מודלים סטטיסטים ב' ארתור צ'ירגייב, יוני נצרתי 1

סוגיות נוספות בניתוח שונות.דו-כווני

4פרק ג-

מודלים סטטיסטים ב' ארתור צ'ירגייב, יוני נצרתי 2

מה נעשה בפרק זה?)במגוון נושאים הקשורים לניתוח נדון )בקצרה

שונות דו-כווני..נתונים לא מאוזנים.בדיקת הנחות המודל.השוואות מרובות:שני מקרים פרטיים

.מודל שבו מניחים שאין אינטראקציה.מודל עם תצפית אחת עבור קומבינציה של טיפולים

מודלים סטטיסטים ב' ארתור צ'ירגייב, יוני נצרתי 3

מה עושים כאשרהנתונים אינם מאוזנים...

מודלים סטטיסטים ב' ארתור צ'ירגייב, יוני נצרתי 4

נתונים לא מאוזנים ניתוח שונות דו-כווני הרבה פעמים מיושם עבור נתונים

אשר מקורם בניסוי. במקרה זה הניסוי מתוכנן מראש ודואגים לרוב לאסוף מספר זהה של תצפיות עבור כל

קומבינציה של טיפולים. אבל...( לפעמים מקור הנתונים הוא אחרObservational data ,)

ובמקרים כאלו לרוב הנתונים אינם מאוזנים."ללא לפעמים מאבדים/פוסלים תצפיות והנתונים "הופכים

מאוזנים..לפעמים לא ניתן לבצע ניסוי מאוזן ועדיף לבצע ניסוי לא מאוזן

:עבור נתונים לא מאוזנים פרוק סכום הריבועים לא הבעיהמתקיים )ודרגות החופש אינן מסתכמות( ולכן )באופן כללי( לא ניתן לבצע ניתוח שונות דו-כווני באופן ישיר

ומדויק. )זאת בניגוד לניתוח שונות חד-כווני אשר עדיין מדויק במקרה הלא מאוזן(.

מודלים סטטיסטים ב' ארתור צ'ירגייב, יוני נצרתי 5

סימונים

11 12 1

21

1

b

ik

a ab

n n n

n

n

n n

1

1,...,b

i ikk

n n i a

1

1,...,

a

k iki

n n

k b

1 1 1 1

a b a b

i k iki k i k

n n n n

מספר תצפיות עבור כל קומבינציה:

מודלים סטטיסטים ב' ארתור צ'ירגייב, יוני נצרתי 6

מקרה עם פתרון מדויק: מספר תצפיות פרופורציונאלי

i kik

n nn

n

נאמר שמספר התצפיות הוא פרופורציונאלי :אם

?מה זה אומר

1

1

1

1

1

1

1 1

2 2

kk

kk

kak a

nn n

n

nn n

n

nn n

n

2

2

2

2

2

2

1 1

2 2

kk

kk

kak a

nn n

n

nn n

n

nn n

n

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

1

1

2

2

k k

k k

k k

k k

ak k

ak k

n n

n n

n n

n n

n n

n n

1 1 1

2 2 2

1 2

1 2

...k k ak

k k ak

n n n

n n n

k1קבלנו שעמודה k2ועמודה

פרופורציונאליות

ו k1נסתכל על עמודת k2:

באופן כללי כל שתי עמודות וכל שתי שורות הן פרופורציונאליות

מודלים סטטיסטים ב' ארתור צ'ירגייב, יוני נצרתי 7

נוסחאות חישוב כאשר מספר התצפיות פרופורציונאלי, ניתן לבצע ניתוח

שונות דו-כווני באופן מדויק.:2צריך לעדכן את נוסחאות החישוב

2

1 1 1

2 2

1

2 2

1

2 2

1 1

22

1 1 1 1 1

ik

ik

na b

Total ikji k j

ai

Ai i

bk

Bk k

a bik

AB A Bi k ik

na b a bik

E Total A B AB ikji k j i k ik

ySS y

n

y ySS

n n

y ySS

n n

y ySS SS SS

n n

ySS SS SS SS SS y

n

מודלים סטטיסטים ב' ארתור צ'ירגייב, יוני נצרתי 8

דוגמא בחנות ביגוד מעוניינים לבחון כיצד הגורמים הבאים

משפיעים על כמות המכירות )בשקלים( הממוצעת לשעה:

( אמצע שבועD( או סוף שבוע )E.)( אדם המכירות הוא גברM( או אדם המכירות הוא אישה )W.)

ימים באמצע השבוע ויומיים בסוף 4החנות עובדת 8 משמרות של גברים ו 4השבוע. באמצע השבוע ישנן

משמרות של 2משמרות של נשים. בסוף השבוע ישנן משמרות של נשים )בכל משמרת יש אדם 4גברים ו

מכירות יחיד(.:להלן הנתונים

535,345,1245,419 2352,1552

688,854,868,1010,1245,1023,2451,1045

1442,647,673,1235

D E

M

W

האם מספר התצפיות פרופורציונאלי?

מודלים סטטיסטים ב' ארתור צ'ירגייב, יוני נצרתי 9

שיטות נוספות כאשר הנתונים אינם מאוזנים הם גם לרוב לא יהיו

פרופורציונאליים.:ניתן ל"אזן" את הנתונים ע"י מספר שיטות

>- )שערוך תצפיות חסרות )ע"יי ממוצע האוכלוסייהמתאים כאשר יש תצפיות בודדות חסרות.

הורדת עודף תצפיות ע"י בחירה אקראית -< מתאיםכאשר יש עדוף של תצפיות בודדות -< אבל זהו "חטא

סטטיסטי".PROC GLM...מבצע ניתוח מדויק ע"י מודל רגרסיה

.(Type I,II,III,IIII)כאן יש ארבע סוגי סכומי ריבועים Type I – Sequential”.)תלוי בסדר המשתנים במודל( "Type III – “Extra”

מודלים סטטיסטים ב' ארתור צ'ירגייב, יוני נצרתי 10

בדיקת הנחות המודל...בדומה לניתוח שונות חד-כווני

מודלים סטטיסטים ב' ארתור צ'ירגייב, יוני נצרתי 11

השוואות מרובות ...בדומה לניתוח שונות חד-כווני

מודלים סטטיסטים ב' ארתור צ'ירגייב, יוני נצרתי 12

מודל ללא אינטראקציה

מודלים סטטיסטים ב' ארתור צ'ירגייב, יוני נצרתי 13

לפעמים ניתן להניח שאין אינטראקציה...

1 1

2

1,...,

1,...,

1,...,

0 , 0

~ (0, )

ik

ikjikj i k

a b

i ki k

ikj

y

i a

k b

j n

NID

( 1) ( 1)( 1)

1 1 11ab n a b

Total A B E

a b abn a babn

SS SS SS SS

מודלים סטטיסטים ב' ארתור צ'ירגייב, יוני נצרתי 14

דוגמא

מודלים סטטיסטים ב' ארתור צ'ירגייב, יוני נצרתי 15

המשך דוגמא:

CLASS A B; MODEL C= A B A*B / SS3;

CLASS A B; MODEL C= A B / SS3;

מודלים סטטיסטים ב' ארתור צ'ירגייב, יוני נצרתי 16

מודל עם תצפית אחת עבור כל קומבינציה של טיפולים.

מודלים סטטיסטים ב' ארתור צ'ירגייב, יוני נצרתי 17

מה קורה כאשר יש תצפית אחת עבור כל קומבינציה של טיפולים?

1 1

1 1

2

( )

1,...,

1,...,

0 , 0

( ) 0 , ( ) 0

~ (0, )

ik

ikik i k ik

a b

i ki k

a b

ik iki k

ik

y

i a

k b

NID

Re

1 11 ( 1)( 1)

Total A B sidual

a bab a b

SS SS SS SS

2

2 1

2

2 1

2

2Re 1 1Re

[ ] [ ]1 1

[ ] [ ]1 1

( )[ ] [ ]

( 1)( 1) ( 1)( 1)

a

iiA

A

b

kkB

B

a b

iksidual i k

sidual

bSS

E MS Ea a

aSS

E MS Eb b

SSE MS E

a b a b

רואים שלא ניתן לעמוד את השונות בקלות. ז"א לא ניתן לבצע מבחנים לגבי כל עוד שיש אינטראקציה. B ו Aהגורמים

סכום הריבועים מתפרק כך:המודל

SSResidual יכול לתפקד כ SSe או SSab

אמדים לשונות...

מודלים סטטיסטים ב' ארתור צ'ירגייב, יוני נצרתי 18

צריך לוותר על האינטראקציה... אם כך, כאשר יש תצפית בודדת עבור כל

קומבינציה נצטרך לוותר על האינטראקציה מהמודל.

?האם זו הנחה סבירה....ניתן להחליט על כך על פי המבחן הבא

מודלים סטטיסטים ב' ארתור צ'ירגייב, יוני נצרתי 19

לקיום אינטראקציהTukeyמבחן של )עבור ניתוח שונות דו-כווני עם תצפית אחת עבור כל קומבינציה(

( )ik i k 22

1 1

( )a b

ik i k A Bi k

NA B

yy y y y SS SS

abSS

ab SS SS

ReError sidual NSS SS SS

0 / ( 1)( 1) 1N

Error

SSF

SS a b

0 1 ,1,( 1)( 1) 1a bF F

לא בחומר

מודלים סטטיסטים ב' ארתור צ'ירגייב, יוני נצרתי 20

המודל המתקבל

2

1,...,

1,...,

~ (0, )

ik

ikik i k

ik

y

i a

k b

NID

מודלים סטטיסטים ב' ארתור צ'ירגייב, יוני נצרתי 21

בפרק הבא נראה כיצד באמצעות מודל זה )ניתוח שונות עם תצפית בודדת וללא אינטראקציה( ניתן לבצע ניתוח של מבחנים עם בלוקים )הכללה של

מבחנים מזווגים(.