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Matematicas Resueltos (Soluciones) Sucesiones 1º Bachillerato Ciencias de la Naturaleza

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1º Bachillerato Opción Ciencias Naturales.

Text of Matematicas Resueltos (Soluciones) Sucesiones 1º Bachillerato Ciencias de la Naturaleza

Cuntas parejas de conejos?Cuntas parejas de conejos se producirn en un ao, comenzando con una pareja nica, si cada mes cualquier pareja engendra otra pareja, que se reproduce a su vez desde el segundo mes? Razonando del modo que se propone, llegamos a que el nmero de parejas, mes a mes, es: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 As, el nmero total de parejas al final del ao es de 144 (la que haba al principio y otras 143 nuevas).

La sucesin de Fibonacci y el nmero FSi dividimos cada dos trminos consecutivos de la sucesin de Fibonacci, obtenemos: 1 1 1 1 1 2 1 2 2 3 2 1,5 3 5 3 1,66 5 8 5 8 13 8 13 21 13 21

1,6 1,625 1,615

Comprueba, calculando nuevos cocientes, que el nmero al que se aproximan es el nmero ureo. 55 89 144 = 1,61764; = 1,61818; = 1,61797 34 55 89 Se aproximan al nmero ureo f = 1 + 5 = 1,61803 2

1

Una representacin grficaObserva esta composicin hecha con cuadrados:1- 2 3 4 6 5

8

7

9

El lado de los cuadrados primero y segundo es 1. A partir del tercero, el lado de cada uno de los siguientes cuadrados que se van formando es igual a la suma de los lados de los dos que le preceden. Cul es el lado del 8-? Y el del 9-? Observa tambin los rectngulos que se forman sucesivamente:

2:1

3:2

5:3

8:5 Los cocientes entre sus dimensiones forman la sucesin que estudiamos en el apartado anterior. Se aproximan, por tanto, al nmero F. Esto quiere decir que estos rectngulos se parecen, cada vez ms, a rectngulos ureos. Comprubalo para los cuatro siguientes rectngulos: 13 : 8 21 : 13 34 : 21 55 : 34

El lado del 8. cuadrado es 21 y el lado del 9. cuadrado es 34. 13 21 34 55 = 1,625; = 1,615; = 1,619; = 1,617 8 13 21 34 Se aproximan al nmero ureo f = 1 + 5 = 1,61803 2

2

1. Di el criterio por el que se forman las sucesiones siguientes y aade dos trminos a cada una: a) 3, 8, 13, 18, 23, c) 1, 10, 100, 1 000, 10 000, e) 1, 3, 4, 7, 11, 18, g) 1, 2, 3, 4, 5, 6, b) 1, 8, 27, 64, 125, d) 8; 4; 2; 1; 0,5; f) 8, 3, 5, 2, 7, 9, h) 20, 13, 6, 1, 8,

a) Cada trmino, a partir del segundo, se obtiene sumndole 5 al anterior: a6 = 28, a7 = 33. b) Cada trmino es el cubo del lugar que ocupa: b6 = 216, b7 = 343. c) Cada trmino, a partir del segundo, se obtiene multiplicando por 10 el anterior: c6 = 100 000, c7 = 1 000 000. 1 d) Cada trmino, a partir del segundo, se obtiene multiplicando por (dividiendo entre 2) 2 el anterior: d6 = 0,25, d7 = 0,125. e) Cada trmino, a partir del tercero, se obtiene sumando los dos anteriores: e7 = 29, e8 = 47. f) Cada trmino, a partir del tercero, se obtiene restando los dos anteriores: f7 = 16, f8 = 25. g) Cada trmino es el nmero del lugar que ocupa, con signo positivo si es impar, y negativo si es par: g7 = 7, g8 = 8. h) Cada trmino, a partir del segundo, se obtiene restndole 7 al anterior: h6 = 15, h7 = 22.

2. Forma una sucesin recurrente, an, con estos datos: a1 = 2, a2 = 3, an = an 2 + an 1 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 3. Escribe los cuatro primeros trminos de las sucesiones que tienen como trmino general: an = 3 + 5 (n 1) bn = 3

()1 2

n1

cn = (1)n 2n

dn = (n 1)(n 2)

en = n2 + (1)n n2b1 = 3, b2 = 3 3 3 , b3 = , b4 = 2 4 8

a1 = 3, a2 = 8, a3 = 13, a4 = 18 c1 = 2, c2 = 4, c3 = 8, c4 = 16 e1 = 0, e2 = 8, e3 = 0, e4 = 32

d1 = 0, d2 = 0, d3 = 2, d4 = 6

3

4. Construye una sucesin cuya ley de recurrencia sea an = an 1 + n. Si tomamos, por ejemplo, a1 = 1, entonces quedara: a2 = 1 + 2 = 3, a3 = 3 + 3 = 6, a4 = 6 + 4 = 10, a5 = 10 + 5 = 15, a6 = 15 + 6 = 21, a7 = 21 + 7 = 28, 5. Da el trmino general de las sucesiones siguientes que no sean recurrentes: a) 3, 8, 13, 18, 23, c) 1, 10, 100, 1 000, 10 000, e) 1, 3, 4, 7, 11, 18, g) 1, 2, 3, 4, 5, 6, a) an = 3 + (n 1) 5 c) cn = 10 n 1 e) Es recurrente g) gn = (1) n 1 n b) 1, 8, 27, 64, 125, d) 8, 4, 2, 1, f ) 8, 3, 5, 2, 7, 9, h) 20, 13, 6, 1, 8, b) bn = n 3 d) dn = 8

( )1 2

n1

f) Es recurrente h) hn = 20 7 (n 1)

1. Cules de las siguientes sucesiones son progresiones aritmticas? En cada una de ellas di su diferencia y aade dos trminos ms: a) 3, 7, 11, 15, 19, c) 3, 6, 12, 24, 48, 96, e) 17,4; 15,8; 14,2; 12,6; 11; b) 3, 4, 6, 9, 13, 18, d) 10, 7, 4, 1, 2, f ) 18; 3,1; 11,8; 26,7; 41,6;

a) Es una progresin aritmtica con d = 4; a6 = 23, a7 = 27. b) No es una progresin aritmtica. c) No es una progresin aritmtica. d) Es una progresin aritmtica con d = 3; d6 = 5, d7 = 8. e) Es una progresin aritmtica con d = 1,6; e6 = 9,4; e7 = 7,8. f) Es una progresin aritmtica con d = 14,9; f6 = 56,5; f7 = 71,4. 2. En la sucesin 1a), halla el trmino a20 y la suma de los 20 primeros trminos. a20 = a1 + 19 d = 3 + 19 4 = 3 + 76 = 79 S20 = (a1 + a20) 20 (3 + 79) 20 = = 820 2 2

4

3. En la sucesin 1d), halla el trmino d40 y la suma de los 40 primeros trminos. d40 = d1 + 39 (3) = 10 117 = 107 S40 = (d1 + d40) 40 (10 107) 40 = = 1 940 2 2

4. En la sucesin 1e), halla el trmino e100 y la suma de los 100 primeros trminos. e100 = e1 + 99 (1,6) = 17,4 158,4 = 141 S100 = (e1 + e100 ) 100 (17,4 141) 100 = = 6 180 2 2

5. En la sucesin 1f ), halla los trminos f8 , f17 y la suma f8 + f9 + + f16 + f17. f8 = f1 + 7 14,9 = 18 + 104,3 = 86,3 f17 = f1 + 16 14,9 = 18 + 238,4 = 220,4 En la suma pedida hay 10 sumandos. S= (f1 + f17) 10 (86,3 + 220,4) 10 = = 1 533,5 2 2

6. Cules de las siguientes sucesiones son progresiones geomtricas? En cada una de ellas di su razn y aade dos trminos ms: a) 1, 3, 9, 27, 81, c) 12, 12, 12, 12, 12, e) 90, 30, 10, 10/3, 10/9, a) Es una progresin geomtrica con r = 3; a6 = 243, a7 = 729. b) Es una progresin geomtrica con r = 1 ; b5 = 6,25, b6 = 3,125. 2 b) 100; 50; 25; 12,5; d) 5, 5, 5, 5, 5, 5,

c) Es una progresin geomtrica con r = 1; c6 = 12, c7 = 12. d) Es una progresin geomtrica con r = 1; d7 = 5, d8 = 5. e) Es una progresin geomtrica con r = 1 10 10 , e7 = . ; e6 = 3 27 81

7. Calcula la suma de los 10 primeros trminos de cada una de las progresiones geomtricas del ejercicio anterior. a) a10 = a1 r 9 = 1 3 9 = 19 683 S10 = a10 r a1 19 683 3 1 = = 29 524 r1 31

5

b) b10 = b1 r 9 = 100

( )1 2

9

=

100 25 = 512 128

S10

25 1 b10 r b1 128 2 100 = = 199,805 r1 1 1 2

c) c10 = 12; S10 = 12 10 = 120 d) d10 = 5; S10 = 0 e) e10 = e1 r 9 = 90

( )1 3

9

=

90 10 = 19 683 2 187

S10

10 90 e10 r e1 6 561 = = 67,499 1 r1 1 3

8. En cules de las progresiones geomtricas del ejercicio anterior puedes calcular la suma de sus infinitos trminos? Hllala. Podemos calcular la suma de sus infinitos trminos en las progresiones geomtricas con |r| < 1: b) S = b1 = 1r e1 = 1r 100 = 100 = 200 1 1 1 2 2 90 1 1 3

e) S =

( )

= 90 = 67,5 4 3

Pgina 569. Calcula: 12 + 22 + + 302 30 (30 + 1) (60 + 1) 30 31 61 = = 9 455 6 6 10. Calcula: 502 + 512 + + 602 (1 2 + + 60 2) (1 2 + + 49 2) = 60 61 121 49 50 99 = 6 6

= 73 810 40 425 = 33 385 11. Calcula: 13 + 23 + 33 + + 153 15 2 16 2 = 14 400 4

6

12. Calcula: 23 + 43 + 63 + + 203 2 3 + 4 3 + 6 3 + + 20 3 = (2 1) 3 + (2 2) 3 + (2 3) 3 + + (2 10) 3 = = 2 3 1 3 + 2 3 2 3 + 2 3 3 3 + + 2 3 10 3 = = 2 3 (1 3 + 2 3 + 3 3 + + 10 3) = =8 10 2 11 2 = 8 3 025 = 24 200 4

1. Representa la sucesin an = 14 12 10 8 6 4 2 5 10

4n + 10 y asgnale un valor a su lmite. 2n 1

a1 = 14, a2 = 6, a3 = 4,4; a4 3,71; a5 3,33, , a10 2,63,; a100 2,06; ; a1 000 2,006, lm an = 2

15

2 2. Representa la sucesin bn = n 2n + 3 y asigna un valor a su lmite. 4

8 6 4 2 5 10 2

b1 = 1,25; b2 = 0; b3 = 0,75; b4 = 1; b5 = 0,75; b6 = 0; b7 = 1,25; b8 = 3; b9 = 5,25; b10 = 8,, b100 = 2 303, lm bn = [email protected]

7

3. Estudia el comportamiento de estas sucesiones para trminos muy avanzados e indica su lmite: a) an = 2n 3 6 b) bn = 2n 3 n+5

c) cn = 3 2n

d) dn = 5 1 n3

a) a10 2,83; a100 32,83; a1 000 332,83, lm an = [email protected] b) b10 1,133; b100 1,876; b1 000 1,987, lm bn = 2 c) c10 = 1 021; c100 1,27 10 3, lm cn = @ d) d10 = 4,999; d100 = 4,999999, lm dn = 5 4. Di, razonadamente, cules de las siguientes sucesiones tienen lmite: a) an = 2 n2 c) cn = (1)n n b) bn = (1)n n n+4

d) dn = (1)n 2 n2

a) a10 = 0,02; a100 = 0,0002; a1 000 = 0,000002, lm an = 0. b) b10 0,714; b11 0,733; b100 0,962; b101 0,962, Los trminos pares son positivos y tienden a 1; los trminos impares son negativos y tienden a 1. La sucesin no tiene lmite. c) c1 = 1, c2 = 2, c3 = 3, c1 000 = 1 000, c1 001 = 1 001, Los trminos impares son negativos y tienden a @; los trminos pares son positivos y tienden a [email protected] La sucesin no tiene lmite. d) d1 = 2; d2 = 0,5;; d100 = 0,0002; d101 = 0,000196, lm dn = 0.

1. Obtn los ocho primeros valores de an (trminos de la sucesin) y de Sn (sumas parciales) en cada una de las progresiones siguientes. Calcula en cada una el lm Sn: a) 125, 50, 20, d) 17, 17, 17, b) 125, 50, 20, e) 10; 12; 14,4; c) 17, 17, 17, f ) 10; 12; 14,4;

a) a1 = 125, a2 = 50, a3 = 20, a4 = 8, a5 = a8 = 128 = 0,2048. 625

16 32 64 = 3,2; a6 = = 1,28; a7 = = 0,512; 5 25 125

8

S1 = 125; S2 = 175; S3 = 195; S4 = 203; S5 = 206,2; S6 = 207,48; S7 = 207,992; S8 = 208,1968. Como r = a1 2 = = 0,4 < 1; lm Sn = 1r 5 125 = 625 = 208,) 3 3 2 1 5

b) b1 = 125; b2 = 50; b3 = 20; b4 = 8; b5 = 3,2; b6 = 1,28; b7 = 0,512; b8 = 0,2048. S1 = 125; S2 = 75; S3 = 95; S4 = 87; S5 = 90,2; S6 = 88,92; S7 = 89,432; S8 = 89,2272. Como r = b1 2 = = 0,4 < 1; lm Sn = 1r 5 125 = 625 89,286 7 2 1+ 5

c) c1 = 17; c2 = 17; c3 = 17; c4 = 17; c5 = 17; c6 = 17; c7 = 17; c8 = 17. S1 = 17; S

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