1

Matematikk i endring -faget, undervisningen eller vi?

Johan Aarnes og Signe Holm KnudtzonNTNU HVE

EtterutdanningskonferanseVoss 25. september 2007

Historiske milepeler

Matematikk over 5000 år

Fra Babylon til Hypatia

• Oppfinnelsen av skrift og tallsymboler, sumererne, ca. 3500 f.Kr.

• Babylonsk matematikk, -2000.• Egyptisk matematikk, -1600. • Pytagoras, -500.• Gresk matematikks blomstring, -500 til -

200, Eudoxus, Euclid, Arkimedes, Appolonius

• Pappus, Diofantus, Hypatia (+500)

en del av

Plimton 322 ca 1860 f.KrStammer fra Babylon en del av dagens Irak

Columbia University i New York

Foto Signe H. Knudtzon

21. Februar 2007

Fra Mekka til Abel• Hindu-arabiske tall (600-800)• Arabisk matematikk, ligningsteori, Al-Kwarizmi,

Khayaam (800-1000)• Innføring av arabiske tallsystem til Europa ca. 1200

(Fibonacci) med null og posisjonssystem, fire regningsarter.

• Hauks bok (ca. 1300)• Algebraisk symbolregning, Viete, 1500-tallet• Analytisk geometri, Descartes (1550)• Napier, Briggs, logaritmer (1600)• Kepler, Newton (1600-1689)• Leibniz, differensialregning (1680)• Differensialligninger, Euler, Bernoulli, Fourier

(1700-1807)

2

Fra Abel til Wolfram• Ikke-euklidsk og projektiv geometri. (Bolyai;

Desargues)• Komplekse tall og algebraiske ligninger (Gauss,

Wessel, Abel, Galois)• Kompleks funksjonsteori, geometri (Cauchy, Riemann)• Gruppeteori (Sylow)• Differensialgeometri, transformasjonsgrupper (Gauss,

Lie)• Uendelige rekker, funksjonalanalyse (Weierstrass,

Hilbert)• Topologi (Poincare)• Mengdelære og logikk (Cantor, Goedel)• Computere, matematisk simulering (von Neumann)• Spillteori (Nash, von Neumann)• Informasjonsteori (Shannon)• Game of life, Cellulære automater (Conway, Wolfram)

Endring Utvikling Forandring Skapelsen av matematikkEr utviklingen gradvis eller sprangvis?Noen perioder har raske endinger, paradigmeskifter. Som

f. eks når grekerne spør etter hvorfor og krever Bevis.Endring er i seg selv et matematiske begrep – vi snakker

om den deriverte Enheten i ”endringen” er ikke så lett å definere. Skal det

være antall nye teoremer som blir bevist pr år, skal det være antall artikler som blir skrevet pr år ???

Vi regner dagens endring som ”rask”, to av grunnene er ny teknologi som gir nye muligheter og at det er mange flere ”hoder” som arbeider med matematikk.

Matematikk matematikkundervisningprosesser og dimensjoner

Utviklingen/oppbygningen av matematikk har skjedd

som en vekselvirkning mellom skapende

(undersøkende/utforskende)

prosesser og ordnende(begrunne/bevise/bygge/veve

lage regnemåter/algoritmer) prosesser.

Matematikk har så mye åtilby.

Det er en sorg at elevene ofte bare får møte en liten del av dette, nemlig resultatene av de ordnende prosesser, de ferdige regnemåtene.

(fra foredrag i Trondheim august 1998, shk)

Skole

• Lover• Planer

• Undervisning• Bøker • Lærerutdanning

Musica

Geometria

Aritmetica

Astronomia

Trivium

syv frie kunster

Quadrivium

Denne illustrasjonen stammer fra Hortus deliciarum, laget ved klosteret Odilienbergav abedissen Herrad von Landsberg en gang på slutten av 1100-tallet.

Skoler[fra gresk skhole: lek,

fritidsaktvitet]

Fra en skole for frelse til en skole for borgerdannelse

Fra en skole for noen få, til dagens skole for alle

3

Norske skolelover regulerer undervisningen ved offentlige og private skoler i Norge

• 1739 Norge fikk sin første skolelov med fagene kristendom, lesing, Forordning (KUD og skoleloven av 1827 føyde til skrivning og regning )

• 1860 Lov om allmueskolene på landet - den første store reformloven om skolen etter 1814.

• 1869 Lov om offentlige skoler. Norge får 6-årig middelskole og 3-årig gymnas.

• 1889 Folkeskolelovene skulle åpne veien til høyere utdannelsefor alle

• 1890 Den første normalplanen for folkeskolen. • 1896 Gymnasloven • 1936 Folkeskolelovene av 1936. Enhetsskole. • 1959 Folkeskolelovene av 1959. Obligatorisk 7-årig skolegang. • 1969 Lov om grunnskolen. Pliktig skolegang utvidet til 9 år. • 1998 Lov om grunnskolen og den vidaregåande opplæringa

opplæringslova som omhandler rettigheter og plikter forbundet med opplæring og skolegang i Norge.

Hentet fra «http://no.wikipedia.org/wiki/Norske_skolelover» (noe justert)

En fattig skole Første halvdel av 1800-tallet

Bethlemen skole var Nykirkens skole

«I almueskolerne lærer man at stave og læse indenadog udenad Luthers Katekisme og Pontoppidansforklaring, og når det gaar høit, lærer man endnunogle Bønner, Evangelier osv. udenad. Og saa lærer man nogle faae at skrive, det vil sige Bogstavtræk, og nogle endnu færre at regne de 4 Species. Anden Undervisning, hvorved de kunde dannes til dueligeArbeidere, Tjenestefolk, lykkelig Mennesker og gode Borgere finder ikke sted.»

Dette skrev Lyder Sagen og Hermann Foss om fattigskolen i 1824.

Vekselskolen

Vekselskolen baserte undervisningen på at de eldste og flinkeste barna kunne undervise de minste.

Slik kunne én lærer ha en klasse på 200 elever.

I Bergen ble vekselskolen drevet fram til 1848, men resultatene fra undervisningen var så dårlige at man forlot vekselundervisningen både i Bergen og resten av landet.

Dragkamp om skolens innhold

Utover på 1800-tallet argumenterte mange for at skolen måtte bli mer praktisk.

På den ene siden sto de som forsvarer studiet av de klassiske språk (gresk og latin), på den andre siden de som såbehovet for økt kjennskap til realfag og moderne språk.

I 1850 etableres Tanks skole.

I diskusjonen om matematikkfagets innhold på gymnasets latinlinje ble det sagt:

At der skulle undervises:

I det uendelig lille og i det uendeligt store For derigjennom

at kunne fatte Guds Storhet

matematikk

Har nå vært :

En av de frie kunster

en støtte for at kunne fatte Guds Storhet

4

Plan hvorefter Undervisningen og Disiplinen i Almueskolerne på Landet skal indrettes og Instruks for Lærerne ved Almueskolerne.

1834

§ 6. Ved undervisning i Læsning,

Skrivning og Regning bør, saavidt muligt,

for de første BegyndereVerelundervisnings-Methoden anvendes,

og de dertil fornødne Tabeller og Tavler anskaffes for enhver Skole.

…

Den Regnebog og de Forskrivter, som Departementet for Kirke- og Undervisningsvæsenet har besørget udgivne, skulle benyttes ved Underviisning i Regning og Skrivning.

Plan fra 1877

Regning.Ved dette fag tiltrenges det endnu mer end ved de foregående at Undervsningen anlegges planmessigt, da her det Følgende maa støttes til det Foregagne, som derfor alltid maa være vel tilegnet, førend man kan gaa videre. I flere Skoler vil det være nødvendigt, at Børnene ved Undervisningen i Tavleregning efter sine forskjellige Standpunkter deles i Partier, men Læreren maa strebe hen til at partienes antall maa bliver saa lidet som muligt.Hovedregning gaar altid forud for og afvekslermed Tavleregning.

Ny pedagogikk. Arbeidsskole i praksis ved Nordnes skole i 1930.

Pultene har måttet vike plass for løse stoler og bord.

I matematikken fikk elevene mer praktiske oppgaver. I all undervisning skulle barnas opplevelse stå i sentrum.

• Normalplanen av 1939• Vektlegger arbeidsskolen• Helga Eng var sentral i utarbeidelsen av

planen.Mye om at elevene arbeider selvstendig

med egne valgte oppgaver enten i grupper eller individuelt. – mye av dette har ikke kommet fram til dagens grunnskole. (shk)

• M87• Thorvald Tveiten sentral i utarbeidelse av

planen.• Problemløsning blir et eget hovedemne.

(hovedemne nummer en av ti) (dette er i tråd med det som skjer i mange andre land)

• Problemløsning skal både være et eget hovedemne og være en del av alle de andre hovedemnene (som metode ved innføringen av disse?)

5

Eleven skal finne fram til regnemåter. En diskuterer ulike løsninger.

Dette krever mye av lærerne.

Se Heidi S. Måsøval og Frode Rønnings innspill til NMR (norsk matematikkråds møte om krav til kompetanse for lærere som underviser i matematikk på barnetrinnet). Nettadresse:

http://www.math.ntnu.no/nmr/dokumenter/2007-06_hist_KravUndervisningskompetanse.pdf

Hauks bok

Haukr Erlendsson ( ? -1334). Den matematiske delen av Hauksbok kalles

Algorismus og utgjør ca. 6-7 A4-sider. Dette er den eldste regnebok med "våre" tall på et nordisk språk.

Algorismus i Hauksbok starter med å forklare posisjonssystemet. Boka navngir bare de to første plassene. Enerne kalles finger og tierne kalles ledd, mens de andre kalles sammensatt tall. Vi finner her også norrøne navn på 7 regningsarter:

= rotutdraging= ta rot avtaka rót undan

= divisjon= delingskipting

= multiplikasjon= mangfoldingmargfaldan

= halvering= halvdelinghelmingaskipti

= dobling= tofoldingtvifaldan

= subtraksjon= fratrekkingafdráttr

= addisjon= tilleggingvidrlagning

"I sju er denne kunstens greiner delt: den første heter tillegging, den andre fratrekking, den tredje tofolding, den fjerde halvdeling, den femte mangfolding, den sjette deling, den sjuende å ta rot av.

Og denne greina går i to retninger: den ene er å ta rot av firkanta tall,

den andre er å ta rot av åttehjørna tall som har terningform."

Det var Norsk Kathedralskole i fire norske byer fra tolvhundretallet

1645

Aritmetica Danica

Den lidle Norske Regnebog

Av Tyge Hansøn i TrondheimUtgitt i København

Kilde: Geir Botten, 1999. Matematikk med mening

• Johan Amos Comenius utgav i 1656 den første illustrerte leseboken for barn , Orbis pictus

• En dansk oversettelse kom i 1672.

De Umistelige Bøger

De eldste norske ABC-bøkerHøgskolen i Vestfold, biblioteket.

6

De Umistelige BøgerDe eldste norske ABC-bøker

Høgskolen i Vestfold, biblioteket.Om prosjektet "De Umistelige Bøger"

Kildal, Simon. 1806Øvelses-Bog til Bogstav-Kjendskab, Rigtig-Staven og Ret-Læsning bestemt til Veiledelsefor Forældre og Ungdomslærere, som ville opfylde deres vigtige Kald: at anføre deres Børn paa en fornuftig Maade, til at læse, tænke og frygte Gud. Ti l Brug for Pigebørn. Andet forbedrede og omarbeidede Oplag. Kjøbenhavn: Trykt paa Forfatterens Forlag, 64 s.

ABC. 1804Christiansand: Trykt af Peder Høeg. 16 s., upag.

Schultz, Christian. 1779Forsøg Til En forbedret Abc-Bog, Ungdommen til Beste, og med Foresattes Samtykke, udgiveti Trykken af C. Schultz. Ihlens Skole den 16de Julii 1779. Andet Oplag, Tronhjem.: Trykt paaAutors Bekostning. 32 s., pag. 2 ill.

I n n h o l d :

Forsøgtil en hensigtsmæssig Barnetsførste Bog,

af

M. C. Hansen

_______________Christiania 1842.Trykt i R. Hviids Enkes Bogtrykkeri og paa hendes Forlagaf G. Hansen.

11

32_____ hvor man-ge ben har fi-ske-ne? fi-ske-ne har

slet in-gen ben. men hvor-dan bær de sig da adNote: Merk de to skriveformene højre og høire.

31hvor man-ge ben har en hest? et ben, to, tre, fire.en hest har fi-re ben. en ko har fi-re ben. en hund har fi-re ben. og en kat og-saa. men hvor man-ge ben har en hø-ne? kan du si-ge mig det, carl? en, to. en hø-ne har ba-re to ben. en kra-ge, en skjæ-re, en spurv har og-saa ba-re to ben. al-le fug-le har to ben. men fug-le-ne har to vin-ger, som de kan fly-ve med. det har ik-ke carl, og det har hel-ler ik-ke he-sten og ko-en, og hun-den. fug-le-ne har in-gen tæn-der, men saa har de etnæb, som de spi-se med.

30Carl! hvor man-ge fød-der har du? en, to. du har to fød-der. hvor man-ge tæ-er har du paa hver fod? lad os tæl-le ef-ter. en, to, tre, fire, fem. du har fem tæ-er paa den fod. kom nu med den an-den. der er jo og-saa fem tæ-er paa den. ved en-den af hver taa har du en negl. den e-neaf de to fød-der hed-der den høi-re fod, og denan-den hed-der den ven-stre. o-ven-for hver fodhar du et ben.

paa hver haand? la os tæl-le ef-ter. en, to, tre, fi-re, fem. du har fem fin-gre paa den haand, kom nu med den an-den. der er jo og-saa fem fin-gre paa den. ved en-den af hver fin-ger har du en negl. den e-ne af de to hæn-der hed-derden høj-re haand, og den an-den hed-der den ven-stre. o-ven-for hver haand har du en arm.

De romerske TaltegnI II III IV V VI VII VIII IX X XI XII o.s.v. 91 L.C. D. M.

4 Gange 4 er 16

Multiplikationstabellen.

Legg merke til at du ikke trenger

6 gange 5 når en allerede har hatt 5 gange 6 osv (shk)

Cappelens regneverk

1962 1. klasse

7

Lærerutdanning• 1749-1751 utdannet Latinskolen i Bergen 38

lærere, ellers var det den lokale presten som ”lærte opp” skoleholderen

• 1821 – 1839 opprettes 6 seminarier. Det første påTrondenes (alle utenom byene)Først i 1890 åpnes disse for kvinner.

Kvinner kunne formelt ikke undervise i allmueskolen før 1860 på landet og 1869 i byene. (kvinner fikk omtrent halv lønn)

1989

Lærerutdanning de siste 20 -40 år Start 1969 Oslo off. 2 årig utdannelse. Ikke

undervisning i matematikk, men matematikkdidaktikk.

Start 1973 Oslo off. Moderne matematikk. (uforståelig for mange)

3-årig allmennlærerutd. 4-årig fra 19981988/89 ca 30 ansatte 2007 ca 150 ansatteStudenter (allmennlærerutdanning):1988/89 ca 1000 pr år 2007 ca 2000 pr årAv disse Av disseCa 42 % 5 vekttall Alle har 10 vt (30stp)Ca 14 % 10 vektall ca 10 % har 60 stp

Sokrates ca 470 – 399 f.KrDialogenMenon skrevet av Platon

Ca 10 min utdrag av MenonSokrates av Johan Aarnes

Menon av Signe Holm Knudtzon

”Gutt” (Menons slave) av Lisbet Karlsen

Handler om sidelengden i det dobbelte kvadrat – og om at Sokrates ”ikke lærer gutten noe”

”ordene er alle hans egne”

Oversatt fra engelsk til norsk av Johan Aarnes

8

Pedagogisk plattform for matematikk i skolen

Konsensus må omfatte:• Hva faget har å tilby barn og unge mennesker• Lærerens holdning til og oppfatning av hva

matematikk er• Hvordan barn og unge best lærer matematikk• Hvordan faget bør undervises• Fagets mål og innhold• Fagets rolle i samfunnet

Karl Øivind Jordell

Hva bestemmer nyutdannede læreres undervisning? ”det viktigste først”

1 Sånn gjør vi det her (skolekulturen der de kommer)

2 Egen erfaring som elev

3 Lærerutdanningen

Endring i antall studenter som tar /har matematikk

Alle må ha 30 stpNoen har 60 og 90 stp og noen masterFlere studenter regner seg nå som

matematikklærere når de begynner åarbeide som lærer.

Nye kompetansekrav for ungdomsskolenOg - nye krav for barnetrinnet? (se NMR .)

1989

Vi har fått :

Nr 1 1990

9

Konferanser for lærere (LAMIS og Novemberkonferansen)

30 stp matematikk for allmenlærereKrav om 60 stp for å undervise i ungdomsskolen

Ønsker krav for barnetrinnetBedre samarbeid med NMR

http://www.matematikksenteret.no/

10

ESMEducational

Stud in Math.

Eksempler på artikler om Bevis i EMS:How can the relationship between

argumentation and proof be analysed?Author Bettina Pedemonte

Keith Jones, Ángel Gutiérrez and Maria A. Mariotti, the “influence of dynamicgeometry software on students’conceptions of mathematical proof.”(Jones, Gutiérrez, and Mariotti, 2000).

Reasoning Key Stage 3 11-13 år England

• explore, identify, and use pattern and symmetry in algebraic contexts, investigating whether particularcases can be generalised further and understanding theimportance of a counter-example; identify exceptionalcases when solving problems; make conjectures and check them for new cases

• show step-by-step deduction in solving a problem; explain and justify how they arrived at a conclusion

• distinguish between a practical demonstration and a proof

• recognise the importance of assumptions when deducingresults; recognise the limitations of any assumptions thatare made and the effect that varying the assumptionsmay have on the solution to a problem.

Hvor mange av våre studenter kan:

distinguish between a practicaldemonstration and a proof

?

Oppgave til M3

Arbeid med guidede tur nr 2 – Medianer i Geometer

Skriv ned svarene du får i punkt 8Arbeid med punkt 9

CF/GF = 3 Bevis dette

G

F

DE

A

C

B

Hva karakteriserer undervisning der elevene gjør det godt?

• Starter med et åpnet spørsmål, et nytt problem

• Elevene kommer fram med sine forslag til løsning

• Dette drøftes, oppsummeres, konkluderes

• Lærerne danner/har ofte støttegrupper – der de diskuterer hvordan et bestemt emne kan undervises, forslag til oppgaver

11

”Generelt sitter vi imidlertid med et inntrykk av at det er lite systematisk og oppsummert refleksjon rundt de ulike aktivitetenes læringspotensiale, hvilket igjen bidrar til at elevene vanskelig kan akkumulere kunnskap basert på systematiske erfaringer. Det faktum at det brukes lite tid til avrunding og oppsummering av de ulike aktivitetene bidrar videre til at de ulike aktivitetenes intensjoner blir uklare for elevene, og det etableres en svak relasjon mellom å gjøre noe og å lære noe.”

(Klette 2003, s. 73)

Hva kjennetegnerundervisningen i matematikk i norsk skole?

Norske matematikklærere har et generelt høyt utdanningsnivå, men svak matematikkfaglig utdanning.

Norske matematikklærere deltar også i påfallende liten grad i etter- eller videreutdanning som er relevant for matematikkundervisning.

I mindre grad enn i mange andre land preges norsk matematikk-undervisning av at noen faglige temaer tas opp ofte.

Matematikkundervisningen i Norge er preget av at elevene i stor grad arbeider på egen hånd med oppgaver, og av at norske elever i mindre grad enn i mange andre land hører lenge på at læreren snakker om et emne.

I Norge har man god tilgang på datamaskiner i matematikk, men de blir lite brukt.

Norge skiller seg ikke ut når det gjelder å gi lekser til elevene, men leksene følges i liten grad opp av lærerne

TIMMS

Hva skjer?Oppgavediskursen råder

Noe spirer noen steder

Undersøkelse, utforskning, diskusjoner, aktivitet, begrunnelse

En utfordring å ”bygge dette sammen” åoppsummere, hva har vi lært, hva vet vi nåsom vi ikke visste i morges? Hva mer vil vi undersøke?

Hvor er vi? Hvor vil vi?

• Hva er flaskehalsene?

• Lærerne / lærerutdanning

• Rektorer !!!!

• Praksis Undervisning i skolene

•The Curriculum Focal Points are the most important mathematical topics for eachgrade level. They comprise related ideas, concepts, skills, and procedures that form the foundation for understanding and lasting learning.

• http://www.nctm.org/standards/content.aspx?id=270

• Standards

• ICTM 2000

• Vekt på ”proof”Dette er et tema som får mye plass på

internasjonale konferanser og tidsskrift

12

Videostudien knyttet til TIMSS i 1995, hvor matematikkundervisningen i USA,Japan og Tyskland ble sammenliknet, viste at det var til dels store forskjeller på hvordan undervisningen ble drevet (Stigler & Hiebert 1999).

Men forskjellen gikk ikke på om elevene hørte på læreren eller ikke, men mer på hvilken type refleksjon hos elevene læreren la opp til, på hvilken måte aktiviteter ble integrert i resten av undervisningen, og påbruken av oppsummeringer av det elevene hadde arbeidet med.

Etter vår oppfatning er det nettopp disse fagdidaktiske sidene ved undervisningen i realfag som er avgjørende for god læring. Og god undervisning i denne forstand stiller store krav til læreren om både faglig og fagdidaktisk kompetanse.

S 11 i http://www.timss.no/rapport2003/Kap_11_2003.pdf

Pedagogisk plattform for matematikk i skolen

Konsensus må omfatte:• Hva faget har å tilby barn og unge mennesker• Lærerens holdning til og oppfatning av hva

matematikk er• Hvordan barn og unge best lærer matematikk• Hvordan faget bør undervises• Fagets mål og innhold• Fagets rolle i samfunnet