二项式定理

（ 2012. 陕西 . 理 .12 ）展开式中的系5)( xa 2x

数为，则实数的值为（） .10 a

（ 2011. 陕西 . 理 .4 ）展开式中)()24( 6 Rxxx

的常数项是（） .

A. － 20 B. － 15 C. 15 D. 20

（ 2009. 陕西 . 理 .6 ）若 2009)21( x 0a

)(20092009

221 Rxxaxaxa ，则

20092009

33

221

2222

aaaa 的值是（）

历年真题：

考纲展示：

考纲要求：会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

题型：选择或填空

分值： 5 分

目标预览：

（ 1 ）理解二项式定理

（ 2 ）会求二项展开式中的特定项

（ 3 ）会求二项展开式中的系数和

预习检查： 1. 二项式定理 (a ＋ b)n ＝ _____________________________

_

. 这个公式叫做二项式定理 , 右边的项式子叫做 (a ＋ b)n 的二项展开式，其中的系数

,2 ，…， n) 叫做 ___________ . 式中的 ________

_ 叫做二项展开式的 _____, 用 Tr ＋ 1 表示 , 即展

开式的第 _____ 项； Tr ＋ 1 ＝ ________.

C0nan＋C1

nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cn

nbn

(n∈N*)

Crn(r＝0,1

二项式系数 Crnan－rbr

通项

r＋1 Crnan－rbr

2. 二项展开式形式上的特点 (1) 项数为 _____.

(2) 各项的次数都等于二项式的幂指数 n ，即 a 与 b 的指数的和为 ___.

(3) 字母 a 按 _____ 排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按 _____ 排列 ,

从第一项起，次数由零逐项增 1 直到 n.

(4) 二项式的系数从 , 一直到 .

1n

n降幂

升幂

C ,C0 1n n C ,C1n n

n n

3. 二项式系数的和

C0n＋C1

n＋C2n＋…＋Cr

n＋…＋Cnn

1 3 5C C Cn n n 0 2 4C C Cn n n 12n

(a＋ b)n 的展开式的各个二项式系数的和等于 2n,

____________________ ＝ _____________________ ＝ ____.

即 ______________________________ =2n.

二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于

奇数项的二项式系数的和，即

难点解读：

1. 二项式定理 (a ＋ b)n ＝ _____________________________.

二项式的展开式共有 _______ 项，是第 _____ 项。即 _____ 是项数， _______ 是项。

通项是 Tr ＋ 1 ＝ ________.

C0nan＋C1


nbn

r＋1

Crnan－rbr 1n

r＋1 Crnan－rbr

Crnan－rbr

2. 二项式系数与展开式项的系数在 Tr ＋ 1 ＝中，就是该项的二

项式系数，它与 a、 b 的值无关； Tr ＋ 1 项的系

数指化简后除字母以外的数。

Crnan－rbr Cr

n

3. 二项式系数的和

C0n＋C1

n＋C2n＋…＋Cr

n＋…＋Cnn

1 3 5C C Cn n n 0 2 4C C Cn n n 12n

(a＋ b)n 的展开式的各个二项式系数的和等于 2n,

____________________ ＝ _____________________ ＝ ____.

即 ______________________________ =2n.

二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于

奇数项的二项式系数的和，即

二项式系数的和的证明

(a ＋ b)n

＝

C0nan＋C1


nbn

在上式中，令 a ＝ b ＝ 1 ，可得 :

(1 ＋ 1)n ＝C0n＋C1

n＋C2n＋…＋Cr

n＋…＋Cnn

即＝ 2n （ 1 ）C0n＋C1

n＋C2n＋…＋Cr

n＋…＋Cnn

在二项展开式中，令 a ＝ 1 , b ＝－ 1 , 可得 :

(1 － 1)n ＝（ 2 ）

0 1 2 3....n n n nC C C C

（ 1 ）、（ 2 ）两式相加、相减可得：1 3 5C C Cn n n 0 2 4C C Cn n n 12n

____________________ ＝ _____________________ ＝ ____.

（ 2012. 陕西 . 理 .12 ）展开式中的系5)( xa 2x


（ 2011. 陕西 . 理 .4 ）展开式中)()24( 6 Rxxx


A. － 20 B. － 15 C. 15 D. 20

历年真题：

例题讲解：题型一

已知在 3

3

1( )2

nxx

的展开式中，第 6项为常数项．

(1)求 n； (2)求含 x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．

3

n r

3

r

2

3

n r

【例 1 】

求展开式中的特定项或特定项的系数求展开式中的特定项或特定项的系数

已知在 3

3

1( )2

nxx



3

n r3

r

2

3

n r

已知在 3

3

1( )2

nxx



3

n r3

r

2

3

n r

（ 2012. 陕西 . 理 .12 ）展开式中的系5)( xa 2x


（ 2011. 陕西 . 理 .4 ）展开式中)()24( 6 Rxxx


A. － 20 B. － 15 C. 15 D. 20

变式训练 1

题型二二二项式系数和或各项的系数和的问题项式系数和或各项的系数和的问题

解：

【例 2 】在 (2x － 3y)10 的展开式中，求： (1) 二项式系数的和； (2) 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (3) 各项系数的和； (4) 奇数项系数和与偶数项系数和；

题型二二二项式系数和或各项的系数和的问题项式系数和或各项的系数和的问题


分析 : 设 (2x － 3y)10 ＝ a0x10 ＋ a1x9y ＋ a2x8y2 ＋…＋ a10y10 ，(*)

各项系数和即为 a0 ＋ a1 ＋…＋ a10 ，奇数项系数和为 a0 ＋ a2 ＋…＋ a10 ，偶数项系数和为 a1 ＋ a3 ＋ a5 ＋…＋ a9 ，由于 (*) 是恒等式 , 故可用“赋值法”求出相关的系数和 .

解：


设 (2x － 3y)10 ＝ a0x10 ＋ a1x9y ＋ a2x8y2 ＋… ＋ a10y10 ，

令 x ＝ y ＝ 1 ，可得 :

各项系数和为 (2 － 3)10 ＝ ( － 1)10 ＝ 1.

则各项系数和即为 a0 ＋ a1 ＋…＋ a10 ，

解：



解：

变式训练 2

（ 1 ）设 (3x － 1)4 ＝ a0 ＋ a1x ＋ a2x2 ＋ a3x3

＋ a4x4. ① 求 a0 ＋ a1 ＋ a2 ＋ a3 ＋ a4 ； ② 求 a0 ＋ a2 ＋ a4 ； ③ 求 a1 ＋ a2 ＋ a3 ＋ a4 ；（ 2009. 陕西 . 理 .6 ）

若 2009)21( x 0a

)(20092009

221 Rxxaxaxa ，则

20092009

33

221

2222

aaaa 的值是（）

小结：

（ 2 ）能求展开式中的特定项或系数和

（ 1 ）二项式定理

方法与技巧

1. 通项公式最常用，是解题的基础． 2. 有关二项式系数的和：用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和 . 3. 因为二项式定理中的字母可取任意数或式 ,所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法 .

感悟提高

1. 要把“二项式系数的和”与“各项系数和”，“奇 ( 偶 ) 数项系数和与奇 ( 偶 ) 次项系数和”严格地区别开来． 2. 根据通项公式时常用到根式与幂指数的互化，学生易出错． 3. 通项公式是第 k ＋ 1 项而不是第 k 项．

失误与防范

作业：

1 、完成课时规范训练 A组2 、预习第二课时

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