FILIERE: SMP1 SMC1 SM1

MODULE : PHYSIQUE 2

COURS DE

THERMODYNAMIQUE

Pr. Kamal MAHDOUK

SOMAIRE

1. QUELQUES DEFINITIONS

2. QUANTITE DE CHALEUR ET TRAVAIL

3. ENERGIE INTERNE ET PREMIER PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE

4. LES COEFFICIENTS CALORIMETRIQUES

5. LE SECOND PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE

6. LES MACHINES THERMIQUES

LA THERMODYNAMIQUE

La thermodynamique est ne vers

les annes 1820, au dbut de lre

industrielle, de la ncessit de connatre,

sur les machines thermiques dj

construites, la relation entre les

phnomnes thermiques et les

phnomnes dynamiques dou son nom.

CHAPITRE 1

QUELQUES

DEFINITIONS

Chapitre 1: QUELQUES DFINITIONS

I- Le systme :

I-1 Dfinitions :

Le systme S est une partie de l'univers laquelle on

porte de lintrt. Le reste de lunivers est appel milieu

extrieur . Il est constitu d'un grand nombre de particules

microscopiques dlimites par une surface fixe ou mobile,

travers laquelle s'effectuent des changes d'nergie et de

matire avec le milieu extrieur.

- systme ferm : il peut changer avec lextrieur de lnergie mais pas de la matire. Exemple : Le circuit frigorigne dun rfrigrateur.

- systme isol : il ne peut changer avec lextrieur ni nergie ni matire.

nergie

Un systme peut tre ouvert , ferm ou isol :

- systme ouvert: il peut changer avec lextrieur de la matire et de lnergie. Exemple : du bois qui brle.

nergie Matire

I-2 Conventions :

Les changes d'nergie entre le systme et le milieu

extrieur s'effectuent par transfert de travail W ou de

chaleur Q. Le signe des quantits W et Q est dfini

conventionnellement. Les nergies changes avec le

milieu extrieur seront affectes :

- d'un signe positif lorsqu'elles seront reues par le

systme

- dun signe ngatif lorsquelles seront cdes par le

systme.

II- tat dun systme, variables, quations et fonctions dtat :

II-1 Variables et quation dtat :

Connatre ltat dun systme, cest dterminer ( tout instant t)

les valeurs et le nombre minimum de variables mesurables (la

quantit de matire, la pression, la temprature, le volume)

appeles pour cette raison variables dtat capables de dcrire

le systme.

Les variables dtat ne sont toujours pas indpendantes,

certaines dentre elles peuvent tre lies par une relation

appele quation dtat du type :

f(P,V,T,) = 0

Lexemple le plus connu est celui du GAZ PARFAIT, pour

lequel la pression P, le volume V, la temprature T et le

nombre de moles (n) sont lis par la relation :

PV nRT = 0

Dans ce cas, il ny a que deux variables indpendantes :

P = f(V,T) ou V = f(P,T) ou T = f(V,P) .

Il suffit donc, pour dfinir ltat dune certaine quantit de gaz

parfait, de connatre la valeur de deux des trois variables

puisque celle de la troisime en rsulte.

On peut sparer l'ensemble de ces variables d'tat en :

- variables extensives, proportionnelles la masse du systme. Elles

sont additives lors de la runion de deux systmes de mme nature.

Exemple : masse, volume, nombre total de particules.

- variables intensives, indpendantes de la quantit de matire

contenue dans le systme. Exemple : pression, temprature, masse

volumique.

Exemple :

1 litre deau 300K + 1 litre deau 300K 2 litres deau 300K

Le volume est une grandeur extensive

La temprature est une grandeur intensive.

V1;T V2;T V1 + V2 ; T

II.2 Fonction dtat :

Souvent, on peut raliser des transformations entre un tat 1 (tat

initial) et un tat 2 (tat final) de plusieurs faons diffrentes, c..d en

empruntant des chemins diffrents. En gnral, la variation f , entre

ltat 1 et ltat 2, dune fonction f dpend du chemin suivi.

Il existe en thermodynamique des fonctions f(P,V,T,) lies aux

variables d'tat dont les variations f au cours d'une transformation

sont indpendantes du chemin suivi.

Ces fonctions sont dites fonctions d'tat :

f12 = f2 - f1 quelque soit le chemin suivi

Exemple: Lenthalpie H et lnergie interne U sont des fonctions dtat

mais le travail W et la chaleur Q ne sont pas des fonction dtat.

III- Reprsentation graphique dun tat :

Considrons un systme constitu de n moles dun gaz parfait.

Son tat un instant t est dtermin par la connaissance de

deux variables dtat indpendantes. Cet tat peut ainsi tre

reprsent par un point dans lun des digrammes suivants :

B (PB,VB)

P

V

P

T

Diagramme de Clapeyron Diagramme (P,T)

PA

PB

A (PA,VA)

VA VB

A (PA, TA)

B (PB,TB)

TA TB

V

T

A(VA, TA)

B(VB, TB)

TA TB

Diagramme (V,T)

Dans le diagramme de Clapeyron:

Ltat A est caractris par les variables thermodynamiques

PA, VA, et TA = PAVA /nR

Ltat B est caractris par les variables thermodynamiques

PB, VB, et TB = PBVB /nR

IV- tat dquilibre :

Un systme se trouve dans un tat dquilibre si

les variables qui dfinissent son tat ne varient pas au

cours du temps, et si les variables intensives ont la

mme valeur dans toute ltendue du systme :

Par exemple :

- Si la temprature est la mme en chaque point et

n'volue pas au cours du temps, on a un quilibre

thermique.

- Si la pression est la mme en chaque point et

n'volue pas au cours du temps, on a un quilibre

mcanique.

P1V1T1

m1

P2V2T2

m2

V- Transformation dun systme V-1 Transformation quasi-statique

Cest une transformation constitue dune suite continue dtats dquilibre interne pour le systme tudi. A tout instant de la transformation, les variables du systme sont dfinies.

V-3 Transformation irrversible

Cest une transformation (brutale, Spontane) qui

ne rpond pas au critre prcdent. Cest le cas si

les tats intermdiaires ne sont pas des tats

dquilibre.

V-2 Transformation rversible

Cest une transformation qui se fait par une

succession dtats dquilibre infiniment voisins, la

condition dquilibre concerne aussi bien le

systme tudi que le milieu extrieur.

V-4 Remarques: - Une transformation quasi statique n'est pas

ncessairement rversible (la traction sur un fil en

dehors de la limite d'lasticit peut tre ralise de

faon quasi statique et est irrversible).

- Une transformation est rversible si la

transformation inverse passe par les mmes tats

intermdiaires dans le sens inverse.

tat 1

V

P

tat 2

tat 1

V

P

tat 2

V1

V2

Cest une transformation au cours de laquelle le

volume demeure constant

(V = Cste).

Cest une transformation au cours de laquelle la

pression demeure

constante (P = Cste).

V-5 Transformations Particulires :

Transformation Isochore Transformation Isobare

Transformation Isotherme

(Cas du gaz Parfait)

tat 1

V

P

tat 2

V1

V2

Transformation Cyclique

V

P

tat 1=tat 2

P1 -

P2 -

Cest une transformation au

cours de laquelle la

temprature demeure

constante (T = Cste).

Pour ce type de

transformation ltat final

est identique ltat initial.

V-6 Transformation Adiabatique :

Cest une transformation au cours de laquelle le systme

nchange pas de chaleur avec le milieu extrieur.

CHAPITRE 2

QUANTITE DE CHALEUR

ET TRAVAIL

Chapitre II : QUANTITE DE CHALEUR ET

TRAVAIL

I- La chaleur :

Deux corps de tempratures diffrentes mis en

contact changent de lnergie calorifique de manire parvenir un tat dquilibre thermique o la temprature est la mme pour les deux corps. Un

des corps a perdu une partie de son nergie au profit

de lautre.

On dit que les deux corps ont chang de la chaleur.

A B

Q

Lchange de chaleur peut avoir lieu selon 3 modes diffrents :

- La conduction : La chaleur passe

dun corps lautre par simple contact matriel,

A B

Q

- La convection : La chaleur est

entrane par un fluide en

mouvement, A B Q

- Le rayonnement : La chaleur est

porte, travers le vide ou un

milieu transparent, par une onde

lectromagntique.

A B

La chaleur est une forme spciale de l'nergie :

l'chelle microscopique, c'est une nergie cintique change par agitation molculaire (cest dire par chocs

entre les molcules en mouvement)

c'est une nergie qui sexprime soit en joule [J] soit en calorie [cal] (1 calorie = 4.186 Joules)

Remarques :

un change de chaleur peut seffectuer sans que la temprature varie : (Q 0; dT = 0). Exemple : la fusion dun morceau de glace 0C (changement dtat dun corps).

Chaleur et Temprature sont deux grandeurs diffrentes.

il peut y avoir variation de temprature sans quil y ait change de chaleur (Q = 0; dT 0). Cest le cas des transformations adiabatiques.

Paroi adiabatique

I-1 Chaleur Massique :

Lorsqu'un systme absorbe une quantit de

chaleur infinitsimale Q et que sa temprature varie

dune quantit infinitsimale dT (elle passe de T

T+ dT ), on dfinit la chaleur massique c du systme

par :

( ou Q = mcdT )

dT

Q

mc

1

m tant la masse du systme

c la chaleur massique la temprature T

exprime en [Jkg-1K-1].

Pour un systme dcrit par les trois variables P, V

et T relies par une loi d'tat f(P,V,T)=0, la quantit

de chaleur reue au cours dune transformation

lmentaire s'crit l'aide de deux des trois

variables sous la forme :

dPPQ

dTTQ

QTP

dVVQ

dTTQ

QTV

ou

I.1-1 Chaleur massique volume constant ou

pression constante :

En fixant V ou P, on dfinit partir de l'une ou

l'autre de ces expressions :

1v

v

Qc

m dT

1p

p

Qc

m dT

Chaleur massique volume constant

Chaleur massique pression constante

Les chaleurs Qv ou Qp mises en jeu au cours du chauffage

dune substance de masse m de la temprature T1 la

temprature T2 scrivent :

2

1

T

v v

T

Q m c dT 2

1

T

p p

T

Q m c dT

pour une transformation isochore (V = cste)

pour une transformation isobare (P = cste)

Nous supposerons dans ce qui suit (pour des raisons de

simplicit) que les quantits cv et cp sont constantes.

I-1-2 Chaleurs changes

Cmp = Mcp et Cmv = Mcv pour les capacits calorifiques (ou

thermiques) molaires. Elles sexpriment en [Jmole-1K-1]. M

tant la masse molaire du corps tudi [Kg mole-1].

Dans ce cas on crit que :

Qv = mcv(T2-T1) et QP = mcp(T2-T1)

Notations adoptes :

cp et cv pour les chaleurs massiques. Elles sexpriment en [JKg-1K-1]. Cp = mcp et Cv = mcv pour les capacits calorifiques (ou thermiques) dune masse m. Elles sexpriment en [JK-1].

Elles reprsentent la chaleur ncessaire pour faire varier la

temprature du systme de 1 degr Kelvin (1 K).

I.2 Chaleur latente de changement de phase (dtat) dun

corps pur:

On appelle chaleur latente (massique) de changement

dtat dun corps pur, la temprature T, la quantit de chaleur L quil faut fournir lunit de masse de ce corps passant dun tat (solide, liquide ou gazeux) un autre tat sous pression constante la temprature T.

la chaleur correspondant au changement dtat dune masse m

dun corps scrit :

Q = mL

L : est la chaleur latente de changement d'tat en [JKg-1]

m : est la masse du corps subissant le changement dtat

Remarque:

La chaleur latente L est positive si ltat final

est plus dsordonn que ltat initial.

Exemple:

- La chaleur latente de fusion est positive (LF>0) : cest dire quil faut fournir de la chaleur pour faire fondre un solide. (Exemple: la chaleur latente de fusion de la

glace est L = 80 cal/g).

- La chaleur latente de solidification est ngative

(LS

I.3 quilibre Thermique

I.3.1 quilibre thermique entre deux systmes :

A

EA B

EB A

EA

B

EB

A

EA

B

EB

A et B conservent leurs

tats initiaux EA et EB. La

cloison est alors dite

adiabatique .

les systmes voluent

vers de nouveaux tats

d'quilibre EA et EB. La cloison est alors dite

diatherme

Les deux systmes ont

chang de la chaleur.

La chaleur perdue par

lun est gagne par lautre

I.3.2 Cas de trois systmes Considrons maintenant trois systmes A, B et

C dans les tats d'quilibre respectifs EA , EB et EC

- Sparons C de A et B par

une cloison adiabatique et

mettons A et B en contact

par l'intermdiaire d'une

cloison diatherme

A

EA

B

EB

C, EC

Dans ce cas:

- Seuls les systmes A et B voluent vers deux tats

dquilibre EA et EB identiques : A et B sont en

quilibre thermique entre eux.

- Le systme C nvolue pas.

A

EA

B

EB

C

EC

I.3.2 Cas de trois systmes

Les trois systmes voluent vers de nouveaux

tats d'quilibre (identiques) EA EB et EC.

Les trois systmes sont en quilibre

thermique entre eux.

- Sparons ensuite A et B par

une cloison adiabatique et

mettons les indpendamment

en contact avec C par

l'intermdiaire d'une cloison

diatherme.

1.3 Principe zro de la Thermodynamique :

Deux systmes A et B en quilibre

thermique avec un troisime systme C

sont en quilibre thermique entre eux .

Le rsultat prcdent porte le nom de principe zro

de la Thermodynamique :

En dsignant par TA, TB et TC les tempratures de

ces systmes, on peut crire:

TA=TC et TB=TC do TA=TB

Dfinition:

La calorimtrie est la mesure des changes

de chaleur entre diffrents corps.

Une mthode utilise est la mthode des mlanges

dans laquelle les changes de chaleur se font

pression constante:

I.4 Application : Calorimtrie

Un rcipient contenant de leau est plac dans une enceinte adiabatique. Soit M la masse de leau. La temprature initiale est T0.

On introduit dans leau un corps de masse m la temprature T1 ( T1 T0).

Chapitre II : QUANTITE DE CHALEUR ET TRAVAIL

I.4 Application : Calorimtrie

Agitateur

Thermomtre

Vase /Deaware /

Eau

Corps solide

Support isolant

On note c0 la chaleur massique de leau

et la masse deau quivalente au calorimtre et ses accessoires (thermomtre,

agitateur, )

La temprature du mlange stablit T2.

est dite valeur en eau du calorimtre :

On se propose de calculer la chaleur massique

Cp pression constante du corps tudi.

.... vasevasethermothermoagitagiteau cmcmcmc

agitm agitc

et masse et chaleur massique de lagitateur,

thermom thermoc

vasem vasec

et masse et chaleur massique du thermomtre

et masse et chaleur massique du vase calorimtrique

Puisque le calorimtre (systme 1) et la masse m

(systme 2) forment un systme isol thermiquement,

on crit que le systme nchange pas de chaleur avec lextrieur :

( ) ( ) 0Q corps Q calorimtre

II - Travail

Fext

dx

S

O x

Un systme constitu dun fluide enferm dans une enceinte cylindrique muni dune paroi mobile (piston). Le mouvement du piston sous laction des forces extrieures (forces de pression) entrane une

compression ou une dilatation du fluide.

Le travail lmentaire W de la

rsultante Fext, des forces

extrieures, au cours dun dplacement dx du piston scrit en ngligeant les frottements du

piston sur les parois:

dxFdW ext

en introduisant : ext

ext

FP

S

Fext

dx

S

O x

dV SdxSoit :

llment de volume balay par le piston au cours du

dplacement dx :

- extdW P dV

W reprsente une forme dnergie change entre le systme et le milieu extrieur

en introduisant :

Pext = Fext / S

et dV = -Sdx

(dV est la variation algbrique du volume)

on peut crire :

W = - Pext dV

W reprsente une forme dnergie change

entre le systme et le milieu extrieur.

II.1 Remarques :

a) si le piston se dplace vers la droite alors dV

augmente (dV > 0) et le travail est cd (ou fourni)

au milieu extrieur (W < 0).

b) le travail est fourni au systme (W > 0) sil y a diminution du volume (dV < 0).

Au cours dune transformation entre deux tats distincts, le travail fourni par le milieu extrieur sobtient en effectuant lintgrale le long du chemin suivi (C) :

C

ext VdPWC

1

2

b) Si la transformation entre ltat initial et ltat final est rversible alors le systme est, tout instant, en quilibre avec le milieu

extrieur cest dire: (Pext = P)

Ainsi :

c

PdVW

ext

C C

W F dx PdV

II.2 Interprtation graphique :

La valeur absolue du travail est donne par l'aire S sous

la courbe P(V) (diagramme de CLAPEYRON) dcrite par la

transformation du systme, le signe tant donn par le sens de

l'volution.

W < 0

P

V

B

A

VA VB

PA

PB

W > 0

P

V

B

VA VB

PA

PB A

ext ext

C C

W F dx P dV

II.2.1 Cas des cycles : Dans le cas d'un cycle, la courbe est ferme et le

travail est donn par l'aire intrieure la courbe, son

signe tant donn par le sens de parcours.

Si ce travail est ngatif, il s'agit d'un moteur (cycle

dcrit dans le sens des aiguilles dune montre) Si le travail est positif, il sagit dun cycle rcepteur (cycle dcrit dans le sens contraire des aiguilles dune montre)

W < 0

P

V

W > 0

P

V

II.2.2 Cas dune transformation isobare (P=cte):

)( 122

1

21 VVPdVPW extext

Si la transformation isobare est rversible (P=Pext), alors:

Dans le cas dune transformation isobare on a:

)( 122

1

21 VVPdVPW

II.2.3 Cas dune transformation isochore (V=cte):

Dans ce cas dV = 0 et le travail des forces de

pression est nul : W1-2 = 0

Etat 1

V

P

Etat 2

V1

V2

P1=P2

II.3 Particularit

Dans le cas gnral, le travail

dpend du chemin suivi

Calculons le travail pour

passer de A en C suivant

deux chemins rversibles diffrents :

(1) une transformation isobare (A-B), puis une

transformation isochore (B-C)

(2) une transformation

isochore (A-D), puis une

transformation isobare (D-C)

P1

P2

V1 V2

P

V

B A

C D

Lors dune transformation isochore :

W = 0

Pour une transformation isobare rversible :

W = - PdV

Il vient alors :

W1 = - P1(V2-V1) et W2 = - P2(V2-V1).

Ainsi : W1 W2

Le travail nest donc pas une fonction

dtat puisquil dpend du chemin suivi.

II.4 Exemple: Compression dun Gaz Parfait

On considre n moles dun gaz parfait enfermes

dans un rcipient (cylindre) non adiabatique dont

lune des parois solides (piston) est mobile. Le

systme (Gaz) a une temprature T, un volume

V1 et une pression P1 sous laction dune masse

m1 pose sur le piston. On fait subir ce gaz une

transformation lamenant un nouveau tat

caractris par la mme temprature T, le volume

V2 et la pression P2 , ceci en ajoutant une masse

supplmentaire m1.

P1

m1

P2

m2

2 1

1 212 12

1 22 1 2 2 2 1 1

2 1

( ) 1 1

V VBrut

ext extV V

W W P dV P dV

V PP V V PV PV

V P

12 PP

012 W

II.4.1 Compression isotherme spontane (irrversible)

II.4.2 Compression isotherme quasi statique

P1

m1

P2

m2

on passe de la masse m1 la masse m2 en

ajoutant progressivement des petites masses

m m1 jusqu ce que la masse devienne gale m2

Puisque la transformation est quasi-statique,

on considre alors qu chaque instant, la pression extrieure Pext est gale la pression

P du systme.

2

1 2

11212 ln

V

V

stquasi

V

VnRT

V

dVnRTWW

0ln1

21112

P

PVPW

stquasi

II.4.3 Rcapitulation:

Le travail mis en jeu lors dune transformation

irrversible, amenant un systme dun tat 1 un tat 2,

est toujours suprieur celui chang lors dune

transformation rversible.

La transformation rversible est la plus conomique.

Wrv

Wirrv

P2/P1

W

P2/P1

W

Wirrversible > Wrversible

Remarque :

Une transformation rversible (ou quasi

statique) nest accompagne daucune perte dnergie (pas de frottement).

CHAPITRE 3

ENERGIE INTERNE

ET PREMIER PRINCIPE

DE LE

THERMODYNAMIQUE

Chapitre 3: ENERGIE INTERNE ET PREMIER

PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE

I. Lnergie interne Que le systme soit solide, liquide ou gazeux, les

particules (atomes ou molcules) qui le constituent

sont toujours animes de vibrations dans le cas des

solides ou de mouvements dsordonns pour les

liquides ou les gaz.

A ces mouvements microscopiques est associe

l'nergie cintique Uc de lensemble des particules. De plus, entre ces particules (atomes ou molcules) peuvent exister des forces d'interaction (attraction et rpulsion) auxquelles on associe une nergie

potentielle dinteraction Up.

I. 1. Dfinition Lnergie interne dun systme est gale la somme des nergies de toutes les particules le constituant :

U = Uc + Up I. 2 Remarque

Lnergie totale E, du systme, est la somme :

E = Ec + Ep + U Ec est lnergie cintique macroscopique due au mouvement densemble du systme sous leffet des forces extrieures.

Ep est lnergie potentielle provenant des forces extrieures : forces de pesanteur, forces

lectromagntiques,

II Premier Principe : II.1 nonc: La somme algbrique du travail W et de la chaleur Q changs par un systme ferm avec le milieu extrieur, au cours dune transformation, est gale la variation U2-U1 de son nergie interne.

U = U2-U1 = W + Q

Etat 1

Etat 2

P

V

II.2 Remarque: Cette variation est indpendante de la nature des transformations (c..d. du chemin suivi). Elle ne dpend que de ltat initial (1) et de ltat final (2). Il en rsulte que: U est une fonction dtat.

II.3 Expression diffrentielle du premier Principe :

Pour une transformation, entre deux tats dquilibre

infiniment proches le premier principe scrit :

dU = W + Q

II.4 Cas dun systme isol :

La variation de lnergie interne dun systme isol

est NULLE

U = U2-U1 = 0 car W=0 et Q=0.

lnergie interne dun systme isol est

constante.

I.5 Cas des transformations particulires :

I.5.1 Transformation cyclique:

Etat A

V

P

Dans le cas dun cycle, Ltat initial et ltat final sont identiques:

U = UA UA = 0

I.5.2 Transformation isochore rversible:

Etat 1

V

P

Etat 2

v v v

v

dU Q PdV Q dU dQ

U Q

dU Q W

Dans ce cas: V= cte et Pext = P

Puisque:

Alors:

Dans ce cas, Q sidentifie dQ : la chaleur est une fonction dtat et dQ est une diffrentielle totale exacte.

I.5.3 Transformation adiabatique rversible:

Dans ce cas: Q= 0 (Transf. adiabatique)

et Pext = P (Transf. Rversible)

Ainsi

2

1

V

V

dU Q W W PdV dW

U PdV W

W sidentifie dW : le travail, Dans ce cas, est une fonction dtat et dW est une diffrentielle totale exacte.

I.4.4 Transformation isobare rversible:

2

12 2 1

1

( )

p ext p

T

p

T

dU Q W C dT P dV C dT PdV

U C dT P V V

Etat 1

V

P

Etat 2

V1 V2

Si Cp est constante, alors:

U=Cp(T2-T1)-P12(V2-V1)

Dans ce cas: Pext = P = cte

P12 -

IV. La Fonction Enthalpie

La fonction enthalpie note H est dfinie par :

H = U + PV

Dans une transformation quelconque

pression constante P0, H varie de :

H = U + P0V

avec : U = W + Qp

et W = - P0V

puisque P0 est la pression du milieu extrieur

Donc: H = Qp

La variation denthalpie, H, du systme au cours dune transformation isobare est

gale la quantit de chaleur Qp mise en jeu

lors de cette transformation

IV. 1. Remarque

- H, comme U est une fonction dtat. Ainsi, H est indpendante du chemin suivi et est nulle quand la transformation est cyclique.

- En calculant la variation denthalpie au cours dune transformation isobare, on peut en dduire la quantit de chaleur Qp

change par le systme pression

constant et la capacit calorifique Cp

pression constante correspondante :

dTQ

THC

p

pp

CHAPITRE 4

LES COEFFICIENTS

CALORIMETRIQUES

I. Coefficients calorimtriques:

Chapitre 4: COEFFICIENTS CALORIMTRIQUES

Soit un systme qui effectue une transformation

infinitsimale quasi statique (P,V,T) (P+dP,V+dV,T+dT)

La variation de lnergie interne du systme est:

QPdVQWdU

Choisissons comme couple de variables

indpendantes T et V; alors:

dVVUdT

TUdU

Tv

Cas ou T et V sont les variables indpendants:

Cv = Capacit calorifique volume constant

l = chaleur ncessaire pour provoquer de

faon rversible et isotherme une variation

de volume gale lunit.

Remarque:

TT

VUP

dV

Ql

v

V

UC

T

et

ldVdTCQ v Que lon peut crire:

Avec:

dVVUPdT

TUPdVdUQ

Tv

Ainsi:

Cas ou T et P sont les variables indpendants:

dPP

HdT

T

HdH

TP

VdPdPP

HdT

T

H

VdPdH

VdPVdPPdVdUPdVdUQ

TP

Pour une transformation

infinitsimale

quasi-statique

La variation de lenthalpie du systme est:

dPVP

HdTC

dPVP

HdT

T

HQ

T

P

TP

Ainsi

que lon peut crire sous forme :

hdPdTCQ P

VP

H

P

Qh

TT

Avec: h=chaleur ncessaire pour provoquer de faon rversible

et isotherme une variation de

pression gale lunit.

Cas ou P et V sont les variables indpendants:

On montre que :

dVdPQ

VdPQ

P

dVQ

Avec :

et

dVdPQ

hdPdTCQ P

ldVdTCQ v Ainsi:

Les 6 coefficients Cp, Cv, l , h, et sont appels les coefficients calorimtriques de

la substance tudie.

II. Relations entre les Coefficients calorimtriques:

Si lon exprime la diffrentielle dT en fonction de V et P supposes variables indpendantes, alors :

dPP

TdV

V

TdT

VP

dVdPdVlVTCdP

PTCldVdTCQ

Pv

Vvv

par identification des deux relations (1) et (2), on obtient :

dVdPdPhPTCdV

VTChdPdTCQ

VP

PPP

(1)

(2)

PVPV

TCCl

)(

P

P

PVTC

dVQ

V

VPP

TCCh

)(

V

V

VPTC

dPQ

et

et

Par identification, on obtient :

Ainsi les 6 coefficients calorimtriques ne

sont donc pas indpendants: on peut tous les

calculer partir de deux dentre eux et de

lquation dtat.

III. Transformation adiabatique rversible

dun gaz parfait:

III.1 Positions relatives des courbes isothermes

et adiabatiques :

A partir dun tat initial A (P,V,T) on peut faire subir un gaz parfait soit une transformation isotherme rversible

soit une transformation adiabatique rversible. Les

courbes reprsentatives se coupent en A.

Pour la transformation isotherme, la pente au point A est:

VP

dVdP

isotherme

Pour la transformation adiabatique, la pente est gale :

eadiabatiqudV

dP Puisque: Q = dP + dV = 0

Avec : P

pVTC

Vv

PTCet

vpv

p

v

p

v

p

eadiabatiqu TP

VT

CC

PTVT

CC

dVdP

Il en rsulte que :

or :

1

VTP TP

PV

dVdT

donc: T

T

VP VP

PVT

PdVdT

1

Etat A0 P Isotherme

Adiabatique V

O

isothermeeadiabatiqu V

P

V

P

Ainsi:

Avec: v

p

C

C ( Coefficient positif suprieur 1)

dans le diagramme de Clapeyron, la pente de

ladiabatique est suprieure la pente de lisotherme.

III.2 quation de la transformation

adiabatique rversible dun gaz parfait :

Or dans le cas du gaz parfait:

isothermeeadiabatiqu dV

dPdVdP On a montr que :

VP

dVdP

isotherme

Alors : VP

dVdP

eadiabatiqu

cteVLnPLnVdV

PdP )()(

ctePVLncteVLnPLn )()()( ctePV

Lors dune transformation adiabatique rversible

dun gaz parfait, lquation dtat scrit :

Conclusion:

ctePV

quation de Laplace

Cette quation peut aussi scrire :

CteTV 1 CteTP

1

Ou bien

IV. Cas du gaz parfait:

IV.1 Le modle du gaz parfait:

Dans un gaz parfait (idal), les molcules sont

supposes :

identiques et de trs petites dimensions,

sans interactions mutuelles entre elles,

animes de vitesses dont les directions peuvent

prendre n'importe quelle direction, avec la mme

probabilit.

IV.2 nergie interne du gaz parfait :

Puisque les interactions entre les particules dun gaz parfait sont ngligeables alors:

Ni

icic EEU

1

Avec:

N = nombre total de particules

Eci = nergie cintique (translation + rotation)

de chaque particule i.

Rotcii

Rotci

Transcici EmvEEE

221Ainsi :

RotciE est lnergie cintique de rotation de la particule i.

IV.2.1 Cas du gaz parfait monoatomique (Ar, Ne):

La rotation de latome, suppos sphrique, ne peut pas tre discerne, par consquent, on na pas de degr de libert de rotation : lnergie cintique de rotation est nulle.

Ainsi, le gaz parfait monoatomique comporte 3 degrs

de libert (de translation).

Son nergie interne est :

Par ailleurs, en mcanique statistique, on montre que

lnergie cintique moyenne relative un degr de libert de translation ou de rotation dune particule est gale :

kT21 k = constante de Boltzmann (k =1.38 10-23 JK-1)

T= temprature absolue du systme.

TranscEU

kTkTETransci 23213

Ainsi lnergie cintique de translation de chaque particule du gaz monoatomique est :

Et lnergie interne du gaz monoatomique constitu de N particules est :

NkTU23

kTnU N23 n = nombre de moles. N = nombre dAvogadro (6.022 1023 mol-1)

nRTU23Ou bien :

R= N k = 8.31 JK-1mol-1

= constante des gaz parfaits.

IV.2.2 Cas du gaz parfait diatomique (H2, N2, O2):

En plus des trois degrs de libert de translation,

deux degrs de libert de rotation viennent sajouter (la rotation suivant laxe de la liaison nest pas prise en considration), cela conduit :

kTkTERotci 212 kTkTETransci 23213

Lnergie interne de ce gaz est donc gale :

NkTkTNkTNEEU RotcTransc25

23

nergie cintique de rotation

dune molcule diatomique.

nergie cintique de translation

dune molcule diatomique.

kTnU 25

nRTU25

Puisque : N = nN

Alors :

Ou encore : Avec : R = N k

Conclusion :

Lnergie interne dun gaz parfait ne dpend que de la temprature : cest la loi de Joule.

Lnergie interne dun gaz parfait ne dpend que de la temprature : cest la loi de Joule.

nRTU25

nRTU23

Lnergie interne dun

- gaz parfait monoatomique:

- gaz parfait diatomique:

Conclusion:

IV.3 Relation de Mayer :

Pour un gaz parfait lnergie interne U et lenthalpie H ( H = U+PV = U + nRT ) ne dpendent que de la

temprature.

nRCnRdTdU

dTdHC vp Ainsi :

Donc :

nRCC vp Cp et Cv sont les capacits calorifiques

pression et volume constants.

nRccm vp )(

Sachant que :

Cp = mcp et Cv = mcv o cp et cv sont les

chaleurs massiques pression et volume

constants, la relation de Mayer scrit alors :

Ou bien, en divisant par le nombre de moles n,

la relation scrit sous la forme :

RmvCmpC )(Cmp et Cmv sont les capacits calorifiques molaires

V. Coefficients calorimtriques pour le gaz parfait:

V.1. Cas de n moles :

PnRTV

nRPVT

VnRTPnRTPV ;;;

V

VdT

dUC

P

PdT

dHC

nR

PCC

V

TCCl VP

P

VP )()(

nR

VCC

P

TCCh VP

V

VP )()(

nR

VC

P

TC V

V

V

nR

PC

V

TC P

P

P

V.2. Cas dune mole :

V.2.1. Gaz parfait monoatomique :

RTU2

3 RTH

2

5et

RCRC PV2

5;

2

3 3

5

V

P

C

C

et

Pl

Vh

P2

5 V

2

3

Donc :

VI.2.2. Gaz parfait diatomique :

RTU25 RTH

27et

RCRC PV27;

25

57

V

P

CC

Pl

Vh

P27 V

25

Donc :

VII. Application: Dtente de Joule Gay Lussac

P

V

T

Vide

P1 V1 T

Un rcipient adiabatique est

compos de deux

compartiments communicants

( parois indformables), Lun des compartiment contient un

gaz parfait une temprature

T, une pression P et un

volume V. Lautre compartiment est vide.

Lorsquon ouvre le robinet le gaz occupe les deux

compartiments.

Question: Cette transformation saccompagne t-elle dune variation de la temprature du gaz?

Rponse:

Cette transformation ne peux seffectuer que de faon spontane : elle est donc irrversible.

La variation de lnergie interne du systme (Gaz) pendant cette transformation est :

Or :Quand on ouvre le robinet la pression extrieure

(Pext) applique au gaz est nulle (vide), donc:

Par ailleurs les parois sont adiabatiques, donc :

Conclusion :

QWU

0 dVPWW ext0Q

CteUU ;0

Lnergie interne reste constante au cours de cette transformation.

Puisque lnergie interne dun gaz parfait ne dpend que de de la temprature (1re loi

de Joule), donc :

La temprature reste constante au cours de

cette transformation.

teconsTTCU v tan0

CHAPITRE 5

LE SECOND PRINCIPE

DE LA THERMODYNAMIQUE

I.1.1. Exemple :

Un systme S isol constitu de deux corps Cc et Cf de tempratures Tc et Tf (Tc >Tf ), mis en contact. Ils changent donc de la chaleur de faon spontane (la transf. est irrversible).

Le premier principe scrit: 0 QWU

00 fc QQQWor fc QQ

(Syst. Isol)

Donc :

A partir de l, on ne peut faire aucune conclusion sur le

sens de transfert de la chaleur ( cd sur le signe de Q) !

Chapitre 5: Le second Principe I. Insuffisance du premier principe :

Conclusion:

Le premier principe ne soppose

pas au transfert de chaleur dun

corps froid un corps chaud.

II. Ncessit dun deuxime principe :

Vu linsuffisance du 1er principe, Il

est ncessaire de disposer dun 2me

principe qui caractrise le sens

dune volution (transformation) et

qui rend compte de son ventuel

caractre irrversible.

III. Le deuxime principe de la thermodynamique :

III.1. nonc : Tout systme ferm est caractris par une

fonction dtat S (extensive) appele entropie, telle que sa variation, entre deux tats successives

scrives : cr

SSS

SS

r

TQ

TQ

S

= Entropie reue (algbriquement)

par le systme.

TS tant la temprature absolue de la source qui

fournit ou reoit de la chaleur et Q la quantit de chaleur reue (algbriquement) par le systme.

)( produiteoucreEntropieSc ( lintrieur du systme).

Sc = 0 lorsque la transf. est rversible.

Sc > 0 lorsque la transf. est irrversible.

Sc < 0 lorsque la transf. est impossible.

La diffrentielle de la fonction entropie S est :

T

QdS rv

Qrv tant la chaleur reue rversiblement au cours dune transformation infinitsimale.

T tant la temprature (absolue) du systme.

Pour calculer la variation dentropie dun systme passant dun tat initial (1) un tat final (2), il suffit

dintgrer dS.

2112 T

QSSS rv

condition demprunter un chemin rversible

(mme imaginaire).

Remarque importante:

Lintgrale calcule le long dun chemin

irrversible nest pas gale S. 21 T

Q

Puisque S est une fonction dtat, S reprsente la variation dentropie du systme dans toute transformation relle (rv. ou irrv. ) admettant les

tats (1) et (2) comme tats extrmes.

III.2. Exemple :

Un verre contenant 100g deau 80C est abandonn au contact de latmosphre temprature constante 25C. On constate que leau se met en quilibre thermique avec latmosphre et prend la temprature de celui-ci. Calculons la

cration dentropie (Sc) lie cette transformation.

On donne Cp(eau) = 1cal/g.

Calcul de la variation dentropie S : on choisit un chemin rversible imaginaire admettant les mmes tats

initial et final que la transformation relle (irrversible) et

on calcule S le long de ce chemin,

Puisquau cours dun change rversible de chaleur :

Alors :

Calcul de lentropie reue:

Lentropie cre est donc gale :

Sc > 0 donc la transf. est irrversible.

TdTmC

TQ

dSprv

1298353 9.70353

298184.4100

JKLnTdTmC

Sp

12.77298

)353298(184.4100

JKTQ

TQ

Sss

r

13.6 JKSSSrc

Dans ce cas: car Qrv = 0

(adiabatique)

Et : S c = 0 car la transformation est rversible.

Donc: S = S2 - S1 = 0 cd S est constante

Cette transformation est dite :

isentropique

02

1 T

QS

rvr

III.4. Cas dune transformation adiabatique et rversible:

III.5. Cas dun systme isol :

Dans ce cas: S r = 0

donc : S = Sc

Ainsi: S 0

Lentropie dun systme isol ne peut

quaugmenter.

(Lvolution du systme cesse lorsque son

entropie est maximale : il est alors en quilibre)

IV. noncs historiques du 2me principe :

IV.1 nonc de Kelvin :

" Un systme en contact avec une seule source de chaleur ne peut, au cours dun cycle, que recevoir du travail et fournir de la chaleur ".

Dmonstration :

Le bilan nergtique (1er principe) scrit :

U=W+Q=0 car la transf. est cyclique. Donc: W= -Q

Le bilan entropique (2me principe) scrit :

S = Sr + Sc = 0 car la transf. est cyclique.

Or : Sc 0 donc Sr = Q/Ts < 0

Puisque Ts > 0 alors Q < 0 ainsi W > 0

IV.2 nonc de Clausius :

" La chaleur ne passe pas spontanment dun corps froid un corps chaud ".

Dmonstration :

Soit un systme S isol constitu de 2 systmes: un corps chaud, Cc ( la temp Tc) et un corps froid Cf ( la tempTf ) mis en contact.

Le bilan nergtique (1er principe) scrit :

dU=Q=0 Donc: QCc+QCf = 0 ou bien: QCc= - QCf

Le bilan entropique (2me principe) scrit :

dS = Sc > 0 car Sr = 0 (syst. isol)

Donc : dS = dSCc + dSCf = QCc /Tc + QCf /Tf

Ainsi : QCc (1/Tc 1/Tf ) > 0

QCc < 0 et QCf > 0 car Tc > Tf

Conclusion: le corps le plus chaud cde de la chaleur au corps le plus froid.

V. Variation dentropie dun gaz parfait :

Pour calculer S d1 gaz parfait au cours d1 transf. relle entre 1 tat initial (Ti, Vi) et un tat final

(Tf, Vf), il suffit dimaginer un chemin rversible entre

ces 2 tats puisque S est 1 fct dtat.

Ainsi entre 2 tats infiniment voisins :

VdVnR

TdTC

TpdVdTC

TQ

dS vvrv

Donc :

i

f

i

fv

VV

nRLnTT

LnCS

Ou bien en crivant: f

ff

i

ii

TVP

TVPnR et nRCC vp

On obtient :

i

f

i

f

PP

nRLnTT

CpLnS

On peut aussi liminer la temprature:

i

fp

i

f

i

f

ii

ff

VV

LnCPP

CvLnSVV

nRLnVPVP

CvLnS

Applications

1. Dtente isotherme rversible dun gaz parfait :

(T0, Vi, Pi) (T0, Vf, Pf) Dtente

Isotherme

S = 8.314 Ln 10 = 19.14 JK-1. ( pour n = 1 mole)

Remarque : U = Uf -Ui = O (Trans. Isotherme d1 G.P.)

donc : W + Q = 0 ou bien W = -Q

i

fif

VV

nRLnSSS

Dans ce cas, la variation dentropie est gale :

Calcul de lentropie reue (Sr) :

puisque Q = - W (car U=0) alors:

(Transf. Rversible). pdVQ

i

ffV

iV VV

LnRTVdVRTQ 00 Donc :

Ainsi : 1

14.19

JKVV

RLnSi

fr

Conclusion : S= Sr

donc: lentropie cre est nulle (Sc = 0)

2. Dtente de Joule - Gay Lussac :

Montrons que cette dtente est une dtente (transformation) irrversible :

- Bilan nergtique (1er principe) :

Nous avons dj montr que :

U = Q + W = 0

donc : U = cte et T = cte.

- Bilan entropique (2nd principe) :

S = Sr + Sc

La dtente se fait temprature constante, donc :

i

fif

VV

nRLnSSS

Or : Sr = 0 (Puisque les parois des rcipients sont adiabatiques).

Donc :

0

c

i

fS

VV

nRLnS Car Vf > Vi

Conclusion :

Le second principe nous montre que la

dtente de Joule - Gay Lussac est une

transformation irrversible.

CHAPITRE 6

LES MACHINES

THERMIQUES

I.1. Machine thermique :

Cest un dispositif effectuant des transformations cycliques permettant de transformer une nergie

calorifique (la chaleur) en nergie mcanique (travail)

et rciproquement. Elle fonctionne gnralement

grce un fluide (qui constitue le systme) qui

change avec lextrieur le travail W et la chaleur Q.

I.2. Source de chaleur :

Une source de chaleur la temprature T est un corps

capable de cder ou dabsorber de la chaleur sans variation de sa temprature. Ex: un lac ou un fleuve.

Chapitre 6: Les Machines Thermiques

I. Dfinitions :

I.3. Transformation monotherme :

Un systme subit une transformation monotherme,

lorsquil nchange de la chaleur quavec une seule source de chaleur la temprature Ts.

I.4. cycle ditherme :

Cest un cycle au cours duquel le systme change de la chaleur avec deux sources de chaleur aux

tempratures constantes T1 et T2.

Remarque :

Puisquil est impossible daprs le 2me principe de

"produire" du travail laide dune source de chaleur unique, une machine thermique doit donc

obligatoirement fonctionner entre au moins deux

sources de chaleur.

Soit un systme mis en contact avec une seule

source de chaleur la temprature T0 . Il reoit

de celle-ci une quantit de chaleur Q.

On peut crire: S = Sr + Sc

Ainsi : S - Sr = Sc 0 avec :

Donc : 0T

QS r

00

T

QS

STQ

0

= si la transf. est rversible.

< si la transf. est irrversible.

II. nonc mathmatique du second principe:

Ainsi, si le systme est mis en contact avec N sources de chaleur et sil reoit de la ime source (dont la

temprature est Ti ) une quantit de chaleur Qi alors:

STQNi

i i

i

1

Si le systme dcrit un cycle (Scycle = 0), alors :

01

Ni

i i

i

TQ

Cest la relation de Clausius pour un cycle.

= si la transf. est rversible.

< si la transf. est irrversible.

Gnralisation :

Si des changes de chaleur Q se font successivement avec des sources de chaleur temprature Ts variable de faon continue, alors :

0sTQ

STsQ

21

Dans le cas particulier dun cycle (les tats (1)

et (2) concident), on a :

= si la transf. est rversible.

< si la transf. est irrversible.

Cest lingalit de Carnot - Clausius pour un cycle.

Remarque importante:

Toutes les ingalits ci dessus deviennent des

galits dans le cas ou toutes les

transformations sont rversibles. Dans ce cas

la temp , T, du systme est tout moment

gale la temp de la source avec laquelle il

se trouve ( ce moment) en contact.

III. Thorme de Carnot : III. 1. Cycle de Carnot:

Il dsigne une transformation cyclique rversible au cours de laquelle le systme change de la chaleur avec 2 sources de chaleur aux tempratures T1 et T2.

Il est constitu de 2 transformations isothermes (AB et CD) et de 2 transformations adiabatiques (BC et DA).

1

11TQ

S

Isotherme AB:le systme est en contact avec la

source chaude T1 (T1 > T2) avec

laquelle il change une quantit

de chaleur Q1. La variation

dentropie du systme est :

Isotherme CD: le systme est en contact avec la source

froide T2 avec laquelle il change une

quantit de chaleur Q2. La variation

dentropie du systme est : 2

22TQ

S

Adiabatiques BC et DA: le systme est isol

thermiquement. La variation dentropie au

cours de ces transf. adiabatiques

rversibles est nulle.

Ainsi : Scycle= 0 = S1+ S2 02

2

1

1 TQ

TQ

On retrouve lgalit de Carnot pour

un cycle ditherme rversible.

On dfinit le rendement (r) de cette machine par :

dpenseGainr

1QW

chaudesourcelaparfourniechaleurobtenutravail

r

III. 2. Thorme de Carnot:

" Le rendement dun moteur (cycle) rversible

est suprieur au rendement dun moteur

(cycle) irrversible fonctionnant entre les

deux mmes sources. Ce rendement maximal

ne dpend que des tempratures T1 de la

source chaude et T2 de la source froide ".

Preuve :

1

2

1

2

1

21

1

11T

T

Q

Q

Q

QQ

Q

Wr

rv

rv

rv

rvrv

rv

rvrv

Le rendement dun moteur ditherme rversible est :

Ce rendement ne dpend que des tempratures des sources

chaudes et froides (T1 et T2 respectivement).

Cas dun moteur ditherme irrversible :

Scycle = Sr + Sc = 0 donc: Sr = - Sc

Sr < 0 (puisque S c >0) donc:

Ainsi :

Donc le rendement est :

Conclusion :

02

2

1

1 T

QT

Q irrvirrv

1

2

1

2

TT

Q

Qirrv

irrv

1

2

1

2

1

11T

T

Q

Q

Q

Wr

irrv

irrv

irrv

irrvirrv

rvirrvrr

IV : Diffrents types de machines ditherme :

IV. 1. Moteur thermique :

Il prlve de la chaleur de la source chaude, en rejette une partie dans la source froide et fabrique du travail avec la diffrence.

Source Froide

Source Chaude

Q1

Q2

W

Source chaude (T1)

Source froide (T2)

W < 0; Q1 > 0 et Q2 < 0

Le rendement est gal :

1

2

1

1Q

Q

Q

Wr

Puisque : W= - ( Q1 + Q2 )

IV.1.1 - Moteur thermique rversible :

Le 2ime principe scrit : Scycle = Sr + Sc

Avec : Scycle = 0 et Sc = 0 (transf. Rv.)

Donc :

1

2

1

2

2

2

1

1 0T

T

Q

Q

T

Q

T

QS

rv

rvrvrvr

Le rendement est :

1

21T

Trrv

rv

rv

rv

rvrv

rv

rvrv

Q

Q

Q

QQ

Q

Wr

1

2

1

21

1

1

IV.1.2 - Moteur thermique irrversible :

rvirrv rr

En dmontrant le thorme de Carnot, on a tabli

que :

1

2

1

2

1

11T

T

Q

Q

Q

Wr

irrv

irrv

irrv

irrvirrv

Donc :

IV. 2. Machine frigorifique :

Source Froide

Source Chaude

Q1

Q2

W

Source chaude (T1)

Source froide (T2)

Elle enlve la chaleur de la

source froide et rejette de

la chaleur dans la source

chaude moyennant une

fourniture de travail.

W > 0; Q1 < 0 et Q2 > 0

11

1

1

2

1

2

121

2

TT

Q

QQQ

Qe

rv

rvrvrv

rvrv

Ainsi :

Donc : 21

2

TTT

erv

lefficacit du rfrigrateur est dfinie par :

WQ

e2

IV. 3. Pompe chaleur :

Cest une machine qui utilise le travail du milieu

extrieur pour chauffer une chambre qui joue le

rle de la source chaude.

Elle est caractrise par un paramtre appel

performance de la pompe note p et gale :

1

221

11

1

1

QQQQ

QWQ

p

Cas ou la pompe chaleur est rversible :

Dans ce cas : 0

2

2

1

1 T

QT

Q rvrv

1

2

1

2 1

1

1

1

TT

Q

Qp

rv

rvrv

donc :

soit : 21

1

TTT

p rv

V. Applications (Exemples de cycles moteurs):

V.1. Moteur explosion (moteur essence): cycle de

Beau de Rochas ou cycle dOtto:

On fait subir une masse dair et de carburant (essence) un cycle constitu de 2

isentropiques (adiabatiques rversibles) et de

2 isochores.

Cest un cycle propos par lingnieur franais Beau de Rochas en 1862 et ralis

par lingnieur allemand Otto en 1878.

Description du cycle:

Le cycle est dcrit en 4 temps:

-1ier temps (admission): Le cylindre aspire un mlange

air + essence travers une soupape dadmission dans un volume V1 (portion 0 1).

- 2ime temps (compression): Les soupapes tant

ferms, le mlange air + essence est comprim

isentropiquement jusquau volume V2 (portion 1 2).

- 3ime temps (explosion dtente): Lexplosion du mlange (grce ltincelle de la bougie) augmente la pression (portion 2 3). Les gaz de combustion se

dtendent isentropiquement (portion 3 4) en

repoussant fortement le piston (phase motrice).

- 4ime temps (chappement): La soupape

dchappement souvre, ce qui diminue brutalement la pression (portion 4 1) et les gaz brls sont

vacus jusquau volume V2.

- tude thermodynamique:

1- crire lexpression de la quantit de chaleur (Q1) que reoit le moteur de la source chaude en fct de Cv , T2 et T3.

Q1 = U2-3 = Cv (T3 T2)

2- crire lexpression de la quantit de chaleur (Q2) cde par le moteur la source froide en fct de Cv, T1 et T4.

Q2 = U4-1 = Cv (T1 T4)

3- crire lexpression du rendement ( r ) du moteur essence en fct de Q1 et Q2 puis en fct de T1 , T2, T3 et T4.

Par dfinition : 1Q

Wr

1

2

1

21 1Q

Q

Q

QQr

Donc:

23

141TT

TTr

Ou bien :

4- crire lexpression des rapports en fct de

12 et (12 = V1/V2 = taux de compression) .

Les transformations 1-2 et 3-4 sont isentropiques

(adiabatiques rversibles) d1 fluide (air+essence ou produits de ractions) considr comme 1 gaz parfait.

donc: et

Ainsi : et

4

3

1

2

TTet

TT

122

111

VTVT 1441

33 VTVT

112

2

1

1

1

2

V

V

T

T 112

2

1

1

3

4

1

4

3

V

V

V

V

T

T

5 - crire lexpression du rendement (r) en fct de

12 et .

On a : donc :

Or :

Conclusion :

Le rendement de ce moteur ne dpend que

du taux de compression.

23

141TT

TTr

3

2

4

1

3

4

1

1

1

T

T

T

T

T

Tr

112

3

4

3

2

4

1 1

T

TetTT

TT

1121r

-tude thermodynamique:

1- crire lexpression de la quantit de chaleur (Q1) que reoit le moteur de la source chaude en fct de Cp , T2 et T3.

Q1 = U2-3 = Cp (T3 T2)

2- crire lexpression de la quantit de chaleur (Q2) cde par le moteur la source froide en fct de Cv, T1 et T4.

Q2 = U4-1 = Cv (T1 T4)

V.2. Moteur allumage par combustion : Cycle Diesel

3- crire lexpression du rendement ( r ) du moteur Diesel en fct de Q1 et Q2 puis en fct de T1 , T2 , T3 , T4 , et .

Par dfinition : soit : 1Q

Wr

1

2

1

21 1Q

Q

Q

QQr

Donc :

3

2

3

1

3

4

23

14

1

1111

TTTT

TT

TT

TTr

Avec:

113

1

1

3

3

4

VV

TT

12

13

3

2

3

2

VV

TT

13123

2

2

1

3

1 TT

TT

TT

11213

1312113

111

rDonc :