Model Matematik Sistem Dinamik

Dalam penelaahan sistem kontrol diharapkan pembaca dapat membuat model

sistem dinamika dan menganalisis karakteristik dinamika. Model matematika dan sistem

dinamika didefinisikan sebagai sejumlah persamaan yang menggambarkan dinamika dan

sistem secara tepat, atau paling tidak, cukup baik. Perhatikan bahwa model matematika

tidak unik untuk sistem tertentu yang diberikan. Sebuah sistem dapat digambarkan dalam

banyak cara yang berbeda dan karena itu mungkin mempunyai banyak model

matematika, tergantung pada perspektif seseorang.

Dinamika banyak sistem, apakah sistem tersebut mekanika, listrik, panas,

ekonomi, biologi, dan seterusnya, mungkin dijelaskan dalam bentuk persamaan

diferensial. Persamaan diferensial demikian dapat diperoleh dengan menggunakan hukum

fisika yang mengendalikan sistem tertentu, misalriya, hukum Newton untuk sistem

mekanika dan hukum Kirchoff untuk sistem listrik. Tanggapan sistem dinamika terhadap

masukan (atau fungsi gaya) dapat diperoleh jika persamaan yang terlibat diselesaikan.

Langkah pertama dalam anialisis sistem dinamik adalah menurunkan model

matematikanya. Harus selalu diingat bahwa menurunkan model matematika yang layak

adalah bagian yang paling penting dalam analisis secara keseluruhan.

Model matematika mungkin mengambil banyak bentuk yang berbeda-beda.

Tergantung dari sistem tertentu, satu model matematika mungkin lebih cocok daripada

model matematika yang lain. Misalnya, pada masalah kontrol optimum, lebih

menguntungkan menggunakan gambaran tempat kedudukan. Di lain pihak. untuk analisis

tanggapan transien atau tanggapan frekuensi dari sistem masukan tunggal, keluaran

tunggal, linear, waktu tidak berubah, gambaran fungsi alih lebih baik dan mudah dari

yang lain. Sekali model matematika dari sistem diperoleh, berbagai macam alat bantu

analisis dan komputer dapat digunakan untuk tujuan analisis sintesis.

Selanjutnya akan dibahas cara mendapatkan model matematik dari sistem fisik.

Istilah model matematik diartikan sebagai hubungan matematik yang menghubungkan

keluaran sistem ke masukannya. Mungkin salah satu model yang paling sederhana dari

sistem fisik adalah hukum Ohm (lebih tepat dikatakan sebagal model Ohm) yang

diterapkan pada fenomena resistansi elektrik. Model ini adalah:

v(t) = i(t)R (1)

Pada persamaan ini, v(t) adalah tegangan dalam besaran volt, i(t) adalah arus dalam

besaran ampere, dan R adalah resistensi dalam besaran Ohm. Jika resistansi dihubungkan

dengan sumber tegangan yang diketahui, tegangan akan menjadi masukan sistem dan

arus adalah keluaran sistem (atau tanggapan).

Di dalam kamus IEEE (1) model matematik dari sebuah sistem didefinisikan

sebagai kumpulan persamaan yang digunakan untuk mewakili sistem fisik. Haruslah

dimengerti bahwa tidak ada model matematik yamg pasti dari suatu sistem fisik. Dapat

ditingkatkan ketepatan suatu model dengan cara meningkatkan kerumitan persamaan-

persamaan, tetapi tidak pernah dapat dicapai kepastian. Kita umumnya berusaha keras

untuk mengembangkan sebuah model supaya dapat menyelesaikan persoalan tanpa

membuat model yang terlalu rumit. Telah dinyatakan hahwa pembahasan model sistem-

sistem fisik melibatkan antara 80% -90% dari usaha yang diperlukan di dalam analisis

dan perancangan sistem kendali/kontrol.

Dalam menganalisis dan merancang, kita selalu bekerja dengan model matematik

dari sistem fisik yang terlibat. Model dapat atau tidak dapat mewakili dengan tepat

karaktenistik sistem fisik yang sebenarnya. Model dapat dengan tepat mewakili sistem

fisik untuk masukan spesifik yang pasti, tetapi dapat menjadi kurang tepat untuk masukan

spesitik yang berbeda. Hal ini digambarkan dengan sebuah contoh.

Contoh.

Suatu resistor karbon biasa l-Ώ,2-W. Karena itu dianggap sebagai sistem fisik.

Jika diberikan tegangan konstan (dc) scbesar 1 V ke dalam resistor, Model

matematik memperlihatkan bahwa arus 1 A akan mengalir. Jika secara fisik kita

menghubungkan resistor melalui catu daya dc 1-V. arus 1 A akan mengalir

melalui resistor bergantung dan resistansi murni dari resistor, karakteristik catu

daya dan lainnya. Jika daya yang dibuang di dalam resistansi adalah:

(2)

maka ada daya sebesar 1 W yang dibuang di dalam resistor. Sekarang anggaplah

bahwa kita memiliki percobaan yang sama dengan sumber tegangan 10 V. Model

matematik akan menyatakan bahwa arus 10 A akan mengalir melalui resistansi,

dan daya sebesar 100 W akan dibuang di dalam resistansi. Tetapi, karena resistor

fisik hanya dapat menerima daya 2 W, resistor akan gagal jika dihubungkan

dengan catu daya 10 V, yang menyebabkan tidak ada arus, atau bergantung dari

karakteriistik catu daya, sekering mungkin terbakar. Pada banyak kejadian,

besamya arus tidak akan tepat 10 A seperti yang diduga oleh model. Jadi

karakteristik resistor 1-W dapat berubah. bergantung dari sinyal masukan

(tegangan) yang diberikan pada peralatan.

Sistem Linear. Sistem dinamakan linear jika berlaku prinsip-prinsip superposisi.

Prinsip superposisi menyatakan bahwa tanggapan yang dihasilkan dengan mengaplikasi

dua fungsi gaya berbeda secara bersamaan adalah jumlah dari dua tanggapan terhadap

aplikasi fungsi tadi secara sendiri-sendiri. Jadi untuk sistem linear, tanggapan terhadap

beberapa masukan dapat dihitung dengan mengerjakan masukan satu per satu dan

menjumlahkan hasilnya. Prinsip inilah yang memungkinkan membangun penyelesaian

yang rumit untuk persamaan differensial linear dan penyelesaian sederhana.

Sistem waktu tidak berubah linear dan sistem ber ubah linear. Persamaan

diferensial adalah linear jika koefisien tetap atau hanya fungsi dari variabel bebas. Sistem

dinamik yang terdiri dari komponen parameter bulat (“lumped”), waktu tidak berubah

linear mungkin dijelaskan dengan persamaan differensial waktu tidak berubah linear

(koefisien tetap). Sistem demikian dinamakan sistem waktu tidak berubah linear (atau

koefisien tetap linear). Sistem yang digambarkan dengan persamaan diferensial yang

koefisiennya merupakan fungsi waktu dinamakan sistem waktu berubah linear. Contoh

sistem kontrol waktu berubah adalah sistem kontrol pesawat ruang angkasa. (Massa

pesawat angkasa berubah karena pemakaian bahan bakar).

Sistem tak linear. Suatu sistem dikatakan tak linear jika prinsip superposisi tidak

dapat diterapkan. Jadi, untuk sitem tak linear, tanggapan terhadap dua masukan tidak

dapat dihitung dengan mengukur satu masukan pada suatu waktu tertentu dan

menambahkan hasilnya. Contoh persamaan diferensial tak linear adalah :

(3)

Walaupun beberapa hubungan sistem fisik biasanya diwakili persamaan linear,

dalam kebanyakan kasus sebenarnya hubungan tersebut tidak benar benar linear, pada

kenyataannya, pengamatan yang teliti dari sistem fisik, sistem linear akan benar-benar

linear hanya apabila berada pada daerah operasi yang terbatas. Dalam praktek, banyak

sistem elektromekanika, hidrolika, pneumatika dan sebagainya meliputi hubungan tak

linear antar variabel-variabel. Sebagai contoh, keluaran dari suatu komponen mungkin

bercampur untuk sinyal masukan yang besar. (Daerah mati untuk suatu komponen adalah

daerah dengan variasi masukan dengan komponen tidak peka). Hukum kuadrat

ketaklinearan mungkin terjadi untuk beberapa komponen. Sebagai contoh, peredam yang

digunakan pada sistem fisik mungkin linear untuk operasi kecepatan rendah tetapi

menjadi tak linear pada kecepatan tinggi, dan gaya redaman mungkin menjadi sebanding

dengan kuadrat dari kecepatan kerja. Beberapa contoh kurva karakteristik ketidaklinearan

ditunjukkan pada Gambar 4.1.

Ketaklinearan Jenuh Ketaklinearan daerah mati Hukum kuadrat ketaklinearan

Gambar 4.1. Kurva karakteristik untk berbagai ketaklinearan

Beberapa sistem kontrol yang penting adalah nonlinear untuk setiap ukuran

sinyal. Sebagai contoh, pada sistem kontrol dua posi (on-off). aksi pengontrolan adalah

“on” atau “off” dan tidak terdapat huhungan yang linear antara masukan dan keluaran

kontroler.

Prosedur untuk menemukan penyelesaian masalah yang melibatkan sistem

nonlinier umumnya sangat rumit. Karena kesulitan matematika yang ada pada sistem

nonlinear, seringkali dirasakan perlu membuat sistem linear yang ekivalen yang berlaku

untuk jangka operasi yang terbatas. Sekali sistem nonlinear didekati dengan model

matematika linear, maka sejumlah alat bantu nonlinear dapat diterapkan untuk tujuan

analisis dan desain.

Linearisasi sistem nonlinear. Pada rekayasa kontrol operasi normal dan sistem

dapat di sekitar titik keseimbangan, dan sinyal dapat dianggap sebagai sinyal kecil di

sekitar titik keseimbangan tersebut (perlu diketahui bahwa terdapat banyak kekecualian

dalam kasus seperti ini). Namun jika sistem beroperasi di sekitar titik keseimbangan dan

jika sinyal yang terlibat adalah sinyal kecil, maka mungkin untuk mendekati sistem

nonlinear tersebut dengan sistem linear. Sistem linear yang demikian adalah ekivalen

dengan sistem nonlinier tersebut di dalam batas jangka operasi tertentu. Model yang

dilinearisasi demikian (model waktu tidak berubah linear) sangat penting dalam rekayasa

kontrol.

Sistem Listrik

Sistem listrik terdiri dari komponen-komponen yang bersifat resistif, kapa.sitif, dan

induktif. Komponen-komponen dasar tersebut adalah tahanan [R] kapasitor [C] dan

induktor [L].

Sebuah rangkaian listrik diberikan pada Gambar 4.2

Gambar 4.2. Rangkaian seri R-L

Menurut Hukum Kirchoff, persamaan rangkaian adalah:

(4)

dan ini adalah persamaan differensial linear yang tidak homogen orde-1 dengan variabel

bebas t dan variabel tidak bebas i; sedang v adalah fungsi masukan.

Bentuk persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:

(5)

Solusi persamaan homogen adalah solusi untuk V[t] = 0, sehngga menurut persamaan [5]

fungsi komplementer adalah:

(6)

jika V/L = konstan, maka solusi khusus adalah:

, sehingga solusi umum menjadi :

(7)

Jika pada t = 0, i = 0 [ saat saklar S belum dihubungkan] , maka :

atau atau

(8)

Dalam persamaan ini τ = disebut konstanta waktu [time

constant], dimana L adalah Henry dan satuan R adalah Ohm.

Sistem Mekanis

Sebuah sistem mekanis yang terdiri dari sebuah massa [m], sebuah pegas [dinyatakan

oleh konstanta elastisitas k] dan peredam [dashpot] yang menyatakan gesekan mekanis

terhadap massa. Gambar 4.3

Gambar 4.3 : Massa, pegas dan redaman

Gesekan mekanis ini dapat dinyatakan sebagai fungsi kecepatan dengan B adalah

koefisien gesekan. Dengan demikian gaya gesekan adalah Fg = Bv

Jika benda massa m ditarik oleh gaya F dengan arah seperti pada gambar 4.3

maka persamaan gerak untuk sistem menurut hukum Newton II dapat dituliskan sebagai

berikut:

F = ma (9)

di mana F adalah resultante dan semua gaya yang bekerja pada m. Persamaan (9) dapat

juga dituliskan sebagai

Fa – Fp – Fg = ma

atau Fa – kx – Bv = ma

atau ma + Bv + kx = Fa (10)

di mana x adalah perpindahan massa m setiap saat.

Selanjutnya karena , maka persamaan (10) dapat juga

dituliskan:

(11)

Dari bentuk (9), persamaan tersebut adalah persamaan differensial linear orde dua yang

tidak homogen dengan t sebagai variabel bebas, x sebagai variabel tidak bebas dan Fa

sebagai fungsi masukan. Solusi umum persamaan (9) ini bergantung pada bentuk Fa.

Bentuk Fa yang paling umum adalah fungsi tangga (step function), konstanta atau fungsi

sinus.

Sistem Hidrolik

Proses pengisian tangki melalui pipa-pipa/saluran air adalah salah satu contoh dari

sistem ini, dimana pengaturan-pengaturan aliran ke dalam tangki dapat dilakukan melalui

keran, lobang-lobang yang dapat diatur dan sebagainya.

Dalam menganalisis sistem cairan ini dapat diberikan anggapan-anggapan sebagai

berikut:

- tangki dianggap mengandung cairan yang permukaannya bebas.

- pipa penghubung dipenuhi seluruhnya oleh cairan.

- percepatan cairan diabaikan.

Keadaan ini ditunjukkan pada Gambar 4.4

.

Gambar 4.4. Sistem hidrolik

dengan,

qi = debit cairan masuk ke dalam tangki

qo = debit cairan keluar

h = tinggi permukaan cairan di dalam tangki (“head” cairan)

Tinggi cairan (head) menghasilkan suatu tekanan yang menimbulkan aliran cairan

dari tangki dan keadaan ini merupakan kebalikan daripada sifat pipa hambatan-hambatan

lain terhadap aliran.

Untuk suatu tangki yang mengeluarkan cairan karena tekanan “head”-nya, tahanan

hidraulik didefinisikan sebagai peubahan “head” yang diperlukan agar menyebabkan

perubahan aliran. Secara matematis dituliskan sebagai berikut:

(12)

di mana, R = tahanan hidraulik

h = head (ft)

q = laju aliran

Resistansi dan kapasitansi sistem permukaan zat cair. Tinjau aliran dalam pipa pendek

yang dihubungkan pada dua tangki. Resistansi untuk aliran zat cair dalam pipa atau

hambatan didefinisikan sebagai perubahan dalam perbedaan tinggi (perbedaan

permukaan zat cair dalam dua tangki) yang diperlukan untuk membuat satu satuan

perubahan laju aliran, yaitu:

Karena hubungan antara laju aliran dan perbedaan tinggi terjadi untuk aliran laminar dan

aliran turbulen, maka akan ditinjau kedua kasus sebagai berikut.

Tinjau sistem permukaan zat cair pada Gambar.4.5(a). Bila aliran pada hambatan adalah

laminar, maka hubungan antara laju aliran keadaan tunak dan tinggi permukaan (kepala)

pada keadaan tunak diberikan oleh:

Q = KH (13)

dengan

Q = laju aliran zat cair, m3/sec

K = koefisien, m2/sec

H = permukaan zat cair pada keadaan tunak, m

Kecepatan aliran

Kemiringan =

a b Gambar 4.5 (a) Sistem permukaan zat cair, (b) kurva laju aliran versus permukaan zat cair

Perhatikan bahwa hukum untuk aliran laminar ini analog dengan hukum Coulomb yang

menyatakan bahwa arus berbanding lurus dengan beda potensial.

Untuk aliran laminar, resistansi R diperoleh:

(14)

Resistansi aliran laminar adalah konstan dan analog dengan resistansi listrik.

Bila aliran yang melalui penghambat turbulen, maka laju aliran keadaan

tunak diberikan oleh

(15)

dengan

Q = laju aliran zat cair, m3/sec

K = koefisien, m2,5/sec

H = permukaan zat cair pada keadaan tunak, m

Resistansi Rt aliran turbulen diperoleh

Dengan bentuk persamaan (11) diperoleh

sehingga

Jadi,

(16)

Nilai resistansi Rt aliran turbulen tergantung pada laju aliran dan permukaan zat cair.

Nilai Rt kecil, mungkiri dapat dikatakan konstan bila perubahan permukaan zat cair dan

laju aliran kecil.

Dengan menggunakan resistansi aliran turbulen, huhungan antara Q dan H

diberikan oleh

(17)

Linearisasi akan sahih bila perubahan tinggi permukaan zat cair dan laju aliran pada

keadaan tunak cukup kecil.

Sistem Elektromekanik

Generator Arus Searah

Diasumsikan bahwa generator dc dijalankan oleh sumber energi yang disebut penggerak

utama, yang berkapasitas cukup sehinngga beban elektrik pada generator tidak

mempengaruhi kecepatan generator. Selanjutnva diasumsikan bahwa generator berputar

pada kecepatan konstan. Diagram rangkaian generator diberikan pada Gambar 3.6.

Persarnaan untuk rangkaian medan adalah

(18)

dengan ketergantungan fungsional dari variabel-variabel terhadap waktu diabaikan agar

mudah. Pada persamaan ini, ef adalah tegangan medan yang diberikan dan dianggap

sebagai masukan sistem. Arus medan adalah ij, resistansi kumparan medan adalah Rf dan

induktansi kumparan medan adalah Lf Persamaan untuk rangkaian armatur adalah

(19)

dengan eg adalah tegangan yang dibangkitkan oleh rangkaian armatur, ia adalah arus

armatur, ea adalah tegangan di teminal armatur, dan Ra dan La rnasing-masing adalah

resistansi dan induktansi armatur. Persamaan yang menghubungkan tegangan yang

dibangkitkan eg ke fluks medan, Ф adalah

(20)

Gambar 4.6. Generator DC

Pada persamaan ini, K adalah parameter yang ditentukan oleh struktur fisik generator dan

dθ/dt adalah kecepatan sudut armatur. Karena dθ/dt telah diasumsikan konstan dan karena

fluks f berbanding langsung dengan arus medan if, tegangan yang dihangkitkan. dari

Persamaan (20) dapat dituliskan sebagai

eg = Kgif (21)

Motor Servo

Servomotor arus searah (DC). Terdapat banyak jenis motor yang digunakan

dalam industri, Motor DC yang digunakan dalam sistem servo dinamakan servomotor dc.

Pada servomotor dc, rotor inersia dibuat sangat kecil, yang menghasilkan motor dengan

rasio torsi-terhadap-inersia sangat tinggi yang tersedia secara komersial. Beberapa

servomotor dc mempunyai konstanta waktu yang luar biasa kecilnya. Servomotor dc

dengan tingkat daya yang rendah digunakan pada peralatan yang berkaitan dengan

komputer dan instrumentasi seperti misalnya disk drive, tape drive, dan pengolah kata

(“word processor”). Servomotor dc dengan tingkat daya menengah dan tinggi digunakan

pada sistem robot, mesin pemintal yang dikontrol secara numerik, dan seterusnya.

Pada servomotor dc, kumparan medan dapat dihubungkan secara seri dengan

jangkar magnit (“armature”) atau kumparan medan tersebut dapat dipisah dari jangkar

magnetnya (ini berarti, medan magnet dihasilkan oleh rangkaian yang terpisah). Dalam

kasus terakhir, bila medan dibangkitkan secara terpisah, maka fluks magnetik tidak

tergantung pada arus jangkar magnet. Pada beberapa servomotor dc, medan magnet

dihasilkan oleh magnet permanen dan karenanya fluks magnetik konstan. Servomotor dc

seperti demikian dinamakan servomotor dc magnet permanen. Servomotor dc dengan

medan yang dibangkitkan secara terpisah, dan juga servomotor dc magnet permanen

dapat dikontrol oleh arus jangkar magnet. Skema untuk mengontrol keluaran servo-

motor dc dengan arus jangkar magnet demikian dinamakan kontrol jangkar magnet

servomotor dc.

Pada kasus yang arus jangkar magnetnya dibuat konstan dan kecepatan dikontrol

oleh tegangan medan, motor dc tersebut dinamakan motor dc dikontrol medan. (Beberapa

sistem kontrol kecepatan menggunakan motor dc dikontrol medan). Kebutuhan akan arus

jangkar magnet yang konstan merupakan kekurangan yang serius. (Pemberian sumber

arus yang konstan jauh lebih sukar daripada pemberian sumber tegangan yang konstan).

Konstanta waktu dari motor dc dikontrol medan umumnya besar dibandingkan dengan

konstanta waktu motor dc dikontrol jangkar magnet yang sebanding.

Servomotor dc mungkin juga digerakkan oleh kontroler gerakan elektronik’. yang

seringkali dinamakan servodriver disebut kombinasi motor penggerak. Servodriver

mengatur gerakan servomotor dc dan beroperasi dalam berbagai macam mode. Beberapa

cirinya adalah penggerakan posisi titik ke titik, profil kecepatan, dan percepatan yang

dapat diprogram. Penggunaan kontroler gerakan elektronik yang menggunakan driver

dimodulasi lebar pulsa (“pu1se with modulated driver”) untuk mengontrol servomotor dc,

sering kali digunakan dalam sistem kontrol robot, sistem kontrol numerik, dan sistem

kontrol posisi dan / atau kecepatan lainnya.

Selanjutnya dibuat model motor servo. Diagram rangkaian motor servo diberikan

pada Gambar 4.7. Pada gambar ini ea(t) adalah tegangan armatur, yang dianggap sebagai

masukan sistem. Resistansi dan induktansi rangkaian armatur adalah Rm dan Lm Tegangan

em(t) adalah tegangan yang timbul pada kumparan armatur karena adanya pergerakan

pada kumparan di dalam medan magnetik motor dan biasanya disebut sebagai EMF-

balik. Sehingga dapat kita tuliskan bahwa

(22)

dengan K adalah parameter motor, Ф adalah fluks medan dan θ adalah sudut poros

motor; Jadi dθ/dt adalah kecepatan sudut poros. Kita sumsikan bahwa fluks Ф konstan;

sehingga

(23)

Gambar 4.7. Motor servo

Sistem Analogi

Sistem yang dapat digambarkan dengan model matematika yang sama, tetapi

berbeda secara fisik dinamakan sistem yang analogi (analogous system). Jadi sistem yang

analogi dijelaskan dengan persamaan diferensial atau integrodiferensial atau sejumlah

persamaan.

Konsep sistem yang analogi sangat berguna dalam praktek karena alasan sebagai

berikut:

1. Dapat diterapkan secara langsung terhadap sistem yang analogi di bidang

apapun yang lain.

2. Karena sistem yang satu mungkin lebih mudah ditangani dalam percobaan

daripada yang lain, maka daripada mempelajari dan membangun sistem

mekanika (atau sistem hidrolika atau pneumatik), dapat dibangun dan ditelaah

analogi listriknya, karena sistem listrik atau elektronika umumnya jauh lebih

mudah dikerjakan dengan percobaan.

Bagian ini menyajikan analogi antara sistem listrik dengan mekanika. Namun

konsep sistem yang analogi berlaku untuk sistem jenis lain dan analogi di antara sistem

mekanika, listrik, hidrolika, pneumatik, thermal, dan sistem lainnya dapat ditentukan.

Analogi listrik-mekanika.

Sistem mekanika dapat ditelaah melalui penggunaan analogi listriknya, yang

mungkin lebih mudah dikonstruksi daripada model sistem mekanika yang berkaitan.

Terdapat dua analogi listrik untuk sistem mekanika: analogi tegangan gaya dan analogi

arus-gaya.

Analogi gaya-tegangan.

Tinjau sistem mekanik pada Gambar 4.8 (a) dan sistem listrik pada Gambar

4.8(b).

(a) (b) Gambar 4.8. Sistem listrik dan mekanika yang analog

Persamaan sistem adalah

(23)

persamaan sistem selanjutnya

Dalam suku muatan listrik q persamaan terakhir menjadi

(24)

Tabel 4.1. Analogi gaya-tegangan

Sistem Mekanik Sistem ListrikGaya р (torsi T) Tegangan eMassa m (momen inersia J) Induktansi LKoefisien gesekan b Tahanan RTetapan pegas k Kapasitansi bolak-balik, 1/CPerpindahan x (perpindahan sudut θ) Muatan qKecepatan x (kecepatan sudut θ Arus i

Analogi gaya-arus.

Analogi lain antara sistem mekanik dan listrik didasarkan pada analogi gaya-arus.

Tinjau sistem mekanik pada Gambar 4.9(a). Persamaan sistem dapat diperoleh sebagai

(25)

(a) (b)

Gambar 4.9. Sistem mekanik dan listrik analog

Perhatikan sistem listrik pada Gambar 2.2 (b). Dengan menerapkan hukum Kirchhoff

untuk arus memberikan

iL + iR + iC = iS (26)

dengan

persamaan (26) dapat ditulis dengan

(27)

Perhatikan bahwa fluks magnetik gandeng Ψ direlasikan dengan e oleh persamaan

berikut:

dalam bentuk Ψ persamaan (27) dapat ditulis sebagai berikut:

(28)

Dengan membandingkan Persamaan (26) dan (28), diperoleh bahwa dua sistem tersebut

adalah analogi. Beberapa besaran yang analog diberikan pada Tabel 4.2. Di sini analog

tersebut disebut analogi gaya arus (atau analogi massa-kapasitas).

Perlu diingat bahwa analog antara dua sistem mungkin salah atau tidak berlaku

lagi jika daerah operasinya diperluas terlalu jauh. Dengan kata lain, karena persamaan

diferensial, yang analognya didasarkan, hanya merupakan pendekatan karakteristik

dinamika dan sistem fisik dalam daerah operasi tertentu, maka analogi tadi dapat tidak

berlaku lagi jika daerah operasi salah satu sistem itu sangat luas. Namun, jika daerah

operasi sistem mekanika yang diberikan luas, mungkin dapat dibagi menjadi dua atau

lebih subdaerah, dan sistem listrik yang analog dapat dibuat untuk masing-masing

subdaerah. Faktanya, analog tidak terbatas pada sistem listrik dan sistem mekanika saja,

berlaku juga untuk sebarang sistem sesuai dengan persamaan diferensialnya, atau fungsi

alih, dalam bentuk yang identik.

Tabel 4.2.. Arus-gaya

Sistem Mekanik Sistem ListrikGaya р (torsi T) Arus iMassa m (momen inersia J) Kapasitansi CKoefisien gesekan b Tahanan bolak-balik, 1/RTetapan pegas k Induktansi bolak-balik, 1/LPerpindahan x (perpindahan sudut θ) Fluks magnetik gandeng ΨKecepatan x (kecepatan sudut θ ) Tegangan e