Розв’язування рівнянь і нерівностей з модулями

План лекції1. Рівняння, що містять змінну під знаком модуля

1.1. Метод розкриття модуля за визначенням при розв’язуванні рівнянь1.2. Метод розкриття модуля за визначенням при розв’язуванні рівнянь2. Нерівності з модулями 

1. Рівняння, що містять змінну під знаком модуля

При розв’язуванні рівнянь, що містять змінну під знаком модуля,

найчастіше застосовують такі методи, як:

a) розкриття модуля за визначенням;

б) метод інтервалів.

За визначенням модуля:

Відзначимо такі властивості модуля, які нерідко використовуються на

практиці:

   

Для найпростіших рівнянь з модулем слід пам’ятати, що рівняння

рівносильне сукупності рівнянь якщо .

 

Якщо ж  , то рівняння   розв’язків не має.

1.1. Метод розкриття модуля за визначенням при розв’язуванні рівнянь

Приклад 1. Розв’язати рівняння  |3x-2|=4.

Розв’язання

 

Відповідь: {-  2}.

Приклад 2. Розв’язати рівняння |x+3|=-2.

Розв’язання

, оскільки з визначення модуля випливає,

що   для будь-якого х з області визначення функції  .

Відповідь:  .

Приклад 3. Розв’язати рівняння  .

Розв’язання

Розглянемо два випадки, коли вираз (х+1) під знаком модуля невід’ємний

і коли від’ємний. При   

При   Звідси, початкове рівняння еквівалентне

сукупності двох змішаних систем:

 

Перша система має розв’язок  .

Друга система розв’язків не має, тому що 

Відповідь: 

Рівняння виду   можна розв’язувати методом інтервалів,

який розглянутий нижче, однак для такого рівняння швидше за все

приводить до мети спосіб піднесення обох частин рівняння до квадрата,

враховуючи те, що  .

Приклад 4. Розв’язати рівняння  .

Розв’язання

Піднесемо обидві частини рівняння   до

квадрата: 

Відповідь:    .

1.2. Метод інтервалів ( проміжків) при розв’язуванні рівнянь з

модулями

Даний метод полягає в тому, що:

1) вирази, які стоять під знаком модуля, прирівнюються до нуля;

2) отримані значення відкладаються на числовій прямій, яка при цьому

розбивається на інтервали (проміжки), в кожному з яких свій знак

підмодулевого виразу;

3) розв’язуються отримані рівняння в кожному з інтервалів.

На практиці метод інтервалів зазвичай застосовується тоді, коли рівняння

містить декілька модулів.

Розглянемо застосування методу інтервалів на прикладах.

Приклад 5. Розв’язати рівняння  .

Розв’язання

1-й спосіб розв’язування:

;  . Наносимо на числову пряму точки   і 

. Ці точки розбивають числову пряму на три інтервали (проміжки), у

кожному з яких свій знак підмодулевого виразу. Для зручності можна

позначити ці інтервали І, ІІ, ІІІ:

І:  ; ІІ:  ; ІІІ:  .

Для інтервалу І маємо:  ;  .

Звідси, дістаємо розв’язання рівняння в

І інтервалі:  .

Однак значення  не належить І інтервалу, тобто    , тому

в І інтервалі початкове рівняння  розв'язків не має.

Для ІІ інтервалу  ;     початкове рівняння

має вигляд  .

Оскільки   – це тотожність, то будь-яке     є розв’язком, тобто

розв’язком рівняння є весь відрізок    .

Для ІІІ інтервалу  ;     початкове рівняння має

вигляд:  .

Оскільки    , то в ІІІ інтервалі початкове рівняння розв’язків не

має.

2-й спосіб розв’язування:

Розв’язання даного прикладу можна записати в іншій формі,

застосовуючи поняття сукупності змішаних систем, тобто систем, які містять

рівняння і нерівності.

Так само, як і для 1-го способу, маємо три інтервали: І:  ;

ІІ:  ; ІІІ:  . В залежності від того, у якому інтервалі ми шукаємо

розв’язок, початкове рівняння рівносильне сукупності таких змішаних

систем:

  .

Перша і третя системи сукупності розв’язків не мають, а розв’язком

другої системи є проміжок  .

Відповідь:  .

Приклад 6. Розв’язати рівняння  .

Розв’язання

Рівняння з трьома і більше модулями зручно розв’язувати лише методом

інтервалів.

;

  ; 

.

Маємо чотири інтервали:

І:    ;

ІІ:    ;

ІІІ:  

ІV:    .

У І інтервалі  ,

  ,

  .

Звідси, маємо

 

.

Оскільки   входить в інтервал  , то   є

розв’язком початкового рівняння.

У ІІ інтервалі  ;

  ;

  .

Тоді 

 

.

Однак    .

Для ІІІ інтервалу  ;

  ;

  .

Звідси маємо

 

  .

Тому що  входить в інтервал ,

то   є розв’язком початкового рівняння.

Для ІV інтервалу  ;

  ;

.

Звідси

дістаємо   

  .

Однак значення .

Відповідь:    .

Приклад 7. Розв’язати систему рівнянь 

Розв’язання

В даному випадку областю допустимих значень для x і y є множина всіх

дійсних чисел.

Замінимо дану систему рівнянь еквівалентною сукупністю систем:

Як бачимо, три пари чисел, які отримали при розв’язанні даної системи,

виявились сторонніми.

Відповідь:    .

2. Нерівності з модулями 

Перший спосіб розв’язування нерівностей з модулем.

 З означення модуля випливає, що для будь-якого числа а виконується

нерівність  . Геометрично   – відстань від початку відліку (точки 0) до

точки, координата якої є число а.

Відстань між точками а і b дорівнює  . Наприклад, якщо 

,  , то   – відстань між точками з координатами 2 і 5.

Або  .

Відстань між точками 5 і –6 дорівнює:   

Або  .

Геометрично нерівність  , де  , означає, що відстань від точки

з координатою х до точки 0 не більша від а.

Цю властивість мають точки    . Отже, нерівність   

означає те саме, що й подвійна нерівність  . Нерівність   

означає те саме, що й подвійна нерівність  .

Нерівність   означає, що   або  . Нерівність   

означає, що   або  .

Нерівності  , де  ,

розв’язуються аналогічно, бо можуть бути зведені до попередніх

заміною  .

Другий спосіб розв’язування нерівностей з модулем. 

При розв’язуванні нерівностей, що містять змінну під знаком модуля,

використовується визначення модуля функції: 

Нерівність виду  , якщо  ,

якщо  , то нерівність   розв’язків не має.

Нерівність виду     якщо  ;

якщо  , то розв’язком нерівності   буде множина

припустимих значень функції  ;

якщо  , то розв’язком нерівності   буде множина тих х,

для яких  .

Для розв’язання нерівностей, які містять більше одного модуля,

застосовують метод інтервалів для модулів.

Приклад 8. Розв’язати нерівність 

Розв’язання

Згідно з 1-им способом розв’язування нерівностей з модулем випливає,

що   або  , тобто

Відповідь:  .

Приклад 9. Розв’язати нерівність  .

Розв’язання

Оскільки  , то початкова нерівність розв’язків не має.

Відповідь:  .

Приклад 10. Розв’язати нерівність  .

Розв’язання

Дану нерівність можна замінити сукупністю двох систем нерівностей:

  .

Відповідь:    .

Приклад 11. Розв’язати нерівність 

Розв’язання

Для розв’язування даної нерівності використаємо метод інтервалів для

модулів. Відзначимо на числовій прямій точки, в яких вирази, що

знаходяться під знаком модулів, перетворюються в нуль. Це точки   

і  . Вся числова пряма розбивається цими точками на три проміжки:

1) Розглянемо проміжок (інтервал)    :

Підставивши в підмодулеві вирази замість змінної х довільне значення з

даного інтервалу, виявивши тим самим знак підмодулевого виразу,

отримаємо нерівність  ,        .

Тоді 

2) Розглянемо проміжок    :

За тим самим принципом, що і на попередньому проміжку,

маємо           Тоді   

3) Розглянемо проміжок  :

Маємо      . Тоді   

Об’єднаємо отримані розв’язки:      .

Відповідь:      .

Приклад12. Розв’язати нерівність  .

Розв’язання

Розпишемо дану нерівність у вигляді сукупності двох систем:

       

     

          .

Відповідь:      .

Тренувальні вправи.

Розв’язати рівняння з модулями:

Рівень А

1.   .

2.   .

3.   .

4.   .

5.   .

6.   .

7.   .

8.   .

9.   .

10.   .

Рівень Б

1.  

2.  

3.  

4.  

5.  

6.  

7.  

8.  

9.  

10.  

Рівень В

1.  .

2.  .

3.  .

Розв’язати системи з модулямиРівень Б

1. 

2. 

3. 

4. 

     Розв’язати нерівності, що містять знак модуляРівень Б

1.  

2.  

3.  

4.  

5.  

6.  

7.  

8.  

9.  

10.  

11.  

12.  

13.  

14.  

15.  

16.  

17.  

18.  

19.  

20.  

21.  

22.  

23.  

24.  

25.  

26.  

27.  

28.  

29.  

30.  

Рівень В

1.  

2.  

3.  

4.  

5.  

6.  

7.  

8.  

9.  

10.  Інтернет ресурси:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_1/510.htm