BANGUN RUANG

Makalah ini disusun dalam rangka memenuhi tugas kelompok dalam Mata Kuliah

Telaah II

Dosen Pembimbing: Abu Syafik, M. Pd

Disusun oleh :

Kelompok 1 / 4H

Nama Anggota:

1. Heru Sujatmiko Nugroho (102144056)

2. Iin Rachmadiyanti (102144057)

3. Indah Prawesti (102144058)

4. Khotmiyatun Ma’rifah (102144059)

5. M. Khotim Ansori (102144060)

6. Nur Aeni (102144061)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOREJO

2012-2013

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Wr. Wb.

Segala puji dan syukur penulis panjatkan ke-hadirat Allah SWT yang telah

melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan

makalah ini tanpa ada suatu halangan apapun.

Laporan ini dapat terwujud berkat bantuan dari berbagai pihak. Dalam

kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Abu Syafik, M.Pd., selaku dosen pembimbing mata kuliah Telaah II yang

telah membimbing dengan teliti dan penuh kesabaran.

2. Kedua orang tua tercinta yang telah mendidik dan membimbing penulis dari kecil.

3. Teman-teman yang telah membantu serta mendukung penulis dalam proses

pembuatan makalah ini.

Namun, penulis menyadari bahwa penulisan makalah ini masih sangat

jauh dari kesempurnaan, oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran

dari teman-teman yang bersifat membangun dalam penyempurnaan makalah ini.

Semoga makalah ini bisa bermanfaat bagi penulis dan para pembaca serta

merupakan salah satu bentuk pengabdian kita kepada Allah SWT.

Wassalamu’alaikum Wr. Wb.

Purworejo, Oktober 2012

Penulis

DIMENSI TIGA

A. Macam-macam Bangun Ruang :

1. Kubus :

Ciri-ciri Kubus :

1. Jumlah bidang sisi ada 6 buah yang berbentuk bujur sangkar

(ABCD, EFGH, ABFE, BCGF, CDHG, ADHE,)

2. Mempunyai 8 titik sudut (A, B, C, D, E, F, G, H)

3. Mempunyai 12 rusuk yang sama panjang

(AB, CD, EF, GH, AE, BF, CG, DH, AD, BC, EH, FG)

4. Semua sudutnya siku-siku

5. Mempunyai 4 diagonal ruang dan 12 diagonal bidang

4 diagonal ruang = garis AG, BH, CE, DF.

12 diagonal bidang = garis

AC,BD,EG,FH,AH,DE,BG,CF,AF,BE,CH,DG)

Volume (V) = s x s x s = s3

Luas (L) = 6 x s x s = 6 s2

Keliling = 12 x s

Panjang diagonal bidang = s2 + s

2 = 2s

2 = s

Panjang diagonal ruang = s2 + s

2 + s

2 = 3s

2 = s 3

2. Balok:

Ciri-ciri Balok :

1. Alasnya berbentuk segi empat

2. Terdiri dari 12 rusuk

3. Mempunyai 6 bidang sisi

4. Memiliki 8 titik sudut

5. Seluruh sudutnya siku-siku

6. Mempunyai 4 diagonal ruang dan 12 diagonal bidang

Volume = p x l x t

Luas = 2 x {(pxl) + (pxt) + (lxt) }

Keliling = 4 x (p+ l + t)

Diagonal Ruang = √

3. Limas

Ciri-ciri :

Luas alas =

alas x tinggi

Volume =

Luas alas x tinggi

Luas = Luas alas + (3 x luas tegak segitiga)

4. Kerucut

Ciri-ciri :

1. Mempunyai 2 bidang sisi (1 bidang sisi lingkaran dan 1 bidang sisi selimut)

2. Mempunyai 2 rusuk dan 1 titik sudut

Luas selimut = π x r x s

Luas alas = π x r2

Luas Permukaan kerucut = Luas alas + Luas Selimut

= π x r2 + π x r x s

= π r (r + s)

Volume =

x Luas alas x tinggi

=

x πx r

2 x t

Nama Limas Sisi Rusuk Titik Sudut

Limas Segitiga 4 6 4

Limas Segiempat 5 8 5

Limas Segilima 6 10 6

Limas Segienam 7 12 1

5. Bola

Ciri-ciri :

1. Hanya mempunyai 1 bidang sisi

2. Tidak mempunyai sudut dan tidak mempunyai rusuk

Volume =

π r 3

Luas = 4 π r 2

Kedudukan Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang

Benda berdemensi tiga memiliki tiga unsur, yakni :

a. Titik merupakan sesuatu yang tidak memiliki ukuran (tak berdemensi)

dan hanya ditentukan oleh letaknya saja. Titik disimbolkan dengan noktan

(•) dan biasanya diberi nama dengan huruf besar (kapital), misalnya A, B, C,

D dan lain sebagainya

b. Garis adalah kumpulan atau himpunan titik yang membentuk kurva

lurus. Garis merupakan bangun berdemensi satu, karena ukuran

(demensi) yang dimiliki hanya satu yaitu panjang, garis biasanya diberi

nama dengan huruf kecil, misalnya: p. q, r dan lain sebagainya

c. Bidang disebut bangun berdemensi dua, karena memeliki dua demensi yakni

demensi panjang dan demensi lebar, bidang tidak memeiliki dimensi

ketebalan.

1. Kedudukan Titik Terhadap Garis Dan Bidang

a. Kedudukan titik terhadap garis

Jika diperhatikan gambar di atas maka kedudukan titik terhadap garis ada

dua, yakni :

Titik terletak di garis atau garis yang melalui titik tertentu, seperti titik

A terletak di garis g, atau garis g melalui titik A.

Titik yang terletak di luar garis, atau titik tidak terletak di garis atau

dengan kata lain garis tidak melalui titik tertentu, contohnya titik B

tidak terletak di garis h, atau garis h tidak melalui titik B.

b. Kedudukan titik terhadap bidang

1) Titik Terletak pada Bidang Sebuah titik dikatakan terletak pada bidang,

jika titik tersebut dapat dilalui oleh bidang.

Titik B terletak Pada Bidang α

2) Titik di Luar Bidang Sebuah titik dikatakan terletak di luar bidang, jika

titik tersebut tidak dapat dilalui oleh bidang.

Titik B tidak terletak Pada Bidang α

A

g

B

h

2. Kedudukan Dua Garis

a. Dua Garis Sejajar Dua buah garis dikatakan sejajar, jika dua buah garis

tersebut sebidang dan tidak mempunyai titik persekutuan.

Garis k dan l sejajar

b. Dua Garis Berpotongan Dua buah garis dikatakan berpotongan, jika dua

buah garis tersebut sebidang dan mempunyai satu titik persekutuan, yang

dinamakan titik potong.

Garis k dan l berpotongan

c. Dua Garis Berimpit Dua garis dikatakan berimpit, jika jarak antara kedua

garis tersebut adalah nol.

Garis k dan l berimpit

d. Dua Garis Bersilangan Dua buah garis dikatakan bersilangan, jika dua

buah garis tersebut tidak sebidang atau melalui kedua garis tersebut tidak

dapat dibuat sebuah bidang datar.

Garis g dan h bersilangan

3. Kedudukan Garis dan Bidang

a. Garis Terletak pada Bidang

Sebuah garis dikatakan terletak pada bidang, jika setiap titik pada garis

tersebut juga terletak pada bidang.

Garis g terletak pada bidang α

b. Garis Sejajar Bidang

Sebuah garis dikatakan sejajar bidang, jika garis dan bidang tidak

mempunyai satu pun titik persekutuan.

Garis g sejajar bidang α

c. Garis Memotong (Menembus) Bidang

Sebuah garis dikatakan memotong (menembus) bidang, jika garis dan

bidang mempunyai satu titik persekutuan yang dinamakan titik potong atau

titik tembus.

Garis g memotong bidang α di titik A

6.2 Menentukan jarak dari titik ke garis dan dari titik ke bidang dalam ruang

dimensi tiga

Yang dimaksud dengan jarak antara dua buah bangun adalah panjang

ruas garis penghubung terpendek yang menghubungkan dua titik pada

bangun-bangun tersebut.

A B

G1 G2

Jika G1 dan G2 adalah bangun-bangun geometri. Maka G1 dan G2 dapat

dipikirkan sebagai himpunan titik-titik. Sehingga dapat dilakukan pemasangan

satu-satu antara titik-titik pada G1 dan G2. Jika ̅̅ ̅̅ adalah yang terpendek antara

semua ruas garis penghubung titik-titik itu, maka panjang ruas garis ̅̅ ̅̅ disebut

jarak antara bangun G1 dan G2.

Konsep jarak yang pernah dipelajari dalam geometri bidang di antaranya

adalah:

Jarak titik A ke titik B dapat digambar dengan cara menghubungkan titik A

dan titik B dengan ruas garis AB (diperlihatkan pada gambar (a)). Jika d

adalah jarak titik A( ) ke titik B( ) maka jarak d dapat ditentukan

dengan menggunakan hubungan:

√( ) ( )

Jarak titik P ke garis g dapat digambarkan dengan cara membuat garis dari

titik P dan tegak lurus ke garis g (diperlihatkan pada gambar (b)). Jika d

adalah jarak titik P( ) ke garis ; maka jarak d

dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan:

|

|

Konsep jarak yang pernah dipelajari dalam geometri bidang itu selanjutnya

akan diperluas untuk menggambar dan menghitung jarak dalam geometri ruang.

Cara menggambar jarak adlam geometri ruang pada dasarnya sama dengan cara

menggambar jarak dalam geometri bidang, yaitu cara menggambar garis hubung

terpendek. Perhitungan jarak dalam geometri ruang lebih banyak menggunakan

hubungan Teorema Pythagoras dab sifat-sifat bangun ruang. Berikut ini

pembahasan bagaimana cara menghitung jarak-jarak dalam ruang:

A. Jarak titik ke titik

Jarak titik A ke titik B dalam suatu ruang daoat digambarkan dengan cara

menghubungkan titik A dan titik B dengan ruas garis AB. Jarak titik A ke

titik B ditentukan oleh panjang ruas garis AB.

A(𝑥 𝑦 ) B(𝑥 𝑦 )

Gambar (a)

𝑔 𝑎𝑥 𝑏𝑦 𝑐

P (𝑥 𝑦 )

d

Gambar (b)

A

B

C

D

E

F

G

H

Contoh:

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan

panjang rusuk 5 cm. Titik P pertengahan

rusuk CG. Hitunglah jarak

a) titik A ke titik G

b) titik A ke titik P

c) titik B ke titik P

Jawab:

a) Jarak titik A ke titik G = panjang ruas garis AG

= panjang diagonal ruang AG

= cm

b) Jarak titik A ke titik P = panjang ruas garis AP

√( ) ( )

√( )

(

)

√

√

c) Jarak titik B ke titik P = panjang ruas garis BP

√( ) ( )

√( )

(

)

√

P

A

B

C

D

E

F

G

H

A d B

α

A

B

C

D

E

F

G

H

√

B. Jarak titik ke garis

Jika sebuah titik berada diluar garis, maka ada jarak antara titik ke garis itu.

Jarak titik A ke garis g (titik A berada diluar garis g) dapat digambarkan

dengan menggunakan langkah-langkah berikut:

Buatlah bidang α yang melalui titik A dan garis g.

Pada bidang α tersebut buatlah garis AP tegak lurus terhadap garis g.

Ruas garis AP merupakan jarak titik A ke garis g yang diminta.

Contoh:

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan

panjang rusuk 5 cm. Titik P pertengahan

rusuk CG. Hitunglah jarak

a) Titik A ke garis FG

b) Titik C ke garis FH

c) Titik F ke garis BD

Jawab:

a) Jarak titik A ke garis FG adalah AF =

b) Jarak titik C ke garis FH adalah CO, dengan O adalah pertengahan FH

Perhatikan siku-siku di O, CF = dan OF =

.

CO √( ) ( )

A

d

g

P α

A

B

C

D

E

F

G

H

O

P

R

√( )

(

)

√

√

Jadi, jarak titik C ke garis FH adalah CO

c) Jarak titik P ke garis BD adalah PR, dengan R pertengahan BD

Perhatikan siku-siku di C, RC =

, dan PC =

√( ) ( )

√(

)

(

)

√

√

Jadi, jarak titik P ke garis BD adalah

C. Jarak titik ke bidang

Jarak sebuah titik berada diluar bidang, maka ada jarak antara titik ke bidang

itu. Jarak titik A ke bidang α (titik A berada diluar bidang α) dapat

digambarkan menggunakan langkah-langkah berikut:

Buatlah garis g melalui titik A dan tegak lurus bidang α.

Garis g menembus bidang α di titik Q.

Ruas garis AQ merupakan jarak titik A ke bidang α yang diminta.

A g

Q

α

Contoh:

Perhatikan gambar dibawah ini. Diketahui

balok ABCD.EFGH dengan AB = 10 cm, AD

= 8 cm, dan AE = 6 cm. Titik O adalah titik

potong diagonal-diagonal bidang alas AC dan

BD. Hitunglah jarak

a) titik A ke bidang CDHG

b) titik O ke bidang ABFE

c) titik O ke bidang BCGF

Jawab:

a) Jarak titik A ke bidang CDHG adalah AD = 8 cm, sebab AD tegak lurus

bidang CDHG.

b) Jarak titik O ke bidang ABFE adalah OP =

( )

c) Jarak titik O ke bidang BCGF adalah OR =

( )

D. Jarak dua garis sejajar

Misalkan diketahui garis g dan garis h sejajar. Jarak antara garis g dan garis

h yang sejajar itu dapat digambarkan dengan menggunakan langkah-langkah

berikut:

Buatlah bidang α yang melalui garis g dan garis h.

Buatlah garis k yang memotong tegak lurus terhadap garis g dan garis h,

misalnya titik-titik potong itu berturut-turut adalah titik A dan titik B.

Panjang ruas garis AB ditetapkan sebagai jarak antara garis g dan garis h

yang sejajar.

A

B

C

D

EF

GH

α

h

g

B

A

d

E. Jarak dua garis bersilangan

Misalkan garis g dan garis h bersilangan. Jarak antara garis g dan garis h

yang bersilangan itu dapat digambarkan dengan langkah-langkah berikut:

Buatlah garis g’ sejajar garis g sehingga memotong garis h. gais g’ dan h

membentuk bidang .

Buatlah garis k yang tegak lurus terhadap g’ dan h. garis k dan h

membentuk bidang β dan bidang β ditembus oleh garis g di titik P.

Buatlah garis melalui P dan sejajar garis k sehingga memotong garis h di

titik Q.

PQ tegak lurus terhadap garis g dan juga terhadap garis h, sehingga

panjang ruas garis PQ ditetapkan sebagai jarak garis g dan garis h yang

bersilangan.

F. Jarak garis dan bidang yang sejajar

Misalkan garis g dan bidang α sejajar. Jarak antara garis g dan bidang α yang

sejajar itu dapat digambarkan melalui langkah-langkah sebagai berikut:

Ambil sebarang titik P pada haris g.

Buatlah garis k yang melalui titik P dan tegak lurus bidang α.

Garis k memotong atau menembus bidang α di titik Q.

Panjang ruas garis PQ ditetapkan sebagai jarak antara garis g dan bidang

α yang sejajar.

P

d

Q

k g’

h

α

β

Q

g

k

α

A B C

g

TITIK, GARIS DAN BIDANG DALAM RUANG

1. Uraian dan Contoh

Tiga unsur pangkal dalam geometri, yaitu titik, garis, dan bidang.

Ketiga unsur tersebut, dapat juga disebut sebagai tiga unsur yang tak

didefinisikan.

Sebuah titik dipikirkan sebagai suatu tempat/posisi dalam ruang. Titik

tidak memiliki panjang maupun ketebalan. Sebuah titik direpresentasikan

dengan sebuah noktah dan diberinama dengan suatu huruf kapital.

Sebuah garis dipikirkan sebagai suatu himpunan titik berderet yang

panjang tak terbatas, tetapi tidak memiliki lebar. Seutas benang yang

diregangkan, goresan pensil mengikuti tepi sebuah penggaris dapat

difikirkan sebagai model sebuah garis. Untuk memberinama sebuah garis,

dapat memanfaatkan dua buah titik pada garis tersebut, atau dengan

sebuah huruf kecil. Cara menuliskannya: ⃡ ⃡ ⃡ ⃡ ⃡ ,

misalnya seperti pada gambar berikut:

Sebuah bidang difikirkan sebagai suatu himpunan titik berderet dan

berjajar secara rapat dan tak terbatas, tetapi tidak memiliki ketebalan.

Permukaan sebuah meja, atau permukaan selembar kertas putih polos,

yang dibentang ke segala arah tak terbatas, dapat difikirkan sebagai

model fisik sebuah bidang. Sebuah bidang direpresentasikan dengan

gambar sebuah jajargenjang, dan nama sebuah bidang dapat

menggunakan sebuah huruf kapital atau huruf Yunani. Seperti yang

ditampilkan pada gambar 2 berikut ini:

𝛼

C

E

F

A

B

D

H

Gambar 1

Gambar 2

KEDUDUKAN TITIK, GARIS DAN BIDANG DALAM RUANG

1. Kedudukan dua titik

Definisi dari dua titik berimpit adalah dua titik yang sama. Dua buah

titik dapat terjadi keduanya berimpit atau keduanya berlainan. Dua buah

titik yang berimpit dapat dipikirkan sebagai sebuah titik yang memiliki

dua nama. Misalnya seperti disajikan pada Gambar 3 berikut:

2. Kedudukan titik dan garis

Definisi dari titik-titik segaris (kolinear) adalah titik-titik yang terletak

pada satu garis (titik-titik yang tidak terletak pada satu garis disebut titik-

titik tak segaris (non-kolinear)).

Sebuah titik dan sebuah garis dapat terjadi sebuah titik tersebut

terletak pada sebuah garis tersebut atau sebuah titik tersebut tidak terletak

pada sebuah garis tersebut. Jika sebuah titik terletak pada suatu garis,

maka dapat juga dikatakan garis tersebut melalui sebuah titik. Jika sebuah

titik tidak terletak pada suatu garis, maka dapat dikatakan sebuah titik di

luar sebuah garis.

D

A

E F

G

Gambar 3

g M

K

O

R

S P

N

L

Q

Gambar 4

3. Kedudukan titik dan bidang

Sebuah titik dapat terletak pada suatu bidang atau sebuah titik tidak

terletak pada sebuah bidang. Jika sebuah titik A terletak pada suatu

bidang, maka dapat dikatakan pula bidang- melalui titik A atau titik A

pada bidang.

Aksioma

Sebarang tiga buah titik terletak pada sekurang-kurangnya satu

bidang. Sebarang tiga buah titik non-kolinear terletak pada tepat satu buah

bidang.

Definisi coplanar

Titik-titik dikatakan koplanar (coplanar) atau sebidang jika dan hanya

jika ada suatu bidang yang memuat semua titik tersebut.

Pada Gambar 5, titik R, titik S, dan titik T merupakan tiga buah titik

yang non-kolinear, dan ketiganya terletak pada satu bidang, yaitu bidang-

. Dengan demikian, titik R, titik S, dan titik T dikatakan sebagai tiga

buah titik yang koplanar. Sedangkan titik V tidak terletak pada bidang- .

Oleh karena itu titik R, titik S, titik T, dan titik V, merupakan empat buah

titik yang non-koplanar.

4. Kedudukan dua buah garis.

Dua buah garis dapat terjadi keduanya sebidang atau tak-sebidang.

Jika dua garis sebidang, maka dapat terjadi keduanya berpotongan atau

sejajar. Jika dua buah garis tak-sebidang, maka keduanya dikatakan

bersilangan.

Dua buah garis berbeda dikatakan saling sejajar jika dan hanya jika

keduanya koplanar dan tidak berpotongan, dan dua buah garis berbeda

dikatakan saling bersilangan jika dan hanya jika keduanya non-koplanar.

Jika dua buah garis berbeda berpotongan, maka keduanya terletak pada

tepat satu bidang.

5. Kedudukan garis dan bidang.

Jika ada suatu garis dan suatu bidang, maka kejadian yang dapat

terjadi, yaitu garis tersebut memotong/menembus bidang tersebut, garis

R T

S

V

Gambar 5

tersebut sejajar dengan bidang tersebut, atau garis tersebut terletak pada

bidang tersebut.

6. Kedudukan dua buah bidang.

Jika ada dua buah bidang, maka kejadian yang dapat terjadi, yaitu:

kedua bidang tersebut berpotongan atau kedua bidang tersebut saling

sejajar.

Dua buah bidang dikatakan berpotongan, jika keduanya bersekutu

tepat pada sebuah garis. Dengan demikian garis yang berekutu merupakan

himpunan semua titik yang terletak pada ke dua bidang . Dua buah bidang

dikatakan sejajar, jika keduanya tidak bersekutu pada satu titik pun.

7. Kedudukan tiga buah bidang.

Jika ada tiga buah bidang, yang ketiganya berbeda, maka kejadian

yang dapat terjadi, yaitu ketiganya berpotongan atau ketiganya saling

sejajar. Jika ketiga bidang tersebut berpotongan, maka dapat terjadi

ketiganya berpotongan di satu titik, ketiganya berpotongan di satu garis,

atau sepasang-sepasang dari ketiganya berpotongan pada satu garis dan

terbentuk tiga buah garis yang saling sejajar.

MENENTUKAN LUAS PERMUKAAN DAN VOLUME BANGUN

RUANG

Dalam menentukan volume bangun ruang menggunakan pendekatan

dengan mengaitkannya dengan daerah segi banyak. Dengan cara membagi

bangun ruang itu menjadi bagian-bagian yang lebih keci.

1. Kubus

Volume:

Luas:

s

s

s

2. Balok

Volume:

Luas:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

*( ) ( ) ( )+

3. Prisma

Dalam bangun ruang prisma terdapat banyak sekali macamnya,

diantaranya prisma segi empat, prisma segi tiga, prima segi lima, prisma

segi enam dll.

Volume:

Pada rumus volume prisma untuk menentukan luas alas tergantung

dari bentuk alas.

Luas:

( ) ( )

4. Limas

Bangun ruang limas memiliki banyak macamnya, diantaranya limas

segi tiga, limas segi empat dll.

Volume:

Luas:

5. Kerucut

Volume:

p l

t

Luas:

( )

di mana untuk mencari S

6. Bola

Volume:

Luas:

7. Tabung

Volume:

Luas:

( )

C

A

B

D

O r

,dengan r adalah jari-jari bola

r

t

MENENTUKAN PROYEKSI TITIK DAN GARIS PADA BIDANG

1. Proyeksi titik pada bidang

Dari titik P di luar bidang H ditarik garis g menembus bidang H di

titik P’. titik P’ adalah proyeksi titik P di bidang H.

2. Proyeksi garis pada bidang

Proyeksi sebuah garis ke sebuah bidang dapat diperoleh dengan

memproyeksikan titik yang terletak pada garis itu ke bidang. Jadi proyeksi

garis g pada bidang H adalah g’.

Fakta-fakta:

Proyeksi garis pada bidang umumnya berupa garis.

Jika garis g tegak lurus h maka proyeksi garis g pada bidang h berupa

titik.

Jika garis g sejajar bidang h maka g’ yaitu proyeksi garis g pada h dan

sejajar garis g.

•

• H

P

P’

g

•

•

•

•

A

B

g

H A’

B’ g’

BEBERAPA ISTILAH DALAM GAMBAR BANGUN RUANG

A. Bidang Gambar

Bidang gambar adalah sebuah bidang sebagai tempat untuk

menggambar atau melukis bangun ruang. Contohnya adalah kertas

gambar, buku tulis atau papan tulis. Pada gambar di bawah ini, bidang

gambar diwakili oleh bidang S.

B. Bidang Frontal

Bidang frontal adalah bidang gambar atau bidang-bidang lain yang

sejajar dengan bidang gambar. Pada gambar 7.64, bidang-bidang

frontalnya di wakili oleh bidang ABFE dan bidang DCGH.

Kekhususan bidang frontal

Unsur-unsur ruang (garis dan bidang) yang terletak pada bidang frontal

digambar dengan bentuk dan ukuran ang sebenarnya. Sebagai contoh,

bidang sisi ABFE adalah bidang frontal. Oleh karena itu, bidang sisi

ABFE dilukis menurut bentuk dan ukuran yang sebenarnya pada gambar

ruangnya, yaitu berbentuk persegi atau bujur sangkar dengan panjang sisi

3 cm.

C. Bidang Ortogonal

Bidang ortogonal adalah bidang yang tegak lurus terhadap bidang

frontal. Pada gambar 7.64, bidang-bidang orthogonal diwakili oleh bidang-

bidang ABCD,ADHE,BCGF, dan EFGH. Bentuk dan ukuran bidang

S H G

F E

A B

C D

ortogonal pada gambar ruang tidak sama dengan bentuk dan ukuran

sebenarnya.

Misalnya pada bidang orthogonal ADHE, bidang ADHE sebenarnya

berbentuk persegi dengan panjang sisi 3 cm, tetapi dalam gambar ruang

dilukis kurang dari 3 cm. Sudut-sudut yang sebenarnya , tetapi dalam

gambar ruang dilukis sebagai sudut lancip ( dilukis

kurang dari ) atau sudut tumpul

( )

D. Garis Frontal

Garis frontal adalah garis-garis yang terletak pada bidang frontal. Pada

gambar 7.64, garis frontalnya adalah AE, BF, CG, dan DH (disebut garis

frontal vertical) serta garis-garis AB, DC, EF, dan HG (disebut garis

frontal horizontal)

E. Garis Ortogonal

Garis ortogonal adalah garis-garis yang tegak lurus terhadap bidang

frontal. Panjang garis orthogonal yang dilukis dalam gambar ruang tidak

sama dengan panjang garis yang sebenarnya. Panjang garis orthogonal

yang dilukis dalam gambar ruang ditentukan oleh nilai perbandingan

orthogonal. Pada gambar 7.64, garis orthogonal diwakili oleh garis-garis

AD, BC, EH, dan FG.

F. Sudut Surut

Sudut surut adalah sudut dalam gambar ruang yang besarnya

ditentukan oleh garis frontal horizontal ke kanan dengan garis orthogonal

ke belakang. Sudut surut menunjukkan seberapa jauh miringnya garis

orthogonal terhadap garis frontal horizontal. Oleh karena itu, sudut surut

juga disebut sebagai sudut miring atau sudut menyisi.

Pada gambar 7.64, sudut surutnya adalah <BAD dan <FEH. Besar <

BAD dan < FEH yang sebenarnya sama dengan 900

, tetapi dalam gambar

ruang dilukis kurang dari 900 atau lebih dari 90

0.

G. Perbandingan Ortogonal

Perbandingan orthogonal adalah perbandingan antara panjang garis

orthogonal yang digambar dengan panjang garis orthogonal yang

sebenarnya. Pada gambar 7.64, perbandingan orthogonal dapat ditentukan

sebagai berikut:

Perbandingan orthogonal

Panjang garis orthogonal yang digambar seolah-olah merupakan

proyeksi dari panjang garis orthogonal yang sebenarnya. Oleh karena itu,

perbandingan orthogonal sering disebut sebagai perbandingan proyeksi.

Menjelaskan garis dan bidang dalam ruang

a. Garis

Suatu garis merupakan himpunan titik-titik tidak terbatas

banyaknya. Garis dikatakan berdimensi satu karena hanya

memiliki satu ukuran saja. Suatu garis biasanya dilukiskan terbatas

dan disebut juga dengan segmen garis (ruang garis) dan

dinotasikan dengan huruf kecil. Luas garis itu sendiri dinotasikan

dengan menyebut titik pangkal dan titik ujung garis tersebut,

sebagai contoh, garis g,h,l atau ruas garis AB, PQ.

Contoh:

b. Bidang

Bidang merupakan himpunan titik-titik yang mempunyai panjang

dan luas, oleh karena itu bidang dikatakan berdimensi dua.

Penotasian suatu bidang diwakili oleh α, β, γ atau titik-titik sudut

bidang itu.

B

A B

Q P

C

(a) (b)

Bidang α bidang ABCD

Menggambar dan menghitung sudut antara dua garis pada bangun

ruang

Kita masih ingat bahwa kedudukan garis g dan garis h dalam ruang

dapat berpotongan, berimpit, sejajar, atau bersilangan. Berdasarkan

kedudukan garis g dan garis h dalam ruang itu, dapat diamati fakta-

fakta:

1. Dalam hal garis g berimpit dengan garis h atau garis g sejajar

garis h, maka sudut yang dibentuk oleh kedua garis itu sama

dengan nol.

2. Dalam hal garis g berpotongan dengan garis h atau garis g

bersilangan dengan garis h, maka terdapat sudut yang dibentuk

oleh kedua garis itu.

Cara mengukur menggambar dan menghitung) sudut antara dua

garis yang saling berpotongan dan dua sudut antara dua garis yang

bersilangan.

a. Sudut antara dua garis berpotongan

Misalkan garis g dan garis h berpotongan di titik P sehingga

kedua garis itu terletak pada sebuah bidang α. Sudut antara

garis g dan garis h yang berpotongan dapat digambarkan

melalui langkah-langkah sebagai berikut:

Ambil sebarang titik A pada garis g daan sebarang B pada

titik h.

A B

D Type equation here

α

Besar sudut APB ditetapkan sebagai ukuran sudut antara

garis g dan garis h yang berpotongan.

Proses menentukan sudut antara garis g dan garis h yang

berpotongan itu dapat divisualisasikan dengan gambar ruang

sebagaimana diperhatikan pada gambar 7-89a.

b. Sudut antara dua garis bersilangan besar sudut antara dua garis

yang bersilangan dapat ditentukan dengan menggunakan

pertolongan sifat sudut dalam geometri bidang datar. Sifat yang

dimaksud dikemukakan sebagai berikut.

Sifat: dua garis yang sama besar

Misalkan diketahui garis g dan garis h bersilanga. Garis g

menembus bidang α di P dan garis h terletak pada bidang α.

Sudut antara garis g dan garis h yang bersilangan itu dapat

digambarkan melalui langkah-langkah sebagai berikut:

Ambil sebarang titik O pada bidang α.

Melalui titik O, buatlah garis g' sejajar dengan garis g dan

garis h’ sejajar dengan garis h.

Sudut yang dibentuk oleh garis g' dan h' ditetapkan sebagai

ukuran besar sudut antara garis g dan gasih h yang

bersilangan.

Proses menentukan sudut antara garis g dan garis h yang

bersilangan itu dapat divisualisasikan pada gambar 7-89b.

Dua buah sudut dikatakan sama besar, jika kaki-kaki kedua

sudut itu sejajar dan searah.

A

B

α

A

g g'

α

P

Catatan:

1. Sudut antara garis g dengan garis h dilambangkan dengan

<(g,h)

2. Jika besar sudut <(g,h) = 90˚ serta

a. g dan h berpotongan, maka garis g daan garis h

dikatakan berpotongan tegak lurus.

b. g dan h bersilangan, maka garis g dan garis h dikatakan

bersilangan tegak lurus.

Dalam menggambarkan sudut antara dua garis g dan garis h

yang bersilangan, lebih praktis apabila titik O diambil salah

satu garis (garis g atau garis h).

1) misalkan titik O diambil pada garis g (titik O diambil tepat

berimpit dengan titik P)

melalui titik O, buatlah garis h’ yang sejajar dengan

garis h.

sudut yang dibentuk oleh garis g dan h’ merupakan

ukuran besar sudut anatara garis g dan garis h yang

bersilangan. Hal ini dapat diperhatikan dengan gambar

ruang pada gambar 7-90a.

2) misalkan titik O diambil pada garis h

melalui titik O, buatlah garis g' yang sejajar dengan

sudut yang dibentuk oleh garis g' dengan garis h

merupakan ukuran besar sudut antara garis g dan garis h

yang bersilangan. Hal ini dapat diperhatikan dengan

gambar ruang pada gambar 7-90b.

O

h'

h

α

P

O

g g'

Sebagai contoh, aplikasikan bagaimana cara menentukan sudut

antara dua garis yang bersilangan dengan menggunakan

konsep-konsep yang telah dijelaskan di atas, simaklah ilustasi

berikut ini.

1. Pada kubus ABCD.EFGH dalam Gambar 7-91a, garis AD

dan garis BG merupakan dua garis yang bersilangan. Sudut

antara garis AD dan garis BG yang bersilangan itu

ditentukan oleh sudut antara garis AD dan garis AH (yaitu

<DAH), sebab garis AH sejajar dengan garis BG. Garis BC

dan garis AH juga merupakan dua garis yang bersilangan

itu ditentukan oleh sudut BC dan garis BG. Sudut antara

garis BC dan garis BG (yaitu <CBG), sebab garis BG

sejajar dengan garis AH.

Perhatikan bahwa besar <DAH = besar <CBG.

Mengapa demikian?

2. Pada limas segiempat beraturan T.ABCD dalam gambar 7-

91b, garis TA dan garis DC merupakan dua garis

bersilangan. Sudut antara garis TA dan garis DC yang

bersilangan itu ditentukan oleh sudut antara garis TA dan

garis AB (yaitu <CBG), sebab garis AB sejajar dengan

garis DC.

P

α

O h'

h

Menggambar dan menghitung sudut antara garis dan bidang pada

bangun ruang

Kita ingat kembali bahwa kedudukan antara garis dan bidang dalam

ruang kemungkinannya adalah:

1. Garis terletak pada bidang,

2. Garis sejajar bidang, dan

3. Garis memotong atau menembus bidang.

jika sebuah garis memotong atau menembus bidang, maka terdapat

ukuran sudut yang dibentuk oleh garis atau bidang itu. Misalkan

bahwa garis g memotong bidang α di titik tembus P. sudut antara garis

g dan bidang α yang berpotongan dapat ditentukan melalui langkah-

langkah sebagai berikut:

a. Ambil sebarang titik Q pada garis g.

b. Melalui titik Q, buatlah garis h yang tegak lurus terhadap bidang α.

Garis h ini menembus bidang α di titik Q'.

c. Sudut QPQ' ditetapkan sebagai ukuran besar sudut antara garis g

dan bidang α yang berpotongan.

α

A B

C D

G

F E

H

A B

C D

T

α

α g'

Q g

P

h

Proses menentukan sudut antara garis g dan bidang α yang berpotongan itu

dapat divisualisasikan dengan gambar ruang sebagaimana diperlihatkan

pada gambar 7-93.

Catatan:

Berdasarkan paparan di atas, sudut antara garis dan bidang yang

berpotongan dapat didefinisikan sebagai berikut.

Defiisi: sudut antara garis dan bidang yang berpotongan

sebagai contoh aplikasi bagaimana cara menentukan ukuran sudut ruang

yang dibentuk oleh garis dan bidang yang berpotongan, simaklah ilustrasi

berikut ini.

1. Kubus ABCD,EFGH pada Gambar 7-94a, garis diagonal BH

memotong bidang alas ABCD. Sudut antara garis BH dengan

bidang alas ABCD atau <(BH, bidang ABCD), ditentukan oleh

sudut yang dibentuk oleh garis BH dan garis BD (yaitu <BDH),

sebab garis BD merupakan proyeksi dari garis BH pada bidang alas

ABCD.

1. Garis g' yang melalui P dan Q' pada gambar 7-93 disebut proyekssi garis g

pada bidang α.

2. Sudut antara garis g dan bidang α dilambangkan dengan <(g, bidang α)

sudut antara garis g dan bidang α adalah sudut lancip yang dibentuk oleh

garis g dengan proyeksinya pada bidang α.

A B

C D

E F

H G

A B

C D

T

2. Limas segiempat beraturan T.ABCD pada gambar 7-94b, rusuk sisi

TB memotong bidang alas ABCD. Sudut antara garis TB dengan

bidang alas ABCD atau <(TB, bidang ABCD) ditentukan oleh

sudut yang dibentuk oleh garis TB dan garis BO (yaitu <TBO),

sebab garis BO merupakan proyeksi dari garis TB pada bidang alas

ABCD.

Contoh soal 36:

Kubus ABCD-EFGH dengan panjang rusuk 6cm.

a) Hitunglah besar <(AH, bidang ABCD)

b) Jika sudut antara diagonal ruang AG dengan bidang alas ABCD adalah

α, hitunglah:

i. Sin α

ii. Cos α

iii. Tan α

Jawab:

a) <(AH, bidang ABCD) = <DAH, yaitu sudut yang dibentuk oleh

gari AH dengan garis AD, sebab AD adalah proyeksiAH pada

bidang ABCD (perhatikan Gambar 7-95a).

b) ADH adalah segitiga siku-siku sama kaki sehingga <DAH = 45˚.

c) <(AG, bidang ABCD) = < CAG, yaitu sudut yang dibentuk oleh

garis AG dan garis AC, sebab AC adalah proyeksi AG pada bidang

ABCD (perhatikan gambar 7-95a).

d) merupakan segitiga siku-siku di C dengan AC = ,

AG = dan CG = 6 cm.

Dengan mengambil sinus, cosines, dan tangent sudut α pada

, diperoleh:

(i) Sin α

=

=

=

(ii) Cos α =

=

=

=

(iii) Tan =

=

=

=

Menggambar Dan Menghitung Sudut Antara Dua Bidang Pada

Bangun Ruang

Kita ingat kembali bahwa kedudukan dua bidang dalam ruang

kemungkinannya adalah:

1. Dua bidang berimpit

2. Dua bidang sejajar

3. Dua bidang berpotongan

Jika dua bidang berimpit atau dua bidang sejajar, maka sudut yang

dibentuk oleh dua bidang yang berimpit atau dua bidang yang sejajar

itu sama dengan nol. Tetapi jika dua bidang itu berpotongan, maka

terdapat ukuran sudut yang dibentuk oleh dua bidang yang

berpotongan itu.

Misalkan bahwa bidang α dan bidang β berpotongan pada garis potong

(α,β). Sudut antara bidang α dan bidang β yang bepotongan dapat

diteentukan melalui langkah-langkah sebagai berikut:

a. Ambil sebarang titik P pada garis potong (α,β).

A B

C D

F

G H

E

A

D

B

C

E F

G H

b. Melalui titik P, buatlah garis PQ pada bidang α dan PR pada bidang

β yang masing-masing tegak lurus dengan garis potong (α,β).

c. Sudut PQR ditetapkan sebagai ukuran sudut antara bidang α dan

bidang β yang berpotongan.

Perhatikan bahwa sudut PQR merupakan sudut yang dibentuk oleh

perpotongan garis PQ dengan garis PR.

Berdasarkan papararan di atas, sudut antara dua bidang yang

berpotongan dapat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi: sudut antara dua bidang berpotongan

Dalam menentukan sudut antara bidang α dan bidang β (bidang α dan

bidang β berpotongan) yang telah dibicarakan di atas, ada beberapa

istilah dan ketentuan yang perlu dipahami. Beberapa istilah dan

ketentuan itu diantaranya adalah:

Sudut antara dua bidang yang berpotongan adalah sudut yang

dibentuk oleh dua garis yang berpotongan (sebuah garis pada bidng

pertama dan sebuah garis lagi pada bidang kedua), garis-garis itu

tegak lurus terhaadap garis potong antara kedua bidang tersebut.

α

β

P

R

S

Q

(α,β)

((ααα,α

1. Sudut QPR yang menyatakan ukuran sudut antara bidang α dan

bidang β yang berpotongan dinamakan sebagai sudut tumpuan.

Bidang PQRS yang memuat sudut tumpuan dinamakan sebagai

bilangan tumpuan.

2. Jika α mewakili bidang ABC dan β mewakili bidang BCD, maka

sudut tumpuan antara kedua bidang itu dituliskan sebagai

<A(BC)D atau <A.BC.D

3. Jika besar sudut antara bidang α dan bidang β yang berpotongan itu

sama dengan 90˚, maka dikatakan bidang α tegak lurus bidang β

dan sebaliknya atau kedua bidang saling tegak lurus sesamanya.

4. Jika sudut antara dua bidang yang saling berpotongan itu bukan

sudut istimewa, maka yang dihitung cukup nilai perbandingan

trigonometri (sinus, kosinus, atau tangent) dari sudut itu.

5. Rumus-rumus perbandingan trigonometri dan hubungan teorema

PPhytagoras sering digunakan sebagai pertolongan untuk

menentukan besarsudut antara dua bidang yang saling berpotongan

itu.

B. Menggambar irisan bangun ruang

a. Melukis bidang datar pada bangun ruang

Irisan atau penampang terjadi karena suatu bidang memotong suatu

bangun ruang. Bidang irisan yang dimaksud kemudian disebut dengan

bidang alpha (α).

Definisi 1:

Penampang atau irisan adalah suatu daerah bidang datar yang

dibatasi oleh garis-garis potong bidang itu dengan sisi dari bangun

ruang. Penampang atau irisan membagi bangun ruang menjadi dua

bagian.

Definisi 2:

Sumbu afinitas (garis dasar) adalah garis potong antara bidang

irisan dengan alas bangun ruang yang diirisnya.

Gambar 1. Ilustrasi bidang irisan

Pertanyaan konsep:

Manakah alas dari sebuah kerucut?

Manakah alas dari sebuah limas?

Manakah alas dari sebuah kubus?

Manakah alas dari sebuah balok?

Catatan:

Bidang yang berwarna abu-abu adalah bidang alpha yang dimaksud.

b. Irisan bidang alpha melalui 3 titik tak segaris.

Teorema 1:

Melalui 3 titik tak segaris, dapat dibuat tepat 1 bidang.

contoh:

Permasalahan

Lukiskan bidang alpha yang melalui P, Q, dan R terhadap kubus

ABCD.EFGH dengan P, Q, dan R adalah masing-masing titik tengah

AE, AB, dan BC. Panjang rusuk kubus adalah 6 cm.

Penyelesaian :

Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, saya akan menjelaskan

langkah-per-langkah proses melukisnya. Perhatikan, saya tak menuntut

saudara untuk melukis dengan bentuk stereometris, jadi lukis kubus

seefisien mungkin.

Langkah-langkahnya:

Melukis kubus lengkap.

Lukis kubus ABCD.EFGH dengan ukuran 6 cm, lengkap dengan titik

P, Q, dan R.

Menemukan sumbu afinitas.

Karena ketiga titik sudah jelas, maka langkah selanjutnya adalah

menghubungkan ketiga titik tersebut.

Perhatikan bahwa QR merupakan garis potong bidang alpha dengan

alas kubus. Dengan demikian, garis QR merupakan sumbu afinitas.

Selanjutnya perpanjang sumbu afinitas sampai panjang yang cukup.

Catatan:

Sekarang kita telah memiliki garis potong dengan sisi ABCD.

Selanjutnya proses yang lebih mudah adalah mencari garis

potong bidang alpha dengan sisi ADHE.

Melukis garis potong bidang alpha dengan sisi yang lain (dalam

proses ini mendahulukan sisi ADHE, saudara silahkan mencoba

dengan sisi yang lain terlebih dahulu). Perhatikan bahwa titik P telah

terletak pada bidang ADHE dan P terletak pada bidang alpha.

Jelas titik P merupakan titik potong antara bidang alpha dengan sisi

ADHE. Artinya untuk menemukan garis potong bidang alpha dengan

sisi ADHE, sukup ditemukan 1 titik yang lain yang merupakan titik

potong bidang alpha dan bidang ADHE.

teorema :

melalui 2 titik, dapat dibuat tepat 1 garis)

Untuk membuat garis potong bidang alpha dengan sisi ADHE,

perpanjang rusuk AD hingga memotong sumbu afinitas dan titik

potongnya adalah titik M1.

Tugas:

Hubungkan M1 dan P sampai memotong HE. Sebut perpotongan M1P

dan HE dengan nama titik U. Hasil lukisan adalah sebagai berikut:

Catatan:

Sekarang saudara telah memiliki garis potong bidang alpha dengan sisi

ADHE.

Langkah selanjutnya lebih mudah dengan membuat garis potong

bidang alpha dengan sisi CDHG.

Melukis garis potong bidang alpha dengan sisi CDHG.

Seperangkat tugas yang harus dikerjakan:

Perpanjang DH dan PU, sehingga berpotongan di M2 Perpanjang

DC sehingga berpotongan dengan sumbu afinitas di M3.

Pertanyaan:

a. Apakah M2 terletak di CDHG?

b. Apakah M2 terletak di bidang alpha?

c. Kalau begitu, disebut apakah M2?

d. Apakah M3 terletak di CDHG?

e. Apakah M3 terletak di bidang alpha?

f. Kalau begitu, disebut apakah M3?

g. Saya akan menghubungkan M2 dengan M3.

h. Apakah M2.M3 memotong GH?

i. Apakah M2.M3 memotong CG?

Sebut titik potong M2.M3 dan GH dengan sebutan titik T, dan sebut

titik potong M2.M3 dan CG dengan sebutan titik S.

Gambar lukisan kondisi di atas adalah sebagai berikut?

Catatan:

Sekarang kita telah memiliki garis potong hampir ke semua sisi.

Langkah terakhir adalah menguhungkan RS dan TU, dan bidang

alpha yang dimaksud adalah PQRSTU.

Menggambar relasi dan Fungsi

1. Kubus

Contoh :

Gambarlah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk-rusuknya 3 cm,

bidang frontal sisi ABFE dan AB horizontal, sudut surut 30⁰, dan

perbandingan 2/3 orthogonal.

Penyelesaian:

Langkah-langkah untuk menggambar kubus ABCD.EFGH adalah sebagai

berikut:

1. Gambar garis frontal horizontal

AB yang panjangnya 3 cm dan

garis frontal vertical AE yang

panjangnya 3cm, kemudian

buatlah bidang frontal yaitu sisi

ABFE, gambarnya berbentuk

persegi dengan panjang rusuk-

rusuknya 3cm.

2. Dari titik A kita buat ruas garis

yang membentuk sudut 30⁰

dengan rusuk AB, yaitu sudut

surut sebesar 30⁰. Dengan

perbandingan proyeksi 2/3

maka panjang garis orthogonal

pada gambar adalah 2/3 AD x 3

cm = 2 cm. Tarik garis sejajar

AD dari B, F, dan E dengan

ukuran garis yang sama.

E

A B

F

3cm

3cm

D

E

3cm

A 3cm

F

30⁰

2 cm C

B

H

G

3. Gambar rusuk CG dan DH yang

sama dan vertikal dengan garis

AE dan BF. Kemudian

hubungkan rusuk DC dan HG

yang sama dan horizontal

dengan garis AB dan DF.

2. Balok

Balok adalah bangun ruang yang dibatasi oleh 6 bidang sisi berbentuk persegi

panjang yang sepasang-sepasang saling berhadapan dan kongruen.

Contoh

Balok mempunyai 3 pasang bidang sisi berhadapan yang kongruen.

Balok mempunyai 12 rusuk.

4 buah rusuk yang sejajar sama panjang.

Balok mempunyai 8 titik sudut.

Contoh 1:

Gambar balok ABCD.EFGH dengan panjang AB = 4 cm, AD = 2 cm, dan AE

= 3 cm. Bidang frontal sisi ABFE dan AB horizontal, sudut surut 40⁰, dan

perbandingan orthogonal ½.

30⁰

2 cm

H

G

A B

E F

C

D

3cm

3cm

E F

D C

A B

H G

Penyelesaian:

Langkah-langkah untuk menggambar balok ABCD.EFGH adalah sebagai

berikut:

1. Gambar garis frontal horizontal

AB yang panjangnya 4 cm dan

garis frontal vertical AE yag

panjangnya 3 cm, kemudian

bidang frontal yaitu sisi ABFE,

gambarnya berbentuk persegi

panjang.

2. Gambar sudut surut yang

dibentuk oleh rusuk AB dan

rusuk orthogonal AD besarnya

40⁰, dengan perbandingan

proyeksi sepanjang ½ AD x 2

cm = 1 cm. Tarik garis sejajar

AD dari B, F, dan E dengan

ukuran garis yang sama.

3. Gambar rusuk CG dan DH yang

sama dan vertikal dengan garis

AE dan BF. Kemudian

hubungkan rusuk DC dan HG

yang sama dan horizontal

dengan garis AB dan DF

sehingga diperoleh gambar

ruang balok.

E F

D C

A B

H G

40⁰

4 cm

1 cm

3 cm

E F

B A

3 cm

4 cm

H

D

E F

C

B A

40⁰

1 cm

3 cm

4 cm

G

3. Limas

Limas adalah bangun ruang yang dibatasi oleh segitiga-segitiga yang bertemu

pada sebuah titik dan sebuah segi banyak yang disebut bidang alas. Limas teratur

adalah limas yang alasnya berbentuk segi banyak beraturan dan proyeksi titik

puncaknya berimpit dengan titik pusat lingkaran luar bidang alasnya.

Limas adalah bangun ruang yang mempunyai bidang alas segi banyak dan

dari bidang alas tersebut dibentuk suatu sisi berbentuk segitiga yang akan

bertemu pada satu titik.

Nama limas ditentukan oleh bentuk alasnya.

Limas beraturan yaitu limas yang alasnya berupa segi beraturan.

Tinggi limas adalah garis tegak lurus dari puncak limas ke alas limas.

Macam-macam bentuk limas :

1. Limas segitiga alasnya berbentuk segitiga

2. Limas segiempat alasnya berbentuk segiempat

3. Limas segilima alasnya berbentuk segilima

4. Limas segienam alasnya berbentuk segienam

Nama Limas Sisi Rusuk Titik Sudut

Limas Segitiga 4 6 4

Limas Segiempat 5 8 5

B

D C

A

T

Limas Segilima 6 10 6

Limas Segienam 7 12 7

Contoh 1:

Limas segiempat T.ABCD dengan panjang AB = AD = 4 cm, tinggi limas 3

cm, titik E dan F merupakan titik tengah rusuk AD dan BC. Gambarlah limas

tersebut dengan bidang TEF frontal dan EF horizontal, sudut surut 30⁰, dan

perbandingan orthogonal ½.

Penyelesaian :

Langkah-langkah untuk menggambar limas segiempat T.ABCD adalah

sebagai berikut :

1. Gambar garis frontal EF

horizontal yang panjangnya

4 cm kemudian cari titik

tengah EF buatlah tinggi

limas melalui titik tengah

EF setinggi 3 cm. Buatlah

garis frontal miring TE dan

TF sehingga membentuk

bidang frontal TFE.

3 cm

F E O

T

4 cm

Limas segitiga Limas segienam Limas segiempat

2. Gambar sudut surut 30⁰

yang dibentuk oleh garis g

yang melalui titik E dan

garis EF, kemudian gambar

garis orthogonal AD dan

BC dengan perbandingan

orthogonal ½ maka 4 cm x

½ = 2 cm. Tarik garis titik

AB dan CD yang akan

membentuk bidang ABCD.

3. Hubungkan titik T dengan

titik-titik A, B, C, dan D

sehingga diperoleh gambar

ruang limas segiempat

T.ABCDseperti disamping.

D

3 cm

4 cm

T

E O F

2 cm

30⁰

A B

C

G

A

D g

3 cm

T

E O F

4 cm

2 cm

30⁰

B

C

7.6 Menggambar Irisan Suatu Bidang dengan Bangun Ruang

7.6.1 Pengertian Irisan dan Sumbu Afinitas

A. Pengertian Irisan

Gambar 0.1

Perhatikan kubus ABCD EFGH di atas!

Panjang rusuk AB = 4cm. Titik K dan L adalah pertengahan rusuk AE dan BF,

titik M pada rusuk CG sehingga CM =

CG =

x 4cm = 3cm.

Melalui titik-tik K, L, dan M dibuat bidang α. Bidang α memotong sisi

ABFE pada garis KL, memotong sisi BCGF pada garis LM, memotong sisi

CDHG pada garis MN, dan memotong sisi ADHE pada garis KN.

Garis-garis potong KL, LM, MN dan KN membentuk bidang segiempat

KLMN. Segiempat KLMN inilah yang dimaksud irisan atau penampung

antara bidang α dengan kubus ABCD EFGH. Irisan itu membagi kubus

ABCD EFGH menjadi dua bagian, yaitu bagian bangun ruang ABCD KLMN

dan bagian bangun ruang KLMN EFGH. Jadi dapat disimpulkan bahwa:

Irisan antara bidang dengan bangun ruang adalah sebuah bangun datar yang

dibatasi oleh garis-garis potong antara bidang itu dengan bidang-bidang sisi

dari bangun ruang, sehingga irisan itu membagi bangun ruang menjadi dua

bagian.

B

F

Q P

A

D C

H G

E N

M

L K α

B. Pengertian Sumbu Afinitas

Perhatikan kembali gambar 0.1 di atas!

Bidang irisan KLMN berpotongan dengan bidang atas ABCD pada garis

potong PQ. Garis potong PQ disebut sumbu afinitas atau garis dasar atau garis

koliniasi. Perhatikan bahwa sumbu afinitas terletak pada bidang irisan dan pada

bidang alas. Dengan demikian, sumbu afinitas dapat didefinisikan sbb:

Sumbu afinitas adalah garis potong antara bidang irisan dengan bidang alas

bangun ruang yang diirisnya. Sumbu afinitas terletak pada bidang irisan dan

bidang alas.

7.6.2 Menggambar Irisan Bangun Ruang

A. Menggambar Irisan Bangun Ruang

Contoh:

Gambar 0.2

Diketahui kubus ABCD EFGH dengan panjang rusuk 4cm. Titik K pada rusuk

AE sehingga panjang AK = 3cm, titik L pada rusuk BF sehingga panjang BL

= 1cm. Bidang α melalui titik-titik H, K, dan L. Gambarlah irisan antara

bidang α dengan kubus ABCD EFGH.

Jawab:

Secara umum ada dua cara untuk mnggambar irisan antara bidang dengan

bangun ruang, yaitu:

Cara 1 : Dengan menggunakan sumbu afinitas.

Cara 2 : Dengan menggunakan sifat titik potong diagonal bidang irisan.

A B

C D

E F

H G

K

L

P Q

Cara 1 : Dengan sumbu afinitas

Untuk menggambar irisan dengan menggunakan sumbu afinitas, diperlukan

langkah-langkah sebagai berikut:

1. Gambarlah sumbu afinitasnya (perhatikan gambar 0.2.a)

Titik HL dan KLmenembus bidang alas ABCD di titik P dan Q.

Garis PQ bertindak sebagai sumbu afinitas.

Keterangan:

Garis-garis HL, KL, dan HK terletak pada bidang α, sehingga titik

tembusnya dengan bidang alas ABCD terletak pada sumbu afinitas.

Sumbu afinitas dapat digambar jika kita dapat menentukan sekurang-

kurangnyadua titik tembus antar garis-garis tadi dengan bidang alas

ABCD. Dalam contoh ini kita pilih garis HL dan garis KL yang

menembus bidang alas ABCD di titik P dan titik Q.

2. Gambarlah garis potong bidang α dengan bidang sisi BCGF (gambar

0.2.b)

Garis CB memotong sumbu afinitas PQ di titik R.

Garis RL memotong rusuk CG di titik M, sehingga LM adalah garis

potong bidang α dengan bidang sisi BCGF.

Keterangan:

Garis potong bidang α dengan bidang sisi BCGF melalui titik L dan

menembus bidang alas ABCD di sebuah titik yang terletak pada sumbu

afinitas. Karena garis potong terletak pada bidang BCGF, maka titik

tembusnya dengan bidang alas ABCD ditentukan oleh titik potong garis

CB dengan sumbu afinitas PQ, yaitu titik R. Dengan demikian, garis

potong melalui titik R dan L serta memotong rusuk CG di titik M.

3. Gambarlah garis potong bidang α dengan bidang sisi CDHG, yaitu HM.

4. Garis potong HK, KL, LM, dan HM membentuk segiempat HKLM.

Segiempat HKLM adalah irisan antara bidang α dengan kubus ABCD

EFGH yang diminta (perhatikan bagian yang diraster pada gambar 0.1.b)

Gambar 0.2.a Gambar 0.2.b

Cara 2 : Dengan menggunakan sifat titik potong diagonal bidang irisan

Garis potong bidang α dengan sisi BCGF melalui titik L dan memotong rusuk

CG pada sebuah titik. Misalkan titik itu adalah titik M. Titik M dilukis dengan

cara sbb:

Garis KM dan garis HL terletak pada bidang ACGE dan bidang BDHF, kedua

bidang ini berpotongan pada garis persekutuan PQ. Dengan demikian, garis

KM dan HL haruslah berpotongan di sebuah titik yang terletak pada garis

persekutuan PQ. Karena HL memotong garis persekutuan PQ di O maka KM

juga berpotongan di O. Jadi, titik M merupakan titik potong antara

perpanjangan KO dengan rusuk CG.

Setelah titik M diperoleh, irisan bidang α dengan kubus ABCD EFGH

adalah segiempat HKLM (peratikan bagian yang dirasfer pada gambar 0.1.c)

Peratiakan bahwa titik M diperoleh setelah titik O ditentukan. Titik O

merupakan titik potong diagonal-diagonal KM dan HL (diagonal-diagonal

bidang irisan). Oleh karena itu, cara ini dikatakan menggunakan sifat titik

potong diagonal bidang irisan.

L

Q

O F

A B

C D

E

G H

K M

P

Sumbu afinitas

C

F

A B

D

E

H G

K

L

M

P Q

R A B

C D

E F

H G

K

L

P Q

Gambar 0.2.c

Sifat irisan pada kubus:

Dalam contoh di atas, sisi ABFE dan sisi DCGH adalah berpasangan dan sejajar,

sehingga garis-garis potong KL//HM. Begitu pula sisi ADHE dan sisi BCGF,

sehingga garis potong KH//LM.

Latihan Soal!

1. Perhatikan balok ABCD EFGH di bawah ini!

Tentukan:

a. Jarak garis AB ke garis CD

b. Jarak garis FH ke garis BD

c. Jarak garis AB ke garis GH

2. Limas beraturan T.ABCD dengan AB = 2cm dan rusuk tegaknya cm.

Tentukan besar sudut antar bidang TAD dan bidang TBC!

3. Diketahui sebuah kubus ABCD EFGH dengan panjang rusuk 4cm. Titik K

terletak pada rusuk AE sehingga AK =

AE, titik L terletak pada rusuk AB

sehingga AL : LB = 1 : 3, dan titik M adalah pertengahan rusuk CD. Bidang α

melalui titik-titik K, L dan M. Gambarlah irisan bidang α dengan kubus itu.

F

A

D C

B

H G

E 2 cm

4 cm

6 cm

A

D C

T

B