中学数学 相似な図形の内容

相似な図形の性質 

相似の位置 

相似比 

比の値 

三角形の相似条件 

三角形の相似条件を使った証明 

相似の利用（測量） 

三角形と比 

三角形と比の定理の逆 

中点連結定理 

平行線と比 

三角形の角の二等分線と比 

 

 

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答えが見やすくなります。 

 

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す。その他（問題の改変、商用など）の利用はご遠慮くださいま

すようお願いいたします。 

中学数学 数す

奇き

な数かず

例題

例題 1 

（1） 次のア～エに当てはまるものを答えなさい。 

ある図形の形を変えずに大きくすることをアするといい、アした図

をイという。また、形を変えずに小さくすることをウするといい、

ウした図をエという。 

ア、  イ、 ウ、 エ、

 

（2） 次の図形で、拡大または縮小した図形の組を答えなさい。 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ア©ウ©イ©

エ©オ© カ©

キ© ク© ケ©

解

解  1

1） （

 

 

 

ア、拡大  イ、拡大図 ウ、縮小 エ、縮小図 

 

（2） ○アと○オ、○ウと○ク  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例題

（3） 次のア～ケに当てはまるものを答えなさい。 

2つの図形があって、一方の図形を一定の割合で拡大または縮小する

と他方の図形と合同になるとき、2つの図形はアであるという。下の

図で四角形○アと四角形○イはアである。また、四角形○ウは四角形○イの

裏返しになっており、この 2つの四角形はイであるから、四角形○アと

四角形○ウもアである。四角形○アと四角形○イは対応する辺の長さと角

の大きさ いて 次の るこ る。につ 、 関係があ とが分か  

2A EF FG エ GH オ HEB ウ BC CD DA  

∠A ∠E ∠B ∠カ ∠C ∠キ ∠D ∠ク 

 

 

 

 

 

 

四角形ABCD 形EFGHが相似であることを、記号ケを使って と四角

四角形 ABCDケ四角形 EFGH 

と表す。多角形の相似を記号を使って表わすときは、対応する頂点

の名前を周にそって同じ順に書く。 

ア、 

カ、 

イ、 ウ、 エ、 オ、

キ、 ク、 ケ、

A B

C

D

E F

G

H

I J

L

K

ア©イ© ウ©

解

（3） 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ア、相似  イ、合同 ウ、2

ク、H

エ、2 オ、2

カ、F  キ、G ケ、∽

例題

（4） 各問いに えなさい。 次の 答

① △ABC の各辺を 2 倍に拡大

した△DEF を右の図に書きな

さい。 

② 2 つの三角形が相似である

ことを記号∽を使って表わし

なさい。 

③ 2つの三角形について、対応する辺の長さと角の大きさの関係を

記号を使って表わしなさい。 

 

 

 

 

（5） 次のア、イに当てはまるものを答えなさい。 

右の図の△ABC と△DEF のように

2 つの図形の対応する点どうしを通

る直線が全て 1 点 O に集まり、O か

ら対応する点までの距離の比が全て

等しいとき、それらの図形は Oをア 

としてイにあるという。イにある 2つの図形は相似である。 

ア、  イ、 

 

A B

C

A B

C

DE

F

O

解

（4） 

① 右の図 

 

 

② △ABC∽△DEF 

 

 

③ 2 22AB DE、 BC EF、 CA FD 

A DE、BC E CAF、 FD も正解  B で

∠A ∠D、∠B ∠E、∠C ∠F 

 

 

 

（5） 

 

 

 

 

 

 

ア、相似の中心  イ、相似の位置

 

A B

C

D

E

F

例題  

例題 2 

① 点 O を相似の中心とし、△ABC を 3 倍に拡大した△DEF を下の

図に書きなさい。 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

② 点Oを相似の中心とし、四角形ABCDを 倍に縮小した四角形EFGH

を下の図に書きなさい。 

 

 

 

 

 

 

 

AB

C

O

A

B

C

D

O

解

解 2 

①  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

② 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB

C

O

D

E

F

A

B

C

D

O

E

F

G

H

例題

例題 3 

（1） のア、イに当てはまるものを答えなさい。 次

相似な 2 つの多角形で対応する

辺の長さの比をアという。右の

図の△ABC と△DEF は相似であ

りBC 2 ある。このと ：EF ：3で

き△ BCと△DEFのアはイである。 A

ア、  イ、 

（2） 次の図形はそれぞれ相似である。相似比を求めなさい。 

△ABC∽△DEF ② 四角形 ABCD∽四角形 EFGH ①

 

 

 

 

 

 

 

（3） 次のア、イに当てはまるものを答えなさい。 

2つの円は相似で、その相似比はアの比に等しい。 

合同な図形は相似比がイの相似な図形と考えられる。 

ア、  イ、 

B C

A

E F

D

B

C

A

E

F

D

4cm

3.6cm

6cm

7.2cm

B C

D

A

F G

H

E

3cm

4cm

9cm

6cm

解

解  3

1） （

 

 

 

 

 

ア、相似比  イ、2：3

（2） 

① 2：3  ② 1：3 

 

 

 

 

 

 

 

（3） 

 

 

ア、半径（＊直径でも正解） イ、1：1

例題

（ 次 ア～ウに当てはまるものを答えなさい。 4） の

比 ： は 2つの数量 、 を比べたものである。このとき を で割っ

た商 を ： の とア いう。 ： のアと ： のアが等しいとき 

： ：  

と表す。これは のことである。 の両辺に を掛けると 

イ ウ 

となる。したがって ： ： ならばイ ウが成り立つ。 

ア、  イ、 ウ、

 

（5） 値 求めよ。 次の の を

：5 16：20  ④ 18：40 9：

 

 

 

⑤ 2： 1：10 

 

 

 

⑥

  ：5 2：  

①

 

 

 

② 6： 18：12 

 

 

 

③ 72：48 ：2 

 

 

 

解

（4） 

 

 

 

 

 

 

ア、比の値  イ、 ウ、

 

（5） 

① 4  ④ 20

 

 

 

⑤ 20 

 

 

 

⑥

  15 

 

 

 

② 4 

 

 

 

③ 3 

 

 

 

例題

（6） 次のア～カに当てはまるものを答えなさい。 

右の図で△ABC∽△DEFである

とき、対応する辺の比について 

10：6 ア：イ 

が成り立つ。また、となり合う

2辺の比 いて  につ は

10：ウ 6：エ 

が り立つ。 次のこ

： ： ならば ： オ：カ

成 一般に とも成り立つ。 

 

ア、  イ、  エ、 ウ、 オ、 カ、

 

例題 4 

（1） BC∽△DEFであるとき 下の図で△A

① △ABC と△DEF の相似比を

求めなさい。 

 

② 、 の値を求めなさい。 

 

 

③

 

 

∠Eの大きさを求めなさい。 

10cm

5cm

6cm

3cm

A

B C

D

E F

A

B C

D

E F

20cm

xcm

25cm

8cmycm

6cm

90◦

解

（6） 

 

 

 

 

 

 

 

 

ア、5  イ、3  ウ、5 エ、3  オ、 カ、

 

解  4

（1） 

① 5：2 

 

 

② 15、 10 

 

 

③

 

 

∠E 90° 

例題

（2） 下の図で四角形ABC 角形EFGHであるとき D∽四

① 四角形ABCDと四角形EFGH

の相似比を求めなさい。 

 

② 、 の値を求めなさい。 

 

 

③

 

∠C、∠Fの大きさを求めなさい。 

例題 5 

（1） 下の図から相似な三角形の組を記号∽を使って表しなさい。

また、そのときに使った相似条件を答えなさい。 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

B C

D

F

E

G

H

8cm

xcm

ycm

6cm

9cm

9cm

65◦ 75◦

B

A

C

60◦3cm

5cm

E

D

F60◦ 45◦

H

G

I

6cm9cm

12cm

LJ

K

6cm

4cm

N

MO

60◦4.5cm 7.5cm T

S

U

60◦

45◦

Q

P

R 2cm

3cm4cm

解

（2） 

① 2：3 

 

 

② 6、 12 

 

 

③

 

∠C 75°、∠F 65° 

解  5

（1） 

△ ∽△  ABC MNO

△ ∽△  

2

組の角がそれぞれ等しい 

組の辺の比が等しく、その間の角が等しい 

2

3組の辺の比が等しい

DEF STU

GHI∽△PQR    △

 

 

 

 

 

 

 

 

例題

例題 5 

（2） 下のそれぞれの図について、相似な三角形を記号∽を使って

表しなさい。また、そのときに使った相似条件を答えなさい。 

①  

 

 

 

 

 

②  

 

 

 

 

 

 

③  

④

 

 

 

 

 

⑤ 

 

 

 

 

 

 

⑥ （AD∕∕BC） 

 

 

 

 

 

AB

C

D

6cm6cm

12cm

3cm

O

A

B C

70◦

70◦D E

A

B

C

D

E

A

B

C

12cm 16cm9cm

D

B

C

6cm12cm

9cm8cm

A

D E

B C

D4cm

8cm

16cm

A

解

解  5

2） （

 

①

2組の辺の比が等しく、 

△AOD∽△COB  

その間の角が等しい 

 

 

 

②

組の角がそれぞれ等しい 

△ABC∽△ADE  

④

2組の辺の比が等しく、 

△ABC∽△ADB

その間の角が等しい 

 

 

 

⑤

2組の辺の比が等しく、 

△ABC∽△AED 

その間の角が等しい 

 

 

 

 

⑥

2組の辺の比が等しく、 

△ABD∽△DCB 

その間の角が等しい 

2

 

 

 

 

 

③

組の角がそれぞれ等しい 

△ABC∽△DEC 

2

 

 

 

例題

例題 6 

（1） 下の図のように線分 ABと CDが点 Oで交わり∠B＝∠Cであ

るとき、△AOCと△DOBが相似であることを次のように証明した。

ア ウに当てはまるものを答えなさい。 ～

△AOCと△ OBにおいて D

仮定より∠C＝∠B  …①

アは等しいから∠AO ∠イC＝ …② 

①、②よりウので△AOC∽△DOB 

 

（2） 下の図のように∠BACが直角である△ABCで、頂点 Aから辺

BC に引いた垂線と BC との交点を D とするとき、△ABC と△DBA

が相似であることを次のように証明した。ア～ウに当てはまるも

のを答えなさい。 

ア、  ウ、 イ、

△ABCと△ において DBA

仮定より∠BAC＝∠ア…① 

∠イは共通…② 

①、②よりウので△ABC∽△DBA 

 

ア、  ウ、 イ、

A

B

C

D

O

A

B CD

解

解  6

1） （

 

 

 

 

 

 

 

（2） 

ア、対頂角  イ、DOB ウ、2組の角がそれぞれ等しい 

 

 

 

 

 

 

 

 

ア、BDA  イ、B ウ、2組の角がそれぞれ等しい 

 

例題

（3） 下の図のように△ABC で点 A、B から辺 BC、AC にそれぞれ

垂線をひき、それらの交点を D、Eとするとき、△ADCと△BECが

相似になることを次のように証明した。ア～ウに当てはまるもの

を答えなさい。 

△ADCと△ において BEC

仮定より∠ADC＝∠ア…① 

∠イは共通…② 

①、②よりウから△ADC∽△BEC   

 

ア、  ウ、 イ、

 

（4） 下の図のように円Oの内部にある点 Pを通るように 2つの弦

AB、CDをひくとき、△APCと△DPBが相似になることを次のよう

証明した。ア～ウに当てはまるものを答えなさい。 に

AD する円周角は等しいから に対

∠ACP＝∠ア…① 

対頂角は等しいから 

∠APC＝∠イ…② 

⌒ 

①、②よりウから△APC∽△DPB 

 

ア、  ウ、 イ、

A

B CD

E

A

BC

D

P

O

解

（3） 

 

 

 

 

 

 

 

 

ア、BEC  イ、C ウ、2組の角がそれぞれ等しい 

 

（4） 

 

 

 

 

 

 

 

 

ア、DBP  イ、DPB ウ、2組の角がそれぞれ等しい 

例題

例題 7 

（1） 右の図のように長さ 1m

の棒の影の長さが60cmのとき、

木の影の長さは3mであった。

このとき、木の高さを求めな

さい。 

3m

60cm

1m 

 

 

 

 

（2） 池をはさむ 2地点 A、B間

の距離を求めるため、2地点を見

渡せる C地点を決め、AC、BC間

の距離と∠C の大きさを測った

ところ右の図のようになった。

△ABCの縮図を書き、それを利 

用して AB間のおよその距離を求めなさい。 

 

 

 

 

 

A B

60◦

C

80m50m

解

解  7

1） 5m （

 

 

 

 

 

 

 

 

（2） およそ 70m 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例題

例題 8 

（1） △ で A C上に BC∕∕DEとなる点 D、Eをとるとき ABC B、A

① △ABC∽△ADEとなることを証明

しなさい。 

 

 

 

 

 

② AD：ABと等しい比となる辺の組をすべて答えなさい。 

 

（2） △ABCで AB、AC上にAD：AB  AE：ACとなる点 D、Eをと

るとき 

① △ADE∽△ABCとなることを証明

しなさい。 

 

 

 

 

② ①の結果を利用して、BC∕∕DEとなることを証明しなさい。 

 

 

A

B C

D E

A

B C

D E

解

解  8

（ ） 1

① 

△ABCと△ おいて ADEに

仮定より BC Eだから同位角が等しく ∕∕D

∠ABC ∠ADE…①、∠ACB ∠AED…② 

①、②より 2組の角がそれぞれ等しいので△ABC∽△ADE 

 

 

②

 

DE：BC、AE：AC 

（

 

2） 

① 

△ADEと△ABCにおいて 

仮定よりAD：AB AE：AC…① 

∠Aは共通…② 

① より の辺の比が等しく、その間の角が等しいので 、② 2組

△ DE∽△ABC A

② 

△ADE∽△ABCより∠ADE ∠ BC 

D

A

よって、同位角が等しいので BC∕∕ E 

例題

例題 8 

（3） △ABC で BA、CA の延長上に BC∕∕ED となる点 D、E をとる

とき 

① △ABC∽△ADEとなることを証明

しなさい。 

 

 

 

② AD：ABと等しい比となる辺の組をすべて答えなさい。 

 

（4） △ABCでBA、CAの延長上にAD：AB  AE：ACとなる点D、

Eをとるとき 

① △ADE∽△ABCとなることを証明

しなさい。 

 

 

 

 

② ①の結果を利用して、BC∕∕EDとなることを証明しなさい。 

 

 

A

B C

DE

B C

DE

A

解

解  8

（ ） 3

① 

△ABCと△ おいて ADEに

仮定より BC Dだから錯角が等しく ∕∕E

∠ ∠ …①ABC ADE  

∠ACB ∠AED…② 

①、 り 組の角がそれぞれ等しいので△ABC∽△ADE ②よ 2

AE：AC、DE：BC ②

 

（

 

4） 

① 

△ADEと  △ABCにおいて

仮定よりAD：AB  AE：AC…① 

対頂角は等しいから∠DAE ∠BAC…② 

① より の辺の比が等しく、その間の角が等しいから 、② 2組

△ DE∽△ABC A

② 

△ADE∽△ABCより∠AED ACB 

ED 

∠

よって、錯角が等しいから BC∕∕

例題

例題 8 

（5） 下の図で DE∕∕BCであるとき 、 の値を求めなさい。 

①  

 

 

 

 

 

 

②  

 

 

 

 

 

 

③  

④

 

 

 

 

 

 

⑤ 

 

 

 

 

 

 

⑥

 

 

 

 

 

B C

A

DE8

6

x12

12

y

B C

A

D E

18 x

128

15

y

C A

B

D

E

x

12

30

10y

8

A B

CE

D

24

x

30

36

15 y

B

D

A

E

C

12

10

x

6

y

4

B

D A

E

C

x

121818

y 12

解

解  8

（5） 

16、 9  ④ 20、 18

 

 

 

 

 

 

⑤ 8、 5 

 

 

 

 

 

 

⑥ 27、 8

①

 

 

 

 

 

 

② 12、 10 

 

 

 

 

 

 

③ 20、 25 

 

 

 

 

例題

例題 9 

（1） △ABCの AB、AC上にAD：DB AE：ECとなる点 D、Eをと

ると DE∕∕BC となることを次のように証明した。ア～オに当ては

まるものを答えなさい。 

 

点 B を通り AC に平行な直線と、ED

を延長した直線との交点をFとする。 

△ADEと△ おいて BDFに

仮定より FB∕∕AC…① 

①より錯角が等しいので 

∠ ∠アAED …② 

∠EAD ∠イ…③ 

②、③よ か E∽△BDF りウ ら△AD

よって、 ：AD BD EA：エ…

仮定よりAD： AE：EC…⑤ 

④ 

DB

④、⑤よりエ EC…⑥ 

①、⑥より四角形 Eはオから平行四辺形である。 FBC

し

 

たがって、DE∕∕BC 

ア、 

エ、 

ウ、 イ、

オ、

A

B C

D EF

解

解  9

1） （

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ア、  BFD

エ、FB 

イ、 BD

組の

F

オ、1 対辺が平行 その長さが等しい

ウ、2組の角がそれぞれ等しい 

で

例題

例題 9 

（2） △ABC の AB、AC 上に DE∕∕BC となるような点 D、E をとる

とAD：DB AE：ECとなることを次のように証明した。ア～オに

当てはまるものを答えなさい。 

 

点 通り 平行な直線と BCとの交点を Fとする。 Dを ACに

△ADEと△DBFにおいて 

仮定より DE∕∕BC…①、DF∕∕AC ② …

①、②より同位角が等しいから 

∠ADE ∠ア…③ 

∠イ ∠FDB…④ 

③、④よ か E∽△DBF りウ ら△AD

よって、AD：DB DF…⑤ AE：

①、②より 形 エ からDF オ四角 DFCEは だ …⑥ 

⑤、⑥よりAD：DB AE：EC 

 

 

ア、 

、 

ウ、 イ、

エ オ、

 

 

A

B C

D E

F

解

解  9

2） （

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ア、DBF  イ、 DEA

オ、EC

ウ、2組の角がそれぞれ等しい 

エ、平行四辺形 

 

 

例題

例題 9 

（3） 下の図で BC∕∕DEであるとき 、 の値を求めなさい。 

①  

 

 

 

 

 

 

②  

 

 

 

 

 

 

③  

④

 

 

 

 

 

 

⑤ 

 

 

 

 

 

 

⑥

 

 

 

 

 

B C

A

D Ex

15

4

10

y

20

B C

A

D E

25

y

30

6

30

x

C A

B

D

E

20y

27

618

x

A B

C

E

D28 x

y

12

1420

B

DA

E

C

9

12

x15

y10

B

DA

E

C

5

15

x

20

y6

解

解  9

（3） 

6、 28  ④ 12、 28

 

 

 

 

 

 

⑤ 15、 8 

 

 

 

 

 

 

⑥ 18、 5

①

 

 

 

 

 

 

② 5、 5 

 

 

 

 

 

 

③ 5、 9 

 

 

 

 

例題

例題 10 

（ 次の 、 に当てはまるものを答えなさい。 1） ア イ

△ABCの辺 AB、ACの中点をそれぞれ M、N

とすると次の関係が成り立つ。 

アMN  

N イM  

ア、  イ、 

 

（2） 右の図のように、△ABC の辺

AB、BC、CAの中点をそれぞれ P、Q、

Rとするとき、△PQRの周の長さを求

めなさい。 

 

 

 

（3） 右の図のようにAB CDである

四角形 ABCD の AC、BC、DA の中点

をそれぞれ P、Q、R とするとき、

△PQRはどんな三角形になるか。 

 

 

 

B C

A

M N

|

|

||

||

B C

A

P

Q

R

||

|| ||

|||

|||8

10

12

B C

P

Q

RAD

| |

解

解 0 1

1） （

 

 

 

 

イ、 BCア、BC 

 

（2） 15 

 

 

 

 

 

 

（3） 二等辺三角形 

 

 

 

 

 

例題

例題 10 

（4） 右の図の四角形 ABCD は

AD∕∕BCの台形である。辺 ABの中

点 Eから辺BCとの平行な線を引き、

辺 AC、DC との交点をそれぞれ F、

Gとする。このとき EF、FGの長さ

をそれぞれ求めなさい。 

 

 

 

（5） 四角形 ABCD の辺 AB、BC、

CD、DAの中点をそれぞれ P、Q、R、

Sとするとき、四角形 PQRSは平行

四辺形であることを証明しなさい。 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

B C

D

E F G

6cm

10cm

A

B C

D

P

Q

R

S

解

解 0 1

4） EF 5cm、FG 3cm （

 

 

 

 

 

 

 

 

（5） 

四角形 ABCDの対角線 ACをひく。 

△ABCにおいて、仮定より点

AC∕∕PQ…①、AC 2PQ…② 

P、Qはそれぞれ AB、BCの中点だから 

同様 △ おいて 

AC∕∕SR…③、AC 2SR…④

に ADCに

 

①

組の対辺が平行でその長さが等しいから平行四辺形である。 

、②、③、④より四角形 PQRSは 

1

 

 

 

 

例題

例題 11 

（1） アと に当てはまるものを答えなさい。 イ

右の図で ∕ であるとき  ∕∕ ∕

AB：BC ア：イ 

が成り立つ。 

 

 

 

ア、  イ、 

（2） 下の図で ∕∕ ∕∕ であるとき、 の値を求めなさい。 

①

 

 ③  

 

   

   

 

 

②  

 

 

 

④

 

 

 

 

 

 

l

m

n

A D

B E

C F

l

m

n

4

x

5

10

l

m

n

9

6

10

x

l

m

n

7

2 4

x

l

m

n

24

x 4.5

18

解

解 1 1

1） （

 

 

 

 

 

 

ア、DE  イ、EF

（2） 

8  ①

 

③ 18

 

   

   

 

 

②  

 

 

 

④

 

6 

 

 

 

 

例題

例 2 題 1

△AB 分 と辺 BCとの交点を Dとすると Cの∠Aの二等 線

AB：AC BD：CD 

が成り立つことを次のように証明した。ア～オに当てはまるものを

答

 

えなさい。 

点 Cを通り ADと平行な直線と、BAを延

長した直線との交点を Eとする。 

仮定 り

AD

よ  

∕∕EC…① 

∠BAD ∠CAD…② 

①より同位角は等しいから 

∠BAD ∠ア…③ 

①より錯角は等しいから∠CAD ∠イ…

②、③、④より∠ア ∠イ

④ 

だから△AECはウ 

よって エAE …⑤ 

①よりBA： ：Dオ BD C…⑥ 

、⑥よりAB：AC BD：CD ⑤

 

ア、 

エ、 

イ、 ウ、

オ、

B C

A

E

D

解

解 12 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ア、  AEC

エ、AC 

イ、ACE

AE

ウ、二等辺三角形 

オ、