A. Artan Ve Azalan Fonksiyonlar

i) Her x1, x2∈ A için, x1<x2 iken, f(x1)< f(x2) ise, fonksiyonu, A kümesinde, artandır.

m=tanα= f ’(x1)>0 ise, f fonksiyonu (a,b)

aralığında artandır.

ii) Her x1, x2∈ A için, x1<x2 iken, f(x1)> f(x2) ise, f fonksiyonu, A kümesinde, azalandır.

m=tanα= f ’(x1)<0 ise, f fonksiyonu (a,b)

aralığında azalandır.

Sonuç:f:[a,b]→R fonksiyonu, (a,b) aralığında artan ve türevli ise, fonksiyonun bu aralıktaki türevi pozitiftir

Yani; f fonksiyonu, (a,b) aralığında artan bir fonksiyon ise bu aralığın her elemanı için f’(x)>0’dır.

a bf’(x)

f(x)

+ + + + +

artan

Sonuç:f:[a,b]→R, fonksiyonu, (a,b) aralığında azalan ve türevli ise, fonksiyonun bu aralıktaki türevi negatiftir.

Yani; f fonksiyonu, (a,b) aralığında azalan fonksiyon ise bu aralığın her elemanı için, f’(x)<0’dır.

f’(x)

f(x)

a b- - - - -

azalan

Uygulamalar

Soru : f(x)=x2-2x fonksiyonunun artan veya azalan olduğu aralıkları bulunuz?

Fonksiyonunun, artan veya azalan olduğu aralıkları bulabilmek için,

Çözüm ::

türevinin işaretini incelemeliyiz.

f(x)=x2-2x ⇒ f’(x)= 2x-2

2x-2=0 ⇒ x=1 olur.f’(x)

f(x)

-∞ 1 +∞

- +

azalan artan

Soru : ∀×∈R-{-2} için, f(x)= fonksiyonu- nun daima artan olabilmesi için, m ne olmalıdır? Çözüm :

2x1mx

++

Fonksiyonun daima artan olabilmesi için, ol-malıdır.

f’(x)>0

f’(x)= = =2)2x()1mx.(1)2x.(m

++−+

2)2x(1mxm2mx

+−−+

2)2x(1m2

+−

Buradan; 0)2x(1m22 ⟩

+− ⇒ 01m2 ⟩− ⇒ 2

1m ⟩ bulunur.

Soru : Y=f(x)

y

x-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Şekilde, y=f(x) fonksiyonunun [-3,4] aralığındaki gra- fiğini görmektesiniz.Bu grafiğe göre, f(x)’in türevinin pozitif veya negatif olduğu aralıkları bulunuz?

Çözüm :

a) [-3,-1) aralığında,Fonksiyon azalan olduğundan,f ’(x)< 0 ‘dır.

b) (-1,3) aralığında,

Fonksiyon artan olduğundan, f ‘(x) > 0’dır.

c) (3,4) aralığında,

Fonksiyon azalan olduğundan,f ’(x)< 0 ‘dır

Soru :

Şekilde, y=f(x) fonksiyonunun, [-3,4] aralığında-ki türevinin grafiğini görmektesiniz. Grafiğe ba- karak, f(x)’in artan ve azalan olduğu aralıkları bu lunuz?

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Y=f’(x)

y

x

Çözüm :

a) [-3,-2) aralığında:

f’(x) > 0 olduğundan,f(x) bu aralıkta artan’dır.

b) (-2,0) aralığında:

f’(x) < 0 olduğundan,f(x) bu aralıkta azalan’dır.

c) (0,4] aralığında:

f’(x) > 0 x=3 noktası hariç, olduğundan,f(x) bu aralıktaartan’dır.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

Y=f’(x)

y

x

B.Maksimum Ve Minimum Değerlerin Bulunması:

1. YEREL MAKSİMUM NOKTASI:

Tanım: f:[a,b]→R, y=f(x) fonksiyonu verilsin. x0∈(a,b) ve ε > 0 olsun. f fonksiyonu, (x0- ε,xo+ ε) aralığında en büyük değerini x0 noktasında alıyorsa, (x0,f(x0)) noktasında bir yerel maksimumu vardır.f(x0) değerine, fonksiyonun bir yerel maksimum değeri denir.

x0- ε xo+ εx0

f(x0)

a b

Y=f(x)

f ’(x)

f(x)

a x0 b + -

f(x0)

Maksimum

2. YEREL MİNİMUM NOKTASI:Tanım:f:[a,b]→R, y=f(x) fonksiyonu verilsin. x0∈(a,b) ve ε > 0 olsun. f fonksiyonu, (x0- ε,xo+ ε) aralığında en küçük değerini x0 noktasında alıyorsa, (x0,f(x0)) noktasında bir yerel minimumu vardır.f(x0) değerine, fonksiyonun bir yerel minimum degeri denir.

x0- ε xo+ εx0

a b

Y=f(x)

f(x0)

f ’(x)

f(x)

a x0 b +-

f(x0)

Minimum

Sonuç:

a

f(a)

b

f(b)

c

f(c)

d

f(d)

+

+++++ - --

-- - - - - +++++++

y=f(x)

f ’(x)>0 f ’(x)<0

Yerel maksimum

f ’(x)>0

Yerel minimum

Uygulamalar

Soru : f(x)= x3-3x2+1 fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel minimum noktalarını bulunuz?

Önce, f(x)’in türevini alıp, türevin işaretini incelemeliyiz:f’(x)= 3x2-6x = 0 ⇒

x1= 0 ve x2= 2x1= 0 ⇒ f(0)= 1x2= 2 ⇒ f(2)= -3

f’(x)

f(x)

-∞ 0 2 +∞ 0 0

1 -3

+ - +

Cözüm:

Soru :

-4 -2 –1 0 3 5

y=f ’(x)

y

x

Şekilde, y=f(x) fonksiyo-nunun türevinin grafiğini görüyorsunuz. Bu grafiğe bakarak, y=f(x) fonksiyo-nunun, yerel maksimum ve yerel minimum noktalarını bulunuz?

Cözüm :

+-

+-

f’(x)

f(x)

-4 5

- + -

C. İkinci Türevin Geometrik Anlamı

f:[a,b] →R fonksiyonu, (a,b) aralığında ikinci basamaktan türevli olsun:

a b

y=f(x)

Eğrinin çukurluk yönü yukarı doğru bakmaktadır.

A

B

x1 x2

α θ

a’dan b’ye, teğetlerin eğim açılarının büyüdüğüne dikkat!

a b

y=f(x)

A

B

x1 x2

α θ

Bu teğetlerin eğimleri;m1= tanα=f’(x1) ve m2=tanθ=f’(x2) α<θ ⇒ tanα< tanθ ⇒ f’(x1) < f’(x2) ‘dir.Yani;

x1< x2 için, f’(x1) < f’(x2) olduğundan, f’ fonksiyonu artan’dır. f’ fonksiyonu artan olduğundan, türevi, f’’(x) > 0 ‘dır.

Şimdi de, eğrilik yönü aşağı doğru olan bir eğri inceleyelim:

a b

A

B

x1 x2

α θ

a’dan b’ye , teğetlerin eğim açılarının küçüldüğüne dikkat!

Bu teğetlerin eğimleri;

m1= tanα=f’(x1) ve m2= tanθ =f’(x2) ‘dir.

a b

A

B

x1 x2

α θ

α>θ ⇒ tanα> tanθ ⇒ f’(x1) > f’(x2) ‘dir.Yani;

x1< x2 için, f’(x1) > f’(x2) olduğundan, f’ fonksiyonu azalan’dır. f’ fonksiyonu azalan olduğundan, türevi, f’’(x) < 0 ‘dır.

SONUÇ: Bir f fonksiyonu için, aralı-

ğın her noktasında, f’’(x)< 0 oluyorsa, f fonksiyonunun bu aralıktaki grafiğinin çukurluk yönü aşağı doğrudur.

Bir f fonksiyonu için, aralı-ğın her noktasında, f’’(x)> 0 oluyorsa, f fonksiyonunun bu aralıktaki grafiğinin çukurluk yönü yukarı doğrudur.

f’’(x)< 0 ⇒Konkav(İç bükey) f’’(x)> 0 ⇒Konveks(Dış bükey)

Soru :f:R →R, f(x)= x3+x2-2x fonksiyonunun, konveks ve konkav olduğu aralıkları araştırınız?

Çözüm :Öncelikle, f’in ikinci türevini alıp, işaretini incelemeliyiz.

f’(x)=3x2+2x-2

f’’(x)=6x+2 = 0

x= -1/3

f’’(x)

f(x)

- ∞ -1/3 +∞

- +

Bir önceki örnekte görüldüğü gibi, fonksiyon eğrisi, eğrilik yönünü bazı noktalarda değiştirmektedir:

Tanım:

Bir f fonksiyonunun grafiğinin, çukurluğunun yön değiş-tirdiği ve fonksiyonun sürekli olduğu noktaya,

Dönüm (büküm) noktası

denir.

Şekilleri dikkatle inceleyiniz!!!

a b0 x0

f(x0)

f ’’(x)<0 f ’’(x)>0

Dönüm noktası

a b0 x0

f(x0)

f ’’(x0)=0

f ’’(x)>0 f ’’(x)<0

f ’’(x0)=yokDönüm noktası

DİKKAT: İkinci türevin işaret değiştirdiği nokta DÖNÜM noktasıdır.

Uygulamalar

1. f: R→R, f(x)= x4+x3-2x fonksiyonunun, konveks ve konkav olduğu aralıkları ve varsa, dönüm noktalarını bulunuz?

Çözüm :f’(x)= 4x3+3x2-2 f’’(x)= 12x2+6x

İkinci türevin kökleri:

12x2+6x=0 6x(2x+1) = 06x=0 x1= 0

(2x+1)= 0 x2=-1

xf’’(x)

f(x)

-∞ -1/2 0 + ∞+ +

konveks konkav konveks

Dönüm noktası

Dönüm noktası

-

2. f: R→R, f(x)=(x-2)4 fonksiyonunun, varsa, dönüm noktasını bulunuz?

Çözüm :

f’(x)=4(x-2)3 ve f’’(x)= 12(x-2)2

12(x-2)2=0 ⇒ x1=x2=2

xf’’(x)

f(x)

- ∞ 2 + ∞

+ +

konveks konveks

?

x=2 noktası, ikinci türevin kökü olduğu halde, dönüm noktası değildir

Türev bu noktada, işaret değiştirmemektedir!

Yani; f’’(x0)=0 olması, x0 noktasının DÖNÜM noktası olmasını gerektirmez!!!!

D. L’HOSPITAL KURALI(TÜREVİN, LİMİT KAVRAMINDA KULLANIMI)

f ve g , [b,c] aralığında sürekli ve (b,c) aralığında türevli iki, fonksiyon olsun. f ve g fonksiyonları, a∈(b,c) olmak üzere, bir a noktasında tü- revli ve g’(a)≠0 olsun.

Tanım:

,0)x(flimax

=→ )x('g

)x('flimax→

ve varsa,,0)x(glimax

=→

)x(g)x(flim

ax→= )x('g

)x('flimax→

L’HOSPITAL KURALI

00

∞∞

BELİRSİZLİK HALLERİNE UYGULANIR

Uygulamalar

1.2x3x10x7xlim 2

2

2x +−+−

→limitinin değerini bulunuz?

Çözüm :

2x3x10x7xlim 2

2

2x +−+−

→= 0

0belirsizliği var

2x3x10x7xlim 2

2

2x +−+−

→= 3x2

7x2lim2x −

−→

= 32.272.2

−−

= 313 −=−

2.x

xx

11lim0

−+→

limitinin değerini bulunuz?

Çözüm :

xx

x

11lim0

−+→

= 00

belirsizliği var

xx

x

11lim0

−+→

= 0lim

→x

121

+x

1= 12

1lim0 +→ xx

= 1021

+ = 21

3.x

xπx sin

cos1lim +→

limitinin değerini bulunuz?

Çözüm :

xx

πx sincos1lim +

→ 00

belirsizliği var=

xx

πx sincos1lim +

→ πx →lim= - sinx

cosx

ππ

cossin− = 1

0− = 0

4.xe

xxx cos

)1ln(lim+

+∞→

limitinin değerini bulunuz?

Çözüm :

xex

xx cos)1ln(lim

++

∞→=∞∞

belirsizliği var

∞→xlim=xe

xxx cos

)1ln(lim+

+∞→

11+x

ex - sinx

0

∞

0

5.)2ln(sin)ln(sinlim

0 xx

x →limitinin değerini bulunuz?

Çözüm :

)2ln(sin)ln(sinlim

0 xx

x →=∞∞

belirsizliği var

)2ln(sin)ln(sinlim

0 xx

x →=

0lim

→x

cosx/sinx2cos2x/sin2x

0lim

→x

cosx/sinx2cos2x/sin2x =

Cosx.sin2x0

lim→x 2cos2x.sinx

Cosx.sin2x0

lim→x 2cos2x.sinx

2sinx.cosx

2.sinx.cos2x 0

lim→x 2cos2x.sinx

= )0.2cos(.20cos.2 2

= 2. 12. 1

= 1

6. x

xe

x⋅

∞→

1lim limitinin değerini bulunuz?

Çözüm :x

xe

x⋅

∞→

1lim = 0 • ∞

x

xe

x⋅

∞→

1lim =x

x xe

∞→lim = ∞

∞

∞→xlim=

x

x xe

∞→lim ex

1 = e∞

1= ∞

1= ∞

7. ( )xxx 2sin.lim

∞→limitinin değerini bulunuz?

Çözüm :( )xx

x 2sin.lim∞→

=∞•0

x

xx 1

)2sin(lim

∞→= 0

0

∞→xlim =

x

xx 1

)2sin(lim

∞→= xx

2cos22 ⋅−

21

x−

)/2cos(.2lim xx ∞→

=2

8.

−

−→ xxx ln1

11lim

1 limitinin değerini bulunuz?

Çözüm :

−

−→ xxx ln1

11lim

1= ∞ - ∞

−

−→ xxx ln1

11lim

1=

−⋅+−

→ )1(ln1lnlim

1 xxxx

x=

00

−⋅+−

→ )1(ln1lnlim

1 xxxx

x=

1lim

→x

11 −x

xxx

ln)1(1 +−⋅=

1lim

→xx

x−1

xxxx ln.)1( +− = xxx

xx ln.)1(

1lim1 +−

−→

=00

Bu aşamada, L’Hospital kuralı bir kere daha uygulanır:

xxxx

x ln.)1(1lim

1 +−−

→=

1lim

→x

21

x−

211xx

+=

2

2

1 1

1

lim

xx

xx +

−

→= 1

1lim1 +

−→ xx

= 21−