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复变函数 第 2 讲. 很多平面图形能用复数形式的方程 ( 或不等式 ) 来表示 ; 也可以由给定的复数形式的方程 ( 或不等式 ) 来确定它所表示的平面图形. 例 3 将通过两点 z 1 = x 1 + iy 1 与 z 2 = x 2 + iy 2 的直线用复数形式的方程来表示 . [ 解 ] 通过点 ( x 1 , y 1 ) 与 ( x 2 , y 2 ) 的直线可用参数方程表示为. 因此 , 它的复数形式的参数方程为 z = z 1 + t ( z 2 - z 1 ). ( - < t
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1
复变函数第 2讲
2
很多平面图形能用复数形式的方程 ( 或不等式 ) 来表示 ; 也可以由给定的复数形式的方程 ( 或不等式 ) 来确定它所表示的平面图形 .
3
例 3 将通过两点 z1=x1+iy1 与 z2=x2+iy2 的直线用复数形式的方程来表示 .[ 解 ] 通过点 (x1,y1) 与 (x2,y2) 的直线可用参数方程表示为
1 2 1
1 2 1
( ),( )
( ).
x x t x xt
y y t y y
因此 , 它的复数形式的参数方程为
z=z1+t(z2z1). (<t<+)
4
由此得知由 z1 到 z2 的直线段的参数方程可以写成
z=z1+t(z2z1). (t)
取 , 得知线段 的中点为1
2t 1 2z z
1 2
2
z zz
5
例 4 求下列方程所表示的曲线 :
1) | | 2;
2) | 2 | | 2 |;
3) Im( ) 4.
z i
z i z
i z
6
[ 解 ] 1) | | 2z i 设 z=x+iy, 方程变为
2 2
2 2
| ( 1) | 2
( 1) 2,
( 1) 4
x y i
x y
x y
为一圆i
O x
y
7
几何上 , 该方程表示到点 2i 和 2 的距离相等的点的轨迹 , 所以方程表示的曲线就是连接点 2i 和 2 的线段的垂直平分线 , 方程为 yx, 也可用代数的方法求出
2) | 2 | | 2 |z i z
O x
y
2
2i
yx
8
设 z=x+iy, 那末3) Im( ) 4.i z
(1 )
Im( ) 1
i z x y i
i z y
可得所求曲线的方程为 y3.
O
y
x
y3
9
2. 复球面
N
S O
x
y
P
z
10
除了复数的平面表示方法外 , 还可以用球面上的点来表示复数 .取一个与复平面切于原点 z=0 的球面 , 球面上的一点 S 与原点重合 . 通过 S 作垂直于复平面的直线与球面相交于另一点 N. 称 N 为北极 , S 为南极 .对复平面内任一点 z, 用直线将 z 与 N 相连 , 与球面相交于 P 点 , 则球面上除 N 点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系 ,
而 N 点本身可代表无穷远点 , 记作 .这样的球面称作复球面 .
11
关于的四则运算作如下规定 :加法 : +=+= ()减法 : == ()乘法 : == (0)
其它运算不确定
但可为
除法
),0(0
),(,0:
12
§3 复数的乘幂与方根
13
乘积与商 设有两个复数 z1=r1(cos1+isin1), z2=r2(cos2+isin2), z1z2=r1r2(cos1+isin1)(cos2+isin2) = r1r2[(cos1cos2sin1sin2)
+i(sin1cos2+cos1sin2)]= r1r2[cos(1+2)+isin(1+2)]
于是 |z1z2|=|z1||z2| (1.3.1)Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2,(1.3.2)
14
定理 1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积 , 两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和 .
15
等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2, (1.3.2)的意思是等式的两边都是无限集合 , 两边的集合相等 , 即每给定等式左边的一个数 , 就有等式右边的一个数与之对应 , 反之亦然 .例如 , 设 z11, z2=i, 则 z1z2i, 则
1 2
1 2
Arg 2 ,Arg 2 ,2
Arg 22
, , 0, 1, 2,
z n z m
z z k
n m k
16
z1z2 相当于将 z1 的模扩大 |z2| 倍并旋转一个角度 Arg z2
2
2 z2
1
z1
z1z2
1O x
y
17
如果用指数形式表示复数 :
)(2121
2211
21
21
e
e,e
i
ii
rrzz
rzrz
为则定理一可简明地表示
)4.3.1(e
)]sin(
)[cos(
),,,2,1(),sin(cos
)(21
21
212121
21 n
k
in
n
nnn
kkki
kk
rrr
i
rrrzzz
nkirerz
则
由此逐步可证 , 如果
18
按照商的定义 , 当 z10 时 , 有
121
2
1
2
1
2
11
221
1
22
11
22
ArgArgArg,||||
ArgArgArg|,|||
zzzz
zz
zz
zzz
zzzz
z
zzz
z
于是
因此
定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商 , 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差 .
19
如果用指数形式表示复数 :
,e,e 212211
ii rzrz
)(
1
2
1
2 12e i
rr
zz
定理二可简明地表示为
20
例 1 已知正三角形的两个顶点为 z1=1 与 z2=2+i, 求它的另一个顶点 .[ 解 ] 如图所示 , 将表示 z2z1 的向量绕 z1 旋转 /3( 或 /3) 就得到另一个向量 , 它的终点即为所求的顶点 z3( 或 z3’).
3
O x
y
z1=1
z2=2+i
z3
z3’
3
21
根据复数乘法 , 有
33 1 2 1
3
( )
1 3(1 )
2 2
1 3 1 3
2 2 2 2
3 3 1 3
2 2
iz z e z z
i i
i
z i
22
类似可得
3
3 3 1 3
2 2z i
23
2. 幂与根 n 个相同复数 z 的乘积称为 z 的 n次幂 ,记作 zn .
个n
n zzzz
为负整数时上式也成立则当如定义 nz
z nn ,
1
则根据 (1.3.4), 对任意正整数 n, 我们有zn=rn(cos n+isin n). (1.3.7)
如 |z|=1, 则 ( 棣莫弗 (De Moivre) 公式 ). (cos +isin )n = cos n+isin n. (1.3.8)
24
设 z 为己知 , 方程 wn=z 的根 w 称为 z 的 n 次根 , 为整数记作 nzz nn ,/1
1ee1ee
11
e,e,1,1
2
3
32
2
3
32
3
32
32
3
iiii
ii
及
这是因为
有三个值
如 n 为正整数 , 则一个复数的 n 次根不止有一个 , 而是有 n 个 , 这是很麻烦的事情 . 例如
在几何上 , z1/n 的 n 个值就是以原点为中心 , r1
/n 为半径的圆的内接正 n 边形的 n 个顶点
25
在 z 已知时求方程 wn=z 的根 w, 令z=r(cos+isin), w=(cos+isin),
则 n(cos n+isin n)=r(cos+isin)
于是 n=r, cos n=cos, sin n=sin
后两式成立的充要条件为n=+2k, (k=0,1,2,).
由此1 2,n k
rn
26
其中 , r1/n 是算术根 , 所以
1 2,n k
rn
1/ 2 2cos sinnn k k
w z r in n
当 k=0,1,2,…,n1 时 , 得到 n 个相异的根 ,
而当 k 以其它整数值代入时 , 这些根又重复出现 .
27
例 2 求 4 1 .i
1 2 cos sin ,4 4
i i
[ 解 ] 因为
所以
442 2
4 41 2 cos sin ,4 4
( 0,1,2,3)
k ki i
k
28
即8
0
81
82
83
2 cos sin ,16 16
9 92 cos sin ,
16 16
17 172 cos sin ,
16 16
25 252 cos sin .
16 16
w i
w i
w i
w i
29
四个根是内接于中心在原点半径为 21/8 的圆的正方形的四个顶点 .
28 2
1+i
w0
w1
w2
w3
O x
y
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