Integración por fracciones parciales

Integrales que contienen polinomios cuadráticos

Muchas integrales que contienen una raíz cuadrada o una potencia negativa de un polinomio cuadrático ax2 + b x + c se pueden simplificar mediante el proceso de completar el cuadrado.Por ejemplo

y por tanto, con la sustitución u = x + 1, du = dx, se obtiene

En general, el objetivo es convertir ax2+bx+c en una suma o en una diferencia

de cuadrados para que se pueda usar tablas

o 2222 -u aau

1)1(22 22 xxx

cxacuau

duxx

dx )1tan()tan(122 22

Integración de Funciones Racionales mediante Fracciones Parciales

¿Cómo integrar una función racional?

Expresándola como una suma de fracciones más simples, llamadas fracciones parciales

Consideremos la función racional:

)()()(

xQxPxf

Integración de Funciones Racionales mediante Fracciones Parciales

Es posible expresar f como una suma de fracciones más sencillas, siempre que el grado de P sea menor que el grado de Q. Esa función racional se llama propia.

Si f es impropia; esto es, si grad(P(x)) grad(Q(x)), debemos dividir Q entre P hasta obtener un residuo tal que

)()()(

)()()(

xQxRxC

xQxPxf Propia

El siguiente paso consiste en expresar la función racional propia R (x) / Q (x) como una suma de fracciones parciales, de la forma:

jcbxaxBAx

2

ibaxA

O bien

Caso I: El denominador. Q (x), es un producto de factores lineales distintos.

En donde no hay factor que se repita. Es este caso, el teorema de las fracciones parciales establece que existen constantes, A1, A2 , ..... A k tales que

kk bxabxabxaxQ ....)( 2211

)(...

)()()()(

22

2

11

1

kk

k

bxaA

bxaA

bxaA

xQxR

Esto significa que podemos escribir:

Ejercicio: Determine

dx

xx 2125

dx

xxxxx

2434

23

2

dx

x 41

2

Considere que el primer factor lineal se repite r veces; esto es, en la factorización de Q (x) se obtiene

Entonces, en lugar del término único

Emplearíamos:

)( 11 bxa

rbxa )( 11

rrr

r

bxaA

bxaA

bxaA

)(...

)()( 222

2

11

1

)( 11

1

bxaA

Caso II: Q (x) es un producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten

Por ejemplo:

22

2

)1()1(122

xC

xB

xA

xxxx

CxxBxxAxx )1()1(22 22

x = 1: C = 1 x = 0: A = -2 x = -1: B = 4

22

2

)1(1

)1(42

122

xxxxxxx

dx

xdx

xdx

xdx

xxxx

22

2

)1(1

)1(42

122

)1(1

1ln4ln2

122

2

2

xxxdx

xxxx

Ejercicio: Determine

dx

xxxx1

142

dxxx

xx3212

432

2

dx

xxxx

3

23

356

Caso III: Q (x) contiene factores cuadráticos irreducibles, ninguno de los cuales se repite

Si Q (x) tiene el factor ax2 + b x + c, en donde b2-4ac<0, entonces la expresión R (x) / Q (x) tendrá un término de la forma:

cbxaxBAx

2

Por ejemplo:

4141 2222

x

DCxx

BAxxx

x

)1()4)(( 22 xDCxxBAxxDe la anterior igualdad: A = C = 0 ; B = 1/3 ; D = -1/3

431

131

41 2222

xxxxx

431

131

41 2222

xxxxx

dx

xdx

xdx

xxx

431

131

41 2222

2tan

61)tan(

31 xaxa

*

* Ver tabla

Obs: El término se puede integrar completando el cuadrado y con la fórmula (tabla)

Ejercicio: Determine

cbxaxD

2

caxa

adx

ax

tan1122

dx

xxx

)2(2

2

2

)( 36 xxdx