Embed Size (px)
Citation preview
1
5. Conjuntos Numéricos
5.1 Símbolos Matemáticos
a, b, ... variáveis e parâmetros = Igual
A, B, ... Conjuntos ≠ diferente
∈ pertence a > maior que
∉ não pertence < menor que
⊂ está contido ≥ maior ou igual a
não está contido≤ menor ou igual a
⊃ contémn! fatorial
⊅ não contém∑ somatório
∃ existe∏ produtório
∄ não existe∞ infinito
∃ existe apenas um / existe um único∫ integral
ou ∕ tal quelim Limite
∀ Para todo ou qualquer que seja log logaritmo
⟹ implica (se então)In logaritmo natural (neperiano)
⟺ equivale (se e somente se)Conjunto dos números naturais
∪ união de conjuntosConjunto dos números inteiros
∩ interseção de conjuntosConjunto dos números racionais
{ } ou ∅ Conjunto vazioConjunto dos números reais
∧ eQ’ ou I Conjunto dos numerous irracionais
∨ ou−¿ Diferença de Conjuntos
~ negação (lógica)
2
1
Aa e
io u
5.2 Conjuntos
A noção de conjunto em matemática é a mesma da linguagem corrente, ou seja, conjunto é sinônimo de agrupamento, coleção, classe etc.
Exemplo: Números, países, pessoas, pontos etc.
● Notação
Conjuntos São indicados por letras maiúsculas
Elementos: São indicados por letras minúsculas
Se x é um elemento e A é um conjunto, então se quisermos indicar que x é o elemento de A, usaremos a relação de pertinência, escrevendo;
a) x ∈ A significa x pertence a A.
b) x ∉A significa x não pertence a A.
Exemplo:
Dado o conjunto A = {2, 4, 6, 8}
2 pertence a A ⟹ 2∈ A
3 não pertence a A ⟹3 ∉ A
● Representação de Conjuntos
Um conjunto pode ser representado de três maneiras:
a) Por enumeração de seus elementos.
Ex.: A = {a, e, i, o, u}
b) Por descrição de uma propriedade característica do conjunto
Ex.: A = {x/x é vogal}
c) Através de gráficos
(diagrama de Euller-Venn)
Ex.:
Conjunto Unitário é o conjunto formado apenas por um elemento.
Ex.: A = {K}
Conjunto vazio é o conjunto que não possui elementos.
Representado por: ∅ ou { }
3
2
.
5.2 Conjuntos
5.2.1 Conjunto dos Números Naturais – IN ou N +
Números naturais são aqueles que são utilizados na contagem dos elementos de um conjunto.
Definimos o conjunto do números naturais (IN) por, IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5..., n...,}
Convém destacar um subconjunto IN*= IN – { 0 } = { 1, 2, 3, 4, 5 } o zero foi excluído do conjunto IN.
Podemos considerar o conjunto dos números naturais ordenados sobre uma reta, como mostra o gráfico abaixo:
5.2.2 Números Primos
Um número inteiro P, é primo se e somente se, possui apenas dois divisores, ele mesmo e a unidade.
Assim, a sequência dos números naturais primo é:
2, 3, 5 ,7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, etc.
Obs.: Dois números são ditos primos entre si se possuem como divisor comum apenas a unidade.
Ex.: 5 e 13 D ( 5 ) = {1, 5 } D (13) = { 1, 13 }
5.2.3 Conjunto dos Números Inteiros – Z
Números inteiros são todos os números naturais e também os opostos dos naturais.
Definimos o conjunto do números inteiros por, Z = {... − 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3...} No conjunto dos inteiros destacamos os seguintes subconjuntos:
Z* = Z − {0} = {... − 3, −2, −1, 1, 2, 3...}
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4...} (inteiros não negativos)
Z− = {0, −1, −2, −3, −4...} (inteiros não positivos)
Z* = {1, 2, 3, 4...} (inteiros positivos) +
Z* = {−1, −2, −3, −4...} (inteiros negativos) -
Observe que Z+ = IN
Repare que todo natural (IN) é inteiro, isto é, N é um subconjunto de Z. Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre uma reta, conforme mostra o gráfico abaixo:
4
3
ℤ
ℕ
ℚ
5.2 Conjuntos
5.2.4 Conjunto dos Números Racionais Q.
Q = { x/x = p, p∈ Z, q ∈ Z, q ≠ 0 } --- q
Chamamos de número racional a todo número que pode ser expresso na forma a/b onde a e b não inteiros quaisquer com b ≠ o.
Exemplos:
a) Os números inteiros
13, −¿4, 0.
b) Os decimais exatos
3/4 = 0,75 3/2 = 1,5 357/100 = 3,57
c) Os decimais não exatos e periódicos (dízimas)
Ex,: 0,7777...; 0,999; 1,2333.
5 - 1Assim os números 5 =( --- ) e −¿0,3333333 (= ----- ) são dois exemplos de
números racionais 1 3
O conjunto dos números racionais é expresso por Q.
Como todo inteiro é racional, podemos afirmar que: Z ⊂ Q.
Obs: Um número racional pode aparecer em forma de dízima periódica, isto é, um numeral decimal, com a parte decimal formada por infinitos algarismos que se repetem periodicamente, como por exemplo: 4, 5555 (período 5), 10, 878787 (período 87) e 9, 8545454... (período 54, parte não periódica 8)
No conjunto dos racionais – Q adotamos as seguintes definições:
a ca) --- = --- ⟺ ad = bc b d
b) a + c ad + bc ---- ---- = ----------- b d bd
c) a c ac ---- x ---- = -----
5
4
b d bd
5.2 Conjuntos
5.2.4 Conjunto dos Números Racionais Q.
No conjunto dos números racionais destacamos os seguintes subconjuntos.
a) Q+ = { x ∈ Q / x ≥ 0 } racionais não negativos
b) Q- = { x ∈ Q / x ≤ 0 } racionais não positivos
c)Q* = Q – { 0 } racionais não nulos
Exemplos
1) Obter uma representação decimal para os números:
a) 3 ---- 3 16 16 30 0,1875 140 120 80 0
Resposta: 0,1875
b) 9 ---- 9 7 7 20 1, 285714285714...285714... 60 40 50 10 30 20
Resposta: 1, 285714285714...285714...
Uma vez entendido o exemplo acima, e fácil concluir que todo número racional pode ser expresso por uma dizima exata (existe um último algarismo à direita) ou por uma dizima periódica infinita (não existe um último algarismo à direita, mas, sim, uma repetição indefinida de uma sequência de algarismos).
2) Representar as seguintes dizimas por frações de inteiros (frações geratrizes):
a) -1,23456
b) 5,644444...4...
c) 5,645454545...45...
Resolução:
1.23456 123456
F = −¿ ------------ ⟶ (cinco casas após a vírgula) = 105 ⟶ F = −¿ ------------ 1 100.000
6
5
5.2 Conjuntos
5.2.4 Conjunto dos Números Racionais Q.
b) Seja F = 5,644444...4... (I); então, multiplicando por 10, segue que 10F = 56,44444...4... (II).
Calcula diferença entre (II) e (I):
10F = 56,44444...4...
−¿ F = 5,644444...4...-----------------------------9F = 50,8 ( uma casa decimal após a virgula)
5089F x 101 = 50,8 x 101 ⟶ 90F = 508 ⟶ F = ----- 90
c) Seja F = 5,6454545454545...45... (I); entao, multiplicando por 100, segue que 100F = 564,54545454... (II). Calculando a diferenca (II) – (I):
100F = 564,54545454...
−¿ F = −¿ 5,64545454... --------------------- 99F = 558,9 (uma casa decimal após a vírgula)
5.589 99F x 101 = 558,9 x 101⟶ 990F = 5.589 ⟶ F = --------- 90
Com estes exemplos, podemos perceber que toda dizima periódica e um numero racional.
Outro fato que pode chamar atenção e que a dizima periódica 0,999...9... é uma outra representação do numero 1 (um).
5.2.5 Conjunto dos Números Irracionais – I
Números irracionais são números que contém infinitas casas decimais não periódicas (sem repetição) após a vírgula.
Os números irracionais não podem ser expressos na forma a/b , com a e b inteiros e b ≠ 0 .
I = { x/x é um número decimal ilimitado não periódico}
Como exemplos de números irracionais, podemos citar:
π = 3,1415926535...
√2= 1,4142135623...
√3 = 1,7320508075...
e ( número de Euler ) = 2,718281
7
6
5.2 Conjuntos
5.2.6 Conjuntos dos Números Reais – R ou IR
Definimos o conjunto dos números reais como a união entre os conjuntos dos
racionais e irracionais.: R = Q ∪ I
IR=Q ∪ {irracionais} = {x|x é racional ou x é irracional}
Diante do exposto acima concluímos que:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, I ⊂ R e Q ∩ I = ∅
O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos:
Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais.
Como subconjuntos importantes de IR temos:
IR* = IR - {0}
IR* = { x ∈ IR / x¿ 0 } conjunto dos números reais positivos +
IR* = { x ∈ IR / x ¿ 0 } conjunto dos números reais negativos −¿ IR+ = conjunto dos números reais não negativos IR_ = conjunto dos números reais não positivos
● Ordenação de Números Reais
Na reta real os números estão ordenados, um número a é menor que qualquer número colocado à sua direita.
Exprimimos este fato da seguinte maneira: a é menor que b, ou
equivalentemente, que b é maior que a. Se a e b são números reais então dizemos que a > b (a é maior que b),
se a−b é um número positivo. A este fato damos o nome de desigualdade. Outros tipos de desigualdade são: a < b, a ≤ b, a ≥ b.
8
7
5.2 Conjuntos
● Propriedades das Desigualdades
Dada uma reta, podemos estabelecer uma relação entre seus pontos e os números reais, de tal modo que a todo ponto corresponda um único real e a todo real corresponda um único ponto. Desta maneira podemos identificar todos os números reais por pontos da reta dada. A idéia é construir uma espécie de régua em que constam também os números negativos.
Chamamos esta régua de reta (ou eixo) real. Onde o ponto zero é a origem.
a) Se a > b e b > c ⟹ a > c Ex. a = 5 , b = 3 , c = 2
b) Seja a > b :
● Se c > 0 ⟹ a * c > b * c Ex. a = 5 , b = 3 , c = 2
● Se c < 0 ⟹ a * c < b * c Ex. a = 5 , b = 3 , c = -2
c) a > b ⟹ a + c > b +c , ∀ c ∈ R
d) a > b e c > d ⟹ a + c > b + d Ex. a = 3 , b = 2 , c = - 3, d = - 4
e) Se a > b > 0 e c > d >0 ⟹ a * c > b* d
Exemplo:
a = 4 b = 2 c = 5 d = 3 ⟶ a * c ¿ b * d ⟶ 4 x 5 ¿ 2 x 3 ⟶ 20 ¿ 6
5.2 Conjuntos
9
8
●Teoremas
a) Sendo m e n naturais quaisquer, tem-se que m + n, m * n e mn são todos naturais ( lembre-se de que 00 = 1 ).
b) Sendo h e k inteiros quaisquer, tem-se h + k, h –k, h * k são todos inteiros.
c) Sendo r e s racionais quaisquer, r + s, r – s, r * s e r/s são todos racionais ( em r/s devemos ter s ≠ 0 ).
d) Sendo r um número racional e x um número irracional, tem-se que r + x é irracional.
e) Sendo r, r ≠ 0, um racional e x um número irracional tem-se que r * x é irracional.
f) Sendo x um irracional qualquer não nulo, tem-se que 1/x é irracional.
g) Entre dois números racionais existem infinitos outros números racionais e infinitos números irracionais.
h) Entre dois números irracionais existem infinitos outros números irracionais e infinitos números racionais.
Exemplos:
1°) Quantos são os elementos do conjunto {x∈ / 10ℕ √2 < x <10 3}?
√2= 1,41 ⟶10√2 ⟶ 10 x 1,41 = 14,1... e
√3 = 1,73 ⟶ 10 √3 ⟶ 10 x 1,73 = 17,3
Entre 14,1... e 17,3... existem 3 números naturais, a saber 15, 16 e 17.
Resposta: 3 elementos
5.2 Conjuntos
●Teoremas
10
9
2°) Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y pode-se dizer que:
a) x * y é irracional
b) y * y é irracional
c) x + y é racional
d) x – y + √2 é irracional
e) x + 2y é irracional
Vejamos cada um dos exemplos:
a) (Falsa) Se x for igual a zero, x * y = 0 que é racional.
b) (Falsa) Se considerarmos, por exemplo y = √3 , segue que y * y (1,732 x 1,732) = 3 que é racional.
c) (Falsa) Para qualquer x racional e para qualquer y irracional x + y é irracional.
d) (Falsa) Se y = √2, x – y + √2 = x que é racional.
e) (Verdadeira) Para qualquer irracional y, tem-se que 2y é irracional. Logo, x + 2y é irracional.
Veja:
X = 3 ⟶ y = √2 ⟶ 3+(2√2 ) ⟶ 3 + ( 2 x 1,4142) ⟶ 3 + 2,8284 = 5,8284
Resposta: E
3°) Mostre que o número √3+2√2+ √3−2√2
Sendo x = √3+2√2+ √3−2√2
x2 = 3 + 2√2 + 3 – 2√2 + 2 √ (3+2√2 )+(3−2√2)
x2 = 3 + (2 x 1,4142) + 3 – (2 x 1,4142) + 2 ⟶ 3 + 2,8284 + 3 – 2,8284 + 2
x2 = 3 + 3+ 2 √ (3+2,8284 )+(3−2,8284)
x2 = 8 √9−8,4852+8,4852−8¿¿
x2 = 8 √9−8
x2 = 8 √1
x2 = 8 ⟶ x = √8 ⟶ x = 2,8284
E como x ¿ o, tem-se que x = 2√2 ( 2 x 1,4142 = 2,8284) que é irracional.
5.2 Conjuntos
● Outras Notações Sendo A um dos conjuntos Z, Q ou R, usaremos ainda as seguintes notações:A* para indicar { x ∈ A / x ≠ 0 } A+ para indicar { x ∈ A / x ≥ 0 } os não negativos, *
11
10
A+ para indicar { x ∈ A / x ¿ 0 } os positivos,A _ para indicar { x ∈ A / x ≤ 0 } os não positivos *
A _ para indicar { x ∈ A / x ¿ 0 } os negativos Assim, por exemplo, R+ , é o conjunto de todos os números reais não
negativos, isto e, o conjunto {x ∈R/ x ≥ 0}.Obs.: Entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Por
exemplo: Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais: 1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ...
Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais: 5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 ...
● Intervalos
Sendo a e b (com a<b) números reais quaisquer, temos os seguintes subconjuntos de R, chamados de intervalos:
1°) [a, b] = { x ∈
R a ≤
x ≤
b } Intervalo fechado
2°) ] a, b [ = { x ∈
R a ¿ x
¿ b } intervalo aberto
3°) [ a , b [ = { x ∈
R a ≤
x ¿ b } intervalo semi-berto à direita
4°) ] a, b ] = { x ∈ R a ¿ x ≤ b } intervalo semi-aberto à esquerda
5.2 Conjuntos
● Intervalos Infinitos
a) [ a , + ∞ [ = { x ∈ R x ≥ a } intervalo semi-aberto à direita ● ∘ a +∞
a +∞b) ] a, + ∞ [ = { x ∈ R x ¿ a } intervalo aberto ∘ ∘
12
11
−∞ ac) ] −¿ ∞ , a ]= { x ∈ R x ≤ a } intervalo semi-aberto à esquerda ∘────────●
−∞ ad) ] −∞, a [ = { x ∈ R x ¿ a } intervalo aberto ∘ ∘
e) ( −∞ ,+∞ ) = { x ∈ R −∞<¿ x ¿ +∞ } R
f) [ a, +∞
) = { x ∈
R a ≤
x ¿+∞
}
g) (a, +∞
) = { x ∈
R a ¿ x
¿+∞
}
h) ( −∞
, a ] = { x ∈
R −∞<¿
x ≤
a }
i) ( −∞
, a ) = { x ∈
R −∞<¿
x ¿ a }
O conjunto dos números naturais, dos números inteiros, dos números racionais e dos números irracionais são subconjuntos dos números reais R .
Existem, ainda, outros subconjuntos de R que são determinados por desigualdades.
Esses subconjuntos são chamados de intervalos.
Conjunto dos números reais maiores que -2 e menores ou iguais a 3:
- 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Gráfico do intervalo ] – 2, 3 ].
Este intervalo contém todos os números reais compreendidos entre os extremos -2 e 3, incluso.
A bola vazia ( ∘ ) indica que o extremo -2 não pertence ao intervalo e a bola cheia (●) indica que o extremo 3 pertence ao intervalo. Este é um intervalo semi-aberto à esquerda.
Representação: { x ∈ R −¿ 2 ¿ x ≤ 3 } ou ] – 2, 3 ]
5.2 Conjuntos
● Intervalos Infinitos
Obs.: Sendo a um número real, pode-se considerar intervalos como o que segue:
-2
{ x ∈ R −¿ 2 ¿ x ¿+ ∞ } ou ] – 2, +∞ [ ⇒
13
12
Exemplo:
Obter [ 2, 10 ] ∩] 5, 12 [
[ 2,10 ]:
] 5, 12 [:
[ 2, 10 ]∩] 5, 12 [:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ⟶ [ 2, 10 ]
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ⟶] 5, 12 [
Resposta: ] 5, 10 ]
5.2 Conjuntos
● Valor Absoluto
O valor absoluto ou módulo de um número real é a distância entre ele e a origem, independentemente do sentido.
a, se a ≥ 0
14
13
│a│ = −¿a, se a ¿ 0 ● Propriedade do valor absoluto
1°) │a│≥ 0 e │a│= 0 ⟺ a = 0
2°) a2 = │a│2
3°) √a2 = │a│
4°) │a│¿ b, b ¿0 ⟺ −¿ b ¿ a ¿ b
5°) │a│> b, b > 0 ⟺ a > b ou a < - b
ou │a│ = b, b > 0 ⟺ a = b ou a = - b
6°) Se a, b ∈R ⟹| a * b | = | a | * | b |
a a 7°) Se a, b ∈ R, b ≠ 0 ⟹ ---- = ---- b b
8°) Se a, b ∈R ⟹ | a + b | ≤| a | + | b | (Desigualdade Triangular)
9°) Se a, b ∈R ⟹ | a | - | b | ≤| a - b | ≤| a | + | b |
5.2 Conjuntos● Exercícios
1) Se A e B são dois conjuntos tais que A ⊂ B e A ≠ { }, então:
a) Sempre existe x ∈ A tal que x ∉ B
b) Sempre existe x ∈ B tal que x ∉ A
c) Se x ∈ B, então x ∈ A
d) Se x ∉ B, então x ∉ A
15
14
e) A ∩B = { }
Resolução:
Vamos imaginar o conjunto A = { 1, 2, 3, 4 } e B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Agora iremos analisar cada uma das alternativas.
a) (Falsa), pois 1, 2, 3, 4 pertencem a B
b) (Falsa), pois 1, 2, 3, 4 pertencem a A
c) (Falsa), pois 5 e 6 não pertencem a A.
d) (Verdadeira), exemplo: 7∉ A e 7∉ B
e) (Falsa), { 1, 2, 3, 4 }
Resposta: D
2) Supondo A, B e C três conjuntos não vazios. assinale a alternativa correta.
a) A C, B ∩ C = { } ⟹A ∩B ≠ { }
b) A B, C ∩ A ≠ { } ⟹C B
c) A B, C B ⟹A ∩C ≠ { }
d) A B, B ∩ C ≠ { } ⟹A ∩C ≠ { }
e) A B, C ∩ A ≠ { } ⟹(A ∩C) B
Resolução:
Vamos imaginar os seguintes conjuntos.
A = { 1, 2, 3 } B = { 4, 5, 6 } C = { 4, 5, 6 , 7 }
Agora iremos analisar cada uma das alternativas
a) (Falsa), A ∩B = { }
b) (Falsa), C B = { }
c) (Falsa), A ∩C = { }
d) (Falsa), A ∩C = { }
e) Verdadeira, (A ∩C) B = { 4, 5,. 6 }
Resposta: E
5.2 Conjuntos
● Exercícios
3) Sejam A, B, e C conjuntos finitos. O número de elementos de A ∩B é 30, o número de elementos de A ∩C é 20 e o número de elementos de A∩B ∩C é 15, então, o número de elementos de A ∩(B ∪C ) é.
a) 35 b) 15 c) 50 d) 45 e) 20
Dados: A ∩B = 30A ∩C = 20 A ∩B ∩C = 15 A ∩(B ∪C ) = ?
16
15
Resolução:
Temos que: A ∩B ∩C são os elementos comuns entre os conjuntos A, B e C. Portanto são 15 elementos.
Temos que: A ∩B são 30 elementos e A ∩C são 20 elementos, logo. B ∪C são 20 elementos
Então A ∩(B ∪C ) ⟶ 15 + 20 = 35 elementos
Resposta: A
4) Se A , B e A ∩B são conjuntos com 90, 50 e 30 elementos, respectivamente, então o número de elementos do conjunto A ∪B é:
a) 10 b) 70 c) 85 d) 110 e) 170
Resolução:
Podemos fazer: A = 90 B = 50 C = 30
Temos que: A ∪B∪C ⟶ 90 + 50 + 30 = 170 Elementos
(A ∪B) – C ⟶ 90 + 50 – 30 ⟶ 140 – 30 = 110 elementos.
Resposta: D
5) Se A e B são dois conjuntos não vazios, tais que:
A ∪B = { 1, 2, 3 ,4 ,5, 6, 7, 8 }, A – B = { 1, 3, 6, 7 }, B – A = { 4, 8 }, então A ∩B é o conjunto:
a) {` } b) { 1, 4 } c) { 2, 5 } d) { 6, 7, 8 } e) { 1, 3, 4, 6, 7, 8 }
Resolução:
Não pertencem a B = { 1, 3, 6, 7}
Não Pertencem a A = { 4, 8}
Conjunto A = {1, 2, 3, 5, 6 , 7}
Conjunto B = { 2, 4, 5, 8 }
A ∩B = { 2, 5 }
Resposta: C
5.2 Conjuntos
● Exercícios
6) Se A = { 2, 3, 5, 6, 7, 8}, B = { 1, 2. 3, 6, 8 } e C = { 1, 4, 6 , 8 }, então:
a) ( A – B ) ∩C = { 2 }
b) ( B – A ) ∩C = { 1 }
c) ( A – B ) ∩C = { 1 }
d) ( B – A ) ∩C = { 2 }
e) N.D.A.
17
16
Resolução:
Iremos analisar cada uma das alternativas.
a) ( A – B ) ∩C = { 2 } A = { 2, 3, 5, 6, 7, 8},−¿ B = { 1, 2. 3, 6, 8 } ∩C {1, 4, 6,
8}, (5 , 7 ) ∩C = { } é falsa.
b) ( B – A ) ∩C = { 1 } B = { 1, 2. 3, 6, 8 } −¿ A = { 2, 3, 5, 6, 7, 8} ∩C { 1, 4, 6 , 8 } ( 1 ) ∩C { 1, 4, 6 , 8 } = { 1 } é verdadeira
c) ( A – B ) ∩C = { 1 } A = { 2, 3, 5, 6, 7, 8},−¿ B = { 1, 2. 3, 6, 8 } ∩C {1, 4, 6, 8}, (5 , 7 ) ∩C = { } é falsa.
d) ( B – A ) ∩C = { 2 } B = { 1, 2. 3, 6, 8 } −¿ A = { 2, 3, 5, 6, 7, 8} ∩C { 1, 4, 6 , 8 } ( 1 ) ∩C { 1, 4, 6 , 8 } = { 1 } é falsa
Resposta: B
7) Sendo A = { 1, 2, 3, 5, 7, 8 } e B = { 2, 3, 7 }, então o complemento de B em A é:
a) ∅ b) { 8 } c) { 8, 9, 10 } d) { 1, 5, 8 } e) N.D.A.
Resolução:
A ∪B = {1, 2, 3, 5 ,7 ,8 }
A ∩B = { 2, 3, 7 }
A – B = {1, 5, 8}
Resposta: E
5.2 Conjuntos
. ● Exercícios
8) Na festa da casa de Flávio observei que 18 convidados tomaram vodka, 12 tomaram cerveja, 11 tomaram Martine, 6 tomaram vodka e cerveja, 5 tomaram cerveja e Martine, 4 tomaram vodka e Martine, 2 tomaram vodka, cerveja e Martine. As 8 mulheres mais bonitas só tomaram vinho e as 6 mais feias só tomaram jurubeba e eu que não estava me sentindo muito bem só tomei Jack Daniels. Pergunta-se.
a) Quantos convidados estavam na festa?
b) Quantos convidados só tomaram cerveja?
Resolução:
18
17
B = 14 G + H = 11
A+B+C+D+E+F= 62 G + H + 2I = 19
b) Quantos convidados só tomaram cerveja?
Vamos colocar os dados em uma tabela para melhor visualização da questão
A
Vodka
B
Cerveja
C
Martine
D
Vinho
E
Jurubeba
F
Jack Daniels
G
Vodka e
Cerveja
H
Cerveja e
Martine
I
Vodka e
Martine
18 + 2 = 20
12 + 2= 14
11 + 2 = 13
8 6 1 6 5 4
Vamos calcular a diferença de conjunto na solução da alternativa b.
A B
A – B ⟶ 14 – 11 = 3 Resposta: 3 convidados só tomaram cerveja
a) Quantos convidados estavam na festa?
A B
A – B ⟶ 62 – 19 = 43 Resposta: 43 convidados estavam na festa
5.2 Conjuntos
Exercícios
9) Se A ⊂ B e A ⊂ C , com A ≠ B ≠ C, então podemos afirmar que:
a) A ∩B ≠ A ∩Cb) ( C – B ) ∪A = C
c) A = B ∪C
d) A = B ∩C
e) ( B – C ) ∩A = ∅
19
18
X= 300 Y = 180 Z = 90
Vamos imaginar os conjuntos A≠B≠C, como:
A = { 1, 2, 3, 4 } B = { 5, 6, 7 } C = { 8, 9 }
Resolução:
Iremos analisar cada uma das alternativas
a) (Falsa) , A ∩B ≠ A ∩C⟶ A ∩B = { } A ∩C = { } ⟶ A ∩B = A ∩Cb) (Falsa), ( C – B ) ∪A = C ⟶ {1, 2, 3, 4, ,8 ,9 } ≠ {8, 9}
c) (Falsa) , A = B ∪C ⟶ A ≠ {5, 6, 7, 8, 9}
d) (Falsa), A = B ∩C A = { } A ≠ {1, 2, 3, 4,}
e) (Verdadeira) ( B – C ) ∩A = ∅ ⟶ {5, 6, 7) ∩{1, 2, 3, 4} = ∅
Resposta: E
10) Se A = ] – 3, 2 ], B = { x ∈ R/ 0 ¿ x ¿ 2 } e C = [ 1, + ∞ [ , ( A ∩B ) ∪( C – B ) é igual a:
a) ] 0, 2 [
b) { x ∈ R / 1 ≤ x 2 }
c) ∅
d) ] – 3, 2 ]
e) x ∈ R x ¿ 0
Resolução:
Iremos analisar cada uma das alternativas
a) (Falsa),⟶] – 3, 2 ] ⟶ ∘────────● ≠ ] 0, 2 [ ⟶ ∘────────∘
-3 2 0 2
O extremo -3 não pertence ao intervalo
b) (Falsa), { x ∈ R / 1 ≤ x 2 } ⟶ { x ∈ R / x ¿ 0}, { x ∈ R / x ¿ 2}
c) (Falsa), ∅ , C = [ 1, + ∞ [ ⟶ ●────────∘ é um intervalo infinito semi-aberto à direita 1 +∞
Resposta: E
5.2 Conjuntos
● Exercícios
11) Numa escola com 500 alunos, 300 praticam judô, 180 praticam karatê e 90 não praticam qualquer modalidade de arte marcial. O número de alunos que praticam apenas karatê é.
20
19
X+Y-Z+K = 500
300+180-90+K = 500
480-90+K = 500
390+K = 500
K = 500 – 390
K = 110
Resposta: 110 alunos praticam karatê
12) Assinale as alternativas corretas sobre o conjunto A = { ∅ 1, 2, { 2 } }
1) ∅ ∈
2) ∅⊂ A
4) { ∅ } ⊂ A
8) { 2 } ∈ A
16) { { 2 } } ⊂ A
32) { 1 , 2 } ∈ A
64) { 2 } ⊂ A
Resolução:
Iremos analisar cada uma das alternativas
1) (Verdadeira), ∅ ∈
2) (Verdadeira), ∅⊂ A
4) (Verdadeira), { ∅ } ⊂ A
8) (Verdadeira), { 2 } ∈ A
16) (Verdadeira),{ { 2 } } ⊂ A
32) Falsa { 1 , 2 } ∈ A, { 2 }∈ { { 2 } }
64) (Verdadeira), { 2 } ⊂ A
Resposta: 95
5.2 Conjuntos
● Exercícios
13) Numa sala tem 100 alunos. Destes 85 gostam de matemática e 50 de física. Quantos alunos gostam de matemática e física ao mesmo tempo.
Resolução:
Vamos calcular a diferença de conjunto.
A B
21
20
85 50
A – B ⟶85 – 50 = 35 alunos
Resposta: 35 alunos
14) Assinale a alternativa correta.
a) Se p é primo, então p é impar.
b) Se p é primo,então p + 2 é impar
c) Se p é primo, então p + 1 é par
d) Se p é primo, então p2 é impar
e) N.D.A.
Resolução:
Iremos analisar cada uma das alternativas
a) (Falsa). 2 é primo, então 2 é par.
b) (Falsa). 2 é primo, então 2 + 2 é par.
c) (Falsa). 2 é primo, então 2 + 1 é impar.
d) (Falsa). 2 é primo, então 22 é par.
e) Verdeira
Resposta: E
5.2 Conjuntos
● Exercícios
15) Seja N o conjunto dos números naturais K = { 3x / x ∈ N }, L = { 5x / x ∈ N } e M = { 15x / x ∈ N } . Qual a afirmativa correta?
a) K ∪ L = M b) K ⊂ L. c) N – L = Md) K – L = M
22
21
e) K ∩ L = M
Resolução:
Iremos analisar cada uma das alternativas
a) (Falsa) K ∪ L = { 5x / x ∈ N } M = { 15x / x ∈ N }
b) (Falsa) K ⊂ L ⟶ K = { 3x / x ∈ N } e L = { 5x / x ∈ N }
c) (Falsa) N – L = M ⟶ N = { } , L = { 5x / x ∈ N } e M = { 15x / x ∈ N }
d) (Falsa) . K – L = M ⟶ K = { 3x / x ∈ N }, L = { 5x / x ∈ N } e M = { 15x / x ∈ N }
e) (Verdadeira). K ∩ L = M ⟶ K = 1x, 2x, 3x/ x ∈ N ∩ L = 1x, 2x, 3x. 4x, 5x / x ∈ N ⟶ K ∩ L = { 3x / x ∈ N } ∩M = { 3x / x ∈ N }
Resposta: E
16) A intersecção do conjunto de todos os inteiros múltiplos de 6 com o conjunto de todos os inteiros múltiplos de 15 é o conjunto de todos os inteiros múltiplos de:
Resolução:
A = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54 , 60}
B = { 15, 30....}
A ∩ B = 30
Resposta: 30
