1

เซต

นิยามแล

ะความเขาใจทั่ว

ไป

ความเทากันข

องเซต

สับเซต

Ope

ratio

n ขอ

งเซต

เพาเว

อรเซต

คอมพ

ลีเมน

ต

ยูเนยีน

อินเตอรเซกชั

น

ผลตาง

แผนภ

าพเวน

นและ

ออยเล

อร

โจทย

ปญหา

เกี่ยวกับ

เซต

2

1. นิยามและความเขาใจท่ัวไปในเรื่องเซต

เซต คือกลุมของขอมูลท่ีเราใหความสนใจหรือเปนไปตามเง่ือนไขท่ีกําหนด เราเรียกขอมูล

เหลานั้นวาสมาชิกของเซต โดยเราจะใชเคร่ืองหมาย { , } ,∈และ∉ มาชวยในการเขียนและอธิบายเกี่ยวกับสมาชิกของเซตนั้นๆเชน ถา A เปนเซตของจํานวนเต็มบวกท่ีนอยกวา 5 – กลุมของขอมูลท่ีเปนจํานวนเต็มบวกท่ีนอยกวา 5 หรือสมาชิกของเซต A ไดแก 1,2,3,4 จะเห็นไดวา 2 เปนสมาชิกของเซต A, 3 เปนสมาชิกของเซต A ในขณะท่ี -1 ไมเปนสมาชิกของเซต A สามารถแทนเซต A ไดดังนี้ A = { 1,2,3,4} หรือสามารถเขียนสลับสมาชิกของเซต A กอนหลังไดท้ังส้ินดังนี้ A = { 2,1,3,4} หรือ A = { 2,1,4,3} หรือ A = { 1,2,4,3} หรือ

A = { 4,1,2,3} เปนตน , 2∈A , 3∈A และ -1 ∉A

1.1 การเขียนเซต – มี 2 วิธี ดังนี้ การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก คือการเขียนเซตโดยการเขียนสมาชิกของเซตน้ันแตละตัวลง

ในเคร่ืองหมายวงเล็บปกกา({ } ) และใชเคร่ืองหมายจุลภาค(,) ค่ัน เชน A={ 1,2,3,4,5,6} B={ …,-2,-1,0,1,2,…} C={ มวง,คราม,น้ําเงิน,เขียว,เหลือง,แสด,แดง}

SET

3

การเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไข คือการเขียนเซตโดยใชตัวแปรแทนสมาชิกของเซตและมีการกําหนดประเภทของตัวแปร แลวจึงมีการบอกเง่ือนไขของสมาชิกท่ีอยูในรูปของตัวแปร เชน A={ x∈I | 0 < x < 10} B={ x∈R | 3 ≤ x < 100} C={ x∈Q | 2 3 1 0x x− + = } หมายเหตุ : I เปนเซตของจํานวนเต็ม I + เปนเซตของจํานวนเต็มบวก I − เปนเซตของจํานวนเต็มลบ R เปนเซตของจํานวนจริง Q เปนเซตของจํานวนตรรกยะ N เปนเซตของจํานวนนับ P เปนเซตของจํานวนเฉพาะ

แบบฝกหัด

1. เขียนเซตตอไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก 1.1 A เปนเซตของจํานวนเต็มซ่ึงมากกวา 0 แตนอยกวา 10

A=

1.2 B เปนเซตของจํานวนนับซ่ึงนอยกวา 5 B=

1.3 C เปนเซตของจํานวนเต็มบวกซ่ึงมากกวา 100

C=

1.4 D เปนเซตของจํานวนเต็มคู D=

4

1.5 E เปนเซตคําตอบของสมการ 2 4 3 0x x− + = E=

1.6 F เปนเซตของจํานวนเต็มซ่ึงเปนคําตอบของสมการ 22 3 0x x− − = F=

2. เขียนเซตตอไปนี้แบบบอกเง่ือนไขของสมาชิก 2.1 A เปนเซตของจํานวนจริงซ่ึงมากกวา 0 แตนอยกวา 7 A= 2.2 B เปนเซตของจํานวนเต็มซ่ึงมากกวา 0 แตนอยกวา 7

B=

2.3 C เปนเซตของจํานวนเต็มซ่ึงนอยกวา 1,000 C=

2.4 D เปนเซตของจํานวนเต็มบวกซ่ึงมากกวา 10

D=

2.5 E เปนเซตของจํานวนนับซ่ึงมากกวา 1 แตนอยกวาหรือเทากับ 52 E=

2.6 F เปนเซตของจํานวนเต็มซ่ึงเปนคําตอบของสมการ 2 10 25 0x x− + = F=

3. เขียนเซตตอไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก 3.1 A={ x∈I | 1 < x < 6} A=

5

3.2 B={ x∈N | x > 12} B=

3.3 C={ x∈I | 2 25x = }

C=

3.4 D={ x∈N | 2 25x = } D=

4. เขียนเซตตอไปนี้แบบบอกเง่ือนไขของสมาชิก

4.1 A = { 1,2,3,4,5,6,7} A = 4.2 B = { 0,1,2,3,4,5,6,7} B = 4.3 C = { 10,11,12,13,…} C = 4.4 D = { 1,2,3,…,98,99,100} D =

4.5 E = 1 2 3 4, , , ,...2 3 4 5

{ }

E = 4.6 F = { 5,10,15,20,25,…} F =

6

1.2 ประเภทของเซต – เซตสามารถแบงเปน 2 ประเภทตามจํานวนสมาชิกของเซต 1. เซตจํากัด คือเซตซ่ึงสามารถบอกจํานวนสมาชิกไดแนนอนวามีจํานวนเทาไร เชน

A={ 1,2,3,4,5} มีจํานวนสมาชิก 5 ตัว B={ 1,2,3,…,100} มีจํานวนสมาชิก 100 ตัว C= 2| 100x I x{ ∈ = } มีจํานวนสมาชิก 2 ตัว D= | 1x R x x{ ∈ = + } มีจํานวนสมาชิก 0 ตัว

2. เซตอนันต คือเซตซ่ึงไมสามารถบอกจํานวนสมาชิกท่ีแนนอนของเซตนั้นได เชน

A={ 1,2,3,…} B={ …,-2,-1,0,1,2,…} C= 2| 0x R x{ ∈ ≠ }

แบบฝกหัด

จงบอกวาเซตตอไปนี้เปนเซตจํากัดหรือเซตอนันต 1. A={ 1,2,3,4,5}

7

2. B={ 0,1,2,…}

3. C={ 0}

4. D={ }

5. E= | 4x I x{ ∈ > }

6. F= | 0 10x N x{ ∈ < < }

7. G= | 0 10x R x{ ∈ < < }

8. H={ …,-3,-2,-1,…}

9. I= 2| 8 16 0x I x x{ ∈ + + = }

10. J={ 0,1,2,…,20}

11. K= 2| 3x N x{ ∈ = − }

12. L= |x P x{ ∈ <10}

2. ความเทากันของเซต เซต A เทากับเซต B เม่ือ สมาชิกทุกตัวของเซต A เปนสมาชิกของเซต B และสมาชิก

ทุกตัวของเซต B เปนสมาชิกของเซต A ใชสัญลักษณ A=B

8

เซต A ไมเทากับเซต B เม่ือ มีสมาชิกบางตัวของเซต A ไมเปนสมาชิกของเซต B หรือมีสมาชิกบางตัวของเซต B ไมเปนสมาชิกของเซตA ใชสัญลักษณ A≠B เซต A เทียบเทาเซต B ก็ตอเม่ือ จํานวนสมาชิกของเซต A เทากับจํานวนสมาชิกของเซต B

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]A B x A x B x B x A

A B x A x B x B x A

⎡ ⎤= ↔ ∀ ∈ ∈ ∧ ∀ ∈ ∈⎣ ⎦⎡ ⎤≠ ↔ ∃ ∈ ∉ ∨ ∃ ∈ ∉⎣ ⎦

A เทียบเทาเซต B [ ]( ) ( )n A n B↔ =

ตัวอยางเชน 1. A={ 1,2,3,4,5,6,7} , B={ 1,3,2,4,6,5,7} จะไดวา

A=B เพราะสมาชิกทุกตัวของ A เปนสมาชิกท่ีอยูใน B และสมาชิกทุกตัวของ B เปนสมาชิกใน A

2. A={ 1,2,3,4,5,6,7} , B={ 1,2,3,4,5,6,7,8} จะไดวา A≠B เพราะวา 8 เปนสมาชิกใน B แตไมเปนสมาชิกใน A

3. A={ 1,2,3,4,5,6,7} , B={ 10,20,30,40,50,60,70} จะไดวา A เทียบเทา B เพราะวาท้ัง A และ B มีจํานวนสมาชิกเทากันคือมีสมาชิก 7 ตัว

4. A={ 2,3,4,5} , B= |1x I x{ ∈ < < 6} ทําการแจกแจงสมาชิกของเซต B ท่ีเปนจํานวนเต็มท่ีมากกวา 1 แตนอยกวา 6 ไดเปน B={ 2,3,4,5} เพราะฉะน้ัน A=B

5. A= { -5,3,3} , B= 2| 2 15 0x I x x{ ∈ + − = } เซต A เขียนสมาชิก 3 ซํ้ากัน เซต A={ -5,3} และจากเซต B ทําการแกสมการหาคา x ท่ีเปนจํานวนเต็มและสอดคลองกับสมการ 2 2 15 0x x+ − = ดังนี้

2 2 15 0( 5)( 3) 0

5,3

x xx x

x

+ − =+ − =

= −

เซต B={ -5,3} A B∴ =

6. A={ x|x เปนจํานวนเฉพาะที่นอยกวา 10} B= |10 13x I x{ ∈ ≤ ≤ }

9

เขียนเซต A และ B แบบแจกแจงสมาชิกไดดังนี ้A={ 2,3,5,7} , B={ 10,11,12,13} เนื่องจากท้ัง A และ B มีสมาชิกเทากันคือ 4 ตัว ∴A เทียบเทา B ขอสังเกต : ถา A=B แลว A เทียบเทา B ดวย ถา A เทียบเทา B แลว A ไมจําเปนตองเทากับ B

แบบฝกหัด 1. เซตตอไปนี้เทากันหรือไม

1.1 A = { -4,8} B = 2| 4 32 0x I x x{ ∈ − − = }

1.2 A = | 6x I x{ ∈ < <10} B = { 6,7,8,9}

1.3 A = |x N x{ ∈ < 6} B = |x I x{ ∈ < 6}

1.4 A = |x P x{ ∈ < 5}

B = 2| 5 6 0x I x x{ ∈ − + = }

10

1.5 A = 2| 144x I x{ ∈ = } B = 2| 24 144 0x I x x{ ∈ + + = }

1.6 A = 2| 25x I x+{ ∈ = } B = 2| 10 25 0x I x x{ ∈ − + = }

1.7 A = 2| 0x I x{ ∈ = } B = | 7x I x{ ∈ = − }

1.8 A = { x|x เปนจํานวนเต็มลบท่ีมากกวา -3} B = 2| 3 2 0x I x x{ ∈ + + = }

2. เซตตอไปนี้เซตใดเทากันหรือเทียบเทากัน 2.1 A = {2,6,−1}

B = {−1,6, 2} C = {2,6,0}

2.2 A = {1,6, 2} B = {2,3,9} C = {0,7,−1}

11

2.3 A = 2| 12 0x I x x{ ∈ − − = }

B = 2| 25x I x{ ∈ = } C = | ( 5)( 5) 0x I x x{ ∈ − + = }

2.4 A = 2| 3 18 0x I x x{ ∈ + − = }

B = 2| 6 9 0x I x x{ ∈ − + = } C = | 0 1x I x{ ∈ ≤ ≤ }

2.5 A = | 10x P x{ ∈ < } B = | ( 2)( 3)( 5)( 7) 0x I x x x x{ ∈ − − − − = } C = 2| 2x I x n{ ∈ = โดยท่ี n เปนจํานวนนับ}

2.6 A = |x x{ เปนจํานวนเต็มคูระหวาง 2 ถึง 10} B = |x x{ เปนจํานวนเต็มค่ีระหวาง 1 ถึง 9} C = 2| ( 10 24)( 8) 0x I x x x{ ∈ − + − = }

12

3. แผนภาพเวนนและออยเลอร เอกภพสัมพันธ คือ เซตซ่ึงกําหนดขอบเขตท่ีจะศึกษา ในการศึกษาเร่ืองเซตจะไมศึกษา

สมาชิกของเซตซ่ึงอยูนอกเอกภพสัมพัทธ เราใชสัญลักษณ แทนเอกภพสัมพัทธ ตัวอยาง 1. หาสมาชิกของ A = 2| 2 15 0x x x{ + − = } เม่ือ คือเซตของจํานวนเต็ม

22 15 0( 3)(2 5) 0

x xx x

+ − =+ − =

x+3 = 0 หรือ 2x-5 = 0

x = -3 x=52

3A∴ = {− } 2. หาเอกภพสัมพัทธเม่ือ A = 2| 100 0x x{ − = } มีสมาชิกคือ 10

2 100 0( 10)( 10) 0

xx x

− =+ − =

x+10 = 0 หรือ x-10 = 0 x = 10 x = -10

∴ คือ เซตของจํานวนเต็มบวก

13

แบบฝกหัด

1. เขียนเซตตอไปนี้แบบแจกแจงสมาชิกตามเอกภพสัมพัทธท่ีกําหนด 1.1 A = | 2 2x x{ − ≤ ≤ } เม่ือ เปนเซตของจํานวนเต็ม

1.2 B = | 2 2x x{ − ≤ ≤ } เม่ือ เปนเซตของจํานวนเต็มบวก

1.3 C = | 1x x x{ + ≠ } เม่ือ เปนเซตของจํานวนเต็ม

1.4 D = 2| 10x x{ = − } เม่ือ เปนเซตของจํานวนจริง

1.5 E = 2| 4 21 0x x x{ − − = } เม่ือ เปนเซตของจํานวนเต็ม

1.6 F = 2| 5 6 0x x x{ − − = } เม่ือ เปนเซตของจํานวนเต็มลบ

1.7 G = 2| 6 9 0x x x{ + + = } เม่ือ เปนเซตของจํานวนเต็มบวก 1.8 H = |1x x{ < <10} เม่ือ เปนเซตของจํานวนประกอบ

14

2. หาเอกภพสัมพัทธของเซตตอไปนี้ 2.1 A = | 1 1x x{ − ≤ ≤ } สมาชิก คือ -1,0,1

2.2 B = | 1 1x x{ − ≤ ≤ } สมาชิก คือ 0,1

2.3 C = |x x{ < 0} ไมมีสมาชิก

2.4 D = | 0x x{ ≥ } เปนเซตอนันต

2.5 E = 2| 2 15 0x x x{ − − = } สมาชิก คือ -3,5

2.6 F = 2| 2 15 0x x x{ − − = } สมาชิก คือ -3

2.7 G = 2| 6 7 5 0x x x{ − − = } ไมมีสมาชิก

2.8 H = | 0x x{ < < 2} เปนเซตอนันต

15

แผนภาพเวนนและออยเลอร คือ แผนภาพซ่ึงสรางข้ึนเพื่อแสดงขอบเขตและความสัมพันธ

ของเซต ท้ังนี้นิยมสรางแผนภาพโดยใชรูปส่ีเหล่ียมผืนผาแทนเอกภพสัมพัทธและวงกลมแทนเซตใดๆ สามารถสรางแผนภาพแสดงความสัมพันธของเซต ดังนี้

1. เซต A และเซต B ไมมีสมาชิกรวมกัน สรางแผนภาพโดยวงกลมซ่ึงแทนเซต A และเซต B ไมมีพื้นท่ีทับซอนกัน เชน

A = 3,2{ } , B = ,7{−1 } เซตท้ังสองไมมีสมาชิกรวมกนั

2. เซต A และเซต B มีสมาชิกรวมกันบางสวน สรางแผนภาพโดยวงกลมซ่ึงแทนเซต A และเซต B มีพื้นท่ีบางสวนทับซอนกัน เชน

A = , 1,4{0 − } , B = ,6,9{4 } เซตท้ังสองมีสมาชิกรวมกนั คือ 4

3,2 -1,7 A B

0,-1 6,9 4 A B

16

3. เซต A มีสมาชิกทุกตัวอยูในเซต B สรางแผนภาพโดยวงกลมซ่ึงแทนเซต A มีขนาดเล็ก อยูภายในวงกลมซ่ึงแทนเซต B มีขนาดใหญ เชน

A = ,1{7 } , B = ,7,1,6, 2{0 − }

4. เซต A เทากับเซต B สรางแผนภาพโดยวงกลมซ่ึงแทนเซต A และเซต B มีขนาดเทากันและซอนทับกัน เชน

A = ,1,8{−2 } B = ,1,8{−2 } หมายเหตุ : สําหรับสมาชิกของเอกภพสัมพัทธซ่ึงไมเปนสมาชิกของเซตใดๆ ใหเขียนสมาชิกนั้นในรูปส่ีเหล่ียมซ่ึงไมอยูในวงกลม เชน

A B

7,1

0 6

-2

-2

1 8 A B

A B 7 9 1 -5

-4 0 6

17

A = ,9,1{7 } B = 1, 5{ − } สวน ,0,6{−4 } เปนสมาชิกของเอกภพสัมพัทธแตไมเปนสมาชิกของเซต A และเซต B

แบบฝกหัด

1. สรางแผนภาพแทนขอมูลตอไปนี ้1.1 = {−9,−2, −1,0,5,6,7}

A = {−2,6,7} B = {−9,7}

1.2 = {−7,−3,−2, −1,0, 2,4,6}

A = {−3,2,6} B = {−7,4}

1.3 = {−9, −3,0,1, 4,7}

A = {−9,0,7} B = {0,7,−9}

18

1.4 = {−9, 4,1}

A = {−9,4} B = {4,−9,1}

1.5 = {−7, −1, 2,4,6}

A = {−7,2, 4} B = {4}

1.6 = {−4,−2,0,1,9}

A = {−4, −2,1,9} B = {−2,0,1,9}

1.7 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

A = {1, 2,4,5} B = {1, 2,3,8} C = {1,3, 4,7}

19

1.8 = {−5, −4, 2,3,7}

A = {2,7} B = {−5,2,3} C = {−4,2,3}

1.9 = {−9,−4,−3,0,1,2,6,7,9}

A = {0,1,9} B = {−3,0,6} C = {2,7}

1.10 = {−6,−4, −1, 2,4,5,6}

A = {2} B = {−4,2,6} C = {−6, −4, 2,4,6}

20

1.11 = {−9, −1,1, 2,4,5,7}

A = {1} B = {−9,2, 4} C = {1, 2,7}

1.12 = {−7,−6, −4, 2,4,5,9}

A = {2,5} B = {−6,2,4,5} C = {−7,2,9}

2. เขียนเซตตอไปนี้แบบแจกแจงสมาชิกและสรางแผนภาพ

2.1 = | 4 6x I x{ ∈ − ≤ ≤ }

A = 2| 5 6 0x x x{ − − = } B = |x x{ = 4}

21

2.2 = | 3 6x I x{ ∈ − < < }

A = 2| 25x x{ = } B = 2| 8 15 0x x x{ − + = }

2.3 = | 3 5x I x{ ∈ − ≤ ≤ }

A = 2| 6 0x x x{ + − = } B = 2| 7 10 0x x x{ − + = }

2.4 = | 2 5x I x{ ∈ − ≤ ≤ }

A = 2| 25x x{ = } B = 2| ( 4)( 5) 0x x x{ − − = }

22

2.5 = | 0 6x I x{ ∈ < < }

A = 3 2| 4 4 16 0x x x x{ − − + = } B = 3 2| 11 40 48 0x x x x{ − + − = } C = 3 2| 4 4 0x x x x{ − − + = }

2.6 = | 0 6x I x{ ∈ < < }

A = 3 2| 8 17 10 0x x x x{ − + − = } B = | 3x x{ = } C = 2| 4 3 0x x x{ − + = }

23

4. สับเซต สับเซต คือเซตซ่ึงสมาชิกทุกตัวของเซตนั้นเปนสมาชิกของเซตอีกเซตหน่ึง หรืออาจกลาววา เซต A เปนสับเซตของเซต B ก็ตอเม่ือ สมาชิกทุกตัวของเซต A เปนสมาชิกของเซต B ใชสัญลักษณ A ⊂ B แทน เซต A เปนสับเซตของเซต B ในกรณีตรงขามกัน เซต A ไมเปนสับเซตของเซต B ก็ตอเม่ือ สมาชิกบางตัวของเซต A ไมเปนสมาชิกของเซต B ใชสัญลักษณ A ⊄ B แทน เซต A ไมเปนสับเซตของเซต B

[ ] [ ][ ] [ ]A B x A x B

A B x A x B

⎡ ⎤⊂ ↔ ∀ ∈ ∈⎣ ⎦⎡ ⎤⊄ ↔ ∃ ∈ ∉⎣ ⎦

สมบัติของสับเซต :

1. เซตวางเปนสับเซตของทุกเซต 2. เซตทุกเซตเปนสับเซตของตัวมันเอง 3. เซตทุกเซตเปนสับเซตของเอกภพสัมพัทธ 4. ถา A ⊂ B และ B ⊂ A แลว A = B 5. ถา A = B แลว A ⊂ B และ B ⊂ A 6. A เปนสับเซตแทของ B เม่ือ A ⊂ B แต B ⊄ A 7. A เปนสับเซตไมแทของ B เม่ือ A ⊂ B และ B ⊂ A หรือ A = B 8. ถา A มีสมาชิก n ตัว แลว A มี 2n สับเซต 9. ถา A มีสมาชิก n ตัว แลว A มีสับเซตแท 2 1n − สับเซต 10. ถา A ⊂ B และ B ⊂ C แลว A ⊂ C 11. เซตวางมีสับเซตเพียง 1 สับเซตคือ เซตวาง

24

แบบฝกหัด 1. หาสับเซตท้ังหมดของเซตตอไปนี ้

1.1 {3,1} 1.2 {−4,2,0} 1.3 {−6,−1,7,9} 1.4 ∅ 1.5 {4,{9}} 1.6 {{7},{0}}

25

2. จงพิสูจนวาเซต A เปนสับเซตของเซต B เม่ือ เปนเซตของจํานวนเต็ม และ

A = 2| 12 36 0x x x{ − + = } B = | 5 8x x{ ≤ ≤ }

3. จงพิสูจนวาเซต A เปนสับเซตไมแทของเซต B เม่ือ A = | 9x x{ = }

B = 2| 81 0x x{ − = }

5. เพาเวอรเซต เพาเวอรเซต คือ เซตของสับเซตท้ังหมดของเซตใดๆ เพาเวอรเซตของเซต A ใชสัญลักษณ P(A)

P(A) = |x x A{ ⊂ }

26

ตัวอยาง เชน 1. ถา A = {0,3,−7} จงหา P(A)

n(A) = 3 จะได n(P(A)) = 32 P(A) = {{0},{3},{−7},{0,3},{0,−7},{3, −7},{0,3, −7},∅} 2. ถา A = {−5,{4},{−5, 4}} จงหา P(A)

n(A) = 3 จะได n(P(A)) = 32

P(A) = {{−5},{{4}},{{−5,4}},{−5,{4}},{−5,{−5,4}},{{4},{−5,4}},{−5,{4},{−5,4}},∅}

สมบัติของเพาเวอรเซต :

1. P(A) ≠ ∅ เม่ือ A เปนเซตใดๆ 2. A ∈P(A) เม่ือ A เปนเซตใดๆ

3. ( )P A∅ ∈ เม่ือ A เปนเซตใดๆ

4. ถา A มีสมาชิก n ตัว แลว P(A) มีสมาชิก 2nตัว

5. A ⊂ B ก็ตอเม่ือ P(A) ⊂ P(B) 6. ถา A เปนเซตอนันต แลว P(A) เปนเซตอนันตดวย

แบบฝกหัด 1. หาเพาเวอรเซตของเซตตอไปนี้ 1.1 A = {9}

1.2 B = {−6,3}

27

1.3 C = {9,0,−2} 1.4 D = {−7, −1,1,7} 1.5 E = ∅ 1.6 F = {3,{7}} 1.7 G = {{0},{4,−1}} 1.8 H = {2,{1, 4},{4}}

28

6. การกระทํา(Operation) ของเซต

การกระทําทางเซต คือ การสรางเซตใหมจากเซตท่ีกําหนด การกระทําทางเซตมี 4 ชนิด คือ ยูเนียน อินเตอรเซกชัน ผลตางและคอมพลีเมนต

6.1 ยูเนียน ยูเนียน คือ การกระทําทางเซตซ่ึงทําใหเกิดเซตใหมซ่ึงมีสมาชิกเปนสมาชิกท้ังหมดของเซตซ่ึง

นํามายูเนียนกัน ใชสัญลักษณ A ∪ B แทนเซต A ยูเนียนกับเซต B

A ∪ B = |x x A{ ∈ หรือ x B∈ }

สามารถเขียนแผนภาพแทนการยูเนยีนของเซต A และเซต B ไดดังนี้ กรณีท่ี 1 –เซต A และเซต B มีสมาชิกรวมกันบางสวน A ∪ B หมายถึงพื้นท่ีท่ีแรเงาดังนี ้

กรณีท่ี 2 – เซต A เปนสับเซตของเซต B A ∪ B หมายถึงพื้นท่ีท่ีแรเงาดังนี ้

A B

A

B

29

กรณีท่ี 3 – เซต B เปนสับเซตของเซต A A ∪ B หมายถึงพื้นท่ีท่ีแรเงาดังนี ้ กรณีท่ี 4 – เซต A เทากับเซต B A ∪ B หมายถึงพื้นท่ีท่ีแรเงาดังนี ้ กรณีท่ี 5- เซต A ไมมีสมาชิกรวมกับเซต B A ∪ B หมายถึงพื้นท่ีท่ีแรเงาดังนี ้

ตัวอยาง เชน 1. A = {2,6,9,10} , B = {1,5,6,8,9} , C = {3,5,7}

จงหา A ∪ B , A ∪ C และ B ∪ C A ∪ B = {1,2,5,6,8,9,10} A ∪ C = {2,3,5,6,7,9,10} B ∪ C = {1,3,5,6,7,8,9}

B

A

B A

B A

30

2. = |x x{ เปนจํานวนเต็มบวกท่ีนอยกวา 10} , A = {1, 2,6,9}

B = {2,8,9} จงสรางแผนภาพของ A ∪ B A ∪ B = {1,2,6,8,9}

สมบัติของยูเนียน :

1. A ∪ B = B ∪ A 2. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) 3. A ∪ A = A 4. A ∪∅ = A 5. A ∪ =

6. ถา A ∪ B =∅ แลว A = ∅ และ B = ∅

7. ถา A ⊂ B แลว A ∪ B = B 8. A ⊂ A ∪ B และ B ⊂ A ∪ B

แบบฝกหัด 1. ให A = {0, 2,5,6} , B = {1, 2,6,8} , C = {2, 4,6} จงเขียนเซตตอไปนี้

แบบแจกแจงสมาชิก 1.1 A ∪ B

1.2 B ∪ A

B A

31

1.3 A ∪ C

1.4 B ∪ C

1.5 A ∪ A

1.6 C ∪ C

1.7 (A ∪ B) ∪ C

1.8 A ∪ (B ∪ C)

2. หา A ∪ B จากเซต A และเซต B ตอไปนี้ 2.1 A = {2,3,6,10}

B = {2,6,8,12} A ∪ B =

2.2 A = {4,5,9} B = {1,6,10} A ∪ B =

2.3 A = {2,3,6,10,12} B = {3,6,12}

A ∪ B =

32

2.4 A = {−4,0, 2} B = {−4,−3,0,1,2}

A ∪ B =

2.5 A = {} B = {−2,0,9,13}

A ∪ B =

2.6 A = {−5,4,8,9} B = {−5,4,8,9} A ∪ B =

2.7 A = {}

B = {} A ∪ B =

2.8 A = {−8,−1,0, 4,5,...}

B = {−8,0,4,...} A ∪ B =

3. สรางแผนภาพของ A ∪ B จากเซตท่ีกําหนด 3.1 = {0,1,2,3,4,5,6,7}

A = {1, 2,3,7} B = {4,6,7}

33

3.2 = {−6,−2,0,1,3,5,6,7}

A = {1,3,6} B = {−2,0,7}

3.3 = {3, 4,6,7,9}

A = {3, 4,6} B = {3, 4,6}

3.4 = {−6,−2,0,1,3,5,7}

A = {−2,0,1,3} B = {−6,1,5,7}

3.5 = {−6, −3,−1,2,4,9}

A = {2,9} B = {−1,2,4,9}

34

3.6 = {−4,2,5,8,9}

A = {−4, 2,5,8,9} B = {8}

6.2 อินเตอรเซกชัน อินเตอรเซกชัน คือ การกระทําทางเซตซ่ึงทําใหเกิดเซตใหมซ่ึงมีสมาชิกรวมกันของเซตซ่ึง

นํามาอินแตอรเซกชันกัน ใชสัญลักษณ A ∩ B แทนเซต A อินเตอรเซกชัน B

A ∩ B = |x x A{ ∈ และ x B∈ } สามารถเขียนแผนภาพแทน A ∩ B ไดดังนี ้ กรณีท่ี 1 –เซต A และเซต B มีสมาชิกรวมกันบางสวน A ∩ B หมายถึงพื้นท่ีท่ีแรเงาดังนี ้

A B

35

กรณีท่ี 2 – เซต A เปนสับเซตของเซต B A ∩ B หมายถึงพื้นท่ีท่ีแรเงาดังนี ้

กรณีท่ี 3 – เซต B เปนสับเซตของเซต A A ∩ B หมายถึงพื้นท่ีท่ีแรเงาดังนี ้ กรณีท่ี 4 – เซต A เทากับเซต B A ∩ B หมายถึงพื้นท่ีท่ีแรเงาดังนี ้ กรณีท่ี 5- เซต A ไมมีสมาชิกรวมกับเซต B A ∩ B หมายถึงเซตวาง

A

B

B

A

B A

B A

36

ตัวอยาง เชน 1. A = {0, 2,6,9} , B = {3,6,9,10} , C = {3,10,12} จงหา A ∩ B ,

A ∩ C และ B ∩ C A ∩ B = {6,9}

A ∩ C = {}

B ∩ C = {3,10}

2. = |x I x{ ∈ มากกวาหรือเทากับ -4 แตนอยกวา 5}

A = | 4x x{ = } , B = 2| 3 4 0x x x{ − − = } จงสรางแผนภาพ A ∩ B

สมบัติของอินเตอรเซกชัน :

1. A ∩ B = B ∩ A 2. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) 3. A ∩∅ = ∅ 4. A ∩ = A 5. A ∩ A = A 6. ถา A ⊂ B แลว A ∩ B = A

7. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 8. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

37

แบบฝกหัด

1. ให A = {2,3,7,9} , B = {3,5,7,9} , C = {2,5,9,10} จงเขียนเซตตอไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก

1.1 A ∩ B 1.2 B ∩ A

1.3 B ∩ C

1.4 A ∩ C

1.5 A ∩ A

1.6 C ∩ C

1.7 (A ∩ B) ∩ C

1.8 A ∩ (B ∩ C)

2. หา A ∩ B จากเซต A และเซต B ตอไปนี้

2.1 A = {2,3,5,8,10} B = {3,7,8,11} A ∩ B =

38

2.2 A = {0, 2,6} B = {0, 2,6,9} A ∩ B =

2.3 A = {−4,0,1,6} B = {−4,0,6}

A ∩ B =

2.4 A = {0, 2,5,7} B = {7,0, 2,5}

A ∩ B =

2.5 A = {2,8,10,11} B = ∅

A ∩ B =

2.6 A = {−2,0,1,6} B = {−3,−1, 4,5} A ∩ B =

2.7 A = ∅

B = {} A ∩ B =

2.8 A = {3,5,7,9,...}

B = {2,3,7,8} A ∩ B =

39

3. กําหนดให A = {3,6,8,9} , B = {1,3,5,8} , C = {2,3,9,10} จงหา

3.1 A ∪ B

3.2 A ∩ B

3.3 B ∪ C

3.4 C ∩ A

3.5 (A ∪ B) ∪ C

3.6 A ∪ (B ∩ C)

3.7 C ∪ (A ∩ B)

3.8 (B ∪ C) ∩ A

4. แรเงาแผนภาพตามท่ีกําหนด 4.1 (A ∩ B) ∩ C

A

B C

40

4.2 A ∩ (B ∩ C) 4.3 A ∪ (B ∩ C) 4.4 A ∩ (B ∪ C) 4.5 B ∩ (A ∪ C)

A

B C

A

B C

A

B C

A

B C

41

4.6 (B ∪ C) ∪ A 4.7 (A ∩ B) ∪ ( B ∩ C) 4.8 (A ∪ B) ∩ ( B ∪ C)

A

B C

A

B C

A

B C

42

5. หาคาของ A ∩ B จากเซตท่ีกาํหนด

5.1 A = 3| 7 6 0x x x{ − + = } , B =

3 2| 21 45 0x x x x{ + − − = }

5.2 A = 2| 25 0x x{ − = } , B =

2| 6 9 0x x x{ + + = }

5.3 A = 4 2| 10 9 0x x x{ − + = } , B =

2| 4 3 0x x x{ − + = }

5.4 A = | 2x x n{ = เม่ือ n เปนจํานวนนับ} ,

B = 3 2| 12 44 48 0x x x x{ − + − = }

43

6.3 คอมพลีเมนต คอมพลีเมนต คือการกระทําทางเซตซ่ึงทําใหเกิดเซตใหม ซ่ึงมีสมาชิกเปนสมาชิกของ แต

ไมเปนสมาชิกของเซตท่ีนํามาคอมพลีเมนต ใชสัญลักษณ A′ แทนคอมพลีเมนตของเซต A

A′ = |x x{ ∈ และ x A∉ }

สามารถเขียนแผนภาพแทนคอมพลีเมนตของเซต A ดังนี้

ตัวอยาง เชน 1. {2,3,6,7,9} , A = {3,7} , B = {2,3,6,9} จงหา

A′ และ B′

A′ = {2,6,9} B′ = {7}

2. {−4,−3, −2, −1,0,1, 2,3, 4} , A = {−2,0,1,3} ,

B = {−4, −1, 2, 4} , C = {−2, −1,3, 4} จงหา A′ , B′ , C′ , A C′ ∪ และ ( )B C ′∩

A

44

A′= {−4,−3,−1,2, 4} B′= {−3,−2,0,1,3} C′ = {−4,−3,0,1,2} A C′ ∪ = {−4,−3,−2, −1,2,3, 4} B C∩ = {−1,4} ( )B C ′∩ = {−4,−3,−2,0,1,2,3}

3. = | 0x I x{ ∈ < <10}

A = 3 2| 13 55 75 0x x x x{ − + − = } , B = 3 2| 8 19 12 0x x x x{ − + − = } จงหาคาของ ′ ′Α ∩ Β

แจกแจงสมาชิกของเซต , A และ B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

เซต A 3 213 55 75 0x x x− + − = 2( 10 25)( 3) 0x x x− + − = 2( 5) ( 3) 0x x− − = 3,5x = ∴ Α = {3,5} เซต B 3 28 19 12 0x x x− + − = 2( 4 3)( 4) 0x x x− + − = ( 1)( 3)( 4) 0x x x− − − = 1,3, 4x = ∴ Β = {1,3,4}

′Α = {1,2,4,6,7,8,9} B′= {2,5,6,7,8,9}

′ ′Α ∩ Β = {2,6,7,8,9} สมบัติของคอมพลีเมนต :

1. ′ ′(Α ) = Α 2. ' = ∅ 3. ′ ∅ =

45

4. A A′∪ = 5. A A′∩ = ∅ 6. ( )A B A B′ ′ ′∩ = ∪

7. ( )A B A B′ ′ ′∪ = ∩

แบบฝกหัด 1. ให = {−3, −2,0,1, 4,5} , A = {−2,0, 4} , B = {−3,0,1,5} ,

C = {−2,0,1}

จงเขียนเซตตอไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก 1.1 ′Α 1.2 B′ 1.3 C′ 1.4 ′ ′(Α ) 1.5 '

1.6 ′∅

2. ให = {−6,−4, −1,0,3, 4,5} , A = {−6,−1,0,5} ,

B = {−4, −1,3, 4} , C = {−6,0,3,5} จงหา

2.1 ′Α 2.2 Α ∪ Β 2.3 CΑ ∩

46

2.4 B C′ ∪ 2.5 )C ′(Α ∪ 2.6 ′ ′Α ∩ Β 2.7 ( )B A′ ′∪

3. หาเซตตอไปนีจ้ากขอมูลท่ีกําหนดใหพรอมท้ังเขียนแผนภาพ

3.1 = | 0 8x I x{ ∈ ≤ ≤ }

A = 3 2| 8 17 10 0x x x x{ − + − = } หา ′Α

47

3.2 = | 5x x n{ = เม่ือ n เปนจํานวนนับ}

A = 2| 25 150 0x x x{ − + = } หา ′Α

3.3 = | 4 4x I x{ ∈ − ≤ ≤ }

A = | 2x x{ = } B = 2| 9x x{ = } หา ( )A B ′∪

48

3.4 = | 2 5x I x{ ∈ − ≤ ≤ }

A = 3 2| 2 3 0x x x x{ − − = } B = 3 2| 6 32 0x x x{ − + = } หา A B′ ′∩

6.4 ผลตางระหวางเซต ผลตางระหวางเซต คือการกระทําทางเซตซ่ึงทําใหเกิดเซตใหมซ่ึงมีสมาชิกเปนสมาชิกของเซตตัวต้ัง แตไมเปนสมาชิกของเซตตัวลบ ใชสัญลักษณ A-B แทนผลตางของเซต A และเซต B

A − B = |x x A{ ∈ และ x B∉ } สามารถเขียนแผนภาพแทนผลตางระหวางเซต A และเซต B ไดดังนี้

49

กรณีท่ี 1 –เซต A และเซต B มีสมาชิกรวมกันบางสวน A − B หมายถึงพื้นท่ีท่ีแรเงาดังนี ้

กรณีท่ี 2 – เซต A เปนสับเซตของเซต B A − B คือเซตวาง ไมมีสมาชิก

กรณีท่ี 3 – เซต B เปนสับเซตของเซต A A − B หมายถึงพื้นท่ีท่ีแรเงาดังนี ้ กรณีท่ี 4 – เซต A เทากับเซต B A − B คือเซตวาง ไมมีสมาชิก

A B

A

B

B

A

B A

50

กรณีท่ี 5- เซต A ไมมีสมาชิกรวมกับเซต B A − B หมายถึงพื้นท่ีท่ีแรเงาดังนี ้

ตัวอยาง เชน

1. A = {3,5,8,10} , B = {1, 2,5,8} , C = {1,3,5,8,10} จงหา A − B , B − A , A − C และ B − C

A − B = {3,10} B − A = {1,2} A − C = {}

B − C = {2}

2. = | 3 3x I x{ ∈ − ≤ ≤ }

A = 4 2| 9 0x x x{ − = } , B = 2| 6 0x x x{ + − = } จงสรางแผนภาพ A − B

สมบัติของผลตาง :

1. A − B = ∅ ก็ตอเม่ือ A ⊂ B หรือ A = B 2. ถา A ⊂ B แลว A − B = ∅ 3. ถา A = B แลว A − B = ∅

B A

51

4. A B A B′− = ∩ 5. A A− ∅ = 6. A∅ − = ∅ 7. ( ) ( ) ( )A B C A B A C− ∩ = − ∪ − 8. ( ) ( ) ( )A B C A B A C− ∪ = − ∩ − 9. ( ) ( ) ( )A B C A C B C∩ − = − ∩ − 10. ( ) ( ) ( )A B C A C B C∪ − = − ∪ − 11. A A′− =

แบบฝกหัด 1. ให A = {0,1,3, 4,6,8} , B = {1,5,7,8} ,

C = {−1,0,3,6}

จงเขียนเซตตอไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก 1.1 A B− 1.2 B A− 1.3 A C− 1.4 C B− 1.5 A A−

1.6 B B− 1.7 ( )A B C− −

52

1.8 ( )B A C− −

2. หา A B− จากเซต A และเซต B ตอไปนี ้2.1 A = {0,1,3, 4,6,9,10} B = {0,2,3,5,8,9,10} A-B = 2.2 A = {2,3,5,7} B = {0,1, 2,3, 4,5,7} A-B = 2.3 A = {−2,−1,0,1,2,3,5} B = {−2,0,1,3} A-B = 2.4 A = {−3, −4,0,1} B = {0,−4,1,−3} A-B = 2.5 A = {−1,0,3,6,8} B = {−2,1,2, 4,7} A-B =

53

2.6 A = {2,4,6,8,...} B = {2,4} A-B =

3. กําหนดให A = {2,3,4,6,8} , B = {1,3,5,6,9} , C = {3,4,5,7,10} จงหา

3.1 A B− 3.2 A B∩ 3.3 B A∪ 3.4 C A− 3.5 ( )A B C− ∪ 3.6 ( )C A C∩ − 3.7 ( ) ( )A B A C− ∪ − 3.8 ( ) ( )A B B C∩ − ∪

54

4. แรเงาภาพตามที่กําหนด 4.1 (A ∪ B) C′− 4.2 ( )B A C′ ∩ − 4.3 ( )A B C′ − ∩

A

B C

A

B C

A

B C

55

4.4 ( )A B A′− ∪ 4.5 ( ) ( )A B A C′∩ − ∩ 4.6 ( ) ( )A B B C′∩ ∩ ∪

A

B C

A

B C

A

B C

56

4.7 ( )A B C− ∪ 4.8 ( )A B C∩ − 4.9 ( )B A C− −

A

B C

A

B C

A

B C

57

4.10 ( )B A C− ∪ 4.11 ( ) ( )B A A C∩ − ∩ 4.12 ( ) ( )A B C A− ∪ −

A

B C

A

B C

A

B C

58

5. หาคาของ A − B จากเซตท่ีกาํหนด 5.1 A = 2| 2 3 0x x x{ − − = } , B = 2| 12 0x x x{ + − = }

5.2 A = 2| 25 0x x{ − = } , B = 2| 2 8 0x x x{ + − = }

5.3 A = 4 2| 74 1, 225 0x x x{ − + = } , B = 2| 10 25 0x x x{ + + = }

5.4 A = | 5x x n{ = เม่ือ n เปนจํานวนนับ} , B = 3 2| 25 175 375 0x x x x{ − + − = }

59

7. โจทยปญหาเกี่ยวกับเซต การแกโจทยปญหาในเร่ืองจํานวนสมาชิกของเซตจํากัดสามารถทําไดโดยการประยุกตใชแผนภาพเวนน – ออยเลอร และสูตรการหาจํานวนสมาชิกของเซตจํากัดดังนี้

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

n A B n A n B n A Bn A B C n A n B n C n A B n B C n A C

n A B C

∪ = + − ∩∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ +

∩ ∩

ตัวอยางโจทยปญหา เชน ตัวอยางท่ี 1 จากการสํารวจผูซ้ือจํานวน 10 คน พบวามีผูซ้ือเส้ือ 8 คน ซ้ือกางเกง 7 คน มีผูซ้ือเส้ือและกางเกงกี่คน เม่ือผูซ้ือทุกคนตองซ้ือเส้ือหรือกางเกงอยางนอย 1 ชนิด

60

ตัวอยางท่ี 2 นักเรียนจํานวน 14 คน ไดเกรด 4 เฉพาะวิชาคณิตศาสตร 7 คน ไดเกรด 4 เฉพาะวิชาวิทยาศาสตร 4 คน ถานักเรียนทุกคนตองไดเกรด 4 อยางนอย 1 วิชา จะมีนักเรียนไดเกรด 4 ท้ังสองวิชากี่คน

61

ตัวอยางท่ี 3 การสัมภาษณกลุมตัวอยาง 10 คน พบวามีผูไมชอบกินสมหรือกลวย 1 คน มีผูชอบกินเฉพาะสม 3 คน ผูชอบกินเฉพาะกลวย 4 คน กลุมตัวอยางท่ีชอบกินสมมีกี่คน

62

ตัวอยางท่ี 4 เดือนท่ีแลวฝนตกตอนเชาและตอนเย็น 3 วัน ฝนตกตอนเชาหรือตอนเย็น 11 วัน ถาฝนตกตอนเชามากกวาฝนตกตอนเย็น 4 วัน ฝนตกตอนเย็นกี่วัน

63

ตัวอยางท่ี 5 ผูบริโภคดื่มน้ําสม 11 คน ดื่มน้ําองุน 9 คน ดื่มน้ํามะนาว 6 คน ดื่มน้ําสมและน้ําองุน 4 คน ดื่มน้ําองุนและน้ํามะนาว 2 คน ดื่มน้ําสมและน้ํามะนาว 3 คน ดื่มน้ําสม น้ําองุนและน้ํามะนาว 1 คน ผูบริโภคดื่มน้ําผลไมชนิดเดียวกี่คน

64

ตัวอยางท่ี 6 หมูบานแหงหนึ่งมีประชากร 68 ครอบครัว เล้ียงนกแกว 7 ครอบครัว เล้ียงนกเอ้ียง 5 ครอบครัว เล้ียงนกพิราบ 9 ครอบครัว เล้ียงนกแกวและนกเอ้ียง 3 ครอบครัว เล้ียงนกเอ้ียงและนกพิราบ 2 ครอบครัว เล้ียงนกแกวและนกพิราบ 5 ครอบครัว มีกี่ครอบครัวท่ีเล้ียงนกแกวและนกเอ้ียงแตไมเล้ียงนกพิราบ ถาหมูบานนี้ไมเล้ียงนก 55 ครอบครัว