Тема урока: «Решение тригонометрических уравнений»

ГАОУ НПО «ОКТУ»г. Обнинск

Червакова Ирина Валериевна

1 курс

Цель урока

Цели и задачи урока: 1. Сформировать  у учащихся умение решать однородные тригонометрические уравнения,

отработать навыки решения других видов тригонометрических уравнений, урок закрепления пройденного материала;

2. Развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся у учащихся знания в измененной ситуации, развивать логическое мышление, умение делать выводы и обобщения;

3. Воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности.

Червакова И.В.

Задание № 1.

Вычислить:аrcsin 2

2

аrccоs 2

1

аrccоs2

3

аrcsin0 аrcsin 2

3

arccоs0

аrccоs1

аrccоs 2

2

аrccоs(-1) аrcsin

2

3

аrcsin1

Червакова И.В.

Задание № 2. Упростить:

1) sin(π – х), 2)cоs(2π +х),

3)tq(3π/2– х), 4)sin(π/2+ х),

5) sin(2π – х), 6)tq(π + х),

7)cоs(3π/2– х), 8) sin (п + х)

Червакова И.В.

Выбери правильный ответ

А3. arcsin 1) π/6

2) π/3

3) π/2

4) -π/3

А3. arccos 1) π/6

2) π/3

3) π/2

4) -π/3

√3 2

√3 2

Задание № 3.

Сервакова И.В.

Задание № 4. Выбери правильный ответ

А4. arccos 11) 0

2) π/3

3) -π/2

4) -π

А4. arcsin 11) 0

2) -π/2

3) π/2

4) -π

Червакова И.В.

Задание № 5. Выбери правильный ответ

А5. arcsin 01) 0

2) π/3

3) -π/2

4) -π

А5. arccos 01) 0

2) -π/2

3) π/2

4) -π

Червакова И.В.

Задание № 6. Выбери формулу для решения уравнения

А6. cos t=a А6. sin t=a

1) t = ± arccos a + πn, n є Z.2) t = (-1)n arcsin a + πn, n є Z.3) t = ± arccos a + 2πn, n є Z.4) t = (-1)n arcsin a + 2πn, n єZ.

Червакова И.В.

Задание № 7 Найдите область допустимых значений выражения

А7. arccos х А7. arcsin х

1) -1 < х < 12) 0 < х < π3) - π/2 < х < π/2

4) 0 < х < 1

Червакова И.В.

Формулы корней простых тригонометрических уравнений

1.cost = а , где |а| ≤ 1

или

Частные случаи

1)cost=0t = π/2+πk‚ kЄZ

2)cost=1t = 0+2πk‚ kЄZ

3)cost = -1t = π+2πk‚ kЄZ

2.sint = а, где | а |≤ 1

или

Частные случаи

1)sint=0t = 0+πk‚ kЄZ

2)sint=1t = π/2+2πk‚ kЄZ

3)sint = - 1t = - π/2+2πk‚ kЄZ

3. tgt = а, аЄR

t = arctg а + πk‚ kЄZ

4. ctgt = а, аЄR

t = arcctg а + πk‚ kЄZ

Червакова И.В.

Примеры:

1) cost= - ½; 2) sint = 0;

3) tgt = 1; 4) ctgt = -

t= ±arccos(-1/2)+2πk, kЄZt= ±2π/3+2πk, kЄZ

Частный случай: t = 0+πk, kЄZ

t = arctg1+πk, kЄZt = π/4+πk, kЄZ.

t = arcctg( )+πk, kЄZt = 5π/6+πk, kЄZ.

Червакова И.В.

Задание № 8.

Ответить на вопросы:

1) sin x= 0 2) sin x = 3) sin x= -

4) sin x = 5 5) sin x = 6) sin x=

7) 2sin x= 1 8) sin x = -1,4

9) sin x = -1 10) sin x =-

2

2

2

1

2

3

2

1

2

2

Червакова И.В.

Способы решения тригонометрических уравнений

Уравнения ,приводимые к квадратным уравнениям

Однородные уравнения Разложение на множители Замена переменной Метод вспомогательного угла Понижение степеней

Червакова И.В.

Решение простейших уравнений

1) tg2x = -1

2x = arctg (-1) + πk, kЄZ 2x = -π/4 + πk, kЄZ

x = -π/8 + πk/2, kЄZ

Ответ: -π/8 + πk/2, kЄZ.

2) cos(x+π/3) = ½

x+π/3 = ±arccos1/2 + 2πk, kЄZ x+π/3 = ±π/3 + 2πk, kЄZ

x = -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ

Ответ: -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ

3) sin(π – x/3) = 0 упростим по формулам

приведения sin(x/3) = 0

частный случай x/3 = πk, kЄZ

x = 3πk, kЄZ.Ответ: 3πk, kЄZ.

Червакова И.В.

Другие тригонометрические уравнения

1.Сводимые к квадратным a∙sin²x + b∙sinx + c=0

Пусть sinx = p, где |p| ≤1, тогдаa∙p² + b∙p + c = 0

Найти корни, вернуться к замене и решить простые уравнения.

2.Однородные1)Первой степени: a∙sinx + b∙cosx = 0

Т.к. sinx и cosx одновременноне равны нулю, то разделим обе

части уравнения на cosx. Получим:простое уравнение

a∙tgx + b = 0 или tgx = m

2)Второй степени:a∙sin²x + b∙sinx∙cosx + c∙cos²x = 0

Разделим обе части на cos²x.Получим квадратное уравнение:

a∙tg²x + b∙tgx + c = 0.

Червакова И.В.

уравнения, приводимые к квадратным уравнениям

2cos²x+sinx+1=0

2*(1-sin²x)+sinx+1=0

2-2sin²x+sinx+1=0

-2sin²x+sinx+3=0

Пусть a=sinx

-2a²+a+3=0

a1=-1, a2=1,5

Sinx=-1 sinx=1,5

X=-П/2+2Пn, нет корней

Червакова И.В.

Однородные уравнения3sin²x+sinx cos x=2cos²x

Делим на sin²x обе части уравнения

3+cosx/ sinx=2cos²x/sin²x

Известно ,что ctg x= cos x/sin x

Получим 3+ctgx=2ctg²x

Пусть a=ctg x

3+a=2a²

2a²-a-3=0

a1=1,5 a2=-1

Получим ctg x=1,5 ctg x=-1

X=arcctg1,5+Пn x=3П/4+Пm

Червакова И.В.

Разложение на множители

4sin²x-sin2x=0

4sin²x-2sinx cosx=0

2sinx(2sinx-cosx)=0

Sinx=0 или 2sinx-cosx=0

x1=Пn 2sinx -cosx=0

sinx sinx

2-ctgx=0

ctgx=2

X2=arcctg2+Пk

Червакова И.В.

Замена переменной2(1+tgx) - 3 =5

1+tgxПусть y=1+tgx2y - 3 =5

Y2y²-3=5y

y≠0

2y²-5y-3=0y1=3 , y2=-0,5

1+tgx=3 1+tgx=-0,5tgx=2 tgx=-1,5

X 1=arctg2+Пn x 2=-arctg1,5+Пk

Червакова И.В.

Понижение степеней

4 4

Sin x+cos x=1/2(Sin²x)²+(cos²x)²=1/2

Известно, что sin²(x/2)=1-cosx, cos²(x/2)==1+cosx 2 2

1-cos2x ²+ 1+cos 2x ² = 1 2 2 2

1-2cos2x+cos²2x+1+2cos2x+cos²2x=22cos²x=0cosx=0

X=П/2+Пn

Червакова И.В.

Решаем вместе

Cos 2x = √3/2 Cos x/3=-1/2 5 cos2x + 6 sinx – 6 = 0 2cos(x/2-Π /6)= √3

Червакова И.В.

6 Домашнее задания.

cos (4x – 2) = ½; cos2x – 2cos x = 0; cos2x – sin2x = 1; 3sin2x – 5sin x – 2 = 0; 2sin x – 3cos x = 0; (tgx- √3)(2sin x/2 + 1) = 0; 3sin²x+sinx  cos x=2cos²x.

Червакова И.В.

Разгадайте ребус

3 ИЯ

,, ,

Червакова И.В.

Червакова И.В.

Червакова И.В.

Червакова И.В.

Червакова И.В.