CIME - Revista Correo Pedagógico 3

Correo Pedagógico No. 3 �

Correo Pedagógico No. 3�

índiceEditorial

Una aproximación a la Epistemología Genética

de Jean Piaget (continuación)

Correo de los alumnos

Comentarios de las maestras del C. E. Yaocalli

Correo de los Padres de Familia

Correo de las maestras

Se suicida por las tablas de multiplicar

Correo de las ideas: Tu creatividad

Asesorías: Comprobación de la división y la multiplicación

Correo de las preguntas y respuestas

Noticias del CIME

Margarita Pansza

El Heraldo de México

Gustavo Saldaña J.

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Consejo Editorial

Guadalajara, Jal.Francisco J. Gutiérrez E.L. Gabriela Tapia TrilloJ. Raquel García ValdezCésar O. Pérez CarrizalesJorge Otaqui Martínez

México, D.F.José Chimal RodríguezGustavo Saldaña JattarLuz del Carmen FentanesRicardo Chimal Espinoza

Zamora, Mich.Brígido Morales B.

Publicación semestral del

CENTRO DE INVESTIGACIÓN DE MODELOS EDUCATIVOS

Dr. Mauro Rodríguez


Editorial

El número de Escuelas y Colegios que nos permitieron respaldarlos en su tarea educativa, llegó a 68, con una población educativa arpoximada en 15,000 ni-ños. Vemos con gusto que nuestro proyecto educativo va encontrando eco cada año en muchos maestros y en consecuencia es mayor cada vez el núme-ro de alumnos que podemos hacer gustar de las matemáticas, evitándoles la frustación de ellas para toda la vida.En este número ponemos a su consideración el artí-culo que salió en Educación 2000. Este artículo fué escrito por el Ing. y Mtro. Gustavo Saldaña sobre ex-periencias en Colegios del D.F.Ponga en práctica con los más pequeños los juegos con regletas que se sugieren. Esto fué aportación de maestras de Colegios de la Ciudad de México. ¡ Gracias !Ojalá le sirvan las notas sobre el Constructivismo, intente trabajar con los EJES CONSTRUCTIVISTAS, se sorprenderá de su éxito.Para 6º año esta es nuestra primera aportación so-bre el TANGRAM y sus aplicaciones. Para 5º, 6º y 1º de Secundaria ya tenemos el manual de 650 problemas. La adecuada resolución de pro-blemas es el reto más importante de la matemática de hoy y de el siglo entrante, ¡ pídalos !Infórmese sobre nuestro sistema de ORTOGRAFÍA y ayude a eliminar eficazmente uno de los principales problemas del uso de nuestro idioma.FELIZ AÑO 1998.

F. G.


El mito de las matemáticas(¡Qué difícil es aprender matemáticas!)

Gustavo Saldaña Jattar

La enseñanza de las matemáticas se ha conver-tido en uno de los problemas más críticos en la escuela. Después de muchos años de escolaridad los alumnos no saben resolver problemas sencillos, ni aplicar las fórmulas, algunos ni siquiera son capaces de hacer operaciones básicas sin ayuda de una calculadora. Las matemáticas son “el coco” de la educación.

Tal parece que obtenemos lo contrario de lo que buscamos, pues además de que los alumnos no aprenden matemáticas, va en aumento la aversión que le tienen. Con mucha frecuencia sabemos de jóvenes que al elegir carrera, las primeras que excluyen son las que tienen matemáticas en su plan de estudios.Hemos creado un mito: “¡Qué difíciles son las matemáti-cas!”“Sólo son para los muy inteligentes”. Probablemente una de las consecuencias más graves de esta cre-encia ha sido considerarnos incapaces de aprender matemáticas, pensar que sólo unos cuantos inicia-dos tienen la capacidad de entenderlas y de apli-carlas, cuando la verdad es que la mayor parte de la gente, aún los analfabetas, cuentan con las nociones básicas de matemáticas, sobre todo en lo referente al dinero. Algunos estudios han encontrado que los niños son capaces de resolver correctamente operacio-nes matemáticas de manera oral fuera de clase, mien-tras que fracasan al resolver los mismos problemas en la escuela. Si las matemáticas están directamente rela-cionadas con las habilidades del pensamiento lógi-co, ¿querrá decir esto que por no comprender las matemáticas carecemos de esas habilidades menta-les? ¿Carecemos de un pensamiento lógico? Des-de luego que no. Lo que sí parece ser cierto, es que no lo hemos desarrollado como podríamos haberlo hecho, de acuerdo a nuestras capacidades y poten-cialidades y, sobre todo, que en muchos casos care-cemos de la autoconfianza y la certeza que da el fun-damentar nuestras decisiones con criterios lógicos.

El gusto por las matemáticas

En una investigación llevada a cabo con alum-nos de 3º a 6º año de primaria con el propósito de detectar el gusto de los niños por las matemáticas en los sistemas tradicionales de enseñanza, encontramos que éste va disminuyendo de manera progresiva con-forme los niños y niñas avanzan en su escolaridad.1 El 69% de los alumnos de 3º de primaria incluyeron matemáticas entre las materias que más les gustan (gráfica 1), el 61% en 4º, el 39% en 5º y tan solo el 28% en 6º año. En tanto que quienes señalaron matemáti-cas entre las materias que menos les gustan (gráfica 2) fueron el 22% en 3º, el 27% en 4º, el 39% en 5º y el 52% en 6º año.2 En dicha investigación, un primer bloque de preguntas específicas se refiere a su apreciación sobre diversos aspectos de las matemáticas: si les gustan, si les parecen interesantes, divertidas y fáciles, aquí en-contramos una clara tendencia descendente (gráfica 3). En las dos primeras preguntas el decremento es de una tercera parte, de 60 a 39% y de 76 a 51%, en cuanto a si son fáciles baja más de la mitad, de 48 a 22%, pero en cuanto a si son divertidas desciende casi dos ter-ceras partes al pasar de 59% en 3º, a 21% en 6º año.2

Maestro e investigador del CIME

1 Investigación realizada por el Centro de Investigación de Modelos Educativos en septiembre de 1996 a 446 alumnos en 4 escuelas de la Cd. de México, antes de realizar cambios en la ense-ñanza de las matemáticas.

CENTRO DE INVESTIGACION DE MODELOS EDUCATIVOSDIAGNOSTICO DE MATEMATICAS PRIMARIA

446 alumnos

1. seguro de mis conocimientos2. con confianza para preguntar3. con deseos de participar

3º 4º 5º 6º69% 49% 54% 37%77% 71% 58% 46%84% 69% 69% 51%

3º 4º 5º 6º1. me gustan 60% 58% 40% 39%2. son interesantes 76% 60% 56% 51%3. son divertidas 59% 50% 33% 21%4. son fáciles 48% 30% 37% 22%

3º 4º 5º 6º1. me parecen odiosas2. las eliminaría3. prefiero las materiasque no tienen que ver con ellas

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gráfica 1Les gustan las matemáticas

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gráfica 6Mis maestros de matemáticas han sido

3º 4º 5º 6º1. claros para explicar 85% 78% 80% 60%2. pacientes para repetir 76% 63% 66% 47%3. justos para calificar 82% 75% 78% 62%4. expertos en la materia 84% 54% 49% 48%

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1. me sirven en la vida práctica

3. no necesito varias explicaciones2. las entiendo con facilidad

4. generalmente sí entiendo

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Gráfica 1Les gustan las matemáticas

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Diagnóstico de Matemáticas de Primaria del CIME4 escuelas, 446 alumnos. Septiembre de 1996


En cambio, la utilidad que le ven a la matemática para la vida práctica se mantuvo en un nivel promedio del 85% en los cuatro grados. De manera sorpresiva, los resultados a la pregunta sobre la facilidad de compren-sión se mantuvieron con poca variación en los cuatro grados (promedio del 45%), igualmente sucedió cuan-do se les preguntó si necesitaban varias explicaciones, el nivel de los que lo negaron se mantuvo constante (promedio de 40%). Por el contrario, quienes aseguran tener un buen nivel de comprensión (“generalmente sí entiendo las matemáticas”) aumentaron del 46% en 3º al 62% en 6º año de primaria (gráfica 7).

2 Es conveniente hacer notar que el español recibe una variación muy parecida de 3º a 6º, mientras que las ciencias naturales y so-ciales tienen una tendencia opuesta, van de menor a mayor gusto conforme aumenta el nivel de escolaridad en primaria.


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Estos resultados pueden parecer contradicto-rios con respecto a los de las gráficas 3 y 4. Una posible explicación es la siguiente: en la gráfica 3 aparecen los resultados a sus apreciaciones sobre las matemáticas: me gustan, son interesantes, son divertidas, son fáciles; en la gráfica 4 se les pregunta sobre sus sentimientos hacia las matemáticas: me siento seguro, con confianza, con deseos de participar. En cambio en la gráfica 7 las respuestas se refieren a sus capacidades personales sobre las matemáticas: las entiendo con facilidad, no necesito varias explicaciones, generalmente sí entien-do. En 6º año de primaria, 5 de cada 10 alumnos di-jeron que las matemáticas están entre las materias que menos les gustan, sólo 3 de cada 10 señalaron que sí les gustan; pero 6 de cada 10 dicen que sí las entienden generalmente.Estos resultados nos permiten suponer que la “dificul-tad de las matemáticas” se acerca más a un mito social que a una realidad. Esta aversión es más producto de apreciaciones y sentimientos, que de falta de capaci-dad.

Por qué esa aversión a las matemáticas

La enseñanza de las matemáticas ha producido una gran inseguridad en todos aquellos que no ven las relaciones y procesos numéricos tan “evidentes”. En los estudios que se han realizado sobre la lateralidad de los hemisferios cerebrales han descubierto que hay un 15% de personas con gran facilidad para la abstrac-ción lineal (que es la forma que se utiliza en los méto-dos tradicionales para aprender fórmulas y algoritmos matemáticos), mientras que en el 85% restante va dis-minuyendo dicha habilidad, hasta llegar al 15% que está en el otro extremo, para quienes se les dificulta casi totalmente, pero en cambio tienen mayor percep-ción concreta y espacial. Por tanto, muy pocos tienen

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Gráfica 5Las matemáticas...

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tienen que ver con ellas

Gráfica 6Mis maestros de matemáticas han sido...

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Gráfica 7Las matemáticas...


facilidad para aprender matemáticas de manera abstracta. Si bien es cierto que las matemáticas utili-zan un lenguaje abstracto, los conceptos básicos se apoyan totalmente en lo concreto, parten de lo real. Su dificultad deriva de una enseñanza desvinculada de la realidad, sin base en lo concreto. En muchos casos reducimos la matemática a procedimientos y fórmulas que deben ser aprendidas aun cuando no se comprendan. La mayoría de los alumnos no le encuentra “lógica a la matemática”, se van quedando con muchas “lagunas de conocimientos”, que les im-piden seguir la secuencia y el incremento gradual en la dificultad que requiere esta disciplina.

Los maestros se encuentran presionados para terminar de ver el programa cada año, a pesar de que los niños no aprenden verdaderamente muchos aspectos nuevos. Memorizan las cosas e intentan aplicarlas sin entenderlas, presionados por los exámenes, que se consideran como la etapa fi-nal del conocimiento, lo que contribuye a hacerlas incomprensibles y odiosas. Es común que en los grados superiores los maestros se quejen de todo lo que los alumnos no aprendieron en los cursos bási-cos. Muchos maestros, sobre todo en primaria, transmiten a sus alumnos esta aversión por las matemáticas ya que a ellos también les parecen aburridas y complicadas. Esto es lógico porque en algunos casos tampoco fueron comprendidas por ellos o les ha costado mucho trabajo entenderlas para tratar de explicarlas a sus alumnos. Este sen-timiento de inseguridad, y sobre todo la sensación, aparentemente no manifiesta de que “no servimos para las matemáticas”, son percibidas por los niños.

El aprendizaje de las matemáticas más parece una carrera de obstáculos, en donde se tienen que estar descifrando los acertijos que inconscientemente hemos elaborado. Los niños no tienen seguridad en lo que “aprenden” porque no hay una secuencia, un orden lógico en las difi-cultades, un incremento gradual en la compleji-dad de los conceptos y, sobre todo porque no les despierta el interés o no les representa utilidad. Además, les damos los conocimientos “digeridos”, de acuerdo a lo que cada maestro considera que deben saber; conocimientos que, por otro lado, le

garantizan al maestro resultados aceptables en los exámenes. Lo anterior contradice sensiblemente a Pia-get, quien nos dice que todo conocimiento que en-tregamos digerido al alumno, evitamos que él mis-mo lo asimile y se apropie de él verdaderamente.Al darles a los alumnos las cosas totalmente elabora-das, no permitimos que se salgan del orden preesta-blecido, ni que cuestionen lo que el maestro dice, o la forma de llegar al resultado. En muchas escuelas no se permite manifestar inconformidades, ni bus-car formas diferentes de hacer las cosas.La inseguridad que generan las matemáticas se pone de manifiesto en los exámenes: la mayoría de los alumnos, aún los que estudiaron a conciencia, es-tán en la incertidumbre sobre sus resultados, porque carecen de certeza en lo que hicieron; esperan la ca-lificación del maestro para certificar sus respuestas.

No estamos formando niños seguros, cuando la seguridad es una de las características fundamen-tales de una buena educación, base de la autoesti-ma, de la formación de criterios y del valor civil.La dificultad de abstracción, la desvinculación de lo concreto, la presión por terminar los programas sin comprender los temas, la inseguridad de muchos maestros, la falta de secuencia y la incertidumbre de los alumnos sobre lo que han estudiado, son elementos que en conjunto o particularmente, pro-vocan una gran falta de interés y rechazo hacia la clase de matemáticas.

La matemática constructiva

En varias escuelas primarias hemos estado aplicando un nuevo método para el aprendizaje de las matemáticas, basado en nuestra experiencia como maestros y fundamentado en los estudios de Piaget, Vygotsky y en la teoría Gestalt. Lo hemos lla-mado “matemática constructiva” porque favorece el que sean los mismos niños y niñas quienes vayan construyendo y descubriendo las nociones matemáticas.

El alumno es visto como un constructor acti-vo de su propio conocimiento. La labor del maestro consiste en ponerlo en circunstancias para que descubra la naturaleza lógico-matemática de los conocimientos. Se pretende que el alumno logre


un aprendizaje verdaderamente significativo, des-pierte su creatividad para seguir avanzando, permita generalizar los conceptos a otras situaciones mediante analogías y, sobre todo, dé certeza a lo que aprende, lo que redundará en su autoconfianza y seguridad per-sonal. Esta matemática se apoya totalmente en la geometría, como el primer acercamiento de la realidad concreta hacia el lenguaje abstracto. Ya en la Grecia clásica el primer paso que debían dar todos los que entraban a la carrera del conocimiento consistía en aprender las nociones de geometría. Retoma-mos el pensamiento de Platón en el sentido de que la geometría es la base de la lógica y hemos comprobado que por este medio los niños se apropian de la lógica matemática sin sentirlo.

Nuestro método se basa en el uso de materia-les muy sencillos en su forma y manejo, que llevan al niño de lo concreto a lo abstracto. El niño se familiariza con los materiales, los llega a dominar de tal manera que su creatividad se ve estimulada. No es raro encon-trar niños que se adelantan, descubren por sí mismos temas que no han visto en clase: Una maestra de 1er año nos comentó: “He tenido muy buenos resultados. Un día los alumnos solitos empezaron a manejar hasta de-cenas. ¡Los niños gritaban de la emoción!”. Otra maestra nos dijo: “Los niños descubrieron solos las equivalencias de peso”.

A través de la interacción social con sus maestros y sus compañeros, el niño reconstruye los conocimien-tos, los interioriza y se hace capaz de hacer uso de ellos de manera autorregulada. El maestro promueve zo-nas de desarrollo próximo3 , en donde el aprendiza-je se da en situaciones esencialmente interactivas.Una característica fundamental de este enfoque consiste en que sean los niños y niñas quienes va-yan construyendo sus propios conceptos, descu-briendo la lógica matemática por sí mismos, mediante un proceso heurístico4 de búsqueda y encuentro.

Este tipo de aprendizaje involucra a la persona total del alumno, desde el desarrollo de la motricidad

3 Término utilizado por Vygotsky para explicar el paso de un nivel de desarrollo real (actual) del niño, a otro nivel de desarrollo po-tencial.

4 Método de enseñanza que intenta hacer que el alumno descu-bra lo que se desea que aprenda.

fina y el sentido de observación -con base en el manejo del geoplano y las regletas, donde sus dos hemisferios cerebrales trabajan en el análisis de fondo y forma de las figuras que construye-, hasta el desarrollo de las habilidades mentales, la certeza y apropiación de los conocimientos, lo que contribuye a un desarrollo indi-vidual y diferenciado, y a la educación de los procesos afectivos y emocionales.

Interés y Motivación

Hemos encontrado que la matemática con-structiva despierta el interés de los alumnos por continuar aprendiendo. Las matemáticas así apren-didas representan un reto progresivo y al alcance de los niños, conforme van descubriendo los conceptos y desarrollando las habilidades del pensamiento lógico, por sí mismos buscan una nueva dificultad que pon-ga a prueba sus capacidades y les permita aprender algo más. Se despierta su interés por haber obteni-do un logro personal (su propio descubrimiento), por lo gratificante que resulta haber encontrado su propio camino, por el sentimiento de autonomía al haberlo hecho ellos mismos. Su motivación y su recompensa son intrínsecas.

¿Qué sucede cuando las matemáticas no sólo empiezan a ser comprendidas por niños y niñas, sino que se transforman en algo claro y además, divertido?

Estas matemáticas, “aprendidas por los alumnos”, no “enseñadas por los maestros”, se convierten en una poderosa automotivación, porque les permite explorar en los conceptos, los invita a formular hipótesis y ponerlas a prueba hasta llegar a los límites de sus supuestos, porque ellos mismos buscan nuevas difi-cultades para probar su capacidad y para continuar avanzando, porque pueden ir descubriendo los cono-cimientos a su ritmo y de acuerdo a sus necesidades.

Si tomamos como analogía el desarrollo motriz de los bebés podemos ver que para aprender a gatear, el bebé va descubriendo la posibilidad de empezar a trasladarse por sí mismo mediante el movimiento de sus brazos y piernas. En sentido estricto, nadie le ense-ña, él solo lo aprende, porque se convierte en un reto que es posible superar. Una vez que ya sabe gatear, empieza a darse cuenta que si se detiene de las cosas puede empezar a levantarse. Una vez que lo


logra, basta ver su cara de emoción y entusiasmo para entender la satisfacción que esto le produce.

Después descubre que puede soltarse y empe-zar a dar pasos, va adquiriendo la estructura y la mo-tivación para afrontar ese nuevo desafío y lo repite innumerables veces, a pesar de las caídas, hasta que empieza a caminar con seguridad. Lo fundamental es darle la libertad para facilitarle el movimiento; si se mantiene al bebé envuelto como “taco” o amarrado en una silla, tardará mucho más en lograrlo. Los estímulos externos son muy importantes, pero la mayor moti-vación nace del reto que cada niño descubre ante una nueva dificultad, que al superarla refuerza la seguridad en sí mismo y el autorreconocimiento de sus capaci-dades.

De manera similar, las matemáticas pueden ser aprendidas por los niños y niñas, de acuerdo a su ma-durez y desarrollo, cuando se les pone en el ambiente propicio para que ellos mismos vayan descubriendo su lógica interna. Una niñita comentó: “el año pasado no entendía nada, ahora entiendo todo”.

Estructura y secuencia

Cuando descubrimos una estructura concep-tual en los conocimientos, fácilmente aprendemos; por ejemplo, para guiarnos en las estaciones del Metro, en los aeropuertos o en algunas ciudades y carreteras de países desarrollados, aun donde se hablan diferen-tes idiomas, es bastante sencillo hacerlo, porque los señalamientos tienen una estructura, siguen una se-cuencia y están colocados en lugares similares y a una misma altura.

Cuando un alumno descubre que existe una estructura en lo que está viendo, cuando encuentra una secuencia, una asociación, un por qué de las cosas, cuando descu-bre la lógica de los conceptos, él mismo llega a esta-blecer analogías e inferencias, entonces se eliminan las lagunas y la comprensión fluye con toda facilidad.

Nuestro modelo matemático tiene una estructura que permite un aprendizaje de modo secuencial y gradual, los nuevos conocimientos se apoyan en los anteriores, una vez que éstos ya son dominados por los alumnos. La teoría piagetana dice que es posible que los niños aprendan muchos conocimientos nuevos cuando ven una pauta de relaciones, una estructura. Si van subien-

do una escalera en escalones de 10 cm, podrán llegar hasta arriba, pero si les ponemos uno de 50 cm, será muy difícil para la mayoría.

Entre las habilidades que directamente fa-vorece la matemática constructiva están: la memoria generalizada, la reversibilidad del pensamiento, las ca-pacidades de ordenamiento, selección y toma de de-cisiones, la habilidad para hacer inferencias. Algunos comentarios de las maestras que están aplicando este método nos ilustran al respecto: “Me ha gustado mucho el manejo de sumas y restas simultáneas”. “Les está dando a los niños mucha mayor facilidad para el manejo de las mecanizaciones”. “En años anteriores les costaba trabajo resolver operaciones, ahora ya no, las resuelven con facili-dad”.

Aprendizaje innovador

La matemática constructiva permite a los ni-ños descubrir diversas maneras de llegar a los resul-tados. Las fórmulas y los algoritmos se convierten en lo que son: medios para llegar a un fin. Dejan de ser algo absoluto y obligatorio, que se deben apren-der aunque no lo comprendan. Los alumnos descu-bren los resultados mediante la invención de nuevos caminos, no necesariamente los del maestro, ni los del libro, sino caminos propios, comprensibles para ellos. La seguridad y creatividad de estos niños, permite que logren cosas extraordinarias. Varios niños de 3º de pri-maria llegaron a sus casas diciendo que ya sabían raíz cuadrada y cúbica. Sus papás les dijeron que eso no podía ser cierto, ya que esos conceptos se ven hasta 6º año. Cuál sería su sorpresa cuando sus hijos les de-mostraron cómo entendieron esas nociones.

Con la matemática constructiva hemos descu-bierto que los niños y niñas adquieren seguridad en lo que hacen, sin esperar a que sea el maestro quien san-cione el resultado con una paloma o una calificación. Los errores se convierten en oportunidades de revisar y corregir, en un proceso de búsqueda y descubrimien-to, en vez de que el error sea fuente de una sanción. El tipo de aprendizaje que requerimos en la actualidad no es únicamente el de repetición y conservación, sino un aprendizaje activo que nos permita ir encontrando respuestas a las nuevas situaciones que se nos presen-tan; un aprendizaje previsor, ya que no basta con ver hacia el pasado. Es de suma importancia para nosotros el que sean todos los estudiantes los que se involucren


en un avance significativo, un aprendizaje participa-tivo en el que sean ellos el eje y centro de su propio aprendizaje, de acuerdo a sus necesidades y avances, al mismo tiempo que se les permite compartir sus descu-brimientos, discutirlos con sus compañeros y aprender de ellos.

No es tan dificil aprender matemáticas

Ahora bien, ustedes preguntarán: ¿cuál es el pa-pel del maestro?, ¿qué sucede con el control del grupo y las distracciones de los alumnos?Los maestros y maestras que están llevando a cabo este sistema de la matemática constructiva nos comentan que en clase se da un ambiente de interés y de trabajo, con menor intervención del profesor. Las distracciones disminuyen notablemente, porque los alumnos están atentos a lo que hacen, avanzan a su ritmo, si algo se les atora, ellos son los primeros en buscar cómo salir de la dificultad, como un reto personal o con la ayuda de sus compañeros y profesores.

“ El papel del maestro(a) es más creativo, su relación con los alumnos se hace más amigable.”

Algunos comentarios de las maestras que están siguiendo este método: “Estoy fascinada, porque an-tes al enseñar la división se fastidiaban, ahora la hacen muy contentos”. “Entendieron perfectamente lo de los ángulos”. “Los niños trabajan fabulosamente, yo creo que tienen menos limitantes que uno, nosotros somos más complicados”.

En algunas escuelas donde se ha cambiado la forma de motivar y de aprender las matemáticas, se ha tenido una notable disminución en la flojera; los pa-dres de familia han informado que sus hijos muestran interés en un grado sin precedente en los asuntos de la escuela.

El papel del maestro es más creativo, su re-lación con los alumnos se hace más amigable; en vez del maestro que sabe todo, es el maestro que aprende junto con ellos. Su función ya no es la de impartir clase, sino la de crear ambientes para el aprendizaje, poner a los estudiantes en situación de que vayan constru-yendo sus propios conocimientos y los compartan con sus compañeros. Corresponde a los maestros propor-cionar los nombres y símbolos establecidos conven-cionalmente, mediante un lenguaje claro y preciso.

La comprensión de las matemáticas contribuye, además del dominio de las mecanizaciones, fórmulas y demás relaciones matemáticas, a la solución de pro-blemas que es el objetivo final de la matemática ac tual. El papá de un niño de primer año nos hizo este comentario: “Llevé a mi niño al super. Al llegar a pagar a la caja, me dijo que iba a necesitar 2 billetes de 100 pesos. Me quedé sorprendido cuando la cuenta fue de ciento no-venta y tantos pesos. Le pregunté cómo lo había hecho: fue redondeando los precios de los productos, los fue con-juntando para formar decenas y los sumó mentalmente”.

Esta anécdota refleja los resultados de este mé-todo: el niño adquirió el dominio de las mecanizacio-nes para aplicarlas a situaciones de la vida real, pero más que eso está desarrollando las habilidades del pensamiento, como son el redondeo, la aproximación y el cálculo mental. Más todavía, tuvo certeza en su es-timación y lo hizo con gusto, como un juego, todo lo cual contribuye de manera decisiva a la adquisición de seguridad y confianza en sí mismo.

En esta propuesta matemática, el conocimiento signifi-cativo se desarrolla cuando el alumno utiliza la infor-mación, se involucra en ella, la relaciona con los pro-blemas de su medio ambiente y la recrea en su mente hasta que logra apropiarse del conocimiento en forma personal, única y significativa.


Juego con regletas

1. Agrupamiento Se juega entre 5 alumnos, 4 que tiran el dado más uno que hace la función de banco, con una bolsa de regletas.La única instrucción que se les da a los niños es: por cada punto que saquen al tirar el dado, se les dará una regleta blanca.Cada niño tira el dado y el banco le reparte las regletas correspondientes, de acuerdo a los puntos que saque.Ganará el que saque más puntos.Es conveniente dejar a los niños que ellos solos des-cubran la posibilidad de entregar regletas con el valor de los dados, o de recibir regletas más grandes y “dar cambio”. (Resta) Con los grupos superiores se pueden manejar dos dados para obtener valores mayores.

2. Desagrupamiento Se reparten las regletas de una bolsa entre 4 ni-ños, de manera que todos tengan el mismo número de relgetas.Cada vez que tiran el dado, entregan al banco la canti-dad de regletas equivalente a los puntos que sacan.Gana el primero que se quede sin regletas.

3. Equivalencias Se juega igual que el agrupamiento, sólo se les pide adicionalmente que junten el mayor número po-sible de combinaciones equivalentes a un número, por ejemplo el 7. Los alumnos tendran que ir cambiado y acomodando las regletas a través de sumas y restas (trenes) para formar el tablero del 7. Gana el que logre un mayor número de equivalencias. Se puede hacer para cualquier valor de las regletas, así como para va-lores mayores de 10.

Comentarios de las maestras que están aplicando el método de Matemáticas Constructivas.

•Les pedí a los alumnos que encontraran con las regletas las diversas equivalencias para formar el tren del 6; encontraron 20 combinaciones diferentes. -Profra. Claudia Meza, Héroes de la Libertad, 3º Prim.

El banco Juegos propuestos por la Profra. Loeina Reyesdel Instituto “Héroes de la Libertad”, de la Ciudad de México.

•Les estaba yo explicando la simbología de la potencia al cuadrado con las regletas.Uno de mis alumnos preguntó qué pasaba si in-vertíamos las regletas. Yo les pedí que ellos mismos lo hicieran, de esta manera descubrieron que que-daba 2 a la décima potencia. Todos fueron multiplican-do juntos hasta encontrar el resultado. -Profra. Patricia de la Torre, Héroes de la Libertad, 4º prim.

•Con este método puedo dar la clase de matemáticas a la última hora, los alumnos están tran-quilos y de todas maneras les gusta. Con los métodos tradicionales siempre buscamos que esta clase sea a las primeras horas. -Profra. Mónica Fortanel Rojas, Inst. Don Bosco, 2º prim.

•Cuando las niñas entienden la descomposición de las regletas, ya quieren hacerlo solas; se sienten con-tentas porque ya pueden hacer solas las cosas. -Yaocalli, 5º prim.

•Los productos con regletas les encantaron, du-raban horas haciendo productos, fue en lo que mejor salieron a fin de año-Profra. Marta, Yaocalli, 2º prim.

•Al principio les costó mucho trabajo, después se iban muy rápido, algunas niñas llegaron a no usar regletas -Yaocalli, 1º prim.

•Mis alumnos comprendieron mejor la equiva-lencia cuando comparamos el peso de las regletas en una balanza -Profra. Georgina Infante Alvarado, Héroes de la Liber-tad, 1º prim.

•Yo llevo varios años dando matemáticas en sexto año, es la primera vez que todos mis alumnos entienden claramente las operaciones con fracciones. Se están acostumbrando a pensar, antes siempre había algunos que preguntaban qué quería decir el enun-ciado de los problemas, ahora ninguno me preguntó, algunos tadavía no los entienden, pero todos están ha-ciendo el esfuerzo por lograrlo. -Profra. Etelvina Ceniceros, Héroes de la Libertad, 6º prim.


MATEMÁTICAS. En el mes de octubre se nos invitó al XIV Con-greso Nacional de Enseñanza de las Matemáticas los dias 23 al 25. Tuvimos una gran satisfacción que el taller que presentamos “La matemática constructiva en la enseñanza primaria y secundaria” tuviera una ex-celente asistencia (200 personas aproximadamente) y sobre todo una repercusión muy importante en el congreso al que asistieron 1,200 maestros de toda la República.Fué un gran motivo de orgullo el informar en dicho taller que más de 65 colegios en la República están tra-bajando con nuestra propuesta matemática y que son más 15,000 niños los que todos los días disfrutan de una matemática, clara, precisa y para toda la vida.

GEOMETRÍA. De igual manera en el mes de noviembre se nos invitó al Congreso Nacional de Enseñanza de la Geometría que se llevó a cabo en la ciudad de Tampico. Este Congreso de menor asistencia que el de matemáti-cas, es convocado por el CINVESTAV del Politécnico Nacional, que es el Centro de Investigación y Docencia más importante del País en el área de las matemáticas. Esta Instancia docente y de Investigación es la asesor de la SEP a nivel Nacional.Tuvimos oportundad de comprobar nuestros avances en el campo de la Investigación y nos congratulamos con ustedes al comunicarles que somos el Centro de Investigación que tiene la propuesta más avanzada, concreta y con logros más tangible, en los niveles de Preprimaria, Primaria y Secundaria

Congresos

Asesorías

TangramAplicaciones para 6° año

El rompecabezas TANGRAM ya debe ser algo fami-liar para los alumnos.Siendo muchas las aplicaciones matemático-geo-métricas que tiene el TANGRAM, le sugerimos hacer lo siguiente:Haga que sus alumnos dibujen un TANGRAM de 10 cm de lado (cuadrado) y que dibujen para luego re-cortar las 7 piezas.

Los trazos deben estar muy bien hechos. Luego pidan que enumeren las piezas de acuerdo al modelo que aquí se presenta.Las figuras que se van a nombrar corresponden a las que tienen al final de su libro.

1. Cuadrado2. Trapecio3.Triángulo 4. Hexágono

Ejercicios:1. Encontrar el área de cada figura distinta.2. Medir los ángulos internos de cada figura y reco-nocer sus nombres y características.3. Tomando en cuenta las 7 figuras: (Usar los números de las figuras).

5

2

1

4

3 7

6 5 cm

5 cm

10 cm

Correo Pedagógico No. 3�0

a) ¿Cuáles son iguales?b) ¿Cuáles son semejantes?c) ¿Cuáles son equivalentes?

4. Cómo son entre sí el cuadrado, el trapecio, el triágulo y el hexágono? (Figuras. 1,2,3,4,)

¡No pierda la brújula!

N

N

N

N

N

R

Primer añoJuego: Debe haber sido y seguir siendo el eje constructivo. Terminó la etapa de familiarización (¿Cubrió los objetivos? Vea la guía de capacitación).Debe estar sumando y restando simultáneamente con regletas y con números.

Jugando a los trenesa)Deben utilizar sus niños las regletas naranjas para números mayores de 10.Se pueden construir como trenes o como mosaicos.Ejemplo de mosaico: Número 54

En enero usted debe estar aquí:

Trabaje con todo el grupo simultáneamente.Haga sumas y restas de la misma manera.

Segundo añoLa suma y la resta debe estar muy bien aprendidas, de-mostradas hasta el 1000.Ya deben estar preparados los productos.Ejemplo: 6 = 2 veces 3, etc. No use “por” use “veces”.Recuerde hacer las láminas de los productos (37) 30 x 30cm.Si duda de algo, consulte en los videos.Estudie con sus alumnos 1 producto diario o uno cada 2 días.Diseñe pequeñas operaciónes con los productos que vaya viendo.Refuércelos con las acciones de colorearlos, re-

cortarlos... coleccionarlos, llevarlos a su casa y verlos con atención antes de acostarse.

Primero y segundoRecuerde que en los ejercicios de descomposición de regletas debe iniciar con todo el grupo. Usted hágalo junto con sus alumnos. Poco a poco ellos se irán desprendiendo de usted y los harán so-los.

Geometría: Use el tangram

Tercer año¿Ha usado su complemento aritmético para ejercitar los productos después de cada unidad? Esto es básico para que usted obtenga los resultados que se pretenden.Si usted ha visto con alta eficiencia las 2/5 del libro, ¡va muy bien!Estimule a los alumnos a realizar 1 disfraz cada día. (“¡Todos los días un disfraz!”)

Cuarto añoUse el complemento aritmético para reforzar los pro-ductos y en general todos los algoritmos.Libro visto y trabajado : 2/5 del libro.Si todavia hay niños que fallan en algún producto, es-túdielos prioritariamente antes de seguir adelante. Pídales todos los días un disfraz.

Quinto y sexto¡Problemas!Dominada la multiplicación, la división y las fracciones, pida todos los días un problema que los alumnos in-venten en su casa sobre los contenidos vistos.¡Todos los días un drisfraz!

Correo Pedagógico No. 3 ��

A partir de 3er. año es necesario el uso de los cuader-nos de registro.El trabajo en los cuadernos de registros representa el nivel de apropiación de la matemática en la mente de los niños, es su matemática, la que perdurará toda la vida.Para usted representa un reto a su creatividad, para su-gerir ejercicios y situaciones geométricás y matemáti-cas para que lo usen (observe su libro para recrear situ-aciones similares pero con creatividad personal por parte de los alumnos.)

Cuadernos de registros

Otro ejemplo: 50 x 32 + 1 x 2 ÷2 =

Felicidades a las escuelas que le han dado la impor-tancia debida a los disfraces ¡ya están viendo los resul-tados!Recuerde: Haga que sus alumnos escriban “mitades”, “terceras partes”, “cuartas partes.”Ejemplo: Que encuentren y escriban 5 mitades como estas: “La mitad de ...”

Disfraces

12

1 de V = v

12

2 de V(N) = v(N)

12

3 de N2 = a(N)

Es importante que ellos “sientan” que al multiplicar por 2 y dividir después entre 2, los 2 procesos “se nulifican”. Razón por la cual se simplifican.

En vez de hacer la división así, puede hacerla de otra forma:

50 x 32 + 1 x 2

2=

Observe otra forma de disfrazar un número: Si 52 = 25 y 252 = 625 entonces:

Sugiera usted formas de disfraces: proporcione a sus alumnos ideas para lo cual usted hágalos primero. ¡Diviértase!

625 = 5 16 = 2 etc.

Juego del Timbiriche con regletas

Puede jugarse con 2 jugadores.

Instrucciones. 1. Se debe delinear con regletas los bordes de un área determinada.2. Cada jugador va “llenando” con una regleta cada vez el área (sin importar la regleta).3. Al final gana el que ponga la última regleta que llene el área.4. El área podrá llenarse poniendo regletas horizontales o verticales.Puede jugarse desde primer año

Objetivos:1. Reforzar la “vivencia” del tamaño y valor de la regletas.2. Entender perfectamente el concepto de “llenar un área mayor” con regletas que cubren “áreas más pequeñas”.

Correo Pedagógico No. 3��

Sobre el constructivismo

Consideramos que estos comentarios le serán de gran utilidad a la mitad del curso.En este momento usted tiene una idea adecuada del proceso que está llevando.

MANIPULACIÓNEl proceso constructivista parte de la manipulación de materiales, que provocan en la mente del alumno, la necesidad del análisis que le produzca una idea clara y precisa del concepto matemético.

VERBALIZACIÓN

La idea clara y precisa en la men-te del alumno hará que pueda expresarla e intercambiarla con sus compañeros.Ej. La mitad de la regleta naranja.La mitad de base por altura.

NOTACIÓN

La notación de los procesos analizados y socializados será un proceso natural que implica ne-cesariamente la certeza.

Ejes constructivistas

Estos elementos son herramientas que deben ser uti-lizadas contínuamente. Su trabajo es amalgamar y dar sentido a los ejes constructivistas, en cada uno de ellos y relacionarlos entre sí.Estos elementos son:

a) La Reversabilidad.

b) Igualdad, Semejanza, Equivalencia (Geoplano y Regletas)

c) Disfraces.

d) Problemas. (Realidad Socioeconómica)

Estructura del pensamiento constructivista.

a)

b)

c)

Elementos integradores de estos ejes

Ejes constructivistas

Consideramos que estos comentarios le serán de gran utilidad a la mitad del curso.En este momento usted tiene una idea adecuada del proceso que está llevando.

1

2

3

a. Geometría del rectángulo. b. Geometría del triángulo.c. problemas. d. Volúmenes.

Suma, resta (diferencia), multiplicación (37 pro-ductos, Potencias, Raíces) división, notación de-sarrollada.

Regletas. Pre-álgebra y descomposiciones. a. Conceptos operativos. Aproximaciones. Globaliza-ciones.b. En segundo término los algoritmos.

Perímetros, Áreas (1,2, y 3 dificultad). GEOPLANO.

Ordene su clase de matemáticas de acuerdo a estos ejes constructivistas.

En esta segunda parte del año, tanto usted como sus alumnos se han familiarizado con la “Matemáti-ca Constructiva”.Si usted desea ver resultados más sobresalientes y una mejor apropiación de la matemática por parte de sus alumnos, desarrolle sus temas matemáticos siguiendo los “ejes constructivos” que se proponen.

1. Ello implicará que vea su libro en forma “salteada”.

2. Podrá manejar “simultáneamente” varios ejes. Ejemplo si usted está viendo áreas (2) necesitará ver números racionales (3).

3. Usted podrá comprobar que sus procesos serán mas profundos, más rápidos y sobre todo más motivado-res.

Números racionales. geoplano y regletas. (Quebrados).

4 Geometría del círculo. geoplano.

Correo Pedagógico No. 3 ��

Profr. Francisco J. Gutiérrez E.

Lo nuevo en el CIME

Curso de ortografía didacta

LA ORTOGRAFÍA (buena escritura).

La mala ortografía es sin duda uno de los prob-lemas que más afectan a los procesos de enseñanza-aprendizaje y a la sociedad hoy en día. Sin embargo, es notorio observar que en general no estamos muy convencidos de la eficacia de las reglas de ortografía. Quizás esto se deba a que nosotros mismos no las usamos o no las recordamos cuando tenemos alguna duda ortográfica. Sin embargo esto es normal si nuestra constitución cerebral es más espacial que lineal, como sucede en la mayoría de nuestra raza. Las personas más lineales estarán más convencidas de las reglas, las recordarán y usarán más frecuentemente que las más espaciales. Estas últimas usan general-mente “ la memoria”, escribiendo de diversas maneras la pa-labra en cuestión y “recordando” la correcta. Sin embargo esto sólo es posible si tenemos en la memo-ria la palabra adecuada. De aquí la importancia de la lectura como forma de “archivar palabras bien escritas.” Esto no sustituye de ninguna manera el corroborar al-guna duda con el diccionario.

El maestro (a) Sabemos perfectamente el papel del MAESTRO (a) en el proceso de enseñanza- aprendizaje. Su entu-siasmo y motivación siempre serán más del 50%. El resto lo podrá hacer cualquier método o proceso ped-agógico. Su estímulo siempre será la piedra de toque que optimice los resultados de los alumnos.

El cerebro El cerebro fija la estructura eléctrica de un con-ocimiento en base a la asociación, a la secuencia y a la frecuencia en un tiempo determinado que se repita dicha estructura.El cerebro del ser humano aprende en función de relaciones. Son las relaciones las que generalmente le dan sentido al aprendizaje de los conceptos. Esto de-termina el principio más confiable de la apropiación del conocimiento para toda la vida.Lo anterior constituye el problema medular de los fra-casos escolares basados exclusivamente en exámenes como base de estímulos para el aprendizaje.

De la 1 a la 3 un campo semántico.De la 4 a la 6 un campo semántico.De la 7 a la 10 un campo semántico, etc..

Nuestra propuesta Nuestra propuesta ha mostrado un muy satis-factorio nivel de eficacia en muchos niños mexicanos .

Nuestra propuesta consiste en la presentación de 300 campos semánticos (1,000 palabras) que constituyen en sí mismos, núcleos de información.Cada 10 palabras está organizada en tres campos semánticos:

Materiales La presentación de las palabras podrá hacerse en acetatos, rotafolios o en diapositivas. El CIME ofrece a cada Colegio los originales para hacer los acetatos, o los rotafolios. De igual manera ofrece una colección de 300 diapositivas. (Con costo $ 500.ºº). Se requiere ca-pacitación.A Los alumnos se les entrega la colección de 1000 pal-abras impresas. Costo por cada alumno $ 20.00 (Se sugiere a partir de 3º de primaria).

Tiempo Este curso dura 20 sesiones de 35 minutos cada una.

¡Si le interesa póngase en contacto con nosotros! (0133) 3618 - 1378

Correo Pedagógico No. 3��

Manual de 650 problemas

Para 5º - 6º y 1º de Secundaria.Este manual ha sido actualizado y estará a su dis-posición para fines de enero. Su costo $23.00.

Objetivo

En la etapa terminal que significa el 6º año, el alumno, en principio deberá ser capaz de resolv-er cualquier tipo de problema de la Aritmética, y de la Geometría de su nivel. Como la realidad es que la resolución de problemas en el tema más débil de la matemática, el CIME propone este manual con 650 problemas de todos los tópicos de la aritmética. Los problemas van aumentando su dificultad poco a poco, de tal manera que no se hace necesario explicarlos a los alumnos. Por otro lado se podrán utilizar para reforzar los problemas que propone el libro de texto. (5º año). A partir de 6º y 1º de Secundaria se pretende que los alumnos los resuelvan TODOS, para lo cual se deberán dejar 10 problemas diarios y en 65 días se podrán re-solver.Tiene espacios después de cada problema, para hacer las operaciones que se requieran.Muchos problemas con una indicación especial, po-drán ser resueltos utilizando la REVERSIBILIDAD.Hemos comprobado que después de resolver los 650 problemas cualquier estudiante de cualquier escuela, ¡Sabe resolver problemas!

Nos es muy gratificante informarles que gracias a la tenacidad de la Srita. Martha Alfaro y a la generosi-dad de la directora Mtra. Martha Vizcaino del Institu-to Taneske de Guadalajara, ya está nuestro proyecto de matemáticas trabajando en 4 lugares de la Sierra Tarahumara.

¡ Nuestro reconocimiento a ambas, y a las maestras que están trabajando en la Sierra!

DisfracesColegio Madrid de Guadalajara, 6° año, grupo B.

Alejandro Luna Pineda

Hilda Carrillo Melendrez

Ana Jaqueline Rosales V.

Jannete Carolina Hernández P.

Ernesto Sánchez F.

Ya estamos en la Tarahumara

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