第二十章曲线积分

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第二十章曲线积分§1 第一型曲线积分§2 第二型曲线积分


§2 第二型曲线积分

第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系


1、第二型曲线积分的概念1 ）、实例 : 变力沿曲线所作的功

设一质点在 xoy 面内从点 A 沿光滑曲线 L 移动到点 B, 在移动过程中，这质点受到力的作用，其中 ),,( yxP ),( yxQ 在 L 上连续，

求在上述移动过程中变力 ),( yxF 所作的功 W 。(1) 常力，质点沿直线从 F F

ABA BFA 移到 B ，所作的功 cosW F AB f AB

),(),(),( yxQyxPyxF )(


y

A

B

分割(2) 是变力，且质点沿曲线 L 移动。F

ixiiyi

取近似

在此点取

0 1 1 2 1, ,..., n nM M M M M M

用任意分割 T ，将曲线 L 分成 n 个有向小弧其中 M0 ＝ A ， Mn=B

M1

M2M3

CMi-1

Mi

Mn-1

1 1 1( , ) ( , )i i i i i i i iM M x x y y x y

其中

o x

1i iM M

为第 i 个有向小弧的弦，

1i iM M

( , )i ix y 为 Ai 的坐标在第 i 个有向小弧上任取一点

),( ),( QPF iiii ),( ii ( )

( , )i i

( , )i iF


作和

取极限

||T|| 表示小弧段的最大长度

质点在力 F 作用下，沿第 i 个小弧从 Ai-1 到 Ai 所作的功的近似值( ( , ), ( , )) ( , )i i i i i iP Q x y

1

n

ii

W W

1

( , ) ( , )n

i i i ii

F x y

1 1

( , ) ( , )n n

i i i i i ii i

P x Q x

|| || 0 1 1

lim ( ( , ) ( , ) )n n

i i i i i iT i i

W P x Q x

|| || 0 || || 01 1

lim ( ( , ) lim ( , ) )n n

i i i i i iT Ti i

P x Q x

1( , )i i i i iW F M M

( , ) ( , ) )i i i i i iP x Q y


定义 1 设函数 P (x,y) 与 Q(x,y) 定义在平面有向可求长度曲线 L: ,AB对 L 的任一分割 T

它把 L 分成 n 个小曲线段： ii MM 1 ni ,,2,1

其中 M0 = A ， Mn = B . 记各小曲线段 ii MM 1

的弧长为 ,is 分割 T 的细度 ,max||||1 ini

sT 分点 Mi 的坐标为 ( xi , yi ), 并记 ,1 iii xxx

,1 iii yyy ),,2,1( ni 在每个小曲线段 ii MM 1

上任取一点 ),,( ii 若极限


n

iiiiT

n

iiiiT

yQxP10||||10||||

),(lim),(lim

存在且与分割 T 及点 (ξi,ηi) 无关，则称此极限为函数 P(x, y), Q

(x, y), 沿有向曲线 L 的第二型曲线积分，也称为对坐标的曲线积分，记为

dy),(d),( yxQxyxPL

或 dy),(d),( yxQxyxPAB

也记为

LLyyxQxyxP d),(d),(

或 ABAB

yyxQxyxP d),(d),(

简记为 dyd QxPL


沿封闭曲线 L 的第二型曲线积分表示为

LPdx Qdy

L 取正向边界曲线 C 的正向 : 当观察者沿曲线行走时 , 封闭曲线围成的区域 D 总在他的左边 .

L

L1

L2


若记 )),,(),,((),( yxQyxPyxF

),d,d(d yxs

则记 LL

sddyd

FQxP

于是，力 )),,(),,((),( yxQyxPyxF 沿有向曲线 L

对质点所作的功为dy),(d),( yxQxyxPW

L

向量形式的第二型曲线积分：


)),,(,),,(,),,((),,( zyxRzyxQzyxPzyxF

)d,d,(dd zyxs

类似地 ,

沿空间有向可求长度曲线 L 的第二型曲线积分记为

其中


第二型曲线积分与曲线 L 的方向有关，对同一曲线，当方向由 A 到 B 改为由 B 到 A 时，每一小曲线段的

方向都改变，从而小曲线段的投影ii yx , 也随之改变符号，故有

dy),(d),(dy),(d),( yxQxyxPyxQxyxPBAAB

而第一型曲线积分的被积分表达式是函数值与弧长的乘积，它与曲线 L 的方向无关 . 这是两类曲线积分的一个重要区别 .

第二型曲线积分与曲线的方向有关 .


第二型曲线积分的性质：,dyd

L 11 QxP1. 若第二型曲线积分 L 22 dyd QxP

存在，则

L 2121L 22L 11 )dy()d(dyddyd QQxPPQxPQxP

LLL

dyddyd QxPQxP

其中 , 为常数 .


2. 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧

LyyxQxyxP d),(d),(

k

iL i

yyxQxyxP1

d),(d),(

则

• 定积分是第二类曲线积分的特例 .

说明 :• 第二型曲线积分必须注意积分弧段的方向 !


二、第二型曲线积分的计算二、第二型曲线积分的计算

存在，第二型曲线积分则

且 2 ）当参数 t 单调地由变到时 , 点 M (x , y ) 从 L 的起点 A 沿曲线 L 运动到终点 B ,

设曲线 L 的参数方程为

上有定义且连续 ,在有向曲线 L(A,B)3 ）设

x(t),y(t) 在以及为端点的闭区间上具有一阶连续导数 ,

f(x,y)

( )( )

x x ty y t

( , )( , ) ,

L A Bf x y dx ( , )

( , )L A B

f x y dy

2 2( ) ( ) 0x t y t

1 ）曲线 L 光滑，即

( ( ), ( )),( ( ), ( ))

t A x yt B x y


且( , )

( , ) ([ ( ), ( )] ( )L A B

f x y dx f x t y t x t dt

( , )( , ) ([ ( ), ( )] ( )

L A Bf x y dy f x t y t y t dt

第二型曲线积分则 ( , )( , ) ,

L A Bf x y dx ( , )

( , )L A B

f x y dy 存在，


. , tt 终点起点曲线 L ：把 x,y 的参数形式代入积分

( , )( , ) ( , ) { ([ ( ), ( )] ( ) ([ ( ), ( )] ( )}

L A BP x y dx Q x y dy P x t y t x t Q x t y t y t dt

( )( )

x x ty y t

( , )( , ) ([ ( ), ( )] ( )

L A Bf x y dy f x t y t y t dt

( , )( , ) ([ ( ), ( )] ( )

L A Bf x y dx f x t y t x t dt

; 不一定要小于上限定积分的下限注意 :

( ) , ( )dx x t dt dy y t dt


特殊情形则，终点为 b起点为 a(1) y=y(x)L:

L : ,dxdx ( )x xy y x

( , )( , ) ( , ) { ( , ( )) ( , ( )) ( )}

b

L A B aP x y dx Q x y dy P x y x Q x y x y x dx

( , )( , ) ( , ( ))

b

L A B af x y dx f x y x dx

( , )( , ) ( , ( )) ( )

b

L A B af x y dy f x y x y x dx

( )dy y x dx


,y 起点为 c ，终点为 d, 　则(2) 曲线 L ：x=x(y)( )

:x x y

Ly y

( ) ,dx x y dy dy dy

( , )( , ) ( , ) { ( ( ), ) ( ) ( ( ), )}

d

L A B cP x y dx Q x y dy P x y y x y Q x y y dy

( , )( , ) ( ( ), ) ( )

d

L A B cf x y dx f x y y x y dy

( , )( , ) ( ( ), )

d

L A B cf x y dy f x y y dy


第二型曲线积分的计算公式

( , )( , ) ( , ) { ([ ( ), ( )] ( ) ([ ( ), ( )] ( )}

L A BP x y dx Q x y dy P x t y t x t Q x t y t y t dt

. , tt 终点起点1. 曲线 L:( )( )

x x ty y t

2. 曲线L

则，终点为 b,x 起点为 ay=y(x)

( , )( , ) ( , ) { ( , ( )) ( , ( )) ( )}

b

L A B aP x y dx Q x y dy P x y x Q x y x y x dx

,y 起点为 c ，终点为 d, 则3. 曲线 L ：x=x(y)

( , )( , ) ( , ) { ( ( ), ) ( ) ( ( ), )}

d

L A B cP x y dx Q x y dy P x y y x y Q x y y dy


在有向光滑曲线

ttytx

L)()(

:

)](),([ ttP )(t )(t td)](),([ ttQ

上连续 , t =α 对应曲线 L 的起点 t =β 对应于曲线 L 的终点，则

二、第二型曲线积分的计算


例 1 计算 ,d)(d L

yxyxxy 其中 L 分别沿如图所示路线

)1,1(A

)3,2(B

x

y

1 2

1

3⑴ 直线 AB

解直线 AB 的参数方程为

tytx

211

10 t

所以 L

yxyxxy d)(d

1

0)21)(1[( tt 1 t td]2

625



yxyxxy

其中 L 为)1,1(A

)3,2(B

x

y

1 2

1

3

⑵ ACB ( 抛物线： y = 2( x – 1)2 + 1 )解抛物线 ACB 的方程为21 x

所以 L

yxyxxy d)(d

2

1

2 ]1)1(2[{ xx 1 ]1)1(2[ 2 xx xx d)]1(4

2

1

23 d)12353210( xxxx

y = 2( x – 1)2 + 1

310



yxyxxy 其中 L 为

)1,1(A

)3,2(B

)1,2(D

x

y

1 2

1

3

⑶ ADBA ( 三角形周界 )解直线 AD 的参数方程为

)21(1, xyxx所以

ADyxyxxy d)(d

AD

xxy d 2

1d1 xx

23

直线 DB 的参数方程为)31(,2 yyyx

所以 DB

yxyxxy d)(d

DB

yxy d)( 3

1dy)2( y 0


沿直线 BA 的线积分：

BAyxyxxy d)(d

AB

yxyxxy d)(d625

所以

ADBAyxyxxy d)(d

23

0 )625(

38

BADBAD

被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同 .


例 2 计算 ,dd L

xyyx 这里 L ：⑴ 沿抛物线 y = 2x2 , 从 O 到 B

解 ⑴x

y

1

2

O

)2,1(B

)0,1(A

⑵ 沿直线段 OB: y = 2x ;⑶ 沿封闭曲线 OABO

L

xyyx dd

1

0

2 d)24( xxxx 2

⑵ L

xyyx dd 1

0d)22( xxx 2

⑶ Lxyyx dd BOABOA

0 2 02

被积函数相同，起点和终点也相同，但积分结果相同 .


,

2 ）计算终点起点t

( ): ( )

( )

x x tC y y t

z z t

( , )( , , ) ([ ( ), ( ), ( )] ( )

C A Bf x y z dy f x t y t z t y t dt

( , )( , , ) ([ ( ), ( ), ( )] ( )

C A Bf x y z dx f x t y t z t x t dt

( , )( , , ) ([ ( ), ( ), ( )] ( )

C A Bf x y z dz f x t y t z t z t dt


对空间有向光滑曲线 L:

)(t

)(t

)(t)](,)(),([ tttQ

)](,)(),([ tttR td

)](,)(),([ tttP

,)()()(

ttztytx

参数 t =α 对应曲线 L 的起点 t =β 对应于曲线 L 的终点，则


例 3 计算第二型曲线积分 L

dzxdyyxxydx 2

L是螺旋线： tax cos ， tay sin ， btz 从 0t 到 t 上的一段.

解 L

dzxdyyxxydx 2

0

2222223 coscossincossincos dttbattatatta=

ba 121 2=


例 4求力 F zyxxy ,, ⅰ作用下）质点由 A

沿螺旋线 1L 到 B所做的功，其中 1L ： tax cos ，

tay sin， btz ， 20 t ,

ⅱ ）质点由 A沿直线 2L 到 B所做的功

解ⅰ）

L

dzzyxxdyydxW =

2

0

22222 sincoscossin dttbtabtabtata=


2

0

22222 sincoscossin dttbtabtabtata= 222 ab =

ⅱ ） L

dzzyxxdyydxW =

2

0

dtta

bab 2

=

=

注：这里不同路径积分值不同．


例 3 计算第二型曲线积分,dd)(d 2

LzxyyxxxyI

L 是螺旋线： x = a cos t , y = a sin t , z = b t

从 t = 0 到 t =π 上的一段 .


例 4. 设在力场作用下 , 质点由沿 L 移动到

解 : (1)

ttkR 2

0

22 d)(

(2) L 的参数方程为

ABzzyxxy ddd

kzz

2

0d

试求力场对质点所作的功 .

其中 L 为


例 8 ．求其中曲线 C ： x=cost,y=sint,z=t,

从 t=0到解

( )Cx y z dx t

( )Cx y z dx 0

(cos sin )( sin )t t t t dt

2

0 0 0cos sin sin sint tdt tdt t tdt

2

0 0 0

1 1 cos 2(sin ) (cos )2 2

tt dt td t

0 0 0

1 1( sin 2 ) ( cos cos )2 2t t t t tdt

0

1 ( 1) sin2

x 32


练习4 . )0 ,0 ,0( )1 ,2 ,3(

,3 223

ABBA

ydzxdyzydxx

的直线段到点

是从点其中计算

解 BAs AB 所在直线的方向向量 }.1 ,2 ,3{

直线方程：123zyx t 令

参数方程：

.,2,3

tztytx

.1,2,3

zyx

又.01 : t

)03 :( x

ydzxdyzydxx 223 3

dtttttt ]1)2()3(2)2(33)3[(01

223

dtt 87 01

3 .487


三、两类曲线积分的联系设 L 为从 A 到 B 的有向光滑曲线，以弧长 s 为参数，

的参数方程为其中 l 为曲线 L 的长度 .

设曲线 L 上每一点的切线方向则 L 切向量的方向余弦为

sy

sx

ddcos,

ddcos

指向弧长增加的一方 .

A

B


(4) 两类曲线积分之间的联系：,

)()(

tytx

L

：设有向平面曲线弧为

,,),( 为处的切线向量的方向角上点 yxL

LL

dsQPQdyPdx )coscos(则

其中 ,)()(

)(cos22 tt

t

,

)()()(cos

22 ttt

（可以推广到空间曲线上）


,,,),,( 为处的切线向量的方向角上点 zyx

dsRQPRdzQdyPdx )coscoscos(则

dstA

rdA , dsAt

可用向量表示，其中 },,{ RQPA

},cos,cos,{cos t

},,{ dzdydxdstrd 有向曲线元；

.上的投影在向量为向量 tAAt

处的单位切向量上点 ),,( zyx


( , )( , , ) ( , , ) ( , , )

C A BP x y z dx Q x y z dy R x y z dz

( , )( ( , , ) cos ( , , ) cos ( , , ) cos )

C A BP x y z Q x y z R x y z ds

两类曲线积分之间的联系

其中，为在 G 点的切线 GT 的方向余弦为cos ,cos ,cos 注：1 ）正向的夹角，当曲线改变方向时，切线方向也改变，从而方向余弦也变号。

, , 表示沿曲线方向的切线 GT 与 x 轴、 y 轴， z 轴

2 ） P 、 Q 、 R 及方向余弦均为（ x,y,z) 的函数


( , )C A BPdx Qdy Rdz

( , )( cos cos cos )

C A BP Q R ds

简记为：


2 、 XY 平面上，两类曲线积分的关系

x

y

nT

记为 x 轴的正向与法线的正向的夹角规定：法线的正向与切线的正向按右手螺旋系

2

在 XY 平面上，, cos 0

2

cos cos( ) sin2 2


( , )( , ) ( , )

C A BP x y dx Q x y dy

( , )( ( , )sin ( , ) cos )

C A BP x y Q x y ds

( , )( , ) ( , )

C A BP x y dx Q x y dy

( , )( ( , ) cos ( , )sin )

C A BP x y Q x y ds

( , )( ( , ) cos ( , ) cos )

C A BP x y Q x y ds

( , )( ( , ) cos( ) ( , )sin( ))

2 2C A BP x y Q x y ds

x

y

nT

( , ) ( , )( sin cos )

C A B C A BPdx Qdy P Q ds


( , ) ( , )( sin cos )


( , ) ( , )( cos sin )


XY 平面上，两类曲线积分的关系式：

其中，为切线与 x 轴正向的夹角

其中，为法线与 x 轴正向的夹角

x

y

nT


补例 . )1 ,1( )0 ,0(

2 的弧段到点从点是沿其中

化为第一类曲线积分将AoxyC

解.10:

.

,2

x

xy

xxL：有向曲线弧为

其切向量为 }.2 ,1{ xT

,),( 处的切向量的方向角为L 上点 yxM

.2xy

,41

1cos2x

,41

2cos2x

x

L

dzyxQdxyxP ),(),( 于是，

L

dsx

yxxQyxP241

),(2),(

( , )( , ) ( , )

L A BP x y dx Q x y dy

o x

y

y=x2

A

M


作业： 393 页 6


于是两类曲线积分有如下联系 L

yyxQxyxP d),(d),(

ssysxQsysxPl

dcos)](),([cos)](),([0

L

syxQyxP dcos),(cos),(

即 L

yQxP dd L

sQP dcoscos

其中 cos,cos 是曲线 L 切向量的方向余弦 .


在三维空间上，有

LzRyQxP ddd

L

sRQP dcoscoscos

其中 cos,cos,cos 是曲线 L 切向量的方向余弦 .

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第二十章 曲线积分

第二十章曲线积分