Kvadratna jednačina

Opšti oblik:

ax2+bx+c=0 a,b,c∈R

a – koeficijent ispred kvadratnog člana

b – koeficijent ispred linearnog člana

c – slobodan član

U slučaju da je jedan od ovih koeficijenata jednak nuli imamo nepotpunu kvadratnu jednačinu.

Rešenja kvadratne jednačine nalaze se pomoću formule x1,2=−b±√b2−4ac

2a .

Diskusija rešenja kvadratne jednačine: D =b2−4 ac zove se diskriminanta kvadratne jednačine i zavisno od njene vrednosti imamo:

1. Ako je D > 0 jednačina ima realna i različita rešenja x1≠ x2∈R

2. Ako je D = 0 jednačina ima realna i jednaka rešenja x1¿ x2∈ R3. Ako je D < 0 jednačina ima konjugovano kompleksna rešenja.

Kvadratnu jednačinu možemo rastaviti na linearne činioce ax2+bx+c=a (x−x1)(x−x2). Nekada se ovo zvalo i

znak trinoma i imamo tri slučaja

1. a) Ako je a > 0 i rešenja realna i različita tada je znak trinoma kao na slici

b) Ako je a < 0 i rešenja realna i različita tada je znak trinoma kao na slici

2. a) Ako je a > 0 i rešenja realna i jednaka znak trinoma je pozitivanb) Ako je a < 0 i rešenja realna i jednaka znak trinoma je negativan

3. a) Ako je a > 0 i rešenja konjugovano kompleksna znak trinoma je pozitivan

b) Ako je a < 0 i rešenja konjugovano kompleksna znak trinoma je negativan

Veza rešenja i koeficijenata kvadratne jednačine određena je Vijetovim formulama :

x1+ x2=−ba

x1 ∙ x2=ca

Vrlo značajan ,za crtanje grafika kvadratne funkcije kao i kod rešavanja pojedinih oblika integrala, jeste takozvani

kanonski oblik kvadratne jednačine y = a (x+b2a

¿2 +4 ac−b2

4 a

Ako je a > 0 funkcija ima minimum 4 ac−b2

4 a za x=-

b2a

Ako je a < 0 funkcija ima maksimum 4 ac−b2

4 a za x=-

b2a