OSNOVE EKONOMETRIJEOSNOVE EKONOMETRIJE66

PROCJENE I TESTIRANJE PROCJENE I TESTIRANJE POMOĆU UZORKAPOMOĆU UZORKA

OSNOVNI SKUP (populacija), SAMPLING DISTRIBUCIJA, UZORAK OSNOVNI SKUP (populacija), SAMPLING DISTRIBUCIJA, UZORAK

VRSTA DISTRIBUCIJE

ARITMETIČKA SREDINA

STANDARDNA DEVIJACIJA

SAMPLING DISTRIBUCIJA

UZORAK

OSNOVNI SKUP X

ux u

X )(xse

Na primjeru aritmetičke sredine

Procjena karakteristike osnovnog Procjena karakteristike osnovnog skupa pomoću uzorkaskupa pomoću uzorka

1.1.Karakteristika uzorka Karakteristika uzorka ((ΘΘ))

2.2.Standarna greška procjene Standarna greška procjene se(se(ΘΘ))

3.3.Maksimalna greška procjene Maksimalna greška procjene E=z(t)•se(E=z(t)•se(ΘΘ))

4.4.Interval procjene Interval procjene ΘΘuu – E < – E < ΘΘ < < ΘΘuu + E + E

EE EE

CC11= = ΘΘuu-E -E ΘΘuu CC22==ΘΘuu-E -E

STANDARDNA GREŠKA PROCJENESTANDARDNA GREŠKA PROCJENEAritmetičke sredine:

nxse

)(

Ako je poznata standardna devijacija osnovnog skupa

Ako nije poznata standardna devijacija osnovnog skupa ona se procjenjuje pomoću uzorka

1ˆ

n

nu

Tako da je standardna greška

1)(

n

xse u

FRAKCIJA IZBORAFRAKCIJA IZBORAAko je uzorak izabran iz konačnog osnovnog skupa Ako je uzorak izabran iz konačnog osnovnog skupa

frakcija izbora je udio emenata osnovnog skupa koji su frakcija izbora je udio emenata osnovnog skupa koji su ušli u uzorakušli u uzorak

N

nf Ako je f>0,05f>0,05 izračunata standardna greška se

korigira sa:1

N

nN

tako da je:

11)( ;

1)(

N

nN

nxse

N

nN

nxse u

Na temelju uzorka od 200 radnika neke regije čija je prosječna plaća 3000 KN sa prosječnim odstupanjem od 200 KN uz 99% pouzdanosti procjenite prosječnu plaču cijele regije

Procjenjuje se prosječno trajanje ispita oz osnova ekonometrije. U uzorku od 145 studenata ustanovljeno je da su završili sa ispitom u prosječnom vremenu od 90 minuta sa prosječnim odsupanjem od 24 minute. Izračunajte intervalnu procjenu trajanja ispita uz vjerojatnost od 96%

Od 700 radnika nekog poduzeća evidentiran je radni staž 26 radnika i ustanovljen prosječni radni staž od 15 godina sa prosječnim odstupanjem od 2 godine. Uz pouzdanost od 95% procjenite prosječni radni staž svih radnika.

Microsoft Excel Worksheet

Microsoft Excel Worksheet

Microsoft Excel Worksheet

VELIČINA UZORKA KOD PROCJENE ARITMETIČKE SREDINE

0

00

00

2

0 1 05,0

f

nnf

N

nf

E

zn

Procjenjuje se prosječni mjesečni broj transakcija po korisniku, provedenih putem usluge Internet bankarstva banke M-Bank (samo za fizičke osobe).a) Koliko je korisnika (fizičkih osoba) potrebno izabrati u jednostavni slučajni uzorak, ako se prosječni broj transakcija procjenjuje uz 95% pouzdanosti, najveća tolerirana pogreška je 2 transakcije i ako je planirana standardna devijacija populacije 7 transakcija. Frakcija odabiranja je manja od 0.05.

PROCJENA PROPORCIJE

Standardna greška

uu

uu

u

pqn

mp

n

m

1 05,0 11

)(

05,0 1

)(

fN

nN

n

qppse

fn

qppse

uu

uu

Veličina uzorka

0

00

00

2

0 1 05,0

f

nnf

N

nf

E

PQzn

U slučajnom uzorku 300 vozača na cesti između dva grada ustanovljeno je da 175 vozača ispravno upotrebljava svjetla u tijeku noćne vožnje. Standardna pogreška . Procijenite brojem i 95% intervalom kolika je proporcija vozača koji ispravno upotrebljavaju svjetla tokom noćne vožnje na cesti između dva grada?

Analizira se proporcija osiguranika poslovnice osiguravajućeg društva Safe koji su sudjelovali u prometnim nezgodama u tijeku 2004. godine. Poslovnica ima 8566 osiguranika. U uzorku od 576 slučajno odabranih osiguranika njih 125 je sudjelovalo u prometnim nezgodama. Procijenite proporciju osiguranika poslovnice koji su 2004. sudjelovali u prometnim nezgodama brojem i intervalom. Pouzdanost procjene 99%.

Procjenjuje se proporcija kupaca koji stalno kupuju bezalkoholne napitke proizvođača Juice na području jednoga grada. U slučajnom uzorku 450 kupaca njih 56% stalno kupuje bezalkoholne napitke navedenog proizvođača. Uzorak

je izabran iz populacije uz frakciju izbora manju od 0.05. (a) Kolika je vrijednost procjene proporcije osnovnog skupa jednim brojem?(b) Odredite granice intervala procjene proporcije kupaca grada koji stalno

kupuju bezalkoholne napitke proizvođača Juice. Pouzdanost procjene je 94%.

Microsoft Excel Worksheet

-3,0

0

-2,8

0

-2,6

0

-2,4

0

-2,2

0

-2,0

0

-1,8

0

-1,6

0

-1,4

0

-1,2

0

-1,0

0

-0,8

0

-0,6

0

-0,4

0

-0,2

0

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

2,20

2,40

2,60

2,80

3,00

Θ0

NEKI STATISTIČKI TESTOVINEKI STATISTIČKI TESTOVIDVOSMJERNI TEST ILI TEST NA DVIJE GRANICEDVOSMJERNI TEST ILI TEST NA DVIJE GRANICE

Pretpostavke ili Pretpostavke ili hipotezehipoteze

01

00

........

........

H

H

β

α/2 α/2E=z se(Θ)E=z se(Θ)

DG=Θ0-E GG=Θ0+EΘu

z-z 0

Postupak testiranja:

1. Karakteristika uzorka Θu

2. Standardna greška se(Θ)

Postupak odlučivanja

a)karakteristika uzorka unutar granica DG<Θu<GG

H0 hipoteza se prihvaća ako je:

Θu- Θ0

Z*

b) 2/

*zz

β* c) β*<β ili α*>α

Područje prihvačanja H0 hipotezePodručjeodbacivanja

Područjeodbacivanja

Primjer 1. Na temelju uzorka od 101 komada kruha ispitati uz 5% signifikantnosti da li kruh određene pekare zadovoljava standard prosječne težine od 1000 grama. U uzorku je prosječna težina 998 grama sa standardnom devijacijom od 9,5 grama.

Rješenje:

1000...

1000...

1

0

XH

XH

95,0100

5,91

)(

n

xse u

z=1,96

1,8621,960,95 xsezE

862,1001862,11000

138,998862,11000

2

1

C

C

998<998,138→H1

105,295,0

1000998*

z │-2,105 │ >1,96→H1

5,9

998

u

ux

a)

b)

c) 0353,0 9647,0 **

*→H1

Uz 5% signifikantnosti ne možemo potvrditi da kruh odgovara standardu

Primjer 2Primjer 2: Na izborima anketirano je 250 birača od kojih je 90 izjavilo da je glasalo za stanku “A”. Da li se uz 95% vjerojatnosti može prihvatiti pretpostavka da će strankaostvariti 40% glasova.

Rješenje:

4,0...

4,0...

1

0

PH

PH

36,0250

90up

030984,0250

6,04,0)(

pse

Z=1,96

a)

b)

c)

E=1,96*0,030984=0,0607

DG=0,3393.......GG=0,4607

0,3393<0,36<0,4607→H0

Z*=-0,6455 │z*│<z →H0

Β*=0,4814 α*=0,5186

Α*>→H0

Uz 5% signifikantnosti možemo potvrditi da će stranka na izborima dobiti 40% glasova

JEDNOSMJERNI TEST ILI TEST NA JEDNU GRANICUJEDNOSMJERNI TEST ILI TEST NA JEDNU GRANICU

HHoo.... .... Θ≥ΘΘ≥Θ00

HH11.... .... ΘΘ<<ΘΘ00HHoo ... ... ΘΘu u >> DG DG

E=z - se(Θ) E=z se(Θ)

DG=Θ0-E

-z

Θu z*

Θu-Θ0

Z*>-ZZ*>-Z

Ho.... Ho.... Θ≤ΘΘ≤Θ00

HH11.... .... ΘΘ>>ΘΘ00H0... H0... ΘΘuu < GG < GG

E=z se(Θ)

GG=Θ0+E

zΘu

z*Θu-Θ0

Z*<ZZ*<Z

Primjer 3Primjer 3: Da li se može uz 1% signifikantnosti tvrditi da je neki proizvod ima manjeod 10 g. štetnih tvari ako je uzorak od 10 proizvoda imao prosjek od 8,9 g i standardnu devijaciju 1,15 g.

10...

10...

1

0

XH

XH

14,1

9,8

10

u

ux

n

38,03

15,1

1)(

n

xse u 821,201,0;9 t

E=z se(Θ)

0H1H

-2,821

895,238,0

109,8

t

1* Htt

071,1821,238,0)( txseE 929,8071,1101 C 01 HCxu

-2,895

8,929

8,9

Primjer 4Primjer 4: Iz proizvodnje je uzet uzorak od 2000 proizvoda i u njemu je bilo 45neispravnih. Da li se uz 5% signifikantnosti može tvrditi da je u proizvodnji najviše2% neispravnih

02,0...

02,0...

1

0

PH

PH

45

2000

m

n

1H0H

00313,02000

98,002,0)(

0225,0

pse

pu

645,1z

1,645

799,000313,0

02,00225,0*

z0,799

0* Hzz

0251,00051,002,0 0051,0645,100313,0 2 CE

0,02510,0225

02 HCpu