CinemticadosCorposRigidos

Prof.Eng.AndrSoaresDisciplina:ResistnciadosMateriaisII

CinemticadosCorposRgidos Definies:O que corpo rgido?Um corpo rgido definido como um conjunto finito, de Npartculas de massas mi e posies ri (i=1,N), tal que a distnciaentre duas partculas i e j, |rirj|, constante no tempo. Em outraspalavras, um corpo rgido uma "nuvem" de partculas cujadistncia entre elas no muda no tempo. (Wikipdia).

A massa total do corpo rgido, M, o somatrio das massas daspartculas, N

iimM

CinemticadosCorposRgidos Definies:O que corpo rgido? um conjunto de partculas agrupadas de forma que a distnciaentre as partes que constituem o corpo ou o sistema no soframmudanas, ou seja, essas partculas no se alteram para umreferencial fixado no prprio corpo.

O corpo rgido executa os movimentos de rotao, translao ouos dois de forma combinada.

CinemticadosCorposRgidos Objetivo:

Estabelecer as relaes entre o tempo, as posies, asvelocidades e as aceleraes dos vrios pontos materiais queformam um corpo rgido;

Mostrar os tipos de movimentos de um corpo rgido.

CinemticadosCorposRgidos Tipos de Movimentos:

Translao;

Rotao (em torno de um eixo fixo);

Movimento Plano Geral (combinado);

CinemticadosCorposRgidos Translao:Dizse que um movimento de translao quando qualquer retaunindo dois pontos quaisquer do corpo conserva a mesma direodurante o movimento.

CinemticadosCorposRgidos Translao:No movimento de translao todos os pontos materiais queformam o corpo deslocamse segundo trajetrias paralelas.

TranslaoRetilnea TranslaoCurvilnea

A1

B1

A2

B2A1

B1

A2

B2

CinemticadosCorposRgidos Translao:Diferena?

Translaoretilneavs.TranslaoCurvilnea

CinemticadosCorposRgidos

Onde: rA erB soosvetoresde

posiodeAeBemrelaoaumsistemaderefernciafixo;

rAB VetorqueuneAeB.

y

x

z

rA

rABrB

o

A

BABAB rrr

CinemticadosCorposRgidosDerivando a equaoanterior em relao atempo (t), temos:

y

x

z

o

A

B v

v ABABrrr

Constante

0 AB vvAB vv

CinemticadosCorposRgidosDerivando novamente emrelao ao tempo, temos:

AB vv

z

ay

xo

A

Ba

AB aa

CinemticadosCorposRgidosTodos os pontos tm, em cada instante, a mesma acelerao evelocidade.

rAB = constante

rB = rA + rAB

vB = vAaB = aA

CinemticadosCorposRgidosConcluses: Quando um corpo rgido est em movimento de translao

todos os seus pontos possuem a mesma velocidade e amesma acelerao instantneas.

Na translao curvilnea, a velocidade e acelerao variamtanto em direo como em mdulo todo instante.

Na translao retilnea, todos os pontos materiais do corpose deslocam segundo retas paralelas, e sua velocidade eacelerao conservam a mesma orientao durante todomovimento.

CinemticadosCorposRgidosRotao em torno de um eixo fixo: Ocorre quando os pontos materiais que formam o corpo

rgido se deslocam em planos paralelos ao longo decircunferncias, cujos os centros esto sobre uma mesma retafixa.

CinemticadosCorposRgidosDefinies Importantes: Deslocamento Angular a mudana da

posio angular, que pode ser medida comoum vetor infinitesimal d;

Vetor tem mdulo d medido emradianos (SI) ou revolues (rev),onde 1 rev = 2rad;

Movimento ocorre em torno de umeixo fixo, a direo de d sempreao longo do eixo;

Sentido determinado pela regrada mo direita.

CinemticadosCorposRgidosDefinies Importantes: Velocidade Angular a taxa de variao da

posio angular (w = d/dt );

Vetor desse mdulo medidousualmente em rad/s ou em rev/s;

Direo sempre a do eixo derotao;

Sentido determinado pela regrada mo direita.

CinemticadosCorposRgidosDefinies Importantes: Acelerao Angular mede a taxa temporal de

variao da velocidade angular ( = dw/dt );

Vetor desse mdulo medidousualmente em rad/s2;

Direo a mesma da velocidadeangular w;

Sentido depende se w cresce oudecresce. Se w decresce, ento denominada desacelerao angular etem sentido oposto a velocidadeangular.

CinemticadosCorposRgidosEstudo do Movimento de rotao do ponto P nocorpo rgido em torno de um eixo fixo :

Consideremos um corpo rgido que giraem torno de um eixo de referncia fixoAA.Premissas: O sistema tem seu centro em O sobre

AA e coincide com o eixo z; Seja B a projeo de P sobre AA,

como P deve permanecer a umadistncia constante de B, temse umacircunferncia de centro B e raio BP =r.sen.

CinemticadosCorposRgidosEstudo do Movimento de rotao do ponto P nocorpo rgido em torno de um eixo fixo :

Velocidadeescalar(mdulo):

O vetor v tambm pode serobtido utilizandose oproduto vetorial de w e rp.

)(senrwrwv p

prwV

CinemticadosCorposRgidosEstudo do Movimento de rotao do ponto P nocorpo rgido em torno de um eixo fixo :

Acelerao:

normal) o(acelera a

l)otangencia(acelera :

2n rw

raOnde

aaa

t

nt

CinemticadosCorposRgidosDois casos particulares de movimento derotao so freqentemente encontrados:

1. Movimento de Rotao Uniforme este caso se caracterizapor uma acelerao nula. Assim, a velocidade angular constante, e a coordenada angular dada pela expresso:

wto

CinemticadosCorposRgidosDois casos particulares de movimento derotao so frequentemente encontrados:2. Movimento de Rotao Uniformemente Variado neste caso

a acelerao angular constante. Abaixo so mostradas asequaes que relacionam velocidade angular, coordenadaangular e tempo.

atwW o

2

2atwoo aww o 222

CinemticadosCorposRgidosCinemtica dos acoplamentos:

CinemticadosCorposRgidos

Rodas acopladas a um mesmo eixo tm mesma velocidadeangular, mesmo perodo e mesma frequncia.

21 ww

2

2

1

1

rV

rV

2

1

2

1

rr

VV

CinemticadosCorposRgidos

Para rodas acopladas por correia, as velocidades lineares dospontos das rodas, em contato com a correia, tm o mesmo valor;as velocidades angulares so inversamente proporcionais aosrespectivos raios.

21 VVV 2211 rwrw

1

2

2

1

rr

ww

CinemticadosCorposRgidosExerccio 1:Os discos A e B esto no plano xy e rodam em torno de eixos perpendicularesa esse plano e que passam pelos seus centros. Sabendo que a velocidadeangular do disco B constante, B = 30 rad/s, e que no existeescorregamento no ponto de contato dos discos, determine:(a) a velocidade angular do disco A;(b) as aceleraes dos pontos dos discos que esto em contato.

CinemticadosCorposRgidosExerccio 2:Usase um motor para girar uma roda com suas ps no interior doequipamento como ilustrado na figura abaixo. Se a polia A conectada aomotor inicia o seu movimento a partir do repouso, com uma aceleraoangular A = 2 rad/s2, determine os mdulos da velocidade e da aceleraono ponto P da roda B, aps esta ter completado uma revoluo. Suponha quea correia de transmisso no escorregue na polia nem na roda.

CinemticadosCorposRgidosExerccio 3:O peso B esta ligado a uma polia dupla por um dos dois cabos inextensveismostrados na figura. O movimento da polia controlado pelo cabo C, que temuma acelerao constante de 0,229 m/s2 e uma velocidade inicial de 0,305m/s, ambas para a direita. Determine (a) o nmero de revolues executadaspela polia em 2 s, (b) a velocidade e a variao da posio do peso B depois de2 s e (c) a acelerao do ponto D na periferia da polia interna, no instanteinicial.

CinemticadosCorposRgidosExerccio 4:O bloquinho B repousa sobre a placa horizontal que gira em torno de um eixofixo. A placa parte do repouso, em t=0, e acelera razo constante de 0,5rad/s2. Sabendose que r = 200 mm, determinar o mdulo da acelerao totaldo bloco quando (a) t = 0 s, (b) t = 1 s e (c) t = 2 s.

CinemticadosCorposRgidosExerccio 5:Considere as engrenagens A e B mostradas na figura ao lado. Se A parte dorepouso e tem acelerao angular constante A = 2 rad/s2, determine o temponecessrio para B atingir uma velocidade angular WB = 50 rad/s .

CinemticadosCorposRgidosExerccio 6:A operao de r para umatransmisso automotiva detrs marchas estaesquematizada na figura aolado. Se o eixo G esta girandocom velocidade angular de 60rad/s, determine a velocidadeangular do eixo de sada H.Cada engrenagem gira emtorno de um eixo fixo. Observeque as engrenagens A e B, C eD e E e F esto engatadas. Asdemais informaes esto aolado.

CinemticadosCorposRgidosExerccio 7:Partindo do repouso quando s = 0,a polia A tem acelerao angularA = 6 rad/s2. Determine avelocidade do bloco B quando eleatinge a posio s = 6 m. A poliatem um cubo interno D que estfixo em C e gira com ela.

CinemticadosCorposRgidosExerccio 8:Um moinho usa um arranjo de polias ecorreias para transmisso de potncia.Quando t = O, um motor eltrico estgirando a polia A com velocidadeangular wa = 5 rad/s. Se a polia estsujeita a uma acelerao angular de 2rad/s2, determine a velocidadeangular da polia B aps esta terexecutado 6 revolues. O cubo em Dest rigidamente conectado polia.

Prof.AndrFelipeLeiteSoaresEngenheiroMecnico

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