تئوری الاستیسیته

تئوری االستیسیتهTheory of Elasticity

كريم عابديكريم عابديكريم عابديكريم عابدي

:فصل اولتحلیل تنش و کرنش

تحلیل تنش و کرنش:فصل اول

مقدمه - 1

تحلي�ل ب�راي را ني�از مب�اني م�ورد و ك�رنش، تنش ه�اي تحلي�ل اي س�ازه سیس�تم اث�ر (Structural system)رفت�ار تحت ك�ه

بارگذاري قرار دارد، فراهم مي نمايد.

تحلیل تنش

مفاهيم بنيادي تنش•

تانسور تنش•

تبديالت در تانسور تنش•

تنش هاي اصلي•

تنش هاي برشي ماكزيمم يا •مينيمم

معادالت تعادل•

تحلیل کرنش

مفاهيم بنيادي كرنش•

تانسور كرنش•

تبديالت در تانسور •كرنش

كرنش هاي اصلي•

كرنش هاي برشي•

معادالت سازگاري•


تحليل تنش – 2

الف( تعريف تنش

یک جس�م عم�ومی دلخ�واه را در نظ�ر بگیری�د ک�ه تحت اث�ر ن�یرو ه�ای و p2 و p1عم�ل کنن�ده در س�طح آن ق�رار دارد ) ن�یرو ه�ای گس�ترده

را Q (. ی�ک ص�فحه دلخ�واه موه�ومی P3 و P2 و P1ن�یرو ه�ای متمرک�ز Aاز می�ان جس�م عب�ور دهی�د. این ص�فحه جس�م را در امت�داد س�طح

را ب�ا عالمت )+( و س�وی دیگ�ر Qب�رش می ده�د. ی�ک س�وی ص�فحه را با عالمت منفی )-( نمایش می دهیم.


) ن�يروي نرم�ال ي�ا عم�ودي ( نيروي را مي ت�وان ب�ه دو مؤلف�ه و Nو ) ن�يروي برش�ي ي�ا مماس�ي ( در امت�داد ب�ردار واح�د نرم�ال

تجزيه نمود:Q نسبت به صفحه Sبردار مماسي

در �م �جس از �متی �قس نیروه�ایی Qس�مت مثبت

از دیگ�ر قس�مت ب�ه را Qجس�م در س�مت منفی

این �د. �نمای می �ال �اعمص�فحه طری�ق از نیروه�ا

Q اس��تم �یله �وس �ه �ب مس�تقیم دو قس�مت جس�م

س�مت دو منتق�ل Qدر می ش�وند. ن�یرویی را ک�ه ج�زیی س�طح طری�ق از

ΔA ازA مت� ب�ه وس�یله س منتق�ل می ش�ود Qراس�ت

نمایش می دهیم. ΔFبا


22SN FFF

:مقدار متوسط نيرو در واحد سطح عبارتند از

( تنش متوسط )

( تنش نرمال متوسط )

( تنش برشي متوسط )


مفهوم تنش در يك نقطه با فرض بي نهايت كوچك شدن حاصل مي شود. بنابراين بردار تنش به صورت زير مشخص

:مي شود

A

F

A

lim0

:و بطور مشابه بردار تنش نرمال و بردار تنش مماسي به صورت زير تعريف مي شوند

A

FN

AN

lim

0

A

FS

AS

lim

0

( تنش نرمال )

( تنش برشي يا مماسي )

اكنون با شناختي كه از بردار تنش بدست آورديم، مي توان چهار :مشخصه زير را براي آن بيان كرد


بردار تنش از جنس نيرو در واحد سطح است.1(

( ب�ردار تنش در ه�ر نقط�ه، نماي�انگر عم�ل نيروه�اي ي�ك ط�رف مقط�ع 2خاص برش گذرنده از آن نقطه به طرف ديگر است.

( ب�ردار تنش در ه�ر نقط�ه، روي س�طحي عم�ل مي كن�د ك�ه راس�تاي 3آن سطح از ابتدا در ارزيابي بردار تنش مؤثر بوده است.

( ب�ردار تنش در ي�ك نقط�ه مح�دود ب�ه ي�ك راس�تا و جهت خ�اص نمي 4باش�د ) يع�ني در ي�ك نقط�ه بي نه�ايت تنش مي ت�وان تعري�ف ك�رد(.

از آنجا که در یک نقطه در فضای سه بعدی، بیش از سه راستای مستقل نمی توان تشخیص داد، در نتیجه هرگاه در نقطه ای سه بردار تنش مربوط به سه راستای مستقل مشخص باشند، می

توان بردار تنش مربوط به هر راستای اختیاری را تعیین کرد.


ب( تانسور تنش

:بارهايي كه در جسم آزاد مذكور عمل مي كنند به دو نوع تقسيم مي شوندكه در سطح جسم آزاد عمل مي كنند، نظير (Surface Forces)- نيروهاي سطحي 1

نيروهاي تماسي كه شامل بارهاي متمركز و واكنش ها در يك نقطه مي باشند و بارهاي گسترده.

كه در حجم جسم آزاد عمل مي كنند، نظير نيروهاي (Body Forces) - نيروهاي حجمي 2ثقلي و نيروهاي اينرسي.

در یک نقطه از دیاگرام چسم (State of Stress)برای مشخص نمودن حالت تنش آزاد استفاده می کنیم. این جسم آزاد به صورت یک مکعب مستطیل با ابعاد بی

در نظر گرفته می شود، به عبارت دیگر نقطه مورد dz و dy و dxنهایت کوچک نظر به صورت یک مکعب مستطیل با ابعاد بینهایت کوچک فرض می شود که

توضیحی در مورد صفحاتی که می باشند )z و y و xوجوه آن موازی با محورهای (. از نقطه مورد نظر عبور می کنند


برای سادگی و سهولت ارائه مطالب، عنصر بینهایت کوچک را با یک نشان می دهیم و فرض می کنیم که مولفه های تنش Oگوشه در مبدا

در سرتاسر عنصر حجمی یکنواخت )ثابت( می باشند.)توضیح در مورد صفحاتی که از نتطه مورد نظر عبور می کنند و تجزیه مولفه برشی

را σxz و σxy و σxx تنش های xبرای صفحات یا وجوه عمود بر محور نیرو به دو مولفه( را σyz و σyy و σyx تنش های yبرای صفحات یا وجوه عمود بر محور داریم. را σzz و σzy و σzx تنش های zبرای صفحات یا وجوه عمود بر محور داریم.داریم.


در ارتباط با مفهوم حالت تنش در يك نقطه، نه مؤلفه تنش به

صورت زير وجود دارند:

A

F

A

F

A

F z

Axz

y

Axy

x

Axx

limlimlim000

A

F

A

F

A

F z

Ayz

y

Ayy

x

Ayx

limlimlim000

A

F

A

F

A

F z

Azz

y

Azy

x

Azx

limlimlim000

:xبرای صفحات یا وجوه عمود بر محور

:yبرای صفحات یا وجوه عمود بر محور

:zبرای صفحات یا وجوه عمود بر محور

نمایش دهنده امتدادی است که بر صفحه عمود σab ، aتوجه شود که در نمایش دهنده امتداد مربوط به مولفه تنش است. bاست و


تانسور تنش را مي توان به شكل زير تعريف كرد:

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

T

بطور اختصار تانسور تنش را بصورت ) نمايش تانسوري ( نشان مي دهند.

هاx بیانگر محور 1 هاy بیانگر محور 2 هاz بیانگر محور 3


انواع كميت ها:يك كميت اسكالر، كميتي است كه تنها داراي يك مؤلفه در

است. مؤلفه مذكور يك دستگاه مختصات اختياريهنگامي كه در مختصات اختياري ديگري به نام اندازه

تغييري نمي كند ) تانسور از مرتبه صفر(. گيري شود،

يك كميت برداري، كميتي است كه داراي سه مؤلفه در يك است. مؤلفه هاي مذكور هنگامي دستگاه مختصات اختياري

كه در مختصات اختياري ديگري به نام اندازه گيري شوند، به صورت قانونمند تغيير مي كنند )تانسور از مرتبه اول(.

9يك كميت تانسوري، از مرتبه دوم كميتي است كه داراي است. مؤلفه هاي مؤلفه در يك دستگاه مختصات اختياري

مذكور هنگامي كه در مختصات اختياري ديگري به نام اندازه گيري شوند به صورت قانونمند تغيير مي كنند ) تانسور از مرتبه

.دوم(


خواص تانسور تنش عبارتند از:

- تانسور تنش در يك نقطه مورد بحث قرار مي گيرد ،1

- عناصر قطر اصلي تانسور، مؤلفه هاي قائم تنش هستند،2

- عناصر واقع در غير قطر اصلي، مؤلفه هاي برشي 3) مماسي ( هستند،

- تانسور تنش يك اصطالح رياضي است كه به موجوديتي 4فيزيكي به نام تنش اطالق مي شود،

- تانسور تنش متقارن است.5

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

T


0 0x yz zy yz zyM dxdydz dxdydz

می توان اثبات کرد که تانسور تنش از خاصیت تقارن برخوردار است. به عبارت دیگر داریم:

, ,xy yx xz zx zy yz

برای اثبات خاصیت تقارن، معادله تعادل مکعب تنش را می نویسیم. مطابق معادالت تعادل، باید لنگر نیروهای وارد بر مکعب حول هر یک از محورها و

نسبت به هر نقطه، معادل صفر گردد. به عبارت دیگر داریم:

0 0y zx xz zx xzM dxdydz dxdydz 0 0z yx xy yx xyM dxdydz dxdydz

در معادالت باال از نیروهای ناشی از شتاب و وزن جسم صرف نظر شده است، ولی می توان نشان داد که نتیجه به دست آمده در حالت کلی نیز صحیح است. معادالت تعادل باال نشان می دهند که کمیت های تنش های برشی واقع در دو سطح عمود مجاور هم، همیشه مساوی هستند و جهت آنها طوری است

که یا به طرف همدیگر بوده یا این که از همدیگر دور می شوند.


پ( مؤلفه هاي تنش در يك صفحه با راستاي اختياريبردار تنش و و در صفحاتي كه به ترتيب عمود بر

وxمحورهاي

y و z:مي باشند، عبارتند از

kjiT

kjiT

kjiT

zzzyzxz

yzyyyxy

xzxyxxx

را كه از مكعب تنش Pاينك بردار تنش در يك صفحه مايل دلخواه بريده شده است، مورد مالحظه قرار مي دهيم.


عبارت است از:Pبردار نرمال واحد عمود بر صفحه

knjmilN

كه در آن l و m و n .كوسينوس هاي هادي بردار واحد مي باشند


را می توان از Pمولفه های بردار تنش در یک صفحه مایل دلخواه تعادل ایستایی یک چهاروجهی بی نهایت کوچک که از این صفحه

مایل و صفحات مختصات تشکیل شده است، به دست آورد.در شکل مذکور، تنش ها را در سه صفحه مختصات نشان داده ایم.

نشان می دهیم. در این ΔA را با ABCمساحت مثلث بی نهایت کوچک به ترتیب برابر هستند با AOC و COB و AOBصورت مساحت وجوه

mΔA و lΔA و nΔA بردار عمل کننده در وجه .ABC را با S نمایش می نشان داده شده اند.Sz و Sy و Sx آن را با z و y و xدهیم و مولفه های

تحلیل تنش و کرنش:فصل اول xاز تعادل نيروها در راستاي

داريم:

zxyxxxx

zxyxxxx

nmlS

AnAmAlAS

نتايج زير حاصل خواهند شد:z و yبطور مشابه از تعادل نيروها در راستاي

zyyyxyy nmlS

zzyzxzz nmlS

, 1, 1,2,3

2, 1,2,3

3, 1,2,3

j i ijS n j i

j i

j i

با استفاده از نمادگذاری تانسوری، مولفه های تنش

در صفحه مایل را به صورت زیر نمایش می دهیم:


سه معادله مذكور، محاسبه مؤلفه هاي تنش در هر صفحه مايل را شوند ميسر مي تعريف مي Nكه به وسيله بردار نرمال واحد

سازد، به شرط اين كه شش مؤلفه تنش معلوم باشند.

kSjSiSSبنابراين خواهيم داشت: zyx

براي به دست آوردن تنش نرمال كه در اين صفحه عمل مي كند از حاصل ضرب داخلي استفاده مي كنيم به عبارت

ديگر داريم:

zyxn nSmSlSS

zxyzxyzzyyxxn nlmnlmnmlS 2222


با اس�تفاده از نم�اد گ�ذاري تانس�وري مي ت�وان را بص�ورت زي�ر نوشت:

3,2,1,.. jinnS jiijn

براي ب�ه دس�ت آوردن تنش برش�ي برآين�د عم�ل كنن�ده در اين صفحه خواهيم داشت:

222222nzyxsns SSSSSSSS


( Principal Stresses & Principal Planesت( تنش هاي اصلي و صفحات اصلي ) در Sبه گونه اي است كه برایند تنش ABC فرض كنيد كه راستای صفحه

این صفحه عمود بر صفحه است، به عبارت دیگر داریم:

در آن نقطه (Principal Plane)در اين صورت صفحه مذکور، صفحه اصلی = S و تنش (Principal Direction)است و راستای نرمال آن، راستای اصلی

Sn تنش اصلی ،(Principal Stress).نامیده می شود باشد بگونه اي Oيك صفحه اصلي در نقطه ABC فرض کنید که صفحه

كه مشابه n و m و l دارای همان كوسينوس هاي هادي S در این صورت

در Sمي باشد. در اين صورت مؤلفه هاي بردار نرمال واحد عبارتند از:z و y و xراستاي

nSS

mSS

lSS

z

y

x


در اين ص�ورت مع�ادالت مرب�وط ب�ه مؤلف�ه ه�اي تنش در ي�ك ص�فحه ماي�ل به صورت زير در خواهد آمد:

0)(

0

0

Snml

nSml

nmSl

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

به صورت نماد گذاري تانسوري نيز داريم:

0 Sn ijiji

در نماد گذاري تانسوري، دلتاي كرونكر ناميده مي شود كه به صورت زير تعريف مي شود:

0

1

ij

ij

ji

ji

x xx yx zxS l m n

zyyyxyy nmlS

zzyzxzz nmlS nSS

mSS

lSS

z

y

x


و m و l ب�راي اينك�ه مع�ادالت م�ذكور داراي ج�واب غ�ير ص�فر ب�ه ازاي n ارت�باش�ند، باي�د دترمين�ان ض�رايب آن مس�اوي ص�فر باش�د. ب�ه عب

ديگر داريم:

Cubic Equationاز بس�ط دترمين�ان م�ذكور، ي�ك معادل�ه درج�ه س�ومي ) خواهيم داشت:S( به ازاي

0322

13 ISISIS

0

S

S

S

S

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

ijij

0

0

0

Snml

nSml

nmSl

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx


كه در آنها داريم:

zzyyxxI 1 ( (مجموع قطر تانسور تنش

zzyz

yzyy

zzxz

xzxx

xy

xyxx

yyI

2

)مجموع كوفاكتور هاي ) قطر تانسور تنش

2223 2 xyzzzxyyyzxxzxyzxyzzyyxx

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

I

(دترمينان تانسور تنش)

0322

13 ISISIS

تحلیل تنش و کرنش:فصل اول دارای سه ریشه حقیقی باال ثابت کرد که معادله توان Real)می

Root) ه� اس�ت و در نتیج�ه ح�داقل س�ه تنش اص�لی وج�ود دارن�د ک�ه بنش�ان داده می ش�وند. از جایگ�ذاری پس�رفتی σ3و σ2و σ1ص�ورت

این ج�واب ه�ا در مع�ادالت مرب�وط ب�ه مولف�ه ه�ای تنش در ی�ک ص�فحه ب�ه دس�ت می آین�د، n و m و lمای�ل، کوس�ینوس ه�ای ه�ادی متن�اظر

البته با شرط:2 2 2 1l m n

ریش�ه س�ه σ3و σ2و σ1اگرس�ه ص�ورت این در باش�ند، متم�ایز یک�دیگر ب�ر و ب�ود خواهن�د بف�رد منحص�ر متن�اظر، اص�لی راس�تای

خواهن�د ب�ود. اگ�ر دو ریش�ه از این س�ه ریش�ه (Orthogonal)متعام�د مس�اوی باش�ند، در این ص�ورت ی�ک راس�تا منحص�ر بف�رد خواه�د ب�ود و دو راس�تای دیگ�ر می توان�د ه�ر دو راس�تای دلخ�واهی باش�ند ک�ه ب�ر نخس�تین راس�تا متعام�د می باش�ند. اگ�ر ه�ر س�ه ریش�ه مس�اوی باش�ند، در این ص�ورت هیچ راس�تای منحص�ر بف�ردی وج�ود نخواهن�د داش�ت و این انتخ�اب ش�وند. توانن�د دلخ�واهی می متعام�د راس�تای ه�ر س�ه

وضعیت تنش به عنوان حالت تنش هیدرواستاتیک معروف است.


1 xx yy zz xx yy zzI

، ی�ک مجموع�ه متف�اوت z و y و xفرض کنی�د ک�ه ب�ه ج�ای س�ه مح�ور در نظ�ر بگ�یریم. در این ص�ورت Oرا در نقط�ه ´zو ýو ´xمحوره�ای

معادل�ه تع�یین تنش ه�ای اص�لی مانن�د معادل�ه درج�ه س�ومی ذک�ر ش�ده ´σ ب�ر حس�ب تنش ه�ای I3 و I2 و I1خواه�د ب�ود، ب�ه ج�ز این ک�ه

x و σý

´σو y ال�نس�بت ب�ه محوره�ای جدی�د تعری�ف خواهن�د ش�د. ب�ه عن�وان مث

1داریم:

2

3

...

...

xx yy zzI

I

I

ام�ا تنش ه�ای اص�لی، کمیت ه�ای ف�یزیکی می باش�ند و واض�ح اس�ت ک�ه I1بس�تگی ب�ه محوره�ای مختص�ات انتخ�اب ش�ده ندارن�د. بن�ابراین مق�ادیر

در ه�ر دس�تگاه مختص�اتی یکس�ان باش�ند ت�ا این ک�ه مق�ادیر بای�د I3 و I2و ب�ه دس�ت دهن�د. بن�ابراین ب�ه عن�وان مث�ال σ3و σ2و σ1 مش�ابهی را ب�رای

خواهیم داشت:


I1 و I2 و I3 ای�ناورداه ت�رتیب و دوم و س�وم (Invariants)ب�ه اول تانسور تنش نامیده می شوند.

1 1 2 3

2 1 2 2 3 3 1

3 1 2 3

( )

I

I

I

نظ�ر در مختص�ات محوره�ای عن�وان ب�ه را اص�لی راس�تاهای اگ�ر بگ�یریم، در این ص�ورت ناورداه�ای تنش، ف�رم س�اده زی�ر را ب�ه خ�ود

خواهند گرفت:

ک�ه در مع�ادالت ب�اال ظ�اهر I3 و I2 و I1بای�د ی�ادآور ش�د ک�ه ناورداه�ای و σ2و σ1می ش�وند، س�ه کمیت مس�تقل هس�تند ک�ه ح�الت تنش و ن�یز

σ3 ودن�و σ2و σ1 را مش�خص می نماین�د. ب�ه عب�ارت دیگ�ر ب�ا معل�وم بσ3 ای� و I1را محاس�به نم�ود و ب�ا داش�تن I3 و I2 و I1 می ت�وان کمیت هI2 و I3 می توان نیزσ1 وσ2 وσ3 .را به دست آورد


( Transformation of Stress ث( تبديل تنش )

( نمايش�گر دو دس�تگاه مختص�ات X ,Y , Z( و )x , y , zفرض كني�د )دكارتي با مبدأ مشترك باشند.


X ,Y )و )( x , y , z )كوسينوس هاي زواياي بين محورهاي مختصات, Z در جدول زير درج شده اند. هر درايه اين جدول عبارت است از

زاويه بين محورهاي مختصات كه در باالي ستون و سمت چپ سطر , X) به محورهاي( x , y , z )مربوطه. زواياي مذكور از محورهاي

Y , Z )اندازه گرفته مي شوند. به عنوان مثال داريم :


آنجاك�ه محوره�اي ( متعامدن�د، از اين رو X ,Y , Z( و )( x , y , zاز كوسينوس هاي هادي جدول مذكور بايد روابط زير را ارضا نمايد:

براي عناصر سطري داريم:

,0

3,2,1,1

212121

222

nnmmll

inml iii

براي عناصر ستوني نيز داريم:

,0

,1

332211

23

22

21

mlmlml

lll

( تعری�ف X ,Y , Zنس�بت ب�ه محوره�ای ) σZZو σYYو σXXمولف�ه ه�ای تنش نس�بت ب�ه محوره�ای σzz و σyyو σxxمی ش�وند، هم�ان گون�ه ک�ه تنش ه�ای

x , y , z ).تعریف می شوند )


از نتايج روابط مؤلفه هاي تنش در يك صفحه با راستاي دلخواه مي توان نوشت:

333333323

23

23

222222222

22

22

111111121

21

21

.222

.222

.222

Nmllnnmnml

Nmllnnmnml

Nmllnnmnml

ZxyzxyzzzyyxxZZ

YxyzxyzzzyyxxYY

XxyzxyzzzyyxxXX

سه ب�ردار واح�د و و ك�ه ب�ه ص�ورت زي�ر تعري�ف مي ش�وند، در قرار دارند.Z و Y و Xراستاهاي

knjmilN 1111

knjmilN 2222

knjmilN 3333



1 1 1 1 1 1 1 1 1X xx yx zx xy yy zy xx yz zzl m n i l m n j l m n k ��

2 2 2 2 2 2 2 2 2Y xx yx zx xy yy zy xx yz zzl m n i l m n j l m n k ��

3 3 3 3 3 3 3 3 3Z xx yx zx xy yy zy xx yz zzl m n i l m n j l m n k ��

:بنابراين و و را مي توان به صورت زير بدست آورد

2 1

1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1

. .XY X Y

xx yy zz yz zx xy

N N

l l m m n n m n m n l n l n l m l m

��

3 1

1 3 1 3 1 3 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 3 1

. .XZ X Z

xx yy zz yz zx xy

N N

l l m m n n m n m n l n l n l m l m

��


xyzxyzzzyyxx

ZYYZ

mlmlnlnlnmnmnnmmll

NN

233223322332323232

23 ..

در ح�الت كلي اگ�ر تانس�ور تنش در نقط�ه م�ورد نظ�ر نس�بت ب�ه محوره�ايx و y و z ا� و تانس�ور تنش در نقط�ه م�ورد نظ�ر نس�بت ب�ه را ب

را ب�ا نش�ان دهيم و ن�يز اگ�ر كوس�ينوس ه�اي Z و Y و Xمحوره�اي ه�ادي را در ي�ك آراي�ه ب�ه ن�ام م�اتريس دوران گ�رد آوريم، در اين ص�ورت

خواهيم داشت:TRR .. 1 1 1

2 2 2

3 3 3

l m n

R l m n

l m n

:به صورت نماد تانسوري نيز مي توان نوشت

3,2,1,3,2,1, jinn imjkijkm

11 12 13

21 22 23

31 32 33

T

n n n

R n n n

n n n


ج( تنش هاي برشي ماكزيمم

فرض كني�د ك�ه محوره�اي مختص�ات م�ورد نظ�ر خ�ود را هم�ان محوره�اي اص�لي اختي�ار ك�رده ايم. در اين ص�ورت تنش ه�اي برش�ي مرب�وط ب�ه اين در برش�ي و نرم�ال ه�اي تنش باش�ند. مختص�ات ص�فر مي محوره�اي

m و l) كوس�ينوس ه�اي ه�ادي نس�بت ب�ه اين محوره�ا ص�فحه اي ماي�ل ب�اعبارتند از: (nو

32

22

12 nmlSn

2 2 2 2 21 2 3

2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3

22 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3

s n

s

S S S S S

S l S m S n

S l m n l m n

x xx yx zxS l m n

zyyyxyy nmlS

zzyzxzz nmlS



2 21 3 2 3 1 3

10

2l l m

2 21 3 2 3 2 3

10

2m l m

از قبل مي دانيم كه در صفحات اصلي، تنش برشي مينيمم )يعني صفر( است. اينك مي خواهيم صفحاتي را پيدا كنيم كه در آن تنش

هستيم n وm و l برشي ماكزيمم است. به عبارت ديگر به دنبال در معادله ذكر شده يك ماكزيمم باشد. عالوه بر به گونه اي كه

معادله مذكور، محدوديتي در كوسينوس هاي هادي وجود دارد، به عبارت ديگر:

يعني تنها دو تا از سه كوسينوس هاي هادي مذكور مي توانند جايگذاري مستقل باشند. از

در معادله مربوط به و مشتق گيري از معادله حاصل نسبت به l و m و مساوي صفر قرار دادن اين مشتقات، معادالت زير به ازايl و m :بدست مي آيند


با حل معادالت فوق مي توان جدول زير را بدست آورد:

سه س�تون اول اين ج�دول، كوس�ينوس ه�اي ه�ادي ص�فحات مختص�ات ك�ه هم�ان ص�فحات اص�لي هس�تند و بن�ابراين تنش ه�اي برش�ي در اين ص�فحات ص�فر مي باش�ند، ب�ه عب�ارت

45ديگ�ر آنه�ا مي�نيمم مي باش�ند. س�ه س�تون آخ�ر در واق�ع كوس�ينوس ه�اي ه�ادي زواي�اي نص�ف مي را بين محوره�اي مختص�ات زواي�اي اين ص�فحات بن�ابراين، درج�ه هس�تند.

ب�ا نش�ان دادن اين تنش�ها ب�ا .نماين�د. در اين ص�فحات تنش�هاي برش�ي م�اكزيمم مي باش�ند و جايگ�ذاري كوس�ينوس ه�اي ه�ادي م�ذكور در معادل�ه مرب�وط ب�ه مق�ادير تنش

هاي برشي به صورت زير بدست مي آيند:

. n =±1 وl =0 و m =0روش�ن اس�ت ک�ه ی�ک ج�واب عب�ارت اس�ت از: ، ب�ه ص�ورت زی�ر ب�ه lج�واب دیگ�ر از طری�ق مس�اوی ص�فر ق�رار دادن

دست می آید:

جواب زیر به دست می آید: m =0 همچنین با


213

312

321

2

12

12

1

اگ�ر تنش ه�اي نرم�ال در اين ص�فحات را محاس�به نم�اييم و آنه�ا را ب�ا نشان دهيم، در اين صورت از معادله مربوط به خواهيم داشت:

1 2 3

2 1 3

3 1 2

1

21

21

2

N

N

N

32

22

12 nmlSn

22 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3sS l m n l m n


(Equilibrium differential equations ) خ ( معادالت دیفرانسیل تعادل

در این بحث، معادالت دیفرانسیل تعادل را در یک جسم تغییر شکل پذیر (Deformable bodyاستخراج می ) این معادالت در هنگام کاربرد .کنیم

تئوری االستیسیته در استخراج روابط بار- تنش و بار – خیز ضروری می باشند.

بدین منظور، یک جسم عمومی تغییر شکل پذیر را در نظر می گیریم ( در نقطه Differential volume elementویک عنصر حجمی دیفرانسیلی )

O درجسم را به صورتی که در زیر نشان داده شده است، انتخاب می کنیم :


فرم معادالت دیفرانسیل بستگی به نوع محورهای مختصات انتخابی را که راستاهای آن (x, y, z)دارد. در این مرحله، محورهای دکارتی

موازی با لبه های عنصر حجمی است انتخاب می نماییم. شش صفحه ی بریده شده، مرز عنصر حجمی را تشکیل می دهند. در شکل زیر دیاگرام جسم آزاد نشان داده شده است. در حالت کلی ،مؤلفه های تنش از یک

وجه به وجه دیگر تغییر می کنند. در ضمن نیروهای حجمی دردیاگرام جسم آزاد وارد شده اند.


برای نوشتن معادالت تعادل، هر مولفه تنش باید در سطحی که در آن عمل می کند ضرب شود و هر نیروی حجمی باید در حجم عنصر ضرب گردد. بنابر این معادالت تعادل برای این عنصر حجمی از طریق روابط

:زیر به دست آیند0, 0, 0

0, 0, 0

x y Z

x y Z

F F F

M M M

پیش از این در مبحث تانسور تنش از معادالت تعادل لنگر برای :نمایش تقارن تانسور تنش استفاده نمودیم. به عبارت دیگر داشتیم

xyyxZ

xzzxy

zyyzx

M

M

M

0

0

0


0

0)..(

).().().(

Xzxyxxx

x

zxyxxx

Bzyx

dzdydxB

dydxdzz

dzdxdyy

dzdydxx

از رابطه زیر:

به صورت زیر به x معادله دیفرانسیل تعادل در راستای دست می آید :

0xF


0

y

zyyyxy Bzyx

از رابطه:

به صورت زیر به y معادله دیفرانسیل تعادل در راستای دست می آید :

0yF

از رابطه:

به صورت زیر به z معادله دیفرانسیل تعادل در راستای دست می آید :

0zF

0

zzzyzxz B

zyx

و به طور کلی به صورت نمایش :تانسوری داریم

0, ijij B


معادالت تعادل در دستگاه مختصات استوانه ای :تبدیل به Oz و Oy و Oxدر دستگاه مختصات استوانه ای محور های

می شوند . Oz و θ و Or محورهای

zzzzr

zr

rzrrr

تنش حلقوی- محیطی که در آن ، تنش شعاعی

تنش عمودی - محوری

این در تنش �ور �تانس�ات ��مختص �تگاه ��دس

عبارت است از :


0 . . . ( )( ) .

. . ( ) . . . . ( ) . .

( ) . . . . . . 0

r rr r r r r

r z rr r z r z r

r

F r d d z dr r dr d dzr

dr dz d dr dz r d dr d z r dr dz

d dr dz d B r dr d dz

درنتیجه :

10r r r rrzr

rBr r z r

به عنوان مثال داریم:

مع�ادالت دیفرانس�یل تع�ادل در دس�تگاه مع�ادالت از ای �توانه �اس مختص�ات

:تعادل زیر بدست می آیند

0

0

0

Z

r

F

F

F


معادالت تعادل زیر را تشکیل دهیم: وبه طور مشابه اگر

این صورت در نهایت معادالت دیفرانسیل تعادل عنصر حجمی بی درنهایت کوچک به صورت زیر خواهد بود :

10

210

10

r rrrr zrr

r z r

zrz zz rzz

Br r z r

Br r z r

Br r z r


تانسور تنش در دستگاه مختصات : کروی

rr r r

r

r

معادالت تعادل در دستگاه مختصات کروی :تبدیل به Oz و Oy و Oxدر دستگاه مختصات کروی محور های

می شوند . Φ و θ و Or محورهای

تنش حلقوی- محیطی که در آن ، تنش شعاعی

تنش حلقوی- محیطی می باشند .


1 1 1(2 cot ) 0

sin

1 1 1( )cot 3 0

sin

1 1 1(3 2 cot ) 0

sin

rrrrrr r r

rr

rr

Br r r r

Br r r r

Br r r r

معادالت دیفرانسیل تعادل در دستگاه کروی از سه معادله تعادل زیر به دست می آیند:


(Strain Analysis- تحلیل کرنش )3

�ان �مک �یر �تغی �ف، �مختل �ای �باره تحت �ذیر �پ �کل �ش �ام �اجس �امی �تم(Displacement)کل� می دهن�د. ب�دین مع�نی ک�ه (Deformation ) و تغی�یر ش

از جس�م از م�وقعیت ابت�دایی خ�ود ک�ه ب�ه وس�یله مختص�ات P ه�ر نقط�ه یب�ه در فض�ا مش�خص می ش�ود، ب�ه م�وقعیت جدی�د خ�ود ک�ه

مشخص می شود، انتقال می یابد. وسیله مختصات

الف( مقدمه


ی´PPبردار نقط�ه تغییرمک�ان ب�ردار را P .د�نامن می از جس�م این پ�ذیر باش�د، در واض�ح اس�ت ک�ه اگ�ر جس�م م�ورد نظ�ر ش�کل نیس�تند. ع�دم ب�اهم مس�اوی نق�اط مختل�ف آن تغییرمک�ان ص�ورت تغییرش�کل ب�اعث جس�م، ی�ک نق�اط ه�ای تغییرمک�ان تس�اوی

(Deformation .آن می شود )تغی�یر ش�کل ی�ک جس�م، توس�ط کمیت مؤلف�ه ه�ای مختل�ف ک�رنش در

هر نقطه از جسم بیان می گردد.

مؤلفه های کرنش مانند مؤلفه های تنش عبارتند از : (Axial Strain) کرنش محوری • ( Shear Strain) کرنش برشی •


(Axial Strainب( کرنش محوری )

نقط�ه در ذره ی�ک یاب�د، می تغییرش�کل جس�م ی�ک ک�ه هنگ�امی -P ه�ب انتق�ال می (x+u , y+v , z+w) ب�ه مختص�ات ´P ب�ه نقط�ه (x , y , z)مختص�ات

ب�ه نقط�ه (x+dx , y+dy , z+dz) ب�ه مختص�ات Qیاب�د. همچ�نین ذره ای در نقط�ه Q´ ات�ب�ه مختص (x+dx+u+du , y+dy+v+dv , z+dz+w+dw) و یاب�د انتق�ال می

ب�ه ط�ول ´P´Q ب�ه ص�ورت عنص�ر خطی PQ=dsعنص�ر خطی بینه�ایت کوچ�ک ds´.در می آید


)- ک�رنش مح�وری الگران�ژی Lagrangian axial strain ) ه�نقط ب�ه Pدر صورت زیر تعریف می شود که در تغییر شکل های بزرگ کاربرد دارد:

2

22

0 2

'lim ds

dsdsds

به P( در نقطه Engineering axial strain-کرنش محوری مهندسی )صورت زیر تعریف می شود:

0

'limds

ds dse

ds

این کرنش در مقاومت مصالح و تئوری های ابتدایی و تئوری های .تغییرشکل کوچک کاربرد دارد


بی�ان P کرنش مح�وری را می ت�وان ب�ه وس�یله تغی�یرات تغی�یر مک�ان نقط�ه در امت�داد P نم�ود. ف�رض می ک�نیم ک�ه ک�رنش الگران�ژی مح�وری نقط�ه

ب�ردار Oxه�ا م�ورد توج�ه باش�د، در این ص�ورت ب�ه م�وازات مح�ور xمح�ور PQ .را در نظر می گیریم


درجهت محور Pدر این صورت کرنش محوری الگرانژی در نقطه ی Ox:2 عبارت است از 2 2 2

20

( )

2( )limxx dx

dx du dv dw dx

dx

در جهت محورهای P به همین ترتیب کرنش محوری الگرانژی در نقطه Oy و Oz:2عبارتند از 2 2

2 2 2

1( ) ( ) ( )

2

1( ) ( ) ( )

2

yy

zz

v u v w

y y y y

w u v dw

z z z dz

12 2 2 2' ' ( )

P Q dx

P Q dx du dv dw

به صورت زیر محاسبه 'P'Qو PQ طول می شود :

2 2 21( ) ( ) ( )

2xx

u u v w

x x x x

2

22

0 2

'lim ds

dsdsds


, Oz , Oy درجهت محورهای P کرنش محوری مهندسی در نقطه ی Ox:عبارت است از

z

we

y

ve

x

ue

zz

yy

xx

مح�وری ک�رنش در موج�ود دومی درج�ه جمالت از اگ�ر واق�ع در الگران�ژی ص�رف نظ�ر ک�نیم، ب�ه ک�رنش مح�وری مهندس�ی می رس�یم و این ام�ر در واق�ع در تغییرش�کل ه�ای بس�یار کوچ�ک امک�ان پ�ذیر اس�ت و هنگ�امی مس�اوی الگران�ژی و مهندس�ی مح�وری ه�ای ک�رنش اساس�ا ف�رض می ش�وند ک�ه تغی�یر ش�کل ه�ا و ی�ا کمیت ک�رنش ه�ا کوچ�ک باش�ند.


پ( کرنش زاویه ای یا برشی

کرنش برشی در واقع تغییر شکل زاویه ای جسم را نشان می دهد.

یک زاویه ی قائم در نظر می گیریم. پس از تغییر P در نقطه ی شکل جسم، زاویه ی قائم تغییر خواهد کرد. مقدار زاویه ی جدید

توسط کوسینوس آن مشخص می گردد.

' '. ' 'cos

' ' . ' '

P Q P S

P Q P S


همانند کرنش محوری، دو تعریف برای کرنش :برشی وجود دارد

:کرنش برشی مهندسی

کرنش برشی الگرانژی:


کرنش برش�ی را می ت�وان در ص�فحات مختل�ف معین نم�ود. ب�ه در ص�فحه ای ب�ه Pعن�وان مث�ال، ک�رنش برش�ی الگران�ژی نقط�ه

ص�فحه مختل�ف Oxyم�وازی ه�ای تغییرمک�ان از اس�ت ت�ابعی ب�ه متغیره�ای این ک�ار زاوی�ه ی قائم�ه ی y و xنس�بت ب�رای .

QPS فحه�ب�ه گون�ه ای ک�ه Oxyرا م�وازی ص درنظ�ر می گ�یریم، اضالع آن نیز موازی محورهای مختصات باشند.


عبارتند از:S و Qو P مختصات نقاط P(x , y , z)

Q(x+dx , y , z) S(x , y+dy , z)

'( , , )

'( , , )

'( , , )

P x u y v z w

u v wQ x dx u dx y v dx z w dx

x x xu v w

S x u dy y v dy dy z w dyy y y

عبارت اند از:'Sو 'Q و 'P مختصات نقاط


عبارتند PQ و 'P'Q در این صورت مؤلفه های از :

dxx

w

dxx

v

dxdxx

u

QP :''

dyy

w

dydyy

v

dyy

u

SP :''


: ضرب داخلی این دو بردار عبارتند از

)...(2

1

y

w

x

w

y

v

x

v

y

u

x

u

y

u

x

vxy

جابج�ا ش�وند، در مق�دار y و xنکت�ه ج�الب این اس�ت ک�ه اگ�ر ان�دیس ه�ای کرنش برشی الگرانژی تغییری حاصل نمی گردد، به عبارت دیگر داریم:

yxxy

' '. ' ' ( . . . ) .u u u v v v w w

P S P Q dx dyy x y x y x x y

��

موازی محور P در نتیجه مقدار کرنش برشی الگرانژی در نقطه ی Oxy:به صورت زیر در می آید


1( . . . )

2xz zx

w u u u v v w w

x z x z x z x z

1( . . . )

2yz zy

w v u u v v w w

y z y z y z y z

Oxy , Oxz , Oyz در صفحات Pکرنش برشی مهندسی در نقطه ی عبارت اند از :

)(2

1

)(2

1

)(2

1

z

v

y

we

z

u

x

we

x

v

y

ue

yz

xz

xy

را در Pبه همین ت�رتیب می ت�وان ک�رنش برش�ی الگران�ژی نقط�ه ی نیز به دست می آورد:Oyz و Oxzصفحه ای به موازی

از جمالت درج�ه دومی موج�ود اگ�ر واق�ع در نظ�ر ص�رف الگران�ژی برش�ی ک�رنش در نم�اییم، ب�ه ک�رنش برش�ی مهندس�ی می رس�یم و این در تغییرش�کل ه�ای کوچ�ک امک�ان پ�ذیر اس�ت. اساس�ا ک�رنش ه�ای برش�ی مهندس�ی و الگران�ژی هنگ�امی مس�اوی ف�رض می ش�وند ه�ا ک�رنش کمیت ی�ا و ه�ا ش�کل تغی�یر ک�ه

کوچک باشند .


رابطه ی اندیسی کرنش های محوری و : برشی مهندسی

)(2

1,, ijjiij uue

i , j =1,2,3

رابطه ی اندیسی کرنش های محوری و : برشی الگرانژی

, , , ,

1( )

2ij i j j i k i k ju u u u

i , j , k =1,2,3


xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

:تانسور کرنش مهندسی عبارت اند از

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

eee

eee

eee

e

ت( تانسور کرنش و خواص آن: را می توان از طریق مؤلفه های کرنش در Pتغییرشکل در نقطه ی

آن نقطه در یک تانسور به نمایش گذاشت.

طبیعی است که تانسور تنش و تانسور کرنش شباهت هایی .داشته باشند

:تانسور کرنش الگرانژی عبارت است از

تحلیل تنش و کرنش:فصل اول در مطالعه تنش در یک نقطه دریافتیم که حداقل سه صفحه که

متقابال متعامدند وجود دارند که در آن تنش برشی صفر این س�ئوال مط�رح می ش�ود ک�ه آی�ا ص�فحاتی وج�ود دارن�د ک�ه در آنه�ا است)صفحات اصلی(.

ک�رنش برش�ی ص�فر باش�د؟ یع�نی ص�فحه ای ک�ه جهت نرم�ال ه�ای آنه�ا ک�ه Aبع�د از تغییرش�کل جس�م تغی�یری نمی کن�د. بن�ابراین ب�رداری مانن�د

ی�ا بلن�د، ولی ابت�دا عم�ود ب�ر آن ص�فحه اس�ت، ی�ا کوت�اه می ش�ود در راستای ان تغییری نمی کند.

جواب مثبت اس�ت. چن�ان ص�فحاتی، ص�فحات اص�لی نامی�ده می ش�وند ک�ه راس�تاهای نرم�ال ب�ر آنه�ا راس�تاهای اص�لی هس�تند و ک�رنش ه�ای متن�اظر ب�ا

این صفحات نیز، کرنش های اصلی نامیده می شوند.


اگر به طریقه مشابه یافتن تنش ها و صفحات اصلی عمل کنیم، در :نهایت به معادله درجه سومی مشابه زیر می رسیم

0''' 322

13 III

کرنش های اصلی

1

2 2 22

2 2 23

'

' ( )

' . . 2 ( . )

xx yy zz

xy yz zx xx yy yy zz zz xx

xx yy zz xy yz zx xx yz yy zx zz xy

I

I

I

:ناورداهای تانسور کرنش


3213

1332212

3211

'

)('

'

I

I

I

روابط تبدیل کرنش همانند تنش می باشند. به عنوان مثال:

2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2XX xx yy zz yz zx xyl m n m n n l l m

ناورداهای کرنش نسبت به کرنش های اصلی نیز عبارتند : از

1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1( ) ( ) ( )XY xx yy zz yz zx xyl l m m n n m n m n n l n l l m l m

باز هم به طور مشابه با حالت تنش، می توان کرنش های برشی ماکزیمم را به صورت زیر به دست آورد:

)(2

1

)(2

1

)(2

1

213

312

321


ث( کرنش در دستگاه مختصات استوانه ای : )کرنش های کوچک (

),,(

),,(

),,(

3

2

1

zrfu

zrfu

zrfu

z

r

تغییرمک�ان ه�ای مولف�ه �ات �مختص �تگاه �دس در

استوانه ای:


مولفه های کرنش در دستگاه مختصات استوانه ای عبارتند از )تئوری تغییرشکل های کوچک(:

z :(ezz) ها z- کرنش محوری موازی محور 1zz

ue

z

r :(err) ها r- کرنش محوری موازی محور 2rr

ue

r


( تغییر می یابد.á´b )تصویرaÍ به ضلع AB یا ab :(eθθ)- کرنش حلقوی - محیطی 3


:rθ- کرنش برشی موازی صفحه 4

1 1

2r

r

u uue

r r r


جمع بندی: روابط کرنش – تغییرمکان در دستگاه مختصات استوانه ای

1

1 1

2

1 1

2

1

2

zzz

rrr

r

rr

zz

z rrz

ue

zu

er

u ue

r ru uu

er r r

u ue

z r

u ue

r z

zθ: 1- کرنش برشی موازی صفحه 5 1

2z

z

u ue

z r

:rz- کرنش برشی موازی صفحه 6

1

2z r

rz

u ue

r z


: در دستگاه مختصات استوانه ای تانسور کرنش مهندسی

zzzzr

zr

rzrrr

eee

eee

eee

ج( کرنش در دستگاه مختصات کروی: )کرنش های کوچک (

),,(

),,(

),,(

3

2

1

rfu

rfu

rfur

مولفه های تغییرمکان

در دستگاه مختصات کروی:


روابط کرنش – تغییرمکان در دستگاه مختصات کروی:

1

1cot

sin

1 1 1( cot )

2 sin

1 1

2

1 1

2 sin

rrr

r

r

rr

rr

ue

ru u

r ru u u

r r r

u uu

r r

u u u

r r r

u uu

r r r

در تانسور کرنش مهندسی دستگاه مختصات کروی:

eee

eee

eee

r

r

rrrr


(Compatibility differential equations)ج( معادالت دیفرانسیل سازگاری w و v و uشش مولفه کرنش را بر حسب eijتانسور کرنش مهندسی بیان می کند، مثال داریم:

xx

ue

x

ب�ه عن�وان تواب�ع پیوس�ته از w و v و uروش�ن اس�ت ک�ه اگ�ر تغی�یر مک�ان ه�ای x و y و z ه� مش�خص باش�ند، در این ص�ورت می ت�وان از رواب�ط ش�ش گان

eij ون�، مولف�ه ه�ای ک�رنش را ب�ه ص�ورت منحص�ر بف�ردی ب�ه دس�ت آورد. اکناین ب�ر دیگ�ر ف�رض ب�ه عب�ارت گ�یریم: در نظ�ر می را این ح�الت عکس

در دس�ت هس�تند و می خ�واهیم تغییرمک�ان eijاس�ت ک�ه مولف�ه ه�ای ک�رنش ب�ا w و v و uه�ای را ب�ه دس�ت آوریم. روش�ن اس�ت ک�ه در این ح�الت

دشواری مواجه خواهیم شد. می باش�ند. بن�ابر w و v و u، دارای س�ه مجه�ول eijشش معادل�ه نمایش�گر

این روش�ن اس�ت ک�ه این مع�ادالت ب�ه ازای ی�ک مجموع�ه ک�رنش ه�ای ش�ش گان�ه اختی�اری، ج�وابی منحص�ر بف�رد نخواهن�د داس�ت، ب�ه عب�ارت دیگ�ر نمی

تغییرمک�انی مولف�ه س�ه و uت�وان v و w از بف�رد منحص�ر ط�ور ب�ه را ب�ه دس�ت آورد. بن�ابر این بای�د از طری�ق روابطی، eijانتگ�رال گ�یری مع�ادالت

eijمح�دودیت ه�ایی در ک�رنش ه�ا اعم�ال ش�وند ت�ا این ک�ه مع�ادالت نمایش�گر

ی�ا رواب�ط م�ذکور، رواب�ط باش�ند. ج�واب دارای بف�رد منحص�ر ط�ور ب�ه معادالت دیفرانسیل سازگاری نامیده می شوند.


0

)(2

1

zyzxzz

xy

yy

xx

eee

x

v

y

ue

y

ve

x

ue

برای استخراج معادالت سازگاری، به جهت سادگی، حالت کرنش مسطح را در نظر می گیریم:

در این حالت کرنش با این شرط تعریف می شود که مؤلفه های ثابت است. w می باشند و yو x صرفا توابعی از v و u تغییرمکان

و u شرط سازگاری کرنش را می توان از حذف دو مؤلفه تغییر مکان v از سه رابطه کرنش – تغییرمکان حالت کرنش مسطح به دست

آورد.


2 3

2 2

2 3

2 2

2 3 3

2 2

2 22

2 2

1 1( )

2 2

2

xxxx

yyyy

xyxy

yy xyxx

eu ue

x y x y

ev ve

y x x y

eu v u ve

y x x y x y x y

e ee

y x x y


zx

e

yx

e

x

e

zy

e

yx

e

zy

e

y

e

zx

e

zy

e

xz

e

z

e

yx

e

zy

e

z

e

y

e

zx

e

z

e

x

e

yx

e

y

e

x

e

xyxzyzxx

yzxyxzyy

zxyzxyzz

yzyyzz

zxxxzz

xyxxyy

...

...

...

.2

.2

.2

22

2

22

22

2

22

22

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2 درحالت کلی اگر از شش ، سه مؤلفه ی eijمعادله

را حذف wو v و u تغییرمکان کنیم، به معادالت سازگاری

زیر در حالت کلی می رسیم:


مع�ادالت ش�ش گان�ه س�ازگاری ک�ه در ب�اال ارائ�ه گردیدن�د، مع�ادالت س�ازگاری ک�رنش ب�رای تئ�وری تغییرمک�ان ه�ای کوچ�ک نامی�ده می ش�وند. می ت�وان نش�ان داد ک�ه اگ�ر مولف�ه ه�ای

در مع�ادالت س�ازگاری ص�دق کنن�د، در این ص�ورت eyz و exz و exy و ezz و eyy و exxک�رنش ب�ه ط�ور منحص�ر بف�رد وج�ود دارن�د ک�ه ج�واب w و v و uمولف�ه ه�ای تغییرمک�ان ه�ای

معادالت شش گانه کرنش می باشند.

معادالت سازگاری در دستگاه مختصات استوانه

ای:

Documents

تئوری الاستیسیته