที่ผานจุด (x1, y1)ดวย






พ.ศ. ๒๕๔๗



162

11. พื้นฐานสําคัญในการศึกษาเรื่อง ภาคตัดกรวย คือ เร่ืองการจัดพหุนามตัวแปรเดียวดีกรีสอง ใหสวนที่มีตัวแปรอยูในรูปกําลังสองสมบูรณ ซ่ึงจะใชมากเมื่อกําหนดความสัมพันธที่มีกราฟเปน ภาคตัดกรวยมาให แลวใหหาสวนตาง ๆ ของภาคตัดกรวยนั้น ๆ เชน จุดยอด โฟกัส ความยาวแกนเอกแกนโท ฯลฯ ในกรณทีัว่ ๆไป การจดัพหนุามตวัแปรเดยีวดกีรีสอง ใหสวนทีม่ตีวัแปรอยูในรปูกาํลังสองสมบรูณผูสอนอาจเสนอทางเลือกใหผูเรียนไดสองทาง คือ

ก. การจัดโดยใชสูตรข. การจัดโดยใชขั้นตอนวิธี

การจัดพหุนามตัวแปรเดียวดีกรีสองใหสวนที่มีตัวแปรอยูในรูปกําลังสองสมบูรณโดยใชสูตร ผูสอนอาจดําเนินการพิสูจน ดังนี้

จากพหุนามตัวแปรเดียวดีกรีสองรูปทั่วไป ax2 + bx + cเมื่อ a, b และ c เปนคาคงตัวที่ a ≠ 0 ใหดําเนินการตามขั้นตอนวิธีดังนี้ax2 + bx + c = c)x

abx(a 2 ++

= c))a2

b()a2

b(xabx(a 222 +−++

= c)a4

b)a2

bx((a 2

22 +−+

= ca4

b)a2

bx(a2

2 +−+

=a4

ac4b)a2

bx(a2

2 −−+

สูตรที่ตองจําไวใช คือ

จากพหุนาม ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c เปนคาคงตัวที่ a ≠ 0 จัดใหสวนที่มีตัวแปร เปนรูปกําลังสองสมบูรณไดเปน

a4ac4b)

a2bx(a

22 −−+






พ.ศ. ๒๕๔๗



163

สวนการจดัโดยใชขัน้ตอนวธีิ ผูสอนจะฝกใหผูเรียนดาํเนนิขัน้ตอนตามขัน้ตอนในการพสูิจนขางตนทั้งสองวิธีการมีจุดเดนและจุดดอยอยูในตัว ขอใหสังเกตขอดีขอเสียจากตัวอยางตอไปนี้

ตัวอยาง จงเขียนสวนที่มีตัวแปรของพหุนามตอไปนี้ใหอยูในรูปกําลังสองสมบูรณ5x2 – 7x + 9

วิธีทํา

ทําโดยใชสูตร ทําโดยใชขั้นตอนวิธีจากพหุนาม ax2 + bx + c จัดใหสวนที่มีตัวแปรอยูในรูปกําลังสองสมบูรณไดเปน

a4ac4b)

a2bx(a

22 −−+

ดังนั้น จาก 5x2 – 7x + 9 จะจัดไดเปน

54)()())(x(

22

×××−−

−−

+9547

1075

= 2018049

1075 −

−− 2)x(

= 20131

1075 +− 2)x(

5x2 – 7x + 9 = 9575 +− )xx( 2

= 910049

107

575 +−+− ))(xx( 22

= 92049

1075 +−− 2)x(

= 2049180

1075 −

+− 2)x(

= 20131

1075 +− 2)x(

จากตัวอยางจะเห็นไดวา วิธีจําสูตรนั้นขอเสียคือ ถาจําสูตรผิดผลที่ไดจะผิดไปดวย สวนการคิดคํานวณนั้นตองมีความแมนยําทั้งสองวิธี วิธีการทําตามขั้นตอนวิธีอาจตองระวังมากหนอย ตอนที่คิดหาพจนคงตัวอาจลืมตัวคูณซึ่งในตัวอยางขางตน คือ 5

12. การใชความรูเร่ืองการเลื่อนแกนทางขนานเพื่อหาความสัมพันธของตัวแปร x และ y ที่มีกราฟเปนภาคตัดกรวย เปนวิธีที่ชวยใหหาความสัมพันธในรปูมาตรฐานไดรวดเร็วขึ้น แตตองอาศัย ความรูสองเรื่อง คือ

ก. ความสัมพันธของพิกัดของจุด เมื่อใชแกนชุดเดิมและแกนชุดใหมที่เกิดจากการเลื่อนทางขนาน (x′ = x – h และ y′ = y – k)

ข. ความสัมพันธที่มีกราฟเปนภาคตัดกรวย เมื่อจุดยอดหรือจุดศูนยกลางอยูที่จุดกําเนิด เชน x2 + y2 = r2, x2 = 4py, y2 = 4px ฯลฯ






พ.ศ. ๒๕๔๗



164

ผูสอนควรดําเนินการในเรื่องทั้งสองนี้ใหชัดเจน และถาจะใหการสอนสมบูรณยิ่งขึ้นควรให ผูเรียนลองหาความสัมพันธท่ีมีกราฟเปนภาคตัดกรวย โดยใชวิธีท่ีแตกตางจากในหนังสือเรียน กลาวคือสําหรับพาราโบลา วงรี และไฮเพอรโบลา ผูสอนควรลองใหผูเรียนใชวิธีหาความสัมพันธจากบทนิยามโดยอาศัยสูตรการหาระยะทางระหวางจุดกับจุดและจุดกับเสนตรง เชน การหาสมการของพาราโบลา ที่มีจุดยอดอยูที่จุด (h, k) และมีแกนของพาราโบลาขนานกับแกน X หาไดดังนี้

ให (h, k) เปนจุดยอดและระยะจากจุดยอดไปยังโฟกัส คือ ⏐p⏐ จะไดวา ถาโฟกัสมีพิกัดเปน (h + p, k) แลวไดเรกตริกซ คือ กราฟของสมการ x = h – p (แตถาโฟกัสมีพิกัดเปน (h – p, k)แลวไดเรกตริกซ คือ กราฟของสมการ x = h + p)

เมื่อ P(x, y) เปนจุดใด ๆ บนพาราโบลา จากบทนิยามของพาราโบลาจะไดวาPF = PD

นั่นคือ 2)(2))(( kyphx −++− = )( phx −−

(x – (h + p))2 + (y – k)2 = (x – (h – p))2

(y – k)2 = 4px – 4ph(y – k)2 = 4p (x – h)

หมายเหตุ 1. รูปทีใ่ชในการพสูิจน เปนรูปทีส่มมตุขิึน้ ในกรณทีี ่p เปนจาํนวนจรงิลบ รูปจะไมใชรูปนี้2. ควรทดลองคิดในกรณีที่พิกัดของโฟกัสเปน (h – p, k) และไดเรกตริกซคือ กราฟของ

สมการ x = h + p แลวดูวาจะไดผลเหมือนกันหรือไม

•

•

Y Y′

X′

X

x = h – p

D P (x, y)

V (h, k) F (h + p, k)

0






พ.ศ. ๒๕๔๗



165

13. ผูสอนอาจขยายความรูของผูเรียนโดยใหเขียนกราฟของอสมการที่เกิดจากการเปลี่ยน เครื่องหมายเทากับในสมการที่มีกราฟเปนภาคตัดกรวย เปนเครื่องหมาย ≠, >, <, ≥, ≤ เชน

x2 + y2 > 4 เปนตน14. การกําหนดมาตราสวนบนแกน X และแกน Y ตองเหมือนกัน เพราะถากําหนดตางกัน

กราฟที่ไดจะไมสมจริง เชน สมการที่กราฟควรเปนวงกลม อาจมีกราฟเปนวงรีได15. หลังจบบทเรียนแลวผูสอนควรใหแบบฝกทักษะเกี่ยวกับเรื่องภาคตัดกรวยเพิ่มเติม

อยางสม่ําเสมอ เพราะถาละเลยผูเรียนจะลืมวิธีการตาง ๆ ไดงาย16. ในบทนี้มีการกลาวถึงแกนสมมาตรของภาคตัดกรวย ซ่ึงเปนความรูที่ผูเรียนเคยศึกษา

มาแลวตั้งแตระดับประถมศึกษา บทนิยามทั่วไปที่ผูเรียนทราบคือ เมื่อพับรูปตามแกนสมมาตรแลวรูปที่อยูคนละขางของแกนสมมาตรจะทับกันสนิท แตในหนังสือเรียนนี้กลาววา พาราโบลาที่มาจากสมการ y2 = 12x มีแกน X เปนแกนสมมาตร เพราะเมื่อแทน y ในสมการดวย –y แลว ไดสมการคงเดิม แสดงวา กราฟของสมการ y2 = 12x มีแกน X เปนแกนสมมาตรโดยไมไดใหเหตุผลประกอบไววาเมื่อแทน y ในสมการดวย –y ไดสมการคงเดิมแลว เหตุใดแกน X จึงเปนแกนสมมาตร การที่สามารถ สรุปเชนนี้ได เพราะจุดที่มีพิกัด (x, y) กับ (x, –y) อยูหางแกน X เปนระยะเทากันคือ y เมื่อแทน y ในสมการ ดวย –y แลวไดสมการเดิมก็แสดงวาทั้งจุด (x, y) และ (x, –y) ตางอยูบนกราฟของสมการโดยมีคา x ที่เหมือนกันตางกันเฉพาะคา y และเนื่องจากการแทนคาดังกลาวไมไดเจาะจงแสดงวาทุก ๆ จุด (x, y) จะมีจุด (x, –y) ที่อยูบนกราฟคูกันเสมอ ดังนั้น เมื่อพับรูปตามแกน X จุดแตละคูดังกลาว จะทับกันเสมอ แสดงวาแกน X เปนแกนสมมาตร

ในทํานองเดียวกัน เมื่อมีสมการแสดงความสัมพันธระหวาง x กับ y และถาแทน x ในสมการดวย –x แลว สมการคงเดิมก็แสดงวากราฟของสมการนั้นมีแกน Y เปนแกนสมมาตร

การสมมาตรที่กลาวถึงในบทนี้กลาวเฉพาะการสมมาตรเมื่อเทียบกับแกน X หรือแกน Yหรือเสนตรงอื่น ซ่ึงนอกจากเสนตรงแลว การสมมาตรอาจเทียบกับจุดหรือระนาบก็ได

17. สมการภาคตัดกรวยในรูปตอไปนี้(x – h)2 + (y – k)2 = r2

(y – k)2 = 4c (x – h) (x – h)2 = 4c (y – k)

2

2

2

2

b)ky(

a)hx( −

+− = 1

2

2

2

2

b)hx(

a)ky( −

+− = 1

2

2

2

2

b)ky(

a)hx( −

−− = 1

2

2

2

2

b)hx(

a)ky( −

−− = 1






พ.ศ. ๒๕๔๗



166

เปนรูปสมการที่ชวยใหหาสวนสําคัญเกี่ยวกับภาคตัดกรวย เชน จุดศูนยกลาง จุดยอด ฯลฯ ไดงายเรียกรวม ๆ กันวา สมการในรูปมาตรฐาน (Standard form) เมื่อกระจายพจนกําลังสองแลวจัดเรียงพจนใหม จะอยูในรูปสมการกําลังสองสองตัวแปร ซ่ึงมีรูปทั่วไปดังนี้

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0เมื่อ A, B, C, D, E และ F คือคาคงตัว เชน จากสมการวงกลมมาตรฐานเมื่อกระจายใหอยูในรูปทั่วไปจะได x2 + y2 – 2hx – 2ky + h2 + k2 – r2 = 0ซ่ึงเมื่อเทียบกับรูปสมการทั่วไปสองตัวแปรจะไดวา

A = 1, B = 0, C = 1, D = –2h, E = –2k, F = h2 + k2 – r2 ฉะนั้น อาจกลาวไดวาสมการวงกลมในรูปมาตรฐานทุกสมการ สามารถเขียนอยูในรูปทั่วไปไดเปน

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 เมื่อ D, E และ F คือ คาคงตัว

ในทางกลับกันจากสมการในรูปทั่วไปขางตน ถาพิจารณากลับวา กราฟของสมการดังกลาว เปนวงกลมหรือไม จะพบวามีบางคาของคาคงตัว D, E และ F ทําใหกราฟไมใชวงกลม ขั้นตอนวิธีตอไปนี้เปนขั้นตอนวิธีคอนขางสําคัญในการเขียนกราฟของรูปทั่วไปของสมการวงกลม ซ่ึงตองฝกฝน ผูเรียนใหมีความคลองตัว ขั้นตอนวิธีที่ใชคือ การจัดพจนที่มีตัวแปรใหอยูในรูปกําลังสองสมบูรณ เพื่อใหสมการอยูในรูปมาตรฐาน

จากสมการ x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0จะได x2 + Dx + 2)

2D( – 2)

2D( + y2 + Ey + 2)

2E( – 2)

2E( + F = 0

22 )2Ey()

2Dx( +++ =

4E

4D 22

+ – F

=4

F4ED 22 −+

จากสมการสุดทาย จะเห็นไดชัดเจนวา กราฟของสมการรูปทั่วไปจะเปนวงกลมหรือไมขึ้นอยู กับคาของ D2 + E2 – 4F ซ่ึงสามารถแยกกรณีพิจารณาไดดังนี้

กรณีท่ี 1 D2 + E2 – 4F > 0กรณีนี้จะไดวา กราฟของสมการที่กําหนดเปนวงกลมมี )

2E,

2D( −− เปนจุดศูนยกลาง

รัศมียาว 2

F4ED 22 −+ หนวย






พ.ศ. ๒๕๔๗



167

กรณีท่ี 2 D2 + E2 – 4F = 0กรณีนี้กราฟของสมการที่กําหนดคือจุด )

2E,

2D( −− เรียกชื่อจุดที่เปนกราฟในกรณีนี้วา

วงกลมลดรูป (degenerate circle)

กรณีท่ี 3 ถา D2 + E2 – 4F < 0กรณีนี้สมการที่กําหนดไมมีกราฟ หรือกลาวอีกนัยหนึ่ง คือ ไมมีคูอันดับของจํานวนจริงใด ๆ

เปนคาํตอบ หรือสอดคลองสมการทีก่าํหนดให (เพราะไมมจีาํนวนจรงิใดยกกาํลังสองแลวไดจาํนวนจรงิลบ)ในทํานองเดียวกัน เมื่อกระจายพจนกําลังสองของภาคตัดกรวยอื่น ๆ จะไดรูปพหุนามทั่วไปของ

ภาคตัดกรวยแตละชนิด เชนจากสมการ (y – k)2 = 4 c(x – h)จะได y2 – 2ky + k2 = 4cx – 4chหรือ y2 – 4cx – 2ky + k2 + 4ch = 0ซ่ึงเมื่อเทียบกับรูปทั่วไปของสมการกําลังสอง สองตัวแปรจะอยูในรูป

y2 + Dx + Ey + F = 0จากสมการทั่วไปในรูปดังกลาวขางตนจะสามารถใชวิธีการทํานองเดียวกันกับเรื่องวงกลม

พิจารณากรณีตาง ๆ วา สมการทั่วไปดังกลาวจะมีกราฟเปนพาราโบลาเมื่อใดในทํานองเดียวกันจากสมการในรูปมาตรฐานของภาคตัดกรวยสมการอื่น ๆ สามารถจัดอยูในรูป

ทั่วไปได และจากสมการในรูปทั่วไปจะมีทั้งกรณีที่มีกราฟเปนภาคตัดกรวยและไมเปนภาคตัดกรวย ควรลองใหผูเรียนไดพิจารณาดวยตนเอง

18. สําหรับผูเรียนที่มีความสนใจและความสามารถพิเศษ อาจใหศึกษาเรื่องการหมนุแกน และการใชการเลื่อนแกนและหมุนแกนในการพิจารณากราฟของสมการกําลังสองสองตัวแปร รูปทั่วไปคือ สมการ

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 ในกรณีที่ B ≠ 0 บางสมการที่สามารถใชวิธีหมุนแกน ทําใหเปล่ียนรูปสมการใหพจน xy มีสัมประสิทธิ์เปนศูนย ซ่ึงจะทําใหไดสมการรูปทั่วไปเปนกรณีใดกรณีหนึ่งตามขอ 8 ทําใหสามารถเขียนกราฟของสมการไดโดยใชขั้นตอนวิธีจัดตัวแปรใหอยูในรูปกําลังสองสมบูรณ ตอไปนี้เปนความรูเร่ืองการหมุนแกนอยางงาย

สมมุติหมุนแกนทํามุม θ กับแกนชุดเดิมโดยหมุนในทิศทวนเข็มนาฬิกาไดแนวแกน ชุดใหมเรียกวา แกน X′ และแกน Y′ ดังรูป






พ.ศ. ๒๕๔๗



168

ถา P เปนจุดใด ๆ บนระนาบมีพิกัดเปน (x, y) และ (x′, y′) เมื่อเทียบกับแกนชุดเดิมและ แกนชุดใหมตามลําดับ

เนื่องจากแกน X′ ทํามุม θ กับแกน X และผานจุดกําเนิด ดังนั้นแกน X′ ซ่ึงเปนเสนตรง มีความชัน tan θ ผานจุด (0, 0) จะมีสมการเมื่อเทียบกับแกนชุดเดิมเปน

y = (tan θ)xหรือ (tan θ) x – y = 0 ----------- (1)

และเนื่องจากแกน Y′ ตั้งฉากกับแกน X′ และผานจุดกําเนิด จึงมีสมการเมื่อเทียบกับแกนชุดเดิมเปนy = x

tan1θ

−

หรือ x + (tan θ) y = 0 ----------- (2)จาก (1) และ (2) เมื่อหาระยะจากจุด (x, y) ถึงแกน X′ และ Y′ โดยใชสูตรหาระยะจากจุด

ไปยังเสนตรงจะไดวาx′ =

θ+

θ+2tan1

y)(tanx y′ = θ+

θ−2tan1

x)(tany

(จากสูตรหาระยะจากจุดไปยังเสนตรงตองเลือกใชคาที่เมื่อแทนตัวแปร x, y ในสมการแลวไดคามากกวาศูนย แตในที่นี้แทนตัวแปร x, y ดวยคาใด ๆ x, y และคา x′, y′ ก็ยังเปนไดทั้งจํานวนบวกและจํานวนลบ การเลือกคาถาจะทําใหละเอียดจึงตองพิจารณาเปนกรณี ๆ ไป แตทุกกรณีจะออกมาตรงกันดังที่เขียนไว)

จากคาของ x′, y′ ที่สัมพันธกับ x, y ขางตน จัดสมการใหมโดยเขียน tan θ ในรูป θθ

cossin

จะไดx′ = x cos θ + y sin θy′ = y cos θ – x sin θ

•Y

X

X′Y′x′

P (x, y)(x′, y′)

y′

θ






พ.ศ. ๒๕๔๗



169

หรือx = x′ cos θ – y′ sin θy = x′ sin θ + y′ cos θ

ประโยชนประการหนึ่งของการหมุนแกนคือ เพื่อจัดรูปทั่วไปของสมการกําลังสองสองตัวแปรAx2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

ใหอยูในรูปที่อางถึงแกนชุดใหมเปนA′x′2 + B′x′y′ + C′y2 + D′x′ + E′y′ + F′ = 0

โดยพยายามหมุนแกนใหคาของ B′ = 0 ซ่ึงจะทําใหสมการอยูในรูปทั่วไปที่ไมมีพจน xy เชนจากเรื่องไฮเพอรโบลามุมฉาก ซ่ึงเห็นไดชัดเจนวา แกนหมุนไป 45° ในกรณีนี้อยูในรูป xy = k, k > 0จะใชความสัมพันธเปน

x = x22 ′ – y

22 ′

y = x22 ′ + y

22 ′

แทนคา x และ y ในสมการ xy = k จะได22 y

21x

21 ′−′ = k

ดังนั้น จะจัดสมการในรูปมาตรฐาน เปน

2

2

)k2(x′ –

2

2

)k2(y′ = 1

กรณีทั่ว ๆ ไป การจะทําใหคา B′ เปนศูนยจะใชสูตรtan 2 θ =

CAB−

เชนจากสมการ4x2 – 4xy + y2 + 2x – 6y + 17 = 0

จะตองใหtan 2 θ =

144−− =

34−

นั่นคือθ−θ2tan1

tan2 = 34−

หรือ 2 tan2θ – 3 tan θ – 2 = 0(2 tan θ + 1) (tan θ – 2) = 0tan θ =

21− หรือ tan θ = 2






พ.ศ. ๒๕๔๗



170

ใชเฉพาะคา tan θ ที่เปนบวก หาคา sin θ และ cos θ จะไดsin θ =

52 cos θ =

51

แทนคา x และ y ในสมการโดยใหx = x

51 ′ – y

52 ′

y = x5

2 ′ + y5

1 ′

จะได22 )y

51 x

52( )y

51 x

52)(y

52 x

51(4 )y

52 x

51(4 ′+′+′+′′−′−′−′

+ 17 )y5

1 x5

2(6 )y5

2 x5

1(2 +′+′−′−′ = 0

)y52 yx

53 x

52(4 )

5y4

5yx4

5x(4 22

22′−′′−′−

′+

′′−

′ + y5

4 x5

2 y51 yx

54 x

54 22 ′−′+′+′′+′

– 17 y5

6 x5

12+′−′ = 0

17 x52 y52 y5 2 +′−′−′ = 02)1 y5( −′ = x52 ′ – 162)

51 y( −′ =

58 x(

552

−′ )

เห็นไดวา สมการดังกลาวมีกราฟ เมื่อเทียบกับแกนที่หมุนไปเปนพาราโบลามีจุด )5

1,5

8(

เปนจุดยอด อยางไรก็ตามเรื่องนี้เปนเรื่องที่คอนขางยุงยาก ในกรณีที่ตองการใชเสริมใหผูเรียนควรทําภายหลัง จากเรียนตรีโกณมิติจนจบแลว และกรณีการจําสูตรคาของ tan 2θ อาจไมตองจําแตใชขั้นตอนวิธีแทนได ทั้งนี้ ผูสอนอาจตองเลือกโจทยที่ไมยากนักดวย และในการใชหลังจากหมุนแกนแลวจะตองเล่ือนแกนทาง ขนานกับแกนที่หมุนไปดวย

โดยการใชความรูดังกลาว จะสามารถพิจารณาสรุปเปนทฤษฎีวา จากสมการกําลังสองสองตัวแปร รูปทั่วไป

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0เมื่อพิจารณาจากคา B2 – 4AC จะมีขอสรุปเกี่ยวกับกราฟดังนี้1. ถาเปนจํานวนจริงลบ กราฟจะเปนวงรี จุด หรืออาจไมมีกราฟ2. ถาเปนศูนย กราฟจะเปนพาราโบลา หรือเสนตรง 2 เสนที่ขนานกัน หรือเสนตรงเสนเดียว

หรือไมมีกราฟ3. ถาเปนจํานวนจริงบวก กราฟจะเปนไฮเพอรโบลา หรือเสนตรงสองเสนตัดกัน






พ.ศ. ๒๕๔๗



171

กิจกรรมเสนอแนะระยะระหวางจุดสองจุด

กอนสอนบอกใหผูเรียนทราบวาระยะระหวางจุด A ถึงจุด B เขียนแทนดวย AB หรือ ⏐AB⏐1. ผูสอนควรใหผูเรียนหาระยะระหวางจุด 2 จุดบนแกน X หรือแกน Y กอนและหาระยะ

ระหวางจุด 2 จุดในแนวเสนตรงที่ขนานกับแกน X หรือแกน Y แลวจึงใหหาระยะระหวางจุด 2 จุดใด ๆบนระนาบ ดังวิธีการแตละขั้นดังตอไปนี้

(1) กําหนดตัวอยางของจุด 2 จุดบนแกน X ใหผูเรียนหาระยะระหวางจุด 2 จุดนี้หลาย ๆ ตัวอยาง เชน A(0, 0), B(4, 0) และ P(–3, 0), Q(2, 0) ฯลฯ ดังรูป

ผูเรียนควรตอบไดวา AB = 4 หนวย ไดจาก ⏐4 – 0⏐ หรือ ⏐0 – 4⏐ และ PQ = 5 หนวย ไดจาก ⏐–3 –2⏐ หรือ ⏐2 – (–3)⏐

จากกิจกรรมนี้ผูเรียนจะสรุปไดวา ระยะหางระหวางจุด A(a, 0) และจุด B(b, 0) คือ AB = ⏐a – b⏐ = ⏐b – a⏐

(2) ในทํานองเดียวกันจะหาระยะระหวางจุด 2 จุดบนแกน Y ไดโดยใชวิธีการเดียวกับ ขอ (1) ซ่ึงผูเรียนจะสรุปไดวา ระยะระหวางจุด C(0, c) และ D(0, d) คือ CD = ⏐c – d⏐ = ⏐d – c⏐

(3) กําหนดจุดสองจุดที่อยูในแนวเสนตรงเดียวกันกับเสนตรงที่ขนานกับแกน X หรือ แกน Y ใหผูเรียนหาระยะทางระหวางจุดสองจุดนั้น โดยวิธีเดียวกับการหาระยะระหวางจุดสองจุดใด ๆ บนแกน X และแกน Y ผูเรียนควรสรุปไดวา

ระยะระหวางจุด A(a, b) กับจุด B(a, c) คือ AB = ⏐b – c⏐ = ⏐c – b⏐และ ระยะระหวางจุด C(d, e) กับจุด D(f, e) คือ CD = ⏐d – f⏐ = ⏐f – d⏐โดยผูสอนยกตัวอยางที่เปนตัวเลขประกอบดวย

X

Y

A (0, 0) B (4, 0)•• X

Y

P (–3, 0) Q (2, 0)•• •






พ.ศ. ๒๕๔๗



172

2. ในการหาระยะระหวางจุดสองจุดใด ๆ บนระนาบนั้นตองอาศัยทฤษฎีบทปทาโกรัส ดังนั้นเพื่อใหผูเรียนเกิดแนวความคิดที่จะนําทฤษฎีบทดังกลาวมาใช ผูสอนอาจใชวิธีการดังตอไปนี้

(1) กําหนดจุด A(0, a) และ B(b, 0) เปนจุดบนแกน Y และแกน X ตามลําดับ ใหผูเรียนหาระยะระหวางจุด A กับจุด B ผูสอนอาจยกตัวอยางจุดที่มีพิกัดเปนจํานวนจริง เชน A(0, 3) และ B(4, 0) หรือ A(0, –3) และ B(– 4, 0) เปนตน

ซ่ึงจากรูป ผูเรียนจะเห็นไดวา AB คือดานตรงขามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากผูสอนใหผูเรียนหา AB (ผูเรียนควรหาไดดวยตนเองโดยใชทฤษฎีบทปทาโกรัส)

(2) กําหนดจุด A อยูที่จุด (0, 0) และจุด B เปนจุดใด ๆ เชน B(3, 4) ฯลฯ ใหผูเรียนหา AB (ผูเรียนควรหาไดโดยเสนอวาควรลากเสนตรงขนานกับแกน X หรือแกน Y โดยใหเสนตรงนั้นผานจุด B จะไดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก แลวใชทฤษฎีบทปทาโกรัส)

ถาผูเรียนยังเสนอแนะเพิ่มเติมจากสิ่งที่กําหนดใหไมได ผูสอนควรพยายามตั้งคําถามเพื่อใหผูเรียนนําความคิดเกี่ยวกับการหาระยะ AB ในขอ (1) มาใช ซ่ึงผูเรียน จะทราบวาจําเปนตองลากเสนตรงขนานกับแกน X หรือแกน Y โดยใหเสนตรงนั้นผานจุด B จะไดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากแลวใชทฤษฎีบทปทาโกรัสผูสอนอาจฝกให ผูเรียนหา AB เมื่อ A เปนจุดบนแกน X (หรือแกน Y) แตไมใชจุด (0, 0)

X

Y

A (0, a)

B (b, 0)

•

•0

X

Y

B (a, b)

(0, 0)

•

•A






พ.ศ. ๒๕๔๗



173

(3) กําหนดจุด A(x1, y1) และ B(x2, y2) เปนจุดในระนาบที่ไมอยูบนแกน X หรือแกน Y ใหผูเรียนหา AB จากความรูในขอ (1) และ (2) ผูเรียนจะทราบวาตองลากเสนตรงผานจุด A และ B

โดยที่เสนตรงดังกลาวตองขนานกับแกน X หรือแกน Yเพื่อทําใหเกิดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก แลวใชทฤษฎีบทปทาโกรัสสรุปไดวา ระยะทางระหวางจุด A(x1, y1) กับB(x2, y2) คือ

AB = 221

221 )yy()xx( −+−

หรือ AB = 212

212 )yy()xx( −+−

หมายเหตุ เสนประในรูป ผูสอนควรจะใชชอลกสีลากเปนเสนทึบเพื่อใหผูเรียนเห็นเปนรูปสามเหลี่ยม มุมฉากไดชัดเจน

จุดก่ึงกลางระหวางจุด 2 จุด1. ผูสอนกําหนดจุด 2 จุดใด ๆ บนระนาบใหผูเรียนหาจุดกึ่งกลางระหวางจุดทั้ง 2 นั้น ผูเรียน

อาจจะหาตําแหนงโดยการใชวงเวียนหรือการวัดแตไมสามารถหาพิกัดของจุดกึ่งกลางไดทุกกรณี กิจกรรมนี้ทําเพื่อชักจูงใหผูเรียนเกิดความตองการทราบวิธีหาพิกัดของจุดกึ่งกลางระหวางจุด 2 จุดใด ๆ

2. ผูสอนกําหนดจุด 2 จุด ซ่ึงอยูบนแกน X ให เชน A(0, 0) กับ B(8, 0) หรือ A(0, 0) กับB(15, 0) ใหผูเรียนหาจุดกึ่งกลางระหวางจุด A และ B

ผูสอนกําหนดจุด 2 จุด เชน A(0, 0), B(– 4, 0) หรือ A(0, 0), B(–7, 0) ฯลฯ ใหผูเรียนหาจุดกึ่งกลางระหวางจุด A และ B

ผูสอนกําหนดจุด 2 จุด เชน A(8, 0), B(12, 0) หรือ A(9, 0), B(12, 0) หรือ A(– 4, 0), B(–8, 0) หรือ A(– 4, 0), B(12, 0) ฯลฯ ใหผูเรียนหาจุดกึ่งกลางระหวางจุด A และ B

ผูเรียนควรสรุปไดวา จุดกึ่งกลางระหวางจุด (x1, 0) กับ (x2, 0) คือ จุด )0,2

xx( 21 +

ผูสอนควรพยายามหลีกเลี่ยงใหผูเรียนคิดโดยการเขียนรูป ซ่ึงอาจใชตัวอยางที่เปนตัวเลขงาย ๆ(ในขั้นแรก ๆ ผูสอนอาจใชรูปบางเพื่อใหเกิดแนวความคิด แตหลังจากสอนจบแลวผูเรียนควรสรุปขอความขางตนไดโดยไมตองอาศัยรูป)

3. ผูสอนยกตัวอยางจุดซึ่งอยูบนแกน Y แลวทําในทํานองเดียวกับขอ 2 ซ่ึงผูเรียนควรสรุปไดวา จุดกึ่งกลางระหวางจุด (0, y1) กับ (0, y2) คือ )

2y y

,0( 21 +

X

Y

•

•A

B

0






พ.ศ. ๒๕๔๗



174

4. ผูสอนกําหนดจุด 2 จุด ซ่ึงอยูในแนวเสนตรงเดียวกันที่ขนานกับแกน X เชน จุด A(3, 2) กับ B(7, 2) หรือ A(4, –3) กับ B(6, –3) ฯลฯ ใหผูเรียนหาจุดกึ่งกลาง

ผูเรียนควรสรุปไดวา จุดกึ่งกลางระหวางจุด (x1, y1) กับ (x2, y1) คือจุด )y,2

xx( 1

21 +

5. ผูสอนกําหนดจุด 2 จุด ซ่ึงอยูในแนวเสนตรงเดียวกันกับเสนที่ขนานกับแกน Y เชน A(3, 8) กับ B(3, 6) หรือ A(–3, 6) กับ B(–3, 8) ฯลฯ แลวทําในทํานองเดียวกับขอ 4

ผูเรียนควรสรุปไดวาจุดกึ่งกลางระหวางจุด (x1, y1) กับ (x1, y2) คือจุด )2

yy,x( 21

1+

6. การหาจุดกึ่งกลางของสวนของเสนตรง AB ในกรณีที่สวนของเสนตรงไมอยูในแนวขนานกับแกน X หรือแกน Y

ผูสอนกําหนดสวนของเสนตรง ซ่ึงมีจุดเริ่มตนจุดหนึ่งอยูที่จุด (0, 0) เชน สวนของเสนตรงที่เชื่อมจุด A(0, 0) และจุด B(4, 8) แลวใหผูเรียนหาพิกัดของจุด (x, y) ซ่ึงเปนจุดกึ่งกลางของ AB

ถาผูเรียนหาคา x ไมได ใหผูสอนแนะโดยการลาก เสนตรงผานจุด B(4, 8) ตัดและตั้งฉากกับแกน X ถาผูเรียนยังหาไมไดอีก ใหผูสอนแนะอีกขั้น โดยการลากเสนตรงผานจุดกึ่งกลางตัดและตั้งฉากกับแกน X และใชความรูเกี่ยวกับสมบัติของสามเหลี่ยมคลาย (ซ่ึงผูเรียนควรหาคา x ได ในทํานองเดียวกันใหผูเรียนหาคา y)

7. ผูสอนกําหนดสวนของเสนตรงซึ่งจุดปลายทั้งสองไมอยูบนแกน X หรือแกน Y ใหผูเรียน หาจุดกึ่งกลาง โดยผูสอนใชวิธีการถามเปนขั้น ๆ ดังวิธีที่ผานมา

ถาผูเรียนหาคา x ไมได ผูสอนควรแนะใหผูเรียนลากสวนของเสนตรง AE ใหขนานกับแกน X ตั้งฉากกับ CD และ BE ซ่ึงเปนสวนของเสนตรงที่ขนานกับแกน Y ที่จุด D และ E ตามลําดับ แลวใหผูเรียนใชความรูเกี่ยวกับสมบัติของสามเหลี่ยมคลาย (∆ ACD ∼ ∆ABE) หาคา x, y ซ่ึงผูเรียนควรสรุปไดวา จุดกึ่งกลางของสวนของเสนตรงที่มีจุดปลายที่จุด A(x1, y1) และจุด B(x2, y2) คือจุด )

2yy

,2

xx( 2121 ++

X

Y

B (x2, y2)

A (x1, y1) D (x, y1) E (x2, y1)•

•

0

C (x, y)

X

Y•

•A (0, 0)

B (4, 8)

(x, y) •






พ.ศ. ๒๕๔๗



175

ความชันของเสนตรง

ในการนําเขาสูบทเรียนในเรื่องนี้ ผูสอนอาจยกตัวอยางเรื่องที่ผูเรียนคุนเคยในชีวิตประจําวัน เชน การพาดบันไดกับกําแพง ดังรูป

ผูสอนอาจใหผูเรียนดูรูปขางตนแลวใหชวยกันตอบคําถามวา บันไดที่พาดในลักษณะไหนมี ความชันมากกวากัน หลังจากที่ผูเรียนไดรวมกันอภิปรายแลวควรจะสรุปไดวา ความชันของบันไดขึ้นอยู กับระยะในแนวราบระหวางโคนบันไดกับกําแพง โดยบันไดที่โคนบันไดอยูหางจากกําแพงนอยกวา จะมีความชันมากกวา

ผูสอนยกตัวอยางใหม โดยสมมุติใหมีบันไดพาดขึ้นไปบนตึกในลักษณะตาง ๆ กัน แตมีระยะ ในแนวราบระหวางโคนบันไดกับตัวตึกคงเดิม ดังรูป

ผูสอนตั้งคําถามในทํานองเดียวกัน ผูเรียนควรจะสรุปไดวา ความชันของบนัไดขึ้นอยูกับระยะ ในแนวดิ่ง โดยบันไดที่พาดขึ้นไปยังตึกชั้นที่สูงกวาจะมีความชันมากกวาบันไดอันที่พาดขึ้นไปบนตึก ช้ันที่ต่ํากวา






พ.ศ. ๒๕๔๗



176

ผูสอนลากสวนของเสนตรงในลักษณะตาง ๆ กัน บนกระดานกราฟ ดังรูป

จากรูปผูสอนใหผูเรียนรวมกันพิจารณาความชันของเสนตรงผูเรียนควรจะสรุปไดวา ความชันขึ้นอยูกับระยะในแนวดิ่งและแนวระดับ และผูสอนบอกผูเรียน

วา จะนิยามความชันของเสนตรงใด ๆ ไดดังนี้

บทนิยาม ให L เปนเสนตรงที่ผานจุด P1(x1, y1) และP2(x2, y2) โดยที่ x1 ≠ x2, m เปนความชันของเสนตรง L ก็ตอเมื่อm =

21

21

xxyy

−−

จากนั้น ใหผูเรียนฝกหาความชันของเสนตรงโดยอาศัยบทนิยามขางตน เพื่อใหผูเรียนเขาใจ ขอสรุปตอไปนี้ คือ

1. ถาความชันเปนจํานวนบวก เสนตรงจะทํามุมแหลมกับแกน X (วัดมุมทวนเข็มนาฬิกาจากแกน X)

2. ถาความชันเปนจํานวนลบ เสนตรงจะทํามุมปานกับแกน X (วัดมุมทวนเข็มนาฬิกา จากแกน X)

3. ถาเสนตรงขนานกับแกน X ความชันจะเปนศูนย4. เสนตรงที่ขนานกับแกน Y นั้น ไมอาจหาความชันได






พ.ศ. ๒๕๔๗



177

เสนตั้งฉาก

ผูสอนกําหนดพิกัดของจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (ดานประกอบมุมฉากดานหนึ่ง ไมขนานกับแกน Y) ให 3 จุด เชน

ใหผูเรียนทดสอบวา เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไมโดยใชบทกลับของ ทฤษฎีบทของ ปทาโกรัสที่กลาววา “ถารูปสามเหลี่ยม ABC มีดานยาว a, b และ c หนวย ตามลําดับ และ c2 = a2 + b2 แลว ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและมีดานที่ยาว c หนวย เปนดานตรงขามมุมฉาก”

ใหผูเรียนหาความชันของดานประกอบมุมฉาก และผลคูณของความชันของดานประกอบมุมฉากซ่ึงจะไดเทากับ –1

ผูสอนอาจยกตัวอยางอื่น ๆ ในทํานองเดียวกันผูสอนกําหนดเสนตรง 2 เสนที่ตั้งฉากกัน โดยอาศัยการกําหนดจุดบนเสนตรงแตละเสนใหบน

กระดานกราฟ ใหผูเรียนชวยกันแสดงวาผลคูณของความชันของเสนตรงทั้งสองเทากับ –1ผูสอนยกตัวอยางในทํานองเดียวกัน เพื่อใหผูเรียนมีแนวความคิดวา“ผลคูณของความชันของเสนตรง 2 เสนที่ตั้งฉากกันมีคาเทากับ –1”ผูสอนและผูเรียนชวยกันพิสูจนขอความดังกลาวตามวิธีการในหนังสือเรียน

Y

X

(– 4, 2)

(1, 1)

(–1, –1)0






พ.ศ. ๒๕๔๗



178

ความสัมพันธที่มีกราฟเปนเสนตรงผูสอนกําหนดจุดบนกระดานกราฟ ดังรูป

จากรูป ผูสอนใหผูเรียนเขียนความสัมพันธที่มีกราฟตามที่กําหนดใหแบบแจกแจงสมาชิกซึ่ง ผูเรียนควรเขียนไดดังนี้คือ

{(–2, 3), (–1, 3), (0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3)}ผูสอนกําหนดจุดเพิ่มขึ้น ในแนวเดียวกับเสนตรงที่ผานจุดที่กําหนดใหใหผูเรียนลากเสนตรงผานจุดเหลานั้น และใหพิจารณาพิกัดของจุดตาง ๆ ที่อยูบนเสนตรงนั้น

ซ่ึงผูเรียนควรจะตอบไดวา พิกัดของจุดที่อยูบนเสนตรงนั้นคือ (x, 3)ใหผูเรียนเขียนความสัมพันธที่มีกราฟเปนเสนตรงนั้นแบบบอกเงื่อนไข ซ่ึงผูเรียนควรเขียนได

ดังนี้r = {(x, y) ∈ R × R⏐y = 3}

ผูสอนยกตัวอยางในทํานองเดียวกันจนผูเรียนสามารถสรุปไดวาความสัมพันธที่มีกราฟเปนเสนตรงที่ขนานกับแกน X และผานจุด (0, b) คือ

{(x, y) ∈ R × R⏐y = b}และในทางกลับกันเมื่อกําหนดความสัมพันธในรูป {(x, y) ∈ R × R⏐y = b} ผูเรียนควรสรุป

ไดวา กราฟของความสัมพันธจะเปนเสนตรงที่ขนานกับแกน X และอยูหางจากแกน X เปนระยะ ⏐b⏐หนวย (ถา b > 0 กราฟจะอยูเหนือแกน X ถา b < 0 กราฟจะอยูใตแกน X ถา b = 0 กราฟจะทับแกน X)

ผูสอนใชวิธีการเดียวกันสําหรับความสัมพันธที่มีกราฟเปนเสนตรงที่ขนานกับแกน Y

กอนที่จะทําการสอนเรื่องภาคตัดกรวย ผูสอนอาจอธิบายลักษณะของกรวยกลมตรง โดยใชอุปกรณงาย ๆ เชน นํากรวยกระดาษ 2 อันมาตอกัน แลวช้ีใหเห็นสวนตาง ๆ ของกรวยตามหนังสือเรียน นอกจากนี้ ผูสอนอาจทบทวนเรื่องการหาระยะทางระหวางจุด 2 จุด และการจัดสมการกําลังสอง ใหอยูในรูปกําลังสองสมบูรณ (เพื่อใชหาสมการของภาคตัดกรวย)

0

Y

X






พ.ศ. ๒๕๔๗



179

วงกลมผูสอนกาํหนดจดุคงทีใ่หจดุหนึง่ ใหผูเรียนหาจดุตาง ๆ ทีอ่ยูหางจากจดุคงทีน่ีเ้ปนระยะทางเทากนั

ผูเรียนอาจหาจุดตาง ๆ เหลานี้ไดโดย1. ผูกปลายเชือกขางหนึ่งกับปลายดินสอ เชือกอีกปลายหนึ่งติดกับหมุด แลวนําหมุดไปติดที่

จุดคงที่จับดินสอใหตั้งฉากกับระนาบดึงเชือกใหตึงเขียนจุดตาง ๆ รอบ ๆ หมุดดังรูป

ผูสอนบอกผูเขยีนวา เมือ่เขยีนจดุทัง้หมดในระนาบทีม่สีมบตัเิดยีวกนันี ้ จะไดกราฟทีเ่รียกวา“วงกลม”

ผูสอนถามผูเรียนวาจดุคงทีเ่รียกวาอะไร และระยะทางคงตวัเรียกวาอะไร (จดุศนูยกลาง, รัศม)ี2. ผูสอนกําหนดจุดศูนยกลางใหอยูที่จุดกําเนิด และรัศมีของวงกลมให เชน กําหนดจุด

ศูนยกลางที่ (0, 0) รัศมีของวงกลมเทากับ 5 หนวย แลวใหผูเรียนหาความสัมพันธที่มีกราฟเปนวงกลม ซ่ึงผูเรียนควรจะหาไดคือ x2 + y2 = 25 กรณีที่ผูเรียนไมสามารถหาความสัมพันธได ผูสอนควรชี้แนะให ผูเรียนลากเสนจากจุด (x, y) ใดๆ บนวงกลมลงมาตั้งฉากกับแกน X แลวพิจารณาความสัมพันธโดยใชทฤษฎีบทพีทาโกรัส

3. ผูสอนกําหนดจุดศูนยกลางและรัศมีของวงกลม เชน กําหนดจุดศูนยกลางที่ (1, 2) รัศมียาว 5 หนวย แลวเขียนแกนชุดใหมใหมีจุดกําเนิดที่จุด (1, 2) ถามผูเรียนวา สมการที่มีกราฟเปนวงกลมดังกลาวมีความสัมพันธในรูปพิกัด (x′, y′) เปนอยางไร ผูเรียนควรจะตอบไดวา ความสัมพันธ คือ

{(x′, y′) ∈ R × R ⏐x′2 + y′2 = 52}จากนั้น ถามผูเรียนตอไปวา ความสัมพันธเมื่อเทียบกับแกนชุดเดิมจะเปนอยางไร ผูเรียน

ควรตอบไดวา คือ{(x, y) ∈ R × R⏐(x – 1)2 + (y – 2)2 = 52}

4. ดําเนินการสอนในทํานองเดียวกับขอ 2 และ 3 แตเปลี่ยนรัศมีและจุดศูนยกลางเปน r หนวยและ (h, k) ตามลําดับ โดยในการสอนผูสอนตองชี้ใหผูเรียนเห็นอยางชัดเจนวา แตละวิธีมีหลักการอยางไรอาจจะโดยใหผูเรียนชวยกันสรุปก็ได รวมทั้งควรใหผูเรียนทราบดวยวา ความสัมพันธที่มีกราฟเปนวงกลมที่เขียนในรูป (x – h)2 + (y – k)2 = r2 เรียกวา รูปมาตรฐาน สวนที่กระจายพจนแลว เขียนในรูป

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 เมื่อ D, E และ F คือ คาคงตัวเรียกวา รูปทั่วไป






พ.ศ. ๒๕๔๗



180

จากนั้นจึงใหอภิปรายถึงวิธีการที่จะเขียนกราฟจากสมการที่เขียนในรูปทั่วไปวาจะตองทําอยางไรจึงจะเขียนกราฟได ซ่ึงผูเรียนควรสรุปไดวาจะเขียนกราฟวงกลมไดจะตองทราบจุดศูนยกลางของวงกลมและความยาวของรัศมี โดยจะตองจัดสมการที่กําหนดมาใหอยูในรูปมาตรฐาน ซ่ึงมีวิธีทํา 2 วิธี จัดโดยใชขั้นตอนวิธีหรือสรางเปนสูตรไวใชดังนี้จากสมการ

x2 + y2 +Dx + Ey + F = 0จะได 2)

2Dx( + + 2)

2Ey( + = F

4E

4D 22

−+

=4

F4ED 22 −+

และจะไดวากราฟวงกลมมี )2E,

2D( −− เปนจุดศูนยกลางและความยาวของรัศมีเปน

2F4ED 22 −+ โดยที่ D2 + E2 – 4F > 0

อยางไรก็ตามผูสอนควรนําอภิปรายใหผูเรียนเห็นวาการจําสูตรไวใชเปนเรื่องไมควรทําเพราะอาจจําผิดได5. ผูสอนใหผูเรียนพิจารณาวา กราฟของสมการ x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 เมื่อ D, E, F

เปนคาคงตัว ซ่ึงเปนสมการรูปทั่วไปจะเปนวงกลมเมื่อใด และถากราฟไมเปนวงกลมกราฟจะเปนรูปใด

พาราโบลา1. ผูสอนลากเสนตรงเสนหนึ่งและกําหนดจุดจุดหนึ่งซึ่งจุดนี้ไมอยูบนเสนตรงนั้น แลวใหผูเรียน

หาจุดตาง ๆ ที่อยูหางจากจุดและเสนตรงที่กําหนดใหเปนระยะทางเทากัน ซ่ึงผูสอนอาจเสนอแนะโดยใชอุปกรณชวยดังนี้

ปกหมุดตรงจุดที่กําหนดให (จุด C) ดังรูป ผูกเสนเชือกซึ่งยาวเทากับ AB โดยปลายขางหนึ่งผูกติด ที่จุด A บนไม T อีกปลายหนึ่งผูกติดที่จุด C

เ ล่ือนไม T ไปตามแนวเสนตรง y = – p ที่กําหนดใหใชดินสอ (หรือชอลก) ทับเสนเชือกพาด ตามแนวไม T (ดังรูป)

2. ผูสอนใหผูเรียนพิจารณาจุดแตละจุดที่ไดวามีความสัมพันธอยางไรกับจุด C และเสนตรง ที่กําหนดให (จุดที่ไดแตละจุดอยูหางจากเสนตรงและจุดที่กําหนดใหเปนระยะทางเทากัน)

Y

XB

PC (0, p)

A

y = – p0






พ.ศ. ๒๕๔๗



181

3. ผูสอนบอกผูเรียนวาเมื่อเขียนจุดทั้งหมดในระนาบที่มีสมบัติเดียวกันนี้จะไดกราฟที่เรียกวา“พาราโบลา”

4. ผูสอนและผูเรียนชวยกันสรุปบทนิยามของพาราโบลา5. ผูสอนแนะนําสวนตาง ๆ ของพาราโบลาคือ โฟกัส ไดเรกตริกซ และจุดยอด6. ผูสอนกําหนดโฟกัส (ที่มีพิกัดคือ (p, 0) หรือ (0, p)) และไดเรกตริกซ แลวใหผูเรียนหา

สมการของพาราโบลา โดยอาศัยบทนิยามและการหาระยะระหวางจุดสองจุด เชน ผูสอนกําหนดจุด (0, 4)และเสนตรง y = – 4 ให ผูเรียนควรหาไดวา สมการของพาราโบลาที่มีจุด (0, 4) เปนโฟกัสและเสนตรงy = – 4 เปนไดเรกตริกซคือ x2 = 16y

7. ผูสอนกาํหนดโฟกสั (p, 0) และไดเรกตรกิซ x = – p แลวใหผูเรียนหาสมการของพารา-โบลาในรูป y2 = 4px โดยใชวิธีการในทํานองเดียวกับขางตน

8. ผูสอนใหผูเรียนเขียนกราฟของพาราโบลาที่มีสมการอยูในรูป y2 = 4px แลวผูสอนแนะนําแกนของพาราโบลา โฟกัส และจุดยอดของพาราโบลา

9. ผูสอนใหผูเรียนหาสมการของพาราโบลาในรูป x2 = 4py โดยใชวิธีการในทํานองเดียวกัน10. ผูสอนเขียนกราฟของพาราโบลาที่มีสมการอยูในรูป x2 = 4py แลวใหผูเรียนชวยกันบอก

พิกัดของจุดยอด โฟกัส และแกนของพาราโบลา11. ผูสอนกําหนดสวนตาง ๆ ของพาราโบลา แลวใหผูเรียนหาสมการของพาราโบลาและในทาง

กลับกันใหผูเรียนหาสวนตาง ๆ ของพาราโบลาเมื่อกําหนดสมการมาให12. ผูสอนวาดรูปพาราโบลาโดยใชจุดอื่นที่ไมใช (0, 0) เปนจุดยอดแตแกนของรูปขนานกับ

แกน X หรือ Y แลวถามผูเรียนวา กราฟดังกลาวจะยังเรียกวา พาราโบลาหรือไม ถาเทียบกับแกนชุดใหมกราฟนั้นจะมีสมการเปนอยางไร สุดทายเมื่อพูดถึงกรณีที่จุดยอดอยูที่ (h, k) จะไดสมการมาตรฐาน 2 แบบ คือ (y – k)2 = 4p(x – h)

และ (x – h)2 = 4p(y – k)จากนั้นใหตัวอยางการหาสมการเมื่อกําหนดเงื่อนไขมาให

13. ใหผูเรียนทดลองหาความสัมพันธที่มีกราฟเปนพาราโบลา (h, k) เปนจุดยอดและมีแกนขนานกับแกน X และ Y โดยใชบทนิยามของพาราโบลา

14. จากสมการรูปมาตรฐาน(y – k)2 = 4p(x – h)

และ (x – h)2 = 4p(y – k)






พ.ศ. ๒๕๔๗



182

ใหผูเรียนกระจายพจนจัดในรูปทั่วไป โดยอิงกับรูปทั่วไปของสมการกําลังสองสองตัวแปรAx2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

จะจัดสมการไดในรูปy2 + Dx + Ey + F = 0

และ x2 + Dx + Ey + F = 0

อภิปรายปญหาวาจากสมการรูปทั่วไป ถาตองการเขียนกราฟจะตองทําอยางไร ผูเรียนควรสรุปไดวาตองใชขั้นตอนวิธีจัดสมการใหอยูในรูปมาตรฐาน หรือสรางสูตรไวใช จากนั้นสอนตัวอยางการเขียนกราฟจากสมการรูปทั่วไป

วงรี1. ผูสอนกําหนดจุดคงที่ใหสองจุด แลวใหผูเรียนหาจุดตาง ๆ ซ่ึงผลบวกของระยะทางจากจุด

เหลานี้ไปยังจุดคงที่ทั้งสองมีคาคงตัว ผูสอนอาจใหผูเรียนหาจุดตาง ๆ เหลานี้ โดยใชอุปกรณดังนี้ผูสอนนําเชือกมาเสนหนึ่ง ตรึงปลายเชือกทั้งสองขางดวยหมุดที่จุดคงที่ที่กําหนดให ใชดินสอ (หรือชอลก)ดึงเสนเชือกใหตึง แลวเขียนจุดตาง ๆ ดังรูป

2. ใหผูเรียนพิจารณาวา ระยะทางจากแตละจุดที่ไดไปยังจุดคงที่ที่กําหนดใหสองจุดมีความสัมพันธกันอยางไร (ผลบวกของระยะทางจากจุดใด ๆ ที่ไดไปยังจุดคงที่ทั้งสองมีคาคงตัวซ่ึงเทากับ ความยาวของเสนเชือกที่ผูกอยูระหวางจุดคงที่ทั้งสอง)

3. ผูสอนบอกผูเรียนวา กราฟที่ไดเรียกวา “วงรี” จุดคงที่นั้นเรียกวา โฟกัส และสรุป บทนิยามของวงรี

4. ผูสอนกําหนดโฟกัสและผลบวกคงตัวให แลวใหผูเรียนหาสมการของวงรีโดยอาศัย บทนิยาม และการหาระยะทางระหวางจุดสองจุด เชน ผูสอนกําหนดจุด (– 4, 0) และ (4, 0) เปนจุดคงที่และผลบวกของระยะทางจากจุด (x, y) ใด ๆ บนวงรีไปยังจุดคงที่ทั้งสองเทากับ 10 ซ่ึงผูเรียนควรหา สมการของวงรีไดคือ

9y

25x 22

+ = 1






พ.ศ. ๒๕๔๗



183

5. ผูสอนกําหนดโฟกัส (c, 0) และ (– c, 0) และผลบวกของระยะทางคงตัวเทากับ 2a โดยที่ 2a > 2c แลวผูสอนและผูเรียนชวยกันหาสมการของวงรีในรูป

2

2

ax + 2

2

by = 1

โดยใชวิธีการในทํานองเดียวกับขางตน6. ผูสอนใหผูเรียนเขียนกราฟของวงรีที่มีสมการในรูป 2

2

ax + 2

2

by = 1 แลว

ผูสอนแนะนําโฟกัสของวงรี จุดศูนยกลางของวงรี จุดยอดของวงรี แกนเอก และแกนโทของวงรี พรอมทั้งบอกความยาวของแกนทั้งสอง

7. ผูสอนใหผูเรียนหาสมการของวงรีที่มีโฟกัสอยูที่จุด (0, c) และ (0, – c) ในรูป

2

2

ay + 2

2

bx = 1 โดยใชวิธีการในทํานองเดียวกัน

8. ผูสอนเขียนกราฟของวงรีที่มีสมการอยูในรูป 2

2

ay + 2

2

bx = 1 แลวใหผูเรียนชวยกันหา

โฟกัสของวงรี จุดศูนยกลางของวงรี จุดยอดของวงรี แกนเอกและแกนโทของวงรี พรอมทั้งบอก ความยาวของแกนทั้งสอง

9. ผูสอนกําหนดสวนตาง ๆ ของวงรี แลวใหผูเรียนหาสมการของวงรี และในทางกลับกัน ใหผูเรียนหาสวนตาง ๆ ของวงรี เมื่อกําหนดสมการของวงรีมาให

10. ผูสอนกําหนดรูปวงรีใหมีจุด (h, k) เปนจุดศูนยกลางแลวเขียนแกนชุดใหมใหมีจุด (h, k)เปนจุดกําเนิดจากนั้นถามผูเรียนวา ถาเขียนสมการของกราฟในรปูพิกัดของแกนชุดใหม (x′, y′) จะได สมการอยางไรบาง แลวดําเนินการจนไดสมการรูปมาตรฐานทั้งนี้อาจเริ่มโดยกําหนดคา h กับ k เปนจํานวนจริงที่ทราบคากอนก็ได

เมื่อไดสมการรูปมาตรฐานแลว ใหผูเรียนลองใชบทนิยามหาสมการรูปมาตรฐานดวยก็จะชวยเพิ่มเทคนิคการแกปญหาใหผูเรียนมากขึ้น

จากนั้นใหตัวอยางการหาสมการวงรีรูปมาตรฐาน เมื่อกําหนดเงื่อนไขที่เพียงพอให11. จากสมการในรูปมาตรฐาน

2

2

2

2

b)ky(

a)hx( −

+− = 1

และ2

2

2

2

a)ky(

b)hx( −

+− = 1

เมื่อกระจายพจนแลวเทียบกับรูปทั่วไปของสมการกําลังสองตัวแปร จะไดสมการทั่วไปของวงรีในรูป Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0






พ.ศ. ๒๕๔๗



184

ซ่ึงจากสมการรูปทั่วไปนี้ ผูเรียนควรสรุปไดเชนเดียวกันกับภาคตัดกรวยรูปพาราโบลาวา จะสามารถเขียนกราฟของสมการ ถาจัดสมการใหอยูในรูปมาตรฐาน วิธีการก็เชนเดียวกันคือ ใชขั้นตอนวิธี หรือสรางสูตรไวใช

ผูสอนอาจใหผูเรียนพจิารณากรณทีีก่ราฟของสมการรปูทัว่ไปไมใชวงรีดดูวยกไ็ดวา มเีงือ่นไขอยางไร (กราฟจะเปนวงรี หรือจดุหรือไมมีกราฟก็ไดเชนเดียวกับวงกลม)

12. อภิปรายปญหาการใชสเกลบนแกน X และ Y ไมเทากัน เชน ใหเขียนกราฟของสมการ

4y

16x 22

+ = 1โดยกําหนดระยะ 1 หนวย บนแกน Y ใหยาวเทากับ 4 หนวย ของระยะบนแกน X

ใหอภิปรายแลวสรุปวาระยะบนแกน X และแกน Y ควรจะเปนอยางไร กราฟจึงจะถูกตอง

ไฮเพอรโบลา1. ผูสอนกําหนดจุดคงที่สองจุดใหผูเรียนหาจุดตาง ๆ ซ่ึงผลตางของระยะทางจากจุดเหลานี้

ไปยังจุดคงที่ทั้งสองมีคาคงตัว โดยผูสอนอาจใชอุปกรณชวย เพื่อใหผูเรียนหาจุดเหลานี้ไดโดย

ใชเชือกซึ่งผูกปลายทั้งสองขางเขาดวยกันเปนปม วางพาดและคลองที่หมุด F′ และ F ตามลําดับ (ดังรูป)ผูกชอลกใหอยูในวงเชือกแลวทําใหเชือกตึง ดึงปลายเชือกขางที่มีปมเชือกที่เปนวงซึ่งมีชอลกอยูภายใน ก็จะลดความยาวลง

ในทางกลับกัน คลองเชือกที่ F′ และพาดเสนเชือกไวที่ F แลวดําเนินการดวยวิธีเดียวกันกับขางตน

2. ผูสอนบอกผูเรียนวา รอยชอลกบนกระดานทีไ่ดนัน้เปนกราฟของไฮเพอรโบลา จดุคงทีน่ัน้เรียกวาโฟกัส และสรุปบทนิยามของไฮเพอรโบลา

F•• F′






พ.ศ. ๒๕๔๗



185

3. ผูสอนกําหนดโฟกัสและผลตางของระยะทางจากจุด P(x, y) ใด ๆ บนไฮเพอรโบลาไปยังโฟกัสทั้งสองให เชน ผูสอนกําหนดจุดคงที่คือ (–3, 0) และ (3, 0) และผลตางคงตัวของระยะทางระหวางจุด P(x, y) บนไฮเพอรโบลาไปยังจุดคงที่เทากับ 4 ใหผูเรียนหาสมการของไฮเพอรโบลาโดยอาศัย บทนิยามและการหาระยะทางระหวางจุดสองจุด ซ่ึงผูเรียนควรจะไดสมการดังกลาวคือ

4x 2

– 5

y2

= 14. ผูสอนกาํหนดโฟกสัที ่(–c, 0) และ (c, 0) และผลตางคงตวัของระยะทางจากจดุ P(x, y) ใด ๆ

บนไฮเพอรโบลาไปยังโฟกัสทั้งสองใหเทากับ 2a โดยที่ 2a < 2c แลวผูสอนและผูเรียนชวยกันหาสมการของไฮเพอรโบลาในรูป 2

2

ax – 2

2

by = 1 โดยใชวิธีในทํานองเดียวกัน

5. ผูสอนใหผูเรียนหาสมการของไฮเพอรโบลาทีม่โีฟกสัอยูทีจ่ดุ (c, 0), (– c, 0) ในรปู 2

2

ax – 2

2

by = 1

แลวผูสอนแนะนาํโฟกสัของไฮเพอรโบลา จดุศนูยกลางของไฮเพอรโบลา จดุยอดของไฮเพอรโบลา แกนตามขวางและแกนสังยุค พรอมทั้งบอกความยาวของแกนทั้งสอง

6. ผูสอนใหผูเรียนหาสมการของไฮเพอรโบลาทีม่โีฟกสัอยูทีจ่ดุ (0, c), (0, – c) ในรปู 2

2

2

2

bx

ay

− = 1

โดยใชวิธีการในทํานองเดียวกัน7. ผูสอนกําหนดสวนตาง ๆ ของไฮเพอรโบลา แลวใหผูเรียนหาสมการของไฮเพอรโบลา

ในทางกลับกันใหผูเรียนหาสวนตาง ๆ ของไฮเพอรโบลาเมื่อกําหนดสมการมาให8. ดําเนินกิจกรรมทํานองเดียวกันกับขอ 10 – 11 ของวงรีหรือจะใหผูเรียนศึกษาดวยตนเองก็ได9. ผูสอนเพิ่มเติมความรูเร่ืองเสนกํากับ (assymtote) ซ่ึงไดจากการลากเสนทแยงมุมของรูป

ส่ีเหล่ียม ซ่ึงมีดานคูหนึ่งผานจุดยอดขนานกับแกนสังยุคและดานอีกคูหนึ่งผานจุดปลายแกนสังยุคขนานกับแกนตามขวางมีสมการดังนี้

สมการไฮเพอรโบลา สมการเสนกํากับ

2

2

2

2

by

ax

− = 1

2

2

2

2

bx

ay

− = 1

y = xab±

y = xba±

( ) ( ) 2

2

2

2 aky

ahx −

−− = 1

2

2

a)ky( − – 2

2

b)hx( − = 1

y – k = )hx(ab −±

y – k = )hx(ba −±






พ.ศ. ๒๕๔๗



186

ผูสอนบอกผูเรียนวากราฟของไฮเพอรโบลาจะเขาใกลเสนกาํกบั แตจะไมตดัหรือสัมผัสเสนกาํกบันั้น

10. การสอนไฮเพอรโบลามุมฉากในรูป xy = k อาจดําเนินการหาจุดที่กราฟผาน เชน ในหนังสือเรียนก็ได ถาสอนโดยวิธีดังกลาวควรถามรายละเอียดเกี่ยวกับเสนกํากับแกนของรูปหรือผูสอนอาจดําเนินการใหผูเรียนหาความสัมพันธระหวางพิกัด (a, b) กับ (a, b) เมื่อหมุนแกนไป 45° ดังรูป ตอไปนี้ก็ได

จากรูปสมการของแกน X′, Y′ เมื่อเทียบกับแกนชุดเดิมคือy = x และ y = –x ตามลําดับ

เมื่อหาระยะจากจุด (a, b) ถึงเสนตรงทั้งคูตามลําดับจะไดวาa′ =

2ba+ และ b′ =

2ab−

เมื่อเปลี่ยน a, b, a′, b′ ใหอยูในรูปตัวแปรจะไดวาx′ =

2yx+ และ y′ =

2xy−

หรือเมื่อเขียน x, y ในรูปของ x′ , y′ จะไดx =

22 (x′ – y′) และ y =

22 (x′+ y′)

จากสมการ xy = k แทนคา x และ y จากความสัมพันธขางตนจะได)yx(

21 22 ′−′ = k

หรือ2

2

)k2(x′ –

2

2

)k2(y′ = 1 เมื่อ k > 0

และ2

2

)k2(y′ –

2

2

)k2(x′ = 1 เมื่อ k < 0

ลองแทน k ดวย 6 แลวดําเนินการเขียนกราฟดูจะไดผลเชนเดียวกันกับตัวอยางในหนังสือเรียน

Y

X

Y′

45°a′

(a, b)• (a′, b′)

b′






พ.ศ. ๒๕๔๗



187

ตัวอยางกิจกรรม

ในบทเรียนนี้จะมีสองหัวขอใหญดวยกันคือ ความรูเบื้องตนเกี่ยวกับเรขาคณิตวิเคราะห และ ภาคตดักรวย และกจิกรรมทีจ่ะเสนอแนะไวในคูมอืครูเลมนี ้ เร่ืองความรูเบือ้งตนเกีย่วกบัเรขาคณติวเิคราะห ผูสอนควรจัดกิจกรรมใหผูเรียนไดเกิดการเรียนรูจากสิ่งแวดลอมนอกหองเรียนดูบาง โดยการศึกษา นอกสถานที่ สวนเรื่องภาคตัดกรวยนั้น ผูสอนอาจใหผูเรียนศึกษาคนควาการประยุกตใชงานของวงกลมวงรี พาราโบลา และไฮเพอรโบลา เพื่อใหผูเรียนเกิดความตระหนักและเห็นคุณคาในการเรียนคณิตศาสตรและตอไปนี้จะขอกลาวถึงตัวอยางการประยุกตใชงานของภาคตัดกรวย พอเปนสังเขป

การประยุกตใชงานของวงกลม• การหาตําแหนงศูนยกลางของแผนดินไหว

นกัวทิยาศาสตรทีศ่กึษาเกีย่วกบัเรือ่งแผนดนิไหว สามารถหาตาํแหนงของศนูยกลางของแผนดนิไหว โดยการหาจุดตัดของวงกลม 3 วง รัศมีของวงกลมแตละวงจะแทนระยะหางจากศูนยกลางของแผนดินไหวถึงสถานีรับสัญญาณแตละแหง จุดศูนยกลางของวงกลมคือ ตําแหนงของสถานีรับสัญญาณ

การประยุกตใชงานของพาราโบลาพาราโบลาที่เราพบเห็นและรูจักกันดีคือ เสนทางการเคลื่อนที่แบบวิถีโคงหรือโปรเจกไตล

การเคลื่อนแบบวิถีโคงหรือโปรเจกไตลเปนการเคลื่อนที่ของวัตถุใน 2 แนวที่ตั้งฉากกัน (คือ แนวดิ่งและแนวระดับ) ในเวลาเดียวกัน โดยการเคลื่อนที่ในแนวดิ่งจะอยูภายใตแรงดึงดูดของโลก สวนการเคลื่อนที่ในแนวระดับวัตถุจะเคลื่อนที่ดวยความเร็วคงที่ และถือวาแรงตานของอากาศมีผลตอการเปลี่ยนแปลง การเคลื่อนที่แบบวิถีโคงนอยมาก ตัวอยางการเคลื่อนที่แบบวิถีโคงที่มีเสนทางการเคลื่อนที่เปนพาราโบลาเชน การเคลื่อนที่ของลูกปนใหญ การกระดอนของลูกบอล การกระโดดขึ้นเหนือน้ําของปลาโลมาเปนตน

สมบัติทางเรขาคณิตของพาราโบลานําไปใชกับงานไดหลายอยางเชน ถานําแหลงกําเนิดแสง ไปวางไวที่ตําแหนงโฟกัสของตัวสะทอนแสงรูปพาราโบลา รังสีสะทอนของแสงจะขนานกับแกนของพาราโบลา ตัวอยางเชน แสงจากสปอรตไลท หรือไฟจากแฟลชกลองถายรูป ในกระบวนการกลับกัน ถารังสีของแสงจากระยะไกลที่ขนานกับแกนของพาราโบลา เมื่อกระทบกับผิวสะทอนรูปพาราโบลา จะสะทอนมารวมกันที่โฟกัส ถาตัวสะทอนนี้ใชกับแสงอาทิตย เมื่อนําวัตถุไปวางที่ตําแหนงโฟกัส จะทําใหวัตถุมีอุณหภูมิสูงขึ้น นอกจากนี้ตัวสะทอนพาราโบลายังใชในจานรับสัญญาณดาวเทียม เพื่อรับสัญญาณคลื่นแมเหล็กไฟฟาจากดาวเทียม






พ.ศ. ๒๕๔๗



188

การประยุกตใชงานของวงรี

ปรากฏการณทางธรรมชาติหลายอยางที่เกี่ยวของกับวงรี เชน การโคจรของดาวเคราะหรอบ ดวงอาทติย เคปเลอรนกัคณติศาสตรในชวงคริสตศตวรรษที ่17 ไดพบวา การโคจรของดาวเคราะหแตละดวงรอบดวงอาทติยเปนวงร ี โดยมดีวงอาทติยเปนโฟกสัจดุหนึง่ การโคจรของดวงจนัทร และดาวเทยีมรอบโลก ก็เปนวงรีเชนเดียวกัน ดาวหางฮัลเลยที่โคจรรอบดวงอาทิตย 1 รอบในเวลา 76 ป ก็มีเสนทางโคจรเปนวงรีเชนเดียวกัน

อิเล็กตรอนของอะตอมซึ่งเปนสวนประกอบของธาตุตาง ๆ มีวงโคจรโดยประมาณเปนวงรีและ มีนิวเคลียสอยูที่โฟกัสหนึ่ง

วงรีมีสมบัติที่สําคัญคือ การนําไปใชเปนตัวสะทอนแสงและคลื่นเสียงแสงหรือสัญญาณใด ๆ ก็ตามที่มีจุดกําเนิดอยูที่โฟกัสหนึ่งของวงรี จะถูกสะทอนไปรวมกันที่โฟกัสอีกจุดหนึ่ง

การประยุกตใชงานวงรีที่นาสนใจในปจจุบันคือ การใชอางวงรีในการสลายนิ่วในไตโดยไมตองมีการผาตัด โดยวิธีการนี้จะใชสมบัติการสะทอนของวงรี ถาสงคลื่นออกจากโฟกัสหนึ่งไปยังเสนรอบรูปของวงรี คล่ืนนั้นจะสะทอนไปยังอีกโฟกัสหนึ่ง ดวยจุดเดนขอนี้ชวยใหนักวิทยาศาสตรพัฒนาเครื่องสลายนิ่วดวยคล่ืนกระแทก (shock wave) คล่ืนกระแทกจะถูกสรางขึ้นที่โฟกัสหนึ่ง และสะทอนไปชนนิ่วในไตซึ่งอยูตําแหนงโฟกัสที่สอง

หลักการสะทอนของวงรีนี้สามารถนําไปใชสรางหองกระซิบ (whispering galleries) โดยการออกแบบสรางหองที่มีเพดานเปนวงรี ผูที่นั่งอยูที่โฟกัสหนึ่งจะไดยินผูที่อยูใกล ๆ อีกโฟกัสหนึ่งคุยกัน

การประยุกตใชงานของไฮเพอรโบลา

เมื่อเครื่องบินบินดวยความเร็วมากกวาความเร็วเสียงจะทําใหเกิดการเปลี่ยนแปลงความดันของอากาศรอบ ๆ ตัวเครื่องบิน เปนสาเหตุทําใหเกิดคลื่นกระแทก รูปรางของหนาคลื่นกระแทกจะมีลักษณะเปนกรวยกลม และเมื่อหนาคลืน่กระแทกไปตดักบัระนาบของพืน้ดนิจะเกดิเปนสวนหนึง่ของไฮเพอรโบลาคล่ืนกระแทกนี้จะกระทบทุก ๆ จุดที่อยูบนโคงนี้ในเวลาเดียวกัน ดังนั้น คนที่อยูในที่ตาง ๆ บนพื้นดินตามแนวเสนโคงจะไดยินเสียงคลื่นกระแทกในเวลาเดียวกัน

ถามีแหลงกําเนิดคลื่นวงกลม 2 แหลง สงคลื่นวงกลมที่มีความถี่เทากันออกมาพรอมกัน ตําแหนงที่คล่ืนจากแหลงกําเนิดคล่ืนทั้งสองพบกันจะสัมพันธกับไฮเพอรโบลาซึ่งหลักการนี้ไดนําไปใชในระบบการคนหาตําแหนงวัตถุดวยคล่ืนวิทยุระบบนี้ เรียกวา Loran (Long Range Navigation)






พ.ศ. ๒๕๔๗



189

Loran เปนระบบคนหาตําแหนงซึ่งประกอบดวย สถานีสงสัญญาณที่รูตําแหนงแนนอนตั้งแต 2 สถานีขึ้นไป สงสัญญาณคลื่นวิทยุที่มีความถี่เทากันออกมาพรอมกันไปยังตัวรับสัญญาณที่เคลื่อนที่ ตัวรับสัญญาณ Loran จะวัดความแตกตางของเวลาของสัญญาณที่มาถึงจากสถานีตาง ๆ ความแตกตาง คงตัวของเวลาที่มาถึงของสัญญาณจากสถานีสงคูหนึ่งจะกําหนดเปนโคงไฮเพอรโบลา ซ่ึงตัวรับสัญญาณจะตองอยูบนโคงนี้ โดยปกติสถานีสงสัญญาณจะใชตั้งแต 3 สถานขีึ้นไปเพื่อขจัดความไมแนนอนของตําแหนงของตัวรับสัญญาณ

เฉลยแบบฝกหัด 3.1.1

1. ให จุด O แทนจุดกําเนิด (0, 0)จุด P แทนจุดที่โจทยกําหนดให

(1) (3, 4)OP = 22 )04()03( −+− = 5 หนวย

(2) (0, 3)OP = 22 )03()00( −+− = 3 หนวย

(3) (–1, –3)OP = 22 )03()01( −−+−− = 10 หนวย

(4) (s, t)OP = 22 )0t()0s( −+− = 22 ts + หนวย

2. (1) (2, 5) และ (9, 5)ให P แทนจุด (2, 5)

Q แทนจุด (9, 5)เพราะวา P และ Q มีคาพิกัดหลังเทากันดังนั้น PQ = ⏐2 – 9⏐ = 7 หนวย

(2) (– 4, 7) และ (6, 7)ให P แทนจุด (– 4, 7)

Q แทนจุด (6, 7)เพราะวา P และ Q มีคาพิกัดหลังเทากันดังนั้น PQ = ⏐– 4 – 6⏐ = 10 หนวย






พ.ศ. ๒๕๔๗



190

(3) (–5, 6) และ (–5, –3)ให P แทนจุด (–5, 6)

Q แทนจุด (–5, –3)เพราะวา P และ Q มีคาพิกัดแรกเทากันดังนั้น PQ = ⏐6 – (–3)⏐ = 9 หนวย

(4) (– 4, –8) และ (– 4, –2)ให P แทนจุด (– 4, –8)

Q แทนจุด (– 4, –2)เพราะวา P และ Q มีคาพิกัดแรกเทากันดังนั้น PQ = ⏐–8 – (–2)⏐ = 6 หนวย

3. (1) (3, 4) และ (2, 2)ให P แทนจุด (3, 4)

Q แทนจุด (2, 2)PQ = 22 )24()23( −+− = 5 หนวย

(2) (–1, –2) และ (3, – 4)ให P แทนจุด (–1, –2)

Q แทนจุด (3, – 4)PQ = 22 ))4(2()31( −−−+−− = 20 = 52 หนวย

(3) (0, s) และ (t, 0)ให P แทนจุด (0, s)

Q แทนจุด (t, 0)PQ = 22 )0s()t0( −+− = 22 st + หนวย

(4) (0, s + t) และ (s + t, 0)ให P แทนจุด (0, s + t)

Q แทนจุด (s + t, 0)PQ = 22 )0)ts(())ts(0( −+++− = 2)ts(2 +

= )ts(2 + หนวย






พ.ศ. ๒๕๔๗



191

(5) (2, 13) และ (8, 5)ให P แทนจุด (2, 13)

Q แทนจุด (8, 5)PQ = 22 )513()82( −+− = 10 หนวย

(6) (–5, 3) และ (0, 8)ให P แทนจุด (–5, 3)

Q แทนจุด (0, 8)PQ = 22 )83()05( −+−− = 25 หนวย

(7) (–6, 4) และ (–6, 17)ให P แทนจุด (–6, 4)

Q แทนจุด (–6, 17)PQ = 22 )174())6(6( −+−−− = 213 = 13 หนวย

(8) (–2, –1) และ (–7, –6)ให P แทนจุด (–2, –1)

Q แทนจุด (–7, –6)PQ = 22 ))6(1())7(2( −−−+−−− = 22 55 + = 25 หนวย

4. (1) พิกัดของจุด Cกําหนดให C มีพิกัดเปน (x, 4)( จากรูป ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมคางหมู ที่มีดาน BC ขนานกับดาน AD และขนานกับแกน X)

B (–1, 4) C

D X

Y

A(– 4, 0) O






พ.ศ. ๒๕๔๗



192

จากโจทย BC = 8 หนวย และ B มีพิกัดเปน (–1, 4) จะได

BC = 22 )44())1(x( −+−−

8 = 2)1x( +

8 = 1x+

x = 7, –9

แตจากรูป C อยูในจตุภาคที่ 1ดังนั้น จุด C มีพิกัดเปน (7, 4)

(2) ความยาวของสวนของเสนตรง ABจากโจทย A มีพิกัดเปน (– 4, 0)และ B มีพิกัดเปน (–1, 4) จะได

AB = 22 )40())1(4( −+−−−

= 22 43 +

AB = 5 หนวย

(3) พิกัดของจุด Dกําหนดให D มีพิกัดเปน (x, 0)(เนื่องจาก AD อยูบนแกน X)จากโจทย A มีพิกัดเปน (– 4, 0) จะได

AD = 22 )00())4(x( −+−−

AD = 2)4x( +

AD = 4x+ ---------- (1)หา AD ไดจากสูตร

พื้นที่ ABCD = 21 × สูง × ผลบวกของดานคูขนาน

ความสูงของ ABCD คือ ความยาวของเสนที่ลากจากจุด B มาตั้งฉากกับแกน Xที่จุด (–1, 0)ดังนั้นความสูงของ ABCD มีขนาดเทากับ 22 )04())1(1( −+−−− = 4 หนวย






พ.ศ. ๒๕๔๗



193

48 =21 × 4 × (BC + AD)

48 =21 × 4 × (8 + AD)

48 = 2(8 + AD)48 = 16 + 2AD32 = 2ADAD = 16 หนวย

แทนคา AD = 16 หนวย ใน (1) จะได16 = 4x+

x = 12, –20แตจากรูป D อยูบนแกน X ทางดานบวกดังนั้น จุด D มีพิกัดเปน (12, 0)

5.จากรูปAB = 22 )12()14( −+−− = 26 หนวยBC = 22 )11()11( +++ = 8 หนวยAC = 22 )12()14( +++− = 18 หนวย

จะได BC2 + AC2 = 2)8( + 2)18( = 26 หนวยนั่นคือ AB2 = BC2 + AC2

ดังนั้น ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากนั่นคือ (1, 1), (–1, –1) และ (– 4, 2) เปนจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

2

-2

-5 X

Y

B ( 1, 1 )

C (-1, -1 )

A ( -4, 2 )

0






พ.ศ. ๒๕๔๗



194

6. ระยะระหวางจุด (–3, – 4) กับแกน X คือระยะระหวางจุด Q(–3, – 4) และ P(–3, 0)ดังนั้น PQ = 22 )04()]3(3[ −−+−−−

= 4 หนวย

7. ความยาวของเสนรอบรูปสามเหลี่ยม ABC = AB + AC + BC

AB = 22 )48()37( −+−

= 32

= 24 หนวยAC = 22 ))2(4())1(3( −−+−−

= 52

= 132 หนวยBC = 22 ))2(8())1(7( −−+−−

= 164 = 412 หนวยดังนั้น ความยาวของเสนรอบรูปสามเหลี่ยม ABC = AB + AC + BC = 41213224 ++ หนวย

8. สมมุติใหจุด A มีพิกัด (0, y1) ซ่ึงอยูบนแกน Y หางจากจุด B(2, 5) และ C(3, –7) เปนระยะเทากันเพราะวา AB = AC

21

2 )5y()20( −+− = 21

2 )]7(y[)30( −−+−2

1 )5y(4 −+ = 21 )7y(9 ++

4 + (y1 – 5)2 = 9 + (y1 + 7)2

25y10y4 121 +−+ = 49y14y9 1

21 +++

29y10y 121 +− = 58y14y 1

21 ++

–24y1 = 29y1 =

2429−

ดังนั้น A มีพิกัด (0, 2429− )

P ( -3 , 0 )

-5

X

Y

0

Q ( -3 , -4 )

10

10

5

5-5

A(3, 4)

C (-1, -2)

B (7, 8)

0 X

Y






พ.ศ. ๒๕๔๗



195

9. ให A(4, 6), B(6, 8) และ C(–2, –2) เปนจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมจะได AB = 22 )86()64( −+− = 22

BC = 22 )82()62( −−+−− = 412

CA = 22 )62()42( −−+−− = 10

ความยาวของ AB, BC และ AC ไมมีคูใดที่เทากันเลยดังนั้น รูปสามเหลี่ยมซึ่งมีจุดสามจุดนี้เปนจุดยอด จึงไมเปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว

10. ให P(–3, 2) เปนจุดศูนยกลางของวงกลมที่ผานจุด Q(7, 4)รัศมีของวงกลมคือ PQ = 22 )42()73( −+−− = 262 หนวย

11.

X0

10

5

-5

5 105

A (4, 6)B (6, 8)

C (-2, -2)

Y

X0P (-3, 2)

20

10

-10

-20 20Q (7, 4)

Y

108642

-2-15 -10 -5 5 10 X

Y

C (-8, 8)

B (-12, 0) D (-8, 0) A(10, 0)






พ.ศ. ๒๕๔๗



196

จากรูปจากจุด C(–8, 8) ลากเสนตรงขนานแกน Y ตัดแกน X ที่จุด D จะไดพิกัดของจุด D คือ D(–8, 0)พื้นที่ของสามเหลี่ยม =

21 × ฐาน × สูง ----------- (1)

ถาใหAB เปนความยาวฐาน ดังนั้น CD จะเปนความสูงของรูปสามเหลี่ยม ABCความยาวฐานคือ AB = 22 )00()]12(10[ −+−− = 22ความสูงคือ CD = 22 )08()]8(8[ −+−−− = 8ดังนั้น พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC =

21 × 22 × 8 = 88 ตารางหนวย

12. ให A(0, 0), B(8, 18) และ C(12, 27) เปนจุดสามจุดAB = 22 )180()80( −+− = 972

BC = 22 )2718()128( −+− = 97

AC = 22 )270()120( −+− = 973

จะไดวา AC = AB + BCดังนั้น (0, 0), (8, 18) และ (12, 27) อยูบนเสนตรงเดียวกัน

13. เงื่อนไขที่ทําใหจุด P1, P2 และ P3 ใด ๆ อยูบนเสนเดียวกันคือP1P2 + P2P3 = P1P3

14. ให A(3, 4) เปนจุดศูนยกลางของวงกลมที่ผานจุด B(6, 8)ให C มีพิกัดเปน (0, 0)

AB = 22 )84()63( −+− = 169+ = 5 หนวยAC = 22 )04()03( −+− = 169+ = 5 หนวยจุด C(0, 0) อยูบนวงกลม เพราะอยูหางจากจุดศูนยกลางเทากับความยาวของรัศมีของ

วงกลม

15. ใหแกน X สัมผัสวงกลมที่จุด B(x, 0)เมื่อแกน X สัมผัสกับวงกลมรัศมี AB ยอมตั้งฉากกับแกน Xจะได x = 4ดังนั้น จุดสัมผัสคือ (4, 0)

-5

10B (x, 0)

A (4, -3)

0 X

Y






พ.ศ. ๒๕๔๗



197


1. (1) ใหจุด P1 มีพิกัด )2,21(

ใหจุด P2 มีพิกัด (3, –1)และจุดกึ่งกลางระหวาง P1 และ P2 คือ P(x, y)

x =2

)321( +

=47

y =2

))1(2( −+ =21

ดังนั้น จุดกึ่งกลางระหวางจุด P1 และ P2 คือ (47 ,

21 )

(2) ใหจุด P1 มีพิกัด (–1, –3)ใหจุด P2 มีพิกัด (5, 3)และจุดกึ่งกลางระหวาง P1 และ P2 คือ P(x, y)

x =2

)51( +− = 2

y =2

)33( +− = 0ดังนั้น จุดกึ่งกลางระหวางจุด P1 และ P2 คือ (2, 0)

(3) ใหจุด P1 มีพิกัด (3, 25− )

ใหจุด P2 มีพิกัด (–3, –9)และจุดกึ่งกลางระหวาง P1 และ P2 คือ P(x, y)

x =2

))3(3( −+ = 0

y =2

))9(25( −+−

=423−

ดังนั้น จุดกึ่งกลางระหวางจุด P1 และ P2 คือ )423,0( −

(4) ใหจุด P1 มีพิกัด (–3, –2)ใหจุด P2 มีพิกัด (–1, –1)และจุดกึ่งกลางระหวาง P1 และ P2 คือ P(x, y)






พ.ศ. ๒๕๔๗



198

x =2

))1(3( −+− = –2

y =2

))1(2( −+− =23−

ดังนั้น จุดกึ่งกลางระหวางจุด P1 และ P2 คือ )23,2( −−

2. (1) ใหจุด P มีพิกัด (x, y)จะได 1 =

2x3+ นั่นคือ x = –1

และ 2 =2

y4+ นั่นคือ y = 0ดังนั้น พิกัดของจุด P คือ (–1, 0)

(2) ใหจุด P มีพิกัด (x, y)จะได 5 =

215x+ นั่นคือ x = –5

และ 6 =2

4y− นั่นคือ y = 16ดังนั้น พิกัดของจุด P คือ (–5, 16)

3. ให AC และ BD เปนเสนทแยงมุมสองเสนจุดกึ่งกลางของเสนทแยงมุม AC คือ ( 2

31,292 ++ ) = )2,2

11(

จุดกึ่งกลางของเสนทแยงมุม BD คือ ( 231,2

47 ++ ) = )2,211(

ดังนั้น จุดกึ่งกลางของเสนทแยงมุมของรูปสี่เหล่ียม ABCD เปนจุดเดียวกันคือ )2,2

11(

4. ให O เปนจุดกึ่งกลางระหวาง P(2, 1) และ Q(6, 5) ดังนั้น O = )2

51,2

62( ++ = (4, 3)ระยะระหวางจุด O(4, 3) กับจุด A(8, 2) คือ 22 )32()48( −+− = 17 หนวย

5. จุดกึ่งกลางของสวนของเสนตรง คือ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++2

)y3y(,

2)x3x( 1111 = (2x1, 2y1)

6. พิกัดของจุดศูนยกลางคือ )2113,

271( ++ = (4, 7)

ความยาวของรัศมีของวงกลม = ระยะระหวางจุด (4, 7) กับจุด (1, 3) เทากับ 5






พ.ศ. ๒๕๔๗



199

7. เสนมัธยฐานคือ เสนที่ลากจากจุดยอดมุมมาแบงครึ่งฐานดังนั้น จุดปลายของเสนมัธยฐานคือ จุดที่แบงครึ่งดานของรูปสามเหลี่ยมให P1(x1, y1) เปนจุดปลายเสนมัธยฐานของรูป ∆ ABC ที่มี AB เปนฐานจะได x1 =

234+ =

27

y1 = 289+ =

217

ดังนั้น p1 มีพิกัดเปน (27 ,

217 )

ให P2(x2, y2) เปนจุดปลายเสนมัธยฐานของรูป ∆ ABC ที่มี BC เปนฐานจะได x2 =

2)1(3 −+ = 1

y2 = 228+ = 5

ดังนั้น P2 มีพิกัดเปน (1, 5)ให P3(x3, y3) เปนจุดปลายเสนมัธยฐานของรูป ∆ ABC ที่มี AC เปนฐานจะได x3 =

2)1(4 −+ =

23

y3 =2

29+ =2

11

ดังนั้น P3 มีพิกัดเปน )2

11,23(

8. ให R มีพิกัด (4, y)A มีพิกัด (–5, 2)C มีพิกัด (13, –6)

โดยพิกัดจุด R อยูหางจากจุด A และจุด C เปนระยะทางเทากันจะได RA = RC 22 )2y()54( −++ = 22 )6y()134( ++−

2)2y(81 −+ = 2)6y(81 ++

y = –2

9. หาจุดกึ่งกลางของดานของรูปสี่เหล่ียม ABCD ไดดังนี้จุดกึ่งกลางของดาน AB คือ )

253,

244(P ++− หรือ P(0, 4)

จุดกึ่งกลางของดาน BC คือ )2115,

284(Q ++ หรือ Q(6, 8)






พ.ศ. ๒๕๔๗



200

จุดกึ่งกลางของดาน CD คือ )2

711,2

88(R +− หรือ R(0, 9)จุดกึ่งกลางของดาน DA คือ )

237,

248(S +−− หรือ S(–6, 5)

หาความยาวรอบรูปของรูปสี่เหล่ียม PQRS ไดดังนี้PQ = 22 )84()60( −+− = 52 = 132

QR = 22 )98()06( −+− = 37

RS = 22 )59()60( −++ = 52 = 132

SP = 22 )45()06( −+−− = 37

นั่นคือ ความยาวของเสนรอบรูป PQRS = 132 + 37 + 132 + 37 = 134 + 372

10. ให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากโดยที่

A, B และ C มีพิกัดเปน (x, y), (0, 0) และ (x, 0)ตามลําดับP เปนจุดกึ่งกลางของ ABดังนั้น จุด P มีพิกัด )

2y,

2x(

หาระยะระหวางจุด P กับจุดยอดทั้ง 3 จุดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

PA = 22 )y2y()x

2x( −+−

=4

y4

x 22+

PB = 22 )02y()0

2x( −+−

=4

y4

x 22+

PC = 22 )02y()x

2x( −+−

=4

y4

x 22+

จะไดวา PA = PB = PCดังนั้น ระยะระหวางจุดกึ่งกลางของดานตรงขามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากกับจุดยอด

ทั้งสามมีความยาวเทากัน

B(0, 0)

)2y,

2x(P A(x, y)

C(x, 0) X

Y






พ.ศ. ๒๕๔๗



201

11. ให ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมดานขนานAC และ BD เปนเสนทแยงมุมของรูปสี่เหล่ียมดานขนาน ABCDให P(x, y) เปนจุดกึ่งกลางของเสนทแยงมุม ACP(x, y) มีพิกัด )

2y

,2

xx( 221 +

ให Q(x′, y′) เปนจุด กึ่งกลางของเสนทแยงมุม BD Q(x′, y′) มีพิกัดเปน )

2y

,2

xx( 221 +

จะเห็นวา P(x, y) และ Q(x′, y′) มีพิกัดเดียวกันดังนั้น P(x, y) เปนจุดเดียวกันกับ Q(x′, y′)นั่นคือ เสนทแยงมุมของรูปสี่เหล่ียมดานขนานยอมแบงครึ่งซึ่งกันและกัน

12. ให A(x, y) เปนจุดกึ่งกลางของ R(–7, –5) T(6, 1)ดังนั้น จุดกึ่งกลางของ RT คือ )2,

21(A −−

หาความยาวของเสนมัธยฐาน SA ไดโดยSA = 22 )27()

213( +++

=4

373 หนวย หรือ 2373 หนวย

13.

X

Y

A(0, 0) B(x1, 0)

C(x1+ x2, y2)D(x2, y2)

S(3, 7)

T(6, 1)

R(-7, -5)-4

-4 4

4

8

88 X

Y

0

10

5

-10 0 X

Y

A(2, 7) B(-5, 6)

R S T






พ.ศ. ๒๕๔๗



202

วิธีท่ี 1 แบงสวนของเสนตรง AB ใหเปน 4 สวนจุดที่แบงกําหนดใหเปนจุด R, S, Tซ่ึงมีพิกัด (x, y), (x1, y1), (x2, y2) ตามลําดับจากรูป จุด R คือจุดที่อยูหางจากจุด A เทากับ

43 ของระยะระหวาง A และ B

หาพิกัดของจุด R โดย

1. หาพิกัดของจุด S ซ่ึงจุด S เปนจุดกึ่งกลางของสวนของเสนตรง ABx1 =

225+− =

23−

y1 =2

76+ =2

13

ดังนั้น จุด S มีพิกัด )2

13,23(−

2. หาพิกัดของจุด R ซ่ึงจุด R เปนจุดกึ่งกลางของสวนของเสนตรง BS

x =2

)5()23( −+−

=2

))2

10(23( −+−

=4

13−

y =2

)62

13( +=

2

)21213( +

=425

ดังนั้น จุด S มีพิกัด )425,

413(− นั่นคือ พิกัดของจุดซึ่งอยูหางจาก A อยู

43 ของระยะ

ระหวาง A และ B คือ )425,

413(−

วิธีท่ี 2 ให C(x, y) เปนจุดที่อยูบนสวนของเสนตรง A(2, 7) B(–5, 6) ซ่ึงทําให CA = AB43

C(x, y) C′(x, 7)

B(-5, 6)

10

5

-10 0 X

Y

A(2, 7) A′(-5, 7)

Y

C(x, y)B(-5, 6)

10

5

-10 0 X

A(2, 7) D(2, y)

A′(2, 6)






พ.ศ. ๒๕๔๗



203

ลาก CC′ และ BA′ ขนานกับแกน Yตัดกับ AA′ ซ่ึงลากขนานกับแกน X ที่จุด C′และ A′ ตามลําดับ

จะไดพิกัดของจุด C′ คือ (x, 7)พิกัดของจุด A′ คือ (–5, 7)

∆ AA′B คลายกับ ∆ AC′Cดังนั้น

AACA′′ =

ABAC

แตABAC =

43

จะได AC′ = AA43 ′

⏐2 – x⏐ =43 ⏐2 – (–5)⏐

4 – 4x + x2 =16441

(4x + 13)(4x – 29) = 0x =

429,

413−

แต )425,

429( , )

431,

413(− , )

431,

429( เปนจุดอยูนอกสวนของเสนตรง

ดังนั้น พิกัดของจุด C คือ (425,

413− )


1. (1) m = 0206

−− = 3

(2) m = 0206

−−− = –3

(3) m = 51237−− =

74

(4) m = 0304

−−−− =

34

(5) m = 35)8(7

−−−− =

815−

(6) m = )1t(t2

s3s+−−− =

1t3−− =

t13−

ลาก CD และ BA′ ขนานกับแกน Xตัดกับ AA′ ซ่ึงลากขนานกับแกน Y ที่จุด D และ A′ตามลําดับ

จะไดพิกัดของจุด D คือ (2, y)พิกัดของจุด A′ คือ (2, 6)

∆ AA′B คลายกับ ∆ ADCดังนั้น

AAAD

′=

ABAC

แตABAC =

43

จะได AD = AA43 ′

⏐7 – y⏐ = )67(43 −

y =425 ,

431






พ.ศ. ๒๕๔๗



204

2. (1) P(5, 2) และ Q(x, 6) ; m = 4 m =

)xx()yy(

12

12

−−

4 = )5x()26(

−−

4(x – 5) = 44x – 20 = 4 4x = 24 x = 6

(2) P(4, x) และ Q(–3, 1) ; m = 21

m =)xx()yy(

12

12

−−

21 =

)43()x1(

−−−

21 =

7)x1(

−−

27− = 1 – x

x = 1 + 27

x = 29

(3) P(6, –3) และ Q(9, x) ; m = 32−

m =)xx()yy(

12

12

−−

32− =

)69())3(x(

−−−

–2 = x + 3 x = –5

(4) P(x, 12) และ Q(5, 12) ; m = 0 m =

)xx()yy(

12

12

−−

0 =)x5()1212(

−−

ดังนั้น x คือ จํานวนจริงใด ๆ ยกเวน 5






พ.ศ. ๒๕๔๗



205

(5) P(1, x) และ Q(4, 3) ; m = 34

m =)xx()yy(

12

12

−−

34 =

)14()x3(

−−

4 = 3 – xx = –1

3. m =)xx()yy(

12

12

−−

m =ab

)ba

ab(

−

−

=)ab(

abab 22

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

=)ab(ab

)ab)(ab(−+−

=ab

ab+

4.

พิจารณาดาน ABความยาวของ AB = 22 )107()25( −+−

= 99+

= 18

= 23 หนวยความชันของ AB =

)25()107(

−− = –1

Y

10

5

10 X0

A(2, 10)

B(5, 7)

C(2, 4)






พ.ศ. ๒๕๔๗



206

พิจารณาดาน BCความยาวของ BC = 22 )47()25( −+−

= 99+

= 18

= 23 หนวยความชันของ BC =

)25()47(

−− = 1

พิจารณาดาน ACความยาวของ AC = 22 )410()22( −+−

= 360+

= 6 หนวยความชันของ AC =

)22()410(

−−

=06

ดังนั้น เสนตรง AC ไมมีความชัน เพราะไมนิยาม

5.

จะไดวา ส่ีเหล่ียม PQRS เปนรูปสี่เหล่ียมดานขนานดังนั้น เสนตรงที่แบงพื้นที่ส่ีเหล่ียมดานขนาน PQRS ออกเปนรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีพื้นที่เทากัน คือ เสนทแยงมุม PR และ QSความชันของ PR =

)6(141−−−−− =

55− = –1

ความชันของ QS =)8(1)1(4

−−−− =

95

Y

5

-10

P(-6, 4) Q(1, 4)

S(-8, -1) R(-1, -1)X0






พ.ศ. ๒๕๔๗



207

6.

จากโจทย พื้นที่ของรูปสี่เหล่ียมคางหมู ABCD = 24 ตารางหนวยพื้นที่ของรูปสี่เหล่ียมคางหมู =

21 × ผลบวกของดานคูขนาน × สูง

24 =21 × (AB + CD) × AD ---------- (1)

ความยาวของ AB = 22 ))2(2()26 ( −−−+−− = 64 = 8 หนวยจากโจทย ดาน AB เปนฐานที่ยาวเปน 2 เทาของดานคูขนาน DCจะไดวา AB = 2DC = 8 หนวยดังนั้น DC = 4 หนวยแทนคา AB = 8 หนวย และ DC = 4 หนวย ลงใน (1)จะได 24 =

21 × (8 + 4) × AD

24 =21 × 12 × AD

AD = 4 หนวย

ใหจุด D มีพิกัด (– 6, y)ดังนั้น AD = 22 )2y()66 ( +++−

4 = 2)2y( +

y = 2, – 6ดังนั้น จุด D มีพิกัด (– 6, 2) หรือ (– 6, – 6)ดังนั้น จุด C มีพิกัด (–2, 2) หรือ (–2, – 6)

5

-5

-10 X

Y

B(2, -2)

C(-2, 2)D(-6, 2)

A(-6, -2)

D(-6, -6) C(-2, -6)






พ.ศ. ๒๕๔๗



208

หาความชันของ BC ไดโดยกรณีที่ 1 C มีพิกัด (–2, –6) ความชันของ BC =

)22()2(6

−−−−−

= 44

−−

= 1

กรณีที่ 2 C มีพิกัด (–2, 2) ความชันของ BC = )2(2

22−−−−

= 44−

= –1


1. ความชันของเสนตรงที่ผานจุด (–2, – 4) และ (3, 3) คือ 3234

−−−− =

57

ความชันของเสนตรงที่ผานจุด (1, –2) และ (6, 5) คือ 6152

−−− =

57

จะเห็นวา ความชันของเสนตรงทั้งสองเทากัน แสดงวา เสนตรงทั้งสองขนานกัน

2. เนื่องจากเสนตรงสองเสนขนานกันความชันจึงเทากัน เทากับ 12

12

xxyy

−− , x1 ≠ x2

3. เนื่องจากเสนตรงสองเสนขนานกันความชันจึงเทากัน

k372

−−−− =

3124

−−−

k = 0

4. ใหความชันของเสนตรงที่ผานจุด (–2, –1) และ (1, 0) เปน m1

m1 =1201−−−− =

31

ใหความชันของเสนตรงที่ผานจุด (4, 3) และ (1, 2) เปน m2

m2 =1423−− =

31

42

-25 X

Y

(4, 3)(1, 2)

(1, 0)(-2, -1)






พ.ศ. ๒๕๔๗



209

ใหความชันของเสนตรงที่ผานจุด (1, 0) และ (4, 3) เปน m3

m3 =4130

−− = 1

ใหความชันของเสนตรงที่ผานจุด (–2, –1) และ (1, 2) เปน m4

m4 =1221−−−− = 1

จะเห็นวา m1 = m2 และ m3 = m4

ดังนั้น (–2, –1), (1, 0), (4, 3) และ (1, 2) เปนจุดยอดของรูปสี่เหล่ียมดานขนาน

5. ความชันของเสนตรงที่ผานจุด (1, 2), (6, 7) เทากับ 1627

−− = 1

ความชันของเสนตรงที่ผานจุด (1, 2), (–3, 4) เทากับ 13

24−−− =

21−

จะเห็นวาความชันของเสนตรงทั้งสองไมเทากันดังนั้น จุด (1, 2), (6, 7) และ (–3, 4) ไมอยูบนเสนตรงเดียวกัน

6. จุดทั้งสามจะอยูบนเสนตรงเดียวกันได เมื่อความชันของเสนตรงที่ผานจุด (b, 6), (–1, 4) และความชันของเสนตรงที่ผานจุด (–1, 4), (– 4, 2) มีคาเทากันดังนั้น จะไดวา

)1(b

46−−− =

)4(124

−−−−

b = 2

7. เสนตรงที่ผานจุด (p, q + r) และ (q, r + p) มีความชันเทากับ

qp)pr()rq(

−+−+ =

qppq

−− =

)qp(qp−−− = –1

เสนตรงที่ผานจุด (p, q + r) และ (r, p + q) มีความชันเทากับ

rp)qp()rq(

−+−+ =

rppr−− =

)pr(pr−−− = –1

เสนตรงที่ผานจุด (q, r + p) และ (r, p + q) มีความชันเทากับ

rq)qp()pr(

−+−+ =

rqqr−− =

)qr(qr−−− = –1

ดังนั้น จุด (p, q + r) + (q, r + p) และ (r, p + q) อยูบนเสนตรงเดียวกัน






พ.ศ. ๒๕๔๗



210

8. ความชันของเสนตรง AB =)6(6

66−−− = 0

ความชันของเสนตรง CD =612

)6(0−−− = 1

ความชันของเสนตรง BC = 61260−− = –1

ความชันของเสนตรง AD =)6(6

66−−−− = –1

จะเห็นวา เสนตรง BC และเสนตรง AD มีความชันเทากันดังนั้น มีดาน BC ขนานกับดาน AD เพียงคูเดียวนั่นคือ A(–6, 6), B(6, 6), C(12, 0)และ D(6, –6) เปนจุดยอดของรูปสี่เหล่ียมคางหมู

9. ใหจุด A, B, C และ D เปนจุดกึ่งกลางของดาน PQ, QR, RS และ SPดังนั้น หาพิกัดของจุดกึ่งกลางทั้งสี่ไดดังนี้A = )

262,

213( ++− = (–1, 4)

B = )2

46,2

51( ++ = (3, 5)C = )

204,

235( ++ = (4, 2)

D = )2

20,2

33( +− = (0, 1)ความชันของดาน AB เทากับ

3154−−− =

41

ความชันของดาน BC เทากับ 4325

−− = –3

ความชันของดาน CD เทากับ 0412

−− =

41

ความชันของดาน DA เทากับ 1041+− = –3

จะเห็นวา ความชันของดาน AB = ความชันของดาน CDและ ความชันของดาน BC = ความชันของดาน DAดังนั้น จุดกึ่งกลางของดานทั้งสี่ของรูปสี่เหล่ียม PQRS เปนจุดยอดของรูปสี่เหล่ียมดานขนาน

10. ให ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมคางหมูที่มีดาน AB // DCเพื่อความสะดวกใหจุด A มีพิกัดเปน (0, 0)จุด B อยูบนแกน X มีพิกัดเปน (a, 0)จุด C มีพิกัด (b, c)จุด D มีพิกัด (d, c)

10

5

-5

-10

-10 10 X

Y

B(6, 6)

C(12, 0)

D(6, -6)

A(-6, 6)

X

Y

)2c,

2d(

A(0, 0) B(a, 0)

C(b, c)D(d , c)

)2c,

2ba( +

8

6

42

-2-5 5 X

Y

Q(1, 6)B(3, 5)

R(5, 4)

C(4, 2)

S(3, 0)D(0, 1)

P(-3, 2)

A(-1, 4)






พ.ศ. ๒๕๔๗



211

เนื่องจากความชันของดาน AB เทากับ 0 และ AB // DCดังนั้น ความชันของดาน DC เทากับ 0จะได จุดกึ่งกลางระหวางจุด A(0, 0) และ D(d, c) คือ )

2c,

2d(

จุดกึ่งกลางระหวางจุด B(a, 0) และ C(b, c) คือ )2c,

2ba( +

ความชันของเสนตรงที่ผานจุด )2c,

2d( และ )

2c,

2ba( + เทากับ 0

นั่นคือ เสนตรงที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของดานที่ไมใชดานคูขนานของสี่เหล่ียมคางหมูจะขนานกับดาน คูขนาน

11. ให A(0, 0), B(x1, 0), C(x2, y2) และ D(x3, y3)เปนจุดยอดของรูปสี่เหล่ียมใด ๆP เปนจุดกึ่งกลางของดาน AB มีพิกัดเปน )0,

2x

( 1

Q เปนจุดกึ่งกลางของดาน BC มีพิกัดเปน )2

y,

2xx

( 221 +

R เปนจุดกึ่งกลางของดาน CD มีพิกัดเปน )2

yy,

2xx

( 3232 ++

S เปนจุดกึ่งกลางของดาน AD มีพิกัดเปน )2

y,

2x

( 33

ความชันของเสนตรง PQ =2x

2

x x

0 2

y

121

2

−+

−=

2

2

xy

ความชันของเสนตรง RS =2

x

2x x

2y

2

y y

332

332

−+

−+

=2

2

xy

ดังนั้น เสนตรง PQ ขนานกับเสนตรง RS

R

SA(0, 0) X

Y

P

Q

C(x2, y2)

B(x1, 0)

D(x3, y3)






พ.ศ. ๒๕๔๗



212

ความชันของเสนตรง QR =2

x x

2x x

2y

2

y y

2132

232

+−

+

−+

=13

3

x xy−

ความชันของเสนตรง PS =2x

2

x

0 2

y

13

3

−

−=

13

3

x xy−

ดังนั้น เสนตรง PS ขนานกับเสนตรง QRแสดงวา P, Q, R และ S เปนจุดยอดของรูปสี่เหล่ียมดานขนาน PQRS


1. ให m เปนความชันของเสนตรงที่ตั้งฉากกับเสนตรง lจะได m

43× = –1

m =34−

2. ให m1 เปนความชันของเสนตรงที่ตั้งฉากกับเสนตรง lจะได 1m

mk × = –1

m1 =km−

3. ใหเสนตรงซึ่งผานจุด (3, 4) และ (–3, –5) มีความชันเทากับ m

m =3345

−−−− =

69

−− =

23

ใหความชันของเสนตรงที่ตั้งฉากกับเสนตรงที่ผานจุด (3, 4) และ (–3, –5) คือ m1

ดังนั้น m⋅m1 = –1

23 ⋅m1 = –1

m1 =32−






พ.ศ. ๒๕๔๗



213

4. ใหความชันของเสนตรงซึ่งผานจุด (4, 3) และ (–3, –5) คือ mm =

4335

−−−− =

78

−− =

78

ใหความชันของเสนตรงซึ่งผานจุด (–2, –3) และ (–8, 2) คือ m1

m1 =)8(2

23−−−−− =

65−

ดังนั้น m⋅m1 =78

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

65 =

4240− =

2120−

จะเห็นวา m⋅m1 ≠ –1 ดังนั้น เสนตรงสองเสนนี้ไมตั้งฉากกัน

5. ความชันของเสนตรงที่ผานจุด O (0, 0) และ P(a, b) คือ m1 = ab

ความชันของเสนตรงที่ผานจุด O (0, 0) และ Q(–b, a) คือ m2 = b

a−

จะได m1⋅m2 = –1 แสดงวา สวนของเสนตรง OP ตั้งฉากกับสวนของเสนตรง OQ

6. ให P1(1, 6), P2(8, 8) และ P3(–7, 2) เปนจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมm1 = ความชันของ P1P2 =

8186

−− =

72

m2 = ความชันของ P2P3 =7828

+− =

156 =

52

m3 = ความชันของ P1P3 =7126

+− =

84 =

21

พิจารณา m1m2 =52

72× =

354 ≠ –1

m2m3 =21

52× =

51 ≠ –1

m1m3 =21

72× =

71 ≠ –1

แสดงวา จุด (1, 6), (8, 8) และ (–7, 2) ไมเปนจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

7. ให m เปนความชันของเสนตรง ซ่ึงผานจุด (k, 7) และ (–3, –2)m =

k372

−−−−

=k3

9−−−

ให m1 เปนความชันของเสนตรงซึ่งผานจุด (3, 2) และ (1, – 4)m1 =

3124

−−− =

26

−− = 3






พ.ศ. ๒๕๔๗



214

เนื่องจากเสนตรงทั้งสองเสนตั้งฉากกันดังนั้นm⋅m1 = –1

k39−−− ⋅3 = –1

)k3(27+−

− = –1

–27 = 3 + kk = –30

8. เสนทแยงมุมทั้งสองของรูปสี่เหล่ียม คือ เสนตรงที่ผานจุด (2, 5) และ (6, 9) กับเสนตรงที่ผานจุด(2, 9) และ (6, 5) ดังรูป

ใหความชันของเสนทแยงมุมที่ผานจุด (2, 5) และ (6, 9) เปน m1 ซ่ึงเทากับ 2659

−− = 1

ใหความชันของเสนทแยงมุมที่ผานจุด (2, 9) และ (6, 5) เปน m2 ซ่ึงเทากับ 2695

−− = –1

จะเห็นวา m1⋅m2 = –1ดังนั้น เสนทแยงมุมทั้งสองตั้งฉากซึ่งกันและกัน

9. ให A, B, C และ D เปนจุดยอดของรูปสี่เหล่ียมซ่ึงมีพิกัดเปน (2, 1), (6, 4), (3, 8) และ (–1, 5)ตามลําดับ

AB = 22 )41()62( −+− = 5BC = 22 )84()36( −+− = 5CD = 22 )58()13( −++ = 5AD = 22 )51()12( −++ = 5

0

10

2X

Y

468

2 4 6 8

(2, 9) (6, 9)

(2, 5) (6, 5)






พ.ศ. ๒๕๔๗



215

ดังนั้น ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมดานเทาความชันของดาน AB = m1 =

2614

−− =

43

ความชันของดาน BC = m2 = 6348

−− =

34−

m1m2 = 43 (

34− ) = –1

นั่นคือ AB ⊥ BCในทํานองเดียวกันจะแสดงไดวา BC ⊥ CD , CD ⊥ AD และ DA ⊥ ABดังนั้น ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสพื้นที่ของ ABCD = 5 × 5 = 25 ตารางหนวย

10. (1) กําหนดจุด A(–5, 4), B(4, 9), C(9, 0) และ D(0, –5)AB = 22 )94()45( −+−− = 106

BC = 22 )90()49( −+− = 106

CD = 22 )50()09( ++− = 106

AD = 22 )45()50( −−++ = 106

ดังนั้น ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมดานเทา(2) ความชันของดาน AB = m1 =

)5(449−−− =

95

ความชันของดาน BC = m2 = 4990

−− =

59−

m1m2 = 95 (

59− ) = –1

ดังนั้น AB และ BC ตั้งฉากกันในทํานองเดียวกัน จะแสดงไดวา BC ⊥ CD , CD ⊥ AD และ DA ⊥ AB

เนื่องจาก ABCD มีดานทั้ง 4 ยาวเทากัน และมีมุมทุกมุมเปนมุมฉากดังนั้น ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส

11. (1) กําหนดจุด A(6, 8), B(5, 4), C(3, 6) และ D(4, 10)ให m1 = ความชันของดาน AB =

5648

−− = 4

m2 = ความชันของดาน CD =43

106−− =

14−− = 4

m3 = ความชันของดาน BC =3564

−− =

22− = –1

m4 = ความชันของดาน AD =46

108−− =

22− = –1






พ.ศ. ๒๕๔๗



216

จะได AB ขนานกับ CD และ BC ขนานกับ AD

ดังนั้น ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมดานขนาน(2) เพราะ m1m3 = 4(–1) = – 4ดังนั้น AB ไมตั้งฉากกับ BC

นั่นคือ ABCD ไมเปนรูปสี่เหล่ียมมุมฉาก

12. จากรูปใหพิกัดของจุดยอดของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส

ABCD คือ A(0, 0), B(x1, 0), C(x1, y1) และ D(0, y1)ดังนั้น ความชันของเสนทแยงมุม AC =

1

1

x0y0

−−

= 1

1

xy = m1

และ ความชันของเสนทแยงมุม BD = 1

1

x00y

−−

= 1

1

xy− = m2

m1m2 = 1

1

xy (

1

1

xy− ) = 2

1

21

xy−

แต y1 = x1 เพราะ ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสดังนั้น m1m2 = –1นั่นคือ เสนทแยงมุมของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส ABCD ตัดกันเปนมุมฉาก

13. ให A(0, 0), B(a, 0) และ C(b, c) เปนจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม และ D(x1, y1), E(x2, y2) เปนจุดกึ่งกลางของดาน BC, AC ตามลําดับเพราะวา x1 =

2ba+ , y1 =

2c

ดังนั้น D มีพิกัดเปน )2c,

2ba( +

x2 = 2b , y2 =

2c

ดังนั้น E มีพิกัดเปน )2c,

2b(

แตเสนมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมเทากัน 2 เสน นั่นคือ AD = BEหรือ 22 )

2c()

2ba( ++ = 22 )

2c()a

2b( +−

X

Y

C(x1, y1)

B(x1, 0)

D(0, y1)

A(0, 0)

X

Y

D(x1, y1)E(x2, y2)

C(b, c)

B(a , 0)A(0, 0)






พ.ศ. ๒๕๔๗



217

จะได b =2a

ดังนั้น AC = 22 cb + = 22

c4

a +

BC = 22 c)ab( +− = 22 c)a2a( +− = 2

2c

4a +

จะเห็นวา สามเหลี่ยม ABC มีดานยาวเทากัน 2 ดานดังนั้น ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว


1. (1) ไมเปน (2) ไมเปน (3) เปน (4) เปน (5) ไมเปน2. (1) {(x, y) ∈ R × R⏐y =

73 }

(2) {(x, y) ∈ R × R⏐x = 32− }

(3) {(x, y) ∈ R × R⏐y = 7 หรือ y = –1}(4) {(x, y) ∈ R × R⏐x = 3 หรือ x = –7}

3.ความชัน ระยะตัดแกน X ระยะตัดแกน Y

(1)32

27

37

−

(2)45−

52

21

(3)41 –5

45

(4)23−

37

−27

−

(5) 55

11 –11

(6)169 32 –18

(7) 1 0 0(8) 0 ไมตัดแกน X

23

−

(9) ไมมีความชัน 4 ไมตัดแกน Y(10)

32−

27

37






พ.ศ. ๒๕๔๗



218

4. เสนตรง 3y = 2x – 6 มีความชันเทากับ 32

เสนตรง y = 1x32 + มีความชันเทากับ

32

ดังนั้น เสนตรง 3y = 2x – 6 ขนานกับเสนตรง y = 32 x + 1

5. ใหเสนตรง 2x + y = 8 มีความชันเทากับ –2ใหเสนตรง y = 5x

21 − มีความชันเทากับ

21

แต (–2)(21 ) = –1

ดังนั้น เสนตรง 2x + y = 8 ตั้งฉากกับเสนตรง y = 5x21 −

6. เสนตรง x + 2y + 12 = 0 มีความชันเทากับ 21−

ดังนั้น สมการเสนตรงที่ผานจุด (7, 5) และขนานกับเสนตรง x + 2y + 12 = 0 คือ(y – 5) = )7x(

21 −−

y – 5 =2x− +

27

y2x + =

27 + 5

y2x + =

217

x + 2y – 17 = 0

7. เสนตรง 3x – 2y + 12 = 0 มีความชันเทากับ 23

ดังนั้น สมการเสนตรงที่ผานจุด (3, 2) และตั้งฉากกับเสนตรง 3x – 2y + 12 = 0 จะมีความชันเทากับ mโดยที่

23m⋅ = –1

m =32−

และมีสมการคือ (y – 2) = )3x(32 −−

y – 2 = 23x2 +−

3y – 6 = –2x + 6 2x + 3y – 12 = 0






พ.ศ. ๒๕๔๗



219

8. จุดที่เสนตรง 2x – 3y + 1 = 0 ตัดแกน X คือจุด )0,21(−

จุดที่เสนตรง 2x – 3y + 1 = 0 ตัดแกน Y คือจุด )31,0(

จุดที่เสนตรง x + y – 2 = 0 ตัดแกน X คือจุด (2, 0)จุดที่เสนตรง x + y – 2 = 0 ตัดแกน Y คือจุด (0, 2)เขียนกราฟไดดังนี้

หาจุดตัดของเสนตรงทั้งสองโดยการแกสมการไดดังนี้2x – 3y + 1 = 0 ---------- (1)x + y – 2 = 0 ---------- (2)

จาก (2) x = 2 – y ---------- (3)แทนคา (3) ลงใน (1)

2(2 – y) – 3y + 1 = 04 – 2y – 3y + 1 = 04 – 5y + 1 = 0

y = 1แทนคา y = 1 ลงใน (2) จะได

x + 1 – 2 = 0 x = 1

ดังนั้น จุดตัดของเสนตรงทั้งสองคือ จุด (1, 1)

4

2

-2

2 4-2-4 X

Y

2x - 3y + 1 = 0

x + y - 2 = 0






พ.ศ. ๒๕๔๗



220

9. (1) เสนตรงที่ผานจุด (1, 2) และ (–3, 4) มีความชันm =

1324−−−

=21−

ดังนั้น สมการเสนตรงที่ผานจุด (–1, 0) และมีความชันเทากับ 21− คือ

(y – 0) = )1x(21 +−

y =21

2x −−

x + 2y + 1 = 0เขียนความสัมพันธไดดังนี้ {(x, y)⏐x + 2y + 1 = 0}

(2) ใหความชันของเสนตรงที่ตั้งฉากกับเสนตรงที่ผานจุด (–1, 3) และ (–2, –2) มีความชันเปน m1

m =1232

+−−− = 5

m⋅m1 = 5⋅m1 = –1∴ m1 =

51−

ดังนั้น สมการเสนตรงที่ผานจุด (–1, – 4) และมีความชันเทากับ 51− คือ

(y + 4) =51− (x + 1)

y + 4 =51

5x −−

5y + 20 = –x – 1 x + 5y +21 = 0

เขียนความสัมพันธไดดังนี้ {(x, y)⏐x + 5y + 21 = 0}

(3) Y

X(2, 0) (6, 0)






พ.ศ. ๒๕๔๗



221

ดังนั้น จุดทุกจุดบนเสนตรงที่อยูหางจากจุด (6, 0) และ (2, 0) เปนระยะทางเทากันคือ เสนตรงที่ขนานกับแกน Y และตัดแกน X ที่จุด (4, 0)เขียนความสัมพันธไดดังนี้ {(x, y)⏐x = 4}

10. จากโจทย เสนตรงที่ตองการ ตั้งฉากกับเสนตรง x – 7y – 11 = 0หาความชันของเสนตรงที่ตองการไดโดย

m =BA− =

71

−− =

71

m⋅m1 = –1

71 ⋅m1 = –1m1 = –7

ดังนั้น ความชันของเสนตรงที่ตองการคือ –7จุดที่เสนตรงนี้ผานคือจุดตัดระหวางเสนตรง x – 7y – 11 = 0 กับเสนตรง 3x + 5y – 7 = 0

x – 7y – 11 = 0 ---------- (1)3x + 5y – 7 = 0 ---------- (2)

(1) × 3 3x – 21y – 33 = 0 ---------- (3)(2) – (3) 26y + 26 = 0 ---------- (4)

y = –1แทนคา y = –1 ลงใน (1) จะได

x + 7 – 11 = 0x = 4

ดังนั้น จุดที่เสนตรงนี้ผานคือ จุด (4, –1)ดังนั้น สมการเสนตรงที่ตองการคือ

(y + 1) = –7(x – 4)y + 1 = –7x + 287x + y – 27 = 0






พ.ศ. ๒๕๔๗



222

11.

จากรูปใหระยะระหวางจุด (0, 0) และ (4, 0) เปนฐานของรูปสามเหลี่ยม ฐานของรูปสามเหลี่ยม

ยาว 4 หนวยพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม =

21 × ฐาน × สูง

4 =21 × 4⏐y⏐

⏐y⏐ = 2y = 2 หรือ –2

คูอันดับที่ตองการคือ สมาชิกของเซต {(x, y)⏐y = –2 หรือ y = 2, x ∈ R}

12. ความชันของเสนตรง 5x – 3y + 17 = 0 คือ m1 = 35

ความชันของเสนตรง 3x + 5y – 6 = 0 คือ m2 = 53−

ความชันของเสนตรง 5x – 3y – 8 = 0 คือ m3 = 35

ความชันของเสนตรง 3x + 5y + 4 = 0 คือ m4 = 53

−

จะเห็นวา m1 = m3 และ m2 = m4

แสดงวา เสนตรงซึ่งมีสมการเปน 5x – 3y + 17 = 0 กับ 5x – 3y – 8 = 0 ขนานกันและเสนตรงซึ่งมีสมการเปน 3x + 5y – 6 = 0 กับ 3x + 5y + 4 = 0 ขนานกันพิจารณา m1m2 = )

53)(

35( − = –1

ในทํานองเดียวกัน จะได m2m3 = m3m4 = m4m1 = –1แสดงวา เสนตรงที่มีความชัน m3 ตั้งฉากกับเสนตรงที่มีความชัน m2 และ m4

เสนตรงที่มีความชัน m1 ตั้งฉากกับเสนตรงที่มีความชัน m2 และ m4

ดังนั้น 5x – 3y + 17 = 0, 3x + 5y – 6 = 0, 5x – 3y – 8 = 0และ 3x + 5y + 4 = 0 เปนดานของรูปสี่เหล่ียมผืนผา

2 40A B X

Y






พ.ศ. ๒๕๔๗



223

13. เสนตรง ax + by = d1 มีความชันเทากับ ba−

เสนตรง ax + by = d2 มีความชันเทากับ ba−

ดังนั้น เสนตรง ax + by = d1 ขนานกับเสนตรง ax + by = d2


1. (1) d = 22 )8(6

4)3(8)2(6

−+

+−−

= 4 หนวย

(2) d = 22 34

8)6(3)0(4

+

−+

= 2 หนวย

(3) d = 22 32

13)0(3)0(2

+

−+

= 13

13 = 13 หนวย

(4) d = 22 57

1)11(5)8(7

+

−−

= 0 หนวย

(5) d = 21

11−

= 0 หนวย

2. (1) เลือกจุดบนเสนตรง 3x + 4y – 7 = 0 มาหนึ่งจุด เชน (1, 1)หาระยะทางระหวางเสนตรง 3x + 4y + 3 = 0 กับจุด (1, 1)

d =22 43

3)1(4)1(3

+

++

= 2 หนวย






พ.ศ. ๒๕๔๗



224

(2) เลือกจุดบนเสนตรง 3x – 4y – 7 = 0 มาหนึ่งจุด เชน (1, –1)หาระยะทางระหวางเสนตรง 6x – 8y + 16 = 0 กับจุด (1, –1)

d =22 )8(6

16)1(8)1(6

−+

+−−

= 3 หนวย

(3) เลือกจุดบนเสนตรง 5x + 12y – 15 = 0 มาหนึ่งจุด เชน (3, 0)หาระยะทางระหวางเสนตรง 10x + 24y + 9 = 0 กับจุด (3, 0)

d =22 2410

9)0(24)3(10

+

++

=23 หนวย

(4) เลือกจุดบนเสนตรง x – y – 3 = 0 มาหนึ่งจุด เชน (3, 0)หาระยะทางระหวางเสนตรง 3x – 3y + 7 = 0 กับจุด (3, 0)

d =22 )3(3

7)0(3)3(3

−+

+−

=23

16 =3

28 หนวย

(5) เลือกจุดบนเสนตรง 3x + y + 5 = 0 มาหนึ่งจุด เชน (0, –5)หาระยะทางระหวางเสนตรง 7 – 3x – y = 0 กับจุด (0, –5)

d =22 )1()3(

)5()0(37

−+−

−−−

=10

12 =5106 หนวย

3. ให y = mx + c เปนสมการของเสนตรงที่ตองการหาแตเสนตรงนี้ขนานกับเสนตรง 3x – 4y – 5 = 0 จะได m =

43

ดังนั้น สมการของเสนตรงนี้คือ y = cx43 + หรือ cyx

43 +− = 0

จากสมการ 3x – 4y – 5 = 0 เมื่อ y = 0 จะได x = 35






พ.ศ. ๒๕๔๗



225

จะได (35 , 0) เปนจุดอยูบนเสนตรง 3x – 4y – 5 = 0

ดังนั้นจุด (35 , 0) อยูหางจากเสนตรง cyx

43 +− = 0 เปนระยะ 1 หนวย

จากสูตร d =22

11

BA

CByAx

+

++

ในที่นี้ d = 1, A = 43 , B = –1, x1 =

35 , y1 = 0

จะได 1 =1

169

c)0)(1()35)(

43(

+

+−+

45 = c

45 +

C = 0, 25−

ดังนั้น สมการเสนตรงที่ตองการคือ y = 43 x หรือ y =

43 x

25−

4. สมการเสนตรงที่ขนานกับเสนตรง 4x – 3y + 26 = 0 คือ 4x – 3y + c = 0หาคา c โดย

2 =22 )3(4

c)8(3)8(4

−+

+−

10 = c8+

ดังนั้น c = 2 หรือ –18ดังนั้น สมการเสนตรงที่ตองการคือ 4x – 3y + 2 = 0 หรือ 4x – 3y – 18 = 0

5. สมการเสนตรงที่ตั้งฉากกับเสนตรง 12y = 5x – 7 คือ 12x + 5y + c = 0หาคา c โดย

3 =22 5)12(

c)2(5)1(12

+

++−

39 = c2+−

c = -37 หรือ 41ดังนั้น สมการที่ตองการคือ 12x + 5y – 37 = 0 หรือ 12x + 5y + 41 = 0






พ.ศ. ๒๕๔๗



226

6. สมการของเสนขนานคูนั้นคือ 12x – 5y + c = 0 และ 12x – 5y + c1 = 0 ซ่ึงอยูหางกัน 8 หนวยจากโจทย เสนตรง 12x – 5y – 10 = 0 อยูกึ่งกลางระหวางเสนขนานดังนั้น เสนขนานคูนั้นจะหางจากเสนตรง 12x – 5y – 10 = 0 เปนระยะทาง 4 หนวยเลือกจุดที่อยูบนเสนตรง 12x – 5y – 10 = 0 มาหนึ่งจุด เชน (0, –2)หาคา c ไดโดย

4 =22 )5(12

c)2(5)0(12

−+

+−−

52 = c10+

ดังนั้น c = 42, –62ดังนั้น เสนขนานคูนั้นมีสมการเปน 12x – 5y + 42 = 0 และ 12x – 5y – 62 = 0


1. (1) แทนคา r = 3 h = 2 และ k = –1 ลงในสมการมาตรฐาน จะได(x – 2)2 + (y + 1)2 = 9

(2) แทนคา (h, k) = (0, 0) จะไดx2 + y2 = r2

แทนคา (x, y) = (7, 4) จะไดr2 = 49 + 16 = 65

ดังนั้น สมการวงกลมที่ตองการคือx2 + y2 = 65

(3) แทนคา (h, k) = (–1, 5) จะได(x + 1)2 + (y – 5)2 = r2

แทนคา (x, y) = (– 4, – 6) จะไดr2 = (– 4 + 1)2 + (– 6 – 5)2 = 130

ดังนั้น สมการวงกลมที่ตองการคือ(x + 1)2 + (y – 5)2 = 130






พ.ศ. ๒๕๔๗



227

(4) ดังนั้น จุดศูนยกลาง คือ (h, k) = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++−

2)5(3,

271 = (3, –1)

ดังนั้น จะไดสมการ (x – 3)2 + (y + 1)2 = r2

แทนคา (x, y) = (–1, 3) จะไดr2 = (–1 – 3)2 + (3 + 1)2 = 32

ดังนั้น สมการวงกลม คือ(x – 3)2 + (y + 1)2 = 32

(5) เนื่องจากรัศมีของวงกลมคือ ระยะหางระหวางเสนสัมผัส y = 0 กับจุดศูนยกลางของวงกลม∴ r =

22 01

0)3(1)7(0

+

+−+ = 3

จะได สมการวงกลมที่ตองการคือ(x – 7)2 + (y + 3)2 = 9

(6) เนื่องจากรัศมีของวงกลมคือ ระยะหางระหวางเสนสัมผัส x = 0 กับจุดศูนยกลางของวงกลม (h, k)

22 01

0)k(0)h(1

+

++ = 5

∴ h = 5เนื่องจากวงกลมอยูในควอดรันตที่ 1 จะได

h = h = 5และ

22 10

0)k(1)h(0

+

++ = 5

∴ k = k = 5ดังนั้น สมการวงกลมคือ

(x – 5)2 + (y – 5)2 = 25

2. (1) x2 + y2 + 4x – 2y + 1 = 0(x2 + 4x) + (y2 – 2y) = –1(x2 + 4x + 4) + (y2 – 2y + 1) = –1 + 4 + 1(x + 2)2 + (y – 1)2 = 4จะไดวา สมการที่กําหนดใหเปนสมการของวงกลมที่มีจุดศูนยกลาง (–2, 1) และรัศมี 2 หนวย






พ.ศ. ๒๕๔๗



228

(2) x2 + y2 + y = 0x2 + (y2 + y) = 0x2 + (y2 + y +

41 ) =

41

x2 + (y + 21 )2 =

41

จะไดวา สมการที่กําหนดใหเปนสมการของวงกลมที่มีจุดศูนยกลาง (0, –21 ) และรัศมี

21 หนวย

(3) x2 + y2 + 10x – 4y + 13 = 0(x2 + 10x) + (y2 – 4y) = –13(x2 + 10x + 25) + (y2 – 4y + 4) = –13 + 25 + 4(x + 5)2 + (y – 2)2 = 16จะไดวา สมการที่กําหนดใหเปนสมการของวงกลมที่มีจุดศูนยกลาง (–5, 2) และรัศมี 4 หนวย

(4) x2 + y2 + x + 2y + 1 = 0(x2 + x) + (y2 + 2y) = –1(x2 + x +

41 ) + (y2 + 2y + 1) = –1 +

41 + 1

(x + 21 )2 + (y + 1)2 =

41

จะไดวา สมการที่กําหนดใหเปนสมการของวงกลมที่มีจุดศูนยกลาง )1,21( −− และรัศมี

21 หนวย

(5) x2 + y2 + 6x + 2 = 0(x2 + 6x) + (y2) = –2(x2 + 6x + 9) + y2 = –2 + 9(x + 3)2 + y2 = 7จะไดวา สมการที่กําหนดใหเปนสมการของวงกลมที่มีจุดศูนยกลาง (–3, 0) และรัศมี 7 หนวย

(6) x2 + y2 – 21 x +

21 y –

81 = 0

(x2 – 21 x) + (y2 +

21 y) =

81

(x2 – 21 x +

161 ) + (y2 +

21 y +

161 ) =

81 +

161 +

161

(x – 41 )2 + (y +

41 )2 =

41

จะไดวา สมการที่กําหนดใหเปนสมการของวงกลมที่มีจุดศูนยกลาง (41 , –

41 ) และรัศมี

21 หนวย






พ.ศ. ๒๕๔๗



229

3. หารัศมีของวงกลมโดยหาระยะทางจากจุด (–1, 1) ถึงเสนตรง 3x – 2y + 18 = 0

r =22 )2(3

18)1(2)1(3

−+

+−−

= 13 หนวยดังนั้น สมการวงกลม คือ (x + 1)2 + (y – 1)2 = 13

4. x2 + y2 – x – 3y = 0 ---------- (1)x + y = 1 ---------- (2)x = 1 – y ---------- (3)แทนคา (3) ลงใน (1)(1 – y)2 + y2 – (1 – y) – 3y = 01 – 2y + y2 + y2 – 1 + y – 3y = 02y2 – 4y = 02y(y – 2) = 0

y = 0, 2แทนคา y = 0 ใน (3) ได x = 1

y = 2 ใน (3) ได x = –1ดังนั้น จุดตัดระหวางกราฟ x + y = 1 และ x2 + y2 – x – 3y = 0 คือ (1, 0) และ (–1, 2)

5. (1) {(x, y)⏐x2 + y2 ≤ 4}

X

Y

(0, 2)

(2, 0)

(0, -2)

(-2, 0)






พ.ศ. ๒๕๔๗



230

(2) {(x, y)⏐x2 + y2 > 9}

6. x2 + y2 – 4y – 12 = 0x2 + (y2 – 4y) = 12x2 + (y2 – 4y + 4) = 12 + 4x2 + (y – 2)2 = 16

พื้นที่ที่ตองการ = π(4)2 – π(2)2

= π(16 – 4)= 12 π ตารางหนวย

(0, 3)

(3, 0)(-3, 0)

(0, -3)

X

Y

X

(0, 6)

Y

(0, -2)

(0, 2)

(2, 0)(-2, 0)

x2 + y2 – 4y – 12 = 0

x2 + y2 = 4






พ.ศ. ๒๕๔๗



231

7.

พื้นที่ที่ตองการ = 41 π(3)2 =

49 π ตารางหนวย

8. สมการเสนสัมผัสวงกลม x2 + y2 – 10x = 0 ณ จุดที่วงกลมนี้ตัดกับเสนตรง 4x + 3y = 20คือ สมการเสนตรงที่ตั้งฉากกับสมการเสนตรง 4x + 3y = 20 และมีระยะหางจากจุดศูนยกลางของวงกลม (5, 0) เปนระยะทาง 5 หนวย

3x – 4y + c = 0

22 43

c)0(4)5(3

+

+− = 5

c15+ = 25 c = 10, – 40

ดังนั้น สมการเสนตรงที่ตองการคือ 3x – 4y + 10 = 0 และ 3x – 4y – 40 = 0

(0, 3)

(3, 0)(-3, 0)

(0, -3)

X

Y

y = x

x2 + y2 = 9






พ.ศ. ๒๕๔๗



232


1. (1) 125y

9x 22

=+

เนื่องจากตัวหารของ y2 มากกวาตัวหารของ x2 ดังนั้นวงรีมีแกนเอกอยูบนแกน Ya2 = 25, b2 = 9

∴ c2 = 25 – 9 = 16จะได a = 5, b = 3 และ c = 4

จุดยอดของวงรีคือ (0, ±5)โฟกัสของวงรีคือ (0, ±4)ความเยื้องศูนยกลางคือ

54

ความยาวแกนเอกคือ 10ความยาวแกนโทคือ 6

X

Y

(0, 5)F1(0, 4)

(3, 0)

(0, -5)

(-3, 0)

F2(0, -4)






พ.ศ. ๒๕๔๗



233

(2) 116y

25x 22

=+

เนื่องจากตัวหารของ x2 มากกวาตัวหารของ y2 ดังนั้นวงรีมีแกนเอกอยูบนแกน Xa2 = 25, b2 = 16

∴ c2 = 25 – 16 = 9จะได a = 5, b = 4 และ c = 3

จุดยอดของวงรีคือ (±5, 0)โฟกัสของวงรีคือ (±3, 0)ความเยื้องศูนยกลางคือ

53


X

Y

(0, 4)

(-5, 0) (5, 0)

(0, -4)

F1(3, 0)F2(–3, 0)






พ.ศ. ๒๕๔๗



234

(3) 9x2 + 4y2 = 36หารดวย 36 ตลอดทั้งสมการจะได

19y

4x 22

=+

เนื่องจากตัวหารของ y2 มากกวาตัวหารของ x2 ดังนั้นวงรีมีแกนเอกอยูบนแกน Ya2 = 9 และ b2 = 4

∴ c2 = 9 – 4 = 5จะได a = 3, b = 2 และ c = 5

จุดยอดของวงรีคือ (0, ±3)โฟกัสของวงรีคือ (0, ± 5 )ความเยื้องศูนยกลางคือ

35


)5,0(F2 −

)5,0(F1

X

Y

(0, 3)

(0, -3)

(2, 0)(-2, 0)






พ.ศ. ๒๕๔๗



235


14y

25x 22

=+

เนื่องจากตัวหารของ x2 มากกวาตัวหารของ y2 ดังนั้นวงรีมีแกนเอกอยูบนแกน Xa2 = 25 และ b2 = 4

∴ c2 = 25 – 4 = 21จะได a = 5, b = 2 และ c = 21

จุดยอดของวงรีคือ (±5, 0)โฟกัสของวงรีคือ (± 21 , 0)ความเยื้องศูนยกลางคือ

521


)0,21(F2 − )0,21(F1X

Y

(0, 2)

(0, -2)

(5, 0)(-5, 0)






พ.ศ. ๒๕๔๗



236

(5) x2 + 4y2 = 16หารดวย 16 ตลอดทั้งสมการจะได

14y

16x 22

=+


∴ c2 = 16 – 4 = 12จะได a = 4, b = 2 และ c = 32

จุดยอดของวงรีคือ (±4, 0)โฟกัสของวงรีคือ (± 32 , 0)ความเยื้องศูนยกลางคือ

23


)0,32(F2 − )0,32(F1

(0, 2)

(0, -2)

(4, 0)(-4, 0) X

Y






พ.ศ. ๒๕๔๗



237

(6) 4x2 + y2 = 16หารดวย 16 ตลอดทั้งสมการจะได

116y

4x 22

=+

เนื่องจากตัวหารของ y2 มากกวาตัวหารของ x2 ดังนั้นวงรีมีแกนเอกอยูบนแกน Ya2 = 16 และ b2 = 4

∴ c2 = 16 – 4 = 12จะได a = 4, b = 2 และ c = 32

จุดยอดของวงรีคือ (0, ±4)โฟกัสของวงรีคือ (0, ± 32 )ความเยื้องศูนยกลางคือ

23


)32,0(F2 −

)32,0(F1

X

Y

(0, 4)

(0, -4)

(2, 0)(-2, 0)






พ.ศ. ๒๕๔๗



238

(7) 2x2 + y2 = 3หารดวย 3 ตลอดทั้งสมการจะได

13y

23x 22

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

เนื่องจากตัวหารของ y2 มากกวาตัวหารของ x2 ดังนั้นวงรีมีแกนเอกอยูบนแกน Ya2 = 3 และ b2 =

23

∴ c2 = 3 – 23 =

23

จะได a = 3 , b = 23 และ c =

23

จุดยอดของวงรีคือ (0, ± 3 )โฟกัสของวงรีคือ (0, ±

23 )

ความเยื้องศูนยกลางคือ 2

1

ความยาวแกนเอกคือ 32

ความยาวแกนโทคือ 6

)23,0(F2 −

)23,0(F1

)3,0(

)0,23()0,

23(−

)3,0( −

X

Y






พ.ศ. ๒๕๔๗



239


15y

6x 22

=+


∴ c2 = 6 – 5 = 1จะได a = 6 , b = 5 และ c = 1

จุดยอดของวงรีคือ (± 6 , 0)โฟกัสของวงรีคือ (±1, 0)ความเยื้องศูนยกลางคือ

61



)0,1(F2 − )0,1(F1

)0,6(

)5,0( −

)0,6(−

)5,0(2

-2

X

Y






พ.ศ. ๒๕๔๗



240

(9) x2 + 4y2 = 1จะได x2 + 1

41y2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

เนื่องจากตัวหารของ x2 มากกวาตัวหารของ y2 ดังนั้นวงรีมีแกนเอกอยูบนแกน Xa2 = 1 และ b2 =

41

∴ c2 = 1 – 41 =

43

จะได a = 1, b = 21 และ c =

23

จุดยอดของวงรีคือ (±1, 0)โฟกัสของวงรีคือ (±

23 , 0)



)0,23(F2 − )0,

23(F1

)21,0( −

)21,0(

X

Y

(1, 0)(–1, 0)






พ.ศ. ๒๕๔๗



241

(10) 9x2 + 4y2 = 1จะได 1

41y

91x 22

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

เนื่องจากตัวหารของ y2 มากกวาตัวหารของ x2 ดังนั้นวงรีมีแกนเอกอยูบนแกน Ya2 =

41 และ b2 =

91

∴ c2 = 41 –

91 =

365

จะได a = 21 , b =

31 และ c =

65

จุดยอดของวงรีคือ (0, ±21 )

โฟกัสของวงรีคือ (0, ±65 )


ความยาวแกนเอกคือ 1ความยาวแกนโทคือ

32

)65,0(F2 −

)65,0(F1

)0,31(− )0,

31(

)21,0( −

)21,0(

X

Y






พ.ศ. ๒๕๔๗



242

(11)21 x2 +

81 y2 =

41

คูณดวย 4 ตลอดทั้งสมการจะได1

2y

21x 22

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

เนื่องจากตัวหารของ y2 มากกวาตัวหารของ x2 ดังนั้นวงรีมีแกนเอกอยูบนแกน Ya2 = 2 และ b2 =

21

∴ c2 = 2 – 21 =

23

จะได a = 2 , b = 2

1 และ c = 23

จุดยอดของวงรีคือ (0, ± 2 )โฟกัสของวงรีคือ (0, ±

23 )




)23,0(F1

)0,21(− )0,

21(

)2,0( −

)2,0(

X

Y

)23,0(F2 −






พ.ศ. ๒๕๔๗



243

(12) x2 = 4 – 2y2

หารดวย 4 ตลอดทั้งสมการ จะได

2y

4x 22

+ = 1เนื่องจากตัวหารของ x2 มากกวาตัวหารของ y2 ดังนั้น วงรีมีแกนเอกอยูบนแกน X

a2 = 4 และ b2 = 2∴ c2 = 4 – 2 = 2จะได a = 2, b = 2 และ c = 2

จุดยอดของวงรีคือ (±2, 0)โฟกัสของวงรีคือ ( 2± , 0)ความเยื้องศูนยกลางคือ

22


(13) y2 = 1 – 2x2

จะได1

y

)21(

x 22+ = 1

เนื่องจากตัวหารของ y2 มากกวาตัวหารของ x2 ดังนั้น วงรีมีแกนเอกอยูบนแกน Ya2 = 1 และ b2 =

21

∴ c2 = 1 – 21 =

21

จะได a = 1, b = 2

1 และ c = 2

1

)0,2(F2 − )0,2(F1

)2,0(

)2,0( −

X

Y

(2, 0)(-2, 0)






พ.ศ. ๒๕๔๗



244

จุดยอดของวงรี คือ (0, ±1)โฟกัสของวงรี คือ (0,

22

± )

ความเยื้องศูนยกลาง คือ 22

ความยาวแกนเอก คือ 2ความยาวแกนโท คือ 2

(14) 20x2 + 4y2 = 5หารดวย 5 ตลอดทั้งสมการ จะไดวา

)45(

y )

41(

x 22+ = 1

เนื่องจากตัวหารของ y2 มากกวาตัวหารของ x2 ดังนั้น วงรีมีแกนเอกอยูบนแกน Ya2 =

45 และ b2 =

41

∴ c2 = 45 –

41 = 1

จะได a = 25 , b =

21 และ c = 1

จุดยอดของวงรีคือ (0, 25± )

โฟกัสของวงรีคือ (0, ±1)ความเยื้องศูนยกลางคือ

52



)22,0(F2 −

)22,0(F1

)0,22(−

)0,22(

X

Y

(0, 1)

(0, -1)

)0,21(− )0,

21(

)25,0( −

)25,0(

X

Y

)1,0(F1

)1,0(F2 −






พ.ศ. ๒๕๔๗



245

2. (1) จากกราฟจะไดวา a = 5, b = 4 และแกนเอกอยูบนแกน Xดังนั้น สมการวงรีที่ตองการคือ

16y

25x 22

+ = 1

(2) จากกราฟจะไดวา a = 4 , c = 3 และแกนเอกอยูบนแกน Y∴ b2 = a2 – c2 = 16 – 9 = 7ดังนั้น สมการวงรีที่ตองการคือ

16y

7x 22

+ = 1

(3) จากกราฟจะไดวา b = 2, c = 2 และแกนเอกอยูบนแกน Y∴ a2 = b2 + c2 = 4 + 4 = 8ดังนั้น สมการวงรีที่ตองการคือ

8y

4x 22

+ = 1

(4) จากกราฟจะไดวา (x, y) = (8, 6), a = 16 แกนเอกอยูบนแกน Xแทนคา (x, y) ลงในสมการมาตรฐานจะได

2

22

b)6(

256)8(

+ = 1

2b36 = 1 –

25664

2b36 =

43

∴ b2 = 48ดังนั้น สมการวงรีที่ตองการคือ

48y

256x 22

+ = 1

3. (1) จากเงื่อนไขจะไดวา c = 4, a = 5 และแกนเอกอยูบนแกน X∴ b2 = a2 – c2 = 25 – 16 = 9ดังนั้น สมการวงรีที่ตองการคือ

9y

25x 22

+ = 1

(2) จากเงื่อนไขจะไดวา c = 3, a = 5 และแกนเอกอยูบนแกน Y∴ b2 = a2 – c2 = 25 – 9 = 16ดังนั้น สมการวงรีที่ตองการคือ

25y

16x 22

+ = 1






พ.ศ. ๒๕๔๗



246

(3) จากเงื่อนไขจะไดวา a = 2, b = 1 และแกนเอกอยูบนแกน Yดังนั้น สมการวงรีที่ตองการคือ

4y

1x 22

+ = 1

(4) จากเงื่อนไขจะไดวา a = 3, b = 2 และแกนเอกอยูบนแกน Xดังนั้น สมการวงรีที่ตองการคือ

4y

9x 22

+ = 1

(5) จากเงื่อนไขจะไดวา c = 2, b = 3 และแกนเอกอยูบนแกน Y∴ a2 = b2 + c2 = 9 + 4 = 13ดังนั้น สมการวงรีที่ตองการคือ

13y

9x 22

+ = 1

(6) จากเงื่อนไขจะไดวา c = 5, a = 6 และแกนเอกอยูบนแกน X∴ b2 = a2 – c2 = 36 – 25 = 11ดังนั้น สมการวงรีที่ตองการคือ

11y

36x 22

+ = 1

(7) จากเงื่อนไขจะไดวา a = 10, c = 3 และแกนเอกอยูบนแกน X∴ b2 = a2 – c2 = 100 – 9 = 91ดังนั้น สมการวงรีที่ตองการคือ

91y

100x 22

+ = 1

(8) จากเงื่อนไขจะไดวา b = 3, c = 4 และแกนเอกอยูบนแกน X∴ a2 = b2 + c2 = 9 + 16 = 25ดังนั้น สมการวงรีที่ตองการคือ

9y

25x 22

+ = 1

(9) จากเงื่อนไขจะไดวา a = 5, (x, y) = ( 5 , 2) และแกนเอกอยูบนแกน Xแทนคา (x, y) ลงในสมการมาตรฐานจะได

25)5( 2

+ 2

2

b)2( = 1

2b4 = 1 –

255 =

54

∴ b2 = 5ดังนั้น สมการวงรีที่ตองการคือ

5y

25x 22

+ = 1






พ.ศ. ๒๕๔๗



247

(10) จากเงื่อนไขจะไดวาac =

91 , c = 2 และแกนเอกอยูบนแกน Y

a2 =

91

∴ a = 18∴ b2 = a2 – c2 = 324 – 4 = 320ดังนั้น สมการวงรีที่ตองการคือ

324y

320x 22

+ = 1

(11) จากเงื่อนไขจะไดวาac = 0.8, c = 1.5 และแกนเอกอยูบนแกน X

a5.1 = 0.8

∴ a = 8.05.1 =

815

∴ b2 = a2 – c2 = 64225 –

49 =

64144 225 − =

6481

ดังนั้น สมการวงรีที่ตองการคือ 81y64

225x64 22

+ = 1

(12) จากเงื่อนไขจะไดวาac =

23 , a = 2 และแกนเอกอยูบนแกน Y

2c =

23

∴ c = 3

∴ b2 = a2 – c2 = 4 – 3 = 1ดังนั้น สมการวงรีที่ตองการคือ

4y

1x 22

+ = 1

4. จากโจทยจะไดวา 2a = (1.47 + 1.53) × 108 กิโลเมตร∴ a =

2103 8× = 1.5 × 108 กิโลเมตร

และ c = (1.5 – 1.47) × 108 = 0.03 × 108 กิโลเมตร∴ b2 = a2 – c2 = (2.25 – 0.0009) × 1016 = 2.2491 × 1016

ดังนั้น สมการวงโคจรของโลกรอบดวงอาทิตย คือ

16

2

16

2

102491.2y

1025.2x

×+

×= 1






พ.ศ. ๒๕๔๗



248

5. จากโจทยจะไดวา ac = 0.25 และ 2b = 1 × 1010 กิโลเมตร

∴ b = 5 × 109 กิโลเมตรa2 = b2 + c2

a2 = (25 × 1018) + (0.25a)2

2a000,10

6251 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − = 25 × 1018

∴ a2 = 1810259375

10000 ×× = 18103

80×

∴ a = 9103

80 × ≈ 5.16 × 109 กิโลเมตร

∴ c = 0.25 9103

80 × ≈ 1.29 × 109 กิโลเมตรระยะทางระหวางดาวพลูโตกับดวงอาทิตยที่ perihelion เทากับ a – c ≈ (5.16 – 1.29) × 109 กิโลเมตร

≈ 3.87 × 109 กิโลเมตรที่ aphelion เทากับ a + c ≈ (5.16 + 1.29) × 109 กิโลเมตร

≈ 6.45 × 109 กิโลเมตร


1. (1) จากสมการ x2 = y41

จะได 4p =41

∴ p =161 > 0

ดังนั้น พาราโบลามีแกนอยูในแนวตั้งซึ่งโคงเปดขึ้นดานบนโฟกัส คือ (0,

161 )

ไดเรกตริกซ คือ y = 161−

ความยาวของเลตัสเรกตัม คือ 41






พ.ศ. ๒๕๔๗



249

(2) จากสมการ y2 = xจะได 4p = 1∴ p =

41 > 0

ดังนั้น พาราโบลามีแกนอยูในแนวนอนซึ่งโคงเปดไปทางขวาโฟกัส คือ (

41 , 0)

ไดเรกตริกซ คือ x = 41−


)161,

81(

)161,0(F

161y −=

)161,

81(−

0.4

0.2

-0.2

-0.5 0.5X

Y

)21,

41(

)0,41(F

)21,

41( −-0.5

0.5

1

-1

-1 1

41x −=

X

Y






พ.ศ. ๒๕๔๗



250

(3) x2 = 9yจะไดวา 4p = 9∴ p =

49 > 0

ดังนั้น พาราโบลามีแกนอยูในแนวตั้งซึ่งโคงเปดขึ้นทางดานบนโฟกัส คือ (0,

49 )



(4) x2 = 31 y

จะไดวา 4p =31

∴ p =121 > 0


121 )



)49,0(F

49y −=

)49,

29(− )

49,

29(

4

2

-2

-4

-5 5 X

Y

)121,0(F

)121,

61(− )

121,

61(

121y −=

0.2

-0.2

-0.5 0.5X

Y






พ.ศ. ๒๕๔๗



251

(5) y2 = 5xจะไดวา 4p = 5∴ p =

45 > 0

ดังนั้น พาราโบลามีแกนอยูในแนวนอนซึ่งโคงเปดทางขวาโฟกัส คือ ( 0,

45 )



(6) y2 = –2xจะไดวา 4p = –2∴ p =

21− < 0

ดังนั้น พาราโบลามีแกนอยูในแนวนอนซึ่งโคงเปดทางซายโฟกัส คือ (

21− , 0)

ไดเรกตริกซ คือ x = 21


45x −=

)0,45(F

)25,

45( −

)25,

45(

4

2

-2

-4

X

Y

21x=

)1,21( −−

)0,21(F −

)1,21(−

X

Y






พ.ศ. ๒๕๔๗



252

(7) x2 = –8yจะไดวา 4p = –8∴ p = –2 < 0ดังนั้น พาราโบลามีแกนอยูในแนวตั้งซึ่งโคงเปดดานลางโฟกัส คือ (0, –2)ไดเรกตริกซ คือ y = 2


(8) y2 = 2xจะไดวา 4p = 2∴ p =

21 > 0

ดังนั้น พาราโบลามีแกนอยูในแนวนอนซึ่งโคงเปดทางดานขวาโฟกัส คือ (

21 , 0)



)1,21( −

)1,21(

)0,21(F

21x −=

X

Y

-5 5 10

4

2

-2

-4

-6

-8

X

Y

y = 2

F(0, –2) (4, –2)(–4, –2)






พ.ศ. ๒๕๔๗



253

(9) y2 = – x61

จะไดวา 4p =61−

∴ p =241− < 0

ดังนั้น พาราโบลามีแกนอยูในแนวนอนซึ่งโคงเปดทางซายโฟกัส คือ (

241− , 0)



(10) x2 = 7yจะไดวา 4p = 7∴ p =

47 > 0


47 )



)47,0(F

)47,

27(− )

47,

27(

47y −=

8

6

4

2

-2

-5 5X

Y

)0,241(F −

)121,

241( −−

)121,

241(F −

241x=

0.6

-0.6

-1 -0.5 0.5 1

Y






พ.ศ. ๒๕๔๗



254

(11) x2 = y53−


∴ p =203− < 0

ดังนั้น พาราโบลามีแกนอยูในแนวตั้งซึ่งโคงเปดดานลางโฟกัส คือ (0, )

203−

ไดเรกตริกซ คือ y = 203


(12) y2 = 32− x


∴ p =61− < 0

ดังนั้น พาราโบลามีแกนอยูในแนวนอนซึ่งโคงเปดทางดานซายโฟกัส คือ (

61− , 0)



)0,61(F −

)31,

61( −−

)31,

61(−

61x=

1

-1

-1X

Y

Y

X

y = 203

F (0, )203−

•)203,

103( −−

)203,

103( −

y = 2x35−






พ.ศ. ๒๕๔๗



255

2. (1) จากเงื่อนไขจะได p = 2 และพาราโบลามีแกนอยูในแนวนอนดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการคือ y2 = 8x

(2) จากเงื่อนไขจะได p = 21− และพาราโบลามีแกนอยูในแนวนอน

ดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการคือ y2 = –2x

(3) จากเงื่อนไขจะได p = –8 และพาราโบลามีแกนอยูในแนวตั้งดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการคือ x2 = –32y

(4) จากเงื่อนไขจะได p = 5 และพาราโบลามีแกนอยูในแนวตั้งดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการคือ x2 = 20y

(5) จากเงื่อนไขจะได p = –2 และพาราโบลามีแกนอยูในแนวตั้งดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการคือ x2 = –8y

(6) จากเงื่อนไขจะได p = – 6 และพาราโบลามีแกนอยูในแนวนอนดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการคือ y2 = –24x

(7) จากเงื่อนไขจะได p = 10 และพาราโบลามีแกนอยูในแนวนอนดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการคือ y2 = 40x

(8) จากเงื่อนไขจะได p = 21 และพาราโบลามีแกนอยูในแนวตั้ง

ดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการคือ x2 = 2y

(9) จากเงื่อนไขจะได 2p = 2 และพาราโบลามีแกนอยูในแนวนอน∴ p = 1ดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการคือ y2 = 4x

(10) จากเงื่อนไขจะได p = – 6 และพาราโบลามีแกนอยูในแนวตั้งดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการคือ x2 = –24y

(11) จากเงื่อนไขจะได p = 8 และพาราโบลามีแกนอยูในแนวตั้งดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการคือ x2 = 32y






พ.ศ. ๒๕๔๗



256

(12) จากเงื่อนไขจะได 4(–p) = 8 และพาราโบลามีแกนอยูในแนวตั้ง∴ p = –2ดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการคือ x2 = –8y

3. (1) จากกราฟจะได p = –3 และพาราโบลามีแกนอยูในแนวตั้งดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการคือ x2 = –12y

(2) จากกราฟจะได p = 2 และพาราโบลามีแกนอยูในแนวนอนดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการคือ y2 = 8x

(3) จากกราฟจะได p = –2 และพาราโบลามีแกนอยูในแนวนอนดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการคือ y2 = –8x

(4) จากกราฟจะได p = 1 และพาราโบลามีแกนอยูในแนวตั้งดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการคือ x2 = 4y

(5) จากกราฟจะได p = 2 และพาราโบลามีแกนอยูในแนวนอนดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการคือ y2 = 8x

(6) จากกราฟจะได p = – 4 และพาราโบลามีแกนอยูในแนวตั้งดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการคือ x2 = –16y

4. (1) พิจารณาสมการ y2 = 4pxแทนคา (x, y) = )

215,

32( ลงไปในสมการ จะได

2)2

15( = )32(p4

∴ p =32675

ดังนั้น สมการพาราโบลาคือ y2 = x8

675

(2) การติดตั้งอุปกรณรวมสัญญาณไวที่จุดโฟกัส คือ )0,32675(

หางจากจุดยอด 32675 ฟุต






พ.ศ. ๒๕๔๗



257


1. (1) x2 – 9

y2

= 1สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ x2 เทากับ 1 เปนจํานวนบวกดังนั้น ไฮเพอรโบลามีแกนตามขวางในแนวนอนในที่นี้จะไดวา a2 = 1 และ b2 = 9

∴ a = 1 และ b = 3∴ c = 22 ba + = 91+ = 10

ดังนั้น จะไดวาจุดยอดคือ (±1, 0)โฟกัสคือ ( 10± , 0)เสนกํากับคือ y = ±3x

(2)16x

4y 22

− = 1

สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ y2 เทากับ 41 เปนจํานวนบวก

ดังนั้น ไฮเพอรโบลามีแกนตามขวางในแนวตั้งในที่นี้จะไดวา a2 = 4 และ b2 = 16

∴ a = 2 และ b = 4∴ c = 22 ba + = 164+ = 52

ดังนั้น จะไดวาจุดยอดคือ (0, ±2)โฟกัสคือ (0, 52± )เสนกํากับคือ y = x

21

±

)0,10(− )0,10(X

Y

3

-3

-1 1F1F2

)52,0( −

)52,0(

Y

4-4-2

2

X

F1

F2

–

–






พ.ศ. ๒๕๔๗



258

(3) y2 – x2 = 1สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ y2 เทากับ 1 เปนจํานวนบวกดังนั้น ไฮเพอรโบลามีแกนตามขวางในแนวตั้งในที่นี้จะไดวา a2 = 1 และ b2 = 1

∴ a = 1 และ b = 1∴ c = 22 ba + = 11+ = 2

ดังนั้น จะไดวาจุดยอดคือ (0, ±1)โฟกัสคือ (0, 2± )เสนกํากับคือ y = ±x

(4) x2 – 4y2 – 8 = 0∴

2y

8x 22

− = 1

สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ x2 เทากับ 81 เปนจํานวนบวก

ดังนั้น ไฮเพอรโบลามีแกนตามขวางในแนวนอนในที่นี้จะไดวา a2 = 8 และ b2 = 2

∴ a = 22 และ b = 2

∴ c = 22 ba + = 28+ = 10

ดังนั้น จะไดวาจุดยอดคือ (±2 2 , 0)โฟกัสคือ ( 10± , 0)เสนกํากับคือ y = x

21

±

)2,0( −

)2,0(X

Y

F1

F2–1 1

)0,10(− 0,10(22− 222

X

Y

2−

F2 F1






พ.ศ. ๒๕๔๗



259

(5) 22

x 4

y− = 1



∴ a = 2 และ b = 1∴ c = 22 ba + = 14+ = 5

ดังนั้น จะไดวาจุดยอดคือ (0, ±2)โฟกัสคือ (0, 5± )เสนกํากับคือ y = ±2x

(6)16y

9x 22

− = 1



∴ a = 3 และ b = 4∴ c = 22 ba + = 169+ = 5

ดังนั้น จะไดวาจุดยอดคือ (±3, 0)โฟกัสคือ (±5, 0)เสนกํากับคือ y = x

34

±

)5,0( −

)5,0(

X

Y

2

-21-1

F1

F2

X

Y

4

-4

-3 3 (5 , 0)(-5 , 0)F2 F1






พ.ศ. ๒๕๔๗



260

(7) 9y2 – 4x2 = 36∴

9x

4y 22

− = 1



∴ a = 2 และ b = 3∴ c = 22 ba + = 94+ = 13


32±

(8) y2 – 2x2 = 3∴

3x2

3y 22

− = 1


ดังนั้น ไฮเพอรโบลามีแกนตามขวางในแนวตั้งในที่นี้จะไดวา a2 = 3 และ b2 =

23

∴ a = 3 และ b = 23

∴ c = 22 ba + = 233+ =

23 =

223

ดังนั้น จะไดวาจุดยอดคือ (0, 3± )โฟกัสคือ (0,

223± )

เสนกํากับคือ y = x2±

)13,0( −

)13,0(

X

Y

3-3-2

2

F1

F2

)2

23,0( −

)2

23,0(

3−

3

X

Y

F1

F2

23−

23






พ.ศ. ๒๕๔๗



261

(9) 16x2 – y2 = 144∴

144y

9x 22

− = 1



∴ a = 3 และ b = 12∴ c = 22 ba + = 1449 + = 173


(10)25y x

22 − = 1

สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ x2 เทากับ 1 เปนจํานวนบวกดังนั้น ไฮเพอรโบลามีแกนตามขวางในแนวนอนในที่นี้จะไดวา a2 = 1 และ b2 = 25

∴ a = 1 และ b = 5∴ c = 22 ba + = 251+ = 26


X)0 ,173(− )0 ,173(

Y

-12

12

3-3F2 F1

X

Y

)0 ,26()0 ,26(−

5

-5

-1 1F2 F1






พ.ศ. ๒๕๔๗



262

(11) 25y2 – 9x2 = 225∴

25x

9y 22

− = 1



∴ a = 3 และ b = 5∴ c = 22 ba + = 259+ = 34


53±

(12) y2 – 4x2 + 1 = 0∴ 4x2 – y2 = 1

สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ x2 เทากับ 4 เปนจํานวนบวกดังนั้น ไฮเพอรโบลามีแกนตามขวางในแนวนอนในที่นี้จะไดวา a2 =

41 และ b2 = 1

∴ a = 21 และ b = 1

∴ c = 22 ba + = 141 + =

25

ดังนั้น จะไดวาจุดยอดคือ (

21± , 0)

โฟกัสคือ (25± , 0)

เสนกํากับคือ y = ±2x

)34 0( , −

X

Y

5-5

-3

3

)34 ,0(F1

F2

X)0,25(− )0,

25(

21− 2

1

Y

1

-1

F2 F1






พ.ศ. ๒๕๔๗



263

(13) 9y2 – 25x2 = 225∴

9x

25y 22

− = 1สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ y2 เทากับ

251 เปนจํานวนบวก


∴ a = 5 และ b = 3∴ c = 22 ba + = 925+ = 34

ดังนั้น จะไดวาจุดยอดคือ (0, ±5)โฟกัสคือ (0, ± 34 )เสนกํากับคือ y = x

35±

(14) 22

x 2

y− = 1



∴ a = 2 และ b = 1∴ c = 22 ba + = 12+ = 3

ดังนั้น จะไดวาจุดยอดคือ (0, 2± )โฟกัสคือ (0, 3± )เสนกํากับคือ y = x2±

)34,0( −

)34,0(

X

Y

5

-5

-3 3

F1

F2

)30( ,−

)3,0(

2−

2X

Y

–1 1

F1

F2






พ.ศ. ๒๕๔๗



264

(15) y2 – x2 – 4 = 0∴

4x

4y 22

− = 1



∴ a = 2 และ b = 2∴ c = 22 ba + = 44+ = 22

ดังนั้น จะไดวาจุดยอดคือ (0, ±2)โฟกัสคือ (0, 22± )เสนกํากับคือ y = ±x

(16) 9y2 – 16x2 = 1สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ y2 เทากับ 9 เปนจํานวนบวกดังนั้น ไฮเพอรโบลามีแกนตามขวางในแนวตั้งในที่นี้จะไดวา a2 =

91 และ b2 =

161

∴ a = 31 และ b =

41

∴ c = 22 ba + = 161

91 + =

125

ดังนั้น จะไดวาจุดยอดคือ (0,

31± )

โฟกัสคือ (0, 125± )

เสนกํากับคือ y = x34±

)22,0( −

)22,0(

X

Y

2

-22-2

F1

F2

X

Y

F1

F2

41

−

)125,0(

)125,0( −

41






พ.ศ. ๒๕๔๗



265

2. (1) จากกราฟ จะได a = 2, c = 4 และไฮเพอรโบลามีแกนตามขวางอยูในแนวนอน ∴ b = 22 ac − = 416− = 12

ดังนั้น สมการไฮเพอรโบลาที่ตองการคือ 12y

4x 22

− = 1

(2) จากกราฟ จะได a = 12, c = 13 และไฮเพอรโบลามีแกนตามขวางอยูในแนวตั้ง ∴ b = 22 ac − = 144169− = 5

ดังนั้น สมการไฮเพอรโบลาที่ตองการคือ 25x

144y 22

− = 1

(3) จากกราฟ จะได a = 4, (x, y) = (3, –5) และแกนตามขวางอยูในแนวตั้งแทนคา (x, y) ลงในสมการมาตรฐานจะได

2

22

b)3(

16)5(−

− = 1

2b9 = 1

1625− =

169

∴ b2 = 16ดังนั้น สมการไฮเพอรโบลาที่ตองการคือ

16x

16y 22

− = 1

(4) จากกราฟ จะได a = 32 , (x, y) = (4, 4) และแกนตามขวางอยูในแนวนอนแทนคา (x, y) ลงในสมการมาตรฐานจะได

2

2

2

2

b)4(

)32()4(

− = 1

2b16 = 1

1216 − =

124 =

31

∴ b2 = 48ดังนั้น สมการไฮเพอรโบลาที่ตองการคือ

48y

12x 22

− = 1

(5) จากกราฟ จะได ab =

21 , a = 3 และแกนตามขวางอยูในแนวนอน

∴ b =23

ดังนั้น สมการไฮเพอรโบลาที่ตองการคือ 9y4

9x 22

− = 1






พ.ศ. ๒๕๔๗



266

(6) จากกราฟ จะได ba = 3, a = 3 และแกนตามขวางอยูในแนวตั้ง

∴ b = 1ดังนั้น สมการไฮเพอรโบลาที่ตองการคือ 2

2

x 9

y− = 1

3. (1) จากโจทย จะได c = 5, a = 3 และแกนตามขวางอยูในแนวตั้ง∴ b2 = c2 – a2 = 25 – 9 = 16


9y 22

− = 1

(2) จากโจทย จะได c = 10, a = 8 และแกนตามขวางอยูในแนวนอน∴ b2 = c2 – a2 = 100 – 64 = 36


64x 22

− = 1

(3) จากโจทย จะได c = 2, a = 1 และแกนตามขวางอยูในแนวนอน∴ b2 = c2 – a2 = 4 – 1 = 3

ดังนั้น สมการไฮเพอรโบลาที่ตองการคือ 3

y x2

2 − = 1

(4) จากโจทยจะไดวา c = 6, a = 2 และแกนตามขวางอยูในแนวตั้ง∴ b2 = c2 – a2 = 36 – 4 = 32


4y 22

− = 1

(5) จากโจทยจะไดวา a = 1, ab = 5 และแกนตามขวางอยูในแนวนอน

∴ b = 5ดังนั้น สมการไฮเพอรโบลาที่ตองการคือ

25y x

22 − = 1

(6) จากโจทยจะไดวา a = 6, ba =

31 และแกนตามขวางอยูในแนวตั้ง

∴ b = 18ดังนั้น สมการไฮเพอรโบลาที่ตองการคือ

324x

36y 22

− = 1






พ.ศ. ๒๕๔๗



267

(7) จากโจทยจะไดวา c = 8, ba =

21 และแกนตามขวางอยูในแนวตั้ง

∴ c2 = a2 + b2

∴ 2

2

bc = 1)

ba( 2 +

∴ 2b64 = 1

41 + =

45

∴ b2 = )54(64 =

5256

∴ a2 =4

b2=

564

ดังนั้น สมการไฮเพอรโบลาที่ตองการคือ 256x5

64y5 22

− = 1

(8) จากโจทยจะไดวา a = 6, (x, y) = (–5, 9) และแกนตามขวางอยูในแนวตั้งแทนคา (x, y) ลงในสมการมาตรฐาน

2

22

b)5(

36)9( −

− = 1

∴2b

25 3681

− = 1

∴ 2b25 = 1

3681− =

3645

∴ b2 =45

3625× = 20


36y 22

− = 1

(9) ถาแกนตามขวางอยูในแนวตั้งแทนคา ba = 1 และ (x, y) = (5, 3) ลงในสมการมาตรฐาน

จะไดa2 = (3)2 – (5)2 2)

ba( = 9 – 25 = –16 ซ่ึงเปนไปไมได

ดังนั้น แกนตามขวางอยูในแนวนอนแทนคา

ab = 1 และ (x, y) = (5, 3) ลงในสมการมาตรฐาน จะได

∴ b2 = (5)2 22 3)ab( − = 25 – 9 = 16

∴ a2 = b2 = 16ดังนั้น สมการไฮเพอรโบลาที่ตองการคือ

16y

16x 22

− = 1






พ.ศ. ๒๕๔๗



268

(10) จากโจทยจะได c = 3, (x, y) = (4, 1) และแกนตามขวางอยูในแนวนอนแทนคา (x, y) ลงในสมการมาตรฐานจะได

2

2

2

2

b)1(

a)4(

− = 1

∴ 16b2 – a2 = (ab)2 ---------- (*) a2 + b2 = c2 = 9

∴ a2 = 9 – b2

แทนคา a2 ลงใน (*)16b2 – (9 – b2) = (9 – b2)b2

16b2 – 9 + b2 = 9b2 – b4

∴ b4 + 8b2 – 9 = 0∴ (b2 + 9)(b2 – 1) = 0∴ b2 = 1∴ a2 = 9 - 1 = 8

ดังนั้น สมการไฮเพอรโบลาที่ตองการคือ 22

y 8

x− = 1

(11) จากโจทยจะไดวา c = 5, a = 3 และแกนตามขวางอยูในแนวนอน∴ b2 = c2 – a2 = 25 – 9 = 16


9x 22

− = 1

(12) จากโจทยจะไดวา c = 1, a = 21 และแกนตามขวางอยูในแนวตั้ง

∴ b2 = c2 – a2 = 1 – 41 =

43

ดังนั้น สมการไฮเพอรโบลาที่ตองการคือ 4y2 – 9x16 2

= 1

4. (1) ∴4

y 4

x 22− = 1


ดังนั้น ไฮเพอรโบลามีแกนตามขวางอยูในแนวนอน∴ a2 = 4 = b2

∴ a = 2 = b






พ.ศ. ๒๕๔๗



269

จะได เสนกํากับ คือ y = x และ y = –x∴ m1m2 = 1(–1) = -1ดังนั้น เสนกํากับทั้งสองเสนตั้งฉากกัน

(2) เนื่องจากเสนกํากับตั้งฉาก ดังนั้น )ab)(

ab( − = –1

∴ b2 = a2

∴ b = a∴ c2 = a2 + a2

∴ a2 = 2

c2

จากโจทย จะไดวา ไฮเพอรโบลามีแกนตามขวางอยูในแนวนอนดังนั้น สมการไฮเพอรโบลาที่ตองการคือ

2

2

2

2

cy2

cx2

− = 1

5. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

ab

ab = –1

∴ b2 = a2

∴ b = ac2 = a2 + b2 = 2a2

∴ c = a2

a)12( − = c - a = 2 × 109 ไมลa = 4.83 × 109 ไมล

∴ b2 = a2 = 23.33 × 1018 ไมล

สมการไฮเพอรโบลาที่ตองการคือ 18

2

1033.23x×

– 18

2

1033.23y×

= 1






พ.ศ. ๒๕๔๗



270


1. (1) 19

)2y( 4

)1x( 22

=−+−

เนื่องจากตัวหารของ (y – 2)2 มากกวาตัวหารของ (x – 1)2

ดังนั้น แกนเอกอยูในแนวตั้งเนื่องจาก a2 = 9 และ b2 = 4

∴ a = 3 และ b = 2∴ c2 = a2 – b2 = 9 – 4 = 5∴ c = 5

จุดศูนยกลางคือ (1, 2)โฟกัสคือ (1, 52± )จุดยอดคือ (1, 5), (1, –1)ความยาวแกนเอกคือ 6ความยาวแกนโทคือ 4

(2) 116

)3x( )3y(2

2 =+ −+

เนื่องจากตัวหารของ (x – 3)2 มากกวาตัวหารของ (y + 3)2

ดังนั้น แกนเอกอยูในแนวนอนเนื่องจาก a2 = 16 และ b2 = 1

∴ a = 4 และ b = 1∴ c2 = a2 – b2 = 16 – 1 = 15∴ c = 15

จุดศูนยกลางคือ (3, –3)โฟกัสคือ (3, 15± , –3)จุดยอดคือ (7, –3), (–1, –3)ความยาวแกนเอกคือ 8ความยาวแกนโทคือ 2

X

Y

(1,5)

(3,2)

(1,-1)

(-1,2) (1,2)

X

Y

(3,-2)

(3,-4)

(7,-3)(-1,-3) (3,-3)






พ.ศ. ๒๕๔๗



271

(3) 1 25

)5x( 9

y 22

=++

เนื่องจากตัวหารของ (x + 5)2 มากกวาตัวหารของ y2

ดังนั้น แกนเอกอยูในแนวนอนเนื่องจาก a2 = 25 และ b2 = 9

∴ a = 5 และ b = 3∴ c2 = a2 – b2 = 25 – 9 = 16∴ c = 4

จุดศูนยกลางคือ (–5, 0)โฟกัสคือ (–1, 0), (–9, 0)จุดยอดคือ (0, 0), (–10, 0)ความยาวแกนเอกคือ 10ความยาวแกนโทคือ 6

(4) 1 4

)2y( x2

2 =+ +

เนื่องจากตัวหารของ (y + 2)2 มากกวาตัวหารของ x2

ดังนั้น แกนเอกอยูในแนวตั้งเนื่องจาก a2 = 4 และ b2 = 1

∴ a = 2 และ b = 1∴ c2 = a2 – b2 = 4 – 1 = 3∴ c = 3

จุดศูนยกลางคือ (0, –2)โฟกัสคือ (0, 32±− )จุดยอดคือ (0, 0), (0, – 4)ความยาวแกนเอกคือ 4ความยาวแกนโทคือ 2

(-5,3)

(-5,-3)

(-5,0) (0,0)(-10,0) X

Y

X

Y

(0,0)

(0,-2) (1,-2)(-1,-2)

(0,-4)






พ.ศ. ๒๕๔๗



272

2. (1) (x – 3)2 = 8(y + 2)สังเกตวา 4p = 8∴ p = 2 > 0ดังนั้น พาราโบลา เปนโคงเปดทางดานบนจุดยอดคือ (3, –2)โฟกัสคือ (3, 0)เสนไดเรกตริกซคือ y = – 4

(2) (y – 5)2 = –6(x – 2)สังเกตวา 4p = – 6∴ p =

23− < 0

ดังนั้น พาราโบลา เปนโคงเปดทางดานซายจุดยอดคือ (2, 5)โฟกัสคือ (

21 , 5)

เสนไดเรกตริกซคือ y = 27

(3) ∴(x + 21 )2 = y

41−

สังเกตวา 4p =41−

∴ p = 16

1− < 0ดังนั้น พาราโบลา เปนโคงเปดลงดานลางจุดยอดคือ (

21− , 0)

โฟกัสคือ (21− ,

161− )

เสนไดเรกตริกซคือ y = 161

X

Y

0(3,-2) y = -4

(3,0)

X

)5,21(

27x =

Y

(2, 5)

)0,21(−

)161,

21( −−

161y=

X

Y






พ.ศ. ๒๕๔๗



273

(4) y2 = 16(x + 21 )

สังเกตวา 4p = 16∴ p = 4 > 0ดังนั้น พาราโบลา เปนโคงเปดไปทางขวาจุดยอดคือ (

21− , 0)

โฟกัสคือ (27 , 0)

เสนไดเรกตริกซคือ x = 29−

3. (1) 116

)3y( 9

)1x( 22

=+−−

สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ (x – 1)2 เทากับ 91 ซ่ึงเปนจํานวนบวก

ดังนั้น แกนตามขวางอยูในแนวนอนจะได a2 = 9 และ b2 = 16∴ a = 3 และ b = 4∴ c = 22 ba + = 169+ = 5ดังนั้น จุดศูนยกลางคือ (1, –3)โฟกัสคือ (6, –3), (– 4, –3)จุดยอดคือ (4, –3), (–2, –3)สมการเสนกํากับ คือ y + 3 =

34± (x – 1)

(2) 1)6y()8x( 22 =−−+

สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ (x + 8)2 เทากับ 1 ซ่ึงเปนจํานวนบวกดังนั้น แกนตามขวางอยูในแนวนอนจะได a2 = 1 และ b2 = 1∴ a = 1 และ b = 1∴ c = 22 ba + = 11+ = 2

ดังนั้น จุดศูนยกลางคือ (–8, 6)โฟกัสคือ ( 28±− , 6)จุดยอดคือ (-7, 6), (–9, 6)สมการเสนกํากับ คือ y – 6 = ±(x + 8)

X

Y

(1,-3) F1(6,-3)F2(-4,-3)

)6,28(F1 −− )6,28(F2 +−

(-8,6)

X

Y

Y

)5,1(F1

( 72

, 0)( 12

− , 0)X = 92

−X

Y






พ.ศ. ๒๕๔๗



274

(3) 14

)1x( y2

2 =− −

สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ y2 เทากับ 1 ซ่ึงเปนจํานวนบวกดังนั้น แกนตามขวางอยูในแนวตั้งจะได a2 = 1 และ b2 = 4∴ a = 1 และ b = 2∴ c = 22 ba + = 41+ = 5

ดังนั้น จุดศูนยกลางคือ (1, 0)โฟกัสคือ (1, 5± )จุดยอดคือ (1, ±1)สมการเสนกํากับ คือ y = )1x(

21 −±

(4) 22

)3x( 25

)1y(−−

− = 1

สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ (y – 1)2 เทากับ 251 ซ่ึงเปนจํานวนบวก

ดังนั้น แกนตามขวางอยูในแนวตั้งจะได a2 = 25และ b2 = 1∴ a = 5 และ b = 1∴ c = 22 ba + = 125+ = 26

ดังนั้น จุดศูนยกลาง คือ (3, 1)โฟกัสคือ (3, 261± )จุดยอดคือ (3, 6), (3, – 4)สมการเสนกํากับ คือ y – 1 = ±5(x – 3)

)261,3( +

(3 , 1)

)261,3( −

X

Y






พ.ศ. ๒๕๔๗



275

4. (1) จากกราฟ จะได (h, k) = (0, 4), (x, y) = (1, 0) และพาราโบลาเปนโคงเปดลงดานลางแทนคา (x, y) ลงในสมการมาตรฐานจะได

(1 – 0)2 = 4p (0 – 4)∴ p =

161−

ดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการคือ x2 = )4y(41 −−

(2) จากกราฟ จะได (h, k) = (– 6, 0), p = 6 และพาราโบลาเปนโคงเปดไปทางดานขวา∴ p = 6

ดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการคือ y2 = 24(x + 6)

(3) จากกราฟ จะได 2a = 10 , 2b = 8 และแกนเอกอยูในแนวแกน X∴ a = 5, b = 4

(h, k) = ( 0,2

010+ ) = (5, 0)

ดังนั้น สมการวงรีที่ตองการคือ 16y

25)5x( 22

+− = 1

(4) จากกราฟ จะได (h, k) = (2, –3) และ 2a = 6, 2b = 4 และแกนเอกอยูในแนวแกน Y∴ a = 3 และ b = 2

ดังนั้น สมการวงรีที่ตองการคือ 4

)2x( 9

)3y( 22 −+

+ = 1

(5) จากกราฟ จะได (h, k) = (0, 1) และ 2a = 2 และแกนตามขวางอยูในแนวตั้งดังนั้น

ba = 1

∴ a = 1 และ b = 1ดังนั้น สมการไฮเพอรโบลาที่ตองการคือ (y – 1)2 – x2 = 1






พ.ศ. ๒๕๔๗



276

(6) จากกราฟ จะได 2a = 6 – 2 = 4, (x, y) = (8, 4), (h, k) = (4, 0) และแกนตามขวางอยูในแนวนอน

∴ a = 2แทนคา (x, y) ลงในสมการมาตรฐาน

∴2

4)48( − – 2

2

b)04( − = 1

∴ 2b16 = 1

416 − = 3

∴ b2 =3

16

ดังนั้น สมการไฮเพอรโบลาที่ตองการคือ 16y3

4)4x( 22

−− = 1

5. (1) 9y2 – 36y + 4x2 = 0∴ 9(y2 – 4y + 4) – 36 + 4x2 = 0∴ 9(y – 2)2 + 4x2 = 36∴

9x

4)2y( 22

+− = 1 เปนสมการวงรี

เนื่องจากตัวหารของ x2 มากกวาตัวหารของ (y – 2)2

ดังนั้น แกนเอกอยูในแนวนอน∴ a2 = 9 และ b2 = 4∴ a = 3 และ b = 2∴ c2 = a2 – b2 = 9 – 4 = 5∴ c = 5

จุดศูนยกลางคือ (0, 2)โฟกัสคือ ( 5± , 2)จุดยอดคือ (±3, 2)ความยาวแกนเอกคือ 6ความยาวแกนโทคือ 4 X

Y

(0, 4)

(0, 2)

(0, 0)

(3, 2)(-3, 2)






พ.ศ. ๒๕๔๗



277

(2) ∴ x2 = 4y + 8x∴ x2 – 8x + 16 = 4y + 16

(x – 4)2 = 4(y + 4) เปนสมการพาราโบลาสังเกตวา 4p = 4

∴ p = 1 > 0ดังนั้น พาราโบลาเปนโคงเปดขึ้นดานบนจุดยอดคือ (4, – 4)โฟกัส คือ (4, –3)ไดเรกตริกซคือ y = –5

(3) y2 – 2y – 4x2 + 16x = 20(y2 – 2y + 1) – 4(x2 – 4x + 4) = 20 + 1 – 16(y – 1)2 – 4(x – 2)2 = 5∴

5)2x(4

5)1y( 22 −

−− = 1 เปนสมการไฮเพอรโบลา


ดังนั้น แกนตามขวางอยูในแนวตั้งจะได a2 = 5 และ b2 =

45

∴ a = 5 และ b = 25

∴ c = 22 ba + =455+ =

25

ดังนั้น จุดศูนยกลางคือ (2, 1)โฟกัสคือ (2,

27 ), (2,

23− )

จุดยอดคือ (2, 51± )เสนกํากับคือ (y – 1) = ±2(x – 2)

X

Y

(4, -3)(4, -4)

y = -5

)51,2( −

)51,2( +

)23,2(F2 −

)27,2(F1

X

Y

(1 , 2)






พ.ศ. ๒๕๔๗



278

(4) x2 + 6x + 9 = 12y∴ (x + 3)2 = 12y เปนสมการพาราโบลาสังเกตวา 4p = 12∴ p = 3ดังนั้น พาราโบลาเปนโคงเปดขึ้นดานบนจุดยอดคือ (–3, 0)โฟกัสคือ (–3, 3)ไดเรกตริกซคือ y = –3

(5) 4x2 – 24x + 25y2 + 250y = –5614(x2 – 6x + 9) + 25(y2 +10y + 25) = –561 + 36 + 6254(x – 3)2 + 25(y + 5)2 = 100∴

4)5y(

25)3x( 22 +


เนื่องจากตัวหารของ (x – 3)2 มากกวาตัวหารของ (y + 5)2

ดังนั้น แกนเอกอยูในแนวนอนa2 = 25 และ b2 = 4

∴ a = 5 และ b = 2∴ c2 = a2 – b2 = 25 – 4 = 21∴ c = 21

จุดศูนยกลางคือ (3, –5)โฟกัสคือ (3 ± 21 , –5)จุดยอดคือ (8, –5), (–2, –5)ความยาวแกนเอกคือ 10 ความยาวแกนโท คือ 4

y = -3

(-3,3)

(-3,0) X

Y

X

Y

(3,-3)

(3,-5)(3,-7)

(8,-5)(-2,-5)






พ.ศ. ๒๕๔๗



279

(6) x2 – 2x + 2y2 = 1x2 – 2x + 1 + 2y2 = 2(x – 1)2 + 2y2 = 2∴

2)1x( 2− + y2 = 1 เปนสมการวงรี

สังเกตวา ตัวหารของ (x – 1)2 มากกวาตัวหารของ y2

ดังนั้น แกนเอกอยูในแนวนอนa2 = 2 และ b2 = 1

∴ a = 2 และ b = 1∴ c2 = a2 – b2 = 2 – 1 = 1∴ c = 1จุดศูนยกลางคือ (1, 0)โฟกัสคือ (0, 0), (2, 0)จุดยอดคือ (1 2± , 0)ความยาวแกนเอกคือ 22


(7) 16x2 – 96x – 9y2 = –28816(x2 – 6x + 9) – 9y2 = –288 + 14416(x – 3)2 – 9y2 = –144∴

9)3x(

16y 22 −

− = 1 เปนสมการไฮเพอรโบลา

สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ y2 เทากับ 161 ซ่ึงเปนจํานวนบวก

ดังนั้น แกนตามขวางอยูในแนวตั้งQ a2 = 16 และ b2 = 9∴ a = 4 และ b = 3∴ c = 22 ba + = 916+ = 5จุดศูนยกลางคือ (3, 0)โฟกัสคือ (3, ±5)จุดยอดคือ (3, ±4)เสนกํากับคือ y = )3x(

34

−±

)0,21( − )0,21( +X

Y

( 1 , 1 )

( 1 , -1 )

( 1 , 0 )

)5,3(F2 −

)5,3(F1

X

Y

(3,0)

(3,4)

(3,-4)






พ.ศ. ๒๕๔๗



280

(8) 4y2 – 4y = 8x – 9)

41yy(4 2 +− = 8x – 9 + 1

2)21y(4 − = 8(x – 1)

2)21y( − = 2(x – 1) เปนสมการพาราโบลา

สังเกตวา 4p = 2∴ p = 0

21 >

ดังนั้น พาราโบลาเปนโคงเปดไปทางขวาจุดยอดคือ )

21,1(

โฟกัสคือ )21,

23(

ไดเรกตริกซคือ x = 21

(9) x2 – 4(y2 + 2x) = –16x2 – 8x – 4y2 = –16x2 – 8x + 16 – 4y2 = 0(x – 4)2 – 4y2 = 0∴ y =

21± (x – 4)

X

Y

( 4 , 0)

)21,

23()

21,1(

21x =

X

Y






พ.ศ. ๒๕๔๗



281

(10) x2 – 10x – y2 + 10y = 1x2 – 10x + 25 – (y2 – 10y + 25) = 1 + 25 – 25(x – 5)2 – (y – 5)2 = 1 เปนสมการไฮเพอรโบลาสังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ (x – 5)2 เทากับ 1 เปนจํานวนบวกดังนั้น แกนตามขวางอยูในแนวนอน

∴ a2 = 1 = b2

∴ a = 1 = b∴ c = 22 ba +

= 11+ = 2

จุดศูนยกลางคือ (5, 5)โฟกัสคือ (5 2± , 5)จุดยอดคือ (6, 5), (4, 5)เสนกํากับคือ y – 5 = ± (x – 5)

(11) 3x2 – 6x + 4y2 – 24y = –393(x2 – 2x + 1) + 4(y2 – 6y + 9) = –39 + 3 + 363(x – 1)2 + 4(y – 3)2 = 0(y – 3)2 = 2)1x(

43 −−

เนื่องจาก (y – 3)2 ≥ 0 และ 43− (x –1 )2 ≤ 0

ดังนั้น (y – 3)2 = 0 = 2)1x(43 −−

∴ x = 1 และ y = 3

)5,25( − )5,25( +

X

Y

(6,5)(4,5)(5,5)

Y

X

(1, 3)






พ.ศ. ๒๕๔๗



282

(12) x2 + 20x + 4y2 – 40y = –300x2 + 20x + 100 + 4(y2 – 10y + 25) = –300 + 100 + 100(x + 10)2 + 4(y – 5)2 = –100ซ่ึงเปนไปไมได เนื่องจาก –100 < 0แต (x + 10)2 + 4(y – 5)2 ≥ 0ดังนั้น สมการไมมีกราฟในระนาบจํานวนจริง

6. (1) 2y2 – 4y + x + 5 = 0

∴ y =)2(2

)5x)(2(4)4()4( 2 +−−±−−

=4

)5x(8164 +−±

= 10x24211 −−±

= 6x2211 −−±

ใชเครื่องคํานวณเขียนกราฟของy = 6x2

211 −−+

และ y = 6x2211 −−−

(2) 9y2 – 36y + 4x2 = 0

∴ y =)9(2

)x4)(9(4)36()36( 22 −−±−−

=18

)x4(36)36(36 22−±

= 2x918

)2(62 −±

= 2x9322 −±

ใชเครื่องคํานวณเขียนกราฟของy = 2x9

322 −+

และ y = 2x9322 −−






พ.ศ. ๒๕๔๗



283

(3) 9y2 – 36y + 36 – 6x – x2 = 0

∴ y =)9(2

)xx636)(9(4)36()36( 22 −−−−±−−

=18

)xx636(36)36(36 22 −−−±

= 2xx636361862 ++−±

= x6x312 2 +±

ใชเครื่องคํานวณเขียนกราฟของy = x6x

312 2 +±

และ y = x6x312 2 +−

(4) –4y2 + 8y + x2 + 4x = 0

∴ y =)4(2

)x4x)(4(488 22

−+−−±−

=8

)x4x(16648 2

−++±−

= )x4x(4841 2 ++±

= 2xx44211 ++±

ใชเครื่องคํานวณเขียนกราฟของy = 2xx44

211 +++

= 2xx44211 ++−

7. 4x2 + 4x + y2 – 8y = –F4(x2 + x +

41 ) + y2 – 8y + 16 = –F + 1 + 16

4(x + 21 )2 + (y – 4)2 = 17 – F

(1) ถาสมการเปนวงรี∴ 17 – F > 0∴ F < 17






พ.ศ. ๒๕๔๗



284

(2) ถาสมการเปนจุดจุดเดียว∴ 17 – F = 0∴ F = 17

(3) ถาสมการเปนเซตวาง∴ 17 – F < 0∴ F > 17

8. y2 = – x + 100∴ y2 = – (x – 100)สังเกตวา 4p = –1∴ p =

41− < 0

ดังนั้น พาราโบลาเปนโคงเปดทางดานซาย∴ จุดยอดคือ (100, 0)และโฟกัสคือ )0,

4399(

เนื่องจากโฟกัสอีกจุดคือ จุดกําเนิดดังนั้น แกนเอกอยูในแนวแกน X∴ 2c =

4399

∴ c =8

399

จุดศูนยกลางคือ )0),04

399(21( + = )0,

8399(

∴ a = 8

399 100 − = 8

401

∴ b2 = a2 – c2

=22

8399

8401

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=64

159201 64

160801−

= 25

ดังนั้น สมการวงรีที่ตองการคือ 25y

160801

)8

399x(64 22

+−

= 1






พ.ศ. ๒๕๔๗



285

แบบฝกหัดทบทวน

1. (x – h)2 + (y – k)2 = r2

2. (1) วงรี คอื เซตของจดุทัง้หมดในระนาบซึง่ผลบวกของระยะทางจากจดุใด ๆ ไปยงัจดุ 2 จดุ ซ่ึงตรงึอยูกับที่มีคาคงตัว และเรียกจุดคงที่ซ่ึงตรึงอยูกับที่ทั้งสองวา โฟกัส

(2) จุดยอด คือ (±a, 0)โฟกัส คือ (±c, 0) โดยที่ c = 22 ba −

แกนเอก คือ สวนของเสนตรงที่เชื่อมจุดยอดแกนโท คือ สวนของเสนตรงที่เชื่อมจุด (0, b) กับจุด (0, – b)

(3) ความเยื้องศูนยกลาง คือ อัตราสวน c ตอ a ใชวัดความรีของวงรีถาความเยื้องศูนยกลางเขาใกล 1 แสดงวา วงรีมีความรีมากถาความเยื้องศูนยกลางเขาใกล 0 แสดงวา วงรีมีความรีนอยคํานวณโดย e =

ac โดยที่ c = 22 ba −

(4)2

2

2

2

ay

bx

+ = 1, a > b > 0

X

Y

(0, b)

(–a, 0) (a, 0)

(0, –b)

F1(c, 0)F2(–c, 0)






พ.ศ. ๒๕๔๗



286

3. (1) พาราโบลา คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งหางจากจุดจุดหนึ่งที่ตรึงอยูกับที่และเสนตรงที่ตรึงอยูกับที่เสนหนึ่งเปนระยะทางเทากันเราจะเรียกจุดที่ตรึงอยูกับที่วาโฟกัสและเรียกเสนตรงที่ตรึงอยูกับที่วาไดเรกตริกซ

(2) จุดยอด คือ (0, 0)โฟกัส คือ (0, p)ไดเรกตริกซ คือ y = –p

ถา p < 0 กราฟของพาราโบลาจะมีลักษณะเปนโคงเปดลงดานลาง

(3) จุดยอด คือ (0, 0)โฟกัส คือ (p, 0)ไดเรกตริกซ คือ x = –p

X

Y

F(o, p)

y = -p

X

Y

F(o, -p)

y = p

X

Y

x = -p

F(p , 0 )






พ.ศ. ๒๕๔๗



287

ถา p < 0 พาราโบลาจะเปนโคงเปดไปทางดานซาย

4. (1) ไฮเพอรโบลา คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบ ซ่ึงผลตางของระยะทางจากจุดใด ๆ ไปยังจุด 2 จุดซ่ึงตรึงอยูกับที่มีคาคงตัว จุด 2 จุดดังกลาวเรียกวาโฟกัส

(2) จุดยอด คือ (±a, 0)โฟกัส คือ (±c, 0) โดยที่ c = 22 ba +

เสนกํากับ คือ y = xab±

แกนตามขวาง คือ สวนของเสนตรงที่เชื่อมจุดยอดทั้งสอง

X

Y

x = p

F(-p , 0 )

xaby=x

aby −=

(a,0)(-a,0) X

Y

F2(c,0)F1(-c,0)






พ.ศ. ๒๕๔๗



288

(3) 2

2

ay – 2

2

bx = 1

(4) วิธีเขียนกราฟของไฮเพอรโบลา1) วาดรูปสี่เหล่ียมมุมฉากศูนยกลาง ซ่ึงเปนรูปสี่เหล่ียมมุมฉากมีจุดกําเนิดเปนศูนยกลาง

มีแตละดานขนานกับแกนพิกัดและตัดแกนพิกัดที่ ±a และ ±b2) ลากเสนกํากับ ซ่ึงเปนเสนตรงที่เกิดจากการตอเสนทแยงมุมของรูปสี่เหล่ียมมุมฉาก3) ลงจุดยอด คือ จุดที่ระยะตัดแกน X ทั้งสองที่จุด (x = a± ) ของ

2

2

2

2

by

ax

− = 1 หรือ

จุดที่ระยะตัดแกน Y ทั้งสอง (y = a± ) ของ 2

2

2

2

bx

ay

− = 1

4) เขียนกราฟของไฮเพอรโบลา เร่ิมตนจากจุดยอดทีละจุด แลวลากเสนโคง ลูเขาหาเสนกํากับ

5. (1) แทน x ดวย x – h กราฟจะเลื่อนไปทางขวา h หนวยแทน x ดวย x + h กราฟจะเลื่อนไปทางซาย h หนวย

(2) แทน y ดวย y – k กราฟจะเลื่อนขึ้นบางบน k หนวยแทน y ดวย y + k กราฟจะเลื่อนลงขางลาง k หนวย

6. กราฟจะเปนวงกลม ถา A = Cกราฟจะเปนวงรี ถา A และ C มีเครื่องหมายเหมือนกันกราฟจะเปนพาราโบลา ถา A หรือ C เปน 0 แคตัวใดตัวหนึ่งกราฟจะเปนไฮเพอรโบลา ถา A และ C มีเครื่องหมายตรงกันขาม

7. (x – 2)2 + (y + 5)2 = 4

8. (h, k) = (–5, 1) และ (x, y) = (0, 0)แทนคา (x, y) ลงในสมการมาตรฐานจะได(0 + 5)2 + (0 – 1)2 = r2

∴ r2 = 26ดังนั้น สมการวงกลมที่ตองการคือ (x + 5)2 + (y – 1)2 = 26






พ.ศ. ๒๕๔๗



289

9. จากโจทยจะไดจุดศูนยกลาง คือ )2

83,2

)1(2( +−+ = )2

11,21(

2r = 22 )83())12( ( −+−−

= 259+ = 34

∴ r =234

ดังนั้น สมการวงกลมที่ตองการคือ 22 )2

11y()21x( −+− =

217

10. (1) x2 + 2x + y2 – 6y = –9x2 + 2x + 1 + y2 – 6y + 9 = –9 + 1 + 9∴ (x + 1)2 + (y – 3)2 = 1 เปนสมการวงกลมจุดศูนยกลาง คือ (–1, 3)รัศมี คือ 1 หนวย

(2) 2x2 – 2x + 2y2 + 8y =21

)41xx(2 2 +− + 2(y2 + 4y + 4) = 8

21

21 ++

∴ 22 )2y(2)21x(2 ++− = 9

∴ 22 )2y()21x( ++− =

29 เปนสมการวงกลม

จุดศูนยกลาง คือ )2,21( −

รัศมี คือ 2

3 หนวย

(3) x2 – 12x + y2 = –72x2 – 12x + 36 + y2 = –72 + 36∴ (x – 6)2 + y2 = –36ซ่ึงเปนไปไมได เนื่องจาก –36 < 0ดังนั้น ไมมีกราฟในระนาบจํานวนจริง






พ.ศ. ๒๕๔๗



290

(4) x2 – 6x + y2 – 10y = –34x2 – 6x + 9 + y2 – 10y + 25 = –34 + 9 + 25

(x – 3)2 + (y – 5)2 = 0∴ (x – 3)2 = – (y – 5)2

เนื่องจาก (x – 3)2 ≥ 0 และ – (y – 5)2 ≤ 0ดังนั้น (x – 3)2 = 0 = – (y – 5)2

∴ x = 3 และ y = 5ดังนั้น กราฟนี้ คือ จุด 1 จุด

11. (1) ∴4

y 16x 22

+ = 1สังเกตวา ตัวหารของ x2 มากกวาตัวหารของ y2

ดังนั้น แกนเอกอยูในแนวนอน∴ a2 = 16 และ b2 = 4∴ a = 4 และ b = 2∴ c2 = a2 – b2 = 16 – 4 = 12∴ c = 32

จุดศูนยกลาง คือ (0, 0)จุดยอด คือ (±4, 0)โฟกัส คือ (± 32 , 0)ความยาวแกนเอก คือ 8ความยาวแกนโท คือ 4

)0,32(−X

Y

( 0 ,2 )

( 0 ,-2 )

( 4 ,0 )( -4 ,0 ) )0,32(






พ.ศ. ๒๕๔๗



291

(2) ∴)

41(

y )

91(

x 22+ = 1

เนื่องจากตัวหารของ y2 มากกวาตัวหารของ x2

ดังนั้น แกนเอกอยูในแนวตั้งQ a2 =

41 และ b2 =

91

∴ a = 21 และ b =

31

∴ c = 22 ba − = 91

41− =

65

จุดศูนยกลาง คือ (0, 0)จุดยอด คือ (0,

21± )

โฟกัส คือ (0, 65± )

ความยาวแกนเอก คือ 1ความยาวแกนโท คือ

32

(3) 4x2 + 9y2 – 36y = 04x2 + 9 (y2 – 4y + 4) = 36∴ 4x2 + 9(y – 2)2 = 36∴

4)2y(

9x 22 −

+ = 1สังเกตวา ตัวหารของ x2 มากกวาตัวหารของ (y – 2)2

ดังนั้น แกนเอกอยูในแนวนอน∴ a2 = 9 และ b2 = 4∴ a = 3 และ b = 2∴ c = 22 ba − = 49− = 5

จุดศูนยกลาง คือ (0, 2)จุดยอด คือ (±3, 2)โฟกัส คือ ( 5± , 2)ความยาวแกนเอก คือ 6

)2,5(− )2,5(

X

Y

( 0 , 0 )

( 3 , 2 )

( 0 , 4 )

( -3 , 2 )( 0 , 2 )

)65,0( −

)65,0(

)0,31(− )0,

31(

)21,0( −

)21,0(

X

Y

ความยาวแกนโท คือ 4






พ.ศ. ๒๕๔๗



292

(4) 2x2 – 4x + y2 + 4y = 22(x2 – 2x + 1) + (y2 + 4y + 4) = 2 + 2 + 42(x – 1)2 + (y + 2)2 = 8∴

8)2y(

4)1x( 22 +

+− = 1

เนื่องจากตัวหารของ (y + 2)2 มากกวาตัวหารของ (x – 1)2

ดังนั้น แกนเอกอยูในแนวตั้ง∴ a2 = 8 และ b2 = 4∴ a = 22 และ b = 2∴ c = 22 ba − = 48− = 2จุดศูนยกลาง คือ (1, –2)จุดยอด คือ (1, 222±− )โฟกัส คือ (1, 0), (1, – 4)ความยาวแกนเอก คือ 24

ความยาวแกนโท คือ 4

12. (1) ∴ x2 = –8yสังเกตวา 4p = –8∴ p = –2 < 0ดังนั้น พาราโบลาเปนโคงเปดลงดานลางจุดยอด คือ (0, 0)โฟกัส คือ (0, –2)ไดเรกตริกซ คือ y = 2

(2) ∴ y2 = 2xสังเกตวา 4p = 2∴ p =

21 > 0

ดังนั้น พาราโบลาเปนโคงเปดทางขวาจุดยอด คือ (0, 0)

)222,1( −−

)222,1( +−

X

Y

(1,0)

(1,-2)

(1,-4)

(3,-2)(-1,-2)

X

Y

y = 2

(0,0)

(0,-2)

21x −=

)0,21( X

Y

โฟกัส คือ (21 , 0)







พ.ศ. ๒๕๔๗



293

(3) y2 – 4y = x – 2∴ y2 – 4y + 4 = x – 2 + 4∴ (y – 2)2 = (x + 2)สังเกตไดวา 4p = 1∴ p =

41 > 0

ดังนั้น พาราโบลาเปนโคงเปดไปทางขวาจุดยอด คือ (–2, 2)โฟกัส คือ )2,

47(−


(4) 2x2 + 6x = –5y – 102(x2 + 3x +

49 ) = –5y – 10 +

29

2)23x(2 + = –5y –

211

2)23x( + = )

1011y(

25 +−

สังเกตวา 4p =25−

∴ p =85− < 0

ดังนั้น พาราโบลาเปนโคงเปดลงดานลางจุดยอด คือ )

1011,

23( −−

โฟกัส คือ )4069,

23( −−


)1011,

23( −−

4019y −=

)4069,

23( −−

X

Y

X

Y

x = 94

−

(-2, 2) ( 74

− , 2)






พ.ศ. ๒๕๔๗



294

13. (1) ∴8y

16x 22

− = 1

สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ x2 เทากับ 161 ซ่ึงเปนจํานวนบวก

ดังนั้น ไฮเพอรโบลามีแกนตามขวางอยูในแนวนอน∴ a2 = 16 และ b2 = 8∴ a = 4 และ b = 22

∴ c = 22 ba + = 816+ = 62

จุดศูนยกลาง คือ (0, 0)จุดยอด คือ (±4, 0)โฟกัส คือ ( 62± , 0)เสนกํากับ คือ y = x

22±

(2) ∴16x

4y 22

− = 1


ดังนั้น แกนตามขวางอยูในแนวตั้ง∴ a2 = 4 และ b2 = 16∴ a = 2 และ b = 4∴ c = 22 ba +

= 164+ = 52

จุดศูนยกลาง คือ (0, 0)จุดยอด คือ (0, ±2)โฟกัส คือ (0, 52± )เสนกํากับ คือ y = x

21± )52,0(F2 −

)52,0(F1

X

Y

(0,2)

(0,-2)

(4,0)(-4,0)

(0, – 22 )

(0, 22 ) x22y=x

22y −=

)0,62(− )0,62(( 4 , 0 )( -4 , 0 ) X

Y

F1F2






พ.ศ. ๒๕๔๗



295

(3) 9y2 + 18y – (x2 + 6x) = 189(y2 + 2y + 1) – (x2 + 6x+ 9) = 18 + 9 – 99(y + 1)2 – (x + 3)2 = 18∴

18)3x(

2)1y( 22 ++

− = 1สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ (y + 1)2 เปนจํานวนบวกดังนั้น แกนตามขวางอยูในแนวตั้ง∴ a2 = 2 และ b2 = 18∴ a = 2 และ b = 23

∴ c = 22 ba + = 182+ = 52

จุดศูนยกลาง คือ (–3, –1)จุดยอด คือ (–3, 21±− )โฟกัส คือ (–3, 521±− )เสนกํากับ คือ y = x

31±

)521,3(F2 −−−

)521,3(F1 +−−

)21,3( +−−

)21,3( −−−

)1,233( −−− )1,233( −+−X

Y

(-3,-1)






พ.ศ. ๒๕๔๗



296

(4) y2 – 6y – x2 = 0y2 – 6y + 9 – x2 = 9∴

9x

9)3y( 22

−− = 1


ดังนั้น แกนตามขวางอยูในแนวตั้ง∴ a2 = 9 = b2

∴ a = 3 = b∴ c = 22 ba + = 99+ = 23จุดศูนยกลาง คือ (0, 3)จุดยอด คือ (0, 0), (0, 6)โฟกัส คือ (0, 233± )เสนกํากับ คือ y = ±x

14. (1) ∴ y2 = –12(x – 1) เปนสมการพาราโบลาสังเกตวา 4p = –12∴ p = –3 < 0ดังนั้น พาราโบลาเปนโคงเปดทางซายจุดยอด คือ (1, 0)โฟกัส คือ (–2, 0)

X

Y

(1,0)F(-2,0)

x = 4

)233,0(F1 +

)233,0(F2 −

X

Y

(3,3)(-3,3) (0,3)(0,6)

(0,0)






พ.ศ. ๒๕๔๗



297

(2) ∴144x

12yy 22

+− = 0

∴144x

1241yy 2

2

++−

= 481

∴144x

12

)21y( 2

2

+−

= 481

∴3

x

)41(

)21y( 2

2

+−

= 1 เปนสมการวงรี

สังเกตวา ตัวหารของ x2 มากกวาตัวหารของ 2)21y( −

ดังนั้น แกนเอกอยูในแนวนอน∴ a2 = 3 และ b2 =

41

∴ a = 3 และ b = 21

∴ c = 22 ba − = 413− =

211

จุดศูนยกลาง คือ (0, 21 )

จุดยอด คือ ( 3± , 21 )

โฟกัส คือ 211(± ,

21 )

)21,3()

21,3(− )

21,

211(F2 − )

21,

211(F1

)21,0(

X

Y






พ.ศ. ๒๕๔๗



298

(3) x2 – y2 = –144∴

144y2

– 144x 2

= 1 เปนสมการไฮเพอรโบลาสังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ y2 เทากับ

1441 ซ่ึงเปนจํานวนบวก

ดังนั้น แกนตามขวางอยูในแนวตั้ง∴ a2 = 144 = b2

∴ a = 12 = b∴ c = 22 ba + = 144144+ = 212

จุดยอด คือ (0, ±12)โฟกัส คือ (0, ± 212 ) เสนกํากับ y = ±x

)212,0(F2 −

)212,0(F1

X

Y

(0,12)

(0,-12)

(12,0)(-12,0)






พ.ศ. ๒๕๔๗



299

(4) x2 + 6x – 9y2 = 0x2 + 6x + 9 – 9y2 = 9∴ (x + 3)2 – 9y2 = 9∴ 2

2

y 9

)3x(−

+ = 1 เปนสมการไฮเพอรโบลา

สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ (x + 3)2 เทากับ 91 ซ่ึงเปนจํานวนบวก

ดังนั้น แกนตามขวางอยูในแนวนอน∴ a2 = 9 และ b2 = 1∴ a = 3 และ b = 1∴ c = 22 ba + = 10

จุดยอด คือ (0, 0), (–6, 0)โฟกัส คือ (–3 0,10± ) เสนกํากับ y = )3x(

31

+±

(5) 4x2 – 8x + y2 – 8y = 04(x2 – 2x + 1) + y2 – 8y + 16 = 4 + 164(x – 1)2 + (y – 4)2 = 20

5)1x( 2− +

20)4y( 2− = 1 เปนสมการวงรี

สังเกตวา ตัวหารของ (y – 4)2 มากกวาตัวหารของ (x – 1)2

)0,103( −− X

Y

(0,0)(-3,0)(-6,0) )0,103( +−F2 F1






พ.ศ. ๒๕๔๗



300

ดังนั้น แกนเอกอยูในแนวตั้ง∴ a2 = 20 และ b2 = 5∴ a = 52 และ b = 5

∴ c = 22 ba − = 520− = 15

จุดศูนยกลาง คือ (1, 4)จากยอด คือ (1, 4 52± )โฟกัส คือ (1, 4 15± )

(6) 3x2 – 6x – 6y = 103(x2 – 2x + 1) = 6y + 10 + 3∴ (x – 1)2 = )

613y(2 +

สังเกตวา 4p = 2∴ p =

21 > 0

ดังนั้น พาราโบลาเปนโคงซึ่งเปดขึ้นดานบนจุดยอด คือ (1,

613− )

โฟกัส คือ )35,1( −

(1, 53

− )X

Y

(1, 136

− )

)154,1( −

)154,1( +

)4,51( +)4,51( −

)524,1( +

)524,1( −

)4,1(

X

Y

F1

F2






พ.ศ. ๒๕๔๗



301

(7) y2 – 16y + 64 = x + 64∴ (y – 8)2 = x + 64สังเกตวา 4p = 1∴ p =

41 > 0

ดังนั้น พาราโบลาเปนโคงซึ่งเปดไปทางขวาจุดยอด คือ (– 64, 8)โฟกัส คือ )8,

4255(−

เสนไดเรกตริกซ คือ x = 4

257−

(8) 2x2 – 4x – y2 = – 42(x2 – 2x + 1) – y2 = – 4 + 22(x – 1)2 – y2 = –2∴ 2

2

)1x( 2

y−− = 1 เปนสมการไฮเพอรโบลา


ดังนั้น แกนตามขวางอยูในแนวตั้ง∴ a2 = 2 และ b2 = 1∴ a = 2 และ b = 1∴ c = 22 ba + = 12 + = 3

จุดศูนยกลาง คือ (1, 0)จุดยอด คือ (1, 2± )โฟกัส คือ (1, 3± )เสนกํากับคือ y = )1x(2 −±

4257x −=

)8,4

255(F −

X

Y

(-64,8)

F2(1,- 3 )

F1(1, 3 )

)2,1( −

)2,1(X

Y

(1,0)






พ.ศ. ๒๕๔๗



302

(9) 2x2 – 12x + y2 + 6y = –262(x2 – 6x) + y2 + 6y = –262(x2 – 6x + 9) + y2 + 6y + 9 = –26 + 18 + 9∴ 2

2

)3y( )

21(

)3x(++

− = 1 เปนสมการวงรี

สังเกตวา ตัวหารของ (y + 3)2 มากกวาตัวหารของ (x – 3)2

ดังนั้น แกนเอกอยูในแนวตั้ง∴ a2 = 1 และ b2 =

21

∴ a = 1 และ b = 2

1

∴ c = 22 ba − = 2

1

จุดศูนยกลาง คือ (3, –3)จุดยอด คือ (3, –2), (3, – 4)โฟกัส คือ (3,

213±− )

)3,2

13( −+

)2

13,3( +−

)2

13,3( −−

)3,2

13( −−

X

Y

(3, –2)

(3,-4)

(3,-3)

F1

F2






พ.ศ. ๒๕๔๗



303

(10) 36x2 – 36x – 4y2 – 8y = 3136(x2 – x +

41 ) – 4(y2 + 2y + 1) = 31 + 9 – 4

22 )1y(4 )21x(36 +−− = 36

∴9

)1y( )21x(

22 +−− = 1 เปนสมการไฮเพอรโบลา

สังเกตวา สัมประสิทธิ์ของ (x – 21 )2 เทากับ 1 ซ่ึงเปนจํานวนบวก

ดังนั้น แกนตามขวางอยูในแนวนอน∴ a2 = 1 และ b2 = 9∴ a = 1 และ b = 3∴ c = 22 ba + = 91+ = 10

จุดศูนยกลาง คือ (21 , –1)

จุดยอด คือ (21− , –1), (

23 , –1)

โฟกัส คือ )1,1021( −±

เสนกํากับคือ (y + 1) = )21x(3 −±

)1,1021( −+)1,10

21( −− )1,

21( −− )1,

23(

)1,21( −

X

Y






พ.ศ. ๒๕๔๗



304

(11) 9x2 – 15x + 8y2 + 8y = –279(x2 –

3625x

35 + ) + )

41yy(8 2 ++ = 2

42527 ++−

22 )21y(8)

65x(9 ++− =

475−

ซ่ึงเปนไปไมได เนื่องจาก 4

75− < 0 แต 9(x –

65 )2 + 8(y +

21 )2 ≥ 0

ดังนั้น ไมมีกราฟในระนาบจํานวนจริง

(12) x2 – 4x + 4y2 = 8x2 – 4x + 4 + 4y2 = 8 + 4(x – 2)2 + 4y2 = 12

3y

12)2x( 22


สังเกตวา ตัวหารของ (x – 2)2 มากกวาตัวหารของ y2

ดังนั้น แกนเอกอยูในแนวนอนดังนั้น a2 = 12 และ b2 = 3∴ a = 32 และ b = 3

∴ c = 22 ba − = 312− = 3จุดศูนยกลาง คือ (2, 0)จุดยอด คือ (2 32± , 0)โฟกัส คือ (5, 0), (–1, 0)

)0,322( − )0,322( +

)3,2( −

)3,2(

X

Y

(2, 0)(–1, 0) (5, 0)F2 F1






พ.ศ. ๒๕๔๗



305

15. (1) จากโจทย จะไดวา พาราโบลาเปนโคงเปดขึ้นดานบน∴ 2p = 1 – (–1) = 2∴ p = 1∴ จุดยอด คือ (0,

2)1(1 −+ ) = (0, 0)

ดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการ คือ x2 = 4y

(2) จากโจทย จะไดวา แกนเอกอยูในแนวตั้ง∴ c =

208− = 4

∴ 2a = 10∴ a = 5∴ b2 = a2 – c2 = 25 – 16 = 9ดังนั้น สมการวงรีที่ตองการ คือ

25)4y(

9x 22 −

+ = 1

(3) จากโจทย จะไดวา แกนตามขวางอยูในแนวตั้ง(h, k) = )

2)2(2,0( −+ = (0, 0)

∴ a =2

)2(2 −− = 2∴

ba =

21

∴ b = 2a = 4ดังนั้น สมการไฮเพอรโบลาที่ตองการ คือ

16x

4y 22

− = 1

(4) จากโจทย จะไดวา ไฮเพอรโบลามีแนวตามขวางอยูในแนวตั้ง∴ c =

217− = 3

∴ a =2

26 − = 2

∴ b2 = c2 – a2 = 9 – 4 = 5ดังนั้น สมการไฮเพอรโบลาที่ตองการคือ

4)4y( 2− –

5)2x( 2− = 1

(5) จากโจทย จะไดวา วงรีมีแกนเอกอยูในแนวตั้ง∴ c =

213− = 1

(h, k) = )2

31,2

11( ++ = (1, 2)






พ.ศ. ๒๕๔๗



306

เนื่องจากจุดยอดจุดหนึ่งอยูบนแกน X ดังนั้น จุดยอดจุดนั้น คือ (1, 0)∴ a = 2 – 0 = 2∴ b2 = a2 – c2 = 4 – 1 = 3ดังนั้น สมการวงรีที่ตองการคือ

4)2y(

3)1x( 22 −

+− = 1

(6) จากโจทย จะไดวา พาราโบลาเปนโคงเปดดานขวา∴ p = 5 – 0 = 5ดังนั้น สมการพาราโบลาที่ตองการคือ (y – 5)2 = 20(x – 5)

(7) จากโจทย จะไดวา วงรีมีแกนเอกอยูในแนวตั้ง∴ 2a = 12 – (–8) = 20∴ a = 10∴ (h, k) = )

2)8(12,

277( −++ = (7, 2)

แทนคา (x, y) = (1, 8) ลงในสมการมาตรฐาน2

2

2 )( b

)(100

2871 −+

− = 1

∴10036

b36

2 + = 1

∴ 2b36 = 100

64

∴ b2 = 643600 =

4225

ดังนั้น สมการวงรีที่ตองการ คือ 100

)2y( 225

)7x(4 22 −+

− = 1

(8) จากโจทย พาราโบลาเปนโคงเปดทางขวาสมการมาตรฐานคือ y2 = 4p(x + 1) ------ (1)แทนคา (x, y) = (0, 2) ลงในสมการ (1)4 = 4p(0 + 1)p = 1ดังนั้น สมการมาตรฐานที่ตองการคือ y2 = 4(x + 1)

X

Y

(-1,0)(0,0)

x = -2

Education

Add m4-2-chapter3