Лекц№10

Олон хувьсагчийн функцийн давхар

ба далд уламжлал, дээд эрэмбийн

уламжлал, ОХФ-ийн Тейлорын

томъёо, ОХФ-ийн экстремум

z=F(u,v) функцийн u,v хувьсагчууд нь х ба у-ээсхамаарсан функцүүд u=(x,у), v=(х,у) гэж үзье.Тэгвэл z функц нь х ба у-ээс хамаарсан давхарфункц болно.

Одоо функцүүд ньтасралтгүй тухайн уламжлалуудтай гэж үзээд,

ба тухайн уламжлалуудыг олох зорилготавья. Үүний тулд х-хувьсагчид х өөрчлөлтөгч, у-хэмжигдэхүүнийг тогтмол гэж үзье.Тэгвэл u ба v функцүүдийн тухайн өөрчлөлтүүднь

болох ба z функцийн өөрчлөлтийг хz-ээртэмдэглэвэл:

, , , , ,z F u v F x y x y f x y

, , , , ,F u v x y x y

z

x

z

y

, , , , ,x xu x x y x y v x x y x y

үүнд

u ба v функцүүд тасралтгүй функцүүд учир

Иймд

(1) тэнцлийн баруун зүүн талыг x-д хуваавал

, , 1x x x x x x x

F Fz F u u v v F u v u v u v

u v

0 00 0

lim 0, lim 0x x

x x

u uv v

0 0lim lim 0

x xx u

u v

0 0lim lim 0 2x u

u v

3x x x x xz u v u vF F

x u x v x x x

(3) тэнцэлд x0 үеийн хязгаарт шилжвэл

болох ба

Мөн үүнтэйгээр төстэйгөөр

0 0 0 0 0lim lim lim lim limx x x x x

x x x x x

z u v u vF F

x u x v x x x

4z F u F v

x u x v x

5z F u F v

y u y v y

a) z=f(x,y) функцийн хувьсагчууд нь зөвхөн нэг хувьсагчаас хамаарсан болог. x=(t), y=(t) гэвэл

тул

b) Хэрэв (6) томъѐог x=t гэж үзвэл

болох ба z=f(x,y)=z(x) нэг хувьсагчийн функц болно.

, , ,y dy x dx

z f t t z tt dt t dt

' 6dz z dx z dy

zdt x dt y dt

x x

y x

Иймд (6) томъѐо нь

болно. (7) томъѐог бүтэн уламжлалын томъёо

гэнэ.

Ерөнхий тохиолдолд олон хувьсагчийн давхар

функцийн тухайн уламжлалуудыг (4) ба (5)

томъѐонуудтай төсөөтэй зарчмаар олно.

' 7dz z z dy

zdx x y dx

1 2 1 2

1 1 2 1 2 1

, ,..., , , ,..., , 1,

, ,..., ,..., , ,..., ,..., 8

n i i m

m n m n

z F x x x x t t t i n

z F t t t t t t f t t

1

1 1 1 1

1

1

...

......

...

n

n

n

m m n m

xxz z z

t x t x t

xxz z z

t x t x t

Одоо z=F(u,v), u=u(х,у), v=v(х,у) үед давхар

функцийн дифференциалын томъѐо гаргая.

u udu dx dy

x y

v vdv dx dy

x y

z zdz dx dy

x y

утгуудыг (4) ба (5) томъѐонуудаас олж,

сүүлийн томъѐонд орлуулбал

,z z

x y

.

F u F v F u F vdz dx dy

u x v x u y v y

u u F v v Fdx dy dx dy

x y u x y v

F F Z Zdu dv du dv

u v u v

Мөн үүнтэй төсөөтэйгээр олон хувьсагчийн

давхар функцийн дифференциалын томъѐог (8)

функцийн хувьд бичвэл:

11 1

1 1 1 1

1 1 11

1 1 1

1 1

1 1

... ... ...

... ...

... ... ...

nт

т n

nm m

m n m m

n nm n

n m n

xxF F z zdz dt dt dt

t t x t x t

xx x xz z zdt dt dt

x t x t x t t

x xz z zdt dt dx dx

x t t x x.

Иймд хэдийгээр х1,x2,…,хn хувьсагчууд нь өөр

хувьсагчаас хамаарч байгаа боловч

z=F(х1,x2,…,хn) функцийн дифференциалын

хэлбэр хэвээр хадгалагдаж байна.

Дифференциалын энэ чанарыг инвариант

чанар гэж нэрлэдэг

Далд функцийн уламжлал

у=у(х) тасралтгүй дифференциалчлагдах

функц F(х,у)=0 гэсэн тэгшитгэлээр далд

хэлбэртэй өгөгдсөн байг. Тэгвэл -г олъѐ.

Теорем 3.4 F(х,у), F’х(х,у) ба F’y(х,у)

функцүүд нь М(х,у) цэгийн ямар нэг орчинд

тасралтгүй ба F’y(х,у) 0 болог.

Тэгвэл

байна.

'y

yx

' ,'

' ,

x

y

F x yy

F x y

Дээд эрэмбийн уламжлал

дифференциал

z=f(х,у) функцийн тухайн уламжлалууд

нь мөн л х ба у-ээс хамаарсан хоѐр

хувьсагчийн функцүүд байдаг. Иймд эдгээр

тухайн уламжлалуудаас авсан тухайн

уламжлалуудыг функцийн 2-р эрэмбийн

тухайн уламжлалууд гэж нэрлэнэ. 2-р

эрэмбийн тухайн уламжлалуудыг

гэх мэтчилэн тэмдэглэдэг.

,z z

x y

2'' , '' , '' , ''xy yx yyx

Z Z Z Z

уламжлалуудыг

функцийн холимог уламжлал гэж нэрлэнэ.

2

2

2

2

2

2

2

2

' , ' '' ,

' , ' '' ,

' , ' '' ,

' , ' '' ,

x x x

y y y

x y xy

y x yx

z zf x y f x y

x x x

z zf x y f x y

y y y

z zf x y f x y

x y y x

z zf x y f x y

y x x y

'' , , '' ,xy yx

f x y f x y

Функцийн 2-р эрэмбийн уламжллуудаас x ба y-

ээр авсан тухайн уламжлалуудыг функцийн 3-р

эрэмбийн уламжлал гэнэ.

Ж:

Ерөнхийдөө n-р эрэмбийн тухайн уламжлалыг

гэж тэмдэглэнэ.

2

2

3 2

3 2

2

2 2

'' '

'' '

xx

xy

z zz

x x x

z zz

y x x y

n

p n p

Z

x y

Теорем 3.5: Хэрэв z=f(х,у) функц ба түүний

тухайн уламжлалууд М(х,у) цэг

дээр тасралтгүй функцүүд бол энэ цэг дээрх

функцийн холимог уламжлалууд тэнцүү байна.

Ө.х:

байна.

Хэрэв z=f(х,у) функц М(х,у) цэг дээр

тасралтгүй тухайн уламлалуудтай бол функц

дифференциалчлагдах бөгөөд бүтэн

дифференициал хэлбэртэй

байдаг.

' , ' , '' , ''x y yx yx

f f f f

2 2z z

x y y x

z zdz dx dy

x y

х ба у нь үл хамаарах хувьсагчууд бол dх ба dу нь

тогтмол бөгөөд dz нь х ба y- ээс хамаарсан 2

хувьсагчийн функц болно. dz функцийн

дифференциалыг функцийн 2-р эрэмбийн

дифференциал гэж нэрлээд d2z-ээр тэмдэглэнэ.

Тодорхойлолт ѐсоор

Мөн функцийн 3-р эрэмбийн дифференциалыг

тодорхойлно.

2 2 22 2 2

2 22

z z zd z dx dxdy dy

x x y y

3 3 3 33 3 2 2 3

3 2 2 33 3

z z z zd z dx dx dy dxdy dy

x x y x y y

Мөн функцийн дээд эрэмбийн холбогдох тухайн

уламжлалууд тасралтгүй функцүүд үед n-р

эрэмбийн дифференциалыг

формаль бичлэгээр бичиж болно. z=f(х1,x2,...,хn)

n-хувьсагчийн функцийн хувьд n-р эрэмбийн

дифференциал нь

1

n

n nd z d d z dx dy zx y

1

1

...

n

n

n

n

d z dx dx zx x

Олон хувьсагчийн функцийн

Тейлорын томъёо

z=f(х,у) функц нь М(х,у) цэгийн орчинд (n+1)

эрэмбийн тасралтгүй тухайн уламжлалуудтай

байг. х хувьсагчид х, у хувьсагчид у

өөрчлөлт тус тус олгоѐ. (t)=(х+tх, у+tу)

гэсэн туслах функц авч үзье. x, у, х, у

тогтмол үед (t) функц нь t-ээс хамаарсан

давхар функц болох ба t=0 цэгийн орчинд

(n+1) хүртэлх эрэмбийн уламжлалууд нь мөн

тасралтгүй байг.

(1) функцийн хувьд Маклорены томъѐог

бичвэл:

1 1

'' 00 ' 0 ...

2!

0, 0 1

! 1 !

n

n n n n

t t t

t t t

n n

гэж үзээд

давхар функцийн уламжлалыг олъѐ.

,u x t x v y t y ,t f u v

' ,t x y f x t x y t yx y

2

'' ,t x y f x t x y t yx y

...

,

n

n t x y f x t x y t yx y

Дээрхи томъѐоноос 0 ,f x y

' 0 ,x y f x yx y

2

'' 0 ,x y f x yx y

....

0 ,

n

nx y f x y

x y

1

1,

n

nt x y f x t x y t y

x y

t=1 үед тул

Дээрхи томъѐог 2 хувьсагчийн функцийн

Тейлорын томъёо гэнэ.

1 ,f x x y y

2

1

, , ,

1 1, ,

2! !

1, ,0 1

1 !

n

n

f x x y y f x y x y f x yx y

x y f x y x y f x yx y n x y

x y f x x y yn x y

Тейлорын томъѐог дараахи дифференциал

хэлбэрээр бичиж болно.

2

1

, ,

1 1, , ... ,

2! !

1,

1 !

n

n

f f x x y y f x y

df x y d f x y d f x yn

d f x x y yn

n=1 үед Тейлорын томъѐог задлаж бичвэл

2

2

, , ' ,

1' , [ '' ,

2!

2 '' ,

'' , ], 0 1

x

y x

xy

yy

f x x y y f x y f x y x

f x y y f x x y y x

f x x y y x y

f x x y y y

Олон хувьсагчийн функцийн

экстремум

1.Функцийн экстремум байх зайлшгүй ба

хүрэлцээтэй нөхцөл

D муж дээр тодорхойлогдсон хоѐр

хувьсагчийн функц z=f(x,у) авч үзье. Хэрэв

М0(х0,у0)D цэгийн ямар нэг орчин олдох

бөгөөд энэ орчны бүх цэгүүд дээрх функцийн

утга М0(х0,у0) цэг дээрх утгаас ихгүй бол М0

цэгийг функцийн максимумын цэг гэж

нэрлэнэ. Ө.х: дараах тэнцэтгэл биш хүчинтэй

байна.

Мөн үүнтэй ижлээр функцийн орчныминимумын цэг M(x*,y*) тодорхойлогдоно.

Функцийн орчны минимумын ба максимумынцэгүүд дээрхи утгуудыг функцийн экстремумгэж нэрлэнэ. Орчны минимум ба максимумынцэгүүдийг экстремумын цэгүүд гэж нэрлэнэ.Функцийн D муж дээрхи экстремум олохбодлогыг томъѐолж тэмдэглэвэл:

хэлбэртэй болно.

0 0 0

2 2

0 0 0

, , , , , ,

, , /

f x y f x y x y B M D

B M x y x x y y

* *00; , , , ,x y D B M f x y f x y

min max , 1f x x D

D=R2 бол (1) бодлого нь нөхцөлт бишэкстремумын бодлого болно. Энэ бодлогыгтомъѐолбол

Теорем 4.1 (Экстремум болох зайлшгүй нөхцөл)f(х,у) функц нь М0(х0,у0) цэг дээрдифференциалчилагддаг бөгөөд М0 цэг нь (2)бодлогын хувьд функцийн экстремумын цэгболог. Тэгвэл

байна.

, min max , , 2f x y x y R R

0 0 0 0, ,0 3

f x y f x y

x y

Санамж:(3) нөхцлийг хангадаг (х0,у0) цэгүүд нь

экстремумын цэг байх албагүй. Жишээлбэл,

y=f(х,у)=ху функцийн тухайн уламжлалууд нь

(0,0) цэг дээр тэгтэй тэнцуү боловч (0,0) цэг нь

экстремумын цэг болж чадахгүй. Учир нь

f(0,0)=0 бөгөөд (0,0) цэгийн дурын орчинд

функцийн утгууд эерэг ба сөрөг утгуудыг авах

боломжтой. Иймд экстремум болох зайлшгүй

нөхцөл нь экстремумын хүрэлцээтэй нөхцөл

болж чадахгүй байна. Функцийн тухайн

уламжлалуудыг тэгтэй тэнцүү байлгах (х,у)

цэгүүдийг цаашид экстремум байх сэжигтэй

цэгүүд гэж нэрлэнэ.

Ө.х:(х,у) цэгүүд нь дараах систем

тэгшитгэлийн шийд болно гэсэн үг. Үүнд:

Одоо экстремум байх хүрэлцээтэй нөхцлийг

томъѐолъѐ. М0(х0,у0) цэг нь экстремум байх

сэжигтэй цэг бөгөөд энэ цэг дээр функцийн 2-

р эрэмбийн тухайн уламжлалууд оршдог гэж

үзье. Дараах тэмдэглэгээг хийе.

,0

4,

0

f x y

x

f x y

y

2 2 20 0 0 0 0 0

2 2

, , ,, , ,

f x y f x y f x yA B C

x yx y

Теорем4.2(Экстремум байх хүрэлцээтэй нөхцөл)

= АС - В2 болог.

а) Хэрэв >0 үед М0(х0,y0) цэг нь экстеремумын

цэг болох ба А > 0 үед минимумын, А < 0 үед

максимумын цэг болно.

б) Хэрэв < 0 бол М0(х0,y0) цэг нь экстремумын

цэг болж чадахгуй.

Санамж: Хэрэв = 0 бол нэмэлт шинжилгээ

хийж экстремумын цэг болох эсэхийг тогтооно.

Хамгийн бага квадратын арга

Туршилтын үр дүнд хоѐр хувьсаххэмжигдэхүүний хоорондын хамаарлыг дараахтаблицаар гаргаж авсан болог. Үүнд:

М1(х1,у1), М2(х2,у2),...,Мn(хn,уn) цэгүүд нь барагнэг шулуун дээр байрласан гэж үзье. Ө.х: энэнь у ба х-ийн хамаарал шугаман у=ах+bфункцээр ойролцоогоор тодорхойлогдоногэсэн үг юм. а,b параметрүүдийг энэ шулуунМi(хi,уi) цэг бүрт аль болох хамгийн ойрбайхаар тодорхойлъѐ.

x x1 x2 x3 …. xn

y y1 y2 y3 …. yn

Yi=aхi+b гэвэл Yi - yi –ийг xi цэг дээрх хазайлт

гэж нэрлэнэ. Үүнд yi нь xi цэг дээрх туршилтын

үр дүн. Хамгийн бага квадратын аргын гол

зарчим нь эдгээр хазайлтуудын квадратуудын

нийлбэр нь хамгийн бага байхаар у=ах+b

шулууныг байгуулахад оршдог. Ө.х: а ба b

параметрүүдийг дараах бодлого бодож олно

гэсэн үг.

2

1, min

n

i ii

F a b ax b y

Энэ бодлогыг экстремум байх зайлшгүй ба

хүрэлцээтэй нөхцлийг ашиглаж бодвол:

Энэ системийг дараах хэлбэрт бичвэл:

1

1

.2 0

.2 0

n

i i ii

n

i ii

F a bax b y x

a

F a bax b y

b

2

1 1 1

2

1 1

n n n

i i i ii i i

n n

i n ii i

a x b x x y

a x b y

Энэ системийг бодож (а*,b*) гэсэн сэжигтэй

цэгийг олно. Одоо энэ цэг нь минимумын цэг

гэдгийг харуулъя. Үүний тулд экстремум байх

хүрэлцээтэй нөхцлийг бичнэ.

2 22

21 1

, ,2 0, 2

n n

i ii i

F a b F a bA x B x

a ba2

2

2 22 2 2

1 1 1 1

,2

4 4 4n n n n

i i i ii i i i

F a bC n

b

AC B n x x n x x

Нөгөө талаас

гэсэн тэнцэтгэл биш хүчинтэй байдаг гэдгийг

ашиглавал > 0 болно. Иймд (а*,b*) цэг нь

функцийн минимумын цэг болох ба уг

шугаман хамаарлыг у=а*х +b*х гэж тогтооно.

Хэрэв туршилтын үр дүнгүүд нь ойролцоогоор

квадратлаг парабол дээр оршино гэж үзвэл х

ба у-ын хамаарлыг у=ах2+bх+с гэсэн

квадратлаг функцийн хэлбэрээр эрнэ.

2 2 21 2 1 2

.. ...n nx x x x x x

n n

Хамгийн бага квадратлаг аргаар а,b,с-г олохын

тулд

энэ бодлогын зайлшгүй нөхцлийг

гэж бичиж а,b,с-ийн уртуудыг тодорхойлно.

2 22

1 1, , min

n n

i i i ii i

F a b c Y y ax bx c y

4 3 2 2

1 1 1 1

3 2

1 1 1 1

2

1 1 1

0

0

0

n n n n

i i i i ii i i i

n n n n

i i i i ii i i i

n n n

i i ii i i

Fa x b x c x x y

a

Fa x b x c x x y

b

Fa x b x c n y

c

Нөхцөлт экстремумын бодлого

y=f(х,у) функцийн экстремумыг (х,у)=0 гэсэн

нөхцөлд олъѐ. Ө.x:

бодлогыг бодно гэсэн үг юм. Хэрэв (6)

нөхцлөөс у=у(х) илэрхийллийг олж чаддаг гэж

үзээд (5)-д орлуулбал энэхүү (5)-(б) бодлого нь

нөхцөлт биш экстремумын бодлого болж

хувирна.

, min max 5

, 0 6

f x y

x y

Энэ бодлогын хувьд экстремум байх зайлшгүй

нөхцлийг бичвэл

Нөгөө талаас у=у(х)-ийн хувьд

(x,у)=(x,у(x))0 тул энэ илэрхийллээс

уламжлал авбал:

, min maxz z x f x y x

0 7dz f f dy

dx x y dx

0 8dy

x y dx

(8) илэрхийллийн баруун зүүн талыг ямар нэг

тэгээс ялгаатай А тоогоор үржүүлж (7)

тэнцэтгэл дээр нэмбэл:

болох ба бүлэглэн дараах хэлбэрт бичье.

тоог нөхцлийг хангасан байхаар

сонгож авъя.

0f f dy dy

x y dx x y dx

0f d f d dy

x dx y dy dx

0f

x x

Тэгвэл

систем тэгшитгэлийг (x,y) гэсэн эксремумын

цэг хангана. (9) нөхцлийг Лагранжийн

функцийн тусламжтайгаар Лагранжийн функц

зохиовол

0

0 9

, 0

f

x x

f

y y

x y

, , , , 10L x y f x y x y

-г Лагранжийн үржигдэхүүн гэнэ. Тэгвэл (9)

нөхцлийг дахин бичвэл:

Иймд хэрэв (х,у) цэг нь (5)-(6) бодлогын хувьд

экстремумын цэг бол, энэ цэг нь Лагранжийн

функцийн экстремумын цэг болно. (10)

системийг хангадаг (х,у) цэгүүдийг

Лагранжийн функцийн сэжигтэй цэгүүд гэж

нэрлэнэ.

' , , 0

' , , 0

' , 0

x

y

L x y

L x y

L x y

Сэжигтэй цэг бүр (5)-(б) бодлогын хувьд

орчны минимумын ба орчны максимумын цэг

болох албагүй. (5)-(6) бодлогын хувьд

экстремум байх хүрэлцээтэй нөхцлийг дараах

дүрмээр тогтооно. (x0,y0) цэг нь Лагранжийн

функцийн сэжигтэй цэг болог. Ө.х:

0 нь (x0,y0) цэгт харгалзах Лагранжийн

үржигдэхүүн.

0 0 0

0 0 0

, ,0

, ,0

L x y

x

L x y

y

1. Хэрэв > 0 үед

a) >0 бол (x0,y0) цэг нь орчны минимумын цэг

б) <0 бол (x0,y0) цэг нь орчны максимумын цэг

2. Хэрэв 0

а) <0 бол (x0,y0) цэг нь орчны максимумын

цэг

б) >0 бол (x0,y0) цэг нь орчны минимумын цэг

2 2 20 0 0 0 0 0 0 0 0

2 2

22 0 0 0 0

20 0 0 0

, , , , , ,, ,

' , ' ,, 2

' , ' ,

x x

y y

L x y L x y L x yA B C

x yx y

x y x yA C B A B C

x y x y

Одоо n-хувьсагчийн функцийн экстремумын

бодлогын зайлшгүй ба хүрэлцээтэй нөхцлийг

томъѐолъѐ. Нөхцөлт биш экстремумын

бодлогыг n хэмжээст евклид огторгуйд бичвэл

Үүнд: х = (х1,х2,...,хn)Rn

Теорем 4.3 (Экстремум байх зайлшгүй нөхцөл)

f(x) функц нь xRn цэг дээр

дифференциалчлагддаг болог. Хэрэв х* нь (11)

бодлогын хувьд экстремумын цэг бол

байна.

min, 11nf x x R

* * *

1 2

... 0 12n

f x f x f x

x x x

системийн шинжүүдийг экстремум

байх сэжигтэй цэгүүд гэж нэрлэнэ. Үүнд:

' 0f x

1 2

2 2 2

21 2 11

2 2 2

22 1 22

2 2 2

21 2

' , ,...,

...

...'' .

... ... ... ...

...

n

n

n

n n n

f f ff x

x x x

f f f

x x x xx

f f f

f x x x x xx

f f f

x x x x x

Теорем 4.4 f(х) функц нь х*Rn цэг дээр хоѐр

дахин дифференциалчлагддаг болог.

а) Хэрэв х* цэг нь (11) бодлогын хувьд орчны

минимумын цэг бол f"(x*) матриц нь сөрөг биш

тодорхойлогдсон байна. Ө.х:

b) Хэрэв х" нь орчны максимуман цэг бол f"(х*)

нь эерэг биш тодорхойлогдсон байна.

*'' , 0, nf x h h h R

*'' , 0, nf x h h h R

Теорем 4.5 f(х) функц нь х*Rn цэг дээр

дифференциалчлагддаг бөгөөд х* нь сэжигтэй

цэг болог.

а) Хэрэв f "(х*) матриц нь эерэг

тодорхойлогдсон, ө.х:

бол х* нь f(х) функцийн Rn дээрх орчны

минимумын цэг болно

b) Хэрэв f "(х*) матриц сөрөг тодорхойлогдсон,

ө.х: бол х* нь f(х)

функцийн Rn дээрх орчны максимумын

болно.

*'' , 0, , 0nf x h h h R h

*'' , 0, , 0nf x h h h R h

Санамж: Хэрэв сэжигтэй цэг дээр f "(x*)

матриц тэмдэг тодорхойлогдоогүй бол х* нь

экстремумын нэг болж чадахгүй.

Олон хувьсагчийн функцийн нөхцөлт

экстремум.

Математик анализын хүрээнд авч үздэг

нөхцөлт экстремумын сонгодог бодлого нь

дараах хэлбэртэй болдог.

1 2, ,..., min max 12nf x x x

(12), (13) бодлогыг вектор хэлбэрт хураангуйлж

бичвэл:

хэлбэртэй болно. Энэ бодлогыг бодох ерөнхий

арга болох Лагранжийн дүрмийг тодорхойлъѐ.

1 1 2

2 1 2

1 2

, ,..., 0

, ,..., 0 13

...

, ,..., 0

n

n

n n

g x x x

g x x x

g x x x

min max , 0, 1,2,..., 14if x g x i m m n

Үүний тулд Лагранжийн функц зохионо.

Теорем 4.6 (Нөхцөлт экстремум байх эайлшгүй нөхцөл)нь бодлогын хувьд экстремумын цэг

болог.

функцүүд нь х* цэгийнорчинд тасралтгүй дифференциалчлагддаг байг.Тэгвэл нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш байх *

тоо ба *Rn вектор олдох бөгөөд

0 01

0 1 2

, , ,

, , ,...,

n

i ii

mm

l x f x g x

R R

* nx R

1, ,..., mf x g x g x

нөхцөл биелэгдэнэ.

Хэрэв векторууд нь

шугаман хамааралгүй бол 0 = 1 гэж үздэг.

Теорем 4.7 (2-р эрэмбийн зайлшгүй нөхцөл)

х* цэг нь (14) бодлогын хувьд орчны

минимумын (максимумын) цэг бөгөөд энэ цэг

дээр дараах нөхцлүүд биелэгддэг гэж үзье.

Үүнд:

1. функцууд нь х* цэгийн

орчинд тасралтгүй дифференциалчлагддаг ба

х* цэг дээр хоѐр дахин дифференциалчлагдах

* * *0, ,

0, 1, 15i

L xi m

x * * *1 2' , ' ,..., 'mg x g x g x

*1, ,..., mf x g x g x

2. градиентууд

шугаман хамааралгүй. Тэгвэл (15) нөхцлийг

хангаж буй (*0, 0) хос болон

нөхцлийг хангах бүх hRn-ийн хувьд

нөхцөл биелэгдэнэ.

* * *1 2' , ' ,..., 'mg x g x g x

*' , 0, 1, 16ig x h i m

2 * * *0

2

, ,, 0, 0

L xh h

x

Теорем4.8(2-р эрэмбийн экстремумын хүрэлцээтэй нөхцөл)

x*Rn цэгийн хувьд дараах нөхцлүүд

биелэгддэг болог. Үүнд:

1. .

2. функцууд нь х* цэг

дээр 2 дахин дифференциалчлагдах

3. нөхцлийг хангах тэгээс

ялгаатай бүх h векторуудын хувьд

нөхцөл биелэгдэнэ. Тэгвэл х* нь (14) бодлогын

орчны минимумын (максимумын) цэг болно.

* 0, 1,ig x i m

1 2, , ,..., mf x g x g x g x

*' , 0, 1,ig x h i m

2 * * *0

2

, , ,, 0, 0

L xh h

x

Дээр дурдсан теоремуудыг ашиглан (14) бодлогыгбодохын тулд дараах дүрмийг баримтална.

1. Лагранжийн функц зохионо.

2. (15) гэсэн зайлшгүй нөхцлийг бичиж алгебрийнтэгшитгэлүүдийн системийг бодож бодлогынсэжигтэй цэгийг олно. Мөн эдгээр цэгт харгалзахЛагранжийн үржигдэхүүнийг тодорхойлно. Үүнд:

а) 0=0 тохиолдол нь практикт ховор тохиолдоно.Энэ нь (13) гэсэн систем нийцгүй тохиолдолд гарчирнэ.

b) 0 0 үед 0 = 1 гэж үзэх нь тохиромжтой.

3. Олон сэжигтэй цэгүүд экстремумын цэг мөнэсэхийг хүрэлцээтэй нөхцлийн тусламжтайгааршалгана.