Лекц№ 4 Функцын дээд эрэмбийн уламжлал ба

дифференциалчлал, дифференциалчлагдах

функцийн тухай теоремууд

Дээд эрэмбийн уламжлал ба

дифференциал

у=f(х) функц [а,b] хэрчмийн цэг бүхэн дээр

уламжлалтай байвал у' =f '(x) нь [а,b] дээр

тодорхойлогдсон функц болох ба хэрэв энэ

функц дифференциалчлагдах байвал түүний

уламжлал (f '(х))'-ыг у функцийн II эрэмбийн

уламжлал гэх бөгөөд у" буюу f "(х) гэж

тэмдэглэнэ.

Энэ ѐсоор у" = (у')' болно.

у"=f "(х) функц дифференциалчлагдах

байвал уг функцийн III эрэмбийн уламжлал

гэх мэтчилэн хэрэв уn-1 = f (n-1)(x) функц

дифференциалчлагдах байвал уг функцийн

n эрэмбийн уламжлалын тухай ярьж болно.

Үүнд: yn =[ f (n-1) (x)]I болно.

Ж: бол дээд эрэмбийн уламжлалыг ол.43y x

3' 12y x2'' 36y x

''' 72y x(4) 72y(5) (6) ... 0y y

Дээд эрэмбийн уламжлалын нэгэн адилаар

d(dy)-г y=f(х) функцийн 2-р эрэмбийн

дифференциал гэж нэрлээд d2y гэж тэмдэглэнэ.

Иймд

буюу

болно.

Мөн

болно.

2d dy d y22 ' ' ''d y f x dx dx f x dx

1 nn n nd y d d y f x dx

Дифференциалчлагдах функцийн тухай

теоремууд

Теорем 8.1: (Роллийн теорем) Хэрэв у=f(х)

функц [а, b] хэрчим дээр тасралтгүй, (а, b)

завсарт дифференциалчлагдахаас гадна

f(а)=f(b) байвал f '(с) = 0 нөхцлийг хангах с

цэг (а, b) завсраас ядаж нэг олдоно.

Теорем 8.2: (Лагранжийн теорем) у=f(х)

функц [а, b] хэрчим дээр тасралтгүй

бөгөөд (a,b) дээр дифференциалчлагдах

байвал (1) томьѐог хангах с

цэг энэ интервалаас ядаж нэг олдоно.

'f b f a

f cb a

Дээрхи теоремын геометр утга нь А(а,f(а));В(b,f(b)) хоѐр

цэгийг дайрсан хөвчтэй параллель С(с,f(с)) цэгт татсан

шүргэгч ядаж нэг байна гэсэн үг юм. (1) тэнцэтгэлээс

f (b)-f (а)=f '(с)(b-а) гэж бичиж болох ба үүнийг

функцийн төгсгөлөг өөрчлөлтийн тухай Лагранжийн

томьёо гэдэг.

Теорем 8.3 (Кошийн теорем) Хэрэв у=f (х); у =(х)

функцүүд [а,b] хэрчим дээр тасралтгүй бөгөөд (а,b)

завсарт дифференциалчлагдаж '(х) 0 , х(а,b) байвал

гэсэн нөхцлийг хангах с цэг (а,b) завсраас ядаж нэг

олдоно.

'

'

f b f a f c

b a c

Лопиталын дүрэм: у=f(х), у=(х) функцүүд

х=а цэгийн орчинд дифференциалчлагдах ба

(x) 0 байг. Хэрэв буюу

Өөрөөр хэлбэл, хэлбэрийн тодорхой биш

байвал

байна.

Үүнийг Лопиталын дүрэм гэдэг.

lim lim 0x a x a

f x x

lim limx a x a

f x x

0;

0

'lim lim

'x a x a

f x f x

x x

Жишээ1.

Жишээ2.

0 0

1 1lim lim

sin 2 2cos2 2

x x

x x

e e

x x

2 2

0 0

2

1 2 2lim lim

15 55

1 25

x x

x x

e e

arctg x

x

Тейлорын томьѐо. Хэрэв у=f(х) функц а цэгийг

агуулсан ямар нэг интервалд n+1 удаа

дифференциалчлагдаж байвал

(2) томьѐо хүчинтэй байна.

Rn(x)-г үлдэгдэл гишүүн гэдэг.

2' ''...

1! 2! !

nn

n

f a f a f af x f a x a x a x a R x

n

Үлдэгдэл гишүүнийг ихэнх тохиолдолд

үлдэгдэл гишүүний Лагранжийн хэлбэр гэж

нэрлэдэг.

хэлбэрээр авдаг.

1

1,0 1

1 !

n

n

n

f a x aR x x a

n

Тейлорын томьѐонд а = 0 гэж авбал болох

бөгөөд үүнийг Маклорены томьёо гэнэ. Энд

байна.

2' 0 '' 0 0

0 ...1! 2! !

n

n

n

f f ff x f x x x R x

n

Тейлорын томьѐо нь дурын функцийг олон

гишүүнтээр илэрхийлэх боломж олгож

байна.

Иймээс маш чухал томьѐо юм. Олон

гишүүнт нь бусад функцүүдийг бодоход

математикийн янз бүрийн үйлдэл хийхэд

хялбар байдаг учир функцийг ойролцоогоор

олон гишүүнтээр сольж судлах явдал

практик ач холбогдолтой билээ.